Tampilkan postingan dengan label program linear. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label program linear. Tampilkan semua postingan

Program Linear : Nilai Optimum dengan Metode Gradien

         Blog Koma - Setelah kita mempelajari dua metode yaitu "metode uji titik pojok" dan "metode garis selidik" untuk menyelesaikan masalah program linear, ada satu metode lagi yang jarang dibahas di sekolah yaitu metode gradien. Pada artikel ini kita akan khusus membahas Program Linear : Nilai Optimum dengan Metode Gradien. Agar lebih mudah memahaminya, silahkan baca materi yang berkaitan dengan "gradien suatu persamaan garis lurus".

Nilai Optimum dengan Metode Gradien
       Metode gradien adalah suatu metode yang secara langsung menggunakan gradien. Dengan metode gradien, akan langsung dapat kita tentukan titik pojok yang menyebabkan suatu fungsi tujuan memeiliki nilai optimum (maksimum atau minimum).

Misalkan ada fungsi tujuan $ z = f(x,y) = ax + by \, $ dengan gradien $ m_f$,
dan terdapat dua kendala yaitu kendala I dengan gradien $ m_1 \, $ dan kendala II dengan gradien $ m_2, \, $ maka ada tiga kemungkinan yang terjadi, yaitu :
i). $ m_f \leq m_1 \leq m_2 \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada titik pojok garis pertama.
ii). $ m_1 \leq m_f \leq m_2 \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada perpotongan kedua garis.
iii). $ m_1 \leq m_2 \leq m_f \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada titik pojok garis kedua.

Syarat yang harus dipenuhi :
*). Semua gradien fungsi tujuan dan kendalanya harus negatif.
*). Tanda ketaksamaannya harus sama semua ($\leq \, $ semua atau $ \, \geq \, $ semua).
*). Banyaknya kendala bisa lebih dari 2.
*). Dibatasi oleh sumbu X dan sumbu Y dengan $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $.
Catatan :
*). Metode gradien biasanya bisa diaplikasikan pada soal cerita.
*). Dengan menganalisa menggunakan garis selidik, ternyata metode gradien ini hanya berlaku untuk kasus atau soal-soal yang memenuhi syarat di atas.

Gradien persamaan Garis
       Untuk mengingatkan kembali, berikut cara menentukan gradien ($m$) suatu persamaan garis :
Garis $ \begin{align} ax + by = c \rightarrow m = \frac{- \text{koefisien } x}{\text{koefisien } y} = \frac{-a}{b} \end{align} $
Contoh soal metode gradien :
1). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = 4x + 6y \, $ dengan
kendala : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 4x + 6y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} = - 0,67 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_2 \leq m_z \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik perpotongan kedua garis karena gradien fungsi tujuannya ada diantara gradien kedua kendalanya.
*). Menentukan perpotongan kedua garis kendala :
$ \begin{array}{c|c|cc} 5x + 10y = 20 & \times 1 & 5x + 10y = 20 & \\ 3x + y = 5 & \times 10 & 30x + 10y = 50 & - \\ \hline & & -25x = -30 & \\ & & x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Substitusi $ x = \frac{6}{5} \, $ ke persamaan $ 3x + y = 5 $
$ 3x + y = 5 \rightarrow 3x \times \frac{6}{5} + y = 5 \rightarrow y = \frac{7}{5} $.
Sehingga titik perpotongannya adalah ($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik ($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$)
$ z = 4x + 6y = 4 \times \frac{6}{5} + 6 \times \frac{7}{5} = 13,2 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = 4x + 6y \, $ adalah 13,2.


2). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = x + 5y \, $ dengan
kendala : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = x + 5y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-1}{5} = - 0,2 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_2 \leq m_1 \leq m_z $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik pojok garis pertama karena gradiennya lebih dekat dengan gradien garis pertama.
*). Menentukan titik pojok garis I :
$ 5x + 10y = 20 \rightarrow (0,2), (4,0) $.
Kita cek titik (0,2) dan (4,0) ke kendala yang lainya :
$ (0,2) \rightarrow 3x + y \geq 5 \rightarrow 3.0 + 2 \geq 5 \rightarrow 2 \geq 5 \, $ (salah).
titik (0,2) bukan titik pojok.
$ (4,0) \rightarrow 3x + y \geq 5 \rightarrow 3.4 + 0 \geq 5 \rightarrow 12 \geq 5 \, $ (benar).
titik (4,0) adalah titik pojok.
Sehingga fungsi tujuan $ z = x + 5y \, $ minimum di titik pojok (4,0).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik (4,0)
$ z = x + 5y = 4 + 5 \times 0 = 4 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = x + 5y \, $ adalah 4.

3). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = 20x + 5y \, $ dengan
kendala : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 20x + 5y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-20}{5} = - 4 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_z \leq m_2 \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik pojok garis kedua karena gradiennya lebih dekat dengan gradien garis kedua.
*). Menentukan titik pojok garis II :
$ 3x + y = 5 \rightarrow (0,5), (\frac{5}{3},0) $.
Kita cek titik (0,5) dan ($\frac{5}{3}$,0) ke kendala yang lainya :
$ (0,5) \rightarrow 5x + 10y \geq 20 \rightarrow 5.0 + 10.5 \geq 20 \rightarrow 50 \geq 20 \, $ (benar).
titik (0,5) adalah titik pojok.
$ (\frac{5}{3},0) \rightarrow 5x + 10y \geq 20 \rightarrow 5.\frac{5}{3} + 10.0 \geq 20 \rightarrow \frac{25}{3} \geq 20 \, $ (salah).
titik ($\frac{5}{3}$,0) bukan titik pojok.
Sehingga fungsi tujuan $ z = 20x + 5y \, $ minimum di titik pojok (0,5).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik (0,5)
$ z = 20x + 5y = 20. \times 0 + 5 \times 5 = 25 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = 20x + 5y \, $ adalah 25.

Catatan :
*). Sebenarnya soal nomor 1 sampai nomor 3 memiliki kendala yang sama hanya fungsi tujuannya yang dibedakan agar kita bisa menyelesaikan soal dengan berbagai variasi yang ada terutama cara menentukan titik pojoknya dengan tanpa harus menggambar dulu grafik dan DHPnya.

4). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ z = 20x + 10y \, $ dengan
kendala : $ x + 2y \leq 4 , \, 5x + 3y \leq 15, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 20x + 10y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-20}{10} = - 2 $
Kendala I : $ x + 2y \leq 4 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -0,5 $
Kendala II : $ 5x + 3y \leq 15 \rightarrow m_2 = \frac{-5}{3} = -1,67 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_z \leq m_2 \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan maksimum pada titik pojok garis kedua karena gradiennya lebih dekat dengan gradien garis kedua.
*). Menentukan titik pojok garis II :
$ 5x + 3y \leq 15 \rightarrow (0,5), (3,0) $.
Kita cek titik (0,5) dan (3,0) ke kendala yang lainya :
$ (0,5) \rightarrow x + 2y \leq 4 \rightarrow 0 + 2.5 \leq 4 \rightarrow 10 \leq 4 \, $ (salah).
titik (0,5) bukan titik pojok.
$ (3,0) \rightarrow x + 2y \leq 4 \rightarrow 3 + 2.0 \leq 4 \rightarrow 3 \leq 4 \, $ (benar).
titik (3,0) adalah titik pojok.
Sehingga fungsi tujuan $ z = 20x + 10y \, $ maksimum di titik pojok (3,0).
*). Menentukan nilai maksimumnya di titik (3,0)
$ z = 20x + 10y = 20 \times 3 + 10 \times 0 = 60 $.
Jadi, nilai maksimum fungsi $ z = 20x + 10y \, $ adalah 60.

5). Agar fungsi tujuan $ z = ax + 4y \, $ minimum pada perpotongan kedua
kendala : $ 5x + 2y \geq 10 , \, 3x + 4y \geq 12 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $,
Tentukan rentang nilai $ a $?

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = ax + 4y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-a}{4} $
Kendala I : $ 5x + 2y \geq 10 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{2} $
Kendala II : $ 3x + 4y \geq 12 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{4} $
*). Agar penyelesaiannya ada di perpotongan kedua kendala, haruslah gradien fungsi tujuannya ada di antara gradien fungsi kendalanya.
$ \begin{align} m_1 \leq & m_z \leq m_2 \\ \frac{-5}{2} \leq & \frac{-a}{4} \leq \frac{-3}{4} \, \, \, \, \text{(kali -4, tanda dibalik)} \\ \frac{-5}{2} \times (-4) \geq & \frac{-a}{4} \times (-4) \geq \frac{-3}{4} \times (-4) \\ 10 \geq & a \geq 3 \end{align} $
Jadi, rentang nilai $ a \, $ adalah $ \, 10 \geq a \geq 3 \, $ atau $ 3 \leq a \leq 10 $ .

Catatan :
Untuk soal nomor (5), jika ada kata solusinya "hanya" di perpotongan kedua kendala, maka yang dipakai adalah $ m_1 < m_z < m_2 $.

Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik

         Blog Koma - Selain metode "uji titik pojok", terdapat metode lain yang digunakan sebagai alternatif untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsi tujuan. Metode alternatif tersebut dikenal sebagai metode garis selidik. Pada artikel ini kita akan membahas Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik. Untuk memudahkan mempelajari materi Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan", dan "Menyusun Model Matematika".

Nilai Optimum dengan Garis Selidik
       Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan $ \, ax + by = k , $ dengan $ \, k \in R \, $ dimana $ k \, $ sembarang bilangan yang kita pilih. Garis selidik $ ax + by = k (k \in R) $ merupakan himpunan garis-garis yang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar jika memiliki gradien yang sama.

       Pada dasarnya, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggeser garis selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah sampai garis tersebut memotong titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk fungsi tujuan maksimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian dari kendala-kendala sistem pertidaksamaan linear dua variabel berada di bawah atau sebelah kiri garis selidik. Adapun untuk fungsi tujuan minimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian berada di atas atau sebelah kanan garis selidik dengan syarat koefisien $ y \, $ harus positif ($ b > 0 $). Jika koefisien $ y \, $ negatif ($b < 0$), maka berlaku sebaliknya.
Langkah-langkah metode Garis Selidik
Langkah-langkah Menentukan nilai Optimum dengan Garis Selidik :
i). Buat model matematikanya yang teridiri dari kendala dan fungsi tujuan;
ii). Tentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP);
iii). Tentukan persamaan garis selidik dari fungsi tujuannya;
Untuk mendapatkan nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kanan atau atas sampai memotong titik paling jauh dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling jauh tersebut merupakan titik yang memaksimumkan fungsi tujuan.
iv). Untuk mendapatkan nilai minimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kiri atau bawah sampai memotong titik paling dekat dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling dekat tersebut merupakan titik yang meminimumkan fungsi tujuan.

Perhatikan gambar ilustrasi garis selidik berikut ini :
Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimum kan fungsi tujuan (objektif ) dan titik D merupakan titik yang me maksimum kan tujuan.
Contoh soal nilai optimum dengan garis selidik :
1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan $ z = f(x, y) = 3x + 4y \, $ dan fungsi kendalanya adalah
$ x + 2y \leq 10 , \, 4x + 3y \leq 24, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $

Penyelesaian :
*). Menentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) :
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", dan "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan".
*). Fungsi tujuannya : $ z = f(x, y) = 3x + 4y $, bentuk umum garis selidiknya adalah $ 3x + 4y = k $ . Untuk memudahkan menggambar, kita pilih nilai $ k = 12 \, $ sehingga persamaan garis selidiknya adalah $ 3x + 4y = 12 $.
gambar garis selidiknya :
Berdasarkan gambar garis selidik di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui, yaitu titik B. Koordinat titik B setelah dicari adalah $(\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$.
Artinya fungsi tujuannya maksimum pada titik pojok B.
*). Menentukan nilai maksimumnya dengan substitusi titik B ke fungsi tujuannya :
$ f(x,y) = f(\frac{18}{5}, \frac{16}{5}) = 3 \times \frac{18}{5} + 4 \times \frac{16}{5} = 23,6 $.
Jadi, nilai maksimum dari fungsi tujuannya adalah 23,6.

*). Bagaimana dengan nilai minimumnya?
Perhatikan gambar garis selidiknya, garis selidik harus digeser ke kiri atau ke bawah seperti gambar berikut.
Berdasarkan gambar tersebut, titik O(0, 0) merupakan titik paling dekat dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuan yang diberikan dicapai pada titik O(0, 0), yaitu
$ z = f(x, y) = 3x + 4y = 3(0) + 4(0) = 0 $ .
Sehingga nilai minimum fungsi tujuannya adalah 0.

2). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ f(x,y) = 80x + 125y \, $ yang memenuhi kendala $ x + y \leq 350, \, 600x + 1.000y \leq 300.000 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Gambar grafik dan DHP nya :
*). Fungsi tujuan dari masalah program linear tersebut adalah $ 80x + 125y $. Bentuk umum garis selidiknya $ ax + by = k \, $ , kita pilih $ k = 10.000 , \, $ sehingga garis selidiknya menjadi $ 80x + 125y = 10.000 \, $ atau $ \, 16x + 25y = 2.000 $ .
catatan : nilai $ k \, $ bebas kita pilih, tapi kita pilih yang mudah dalam menggambar.
*). Oleh karena yang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan atau atas seperti pada gambar berikut.
gambar garis selidik dan pergeserannya :
*). Berdasarkan gambar di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel di titik B (125, 225).
Dengan demikian, nilai fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ maksimum dicapai di titik B (125, 225).
*). Menentukan nilai maksimum dengan substitusi titik B ke fungsi tujuan :
$ f(x,y) = 80x + 125y \rightarrow f(125,225) = 80 \times 125 + 125 \times 225 = 38.125 $.
Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ adalah 38.125.

Catatan :
Dari dua contoh soal di atas, dapat disimpulkan bahwa metode garis selidik digunakan hanya untuk menentukan titik pojok mana yang menyebabkan fungsi tujuannya memiliki nilai optimum. Hanya saja metode garis selidik memerlukan ketelitian dalam menggambar dan menggeser garis selidiknya, jangan sampai salah.

Program Linear : Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok

         Blog Koma - Setelah kita mempelajari beberapa materi prasayarat untuk program linear seperti : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan", dan "Menyusun Model Matematika", maka tiba saatnya kita akan membahas masalah program linear yang langsung berkaitan dengan nilai optimum yaitu nilai maksimum atau nilai minimum pada artikel Program Linear : Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok.

         Untuk menentukan nilai optimum suatu soal cerita yang berkaitan dengan progrma linear, ada tiga metode yang bisa kita gunakan yaitu metode uji titik pojok, metode garis selidik, dan metode gradien. Namun diatara ketiga metode tersebut, yang paling mudah dan yang paling sering diajarkan adalah metode yang pertama yaitu metode uji titik pojok.

Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok
       Metode Uji titik pojok adalah suatu metode dengan mensubstitusikan titik-titik pojok pada suatu daerah himpunan penyelesaian (DHP) ke fungsi tujuannya (fungsi sasaran/fungsi objektif). Nilai maksimum berarti nilai yang paling besar yang kita ambil, begitu juga sebaliknya untuk nilai minimum kita ambil yang paling kecil.
Dari gambar DHP di atas, titik pojoknya adalah titik A, titik B, dan titik C.

Langkah-langkah menentukan nilai Optimum dengan uji titik pojok :
i). Buat model matematikanya (terdiri dari fungsi kendala dan fungsi tujuan).
ii). Tentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) dan titik pojoknya.
iii). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, dan tentukan yang diminta apakah nilai maksimum atau nilai minimum.
Contoh soal nilai optimum dengan uji titik pojok :
1). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y \, $ berdasarkan DHP berikut ini.
Penyelesaian :
*). Titik pojoknya adalah titik A, B, C, dan O. Titik C belum ada koordinatnya, sehingga harus kita cari dulu dengan eliminasi kedua persamaan garis.
*). Menentukan titik C :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 60 & \times 2.000 & 2.000x + 2.000y = 120.000 & \\ 2.500x + 2.000y = 140.000 & \times 1 & 2.500x + 2.000y = 140.000 & - \\ \hline & & -500x = -20.000 & \\ & & x = 40 & \end{array} $
Substitusi $ x = 40 \, $ ke persamaan $ x + y = 60 $
$ x + y = 60 \rightarrow 40 + y = 60 \rightarrow y = 20 $.
Sehingga titik C adalah C(40,20).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y $.
$ A(0,60) \rightarrow f = 1.500 \times 0 + 1.250 \times 60 = 75.000 $
$ B(56,0) \rightarrow f = 1.500 \times 56 + 1.250 \times 0 = 84.000 $
$ C(40,20) \rightarrow f = 1.500 \times 40 + 1.250 \times 20 = 85.000 $
$ O(0,0) \rightarrow f = 1.500 \times 0 + 1.250 \times 0 = 0 $
Jadi, fungsi $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y \, $ di titik C(40,20) dengan nilai maksimumnya adalah $ f = 85.000 $.

2). Tentukan nilai maksimum $ f(x, y) = 3x + 4y \, $ pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.
$ x + 2y \leq 10, \, 4x + 3y \leq 24, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Pada soal ini model matematikanya sudah ada, sehingga kita lanjutkan dengan menentukan DHP dengan menggambar grafiknya dan menentukan titik pojoknya.
*). Menggambar grafik dan DHP.
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", dan "Menentukan DHP sistem Pertidaksamaan".
$ x + 2y = 10 \rightarrow (0,5), (10,0) $
$ 4x + 3y = 24 \rightarrow (0,8), (6,0) $
grafik dan DHP nya :
*). Titik pojoknya adalah titik O, A, B, dan C.
Titik B belum ada koordinatnya, sehingga kita cari dulu dengan eliminasi kedua persamaannya :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 10 & \times 4 & 4x + 8y = 40 & \\ 4x + 3y = 24 & \times 1 & 4x + 3y = 24 & - \\ \hline & & 5y = 16 & \\ & & y = \frac{16}{5} & \end{array} $
Substitusi $ y = \frac{16}{5} \, $ ke persamaan $ x + 2y = 10 $
$ x + 2y = 10 \rightarrow x + 2\times \left( \frac{16}{5} \right) = 10 \rightarrow x = \frac{18}{5} $.
Sehingga titik B adalah B($\frac{18}{5},\frac{16}{5}$).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 3x + 4y \, $ dan hasilnya seperti tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :
Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x,y) = 3x + 4y \, $ adalah 23,6.

3). Seorang anak penderita kekurangan gizi diharuskan makan dua jenis tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp400,00/biji dan tablet kedua Rp600,00/biji, tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harinya.

Penyelesaian :
*). Pertama kita buat model matematikanya dulu :
Silahkan baca : "Menyusun Model Matematika".
Misalkan, banyaknya tablet 1 sebanyak $ x $ biji dan tablet 2 sebanyak $ y $ biji.
Tabel untuk membuat model matematika,
Kebutuhan vitamin yang optimal adalah tidak boleh kurang dari, sehingga tanda ketaksamaan yang digunakan adalah "$\geq$".
Model matematikanya :
Kendalanya : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.
Fungsi Tujuannya : $ z = f(x,y) = 400x + 600y $.
*). Menentukan Grafik dan DHP nya :
$ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow (0,2),(4,0) $
$ 3x + y \geq 5 \rightarrow (0,5),(\frac{5}{3},0) $
grafik dan DHP nya :
*). Titik Pojoknya adalah titik A, B, dan C.
Kita tentukan koordinat titik B dengan eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 5x + 10y = 20 & \times 1 & 5x + 10y = 20 & \\ 3x + y = 5 & \times 10 & 30x + 10y = 50 & - \\ \hline & & -25x = -30 & \\ & & x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Substitusi $ x = \frac{6}{5} \, $ ke persamaan $ 3x + y = 5 $
$ 3x + y = 5 \rightarrow 3x \times \frac{6}{5} + y = 5 \rightarrow y = \frac{7}{5} $.
Sehingga titik B adalah B($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ z = f(x,y) = 400x + 600y \, $ dan hasilnya seperti tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :
Jadi, nilai minimum untuk fungsi tujuan tersebut adalah 1.320. Artinya, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harinya Rp1.320,00.

4). Sebuah perusahaan memproduksi sepeda dan skuter dengan menggunakan dua mesin. Untuk memproduksi sepeda dibutuhkan waktu 5 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 2 jam dengan menggunakan mesin kedua. Untuk memproduksi skuter dibutuhkan waktu 3 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 6 jam dengan menggunakan mesin kedua. Kapasitas maksimum mesin pertama 150 jam, sedangkan kapasitas maksimum mesin kedua 180 jam. Keuntungan bersih yang diperoleh dari tiap satu unit sepeda adalah Rp480.000,00 dan satu unit skuter adalah Rp560.000,00. Tentukan jumlah sepeda dan skuter yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum!

Penyelesaian :
*). Langkah pertama adalah membuat model matematika dari masalah di atas. Misalkan banyaknya sepeda dinyatakan dengan $ x $ dan banyaknya skuter dinyatakan dengan $ y $.
Tabel model matematikanya :
Model matematikanya :
Kendala : $ 5x + 3y \leq 150, \, 2x + 6y \leq 180, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $ .
Fungsi tujuan : $ z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y $ .
*). Menentukan Grafik dan DHP nya :
$ 5x + 3y = 150 \rightarrow (0,50),(30,0) $
$ 2x + 6y = 180 \rightarrow (0,30),(90,0) $
grafik dan DHP nya :
*). Titik Pojoknya adalah titik A, B, dan C.
Kita tentukan koordinat titik B dengan eliminasi kedua persamaan :
Sehingga titik B adalah B(15,25).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y \, $ dan hasilnya seperti tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :
Jadi, nilai maksimum dari $ f(x,y) = 480.000x + 560.000y \, $ adalah 21.200.000.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari materi "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan" dengan cara uji sembarang titik, kita akan lanjutkan dengan Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda. Metode uji tanda ini akan sangat berguna terutama ketika ada banyak pertidaksamaan.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda
       Dari namanya yaitu "uji tanda", maka disini kita akan menggunakan tanda yang ada. Tanda yang dimaksud adalah nilainya positif atau negatif.

Langkah-langkah Menentukan DHP dengan Uji Tanda :
Bentuk umum pertidaksamaannya : $ ax+by \leq c \, $ atau $ \, ax + by \geq c $.
a). Tanda ketaksamaannya ada dua kemungkinan yaitu $ \leq \, $ atau $ \, \geq $.
Tanda ketaksamaannya ini kita beri nilai $ T_1 , \, $
Untuk tanda $ \leq , \, $ maka nilai $ T_1 < 0 \, $ (negatif).
Untuk tanda $ \geq , \, $ maka nilai $ T_1 > 0 \, $ (positif).

b). Tanda selanjutnya adalah tanda pada koefisien $ x \, $ kita tulis ($T_x$) atau tanda pada koefisien $ y \, $ kita tulis ($T_y$) yang masing-masing bisa bernilai positif atau negatif.
c). Kita kalikan kedua tanda dari bagian (a) dan (b) sebelumnya.
Menggunakan tanda $ x \, $ :
$ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif), maka yang benar sebelah kanan garis.
$ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif), maka yang benar sebelah kiri garis.
Menggunakan tanda $ y \, $ :
$ T_1 \times T_y > 0 \, $ (positif), maka yang benar daerah bagian atas garis.
$ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif), maka yang benar daerah bagian bawah garis.

Ringkasan dari teori di atas yaitu :
Menggunakan Tanda $ x $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kanan)} \\ T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kiri)} \end{array} \right. $

Menggunakan Tanda $ y $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah atas)} \\ T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah bawah)} \end{array} \right. $

Catatan :
*). Kita cukup menggunakan salah satu tanda saja baik tanda $ x \, $ atau tanda $ y \, $ karena hasilnya pasti sama saja.
*). Untuk daerah yang benar dari hasil perkaliannya,
i). menggunakan tanda $ x \, $ berarti harus diingat sumbu X yaitu positif sebelah kanan dan negatif sbelah kiri.
ii). Begitu juga kalau menggunakan tanda $ y $ , ingat sumbu Y yaitu positif bagian atas dan negatif bagian bawah.
Contoh soal menentukan DHP dengan uji tanda :
1). Tentukan DHP dari pertidaksamaan
a). $ 2x + 3y \leq 6 $
b). $ 2x + 3y \leq -6 $
c). $ -2x + 3y \geq 6 $
d). $ 2x - 3y \geq 6 $
e). $ -2x - 3y \leq 6 $
f). $ x \geq 3 $
g). $ y \leq 2 $

Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan dan menentukan DHP nya, kita harus menggambarnya dulu.
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear".
a). $ 2x + 3y \leq 6 \rightarrow (0,2), (3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

Catatan : Selanjutnya kita hanya menggunakan salah satu tanda saja.

b). $ 2x + 3y \leq -6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq -6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

c). $ -2x + 3y \geq 6 \rightarrow (0,2), (-3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (positif kali negatif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ -2x + 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

d). $ 2x - 3y \geq 6 \rightarrow (0,-2),(3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ 2x - 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

e). $ -2x - 3y \leq 6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (negatif kali negatif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ -2x - 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

f). $ x \geq 3 $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ x \geq 3 $.
*). Grafik dan DHP nya :

g). $ y \leq 2 $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ y \leq 2 $.
*). Grafik dan DHP nya :

Menyusun Model Matematika untuk Program Linear

         Blog Koma - Satu lagi materi dasar yang harus dikuasai untuk memudahkan dalam memecahkan masalah program linear yaitu Menyusun Model Matematika untuk Program Linear. Untuk memudahkan dalam membuat model matematika, kita harus membaca soal ceritanya secara cermat dan memahami soal secara mendalam. Berikut adalah alur dari permasalahan nyata (dalam bentuk soal cerita) yang diubah dalam bentuk model matematika (agar bisa diselesaikan) dan selanjutnya diselesaikan dengan program linear.

Pengertian Model Matematika
       Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi. Model matematika dari setiap permasalahan program linear secara umum terdiri atas 2 komponen, yaitu:
1. Fungsi tujuan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ dan
2. Fungsi kendala (berupa sistem pertidaksamaan linear).

Langkah-langkah membuat model matematikanya :
i). Baca soal secara cermat, dan misalkan (biasanya yang dimisalkan adalah produknya).
ii). Susun pertidaksamaannya berdasarkan kendala yang ada.
iii). Susun fungsi tujuannya.

Ciri-ciri tanda ketaksamaan yang digunakan :
*). tanda $ \geq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak kurang dari, minimal, sekecil-kecilnya, sekurang-kurangnya, minimum, paling sedikit.
*). tanda $ \leq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak lebih dari, maksimal, sebesar-besarnya, maksimum, paling banyak.
Contoh soal menyusun Model Matematika untuk Program Linear :
1). Kakak akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg telur. Sedangkan roti B membutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur. Kakak hanya mempunyai 15 kg tepung terigu dan 40 kg telur. Jika banyaknya roti A yang akan dibuat adalah x dan banyaknya roti B yang akan dibuat adalah y, maka tentukan model matematikanya!

Penyelesaian :
*). Agar lebih mudah dalam membuat model matematikanya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu.
*). Menentukan bentuk pertidaksamaannya (fungsi kendala) berdasarkan kendalanya :
Kendala pertama tepung terigu :
Banyaknya tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($x + 1,5y$) kg. Karena persediaan tepung terigu adalah 15 kg, maka diperoleh hubungan:
$ x + 1,5 y \leq 15 \, $ atau kalikan 2 : $ 2x + 3y \leq 30 $ .
Kendala kedua telur :
Banyaknya telur yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($0,5x + y$) kg. Karena persediaan telur adalah 10 kg, maka diperoleh hubungan:
$ 0,5x + y \leq 10 \, $ atau kalikan 2 : $ x + 2y \leq 20 $
Bagian ketiga :
$ x $ dan $ y $ adalah banyaknya roti A dan roti B sehingga $ x $ dan $ y $ tidak mungkin negatif. Oleh karena itu, $ x $ dan $ y $ harus memenuhi hubungan:
$ x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0$, dengan $ x, y \in C $.
Jadi, model matematikanya adalah $ 2x + 3y \leq 30, \, x + 2y \leq 20, x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0, $ dengan $ x, y \in C $. C adalah bilangan cacah yang beranggotakan {0,1,2,3,4,5,...}.

2). Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak- anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian anak-anak memerlukan waktu 1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan 1,5 jam untuk tahap penjahitan. Sedangkan satu pakaian dewasa memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam untuk pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan. Penjahit tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan. Keuntungan bersih pakaian anak-anak dan pakaian dewasa adalah Rp15.000,00 dan Rp30.000,00. Buatlah model matematika dari masalah program linear tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar- besarnya!

Penyelesaian :
*). Produknya adalah pakaian anak-anak dan pakaian dewasa serta kendalanya adalah waktu pengerjaan yang dibagi menjadi tiga yaitu pemotongan, pengobrasan, dan penjahitan.
Misalkan banyaknya pakaian anak-anak = $ x $ dan banyaknya pakaian dewasa = $ y $. Agar lebih mudah, persoalan di atas disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut!
*). Menyusun fungsi kendalanya :
waktu pemotongan : $ x + 1,5y \leq 20 \, $ atau $ 2x + 3y \leq 40 $.
waktu pengobrasan : $ 0,5x + y \leq 15 \, $ atau $ x + 2y \leq 30 $.
waktu penjahitan : $ 1,5x + 2,5y \leq 40 \, $ atau $ 3x + 5y \leq 80 $.
Banyak barang positif : $ x \geq 0, \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya atau fungsi objektif atau fungsi sasaran :
$ z = 15.000x + 30.000y , \, $ atau ditulis $ f(x,y) = 15.000x + 30.000y $.
Dimana fungsi tujuannya adalah fungsi keuntungan yang akan ditentukan nilai maksimumnya.

Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \leq 40, x + 2y \leq 30, 3x + 5y \leq 80, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 15.000x + 30.000y $ .

3). Seorang praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan A dan larutan B untuk eksperimennya. Larutan A mengandung 10 ml bahan I dan 20 ml bahan II. Sedangkan larutan B mengandung 15 ml bahan I dan 30 ml bahan II. Larutan A dan larutan B tersebut akan digunakan untuk membuat larutan C yang mengandung bahan I sedikitnya 40 ml dan bahan II sedikitnya 75 ml. Harga tiap ml larutan A adalah Rp5.000,00 dan tiap ml larutan B adalah Rp8.000,00. Buatlah model matematikanya agar biaya untuk membuat larutan C dapat ditekan sekecil-kecilnya!

Penyelesaian :
*). Produknya adalah larutan A dan larutan B dan kendalanya adalah bahan I dan II.
Misalkan banyaknya larutan A adalah $ x $ dan banyaknya larutan B adalah $ y $. Agar lebih mudah, persoalan program linear tersebut disajikan dalam tabel seperti berikut ini.
*). Menyusun fungsi kendala berdasarkan kendalanya :
di soal ini menggukanan kata sedikitnya, artinya tanda ketaksamaannya "$\geq$".
Bahan I : $ 10x + 15y \geq 40 \, $ atau $ 2x + 3y \geq 8 $.
Bahan II : $ 20x + 30y \geq 75 \, $ atau $ 4x + 6y \geq 15 $.
Banyak larutan positif : $ x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya (sebagai fungsi biaya):
$ z = 5.000x + 8.000y $.

Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \geq 8, 4x + 6y \geq 15, x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 5.000x + 8.000y $.

4). Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon. Tempatnya hanya mampu menampung buah sebanyak 60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rp140.000,00. Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga beli melon Rp2.000/kg. Keuntungan yang diperoleh dari penjual semangka Rp 1.500,00/kg dan melon Rp1.250,00/kg. Tentukan model matematika dari permasalahan ini.

Penyelesaian :
*). Produknya adalah semangka dan melon serta kendalanya adalah kapasitas keranjang dan harga.
Misalkan semangka sebanyak $ x \, $ dan melon sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*). Menyusun fungsi kendala sesuai batasannya :
Kapasitas : $ x + y \leq 60 $
Harga : $ 2.500x + 2.000y \leq 140.000 \, $ atau $ \, 5x + 4y \leq 280 $ .
banyak buah positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.

Jadi, model matematikanya adalah :
Kendalanya : $ x + y \leq 60, 5x + 4y \leq 280 , x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.

5). Suatu lahan parkir memiliki luas 800 m$^2$ dan hanya mampu menampung 64 bus dan mobil. Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m$^2$ dan bus 24 m$^2$. Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus. Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan yang maksimum. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.

Penyelesaian :
*). Produknya adalah mobil dan bus serta kendalanya kapasitas (daya tampung) dan luas lahan.
Misalkan mobil sebanyak $ x $ dan bus sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*). Menyusun fungsi kendalanya :
daya tampung : $ x + y \leq 64 $
Luas lahan : $ 6x + 24y \leq 800 $ .
Banyak kendaraan positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.

Jadi, model matematikanya yaitu :
Kendala : $ x + y \leq 64, 6x + 24y \leq 800, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.

Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari pengertian program linear dan "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", pada artikel ini kita akan melanjutkan tahapan dalam menyelesaikan masalah program linear yaitu materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan. Pada materi Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan ini kita akan bahas cara-cara menentukan daerah penyelesaiannya (arsiran) yang biasa disingkat DHP (Daerah Himpunan Penyelesaian) dengan cara uji sembarang titik.

         Pada materi ini kita akan mulai dari menentukan DHP untuk satu pertidaksamaan linear dua variabel, kemudian dilanjutkan dengan beberapa pertidaksamaan linear dua variabel. Sistem pertidaksamaan merupakan kumpulan dari beberapa pertidaksamaan yang memiliki DHP yang sama.

Pengertian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
       Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah $ >, <, \leq, \, $ atau $ \, \geq $ .
Contoh pertidaksamaan linear dua variabel :
1). Berikut adalah beberapa contoh pertidaksamaan linear dua variabel :
a). $ 2x + 3 \geq 3 $
b). $ -x + 2y \leq 20 $
c). $ 5x - 4y < -25 $
d). $ -3x - 2y > 17 $

Perbedaan Persamaan (baik linear atau tidak) dengan Pertidaksamaan
       Perbedaan mendasar antara persamaan dan pertidaksamaan yaitu :
Persamaan hasilnya berupa grafik (untuk persamaan linear berupa garis), sedangkan Pertidaksamaan hasilnya berupa daerah arsiran.

Hasil yang dimaksud disini adalah nilai semua variabel yang memenuhi persamaan atau pertidaksamaan.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) untuk satu pertidaksamaan dengan metode uji sembarang titik
       Langkah-langkah Menentukan DHP nya :
i). Gambarlah terlebih dahulu pertidaksamaannya (berupa grafik) dengan mengubah tanda ketaksamaannya ($>, \geq, \leq, <$) menjadi $ = $.

ii). Pilih satu titik sembarang yang tidak dilalui oleh garis, kemudian substitusi ke pertidaksamaannya. Jika titik tersebut memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik yang diuji tersebut adalah DHP nya. Jika titik yang diuji tidak memenuhi pertidaksamaan, maka DPH nya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut.

iii). Beri tanda DHP nya berupa arsiran.

Catatan :
Perbedaan penggunakan $ \leq , \, \geq \, $ dengan $ \, >, \, < \, $ yaitu :
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis juga ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar utuh (tanpa putus) garisnya.
*). Bentuk $ \leq , \, \geq \, $ artinya titik-titik yang ada pada garis tidak ikut sebagai penyelesaian sehingga digambar putus-putus garisnya.

Contoh soal Menentukan DHP nya :
2). Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a). $ 2x - y \leq 6 $
b). $ 5x + 3y > 15 $
c). $ x \geq 3 $
d). $ y < -1 $
Penyelesaian :

Silahkan baca : "Cara membuat grafik bentuk linear".
a). $ 2x - y \leq 6 $
*). Menggambar grafik dari $ 2x - y = 6 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 2x - y = 6 \rightarrow 2x - 0 = 6 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya adalah (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 2x - y = 6 \rightarrow 2.0 - y = 6 \rightarrow -y = 6 \rightarrow y = -6 $.
tipotnya adalah (0,-6).
gambar grafiknya yaitu :
*). Pilih satu titik uji, biasanya titik (0,0) karena paling mudah dihitung. Kita substitusikan titik (0,0) ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 2x - y & \leq 6 \\ 2.0 - 0 & \leq 6 \\ 0 & \leq 6 \, \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kiri (atau atas).
*). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna biru.

b). $ 5x + 3y > 15 $
*). Menggambar grafik dari $ 5x + 3y = 15 \, $ dengan menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbunya :
Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5x + 3.0 = 15 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3 $.
tipotnya adalah (3,0).
Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ ,
$ 5x + 3y = 15 \rightarrow 5.0 + 3y = 15 \rightarrow 3y = 15 \rightarrow y = 5 $.
tipotnya adalah (0,5).
gambar grafiknya yaitu :
*). Pilih satu titik uji yaitu titik (0,0). Kita substitusikan titik (0,0) ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow 5x + 3y & > 15 \\ 5.0 + 3.0 & > 15 \\ 0 & > 15 \, \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align} $
Karena titik uji (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan, maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak memuat titik (0,0) yaitu daerah sebelah kanan (atau atas).
*). Grafik daerah himpunan penyelesaiannya diberi warna abu-abu.

c). $ x \geq 3 $
*). Grafik dari $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti gambar berikut ini.
*). Karena yang diminta lebih besar dari 3 ($x \geq 3 $), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di sebelah kanan garis.

d). $ y < -1 $
*). Grafik dari $ y = -1 \, $ adalah mendatar seperti gambar berikut ini.
*). Karena yang diminta lebih kecil dari -1 ($y < -1 $), maka daerah himpunan penyelesaiannya adalah di bawah garis.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) sistem Pertidaksamaan
       Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah penyelesaian (DHP) yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada.

Langkah-langkah menentukan DHP nya :
1). Gambar masing-masing grafik pertidaksamaan dan tentukan DHP nya.

2). Tandai DHP nya. Ada dua cara untuk menandai DHP nya yaitu :
i). DHP nya ditandai dengan daerah arsiran, maksudnya kita arsir daerah yang benar dan kita cari daerah yang terkena arsiran paling banyak dan itulah DHP nya. Terapi, cara ini kurang efektif karena kita terkadang mengalami kesulitan untuk menentukan daerah mana yang terkena arsiran yang paling banyak apalagi kita hanya menggunakan satu warna untuk mengarsirnya.

ii). DHP nya daerah yang bersih, maksudnya kita arsir daerah yang salah dan setelah semua pertidaksamaan kita selesaikan kemudian kita cari daerah yang bersih, daerah tersebutlah DHP nya.
Contoh soal Menentukan DHP sistem pertidaksamaan :
3). Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut ini:
$ 3x + 2y \leq 12, \, x - y \leq 3, \, x \geq 0, $ dan $ y \geq 0 \, $ untuk $ x, y \in R$.

Penyelesaian :
*). Menggambar dan menentukan DHP masing-masing pertidaksamaan :
Menentukan titik potong terhadap sumbu-sumbu seperti tabel berikut ini :
*). Mengambil sembarang titik uji, misalnya (0, 0), untuk disubstitusikan ke dalam pertidaksamaannya.
$ \begin{align} 3x + 2y & \leq 12 \\ 3.0 + 2.0 & \leq 12 \\ 0 & \leq 12 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} \, \, \, \, \, $ $ \, \, \, \, \, \begin{align} x - y & \leq 3 \\ 0 - 0 & \leq 3 \\ 0 & \leq 3 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
*). DHP masing-masing :
*). Daerah yang terkena arsiran paling banyak ditunjukkan gambar berikut ini :
*). Bisa juga dengan mengarsir daerah yang salah, sehingga DHP nya adalah daerah yang bersih seperti gambar berikut ini :

Menentukan Sistem Pertidaksamaan jika diketahui DHP nya
       Pada bagian terakhir dari artikel ini kita membahas kebalikannya yaitu diketahui Daerah Himpunan Penyelesaiannya dan kita diminta untuk menentukan sistem pertidaksamaannya.

Langkah-langkahnya :
i). Menentukan persamaan semua garis yang menjadi pembatas DHP nya.
ii). Menentukan tanda ketaksamaannya ($>, \, \leq , \, \geq , \, < $) sesuia DHP nya dengan uji sembarang titik yang ada pada DHP.
Contoh soal :
4). Tentukan sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang daerah himpunan penyelesaiannya ditunjukkan pada gambar berikut!

Penyelesaian :
Silahkan baca : "Cara menyusun persamaan linear diketahui grafiknya".
*). Menentukan persamaan masing-masing garis :
Garis I : Kali silang,
$ 2x + (-4)y = 2 . (-4) \rightarrow 2x - 4y = - 8 \rightarrow x - 2y = - 4 $.
Garis II : Kali silang,
$ 4x + 5y = 4.5 \rightarrow 4x + 5y = 20 $.
Garis III : Sumbu Y, persamaannya $ x = 0 $.
Garis IV : Sumbu X, persamaannya $ y = 0 $.
*). Menentukan tanda ketaksamaan masing-masing :
Kita ambil satu titik uji yang ada di DHP nya, yang paling mudah adalah titik (0,0). Sebenarnya bisa kita uji titik lain selama titik tersebut ada di dalam DHP nya.
Garis I : $ x - 2y = - 4 $
$ \begin{align} x - 2y & = - 4 \\ 0 - 2.0 \, & \text{(tandanya)} \, - 4 \\ 0 & > -4 \end{align} $.
Artinya 0 lebih besar dari -4, sehingga tanda ketaksamaannya $ > $.
Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ x - 2y \geq - 4 $.

Garis II : $ 4x + 5y = 20 $
$ \begin{align} 4x + 5y & = 20 \\ 4.0 + 5.0 \, & \text{(tandanya)} \, 20 \\ 0 & < 20 \end{align} $.
Artinya 0 lebih kecil dari 20, sehingga tanda ketaksamaannya $ < $.
Sehingga perttidaksamaan garis I adalah $ 4x + 5y \leq 20 $.

Garis III : $ x = 0 \, $
Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah kanan garis $ x = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ x \geq 0$.

Garis IV : $ y = 0 $
Karena daerah himpunan penyelesaian berada di sebelah atas garis $ y = 0 $, maka diperoleh pertidaksamaan $ y \geq 0 $

Jadi, sistem pertidaksamaan yang memenuhi DHP tersebut yaitu :
$ x - 2y \geq - 4 , \, 4x + 5y \leq 20 , \, x \geq 0 , \, $ dan $ \, y \geq 0 $ .

Persamaan dan Grafik Bentuk Linear Pada Program linear

         Blog Koma - Hal utama yang harus dikuasai dalam mempelajari Program Linear adalah Persamaan dan Grafik Bentuk Linear Pada Program linear. Sebenarnya materi Persamaan dan Grafik Bentuk Linear sudah ada kita bahas sebelumnya. Bagi teman-taman yang belum mempelajarinya, silahkan baca materinya yaitu untuk grafik persamaan linear pada artikel "Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya"; dan untuk menyusun persamaan garis linearnya pada artikel "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus". Tapi tenang saja, pada artikel ini akan kita singgung kembali tentang cara membuat grafik dan menyusun persamaan linear.

Cara Menggambar grafik persamaan linear untuk program linear
       Ada beberapa bentuk persamaan linear yaitu :
a). Bentuk $ ax + by = c $.
       Untuk menggambar grafiknya, cukup kita tentukan dua titik yang berbeda lalu kita hubungan kedua titik sehingga membentuk garis lurus. Biasanya dua titik yang dipakai adalah titik potong terhadap kedua sumbu yaitu sumbu X dan sumbu Y.
Untuk sumbu X, substitusi nilai $ y = 0 $,
Untuk sumbu Y, substitusi nilai $ x = 0 $,

b). Bentuk $ x = a \, $ dan $ \, y = b $.
grafik $ x = a \, $ adalah grafik tegak atau vertikal.
grafik $ y = b \, $ adalah grafik horizontal atau mendatar.
Contoh soal menentukan grafik bentuk linear:
1). gambarlah grafik :
a). $ 2x - 3y = 12 $
b). $ x = 3 $
c). $ y = -2 $

Penyelesaian :
a). $ 2x - 3y = 12 $
*). Menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbu :
*). Tipot sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ 2x - 3y = 12 \rightarrow 2.0 - 3y = 12 \rightarrow -3y = 12 \rightarrow y = -4 $.
titik potongnya adalah ($0,-4$).
*). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$ 2x - 3y = 12 \rightarrow 2x - 3.0 = 12 \rightarrow 2x = 12 \rightarrow x = 6 $.
titik potongnya adalah ($6,0$).
*). Grafiknya adalah :

b). $ x = 3 $
Grafik dari persamaan $ x = 3 \, $ adalah tegak seperti berikut ini.

c). $ y = -2 $
Grafik dari persamaan $ y = -2 \, $ adalah vertikal seperti berikut ini.

Menyusun persamaan linear pada program linear yang diketahui grafiknya
       Ada dua tipe yang sering digunakan dalam program linear yaitu :
a). Diketahui grafik yang melalui dua titik sembarang, misalkan titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$). Rumus yang digunakan adalah $ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \end{align} $.

b). Diketahui grafik memotong sumbu X dan Y, cara menyusun persamaannya bisa menggunakan cara (a) di atas atau langusung seperti berikut ini.
persamaan linearnya adalah $ ax + by = a.b $.
Caranya : kalikan silang saja, tipot (titik potong) yang ada di sumbu Y mengalikan $ x \, $ dan tipot yang ada di sumbu X mengalikan $ y \, $ kemudian dijumlahkan dan hasilnya perkalian kedua tipot sehingga hasilnya $ ax + by = a.b $.
Contoh soal menyusun persamaan linear diketahui grafiknya :
2). Tentukan persamaan linear dari masing-masing grafik berikut ini.

Penyelesaian :
a). Gambar (a), grafiknya melalui titik (1,2) dan (5,3).
artinya : $(x_1,y_1) = (1,2) \, $ dan $ \, (x_2,y_2) = (5,3) $.
*). Menyusun persamaan garisnya :
$ \begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-2}{3-2} & = \frac{x-1}{5-1} \\ \frac{y-2}{1} & = \frac{x-1}{4} \\ y-2 & = \frac{x-1}{4} \\ 4(y-2) & = x-1 \\ 4y - 8 & = x-1 \\ x - 4y + 7 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x - 4y + 7 = 0 \, $ atau $ \, x - 4y = -7 $.

b). Gambar (b), diketahui titik potong sumbu-sumbu, sehingga bisa dikalikan silang :
2 pada sumbu Y dan 3 pada sumbu X, sehingga persamaannya :
$ 2x + 3y = 2 \times 3 \rightarrow 2x + 3y = 6 $.
jadi, persamaan linearnya adalah $ 2x + 3y = 6 $.