Tampilkan posting dengan label suku banyak. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label suku banyak. Tampilkan semua posting

Jumat, 22 Januari 2016

Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak


         Blog Koma - Artikel kali ini akan membahas materi Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak. Untuk menentukan akar-akar persamaan suku banyak, kita akan menggunakan skema horner yang bisa kita pelajari pada materi "Menentukan Nilai Suku Banyak" dan "Operasi Pembagian Suku Banyak". Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak tentu ada kaitannya dengan teorema faktor yang ada pada materi "Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak".

Pengertian Akar-akar Persamaan Suku Banyak
       Jika diketahui suatu suku banyak $ f(x) \, $ dan ($x - a$) adalah faktor dari $ f(x) $, maka $ a \, $ adalah akar dari persamaan $ f(x) \, $ yang memenuhi $ f(a) = 0 $.
Contoh soal akar-akar persamaan suku banyak :
1). Apakah 1 dan $ \, -1 \, $ merupakan akar dari persamaan suku banyak $ 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Misalkan suku banyaknya $ f(x) = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \, $
*). Kita substitusi $ x = 1 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke $ f(x) $.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \\ f(1) & = 2.1^5 - 3.1^2 + 2.1 - 1 \\ & = 2 - 3 + 2 - 1 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 - 3x^2 + 2x - 1 \\ f(-1) & = 2.(-1)^5 - 3.(-1)^2 + 2.(-1) - 1 \\ & = 2.(-1) - 3.(1) - 2 - 1 \\ & = -2 - 3 - 2 - 1 \\ & = -8 \end{align} $
*). Kita peroleh :
$ f(1) = 0 \, $ artinya $ x = 1 \, $ adalah akar dari suku banyaknya.
Karena $ x = 1 \, $ adalah akarnya, maka $ x = 1 \rightarrow x - 1 = 0 \, $ atau ($x - 1$) adalah faktor dari $ f(x) $.
$ f(-1) = -8 \, $ artinya $ x = -1 \, $ bukan akar dari suku banyaknya karena $ f(-1) \neq 0 $ .

Cara Menentukan Akar-akar dan faktor Persamaan Suku Banyak
Misalkan ada persamaan suku banyak
$ ax^n + cx^{n-1} + c_1x^{n-2} + ... +c_{n-1}x + b = 0 \, $
Langkah-langkah menentukan akar-akarnya :
(i). Menentukan akar-akar Rasional yang mungkin diperoleh dari pembagian faktor $ b \, $ dan faktor $ a \, $ atau $ \, \frac{ \text{faktor } b }{\text{faktor } a} $. Jika nilai $ a = 1 \, $ maka akar-akar yang mungkin hanya ditentukan oleh faktor dari $ b \, $ saja.
(ii). Dari akar-akar yang mungkin tersebut, kita substitusi ke bentuk suku banyaknya, jika hasilnya adalah nol maka bilangan tersebut adalah akar pertamanya.
(iii). Dari akar pertamanya tersebut, kita gunakan skema Horner untuk menentukan hasil pembagiannya.
Contoh Soal menentukan akar-akarnya :
2). Tentukan akar-akar dan faktor dari persamaan suku banyak $ \, x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 $.
Penyelesaian :
*). Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \, $.
*). Akar-akar yang mungkin adalah dari faktor dari $ - 6 \, $ yaitu $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $.
Faktor disini maksudnya adalah pembaginya.
*). Kita akan substitusi akar-akar yang mungkin $ \{ \pm 1 , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $ ke suku banyaknya.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 5.1 - 6 \\ f(1) & = 1 + 2 - 5 - 6 = - 8 \\ x = -1 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \\ f(-1) & = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5.(-1) - 6 \\ f(-1) & = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \end{align} $
Karena $ f(-1) = 0 \, $ maka $ x = -1 \, $ adalah akar pertamanya.
*). Kita gunakan skema Horner :
Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \, $ koefisiennya $ 1, \, 2, \, -5, \, -6 $
Akarnya : $ x = -1 \, $ atau faktornya ($x + 1$).
Hasilnya adalah $ x^2 + x - 6 \, $ . Artinya bentuk suku banyak $ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \, $ dapat difaktorkan menjadi
$ \begin{align} x^3 + 2x^2 - 5x - 6 & = 0 \\ (x^2 + x - 6)(x+1) & = 0 \\ (x-2)(x+3)(x+1) & = 0 \end{align} $
Sehingga faktor-faktor dari $ x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0 \, $ adalah $ \, (x - 2), \, (x + 3) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.
*). Menentukan akar-akarnya :
Faktor pertama : $ (x - 2) = 0 \rightarrow x = 2 $
Faktor kedua : $ (x + 3) = 0 \rightarrow x = -3 $
Faktor ketiga : $ (x + 1) = 0 \rightarrow x = -1 $
Jadi, akar-akarnya adalah $ \{ -3, \, -2, \, 2 \} $.

Catatan :
*). Bentuk persamaan kuadrat bisa langsung difaktorkan jika memang bisa difaktorkan.
*). Bentuk $ x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3) \, $
*). Untuk pemfaktoran bentuk persamaan kuadrat, silahkan baca pada artikel "Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat".

3). Jika ($ x + 1$) adalah salah satu faktor dari $ 2x^3 - 3x^2+ px + 2 = 0 \, $, maka tentukan faktor-faktor lainnya.
Penyelesaian :
*). Misal suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2+ px + 2 \, $.
*). Menentukan nilai $ p $,
Karena ($ x + 1$) adalah faktor dari $ f(x) \, $ maka $ f(-1) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = 2x^3 - 3x^2+ px + 2 \\ f(-1) & = 0 \\ 2(-1)^3 - 3(-1)^2+ p(-1) + 2 & = 0 \\ -2 - 3 -p + 2 & = 0 \\ - 3 -p & = 0 \\ p & = -3 \end{align} $
Sehingga suku banyaknya menjadi : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 $
*). Memfaktorkan suku banyak dengan skema horner :
Suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 \, $ koefisiennya $ 2, \, -3, \, -3, \, 2 $
Faktornya ($x + 1$), sehingga akarnya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.
Hasilnya adalah $ 2x^2 - 5x + 2 \, $ . Artinya bentuk suku banyak $ 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 \, $ dapat difaktorkan menjadi
$ \begin{align} 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 & = 0 \\ (2x^2 - 5x + 2)(x+1) & = 0 \\ (2x-1)(x-2)(x+1) & = 0 \end{align} $
Sehingga faktor-faktor dari $ 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2 = 0 \, $ adalah $ \, (2x - 1), \, (x - 2) , \, $ dan $ \, (x + 1) $.
Jadi, faktor-faktor lainnya adalah $ \, (2x - 1), \, $ dan $ \, (x - 2) $ .

Operasi Akar-akar Persamaan Suku Banyak
       Berikut akan kita bahas operasi akar-akar persamaan suku banyak, maksudnya kita akan bahas rumus-rumusnya tanpa menentukan akar-akarnya terlebih dahulu.

Rumus-rumus operasi akar-akar :
*). Suku banyak berderajat 2 : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Suku banyak berderajat 3 : $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2, \, x_3 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} $
*). Suku banyak berderajat 4 : $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, x_2, x_3, x_4 $
penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} $
penjumlahan dua-dua :
$ x_1. x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} $
penjumlahan tiga-tiga :
$ x_1. x_2.x_3 + x_2. x_3.x_4 + x_3. x_4.x_1 + x_4. x_1.x_2 = - \frac{d}{a} $
penjumlahan empat-empat : $ x_1. x_2.x_3 .x_4 = \frac{e}{a} $

Berlaku juga untuk suku banyak berderajat lebih dari 4, dengan pola rumus yang hampir mirip.
Contoh soal operasi akar-akar persamaan suku banyak :
4). Diketahui persamaan suku banyak $ x^3 - 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \, x_1, x_2, x_3 $.
Tentukan nilai :
a). $ x_1 + x_2 + x_3 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $
c). $ x_1. x_2.x_3 $
Penyelesaian :
*). Untuk penyelesaian soal-soal ini, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, langsung saja kita gunakan rumus-rumus operasi akar-akar.
*). Menentukan koefisiennya : $ x^3 - 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ maka $ a = 1, b = -2, c = 5, d = 1 $.
a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = - \frac{-2}{1} = 2 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 $
c). $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} = -\frac{1}{1} = - 1 $

5). Jika 2 adalah salah satu akar persamaan $ \, 2x^4 - 6x^3 + px - 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ , maka tentukan jumlah akar-akarnya.
Penyelesaian :
*). Kita tidak perlu menentukan nilai $ \, p \, $ terlebih dahulu, tapi langsung menggunakan operasi akar-akarnya.
*). Menentukan koefisiennya : $ 2x^4 - 6x^3 + px - 1 = 0 \rightarrow a = 2, b = -6, c = 0, d = p, e = -1 $.
$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - \frac{b}{a} = - \frac{-6}{2} = 3 $
Jadi, jumlah akar-akarnya adalah 3.

5). Diketahui -2 dan 3 adalah akar-akar dari persamaan $ x^5 - 2x^3 + mx^2 + nx - 12 = 0 \, $ . Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar lainnya.
Penyelesaian :
*). Misalkan akar-akar dari persamaan adalah $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \, $ dengan $ x_1 = -2, x_2 = 3 $
*). $ x^5 - 2x^3 + mx^2 + nx - 12 = 0 \rightarrow a = 1, b = 0, c = -2, d = m, e = n, f = -12 $.
*). Karena yang diketahui adalah $ x_1 = -2 \, $ dan $ x_2 = 3 \, $ , maka pertanyaannya :
Jumlah akar-akar lainnya adalah $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $
Hasil kali akar-akar lainnya adalah $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $
*). Kita tidak perlu menentukan semua akar-akarnya terlebih dahulu, tapi langsung menggunakan rumus operasi akar-akarnya.
Jumlah akar-akar lainnya adalah $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = - \frac{b}{a} \\ (-2) + 3 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = - \frac{0}{1} \\ 1 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = 0 \\ x_3 + x_4 + x_ 5 & = -1 \end{align} $
Hasil kali akar-akar lainnya adalah $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $
$ \begin{align} x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = - \frac{f}{a} \\ (-2) . 3 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = - \frac{-12}{1} \\ (-6) . x_3 . x_4 . x_ 5 & = 12 \\ x_3 . x_4 . x_ 5 & = \frac{12 }{-6} = -2 \end{align} $
Jadi, jumlah akar-akar lainnya adalah $ -1 $ dan hasil kali akar-akar lainnya adalah $ -2 $.

6). Diketahui $ x_1, x_2 $, dan $ x_3 $ adalah akar-akar persamaan $ 2x^3 - mx^2 - 18x + 36 = 0 $.
Tentukan: a). $ x_1 + x_2 + x_3 $
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $
c). $ x_1. x_2.x_3 $
d). nilai $ m \, $ dan akar-akarnya jika $ x_2 \, $ adalah lawan dari $ x_1 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan koefisiennya :
$ 2x^3 - mx^2 - 18x + 36 = 0 \, $ maka $ a = 2, b = -m, c = -18, d = 36 $.
a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = - \frac{-m}{2} = \frac{m}{2} \, $ ....pers(i).
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{-18}{2} = -9 \, $ ....pers(ii).
c). $ x_1. x_2.x_3 = - \frac{d}{a} = -\frac{36}{2} = - 18 \, $ ....pers(iii).

d). $ x_2 \, $ adalah lawan dari $ x_1 \, $ maksudnya $ x_2 = -x_1 $.
dari pers(i) :
$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_1 + (-x_1) + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_3 & = \frac{m}{2} \\ m & = 2x_3 \end{align} $
dari pers(ii) :
$ \begin{align} x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ x_1. (-x_1) + (-x_1).x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 - x_1.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 & = -9 \\ x_1^2 & = 9 \\ x_1 & = \pm \sqrt{9} \\ x_1 & = \pm 3 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar dan nilai $ m \, $ dari $ x_2 = -x_1, \, m = 2x_3, \, x_1 = \pm 3 $ .
*). Untuk $ x_ 1 = 3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -3 $.
pers(iii) :
$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow 3. (-3). x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.
$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.
Sehingga nilai $ m = 4, x_1 = 3, x_2 = -3, x_3 = 2 $
*). Untuk $ x_ 1 = -3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -(-3) = 3 $.
pers(iii) :
$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow (-3). 3. x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.
$ m = 2x_3 = 2. 2 = 4 $.
Sehingga nilai $ m = 4, x_1 = -3, x_2 = 3, x_3 = 2 $
Jadi, ada dua jenis nilai akar-akar yang kita peroleh.

Kamis, 21 Januari 2016

Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak


         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan khusus membahas materi Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak. Sesuai dengan judulnya yaitu Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak, maka kita akan lebih memfokuskan pada sisa pembagian dan faktor pada suku banyaknya. Sebenarnya sisa pembagian suatu suku banyak sudah kita bahas pada artikel "Operasi Pembagian Suku Banyak" dimana untuk menentukan sisanya bisa menggunakan dua cara yaitu "cara bersusun" dan "cara skema Horner". Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, sebaiknya baca juga materi "Pengertian Suku Banyak dan Operasinya", dan "Menentukan Nilai Suku Banyak".

Konsep Teorema Sisa pada Suku Banyak
Teorema Sisa 1
       Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($x - k$), maka sisa pembagiannya adalah $ f(k) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x-k} \rightarrow \text{ Sisa } = f(k) \end{align} $.

Teorema Sisa 2
       Jika suku banyak $ f(x) $ dibagi ($ax + b$), maka sisa pembagiannya adalah $ f \left( -\frac{b}{a} \right) $.
atau dapat ditulis : $ \begin{align} \frac{f(x)}{ax+b} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( -\frac{b}{a} \right) \end{align} $.

Teorema Sisa 3
Jika suatu suku banyak $ f(x) $ dibagi $ (x - a)(x - b) $, maka sisanya adalah $ px + q \, $ di mana $ f(a) = pa + q \, $ dan $ f(b) = pb + q $ .
dapat ditulis :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{(x-a)(x-b)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(a) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(b) \end{align} $.

Catatan :
*). Yang disubstitusi ke suku banyaknya adalah akar-akar dari pembaginya dengan cara disamadengankan nol.
teorema sisa 1 : pembaginya ($x-k$), akarnya $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.
teorema sisa 2 : pembaginya ($ax + b$),
akarnya $ ax + b = 0 \rightarrow x = -\frac{b}{a} $.
teorema sisa 3 : pembaginya $ \, (x-a)(x-b)$,
akarnya $ (x-a)(x-b) = 0 \rightarrow x = a \, \text{ atau } \, x = b $.
Contoh Soal Teorema sisa :
1). Tentukanlah sisa pembagian dari $ f(x) = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ dibagi ($x + 2$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 1 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ & = (-2)^3 + 4.(-2)^2 + 6(-2) + 5 \\ & = -8 + 4.4 -12 + 5 \\ & = -8 + 16 -12 + 5 \\ & = 1 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah 1.

*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $.
Koefisien suku banyak : $ x^3 + 4x^2 + 6x + 5 \, $ adalah $ 1, \, 4, \, 6, \, 5 $.
Sehingga sisa pembagiannya adalah 1.

2). Tentukan sisa pembagian dari $ f(x) = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ dibagi ($5x + 1$).
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 2 : $ \begin{align} \frac{f(x)}{5x + 1} \rightarrow \text{ Sisa } = f \left( - \frac{1}{5} \right) \end{align} $
$ \begin{align} f(x) & = 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \\ \text{ Sisa } & = f \left( - \frac{1}{5} \right) \\ & = 5\left( - \frac{1}{5} \right)^3 + 21 \left( - \frac{1}{5} \right)^2 + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = 5\left( - \frac{1}{125} \right) + 21 \left( \frac{1}{25} \right) + 9\left( - \frac{1}{5} \right) - 1 \\ & = - \frac{5}{125} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{9}{5} - 1 \\ & = - \frac{1}{25} + \left( \frac{21}{25} \right) - \frac{45}{25} - 1 \\ & = - \frac{25}{25} - 1 \\ & = - 1 - 1 \\ & = -2 \end{align} $
Sehingga sisa pembagiannya adalah $ - 2 $ .

*). Cara Skema Horner :
Akar pembaginya : $ 5x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{5} $.
Koefisien suku banyak : $ 5x^3 + 21x^2 + 9x - 1 \, $ adalah $ 5, \, 21, \, 9, \, -1 $.
Sehingga sisa pembagiannya adalah $ - 2 $ .

3). Jika $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \, $ dibagi $ x^2 + x - 2 $ , tentukanlah sisa pembagiannya.
Penyelesaian :
*). Dengan teorema sisa 3 :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 2} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-1)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) \end{align} $
*). Karena pembaginya berderajat 2, maka sisa pembagiannya maksimal berderajat 1.
misalkan sisanya : sisa $ = mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = (-2)^3 - 2(-2)^2 + 3(-2) - 1 \\ -2m + n & = -23 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = (1)^3 - 2.(1)^2 + 3(1) - 1 \\ m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 1 & \\ -2m + n = -23 & - \\ \hline 3m = 24 & \\ m = 8 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 1 \rightarrow 8 + n = 1 \rightarrow n = -7 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 8x - 7 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, 8x - 7 $.

Konsep Teorema Faktor pada Suku Banyak
       Jika suku banyak $ f(x) $ suatu suku banyak, maka ($x - k$) merupakan faktor dari $ f(x) $ jika dan hanya jika $ f(k) = 0 $.
Hubungan Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak
       Misalkan suku banyak $ f(x) \, $ dibagi dengan ($ x - k$) memberikan sisa = 0, maka bentuk ($x - k$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) $. Dengan kata lain, jika bentuk ($x-k$) adalah faktor maka sisanya nol atau suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh ($x-k$).
Contoh soal Teoerema Faktor pada suku banyak :
4). Tunjukkan bahwa ($x + 5$) merupakan faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80$.
Penyelesaian :
*). ($x + 5$) adalah faktor dari $ P(x) = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \, $ jika memenuhi $ P(-5) = 0 $.
*). Kita cek apakah $ P(-5) = 0 \, $ atau tidak.
$ \begin{align} P(x) & = x^3 + 4x^2 + 11x + 80 \\ P(-5) & = (-5)^3 + 4(-5)^2 + 11(-5) + 80 \\ & = -125 + 4(25) - 55 + 80 \\ & = -125 + 100 - 55 + 80 \\ & = 0 \end{align} $
Karena nilai $ P(-5) = 0 , \, $ maka benar bentuk ($x+5$) adalah faktor dari $ P(x) $.

5). Jika ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ dengan ($x+1$).
Penyelesaian :
*). ($x - 1$) adalah faktor dari suku banyak $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $, maka berlaku $ f(1) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ f(1) & = 0 \\ a.1^{2017} - b.1^{2015} + 4 & = 0 \\ a - b + 4 & = 0 \\ a - b & = - 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ -a + b & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). $ f(x) = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \, $ dibagi ($x + 1$), maka sisa $ = f(-1) $.
Gunakan pers(i) di atas juga.
$ \begin{align} f(x) & = ax^{2017} - bx^{2015} + 4 \\ \text{sisa } & = f(-1) \\ & = a.(-1)^{2017} - b.(-1)^{2015} + 4 \\ & = a.(-1) - b.(-1) + 4 \\ & = -a + b + 4 \\ & = (-a + b) + 4 \, \, \, \, \, \text{ ........(gunakan pers(i))} \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh ($x+1$) adalah 8.

6). Diketahui $ f(x) \, $ dibagi ($x-1$) bersisa 2 dan $ f(x) \, $ dibagi ($x+2$) bersisa -1. Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = f(1) \end{align} , \, $ dengan sisa 3
artinya $ f(1) = 2 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x+2} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \end{align} , \, $ dengan sisa -1
artinya $ f(-2) = -1 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(1) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(1) \\ m(1) + n & = f(1) \\ m + n & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} m + n = 2 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 3m = 3 & \\ m = 1 & \end{array} $
Pers(ii) : $ m + n = 2 \rightarrow 1 + n = 2 \rightarrow n = 1 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = 1.x + 1 = x + 1 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, x + 1 $.

7). Suku banyak $ f(x) \, $ dibagi dengan $ x^2 - 2x -8 \, $ memberikan sisa $ 2x +3 \, $ dan dibagi dengan $ x^2 + x - 6 \, $ memberikan sisa $ x - 1$ . Tentukan sisa pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 - 2x -8} = \frac{f(x)}{(x+2)(x-4)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(4) \end{align} $
dengan sisa $ (2x +3 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(-2) \rightarrow f(-2) = 2.(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 $.
$ \text{ Sisa } = f(4) \rightarrow f(4) = 2.(4) + 3 = 8 + 3 = 11 $.
$ \begin{align} \frac{f(x)}{x^2 + x - 6} = \frac{f(x)}{(x-2)(x+3)} \rightarrow \text{ Sisa } = f(2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(-3) \end{align} $
dengan sisa $ ( x - 1 ) , \, $ sehingga :
$ \text{ Sisa } = f(2) \rightarrow f(2) = 2 - 1 = 1 $.
$ \text{ Sisa } = f(-3) \rightarrow f(-3) = -3 - 1 = -4 $.
*). pembagian $ f(x) \, $ oleh $ x^2 - 4 = (x+2)(x-2) $, karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya kita misalkan $ mx + n $.
kita akan menentukan nilai $ m $ dan $ n $ dari teorema sisa.
Disini kita hanya menggunakan nilai fungsi $ f(-2) = -1 \, $ dan $ f(2) = 1 \, $ sesuai akar-akar pembaginya.
*. Menyusun persamaan dari $ \text{ Sisa } = f(-2) \, \text{ dan } \text{ Sisa } = f(2) $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(-2) \\ m(-2) + n & = f(-2) \\ -2m + n & = -1 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} \text{ Sisa } & = mx + n \\ \text{ Sisa } & = f(2) \\ m(2) + n & = f(1) \\ 2m + n & = 1 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} 2m + n = 1 & \\ -2m + n = -1 & - \\ \hline 4m = 2 & \\ m = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(ii) : $ 2m + n = 1 \rightarrow 2.(\frac{1}{2} ) + n = 1 \rightarrow n = 0 $.
Sehingga sisanya yaitu :
sisa $ = mx + n = \frac{1}{2}x + 0 = \frac{1}{2}x $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ \, \frac{1}{2}x $.

8). Suku banyak $ Q(2x - 3) \, $ dibagi dengan ($ x - 1 $) memberikan sisa 4.
Tentukan sisa pembagian suku banyak $ P(x) = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \, $ oleh ($x + 1 $).
Penyelesaian :
*). $ \begin{align} \frac{Q(2x-3)}{x-1} \rightarrow \text{ Sisa } = Q(2.1-3) = Q(-1) \end{align} , \, $ dengan sisa 4
artinya $ Q(-1) = 4 $.
*). $ \begin{align} \frac{P(x)}{x+1} \rightarrow \text{ Sisa } = P(-1) \end{align} \, $
dengan nilai $ Q(-1) = 4 , \, $ , maka sisanya :
$ \begin{align} P(x) & = (x^2 - 3x + 4). Q(x) + x^2 + x -2 \\ \text{ Sisa } & = P(-1) \\ & = ((-1)^2 - 3(-1) + 4). Q(-1) + (-1)^2 + (-1) -2 \\ & = (1 + 3 + 4). 4 + 1 -1 -2 \\ & = (8). 4 -2 \\ & = 32 -2 \\ & = 30 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian $ P(x) \, $ oleh ($x + 1 $) adalah 30.

9). Misalkan suku banyak $ P(x) = x^5 + ax^3 + b \, $ dibagi ($x^2 -1$) sisanya adalah ($2x + 1$). Tentukan nilai $ a \, $ dan $ b $.
Penyelesaian :
*). Teorema sisa :
$ P(x) \, $ dibagi $ \, (x^2 - 1) = (x-1)(x+1) \, $ , sisa = $ P(1) \, $ dan sisa $ = P(-1) $.
Sehingga : sisa $ = 2x + 1 $.
sisa = $ P(1) \rightarrow 2.1 + 1 = P(1) \rightarrow P(1) = 3 $
sisa = $ P(-1) \rightarrow 2.(-1) + 1 = P(-1) \rightarrow P(-1) = -1 $
*. Menyusun persamaan dari $ P(1) = 3 \, \text{ dan } P(-1) = -1 $ ,
persamaan pertama :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(1) & = 3 \\ 1^5 + a.1^3 + b & = 3 \\ 1 + a + b & = 3 \\ a + b & = 2 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua :
$ \begin{align} P(x) & = x^5 + ax^3 + b \\ P(-1) & = -1 \\ (-1)^5 + a.(-1)^3 + b & = -1 \\ -1 - a + b & = -1 \\ -a + b & = 0 \\ a & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ a = b \, $ ke pers(i)
pers(i) : $ a + b = 2 \rightarrow b + b = 2 \rightarrow 2b = 2 \rightarrow b = 1 $.
Sehingga nilai $ a = b = 1 $.
Jadi, kita peroleh nilai $ \, a = b = 1 $.

10). Tentukan nilai $ p \, $ agar bentuk pecahan $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $ dapat disederhanakan.
Penyelesaian :
*). Diketahui pecahan : $ \frac{x^3 + 2px^2 + 1}{x^2 - x - 6} \, $
Agar pecahan tersebut bisa disederhanakan, maka pembilangnya $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ harus memiliki faktor yang sama dengan penyebutnya $(x^2 - x - 6) $.
*). Faktor penyebutnya : $ (x^2 - x - 6) = (x + 2)(x-3) \, $ yang juga sebagai faktor dari pembilangnya.
*). Menentukan nilai $ p $
faktor pertama :
$ (x + 2) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(-2) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(-2) & = 0 \\ (-2)^3 + 2p.(-2)^2 + 1 & = 0 \\ -8 + 8p + 1 & = 0 \\ -7 + 8p & = 0 \\ 8p & = 7 \\ p & = \frac{7}{8} \end{align} $
faktor kedua :
$ (x-3) \, $ faktor dari $ f(x) = (x^3 + 2px^2 + 1) \, $ sehingga $ f(3) = 0 $.
$ \begin{align} f(x) & = (x^3 + 2px^2 + 1) \\ f(3) & = 0 \\ (3)^3 + 2p.(3)^2 + 1 & = 0 \\ 27 + 18p + 1 & = 0 \\ 28 + 18p & = 0 \\ 18p & = -28 \\ p & = \frac{-28}{18} = - \frac{14}{9} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \frac{7}{8} \, $ atau $ \, p = - \frac{14}{9} $.

Rabu, 20 Januari 2016

Operasi Pembagian Suku Banyak


         Blog Koma - Sebelumnya pada artikel "Pengertian Suku Banyak dan Operasinya" telah kita bahas operasi suku banyak yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Pada artikel ini kita akan melanjutkan operasi suku banyak yaitu Operasi Pembagian Suku Banyak yang tentu cara pengerjaannya akan lebih rumit dari operasi sebelumnya yang sudah dibahas. Algoritma pembagian ada dua cara yang akan dibahas di sini yaitu pembagian cara bersusun dan pembagian cara Horner.

Derajat Pembagian Suku Banyak
       Misalkan ada suku banyak $ F(x) \, $ berderajat $ m \, $ dibagi dengan suku banyak $ P(x) \, $ berderajat $ n \, $ akan memberikan hasil bagi $ H(x) \, $ yang berderajat $ m - n \, $ dan sisanya $ S(x) \, $ yang berderajat maksimal $ n - 1 $.

Bentuk pembagiannya adalah :
$ \frac{F(x)}{P(x)} = H(x) + \frac{S(x)}{P(x)} \, $ atau dengan mengalikan $ P(x) \, $,
kita diperoleh : $ F(x) = P(x).H(x) + S(x) $.
Pembagian Suku Banyak Cara Bersusun
       Misalkan, suku banyak $ F(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ dibagi oleh $ (x - k)$. Dengan pembagian cara susun, maka dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.

Catatan :
*). Bagi pangkat tertingginya terlebih dahulu.
*). Jika pembaginya pangkat satu ($x-k$), maka sisanya adalah konstanta.
*). Pembagian cara bersusun ini bisa digunakan untuk semua jenis pembagian suku banyak.
Contoh soal pembagian suku banyak cara bersusun :
1). Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
Pembagian cara bersusun :
Keterangan Proses perhitungan :
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dapat ditulis $ 2x^3 + 4x^2 + 0x - 18 \, $ agar mudah dalam perhitungan.
*). Baris 1 : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 2x^3 \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 2x^2 $ .
*). Baris 2 : $ 2x^2 - 6x^2 \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 2x^2 \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x - 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 1 dan baris 2.
*). Baris 3 : $ 10x^2 + 0x - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 10x^2 \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 10x $ .
*). Baris 4 : $ 10x^2 - 30x \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 10x \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 5 : $ 30x - 18 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 3 dan baris 4.
*). Baris 5 : $ 30x - 18 \, $ dibagi dengan $ x - 3 \, $, pembagian dilakukan pangkat tertinggi $ 30x \, $ dengan $ x \, $ hasilnya $ 30 $ .
*). Baris 6 : $ 30x - 90 \, $ diperoleh dari perkalian hasil $ 30 \, $ dengan $ x - 3 $.
*). Baris 7 : $ 72 \, $ diperoleh dengan mengurangkan baris 5 dan baris 6.
Karena baris 7 : $ 72 \, $ pangkat variabelnya sudah dibawah pangkat pembaginya ($x -3$), maka pembagian dihentikan.

Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.
Analisa derajatnya :
Suku banyak : $ F(x)=2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ berderajat 3,
Pembaginya : $ P(x) = x - 3 \, $, berderajat 1.
Hasil baginya : $ H(x) = 2x^2 + 10x + 30 \, $ berderajat $ 3 -1 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = 72 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.
Dapat kita susun menjadi :
$ \begin{align} F(x) & = P(x).H(x) + S(x) \\ 2x^3 + 4x^2 - 18 & =( x - 3) .(2x^2 + 10x + 30) + 72 \end{align} $

b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara bersusun :
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x - 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.

2). Tentukan hasil dan sisa pembagian dari suku banyak $ x^4 + x^2 - 16 \, $ oleh $ x^2 + 3x + 2 \, $?
Penyelesaian :
$ x^4 + x^2 - 16 \, $ dibagi $ x^2 + 3x + 2 $.
Pembagian cara bersusun :
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ x^2 - 6 x + 17 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, -63x-50 $.

*). Analisa derajatnya :
Suku banyak : $ F(x)=x^4 + x^2 - 16 \, $ berderajat 4,
Pembaginya : $ P(x) = x^2 + 3x + 2 \, $, berderajat 2.
Hasil baginya : $ H(x) = x^2 - 6 x + 17 \, $ berderajat $ 4 - 2 = 2 $ .
Sisa pembagiannya : $ S(x) = -63x-50 \, $ , berderajat dibawah derajat pembaginya.

Pembagian Suku Banyak Cara Skema Horner dengan pembagi ($x-k$)
       Jika terdapat suku banyak $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ dibagi ($x - k$) menghasilkan $ h(x) $ sebagai hasil bagi dan $ f(k) $ sebagai sisa pembagian, sedemikian hingga $ f(x) = (x - k) h(x) + f(k)$.
Skema Hornernya yaitu :
Keterangan :
*). Sisa pembagiannya : $ f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d $.
*). Hasil baginya : $ H(x) = ax^2 + (ak+b)x + (ak^2 + bk+ c) \, $ dengan koefisiennya $ a, \, (ak+b), \, (ak^2 + bk+ c) $.
*). untuk pengisian akarnya, kita sama dengankan nol bentuk pembaginya, sehingga $ x - k = 0 \rightarrow x = k $.

*). Untuk pengisian lainnya pada cara skema horner, silahkan baca materinya pada artikel "Menentukan Nilai Suku Banyak".
Contoh soal pembagian suku banyak cara skema horner.
3). Pada soal nomor 1 di atas kita akan menggunakan cara skema horner.
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut.
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ dibagi $ x - 3$.
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ x - 3 = 0 \rightarrow x = 3 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + 4x^2 - 18 \, $ adalah $ 2, \, 4, \, 0, \, -18 $.
Proses penghitungan :
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + 10x + 30 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 72 $.

b). $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ dibagi $ x + 1 $.
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + 3x^2 + 5 \, $ adalah $ 2, \, 3, \, 0, \, 5 $.
*). Sehingga kita peroleh :
Hasilnya : $ 2x^2 + x - 1 \, $ dan sisa pembagiannya $ \, 6 $.

Pembagian Suku Banyak Cara Skema Horner dengan pembagi ($ax+b$)
       Suku banyak $ f(x) $ dibagi ($x - k$) menghasilkan $ h(x) $ sebagai hasil bagi dan $ f(k) $ sebagai sisa pembagian, sedemikian sehingga $ f(x) = (x - k) h(x) + f(k) $ . Pembagian suku banyak $ f(x) $ dibagi $ (ax + b) $ , dapat diubah menjadi bentuk $ f(x) $ dibagi $ x - \left( - \frac{b}{a} \right) \, $ . Berarti, nilai $ k = - \frac{b}{a} $ , sehingga pada pembagian suku banyak $ f(x) $ tersebut dapat dilakukan perhitungan sebagai berikut.
$ \begin{align} f(x) & = (x - k) . h(x) + f(k) \\ & = \left( x - \left( - \frac{b}{a} \right) \right) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ & = \left( x + \frac{b}{a} \right) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ & = \frac{1}{a}( ax + b) . h(x) + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = ( ax + b) . \frac{h(x)}{a} + f \left( - \frac{b}{a} \right) \\ f(x) & = P(x). H(x) + S(x) \end{align} $

Sehingga kita peroleh :
Pembagi : $ P(x) = (ax + b) $,
Hasil bagi : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} $
dan sisa : $ S(x) = f \left( - \frac{b}{a} \right) $ .
Contoh soal pembagian suku banyak skema horner bentuk $ (ax+b)$ :
4). Tentukanlah hasil bagi dan sisanya jika memakai cara horner.
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ dibagi $ (2x - 1) $
b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ dibagi $ (2x - 1) $
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ 2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + x^2 + 5x - 1 \, $ adalah $ 2, \, 1, \, 5, \, -1 $.
*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 + 2x + 6 \, $
sehingga hasilnya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 + 2x + 6}{2} = x^2 + x + 3 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 2 $.

b). $ f(x) = 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ dibagi $ (2x + 3) $
Pembagian cara skema horner :
Akar pembaginya : $ 2x + 3 = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \, $ dengan $ a = 2 $.
Koefisien suku banyak : $ 2x^3 + x^2 + x + 10 \, $ adalah $ 2, \, 1, \, 1, \, 10 $.
*). Kita peroleh : $ h(x) = 2x^2 - 2x + 4 \, $
sehingga hasilnya : $ H(x) = \frac{h(x)}{a} = \frac{2x^2 - 2x + 4}{2} = x^2 - x + 2 $.
dan sisa pembagiannya $ \, 4 $.

Catatan :
*). Untuk pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat lebih dari 1, sebaiknya menggunakan pembagian cara bersusun saja. Pada artikel lain akan kita bahas tentang pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat lebih dari 1 baik bisa difaktorkan atau tidak pembaginya.

Selasa, 19 Januari 2016

Menentukan Nilai Suku Banyak


         Blog Koma - Setelah kita mengenal bentuk umum suku banyak yang kita pelajari pada materi "Pengertian Suku Banyak dan Operasinya", selanjutnya kita akan mempelajari bagaimana cara Menentukan Nilai Suku Banyak. Ada dua cara yang bisa kita gunakan dalam Menentukan Nilai Suku Banyak yaitu cara substitusi dan Cara Skema Horner.

Cara Substitusi
       Misalkan ada suku banyak
$ \, f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1x + a_0. \, $ Jika nilai $ x $ diganti $ k $, maka nilai suku banyak $ f(x) $ untuk $ x = k $ adalah
$ f(k) = a_nk^n + a_{n-1}k^{n-1}+ a_{n-2}k^{n-2} + ... + a_1k + a_0. $
Contoh nilai suku banyak cara substitusi :
1). Hitunglah nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.
a). $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \, $ untuk $ x = 1 $.
b). $ g(x) = 2x^4 - 5x^3 + 1 \, $ untuk $ x = 2 $.
Penyelesaian :
a). $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \, $ untuk $ x = 1 $.
Substitusi langsung $ x = 1 \, $ ke suku banyak $ f(x) $ ,
$ \begin{align} f(x) & = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \\ f(1) & = 1^3 - 2.1^2 + 3.1 + 5 \\ & = 1 - 2 + 3 + 5 \\ & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 5 \, $ untuk $ x = 1 \, $ adalah 7.

b). $ g(x) = 2x^4 - 5x^3 + 1 \, $ untuk $ x = 2 $.
Substitusi langsung $ x = 2 \, $ ke suku banyak $ f(x) $ ,
$ \begin{align} g(x) & = 2x^4 - 5x^3 + 1 \\ g(2) & = 2.2^4 - 5.2^3 + 1 \\ & = 2.16 - 5.8 + 1 \\ & = 32 - 40 + 1 \\ & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai suku banyak $ g(x) = 2x^4 - 5x^3 + 1 \, $ untuk $ x = 2 \, $ adalah $ -7 $.

Cara Skema Horner
       Misalkan suku banyak $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \, $ . Jika kita ingin menentukan nilai suku banyak untuk $ x = k \, $, maka nilai suku banyaknya adalah $ f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d \, $ yang dapat dihitung dengan menggunakan skema Horner atau disebut juga cara Sintetik.

Keterangan :
*). Baris 1 : diisi dengan koefisien dari setiap suku yang diurut dari pangkat tertinggi. Jika ada suku dari pangkat terurut yang tidak ada, maka diisi dengan nol.
*). Baris 1 dijumlahkan dengan baris 2 dihasilkan baris 3.
*). Baris 3 pada kolom pertama (paling kiri yaitu nilai $ a \, $) diperoleh dengan langsung memindahkan nilai kolom pertama baris 1.
*). nilai $ ak \, $ (baris 2) diperoleh dari perkalian $ a \, $ (kolom pertama baris 3) dengan $ k \, $.
*). nilai $ ak + b \, $ (baris 3) diperoleh dari penjumlahan baris 1 dan baris 2 kolom 2.
*). nilai $ ak^2 + bk \, $ (baris 2) diperoleh dari perkalian $ ak + b \, $ (kolom 2 baris 3) dengan $ k \, $.
*). nilai $ ak^2 + bk + c \, $ (baris 3) diperoleh dari penjumlahan baris 1 dan baris 2 kolom 3.
*). begitu seterusnya.
Contoh soal nilai suku banyak dengan skema horner :
2). Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
a). $ f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 4 \, $ untuk $ x = 5 $
b). $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 9x + 12 \, $ untuk $ x = \frac{1}{2} $
Penyelesaian :
*). Kita akan menggunakan cara skema horner :
a). $ f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 4 \, $ untuk $ x = 5 $
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) \, $ untuk $ x = 5 \, $ adalah 186.

b). $ f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 9x + 12 \, $ untuk $ x = \frac{1}{2} $
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) \, $ untuk $ x = \frac{1}{2} \, $ adalah 16.

3). Hitunglah nilai suku banyak $ f(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5 \, $ untuk $ x = 2 $.
Penyelesaian :
*). Kita menggunakan skema Horner.
Koefisien yang kita gunakan adalah :
Suku dengan variabel pangkat 3 : $ \, 2x^3 \, $ koefisiennya 2.
Suku dengan variabel pangkat 2 : $ \, 7x^2 \, $ koefisiennya 7.
Suku dengan variabel pangkat 1 : tidak ada sehingga koefisiennya 0.
Suku dengan variabel pangkat 0 (suku tetap) : $ -5 \, $ langsung kita tulis $ -5 $ .
Jadi, nilai suku banyak $ f(x) \, $ untuk $ x = 2 \, $ adalah 39.

Catatan :
Untuk perbandingan hasilnya, silahkan coba dengan cara substitusi langsung.

Senin, 18 Januari 2016

Pengertian Suku Banyak dan Operasinya


         Blog Koma - Pada artikel ini kita membahas materi Pengertian Suku Banyak dan Operasinya. Secara umum sub materi yang akan kita pelajari pada suku banyak yaitu : "pengertian suku banyak", "operasi-operasi pada suku banyak seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian", "teorema sisa dan teorema faktor", dan "akar-akar persamaan suku banyak".

Pengertian Suku Banyak
       Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat yang terdiri dari suku-suku. Suku banyak dalam $ x $ berderajat $ n $ dinyatakan dengan:
              $ \begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1x + a_0. \end{align} $

Keterangan :
*). $ n = \, $ derajat suku banyak dengan $ n \, $ adalah bilangan cacah ,
*). $ a_n, a_{n-1},...,a_1 \, $ adalah koefisien suku banyak dengan $ \, a_n \neq 0 $ ,
*). $ a_nx^n \, $ adalah suku pertama ,
*). $ a_{n-1}x^{n-1} \, $ adalah suku kedua ,
dan seterusnya.
*). $ a_0 \, $ adalah suku tetap

Contoh soal suku banyak :
1). Dari bentuk suku banyak berikut ini, tentukan derajatnya, suku dan koefisiennya, dan suku tetapnya.
a). $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 $
b). $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 $
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 $
Bentuk $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 \, $ berderajat 3 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : $ 2x^3 \, $ , koefisien dari $ x^3 \, $ adalah 2.
Suku kedua : $ - 5x^2 \, $ , koefisien dari $ x^2 \, $ adalah $ -5 $.
Suku ketiga : $ x \, $ , koefisien dari $ x \, $ adalah $ 1 $.
Suku keempat : $ - 7 \, $ , dengan -7 adalah suku tetapnya.

b). $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 $
Bentuk $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 \, $ berderajat 9 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : $ 7x^9 \, $ , koefisien dari $ x^9 \, $ adalah 7.
Suku kedua : $ 2x^3 \, $ , koefisien dari $ x^3 \, $ adalah $ 2 $.
Suku ketiga : $ - 3x \, $ , koefisien dari $ x \, $ adalah $ -3 $.
Suku keempat : $ 2 \, $ , dengan 2 adalah suku tetapnya.

Operasi-operasi pada Suku Banyak
       Operasi-operasi pada suku banyak yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Hanya saja yang akan dibahas pada artikel ini adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.

Misalkan ada suku banyak $ f(x) \, $ berderajat $ m \, $ dan $ \, g(x) \, $ berderajat $ n $ :
*). Operasi penjumlahan :
       Operasi penjumlahan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. $ f(x) + g(x) \, $ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m \, $ atau $ n $.

*). Operasi pengurangan :
       Operasi pengurangan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. $ f(x) - g(x) = f(x) + (-g(x)) \, $ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m \, $ atau $ n $.

*). Operasi penjumlahan :
       Operasi perkalian dilakukan pada semua suku-suku yang ada. $f(x) \times g(x) \, $ adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan ($m + n$).

Contoh soal operasi-operasi pada suku banyak :
2). Diketahui suku banyak $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 5 \, $ dan $ \, g(x) = x^2 + 5x - 3 $.
Tentukanlah hasil dari :
a). $ f(x) + g(x) $,
b). $ f(x) - g(x) $,
c). $ f(x) \times g(x) $ .
Penyelesaian :
a). $ f(x) + g(x) $,
$ \begin{align} f(x) + g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) + (x^2 + 5x - 3) \\ & = x^3 + (-2x^2 + x^2) + 5x + (5 - 3) \\ & = x^3 + (-x^2) + 5x + 2 \\ & = x^3 -x^2 + 5x + 2 \end{align} $
b). $ f(x) - g(x) $,
$ \begin{align} f(x) - g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) - (x^2 + 5x - 3) \\ & = (x^3 - 2x^2 + 5) - x^2 - 5x + 3 \\ & = x^3 + (-2x^2 - x^2) - 5x + (5 + 3) \\ & = x^3 + (-3x^2) - 5x + 8 \\ & = x^3 -3x^2 - 5x + 8 \end{align} $
c). $ f(x) \times g(x) $ .
Ingat sifat eksponen : $ a^m . a^n = a^{m+n} $
$ \begin{align} f(x) \times g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) \times (x^2 + 5x - 3) \\ & = x^3(x^2 + 5x - 3) - 2x^2(x^2 + 5x - 3) + 5(x^2 + 5x - 3) \\ & = x^3.x^2 + x^3.5x - x^3.3 - 2x^2.x^2 - 2x^2.5x + 2x^2.3 + 5.x^2 + 5.5x - 5.3 \\ & = x^5 + 5x^4 - 3x^3 - 2x^4 - 10x^3 + 6x^2 + 5x^2 + 25x - 15 \\ & = x^5 + (5x^4 - 2x^4) +( - 3x^3 - 10x^3 ) + (6x^2 + 5x^2) + 25x - 15 \\ & = x^5 + 3x^4 +( - 13x^3 ) + 11x^2 + 25x - 15 \\ & = x^5 + 3x^4 - 13x^3 + 11x^2 + 25x - 15 \end{align} $

3). Diketahui suku banyak $ f(x) = (2x + a)(x+b) \, $ dan $ \, g(x) = cx^2 + 3x - 2 \, $, dengan $ a, b, c \, $ adalah bilangan bulat. Jika $ f(x) = g(x) \, $ , maka tentukan nilai $ a + b + c $.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan dari $ f(x) = g(x) $.
$ \begin{align} f(x) & = g(x) \\ (2x + a)(x+b) & = cx^2 + 3x - 2 \\ 2x^2 + 2bx + ax + ab & = cx^2 + 3x - 2 \\ 2x^2 + (2b+a)x + ab & = cx^2 + 3x - 2 \end{align} $
kita samakan berdasarkan suku-suku yang sejenis, kita peroleh :
$ 2x^2 = cx^2 \rightarrow c = 2 $.
$ (2b+a)x = 3x \rightarrow 2b + a = 3 \rightarrow a = 3 - 2b \, $ ....pers(i)
$ ab = -2 \, $ ....pers(ii) .
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ab & = -2 \\ (3 - 2b)b & = -2 \\ 3b - 2b^2 & = -2 \\ 2b^2 - 3b - 2 & = 0 \\ (2b + 1)(b - 2) & = 0 \\ b = -\frac{1}{2} \vee b & = 2 \end{align} $
yang memenuhi adalah $ b = 2 $.
pers(i) : $ a = 3 - 2b = 3 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $.
Sehingga nilai $ a + b + c = -1 + 2 + 2 = 3 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 3 $.