Tampilkan posting dengan label segi empat. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label segi empat. Tampilkan semua posting

Jumat, 18 Desember 2015

Pembahasan Latihan 1.1 Segi Empat dan Segitiga kelas VII Kurikulum 2013

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada kesempatan kali ini kita akan mempelajari artikel Pembahasan Latihan 1.1 Segi Eepat dan Segitiga kelas VII Kurikulum 2013 Semester II. Materi dasar yang harus dikuasai adalah "Bangun Datar Segi Empat Secara Umum".
         Pembahasan Latihan 1.1 Segi Empat dan Segitiga kelas VII Kurikulum 2013 adalah latihan awal dalam kita mengenali yang namanya bangun datar seperti segi empat dan segitiga. Beberapa jenis bangun datar yang ada pada latihan 1.1 Segi Eepat dan Segitiga ini adalah persegi, persegi panjang, trapesium, jajargenjang, layang-layang, dan belah ketupat. Pada latihan ini soal-soalnya tidaklah terlalu mendalam karena hanya melibatkan karakteristik umum dari masing-masing bangun datar.

         Soal-soal yang ditampilkan pada Pembahasan Latihan 1.1 Segi Empat dan Segitiga kelas VII Kurikulum 2013 cukup bervariasi dari nama-nama bangun datarnya, unsur-unsur pada masing-masing bangun datar, dan soal yang menurut kami menarik adalah soal nomor 2 yaitu pertanyaannya kita diminta menentukan ada berapa banyak persegi pada pola tertentu. Sebenarnya soal-soal latihan 1.1 ini bertujuan agar kita mau mencari informasi tentang bangun datar terlebih dahulu sebelum dijelaskan secara keseluruhan dari masing-masing bangun datar. Untuk memudahkan, maka kami sediakan pembahasannya sebagai bahan pertimbangan dalam menjawab soal-soalnya.

Soal 1.
Perhatikan gambar berikut,
Ada berapa banyak bentuk bangun datar yang tampak? Sebutkan bentuk bangun datarnya?
Penyelesaian :
Dari gambar rumah, ada beberapa bangun datar yang terbentuk yaitu : persegi, persegi panjang, segitiga, dan trapesium.
Soal 2.
Perhatikan gambar berikut,
Dengan memperhatikan gambar tersebut, ada berapa banyak persegi kecil pada $ a_{2013} $ ?
Penyelesaian :
*). Perhatikan banyak persegi pada gambar pada $ a_1, \, a_2, \, a_3, \, a_4 $ .
banyak persegi pada $ a_1 \, $ ada 3.
banyak persegi pada $ a_2 \, $ ada 5.
banyak persegi pada $ a_3 \, $ ada 7.
banyak persegi pada $ a_4 \, $ ada 9.
*). Menentukan pola banyaknya persegi pada pola ke-$n$ .
Pola ke-1, $ a_1 \, $ ada 3, caranya $ a_1 = 2 \times 1 + 1$
Pola ke-2, $ a_2 \, $ ada 5, caranya $ a_2 = 2 \times 2 + 1$
Pola ke-3, $ a_3 \, $ ada 7, caranya $ a_3 = 2 \times 3 + 1$
Pola ke-4, $ a_4 \, $ ada 9, caranya $ a_4 = 2 \times 4 + 1$
...... dan seterusnya :
Pola ke-$n$, caranya $ a_n = 2 \times n = 2n + 1 $
*). Menentukan banyak persegi pada $ a_{2013} $ .
$ a_n = 2n + 1 \rightarrow a_{2013} = 2 \times 2013 + 1 = 4027 $ .
Jadi, banyak persegi pada $ a_{2013} \, $ ada 4027 persegi.
Soal 3.
Perhatikan gambar berikut,
a). Tentukan panjang AD dan CD,
b). Tentukan besar $ \angle $ABC dan $ \angle $CDA,
c). Sebutkan sepasang diagonal yang sama panjang,
d). Sebutkan ruas garis yang sama panjang dengan AD.
Penyelesaian :
*). Untuk persegi panjang, silahkan baca materinya pada artikel "Sifat, Keliling, dan Luas Persegi Panjang".
a). AD = BC = 8 cm, dan CD = AB = 12 cm.
b). $ \angle ABC = \angle CDA = 90^\circ $.
c). Diagonal AC = diagonal BD.
d). panjang AD = panjang BC.
Soal 4.
Diketahui jajargenjang KLMN dengan besar $ \angle K = (2y - 15)^\circ \, $ dan $ \angle M = (27 - y)^\circ \, $ . Tentukan besar $ \angle $K, $ \angle $L, dan $ \angle $N.
Penyelesaian :
*). Untuk jajargenjang, baca materinya pada "Sifat, Keliling, dan Luas Jajargenjang".
*). Perhatikan gambar jajargenjang KLMN berikut,
*). Sudut-sudut yang berhadapan sama besar, sudut K berhadapan dengan sudut M,
$ \angle K = \angle M \rightarrow 2y - 15 = 27 - y \rightarrow 3y = 42 \rightarrow y = 14 $ .
*). Sudut K :
$ \angle K = (2y - 15)^\circ = (2.14 - 15)^\circ = 13^\circ $
*). Sudut L :
Sudut K dan L berdekatan sehingga jumlahnya $ 180^\circ $.
$ \angle K + \angle L = 180^\circ \rightarrow 13^\circ + \angle L = 180^\circ \rightarrow \angle L = 167^\circ $.
*). Sudut N :
Sudut N dan sudut L berhadapan sehingga besarnya sama,
$ \angle N = \angle L = 167^\circ $ .
Soal 5.
Perhatikan gambar trapesium berikut,
a). Tentukan jumlah sudut P, Q, R, dan S.
b). Berapakah jumlah ukurna dua sisi yang sejajar?
Penyelesaian :
*). Untuk trapesium, silahkan baca materinya pada "Sifat, Keliling, dan Luas Trapesium".
a). Jumlah semua sudut pada segi empat adalah $ 360^\circ $.
sehingga : $ \angle P + \angle Q + \angle R + \angle S = 360^\circ $.
b). Sisi-sisi sejajarnya adalah SR dan PQ.
Panjang PQ = 12 cm, dan TU = PQ = 12 cm.
Panjang SR = ST + TU + UR = 3 + 12 + 2 = 17 cm.
Jumlah sisi-sisi sejajar : $ PQ + SR = 12 + 17 = 29 \, $ cm.
Soal 6.
Perhatikan gambar belah ketupat berikut,
Jika $ AD = (2x+5) , \, BC = (x+7), \, $ dan $ \angle BCD = 60^\circ , \, $ maka tentukan :
a). Nilai $ x $,
b). Panjang sisi AD,
c). Besar $ \angle BAD \, $ dan $ \angle ABC $ .
Penyelesaian :
*). Baca materi belah ketupat di "Sifat, Keliling, dan Luas Belah Ketupat".
a). Semua sisi belah ketupat sama panjang,
$ AD = BC \rightarrow 2x+5 = x + 7 \rightarrow x = 2 $.
b). Panjang sisi AD = $ 2x + 5 = 2.2 + 5 = 9 \, $ cm.
c). Sudut yang berhadapan sama besar,
sehingga $ \angle BAD = \angle BCD = 60^\circ $.
*). Sudut berdekatan jumlahnya $ 180^\circ , \, $ sudut ABC berdekatan dengan sudut BCD,
$ \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ \rightarrow \angle ABC + 60^\circ = 180^\circ $
$ \rightarrow \angle ABC = 120^\circ $.
Soal 7.
Perhatikan gambar layang-layang KLMN berikut,
Jika besar $ \angle KLN = 45^\circ \, $ dan $ \angle MNL = 30^\circ \, $ . Tentukan :
a). Besar $ \angle MLN \, $
b). Besar $ \angle KNL \, $
c). Besar $ \angle LKM \, $
d). Besar $ \angle KML \, $
e). Besar $ \angle NKM \, $
f). Besar $ \angle NMK \, $
g). jumlah $ \angle LKM , \, \angle KNM , \, \angle NML , \, $ dan $ \angle MLK $.
Penyelesaian :
*). Baca materi layang-layang di "Sifat, Keliling, dan Luas Layang - Layang".
a). $ \angle MLN = \angle KLN = 45^\circ $.
b). $ \angle KNL = \angle MNL = 30^\circ $.
c). pada segitiga KOL, jumlah sudut segitiga $ 180^\circ $.
$ \begin{align} \angle LKO + \angle KOL + \angle KLO & = 180^\circ \\ \angle LKO + 90^\circ + 45^\circ & = 180^\circ \\ \angle LKO + 135^\circ & = 180^\circ \\ \angle LKO & = 45^\circ \end{align} $
sehingga $ \angle LKM = \angle LKO = 45^\circ $.
d). pada segitiga MOL, jumlah sudut segitiga $ 180^\circ $.
$ \begin{align} \angle LMO + \angle MOL + \angle MLO & = 180^\circ \\ \angle LMO + 90^\circ + 45^\circ & = 180^\circ \\ \angle LMO + 135^\circ & = 180^\circ \\ \angle LMO & = 45^\circ \end{align} $
sehingga $ \angle KML = \angle LMO = 45^\circ $.
e). pada segitiga KON, jumlah sudut segitiga $ 180^\circ $.
$ \angle KNO = \angle MNO = 30^\circ $.
$ \begin{align} \angle NKO + \angle KON + \angle KNO & = 180^\circ \\ \angle NKO + 90^\circ + 30^\circ & = 180^\circ \\ \angle NKO + 120^\circ & = 180^\circ \\ \angle NKO & = 60^\circ \end{align} $
sehingga $ \angle NKM = \angle NKO = 60^\circ $.
f). pada segitiga MON, jumlah sudut segitiga $ 180^\circ $.
$ \begin{align} \angle NMO + \angle MON + \angle MNO & = 180^\circ \\ \angle NMO + 90^\circ + 30^\circ & = 180^\circ \\ \angle NMO + 120^\circ & = 180^\circ \\ \angle NMO & = 60^\circ \end{align} $
sehingga $ \angle NMK = \angle NMO = 60^\circ $.
g). Jumlah semua sudut-sudut layang-layang adalah $ 360^\circ $.
$ \angle LKM + \angle KNM + \angle NML + \angle MLK = 360^\circ $.
Soal 8.
Diketahui jajargenjang ABCD dengan diagonalnya berpotongan saling tegak lurus. Apakah jajargenjang ABCD dapat juga dikatakan belah ketupat ABCD?
Penyelesaian :
*). Belah ketupat memiliki sifat :
i). diagonalnya berpotongan tegak lurus,
ii). Panjang sisinya sama panjang.
*). Jajargenjang akan menjadi belah ketupat jika panjang sisi-sisi jajargenjangnya sama semua, artinya jajargenjang bisa menjadi belah ketupat asalkan memenuhi sifat-sifat belah ketupat.
Soal 9.
Kinan dan Ningsih mendeskripsikan definisi segi empat yang merupakan jajargenjang.
Manakah diantara Kinan dan Ningsih yang mendeskripsikan jajargenjang dengan benar?
Penyelesaian :
*). Untuk deskripsi oleh Kinan, kurang tepat karena sepasang sisi yang sama panjang belum tentu sejajar sehingga jika tidak sejajar maka akan terbentuk trapesium.
*). Untuk deskripsi oleh Ningsih, ini benar akan membentuk jajargenjang karena sepasang sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.

       Demikian Pembahasan Latihan 1.1 Segi Eepat dan Segitiga kelas VII Kurikulum 2013. Jika ada kekeliruan dalam penyelesaiannya, mohon kritik dan saranya agar penyelesaiannya menjadi lebih baik dengan memberikan komentar di kotak komentar di bawah. Semoga pembahasannya bisa bermanfaat untuk kita semua. Terima kasih.

Rabu, 16 Desember 2015

Sifat, Keliling, dan Luas Trapesium

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Sifat, Keliling, dan Luas Trapesium yang merupakan salah satu dari jenis "bangun datar segi empat". Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian Trapesium, sifat Trapesium, keliling Trapesium, dan luas Trapesium.

Pengertian Trapesium
       Trapesium adalah bangun segi empat yang mempunyai tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.
Jenis-jenis Trapesium
       Perhatikan bentuk Trapesium berikut,
Ada tiga jenis-jenis Trapesium yaiut :
*). Trapesium sebarang, gambar (i)
       Trapesium sebarang adalah trapesium yang keempat sisinya tidak sama panjang.
*). Trapesium sama kaki, gambar (ii)
       Trapesium sama kaki adalah trapesium yang mempunyai sepasang sisi yang sama panjang, di samping mempunyai sepasang sisi yang sejajar.
*). Trapesium siku-siku, gambar (iii)
       Trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satusudutnya merupakan sudut siku-siku (90$^\circ$).
Sifat-sifat Trapesium
       Perhatikan Trapesium ABCD berikut,
Sifat-sifat Trapesium yaitu :
i). Secara umum dapat dikatakan bahwa jumlah sudut yang berdekatan di antara dua sisi sejajar pada trapesium adalah 180$^\circ \, $ (sudut-sudut sepihak).
$ \angle DAB + \angle ADC = 180^\circ $
$ \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ $
ii). Trapesium sama kaki mempunyai ciri-ciri khusus, yaitu
1) diagonal-diagonalnya sama panjang;
2) sudut-sudut alasnya sama besar;
3) dapat menempati bingkainya dengan dua cara.
Keliling dan Luas Trapesium
       Perhatikan Trapesium PQRS berikut,
$\spadesuit $ Keliling Trapesium dari gambar (a),
       Keliling Trapesium (K) : $ K = PQ + QR + RS + PS $.

$\spadesuit $ Luas Trapesium
       Dari Trapesium gambar (b), bangun yang diberi nomor 1 sampai 3 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (c). Artinya luas Trapesium sama dengan luas persegi panjang.
panjang = $ TR = a + \frac{b-a}{2} = \frac{1}{2}(a+b) \, $ dan lebar $ = RT = t \, $ .
Luas Trapesium (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = \frac{1}{2}(a+b) \times t = \frac{1}{2}(a+b)t $.
atau
Luas trapesium = $ \, \frac{1}{2} \times \, $ jumlah sisi sejajar $ \, \times \, $ tinggi .
Contoh :
1). Tentukan luas trapesium berikut ini,
Penyelesaian :
*). Sisi-sisi sejajarnya adalah 8 dan 12, serta tingginya 6.
Luas $ = \frac{1}{2} . (8 + 12) . 6 = 60 $.

2). Perhatikan gambar trapesium berikut,
Diberikan enam lingkaran dengan jari-jari $ r \, $ dalam sebuah trapesium ABCD sama kaki dan panjang AD $ = 5r $ . Buktikan bahwa luas daerah yang diarsir adalah $ 6r^2(6-\pi) $.
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan luas daerah yang diarsir caranya kita kurangkan luas trapesium dengan luas enam lingkaran di dalamnya.
*). Luas enam lingkaran = $ 6 \times \pi r^2 = 6\pi r^2 $.
*). Perhatikan segitiga AOD siku-siku di O dan sisi miringnya AD. Panjang OD = $ 4r $.
Menentukan panjang AO dengan pythagoras,
$ AD^2 = AO^2 + OD^2 \rightarrow (5r^2)^2 = AO^2 + (4r)^2 \rightarrow AO = 3r $ .
*). Menentukan unsur-unsur trapesium,
Sisi-sisi sejajar : CD $ = 3 \times 2r = 6r \, $ dan $ AB = 2AO + CD = 6r + 6r = 12r $.
Tinggi trapesium : $ t = OD = 4r $.
*). Menentukan luas trapesium :
Luas trapesium $ = \frac{1}{2}(a+b)t = \frac{1}{2}(6r + 12r).4r = 36r^2 $.
*). Menentukan luas arsiran,
$ \begin{align} \text{Luas arsiran } & = \text{Luas tapesium } - \text{Luas 6 lingkaran } \\ & = 36r^2 - 6\pi r^2 \\ & = 6r^2(6 - \pi) \end{align} $
Jadi, terbukti luas daerah arsiran adalah $ 6r^2(6-\pi) $.

3). Perhatikan gambar trapesium beerikut,
KLMN adalah trapesium dengan MNOP suatu persegi dan OP = 8 cm. Jika KO = 6 cm, PL = 2 cm, KN = 10 cm, dan $ LM = 2\sqrt{17} \, $ cm , tentukan :
a. panjang MN ;
b. keliling trapesium KLMN;
c. luas trapesium KLMN.
Penyelesaian :
a). Panjang $ MN = OP = 8 \, $ cm.

b). Alas $ = KL = KO + OP + PL = 6 + 8 + 2 = 16 \, $ cm.
$ \begin{align} \text{Keliling } & = KL + LM + MN + KN \\ & = 16 + 2\sqrt{17} + 8 + 10 \\ & = 34 + 2\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, keliling trapesium adalah $ (34 + 2\sqrt{17} ) \, $ cm.

c). Luas Trapesium KLMN
$ \begin{align} L & = \frac{1}{2} (KL + NM) . NO \\ & = \frac{1}{2} (8 + 16) . 8 \\ & = 96 \end{align} $
Jadi, luas trapesium adalah 96 cm$^2$.

4). Perhatikan gambar-gambar trapesium berikut,
Tentukan besar semua sudut yang belum diketahui dari trapesium berikut.
Penyelesaian :
*). Sudut-sudut yang berdekatan antara garis sejajar jumlahnya $ 180^\circ $.
*). gambar a).
$ \angle A + \angle B = 180^\circ \rightarrow 110^\circ + \angle B = 180^\circ \rightarrow \angle B = 70^\circ $.
$ \angle C + \angle D = 180^\circ \rightarrow 45^\circ + \angle D = 180^\circ \rightarrow \angle D = 135^\circ $.
*). gambar b).
$ \angle E + \angle H = 180^\circ \rightarrow 65^\circ + \angle H = 180^\circ \rightarrow \angle H = 115^\circ $.
$ \angle F = \angle E = 65^\circ $ ,
$ \angle G = \angle H = 115^\circ $.

Sifat, Keliling, dan Luas Layang - Layang

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Sifat, Keliling, dan Luas Layang - layang yang merupakan salah satu dari jenis "bangun datar segi empat". Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian Layang - layang, sifat Layang - layang, keliling Layang - layang, dan luas Layang - layang.

Pengertian Layang - layang
       Layang - layang adalah segi empat yang dibentuk dari gabungan dua buah segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan berimpit.
Keterangan:
*). Segitiga ABD dan segitiga CEF digabungkan dengan sisi alas BD dan EF berimpit sehingga terbentuk layang-layang pada gambar (iii).
Sifat-sifat Layang - layang
       Perhatikan Layang - layang ABCD berikut,
Sifat-sifat Layang - layang yaitu :
i). Masing-masing sepasang sisinya sama panjang.
AB = BC dan AD = DC.
ii). Sepasang sudut yang berhadapan sama besar.
$ \angle BAD = \angle BCD $
iii). Salah satu diagonalnya merupakan sumbu simetri.
Diagonal BD adalah sumbu simetrinya.
(iv) Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lainnya menjadi dua bagian sama panjang dan kedua diagonal itu saling tegak lurus.
*). Pada diagonal AC berlaku AO = OC.
*). $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^\circ $ .
Contoh :
1). Perhatikan gambar layang-layang KLMN berikut,
Diketahui layang-layang KLMN dengan panjang KO = 16 cm, LO = 12 cm, dan MO = 24 cm seperti tampak pada Gambar diatas. Selain itu, diketahui besar $ \angle LKO = 35^\circ \, $ dan $ \angle MLN = 65^\circ $ .
a). Tentukan panjang KL dan MN.
b). Hitunglah besar semua sudut yang lain.
Penyelesaian :
a). Kita gunakan teorema Pythagoras,
*). Segitiga KOL
$ \begin{align} KL^2 & = KO^2 + LO^2 \\ KL & = \sqrt{ 16^2 + 12^2 } \\ & = \sqrt{ 256 + 144 } \\ & = \sqrt{ 400 } \\ & = 20 \end{align} $
Sehingga panjang KL = 20 cm.
*). Segitiga MON dan gunakan bentuk $ \sqrt{a.b} = \sqrt{a}.\sqrt{b} $ .
$ \begin{align} MN^2 & = MO^2 + NO^2 \\ MN & = \sqrt{ 12^2 + 24^2 } \\ & = \sqrt{ 144 + 576 } \\ & = \sqrt{ 720 } = \sqrt{144 \times 5 } \\ & = \sqrt{144} . \sqrt{5} = 12\sqrt{5} \end{align} $
Sehingga panjang MN = $ 12\sqrt{5} \, $ cm.

b). Menentukan besarnya sudut-sudut yang lainnya,
*). $ \angle NKO = \angle LKO = 35^\circ $.
*). $ \angle MNL = \angle MLN = 65^\circ $.
*). Segitiga KOL, jumlah sudut pada segitiga $ 180^\circ $.
$\begin{align} \angle LKO + \angle KOL + \angle KLO & = 180^\circ \\ 35^\circ + 90^\circ + \angle KLO & = 180^\circ \\ \angle KLO & = 55^\circ \end{align} $
*). $ \angle KNO = \angle KLO = 55^\circ $.
*). Segitiga MON, jumlah sudut pada segitiga $ 180^\circ $.
$\begin{align} \angle MNO + \angle MON + \angle NMO & = 180^\circ \\ 65^\circ + 90^\circ + \angle NMO & = 180^\circ \\ \angle NMO & = 25^\circ \end{align} $
*). $ \angle LMO = \angle NMO = 25^\circ $.

Keliling dan Luas Layang - layang
       Perhatikan Layang - layang KLMN berikut,
$\spadesuit $ Keliling Layang - layang dari gambar (a),
       Keliling Layang - layang (K) : $ K = x + x + y + y = 2(x + y) $.

$\spadesuit $ Luas Layang - layang
       Dari Layang - layang gambar (b), segitiga yang kecil-kecil (KON, NOM, MOL, KOL) yang diberi nomor 1 sampai 4 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (c). Artinya luas Layang - layang sama dengan luas persegi panjang.
Misalkan diagonal $ KM = d_1 \, $ maka $ PQ = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2}d_1 \, $ dan diagonal $ LN = d_2 \, $ , ini artinya pada gambar (c) panjangnya adalah $ \frac{1}{2}d_1 \, $ dan lebarnya adalah $ d_2 $.
Luas Layang - layang (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = \frac{1}{2} d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 $.
Contoh :
2). Tentukan luas layang-layang yang diketahui panjang diagonal-diagonalnya adalah 12 cm dan 5 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ d_1 = 12 \, $ dan $ d_2 = 5 $.
Luas : $ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times 12 \times 5 = 30 $ .
Jadi, luas layang-layang adalah 30 cm$^2$.

3). Dari soal nomor 1 di atas, tentukan keliling dan luas layang-layang KLMN tersebut.
Penyelesaian :
*). Keliling dengan panjang $ KL = 20 \, $ dan $ MN = 12\sqrt{5} $ .
$ K = KL + LM + MN + KN = 20 + 12\sqrt{5} + 12\sqrt{5} + 20 = 40 + 24\sqrt{5} $ .
Sehingga kelilingnya adalah $(40 + 24\sqrt{5}) \, $ cm.
*). Luas dengan $ d_1 = KM = 16 + 24 = 40 \, $ dan $ d_2 = NL = 12 + 12 = 24 $.
Luas : $ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times 40 \times 24 = 480 $ .
Sehingga luas layang-layangnya adalah 480 cm$^2$.

4). Sebuah layang-layang memiliki luas 168 cm$^2$. Jika salah satu diagonal layang-layang tersebut panjangnya 24 cm, tentukan panjang diagonal yang lainnya.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 168 \, $ dan $ d_1 24 $.
$\begin{align} L & = 168 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 168 \\ \frac{1}{2}\times 24 \times d_2 & = 168 \\ 12 \times d_2 & = 168 \\ d_2 & = \frac{168}{12} = 14 \end{align} $
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 14 cm.

5). Diketahui luas suatu layang-layang adalah 192 cm$^2$. Jika diagonal $d_1 $ dan $d_2 $ memiliki perbandingan $d_1 : d_2 = 2 : 3$ , tentukan panjang diagonal $d_1 $ dan $d_2 $.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, perbandingannya masing-masing kita kalikan $ a $.
$ \frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3} . \frac{a}{a} \rightarrow \frac{d_1}{d_2} = \frac{2a}{3a} $
Artinya besar $ d_1 = 2a \, $ dan $ d_2 = 3a $.
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari luasnya,
$\begin{align} L & = 192 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 192 \\ \frac{1}{2}\times (2a) \times (3a) & = 192 \\ 3a^2 & = 192 \\ a^2 & = 64 \\ a & = \sqrt{64} = 8 \end{align} $
Sehingga nilai $d_1 $ dan $d_2 $ ,
nilai $ d_1 = 2a = 2.8 = 16 \, $ cm.
nilai $ d_2 = 3a = 3.8 = 24 \, $ cm.
Jadi, panjang diagonal masing-masing adalah 16 cm dan 24 cm.

Selasa, 15 Desember 2015

Sifat, Keliling, dan Luas Belah Ketupat

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Sifat, Keliling, dan Luas Belah Ketupat yang merupakan salah satu dari jenis "bangun datar segi empat". Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian belah ketupat, sifat-sifat belah ketupat, keliling belah ketupat, dan luas belah ketupat.

Pengertian Belah Ketupat
       Belah ketupat adalah bangun segi empat yang dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.
Keterangan:
*). Segitiga ABC adalah hasil pencerminan segitiga ACD terhadap garis AC (garis alas segitiga), perpaduan kedua segitiga tersebut membentuk belah ketupat.
Sifat-sifat Belah Ketupat
       Perhatikan Belah Ketupat ABCD berikut,
Sifat-sifat Belah Ketupat yaitu :
i). Semua sisi pada belah ketupat sama panjang.
AB = BC = CD = DA .
ii). Kedua diagonal pada belah ketupat merupakan sumbu simetri.
Diagonalnya adalah AC dan BD.
iii). Kedua diagonal belah ketupat saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.
diagonal : AO = OC dan BO = OD.
Sudut : $ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^\circ $ .
iv). Pada setiap belah ketupat sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
$ \angle BAD = \angle BCD \, $ dan $ \angle ABC = \angle ADC $.
v). Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap belah ketupat adalah $180^\circ$.
$ \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ , \, \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ $
$ \angle BCD + \angle ADC = 180^\circ , \, \angle BAD + \angle ADC = 180^\circ $ .
Contoh :
1). Perhatikan gambar belah ketupat KLMN berikut,
KLMN adalah belah ketupat dengan panjang KM = 24 cm dan LN = 32 cm serta besar $ \angle KLM = 80^\circ $ .
a). Tentukan panjang KO dan LO,
b). tentukan panjang semua sisinya,
c). tentukan besarnya sudut KNM, NKL, dan LMN.
Penyelesaian :
a). berdasarkan sifat (iii),
*). KO = OM , sehingga $ KO = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \, $ cm.
*). LO = ON , sehingga $ LO = \frac{1}{2} LN = \frac{1}{2} \times 32 = 16 \, $ cm.

b). Menentukan panjang sisi belah ketupat denga pythagoras pada segitiga KOL,
$ \begin{align} KL^2 & = KO^2 + LO^2 \\ KL & = \sqrt{12^2 + 16^2} \\ & = \sqrt{144 + 256} \\ & = \sqrt{400} \\ & = 20 \end{align} $
sehingga panjang sisinya adalah KL = LM = MN = NK = 20 cm.

c). Berdasarkan sifat (iv) dan (v),
*). $ \angle KNM = \angle KLM = 80^\circ $.
*). $ \angle LMN + \angle KLM = 180^\circ \rightarrow \angle LMN + 80^\circ = 180^\circ \rightarrow \angle LMN = 100^\circ $
*). $ \angle LKN = \angle LMN = 100^\circ $.

Keliling dan Luas Belah Ketupat
       Perhatikan Belah Ketupat ABCD berikut,
$\spadesuit $ Keliling Belah Ketupat dari gambar (a),
       Keliling Belah Ketupat (K) : $ K = AB + BC + CD + DA = 4s $.

$\spadesuit $ Luas Belah Ketupat
       Dari Belah Ketupat gambar (c), segitiga yang kecil-kecil (AEB, BEC, CED,AED) yang diberi nomor 1 sampai 4 disusun ulang sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar (d). Artinya luas belah ketupat sama dengan luas persegi panjang.
Misalkan diagonal $ AC = d_1 \, $ dan diagonal $ BD = d_2 \, $ maka $ ED = \frac{1}{2}d_2 $ , ini artinya pada gambar (d) panjangnya adalah $ d_1 \, $ dan lebarnya adalah $ \frac{1}{2}d_2 $.
Luas Belah Ketupat (L) :
$ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = d_1 \times \frac{1}{2} d_2 = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 $.
Contoh :
2). Tentukan luas belah ketupat yang memiliki panjang diagonal-diagonal 6 cm dan 8 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ d_1 = 6 \, $ dan $ d_2 = 8 $.
Luas : $ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2}\times 6 \times 8 = 24 $
Jadi, luas belah ketupatnya adalah 24 cm$^2$ .

3).Sebuah belah ketupat diketahui luasnya 180 cm$^2$. Jika panjang salah satu diagonalnya 24 cm, tentukan panjang diagonal yang lain.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 180 \, $ dan $ d_1 = 24. $
*). Menentukan panjang $ d_2 $.
$ \begin{align} L & = 180 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 180 \\ \frac{1}{2}\times 24 \times d_2 & = 180 \\ 12 \times d_2 & = 180 \\ d_2 & = \frac{180}{12} = 15 \end{align} $
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 15 cm.

4). Panjang diagonal-diagonal suatu belah ketupat diketahui berturut-turut 18 cm dan ($2x + 3$) cm. Jika luas belah ketupat tersebut 81 cm$^2$, tentukan nilai $ x \, $ dan panjang diagonal satunya.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 81 , \, d_1 = 18 \, $ dan $ d_2 = (2x + 3 ) $.
*). Menentukan panjang $ x \, $ dan $ d_2 $.
$ \begin{align} L & = 81 \\ \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 & = 81 \\ \frac{1}{2}\times 18 \times (2x + 3 ) & = 81 \\ 9 \times (2x + 3 ) & = 81 \\ (2x + 3 ) & = \frac{81}{9} = 9 \\ 2x & = 6 \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ x = 3 \, $ dan panjang diagonalnya $ 2x + 3 = 2.3 + 3 = 9 $.
Jadi, panjang diagonal yang lainnya adalah 9 cm.

5). Perhatikan gambar berikut,
Belah ketupat ABCD memiliki luas 24 cm$^2 $ dan panjang AD = 5 cm. Panjang OC = $ x \, $ cm, OD = $ y \, $ cm, dan nilai $ x + y = 7 $ .
Tentukan :
a). Keliling belah keptupat,
b). Panjang diagonal-diagonalnya.
Penyelesaian :
a). Panjang sisi belah ketupat adalah $ s = AD = 5 \, $ cm .
sehingga keliling : $ K = 4s = 4 . 5 = 20 \, $ cm .

b). Panjang $ OC = x, \, $ sehingga $ AC = 2x $ .
panjang $ OD = y , \, $ sehingga $ BD = 2y $ .
Luas belah ketupat :
$ L = \frac{1}{2}\times d_1 \times d_2 \rightarrow 24 = \frac{1}{2}\times 2x \times 2y \rightarrow xy = 12 $.
Dari bentuk $ x + y = 7 \, $ dan $ xy = 12 , \, $ maka nilai $ x = 4 \, $ dan $ y = 3 $.
Sehingga panjang diagonal-diagonalnya :
$ AC = 2x = 2. 4 = 8 \, $ cm dan $ BD = 2y = 2. 3 = 6 \, $ cm .
Jadi, panjang diagonalnya adalah 8 cm dan 6 cm.

Sifat, Keliling, dan Luas Jajargenjang

         Blog Koma - Matematika SMP : Hallow teman-teman, kita lanjutkan pembahasan materi yang berkaitan dengan segi empat. Sebelumnya kita telah mengeposkan materi "persegi panjang" dan "persegi", nah pada artikel ini kita akan membahas materi Sifat, Keliling, dan Luas Jajargenjang. Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian jajargenjang, sifat-sifat jajargenjang, keliling jajargenjang, dan luas jajargenjang.

Pengertian Jajajrgenjang
       Jajargenjang adalah bangun segi empat yang dibentuk dari sebuah segitiga dan bayangannya yang diputar setengah putaran ($180^\circ$) pada titik tengah salah satu sisinya.
Keterangan:
*). Segitiga ABD di rotasi (diputar) $180^\circ $ sehingga membentuk jajargenjang ABCD dengan perbaduan segitiga ABD dan segitiga BCD.
Sifat-sifat Jajajrgenjang
       Perhatikan jajargenjang ABCD berikut,
Sifat-sifat jajargenjang yaitu :
i). Sisi-sisi yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama panjang dan sejajar.
sisi AB = sisi CD dan sejajar, sisi BC = sisi AD dan sejajar.
ii). Sudut-sudut yang berhadapan pada setiap jajargenjang sama besar.
$ \angle ABC = \angle ADC \, $ dan $ \angle BAD = \angle BCD $ .
iii). Jumlah pasangan sudut yang saling berdekatan pada setiap jajargenjang adalah $180^\circ$.
$ \angle BAD + \angle ABC = 180^\circ , \, \angle ABC + \angle BCD = 180^\circ $
$ \angle BCD + \angle ADC = 180^\circ , \, \angle BAD + \angle ADC = 180^\circ $ .
iv). Pada setiap jajargenjang kedua diagonalnya saling membagi dua sama panjang.
Diagonalanya AC dan BD.
panjang AO = OC dan BO = OD.
Contoh :
1). Paerhatikan gambar jajargenjang KLMN berikut,
Jika diketahui panjang KL = 10 cm, LM = 8 cm, dan $\angle $KLM = 112$^\circ$, tentukan
a. panjang MN;
b. panjang KN;
c. besar $\angle $KNM;
d. besar $\angle $LKN.
Penyelesaian :
a). berdasarkan sifat (i), MN = KL = 10 cm.
b). berdasarkan sifat (i), KN = LM = 8 cm.
c). berdasarkan sifat (ii), $\angle $KNM = $\angle $KLM = 112$^\circ$ .
d). berdasarkan sifat (iii), $ \angle LKN + \angle KLM = 180^\circ $
$ \begin{align} \angle LKN + \angle KLM & = 180^\circ \\ \angle LKN + 112^\circ & = 180^\circ \\ \angle LKN & = 180^\circ - 112^\circ \\ \angle LKN & = 68^\circ \end{align} $

Keliling dan Luas Jajargenjang
       Perhatikan jajargenjang ABCD berikut,
$\spadesuit $ Keliling Jajargenjang dari gambar (a),
       Keliling jajargenjang (K) : $ K = AB + BC + CD + DA = 2(AB + BC) $.

$\spadesuit $ Luas Jajargenjang
       Dari jajargenjang gambar (b), segitiga AED disebelah kiri dipindah kesebelah kanan jajargenjang sehingga terbentuk persegi panjang pada gambar (c). Artinya luas jajargenjang sama dengan luas persegi panjang. Dari gambar (c), panjang AB = $ a \, $ yang merupakan alas jajargenjang dan lebar adalah ED = $ t \, $ yang merupakan tinggi dari jajargenjang.
Luas jajargenjang (L) : $ L = \text{panjang } \times \text{lebar} = a \times t $.
Contoh :
2). Hitunglah luas jajargenjang yang mempunyai alas 14 cm dan tinggi 9 cm.
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar jajargenjang berikut,
*). Diketahui : alas $ a = 14, \, $ dan tinggi $ t = 9 $.
$ L = a.t = 14 . 9 = 126 $.
Jadi, luas jajargenjang adalah 126 cm$^2$.

3). Perhatikan gambar jajargenjang KLMN berikut,
a. Tentukan keliling jajargenjang KLMN.
b. Hitunglah luas jajargenjang KLMN.
c. Tentukan panjang NP.
Penyelesaian :
a). Menentukan keliling jajargenjang,
Keliling $ = 2(MN + KN ) = 2(28 + 16) = 2 \times 44 = 88 \, $ cm.

b). Luas jajargenjang KLMN,
alasnya kita gunakan LM = KN = 16 , dan tingginya QN = 18 .
Luas = $ a . t = 16 \times 18 = 288 \, $ cm$^2$.

c). Dari bagian (b) di atas, diperoleh luas jajargenjang adalah 288.
untuk menghitung luas jajargenjang juga bisa menggunakan alasnya KL = MN = 28 dan tingginya NP, sehingga
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang } & = a . t \\ 288 & = 28 . NP \\ NP & = \frac{288}{28} = \frac{16 \times 18}{28} = 10\frac{2}{7} \end{align} $
jadi, panjang NP $ = 10\frac{2}{7} \, $ cm.

4). Pada sebuah jajargenjang diketahui luasnya 250 cm$^2$. Jika panjang alas jajargenjang tersebut $ 5x $ dan tingginya $ 2x $, tentukan
a. nilai x;
b. panjang alas dan tinggi jajargenjang tersebut.
Penyelesaian :
a). Menentukan nilai $ x $ ,
$ \begin{align} L & = 250 \\ a . t & = 250 \\ (5x) . (2x) & = 250 \\ 10x^2 & = 250 \\ x^2 & = 25 \\ x & = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
sehingga nilai $ x = 5 $ .

b). Panjang alas dan tinggi jajargenjang,
Alas $ = 5x = 5 . 5 = 25 \, $ cm.
Tinggi $ = 2x = 2 . 5 = 10 \, $ cm.

Sifat-sifat, Keliling, dan Luas Persegi

         Blog Koma - Matematika SMP : Selain "persegi panjang", bangun segi empat lainnya adalah persegi. Pada artikel kali ini kita membahas materi Sifat-sifat, Keliling, dan Luas Persegi secara lebih mendalam. Hal-hal yang akan kita bahas adalah pengertian persegi, sifat-sifat persegi, keliling persegi, dan luas persegi.

Pengertian Persegi
       Persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku. Perhatikan gambar persegi berikut,
Keterangan:
*). Keempat sisinya sama panjang, $ AB = BC = CD = DA $.
*). Keempat sudutnya siku-siku,
$ \angle BAD = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ $.
Sifat-sifat persegi
       Perhatikan persegi PQRS berikut,
Sifat-sifat persegi yaitu :
i). Semua sifat persegi panjang merupakan sifat persegi.
ii). Suatu persegi dapat menempati bingkainya dengan delapan cara.
iii). Semua sisi persegi adalah sama panjang.
       $ PQ = QR = RS = SQ $ .
iv). Sudut-sudut suatu persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.
       $ \angle P_1 = \angle P_1 = \angle Q_3 = \angle Q_4 = \angle R_5 = \angle R_6 = \angle S_7 = \angle S_8 $ .
v). Diagonal-diagonal persegi saling berpotongan sama panjang membentuk sudut siku-siku.
       *). $ \angle POQ = \angle QOR = \angle ROS = \angle SOP = 90^\circ $ .
       *). Diagonal PR = diagonal SQ dan $ PO = OR = QO = OS $ .
Contoh soal-soal sifat-sifat persegi:
1). Pada persegi KLMN berikut, diketahui panjang KM = 10 cm.
Tentukan Panjang LN, KO, OM, LO, dan ON?
Penyelesaian :
*). Dari sifat (v), diagonalnya sama panjang ,
sehingga LN = KM = 10 cm.
*). Dari sifat (v) juga berlaku KO = OM,
sehingga : $ KO = \frac{1}{2} KM = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \, $ cm.
diperoleh : OM = LO = ON = KO = 5 cm.

2). Pada persegi EFGH diketahui panjang diagonal EG = ($3x - 4$) cm dan FH = 20 cm. Tentukan nilai $ x $ dan panjang diagonalnya.
Penyelesaian :
*). Persegi EFGH, ini artinya EG dan FH adalah diagonlanya.
*). Dari sifat (v), diagonal persegi sama panjang,
$ \begin{align} EG & = FH \\ 3x - 4 & = 20 \\ 3x & = 24 \\ x & = 8 \end{align} $
sehingga nilai $ x = 8 $.
*). Panjang diagonalnya adalah EG = FH = 20 cm.

3). Perhatikan persegi KLMN pada gambar di bawah ini,
a. Tentukan besar $\angle $KOL, $\angle $KOQ dan $\angle $LMO.
b. Tentukan panjang KL, LM, PO, NP, dan LQ.
Penyelesaian :
a). Berdasarkan sifat (v),
$ \angle KOL = 90^\circ $,
$ \angle KOQ = \frac{1}{2} . \angle KOL = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ $,
$ \angle LMO = \frac{1}{2} . \angle LMN = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ $,
b). Berdasarkan sifat (iii),
KL = LM = MN = KN = 9 cm.
PQ = KN = 9 cm.
PO = NP = $ \frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} \times 9 = 4,5 \, $ cm.

Keliling dan Luas Persegi
       Perhatikan persegi KLMN berikut,
Misalkan panjang sisi persegi adalah $ s $ ,
artinya $ KL = LM = MN = NK = s $

$\spadesuit $ Keliling Persegi
       Keliling persegi (K) : $ K = KL + LM + MN + NK = 4s $.

$\spadesuit $ Luas Persegi
       Luas persegi (L) : $ L = \text{sisi } \times \text{sisi } = s \times s = s^2 $.
Contoh :
4). Hitunglah keliling dan luas sebuah persegi yang panjang sisinya 5 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ s = 5 $.
Keliling : $ K = 4s = 4 \times 5 = 20 \, $ cm.
Luas : $ L = s^2 = 5^2 = 25 \, $ cm$^2$ .

5). Jika diketahui keliling suatu persegi 48 cm, tentukan luasnya.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ K = 48 $.
*). Menentukan panjang sisi persegi ($s$) dari kelilingnya.
$ K = 48 \rightarrow 4s = 48 \rightarrow s = \frac{48}{4} \rightarrow s = 12 $ .
Sehingga Luasnya : $ L = s^2 = 12^2 = 144$ .
Jadi, luas perseginya adalah 144 cm$^2$.

6). Misalkan KLMN adalah persegi yang memiliki panjang sisi $ r \, $ cm dan ABCD adalah sebuah persegi panjang dengan panjang sisi $ AB = p \, $ cm dan sisi $ CD = l \, $ cm. Buktikan jika keliling persegi adalah 2 kali keliling persegi panjang, maka $ \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} = \frac{l}{r} - \left( \frac{l}{r} \right)^2 $ .
Penyelesaian :
*). Menentukan Luas dan keliling masing-masing :
Luas persegi KLMN $ = r^2 $
Keliling persegi KLMN $ = 4r $
Luas persegi panjang ABCD $ = p . l $
Keliling persegi panjang ABCD $ = 2(p + l) $.
*). Menentukan hubungan semua panjang sisi persegi dan persegi panjang,
$ \begin{align} \text{keliling persegi } & = 2 \times \text{ keliling persegi panjang} \\ 4r & = 2 \times 2(p+l) \\ 4r & = 4 (p+l) \\ r & = p + l \\ p & = r - l \end{align} $
*). Pembuktiannya,
$ \begin{align} \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} & = \frac{p.l}{r^2 } \\ & = \frac{(r - l).l}{r^2 } \\ & = \frac{ r.l - l^2}{r^2 } \\ & = \frac{ r.l }{r^2 } - \frac{ l^2}{r^2 } \\ \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} & = \frac{ l }{r } - \left( \frac{l}{r} \right)^2 \end{align} $
Jadi, terbukti $ \frac{\text{Luas } ABCD}{\text{Luas } KLMN} = \frac{l}{r} - \left( \frac{l}{r} \right)^2 $ .

7). Diketahui luas persegi sama dengan luas persegi panjang dengan panjang = 16 cm dan lebar = 4 cm. Tentukan keliling persegi tersebut.
Penyelesaian :
*). Ukuran persegi panjang : $ p = 16 \, $ dan $ l = 4 $.
*). Menentukan panjang sisi persegi ($s$).
$ \begin{align} \text{Luas persegi } & = \text{Luas persegi panjang} \\ s^2 & = p. l \\ s^2 & = 4. 16 \\ s^2 & = 64 \\ s & = \sqrt{64} \\ s & = 8 \end{align} $
diperoleh panjang sisi persegi : $ s = 8 \, $ cm.
*). Menentukan keliling persegi :
Keliling : $ K = 4s = 4 \times 8 = 32 \, $ cm.
Jadi, keliling persegi adalah 32 cm.

8). Sebuah lantai berbentuk persegi dengan panjang sisinya 6 m. Lantai tersebut akan dipasang ubin berbentuk persegiberukuran 30 cm $\times $ 30 cm. Tentukan banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutup lantai.
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan banyak ubin, langsung kita hitung luas dan dibagi.
Luas persegi = 6 m $ \times $ 6 m = 600 cm $ \times $ 600 cm .
Banyak ubin = $ \frac{600 \times 600 }{30 \times 30 } = 20 \times 20 = 400 \, $ ubin.
Jadi, banyak ubin yang dibutuhkan adalah sebanyak 400 ubin.

Sabtu, 12 Desember 2015

Sifat, Keliling, dan Luas Persegi Panjang

         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya pada "bangun datar segi empat secara umum" telah disebutkan bahwa salah satu contohnya adalah persegi panjang. Pada artikel kali ini kita akan bahas secara khusus tentang persegi panjang yaitu tentang sifat, keliling, dan luas persegi panjang. Mari langsung saja kita simak penjelasan sifat, keliling, dan luas persegi panjang berikut ini.

Pengertian Persegi Panjang
       Persegi panjang adalah bangun datar segi empat yang memiliki dua pasang sisi sejajar dan memiliki empat sudut siku-siku. Berikut gambar persegi panjang,

Keterangan :
*). Pasangan sisi-sisi yang sejajar dan sama panjang adalah :
AB sejajar dengan CD dan sama panjang,
BC sejajar dengan AD dan sama panjang,
*). Besar sudut maasing-masing $90^\circ \, $ yaitu sudut A, B, C, dan D.
Sifat-sifat Persegi panjang
       Perhatikan gambar persegi panjang KLMN berikut,

Dari gambar persegi panjang KLMN di atas, ada beberapa sifat-sifat persei panjang yaitu :
1). Mempunyai empat sisi, dengan sepasang sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
sisi-sisi tersebut adalah : KL = MN dan LM = KN .

2). Keempat sudutnya sama besar dan merupakan sudut sikusiku ($90^\circ $).
Sudut tersebut adalah $ \angle KLM = \angle LMN = \angle MNK = \angle NKL = 90^\circ $ .

3). Kedua diagonalnya sama panjang dan berpotongan membagi dua sama besar.
Diagonalnya adalah KM dan LN.
KM dan LN berpotongan di titik O sehingga KO = OM = LO = ON.
KM membagi persegi panjang menjadi dua segitiga yang sama besar yaitu segitiga KLM dan KNM.
LN membagi persegi panjang menjadi dua segitiga yang sama besar yaitu segitiga LMN dan NKL.

4). Dapat menempati bingkainya kembali dengan empat cara.
Contoh :
1). Pada gambar di bawah ini, KLMN adalah sebuah persegi panjang dan O adalah titik potong kedua diagonalnya. Jika panjang KO = 5 cm,
tentukan :
a. panjang MO, NO, LO
d. panjang KM , LN.
Penyelesaian :
a). Berdasarkan sifat persegi panjang, maka panjang MO = NO = LO = KO = 5 cm.
b). Panjang KM = LN = 2 KO = $ 2 \times 5 = 10 \, $ cm.

2). Perhatikan persegi panjang ABCD pada gambar berikut.
a. Tentukan besar $ \angle $ADO dan $ \angle $BAO.
b. Tentukan sudut-sudut lain yang sama besar dengan $ \angle $ADO.
c. Tentukan sudut-sudut lain yang sama besar dengan $ \angle $BAO.
Penyelesaian :
a). Diagonal AC dan BD berpotongan di titik O, sehingga OA = OD,
artinya segitiga AOD sama kaki dimanan besarnya sudut sama yaitu $ \angle ADO = \angle DAO = 55^\circ $ .
*). Sudut BAD siku-siku berdasarkan sifat persegi panjang, sehingga jumlah sudut DAO dan BAO adalah $ 90^\circ $.
$ \angle BAO + \angle DAO = 90^\circ \rightarrow \angle BAO + 55^\circ = 90^\circ \rightarrow \angle BAO = 35^\circ $
sehingga besarnya sudut : $ \angle ADO = 55^\circ \, $ dan $ \angle BAO = 35^\circ $

b). Sudut-sudut yang sama besar dengan sudut ADO adalah BCO dan CBO.

c). Sudut-sudut yang sama besar dengan sudut BAO adalah ABO, DCO, dan CDO.

Keliling dan luas persegi panjang
Perhatikan gambar persegi KLMN berikut,

$\clubsuit $ Keliling Persegi Panjang
       Keliling suatu bangun datar adalah jumlah semua panjang sisi-sisinya. Sehingga rumus penghitungan keliling persegi panjang dengan panjang $ KL = p \, $ dan lebar $ LM = l $ ,
Keliling persegi panjang (K) : $ K = 2p + 2l = 2(p+l) $ .

$\clubsuit $ Luas Persegi Panjang
       Luas suatu bangun datar adalah besarnya area atau daerah yang dibatasi oleh bangun datar tersebut.
Luas persegi panjang (L): $ L = \text{panjang } \times \text{ lebar} = p \times l $ .
Contoh :
3). Hitunglah keliling dan luas persegi panjang yang berukuran panjang 12 cm dan lebar 8 cm.
Penyelesaian :
*). Diketahui : panjang = $ p = 12 \, $ dan lebar = $ l = 8 $.
Keliling persegi panjang : $ K = 2(p+l) = 2(12 + 8 ) = 40 \, $ cm.
Luas persegi panjang : $ L = p.l = 12 . 8 = 96 \, $ cm$^2 $.

4). Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang luasnya 432 m$^2$. Jika tanah tersebut berukuran panjang 24 m, tentukan lebar tanah tersebut.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 432, \, $ dan $ p = 24 $.
*). Menentukan lebar tanan,
$ L = p.l \rightarrow 432 = 24. l \rightarrow l = \frac{432}{24} = 18 $ .
Jadi, lebar tananhnya adalah 18 m.

5). Perhatikan gambar berikut.
Hitunglah keliling dan luasnya.?
*). Keliling bangun datar :
$ \begin{align} \text{Keliling } & = a + b + c + d + e + f + g + h \\ & = 18 + 18 + 5 + 12 + 8 + 12 + 5 + 18 \\ & = 96 \end{align} $
Sehingga keliling bangun datar tersebut adalah 96 cm.

*). Luas bangun datar :
Untuk menghitung luas bangun datar di atas, kita bagi-bagi daerahnya menjadi 2 bagian, yaitu daerah A dan B.
Luas A = $ p.l = 12.5 = 60 $
Luas B = $ p.l = 18.6 = 162 $
Luas total bangun datar :
$ \begin{align} \text{Luas } & = 2 \text{luas A } + \text{ luas B} \\ & = 2 \times 60 + 162 \\ & = 120 + 162 \\ & = 282 \end{align} $
Sehingga luas bangun datar tersebut adalah 282 cm$^2$.

6). Sebuah persegi panjang berukuran panjang = ($3x + 1$) cm dan lebar = ($x +2 $) cm. Jika luas persegi panjang 50 cm$^2$, tentukan panjang dan lebarnya.?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ L = 50, \, p = 3x + 1, \, $ dan $ l = x + 2 $.
*). Menentukan nilai $ x \, $ dan rumus luasnya.
$ \begin{align} L & = p . l \\ 50 & = (3x+1)(x+2) \\ 50 & = 3x^2 + 6x + x + 2 \\ 50 & = 3x^2 + 7x + 2 \\ 3x^2 + 7x + 2 - 50 & = 0 \\ 3x^2 + 7x + - 48 & = 0 \\ (3x + 16)(x - 3) & = 0 \\ x = \frac{-16}{3} \vee x = 3 \end{align} $
Yang memenuhi adalah $ x = 3. \, $ (positif).
*). Menentukan panjang dan lebarnya dari nilai $ x = 3 $.
panjang = $ 3x + 1 = 3.3 + 1 = 9 + 1 = 10 $
lebar = $ x + 2 = 3 + 2 = 5 $
Jadi, panjangnya 10 cm dan lebarnya 5 cm.

Bangun Datar Segi Empat Secara Umum

         Blog Koma - Matematika SMP : Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan membahas salah satu bab pada pelajaran matematika SMP yaitu tentang bangun datar. Bangun datar segi empat secara umum terdiri dari persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang , dan trapesium. Untuk lebih jelah bentuk bangun datarnya, perhatikan gambar bangun datar segi empat berikut beserta namanya masing-masing.

         Hal-hal yang akan kita pelajari pada bangun datar segi empat ini adalah sifat-sifat bangun datar masing-masing, luas bangun datar, dan keliling bangun datar masing-masing. Untuk penjelasan masing-masing bangun datar segi empat, silahkan klik link masing-masing nama bangun datarnya berikut : persegi panjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang , dan trapesium.

Contoh soal-soal bangun datar segi empat :
1). Perhatikan gambar berikut,
Tentukan banyaknya segi empat yang terbentuk pada gambar tersebut!
Penyelesaian :
*). Kita beri nama pada masing-masing kotak untuk memudahkan dalam penghitungan.
*). Menghitung banyaknya segi empat satu persatu sesuai dengan namanya.
i). segi empat yang terdiri dari 1 bagian adalah a,b,c,d,e ada sebanyak 5.
ii). segi empat yang terdiri dari 2 bagian adalah ab,bc,cd,de ada sebanyak 4.
iii). segi empat yang terdiri dari 3 bagian adalah abc,bcd,cde ada sebanyak 3.
iv). segi empat yang terdiri dari 4 bagian adalah abcd,bcde ada sebanyak 2.
v). segi empat yang terdiri dari 4 bagian adalah abcde ada sebanyak 1.
Sehingga total banyaknya segi empat ada $ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 $ .
Jadi, totalnya ada 15 segi empat pada gambar tersebut.

2). Perhatikan gambar susunan belah ketupat berikut,
Ada berapa banyak belah ketupat pada $ a_{100} $ ?
Penyelesaian :
*). Belah ketupat yang dihitung adalah yang berwarna saja.
*). Perhatikan banyak belah ketupat pada gambar pada $ a_1, \, a_2, \, a_3, \, a_4 $ .
banyak belah ketupat pada $ a_1 \, $ ada 2.
banyak belah ketupat pada $ a_2 \, $ ada 4.
banyak belah ketupat pada $ a_3 \, $ ada 6.
banyak belah ketupat pada $ a_4 \, $ ada 8.
*). Menentukan pola banyaknya belah ketupat pada pola ke-$n$ .
Pola ke-1, $ a_1 \, $ ada 2, caranya $ a_1 = 2 \times 1 $
Pola ke-2, $ a_2 \, $ ada 4, caranya $ a_2 = 2 \times 2 $
Pola ke-3, $ a_3 \, $ ada 6, caranya $ a_3 = 2 \times 3 $
Pola ke-4, $ a_4 \, $ ada 8, caranya $ a_4 = 2 \times 4 $
...... dan seterusnya :
Pola ke-$n$, caranya $ a_n = 2 \times n = 2n $
*). Menentukan banyak belah ketupat pada $ a_{100} $ .
$ a_n = 2n \rightarrow a_{100} = 2 \times 100 = 200 $ .
Jadi, banyak belah ketupat pada $ a_{100} \, $ ada 200 belah ketupat.