Tampilkan posting dengan label persamaan kuadrat. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label persamaan kuadrat. Tampilkan semua posting

Kamis, 02 Juli 2015

Kumpulan Soal-soal Persamaan Kuadrat Seleksi Masuk Perguruan Tinggi


         Blog Koma - Bagi sobat yang ingin lebih mendalami tentang materi persamaan kuadrat, atau ingin persiapan mengikuti seleksi masuk perguruan tinggi negeri, ada baiknya kita mempelajari kumpulan soal-soal persamaan kuadrat berikut yang lengkap dengan pembahasannya. Untuk memudahkan dalam mempelajari Kumpulan Soal-soal Persamaan Kuadrat Seleksi Masuk Perguruan Tinggi, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi-materi yang ada pada persamaan kuadrat. Materi persamaan kuadrat yang harus dikuasai yaitu : bentuk umum persamaan kuadrat, menentukan akar-akar, jenis-jenis akar, operasi akar-akar persamaan kuadrat, sifat-sifat akar, dan cara menyusun persamaan uadrat baru.
         Kumpulan soal-soal persamaan kuadrat seleksi masuk perguruan tinggi ini kita kumpulan dari berbagai jenis seleksi dari tahun yang lama sampai tahun yang terbaru (kita akan terus berusaha untuk melengkapinya). Jenis-jenis seleksi yang ada juga lumayan beragam seperti SBMPTN, SNMPTN, SPMB, UMPTN, serta seleksi mandiri seperti SPMK UB, UM UGM (UTUL), dan SIMAK UI. Harapan kami juga, seandainya teman-teman memiliki kumpulan soal-soal yang belum ada di sini, teman-teman bisa mengirimkan ke kami melalui email kami.

         Dengan adanya kumpulan soal-soal persamaan kuadrat ini, semoga akan bisa membantu bagi teman-teman yang ingin belajar berbagai tipe soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi khususnya soal-soal persamaan kuadrat. Setiap soal yang ada sudah diberi keterangan tahun, kode soal, dan jenis seleksinya. Usahakan untuk mengerjakan terlebih dahulu soal-soalnya, setelah tidak bisa baru kita lihat pembahasan yang ada pada tab "lihat pembahasan" untuk soal yang tidak bisa dikerjakan sendiri.

Nomor 1. Soal SBMPTN MatDas 2014 Kode 654
Persamaan kuadrat $2x^2-px+1=0$ dengan $p>0$ , mempunyai akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^2-5x+q=0$ mempunyai akar-akar $\frac{1}{\alpha^2}$ dan $\frac{1}{\beta^2}$, maka $q-p=...$
Nomor 2. Soal SBMPTN MatDas 2014 Kode 611
Jika $x_1$ dan $x_2$ akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\frac{x_2}{x_1}$ dan $2+\frac{x_1}{x_2}$ adalah ...
Nomor 3. Soal SBMPTN MatDas 2014 Kode 611
Soal gabungan : Persamaan Kuadrat dan Barisan Aritmetika
Diketahui $x_1$ dan $x_2$ akar-akar real persamaan $x^2+3x+p=0$, dengan $x_1$ dan $x_2$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika $x_1+x_2$, $x_1x_2$, dan $x_1^2x_2^2$ merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika , maka $p=...$
Nomor 4. Soal UM-UGM MatDas 2014
Soal gabungan : Persamaan kuadrat dan Turunan
Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(a+5)x+5a=0$ , maka nilai minimum dari $\alpha^2+\beta^2$ adalah ...
Nomor 5. Soal SBMPTN MatDas 2013 Kode 326
Diketahui persamaan kuadrat $x^2 + mx + 2 - 2m^2=0$ mempunyai akar-akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $2x_1+x_2=2$ , maka nilai $m$ adalah ...
Nomor 6. Soal SNMPTN MatDas 2012 Kode 122
Jika $p+1$ dan $p-1$ adalah akar-akar persamaan $x^2-4x+a=0$ , maka nilai $a$ adalah ...
Nomor 7. Soal SNMPTN MatDas 2011 Kode 179
Jika 2 adalah satu-satunya akar persamaan kuadrat $\frac{1}{4}x^2+bx+a=0, \, $ maka nilai $a+b$ adalah ...
Nomor 8. Soal SNMPTN MatDas 2010 Kode 336
Persamaan $x^2-ax-(a+1)=0 \, $ mempunyai akar-akar $x_1 > 1 $ dan $x_2 < 1 $ untuk ...
Nomor 9. Soal SNMPTN MatDas 2009 Kode 283
Jika $1+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}=0 $ , maka $\frac{3}{x} $ adalah ...
Nomor 10. Soal SNMPTN MatDas 2008 Kode 201
Persamaan kuadrat $x^2-ax+1=0$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika persamaan kuadrat $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar $\frac{x_1^3}{x_2}$ dan $\frac{x_2^3}{x_1}$ , maka $p = ...$
Nomor 11. Soal SNMPTN MatDas 2008 Kode 201
Persamaan kuadrat $x^2 - 6x+a = 0$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika $x_1$ , $x_2$ , dan $x_1+x_2$ adalah tiga suku pertama deret aritmetika, maka konstanta $a=...$
Nomor 12. Soal SNMPTN Mat IPA 2010 Kode 526
Persamaan kuadrat yang mempunyai akar $a$ dan $b$ sehingga $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} = \frac{7}{10} $ adalah ...
Nomor 13. Soal SNMPTN Mat IPA 2008 Kode 302
Jumlah akar-akar persamaan $|x|^2-2|x|-3=0 $ sama dengan ....
Nomor 14. Soal SNMPTN Mat IPA 2008 Kode 302
Diketahui $x_1 $ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan $x^2+5x+a=0 $ dengan $x_1 $ dan $x_2$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. $x_1, \, 2x_2, $ dan $-3x_1x_2 $ masing-masing merupakan suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai $a$ sama dengan ...
Nomor 15. Soal SNMPTN Mat IPA 2008 Kode 302
Jumlah nilai-nilai $m $ yang mengakibatkan persamaan kuadrat $mx^2-(3m+1)x+(2m+2) = 0 $ mempunyai akar-akar perbadingan dengan perbandingan 3 : 4 adalah ....
Nomor 16. Soal SNMPTN Mat IPA 2008 Kode 302
Jika $a^2 $ dan $b $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^2-(b^2-1)x+b=0 $ . Himpunan nilai-nilai $a+b $ adalah ....
Nomor 17. Soal SPMB MatDas 2007
Persamaan kuadrat $4x^2+p=-1 $ , mempunyai akar $x_1 $ dan $x_2 $ . Jika $x_1 = \frac{1}{2} $ , maka $p(x_1^2+x_2^2) = .... $
Nomor 18. Soal SPMB MatDas 2006
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+1 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1+\frac{1}{x_1} $ dan $x_2+\frac{1}{x_2} $ adalah ....
Nomor 19. Soal SPMB MatDas 2005
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+5x+k=0 \, $ adalah $x_1 \, $ dan $x_2 \, $. Jika $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} = -\frac{73}{24} \, \, $ , maka nilai $k \, $ adalah ....
Nomor 20. Soal SPMB MatDas 2004
Akar-akar persamaan kuadrat : $x^2+px+q=0, \, p\neq 0 \, $ dan $q\neq 0 \, $ adalah $x_1 \, $ dan $x_2 \, $. Jika $x_1, \, x_2, \, x_1+x_2 \, $ dan $x_1x_2 \, $ merupakan empat suku berurutan dari deret aritmetika, maka nilai $ p+q = .... $
Nomor 21. Soal SPMB MatDas 2003
Akar - akar persamaan $ x^2 - 10x = - \frac{1}{4} \, \, $ adalah $\alpha \, $ dan $\beta \, $ , maka $\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = .... $
Nomor 22. Soal UMPTN MatDas 2001
Persamaan kuadrat $ \, 3x^2-(a-1)x-1=0 \, $ mempunyai akar - akar $ x_1 \, $ dan $ \, x_2 \, $ , sedangkan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} \, $ adalah $ \, x^2-(2b+1)x+b=0 \, $ . Nilai $ \, 2a + b = .... $
Nomor 23. Soal Simak UI MatDas 2014
Jika diketahui $ x < 0 $ , maka banyaknya penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} x^2-ax+2014=0 \\ x^2-2014x+a=0 \end{array} \right.$ , adalah ...
Nomor 24. Soal UMPTN MatDas 2000
Jika $x_1 $ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan : $x^2+px+q=0 $ , maka $\left( \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} \right)^2 = ....$
Nomor 25. Soal Simak UI Mat IPA 2014
Jika $m$ dan $n$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $2x^2+x-2=0$ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $m^3-n^2$ dan $n^3-m^2$ adalah ...
Nomor 26. Soal SPMB Mat IPA 2007
Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan kuadrat $ x^2 - x - p = 0 \, $ sama dengan kuadrat jumlah kebalikan akar-akar persamaan $ x^2-px-1 = 0, \, $ maka $ p = .... $
Nomor 27. Soal SPMB Mat IPA 2006
Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat $ (p-2)x^2 + 2px + p-1 = 0 \, $ negatif dan berlainan adalah ....
Nomor 28. Soal Selma UM MatDas 2014
Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ x^2+ax+b=0 \, $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
Nomor 29. Soal Selma UM Mat IPA 2014
Jika persamaan kuadrat $ \, 2x^2 + 5px + 50 = 0 \, $ mempunyai akar real kembar, maka salah satu nilai $ p \, $ yang mungkin adalah ....
Nomor 30. Soal SPMB Mat IPA 2003
Akar - akar persamaan kuadrat $ x^2 + 6x + c = 0 \, $ adalah $ x_1 $ dan $ x_2 $. Akar - akar persamaan kuadrat $ x^2 +(x_1^2 + x_2^2)x+4 = 0 \, $ adalah $ u $ dan $ v $. Jika $ u + v = -uv \, $ , maka $ x_1^3x_2 + x_1x_2^3 = .... $
Nomor 31. Soal SPMB Mat IPA 2002
Diketahui $ 4x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0 \, $ supaya kedua akar - akarnya real berbeda dan positif haruslah .....
Nomor 31. Soal UMPTN Mat IPA 2001
Jika jumlah kuadrat akar-akar real persamaan $ x^2 + 2x - a = 0 \, $ sama dengan jumlah kebalikan akar-akar persamaan $ x^2 -8x+(a-1)=0, \, $ maka nilai $ a $ sama dengan ....
Nomor 32. Soal UMPTN Mat IPA 2000
Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan $ x^2-3x+n=0 \, $ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $ x^2 + x -n =0 , \, $ maka nilai $ n \, $ adalah ....
Nomor 33. Soal Simak UI MatDas 2014
Misalkan $m$ dan $n$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $3x^2-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\frac{1}{m^2}+1$ dan $\frac{1}{n^2}+1$ adalah ...
Nomor 34. Soal Simak UI Mat IPA 2014
Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^2-4(k+1)x+k^2-k+7=0$ bernilai tiga kali dari akar yang lain dan semua akar-akar bernilai lebih dari 2, maka himpunan semua bilangan $k$ yang memenuhi adalah ...
Nomor 35. Soal SBMPTN MatDas Kode 631 2014
Persamaan kuadrat $ px^2 - qx + 4 = 0 \, $ memunyai akar positif $ \alpha \, $ dan $ \beta \, $ dengan $ \alpha = 4\beta . \, $ Jika grafik fungsi $ f(x) = px^2 - qx + 4 \, $ mempunyai sumbu simetri $ x = \frac{5}{2} , \, $ maka nilai $ p \, $ dan $ q \, $ masing-masing adalah ....
Nomor 36. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 523 2014
Jika $ \alpha \, $ dan $ \beta \, $ adalah akar - akar persamaan kuadrat $ (m-1)x^2 - (m+2)x - 1 = 0, \, $ maka $ \log (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) \, $ ada nilainya untuk ....
Nomor 37. Soal SBMPTN MatDas Kode 663 2014
Diketahui $ m \, $ dan $ n \, $ akar-akar persamaan $ ax^2 + bx + c = 0 . \, $ Jika $ m+2 \, $ dan $ n + 2 \, $ akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + qx + r = 0, \, $ maka $ q + r = .... $
Nomor 38. Soal SBMPTN MatDas Kode 663 2014
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 + x - 3 = 0 , \, $ maka $ 2a^2 + b^2 + a = .... $
Nomor 39. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 542 2014
Jika $ p \, $ dan $ q \, $ merupakan akar-akar persamaan kuadrat : $ x^2 -(a+1)x + \left( -a-\frac{5}{2} \right) = 0 \, $ maka nilai minimum $ p^2 + q^2 \, $ adalah ....
Nomor 40. Soal SBMPTN MatDas Kode 228 2013
Jika selisih akar-akar $ x^2 + 2cx + (19+c) = 0 \, $ adalah 2, maka nilai $ 30 + c - c^2 \, $ adalah ....
Nomor 41. Soal SBMPTN MatDas Kode 128 2013
Persamaan kuadrat $ x^2 - 2x + (c-4) = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1 > -1 \, $ dan $ x_2 > -1 , \, $ maka .....
(A) $ c < 1 \, $ atau $ c \geq 5 $
(B) $ 1 < c \leq 5 $
(C) $ -1 \leq c \leq 5 $
(D) $ c > 1 $
(E) $ c \leq 5 $
Nomor 42. Soal UM-UGM MatDas 2013
Persamaan kuadrat $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = -6 \, $ maka $ {}^m \log 8 = .... $
Nomor 43. Soal UM-UGM MatDas 2013
Jika $ \alpha + 2\beta = 5 \, $ dan $ \alpha \beta = -2 \, $ maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{\alpha}{\alpha + 1} \, $ dan $ \frac{2\beta}{2\beta + 1} \, $ adalah ....
Nomor 44. Soal SPMK UB Mat IPA 2010
Persamaan kuadrat $ 9x^2 - m = 5 \, $ memiliki akar persamaan $ x_1 \, $ dan $ x_2 . \, $ Jika $ x_1 = \frac{1}{3} , \, $ maka $ 2m(x_1^2 + x_2^2) \, $ adalah ....
Nomor 45. Soal SPMK UB Mat IPA kode 26 2014
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $3x^2 + ax + b = 0$ adalah 2 dan -3 . Nilai $ - \frac{b}{2a} = ...$
Nomor 46. Soal SPMK UB Mat IPA kode 26 2014
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar - akar dari $x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) = 0$ dan $x_1 = 2$ , maka $x_1x_2 = ...$
Nomor 47. Soal SPMK UB Mat IPA kode 91 2009
Diketahui bahwa persamaan kuadrat $ x^2 + ax + b = 0 \, $ mempunyai akar-akar real $ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0 \, $ . Jika $ x_1, \, x_2, \, x_1^2 x_2 \, $ , membentuk deret geometri dengan rasio 4, maka $ \frac{a}{b} \, $ adalah ....
Nomor 48. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 442 2013
Persamaan kuadrat $ x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1+2x_2 = 1 , \, $ maka nilai $ a \, $ adalah .....
Nomor 49. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 328 2013
Persamaan kuadrat $ x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 , \, $ maka .....
(A) $ c < -\frac{19}{2} \, $ atau $ c > -9 $
(B) $ -\frac{19}{2} < c \leq -9 $
(C) $ -\frac{19}{2} < c \leq -7 $
(D) $ -9 < c < 3 $
(E) $ c > 3 $
         Bagaimana dengan kumpulan soal-soal persamaan kuadrat seleksi masuk perguruan tingginya? Pastinya seru untuk mengerjakan soal-soal yang ada dengan tingkat kesulitan yang beragam dari yang mudah sampai yang paling sulit. Akan lebih baik jika kita bisa melatih semua soalnya, karena ini akan membantu kita lebih siap untuk mengerjakan berbagai tipe soal yang akan diujikan nantinya.

Rabu, 01 Juli 2015

Kumpulan Rumus Cepat Persamaan Kuadrat


         Blog Koma - Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja.
         Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) sudah kita bahas pada artikel sebelumnya yaitu : bentuk umum PK, Menentukan akar-akar, jenis-jenis akar, operasi akar-akar, sifat-sifat akar, dan menyusun pk. Namun adakalanya pada waktu tertentu, misalkan kita mengikuti Ujian Naional, tes masuk peruruan tinggi negeri (SBMPTN dan seleksi mandirinya) kita butuh kecepatan dalam menyelesaikan soal-soal yang diberikan karena waktu yang disediakan terbatas. Nah untuk membantu, kami sediakan beberapa rumus cepat khusus yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.
         Rumus Cepat persamaan kuadrat ini sifatnya terbatas, maksudnya rumus-rumus tersebut hanya berlaku pada kasus-kasus tertentu pada soal tertentu juga. Artinya tidak semua soal bisa menggunakan rumus cepat, dan kelemahannya juga dengan adanya rumus cepat maka semakin banyak rumus yang harus kita hafalkan.

         Saran dari kami, sebaiknya sobat lebih mendalami konsep dasarnya karena yang namanya konsep dasar pasti akan berlaku umum dan pasti bisa menyelesaikan sebua tipe dan bentuk soal. Rumus cepat ini hanya sebagai tambahan saja, agar lebih mantap dan siapa tau ketika ujian keluar soal yang bisa dikerjakan dengan rumus cepat sehingga jadi keberuntungan. Dan satu lagi, ingat dan pahami rumus cepat yang singkat saja, agar otaknya tidak pusing karena harus menghafalkan banyak rumus.
Rumus Cepat Pertama
         Persamaan Kuadrat $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ .
(i). Jika diketahui salah satu akar adalah $ n \, $ kali dari akar yang lainnya $( x_1= n. x_2 \, \text{ atau } \, x_2 = n.x_1) $ , maka berlaku :
$ n.b^2 = (n+1)^2.a.c $
(ii). Jika perbandingan akar-akarnya $ m : n \, $ (maksudnya $ x_1:x_2 = m:n \, \text{ atau } \, x_2:x_1 = m:n $) , maka berlaku :
$ (m.n)b^2 = (m+n)^2.a.c $
Contoh 1.
Persamaan kuadrat $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1 = 3x_2 \, $ , maka nilai $ m \, $ adalah ....
Penyelesaian : Dengan Konsep Dasar
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \rightarrow a = 2, b = 4, c = m-1 $
Diketahui $ x_1 = 3x_2 \, $ .....pers(i)
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-4}{2} = -2 \, $ ....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} x_1 + x_2 & = -2 \\ 3x_2 + x_2 & = -2 \\ 4x_2 & = -2 \\ x_2 & = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ x_2 \, $ ke PK
$\begin{align} 2x^2 + 4x + (m-1) & = 0 \\ 2(-\frac{1}{2})^2 + 4.(-\frac{1}{2}) + (m-1) & = 0 \\ \frac{1}{2} - 2 + m - 1 & = 0 \\ m = \frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ m = \frac{5}{2} . \heartsuit $
Penyelesaian : Dengan rumus cepat
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \rightarrow a = 2, b = 4, c = m-1 $
Diketahui $ x_1 = 3x_2 \rightarrow x_1 = n.x_2 \, $ , artinya $ n = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m $
$\begin{align} n.b^2 & = (n+1)^2.a.c \\ 3.4^2 & = (3+1)^2.2.(m-1) \\ 3.4^2 & = 4^2.2.(m-1) \\ m-1 & = \frac{3}{2} \\ m & = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ m = \frac{5}{2} . \heartsuit $
Contoh 2.
Persamaan kuadrat $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \, $ memiliki akar-akar positif $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika perbandingan akar-akarnya adalah 3 : 2 , maka nilai $ m \, $ adalah ....
Penyelesaian : Dengan Konsep Dasar
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \rightarrow a = 1, b = -(m+2), c = 6 $
Diketahui $ x_1 : x_2 = 3:2 \, $ .....pers(i)
Operasi perkalian : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \,$ Kalikan kedua persamaan
$\begin{align} (\frac{x_1}{x_2}).(x_1 . x_2) & = (\frac{3}{2}).6 \\ x_1^2 & = 9 \rightarrow x_1 = \pm 3 \\ x_1 & = 3 \, \, \, \, \text{(positif)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ x_1 \, $ ke PK
$\begin{align} x^2 -(m+2)x + 6 & = 0 \\ 3^2 -(m+2).3 + 6 & = 0 \\ 9 -3m - 6 + 6 & = 0 \\ 3m & = 9 \rightarrow m = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ m = 3 . \heartsuit $
Penyelesaian : Dengan rumus cepat
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \rightarrow a = 1, b = -(m+2), c = 6 $
Diketahui $ x_1 : x_2 = 3:2 \rightarrow x_1:x_2 = m:n \, $ artinya $ m = 3 \, $ dan $ n = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ m $
$\begin{align} (m.n).b^2 & = (m+n)^2.a.c \\ (3.2).[-(m+2)]^2 & = (3+2)^2.1.6 \\ 6(m+2)^2 & = (5)^2.6 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ (m+2)^2 & = (5)^2 \\ m+2 & = 5 \rightarrow m = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ m = 3 . \heartsuit $
Rumus Cepat Kedua (Menyusun Persamaan Kuadrat Baru)
         Untuk Menyusun persamaan kuadrat baru secara umum bisa menggunakan rumus $ x^2 - (HJ)x+(HK) \, $ dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali. Namun kali ini kita akan bahas cara cepatnya.
         Persamaan Kuadrat $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB) yang :
(i). Akar-akarnya $ n \, $ kali dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ nx_1 \, \text{ dan } \, nx_2 $
PKB nya : $ ax^2 + n.bx + n^2.c = 0 $
(ii). Akar-akarnya $ n \, $ lebihnya dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1 + n \, \text{ dan } \, x_2 + n $
PKB nya : $ a(x-n)^2 + b(x-n) + n^2.c = 0 $
(iii). Akar-akarnya $ n \, $ kurangnya dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1 - n \, \text{ dan } \, x_2 - n $
PKB nya : $ a(x+n)^2 + b(x+n) + n^2.c = 0 $
(iv). Akar-akarnya kebalikan dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ \frac{1}{x_1} \, \text{ dan } \, \frac{1}{x_2} $
PKB nya : $ cx^2 + bx + a = 0 $
         ( $ a \, $ dan $ c \, $ ditukar letaknya)
(v). Akar-akarnya berlawanan dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ -x_1 \, \text{ dan } \, -x_2 $
PKB nya : $ ax^2 - bx + c = 0 $
         ( tinggal dikasih negatif pada nilai $ b $ )
(vi). Akar-akarnya kuadrat dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1^2 \, \text{ dan } \, x_2^2 $
PKB nya : $ a^2x^2 - (b^2-2ac)x + c^2 = 0 $
(vii). Akar-akarnya pangkat tiga dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1^3 \, \text{ dan } \, x_2^3 $
PKB nya : $ a^3x^2 + (b^3-3abc)x + c^3 = 0 $
(viii). Akar-akarnya $(x_1+x_2) \, $ dan $ (x_1.x_2) \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $
PKB nya : $ a^2x^2 + a(b-c)x -bc = 0 $
(ix). Akar-akarnya $ \frac{x_1}{x_2} \, $ dan $ \frac{x_2}{x_1} \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $
PKB nya : $ acx^2 - (b^2 - 2ac)x + ac = 0 $
(x). Akar-akarnya $ \frac{1}{x_1^2} \, $ dan $ \frac{1}{x_2^2} \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $
PKB nya : $ c^2x^2 - (b^2 - 2ac)x + a^2 = 0 $
         Untuk lebih memahami maksud dari rumus cepat di atas, mari kita lihat beberapa contoh soal berikut.
Contoh 3.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali lipat dari akar-akar persamaan $ x^2 -2x+3 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 -2x+3 = 0 \rightarrow a = 1, b = -2, c = 3 $
3 kali lipat , artinya $ n = 3 \, $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB nya
$\begin{align} ax^2 + n.bx + n^2.c & = 0 \\ 1.x^2 + 3.(-2)x + 3^2.3 & = 0 \\ x^2 -6x + 27 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ x^2 -6x + 27 = 0 . \heartsuit $

Contoh 4.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan $ 3x^2 +x - 1 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ 3x^2 +x - 1 = 0 \rightarrow a = 2, b = 1, c = -1 $
2 lebihnya , artinya $ n = 2 \, $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB nya
$\begin{align} a(x-n)^2 + b(x-n) + c & = 0 \\ 3(x-2)^2 + 1.(x-2) + (-1) & = 0 \\ 3(x^2 - 4x + 4) x-2-1 & = 0 \\ 3x^2 - 11x + 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ 3x^2 - 11x + 9 = 0 . \heartsuit $

Contoh 5.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dari akar-akar persamaan $ 5x^2 +2x +7 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ 5x^2 +2x +7 = 0 \rightarrow a = 5, b = 2, c = 7 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB dengan akar-akar berkebalikan
$\begin{align} cx^2 + bx + a & = 0 \\ 7x^2 + 2x + 5 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ 7x^2 + 2x + 5 = 0 . \heartsuit $

Contoh 6.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ x_1^2 \, $ dan $ x_2^2 \, $ dari akar-akar persamaan $ -x^2 +2x +3 = 0 \, $ yang memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ -x^2 +2x +3 = 0 \rightarrow a = -1, b = 2, c = 3 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB dengan akar-akar $ x_1^2 \, $ dan $ x_2^2 \, $
$\begin{align} a^2x^2 - (b^2-2ac)x + c^2 & = 0 \\ (-1)^2x^2 - (2^2-2.(-1).3)x + 3^2 & = 0 \\ 1.x^2 - (4 + 6)x + 9 & = 0 \\ x^2 - 10x + 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ x^2 - 10x + 9 = 0 . \heartsuit $
         Perlu teman-teman ketahui, kumpulan rumus cepat menyusun persamaan kuadrat ini sebenarnya berasal dari konsep dasar cara menyusun persamaan kuadrat. Artinya rumus-rumus cepat yang ada di atas diperoleh dari penjabaran konsep dasarnya. Jadi, teman-teman jangan bingun dan pusing seandainya belum atau sulit untuk menghafal rumus-rumus cepat yang ada, karena konsep dasarnya saja sebenarnya sudah cukup.

Selasa, 30 Juni 2015

Cara Menyusun Persamaan Kuadrat


         Blog Koma - Satu lagi materi yang penting tentang persamaan kuadrat yaitu cara menyusun persamaan kuadrat yang diketahui akar-akarnya atau menyusun persamaan kuadrat yang ada hubungannya dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Sebelumnya ada persamaan kuadrat dan kita diminta menentukan akar-akarnya, sedangkan materi kali ini kebalikkannya, yaitu ada akar-akar dan kita diminta menyusun persamaan kuadratnya atau Persamaan Kuadrat Barunya (PKB).

         Untuk menyusun persamaan kuadrat, hal mendasar yang harus kita kuasai adalah operasi akar-akar persamaan kuadrat yaitu untuk operasi penjumlahan $(x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}) \, $ dan operasi perkalian $(x_1 . x_2 = \frac{c}{a}) $. Selain operasi dasar, juga harus sekalian kita ingat tentang rumus bantu yang ada, karena biasanya untuk menyusun persamaan kuadrat baru akan melibatkan bentuk akar-akar yang lebih kompleks lagi (pangkatnya lebih dari satu).
Adapun cara menyusun persamaan kuadrat / PKB
(i). Rumus khusus : diketahui akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $
      PK nya : $ (x-x_1)(x-x_2)=0 $
(ii). Rumus umum :
      PK nya : $ x^2 - (HJ)x + (HK) =0 $
dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.
         Berikut beberapa contoh untuk lebih memahami cara menyusun persamaan kuadrat dengan dua rumus di atas.
Contoh 1.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 2 ?
Penyelesaian :
Cara I :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya $ x_1 = -3 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} (x-x_1)(x-x_2) & = 0 \\ (x-(-3))(x-2) & = 0 \\ (x+3)(x-2) & = 0 \\ x^2 +x - 6 & = 0 \end{align}$
Cara II :
$\clubsuit \,$ Akar-akarnya -3 dan 2
HJ = -3 + 2 = -1 dan HK = (-3).2 = -6
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(-1)x + (-6) & = 0 \\ x^2 +x -6 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 +x -6 = 0. \heartsuit $
Contoh 2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 4 + \sqrt{15} \, $ dan $ 4 - \sqrt{15} $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
PK dengan akar-akar $ 4 + \sqrt{15} \, $ dan $ 4 - \sqrt{15} $
$ HJ = (4 + \sqrt{15} +(4 - \sqrt{15}) = 8 $
$ HK = (4 + \sqrt{15} .(4 - \sqrt{15}) = 16-15=1 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(8)x + (1) & = 0 \\ x^2 -8x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 -8x +1 = 0 . \heartsuit $
Contoh 3.
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 3x + 3 = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - 3x + 3 = 0 \rightarrow a = 1, b = -3, c = 3 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3 $
$\clubsuit \,$ PK dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1} \, $ dan $ \frac{1}{x_2} $
$ HJ = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} = \frac{3}{3} = 1 $
$ HK = \frac{1}{x_1} . \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1.x_2} = \frac{1}{3} $
$\clubsuit \,$ Menyusun PK nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(1)x + (\frac{1}{3}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^2 -3x +1 & = 0 \end{align}$
Jadi, PK nya adalah $ 3x^2 -3x +1 = 0 . \heartsuit $
Contoh 4.
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-2x+k = 0 \, $ adalah $ m \, $ dan $ n \, $ . Tentukan Persamaan kuadrat Baru yang akar-akarnya $ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} \, $ dan $ m.n \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan rumus umum
$\spadesuit \, $ PK $ x^2-2x+k = 0 \rightarrow a = 1, b = -2, c = k $
Akar-akarnya $ m \, $ dan $ n $
$ m + n = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ m.n = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} = k $
$ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} = \left( \frac{m+n}{m.n} \right)^{m+n} = \left( \frac{2}{k} \right)^{2} = \frac{4}{k^2} $
$\spadesuit \, $ PKB dengan akar-akar $ \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} \, $ dan $ (m.n) $
$ HJ = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} + (m.n) = \frac{4}{k^2} + k = \frac{4+k^3}{k^2} $
$ HK = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \right)^{m+n} . (m.n) = \frac{4}{k^2} . k = \frac{4}{k} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) nya
$\begin{align} x^2 -(HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 -(\frac{4+k^3}{k^2})x + (\frac{4}{k}) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali } \, k^2 \, ) \\ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ k^2x^2 -(4+k^3)x +4 = 0 . \heartsuit $

         Dalam menyusun persamaan kuadrat baru, sobat bisa menggunakan rumus cepat , hal ini sangat berguna ketika kita menghadapi Ujian Nasional atau SBMPTN yang notabene membutuhkan kecepatan dalam menyelesaikan soal-soalnya. Hanya saja, rumus-rumus cepat ini berlaku untuk beberapa tipe soal saja. Ini artinya tidak semua soal yang berkaitan dengan PKB bisa menggunakan rumus cepat, jadi saran kami menggunakan rumus umum di atas lebih baik karena akan bisa menyelesaikan semua tipe soal. Untuk kumpulan rumus cepat, langsung lihat dan klik link berikut : Kumpulan Rumus Cepat Persamaan Kuadrat.

         Berbicara rumus "cepat cara menyusun persamaan kuadrat (baru)", sebenarnya cukup menguntungkan bagi kita karena biasanya soal-soal yang keluar akan setipe dari tahun ketahunya terutama untuk soal Ujian Nasional. Hanya saja butuh volume yang lebih diotak kita untuk menghafal rumus cepat tersebut dan jangan sampai ada yang terlupakan sedikitpun rumusnya. Jadi, kami mengembalikan pada teman-teman, lebih suka yang mana, apakah rumus cepat atau konsep dasar saja yang toh juga tetap bisa kita gunakan untuk menyelesaikan semua tipe soal.

Senin, 29 Juni 2015

Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat


         Blog Koma - Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ secara umum mempunyai dua akar yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentu dari kedua akar-akar ini memiliki sifat-sifat tertentu, misalkan keduanya positif, keduanya negatif, berlainan tanda, berlawanan tanda, atau mungkin berkebalikan. Sifat-sifat akar persamaan kuadrat ini lah yang akan dibahas pada artikel ini, yang lebih khusus lagi tentang syarat-syarat yang harus terpenuhi sesuai dengan sifat masing-masing yang ada.
         Sifat-sifat akar persamaan kuadrat sangat penting harus kita kuasai untuk materi persamaan kuadrat karena biasanya baik untuk soal Ujian Nasional maupun tes seleksi masuk perguruan tinggi sering keluar soal-soalnya. Untuk lebih jelasnya, silahkan simak materinya berikut ini.

         Adapun sifat akar-akar persamaan kuadrat yaitu :
(i). Akar-akar positif ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 > 0$ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(ii). Akar-akar positif berlainan ($ x_1 > 0 \, , \, x_2 > 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 > 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(iii). Akar-akar negatif ($ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 < 0$ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D \geq 0 $
(iv). Akar-akar negatif berlainan ($ x_1 < 0 \, , \, x_2 < 0 \, $ dan $ x_1 \neq x_2 $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 < 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 > 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(v). Akar-akar berlainan tanda ($ x_1 > 0 \, $ dan $ x_2 < 0 \, $ atau
$ x_1 < 0 \, $ dan $ x_2 > 0 $)
         Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (2). $ D > 0 $
(vi). Akar-akar berlawanan tanda ( $ x_1 = - x_2 \, $ atau $ x_2 = -x_1 $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 + x_2 = 0 \, $ (2). $ x_1 . x_2 < 0 \, $ (3). $ D > 0 $
(vii). Akar-akar berkebalikan ( $ x_1 = \frac{1}{x_2} \, $ atau $ x_2 = \frac{1}{x_1} $ )
         Syaratnya : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $
         Dari setiap sifat-sifat akar di atas, masing-masing terdapat beberapa syarat, semua syarat harus diiriskan dari masing-masing sifat yang ada (solusinya harus memenuhi semua syarat). Untuk lebih jelas, silahkan pelajari contoh-contoh soal berikut.
Contoh 1.
Persamaan kuadrat $ x^2 - 2x + m -1 = 0 \, $ mempunyai dua akar positif berlainan, tentukan interval nilai $ m \, $ yang memenuhi ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - 2x + m -1 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = m-1 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar positif berlainan
(1). $ x_1 + x_2 > 0 \rightarrow \frac{-b}{a} > 0 \rightarrow \frac{-(-2)}{1} > 0 \rightarrow 2 > 0 \, $ (benar)
(2). $ x_1 . x_2 > 0 \rightarrow \frac{c}{a} > 0 \rightarrow \frac{m-1}{1} > 0 \rightarrow m > 1 \, $ (HP1)
(3). $ D > 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & > 0 \\ (-2)^2 - 4.1.(m-1) & > 0 \\ 4 - 4( m-1) & > 0 \\ 4 - 4m + 4 & > 0 \\ -4m & >-8 \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ m & < 2 \, \, \, \, \text{(HP2)} \end{align}$
Nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah irisan dari semua syarat :
Sehingga solusinya : HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ 1 < m < 2 \} $
Jadi, interval nilai $ m \, $ yang memenuhi adalah $ \{ 1 < m < 2 \} . \heartsuit $
Contoh 2.
Jika Persamaan kuadrat $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 \, $ mempunyai akar-akar berkebalikan, tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ \rightarrow a = 2p-1, \, b = -5, \, c = 3p-2 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar-akar berkebalikan : (1). $ x_1 . x_2 = 1 \, $ (2). $ D > 0 $
*). Syarat pertama : $ x_1 . x_2 = 1 $
$\begin{align} x_1 . x_2 & = 1 \\ \frac{c}{a} & = 1 \\ c & = a \\ 3p-2 & = 2p-1 \\ p & = 1 \end{align}$
Sehingga PK nya menjadi :
$ (2p-1)x^2 -5x+3p-2 = 0 $
$ (2.1-1)x^2 -5x+3.1-7 = 0 $
$ x^2 - 5x + 1 = 0 $
*). Cek syarat kedua : $ D > 0 $
$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4.1.1 = 25 - 4 = 21 > 0 \, $ (benar)
Karena nilai $ p = 1 \, $ memenuhi kedua syarat, maka solusinya adalah $ p = 1 $
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = 1 . \heartsuit $
Catatan : Jika setelah nilai $ p = 1 \, $ disubstitusikan ke PK dan nilai $ D \, $ nya tidak lebih dari nol, maka $ p =1 \, $ bukanlah sebagai solusi, artinya tidak ada solusi yang memenuhi.
Contoh 3.
Persamaan kuadrat $ 2x^2 - (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 \, $ mempunyai dua akar berlawanan. Jika akar-akar PK tersebut adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ , maka nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ adalah .... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ 2x^2 - (p^3+2p^2-3p-4)x + 7 = 0 $
$ a = 2, \, b = - (p^3+2p^2-3p-4), \, c = 7 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar berlawanan : $ x_1 + x_2 = 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x_1^2 + x_2^2 \, $ , dengan operasi akar-akar
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ & = (0)^2 - 2.\frac{c}{a} \\ & = 0 - 2.\frac{7}{2} \\ & = 0 - 7 \\ x_1^2 + x_2^2 & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1^2 + x_2^2 = 7 . \heartsuit $
Catatan : Pada penyelesaian ini kita tidak perlu menentukan nilai $ p \, $ nya dulu.
         Demikian untuk penjelasan tentang sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Sifat-sifat akar ini paling sering keluar pada ujian seleksi masuk perguruan tinggi dan pada soal-soal Ujian Nasional. Dari semua sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang ada, sifat berkelabikan akar yang paling mudah kita ingat dan mudah untuk mengerjakan soalnya.

         Dari syarat-syarat untuk masing-masing sifat akar, penting bagi kita untuk mengingat bahwa semua syarat harus terpenuhi. Agar bisa terpenuhi, maka kita harus mengiriskan semua syarat yang ada. Usahakan mengerjakan syarat yang mudah dulu yaitu untuk penjumlahannya dan operasi perkaliannya, setelah itu baru kita cari syarat nilai diskriminannya yang notabene lebih ribet dan sulit.

Sabtu, 27 Juni 2015

Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat


         Blog Koma - Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ secara umum mempunyai dua akar, misalkan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ . Operasi akar-akar yang dimaksud adalah operasi penjumlahan $(x_1+x_2)$, perkalian $(x_1.x_2)$, dan pengurangan $(x_1-x_2)$. Kalau secara konsep, untuk menentukan hasil jumlah, perkalian, dan pengurangan akar-akarnya kita harus menentukan nilai akar-akarnya terlebih dahulu misalnya dengan menggunakan pemfaktoran atau kuadrat sempurna atau rumus ABC, setelah itu baru kita tentukan operasi akar-akarnya. Hanya saja jika kita menentukan akar-akarnya dulu, maka butuh waktu lama, sehingga dengan rumus operasi akar-akar yang ada akan lebih mudah dan cepat.
Berikut operasi akar-akarnya :
(i). $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
(ii). $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
(iii). $ x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
         Untuk beberapa soal persamaan kuadrat, operasi akar-akar ketiga rumus di atas belum cukup karena rumus tersebut hanya untuk akar-akar pangkat satu. Ini artinya kita butuh beberapa rumus bantu agar mudah dalam menyelesaikan soal-soal yang ada.
Beberapa rumus bantu yang berguna :
1. Jumlah kuadrat : $ x_1^2+x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
2. Kuadrat jumlah : $ (x_1+x_2)^2 $
3. Selisih kuadrat : $ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) $
4. Kuadrat selisih : $ (x_1 - x_2 )^2 $
5. Jumlah pangkat tiga :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) $
6. Selisih pangkat tiga :
$ x_1^3 - x_2^3 = (x_1-x_3)^3+3x_1x_2(x_1-x_2) $
7. Jumlah pangkat empat : $ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2 $
8. Selisih pangkat empat : $ x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $
         Tentu masih kurang rasanya jika hanya disediakan rumus-rumus seperti di atas. Ada baiknya kita lihat contoh-contoh soalnya berikut.
Contoh 1.
Persamaan kuadrat $ x^2 - 3x -7 = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentukan nilai dari :
a. $ x_1 + x_2 \, \, \, $ b. $ x_1^3 + x_2^3 $
Penyelesaian :
Jika kita menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, maka akan sulit. Hal ini karena PK $ x^2 - 3x -7 = 0 \, $ sulit untuk difaktorkan. Sehingga kita langsung menggunakan operasi akar-akarnya.
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 - 3x -7 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -3, \, c = -7 $
a. $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, $
sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 3 $
b. $ x_1^3 + x_2^3 $
$\begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) \\ & = (\frac{-b}{a})^3-3.\frac{c}{a}.(\frac{-b}{a}) \\ & = (\frac{-(-3)}{1})^3-3.\frac{-7}{1}.(\frac{-(-3)}{1}) \\ & = (3)^3-3.(-7).(3) \\ & = 27 + 63 = 90 \end{align}$
sehingga nilai $ x_1^3 + x_2^3 = 90 $
Contoh 2.
Persamaan kuadrat $ x^2 +px +q = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Tentukan nilai dari jumlah kuadrat akar-akar dikalikan dengan selisih kuadrat akar-akarnya?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 +px +q = 0 \rightarrow a = 1, \, b = p, \, c = q $
yang ditanyakan adalah $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan soalnya
$\begin{align} & (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) \\ & = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2].[(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{D}}{a})] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a})] \\ & = [(\frac{-p}{1})^2 - 2.\frac{q}{1}].[(\frac{-p}{1})(\pm \frac{\sqrt{p^2-4.1.q}}{1})] \\ & = [p^2 - 2q].[(-p)(\pm \sqrt{p^2-4q})] \\ & = (2pq-p^3).(\pm \sqrt{p^2-4q}) \\ & = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) \end{align}$
Jadi, nilai $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) $
Contoh 3.
Jika jumlah akar-akar PK $ x^2 - px +5 =0 \, $ sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK $ x^2 - 3x + (p+2) = 0 \, $ . Tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi kasus ini?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK1 $ x^2 - px +5 =0 \, $ misalkan akar-akarnya $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$\spadesuit \, $ PK2 $ x^2 - 3x + (p+2) = 0 \, $ misalkan akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{p+2}{1} = p+2 $
$\spadesuit \, $ Jumlah akar-akar PK1 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK2, dapat ditulis : $ x_1 + x_2 = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ p $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} \\ x_1 + x_2 & = \frac{y_1 + y_2}{y_1.y_2} \\ p & = \frac{3}{p+2} \\ p (p+2) & = 3 \\ p^2 + 2p - 3& = 0 \\ (p+3)(p-1) & = 0 \\ p = -3 \vee p & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah $ p = -3 \vee p = 1 $ .
         Operasi akar-akar ini nantinya juga akan berguna dalam menentukan sifat-sifat akar yang akan dibahas pada artikel selanjutnya. Operasi akar-akar persamaan kuadrat sangat berguna karena kita tidak perlu mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Untuk membuktikan kebenaran rumus operasi akar-akar, kita bisa menggunakan rumus ABC dimana $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \, $ dan $ \, x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \, $, pasti hasilnya akan sesuai dengan rumus di atas yang sudah kita pelajari sebelumnya dan sudah kita aplikasikan ke beberapa contoh soal.

         Selain untuk sifat-sifat akar, operasi akar-akar juga akan sangat berguna untuk materi "menyusun persamaan kuadrat".Jadi, meskipun sudah lewat materi ini, tetap harus diingat karena akan tetap kita gunakan lagi.

Sebenarnya operasi akar-akar suatu persamaan tidak hanya sebatas pada persamaan kuadrat, akan tetapi juga berlaku untuk operasi akar-akar persamaan suku banyak (polinomial) yang tentu pangkatnya lebih dari dua (bisa berderajat 3, berderajat 4, dan seterusnya).

Jumat, 26 Juni 2015

Jenis - jenis Akar Persamaan Kuadrat


         Blog Koma - Pada rumus ABC sebelumnya , $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \, $ , bentuk $ D = b^2 - 4ac \, $ disebut sebagai nilai Diskriminan. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dapat ditentukan berdasarkan nilai Diskriminannya $(D) \, $ . Berdasarkan akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , persamaan kuadrat memiliki akar-akar maksimal sebanyak dua yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ .
Adapun jenis-jenis akar persamaan kuadratnya :
(i). Jika $ D \geq 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real)
(ii). Jika $ D > 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan berbeda
(iii). Jika $ D = 0 \, , $ maka kedua akarnya nyata (real) dan sama (kembar)
(iv). Jika $ D < 0 \, , $ maka kedua akarnya tidak nyata (imajiner) atau tidak punya akar real
(v). Jika $ D = p^2 \, $ (dengan $ p \, $ bilangan bulat) , maka kedua akarnya rasional.

      Dari kelima jenis akar di atas, tentu sobat bingung ya? OK, kami akan jelaskan tentang apa itu bilangan real, imajiner dan rasional.
Bilangan Real dan Imajiner
      Misalkan ada bilangan $ a = \sqrt{-1} \, $ , bilangan yang memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ inilah yang disebut dengan bilangan imajiner. Bentuk $ \sqrt{-1} \, $ biasanya disimbulkan dengan $ i \, $ dengan nilai $ i = \sqrt{-1} \, $ . Sementara bilangan real adalah bilangan yang tidak memuat bentuk $ \sqrt{-1} \, $ . Bilangan real termasuk semua bilangan bulat, pecahan, prima, rasional , irrasional, dan lainnya.
Contoh bilangan imajiner :
(i). $ \sqrt{-3} \, $ , karena $ \sqrt{-3} = \sqrt{3.(-1)} = \sqrt{3}.\sqrt{-1}=\sqrt{3}i $
(ii). $ - \sqrt{-1} \, $ , karena $ - \sqrt{-1} = - i $
Bilangan Rasional
      Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dirubah dalam bentu pecahan $ \frac{a}{b} \, $ dengan $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan bulat.
contoh bilangan rasional :
(i). $ 4 \, $ , karena $ 4 = \frac{4}{1} = \frac{8}{2} = \frac{12}{3} = .... $
(ii) . $ \frac{-3}{5} \, $ , jelas karena sudah berbentuk pecahan.
(iii). $ 0,555555.... \, $ , karena $ 0,555555.... = \frac{5}{9} $
sementara bentuk akar bukan bilangan rasional (contoh $\sqrt{2} \, $ ) tetapi disebut bilangan irrasional.
Bilangan Kompleks
      Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan hasil gabungan dari bilangan real dengan bilangan imajiner atau salah satunya, artinya bilangan kompleks adalah bilangan yang cakupannya paling luas.
contoh bilangan kompleks :
(i). $ 3-\sqrt{-2} \, $ , gabungan dari real dan imajiner .
(ii). 2 , bilangan real saja.
(iii). $ \sqrt{-5} \, $ , bilangan imajiner saja.
      Kita kembali pada jenis-jenis akar, berdasarkan nilai diskriminannya ($D$) , akar-akar PK dibagi menjadi lima jenis seperti yang tercantum di atas yaitu real, real beda, real sama/kembar, imajiner, dan rasional. Untuk lebih jelasnya, kita lihat contoh berikut.

Contoh 1.
Agar persamaan kuadrat $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \, $ memiliki akar kembar(sama), tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi.
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK : $ 2x^2 -3x + p-1 = 0 \rightarrow a = 2, \, b=-3 , \, c = p-1 $
$\spadesuit \, $ Syarat akar kembar : $ D = 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & = 0 \\ (-3)^2 - 4.2.(p-1) & = 0 \\ 9 - 8(p-1) & = 0 \\ 9 - 8p+8 & = 0 \\ 17 - 8p & = 0 \\ 8p & = 17 \\ p & = \frac{17}{8} \end{align}$
Jadi, agar akarnya kembar nilai $ p = \frac{17}{8} . \heartsuit $
Contoh 2.
Persamaan kuadrat $ x^2 - mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 \, $ mempunyai akar real (nyata), tentukan nilai $ m \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 - mx + \left( \frac{1}{2}m+2 \right) = 0 $
$ a = 1 , \, b = -m, \, c = \frac{1}{2}m+2 $
$\clubsuit \,$ Syarat akar-akar real : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac \geq 0 \\ (-m)^2 - 4.1.\left( \frac{1}{2}m+2 \right) \geq 0 \\ m^2 - 2m-8 \geq 0 \\ (m+2)(m-4) \geq 0 \\ m = -2 \vee m & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ m \, $ yang memenuhi agar akar-akarnya real adalah $ m \leq -2 \vee m \geq 4 \, $ . (menggunakan konsep pertidaksamaan). $ \heartsuit $
      Bagaimana dengan materi jenis-jenis akar persamaan kuadrat ini, menyenangkan bukan? Untuk contoh yang lainnya bisa dilihat pada soal-soal pendalaman persamaan kuadrat. Secara umum sebenarnya jenis-jenis akar dibagi menjadi dua yaitu akar real dan akar tidak real (imajiner). Kemudian akar-akar real dibagi lagi menjadi akar-akar berbeda, akar-akar sama (kembar), dan akar-akar rasional (atau tidak rasional).

      Semoga materi "jenis-jenis akar" ini bisa bermanfaat. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog ini.

Pembuktian Rumus ABC dengan Kuadrat Sempurna


         Blog Koma - Salah satu cara untuk menentukan akar-akar atau penyelesaian Persamaan Kuadrat $ ax^2+bx+c=0 \, $ adalah menggunakan rumus ABC. Bagi sobat yang sangat mengalami kesulitan dalam pemfaktoran pada persamaan kuadrat, Rumus ABC ini adalah cara termudah, tinggal menghafal rumusnya saja. Berikut adalah rumus ABC nya :

Rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

      Untuk membuktikan rumus ABC di atas, kita akan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Sobat masih ingatkan cara melengkapkan kuadrat sempurna? sifat yang digunakan pada kuadrat sempurna adalah $ x^2+px=(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \, $ .
Berikut pembuktian rumus ABC dengan kuadrat sempurna :
Diketahui Persamaan Kuadrat : $ ax^2+bx+c=0 $
$\begin{align} ax^2+bx+c & = 0 \, \, \, \, \text{ (bagi } a \text{ kedua ruas)} \\ x^2 + \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} & = 0 \\ x^2 + \frac{b}{a}x & = - \frac{c}{a} \\ \text{ gunakan } x^2+px & =(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} & = - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a})^2 & = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \\ (x + \frac{b}{2a}) & = \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = - \frac{b}{2a} \pm \frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \end{align}$
Jadi terbukti rumus ABC nya.
      dari pembuktian ini, dapat kita tarik kesimpulan bahwa rumus ABC itu diperoleh dari Melengkapkan kuadrat sempurna, artinya baik menggunakan rumus ABC atau kuadrat sempurna itu sama saja, hanya saja rumus ABC langsung menggunakan rumus jadinya saja dan lebih simpel.
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ -5x^2 - 3x +2 =0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ -5x^2 - 3x +2 =0 \rightarrow a = -5, \, b = -3, \, c = 2 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4.(-5).2}}{2.(-5)} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{-10} \\ x & = \frac{3 \pm 7}{-10} \\ x & = \frac{3 + 7}{-10} = \frac{10}{-10} = -1 \\ x & = \frac{3 - 7}{-10} = \frac{-4}{-10} = \frac{2}{5} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -1 \, $ atau $ x = \frac{2}{5} . \heartsuit $
      Pada rumus ABC, ada bentuk $ b^2 -4ac \, $ yang disebut dengan Diskriminan $ ( D = b^2-4ac) \, $ . Nilai Diskriminan ini sangat berguna pada persamaan kuadrat, terutama untuk menentukan jenis-jenis akarnya. Jadi harus diingat terus ya tentang Diskriminan.

      Rumus ABC ini sangat berguna bagi kita, terutama bagi teman-teman yang masih kesulitan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Rumus ABC ini selain bergna untuk menentukan akar-akar juga bisa sangat berguna untuk membuktikan rumus operasi akar-akar persamaan kuadrat.

      Semoga materi "pembuktian rumus ABC" ini bisa berguna untuk kita dalam mempelajari persamaan kuadrat baik bagi teman-teman SMP atau SMA atau yang ingin mempersiapkan diri mengikuti seleksi masuk perguruan tinggi negeri atau swasta.

Kamis, 25 Juni 2015

Menentukan Akar - Akar Persamaan Kuadrat (PK)


Pengertian akar - akar PK
         Blog Koma - Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki variabel/peubah $ x \, $ (nilai $ x \, $ bisa diganti atau disubstitusikan dengan sembarang nilai), nilai $ x \, $ yang menyebabkan nilai dari PK $ ax^2 + bx + c \, $ sama dengan nol disebut sebagai akar-akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan $ x \, $ merupakan suatu bilangan real. Setiap persamaan kuadrat biasanya memiliki akar paling banyak dua (karena pangkat dua), ini artinya persamaan kuadrat juga bisa saja tidak memiliki akar (maksudnya akar-akarnya tidak real).

Contoh 1.
PK : $ x^2 -3x-10=0 \, $ memiliki akar-akar $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $, karena kedua nilai $ x \, $ tersebut menyebabkan nilai dari $ x^2 -3x-10 \, $ sama dengan nol. Cekla kebenarannya!
Penyelesaian :
Untuk mengetahui kebenarannya, langsung saja kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke PK nya :
$\begin{align} x=-2 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (-2)^2 -3.(-2)-10 \\ & = 4 + 6 - 10 \\ & = 0 \\ x=5 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (5)^2 -3.5-10 \\ & = 25 -15- 10 \\ & = 0 \end{align}$
Setelah kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ , ternyata hasilnya benar sama dengan nol, artinya kedua nilai $ x \, $ tersebut adalah benar akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Contoh 2.
Apakah $ x = 1 \, $ merupakan akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 \, $ ?
Penyelesaian :
Langsung kita substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PK nya
$\begin{align} x=1 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (1)^2 -3.1-10 \\ & = 1-3 - 10 \\ & = -12 \\ \end{align}$
Setelah disubstitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PKnya, ternyata hasilnya tidak nol, itu artinya $ x = 1 \, $ bukan akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
         Bagaimana sobat, sudah mengertikan apa itu yang dimaksud dengan akar-akar atau penyelesaian dari suatu persamaan? Mudah-mudahan sudah ya sobat. Selanjutnya kita akan membahas tentang cara menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat.
Menentukan akar - akar PK
         Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, kita tidak mungkin akan mensubstitusikan satu-satu nilai $ x \, $ sehingga diperoleh sama dengan nol.
Ada tiga cara menentukan akar-akar suatu PK yaitu :
1). Pemfaktoran
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3). Rumus ABC
1). Pemfaktoran
Dalam pemfaktoran digunakan sifat perkalian berikut :
Jika $ ab=0 \, $ , maka $ a = 0 \, $ atau $ b = 0 $

Untuk teknik pemfaktoran PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dibagi menjadi dua berdasarkan nilai $ a \, $ yaitu nilai $ a = 1 \, $ dan $ a \neq 1 $
(i). Kasus pertama : nilai $ a = 1 $
PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ (x+p)(x+q) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + q = b \, $ dan $ p.q = c $
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ x^2-2x-8=0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2-2x-8=0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = -8 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -2 \\ p.q = -8 \end{array} \right\} \, p=2 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = -4 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} x^2-2x-8 & = 0 \\ (x+p)(x+q) & = 0 \\ (x+2)(x+(-4)) & = 0 \\ (x+2)(x-4) & = 0 \\ (x+2)=0 \rightarrow x & = -2 \\ (x-4) = 0 \rightarrow x & = 4 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -2 \, $ atau $ x = 4 \heartsuit $
(ii). Kasus kedua : nilai $ a \neq 1 $
*). PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + q = b \, $ dan $ p.q = ac $
atau cara yang kedua (caranya hampir mirip) :
**). PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ (ax+p)(x+q) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + aq = b \, $ dan $ p.q = c $
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 - x -10 =0 \, $ ?
Penyelesaian : cara I :
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -1 \\ p.q = 2.(-10) = -20 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 4 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) & = 0 \\ 2(x+\frac{-5}{2})(x+\frac{4}{2}) & = 0 \\ 2(x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5})=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
Penyelesaian : cara II:
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+aq = -1 \rightarrow p+2q=-1 \\ p.q = -10 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 2 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ (ax+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ (ax+p)(x+q) & = 0 \\ (2x-5)(x+2) & = 0 \\ (2x-5)=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna artinya mengubah bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu $ (x+p)^2 = q \, $ dengan $ q \geq 0 $ . Cara ini dipakai bila persamaan kuadrat sulit difaktorkan.
Sifat yang digunakan :
$x^2+px=(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \, $ dan $ x^2-px=(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 $
catatan : Nilai $ a \, $ harus dibuat sama dengan 1 terlebih dulu dengan cara dibagi.
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 3x^2-6x+1=0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ 3x^2-6x+1=0 \rightarrow a = 3 , \, b = -6, \, c = 1 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 3x^2-6x+1 & =0 \, \, \, \, \text{(pindahkan c = 1 ke ruas kanan)} \\ 3x^2-6x & = -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3 agar a = 1 )} \\ x^2-2x & = \frac{-1}{3} \\ & \left[ \text{gunakan } x^2-px =(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \right] \\ (x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - (1)^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - 1 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 & = \frac{-1}{3} + 1 \\ (x-1)^2 & = \frac{2}{3} \\ (x-1) & = \pm \sqrt{\frac{2}{3} } \\ x & = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3} } = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = 1 + \frac{1}{3}\sqrt{6} \, $ atau $ x = 1 - \frac{1}{3}\sqrt{6} \heartsuit $
3). Rumus ABC
Penyelesaian PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat diselesaikan dengan rumus ABC :
Rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
Rumus ABC ini dapat digunakan untuk semua jenis pertidaksamaan yang akar-akarnya real.
Catatan : nilai $ D = b^2-4ac \, $ disebut nilai Diskriminan ($D$) dari PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ yang digunakan untuk menentukan jenis-jenis akarnya.
Untuk pembuktian rumus ABC ini, dapat menggunakan cara kedua yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Jika sobat tertarik untuk melihat pembuktiannya, silahkan klik link ini : Cara pembuktian Rumus ABC dengan kuadrat sempurna.
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 - 5x -1 =0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - 5x -1 =0 \rightarrow a = 2, \, b = -5, \, c = -1 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4.2.(-1)}}{2.2} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} \\ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, \text{ atau } \, & \, \, x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, $ atau $ x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \heartsuit $
         Akar-akar persamaan kuadrat sangat penting dalam materi persamaan kuadrat karena setelah kita mengenal bentuk umum persamaan kuadrat maka kita akan melanjutkan dengan menentukan akar-akarnya. Biasanya akar-akar yang dipelajari adalah sebatas akar-akar bilangan real untuk tingkat SMP dan SMA, semetara akar-akar tidak real (imajiner) hanya sebatas syaratnya saja (tidak sampai menentukan akar-akar imajinernya).

         Tapi kita tidak cukup hanya tahu tentang cara menetukan akar-akarnya, karena terkadang soal-soal tertentu sudah diketahui operasi akar-akarnya dan sudah diketahui jenis-jenis akarnya. Artinya tidak cukup bagi kita hanya sebatas bisa mencari akar-akarnya saja, tapi harus lebih dari itu.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat (PK)


         Blog Koma - Persamaan kuadrat (PK) adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi variabel/peubahnya adalah 2 .
Adapun bentuk umum persamaan kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 $
dengan $ a, \, b, \, c \in R \, $ dan $ a \neq 0 $
Keterangan :
$ x \, $ disebut variabel atau peubah
$ a \, $ adalah koefisien $ x^2 $
$ b \, $ adalah koefisien $ x $
$ c \, $ disebut konstanta
Berikut contoh - contoh persamaan kuadrat :
Contoh 1.
Berikut adalah contoh persamaan kuadrat :
(i) . $ 2x^2 - 3x + 5 = 0 $
(ii) . $ x^2 - 6 = 0 $
(iii) . $ 3x^2 = 0 $

Contoh 2.
Dari bentuk persamaan kuadrat berikut, tentukan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c $
(i). $ 3x^2 + 5x^2 - 7 = 0 $
(ii) . $ x^2 - 3x + 2 = 0 $
(iii) . $ mx^2 +(n+1)x +m-5 = 0 $
(iv) . $ 3x - x^2 + mx + 9 = 0 $
Penyelesaian :
Bentuk umum persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
(i). $ 3x^2 + 5x^2 - 7 = 0 \rightarrow a = 3, \, b = 5 , \, c = -7 $
(ii) . $ x^2 - 3x + 2 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -3 , \, c = 2 $
(iii) . $ mx^2 +(n+1)x +m-5 = 0 \rightarrow a = m, \, b = (n+1) $
$ c = (m-5) $
Untuk (iv) , kelompokkan dulu suku-suku yang sejenis :
$ 3x - x^2 + mx + 9 = 0 \rightarrow -x^2 + (m+3)x + 9 $
sehingga diperoleh : $ a = -1, \, b = (m+3) , \, c = 9 $

Contoh 3.
Dari persamaan berikut, manakah yang merupakan persamaan kuadrat ? (i) . $ 2x - 3 = 0 $
(ii) . $ x - \frac{2}{x} + 3 = 0 $
(iii) . $ 2x^3 - 2x + 8 = 0 $
(iv) . $ x^2 - x + \frac{5}{x} + 1 = 0 $
(v) . $ (2x-1)(3-x) = 0 $
Penyelesaian :
(i) . Bukan persamaan kuadrat karena pangkat tertingginya satu.
(ii) . Kalikan $ x \, $ kedua ruas, diperoleh : $ x^2 - 2 + 3x = 0 $
sehingga (ii) adalah persamaan kuadrat.
(iii) . termasuk persamaan kuadrat.
(iv) . Kalikan $ x \, $ kedua ruas, diperoleh : $ x^3 - x^2 + 5 + x = 0 $
sehingga (iv) bukan persamaan kuadrat.
(v) . Kalikan persamaan :
$ (2x-1)(3-x) = 0 \rightarrow 6x - 2x^2 - 3 + x = 0 $
sehingga (v) termasuk persamaan kuadrat.


         Setelah sobat mengerti tentang apa itu yang namanya persamaan kuadrat, maka berikutnya sobat harus tau cara menentukan akar-akar atau penyelesaiannya, tentang jenis-jenis akarnya, operasi akar-akar, sifat-sifat akar, dan cara menyusun persamaan kuadrat.

         Bentuk umum persamaan kuadrat ini sangat penting bagi kita untuk menguasainya, terutama untuk nilai masing-masing $a, \, b, \, $ dan $ c \, $. Persamaan kuadrat adalah salah satu materi dalam matematika yang biasanya selalu ditampilkan pada soal-soal baik itu Ujian Nasional maupun soal-soal Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri seperti SBMPTN, UM-UGM (UTUL), SIMAK UI, dan lainnya.

         Kalau menurut kami, persamaan kuadrat ini adalah salah satu materi yang bisa kita kuasai dengan mudah, asalkan teman-teman harus banyak latihan soal-soalnya. Semangat belajarnya teman-teman, pasti bisa.