Tampilkan postingan dengan label pertidaksamaan. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label pertidaksamaan. Tampilkan semua postingan

Pertidaksamaan Trigonometri

         Blog Koma - Pertidaksamaan Trigonometri merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Yang namanya pertidaksamaan pasti akan memuat tanda ketaksamaan seperti $ >, \, \geq , \, \leq, \, $ dan $ < \, $ . Untuk memudahkan mempelajari materi pertidaksamaan trigonometri, kita harus menguasai dulu materi "penyelesaian persamaan trigonometri". Untuk bisa menyelesaikan bentuk pertidaksamaan trigonometri, maka kita harus mampu menyelesaiakan persamaan trigonometrinya dulu.

Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri
       Secara garis besar, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya menggunakan langkah umum penyelesaian pertidaksamaan yang bisa kita baca pada materi "Pertidaksamaan secara Umum". Hanya saja kali ini pertidaksamaan yang melibatkan bentuk trigonometri yang tentu akan lebih sulit lagi.

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri :
i). Tentukan besar sudut pembuat nolnya (akar-akarnya) dengan cara ubah semua tanda ketaksamaan menjadi persamaan ( = ), lalu sesesaikan persamaan yang terbentuk untuk mencari akar-akarnya.

ii). Semua akar-akarnya kita kita gambar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap daerah yang terbentuk ( + atau - ).

iii). Arsir daerah yang diminta (arsir positif kalau tanda ketaksamaannya lebih dari ( > ) atau arsir negatif kalau tanda ketaksamaannya kurang dari ( < ) ).

iv). Buat himpunan penyelesaiannya dari daerah arsiran yang terbentuk.
Contoh :
1). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri $ 2\sin x \leq 1 \, $ untuk interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar persamaannya
$ \begin{align} 2\sin x & \leq 1 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sin x & \leq \frac{1}{2} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \{ -210^\circ , \, 30^\circ , \, 150^\circ , \, 390^\circ \} \end{align} $

Nilai $ x \, $ yang kita ambil adalah yang mendekati interval yang diminta ($ 0 \leq x \leq 360^\circ $ ) .
*). Buat garis bilangan dan menentukan tandanya
Cek tanda ( + atau - ) : dengan uji titik ( dalam trigonometri adalah sudutnya) .
Daerah $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ kita pilih nilai $ x = 0^\circ $ , lalu kita uji ke pertidaksamaan :
$ 2\sin x \leq 1 \rightarrow 2\sin x - 1 \leq 0 $
$ x = 0^\circ \rightarrow 2\sin x - 1 = 2\sin 0^\circ - 1 = 2.0 -1 = -1 \, $ (hasilnya negatif).
Karena ketika $ x = 0^\circ \, $ kita uji dan nilainya negatif, maka daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \, $ bernilai negatif. Dan untuk daerah interval yang lainnya, tandanya selang-seling dengan patokan daerah interval $ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ $ .
*). Daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif karena yang diminta adalah kurang dari ( $ \leq $ ) .
*). Menentukan himpunan penyelesaian :
$ HP_1 = \{ -210^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 390^\circ \} $
Tapi yang diminta adalah interval $ x \, $ yaitu : $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
Sehingga solusinya adalah irisan dari $ HP_1 $ dan syarat interval $ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ $
$ HP = HP_1 \cup \{ 0^\circ \leq x \leq 360^\circ\} = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $
irisan masksudnya himpunan yang memenuhi kedua himpunan, untuk lebih lengkapnya, silahkan baca materi irisan pada artikel "Pertidaksamaan secara Umum".
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \vee 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \} $

2). Himpunan penyelesaian dari $ 2\cos ^2 x > 3\sin x + 3 \, $ pada interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & > 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & > 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & > 0 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ \sin x = - \frac{1}{2} \rightarrow x = -30^\circ = -\frac{\pi}{6} , \, x = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} , \, x = 330^\circ = \frac{11\pi}{6} , \, x = 390^\circ = \frac{13\pi}{6}$
$ \sin x = - 1 \rightarrow x = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} $
Akar-akar yang kita pilih yang berdekatan dengan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi $
*). Menentukan garis bilangan, tanda , dan arsirannya.
Cek $ x = 0^\circ \rightarrow 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 = 2 \sin ^2 0^\circ + 3\sin 0^\circ + 1 = 1 \, $ (positif) . Artinya daerah yang memuat $ x = 0^\circ \, $ bertanda positif, dan daerah lainnya selang seling tandanya.
Yang di arsir daerah bertanda positif karena permintaannya lebih dari ( > ).
*). Dari daerah yang diarsir dan interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ , maka solusinya adalah $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $
Jadi, solusinya : $ HP = \{0^\circ < x < \frac{7\pi}{6} \vee \frac{3\pi}{2} < x < \frac{11\pi}{6} \} $

Penerapan Pertidaksamaan dalam Soal Cerita

         Blog Koma - Pada materi kali ini, kita akan pelajari tentang Penerapan Pertidaksamaan dalam Soal Cerita. Tentu untuk memudahkan dalam mempelajari penerapan pertidaksamaan ini, kita harus menguasai materi-materi pertidaksamaan seperti "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", "Pertidaksamaan Pecahan", "Pertidaksamaan Bentuk Akar", dan "Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak".

Penyelesaian soal cerita yang berkaitan dengan pertidaksamaan
       Penerapan pertidaksamaan yang dimaksud adalah menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan soal cerita. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah buat model matematikanya dan selesaikan dengan konsep pertidaksamaan.

Contoh :
1). Hasil produksi suatu barang dapat dinyatakan dengan persamaan $ H(x) = -x^2 + 28x - 60 \, $ unit barang untuk bahan baku yang diperlukan. Jika hasil produksi (H) mencapai lebih dari 100 unit, banyaknya bahan baku $ x \, $ yang deperlukan adalah ...?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Hasil produksi lebih dari 100, artinya $ H(x) > 100 $
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan $ H(x) > 100 $
$ \begin{align} H(x) & > 100 \\ -x^2 + 28x - 60 & > 100 \\ -x^2 + 28x - 160 & > 0 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x^2 - 28x + 160 & < 0 \\ (x-20)(x-8) & < 0 \\ x = 20 \vee x & = 8 \end{align} $
Jadi, banyaknya bahan baku yang dibutuhkan : $ 8 < x < 20 $

2). Suatu kolam renang yang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 30 m. Jika luas kolamg paling sedikit 50 m$^2$ , maka interval panjang kolam renang ($p$) dalam meter yang memenuhi syarat tersebut!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Misalkan panjang = $ p $ , dan lebar = $ l $
Rumus keliling = $ 2(p+l) \, $ dan Luas = $ p.l $
$ \begin{align} \text{ Keliling } & = 30 \\ 2(p+l) & = 30 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ p + l & = 15 \\ l & = 15 - p \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Luas paling sedikit 50, artinya Luas $ \geq 50 $
$ \clubsuit $ Substitusi pers(i) ke pertidaksamaan
$ \begin{align} \text{ Luas } & \geq 50 \\ p.l & \geq 50 \, \, \, \, \, \, \text{substitusi pers(i)} \\ p.(15-p) & \geq 50 \\ -p^2 + 15p - 50 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ p^2 - 15p + 50 & \leq 0 \\ (p-5)(p-10) & \leq 0 \\ p = 5 \vee p & = 10 \end{align} $
Jadi, interval nilai $ p \, $ adalah $ 5 \leq p \leq 10 $.

3). Suatu benda ditembakka ke atas dengan persamaan gerak $ S = h(t) = 37t - t^2 \, $ (untuk $ S \, $ dalam meter dan $ t \, $ dalam detik). Jika benda tersebut mencapai ketinggian tidak kurang dari 300 m, maka lama (waktu) benda setelah ditembakkan yang memenuhi adalah ...?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Ketinggian tidak kurang dari 300, artinya $ S \geq 300 $
$\spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan $ S \geq 300 $
$ \begin{align} S & \geq 300 \\ 37t - t^2 & \geq 300 \\ 37t - t^2 - 300 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ t^2 - 37t + 300 & \leq 0 \\ (t-12)(t-25) & \leq 0 \\ t = 12 \vee t & = 25 \end{align} $
Jadi, lamanya adalah $ 12 \leq t \leq 25 $.
artinya waktunya antara 12 detik sampai 25 detik setelah ketinggian minimal (lebih dari sama dengan) 300 m.

Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak

         Blog Koma - Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak merupakan pertidaksamaan yang melibatkan bentuk nilai mutlak. Untuk memudahkan memahami pertidaksamaan bentuk nilai mutlak ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu materi "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", "Pertidaksamaan Pecahan", dan "Pertidaksamaan Bentuk Akar".
Definisi Nilai Mutlak
       Nilai mutlak dari suatu bilangan $ x \, $ dinotasikan $ |x| $ .
Definisi nilai mutlak $ x \, $ ($|x|$) :
              $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |x| = x \, $ atau $ |x| = -x \, $ tergantung nilai $ x $

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan nilainya selalu positif.

Contoh :
1). $ |3| = 3 \, \, \, $ dan $ |-3| = -(-3) = 3 $

2). Jabarkan bentuk mutlak $ | x - 1 | \, $ berdasarkan definisi nilai mutlak sehingga tanda mutlaknya hilang.!
Penyelesaian :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 \\ -(x - 1) & , x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Jadi, untuk $ x \geq 1, \, $ nilai $ |x-1| = x-1 \, $ dan untuk $ x < 1 \, $ nilai $ |x-1| = -(x-1) $

3). Tentukan nilai $ | 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1| $ ?
Penyelesaian :
*). $ | 2 - \sqrt{5} | = - (2-\sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 \, $ (karena nilai $ 2 - \sqrt{5} < 0 $ )
*). $ |-1| = - (-1) = 1 $
*). Menentukan hasilnya :
$ | 2 - \sqrt{5} | - \sqrt{5} + 4 - |-1| = (\sqrt{5} - 2 ) - \sqrt{5} + 4 - (1) = 1 $

Sifat-sifat Nilai Mutlak
       Berikut beberapa sifat-sifat nilai mutlak yang dapat kita gunakan untuk mengerjakan soal-soal pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.
Sifat-sifat nilai mutlak :
1). $ |x| = \sqrt{x^2} $
2). $ |x|^2 = x^2 $
3). $ |x| < |y| \rightarrow (x-y)(x+y) < 0 $
(berlaku juga untuk $ |x| > |y| \rightarrow (x-y)(x+y) > 0 $ )
4). $ |x| < a \rightarrow -a < x < a $
(berlaku juga $ |x| \leq a \rightarrow -a \leq x \leq a $ )
5). $ |x| > a \rightarrow x < -a \, \text{ atau } \, x > a $
(berlaklu juga $ |x| \geq a \rightarrow x \leq -a \, \text{ atau } \, x \geq a $
6). $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} $
7). $ |x.y| = |x|.|y| $

Contoh
1). Tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $ | x - 1 | < 3 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 4 : nilai $ a = 3 $
$ \begin{align} | x & - 1 | < 3 \\ -3 < x & - 1 < 3 \, \, \, \, \text{(tambahkan 1 ke semua ruas)} \\ -3 + 1 < x & - 1 + 1 < 3 + 1 \\ -2 < x & < 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \{ -2 < x < 4 \} $ .

2). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{|x| + 1 }{x} \leq 2 , \, $ untuk $ x \in R \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -x + 1 = 0 \rightarrow x = 1 $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :
Karena $ x \geq 0, \, $ maka HP1 = $ \{ x \geq 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq 1 \} = \{ x \geq 1 \} $
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \begin{align} \frac{|x| + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} & \leq 2 \\ \frac{-x + 1 }{x} - 2 & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 }{x} - \frac{2x}{x} & \leq 0 \\ \frac{-x + 1 - 2x }{x} & \leq 0 \\ \frac{-3x + 1 }{x} & \leq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ -3x + 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3} $
Akar penyebut : $ x = 0 \, $ (akar penyebut tidak ikut)
Garis bilangannya :
Karena $ x < 0, \, $ maka HP2 = $ \{ x < 0 \} \cap \{ x < 0 \vee x \geq \frac{1}{3} \} = \{ x < 0 \} $
Jadi, solusinya : HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \, \text{ atau } \, x \geq 1 \} $


3). Tentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan $ \left| \frac{x-1}{x+2} \right| \geq 1 $ ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Kuadratkan kedua ruas berdasarkan sifat 2,
$ \begin{align} \left| \frac{x-1}{x+2} \right| & \geq 1 \\ \left| \frac{x-1}{x+2} \right|^2 & \geq 1^2 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 & \geq 1 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} \right)^2 - 1 & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - 1 \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + 1 \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{x-1}{x+2} - \frac{x+2}{x+2} \right)\left( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+2}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2} \right)\left( \frac{(x-1)+(x+2)}{x+2} \right) & \geq 0 \\ \left( \frac{-3}{x+2} \right)\left( \frac{2x + 1 }{x+2} \right) & \geq 0 \\ \frac{-3(2x+1)}{(x+2)^2} & \geq 0 \end{align} $
akar pembilang : $ 2x + 1 = 0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} $
akar penyebut : $ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 $
*). Garis bilangannya
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < -2 \vee -2 < x < -\frac{1}{2} \} $

4). Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |3x-1| > |x+1| \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : $ |A| > |B| \rightarrow (A-B)(A+B)>0 $
Misalkan $ A = 3x -1 \, $ dan $ B = x + 1 $
$ \begin{align} |3x-1| & > |x+1| \\ [(3x-1)-(x+1)][(3x-1)+(x+1)] & > 0 \\ [2x - 2][4x] & > 0 \\ x = 1 \vee x & = 0 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < 0 \vee x > 1 \} $

5). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari $ \left| |x| + x \right| \leq 2 $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan definisi nilai mutlak :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya penyelesaian kita bagi menjadi dua kasus :
*). Untuk $ x \geq 0 , \, $ nilai $ |x| = x $
$ \left| |x| + x \right| = | x + x| = 2x $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 2x & \leq 2 \\ x & \leq 1 \end{align} $
Diperoleh HP1 = $ \{ x \leq 1 \} $
*). Untuk $ x < 0 , \, $ nilai $ |x| = -x $
$ \left| |x| + x \right| = | -x + x| = 0 $
$ \begin{align} \left| |x| + x \right| & \leq 2 \\ 0 & \leq 2 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align} $
Artinya semua nilai $ x < 0 \, $ memenuhi pertidaksamaan.
Diperoleh HP2 = $ \{ x < 0 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cup HP2 = \{ x < 0 \} \cup \{ x \leq 1 \} = \{ x \leq 1 \} $

6). Jika $ x < 3 \, $ dan $ \left| |x-5| - 2 \right| < x , \, $ maka tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |x-5| = \left\{ \begin{array}{cc} x-5 & , x \geq 5 \\ -(x-5) & , x < 5 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |x-5| = -(x-5) = 5 - x $
Sehingga : $ \left| |x-5| - 2 \right| = \left| (5-x) - 2 \right| = | 3 - x | $
$ \clubsuit $ Definisi nilai mutlak : $ |3 - x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3 - x & , x \leq 3 \\ -(3-x) & , x > 3 \end{array} \right. $
Karena yang diminta $ x < 3, \, $ maka $ |3-x| = 3 - x $
Artinya bentuk $ \left| |x-5| - 2 \right| = 3 - x $
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$ \begin{align} \left| |x-5| - 2 \right| & < x \\ | 3 - x | & < x \\ 3 - x & < x \\ - 2x & < -3 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x > \frac{3}{2} \} \cap \{ x < 3 \} = \{ \frac{3}{2} < x < 3 \} $

Pertidaksamaan Bentuk Akar

         Blog Koma - Pertidaksamaan Bentuk Akar merupakan pertidaksamaan yang melibatkan bentuk akar atau fungsi dalam akar. Fungsi yang ada dalam akar bentuknya berbagai macam, bisa fungsi linear, fungsi kuadrat, bentuk pecahan, atau fungsi lainnya. Untuk memudahkan memahami pertidaksamaan bentuk akar ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu materi "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", dan "Pertidaksamaan Pecahan".
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar
       Pertidaksamaan bentuk akar merupakan pertidaksamaan yang fungsinya memuat akar.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.

$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $

$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan bentuk akar $ \sqrt{4-2x} < \sqrt{x+3} $ !
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Solusi umum :
Menentukan akar-akar dengan kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{4-2x} & < \sqrt{x+3} \\ (\sqrt{4-2x})^2 & < (\sqrt{x+3})^2 \\ 4-2x & < x+3 \\ -2x - x & < 3 - 4 \\ - 3 x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi -3, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{-1}{-3} \\ x & > \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya HP1 = $ \{ x > \frac{1}{3} \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). $ \sqrt{4-2x} \geq 0 \rightarrow -2x \geq -4 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP2)
*). $ \sqrt{x + 3} > 0 \rightarrow x > -3 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusinya adalah irisan dari semuanya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $

2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar :
a). $ \sqrt{x^2 - x - 2 } < 2 $
b). $ \sqrt{x^2 - 4} > x - 3 $
c). $ \sqrt{x^2 - 4 } < x-3 $
Penyelesaian :
a). $ \spadesuit $ Solusi umum :
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - x - 2 } & < 2 \\ (\sqrt{x^2 - x - 2 })^2 & < 2^2 \\ x^2 - x - 2 & < 4 \\ x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
*).Garis bilangannya :
HP1 = $ \{ -2 < x < 3 \} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat (syarat bentuk akar)
$ \sqrt{x^2 - x - 2 } \rightarrow \, $ syaratnya : $ x^2 - x - 2 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - x - 2 & \geq 0 \\ (x+1)(x-2) & \geq 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
HP2 = $ \{ x \leq -1 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x \leq -1 \vee 2 \leq x < 3 \} $


b). $ \clubsuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & > x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & > (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & > x^2 - 6x + 9 \\ 6x & > 9 + 4 \\ x & > \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
$ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > \frac{13}{6} \} $

c). $ \spadesuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & < x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & < (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & < x^2 - 6x + 9 \\ 6x & < 9 + 4 \\ x & < \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
*).Karena $ \sqrt{x^2 - 4} \geq 0, \, $ maka bentuknya $ 0 \leq \sqrt{x^2 - 4} < (x-3), \, $ artinya
harus berlaku : $ x - 3 > 0 \rightarrow x > 3 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \, \} \, $ (Himpunan kosong).
artinya tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 4} < x - 3 $

3). Himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \, $ adalah ...!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusi umum
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} x+1 & > \sqrt{5-x^2 } \\ (x+1)^2 & > (\sqrt{5-x^2 })^2 \\ x^2 + 2x + 1 & > 5-x^2 \\ 2x^2 + 2x - 4 & > 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x - 2 & > 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
HP1 = $ \{ x < -2 \vee x > 1 \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat (syarat dalam akar)
*). Bentuk $ \sqrt{5-x^2 } \, $ , syaratnya : $ 5 - x^2 \geq 0 $
$ \begin{align} 5 - x^2 & \geq 0 \\ 5 - x^2 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{5} \\ x = - \sqrt{5} \vee x & = \sqrt{5} \end{align} $
HP2 = $ \{ -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \} $
*). Karena $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \geq 0 , \, $ , artinya
Haruslah berlaku $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ 1 < x \leq \sqrt{5} \} $

4). Agar $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ bernilai real (fungsi $ y \, $ terdefinisi), tentukan syarat nilai $ x \, $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Suatu fungsi bentuk akar $ y = \sqrt{f(x)} \, $ bernilai real, maksudnya bentuk $ \sqrt{f(x)} \, $ bisa dihitung dan nilainya real, yang tercapai untuk dalam akarnya bernilai positif ($f(x) \geq 0 $).
$ \spadesuit $ Bentuk $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ akan bernilai real jika $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan pecahan : $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \begin{align} \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} & \geq 0 \\ \frac{(x-1)(x+2) }{(x+1)(x-2)} & \geq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ (x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Akar penyebut : $ (x+1)(x-2) = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 \, $
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut).
*).Garis bilangannya
Jadi, syarat nilai $ x \, $ agar fungsi $ y \, $ bernilai real adalah
HP = $ \{ x \leq -2 \vee -1 < x \leq 1 \vee x > 2 \} $ .

Pertidaksamaan Pecahan

         Blog Koma - Pertidaksamaan Pecahan merupakan pertidaksamaan yang melibatkan fungsi bentuk pecahan. Pertidaksamaan pecahan juga sering dikaitkan dengan materi fungsi kuadrat yaitu pada bagian difinit positif dan definit negatif. Untuk lebih jelasnya, baca materi berikut.
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan pecahan
       Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan dengan fungsi dalam bentuk pecahan.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan pecahan
$ \frac{ax+b}{cx+d} > 0, \, \frac{ax^2+bx+c}{dx+k} \leq 0, \, \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan pecahan menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan, dilarang untuk mengalikan silang karena akan menghilangkan akar-akar penyebutnya.

$ \spadesuit $ Syarat pecahan yaitu penyebutnya tidak boleh bernilai nol, sehingga semua akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut menjadi solusi.
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ > \, $ atau $ < \, $ maka semua akar tidak ikut sebagai solusi
*). Misalkan tanda ketaksamaannya $ \geq \, $ atau $ \leq \, $ maka akar-akar pembilang ikut, dan akar-akar penyebut tidak ikut sebagai solusi.

$ \spadesuit $ Kasus Definit pada pertidaksamaan pecahan
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $

Jika terbentuk DEFINIT, coret bentuk kuadrat tersebut. Untuk definit positif tidak perlu membalik tanda kesamaan, sedangakan untuk definit negatif, tanda ketaksamaan dibalaik.

Contoh :
1). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{2x-1}{x+2} \leq 0 \, $ adalah ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menentukan akar-akar dari $ \frac{2x-1}{x+2} $
$ 2x - 1 = 0 \rightarrow x = \frac{1}{2} $
$ x + 2 = 0 \rightarrow x = -2 \, $ (akar penyebut tidak boleh ikut)
$ \clubsuit $ Garis bilangannya :
Arsir yang negatif, karena yang diminta kurang dari ($ < $ ). Jadi, solusinya HP = $ \{ -2 < x \leq \frac{1}{2} \} $

2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan
a). $ 2x + \frac{1}{x} > \frac{4-x}{x} \, \, \, \, \, $ b). $ x \leq \frac{x+6}{x+2} $
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} 2x + \frac{1}{x} & > \frac{4-x}{x} \\ 2x + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} & = \frac{4-x}{x} \\ \frac{2x^2}{x} + \frac{1}{x} - \frac{4-x}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + 1 - (4-x)}{x} & = 0 \\ \frac{2x^2 + x - 3}{x} & = 0 \\ \frac{(2x+3)(x-1)}{x} & = 0 \\ (2x+3) & = 0 \rightarrow x = -\frac{3}{2} \\ (x-1) & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{penyebutnya : } \, x & = 0 \end{align} $
$ \spadesuit $ Karena tanda ketaksamaannya $ > , \, $ maka semua akar-akarnya tidak ikut (arsirannya bolong)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya :
Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari ($ > $).
Jadi, HP = $ \{ -\frac{3}{2} < x < 0 \vee x > 1 \} $

b). Menentukan akar-akar
$ \begin{align} x & \leq \frac{x+6}{x+2} \\ x & = \frac{x+6}{x+2} \\ x - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ x \frac{(x+2)}{(x+2)} - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x)}{x+2} - \frac{x+6}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + 2x - (x+6))}{x+2} & = 0 \\ \frac{x^2 + x - 6}{x+2} & = 0 \\ \frac{(x+3)(x-2)}{x+2} & = 0 \\ (x+3) & = 0 \rightarrow x = -3 \\ (x - 2) & = 0 \rightarrow x = 2 \\ (x + 2) & = 0 \rightarrow x = - 2 \end{align} $
(akar penyebut tidak boleh ikut, arsirannya bolong, yang lainnya arsiran penuh)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya :
Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari ($ \leq $).
Jadi, HP = $ \{ x \leq -3 \vee -2 < x \leq 2 \} $

3). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan pecahan $ \frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $ (x^2 - 2x + 3) \, $ dan $ (x^2+4) \, $ tidak punya akar karena nilai diskriminannya negatif ($ D < 0 $). Nilai $ a \, $ kedua persamaan positif, artinya keduanya difinit positif sehingga bisa dicoret tanpa mempengaruhi pertidaksamaan pecahan semula. Pertidaksamaan menjadi :
$ \frac{x^2 - 2x + 3 }{(3x^2+5x-2)(x^2+4)} > 0 \, $ ekuivalen (setara) dengan $ \frac{1 }{3x^2+5x-2} > 0 $
*). Akar dari : $ x^2 - 2x + 3 = 0 \rightarrow (x+2)(3x-1)=0 \rightarrow x = -2 \vee x = \frac{1}{3} $
(akar-akar penyebutnya tidak boleh ikut).
$\clubsuit $ Garis bilangannya :
Arsir yang positif karena yang diminta lebih dari ($ > $).
Jadi, HP = $ \{ x < -2 \vee x > \frac{1}{3} \} $

4). Tentukan semua nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan pecahan
$ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)} $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyederhanakan pertidaksamaannya
$ \begin{align} \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2(2x-1)}{(2x-1)} \\ \text{(coret } 2x-1 \, \text{ dengan syarat } x & \neq \frac{1}{2} ) \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq \frac{2}{1} \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} + 2 & \geq 2 \\ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} & \geq 0 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \neq \frac{1}{2} $
$ \spadesuit $ Menentukan akar-akar
*). Bentuk $ x^2 + 3 \, $ adalah definit positif sehingga bisa dicoret. Pertidaksamaan menjadi
$ \frac{x^2 + 3}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \, $ ekuivalen dengan $ \frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 $
*). Bentuk $ -x^2+4x-5 \, $ adalah definit negatif. Karena definit negatif, $ -x^2+4x-5 \, $ bisa dicoret dengan membalik tanda ketaksamaan. Pertidaksamaan menjadi : $ \frac{1}{(x^2+x-2)(-x^2+4x-5)} \geq 0 \, $ ekuivalen dengan $ \frac{1}{x^2+x-2} \leq 0 $
*). Akar-akar dari $ x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut)
$ \spadesuit $ Garis bilangannya
Arsir yang negatif karena yang diminta kurang dari ($ \leq $).
HP2 = $ \{ -2 < x < 1 \} $
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x < \frac{1}{2} \vee \frac{1}{2} < x < 1 \} $

Pertidaksamaan Kuadrat

         Blog Koma - Pertidaksamaan Kuadrat erat kaitannya dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, sebaiknya baca dulu materi "Pertidaksamaan secar umum" dan "sifat-sifat pertidaksamaan".
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
       Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
$ ax^2 + bx + c < 0, \, ax^2 + bx + c > 0, $
$ ax^2 + bx + c \leq 0, \, ax^2 + bx + c \geq 0 $
dengan $ a \neq 0 , \, $ dan $ a,b,c \in R $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"

$ \spadesuit $ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu positif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit positif : $ a > 0 , \, $ dan $ D < 0 $
*). Definit negatif artinya nilai $ ax^2 + bx + c \, $ selalu negatif untuk semua nilai $ x $. Syarat definit negatif : $ a < 0 , \, $ dan $ D < 0 $
nilai Disriminan : $ D = b^2 - 4ac $

Contoh :
1). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 - x - 6 < 0 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Menentukan akar-akar
$ \begin{align} x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
$\clubsuit $ Garis bilangan
Jadi, solusinya HP = $ \{ -2 < x < 3 \} $

2). Tentukan himpunan penyelesaian dari
a). $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 \, \, \, $ b). $ -x^2 + 2x - 3 > 0 $
Penyelesaian :
a). $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 $
Bentuk $ 2x^2 - 3x + 4 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol. $ D = b^2 -4ac = (-3)^2 - 4.2.4 = 9 - 32 = - 23 $ . Diperoleh nilai $ a = 2 > 0 , \, $ dan nilai $ D < 0 $ . Karena nilai $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 , \, $ artinya terjadi kasusu definit positif, sehingga semua nilai $ x \, $ pasti memenuhi $ 2x^2 - 3x + 4 > 0 \, $ (positif).
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \in R \} \, $.
(artinya semua nilai $ x \, $ memenuhi pertidaksamaan)

b). $ -x^2 + 2x - 3 > 0 $
Bentuk $ -x^2 + 2x - 3 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya negatif. $ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4.(-1).(-3) = 4 - 12 = -8 $
Diperoleh nilai $ a = -1 < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ . Karena nilai $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 \, $ artinya terjadi kasus definit negatif, sehingga untuk semua nilai $ x \, $ nilai $ -x^2 + 2x - 3 \, $ adalah negatif. ($ -x^2 + 2x - 3 < 0 $).
Sementara pada soal yang diminta adalah $ -x^2 + 2x - 3 > 0 \, $ (positif), sehingga tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ -x^2 + 2x - 3 > 0 . $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \} $ (Himpunan kosong).

3). Jika himpunan penyelesaian $ 2x^2 + 5x - 3 \geq 0 \, $ adalah $ x \leq a \, $ atau $ x \geq b, \, $
maka nilai $ 2b - a = ...$ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Menentukan akar-akar
$ 2x^2 + 5x - 3 = 0 \rightarrow (2x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = \frac{1}{2} \vee x = -3 $
$\spadesuit $ Garis bilangannya
Jadi, HP = $ \{ x \leq -3 \vee x \geq \frac{1}{2} \} $
$\spadesuit $ Karena solusinya $ x \leq a \, $ atau $ x \geq b \, $ sama dengan $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq \frac{1}{2}, \, $ maka nilai $ a = -3 \, $ dan $ b = \frac{1}{2} $
Sehingga nilai $ 2b - a = 2 . \frac{1}{2} - (-3) = 1 + 3 = 4 $
Jadi, nilai $ 2b - a = 4 $

4). Tentukan nilai $ p \, $ agar setiap nilai $ x \, $ memenuhi pertidaksamaan $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Bentuk $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) \rightarrow a = p+1, \, b = 2, \, c = - \frac{p-4}{4} $
$\clubsuit $ Ini kasus definit positif karena setiap nilai $ x \, $ nilai $ (p+1)x^2 + 2x - \left( \frac{p-4}{4} \right) > 0 \, $ selalu positif.
$\clubsuit $ Syarat definit positif : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
*). $ a > 0 \rightarrow p + 1 > 0 \rightarrow p > -1 \, $ ....(HP1)
*). $ D < 0 $
$ \begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ 2^2 - 4.(p+1).\left( - \frac{p-4}{4} \right) & < 0 \\ 4 + (p+1).(p-4) & < 0 \\ 4 + p^2 - 3p - 4 & < 0 \\ p^2 - 3p & < 0 \\ p(p-3) & < 0 \\ p = 0 \vee p & = 3 \end{align} $
HP2 = $ \{ 0 < p < 3 \} $
Sehingga solusinya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ p > -1 \} \cap \{ 0 < p < 3 \} = \{ 0 < p < 3 \} $
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 0 < p < 3 \} $

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. $(x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, \, \, \, $ b. $(x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 $
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari $ (x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 $
*). Bentuk $ x^2-4x+5 = 0 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0$). Nilai $ a = 1 > 0 \, $ , artinya $ x^2-4x+5 \, $ definit positif. Karena $ x^2-4x+5 \, $ definit positif, maka untuk setiap $ x \, $ tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
$ (x^2-4x+5)(x^2+x-2) < 0 \, $ ekuivalen(setara) dengan $ x^2+x-2 < 0 $
*). Menentukan akar-akar dari $ x^2+x-2 < 0 $
$ x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 1 $

Jadi, solusinya HP = $\{ -2 < x < 1 \} $

b). Menentukan akar-akar dari $ -x^2+2x-3 = 0 $
*). Bentuk $ -x^2+2x-3 \, $ tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D<0$). Nilai $ a = -1 < 0 \, $ , artinya $ -x^2+2x-3 \, $ definit negatif. Karena $ -x^2+2x-3 \, $ definit negatif, maka $ -x^2+2x-3 \, $ bisa dicoret dengan menganggap sebagai konstanta dan tanda ketaksamaan dibalik (definit negatif). Pertidaksamaan menjadi :
$ (x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 \, $ ekuivalen(setara) $ (x-1) \leq 0 $
*). Penyelesaian : $ x - 1 \leq 0 \rightarrow x \leq 1 $
Jadi, HP = $\{ x \leq 1 \} $

6). Untuk $ p \in R \, $ dan $ -3 < p < 5 , \, $ tentukan semua nilai $ x \, $ yang memnuhi $ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar
Untuk $ - 3 < p < 5, \, $ bentuk $ x^2-px + 7 \, $ tidak punya akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol ($D=b^2-4ac = (-p)2 - 4.1.7 = p^2 - 28 < 0 \, $ dengan $ -3 < p < 5 $) . Nilai $ a = 1 > 0 \, $ , artinya $ x^2-px + 7 \, $ definit positif dan tidak mempengaruhi pertidaksamaan. Pertidaksamaan menjadi :
$ (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, $ ekuivalen $ (x-1)^2(x+2) > 0 $
*). $ (x-1)^2(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $

Jadi, HP = $ \{ -2 < x < 1 \, $ atau $ \, x > 1 \} $

Pertidaksamaan Linear

         Blog Koma - Pertidaksamaan linear merupakan salah satu jenis pertidaksamaan khusus. Agar mudah dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear, sebaiknya kita kuasai dulu materi "sifat-sifat pertidaksamaan" dan "pertidaksamaan secara umum". Di sini teori pertidaksamaan linear yang ditampilkan cukup sederhana, karena penekanannya pada contoh-contoh soal.
         Pertidaksamaan Linear sudah dipelajari ketika di SMP, dan dilanjutkan lagi di tingkat SMA. Untuk tingkat SMA, materi pertidaksaman linear lebih kompleks terutama dari tipe soal-soalnya dibandingkan dengan tingkat SMP sebelumnya. Pertidaksamaan linear juga mengikuti penyelesaian bentuk umum pertidaksamaan.


Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan linear
       Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya satu.

$\clubsuit $ Bentuk umum pertidaksamaan linear
$ ax + b < 0, \, ax + > 0, \, ax + b \leq 0, \, ax + b \geq 0 $

$\clubsuit $ Penyelesaian pertidaksamaan linear dapat langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan .
(tidak perlu menggunakan langkah-langkah umum )

Contoh :
1). Tentukan semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan berikut!
a). $ 2x - 1 < 0 \, $ b). $ -x + 3 \leq 0 \, $ c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat-sifat pertidaksamaan :
a). $ 2x - 1 < 0 \, $
$ \begin{align} 2x - 1 & < 0 \\ 2x & < 1 \, \, \, \, \text{(bagi 2, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x < \frac{1}{2} \} $
b). $ -x + 3 \leq 0 $
$ \begin{align} -x + 3 & \leq 0 \\ -x & \leq -3 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq 3 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq 3 \} $
c). $ 3x + 2 \leq 4x + 3 $
$ \begin{align} 3x + 2 & \leq 4x + 3 \\ 3x - 4x & \leq 3 - 2 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
Jadi, HP = $ \{ x \geq -1 \} $

2). Tentukan himpunan penyelesaian dari $ x - 1 < 2x + 3 < 2 - x $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Pertidaksamaan dibagi menjadi dua kasus :
i). $ x - 1 < 2x + 3 $
$ \begin{align} x - 1 & < 2x + 3 \\ x - 2x & < 3 + 1 \\ -x & < 4 \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & > -4 \end{align} $
HP1 = $\{ x > -4 \} $
ii). $ 2x + 3 < 2 - x $
$ \begin{align} 2x + 3 & < 2 - x \\ 2x + x & < 2 - 3 \\ 3x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3, tanda ketaksamaan tetap)} \\ x & < -\frac{1}{3} \end{align} $
HP2 = $\{ x < -\frac{1}{3} \} $
$ \spadesuit $ Himpunan penyelesaian adalah nilai $ x $ yang memenuhi HP1 dan HP2 (irisan kedua himpunan karena harus memenuhi kedua pertidaksamaan)
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x > -4 \} \cap \{ x < -\frac{1}{3} \} = \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $
untuk irisan dua himpunan, baca materi "pertidaksamaan secara umum".
Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) adalah $ \{ -4 < x < -\frac{1}{3} \} $

3). Jika diketahui $ x - 2 \leq 0 \, $ dan $ x - 1 > 0 , \, $ maka $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah ...?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Selesaikan masing-masing pertidaksamaan
*). $ x - 2 \leq 0 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP1)
*). $ x - 1 > 0 \rightarrow x > 1 \, $ ....(HP2)
$\clubsuit $ Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisan kedua HP
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ x \leq 2 \} \cap \{ x > 1 \} = \{ 1 < x \leq 2 \} $
$\clubsuit $ Kuadratkan kedua ruas dari solusinya
$ \begin{align} 1 < & x \leq 2 \\ 1^2 < & x^2 \leq 2^2 \\ 1 < & x^2 \leq 4 \, \, \, \, \text{(kurangkan 4)} \\ 1-4 < & x^2 - 4 \leq 4 - 4 \\ -3 < & x^2 - 4 \leq 0 \end{align} $
$\clubsuit $ Diperoleh interval nilai berikut ,
$ \{ 1 < x \leq 2 \} \, $ nilai terbesar $ x \, $ adalah 2 dan terkecilnya 1
$ \{ -3 < x^2 - 4 \leq 0 \} \, $ nilai terbesar $ x^2 - 4 \, $ adalah 0 dan terkecilnya -3
Dari interval di atas, diperoleh nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ :
Nilai terbesarnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{0}{1} = 0 $
Nilai terkecilnya dari $ \frac{x^2-4}{x} = \frac{-3}{1} = -3 $
Jadi, interval nilai $ \frac{x^2-4}{x} \, $ adalah $ -3 < \frac{x^2-4}{x} \leq 0 $

4). Nilai terkecil $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - \frac{3x}{4} \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, $ adalah .... ?
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaannya
$ \begin{align} 2x - \frac{3x}{4} & \leq \frac{3x}{2} + \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(kalikan 4)} \\ 8x - 3x & \leq 6x + 1 \\ 5x & \leq 6x + 1 \\ 5x - 6x & \leq 1 \\ -x & \leq 1 \, \, \, \, \text{(kalikan -1, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ x & \geq -1 \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusinya $ x \geq -1 \, $ artinya nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .
Jadi, nilai terkecil $ x \, $ adalah $ -1 $ .

5). Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ -3 < x - 2 < 0 \, $ dan $ 2 < x + 2 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan masing-masing
*). pertidaksamaan pertama :
$ \begin{align} -3 < x & - 2 < 0 \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -3 + 2 < x & - 2 + 2 < 0 + 2 \\ -1 < & x < 2 \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
*). pertidaksamaan kedua :
$ \begin{align} 2 < x & + 2 < 7 \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ 2 - 2 < x & + 2 - 2 < 7 - 2 \\ 0 < & x < 5 \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah irisannya :
$ HP = HP1 \cap HP2 = \{ -1 < x < 2 \} \cap \{ 0 < x < 5 \} = \{ 0 < x < 2 \} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x < 2 \} $

6). Pertidaksamaan $ 2a - \frac{x+1}{2} < ax + 1 \, $ dipenuhi oleh $ x > 1 \, $ . Tentukan nilai $ a $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Solusinya $ x > 1 , \, $ artinya akar dari pertidaksamaan pertidaksamaan adalah $ x = 1 $ .
$\spadesuit $ Substitusi $ x = 1 \, $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 2a - \frac{x+1}{2} & < ax + 1 \\ 2a - \frac{1+1}{2} & = a.1 + 1 \\ 2a - \frac{2}{2} & = a + 1 \\ 2a - 1 & = a + 1 \\ 2a - a & = 1 + 1 \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 $

         Demikian pembahasan tentang pertidaksamaan linear beserta variasi contohnya. Silahkan juga baca materi pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, dan pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.

Sifat-sifat Pertidaksamaan

         Blog Koma - Sifat-sifat Pertidaksamaan merupakan bagian penting dalam menyelesaikan pertidaksamaan itu sendiri. Sebelumnya telah dibahas tentang langkah-langkah umum dalam menyelesaiakan pertidaksamaan dalam artikel "Pertidaksamaan secara Umum". Namun sebelum melangkah ke penyelesaian tersebut, kita harus tau dulu tentang sifat-sifat pertidaksamaan. Berikut penjelasan tentang sifat-sifat pertidaksamaan yang dimaksud.
Sifat-sifat Pertidaksamaan
       Untuk $ a, b, c, d, \in R, \, $ berlaku sifat-sifat pertidaksamaan berikut :
1). Jika $ a < b , \, $ maka $ b > a $
2). Jika $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ maka $ a < c \, $ (sifat transitif)
3). Jika $ a < b \, $ dan $ c \in R , \, $ maka $ a + c < b + c. \, $
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika $ a < b \, $ dan $ c > 0 , \, $ maka $ ac < bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika $ a < b \, $ dan $ c < 0 , \, $ maka $ ac > bc . \, $
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika $ a < b \, $ dan $ c < d , \, $ maka $ a + c < b+d $
7). Jika $ \frac{a}{b} < 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b < 0 $
8). Jika $ \frac{a}{b} > 0 \, $ dan $ b \neq 0 , \, $ maka $ a b > 0 $
9). Untuk semua $ a \in R , \, $ berlaku $ a^2 \geq 0 $

Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"

Contoh
1). Diketahui $ a < b \, $ dan $ b < c , \, $ cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). $ a < c $
ii). $ a + 2 < b + 2 $
iii). $ 2a < b + c $
iv). $ a + b < 2c $
v). $ ab < bc $
vi). $ a - d < c - d $
Penyelesaian :
i). $ a < c \, $ benar berdasarkan sifat 2.
ii). $ a + 2 < b + 2 \, $ benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari $ a < b \, $ dan $ a < c $ , berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + a < b + c \rightarrow 2a < b + c \, $
artinya benar untuk $ 2a < b + c $
iv). dari $ a < c \, $ dan $ b < c \, $ berdasarkan sifat 6 berlaku :
$ a + b < c + c \rightarrow a + b < 2c \, $ (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika $ b > 0 $ maka $ a < c \rightarrow ab < bc $ . Akan tetapi nilai $ b $ di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga $ ab < bc \, $ belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, $ a < c \rightarrow a + (-d) < c + (-d) \rightarrow a - d < c - d $

2). Apakah $ a + b > \sqrt{ab} \, $ benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
$\begin{align} (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 & \geq 0 \\ a + b - 2\sqrt{ab} & \geq 0 \\ a + b & \geq 2\sqrt{ab} \end{align} $
Karena $ a + b \geq 2\sqrt{ab} , \, $ pasti berlaku juga $ a + b \geq \sqrt{ab} $
Jadi, pernyataan $ a + b \geq \sqrt{ab} \, $ benar.

3). Jika $ a > b \, $ dan $ c > d , \, $ apakah $ ac + bd > ad + bc \, $ benar ?
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). $ a > b \rightarrow a - b > 0 \, $ (psositif)
*). $ c > d \rightarrow c - d > 0 \, $ (positif)
$\spadesuit $ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
$\begin{align} (a-b)(c-d) & > 0 \\ ac - ad - bc + bd & > 0 \\ ac + bd & > ad + bc \end{align} $
Jadi, benar untuk $ ac + bd > ad + bc \, $

4). Jika $ x < -2 \, $ dan $ y > 3, \, $ maka nilai $ y - x \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Kalikan $ - 1 \, $ pada $ x < -2 \, $ dengan tanda ketaksamaan dibalik
$ x < -2 \rightarrow x . (-1) > -2. (-1) \rightarrow -x > 2 $
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 6 :
$ y > 3 \, $ dan $ -x > 2 , \, $ berlaku $ y + (-x) > 3 + 2 \rightarrow y - x > 5 $
Jadi, nilai $ y - x \, $ adalah lebih besar dari 5.

5). Jika $ -4 < y < 5 , \, $ maka nilai $ y - 4 \, $ adalah ....
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
$\begin{align} -4 < y & < 5 \\ -4 +(-4) < y & + (-4) < 5 + (-4) \\ -8 < y & - 4 < 1 \end{align} $
Jadi nilai $ y - 4 \, $ adalah $ -8 < y - 4 < 1 $
(terletak antara -8 sampai 1 )

6). Jika $ -3 < x < 4 , \, $ maka nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah ... ?
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
$\begin{align} -3 < & x < 4 \\ -3 + (-2) < x & + (-2) < 4 + (-2) \\ -5 < x & -2 < 2 \end{align} $
Artinya nilai $ x - 2 \, $ terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari $ (x - 2)^2 = 0^2 = 0 \, $ dan
nilai terbesarnya $ (x-2)^2 = (-5)^2 = 25 $
Jadi, nilai $ (x-2)^2 \, $ adalah $ 0 \leq (x-2)^2 < 25 $

Pertidaksamaan secara Umum

         Blog Koma - Pertidaksamaan adalah kalimat matematika yang memuat tanda ketaksamaan. Tanda ketaksamaan terdiri dari : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Pertidaksamaan termasuk materi yang luas cakupannya , diantaranya pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak, pertidaksamaan eksponen, pertidaksamaan logaritma, dan lainnya. Salah satu hal penting yang harus dikuasai untuk mampu menyelesaikan pertidaksamaan adalah tentang sifat-sifat pertidaksamaan.

Penjelasan Tanda Ketaksamaan
       Pada pertidaksamaan memuat tanda ketaksamaan : $ <, \, >, \, \leq , \, \geq, \, \neq . \, $ Berikut penjelasannya masing-masing,

$\spadesuit $ Tanda $ < \, $ dibaca kurang dari atau lebih kecil
$ x < 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus kurang dari 2 dan dua tidak boleh ikut.
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ \leq \, $ dibaca kurang dari sama dengan atau lebih kecil sama dengan
$ x \leq 2 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih kecil dan sama dengan dari 2 (dua boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ ...,-1,0,1,2 \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ > \, $ dibaca lebih dari atau lebih besar
$ x > -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dari -3 (-3 tidak boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
$\spadesuit $ Tanda $ \geq \, $ dibaca lebih dari sama dengan atau lebih besar sama dengan
$ x \geq -3 \, $ artinya nilai $ x $ yang memenuhi harus lebih besar dan sama dengan dari -3 (-3 boleh ikut).
Himpunannya : $ x = \{ -3,-2,-1,0,1,... \} \, $ ,
garis bilangannya :
Berikut beberapa contoh pertidaksamaan :
$2x +1 < 0, \, \frac{3x+4}{x-2} \geq 6 , \, x^2 - 3x + 4 > 0 , $
$ \sqrt{2x+5} \leq x - 1 , \, | x+5| - 3x \geq 7 , \, x^2 - x + 2 \neq 0 $

Penyelesaian Pertidaksamaan
       Penyelesaian yang dimaksud adalah semua nilai variabel yang ada (misal $x $) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Misal, penyelesaian pertidaksamaan $ -2x + 4 < 0 \, $ adalah $ x > 2, \, $ artinya untuk semua nilai $ x $ yang memenuhi $ x > 2 \, $ pasti juga akan memenuhi $ -2x+4 < 0 . \, $ Contoh, $ x = 3 \, $ , maka $ -2.(3) + 4 = -2 < 0 $
Cara menentukan tanda $+$ atau $ - $ pada garis bilangan
       Untuk menentukan tanda $ + $ atau $ - $ pada garis bilangan, nolkan ruas kanan pertidaksamaan, kemudian pilih angka dari selang yang terbentuk pada garis bilangan dan substitusikan ke persamaan yang terbentuk di ruas kiri.
Contoh
1). $ 2x - 1 \geq 3 \rightarrow 2x - 4 \geq 0 $
akar-akarnya : $ 2x - 4 = 0 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
garis bilangannya :
*). Pilih salah satu angka di sebelah kiri 2, misalkan nol
$ x = 0 \rightarrow 2x - 4 = 2.0 - 4 = -4 $
hasilnya negatif, artinya tanda di sebelah kiri 2 negatif($-$)
*). Pilih salah satu angka di sebelah kanan 2, misalkan 4
$ x = 4 \rightarrow 2x - 4 = 2.4 - 4 = 4 $
hasilnya positif, artinya tanda di sebelah kanan 2 positif($+$)
Garis bilangan dan tandanya :
2). Pertidaksamaan $ 2x^2 + 2x - 1 < 1 - x $
*). Menentukan akar-akar, nolkan ruas kanan.
$ \begin{align} 2x^2 + 2x - 1 & < 1 - x \\ 2x^2 + 2x - 1 + x - 1 & < 0 \\ 2x^2 + 3x - 2 & < 0 \\ (2x-1)(x+2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya
*). Menentukan tandanya
Terbentuk tiga selang/interval, pilih satu angka pada setiap selang dan substitusi ke $ (2x-1)(x+2) $
Interval pertama : $ -\infty < x < -2 \, $ , pilih $ x = -3 $
$ x = - 3 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(-3)-1)(-3+2) = -7 . (-1) = 7 \, $ (tanda $+$)
Interval kedua : $ -2 < x < \frac{1}{2} \, $ , pilih $ x = 0 $
$ x = 0 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(0)-1)(0+2) = -1 . 2 = -2 \, $ (tanda $-$)
Interval ketiga : $ \frac{1}{2} < x < \infty \, $ , pilih $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow (2x-1)(x+2) = (2.(1)-1)(1+2) = 1 . 3 = 3 \, $ (tanda $+$)
Garis bilangan dan tandanya :
Catatan : Biasanya tanda peda semua interval selang-seling
(misalkan +, - , + , - , atau -, + , - , + )


Langkah-langkah umum menyelesaiakan pertidaksamaan
       Langkah - langkah berikut dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis pertidaksamaan :

$\spadesuit $ Solusi Umum (HP1) :
1). Nolkan ruas kanan
2). Tentukan akar-akar (pembuat nolnya) dari pertidaksamaan dengan cara mengubah ketaksamaan menjadi sama dengan (=) lalu difaktorkan.
3). Tuliskan akar-akar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap intervalnya ( $+$ atau $ - $ setiap daerah)
4). Arsir daerah yang sesuai ( $ > $ untuk $ + $ , dan $ < $ untuk $ - $ )
5). Tulis himpunan penyelesaiannya (HP1)

$ \spadesuit $ Solusi syarat-syarat jika ada ( HP2 ).
*). caranya sama dengan solusi umum di atas
*). solusi syarat biasanya ada pada pertidaksamaan pecahan, bentuk akar, dan logaritma.

$\spadesuit $ Solusi totalnya adalah irisan HP1 dan HP2

Contoh
1). Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2x - 1 < 7 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akarnya
$ 2x - 1 < 7 \rightarrow 2x - 1 = 7 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x = 4 $
*). garis bilangan dan mengarsir daerahnya (diminta $ < $ , arsir negatif)
Jadi, himpunan penyelesaian HP $ = \{ x < 4 \} $

2). Pertidaksamaan $ ax - 3 > 15 \, $ mempunyai penyelesaian $ x > 6 $.
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit $ Solusi dari pertidaksamaan diperoleh dari akar-akar pertidaksamaan dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
$ \clubsuit $ Solusinya $ x > 6 \, $ artinya akar-akarnya adalah $ x = 6 $
Substitusi $ x = 6 $ ke persamaan :
$ \begin{align} x = 6 \rightarrow ax - 3 & > 15 \\ a.6 - 3 & = 15 \\ 6a & = 15 + 3 \\ 6a & = 18 \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 3 $

Cara II :
$\clubsuit $ Modifikasi pertidaksamaannya
$ ax - 3 > 15 \rightarrow ax > 18 \rightarrow x > \frac{18}{a} $
$\clubsuit $ Solusinya $ x > 6 $
$ \left. \begin{array}{c} x > \frac{18}{a} \\ x > 6 \end{array} \right\} \, $ bentuknya sama
Sehingga $ \frac{18}{a} = 6 \rightarrow a = \frac{18}{6} = 3 $
Jadi, nilai $ a = 3 $

3). Pertidaksamaan $ 3x - a < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \, $ mempunyai penyelesaian $ x < 1 $ .
Tentukan nilai $ a ? $
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Solusinya $ x < 1 \, $ , artinya akarnya adalah $ x = 1 $
$ \spadesuit $ Substitusi $ x = 1 $ ke pertidaksamaan dan ubah ketaksamaannya menjadi sama dengan.
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow 3x - a & < \frac{5x-2}{3} - \frac{ax-5}{4} \\ 3.1 - a & = \frac{5.1-2}{3} - \frac{a.1-5}{4} \\ 3 - a & = \frac{3}{3} - \frac{a-5}{4} \\ 3 - a & = 1 - \frac{a-5}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12 - 4a & = 4 - (a-5) \\ 3a & = 3 \\ a & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 1 $

4). Pertidaksamaan $ ax^2 + bx - 3 \leq 0 \, $ mempunyai penyelesaian $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ .
Tentukan nilai $ a + b ? $
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusinya $ - \frac{1}{2} \leq x \leq 3 $ , akar-akarnya adalah $ x = - \frac{1}{2} \, $ dan $ x = 3 $
$ \clubsuit $ Substitusi akar-akarnya ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} x = - \frac{1}{2} \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(-\frac{1}{2})^2 + b.(-\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \\ a(\frac{1}{4}) - b.(\frac{1}{2}) - 3 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ a - 2b - 12 & = 0 \\ a - 2b & = 12 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ x = 3 \rightarrow ax^2 + bx - 3 & \leq 0 \\ a(3)^2 + b.(3) - 3 & = 0 \\ 9a + 3b & = 3 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{c|c|cc} a - 2b = 12 & \text{kali 3} & 3a - 6b = 36 & \\ 9a + 3b = 3 & \text{kali 2} & 18a + 6b = 6 & + \\ \hline & & 21a = 42 & \\ & & a = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ a - 2b = 12 \rightarrow 2 - 2b = 12 \rightarrow b = -5 $
Sehingga nilai $ a + b = 2 + (-5) = -3 $
Jadi, nilai $ a + b = -3 $

Irisan dan Gabungan dua himpunan
       Irisan lambangnya $ \cap \, $ dan gabungan lambangnya $ \cup $
$\clubsuit $ Hasil irisan dua himpunan adalah himpunan nilai yang sama yang terdapat pada kedua himpunan.
$ \clubsuit $ Hasil gabungan dua himpunan adalah himpunan semua nilai yang terdapat pada kedua himpunan.

Contoh
1). Himpunan $ A = \{1,2,3,4,5,6\} \, $ dan himpunan $ B = \{ 2,3,4,6,7,8\} $
*). Irisannya : $ A \cap B = \{2,3,4\} \, $ (ambil yang sama saja dari kedua himpunan)
*). Gabungannya : $ A \cup B = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8\} \, $ (diambil semua, yang sama ditulis satu kali)

2). Diketahui : $ HP1 = \{ -2 < x < 4 \} , \, HP2 = \{ 0 < x < 5 \} $
*). Irisannya : $ HP1 \cap HP2 = \{ 0 < x < 4 \} $
*). Gabungannya : $ HP1 \cup HP2 = \{ -2 < x < 5 \} $
garis bilangannya :

       Pertidaksamaan secara umum mempunyai penyelesaian seperti di atas. Artinya apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya sama saja mengikuti langkah-langkah umum di atas. Namun untuk lebih maksimal, silahkan baca artikel pertidaksamaan secara lebih khusus, yaitu pertidaksamaan linear, pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan pecahan, pertidaksamaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak.

Pertidaksamaan Logaritma

         Blog Koma - Pertidaksamaan logaritma merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma yang berkaitan langsung dengan tanda ketaksamaan yaitu $ >, \, \geq , \, < , \, $ dan $ \leq \, $ . Pada artikel ini kita akan bahas tentang pertidaksamaan logaritma sederhana, dan untuk pertidaksamaan logaritma yang lebih sulit bisa sobat langsung lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertidaksamaan logaritma sederhana (misal bentuknya $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) $ ) , penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a) \, $ dan untuk menyelesaikannya sobat harus menguasai sifat-sifat logaritma dengan baik terlebih dahulu. Berikut konsep dasar dari pertidaksamaan logaritmanya.
         Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertidaksamaan secara umum dengan tahap-tahap yaitu menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, serta mengarsir daerah yang diminta berdasarkan tanda ketaksamaannya. Untuk menentukan akar-akar pertidaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.

Konsep Pertidaksamaan Logaritma
       Untuk $ a \in R, \, a > 0 , \, a \neq 1, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ bentuk pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan bergantug dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
*). Solusi Umum :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

       Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.
Hint : Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.
         Berikut beberapa contoh dari pertidaksamaan logaritma.
Contoh 1.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^2 \log (x+1) > 3 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya $(a =2)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap
$\clubsuit \,$ Solusi Umum
Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
$\begin{align} {}^2 \log (x+1) & > 3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 2^3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 8 \\ \text{(basisnya } a & = 2 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ (x+1) & > 8 \\ x & > 7 \end{align} $
HP1 = $ \{ x > 7 \} $
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma : (numerusnya)
$\begin{align} (x + 1 ) & > 0 \\ x & > - 1 \end{align} $
HP2 = $ \{ x > -1 \} $
Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > 7 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x > 7 \} $
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
$\spadesuit \, $ Solusi umum :
$\begin{align} {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{3} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (2x-3) & \leq (x+1) \\ x & \leq 4 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \leq 4 \} $
$\spadesuit \, $ Solusi syaratnya : (numerusnya)
*). $ (2x-3) > 0 \rightarrow 2x > 3 \rightarrow x > \frac{3}{2} \, $ ....(HP2)
*). $ (x+1) > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusi totalnya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $

         Pertidaksamaan Logaritma sebenarnya tidaklah sulit, hanya saja kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan juga yang akan menjadi solusi bersama sekaligus syarat tersebut yang menjadi ruang sampel untuk penyelesaian pertidaksamaan logaritmanya. Jadi, teman-teman jangan sampai lupa untuk menyelesaikan syarat logaritmanya juga.

Pertidaksamaan Eksponen

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah membahas tentang persamaan eksponen secara mendalam, nah untuk kali ini kita mempelajari kelanjutannya yaitu pertidaksamaan eksponen. Yang namanya pertidaksamaan pasti memuat tanda ketaksamaan seperti $ < , \, \leq , \, > , \, \geq $ . Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen, kita harus benar-benar menguasai sifat-sifat eksponen terlebih dahulu.
         Pertidaksamaan eksponen untuk tipe sederhana sangatlah mudah, namun pertidaksamaan eksponen lanjut akan lebih sulit dan akan sering dikeluarkan soalnya pada ujian nasional dan soal seleksi masuk perguruan tinggi. Tenang saja, pada artikel ini akan kita pelajari untuk tipe pertidaksamaan eksponen sederhana dan lanjut.

         Pertidaksamaan eksponen akan mudah kita pelajari jika kita sudah menguasai sifat-sifat dan persamaan eksponen. Dan perlu diingat juga, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya langkah-langkahnya sama yaitu : menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, arsir daerah yang diminta, dan buatlah himpunan penyelesaiannya. Cara umum penyelesaian pertidaksamaan ini juga berlaku untuk "pertidaksamaan eksponen".
Pertidaksamaan Eksponen Sederhana
       Untuk $ a \in R, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ , dapat dibentuk pertidaksamaan :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $
Bentuk pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan bergantung dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $

(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
         Pertidaksamaan eksponen sederhana maksudnya pertidaksamaan yang ruas kiri dan ruas kanan tanda ketaksamaannya sudah berbentuk pangkat (masing-masing ruas kiri dan kanan terdapat satu suku berbentuk perpangkatan).
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 9^{x-1} < 3^{-x+2} \, $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < \frac{4}{3} \} $

Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \leq \frac{5}{4} \} $
Contoh 3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 3^{x^2-x+1} \leq 9^{x+\frac{5}{2}} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ ketaksamaan tetap)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 - 3x - 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ -1 \leq x \leq 4 \} $
Pertidaksamaan Eksponen Lanjut
         Pertidaksamaan eksponen lanjut maksudnya pertidaksamaan eksponen yang bentuknya selain bentuk sederhana di atas, misal bentuknya $ \left( a^{f(x)} \right)^m + a^{f(x)} + c \geq 0 \, $ . Untuk menyelesaikan bentuk ini, biasanya kita misalkan dan akan mengarah ke suatu bentuk persamaan polinomial seperti persamaan kuadrat. Agar lebih jelas, mari kita simak contoh berikut.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 > 0 $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2^{2x}.2^1 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.2^{2x} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.(2^x)^2 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ \text{(misalkan } p = 2^x & , \text{ substitusikan)} \\ 2.(p)^2 - 17.p + 8 & > 0 \\ 2p^2 - 17p + 8 & > 0 \\ (2p-1)(p-8) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p=\frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \\ 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p=8 \rightarrow 2^x & = 8 \\ 2^x & = 2^3 \\ x & = 3 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < -1 \vee x > 3 \} $
         Untuk pendalaman soal-soal pertidaksamaan eksponen, sobat bisa lihat pada artikel kumpulan soal-soal Eksponen. Dengan latihan mengerjakan soal-soal lebih banyak lagi, maka pasti kita akan lebih mudah dalam menghadapi atau menyelesaikan soal-soal yang akan kita kerjakan nantinya. Semoga bermanfaat materi ini.