Tampilkan postingan dengan label statistika. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label statistika. Tampilkan semua postingan

Menentukan Frekuensi Interval Kelas Data Berkelompok

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Frekuensi Interval Kelas Data Berkelompok. Menentukan frekuensi di sini maksudnya kita akan menentukan besarnya atau banyaknya frekuensi pada interval kelas tertentu. Misalkan, ada data berat badan dengan interval kelas $ 20 - 26 \, $ dengan frekuensi 15 (ada 15 orang yang berat badannya antara 20 sampai 26 kg), kita akan menetukan banyaknya frekuensi untuk berat badan dibawah 24 kg (maksudnya banyak orang yang berat badannya dibawah 24 kg pada interval $ 20 - 26 \, $). Masalah ini akan kita bahas lebih mendalam pada artikel ini.

         Untuk materi Menentukan Frekuensi Interval Kelas Data Berkelompok , kita harus bisa menentukan tepi bawah dan batas bawah yang bisa dibaca pada artikel "Statistika : Penyajian Data".

Cara Menentukan Frekuensi Interval Kelas Data Berkelompok
       Untuk menentukan banyaknya frekuensi, kita menggunakan perbandingan.
Misalkan ada data paka interval kelas tertentu yaitu : $ BB - BA \, $ dengan frekuensi $ f_1 $ .
Misalkan ada nilai $ x \, $ yang ada pada interval tersebut ( $ BB \leq x \leq BA $ ), maka banyaknya frekuensi :
*). nilai kurang dari $ x \, $ dengan frekuensi $ f_k \, $ yang diperoleh dari :
              $ \begin{align} \frac{f_k}{f_1} = \frac{x-TB}{c} \end{align} $
*). nilai lebih dari $ x \, $ dengan frekuensi $ f_l \, $ yang diperoleh dari :
              $ \begin{align} \frac{f_l}{f_1} = \frac{TA - x}{c} \end{align} $

Keterangan :
BB = Batas Bawah,
BA = Batas Atas,
TB = Tepi Bawah = $ BB - 0,5 $
TA = Tepi Atas = $ BA + 0,5 $
$ c = \, $ panjang interval kelas = $ TA - TB \, $ atau
$ c = \, $ panjang interval kelas = $ BA - BB + 1 $

Catatan :
Jika hasil perhitungan adalah bilangan desimal, maka kita lakukan pembulatan terbaik yaitu untuk angka desimal pertama kurang dari 5 kita bulatkan kebawah dan angka desimal lebih besar sama dengan 5 kita bulatkan keatas. Misalkan :
Angka 3,44 dibulatkan menjadi 3
Angka 3,45 dibulatkan menjadi 3
Angka 3,49 dibulatkan menjadi 3
Angka 3,5 dibulatkan menjadi 4
Angka 3,51 dibulatkan menjadi 4
Angka 3,51 dibulatkan menjadi 4
Angka 3,69 dibulatkan menjadi 4

Untuk lebih memahami maksud rumus di atas, kita langsung saja perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal :
1). Perhatikan data tinggi badan anak-anak berikut ini.
Tentukan banyak anak yang memiliki tinggi badan kurang dari 140 cm.
Penyelesaian :
*). Tinggi badan 140 cm ada pada interval kelas $ 137 - 145 $.
Panjang kelasnya : $ c = 145 - 137 + 1 = 9 $
Tepi Bawah : $ TB = 137 - 0,5 = 136,5 $
frekuensi pada kelas ini : $ f_1 = 10 $
Nilai $ x = 140 $.
*). Banyak anak pada kelas ini yang tingginya kurang dari 140 cm :
$ \begin{align} \frac{f_k}{f_1} & = \frac{x-TB}{c} \\ \frac{f_k}{10} & = \frac{140 - 136,5}{9} \\ \frac{f_k}{10} & = \frac{3,5}{9} \\ f_k & = \frac{3,5}{9} \times 10 \\ f_k & = \frac{35}{9} \\ f_k & = 3,89 \, \, \, \, \text{(bulat terbaik)} \\ f_k & = 4 \end{align} $
Artinya pada interval kelas $ 137 - 145 \, $ yang tinggi badanya kurang dari 140 cm ada 4 anak.
*). Sehingga total tinggi badan anak yang kurang dari 140 cm adalah
interval kelas $ 119 - 127 \, $ ada 3 anak (frekuensinya),
interval kelas $ 128 - 136 \, $ ada 6 anak (frekuensinya),
interval kelas $ 137 - 145 \, $ ada 4 anak (frekuensinya),
Total = $ \, 3 + 6 + 4 = 13 \, $ anak.
Jadi, ada 13 anak yang memiliki tinggi badan kurang dari 140 cm. Berarti sisanya tinggi badan lebih dari 140 cm.

2). Berikut adalah nilai ulangan matematika dari 40 siswa kelas XI.
a). Tentukan banyak siswa yang memperoleh nilai lebih dari 72.
b). Tentukan banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari 72.
c). Jika banyak siswa yang lulus adalah 25 dengan nilai terbaik, maka tentukan nilai terendah batas kelulusannya.
Penyelesaian :
a). nilai 72 ada pada interval kelas $ 70 - 79 $.
Panjang kelasnya : $ c = 79 - 70 + 1 = 10 $
Tepi Atas : $ TA = 79 + 0,5 = 79,5 $
frekuensi pada kelas ini : $ f_1 = 10 $
Nilai $ x = 72 $.
*). Banyak siswa yang memperoleh nilai lebih dari 72 :
$ \begin{align} \frac{f_k}{f_1} & = \frac{TA - x}{c} \\ \frac{f_k}{10} & = \frac{79,5 - 72}{10} \\ \frac{f_k}{10} & = \frac{7,5}{9} \\ f_k & = 7,5 \, \, \, \, \text{(bulat terbaik)} \\ f_k & = 8 \end{align} $
Artinya pada interval kelas $ 70 - 79 \, $ yang nilainya lebih dari 72 ada 8 siswa.
*). Sehingga total nilai yang lebih dari 72 adalah
interval kelas $ 70 - 79 \, $ ada 8 siswa (frekuensinya),
interval kelas $ 80 - 89 \, $ ada 4 siswa (frekuensinya),
interval kelas $ 90 - 99 \, $ ada 3 siswa (frekuensinya),
Total = $ \, 8 + 4 + 3 = 15 \, $ siswa.
Jadi, ada 15 siswa yang nilainya lebih dari 72.

b). Banyak siswa yang nilainya kurang dari 72 adalah $ \, 40 - 15 = 25 \, $ siswa.

c). Yang lulus ada 25 orang dengan nilai terbaik, berarti yang lulus dari siswa dengan nilai terbaik :
interval kelas $ 90 - 99 \, $ ada 3 siswa (frekuensinya),
interval kelas $ 80 - 89 \, $ ada 4 siswa (frekuensinya),
interval kelas $ 70 - 79 \, $ ada 10 siswa (frekuensinya),
totalnya $ \, = 3 + 4 + 10 = 17 \, $ .
Dari ketiga kelas terbaik ini, baru ada 17 siswa, padahal yang diminta 25 siswa sehingga masih kurang $ \, 25 - 17 = 8 \, $ siswa yang bisa diambil dari interval kelas $ \, 60 - 69 \, $ dengan 8 nilai tertinggi.
*). 8 siswa yang lulus ada pada interval kelas $ 60 - 69 $.
Panjang kelasnya : $ c = 69 - 60 + 1 = 10 $
Tepi Atas : $ TA = 69 + 0,5 = 69,5 $
frekuensi pada kelas ini : $ f_1 = 14 $
Yang lulus ada : $ f_k = 8 $
Nilai $ x \, $ yang akan kita cari.
*). Menentukan nilai $ x \, $ sebagai nilai terendah :
$ \begin{align} \frac{f_k}{f_1} & = \frac{TA - x}{c} \\ \frac{8}{14} & = \frac{69,5 - x}{10} \\ \frac{4}{7} & = \frac{69,5 - x}{10} \\ 4 \times 10 & = (69,5 - x) \times 7 \\ 40 & = 486,5 - 7x \\ 7x & = 486,5 - 40 \\ 7x & = 446,5 \\ x & = \frac{446,5}{7} \\ x & = 63,79 \end{align} $
Jadi, nilai terendah yang lulus adalah dengan nilai 63,79 dari 25 siswa yang lulus dengan nilai terbaik.

Statistika : Perubahan Data

         Blog Koma - Perubahan Data sering terjadi pada statistika, terutama yang berkaitan dengan pengukuran data seperti "ukuran pemusatan data", "ukuran letak data", dan "ukuran penyebaran data". Perubahan data yang dimaksud adalah setiap data yang ada nilainya dirubah dengan menambahkan, mengurangkan, mengalikan, atau membagi setiap data. Dengan kata lain setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu. Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi "Statistika Secara Umum".

Perubahan Data secara tidak beraturan
       Perubahan data secara tidak beraturan yang dimaksud adalah setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu yang berbeda-beda setiap datumnya. Untuk perubahan data secara tidak beraturan, biasanya ada kaitannya dengan barisan dan deret aritmetika atau geometri, terutama yang berkaitan dengan jumlah $ n $ suku pertamanya.
Rumus dasar jumlah $ n $ suku pertama deret :
Deret aritmetika : $ \begin{align} s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ b = \, $ beda, $ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = .... $
Deret Geometri : $ \begin{align} s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \end{align} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio, $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = .... $

Contoh :
1). Diketahui 10 data ulangan matematika $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ dengan rata-ratanya $ a $ . Jika data diubah menjadi $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ tentukan nilai rata-rata baru dari data tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ adalah $ a $
$ \begin{align} \overline{x} & = a \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10}}{10} & = a \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 + 1, x_2 + 3, x_3 + 5, x_4 + 7, .... , \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1+1)+(x_2+3)+(x_3+5)+ ... . +(x_{10} + ...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})+(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_{10})}{10} + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{(1 + 3 + 5 + 7 +...) }{10} \\ & = a + \frac{s_{10} \, \text{ deret aritmetika} }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{10}{2}(2.1 + (10-1).2) }{10} \\ & = a + \frac{ \frac{\not{10}}{2}(2 + 9.2) }{\not{10}} \\ & = a + \frac{1}{2}(2 + 18) \\ & = a + \frac{1}{2}(20) \\ & = a + 10 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ a + 10 $

2). Suatu data yang terdiri dari 6 datum $ x_1, x_2, ...x_6 \, $ mempunyai rata-rata $ b \, $ . Jika setiap data diubah menjadi $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ , tentukan rata-rata barunya !
Penyelesaian :
*). Diketahui rata-rata data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_6 \, $ adalah $ b $
$ \begin{align} \overline{x} & = b \\ \frac{x_1+x_2+x_3+ ... +x_6}{6} & = b \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menentukan rata-rata data barunya $ x_1 - 1, x_2 - 2, x_3 - 4, ..., x_6 - 32 \, $ dengan menggunakan pers(i) juga
$ \begin{align} \overline{x}_\text{baru} & = \frac{(x_1-1)+(x_2-2)+(x_3-4)+ ... . +(x_6 -32) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)+((-1) + (-2) + (-4) +... + (-32)) }{6} \\ & = \frac{(x_1+x_2+x_3+ ... +x_6)}{6} + \frac{-(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{(1 + 2 + 4 +...+32) }{6} \\ & = b - \frac{s_{6} \, \text{ deret geometri} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{1(2^6 - 1)}{2-1} }{6} \\ & = b - \frac{ \frac{(64 - 1)}{1} }{6} \\ & = b - \frac{63}{6} \\ & = b - 10\frac{1}{2} \\ & = b - 10,5 \end{align} $
Jadi, rata-rata baru data tersebut adalah $ b - 10,5 $

Perubahan Data secara beraturan
       Perubahan data secara beraturan yang dimaksud adalah setiap data dioperasikan ($+,-,\times , :$) dengan bilangan tertentu yang sama setiap datumnya. Untuk perubahan data secara beraturan, pengerjaannya biasanya lebih mudah.

Menyelesaikan perubahan data secara beraturan :
       Untuk perubahan data secara beraturan, pengukuran data kita bagi menjadi dua yaitu yang pertama ukuran pemusatan dan ukuran letak data, dan yang kedua ukuran penyebaran.
$\clubsuit $ Pengukuran pertama : ukuran pemusatan dan letak data yang terdiri dari Mean (rata-rata), modus, median, kuartil, desil, dan persentil.
Untuk pengukuran jenis pertama ini, nilanya berubah untuk semua jenis operasi($+,-,\times , :$).
$\clubsuit $ Pengukuran kedua : ukuran penyebaran yang terdiri dari jangkauan, simpangan, dan ragam.
Untuk pengukuran jenis kedua ini, nilainya berubah hanya untuk operasi perkalian ($\times$) dan pembagian ($:$).
Untuk Caranya : NGIKUT SOAL.

Berikut tabel ringkas perubahan data untuk semua jenis pengukuran :

Kasus khusus Perubahan Data secara beraturan
       Misalkan ada suatu data yang memiliki rata-rata $ p, \, $ mediannya $ q, \, $ jangkauannya $ r . \, $ Kemudian setiap nilai pada data diubah seperti berikut, setelah itu kita akan menentukan rata-rata barun, median baru, dan jangkauan baru.
*). Pertaman data dubah dengan setiap nilai (datum) ditambahkan $ a \, $ , maka diperoleh :
Rata-rata baru = $ p + a $
Median baru = $ q + a $
Jangkauan baru = $ r $
Sedangkan jangkauannya tetap karena ukuran penyebaran hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.

*). Kedua data diubah dengan setiap datum dikurangkan $ a \, $ kemudian hasilnya dikalikan $ b $ . Kita peroleh :
Operasinya dikurang dulu baru dikali (ngikut soal),
Rata-rata baru = $ (p - a) \times b $
Median baru = $ (q - a) \times b $
Jangkauan baru = $ r \times b \ , $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).

*). Ketiga data diubah dengan setiap datum ditambah $ a, \, $ kemudian dikali $ b , \, $ dan selanjutnya dibagi $ c \, $ , kita peroleh :
Operasinya ditambah dulu, kemudian dikali, dan terakhir dibagi.
Rata-rata baru = $ [(p + a) \times b ] : c $
Median baru = $ [(q + a) \times b ] : c $
Jangkauan baru = $ (r \times b ) : c \, $ (yang berpengaruh hanya perkalian dan pembagian).
Begitu seterusnya, catatan penting yang diingat adalah caranya NGIKUT SOAL, maksudnya operasinya mengikut perintah pada soal.

Contoh :
1). Diketahui suatu data memiliki rata-rata 6 dan jangkauan 9. Jika setiap data ditambahkan 2 dan hasilnya dikalikan dengan 5, tentukan nilai rata-rata dan jangkauan baru yang terbentuk.!
Penyelesaian :
*). Ingat, rata-rata akan berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ (\text{rata-rata awal } + 2) \times 5 = (6 + 2) \times 5 = 8 \times 5 = 40 $
*). Ingat, jangkauan hanya berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ \text{jangkauan awal } \times 5 = 9 \times 5 = 45 $

2). Suatu data memiliki rata-rata 3, mediannya 9, modusnya 7, kuartil pertamanya 2, jangkauannya 15, dan simpangan rata-ratanya 5. Kemudian setiap data dikalikan -2, selanjutnya ditambahkan 8, dan selanjutnya dibagi 4. Tentukan semua nilai rata-rata, median, modus, kuartil pertama, jangkauan, dan simpangan rata-rata barunya!
Penyelesaian :
Operasinya : kali -2, kemudian ditambahkan 8, dan dibagi 4.
*). Ingat, ukuran pemusatan dan ukuran letak data berubah untuk semua operasi.
Rata-rata baru = $ [(3 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 2 : 4 = \frac{1}{2} $
Median baru = $ [(9 \times (-2)) + 8 ] : 4 = (-10) : 4 = -\frac{5}{2} $
Kuartil pertama baru = $ [(2 \times (-2)) + 8 ] : 4 = 4 : 4 = 1 $
*). Ingat, ukuran penyebaran data berubah untuk operasi perkalian dan pembagian.
Jangkauan baru = $ (15 \times (-2)) : 4 = (-30) : 4 = - \frac{15}{2} $
Simpangan rata-rata baru = $ (5 \times (-2)) : 4 = (-10) : 4 = - \frac{5}{2} $

3). Suatu data memiliki rata-rata 5 dan jangkauan 3. Setiap data dikalikan $ y \, $ kemudian hasilnya dikurangkan dengan $ x $ , diperoleh rata-rata barunya 10 dan jangkauan barunya 9. Tentukan nilai $ x + y $ ?
Penyelesaian :
*). Permisalan nilai pengukurannya :
$ \overline{x}_{awal} = \, $ rata-rata awal, $ \overline{x}_{awal} = 5 $
$ \overline{x}_{baru} = \, $ rata-rata baru , $ \overline{x}_{baru} = 10 $
$ j_{awal} = \, $ jangkauan awal, $ j_{awal} = 3 $
$ j_{baru} = \, $ jangkauan baru, $ j_{baru} = 9 $
*). Menyusun persamaan dari perubahan data,
Operasinya : dikali $ y \, $ kemudian dikurangkan $ x $
Rata-rata : $ \overline{x}_{baru} = ( \overline{x}_{awal} \times y) - x $
$ 10 = 5y - x \, $ ....pers(i)
Jankauan : $ j_{baru} = j_{awal} \times y $
$ 9 = 3y \rightarrow y = \frac{9}{3} \rightarrow y = 3 $
Pers(i) : $ 10 = 5y - x \rightarrow 10 = 5 \times 3 - x \rightarrow x = 15 - 10 = 5 $
Sehingga nilai $ x + y = 5 + 3 = 8 $
Jadi, nilai $ x + y = 8 $.

Statistika : Ukuran Penyebaran Data

         Blog Koma - Dengan menentukan pemusatan data dan ukuran letak data ternyata belum cukup untuk memberikan gambaran yang jelas dari suatu data. Pada pengukuran statistika, selain ukuran pemusatan dan ukuran letak, juga ada Ukuran Penyebaran Data. Ukuran penyebaran data adalah ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data suatu menyebar dari rata-ratanya. Pada ukuran penyebaran data, kita akan mempelajari materi Jangkauan (Range), Simpangan, Ragam (Variansi), ukuran penyebaran pada nilai kuartil, dan Pencilan (Outlier) . Sebelum membaca tentang ukuran penyebaran data, sebaiknya kita baca dulu materi "Statistika Secara Umum" dan "Statistika : Penyajian Data".

Jangkauan (Range)
       Jangkauan sering disebut range atau rentang. Jangkauan dari suatu data didefinisikan sebagai selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Disini kita simbolkan jangkauan dengan huruf R.
Rumus umum jangkauan (range) :
Keterangan :
$ R = \, $ Jangkauan atau range
$ X_{min} = \, $ nilai atau data terkecil
$ X_{maks} = \, $ nilai atau data terbesar

$\clubsuit $ Jangkauan data tunggal
       Untuk jangkauan data tunggal, langsung tentukan nilai terbesar dan terkecilnya, lalu dikurangkan.

Contoh
Tentukan jangkauan(range) dari data-data di bawah ini.
6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20
Penyelesaian :
Dari data di atas diperoleh $x_{maks} = 20 \, $ dan $x_{min} = 3 $
*). Menentukan jangkauannya :
$\begin{align} R = x_{maks} - x_{min} = 20 - 3 = 17 \end{align} $
Jadi, jangkauan data tersebut adalah 17.

$\clubsuit $ Jangkauan data Berkelompok
       Untuk data bergolong, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

Contoh
Tentukan range dari tabel berikut ini.
Penyelesaian :
*). Nilai tengah kelas terendah :
       $ x_{min} = \frac{3+5}{2} = 4 $
*). Nilai tengah kelas tertinggi :
       $ x_{maks} = \frac{18+20}{2} = 19 $
*). Menentukan jangkauannya :
$\begin{align} R = x_{maks} - x_{min} = 19 - 4 = 15 \end{align} $
Jadi, jangkauan data tersebut adalah 15.

Simpangan Rata-rata
       Simpangan rata-rata atau deviasi rata-rata adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai meannya (rata-ratanya).

$\spadesuit $ Simpangan rata-rata data tunggal
Rumus menghitung simpangan rata-rata data tunggal :
Keterangan :
$ SR = \, $ Simpangan rata-rata
$ n = \, $ ukuran data (total frekuensi)
$ x_i = \, $ data ke-$i$ dari data $ x_1, x_2, x_3, ..., x_n $
$ \overline{x} = \, $ rataan hitung.
$ \sum = \, $ notasi sigma yang artinya jumlahan.
$ |x_i - \overline{x}| = \, $ harga mutlak dari $ x_i - \overline{x} \, $ yang hasilnya selalu positif.
contoh : $ |3| = 3 \, $ dan $ |-3| = 3 $

Contoh :
Diketahui data: 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan simpangan rata-ratanya.
Penyelesaian :
*). Menentukan rata-ratanya,
$ \begin{align} \overline{x} = \frac{7+6+8+7+6+10+5}{7} = \frac{49}{7} = 7 \end{align} $
*). Menentukan simpangan rata-ratanya :
$ \begin{align} SR & = \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} |x_i - \overline{x}| \\ & = \frac{1}{7} \displaystyle \sum_{i = 1}^{7} |x_i - 7| \\ & = \frac{1}{7} (|7-7|+|6-7|+|8-7|+|7-7|+|6-7|+|10-7|+|5-7|) \\ & = \frac{1}{7} (|0|+|-1|+|1|+|0|+|-1|+|3|+|-2|) \\ & = \frac{1}{7} (0+1+1+0+1+3+2) \\ & = \frac{1}{7} (8) = \frac{8}{7} \end{align} $
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah $ \frac{8}{7} $

$\spadesuit $ Simpangan rata-rata data berkelompok
Rumus menghitung simpangan rata-rata data berkelompok :
Keterangan :
$ SR = \, $ Simpangan rata-rata
$ n = \, $ banyak kelas
$ x_i = \, $ nilai tengah kelas ke-$i$
$ \overline{x} = \, $ rataan hitung.
$ f_i = \, $ frekuensi kelas ke-$i$
$ \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i = \, $ total frekuensi

Contoh :
Tentukan simpangan rata-rata pada tabel berikut ini.
Penyelesaian :
*). Melengkapkan isi tabel
*). Menentukan rata-rata :
$ \begin{align} \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i} = \frac{6300}{40} = 157,5 \end{align} $
*). Menentukan simpangan rata-ratanya :
$ \begin{align} SR = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i.|x_i - \overline{x}|}{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i} = \frac{260}{40} = 5,15. \end{align} $
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 5,15.

Simpangan Baku (Standar Deviasi) Data tunggal
       Diketahui sekumpulan data kuantitatif yang tidak dikelompokkan dan dinyatakan oleh $x_1, x_2, ..., x_n$. Dari data tersebut, dapat diperoleh nilai simpangan baku ($S$) yang ditentukan oleh rumus berikut.
Data sampel berlaku untuk $ n < 30 \, $ dan data populasi untuk $ n \geq 30 $
Contoh:
Dari 40 siswa kelas XI IPA diperoleh nilai yang mewakili adalah 7, 9, 6, 3, dan 5. Tentukan simpangan baku dari data tersebut.
Penyelesaian :
*). Menentukan rata-rata :
$ \overline{x} = \frac{7+9+6+3+5}{5} = \frac{30}{5} = 6 $
*). Melengkapkan tabel
*). Menentukan simpangan baku
$ \begin{align} s = \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{20}{5-1}} = \sqrt{5} = 2,24 \end{align} $
Jadi, simpangan bakunya adalah 2,24.

Simpangan Baku (Standar Deviasi) Data Berkelompok
       Sekumpulan data kuantitatif yang dikelompokkan, dapat dinyatakan oleh $x_1, x_2, ..., x_n$ dan masing-masing data mempunyai frekuensi $f_1 , f_2 , ..., f_n$ . Simpangan baku ($S$) dari data tersebut diperoleh dengan menggunakan rumus
Data sampel berlaku untuk $ n < 30 \, $ dan data populasi untuk $ n \geq 30 $
Contoh :
Hasil tes Matematika 30 siswa kelas XI IPA seperti ditunjukkan pada tabel di bawah.
Berdasarkan data tersebut, tentukan simpangan bakunya.
Penyelesaian :
*).Melengkapkan isi tabel
*). Menentukan rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} f_i} = \frac{490}{30} = 16,33 \end{align} $
*). Menentukan simpangan bakunya
$ \begin{align} s = \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i.(x_i - \overline{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{836,7}{30}} = \sqrt{27,89} = 5,28 \end{align} $
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,28.

Ragam (Variansi)
       Variansi (ragam) adalah rata-rata dari jumlah kuadrat simpangan tiap data. Ragam bisa dirumuskan sebagai :
                     Ragam $ = S^2 \, $
Artinya ragam diperoleh dari nilai simpangan baku dikuadratkan.
Contoh :
Dari contoh soal yang berkaitan dengan simpangan baku data berkelompok di atas, diperoleh simpangan bakunya adalah 5,28. Sehingga nilai ragamanya (variansi) adalah :
Ragam $ = S^2 = (5,28)^2 = 27,89 $

Koefisien Keragaman (KK)
    Rumus koefisien keragaman (KK) dari sekumpulan data $x_1, x_2, x_3, ..., x_n $ adalah
                     $ \begin{align} KK = \frac{S}{\overline{x}} \end{align} $
Keterangan :
$ KK = \, $ Koefisien Keragaman
$ S = \, $ simpangan baku
$ \overline{x} = \, $ nilai rata-rata data.

Contoh :
Pak Murtono seorang pengusaha. Bidang usaha yang ia jalani adalah penerbitan, tekstil, dan angkutan. Dalam 5 bulan terakhir, ia mencatat keuntungan bersih ketiga bidang usahanya. Hasilnya tampak pada Tabel berikut
Jika Pak Murtono berpendapat bahwa bidang usaha yang akan dipertahankan hanya dua bidang usaha dengan kriteria bidang usaha dengan keuntungan bersih yang stabil, tentukanlah bidang usaha yang sebaiknya tidak dilanjutkan.
Penyelesaian :
*). Menghitung rataan, simpangan baku, dan koefisien keragaman dari setiap bidang usaha.
i). Bidang usaha penerbitan
$ \begin{align} \overline{x} & = \frac{60+116+100+132+72}{5} = 96 \\ S & = \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x})^2}{n-1}} \\ & = \sqrt{\frac{(60-96)^2+(116-96)^2+(100-96)^2+(132-96)^2+(72-96)^2}{5-1}} \\ & = \sqrt{\frac{3584}{4}} = 29,93 \\ KK & = \frac{S}{\overline{x}} = \frac{29,93}{96} = 0,31 \end{align} $

ii). Bidang usaha tekstil
$ \begin{align} \overline{x} & = 156 \\ S & = 40,69 \\ KK & = \frac{S}{\overline{x}} = \frac{40,69}{156} = 0,26 \end{align} $

ii). Bidang usaha angkutan
$ \begin{align} \overline{x} & = 161,6 \\ S & = 100,58 \\ KK & = \frac{S}{\overline{x}} = \frac{100,58}{161,6} = 0,62 \end{align} $
Jadi, sebaiknya Pak Murtono tidak melanjutkan usaha angkutan karena keuntungannya tidak stabil (nilai KK paling besar).

Ukuran Penyebaran Data pada Nilai Kuartil
       Dari data kita bisa menentukan nilai kuartilnya baik kuartil kesatu ($Q_1$), kuartil kedua ($Q_2$), dan kuatil ketiga ($Q_3$). Untuk cara menentukan nilai kuartil, silahkan baca materi "Statistika : Ukuran Letak Data". Dari nilai-nilai kuartil tersebut juga berlaku ukuran penyebaran yaitu Jangkauan antarkuartil (Hamparan) yang kita simbolkan dengan JK dan Jangkauan semi antarkuartil (Simpangan Kuartil) yang kita simbolkan dengan SK.
Rumus masing-masing :
$ \begin{align} JK = Q_3 - Q_1 \, \, \, \, \text{ dan } \, \, \, SK = \frac{1}{2}(JK) = \frac{1}{2}(Q_3 - Q_1) \end{align} $
       Dari nilai penyebaran pada kuartil dikenal juga istilah Langkah (L), yang dirumuskan :
$ \begin{align} L = \frac{3}{2} (JK) = \frac{3}{2}(Q_3 - Q_1) \end{align} $
Catatan :
Buku lain juga menyebutkan istilah Jangkauan antarkuartil = Jangkauan interkuartil dan Jangkauan semi antarkuartil = Jangkauan semi interkuartil .

Pencilan (Outlier)
       Istilah Pagar dalam dan pagar luar :
*). Pagar dalam (PD) adalah nilai data yang berada satu langkah di bawah kuartil pertama. Rumusnya : $ PD = Q_1 - L $
*). Pagar luar (PL) adalah nilai data yang berada satu langkah di atas kuartil ketiga.. Rumusnya : $ PL = Q_3 + L $

Pengertian Pencilan :
       Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan adalah datum yang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya. Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang tidak konsisten (tidak normal) dalam kumpulan data.
Contoh :
Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut.
70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44, 64, 83, 56.
Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.
Penyelesaian :
*). Data setelah diurutkan menjadi :
44, 56, 60, 61, 64, 64, 65, 65, 66, 68, 68, 70, 71, 73, 74, 78, 79, 81, 83, 97
ada 20 datum ($n =20$) .
*). Menentukan nilai kuartil data, jangkauan antarkuartil, langkah, pagar dalam(PD) dan pagar luar(PL).
$ \begin{align} Q_1 & = X_{\frac{1}{4}(n+1)} = X_{\frac{1}{4}(20+1)} = X_{5,25} \\ Q_1 & = x_5 + 0,25(x_6 - x_5) \\ & = 64 + 0,25(64-64) = 64 + 0 = 64 \\ Q_2 & = X_{\frac{2}{4}(n+1)} = X_{\frac{2}{4}(20+1)} = X_{10,5} \\ Q_2 & = x_{10} + 0,5(x_{11} - x_{10}) \\ & = 68 + 0,5(68-68) = 68 + 0 = 68 \\ Q_3 & = X_{\frac{3}{4}(n+1)} = X_{\frac{3}{4}(20+1)} = X_{15,75} \\ Q_3 & = x_{15} + 0,75(x_{16} - x_{15}) \\ & = 74 + 0,75(78-74) = 74 + 3 = 77 \\ JK & = Q_3 - Q_1 = 77 - 64 = 13 \\ L & = \frac{3}{2}(JK) = \frac{3}{2}.(13) = 19,5 \\ PD & = Q_1 - L = 64 - 19,5 = 44,5 \\ PL & = Q_3 + L = 77 + 19,5 = 96,5 \end{align} $
Jadi, ada dua pencilan dalam data ini, yaitu 44 dan 97 karena datum 44 nilainya kurang dari PD dan datum 97 nilainya lebih besar dari PL.

Statistika : Ukuran Letak Data

         Blog Koma - Selain Ukuran Pemusatan Data, pada pengukuran statistika juga ada Ukuran Letak Data. Suatu data tidak hanya dapat kita bagi menjadi dua bagian yang sama (median), tetapi dapat kita bagi menjadi empat, sepuluh , dan bahkan seratus bagian yang sama. Pada materi ukuran letak data, kita akan mempelajari kuartil, desil, dan persentil. Untuk menentukan nilai ukuran letak data, data harus kita urutkan dulu dari nilai yang terkecil ke datum yang nilainya lebih besar. Sebelum membaca tentang ukuran letak data, sebaiknya kita baca dulu materi "Statistika Secara Umum" dan "Statistika : Penyajian Data".

Kuartil (data dibagi menjadi empat)
       Kuartil adalah nilai pembatas yang membagi data terurut menjadi empat bagian yang sama. Kuartil terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil pertama ($Q_1$) yang disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua ($Q_2$) yang disebut juga median atau nilai tengah, dan kuartil ketiga ($Q_3$) yang disebut juga kuartil atas.
Keterangan :
$ X_{min} = \, $ data terkecil, $ X_{maks} = \, $ data terbesar,
$ Q_1 = \, $ kuartil ke-1, $ Q_2 = \, $ kuartil ke-2, $ Q_3 = \, $ kuartil ke-3.

$\spadesuit $ Kuartil Data Tunggal
       Untuk menentukan nilai kuartil suatu data tunggal, kita gunakan rumus :
       $ \begin{align} \text{Letak } \, Q_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{4}(n+1)\right) \text{ atau } Q_i = X_{\frac{i}{4}(n+1)} \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, $ dan $ n \, $ adalah banyak datum(banyak nilai).
Artinya bisa dijabarkan sebagai berikut :
kuartil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} Q_1 = X_{\frac{1}{4}(n+1)} \end{align} $
kuartil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} Q_2 = X_{\frac{2}{4}(n+1)} \end{align} $
kuartil ke-3 : $ i = 3 \rightarrow \begin{align} Q_3 = X_{\frac{3}{4}(n+1)} \end{align} $

Contoh :
1). Data siswa yang memperoleh nilai 10 untuk ulangan matematika
selama 16 kali, yaitu 9, 5, 8, 5, 7, 8, 6, 7, 5, 8, 6, 6, 6, 6, 7, 9.
Tentukan nilai kuartilnya!
Penyelesaian :
*). Langkah-langkah menetukan kuartilnya :
i) Untuk menentukan nilai-nilai kuartil dari kumpulan data, langkah pertama yang harus Anda lakukan adalah mengurutkan data tersebut.
ii) Kemudian, kuartil kedua ($Q_2$) ditentukan dengan membagi data menjadi dua bagian yang sama.
iii) Kuartil pertama ($Q_1$) ditentukan dengan membagi data di bawah $Q_2$ menjadi dua bagian yang sama.
iv) Kuartil ketiga ($Q_3$) ditentukan dengan membagi data di atas $Q_2$ menjadi dua bagian yang sama.
Data diurutkan menjadi: $x_1, x_2, x_3, ..., x_{16}$, yaitu:

*). Menetukan kuartilnya :
$ Q_1 = \frac{6+6}{2} = 6 $
$ Q_2 = \frac{6+7}{2} = 6,5 $
$ Q_3 = \frac{8+8}{2} = 8 $
Jadi, diperoleh nilai $ Q_1 = 6, \, Q_2 = 6,5 , \, $ dan $ Q_3 = 8 $

Cara II : Menggunakan rumus letak kuartil ,
$ \begin{align} Q_1 & = X_{\frac{1}{4}(n+1)} = X_{\frac{1}{4}(16+1)} = X_{4,25} \\ Q_1 & = x_4 + 0,25(x_5 - x_4) \\ & = 6 + 0,25(6-6) = 6 + 0 = 6 \\ Q_2 & = X_{\frac{2}{4}(n+1)} = X_{\frac{2}{4}(16+1)} = X_{8,5} \\ Q_2 & = x_8 + 0,5(x_9 - x_8) \\ & = 6 + 0,5(7-6) = 6 + 0,5 = 6,5 \\ Q_3 & = X_{\frac{3}{4}(n+1)} = X_{\frac{3}{4}(16+1)} = X_{12,75} \\ Q_3 & = x_{12} + 0,75(x_{13} - x_{12}) \\ & = 8 + 0,75(8-8) = 8 + 0 = 8 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ Q_1 = 6, \, Q_2 = 6,5 , \, $ dan $ Q_3 = 8 $

$\spadesuit $ Kuartil Data Berkelompok
       Langkah-langkah menentukan kuartil berkelompok :
1). Tentukan letak kuartil (kelas kuartil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} Q_i = \text{data ke-} \frac{i}{4}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, $ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
2). Hitung kuartil dengan rumus :
              $ \begin{align} Q_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{4}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas kuartil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas kuatril ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus kuartil bisa dijabarkan sebagai berikut :
kuartil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} Q_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
kuartil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} Q_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{4}n - Fks_2}{f_2} \right)p = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
kuartil ke-3 : $ i = 3 \rightarrow \begin{align} Q_3 = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{4}n - Fks_3}{f_3} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan $Q_1$ (kuartil bawah), $Q_2$ (median), dan $Q_3$ (kuartil atas) dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.
Penyelesaian :
*). Menentukan frekuensi kumulatifnya.
total frekuensinya 40 ($n = 40$).
*).Menentukan letak kuartil dan nilai kuartilnya :
*). Letak $ Q_1 $ = data ke- $ \left[\frac{1}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{1}{4}(40+1) \right] $ = data ke-10,25
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_1 $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 60 - 69.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_1 = 60 - 0,5 = 59,5 $
$ Fks_1 = 4 + 5 = 9 $
$ f_1 = 14 \, , \, $ dan $ p = 69 - 60 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_1 & = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{4}n - Fks_1}{f_1} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{4}.40 - 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{10 - 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{1}{14} \right).10 = 59,5 + 0,714 = 60,214 \end{align} $

*). Letak $ Q_2 $ = data ke- $ \left[\frac{2}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{1}{2}(40+1) \right] $ = data ke-20,5
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_2 $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 60 - 69.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_2 = 60 - 0,5 = 59,5 $
$ Fks_2 = 4 + 5 = 9 $
$ f_2 = 14 \, , \, $ dan $ p = 69 - 60 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_2 & = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{4}n - Fks_2}{f_2} \right)p = 59,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 - 9}{14} \right).10 \\ & = 59,5 + \left( \frac{20 - 9}{14} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{11}{14} \right).10 = 59,5 + 7,857 = 67,357 \end{align} $

*). Letak $ Q_3 $ = data ke- $ \left[\frac{3}{4}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{3}{4}(40+1) \right] $ = data ke-30,75
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ Q_3 $ terletak pada kelas ke-4 yaitu interval 70 - 79.
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_1 = 70 - 0,5 = 69,5 $
$ Fks_3 = 4 + 5 + 14 = 23 $
$ f_3 = 10 \, , \, $ dan $ p = 79 - 70 + 1 = 10 $
$ \begin{align} Q_3 & = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{4}n - Fks_3}{f_3} \right)p = 69,5 + \left( \frac{\frac{3}{4}.40 - 23}{10} \right).10 \\ & = 69,5 + \left( \frac{30 - 23}{10} \right).10 = 59,5 + \left( \frac{7}{10} \right).10 = 69,5 + 7 = 76,5 \end{align} $
Jadi, diperoleh $ Q_1 = 60,214 ; \, Q_2 = 67,357 ; \, $ dan $ Q_3 = 76,5 $

Desil (Data dibagi menjadi 10 bagian)
       Desil adalah nilai pembatas yang membagi data terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Desil terdiri dari sembilan jenis, yaitu desil pertama ($D_1$), desil kedua ($D_2$), dan seterusnya sampai desil sembilan ($D_9$).
Keterangan :
$ X_{min} = \, $ data terkecil, $ X_{maks} = \, $ data terbesar,
$ D_1 = \, $ Desil ke-1, $ D_2 = \, $ Desil ke-2, dan seterusnya $ D_9 = \, $ Desil ke-3.

$\clubsuit $ Desil Data Tunggal
       Letak desil data tunggal menggunakan cara di atas.

Contoh :
Tentukan desil ke-1 dan desil ke-5 dari data berikut.
47, 33, 41, 37, 46, 43, 39, 36, 35, 42, 40, 39, 45
Penyelesaian :
Data setelah diurutkan menjadi 33, 35, 36, 37, 39, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47.
Banyak data adalah $ n = 13$.
$ \begin{align} \text{Rumus : } \, D_i & = X_{\frac{i}{10}(n+1)} \\ D_1 & = X_{\frac{1}{10}(13+1)} \\ & = X_{1,4} \\ & = x_1 + 0,4 (x_2 - x_1) \\ & = 33 + 0,4 (35 - 33) \\ & = 33 + 0,4 (2) \\ & = 33 + 0,8 \\ & = 33,8 \\ D_5 & = X_{\frac{5}{10}(13+1)} \\ & = X_{7} \\ & = 40 \end{align} $
Jadi, nilai desil ke-1 adalah 33,8 dan desil ke-5 adalah 40.

$\clubsuit $ Desil Data Berkelompok
       Langkah-langkah menentukan Desil berkelompok :
1). Tentukan letak Desil (kelas desil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} D_i = \text{data ke-} \frac{i}{10}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3, \, ..., 9$ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
2). Hitung desil dengan rumus :
              $ \begin{align} D_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{10}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas desil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas desil ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3, ...,9 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus desil bisa dijabarkan sebagai berikut :
Desil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} D_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{10}n - Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
Desil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} D_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{10}n - Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
dan seterusnya ...............,
Desil ke-9 : $ i = 9 \rightarrow \begin{align} D_9 = Tb_{9} + \left( \frac{\frac{9}{10}n - Fks_9}{f_9} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan nilai desil ketiga dari data pada Tabel berikut ini :
Penyelsaian :
*).Menentukan letak Desil ketiganya:
total frekuensinya 40 ($n=40$).
*). Letak $ D_3 $ = data ke- $ \left[\frac{3}{10}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{3}{10}(40+1) \right] $ = data ke-12,3
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ D_3 $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 51 - 60.
(karena kelas 51 - 60 memuat data ke-9, 10, 11, 12, 13).
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_3 = 51 - 0,5 = 50,5 $
$ Fks_3 = 5 + 3 = 8 $
$ f_3 = 5 \, , \, $ dan $ p = 60 - 51 + 1 = 10 $
$ \begin{align} D_3 & = Tb_{3} + \left( \frac{\frac{3}{10}n - Fks_3}{f_3} \right)p = 50,5 + \left( \frac{\frac{3}{10}.40 - 8}{5} \right).10 \\ & = 50,5 + \left( \frac{12 - 8}{5} \right).10 = 50,5 + \left( \frac{4}{5} \right).10 = 50,5 + 8 = 58,5 \end{align} $
Jadi, nilai desil ketiganya adalah 58,5.

Persentil (Data dibagi menjadi 100 bagian)
       Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut persentil. Persentil terdiri dari 99 jenis, yaitu persentil pertama ($P_1$), persentil kedua ($P_2$), dan seterusnya sampai persentil sembilan puluh sembilan ($P_{99}$).
$\spadesuit $ Persentil Data Tunggal
       Untuk menentukan nilai persentil suatu data tunggal, kita gunakan rumus :
       $ \begin{align} \text{Letak } \, P_i = \text{ data ke-} \left(\frac{i}{100}(n+1)\right) \text{ atau } P_i = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3 \, ... , 99 $ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
Artinya bisa dijabarkan sebagai berikut :
Persentil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} P_1 = X_{\frac{1}{100}(n+1)} \end{align} $
Persentil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} P_2 = X_{\frac{2}{100}(n+1)} \end{align} $
dan seterusnya , .........
Persentil ke-99 : $ i = 99 \rightarrow \begin{align} P_{99} = X_{\frac{99}{100}(n+1)} \end{align} $

Contoh :
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian :
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
ada 10 data ($n=10$)
*). Letak persentil ke-30 dan nilainya :
$\begin{align} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \\ P_{30} & = X_{\frac{30}{100}(10+1)} \\ & = X_{3,3} \\ & = x_3 + 0,3 (x_4 - x_3) \\ & = 5 + 0,3 (6 - 5) \\ & = 5 + 0,3 \\ & = 5,3 \end{align} $
*). Letak persentil ke-75 dan nilainya :
$\begin{align} P_i & = X_{\frac{i}{100}(n+1)} \\ P_{75} & = X_{\frac{75}{100}(10+1)} \\ & = X_{8,25} \\ & = x_8 + 0,25 (x_9 - x_8) \\ & = 9 + 0,25 (10 - 9) \\ & = 9 + 0,25 \\ & = 9,25 \end{align} $
Jadi, nilai persentil ke-30 adalah 5,3 dan desil ke-75 adalah 9,25.

$\spadesuit $ Persentil Data Berkelompok
       Langkah-langkah menentukan Persentil berkelompok :
1). Tentukan letak Persentil (kelas persentil) dengan rumus :
              Letak $ \begin{align} P_i = \text{data ke-} \frac{i}{100}(n+1) \end{align} $
dengan $ i = 1, \, 2, \, 3, \, ..., 99$ dan $ n \, $ adalah banyak datum(total frekuensi).
2). Hitung desil dengan rumus :
              $ \begin{align} P_i = Tb_{i} + \left( \frac{\frac{i}{100}n - Fks_i}{f_i} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{i} = \, $ tepi bawah kelas persentil ke-$i$
$ Fks_i = \, $ frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke-$i$
$ f_i = \, $ frekuensi kelas persentil ke-$i$
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)
$ i = 1, 2, 3, ...,99 $
Rumus panjang kelas :
$ p = (\text{tepi atas } - \text{ tepi bawah}) \, \, \, \, \, \, $ atau
$ p = (\text{batas atas } - \text{ batas bawah} + 1 )$

Rumus persentil bisa dijabarkan sebagai berikut :
Persentil ke-1 : $ i = 1 \rightarrow \begin{align} P_1 = Tb_{1} + \left( \frac{\frac{1}{100}n - Fks_1}{f_1} \right)p \end{align} $
Persentil ke-2 : $ i = 2 \rightarrow \begin{align} P_2 = Tb_{2} + \left( \frac{\frac{2}{100}n - Fks_2}{f_2} \right)p \end{align} $
dan seterusnya ...............,
Persentil ke-99 : $ i = 99 \rightarrow \begin{align} P_{99} = Tb_{99} + \left( \frac{\frac{99}{100}n - Fks_{99}}{f_{99}} \right)p \end{align} $

Contoh :
Tentukan nilai persentil ke-60 dari data pada Tabel berikut ini :
Penyelsaian :
*).Menentukan letak persentil ke-60 :
total frekuensinya 40 ($n=40$).
*). Letak $ P_{60} $ = data ke- $ \left[\frac{60}{100}(n+1) \right] $ = data ke- $ \left[\frac{60}{100}(40+1) \right] $ = data ke-24,6
artinya dilihat dari frekuensi kumulatif, $ P_{60} $ terletak pada kelas ke-3 yaitu interval 51 - 55.
(karena kelas 51 - 55 memuat data ke-10, 11, 12, 13, ..., 25).
Menentukan unsur-unsur lainnya :
tepi bawah : $ Tb_{60} = 51 - 0,5 = 50,5 $
$ Fks_{60} = 3 + 6 = 9 $
$ f_{60} = 16 \, , \, $ dan $ p = 55 - 51 + 1 = 5 $
$ \begin{align} P_{60} & = Tb_{60} + \left( \frac{\frac{60}{100}n - Fks_{60}}{f_{60}} \right)p = 50,5 + \left( \frac{\frac{60}{100}.40 - 9}{16} \right).5 \\ & = 50,5 + \left( \frac{24 - 9}{16} \right).5 = 50,5 + \left( \frac{15}{16} \right).5 = 50,5 + 4,6875 = 55,1875 \end{align} $
Jadi, nilai persentil ke-60 adalah 55,1875.

Statistika : Ukuran Pemusatan Data

         Blog Koma - Ukuran Pemusatan Data merupakan salah satu pengukuran data dalam statistika. Ukuran Pemusatan data teridiri dari penghitungan rata-rata (Mean), nilai tengah (Median), dan nilai yang sering muncul(Modus). Untuk memudahkan dalam memahami materi ukuran pemusatan data ini, sebaiknya kita membaca dulu materi "Statistika Secara Umum" dan materi "Statistika : Penyajian Data". Berikut penjelasan masing-masing.

Rata-rata (Mean)
       Rata-rata atau rataan hitung seringkali disebut sebagai ukuran pemusatan atau rata-rata hitung. Rataan hitung juga dikenal dengan istilah mean dan diberi lambang $ \overline{x} $ . Rataan hitung kita bagi menjadi dua berdasarkan data tunggal dan data berkelompok.
Rumus umum rata - rata ($ \overline{x} $):
              $ \begin{align} \overline{x} = \frac{\text{Jumlah semua data yang diamati}}{\text{banyak data yang diamati}} \end{align} $

$ \clubsuit $ Rata - rata Data Tunggal
         Rata-rata data tunggal kita bagi menjadi tiga kelompok yaitu rata-rata tunggal, rata-rata ada frekuensi, dan rata-rata pengelompokan.
i). Misalkan ada data $ x_1, x_2, x_3, x_4, ... , x_n $, sebanyak $ n $ data
Rata-ratanya : $ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n}{n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $

Contoh
Dari hasil tes 10 siswa kelas XI diperoleh data: 3, 7, 6, 5, 3, 6, 9, 8, 7, dan 6.
Tentukan rataan dari data tersebut.
Penyelesaian :
$ \overline{x} = \frac{3+7+6+5+3+6+9+8+7+6}{10} = \frac{60}{10} = 6,0 $
Jadi, rataannya adalah 6,0.

ii). Misalkan ada data $ x_1 \, $ dengan frekuensi $ f_1 \, $ , $ x_2 \, $ dengan frekuensi $ f_2 \, $ , $ x_3 \, $ dengan frekuensi $ f_3 \, $ dan seterusnya sampai $ x_n \, $ dengan frekuensi $ f_n \, $ ,
Rata-ratanya adalah

Contoh
Berdasarkan data hasil ulangan harian Matematika di kelas XI IPA, enam siswa mendapat nilai 8, tujuh siswa mendapat nilai 7, lima belas siswa mendapat nilai 6, tujuh siswa mendapat nilai 5, dan lima siswa mendapat nilai 4. Tentukan rata-rata nilai ulangan harian Matematika di kelas tersebut.
Penyelesaian :
Tabel nilai ulangan harian Matematika kelas XI IPA.
Rata-rataanya :
$ \overline{x} = \frac{4\times 5 + 5 \times 7 + 6 \times 15 + 7 \times 7 + 8 \times 6 }{5 + 7 + 15 + 7 + 6} = \frac{242}{40} = 6,05 $
Atau langsung menggunakan nilai pada tabel :
$ \overline{x} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{5} f_i} = \frac{242}{40} = 6,05 $
Jadi, rataan nilai ulangan harian Matematika di kelas XI IPA adalah 6,05.

iii). Misalkan ada data pertama yang terdiri $ n_1 \, $ datum dengan rata-rata $ \overline{x}_1 \, $ , data kedua yang terdiri $ n_2 \, $ datum dengan rata-rata $ \overline{x}_2 \, $ , dan seterusnya. Rata-rata gabungan ($\overline{x}_{gb}$) semua kelompok adalah :
                  $ \begin{align} \overline{x}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2+n_3.\overline{x}_3 + ....}{n_1 + n_2 + n_3 + ....} \end{align} $

Contoh :
Dikelas A terdiri dari 20 siswa laki-laki dan 30 siswa perempuan. Setelah dilakukan penimbangan berat badan, diperoleh berat rata-rata siswa laki-laki adalah 40 kg dan berat rata-rata siswa perempuan 41 kg. Tentukan berat rata-rata kelas A tersebut!
Penyelesaian :
*). Diketahui :
banyak siswa laki-laki : $ n_l = 20 \, $ dan rata-rata : $ \overline{x}_l = 40 $
banyak siswa perempuan : $ n_p = 30 \, $ dan rata-rata : $ \overline{x}_p = 41 $
*). Rata-rata gabungan siswa laki-laki dan perempuan :
$ \begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_l.\overline{x}_l + n_p.\overline{x}_p}{n_l + n_p} \\ & = \frac{20.40 + 30.41}{20 + 30 } \\ & = \frac{800 + 1230}{50 } \\ & = \frac{2030}{50 } \\ & = 40,6 \end{align} $
Jadi, rata-rata berat badan kelas A adalah 40,6 kg.

$ \clubsuit $ Rata - rata Data Berkelompok
         Untuk menentukan rata-rata data berkelompok, ada tiga cara yang akan kita gunakan.
i). Metode nilai tengah
Rata-rata : $ \begin{align} \overline{x} = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2 + ... + f_n.x_n}{f_1 + f_2 + ... + f_n} = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.x_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \end{align} $
dengan $ x_i \, $ adalah nilai tengah masing-masing interval kelas.

Contoh :
Perhatikan tabel berikut!
Tentukan mean (rata-rata) dari tabel tersebut!
Penyelesaian :
Maka, nilai mean (rata-rata hitung) dari data tersebut adalah:
$ \begin{align} \overline{x} & = \frac{f_1.x_1+f_2.x_2 + f_3.x_3 + f_4.x_4 + f_5.x_5}{f_1 + f_2 + f_3 + f_4 + f_5} \\ & = \frac{61.10 + 64.25 + 67.32 + 70 . 15 + 73.18 }{10 + 25 + 32 + 15 + 18 } \\ & = \frac{6718 }{100 } \\ & = 67,18 \end{align} $
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18.

ii). Metode Simpangan dari rata-rata sementara
Rata-rata : $ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.d_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{x}_s = \, $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ d_i = x_i - \overline{x}_s : \, $ Simpangan nilai tengah terhadap rata-rata sementara.

Contoh :
Dari tabel soal nomor satu di atas, kita menentukan nilai rata-ratanya dengan cara metode simpangan.
Kita pilih rata-rata sementaranya ($\overline{x}_s$) dari nilai tengah yang ada. Kita bebas memilih nilai tengah yang ada, tapi biasanya rata-rata sementara dipilih dari nilai tengah yang memiliki frekuensi yang terbesar. Pada soal ini kita pilih nilai tengah pada kelas ke-3, sehingga $ \overline{x}_s = 67 $ .
Menetukan nilai simpangannya ($d_i$) :
Kelas ke-1 : $ d_1 = x_1 - \overline{x}_s = 61 - 67 = - 6 $
Kelas ke-2 : $ d_2 = x_2 - \overline{x}_s = 64 - 67 = - 3 $
Kelas ke-3 : $ d_3 = x_3 - \overline{x}_s = 67 - 67 = 0 $
Kelas ke-4 : $ d_4 = x_4 - \overline{x}_s = 70 - 67 = 3 $
Kelas ke-5 : $ d_5 = x_5 - \overline{x}_s = 73 - 67 = 6 $
untuk lebih lengkapnya lihat pada tabel di atas.
Sehingga rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.d_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} = 67 + \frac{18}{100} = 67,18 \end{align} $
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

iii). Metode Pengkodean (coding)
         Metode pengkodean (coding) sering digunakan apabila dijumpai nilai-nilai dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar . Metode ini sangat memudahkan dalam perhitungan karena melibatkan bilangan yang lebih sederhana. Pengkodean yang dimaksud adalah disimbolkan $u$ dengan rumus $ u_i = \frac{x_i - \overline{x}_s}{p} $ , dimana $ p $ adalah panjang kelas (interval kelas), $ x_i $ adalah nilai tengah, dan $ \overline{x}_s $ adalah rata - rata sementara yang dipilih dari nilai tengah.
Rumus rata - rata : $ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.u_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \right) . p \end{align} $
Keterangan :
$ \overline{x}_s = \, $ rata-rata sementara dari nilai tengah.
$ u_i = \frac{x_i - \overline{x}_s}{p} : \, $ pengkodeannya.
$ p = \, $ panjang kelas atau interval kelas.

Contoh :
Kita akan menghitung nilai rata-rata pada soal nomor satu dengan metode pengkodean.
Misal rata-rata sementaranya : $ \overline{x}_s = 67 $
Panjang kelas : $ 60 - 62 \rightarrow p = 3 $
Menentukan nilai pengkodeannya ($u_i$) :
Kelas ke-1 : $ u_1 = \frac{x_1 - \overline{x}_s}{p} = \frac{61 - 67}{3} = -2 $
Kelas ke-2 : $ u_2 = \frac{x_2 - \overline{x}_s}{p} = \frac{64 - 67}{3} = -1 $
Kelas ke-3 : $ u_3 = \frac{x_3 - \overline{x}_s}{p} = \frac{67 - 67}{3} = 0 $
Kelas ke-4 : $ u_4 = \frac{x_4 - \overline{x}_s}{p} = \frac{70 - 67}{3} = 1 $
Kelas ke-5 : $ u_5 = \frac{x_5 - \overline{x}_s}{p} = \frac{73 - 67}{3} = 2 $
Sehingga rata-ratanya :
$ \begin{align} \overline{x} = \overline{x}_s + \left( \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i.u_i}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_i} \right) . p = 67 + \left( \frac{6}{100} \right) . 3 \end{align} = 67 + 0,18 = 67,18$
Jadi, rata-ratanya dalah 67,18 (hasilnya sama dengan cara I di atas).

Catatan : Kabar gembiranya menggunakan metode pengkodeann adalah nilai tengah yang menjadi rata-rata sementaranya akan bernilai nol untuk pengkodeannya, dan bagian sebelumnya selalu dikurangi satu dan setelahnya ditambah satu. sehingga bentuknya akan selalu ...-3,-2,-1,0,1,2,3,.... yang menyesuaikan dengan banyaknya kelas dengan patokan 0 adalah kelas yang dipilih sebagai rata-rata sementaranya.

Median (Nilai Tengah)
       Median adalah nilai tengah kumpulan data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

$ \spadesuit $ Median Data Tunggal
       Apabila kumpulan $n $ data disajikan dalam bentuk tunggal yaitu $x_1, x_2, ..., x_n \, $ maka median dari data tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.
1). Untuk ukuran data $ n $ ganjil, maka mediannya adalah nilai data yang ditengah atau nilai data ke$-\frac{n+1}{2} $
                            $ \begin{align} Me = x_{\frac{n+1}{2}} \end{align} $
Keterangan :
Me = Median dan $ \begin{align} x_{\frac{n+1}{2}} \end{align} \, $ adalah data ke$-\frac{n+1}{2} $

2). Untuk ukuran data $n $ genap, mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang ditengah atau rata-rata dari nilai data ke$-\frac{n}{2} \, $ dan nilai data ke$ - \left( \frac{n}{2} + 1 \right) $
                            $ \begin{align} Me = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{n}{2}} + x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \right) \end{align} $
Keterangan :
$ \begin{align} x_{\frac{n}{2}} \end{align} \, $ adalah data ke$-\frac{n}{2} \, $ dan $ \begin{align} x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \end{align} \, $ adalah data ke$-\left( \frac{n}{2} + 1 \right) $

Contoh :
Tentukan besarnya median dari data berikut :
a). Data : 3, 2, 5, 1, 7, 8, 3, 2, 4, 1, 5
b). Data : 4, 2, 3, 5, 7, 5, 2, 1
Penyelesaian :
a). ukuran data ada 11, artinya banyak datum ganjil dengan $ n = 11 $ .
*). Data diurutkan : 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 7, 8 .
$ \begin{align} Me = x_{\frac{n+1}{2}} = x_{\frac{11+1}{2}} = x_6 = 3 \end{align} $
artinya median terletak pada data ke-6 yaitu 3.
Jadi, mediannya adalah 3.
b). ukuran data ada 8, artinya banyak datum genap dengan $ n = 8 $ .
*). Data diurutkan : 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 7 .
$ \begin{align} Me = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{n}{2}} + x_{ \left( \frac{n}{2} + 1 \right) } \right) = \frac{1}{2} \left( x_{\frac{8}{2}} + x_{ \left( \frac{8}{2} + 1 \right) } \right) = \frac{1}{2} \left( x_4 + x_5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3 + 4 \right) = 3,5 \end{align} $
artinya median terletak antara data ke-4 dan ke-5 yaitu antara 3 dan 4.
Jadi, mediannya adalah 3,5.

$\spadesuit $ Median Data Berkelompok
Rumus Median data berkelompok :
                            $ \begin{align} Me = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - F_{ks}}{f_{me}} \right)p \end{align} $
Keterangan :
$ Tb_{me} = \, $ tepi bawah kelas median.
$ n = \, $ ukuran data (banyak datum).
$ F_{ks} = \, $ frekuensi kumulatif sebelum frekuensi kelas median.
$ f_{me} = \, $ frekuensi kelas mediannya.
$ p = \, $ panjang kelas.

Langkah-langkah menentukan Median :
1). Tentukan letak median dengan rumus $ \frac{1}{2}n $
2). Tentukan tepi bawah kelas median, Frekuensi kumulatif dan frekuensi median, serta panjang kelas .
3). Gunakan rumus median data berkelompok.

Contoh :
Sseorang karyawan sebuah toko bangunan sedang mengukur diameter dari 40 buah pipa. Hasil pengukurannya itu dituliskan dalam tabel.
Tentukan nilai median dari data pada tabel di atas!
Penyelesaian :
*). Menetukan letak median dengan ukuran $ n = 40 $
Letak median $ = \frac{1}{2}n = \frac{1}{2}. 40 = 20 $
Artinya median terletak pada data ke-20 yaitu pada kelas ke-3 dengan interval 71 - 73.
*). Menentukan komponen yang lainnya :
Tepi bawah : $ Tb_{me} = 71 - 0,5 = 70,5 $
Frekuensi kumulatif : $ F_{ks} = 2 + 5 = 7 $
frekuensi kelas median : $ f_{me} = 13 $
panjang kelas : $ p = \, $ bata atas $ - \, $ batas bawah $ + 1 = 73 - 71 + 1 = 3 $
*). Menentukan nilai mediannya :
$ \begin{align} Me & = Tb_{me} + \left( \frac{\frac{1}{2}n - F_{ks}}{f_{me}} \right)p \\ & = 70,5 + \left( \frac{\frac{1}{2}.40 - 7}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + \left( \frac{20 - 7}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + \left( \frac{13}{13} \right).3 \\ & = 70,5 + 3 \\ & = 73,5 \end{align} $
Jadi, median yang menyatakan nilai tengah dari diameter 40 pipa adalah 73,5 mm.

Modus (Nilai yang sering muncul)
       Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi tertinggi.

$\clubsuit $ Modus Data Tunggal
       Misalkan ada $ n \, $ data $ x_1, x_2, x_3, ... x_n \, $ , modus dari data tersebut adalah datum(nilai) dengan frekuensi tertinggi atau data yang paling sering muncul. Suatu data dikatakan tidak mempunyai modus jika dalam data tersebut tidak ada nilai yang dominan (sering muncul). Ternyata data juga bisa memiliki modus lebih dari satu.

Contoh :
1). Dari data : 1, 5, 7, 8, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Karena data tersebut tidak ada nilai yang dominan (masing-masing frekuensinya satu), maka data tersebut tidak memiliki modus.

2). Dari data : 1, 3, 5, 6, 7, 6, 6, 8, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Dari data terlihat bahwa nilai 6 paling sering muncul (muncul 3 kali), sehingga modusnya adalah 6.

3). Dari data : 2, 3, 1, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 9. Tentukan modusnya!
Penyelesaian :
Dari data, nilai yang sering muncul adalah angka 5 dan 7 (maasing-masing frekuensinya tertinggi yaitu 2 ), sehingga modus data tersebut adalah 5 dan 7.

$\clubsuit $ Modus Data Berkelompok
Rumus modus data berkelompok :
                            $ \begin{align} Mo = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \end{align} $
Keterangan :
$ Mo = \, $ nilai modus.
$ Tb_{mo} = \, $ tepi bawah kelas modus.
$ d_1 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.
$ d_2 = \, $ selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.
$ p = \, $ panjang kelas (lebar interval kelas)

Untuk menentukan nilai modus, sebaiknya kita harus menentukan kelas modusnya terlebih dahulu. Kelas modus adalah kelas yang memiliki nilai frekuensi tertinggi.

Contoh.
Berikut merupakan Data umur penduduk
Dari tabel di atas, tentukan nilai modusnya.!
Penyelesaian :
*). Dari tabel, terlihat bahwa kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah kelas ke-3 dengan frekuensi 140, ini artinya kelas modusnya adalah kelas ke-3 dengan interval 35 - 43.
*). Menentukan komponen lainnya:
Tepi bawah kelas modus : $ Tb_{mo} = 35 - 0,5 = 34,5 $
$ d_1 = 140 - 90 = 50 \, $ dan $ d_2 = 140 - 95 = 45 $
Panjang kelas : $ p = \, $ bata atas $ - \, $ batas bawah $ + 1 = 43 - 35 + 1 = 9 $
*). Menentukan nilai modusnya :
$ \begin{align} Mo & = Tb_{mo} + \left( \frac{d_1}{d_1 + d_2} \right) p \\ & = 34,5 + \left( \frac{50}{50 + 45} \right) . 9 \\ & = 34,5 + \left( \frac{50}{95} \right) . 9 \\ & = 34,5 + \frac{450}{95} \\ & = 34,5 + 4,74 \\ & = 39,24 \end{align} $
Jadi, modus yang menyatakan umur penduduk dalam pemilihan adalah 39,24.

Statistika : Penyajian Data

         Blog Koma - Penyajian Data merupakan salah satu materi bagian dari Statistika. Untuk penyajian data, data kita bagi menjadi dua bagian yaitu data tunggal dan data berkelompok. Untuk pengertian data tunggal dan data berkelompok, baca materi "statistika secara umum".

Penyajian Data Tunggal
       Data tunggal dapat disajikan dalam bentuk : Tabel, diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun, dan diagram kotak garis.

Berikut penjelasan masing-masing penyajian data tunggal.
a). Tabel
       Penyajian data tunggal dalam bentuk tabel dinamakan tabel distribusi frekuensi tunggal. Di sini langsung melibatkan frekuensinya masing-masing.
Contoh :
Berikut adalah data ulangan harian matematika dari 30 siswa kelas XI.
7, 8, 6, 8, 7, 7,
6, 6, 6, 7, 7, 7,
7, 7, 8, 6, 6, 6,
7, 7, 5, 5, 7, 7,
6, 6, 8, 8, 5, 6
Dari kumpulan dita di atas, susunlah dalam bentuk tabel!.
Penyelesaian :
Dari data di atas, terdapat beberapa nilai yang sama.
*). nilai amatan 5 muncul sebanyak 3 sehingga frekuensinya $ f = 3 $
*). nilai amatan 6 muncul sebanyak 10 sehingga frekuensinya $ f = 10 $
*). nilai amatan 7 muncul sebanyak 12 sehingga frekuensinya $ f = 12 $
*). nilai amatan 8 muncul sebanyak 5 sehingga frekuensinya $ f = 5 $
Tabel distribusi frekuensi tunggalnya,
Tally(Turus) menyatakan tanda yang menunjukkan banyakknya data.

b). Diagram Batang
       Diagram batang adalah diagram penyajian data dalam bentuk batang atau kotak yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius. Ada dua jenis diagram batang, yaitu diagram batang vertikal dan diagram batang horizontal.
Contoh :
Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah sebagai berikut.
Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian :
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

c). Diagram Garis
       Diagram garis adalah diagram penyajian data dalam bentuk garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan keadaan yang berkesinambungan.
Contoh :
Dalam enam bulan pertama tahun 2007, pemakaian daya listrik dari koperasi ABC seperti tertuang pada tabel berikut.
Sajikan data diatas ke dalam diagram garis dan kemudian tafsirkan.!
Penyelesaian :
Dari diagram garis di atas dapat dibaca dan ditafsirkan, misalkan :
*). Pada bulan Januari - Februari pemakaian listrik bertambah dengan kemiringan garisnya positif.
*). Pada bulan Februari - Maret pemakaian listrik menurun dengan kemiringan garisnya negatif.
*). Dari bulan Maret - Juni pemakaian listrik semakin meningkat dengan kemiringan garisnya positif untuk setiap bulannya, meskipun kemiringannya ini masih lebih kecil dibandingkan dengan periode bulan Januari - Februari.

d). Diagram Lingkaran
       Diagram lingkaran adalah diagram penyajian data dalam bentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.
Cara menentukan besar sudut dan persentase datanya,
$ \clubsuit $ Besar persentase :
Persentase nilai A = $ \begin{align} \frac{\text{banyak A}}{\text{jumlah seluruh data}} \times 100 \% \end{align} $
$ \clubsuit $ Besar Sudut :
Sudut nilai A = $\begin{align} \frac{\text{banyak A}}{\text{jumlah seluruh data}} \times 360^\circ \end{align} $

Untuk memudahkan mengingat, pada lingkaran berlaku perbandingan :
$\begin{align} \frac{\text{banyak nilai A}}{\text{jumlah seluruh data}} = \frac{\text{Sudut A}}{360^\circ} = \frac{\text{Persen A}}{100 \%} \end{align} $
Contoh :
Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah pada tahun 2007.
Sajikan data di atas dalam diagram lingkaran dan tentukan besar persentasenya masing-masing!
Penyelesaian :
Jumlah seluruh siswa adalah 1.000 orang. Seluruh siswa diklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang, SMP = 600 orang, dan SMA = 225 orang.
*). Menentukan besarnya persentase masing-masing :
siswa SD = $ \frac{175}{1000} \times 100 \% = 17,5 \% $
siswa SMP = $ \frac{600}{1000} \times 100 \% = 60 \% $
siswa SMA = $ \frac{225}{1000} \times 100 \% = 22,5 \% $
*). Menentukan besarnya sudut masing-masing :
siswa SD = $ \frac{175}{1000} \times 360^\circ = 63^\circ $
siswa SMP = $ \frac{600}{1000} \times 360^\circ = 216^\circ $
siswa SMP = $ \frac{225}{1000} \times 360^\circ = 81^\circ $
Berikut diagram lingkarannya :

e). Diagram Batang Daun
       Dalam diagram batang daun, data yang terkumpul diurutkan terlebih dulu dari data ukuran terkecil sampai dengan ukuran yang terbesar. Diagram batang daun terdiri dari dua bagian yaitu batang dan daun. Bagian batang memuat angka puluhan dan bagian daun memuat angka satuan. Dari pengertian ini, berarti diagram batang daun cocok digunakan untuk data yang besarnya sampai puluhan saja.
Contoh :
Buatlah diagaram batang daun dari data berikut.
45, 10, 20, 31, 48, 20, 29, 27, 11, 8,
25, 21, 42, 24, 22, 36, 33, 22, 23, 13,
34, 29, 25, 39, 32, 38, 50, 5
Penyelesaian :
Diagram batang daunnya adalah
Dari diagram batang daun di atas dapat dibaca sebagai berikut :
*). Ukuran terkecil (nilai terkecil) adalah 5,
*). Ukuran terbesar adalah 50,
*). Ukuran ke-1 sampai ke-9 adalah 5, 8, 10, 11, 20, 20, 21, 22, 22.
*). Ukuran ke-16 (nilai ke-16) adalah 29.

f). Diagram Kotak Garis
       Data statistik yang dipakai untuk menggambarkan diagram kotak garis adalah statistik lima serangkai, yang terdiri dari data ekstrim (data terkecil dan data terbesar) dan kuartil ($Q_1, \, Q_2, \, Q_3$). Untuk materi yang berkaitan menetukan besarnya kuartil, silahkan baca materi "Ukuran Pemusatan Data".
Contoh :
Diketahui data sebagai berikut:
41, 52, 66, 86, 91, 65, 86, 88, 41, 62, 42, 59, 72, 99, 53,
69, 87, 93, 64, 44, 64, 42, 92, 54, 78, 86, 92, 100, 79, 47
Buatlah statistik lima serangkai dan diagram kotak garisnya!
Penyelesaian :
*). Data diurutkan terlebih dahulu,
41, 41, 42, 42, 44, 47, 52, 53, 54, 59, 62, 64, 64, 65, 66, 69,
72, 78, 79, 86, 86, 86, 87, 88, 91, 92, 92, 93, 99, 100
*). Menentukan unsur-unsur statistik lima serangkai,
$ x_\text{min} = 41 \, $ (nilai terkecil)
$ x_\text{max} = 100 \, $ (nilai tertinggi)
$ Q_1 = 53 \, $ (nilai kuartil bawah)
$ Q_2 = 67,5 \, $ (nilai kuartil tengah atau median)
$ Q_3 = 87 \, $ (nilai kuartil atas)
*). Statistik lima serangkainya :
*). Diagram kotak garis

Penyajian Data Berkelompok
       Data tunggal dapat diolah menjadi bentuk-bentuk interval tertentu, data tersebut disebut data berkelompok. Data berkelompok dapat disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok, histogram, poligon, dan ogif(ogive).

i). Tabel Distribusi Frekuensi berkelompok
       Data yang berukuran besar ($ n > 30 $) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah menyusun Tabel Distribusi Frekuensi berkelompok
1). Tentukan jangkauannya (J), J = nilai terbesar - nilai terkecil.
2). Menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: $ K = 1 + 3,3 \log n $ dengan $ n $ adalah banyak data.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan terbaik.
3). Menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus: $ I = \frac{J}{K} $
4). Menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
5). Memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus atau frekuensi.

Contoh :
Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang.
Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini:
48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36
21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56
50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39
Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.!
Penyelesaian :
Langkah-langkah menyusun tabel distribusi frekuensi
1). Jangkauan (J) = $ X_\text{max}- X_\text{min} = 74 - 16 = 58. $
2). Banyak kelas (K) $ = 1 + 3,3 \log n = 1 + 3,3 \log 35 = 6,095 $. Banyak kelas dibulatkan menjadi "6".
3). Panjang interval kelas (I) adalah $ I = \frac{J}{K} = \frac{58}{6} = 9,67 $ .
Panjang interval kelas dibulatkan menjadi "10" (selalu bulatkan ke atas). Dengan panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut.

Dari tabel diperoleh beberapa informasi :
*). Banyak kelas (K) ada enam kelas yaitu 16 - 25, 26 - 35, 36 - 45, 46 - 55, 56 - 65, 66 - 75
*). Panjang kelas (I) adalah 10 , misalkan : 16 - 25 memuat nilai 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, dan 25 yaitu mengkover 10 nilai (datum).
*). Setiap kelas memiliki batas bawah kelas dan batas atas kelas.
Kelas ke-1 : 16 - 25 , batas bawahnya 16 dan batas atasnya 25
Kelas ke-2 : 26 - 35 , batas bawahnya 26 dan batas atasnya 35
Kelas ke-3 : 36 - 45 , batas bawahnya 36 dan batas atasnya 45
Kelas ke-4 : 46 - 55 , batas bawahnya 46 dan batas atasnya 55
Kelas ke-5 : 56 - 65 , batas bawahnya 56 dan batas atasnya 65
Kelas ke-6 : 66 - 75 , batas bawahnya 66 dan batas atasnya 75
*). Setiap kelas memiliki nilai tengah, nilai tengah = $ \frac{1}{2} $ (batas bawah + batas atas)
Kelas ke-1 : 16 - 25 , nilai tengah $ x_1 = \frac{1}{2}(16+25) = 20,5 $
Kelas ke-2 : 26 - 35 , nilai tengah $ x_2 = \frac{1}{2}(26+35) = 30,5 $
Kelas ke-3 : 36 - 45 , nilai tengah $ x_3 = \frac{1}{2}(36+45) = 40,5 $
Kelas ke-4 : 46 - 55 , nilai tengah $ x_4 = \frac{1}{2}(46+55) = 50,5 $
Kelas ke-5 : 56 - 65 , nilai tengah $ x_5 = \frac{1}{2}(56+65) = 60,5 $
Kelas ke-6 : 66 - 75 , nilai tengah $ x_6 = \frac{1}{2}(66+75) = 70,5 $
*). Setiap kelas memiliki tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.
Tepi bawah = batas bawah - 0,5 .
Tepi atas = batas atas + 0,5 .
Kelas ke-1 : 16 - 25 , tepi bawahnya 16 - 0,5 = 15,5 dan tepi atasnya 25 + 0,5 = 25,5
Kelas ke-2 : 26 - 35 , tepi bawahnya 26 - 0,5 = 25,5 dan tepi atasnya 35 + 0,5 = 35,5
Kelas ke-3 : 36 - 45 , tepi bawahnya 36 - 0,5 = 35,5 dan tepi atasnya 45 + 0,5 = 45,5
Kelas ke-4 : 46 - 55 , tepi bawahnya 46 - 0,5 = 45,5 dan tepi atasnya 55 + 0,5 = 55,5
Kelas ke-5 : 56 - 65 , tepi bawahnya 56 - 0,5 = 55,5 dan tepi atasnya 65 + 0,5 = 65,5
Kelas ke-6 : 66 - 75 , tepi bawahnya 66 - 0,5 = 65,5 dan tepi atasnya 75 + 0,5 = 75,5

ii). Histogram
       Histogram adalah diagram yang menyajikan data dari tabel distribusi frekuensi dengan bentuk batang dan berimpitan. Sumbu mendatar (sumbu $x$) menyatakan tepi kelas, dan sumbu tegak (sumbu $y$) menyatakan frekuensi. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas. Penyajian histogram dapat disajikan berdasarkan tepi-tepi kelas atau berdasarkan nilai tengah.
*). nilai tengah = $ \frac{1}{2} $ (batas bawah + batas atas)
                            atau
*). nilai tengah = $ \frac{1}{2} $ (tepi bawah + tepi atas) .

*). Tepi bawah kelas ke-$k$
= $ \frac{1}{2} $ [ Nilai tengah kelas ke-$(k-1)$ + Nilai tengah kelas ke-$k$ ]
*). Tepi atas kelas ke-$k$
= $ \frac{1}{2} $ [ Nilai tengah kelas ke-$k$ + Nilai tengah kelas ke-$(k+1)$ ]
*). Panjang kelas
= Nilai tengah kelas ke-$(k+1)\, \, - \, \, $ Nilai tengah kelas ke-$k$
Contoh :
Dari tabel angket berikut, buatlah histogramnya.!
Penyelesaian :
Histogram yang disajikan berdasarkan tepi-tepi kelas

iii). Poligon frekuensi
       Poligon frekuensi adalah diagram garis yang menghubungkan setiap titik tengah batang bagian atas dari suatu histogram dan batang - batangnya dihapus.
Contoh :
Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.
Penyelesaian :
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Frekuensi Relatif dan Kumulatif
       Frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen.
Frekuensi relatif kelas ke-$k$ = $ \begin{align} \frac{\text{frekuensi kelas ke-}k}{\text{Total data}} \times 100 \% \end{align} $
       Frekuensi kumulatif kelas ke-$k$ adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.
       Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu :
1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas).
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas).

contoh :
Dari tabel distribusi frekuensi berikut,
Tentukan :
a). Frekuensi kumulatif untuk interval 46 - 55 (kelas ke-4),
b). Frekuensi kumulatif lebih dari,
c). Frekuensi kumulatif kurang dari.
Penyelesaian :
a). Frekuensi relatif kelas ke-4
= $ \begin{align} \frac{\text{frekuensi kelas ke-}4}{\text{Total data}} \times 100 \% = \frac{10}{35} \times 100 \% = 28,57 \% \end{align} $ .

b). Frekuensi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas)
*). kelas ke-1 : 16 - 25 , tepi atas 25 + 0,5 = 25,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 25,5 adalah 5
*). kelas ke-2 : 26 - 35 , tepi atas 35 + 0,5 = 35,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 35,5 adalah 5 + 3 = 8
*). kelas ke-3 : 36 - 45 , tepi atas 45 + 0,5 = 45,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 45,5 adalah 5 + 3 + 9 = 17
*). kelas ke-4 : 46 - 55 , tepi atas 55 + 0,5 = 55,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 55,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 = 27
*). kelas ke-5 : 56 - 65 , tepi atas 65 + 0,5 = 65,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 65,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 + 6 = 33
*). kelas ke-6 : 66 - 75 , tepi atas 75 + 0,5 = 75,5.
frekuensi kumulatif kurang dari 75,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 35

c). Frekuensi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah)
*). kelas ke-1 : 16 - 25 , tepi bawah 16 - 0,5 = 15,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 15,5 adalah 5 + 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 35
*). kelas ke-2 : 26 - 35 , tepi bawah 26 - 0,5 = 25,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 25,5 adalah 3 + 9 + 10 + 6 + 2 = 30
*). kelas ke-3 : 36 - 45 , tepi bawah 36 - 0,5 = 35,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 35,5 adalah 9 + 10 + 6 + 2 = 27
*). kelas ke-4 : 46 - 55 , tepi bawah 46 - 0,5 = 45,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 45,5 adalah 10 + 6 + 2 = 18
*). kelas ke-5 : 56 - 65 , tepi bawah 56 - 0,5 = 55,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 55,5 adalah 6 + 2 = 8
*). kelas ke-6 : 66 - 75 , tepi bawah 66 - 0,5 = 65,5.
frekuensi kumulatif lebih dari 65,5 adalah 2

iv). Ogif (ogive)
       Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif.
Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Contoh :
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di bawah ini.
Gambarlah ogif naik dan ogif turun.
Penyelesaian :
*). Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari
*). Berikut diagram ogif (ogive) dari tabel di atas.