Tampilkan postingan dengan label transformasi geometri. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label transformasi geometri. Tampilkan semua postingan

Transformasi Geometri Luas Bangun datar

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan kembali membahas artikel yang terkait dengan "Transformasi geometri" yaitu dengan jugul Transformasi Geometri Luas Bangun datar. Materi terkait Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini perlu kita bahas karena baik di ujian tingkat sekolah seperti ulangan harian, ulangan semesteran atau ujian nasional, serta tingkat seleksi masuk perguruan tinggi juga sering dikeluarkan soal-soalnya.

         Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini, silahkan teman-teman kuasai terlebih dahulu transformasi secara umum dan jenis-jenis transformasi (seperti translasi, dilatasi, rotasi, dan refleksi), serta komposisi transformasi. Selain itu juga teman-teman harus menguasai operasi pada matriks terutama perkalian.

         Transformasi geometri pada titik dan pada "persamaan kurva", kita harus mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan pada soal. Nah, apakah pada Transformasi Geometri Luas Bangun datar perlu kita lakukan hal yang sama yaitu mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan oleh soal? jawabannya tidak, karena berdasarkan sifat-sifat masing-masing jenis transformasi hanya dilatasi yang menyebabkan perubahan luas suatu bangaun datar. Artinya kita tidak perlu menghitung semua, cukup kerjakan yang dilatasi saja. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar Transformasi Geometri Luas Bangun datar segitiga ABC berikut.

         Perlu diperhatikan, jika titik pada bangun datar saja yang ditransformasi, maka Transformasi Geometri Luas Bangun datar harus melibatkan semua jenis transformasi yang ada pada soal karena bukan luas bayangan yang kita cari akan tetapi bayangan dari titik-titik sudutnya sehingga ini termasuk transformasi titik bukan luas.

Transformasi Geometri Luas Bangun datar
       Langkah-langkah dalam mengerjakan Transformasi Geometri Luas Bangun datar yaitu :
1). Jika yang ditanyakan luas bayangannya, maka cukup kerjakan yang ada dilatasinya saja. Jika pada soal tidak ada dilatasinya, maka luas bayangannya sama dengan luas awalnya.
2). Jika pada soal langsung diketahui matriks transformasinya (bukan translasi atau rotasi atau refleksi), maka wajib kita hitung luas bayangannya menggunakan matriks tersebut digabungkan dengan dilatasi jika ada.
3). Jika yang ditanyakan bayangan dari titik-titik sudutnya, maka semua jenis transformasi yang ada pada soal kita kerjakan.

$\spadesuit $ Cara menghitung luas bayangan :
       Luas bayangan = $|MT| \times $ Luas awal.
dimana $ |MT| = \, $ determinan matriksnya.
Cara Menghitung Luas Segitiga
$\spadesuit $ Luas Segitiga ABC
       Misalkan segitiga ABC dengan koordinatnya $A(a_1,a_2) , B(b_1,b_2) $ dan $ C(c_1,c_2)$, Luasnya :
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2)-(b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2)] $
Catatan :
Bentuk penghitungan luas seperti di atas mirip determinan pada matriks dengan mengulang titik yang paling kiri diletakkan kembali di paling kanan. Untuk lebih mendalam tentang cara menghitung luas bangun datar yang diketahui koordinatnya, silahkan baca artikel "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya".

Contoh Soal Transformasi Geometri Luas Bangun datar :

1). Segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudutnya yaitu $A(-1,2) , B(2,3) $ dan $ C(1,5) $ ditransformasi oleh matriks $ \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). bayangan titik-titik sudut segitiga ABC,
b). luas bayangan segitiga ABC.

Penyelesaian :
a). Menentukan bayangan titik-titik sudutnya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} A & B & C \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 16 & 22 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi bayangan titik sudutnya adalah :
$ A^\prime (-5,6), \, B^\prime (3,16), $ dan $ (-2, 22) $.

b). Menentukan luas bayangan segitga ABC dengan bayangan titik-titik sudutnya sudah kita peroleh di bagian (a) di atas.
Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -5 & 3 & -2 & -5 \\ 6 & 16 & 22 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-5.16+3.22+-2.6)-(3.6+-2.16+-5.22)] \\ & = \frac{1}{2} [(-80+66-12)-(18-32-110)] \\ & = \frac{1}{2} [(-26)-(-124)] \\ & = \frac{1}{2} [98] = 49 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah 49 satuan luas$. \, \heartsuit $

Cara 2 : bagian (b),
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-3 + 10 +2)-(4 + 3 -5)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (3.4-(2.(-1)) \times \frac{7}{2} \\ & = 14 \times \frac{7}{2} = 49 \end{align} $

2). Segitiga ABC dengan koordinat $A(1,2), B(3,-1), $ dan $ C(4,1) $ ditranslasi $ \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) $, kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X, setelah itu didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat $(-1,3)$, setelah itu dilanjutkan lagi dengan rotasi sejauh $ 90^\circ $ belawanan jarum jam dengan titik pusat $(2,1) $. Tentukan luas bayangan segitiga ABC!

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan bayangan titik segitiganya
*). Pertama : Translasi ,
$ \left( \begin{matrix} A^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Kedua : Pencerminan sumbu X, MT $ = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Ketiga: dilatasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(-1,3)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 - (-1) \\ -1 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 7 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 14 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 13 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 - (-1) \\ 2 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 18 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 17 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 - (-1) \\ 0 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 10 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 20 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 19 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Keempat: rotasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(2,1)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 13 - 2 \\ -5 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 11 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 \\ 11 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 12 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 - 2 \\ 1 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 15 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 15 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 16 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 19 - 2 \\ -3 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 17 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 18 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Koordinat bayangan titik-titik sudut segitiga adalah :
$A^{\prime \prime \prime \prime}(8,12), B^{\prime \prime \prime \prime}(2,16) $ dan $ C^{\prime \prime \prime \prime}(6, 18 )$.
*). Menentukan luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 2 & 6 & 8 \\ 12 & 16 & 18 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(128 + 36 + 72)-(24 + 96 + 144)] \\ & = \frac{1}{2} [-28] = -14 = 14 \end{align} $
(Luasan selalu bernilai positif).
Jadi, luas bayangannya adalah 14 satuan luas$. \, \heartsuit $

Cara 2 : Hanya memperhatikan bentuk dilatasi saja.
*). Pada dilatasi, berapapun titik pusatnya tidak berpengaruh pada luas, artinya luas hanya ditentukan oleh faktor skala saja.
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-1 + 3 + 8)-(6 - 4 + 1)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya : dilatasi dengan $ k = 2 $
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (2.2-0.0) \times \frac{7}{2} \\ & = 4 \times \frac{7}{2} = 14 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah 14 satuan luas, sama dengan cara I.

3). Lingkaran dengan persamaan $(x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ dirotasi sejauh $ 135^\circ $ searah jarum jam, kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = x + 6 $, setelah itu dilanjutkan dengan translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 12 \\ -10 \end{matrix} \right) $ . Tentukan luas bayangan lingkaran tersebut!

Penyelesaian :
*). Luas akan berubah jika dilakukan dilatasi pada lingkaran tersebut.
*). Karena tidak ada dilatasi, maka luas bayangan tetap yaitu sama dengan luas awal.
*). Lingkaran $ (x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ memiliki $ r = \sqrt{5} $.
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \text{Luas awal} \\ & = \pi r^2 \\ & = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah $ 5\pi $ satuan luas $. \, \heartsuit $

4). Sebuah segiempat ABCD memiliki koordinat A(1,2), B(2,5), C(3, 7) dan D(5,4) dilakukan transformasi yaitu pertama didilatasi dengan faktor skala 3 dan titik pusat $(-1,2)$, dilanjutkan dengan rotasi sejauh $ 180^\circ $ dengan pusat $(0,0)$, dilanjutkan kembali translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $. Tentukan perbandingan luas bayangan dan luas awalnya!

Penyelesaian :
*). Pada soal ini, yang berpengaruh hanya dilatasi dengan $ k = 3 $, sehingga :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ \frac{\text{Luas bayangan } }{\text{Luas awal } } & = |MT| \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = 3.3 - 0.0 \\ & = 9 = \frac{9}{1} \end{align} $
Jadi, perbandingan luas bayangan dan luas awalnya adalah $ 9 : 1 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri.

Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi transformasi geometri yang terdiri dari beberapa jenis yaitu Translasi, Dilatasi, Refleksi, dan Rotasi, dimana disetiap penjelasan juga sudah disertai dengan contoh-contohnya, nah pada artikel ini kita akan khusus membahas materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi. Hal ini penting untuk kita perdalam lagi karena biasanya untuk soal-soal Ujian Nasional (UN) atau Ujian masuk perguruan tinggi negeri (SBMPTN), benda atau objek yang ditransformasi kebanyakan berbentuk persamaan kurva atau fungsi suatu kurva.

         Memepelajari materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi tentu kita tidak terlepas dari bentuk "komposisi transformasi geometri". Suatu persamaan kurva atau fungsi suatu kurva bisa ditransformasi tidak hanya satu kali saja namun bisa lebih dari satu kali baik dengan jenis transformasi yang sama atau jenis transformasi yang berbeda. Pada komposisi transformasi, ada matriks yang bisa langsung dikalikan dan ada juga harus dikerjakan satu-persatu transformasinya, inilah salah satu penekanan yang akan kita bahas pada artikel Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi ini.

         Dalam pembahasan materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi, kita bagi menjadi dua bagian yaitu pertama jenis soal yang matriks transformasinya bisa digabung langsung dan kedua jenis soal yang matriksnya tidak bisa digabung langsung sehingga pengerjaannya dilakukan satu demi satu.

         Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi, teman-teman harus menguasai materi transformasi secara keseluruhan seperti 'matriks transformasi geometri', 'jenis-jenis transformasi', 'komposisi transfomasi geometri', dan tentu juga 'operasi matriks'.

Matriks transformasi bisa digabungkan (bisa dikomposisikan langsung)
       Untuk jenis matriks transformasi yang bisa langsung digabungkan maka pengerjaan Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi sangatlah mudah. Berikut langkah-langkahnya :
i). Gabungkan semua matriks transformasinya dengan cara dikalikan,

ii). Menentukan hubungan titik awal $ (x,y)$ dan bayangan $(x^\prime , y^\prime ) $,

a). Jika yang diminta bayangan persamaan, maka bentuklah $ x = m_1x^\prime + n_1y^\prime $ dan $ y = m_2x^\prime + n_2y^\prime $ . Setelah itu substitusi ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangan kurva.

b). Jika yang diminta persamaan bayangan, maka bentuklah $ x^\prime = m_1x + n_1y $ dan $ y^\prime = m_2x + n_2y $. Setelah itu substitusikan ke persamaan bayangan sehingga akita peroleh persamaan awalnya.
Catatan :
Silahkan teman-teman baca syarat matriks transformasi bisa digabungkan atau tidak pada artikel : "Komposisi Transformasi dengan Matriks".

Contoh Soal Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi :

1). Persamaan $ y = x^2 - 2x $ dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian dilanjutkan lagi dengan dilatasi pusat (0,0) dan faktor skala 3, dan dilanjtukan lagi rotasi sejauh $ 90^\circ $ terhadap titik pusat. Tentukan bayangan persamaan kurva parabola tersebut!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi bisa digabungkan langsung karena memiliki titik pusat yang sama (0,0) dan matriks berordo $ 2 \times 2 $.
*). Menentukan matriks masing-masing dan matriks gabungannya :
Pertama : Pencerminan terhadap sumbu X, $ T_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Dilatasi dengan $ k = 3 $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Rotasi dengan $ \theta = 90^\circ $ , $ T_3 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Matriks gabungannya (MT) :
$ \begin{align} MT & = T_3 \circ T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3y \\ 3x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 3y \rightarrow y = \frac{1}{3}x^\prime $
$ y^\prime = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y^\prime $
*). Susbstitusi yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 2x \\ \frac{1}{3}x^\prime & = \left( \frac{1}{3}y^\prime\right)^2 - 2(\frac{1}{3}y^\prime) \\ \frac{1}{3}x^\prime & = \frac{1}{9}( y^\prime )^2 - \frac{2}{3}y^\prime \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x^\prime & = \frac{1}{3}( y^\prime )^2 - 2y^\prime \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ x^\prime = \frac{1}{3}( y^\prime )^2 - 2y^\prime $ atau $ x = \frac{1}{3}y^2 - 2y $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = \frac{1}{3}y^2 - 2y . \, \heartsuit $.

Berikut adalah ilustrasi kurva awal dan kurva bayangannya :

2). Suatu persamaan kurva atau suatu fungsi didilatasi terhadap pusat koordinat dengan faktor skala -2 kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = x $ menghasilkan persamaan bayangan $ 2x - 3y = 5 $. Tentukan persamaan kurva tersebut!

Penyelesaian :
*). Kedua jenis matriks transformasi bisa digabungkan.
*). Pada soal diketahui :
Persamaan bayangannya : $ 2x - 3y = 5 $ atau dapat dituliskan $ 2x^\prime - 3y^\prime = 5 $.
Yang ditanyakan persamaan awalnya.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing dan matriks gabungannya :
Pertama : Dilatasi dengan $ k = -2 $ , $ T_1 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
Kedua : Pencerminan terhadap garis $ y = x $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Matriks gabungannya (MT) :
$ \begin{align} MT & = T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2y \\ -2x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -2y $ dan $ y^\prime = -2x $
(tidak perlu diubah lagi karena yang ditanyakan persamaan awalnya).
*). Susbstitusi $ x^\prime = -2y $ dan $ y^\prime = -2x $ ke persamaan bayangan sehingga kita dapatkan persamaan awalnya :
$ \begin{align} 2x^\prime - 3y^\prime & = 5 \\ 2(-2y) - 3(-2x) & = 5 \\ -4y + 6x & = 5 \\ 6x -4y & = 5 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 6x -4y = 5 . \, \heartsuit $.

Matriks transformasi tidak bisa digabungkan
       Untuk Kasus kedua ini dimana matriks transformasinya tidak bisa digabungkan langsung sehingga pengerjaan Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi dilakukan satu-persatu. Ada dua cara yang bisa kita lakukan dalam pengerjaannya yaitu :
1). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ setelah itu kita ubah sesuai pertanyaannya apakah yang ditanya persamaan bayangan atau persamaan awal seperti contoh di atas.

2). Kita lakukan satu persatu dan langsung mencari bayangan persamaannya sehingga akan ada persamaan bayangan pertama, persamaan bayangan kedua, dan seterusnya. Persamaan bayangan terakhirlah jawaban yang kita pakai.
Contoh Soal Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi :

3). Tentukan persamaan bayangan kurva $ x^2 + y^2 = 4 $ jika ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $, kemudian dirotasikan sebesar $ 180^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat putaran (1,2), dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala $ -2 $ dengan titik acuan (0,0)!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi pada soal ini tidak bisa digabungkan karena ordo berbeda dan titik pusat (titik acuan) juga berbeda.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
Pertama : Translasi , $ T_1 = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Rotasi dengan $ \theta = 180^\circ $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Dilatasi dengan $ k = -2 $, $ T_3 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
*). Untuk pengerjaan berikutnya, kita gunakan Dua Cara yaitu :

Cara 1 : Langsung menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x-3 \\ y + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kedua : titik $(x^\prime , y^\prime ) $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} (x-3) - 1 \\ (y+1) - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x - 4 \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 4 \\ -y + 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 5 \\ -y + 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Ketiga : titik $(x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime \prime} \\ y^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) &= (T_3) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -x+5 \\ -y+3 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2x -10 \\ 2y - 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk akhir hubungan titik awal dan titik bayangannya :
$ x^{\prime \prime \prime} = 2x -10 \rightarrow x = \frac{ x^{\prime \prime \prime} + 10}{2} $
$ y^{\prime \prime \prime} = 2y -6 \rightarrow x = \frac{ y^{\prime \prime \prime} + 6 }{2} $
*). Substitusi bentuk akhir yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 4 \\ \left( \frac{ x^{\prime \prime \prime} + 10}{2} \right)^2 + \left( \frac{ y^{\prime \prime \prime} + 6 }{2} \right)^2 & = 4 \\ \frac{ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2}{4} + \frac{ (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2}{4} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2 + (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2 & = 16 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2 + (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2 = 16 $
atau $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 . \, \heartsuit $.

Cara 2 : Kita tentukan langsung bayangan persamaannya untuk setiap jenis transformasi :
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x-3 \\ y + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x - 3 \rightarrow x = x^\prime + 3 $
$ y^\prime = y + 1 \rightarrow y = y^\prime - 1 $
Bayangan pertama persamaan :
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 4 \\ (x^\prime + 3)^2 + (y^\prime - 1)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga bayangan pertama persamaan : $ (x+3)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ .

*). Kedua : $ (x+3)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{ \prime } \\ y^{\prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 1 \\ -y + 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 2 \\ -y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = -x + 2 \rightarrow x = -x^\prime + 2 $
$ y^\prime = -y + 4 \rightarrow y = -y^\prime + 4 $
Bayangan kedua persamaan :
$ \begin{align} (x+3)^2 + (y - 1)^2 & = 4 \\ (-x^\prime + 2+3)^2 + (-y^\prime + 4 - 1)^2 & = 4 \\ (-x^\prime + 5)^2 + (-y^\prime + 3)^2 & = 4 \\ (x^\prime - 5)^2 + (y^\prime - 3)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga bayangan kedua persamaan : $ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 4 $ .

*). Ketiga : $ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 4 $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (T_3) . \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2x \\ -2y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = -2x \rightarrow x = -\frac{1}{2}x^\prime $
$ y^\prime = -2y \rightarrow y = -\frac{1}{2}y^\prime $
Bayangan ketiga persamaan :
$ \begin{align} (x - 5)^2 + (y - 3)^2 & = 4 \\ (-\frac{1}{2}x^\prime - 5)^2 + (-\frac{1}{2}y^\prime - 3)^2 & = 4 \\ (-\frac{1}{2}x^\prime - \frac{10}{2})^2 + (-\frac{1}{2}y^\prime - \frac{6}{2})^2 & = 4 \\ (\frac{-x^\prime - 10}{2})^2 + (\frac{-y^\prime -6}{2})^2 & = 4 \\ \frac{(-x^\prime - 10)^2}{4} + \frac{(-y^\prime -6)^2}{4} & = 4 \\ \frac{(x^\prime + 10)^2}{4} + \frac{(y^\prime + 6)^2}{4} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (x^\prime + 10)^2 + (y^\prime + 6)^2 & = 16 \end{align} $
Sehingga bayangan ketiga persamaan : $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 . \, \heartsuit $.

4). Suatu persamaan kurva ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $, kemudian dirotasikan sebesar $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat putaran (1,2), dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala $ 3 $ dengan titik acuan (0,0) menghasilkan bayangan $ y = x^3 - 2x + 5$. Tentukan persamaan awal kurva tersebut!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi pada soal ini tidak bisa digabungkan karena ordo berbeda dan titik pusat (titik acuan) juga berbeda.
*). Pada soal diketahui :
Persamaan bayangan kurva : $ y = x^3 - 2x + 5 $ atau bisa ditulis $ y^{\prime \prime \prime} = (x^{\prime \prime \prime} )^3 - 2x^{\prime \prime \prime} + 5 $.
Yang ditanyakan persamaan awalnya.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
Pertama : Translasi , $ T_1 = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Rotasi dengan $ \theta = 180^\circ $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Dilatasi dengan $ k = 3 $, $ T_3 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x+2 \\ y 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kedua : titik $(x^\prime , y^\prime ) $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} (x+2) - 1 \\ (y-1) - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x +1 \\ y - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -y +3 \\ x + 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -y + 4 \\ x + 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Ketiga : titik $(x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime \prime} \\ y^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) &= (T_3) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -y+4 \\ x+3 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -3y + 12 \\ 3x + 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk akhir hubungan titik awal dan titik bayangannya :
$ x^{\prime \prime \prime} = -3y + 12 $ dan $ y^{\prime \prime \prime} = 3x + 9 $
*). Substitusi bentuk akhir yang kita peroleh ke persamaan bayangan sehingga kita peroleh persamaan awalnya.
$ \begin{align} y^{\prime \prime \prime} & = (x^{\prime \prime \prime} )^3 - 2x^{\prime \prime \prime} + 5 \\ 3x + 9 & = (-3y + 12)^3 - 2(-3y + 12) + 5 \\ 3x + 9 & = (-3y + 12)^3 + 6y -24 + 5 \\ 3x & = (-3y + 12)^3 + 6y -28 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 3x = (-3y + 12)^3 + 6y -28 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Transformasi geometri Luas bangun datar".

Komposisi Rotasi Sepusat

         Blog Koma - Satu lagi bentuk "komposisi transformasi geometri" yang akan kita bahas yaitu Komposisi Rotasi Sepusat, yang sebelumnya juga telah kita bahas artikel komposisi translasi, komposisi refleksi, dan komposisi dilatasi serta komposisi matriks transformasi yang melibatkan semua jenis transformasi geometri. Komposisi Rotasi Sepusat artinya suatu benda atau objek akan kita rotasi beberapa kali dengan pusat (titik acuan) yang sama sehingga matriks transformasinya bisa kita gabungkan. Jika Komposisi Rotasi Tidak Sepusat, maka pengerjaan komposisinya kita lakukan satu-persatu sehingga bentuk rotasi terakhir.

         Untuk memudahkan mempelajari artikel Komposisi Rotasi Sepusat ini, teman-teman harus menguasai materi "Rotasi pada Transformasi Geometri", "Matriks Transformasi Geometri", dan operasi pada matriks. Untuk Pengerjaannya juga seperti biasa yaitu $ bayangan \, = \, matriks \times awal $. Langsung saja kita simak penjelasannya berikut ini.

Pengerjaan Komposisi Rotasi Sepusat
       Perhatikan ilustrasi gambar komposisi rotasi sepusat di atas, pusat rotasi adalah $(a,b)$ dengan titik awal $A(x,y)$ dilakukan rotasi sebesar $ \theta _1 $ menghasilkan bayangan $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$, dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _2 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } (x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _3 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime } (x^{\prime \prime \prime } , y^{\prime \prime \prime } ) $ .
*). Matriks gabungannya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) $
Catatan :
Nilai $ \theta _1 , \, \theta _2 , \, $ dan $ \theta _3 $ bisa bernilai negatif tergantung dari arah putaran terhadap jarum jam.
Jika searah jarum jam, maka sudutnya negatif.
Jika berlawanan arah jarum jam, maka sudutnya positif.

*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Contoh Soal Komposisi Rotasi Sepusat :

1). Titik A(1,2) dirotasi sebesar $35^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 55^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik pusat kedua rotasi sama yaitu $ (-3,5) $ , maka tentukan bayangan titik A?

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 35^\circ , \, \theta _2 = 55^\circ \, $ dan titik pusat $(a,b) = (-3,5) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (35^\circ + 55^\circ ) & - \sin (35^\circ + 55^\circ ) \\ \sin (35^\circ + 55^\circ ) & \cos (35^\circ + 55^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (90^\circ ) & - \sin (90^\circ ) \\ \sin (90^\circ ) & \cos (90^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - (-3) \\ 2 - 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (0,9) . \, \heartsuit $.

2). Persamaan $ y = 3x^4 - 2x - 1 $ dirotasi sebesar $50^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 300^\circ $ searah jarum jam, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $70^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik pusat ketiga rotasi sama yaitu $ (0,0) $ , maka tentukan bayangan persamaan kurva tersebut?

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 50^\circ , \, \theta _2 = -300^\circ, \, \theta _3 = 70^\circ \, $ dan titik pusat $(a,b) = (0,0) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & - \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \\ \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (-180^\circ ) & - \sin (-180^\circ ) \\ \sin (-180^\circ ) & \cos (-180^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (180^\circ ) & \sin (180^\circ ) \\ - \sin (180^\circ ) & \cos (180^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x \\ -y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -x \rightarrow x = -x^\prime $ dan $ y^\prime = -y \rightarrow y = -y^\prime $ .
*). Substitusi bentuk $ x = -x^\prime $ dan $ y = -y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = 3x^4 - 2x - 1 \\ -y^\prime & = 3(-x^\prime)^4 - 2.(-x^\prime) - 1 \\ -y^\prime & = 3(x^\prime)^4 + 2x^\prime - 1 \\ y^\prime & = - 3(x^\prime)^4 - 2x^\prime + 1 \end{align} $
Sehingga bayangannya $ y^\prime = - 3(x^\prime)^4 - 2x^\prime + 1 $ atau $ y = -3x^4 - 2x + 1 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = -3x^4 - 2x + 1 . \, \heartsuit $.

3). Titik B($-2,1$) dirotasi sejauh $ 60^\circ $ dengan titik pusat (1,0) , lalu dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 30^\circ $ dengan titik pusat $ (-1,3) $. Tentukan bayangan titik B?

Penyelesaian :
*). Karena titik pusat rotasinya tidak sama, maka matriks rotasinya tidak bisa kita gabung langsung, artinya kita harus mengerjakan satu demi satu bentuk rotasinya.
*). Rotasi pertama : $ \theta _ 1 = 60^\circ $ dengan pusat $(a,b) = (1,0) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (60^\circ ) & - \sin (60^\circ ) \\ \sin (60^\circ ) & \cos (60^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan pertama titik $B(-2,1) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 - 1 \\ 1 - 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{-3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga $ B^\prime ( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $

*). Rotasi kedua : $ \theta _ 2 = 30^\circ $ dengan pusat $(a,b) = (-1,3) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (30^\circ ) & - \sin (30^\circ ) \\ \sin (30^\circ ) & \cos (30^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan kedua titik $ B^\prime ( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{ \prime \prime } \\ y^{ \prime \prime } \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} - (-1) \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} - \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\sqrt{3} + \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{9}{4} - \frac{5}{4}\sqrt{3} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \\ - \frac{7}{4}\sqrt{3} - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \\ - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} - \frac{1}{2} , - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) $
Jadi, bayangan akhir titik B adalah $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} - \frac{1}{2} , - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Rotasi Sepusat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi transformasi geometri.

Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang sebagai kelanjutan dari artikel "Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang". Dua garis sembarang yang dimaksud yaitu pencerminan terhadap garis $ y =m_1x+c_1$ kemudian dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2 $ . Untuk pengerjaannya sama dengan rotasi sehingga membutuhkan titik pusat dan sudut putar sebesar $ \theta $, dan tentu ada matriks rotasinya yaitu berbentuk $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & - \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $. Matriks rotasi inilah yang akan kita buktikan cara memperolehnya.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang, sebaiknya teman-teman memahami beberapa materi trigonometri yaitu diantaranya "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut", "kesamaan dua buah matriks", dan "Matriks Transformasi Geometri".

Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang
       Adapun matriks pencerminan dua garis sembarang yaitu $ y = m_1x + c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
yaitu : MT $ = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & - \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $
dengan titik pusat rotasi adalah titik perpotongan kedua garis,
Sudut perputaran ($\theta$) diperoleh dari $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $ ,
dimana $ m_1 $ dan $ m_2 $ adalah gradien kedua garis.

Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang
Perhatikan ilustrasi gambar berikut, terdapat titik $A(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x + c_1 $ dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y = m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $.
Keterangan berdasarkan gambar:
Jari-jari lingkaran adalah $ r $,
Sudut antara kedua garis sebesar $ \theta $,
sudut $ \theta $ dibagi menjadi dua $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ yang tidak harus sama besar,
dimana $ \theta _1 + \theta _ 2 = \theta $ ,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A(a,b)$ terhadap sumbu X = $ \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap sumbu X = $ 2\theta + \beta $,
Sudut BOA $ = \beta + \theta _1 + \theta _1 + \theta _2 + \theta _2 = 2(\theta _1 + \theta _2) + \beta = 2\theta + \beta $ .

*). Perhatikan segitiga OCA :
Sudut COA adalah $ \beta $ dengan panjang $ OC = a , \, OA = r $, dan $ AC = b $, sehingga :
$ \sin \beta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{OA} = \frac{b}{r} \rightarrow b = r \sin \beta $ .
$ \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{OC}{OA} = \frac{a}{r} \rightarrow a = r \cos \beta $ .

*). Perhatikan segitiga OBA$^\prime$ :
Sudut BOA$^\prime$ adalah $ (2\theta - \beta ) $ dengan panjang $ OB = a^\prime , \, OA^\prime = r $, dan $ BA^\prime = b^\prime $, sehingga :
$ \sin (2\theta + \beta ) = \frac{de}{mi} = \frac{BA^\prime}{OA^\prime} = \frac{b^\prime}{r} \rightarrow b^\prime = r \sin (2\theta + \beta ) $ .
$ \cos (2\theta + \beta ) = \frac{sa}{mi} = \frac{OB}{OA^\prime} = \frac{a^\prime}{r} \rightarrow a^\prime = r \cos (2\theta + \beta ) $ .

*). Rumus trigonometri jumlah atau selisih sudut :
$ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

*). Menentukan hubungan $ A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ dan $ A(a,b) $ :
$ \begin{align} a^\prime & = r \cos (2\theta + \beta ) \\ b^\prime & = r \sin (2\theta + \beta ) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos (2\theta + \beta ) \\ r \sin (2\theta + \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos 2\theta \cos \beta - \sin 2\theta \sin \beta ) \\ r ( \sin 2\theta \cos \beta + \cos 2\theta \sin \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos 2\theta \cos \beta - r\sin 2\theta \sin \beta ) \\ r \sin 2\theta \cos \beta + r\cos 2\theta \sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . r \cos \beta - \sin 2\theta . r\sin \beta ) \\ \sin 2\theta .r\cos \beta + \cos 2\theta .r\sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . a - \sin 2\theta .b ) \\ \sin 2\theta .a + \cos 2\theta .b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & - \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya kita peroleh $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & - \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $.
Terbukti yang kita inginkan.

       Demikian pembahasan materi Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang . Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Pembuktian Matriks Pencerminan garis $ y=mx+c $.

Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita belajar tentang "Pencerminan terhadap Garis $y=mx+c$", dimana pengerjaan transformasinya sama seperti rotasi dengan pusat $(0,c)$ dan sudut rotasi $ \theta $ serta $ \tan \theta = m $ sehingga matriks rotasinya adalah $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $ . Nah, pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$ , artinya kita akan mempelajari cara menemukan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$, sebaiknya teman-teman memahami beberapa materi trigonometri yaitu diantaranya "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut", "kesamaan dua buah matriks", dan "Matriks Transformasi Geometri".

Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$
       Adapun matriks pencerminan garis $ y = mx + c $
yaitu : MT $ = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $

Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$
Perhatikan ilustrasi gambar berikut, terdapat titik $A(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $ y = mx + c $ menghasilkan bayangan $A^\prime (a^\prime , b^\prime )$.
Keterangan berdasarkan gambar:
Jari-jari lingkaran adalah $ r $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A(a,b)$ terhadap sumbu mendatar = $ \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap sumbu mendatar = $ \theta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap titik $A(a,b) = \theta - \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh garis $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap $ y = mx + c = \theta - \beta $,
Sudut yang dibentuk oleh titik $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap sumbu mendatar = $ 2\theta - \beta $,

*). Perhatikan segitiga OCA :
Sudut COA adalah $ \beta $ dengan panjang $ OC = a , \, OA = r $, dan $ AC = b $, sehingga :
$ \sin \beta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{OA} = \frac{b}{r} \rightarrow b = r \sin \beta $ .
$ \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{OC}{OA} = \frac{a}{r} \rightarrow a = r \cos \beta $ .

*). Perhatikan segitiga OBA$^\prime$ :
Sudut BOA$^\prime$ adalah $ (2\theta - \beta ) $ dengan panjang $ OB = a^\prime , \, OA^\prime = r $, dan $ BA^\prime = b^\prime $, sehingga :
$ \sin (2\theta - \beta ) = \frac{de}{mi} = \frac{BA^\prime}{OA^\prime} = \frac{b^\prime}{r} \rightarrow b^\prime = r \sin (2\theta - \beta ) $ .
$ \cos (2\theta - \beta ) = \frac{sa}{mi} = \frac{OB}{OA^\prime} = \frac{a^\prime}{r} \rightarrow a^\prime = r \cos (2\theta - \beta ) $ .

*). Rumus trigonometri jumlah atau selisih sudut :
$ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

*). Menentukan hubungan $ A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ dan $ A(a,b) $ :
$ \begin{align} a^\prime & = r \cos (2\theta - \beta ) \\ b^\prime & = r \sin (2\theta - \beta ) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos (2\theta - \beta ) \\ r \sin (2\theta - \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos 2\theta \cos \beta + \sin 2\theta \sin \beta ) \\ r ( \sin 2\theta \cos \beta - \cos 2\theta \sin \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos 2\theta \cos \beta + r\sin 2\theta \sin \beta ) \\ r \sin 2\theta \cos \beta - r\cos 2\theta \sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . r \cos \beta + \sin 2\theta . r\sin \beta ) \\ \sin 2\theta .r\cos \beta - \cos 2\theta .r\sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . a + \sin 2\theta .b ) \\ \sin 2\theta .a - \cos 2\theta .b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya kita peroleh $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $.
Terbukti yang kita inginkan.

       Demikian pembahasan materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c . Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang.

Komposisi Transformasi pada Dilatasi

         Blog Koma - Bentuk komposisi transformasi lainnya yang akan kita bahas yaitu materi Komposisi Transformasi pada Dilatasi, artinya kita akan menerapkan beberapa kali transformasi pada sebuah bangun atau benda dimana semua bentuk transformasinya berupa dilatasi. Dilatasi dalam penghitungannya juga menggunakan "matriks transformasi" yang juga berdasarkan titik pusat atau titik acuannya. Apakah semua matriks transformasinya langsung bisa dikalikan? Ternyata jawabannya tidak, karena dua atau lebih matriks transformasi berordo $ 2 \times 2 $ bisa dikalikan langsung dengan syarat harus memiliki titik pusat yang sama seperti yang sudah dijelaskan dalam artikel "Komposisi Transformasi dengan Matriks".

         Untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Transformasi pada Dilatasi ini, sebaiknya teman-teman pelajari juga materi sebelumnya yaitu "Dilatasi pada Transformasi Geometri", dan "operasi hitung pada matriks" terutama operasi perkalian matriks. Sementara untuk cara penghitungan dalam menentukan bayangan transformasinya, kita gunakan rumus umum transformasi yaitu
$ bayangan \, = matriks \, \times \, awal$.

Perkalian beberapa Matriks Dilatasi
       Misalkan diketahui beberapa matriks dilatasi, hasil perkaliannya sebagai berikut :
$ \left( \begin{matrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_2 & 0 \\ 0 & k_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_3 & 0 \\ 0 & k_3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} k_4 & 0 \\ 0 & k_4 \end{matrix} \right) $
$ = \left( \begin{matrix} k_1 \times k_2 \times k_3 \times k_4 & 0 \\ 0 & k_1 \times k_2 \times k_3 \times k_4 \end{matrix} \right) $
Pengerjaan Komposisi Transformasi pada Dilatasi
       Misalkan suatu benda atau bangun dilakukan komposisi transformasi DIlatasi. Pertama didilatasi $T_1$ yang bersesuaian dengan matriks $ M_1$, dilanjutkan lagi dengan dilatasi $ T_2$ yang bersesuaian dengan matriks $M_2$, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi $T_3$ yang bersesuaian dengan matriks $M_3$. Penulisan komposisinya yaitu :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 . M_2 . M_1 $
(penulisannya dibalik sesuai urutan pengerjaannya).

$\clubsuit $ Menentukan bayangannya :
Jika semua jenis translasinya memiliki titik pusat atau titik acuan yang sama, maka kita bisa mengalikan semua matriks dilatasinya tanpa harus mengerjakan secara satu persatu dengan konsep komposisi matriks pada umumnya yaitu :
bayangan $ = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \, $ awal
*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Catatan :
Jika dilatasi dengan masing-masing titik pusatnya berbeda, maka kita harus mengerjakannya satu persatu.

Contoh Soal Komposisi Transformasi pada Dilatasi :

1). Tentukan bayangan titik A(2,5) jika ditranslasi dengan titik pusat koordinat dan faktor skala 2, kemudian dilanjutkan lagi oleh dilatasi dengan titik pusat yang sama dengan faktor skala $-3$, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi pada titik pusat koordinat serta faktor skala $-1$?

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \, \, (k = -3) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, \, (k = -1) $
*). Titik Pusat adalah pusat koordinat, artinya titik pusatnya ($0,0$).
*). Menentukan bayangan titik A(2,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \times -3 \times 2 & 0 \\ 0 & -1 \times -3 \times 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 12 \\ 30 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $A^\prime (12, 30) . \, \heartsuit $

2). Titik B($-1,2$) didilatasi dengan faktor skala 4, dilanjutkan dilatasi dengan faktor skala $-2$ dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi yang faktor skalanya $ \frac{1}{2} $. Jika titik pusat ketiga dilatasi tersebut sama yaitu ($3, - 5$), maka bayangan titik B adalah ...?

*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \, \, (k = 4) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \, \, (k = -2) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \, \, (k = \frac{1}{2}) $
*). Titik Pusat sama yaitu $(a,b) = (3,-5) $.
*). Menentukan bayangan titik B($-1,2$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 - 3 \\ 2 - (-5) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} \times -2 \times 4 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \times -2 \times 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -4 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -4 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 16 & 0 \\ 0 & -28 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 19 & 0 \\ 0 & -33 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $B^\prime (19, -33) . \, \heartsuit $

3). Persamaan garis $ 2x - 3y = 5 $ didilatasi oleh faktor skala $ - 1 $, dilanjutkan dengan dilatasi oleh faktor skala $ 2 $, dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala 3. Jika titik pusat ketiga dilatasi itu sama yaitu ($-2,1$), maka tentukan bayangan persamaan garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, \, (k = -1) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
$T_3 \rightarrow M_3 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \, \, (k = 3) $
*). Titik Pusat sama yaitu $(a,b) = (-2,1) $.
*). Menentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime $) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x - (-2) \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \times 2 \times -1 & 0 \\ 0 & 3 \times 2 \times -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x + 2 \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x + 2 \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x - 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x - 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime + 2 \\ y^\prime -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6x - 12 \\ -6y + 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh hubungan :
$ x^\prime + 2 = -6x - 12 \rightarrow x = \frac{- x^\prime - 14}{6} $
$ y^\prime -1 = -6y + 6 \rightarrow y = \frac{- y^\prime + 7 }{6} $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{- x^\prime - 14}{6} $ dan $ y = \frac{- y^\prime + 7 }{6} $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x - 3y & = 5 \\ 2 \times \frac{- x^\prime - 14}{6} - 3 \times \frac{- y^\prime + 7 }{6} & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 2 \times (- x^\prime - 14) - 3 \times (- y^\prime + 7) & = 30 \\ -2 x^\prime - 28 + 3 y^\prime - 21 & = 30 \\ -2 x^\prime + 3 y^\prime & = 79 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ -2 x^\prime + 3 y^\prime = 79 $ atau $ -2x + 3y = 79 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ -2x + 3y = 79 . \, \heartsuit $

4). Persamaan lingkaran $ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 $ didilatasi dengan faktor skala 3, lalu dilanjutkan lagi dengan dilatasi faktor skala $ 2 $. Jika titik pusat kedua dilatasi tersebut sama yaitu (0,0), maka tentukan luas bayangan persamaan lingkaran tersebut?

*). Menentukan matriks dilatasinya :
$T_1 \rightarrow M_1 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \, \, (k = 3) $
$T_2 \rightarrow M_2 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
*). Titik Pusat adalah pusat koordinat, artinya titik pusatnya ($0,0$).
*). Menentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 6x \\ 6y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh hubungan :
$ x^\prime = 6x \rightarrow x = \frac{1}{6}x^\prime $
$ y^\prime = 6y \rightarrow y = \frac{1}{6}y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{6}x^\prime $ dan $ y = \frac{1}{6}y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} (x-2)^2 + (y+3)^2 & = 4 \\ ( \frac{1}{6}x^\prime - 2)^2 + (\frac{1}{6}y^\prime +3)^2 & = 4 \\ ( \frac{1}{6}x^\prime - \frac{12}{6})^2 + (\frac{1}{6}y^\prime +\frac{18}{6})^2 & = 4 \\ ( \frac{x^\prime - 12}{6})^2 + (\frac{y^\prime + 18}{6})^2 & = 4 \\ \frac{(x^\prime - 12)^2}{36} + \frac{(y^\prime + 18)^2}{36}) & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ (x^\prime - 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 & = 4 \times 36 \\ (x^\prime - 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 & = 144 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya yaitu $ (x^\prime - 12)^2 + (y^\prime + 18)^2 = 144 $ atau
$ (x - 12)^2 + (y + 18)^2 = 144 $ dengan jari-jari $ r = \sqrt{144} = 12 $.
*). Menentukan luas bayangannya :
Luas bayangan lingkaran $ = \pi r^2 = \pi . 12^2 = 144 \pi \, $ satuan luas.
Jadi, luas bayangan lingkarannya adalah $ 144 \pi . \, \heartsuit $

Cara II untuk soal nomor (4) :
Untuk mencari luas bayangan, bisa menggunakan rumus :
$ \text{Luas bayangannya } = |M_2 . M_1| \times \text{ Luas awal} $
*). Menentukan luas awal lingkaran :
$ (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 \, \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $
Luas awal lingkaran $ = \pi r^2 = \pi . 2^2 = 4 \pi $
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{ Luas bayangannya } & = |M_2. M_1| \times \text{ Luas awal} \\ & = \left| \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \right| \times 4\pi \\ & = \left| \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) \right| \times 4\pi \\ & = (6.6 - 0.0) \times 4\pi \\ & = 36 \times 4\pi \\ & = 144 \pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah $ 144 \pi$.

5). Tentukan bayangan titik D($1,-3$) jika didilatasi oleh faktor skala 2 dengan titik pusat (2,1), dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $-3$ dengan titik pusat ($-3,1$)?

Penyelesaian :
*). Karena titik pusat kedua dilatasi berbeda, maka kita kerjakan satu-satu.
*). Dilatasi pertama : faktor skala 2 dan titik pusat (2,1)
$ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, (k = 2) $
Bayangan titik D($1,-3$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = M_1 \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - 2 \\ -3 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan pertama $ D^\prime (0,-7) $.
*). Dilatasi kedua : faktor skala $-3$ dan titik pusat ($-3,1$)
$ M_2 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \, \, (k = -3) $
Bayangan titik $ D^\prime (0,-7) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime} \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = M_2 \times \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 0 - (-3) \\ -7 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -9 \\ 24 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -12 \\ 25 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan kedua $ D^{\prime \prime} (-12,25) $.
Jadi, bayangan titik D adalah $D^{\prime \prime} (-12,25) . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Komposisi Transformasi pada Dilatasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Rotasi sepusat.

Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah mempelajari materi "Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang. Pencerminan dua garis sembarang yang dimaksud adalah pencerminan terhadap garis $ y = m_1x + c_1 $ dan dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = m_2x + c_2 $. Perlu diperhatikan bahwa, pengerjaan transformasinya bukan satu demi satu melainkan sekaligus menggunakan bentuk komposisi transformasinya.

         Untuk pengerjaan bentuk Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang ini ternyata menggunakan konsep "rotasi pada transformasi geometri". Ini artinya kita membutuhkan titik pusat rotasi dan besarnya sudut putar $ \theta $, serta matriks transformasinya. Komposisi pencerminan dua garis sembarang yaitu garis $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ ditunjukkan oleh ilustrasi gambar seperti berikut dimana titik $A(x,y)$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $.

         Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ yaitu operasi hitung pada matriks, rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, sudut rangkap pada trigonometri, nilai trigonometri sudut-sudut istimewa, invers dan determinan matriks, dan juga materi menentukan gradien suatu garis lurus. Berikut penjelasan cara penghitungannya.

Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
       Perhatikan gambar di atas, titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x+c $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $, dimana pengerjaannya menggunakan konsep rotasi yaitu :
Pusatnya $(a,b)$ diperoleh dari perpotongan kedua garis,
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $
dimana $ m_1 $ adalah gradien garis pertama dan $ m_2$ adalah gradien garis kedua.
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $

*). Pengerjaan menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Untuk pembuktian matriks rotasinya, silahkan teman-teman baca artikel :
Pembuktian matriks pencerminan dua garis sembarang.

Contoh soal Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang :

1). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ y = 3x - 3 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = -\frac{1}{3}x + 7 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ y = 3x - 3 \rightarrow m_1 = 3 $.
Garis kedua : $ y = -\frac{1}{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{3} $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1 $.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
Karena hasil kali gradien kedua garis adalah $ - 1 $ , maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 90^\circ $ (siku-siku / tegak lurus). Sehingga besarnya $ \theta = 90^\circ $ .
Silahkan baca : "Hubungan Dua Garis Lurus".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(90^\circ) & -\sin 2(90^\circ) \\ \sin 2(90^\circ) & \cos 2(90^\circ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x - 3 & = -\frac{1}{3}x + 7 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 9x - 9 & = -x + 21 \\ 9x + x & = 9 + 21 \\ 10x & = 30 \\ x & = \frac{30}{10} = 3 \end{align} $
Persamaan 1 : $ y = 3x - 3 \rightarrow y = 3.3 - 3 = 9 - 3 = 6 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (3,6) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (3,6) $.
Jadi, titik pusatnya $ (3,6) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

2). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 4 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ x + y = -1 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{1} = - 1 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -1 = -2 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2.(-1)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = | -3| = 3 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 3 $ yang bukan dari hasil sudut istimewa, maka kita gunakan rumus sudut rangkap saja untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $.
Diketahui $ \tan \theta = 3 = \frac{3}{1} = \frac{de}{sa} $
sehingga $ de = 3 $ dan $ sa = 1 $.
Dengan pythagoras untuk menentukan sisi miring segitiga siku-sikunya (mi) :
$ mi = \sqrt{de^2 + sa^2 } = \sqrt{3^2 + 1^2 } = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.
Sehingga nilai : $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{3}{\sqrt{10}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
Silahkan baca : "Perbandingan trigonometri segitiga siku-siku".
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ :
$ \cos 2\theta = 2\cos ^2 \theta - 1 = 2 (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 - 1 = \frac{2}{10} - 1 = \frac{1}{5} - 1 = - \frac{4}{5} $
$ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
silahkan baca : "Sudut rangkap (ganda) pada trignometri".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 4 & \\ x + y = -1 & + \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ x + y = -1 \rightarrow 1 + y = -1 \rightarrow y = -2 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (1,-2) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (1,-2) $.
Jadi, titik pusatnya $ (1,-2) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

3). Tentukan bayangan titik A(3,5) jika dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $!

Penyelesaian :
*). Untuk titik pusat dan matriks gabungannya sama dengan contoh soal nomor (2) di atas, sehingga tinggal kita pakai pada soal nomor (3) ini.
Titik pusat : $ (a,b) = (1,-2) $
Matriks : $ MT \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik A(3,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 - 1 \\ 5- (-2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{8}{5} + -\frac{21}{5} \\ \frac{6}{5} + - \frac{28}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} \\ - \frac{22}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} + 1 \\ - \frac{22}{5} - 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{24}{5} \\ - \frac{32}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
Silahkan baca : "Operasi hitung pada matriks".
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime \left( - \frac{24}{5} , - \frac{32}{5} \right) . \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 - 2 $ jika dicerminkan terhadap garis $ 2x - y = 3 $ kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ 3x + y = 7 $!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ 3x + y = 7 \rightarrow m_2 = -\frac{3}{1} = - 3 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -3 = -6 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + 2.(-3)} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = | -1| = 1 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 1 $, maka sudut $ \theta $ yang memenuhi adalah $ \theta = 45^\circ $
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(45^\circ ) & -\sin 2(45^\circ ) \\ \sin 2(45^\circ ) & \cos 2(45^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 3 & \\ 3x + y = 7 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ 3x + y = 7 \rightarrow 3 . 2 + y = 7 \rightarrow 6 + y = 7 \rightarrow y = 1 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (2,1) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (2,1) $.
sehingga, titik pusatnya $ (2,1) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 2 \\ y-1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y + 1 \\ x - 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime - 2 = -y + 1 \rightarrow y = -x^\prime + 3 $
$ y^\prime - 1 = x - 2 \rightarrow x = y^\prime + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = y^\prime + 1 $ dan $ y = -x^\prime + 3 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 2 \\ -x^\prime + 3 & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 - 3 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 5 \\ x^\prime & = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 \end{align} $
Sehingga bayangannya : $ x^\prime = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 $ atau $ x = -(y+1)^2 + 5 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = -(y+1)^2 + 5 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Dilatasi.