Tampilkan postingan dengan label relasi dan fungsi. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label relasi dan fungsi. Tampilkan semua postingan

Fungsi Invers

         Blog Koma - Fungsi Invers merupakan suatu fungsi kebalikan dari fungsi awal. Untuk mempelajari materi ini, kita harus menguasai materi Relasi, Fungsi, dan Fungsi Komposisi. Berikut penjelasan tentang fungsi invers.

         Materi Fungsi Invers adalah salah satu materi wajib yang mana soal-soalnya selalu ada untuk ujian nasional dan tes seleksi masuk perguruan tinggi. Penting bagi kita untuk menguasainya, karena akan membantu kita dalam kelulusan nantinya. Untuk soal-soal fungsi invers sebenarnya memiliki beberapa trik khusus dalam menjawabnya terutama untuk soal-soal setingkat seleksi masuk perguruan tinggi seperti SBMPTN. Silahkan teman-teman pelajari kumpulan soal-soal fungsi komposisi dan invers untuk lebih mendalami materi fungsi invers ini.

Penjelasan dan Definisi Fungsi Invers
         Berdasarkan Gambar di atas , kita peroleh beberapa hal atau informasi yaitu :
*). Pertama,
       fungsi $f$ memetakan $x \in A$ ke $y \in B$. Jika fungsi $f$ dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut. $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$. Pasangan berurut $(x , y)$ merupakan unsur dari fungsi $f$.
*). Kedua,
       invers fungsi $f$ atau $f^{-1} $ memetakan $y \in B$ ke $x \in A$. Jika invers fungsi $f$ dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis $f^{-1} = \{(y , x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$. Pasangan berurut $(y, x)$ merupakan unsur dari invers fungsi $f$.

Definisi Fungsi invers
       Jika fungsi $f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$, maka invers fungsi $f$ (dilambangkan $f^{-1}$) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan $f^{-1} = \{(y, x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$.

Dapat ditulis: jika $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $
Cara menentukan fungsi invers dari fungsi awalnya
       Suatu fungsi $f$ akan mempunyai invers, yaitu $f^{-1}$ jika dan hanya jika fungsi $f$ bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, $f$ merupakan fungsi dari A ke B, maka $f^{-1}$ merupakan fungsi invers $f$ jika berlaku $(f^{-1} \circ f)(x) = x $ dan $ (f \circ f^{-1})(x) = x$. Perhatikanlah gambar di bawah ini.
Langkah-langkah menentukan fungsi invers:
1. Buatlah permisalan $f(x) = y$ pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh $x$ sebagai fungsi $y$ atau $x = f^{-1}(y)$.
3. Ganti variabel $y$ dengan $x$ pada $f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh $f^{-1}(x) = y$ sebagai fungsi invers dari $y = f(x)$.
Contoh
1). Jika diketahui $ f(x) = 2x + 3 , \, $ tentukan inversnya dan nilai $ f^{-1}(1) $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ f(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = f^{-1}(y) $
$ \begin{align} f(x) & = y \\ 2x + 3 & = y \\ 2x & = y - 3 \\ x & = \frac{y-3}{2} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{y-3}{2} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = 2x + 3 , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(1) $
$ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \rightarrow f^{-1}(1) = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
Jadi, diperoleh nilai $ f^{-1}(1) = -1 $

2). Diketahui fungsi $ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \, $ , tentukanlah inversnya.!
Penyelesaian :
Misalkan $ g(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = g^{-1}(y) $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y(2x+5) & = 3x -1 \\ 2xy + 5y & = 3x - 1 \\ 2xy - 3x & = -5y - 1 \\ x(2y - 3) & = -5y - 1 \\ x & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Cara II : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{-cx + a } $
$ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} $
$ g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} \times \frac{-1}{-1} = \frac{-5x-1}{2x-3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $

3). Diketahui $ f(x) = 5x - 3 . \, $ Jika $ f^{-1}(a) = 2 , \, $ maka nilai $ a + 5 = .... $
Penyelesaian :
Menentukan inversnya
$\begin{align} f(x) & = 5x - 3 \\ y & = 5x - 3 \\ 5x & = y + 3 \\ x & = \frac{y+3}{5} \\ f^{-1}(x) & = \frac{x+3}{5} \\ f^{-1}(a) & = \frac{a+3}{5} \end{align} $
Menenukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(a) & = 2 \\ \frac{a+3}{5} & = 2 \\ a+3 & = 10 \\ a & = 7 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + 5 = 7 + 5 = 12 $

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x + 1 . \, $ Apakah fungsi $ g(x) = \frac{x-1}{2} \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) $?
Penyelesaian :
*). Dua fungsi dikatakan salaing invers jika dikomposisikan menghasilkan fungsi identitas ($I(x) = x$).
*). Agar fungsi $ g(x) \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) \, $ , maka harus terpenuhi $ (f \circ g)(x) = x \, $ atau $ (g \circ f)(x) = x . \, $ Cukup cek salah satu saja.
*). cek fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left( \frac{x-1}{2} \right) \\ & = 2\left( \frac{x-1}{2} \right) + 1 \\ & = (x-1) + 1 \\ & = x \end{align} $
Karena diperoleh $ (f \circ g)(x) = x, \, $ maka terbukti bahwa fungsi $ g(x) \, $ adalah invers dari fungsi $ f(x) $

Sifat-sifat Fungsi invers
       Beberapa sifat fungsi invers :
1). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $ ,
(fungsi invers di invers lagi, maka hasilnya kembali ke awal)
2). $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f )(x) = I(x) = x $
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas yaitu $ I(x) = x $

Penjelasan definisi invers :
Definisi : $ y = f(x) \rightarrow f^{-1}(y) = x $, artinya ketika fungsinya ($f$) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) $
$ A = f^{-1}(B) \rightarrow (f^{-1})^{-1} (A) = B \rightarrow f(A) = B $

Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 1 $
a). Tentukan $ f^{-1}(x) $
b). Tentukan $ (f^{-1}(x))^{-1} $
c). Tentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
d). Tentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ f^{-1}(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x - 1 \\ y & = 2x - 1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
b). Menentukan invers dari $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x+1}{2} \\ y & = \frac{x+1}{2} \\ 2y & = x + 1 \\ x & = 2y - 1 \\ f^{-1}(y) & = 2y -1 \end{align} $
invers dari $ f^{-1} (x) $ adalah $ (f^{-1}(x))^{-1} = 2x -1 , \, $ yang sama dengan $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) , \, $ ini sesuai dengan sifat invers.
c). Menentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
$ \begin{align} (f \circ f^{-1})(x) & = f(f^{-1}(x)) \\ & = f(\frac{x+1}{2}) \\ & = 2\left( \frac{x+1}{2} \right) - 1 \\ & = (x+1) - 1 \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f \circ f^{-1})(x) = x $
d). Menentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
$\begin{align} (f^{-1} \circ f)(x) & = f^{-1}(f(x)) \\ & = f^{-1}(2x-1) \\ & = \frac{(2x-1)+1}{2} \\ & = \frac{2x}{2} \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f^{-1} \circ f)(x) = x $
Dari hasil c) dan d) terlihat bahwa $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x, \, $ yang sesuai dengan sifat invers.

2). Diketahui fungsi $ f(x-2) = 3x + 5 $. Jika $ f^{-1}(a) = -1 , \, $ maka tentukan nilai $ a^2 -4 $ !
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan inversnya terlebih dahulu
Misalkan $ p = x -2 \rightarrow x = p+2 , \, $ substitusi ke fungsinya
$ \begin{align} f(x-2) & = 3x + 5 \\ f(p) & = 3(p+2) + 5 \\ f(p) & = 3p + 11 \end{align} $
sehingga, $ f(x) = 3x + 11 $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3x + 11 \\ y & = 3x + 11 \\ 3x & = y - 11 \\ x & = \frac{y - 11}{3} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x - 11}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x - 11}{3} \\ f^{-1}(a) & = -1 \\ \frac{a - 11}{3} & = -1 \\ a - 11 & = -3 \\ a & = 11 - 3 = 8 \end{align} $
diperoleh nilai $ a = 8 $,
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $

Cara II : Tanpa mencari inversnya.
*). Gunakan definisi invers : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
$ f(x-2) = 3x + 5 \rightarrow x-2 = f^{-1}(3x+5) \, $ atau $ f^{-1}(3x+5) = x-2 $
*). Menyamakan bentuk yang diketahui dan yang ditanya.
$ \begin{align} f^{-1}(3x+5) & = x-2 \\ f^{-1}(a) & = -1 \end{align} $
Ruas kanan sama dengan ruas kanan dan ruas kiri sama juga dengan ruas kiri
Diperoleh : $ x - 2 = -1 \, $ dan $ a = 3x + 5 $
$ x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 $
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke persamaan kedua
$ x = 1 \rightarrow a = 3x + 5 = 3.1 + 5 = 8 $
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $

3). Diketahui fungsi invers $ f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) = \frac{x^2 - 8}{2- x } . \, $ Jika $ f(a) = -3, \, $ maka tentukan nilai $ a + 1 \, $ !
Penyelesaian : Tanpa mencari invernya,
Definisi : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
sehingga $ f(a) = -3 \rightarrow a = f^{-1}(-3) \, $ atau $ f{-1}(-3) = a $
Menyamakan bentuknya :
$ \begin{align} f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) & = \frac{x^2 - 8}{2- x } \\ f^{-1}(-3) & = a \end{align} $
Diperoleh kesamaan : $ \frac{3}{x-1} = -3 \, $ dan $ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } $
$ \frac{3}{x-1} = -3 \rightarrow x - 1 = -1 \rightarrow x = 0 $
Substitusi nilai $ x = 0 \, $ ke persamaan kedua,
$ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } = \frac{0^2 - 8}{2- 0 } = \frac{ - 8}{2 } = -4 $
diperoleh nilai $ a = -4 $
Sehingga nilai $ a + 1 = -4 + 1 = -3 $
Jadi, nilai $ a + 1 = -3 $
Catatan : yang diubah menggunakan definisi invers boleh fungsi yang diketahui atau fungsi yang ditanyakan seperti soal nomor 2 dan nomor 3.

Invers dari fungsi komposisi
       Dari gambar diagram di atas $f : A \rightarrow B, \, g : B \rightarrow C$ , dengan $f$ dan $g$ berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga $h = g \circ f$, maka $h^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. Dalam hal ini $(g \circ f)^{-1} = h^{-1} $ disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat- sifat berikut ini.

$ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \, $ dan $ (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) $
Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x + 5 \, $ dan $ g(x) = x -1 $. Tentukanlah $ (g \circ f)^{-1}(x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(3x + 5) \\ & = (3x + 5) - 1 \\ & = 3x + 4 \end{align} $
*). Menentukan inversnya
misalkan $ y = (g \circ f)(x) $
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = 3x + 4 \\ y & = 3x + 4 \\ 3x & = y - 4 \\ x & = \frac{y-4}{3} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y-4}{3} \end{align} $
Jadi, inversnya $ (g \circ f)^{-1}(x) = \frac{x-4}{3} $

2). Diketahui fungsi $ f^{-1}(x) = 2 - x \, $ dan $ g^{-1}(x) = \frac{x}{x-1} . \, $ Tentukan $ (f \circ g)^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan sifat invers fungsi komposisi
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1}(x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(2-x) \\ & = \frac{(2-x)}{(2-x)-1} \\ & = \frac{2-x}{1-x} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{2-x}{1-x} $

Menggambar Grafik Fungsi Invers dan Grafik Fungsi Asalnya
       Grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi awal ($f(x)$) terhadap garis $ y = x $ , begitu juga sebaliknya, untuk mencari grafik fungsi asalnya ($f(x)$) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) terhadap garis $ y = x $
Contoh
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ gambarlah grafik $ f(x) \, $ dan $ f^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers fungsi
$ \begin{align} f(x) & = 2x-1 \\ y & = 2x-1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
Sehingga, inversnya $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
*). Dari grafik di atas, garis warna biru adalah grafik fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ garis warna hijau adalah grafik fungsi $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ dan garis warna merah adalah grafik garis $ y = x $
*). Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ (warna hijau) adalah pencerminan dari grafik $ f(x) = 2x-1 \, $ (warna biru) terhadap garis $ y = x \, $ (warna merah).

       Demikian penjelasan tentang fungsi invers, semoga bisa bermanfaat. Materi Relasi, Fungsi, Fungsi komposisi, dan Fungsi invers semuanya saling terkait, jadi sebaiknya kita pelajari semuanya.

Fungsi Komposisi

         Blog Koma - Fungsi Komposisi merupakan penggabungan dua fungsi atau lebih. Sebelum mempelajari materi fungsi komposisi ini, kita harus menguasai dulu tentang fungsi, silahkan baca pada artikel "Relasi" dan "Fungsi". Yang kita pelajari kali ini yaitu mengomposisikan dua fungsi atau lebih dan menentukan komponen fungsi yang belum diketahui serta sifat-sifat fungsi komposisi.
Deskripsi dan Definisi Fungsi Komposisi
         Jika diketahui $ A = \{a_1, a_2, a_3\}, B = \{b_1, b_2, b_3, b_4\}$, dan $C = \{c1, c2, c3\}$, maka fungsi $f : A \rightarrow B $ dan $ g : B \rightarrow C $ didefinisikan seperti diagram berikut.
         Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari A ke C sebagai berikut.
         Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.
         Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan $g \circ f $ dibaca "fungsi $g$ bundaran $f$". $g \circ f$ adalah fungsi komposisi dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.
Definisi Fungsi Komposisi
       Diketahui, $f$ dan $g$ dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi $f$ dan $g$ ditulis $g \circ f$, didefinisikan sebagai $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) $ :
       Sementara untuk fungsi komposisi $g$ dan $f$ ditulis $f \circ g$, didefinisikan sebagai $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ dengan $g$ dikerjakan lebih dahulu daripada $f$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (f \circ g )(x) $ :
Syarat Fungsi Komposisi
       Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $(g \circ f)$ adalah irisan antara daerah hasil fungsi $f$ dan daerah asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong, atau $R_f \cap D_g \neq \emptyset $.
Daerah Asal Fungsi Komposisi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{g \circ f}$) adalah $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{f \circ g}$) adalah $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ daerah asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ daerah asal fungsi $ g $

Untuk contoh menentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi, silahkan baca artikelnya pada "Daerah asal dan daerah hasil komposisi fungsi".

Contoh:
1). Fungsi $ f $ dan $ g $ dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut.
$ f = \{ (a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)\} $
$ g = \{ (b,-1),(f,a),(h,5), (1,i), (j,c) \} $
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan berurutan.!
a). $ (g \circ f)(x) \, \, \, $ b). $ (f \circ g(x) $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f $ : $ f(a) = b, \, f(c) = d, \, f(e)=f , \, f(g)=h, \, f(i)=j $
Domain fungsi $ f $ : $ D_f = \{ a,c,e,g,i \} $
*). Fungsi $ g $ : $ g(b)=-1, \, g(f)=a, \, g(h)=5, \, g(1)=i, \, g(j)=c $
Domain fungsi $ g $ : $ D_g = \{ b,f,h,1,j \} $
*). Menentukan fungsi komposisinya
a). $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
Kerjakan fungsi $ f $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ f $ :
$ x = a \rightarrow (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = -1 , \, $ artinya $ (g \circ f)(a) = -1 $
$ x = c \rightarrow (g \circ f)(c) = g(f(c)) = g(d) = - , \, $ artinya $ (g \circ f)(c) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = e \rightarrow (g \circ f)(e) = g(f(e)) = g(f) = a , \, $ artinya $ (g \circ f)(e) = a $
$ x = g \rightarrow (g \circ f)(g) = g(f(g)) = g(h) = 5 , \, $ artinya $ (g \circ f)(g) = 5 $
$ x = i \rightarrow (g \circ f)(i) = g(f(i)) = g(j) = c , \, $ artinya $ (g \circ f)(i) = c $
Sehingga diperoleh $ g \circ f = \{(a,-1),(e,a),(g,5),(i,c) \} $
b). $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
Kerjakan fungsi $ g $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ g $ :
$ x = b \rightarrow (f \circ g)(a) = f(g(b)) = f(-1) = - , \, $ artinya $ (f \circ g)(b) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = f \rightarrow (f \circ g)(f) = f(g(f)) = f(a) = b , \, $ artinya $ (f \circ g)(f) = b $
$ x = h \rightarrow (f \circ g)(h) = f(g(h)) = f(5) = - , \, $ artinya $ (f \circ g)(h) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = 1 \rightarrow (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(i) = j , \, $ artinya $ (f \circ g)(1) = j $
$ x = j \rightarrow (f \circ g)(j) = f(g(j)) = f(c) = d , \, $ artinya $ (f \circ g)(j) = d $
diperoleh $ f \circ g = \{(f,b),(1,j),(j,d) \} $

2). Diketahui fungsi $f: R\rightarrow R $ dengan $ f(x) = x^2 + 2 $ dan fungsi $g: R \rightarrow R $ dengan $ g(x) = \sqrt{1-x} $.
a). Apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi?
b). Tentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ !
Penyelesaian :
*). Menentukan Domain dan Range fungsi $ f $ dan fungsi $ g $ :
Fungsi $ f(x) = x^2 + 2 \rightarrow D_f = \{x | x \in R \} \, $ dan $ R_f = \{y|y \geq 2 \} $
Fungsi $ g(x) = \sqrt{1-x} \rightarrow D_g = \{x | x \leq 1 \} \, $ dan $ R_g = \{y|y \geq 0 \} $
a). Untuk menentukan apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, diketahui berdasarkan:
*). Jika $R_f \cap D_g \neq \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ terdefinisi.
$ R_f \cap D_g = \{y|y \geq 2 \} \cap \{x | x \leq 1 \} = \emptyset $
Karena $R_f \cap D_g = \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ tidak terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ tidak bisa dicari hasilnya.
*). Jika $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi.
$ R_g \cap D_f = \{y|y \geq 0 \} \cap \{x | x \in R \} = \{x | x \geq 0, \, x \in R \} \neq \emptyset $
Karena $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ bisa dicari hasilnya.
b). Menentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$
*). Menentukan $ (g \circ f )(x)$
$\begin{align} (g \circ f )(x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2 + 2) \\ & = \sqrt{1-(x^2 + 2)} \\ & = \sqrt{-(x^2+1)} \end{align} $
Karena hasilnya adalah bilangan real (R), maka bentuk $ (g \circ f )(x) = \sqrt{-(x^2+1)} \, $ tidak terdefinisi (dalam akar selalu negatif, padahal pada bilangan real tidak ada akar negatif). Ini artinya fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) \, $ tidak ada hasilnya, dan ini sesuai dengan pernyataan a) di atas yaitu bentuk $ (g \circ f )(x) \, $ tidak terdefinisi.
*). Menentukan $ (f \circ g )(x)$
$\begin{align} (f \circ g )(x) & = f(g(x)) \\ & = f(\sqrt{1-x} ) \\ & = (\sqrt{1-x} )^2 + 2 \\ & = (1-x) + 2 \\ & = 3-x \end{align} $
Sehingga diperoleh, $ (f \circ g )(x) = 3-x $


3). Diketahui fungsi $ f(x) = 5x^2 - 3 \, $ dan $ g(x) = 2x + 1 $, tentukan nilai $ (f \circ g)(-1) $ ?
Penyelesaian :
Ada dua cara menyelesaikan soal yaitu dengan mencari fungsi komposisinya atau dengan langsung menghitung nilai komposisinya.
*). Cara I : menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x+1) \\ & = 5(2x+1)^2 - 3 \\ & = 5(4x^2 + 4x + 1) - 3 \\ & = 20x^2 + 20x + 5 - 3 \\ (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ (f \circ g)(-1) $
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \\ (f \circ g)(-1) & = 20(-1)^2 + 20(-1) + 2 \\ & = 20.1 -20 + 2 \\ & = 2 \end{align} $
*). Cara II : Langsung substitusi nilai $ x = -1 $
$\begin{align} (f \circ g)(-1) & = f(g(-1)) \\ & = f(2.(-1) + 1) \\ & = f(-1) \\ & = 5(-1)^2 - 3 \\ & = 5 - 3 \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f \circ g)(-1) = 2 $ .

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x -1 $ dan $ g(x) = 2 - x $. Jika $ (f \circ g)(a) = -1 $ , maka nilai $ a^2 + 2 = .... $
Penyelesaian :
Disini kita tidak perlu mencari bentuk komposisinya dulu, tapi langsung kita substitusi nilai $ x = a $ untuk menentukan nilai $ a $ .
$\begin{align} (f \circ g)(a) & = -1 \\ f(g(a)) & = -1 \\ f(2-a) & = -1 \\ 3(2-a) - 1 & = -1 \\ 6 - 3a - 1 & = -1 \\ 5 - 3a & = -1 \\ 3a & = 6 \\ a & = 2 \end{align} $
sehingga nilai $ a^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 $

Sifat-sifat operasi fungsi komposisi
       Bila $f, g$, dan $h$ suatu fungsi, maka:
a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$;
b. jika $I$ fungsi identitas ($I(x) = x$) berlaku :
$(I \circ f)(x) = (f \circ I)(x) = f(x)$;
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : $(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$.

contoh :
1). Diketahui $f(x) = 2x - 5, g(x) = x^2 +x - 3$.
a. Tentukan $(g \circ f)(x)$.
b. Tentukan $(f \circ g)(x)$. c. Apakah berlaku sifat komutatif: $g \circ f = f \circ g$?
Penyelesaian :
$\begin{align} \text{a. } \, (g\circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(2x - 5) \\ & = (2x - 5)^2 + (2x - 5) - 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x - 5) - 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x - 5) - 3 \\ & = 4x^2 - 18x + 17 \\ \\ \text{b. } \, (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x^2 +x - 3) \\ & = 2(x^2 +x - 3) - 5 \\ & = 2x^2 + 2x - 6 - 5 \\ & = 2x^2 + 2x - 11 \end{align} $
c. Tidak berlaku sifat komutatif karena $ (g\circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) $ .

2). Diketahui $f(x) = 3x - 7 $ dan $I(x) = x$.
Buktikan $I \circ f = f \circ I = f. $
Pembuktian :
$ \begin{align} (I \circ f)(c) & = I(f(x)) \\ & = I(3x - 7) \\ & = 3x - 7 \\ \\ (f \circ I)(x) & = f(I(x)) \\ & = f(x) \\ & = 3x - 7 \end{align} $
Tampak bahwa $I \circ f = f \circ I = f $ (terbukti).

3). Diketahui $f(x) = x^2, \, g(x) = x + 2$, dan $h(x) = 3x$.
a. Tentukan $(f \circ (g \circ h))(x)$.
b. Tentukan $((f \circ g) \circ h)(x)$.
c. Apakah $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , mengapa?
Penyelesaian :
a. $ (f \circ (g \circ h))(x) = ... $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, p(x) & = (g \circ h)(x) \\ & = g(h(x)) \\ & = g(3x) \\ & = 3x + 2 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} (f \circ (g \circ h))(x) & = (f \circ (g \circ h)(x)) \\ & = (f \circ p)(x) \\ & = f(p(x)) \\ & = f(3x + 2) \\ & = (3x+2)^2 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
b. $ ((f \circ g) \circ h)(x) = ... $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, q(x) & = (f \circ g)(x) \\ & = f(g(x)) \\ & = f(x+2) \\ & = (x+2)^2 \\ & = x^2 + 4x + 4 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} ((f \circ g) \circ h)(x) & = (q \circ h)(x) \\ & = q(h(x)) \\ & = q(3x) \\ & = (3x)^2 + 4(3x) + 4 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
c. Ya, benar berlaku $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , karena bersifat asosiatif.

Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi
Menentukan fungsi $ f $ atau fungsi $ g $ dari fungsi komposisinya
       Jika diketahui fungsi komposisinya $ (g \circ f)(x) \, $ atau $ (f \circ g)(x) \, $ dan diketaui salah satu fungsinya bisa fungsi $ f $ atau fungsi $ g $, maka kita diminta menentukan fungsi yang belum diketahui.

Cara Umumnya :
*). yang ditanyakan bagian kanan
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) $ , kita diminta menentukan fungsi $ g $. Caranya, langsung substitusi bentuk $ g(x) $ ke fungsi $ f $, maksudnya semua variabel $ x $ pada fungsi $ f $ digantikan dengan $ g(x) $.
*). yang ditanyakan bagian kiri
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) $ , kita diminta menentukan fungsi $ g $. Caranya, substitusi bentuk fungsi $ f(x) $ ke komposisinya, lalu misalkan agar menjadi satu variabel.

1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 3 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = 4x^2 - 6x + 5 $. Tentukan fungsi $ g(x) $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 4x^2 - 6x + 5 \\ f(g(x)) & = 4x^2 - 6x + 5 \\ 2[g(x)] - 3 & = 4x^2 - 6x + 5 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 - 6x + 5 + 3 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 - 6x + 8 \\ g(x) & = \frac{4x^2 - 6x + 8}{2} \\ g(x) & = 2x^2 - 3x + 4 \end{align} $
Jadi, diperoleh fungsi $ g(x) = 2x^2 - 3x + 4 $

2). Diketahui fungsi $ g(x) = 3x + 2 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = x^2 +x - 3 $. Tentukan fungsi $ f(x) $ nya !
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = x^2 +x - 3 \\ f(g(x)) & = x^2 +x - 3 \\ f(3x+2) & = x^2 +x - 3 \\ \text{misal } p & = 3x+2 \rightarrow x = \frac{p-2}{3} \\ \text{substitusikan } p & = 3x+2 \\ f(3x+2) & = x^2 +x - 3 \\ f(p) & = \left( \frac{p-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{p-2}{3} \right) - 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{p-2}{3} - 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3(p-2)}{9} - \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3p-6}{9} - \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{(p^2-4p + 4) + (3p-6) + 27 }{9} \\ f(p) & = \frac{p^2 - p + 25 }{9} \end{align} $
Sehingga diperoleh : $ f(p) = \frac{p^2 - p + 25 }{9} \rightarrow f(x) = \frac{x^2 - x + 25 }{9} $
Jadi, diperoleh fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - x + 25 }{9} $

Fungsi

         Blog Koma - Fungsi merupakan salah satu materi penting yang harus dipelajari dalam matematika. Ada banyak sekali macam-macam fungsi, diantaranya fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, dan lainnya. Untuk artikel kali ini akan dibahas tentang fungsi secara umum. Sebelum mempelajari fungsi, kita harus menguasai materi relasi dulu, silahkan baca artikel "Relasi".
Pengertian Fungsi
       Misalkan A dan B himpunan. Fungsi $f$ dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A (Domain) dengan tepat satu anggota himpunan B (Kodomain).

   Secara simbolik ditulis menjadi $f : A \rightarrow B$, dibaca: fungsi $f$ memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

       Jika $f$ memetakan suatu elemen $x \in A$ ke suatu $y \in B$ dikatakan bahwa $y$ adalah peta $x$ oleh fungsi $f$ dan peta ini dinyatakan dengan notasi $f(x)$ dan $x$ disebut prapeta $y$, dan $ y \, $ juga disebut sebagai daerah hasil (Range), dengan demikian dapat ditulis menjadi:
$f : x \rightarrow y$, dibaca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke $y$, sedemikian hingga $y = f(x)$.

       Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius (grafik), dan simbol (rumus fungsi).

Contoh :
1). Perhatikan relasi-relasi berikut. Tentukan manankah yang merupakan fungsi?
Penyelesaian :
Syarat sebuah relasi menjadi fungsi adalah sebagai berikut.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan tunggal dengan anggota himpunan Q.
Sehingga relasi yang merupakan fungsi adalah relasi 1, relasi 2, relasi 4 dan relasi 6.

2). Diketahui fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan rumus fungsi $ f(x) = x^2 - 2 $
a). Hitunglah nilai $ f(1), \, f(0), \, f(-2), \, f(-3), \, f(3) $
b). Jika $ f(a) = 2, \, $ maka tentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi.
c). Jika daerah asal fungsi tersebut adalah $ D_f = \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ tentukan daerah hasilnya.
Penyelesaian :
a). Langsung substitusi ke fungsinya, diperoleh
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 2 \\ f(1) & = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\ f(0) & = 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2 \\ f(-2) & = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\ f(-3) & = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \\ f(3) & = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \end{align} $
b). Menentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi $ f(a) = 2 $
$\begin{align} f(a) & = a^2 - 2 \\ f(a) & = 2 \\ a^2 - 2 & = 2 \\ a^2 & = 2 + 2 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ a = 2 \, $ atau $ a = -2 $
c). Daerah hasil dari fungsi $ y = f(x) = x^2 -2 \, $ dengan daerah asal
$ D_f = \{x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ adalah $ R_f = \{ y | -2 \leq y \leq 7 \} , \, y \in R \}, \, $ hasil ini diperoleh dari bagian a) sebelumnya.

3). Diketahui fungsi $ f : x \rightarrow f(x) $ dengan rumus fungsi $ f(x) = px - q$. Jika $f(1) = -3 $ dan $ f(4) = 3$, tentukanlah nilai $p$ dan $q$ kemudian tuliskanlah rumus fungsinya.
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan dalam bentuk $ p \, $ dan $ q \, $ dari $ f(x) = px - q $
$ f(1) = p.1 - q = p-q \rightarrow f(1) = -3 \rightarrow p-q = -3 \, $ ...pers(i)
$ f(4) = p.4 - q = 4p-q \rightarrow f(4) = 3 \rightarrow 4p-q = 3 \, $ ...pers(ii)
*). ELiminasi pers(i) dan (ii)
$ \begin{array}{c} 4p-q = 3 & \\ p-q = -3 & - \\ \hline 3p = 6 & \\ p = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ p - q = -3 \rightarrow 2 - q = -3 \rightarrow q = 5 $
Sehingga diperoleh nilai $ p = 2 \, $ dan $ q = 5 $
Dari nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dan $ f(x) = px - q \, $
fungsinya menjadi : $ f(x) = px - q = 2x - 5 $
Jadi rumus fungsinya adalah $ f(x) = 2x - 5 $

4). Diketahui fungsi $f$ dengan rumus $f(x) = \sqrt{2x + 6} $ . Tentukanlah domain fungsi $f$ agar memiliki pasangan anggota himpunan bilangan real.
Penyelesaian :
Domain fungsi $f$ memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila dalam akar nilainya positif.
$ \begin{align} 2x + 6 & \geq 0 \\ 2x & \geq -6 \\ x & \geq \frac{-6}{2} \\ x & \geq -3 \end{align} $
Jadi, domain fungsi $ f \, $ adalah $ D_f =\{x | x \geq -3 , \, x \in R \} $

5). Diketahui $f$ suatu fungsi $f : x \rightarrow f(x)$. Jika 1 berpasangan dengan 4 dan $f(x+1) = 2f(x)$. Tentukan pasangan $x = 4$?
Penyelesaian :
*). Diketahui 1 berpasangan dengan 4, artinya $ f(1) = 4 $
*). Menentukan nilai $ f(4) \, $ dari $ f(1) = 4 \, $ dan $f(x+1) = 2f(x)$
Substitusi $ x = 1 \, $ ke persamaan $ f(x+1) = 2f(x) \, $ dan gunakan $ f(1) = 4 $
$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(1+1) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2 \times 4 = 8 \\ x=2 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(2+1) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2 \times 8 = 16 \\ x=3 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(3+1) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2 \times 16 = 32 \end{align} $
Karena nilai $ f(4) = 32 \, $, maka pasangan $ x = 4 \, $ adalah 32.

6). Diketahui $f$ sebuah fungsi yang memetakan $x$ ke $y$ dengan rumus $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, x \neq 3 . \, $ Tentukan rumus fungsi jika $g$ memetakan $y$ ke $x$.
Penyelesaian :
*). Fungsi $g $ memetakan $y$ ke $x$ dari fungsi $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, $ artinya kita harus mengubah dalam bentuk $ x = .... $
$ \begin{align} y & = \frac{x+2}{2x-6} \\ y(2x-6) & = x+2 \\ 2xy - 6y & = x+ 2 \\ 2xy - x & = 6y + 2 \\ x(2y -1) & = 6y + 2 \\ x & = \frac{6y+2}{2y-1} \end{align} $
Diperoleh fungsi $ g \, $ memetakan $ y $ ke $ x $ : $ g(y) = \frac{6y+2}{2y-1}, \, y \neq \frac{1}{2} $
Catatan : Jika diketahui fungsi $f$ memetakan $ x \, $ ke $ y \, $, dan kita mencari bentuk fungsi $g$ memetakan $ y \, $ ke $ x \, $ (kebalikan dari fungsi awal), fungsi $ g $ ini disebut fungsi invers dari fungsi $ f $ yang disimbolkan $ f^{-1} (x)$ .

Sifat - sifat Fungsi
Fungsi Injektif
       Jika $f$ fungsi dari himpunan A ke himpunan B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka $f$ disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu. Dapat ditulis untuk setiap domain $x_1$ dan $x_2 \, (x_1 \neq x_2) \, $ maka $ f(x_1) \neq f(x_2) $
Fungsi Surjektif
       Secara umum, jika pada suatu fungsi $f$ dari A ke B daerah hasilnya $R_f = B \, $ maka fungsi itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi pada. Akan tetapi, jika $R_f \subset B$ maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi surjektif $f$ tetapi disebut fungsi into. Dengan kata lain, fungsi $f $ dari himpunan A ke himpunan B dikatakan surjektif jika daerah hasil dari $ f $ sama dengan daerah kawan (kodomain) artinya semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain).
Fungsi Bijektif atau Korespondensi satu-satu
       Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

       Definisi mengakibatkan bahwa jika $ f $ fungsi bijektif dengan himpunan A dan himpunan B berhingga, maka himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama.

Contoh
1). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi injektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi injektif, karena setiap domain memiliki pasangan yang berbeda pada kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi injektif, karena ada domain memiliki pasangan yang sama pada kodomain yaitu 2 dan 3 sama-sama dipasangkan ke r.

2). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi surjektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi surjektif, karena daerah hasilnya sama dengan kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi surjektif tetapi merupakan fungsi into, karena daerah hasilnya tidak sama dengan kodomain.

3). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ , kita cek apakah termasuk fungsi injektif, surjektif, atau keduanya.
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi injektif karena setiap domain yang berbeda memiliki pasangan yang berbeda. Misal, $ x_1 = -1 \rightarrow f(-1) = 4(-1) = -4 \, $ dan $ x_2 = 1 \rightarrow f(1) = 4.1 = 4 \, $ ini artinya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi surjektif karena daerah hasilnya sama dengan kodomainnya yaitu bilangan real.
*). Karena fungsi $ f(x) = 4x \, $ memenuhi fungsi injektif dan surjektif, maka fungsi $f \, $ merupakan fungsi bijektif.

4). Apakah fungsi $ g(x) = x^2 \, $ merupakan fungsi bijektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ g(x) = x^2 \, $ bukan merupakan fungsi injektif karena ada anggota domain yang berbenda memberikan hasil yang sama pada kodomain. Misalnya : $ x_1 = -2 \rightarrow g(-2)= (-2)^2 = 4 \, $ dan $ x_2 = 2 \rightarrow g(2) = 2^2 = 4 , \, $ aritnya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ .
Karena fungsi $ g \, $ bukan fungsi injektif, secara otomatis fungsi $ g \, $ juga bukan fungsi bijektif.

5). Tunjukkan bahwa $f $ adalah bukan fungsi surjektif dan fungsi $ g $ adalah fungsi surjektif!
a). $ f : R \rightarrow R \, $ dengan $ f(x) = x^2 + 1 $
b). $ g : R \rightarrow R \, $ dengan $ g(x) = x^3 $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ f $ bukan fungsi surjektif karena terdapat $ -1 \in R \, $ tetapi tidak ada $ x \in R \, $ sehingga $ f(x) = -1 $ , artinya tidak semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain), misalnya $ -1 $ di daerah kawan dan tidak ada pasangannya di daerah asalnya (tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan fungsi $ f $ menghasilkan -1).
b). Jika diambil $ y \in R $ , maka terdapat $ x = y^\frac{1}{3} \in R \, $ sehingga $ g(x) = \left( y^\frac{1}{3} \right)^3 = y . $ Jadi, $ g $ adalah fungsi surjektif.

6). Berikut contoh fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu !
a). Jika kita ingin melihat suatu pertunjukan, setiap pengunjung harus membeli karcis, maka terdapat korespondensi satu-satu ntara himpunan penonton dengan himpunan karcis mereka.
b). Setiap negara mempunyai satu ibu kota negara. Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan negara dengan himpunan ibu kota negara.

Operasi Aljabar pada Fungsi
       Jika $f$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_f$ dan $g$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_g$ , maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut.
a). Jumlah $f$ dan $g$ ditulis $f + g$ didefinisikan sebagai $( f + g )(x) = f (x) + g (x)$ dengan daerah asal $ D_{f + g} = D_f \cap D_g $ .
b). Selisih $f$ dan $g$ ditulis $f - g$ didefinisikan sebagai $( f -g)(x)= f (x)-g(x) $ dengan daerah asal $ D_{f - g} = D_f \cap D_g $.
c). Perkalian $f$ dan $g$ ditulis $f \times g$ didefinisikan sebagai $( f \times g)(x)= f (x) \times g (x) $ dengan daerah asal $ D_{f \times g} = D_f \cap D_g $.
d). Pembagian $f$ dan $g$ ditulis $ \frac{f}{g} $ didefinisikan sebagai $ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ dengan daerah asal $ D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{ x | g(x) = 0 \} $.

Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = x + 3 \, $ dan $ \, g(x) = x^2 - 9 \, $ . Tentukan fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.
a). $ (f+g)(x) \, \, $ b). $ (f-g)(x) \, \, $ c). $(f \times g)(x) \, \, $ d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
Penyelesaian :
*). Daerah asal fungsi $ f(x) = x+3 \, $ adalah $ D_f = \{ x | x \in R \} \, $ dan daerah asal fungsi $ g(x) = x^2 - 9 \, $ adalah $ D_g = \{ x | x \in R \} $
a. Menentukan $ (f+g)(x) $
$\begin{align} (f+g)(x) & = f(x) + g(x) \\ & = (x+3) + (x^2 - 9) \\ & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f + g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
b. Menentukan $ (f-g)(x) $
$\begin{align} (f-g)(x) & = f(x) - g(x) \\ & = (x+3) - (x^2 - 9) \\ & = -x^2 + x + 12 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f-g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f - g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
c. Menentukan $ (f\times g)(x) $
$\begin{align} (f\times g)(x) & = f(x) \times g(x) \\ & = (x+3) \times (x^2 - 9) \\ & = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f \times g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
d. Menentukan $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
$\begin{align} \left( \frac{f}{g} \right)(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ & = \frac{x+3}{x^2 - 9} \\ & = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} \\ & = \frac{1}{x-3} , \, x \neq -3, \, x \neq 3 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x^2 - 9 \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, (x-3)(x+3) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -3, x \neq 3 \\ & = \{ x | x \in R, \, x \neq -3, x \neq 3 \} \end{align} $

2). Misalkan $ f(x) = x^2 \, $ dan $ g(x) = \sqrt{x+1}. \, $ Tentukan fungsi-fungsi berikut dan daerah asalnya!
a). $ 4f \, \, \, $ b). $ f + g \, \, \, $ c). $ f g \, \, \, $ d). $ \frac{f}{g} $
Penyelesaian :
*) Menentukan daerah asal fungsi masing-masing.
fungsi $ f(x) = x^2 \, $ daerah asalnya $ D_f = \{ x | x \in R \} $
fungsi $ g(x) = \sqrt{x+1} \, $ daerah asalnya : nilai dalam akar harus positif sehingga $ x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 \, $ sehingga daerah asalnya $ D_g = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
*) Menentukan fungsi yang diminta
a). $ (4f)(x) = 4f(x) = 4 (x^2) = 4x^2 $
Daerah asalnya : $ D_{4f} = \{ x | x \in R \} $
b). $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + \sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
c). $ (fg)(x) = f(x) \times g(x) = (x^2).(\sqrt{x+1}) = x^2\sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{fg} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} $
Daerah asalnya : Nilai $ g(x) \neq 0 \, $ jika $ x \neq -1 $ , sehingga
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x > -1 , \, x \in R \} \end{align} $

Beberapa Fungsi Khusus
Fungsi konstan (fungsi tetap)
       Suatu fungsi $ f : A \rightarrow B $ ditentukan dengan rumus $f(x)$ disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku $f(x) = C$, di mana $C$ bilangan konstan.

Contoh :
Diketahui $f : R \rightarrow R$ dengan rumus $f(x) = 3$ dengan daerah domain: $\{x | -3 \leq x < 2\}$. Tentukan gambar grafiknya.
Penyelesaian :

Fungsi linear
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x) = ax + b$, di mana $a \neq 0, \, a $ dan $b$ bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

Contoh :
Jika diketahui $f(x) = 2x + 3$, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi kuadrat
       Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a \neq 0 $ dan $a, b$, dan $c$ bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Untuk lebih lengkap mengenai materi fungsi kuadrat, silahkan langsung baca artikel "Fungsi Kuadrat"

Fungsi identitas
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku $f(x) = x$ atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh $f(x) = x$.

Contoh :
Fungsi pada $R$ didefinisikan sebagai $f(x) = x$ untuk setiap $x$. a. Carilah $f(-2), f(0), f(1), f(3)$. b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi tangga (bertingkat)
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi $f(x)$ berbentuk interval-interval yang sejajar.

contoh :
Diketahui fungsi : $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -1, & \text{ jika } x \leq -1 \\ 0, & \text{ jika } -1 < x \leq 2 \\ 2, & \text{ jika } 2 < x \leq 4 \\ 3, & \text{ jika } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukanlah :
a). $ f(-2) $
b). $ f(0) $
c). $ f(3) $
d). $ f(5) $
e). Gambar grafiknya
Penyelesaian :
Fungsi modulus (Mutlak)
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
$f : x \rightarrow |x| \, $ atau $ f : x \rightarrow |ax+b| $

$ f(x) = |x| \, $ artinya : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & \text{ jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{ jika } x < 0 \end{array} \right. $
Grafiknya :

Fungsi ganjil dan fungsi genap
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi ganjil apabila berlaku $f(-x) = -f(x)$ dan disebut fungsi genap apabila berlaku $f(-x) = f(x)$. Jika $f(-x) \neq -f(x)$ maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Contoh :
Tentukan fungsi $f$ di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
b). $ f(x) = 3 \cos x - 5 $
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
$ \begin{align} f(-x) & = 2(-x)^3 + (-x) \\ & = -2x^3 - x \\ & = -(2x^3 + x) \\ f(-x) & = -f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi ganjil.
b). $ f(x) = f(x) = 3 \cos x - 5 $
$ \begin{align} f(-x) & = 3 \cos (-x) - 5 \\ & = 3 \cos x - 5 \\ f(-x) & = f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi genap.
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
$ \begin{align} f(-x) & = (-x)^2 - 8(-x) \\ & = x^2 + 8x \end{align} $
Karena $ f(-x) \neq -f(x) \, $ dan $ f(-x) \neq f(x) $, fungsi $f(x)$ tidak genap atau tidak ganjil.

Relasi

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas tentang Relasi dan Fungsi. Relasi dan fungsi keduanya memiliki keterkaitan. Semua fungsi sudah pasti merupakan suatu relasi, akan tetapi tidak berlaku sebaliknya, yaitu semua relasi belum tentu sebagai fungsi. Untuk kali ini kita akan lebih mendalam membahas tentang Relasi . Silahkan juga baca artikel tentang "Fungsi"
Pengertian Relasi
       Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari A ke B adalah aturan pengaitan/ pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.
Catatan :
1). Relasi dapat terbentuk apabila terdapat dua himpunan/kelompok yang memiliki anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain.
2). Relasi dapat terbentuk apabila ada aturan yang mengaitkan antara anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan yang lain.
Beberapa istilah dalam Relasi
Domain (Daerah Asal)
       Daerah asal atau biasa disebut domain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan.
Kodomain (Daerah Kawan)
       Daerah kawan atau biasa disebut kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan.
Range (Daerah Hasil)
       Daerah hasil atau biasa disebut range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanya adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefinisikan.

Penyajian Relasi
       Relasi yang terbentuk dapat disajikan dengan tiga cara yaitu :
1). Diagram Panah,
2). Himpunan Pasangan Berurutan,
3). Diagram Kartesius

Pengertian Himpunan Pasangan Berurutan
       Misalkan A dan B dua himpunan. Relasi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke setiap anggota himpunan B disebut hasil kali kartesius A dan B, dan ditulis:
$ A \times B = \{(x,y) | x \in A \text{ dan } y \in B \}. $

Contoh :
1). Dalam rangka memperingati HUT RI ke- 68 di Kabupaten ABC, SMA Negeri 1 ABC akan mengirimkan siswanya untuk mengikuti pertandingan antar siswa SMA pada pertandingan tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, dan catur. Terdapat 6 siswa (Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, dan Tono) yang akan mengikuti pertandingan tersebut. Sekolah membuat pilihan dalam menentukan pertandingan yang akan diikuti oleh keenam siswa tersebut yaitu Udin ikut pertandingan tenis lapangan dan bola voli, Joko ikut pertandingan badminton, Dayu ikut pertandingan catur, Siti ikut pertandingan bola voli, Beni ikut pertandingan tenis meja, dan Tono ikut pertandingan tenis meja.
Pasangkanlah siswa dengan jenis pertandingan yang akan diikuti menggunakan diagram panah, pasangan terurut, dan diagram kartesius. ?
Penyelesaian :
Nama Relasinya adalah "Mengikuti pertandingan".
Berikut penyajian Relasinya :
*). Diagram panah
*). Himpunan pasangan berurutan
{(Udin,tenis lapangan), (Udin, bola voli), (Joko, badminton), (Dayu, catur), (Siti, bola voli), (Beni, tenis meja), (Tono, tenis meja)}
*). Diagram kartesius
Adapun domain, kodomain, dan rangenya :
Domain : {Udin, Joko, Dayu, Siti, Beni, Tono}
Kodomain : {tenis lapangan, bola voli, bola kaki, badminton, tenis meja, catur}
Range : {tenis lapangan, bola voli, badminton, tenis meja, catur}

2). Sebuah relasi sering dinyatakan dalam bentuk persamaan dalam variabel $x$ dan $y$, sebagai contoh: $y = x + 1$ dan $x = y^2$. Nilai $x$ merupakan domain relasi dan nilai $y$ merupakan daerah hasil relasi. Pada persamaan $y = x + 1$, jika domain $x$ dibatasi oleh $ 0 < x \leq 5 $, untuk $x$ bilangan real, maka daerah hasilnya adalah $ 1 < y \leq 6$.

3). Tidak semua relasi dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan. Perhatikan gambar berikut.
Berdasarkan Gambar di atas, dapat diketahui bahwa:
*). Seluruh titik pada $ x > 0 $ dan $ y > 0 $ merupakan contoh relasi.
*). Kesepuluh titik-titik pada Gambar (ii) merupakan contoh relasi.
Namun kedua jenis diagram kartesius tersebut di atas sulit diubah dalam bentuk persamaan.
Sifat-sifat Relasi
Sifat 1 : Sifat Reflektif
       Misalkan $ R $ sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap $p \in P $ berlaku $(p, p) \in R $, artinya setiap anggota himpunan $ P $ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

Contoh :
1). Diberikan himpunan $P = {1, 2, 3}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $P$ dengan hasil relasi adalah himpunan $S = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan $P$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

2). Diberikan himpunan $Q = \{2,4,5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $Q$ dengan $R = \{(a,b)| a \text{ kelipatan bulat } b, \text{ dengan } a,b \in Q\}$, sehingga diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan $Q$ berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

3). Diberikan himpunan $ C = \{2,4,5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{(a,b)|a + b < 9, \text{ dengan } a,b \in C\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (5,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tidak bersifat refleksif sebab ada anggota himpunan $C$, yaitu 5 tidak berelasi dengan dirinya sendiri atau $(5, 5) \not \in R$.

Sifat 2 : Sifat Simetris
       Misalkan $R$ sebuah relasi pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap $(x, y) \in R$ berlaku $ (y, x) \in R$, artinya jika $(x,y) $ ada dalam himpunan $ R $ , maka $ (y,x) $ juga harus ada dalam himpunan $ R $ .

Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ bersifat simetris sebab untuk setiap $(x,y) \in R$, berlaku $(y,x) \in R$.

2). Diberikan himpunan $A = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $A$ dengan $R = \{(x, y) | x \text{ kelipatan } y, \text{ dengan } x, y \in A\}$, maka diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) anggota $R$ tetapi (2,4) $ \not \in R$.

Sifat 3 : Sifat Transitif
       Misalkan $R$ sebuah relasi pada himpunan $P$. Relasi $R$ bersifat transitif apabila untuk setiap $(x,y) \in R$ dan $ (y,z) \in R $ maka berlaku $(x,z) \in R$.

Contoh
1). Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi pada himpunan $P$ dengan hasil relasi adalah himpunan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat transitif sebab $(x,y) \in R$ dan $ (y,z) \in R $ maka berlaku $(x,z) \in R$.

2). Diberikan himpunan $C = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)\}$. Relasi $R$ tidak memenuhi sifat transitif, sebab terdapat (1,1) $ \in R$ dan (1,2) $\in R$ , tetapi (2,1) $\not \in R$.

Sifat 4 : Sifat Antisimetris
       Misalkan $R$ sebuah relasi pada sebuah himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap $(x,y) \in R$ dan $(y,x) \in R$ berlaku $x = y$.

Contoh
1). Diberikan himpunan $C = \{2, 4, 5\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $C$ dengan $R = \{ (a,b) | a \text{ kelipatan } b, a,b \in C\}$ sehingga diperoleh $R = \{(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat antisimetris.

2). Diberikan $S = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi $R$ pada himpunan $S$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tidak bersifat antisimetris sebab terdapat $(1,2) \in R $ dan $(2,1) \in R$, tetapi $1 \neq 2$.

Relasi ekivalensi
       Misalkan $R$ sebuah relasi pada himpunan $P$. Relasi $R$ dikatakan relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi $R$ memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.

Contoh
Diberikan himpunan $P = \{1, 2, 3\}$. Didefinisikan relasi pada himpunan $P$ dengan $R = \{(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)\}$. Relasi $R$ tersebut bersifat reflektif, simetris dan transitif. Oleh karena itu relasi $R$ merupakan relasi ekivalensi.

            Selain belajar tentang Relasi dan Fungsi , sebaiknya kita lanjutkan dengan materi yang masih terkait yaitu komposisi fungsi dan fungsi invers. Silahkan baca artikelnya di sini "Komposisi Fungsi" dan "Fungsi Invers".