Tampilkan posting dengan label persamaan dan pertidaksamaan linear. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label persamaan dan pertidaksamaan linear. Tampilkan semua posting

Rabu, 10 Februari 2016

Uji Kompetensi 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear serta Aritmetika Sosial kelas VII Kurikulum 2013

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel kali ini kita akan membahas Uji Kompetensi 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear serta Aritmetika Sosial kelas VII Kurikulum 2013 yang merupakan bagian dari pemantapan materi Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel serta Aritmetika Sosial. Untuk memudahkan memahami pembahasan yang ada, silahkan baca dulu materinya pada artikel "menghitung untung dan rugi serta persentasenya", "Konsep Diskon atau Rabat, Bruto, Neto, dan Tara" dan "Bunga Tabungan Bank dan Pajak". Pada Uji Kompetensi 2 ini ada 10 soal.

Soal 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut :
a). $ 3y+15 = 5y - 1 $
b). $ \frac{3a+18}{4} = \frac{10a-2}{3} $
c). $ \frac{1}{2}(3x-6) = \frac{2}{3}(2x-3) $
d). $ 2 + \frac{11}{b} = 7\frac{1}{2} $
Penyelesaian :
a). $ 3y+15 = 5y - 1 $
$ \begin{align} 3y+15 & = 5y - 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 15)} \\ 3y+15 - 15 & = 5y - 1 - 15 \\ 3y & = 5y - 16 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan } 5y) \\ 3y - 5y & = 5y - 16 - 5y \\ -2y & = -16 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -2)} \\ \frac{-2y}{-2} & = \frac{-16}{-2} \\ y & = 8 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ y = \{8\} $.

b). $ \frac{3a+18}{4} = \frac{10a-2}{3} $
Penyebutnya adalah 4 dan 3, kalikan 12 (KPK dari kedua bilangan).
$ \begin{align} \frac{3a+18}{4} & = \frac{10a-2}{3} \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan 12)} \\ \frac{3a+18}{4} \times {12} & = \frac{10a-2}{3} \times 12 \\ 3(3a+18) & = 4(10a-2) \\ 9a + 54 & = 40a - 8 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 54)} \\ 9a + 54 - 54 & = 40a - 8 - 54 \\ 9a & = 40a - 62 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan } 40a) \\ 9a - 40a & = 40a - 62 - 40a \\ -31a & = -62 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -31 )} \\ \frac{-31a}{-31} & = \frac{-62 }{-31} \\ a & = 2 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ a = \{ 2 \} $.

c). $ \frac{1}{2}(3x-6) = \frac{2}{3}(2x-3) $
Penyebutnya adalah 2 dan 3, kalikan 6 (KPK dari kedua bilangan).
$ \begin{align} \frac{1}{2}(3x-6) & = \frac{2}{3}(2x-3) \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan 6)} \\ \frac{1}{2}(3x-6) \times 6 & = \frac{2}{3}(2x-3) \times 6 \\ 3(3x-6) & = 4(2x-3) \\ 9x - 18 & = 8x - 12 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 18)} \\ 9x - 18 + 18 & = 8x - 12 + 18 \\ 9x & = 8x + 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan } 8x) \\ 9x - 8x & = 8x + 6 - 8x \\ x & = 6 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ 6 \} $.

d). $ 2 + \frac{11}{b} = 7\frac{1}{2} $
$ \begin{align} 2 + \frac{11}{b} & = 7\frac{1}{2} \\ 2 + \frac{11}{b} & = \frac{15}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 2)} \\ 2 + \frac{11}{b} - 2 & = \frac{15}{2} - 2 \\ \frac{11}{b} & = \frac{11}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 11)} \\ \frac{1}{b} & = \frac{1}{2} \\ b & = 2 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ b = \{ 2 \} $.
Soal 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
a). $ 2x - 6 \geq 8x + 5 $
b). $ \frac{1}{2}x + 5 > 15 $
c). $ \frac{2}{3}p + 4 \leq 8 $
d). $ \frac{2y-7}{2} < 3 $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 6 \geq 8x + 5 \, $
$\begin{align} 2x - 6 & \geq 8x + 5 \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 6)} \\ 2x - 6 + 6 & \geq 8x + 5 + 6 \\ 2x & \geq 8x + 11 \, \, \, \, \, \text{(kurangkan } 8x) \\ 2x - 8x & \geq 8x + 11 - 8x \\ -6x & \geq 11 \, \, \, \, \, \text{(bagikan -6, tanda dibalik)} \\ \frac{-6x }{-6} & \leq \frac{11}{-6} \\ x & \leq - \frac{11}{6} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ \{ x \leq - \frac{11}{6} \} $.

b). $ \frac{1}{2}x + 5 > 15 $
$\begin{align} \frac{1}{2}x + 5 & > 15 \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 5)} \\ \frac{1}{2}x + 5 - 5 & > 15 - 5 \\ \frac{1}{2}x & > 10 \, \, \, \, \, \text{(kalikan 2)} \\ \frac{1}{2}x \times 2 & > 10 \times 2 \\ x & > 20 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ \{ x > 20 \} $.

c). $ \frac{2}{3}p + 4 \leq 8 $
$\begin{align} \frac{2}{3}p + 4 & \leq 8 \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 4)} \\ \frac{2}{3}p + 4 - 4 & \leq 8 - 4 \\ \frac{2}{3}p & \leq 4 \, \, \, \, \, \text{(kalikan 3)} \\ \frac{2}{3}p \times 3 & \leq 4 \times 3 \\ 2p & \leq 12 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ p & \leq 6 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ \{ p \leq 6 \} $.

d). $ \frac{2y-7}{2} < 3 $
$\begin{align} \frac{2y-7}{2} & < 3 \, \, \, \, \, \text{(kalikan 2)} \\ \frac{2y-7}{2} \times 2 & < 3 \times 2 \\ 2y-7 & < 6 \, \, \, \, \, \text{(jumlahkan 7)} \\ 2y-7 + 7 & < 6 + 7 \\ 2y & < 13 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \frac{2y}{2} & < \frac{13}{2} \\ y & < \frac{13}{2} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya : $ \{ y < \frac{13}{2} \} $.
Soal 3.
Buat persamaan yang memuat variabel di kedua sisi. Solusi dari persamaan tersebut adalah bulan lahir ditambah tanggal lahir kalian.
Penyelesaian :
*). Misalkan lahir tanggal 12 April, sehingga jawabannya $ 12 + 4 = 16 $.
*). Salah satu persamaannya adalah $ 2y - 15 = y + 1 $.
*). Menyelesaiakannya :
$ \begin{align} 2y - 15 & = y + 1 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 15)} \\ 2y - 15 + 15 & = y + 1 + 15 \\ 2y & = y + 16 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan } y) \\ 2y - y & = y + 16 - y \\ y & = 16 \end{align} $
Sehingga solusinya adalah $ y = 16 $ .
Soal 4.
Buatlah soal cerita yang berbentuk persamaan linear $ 3 - 5x = 7 $.
Penyelesaian :
*). Salah satu soal ceritanya : $ 3 - 5x = 7 $
Tiga derajat dikurangkan dengan lima kali suhu suatu kota sama dengan tujuh derajat.
Soal 5.
Ubahlah pertidaksamaan berikut ke dalam permasalahan sehari-hari:
a). $ 5a - 1 < 6 $
b). $ 7 \geq 3x $.
Penyelesaian :
a). $ 5a - 1 < 6 $
Lima kali umur wati dikurangkan dengan 1 tahun hasilnya kurang dari 6 tahun.

b). $ 7 \geq 3x $.
Jumlah kelereng Budi adalah 7. Jumlah kelereng Budi tidak kurang dari 3 kali lipat jumlah kelereng Iwan.
Soal 6.
Seorang ibu membeli sekarung beras seharga Rp150.000,00. Bila pada karung beras tertera bruto 50 kg dan tara 1 kg. Berapakah keuntungannya bila dijual tiap kg-nya Rp3.500,00?
Penyelesaian :
*). Menentukan Neto :
Neto = Bruto - Tara = 50 - 1 = 49 kg.
*). Menentukan harga jual dan beli :
Harga jual $ = 49 \times 3.500 = 171.500 $.
Harga Beli $ = 150.000 $.
*). Menentukan keuntungannya :
Untung = Jual - Beli = 171.500 - 150.000 = 21.500 $.
Jadi, keuntungannya adalah Rp21.500,00.
Soal 7.
Seoerang pedagang membeli 3 lusin buku dengan harga Rp64.800,00. Dua lusin buku terjual dengan harga Rp2.500,00 per buku dan 1 lusin buku dengan harga Rp1.750,00 per buku. Tentukan :
a). Keuntungan atau kerugian pedagang tersebut.
b). Persentase keuntungan atau kerugian pedagang tersebut.
Penyelesaian :
*). Menentukan harga jual dan beli keseluruhan :
Harga Beli = 64.800.
1 lusin = 12 buah.
Dua lusin ($2 \times 12 = 24 \, $ buah) dijual dengan 2.500 per buku,
$ 24 \times 2.500 = 60.000 $
Satu lusin dijual dengan 1.750 per buku,
$ 12 \times 1.750 = 21.000 $
Harga Jual = $ 60.000 + 21.000 = 81.000 $.

a). Karena harga jual lebih besar dari harga beli, maka mengalami keuntungan.
*). Menentukan keuntungan :
Untung = jual - beli = 81.000 - 64.800 = 16.200.

b). Menentukan persentase keuntungan :
$ \%U = \frac{U}{B} \times 100\% = \frac{16.200}{64.800} \times 100\% = 25 \% $.
Jadi, persentase keuntungannya adalah 25%.
Soal 8.
Seorang penjual terompet membuat 50 terompet dengan biaya Rp2.000,00 per terompet. Kemudian ia menjual 30 terompet dengan harga Rp3.000,00 per terompet dan dan sisanya dijual dengan harga Rp3.500,00 per terompet.
a). Hitunglah laba yang diperoleh penjual terompet.
b). Berapa persentase labanya?
Penyelesaian :
*). Menentukan harga jual dan beli :
Harga Beli $ = 50 \times 2.000 = 100.000 $.
Harga Jual $ = 30 \times 3.000 + 20 \times 3.500 = 160.000 $.
a). Keuntungannya :
Untung = Jual - Beli = 160.000 - 100.000 = 60.000 .

b).Persentase keuntungannya :
$ \%U = \frac{U}{B} \times 100\% = \frac{60.000}{100.000} \times 100\% = 60 \% $.
Jadi, persentase keuntungannya (laba) adalah 60%.
Soal 9.
Seorang karyawan memperoleh gaji sebesar Rp4.500.000,00 perbulan dengan penghasilan tidak kena pajak Rp1.500.000,00. Jika besar pajak penghasilan (pph) 10%, maka berapa penghasilan yang diterima karyawan tersebut setiap bulannya?
Penyelesaian :
*). Besar uang yang kena pajak :
4.500.000 - 1.500.000 = 3.000.000 .
*). Menentukan besarnya pajak :
besar pajak $ = 10\% \times 3.000.000 = 300.000 $.
*). Total penghasilan per bulan :
Penghasilan = 4.500.000 - 300.000 = 4.200.000 .
Jadi, setiap bulan karyawan tersebut memperoleh penghasilan sebesar Rp4.200.000,00.
Soal 10.
Mega menyimpan uang di bank sebesar Rp2.000.000,00 dengan suku bunga 18% seetahun dengan bunga tunggal. Tentukan :
a). Besar bunga pada arkhir bulan ketiga.
b). Besar bunga pada arkhir bulan keenam.
c). Besarnya uang setelah 2 tahun.
Penyelesaian :
*). Diketahui : suku bunga $ b\% = 18\% \, $ setahun dan M = 2.000.000,-
*). Karena suku bunganya per tahun, maka waktunya diubah dalam tahun.
Besarnya Bunga $ = n \times b\% \times M $
Modal akhir : $ M_n = B + M $.

a). Besar bunga pada arkhir bulan ketiga.
tiga bulan $ = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \, $ tahun.
Besar Bunganya $ = \frac{1}{4} \times 18\% \times 2.000.000 = 90.000 $.
Sehingga besarnya bunga adalah Rp90.000,00.

b). Besar bunga pada arkhir bulan keenam.
enam bulan $ = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \, $ tahun.
Besar Bunganya $ = \frac{1}{2} \times 18\% \times 2.000.000 = 180.000 $.
Sehingga besarnya bunga adalah Rp180.000,00.

c). Besarnya uang setelah 2 tahun.
Besar Bunganya $ = 2 \times 18\% \times 2.000.000 = 720.000 $.
Sehingga besarnya bunga adalah Rp720.000,00.

*). Tabungan akhir setelah 2 tahun :
$ M_n = M + B = 2.000.000 + 720.000 = 2.720.000 $.
Sehingga besar uangnya menjadi Rp2.720.000,00.

Selasa, 02 Februari 2016

Pembahasan Latihan 2.3 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada Pembahasan Latihan 2.3 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013 ini lebih menekankan pada soal-soal yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel dan juga lebih menenkankan "soal ceritanya". Pada latihan 2.3 ini ada 5 soal yang akan kita selesaikan.
         Latihan 2.3 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013 ini menurut kami lebih seru dan menarik dibandingkan dengan soal-soal sebelumnya pada latihan 2.1 dan 2.2, karena selain harus menguasai dengan baik materi pertidaksamaan linearnya juga kita harus mampu mengaplikasikannya dalam soal cerita yang bahkan berkaitan langsung dengan kehidupan kita sehari-hari. Butuh imajinasi yang tinggi untuk mampu mengerjakan soal-soal yang ada terutama bagi siswa/siswi setingkat SMP.

Soal 1.
Ubahlah masalah-masalah berikut ke dalam bentuk pertidaksamaan linear satu variabel.
a). Sebuah bus dapat mengangkut tidak kurang dari 60 penumpang.
b). Jarak rumah Bondi ke sekolah lebih dari seratus meter.
c). Penghasilan ibu Monika tidak lebih dari Rp 2.000.000,00 setia bulan.
d). Sebuah pesawat berada diketinggian tidak kurang dari 3.000 kaki di atas permukaan laut.
e). Kecepatan Udin berkendara tidak lebih dari 50 km/jam.
Penyelesaian :
a). Sebuah bus dapat mengangkut tidak kurang dari 60 penumpang.
Misalkan $ x \, $ menyatakan banyaknya penumpang yang diangkut oleh bus.
Kata "tidak kurang dari" sesuai dengan tanda "$ \geq$".
Sehingga Sebuah bus dapat mengangkut tidak kurang dari 60 penumpang dapat ditulis $ x \geq 60 $.
Jadi, pertidaksamaan linear satu variabelnya adalah $ x \geq 60 $.

b). Jarak rumah Bondi ke sekolah lebih dari seratus meter.
Mislakan $ y \, $ menyatakan jarak rumah ke sekolah,
Kata "lebih dari" sesuai dengan tanda "$>$".
Sehingga pertidaksamaan linear satu variabelnya : $ y > 100 \, $.

c). Penghasilan ibu Monika tidak lebih dari Rp 2.000.000,00 setia bulan.
Mislakan $ a \, $ menyatakan penghasilan ibu Monika,
Kata "tidak lebih dari" sesuai dengan tanda "$\leq$".
Sehingga pertidaksamaan linear satu variabelnya : $ a \leq 2.000.000 $.

d). Sebuah pesawat berada diketinggian tidak kurang dari 3.000 kaki di atas permukaan laut.
Mislakan $ z \, $ menyatakan ketinggian pesawat,
Kata "tidak kurang dari" sesuai dengan tanda "$\geq$".
Sehingga pertidaksamaan linear satu variabelnya : $ z \geq 3.000 $.

e). Kecepatan Udin berkendara tidak lebih dari 50 km/jam.
Mislakan $ x \, $ menyatakan kecepatan berkendara,
Kata "tidak lebih dari" sesuai dengan tanda "$\leq$".
Sehingga pertidaksamaan linear satu variabelnya : $ x \leq 50 $.
Soal 2.
Ubahlah pertidaksamaan linear berikut ke dalam permasalahan sehar-hari.
a). $ x > 10 $,
b). $ 2y \leq 50 $,
c). $ 2x + 3 > 4 $
Penyelesaian :
a). Misalkan $ x \, $ menyatakan banyak kelereng yang dibawa oleh Budi.
Bentuk $ x > 10 , \, $ dapat dijabarkan menjadi : Setiap hari Budi membawa kelereng ke sekolah lebih dari 10 kelereng.

b). Misalkan $ y \, $ menyatakan banyak soal matematika yang dikerjakan oleh Wati setiap bulan.
Bentuk $ 2y \leq 50 \, $ dapat dijabarkan : Nabila mampu mengerjakan soal matematika sebanyak dua kali banyaknya soal yang dikerjakan oleh Wati dan banyaknya soal yang dikerjakan oleh Nabila tidak lebih dari 50 soal setiap bulan.

c). Bentuk $ 2x + 3 > 4 \, $ dapat dijabarkan : Dua kali buku yang dibawa oleh Sandi ditambahkan dengan 3 buku jumlahnya lebih dari 4 buku.
Soal 3.
Tentukan selesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel berikut.
a). $ \frac{3x - 1}{4} < \frac{x}{2} - 1 $ ,
b). $ 2x - (4 + x) \geq - 22 $ ,
c). $ 2x - 4 > 3x + 9 $
Penyelesaian :
a). $ \frac{3x - 1}{4} < \frac{x}{2} - 1 $ ,
Untuk bentuk pecahan, kita kalikan KPK dari penyebutnya.
Penyebutnya adalah 4 dan 2 dengan KPK 4, sehingga dikali 4.
$ \begin{align} \frac{3x - 1}{4} & < \frac{x}{2} - 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4 \times \frac{3x - 1}{4} & < 4 \times \left( \frac{x}{2} - 1 \right) \\ 3x - 1 & < 4 \times \frac{x}{2} - 4 \times 1 \\ 3x - 1 & < 2x - 4 \, \, \, \, \, \text{(ditambahkan 1)} \\ 3x - 1 + 1 & < 2x - 4 + 1 \\ 3x & < 2x - 3 \, \, \, \, \, \text{(dikurangkan } 2x) \\ 3x - 2x & < 2x - 3 -2x \\ x & < -3 \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ x < - 3 \} $.

b). $ 2x - (4 + x) \geq - 22 $ ,
$ \begin{align} 2x - (4 + x) & \geq - 22 \\ 2x - 4 - x & \geq - 22 \\ x - 4 & \geq - 22 \, \, \, \, \, \text{(ditambahkan 4)} \\ x - 4 + 4 & \geq - 22 + 4 \\ x & \geq -18 \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ x \geq -18 \} $.

c). $ 2x - 4 > 3x + 9 $
$ \begin{align} 2x - 4 & > 3x + 9 \, \, \, \, \, \text{(ditambahkan 4)} \\ 2x - 4 + 4 & > 3x + 9 + 4 \\ 2x & > 3x + 13 \, \, \, \, \, \text{(dikurangkan } 3x ) \\ 2x - 3x & > 3x + 13 - 3x \\ -x & > 13 \, \, \, \, \, \text{(dikalikan -1, tanda dibalik)} \\ -x \times (-1) & < 13 \times (-1) \\ x & < -13 \end{align} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ \{ x < -13 \} $.
Soal 4.
Suatu segitiga sama kaki memiliki panjang kaki sama dengan 5 kali panjang sisi lainnya. Agar keliling segitiga tersebut lebih dari 50 m, berapakah panjang masing-masing sisi segitiga tersebut.?
Penyelesaian :
*). Misalkan panjang sisi lainnya (sisi alasnya) adalah $ x \, $ m.
Panjang kaki segitiganya adalah $ 5x \, $ .
Berikut gambar segitiga sama kakinya,
Dengan kaki-kakinya adalah sisi AB dan AC.
*). Model matematikanya :
Kelilingnya lebih dari 50 m, dapat ditulis :
$ \begin{align} \text{ Keliling segitiga } & > 50 \\ AB + BC + AC & > 50 \\ 5x + x + 5x & > 50 \\ 11x & > 50 \, \, \, \, \, \text{(bagi 11)} \\ \frac{11x}{11} & > \frac{50}{11} \\ x & > \frac{50}{11} \end{align} $
*). Panjang sisi masing-masing segitiga dengan $ x > \frac{50}{11} $
AB $ = 5x > 5 \times \frac{50}{11} = \frac{250}{11} $
AC $ = 5x > 5 \times \frac{50}{11} = \frac{250}{11} $
BC $ = x > \frac{50}{11} $
Jadi, panjang alasnya lebih dari $ \frac{50}{11} \, $ m, panjang sisi kakinya lebih dari $ \frac{250}{11} \, $ m .
Soal 5.
Pak Ketut berencana akan membangun rumah di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 30 m dan lebar ($2y+1$) m. Jika luas tanah pak Ketut tidak lebih dari 150 m$^2$, tentukan :
a). Lebar tanah pak Ketut yang paling besar.
b). Biaya maksimal untuk membangun 1 m$^2$ dibutuhkan biaya Rp 4.500.000, berapakah biaya maksimal yang harus disediakan pak Ketut?
Penyelesaian :
*). Menyusun model matematika (pertidaksamaan linear satu varabel),
Kata luas "tidak lebih dari" sesuai dengan tanda "$\leq$",
Luas tanah tidak lebih dari 150, dapat ditulis :
Luas $ = p \times l = 30\times (2y + 1) \leq 150 $.
a). Menentukan lebar tanah paling besar dari
$ \begin{align} 30\times (2y + 1) & \leq 150 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 30)} \\ \frac{30\times (2y + 1)}{30} & \leq \frac{150}{30} \\ 2y + 1 & \leq 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kurangkan 1)} \\ 2y + 1 - 1 & \leq 5 - 1 \\ 2y & \leq 4 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \frac{2y}{2} & \leq \frac{4}{2} \\ y & \leq 2 \end{align} $
Artinya nilai $ y \, $ minimalnya adalah 2.
Sehingga lebar tanah paling besar $ = 2y + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5 \, $ m.

b). Menentukan luas dan biaya maksimal,
Luas maksimal $ = p \times l = 30 \times 5 = 150 \, $ m$^2$.
Biaya maksimal $ = 150 \times 4.500.000 = 675.000.000 $
Jadi, biaya maksimal yang harus disediakan adalah Rp 675.000.000

       Demikian Pembahasan Latihan 2.3 Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013. Jika ada kekeliruan dalam penyelesaiannya, mohon kritik dan saranya agar penyelesaiannya menjadi lebih baik dengan memberikan komentar di kotak komentar di bawah. Semoga pembahasannya bisa bermanfaat untuk kita semua. Terima kasih.

Senin, 01 Februari 2016

Penyelesaian Latihan 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013

         Blog Koma - Matematika SMP : Halow teman-teman, mari kita lanjutkan pembahasan Latihan 2.2 yang ada pada buku kelas VII kurikulum 2013 dengan judul artikelnya adalah Penyelesaian Latihan 2.2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013. Materi dasar yang harus dikuasai untuk menjawab dan memahami pembahasan soal-soal latihan 2.2 ini kita harus menguasai materi "pernyataan dan kalimat terbuka", "persamaan linear satu variabel", "pertidaksamaan linear satu variabel", dan "soal cerita persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel". Pada latihan 2.2 ini ada 10 soal yang akan kita selesaikan.

Soal 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.
a). $ 24 m = 12 $,
b). $ 3z + 11 = -28 $,
c). $ 25 + 4y = 6y + 15 $,
d). $ -4x - 15 = 1 - 8x $,
e). $ \frac{6}{a} + 2 = 4 $.
Penyelesaian :
a). $ 24 m = 12 $,
$ \begin{align} 24 m & = 12 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 24)} \\ \frac{24 m}{24} & = \frac{12}{24} \\ m & = \frac{1}{2} \end{align} $

b). $ 3z + 11 = -28 $,
$ \begin{align} 3z + 11 & = -28 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 11)} \\ 3z + 11 - 11 & = -28 - 11 \\ 3z & = -39 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3z}{3} & = \frac{-39}{3} \\ z & = -13 \end{align} $

c). $ 25 + 4y = 6y + 15 $,
$ \begin{align} 25 + 4y & = 6y + 15 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 25)} \\ 25 + 4y - 25 & = 6y + 15 - 25 \\ 4y & = 6y - 10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 6y) \\ 4y - 6y & = 6y - 10 - 6y \\ -2y & = -10 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -2)} \\ \frac{-2y}{-2} & = \frac{-10}{-2} \\ y & = 5 \end{align} $

d). $ -4x - 15 = 1 - 8x $,
$ \begin{align} -4x - 15 & = 1 - 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 15)} \\ -4x - 15 + 15 & = 1 - 8x + 15 \\ -4x & = 16 - 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } 8x) \\ -4x + 8x & = 16 - 8x + 8x \\ 4x & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x }{4} & = \frac{16}{4} \\ x & = 4 \end{align} $

e). $ \frac{6}{a} + 2 = 4 $.
$ \begin{align} \frac{6}{a} + 2 & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ \frac{6}{a} + 2 - 2 & = 4 - 2 \\ \frac{6}{a} & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } a) \\ \frac{6}{a} \times a & = 2 \times a \\ 6 & = 2 a \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{ 6}{2} & = \frac{2 a }{2} \\ 3 & = a \end{align} $
Soal 2.
Jika $ x \, $ adalah bilangan asli, tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan linear berikut.
a). $ 6x + 5 = 26 - x $ ,
b). $ 2 - 4x = 3 $ ,
c). $ x - 12 = 2x + 36 $ ,
d). $ -5x - 4x = 1 - 8x $ ,
e). $ 2 + \frac{x}{4} = 5 $ .
Penyelesaian :
*). Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari 1,
secara detail himpunan bilangan asli : $ \{1,2,3,4,5,...\}. $
*). Nilai $ x \, $ harus bagian dari himpunan bilangan asli di atas, jika tidak maka dianggap tidak mempunyai penyelesaian.

a). $ 6x + 5 = 26 - x $ ,
$ \begin{align} 6x + 5 & = 26 - x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 5)} \\ 6x + 5 - 5 & = 26 - x - 5 \\ 6x & = 21 - x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } x) \\ 7x & = 21 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 7)} \\ \frac{7x}{7} & = \frac{21}{7} \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ 3 \} $.

b). $ 2 - 4x = 3 $ ,
$ \begin{align} 2 - 4x & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 - 4x - 2 & = 3 - 2 \\ -4x & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -4)} \\ \frac{-4x}{-4} & = \frac{1}{-4} \\ x & = -\frac{1}{4} \end{align} $
Karena nilai $ x = -\frac{1}{4} , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tidak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

c). $ x - 12 = 2x + 36 $ ,
$ \begin{align} x - 12 & = 2x + 36 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 12)} \\ x - 12 + 12 & = 2x + 36 + 12 \\ x & = 2x + 48 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ x - 2x & = 2x + 48 - 2x \\ -x & = 48 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -1)} \\ x & = - 48 \end{align} $
Karena nilai $ x = -48 , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tidak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

d). $ -5x - 4x = 1 - 8x $ ,
$ \begin{align} -5x - 4x & = 1 - 8x \\ -9x & = 1 - 8x \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan } 8x) \\ -9x + 8x & = 1 - 8x + 8x \\ -x & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -1)} \\ x & = -1 \end{align} $
Karena nilai $ x = -1 , \, $ dan bukan merupakan bilangan asli, maka tidak ada penyelesaian (himpunan kosong).
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ \} $.

e). $ 2 + \frac{x}{4} = 5 $ .
$ \begin{align} 2 + \frac{x}{4} & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 + \frac{x}{4} - 2 & = 5 - 2 \\ \frac{x}{4} & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 4)} \\ \frac{x}{4} \times 4 & = 3 \times 4 \\ x & = 12 \end{align} $
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ x = \{ 12 \} $.
Soal 3.
Selesaikan persamaan linear berikut.
a). $ 2 - \frac{2}{3}x = 4 $ ,
b). $ \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) = 0 $ ,
c). $ \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} = 2x + 3 $ .
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan penyelesaian persamaan linear bentuk pecahan, maka hilangkan penyebutnya terlebih dahulu dengan mengalikan KPK dari semua penyebut yang ada.

a). $ 2 - \frac{2}{3}x = 4 $ ,
$ \begin{align} 2 - \frac{2}{3}x & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2 - \frac{2}{3}x - 2 & = 4 - 2 \\ - \frac{2}{3}x & = 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan -3)} \\ - \frac{2}{3}x \times (-3) & = 2 \times (-3) \\ 2x & = -6 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x }{2} & = \frac{-6}{2} \\ x & = -3 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x = -3 $.

b). $ \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) = 0 $ ,
*). Penyebutnya adalah 4 dan 2 dengan KPK 4, sehingga dikalikan 4.
$ \begin{align} \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) & = 0 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} & \\ 4 \times \left( \frac{3}{4}(x+3) + \frac{1}{2}(x-1) \right) & = 0 \times 4 \\ 4 \times \left( \frac{3}{4}(x+3) + 4 \times \frac{1}{2}(x-1) \right) & = 0 \\ 3(x+3) + 2(x-1) & = 0 \\ 3x + 9 + 2x - 2 & = 0 \\ 5x + 7 & = 0 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 7)} & \\ 5x + 7 - 7 & = 0 - 7 \\ 5x & = - 7 \\ \text{(kedua ruas dibagikan 5)} & \\ \frac{5x }{5} & = \frac{ - 7}{5} \\ x & = -\frac{ 7}{5} \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x = -\frac{ 7}{5} $.

c). $ \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} = 2x + 3 $ .
*). Penyebutnya adalah 3 dan 2 dengan KPK 6, sehingga dikalikan 6.
$ \begin{align} \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} & = 2x + 3 \\ \text{(kedua ruas dikalikan 6)} & \\ 6 \times \left( \frac{2x - 3}{3} + \frac{4x+4}{2} \right) & = 6 \times (2x + 3 ) \\ 2(2x - 3) + 3(4x+4) & = 12x + 18 \\ 4x - 6 + 12x + 12 & = 12x + 18 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan } 12x) & \\ 4x - 6 + 12 & = 18 \\ 4x + 6 & = 18 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 6)} & \\ 4x + 6 - 6 & = 18 - 6 \\ 4x & = 12 \\ \text{(kedua ruas dibagi 4)} & \\ \frac{4x }{4} & = \frac{ 12 }{4} \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x = 3 $.
Soal 4.
Jika $ 3x + 12 = 7x - 8 , \, $ tentukanlah nilai dari $ \, x + 2 $ .
Penyelesaian :
$ \begin{align} 3x + 12 & = 7x - 8 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 12)} \\ 3x + 12 - 12 & = 7x - 8 - 12 \\ 3x & = 7x - 20 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 7x) \\ 3x - 7x & = 7x - 20 - 7x \\ -4x & = -20 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -4)} \\ \frac{-4x}{-4} & = \frac{-20}{-4} \\ x & = 5 \end{align} $
kita peroleh penyelesaiannya adalah $ x = 5 $.
Sehingga nilai $ x + 2 = 5 + 2 = 7 $.
Jadi, nilai $ x + 2 = 7 $.
Soal 5.
Seorang ayah berumur 28 tahun ketika anaknya lahir. Berapakah umur anak itu ketika jumlah umur mereka 48 tahun?
Penyelesaian :
*). Misalkan umur anaknya $ x \, $ tahun.
Sehingga umur ayahnya : $ x + 28 $.
*). Jumlah umur mereka 48 tahun,
Menyusun persamaan linear satu variabel dan menyelesaikannya :
$ \begin{align} \text{umur ayah} + \text{umur anak} & = 48 \\ (x + 28) + x & = 48 \\ 2x + 28 & = 48 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 28)} & \\ 2x + 28 - 28 & = 48 - 28 \\ 2x & = 20 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x}{2} & = \frac{20}{2} \\ x & = 10 \end{align} $
Jadi, umur si anak adalah 10 tahun.
Soal 6.
Diketahui harga 1 kg buah anggur adalah tiga kali harga 1 kg buah duku. Jika Tino membeli 2 kg buah anggur dan 5 kg buah duku, ia harus membayar Rp 38.500,00. Berapakah harga 1 kg buah anggur dan 1 kg buah duku?. Jika ia ingin membeli 4 kg buah anggur dan 5 kg buah duku, berapa yang harus dibayarnya?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan linearnya (model matematika),
Misalkan harga 1 kg buah duku adalah $ x \, $ rupiah,
*). Harga 1 kg anggur adalah tiga kali lipat buah duku,
sehingga harga 1 kg buah anggur adalah $ 3x $.
*). Harga 2 kg anggur dan 5 kg duku adalah 38.500
$ \begin{align} 2 \times (\text{1 kg anggur}) + 5 \times (\text{1 kg duku}) & = 38.500 \\ 2 \times (3x) + 5 \times (x) & = 38.500 \\ 6x + 5x & = 38.500 \\ 11x & = 38.500 \end{align} $
Sehingga persamaan linear satu variabelnya adalah $ 11x = 38500 $.
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} 11x & = 38.500 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11x}{11} & = \frac{38.500}{11} \\ x & = 3500 \end{align} $
*). Harga masing-masing buah :
1 kg buah anggur harganya : $ 3x = 3 \times 3500 = 10500 $.
1 kg buah duku harganya : $ x = 3500 $.
*). Menentukan harga 4 kg buah anggur dan 5 kg buah duku
$ \begin{align} \text{Harga } & = \text{4 kg buah anggur} + \text{5 kg buah duku} \\ & = 4 \times 10500 + 5 \times 3500 \\ & = 42000 + 17500 \\ & = 59500 \end{align} $
Jadi, harus membayar Rp 59.500,00.
Soal 7.
Suatu bilangan jika dikalikan 4, dan dikurangkan 6, maka sama dengan 54, berapakah bilangan itu?
Penyelesaian :
*). Misalkan bilangan tersebut adalah $ x \, $
*). Kita susun persamaan linearnya,
dikalikan 4, dan dikurangkan 6, maka sama dengan 54
Persamaannya : $ 4x - 6 = 54 $.
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 4x - 6 & = 54 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 6)} \\ 4x - 6 + 6 & = 54 + 6 \\ 4x & = 60 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x}{4} & = \frac{60}{4} \\ x & = 15 \end{align} $
Jadi, bilangan tersebut adalah 15.
Soal 8.
Diketahui harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal. Seorang pedagang membeli 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal. Pedagang tersebut harus membayar Rp 275.000,00.
a). Buatlah model matematika dari keterangan di atas.
b). Seleaikan model matematika tersebut. Kemudian tentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan linearnya (model matematika),
Misalkan harga sepasang sandal adalah $ x \, $ rupiah,
*). harga sepasang sepatu dua kali harga sepasang sandal,
sehingga harga sepasang sepatu adalah $ 2x $.
*). Harga 4 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah 275.000
$ \begin{align} 4 \times (\text{harga sepatu}) + 3 \times (\text{harga sandal}) & = 275.000 \\ 4 \times (2x) + 3 \times (x) & = 275.000 \\ 8x + 3x & = 275.000 \\ 11x & = 275.000 \end{align} $
a). Sehingga model matematikanya : $ 11x = 275.000 $.

b). Menyelesaikan model matematikanya.
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} 11x & = 275.000 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11x}{11} & = \frac{275.000}{11} \\ x & = 25.000 \end{align} $
*). Harga masing-masing :
harga sepasang sepatu : $ 2x = 2 \times 25.000 = 50.000 $.
harga sepasang sandal : $ x = 25.000 $.
*). Menentukan harga 3 pasang sepatu dan 5 pasang sandal
$ \begin{align} \text{Harga } & = \text{3 pasang sepatu} + \text{5 pasang sandal} \\ & = 4 \times 50.000 + 5 \times 25.000 \\ & = 200.000 + 125.000 \\ & = 325.000 \end{align} $
Jadi, harganya adalah Rp 325.000,00.
Soal 9.
Dua bilangan berselisih 25. Jika 2 kali bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil adalah 175, tentukanlah bilangan itu.
Penyelesaian :
*). Misalkan dua bilangan tersebut adalah $ x \, $ dan $ y \, $ dengan $ x > y $
Persamaan pertama :
Dua bilangan berselisih 25 : $ x - y = 25 \rightarrow x = y + 25 $
artinya : bilangan pertama $ y \, $ dan bilangan kedua $ y + 25 $ .
Persamaan kedua :
2 kali bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil adalah 175
$ 2x - y = 175 \, $ .
Persamaannya dan penyelesaiannya :
$ \begin{align} 2x - y & = 175 \\ 2(y+25) - y & = 175 \\ 2y + 50 - y & = 175 \\ y + 50 & = 175 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 50)} \\ y + 50 - 50 & = 175 - 50 \\ y & = 125 \end{align} $
Diperoleh nilai $ y = 125 $
dan $ x = y + 25 = 125 + 25 = 150 $.
Jadi, kedua bilangan tersebut adalah 125 dan 150.
Soal 10.
Diketahui jumlah dua bilangan adalah 100 dan selisihnya adalah 40. Bagaimana nilai dua bilangan tersebut dapat dinyatakan dua linear satu variabel.
Penyelesaian :
*). Misalkan bilangan pertama dan kedua adalah $ x \, $ dan $ y \, $ dengan $ y > x $.
Jumlah kedua bilangan adalah 100,
$ x + y = 100 \rightarrow y = 100 - x \, $ ...pers(i)
Selisih kedua bilangan adalah 40,
$ y - x = 40 \, $ ....pers(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 100 - x \rightarrow y - x & = 40 \\ (100-x) - x & = 40 \end{align} $
Jadi, bentuk dua linear satu variabelnya adalah $ (100-x) - x = 40 \, $ yang bisa diselesaikan untuk proses selanjutnya.

Sabtu, 30 Januari 2016

Pembahasan Latihan 2.1 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013

         Blog Koma - Matematika SMP : Setelah membahas semua materi yang berkaitan dengan Persamaan dan Pertidaksamaan Linear satu Variabel yang ada pada kelas VII kurikulum 2013, kita akan melanjutkan artikel khusus Pembahasan Latihan 2.1 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel kelas VII Kurikulum 2013. Materi dasar yang harus dikuasai untuk menjawab dan memahami pembahasan soal-soal latihan 2.1 ini kita harus menguasai materi "pernyataan dan kalimat terbuka", "persamaan linear satu variabel", "pertidaksamaan linear satu variabel", dan "soal cerita persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel". Pada latihan 2.1 ini ada 8 soal yang akan kita selesaikan.

Soal 1.
Nyatakan kalimat berikut "Benar" atau "Salah"
a). 8 adalah faktor dari 12.
b). Jika bilangan $ x \, $ dikalikan dua, hasilnya seperempat dari 48.
c). Diagonal-diagonal bangun datar persegi panjang saling berpotongan tegak lurus.
Penyelesaian :
a). 8 adalah faktor dari 12.
Yang dimaksud dengan faktor adalah perbaginya.
Faktor positif dari 12 yaitu {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Artinya 8 bukan faktor dari 12.
Jadi kalimat (a) ini "Salah".

b). Jika bilangan $ x \, $ dikalikan dua, hasilnya seperempat dari 48.
Kalimat ini tidak bisa ditentukan kebenarannya karena masih memuat variabel $ x \, $. Sehingga kalimat (b) ini disebut "kalimat terbuka".

c). Diagonal-diagonal bangun datar persegi panjang saling berpotongan tegak lurus.
Diagonal-diagonal persegi panjang berpotongan tidak tegak lurus sehingga kalimat (c) "Salah".
Soal 2.
Natakan kalimat berikut ini dengan "kalimat terbuka" atau "kalimat tertutup".
a). Hari ini adalah hari rabu.
b). Suatu bilangan dikurangi 2 hasilnya 6.
c). 4 kali $ p \, $ sama dengan 20.
d). Samarinda adalah ibukota provinsi Kalimantan Timur.
e). $ 2 + 3 = 6 $.
f). $ 4b - 9 = 4b - 9 $.
Penyelesaian :
*). Pengertian kalimat terbuka dan kalimat tertutup yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel,
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum bisa ditentukan kebenarannya (apakah kalimat itu sudah benar atau sudah salah).
Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan kebenarannya (salah saja atau benar saja).
a). Hari ini adalah hari rabu.
Termasuk "kalimat terbuka" karena kita belum tau pasti hari ini hari apa.

b). Suatu bilangan dikurangi 2 hasilnya 6.
Termasuk "kalimat terbuka" karena kita belum tau pasti bilangan yang dimaksud nilainya berapa.

c). 4 kali $ p \, $ sama dengan 20.
Termasuk "kalimat terbuka" karena memuat variabel yang kita belum tau nilai pastinya.

d). Samarinda adalah ibukota provinsi Kalimantan Timur.
Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti benar.

e). $ 2 + 3 = 6 $.
Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti salah.

f). $ 4b - 9 = 4b - 9 $. Termasuk "kalimat tertutup" karena kalimat ini sudah pasti benar.
Soal 3.
Manakah di bawah ini yang merupakan persamaan linear satu variabel (PLSV):
a). $ 2x - 4 = 8 $
b). $ -4 + 3s = 24 $
c). $ -8 - d^2 = 32 $
d). $ 5(u-2) = u - 2 $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 4 = 8 $
Variabelnya $ x \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.

b). $ -4 + 3s = 24 $
Variabelnya $ s \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.

c). $ -8 - d^2 = 32 $
Variabelnya $ d \, $ dengan pangkat 2, sehingga bukan termasuk PLSV.

d). $ 5(u-2) = u - 2 $
Variabelnya $ u \, $ dengan pangkat 1, sehingga termasuk PLSV.
Soal 4.
Tentukan nilai $ x \, $ , jika
$ (2x+1)+(2x+2)+(2x+3)+...+(2x+50) = 4.275 $
Penyelesaian :
*). Menentukan jumlah dari $ 1 + 2 + 3 + ... + 50 \, $ dengan 50 bilangan.
Misalkan hasil penjumlahannya :
$ 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 = p $
yang akan sama juga dengan $ 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 = p $.
Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} p = 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 & \\ p = 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 & + \\ \hline 2p = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} & \\ \end{array} $
*). Dari bentuk $ 2p = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} \, $
$ \begin{align} 2p & = \underbrace{51 + 51 + 51 + ...+ 51 + 51}_{\text{sebanyak } 50} \\ 2p & = 50 \times 51 \\ p & = \frac{50 \times 51 }{2} \\ p & = 25 \times 51 \\ p & = 1275 \end{align} $
Artinya nilai $ 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 = p = 1275 $.
Sebenarnya ada rumus untuk menghitung deret ini yaitu menggunakan deret aritmatika yang akan adik-adik pelajari di kelas IX SMP.
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} (2x+1)+(2x+2)+(2x+3)+...+(2x+50) & = 4.275 \\ \text{(kelompokan bentuk } 2x) & \\ (\underbrace{2x + 2x + ...+ 2x}_{\text{sebanyak } 50} ) + ( \underbrace{1 + 2 + 3 + ...+ 50}_{\text{sebanyak } 50} ) & = 4.275 \\ 50 \times (2x) + 1275 & = 4.275 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 1275)} & \\ 100x + 1275 - 1275 = 4.275 & - 1275 \\ 100x & = 4000 \\ \text{(kedua ruas dibagi 100)} & \\ \frac{100x}{100} & = \frac{4000}{100} \\ x & = 40 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah 40.
Soal 5.
Pesawat mula-mula terbang pada ketinggian 3.500 kaki di atas permukaan laut. Karena gumpalan awan, pesawat terbang naik sampai ketinggian 8000 kaki. Tentukan kenaikan posisi pesawat. ?
Penyelesaian :
*). Menyusun model matematikanyan,
Misalkan $ x \, $ menyatakan kenaikan posisi pesawat dari ketinggian 3.500 kaki sampi 8.000 kaki.
Persamaan linear satu variabelnya yaitu : $ 3.500 + x = 8.000 $
*). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 3.500 + x & = 8.000 \\ \text{(kedua ruas dikurangkan 3.500)} & \\ 3.500 + x - 3.500 & = 8.000 - 3.500 \\ x & = 4.500 \end{align} $
Jadi, pesawat terbang mengalami kenaikan sebesar 4.500 kaki dari ketinggian 3.500 kaki sebelumnya.
Soal 6.
Harga 1 kg alpukat satu bulan yang lalu RP 6.000,00. Karena sekarang musim alpukat, harganya dipasaran turun hingga Rp 2.000,00 per kg. Coba tentukan harga penurunan alpukat dengan penjumlahan bilangan bulat.
Penyelesaian :
*). Misalkan $ y \, $ menyatakan harga penurunan alpukat.
Harganya dari 6.000 turun menjadi 2.000 artinya dikurangkan sebesar $ y \, $,
Sehingga persamaannya : $ 6000- y = 2000 $.
*). Menentukan nilai $ y $,
$ \begin{align} 6000- y & = 2000 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 6000)} \\ 6000- y - 6000 & = 2000 - 6000 \\ -y & = - 4000 \\ y & = 4000 \end{align} $
Jadi, terjadi penurunan sebesar Rp 4.000,00.
Soal 7.
Jumlah dua bilangan asli genap berurutan adalah 40. Jika bilangan pertama adalah $ a \, $, maka
a). Tentukan bilangan kedua dalam $ a $,
b). Susunlah persamaan dalam $ a \, $ , kemudian selesaikanlah,
c). Tentukan kedua bilangan itu.
Penyelesaian :
a). Bilangan genap berurutan pasti memiliki selisih 2 antara dua bilangan yang berdekatan, artinya bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan 2 pada bilangan sebelumnya. Misalnya : 2, 4, 6, 8, 10, dan seterusnya.
Bilangan pertama adalah $ a \, $ , maka
bilangan kedua adalah $ a + 2 $.

b). Jumlh kedua bilangan adalah 40,
$ \begin{align} \text{bilangan pertama } + \text{ bilangan kedua } & = 40 \\ a + (a + 2) & = 40 \\ 2a + 2 & = 40 \end{align} $
Sehingga persamaannya dalam $ a \, $ adalah $ 2a + 2 = 40 $.
*). Menyelesaikan persamaannya,
$ \begin{align} 2a + 2 & = 40 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 2)} \\ 2a + 2 - 2 & = 40 - 2 \\ 2a & = 38 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2 )} \\ \frac{2a}{2} & = \frac{38}{2} \\ a & = 19 \end{align} $
Sehingga kita peroleh nilai $ a = 19 $.
Catatan : Ternyata pada soal ini yang diminta bukan jumlah bilangan genap berurutan, akan tetapi bilangan ganjil berurutan. Mungkin ada kesalahan pengetikan dari pihak pembuat soalnya.

c). Menentukan kedua bilangannya,
Bilangan pertama adalah $ a = 19 \, $ , maka
bilangan kedua adalah $ a + 2 = 19 + 2 = 21 $.
Soal 8.
Lina menyiapkan 40 kotak kue untuk ulang tahunnya. Kue tersebut dibawa ke kelas untuk dibagikan ke teman sekelasnya masing-masing mendapatkan satu kotak kue. karena ada temannya yang tidak masuk, maka ada kotak kue yang tersisa.
a). Buatlah kalimat pernyataan yang menyatakan banyaknya kue yang dibagikan dengan murid yang tidak masuk.
b). Bila yang tidak masuk 3 orang, berapakah kotak kue yang dibagikan.
Penyelesaian :
a). Misalkan yang tidak masuk sebanyak $ x $,
Kalimat pernyataannya adalah : dari 40 kotak kue ternyata ada $ x \, $ orang yang tidak mendapat bagian (karena tidak masuk), sehingga kotak kue yang dibagikan sebanyak $ 40 - x $.

b). Yang tidak masuk ada 3 orang, artinya $ x = 3 $,
sehingga banyak kotak kue yang dibagikan yaitu $ 40 - x = 40 - 3 = 37 $ .
Jadi, ada 37 kotak kue yang dibagikan.

Jumat, 29 Januari 2016

Soal Cerita Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

         Blog Koma - Matematika SMP : Setelah kita mempelajari "persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel", kita akan lanjutkan lagi pada pembahasan yang terkait dengan soal cerita yang tentunya akan lebih menantang lagi untuk kita pelajari.

         Pada artikel ini kita akan khusus membahas materi Soal Cerita Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel. Agar mudah mempelajari materi ini, sebaiknya pelajari dulu materi "penyelesaian persamaan linear satu variabel" dan "pertidaksamaan linear satu variabel".

Penyelesaian Soal Cerita Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Untuk menyelesaikan soal cerita, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian, kita selesaikan berdasarkan persamaan atau pertidaksamaan.

       Model matematika adalah kalimat terbuka yang memuat variabel yang memiliki hubungan persamaan atau pertidaksamaan. Silahkan baca pengertian kalimat terbuka pada artikel "Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup".

Contoh soal cerita persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel :
1). Budi membeli 20 permen di warung yang ada di dekat rumahnya. Ketika sudah di rumah, adik-adiknya (Iwan, Wayan, dan Wati) meminta permen tersebut sehingga permen Budi tersisa 11 biji. Berapa banyak permen yang diminta oleh ketiga adiknya Budi?
Penyelesaian :
*). Membuat model matematikanya,
Misalkan banyaknya permen yang diminta oleh adiknya budi sebanyak $ x \, $ permen. Maka model matematikanya yaitu : $ 20 - x = 11 $
Bentuk persamaan linear satu variabel $ 20 - x = 11 \, $ artinya dari 20 permen diberikan $ x \, $ permen ke adik-adinya dan sisanya 11 permen.
*). Menentukan nilai $ x \, $
$ \begin{align} 20 - x & = 11 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 20)} \\ 20 - x - 20 & = 11 - 20 \\ -x & = -9 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } -1) \\ (-1) \times (-x) & = (-1) \times (-9) \\ x & = 9 \end{align} $
Jadi, ada 9 permen yang diberikan Budi kepada adik-adiknya.

2). Setiap hari Fitri menyisihkan uang jajannya untuk ditabung di rumah. Setelah 11 hari uang Fitri menjadi Rp 154.000,00. Berapa rupiahkah Fitri menyisihkan uangnya setiap hari?
Penyelesaian :
*). Membuat model matematika,
Misalkan setiap hari Fitri menyisihkan uangnya sebesar $ y \, $ rupiah.
Model matematikanya : $ 11 \times y = 154.000 \, $ yang artinya setiap hari menyisihkan uang sebesar $ y \, $ selama 11 hari dengan total tabungannya Rp 154.000,000.
sehingga terbentuk persamaan linear satu variabel : $ 11 \times y = 154.000 $ .
*). Menentukan nilai $ y $
$ \begin{align} 11 \times y & = 154.000 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11 \times y}{11} & = \frac{154.000}{11} \\ y & = 14.000 \end{align} $
Jadi, Fitri menyisihkan uangnya setiap hari sebesar Rp 14.000,00 .

3). Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 108. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian :
*). Model matematikanya,
Bilangan genap berurutan pasti memiliki selisih 2 antara dua bilangan yang berdekatan, misalnya 2,4,6,8,10, dan seterusnya.
Misalkan bilangan pertamanya adalah $ a \, $.
Ketiga bilangan genapnya yaitu :
bilangan pertama : $ a $ ,
bilangan kedua : $ a + 2 $ ,
bilangan ketiga : $ (a + 2) + 2 = a + 4 $ ,
Jumlah ketiga bilangannya adalah 108, sehingga model matematikanya :
$ a + (a+2) + (a + 4) = 108 \rightarrow 3a + 6 = 108 $.
sehingga terbentuk persamaan linear satu variabel : $ 3a + 6 = 108 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} 3a + 6 & = 108 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 6)} \\ 3a + 6 - 6 & = 108 - 6 \\ 3a & = 102 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3a}{3} & = \frac{102}{3} \\ a & = 34 \end{align} $
Sehingga bilangannya :
bilangan pertama : $ a = 34$ ,
bilangan kedua : $ a + 2 = 34 + 2 = 36 $ ,
bilangan ketiga : $ a + 4 = 34 + 4 = 38 $ ,
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 34, 36, 38.

4). Sebuah persegi panjang mempunyai ukuran panjang ($3x - 4$) cm dan lebar ($x + 1$) cm.
a. Tulislah rumus kelilingnya dan nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.
b. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.
Penyelesaian :
*). Untuk rumus keliling dan luas persegi panjang, silahkan baca pada artikel "Sifat, Keliling, dan Luas Persegi Panjang".
a). Keliling persegi panjang, dengan $ p = 3x - 4 \, $ dan $ l = x + 1 $
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 2p + 2l \\ & = 2(3x - 4) + 2(x+ 1) \\ & = 6x - 8 + 2x + 2 \\ & = 8x - 6 \end{align} $
Sehingga keliling persegi panjangnya adalah ($8x - 6$).
b). Menentukan nilai $ x \, $ dengan kelilingnya 34.
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 34 \\ 8x - 6 & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 6)} \\ 8x - 6 + 6 & = 34 + 6 \\ 8x & = 40 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 8)} \\ \frac{8x}{8} & = \frac{40}{8} \\ x & = 5 \end{align} $
*). Menentukan panjang dan lebarnya dengan nilai $ x = 5 $,
$ p = 3x - 4 = 3 \times 5 - 4 = 15 - 4 = 11 $
$ l = x + 1 = 5 + 1 = 6 $
*). Menentukan luas persegi panjanga :
Luas $ = p \times l = 11 \times 6 = 66 $.
Jadi, luas persegi panjangnya adalah 66 cm$^2$.

5). Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah petani tersebut.
Penyelesaian :
*). model matematika,
Misalkan panjang tanah = $ x $ maka lebar tanah = $ x - 6$.
Keliling $ = 2p + 2l = 2x + 2(x-6) = 2x + 2x - 12 = 4x - 12 $.
*). Menentukan nilai $ x \, $ dengan kelilingnya 60,
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 4x - 12 & = 60 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 12)} \\ 4x - 12 + 12 & = 60 + 12 \\ 4x & = 72 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x}{4} & = \frac{72}{4} \\ x & = 18 \end{align} $
Sehingga : $ p = x = 18 \, $ dan $ l = x - 6 = 18 - 6 = 12 $.
*). Menentukan luas persegi panjanga :
Luas $ = p \times l = 18 \times 12 = 216 $.
Jadi, luas tanahnya adalah 216 m$^2$.

Penyelesaian Soal Cerita Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Untuk soal cerita yang berkaitan dengan pertidaksamaan, poin penting yang harus kita pahami adalah penggunaan tanda ketaksamaannya ($>, \, \geq , \, \leq , \, < $).

Berikut kata-kata yang biasa dipakai pada soal cerita dan tanda ketaksamaan yang sesuai :
*). Tanda $ < \, $ dipakai jika ada kata-kata : kurang dari, lebih kecil, tidak lebih dari atau sama dengan, tidak lebih besar atau sama dengan.

*). Tanda $ \leq \, $ dipakai jika ada kata-kata : kurang dari atau sama dengan , lebih kecil atau sama dengan, sebesar-besarnya, maksimum, maksimal, tidak lebih dari.

*). Tanda $ > \, $ dipakai jika ada kata-kata : lebih dari, lebih besar, tidak lebih kecil atau sama dengan, tidak kurang dari atau sama dengan.

*). Tanda $ \geq \, $ dipakai jika ada kata-kata : lebih dari atau sama dengan, lebih besar atau sama dengan, tidak kurang dari, sekecil-kecilnya, minimum, minimal.

Contoh soal cerita pertidaksamaan linear satu variabel :
6). Umur Budi dan Iwan masing-masing ($5x - 2$) dan ($ 2x + 4$). Jika umur Budi lebih dari umur Iwan, maka tentukan nilai $ x $.
Penyelesaian :
*). Menyusun model matematikanya,
Kata yang digunakan "lebih dari", sehingga menggunakan tanda "$>$".
Umur Budi lebih dari umur Iwan,
Pertidaksamaan linear satu variabelnya : $ 5x - 2 > 2x + 4 $.
*). Menentukan nilai $ x \, $
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 5x - 2 & > 2x + 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 5x - 2 + 2 & > 2x + 4 + 2 \\ 5x & > 2x + 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ 5x - 2x & > 2x + 6 -2x \\ 3x & > 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3x}{3} & > \frac{6}{3} \\ x & > 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah $ x > 2 $.

7). Rumah ibu Suci dibangun di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 20 m dan lebar ($6y-1$) m. Jika luas tanah ibu Suci tidak kurang dari 100 m$^2$.
a). Berapa lebar minimal tanah ibu Suci?
b). Jika biaya untuk membangun rumah seluas 1 m$^2$ adalah Rp 2.000.000,00. Berapakah biaya minimal yang harus disediakan ibu suci jika seluruh tanahnya dibangun rumah?
*). Model matematika,
Luas $ = p \times l = 20 \times (6y - 1) = 120y - 20 $.
Kata yang digunakan luas "tidak kurang dari", sehingga tandanya "$\geq$".
Model matematikanya : Luas $ \geq 100 \rightarrow 120y - 20 \geq 100 $.
Sehingga pertidaksamaannya : $ 120y - 20 \geq 100 $.
a). Menentukan nilai $ y $,
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 120y - 20 & \geq 100 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 20)} \\ 120y - 20 + 20 & \geq 100 + 20 \\ 120y & \geq 120 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 120)} \\ \frac{120y}{120} & \geq \frac{120}{120} \\ y & \geq 1 \end{align} $
kita peroleh nilai minimal $ y \, $ adalah $ y = 1 \, $ karena $ y \geq 1 $ .
Sehingga lebar minimalnya : $ l = 6y - 1 = 6 \times 1 -1 = 6 - 1 = 5 \, $ m.
Jadi, lebar tanah minimal ibu Suci adalah 5 m.

b). Biaya akan minimal jika luas tanah minimal, sehingga panjangnya 20 m dan lebarnya 5 m.
Luas minimal $ = p \times l = 20 \times 5 = 100 \, $ m$^2$.
Biaya minimal $ = 100 \times 2.000.000 = 200.000.000 $.
Jadi, biaya minimal yang harus disiapkan oleh ibu Suci untuk membangun rumah di atas seluruh tanahnya adalah Rp 200.000.000,00.

8). Pak Fredy memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 500 kg. Berat pak Fredy adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.
a). Tentukan banyak kotak paling banyak yang dapat diangkut oleh pak Fredy dalam sekali pengangkutan?
b). Jika pak Fredy akan mengangkut 115 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak itu akan terangkut semua?
Penyelesaian :
*). Model matematika,
Misalkan $ x \, $ menyatakan banyaknya kotak yang diangkut oleh mobil untuk sekali jalan.
Setiap kotak beratnya 20 kg, sehingga $ x \, $ kotak beratnya $ 20x $.
Total berat sekali jalan adalah berat kotak ditambah berat pak Fredy yaitu $ 20x + 60 $.
Daya angkut mobil tidak lebih dari, sehingga tandanya "$\leq$".
Daya angkut tidak lebih dari 500 kg ditulis $ 20x + 60 \leq 500 $.
a). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 20x + 60 & \leq 500 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 60)} \\ 20x + 60 - 60 & \leq 500 - 60 \\ 20x & \leq 440 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 20)} \\ \frac{20x}{20} & \leq \frac{440}{20} \\ x & \leq 22 \end{align} $
Dari $ x \leq 22 \, $ kita peroleh nilai maksimum dari $ x \, $ adalah 22, artinya setiap kali jalan mobil box mampu mengangkut paling banyak 22 kotak.

b). Agar pengangkutan dilakukan sesedikit mungkin, maka setiap kali jalan harus bisa membawa kotak paling banyak yaitu 22 kotak.
Misalkan $ y \, $ menyatakan banyaknya keberangkatan (perjalanan),
Setiap kali jalan mengangkut 22 kotak, sehingga untuk $ y \, $ perjalanan akan terangkut $ 22y \, $ kotak.
Akan diangkut 115 kotak, artinya untuk semua perjalanan minimal harus 115 kotak harus terangkut. Sehingga model matematikanya : $ 22y \geq 115 $,
*). Menentukan nilai $ y \, $
$ \begin{align} 22y & \geq 115 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 22)} \\ \frac{22y}{22} & \geq \frac{115}{22} \\ y & \geq 5,227 \end{align} $
Dari $ y \geq 5,227 \, $ dan $ y \, $ bilangan bulat positif(banyaknya perjalanan), maka nilai terkecil dari $ y \, $ adalah 6.
Jadi, paling sedikit 6 kali perjalanan untuk mengankut 115 kotak.

9). Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang ($x + 5$) cm, lebar ($x - 2$) cm, dan tinggi $ x $ cm.
a). Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam $ x $.
b). Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.
Penyelsaian :
*). Gambar baloknya.
a). Misalkan $ K \, $ menyatakan total panjang kawat yang dibutihkan untuk membuat kerangka balok. Total panjang kawat yang dibutuhkan adalah jumlah dari semua rusuknya, sehingga panjang $ K \, $ yaitu :
$ \begin{align} K & = 4p + 4l + 4t \\ & = 4(x+5) + 4(x-2) + 4x \\ & = 4x + 20 + 4x - 8 + 4x \\ & = 12x + 12 \end{align} $
Jadi, panjang kawatnya adalah $ K = 12x + 12 $.

b). Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis $ K = 12x + 12 \leq 132 \, $ cm,
sehingga diperoleh :
$ \begin{align} 12x + 12 & \leq 132 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 12)} \\ 12x + 12 - 12 & \leq 132 - 12 \\ 12x & \leq 120 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 12)} \\ \frac{12x}{12} & \leq \frac{120}{12} \\ x & \leq 10 \end{align} $
Dari bentuk $ x \leq 10 \, $ , maka nilai maksimum dari $ x \, $ adalah 10.
*). Menentukan ukuran balok :
Panjang $ = x + 5 = 10 + 5 = 15 \, $ cm ,
Lebar $ = x - 2 = 10 - 2 = 8 \, $ cm ,
Tinggi $ = x = 10 \, $ cm.
Jadi, ukuran maksimum balok adalah ($15 \times 8 \times 10$) cm.

Kamis, 28 Januari 2016

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

         Blog Koma - Matematika SMP : Pada artikel ini kita akan membahas materi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel yang merupakan lanjutan dari materi sebelumnya yaitu "Persamaan Linear Satu Variabel". Untuk memudahkan mempelajari materi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel, silahkana baca dulu "Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup" terutama tentang kalimat terbuka.

Pengertian Pertidaksamaan
       Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan ketidaksamaan ( menggunakan tanda ketaksamaan : $<, >$, $\leq$ , atau $ \geq$ ) disebut pertidaksamaan.

Cara membaca tanda ketaksamaan :
$ < \, $ dibaca kurang dari,
$ \leq \, $ dibaca kurang dari atau sama dengan,
$ > \, $ dibaca lebih dari,
$ \geq \, $ lebih dari atau sama dengan.

       Grafik himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik). Demikian halnya pada pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh Soal.
1). Misalkan $ x \, $ adalah bilangan bulat. Apa arti dari pertidaksamaan berikut ini,
a). $ x < 2 $
b). $ x \leq 2 $
c). $ x > 2 $
d). $ x \geq 2 $
Penyelesaian :
a). $ x < 2 $
Bentuk $ x < 2 \, $ dibaca $ x \, $ kurang dari 2, artinya nilai $ x \, $ lebih kecil dari 2 (angka 2 tidak termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ ...,-3,-2,-1,0,1 \} $.
Garis bilangannya :

b). $ x \leq 2 $
Bentuk $ x \leq 2 \, $ dibaca $ x \, $ kurang dari atau sama dengan 2, artinya nilai $ x \, $ lebih kecil dari 2 serta sama dengan 2 (angka 2 termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ ...,-3,-2,-1,0,1,2 \} $.
Garis bilangannya :

c). $ x > 2 $
Bentuk $ x > 2 \, $ dibaca $ x \, $ lebih dari 2, artinya nilai $ x \, $ lebih besar dari 2 (angka 2 tidak termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ 3,4,5,6,.... \} $.
Garis bilangannya :

d). $ x \geq 2 $
Bentuk $ x \geq 2 \, $ dibaca $ x \, $ lebih dari atau sama dengan 2, artinya nilai $ x \, $ lebih besar dari 2 serta sama dengan 2 (angka 2 termasuk), sehingga himpunan nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = \{ 2,3,4,5,6,.... \} $.
Garis bilangannya :

Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear). Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel yaitu :
$ ax + b > 0 \, $ atau $ ax + b \geq 0 \, $ atau $ ax + b \leq 0 \, $ atau $ ax + b < 0 $.
Contoh soal pertidaksamaan linear satu variabel :
2). Dari bentuk-bentuk berikut, tentukan yang merupakan pertidaksamaan linear dengan satu variabel.
a). $ x - 3 < 5 $
b). $ a \leq 1 - 2b $
c). $ x^2 - 3x \geq 4 $
d). $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 $
Penyelesaian :
a). $ x - 3 < 5 $
Pertidaksamaan $ x - 3 < 5 \, $ mempunyai satu variabel, yaitu $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga $ x - 3 < 5 \, $ merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

b). $ a \leq 1 - 2b $
Pertidaksamaan $ a \leq 1 - 2b \, $ mempunyai dua variabel, yaitu $ a $ dan $ b $ yang masing-masing berpangkat 1. Dengan demikian $ a \leq 1 - 2b \, $ bukan suatu pertidaksamaan linear satu variabel.

c). $ x^2 - 3x \geq 4 $
Karena pertidaksamaan $ x^2 - 3x \geq 4 \, $ mempunyai variabel $ x \, $ dan $ x^2 $, maka $ x^2 - 3x \geq 4 \, $ bukan merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

d). $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 $
Pertidaksamaan $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 \, $ mempunyai satu variabel, yaitu $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga $ 2x + 3 \leq \frac{1}{3}(x - 1) - 7 \, $ merupakan pertidaksamaan linear satu variabel.

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a). Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
b). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
c). Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana
1). $ > \, $ menjadi <
2). $ < $ menjadi $ > $
3). $ \leq $ menjadi $ \geq $
4). $ \geq $ menjadi $ \leq $ .

Catatan :
Pertidaksamaan linear satu variabel dapat diselesaikan dengan bentuk ekuivalennya.
Contoh soal penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel berikut ini.
a). $ 3x - 2 > 4 $
b). $ 3x - 2 \geq 4 $
c). $ x - 2 \leq 3x + 2 $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.
Penyelesaian :
a). $ 3x - 2 > 4 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} 3x - 2 & > 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 3x - 2 + 2 & > 4 + 2 \\ 3x & > 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3)} \\ \frac{3x}{3} & > \frac{6}{3} \\ x & > 2 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x > 2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{3,4,5,6,...\} \, $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.

b). $ 3x - 2 \geq 4 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} 3x - 2 & \geq 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 3x - 2 + 2 & \geq 4 + 2 \\ 3x & \geq 6 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3)} \\ \frac{3x}{3} & \geq \frac{6}{3} \\ x & \geq 2 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \geq 2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{2,3,4,5,6,...\} \, $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.

c). $ x - 2 \leq 3x + 2 $
*). Kita gunakan bentuk ekuivalennya :
$ \begin{align} x - 2 & \leq 3x + 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ x - 2 + 2 & \leq 3x + 2 + 2 \\ x & \leq 3x + 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ x - 3x & \leq 3x + 4 - 3x \\ -2x & \leq 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi -2, tanda ketaksamaan dibalik)} \\ \frac{-2x}{-2} & \geq \frac{4}{-2} \\ x & \geq -2 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \geq -2 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{-2,-1,0,1,2,3,...\} \, $
dengan $ x \, $ adalah bilangan bulat.

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 4x - 2 \leq 5 + 3x $ , untuk $ x $ variabel pada himpunan bilangan asli. Kemudian, gambarlah grafik himpunan penyelesaiannya.
Penyelesaian :
$ \begin{align} 4x - 2 & \leq 5 + 3x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 4x - 2 + 2 & \leq 5 + 3x + 2 \\ 4x & \leq 7 + 3x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ 4x - 3x & \leq 7 + 3x - 3x \\ x & \leq 7 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \leq 7 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{1,2,3,...,6,7\} \, $
untuk $ x \, $ adalah bilangan asli.
Garis bilangannya :

5). Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \frac{1}{2}x + 3 \leq \frac{1}{5} x \, $ , dengan $ x \, $ adalah variabel pada himpunan $ \{-15,-14,-13,...,-1,0\} $.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel dalam bentuk pecahan, sebaiknya kita kalikan dengan KPK dari penyebut yang ada.
*). Bentuk $ \frac{1}{2}x + 3 \leq \frac{1}{5} x \, $ memiliki penyebut 2 dan 5, sehingga KPKnya adalah 10.
$ \begin{align} \frac{1}{2}x + 3 & \leq \frac{1}{5} x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 10)} \\ 10 \times \left( \frac{1}{2}x + 3 \right) & \leq 10 \times \frac{1}{5} x \\ 10 \times \frac{1}{2}x + 10 \times 3 & \leq 2x \\ 5x + 30 & \leq 2x \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 30)} \\ 5x + 30 - 30 & \leq 2x - 30 \\ 5x & \leq 2x - 30 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ 5x - 2x & \leq 2x - 30 - 2x \\ 3x & \leq - 30 \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3x}{3} & \leq \frac{- 30}{3} \\ x & \leq -10 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ x \leq -10 \, $ atau
himpunan penyelesaiannya : $ x = \{-15,-14,...,-10 \} \, $
untuk $ x \, $ adalah himpunan bilangan $ \{-15,-14,-13,...,-1,0\} $.

Rabu, 27 Januari 2016

Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

         Blog Koma - Matematika SMP : Setelah sebelumnya kita belajar tentang materi "Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup" , kita akan lanjutkan materi Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel. Hal-hal yang akan kita bahas dalam Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel yaitu pengertian persamaan linear satu variabel, dan bagaimana cara menentukan himpunan penyelesaiaan persamaannya.

Pengertian Persamaan Linear satu Variabel
       Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan ($=$) dan hanya mempunyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah $ \, ax + b = 0 \, $ dengan $ \, a \neq 0$.

       Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.
Catatan :
*). Pangkat dari suatu variabel $ x \, $ adalah $ n \, $ dapat ditulis : $ x^n $.
*). Khusus untuk pangkat 1, biasanya tidak ditulis. Misalkan variabel $ x \, $ pangkat 1 ditulis $ x \, $ saja.
*). Angka didepan variabel disebut sebagai koefisiennya dan tidak mempengaruhi pangkat dari variabel tersebut. Misalkan, bentuk $ 3x \, $ memiliki pangkat 1 dengan koefisiennya 3.
*). Angka yang tidak memiliki variabel disebut sebagai konstanta. Misalkan, bentuk $ 5x - 7 = 0 \, $ memiliki konstanta $ \, -7 $.
*). Seberapa banyakpun variabel yang sama ditulis dalam suatu persamaan tetap akan dianggap satu variabel saja. Misalkan, bentuk $ 2x - 3 + x^3 + 2x^5 = -5x^\frac{1}{5} + 2x - 7 \, $ tetap variabelnya adalah $ \, x \, $ saja.

Contoh soal persamaan linear satu variabel :
1). Dari bentuk persamaan berikut ini, tentukan manakah yang merupakan persamaan linear satu variabel,
a). $ 2x - 5 = 7 $
b). $ x^2 + 3x = 2 $
c). $ \frac{2}{5}x = 3 $
d). $ 3x - 2y = 8 $
e). $ 3(x-1) = x + 5 - \frac{1}{7}x $
f). $ x^\frac{3}{2} - 5 = 2 + 5x $
Penyelesaian :
a). $ 2x - 5 = 7 $
Variabel pada $ 2x - 5 = 7 \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga merupakan persamaan linear satu variabel.

b). $ x^2 + 3x = 2 $
Variabel pada $ x^2 + 3x = 2 \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1 dan 2, sehingga bukan persamaan linear satu variabel.

c). $ \frac{2}{5}x = 3 $
Variabel pada $ \frac{2}{5}x = 3 \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga merupakan persamaan linear satu variabel.

d). $ 3x - 2y = 8 $
Variabel pada $ 3x - 2y = 8 \, $ adalah $ x \, $ dan $ y \, $ , karena variabelnya lebih dari 1 maka bentuk $ \, 3x - 2y = 8 \, $ bukan persamaan linear satu variabel.

e). $ 3(x-1) = x + 5 - \frac{1}{7}x $
Variabel pada $ 3(x-1) = x + 5 - \frac{1}{7}x \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat 1, sehingga merupakan persamaan linear satu variabel.

f). $ x^\frac{3}{2} - 5 = 2 + 5x $
Variabel pada $ x^\frac{3}{2} - 5 = 2 + 5x \, $ adalah $ x \, $ dan berpangkat $ \, \frac{3}{2} \, $ dan 1, sehingga bukan persamaan linear satu variabel.

Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel
       Himpunan penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

Contoh soal himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel :
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $ x - 3 = 1 \, $ ?
Penyelesaian :
Bentuk $ x - 3 = 1 \, $ memeiliki penyelesaian untuk $ x = 4 \, $ karena $ 4 - 3 = 1 \, $.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 4 \} $.

Persamaan yang ekuivalen
       Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda " $\Leftrightarrow$ ".
Contoh persamaan yang ekuivalen :
3). Pada persamaan $ x - 5 = 4$ , jika $ x $ diganti 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari $ x - 5 = 4 \, $ adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka
$ \begin{align} x - 5 & = 4 \\ \Leftrightarrow x - 5 + 5 & = 4 + 5 \\ \Leftrightarrow x + 0 & = 9 \\ \Leftrightarrow x & = 9 \end{align} $
Dengan kata lain, persamaan $ x - 5 = 4 \, $ ekuivalen dengan persamaan $ x = 9$, atau ditulis $x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9 $.

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel
       Untuk memudahkan menyelesaikan persamaan linear satu variabel, kita akan menggukanan konsep persamaan yang ekuivalen.

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara
a). menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;
b). mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
Contoh Soal :
4). Tentukan 4 bentuk yang setara (ekuivalen) dengan persamaan linear $ 2x - 1 = 5 $
Penyelesaian :
*). Berikut bentuk-bentuk yang ekuivalen :
i). kedua ruas ditambahkan 1,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ 2x - 1 + 1 & = 5 + 1 \\ 2x & = 6 \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ 2x = 6 $.

ii). kedua ruas dikurangkan 3 ,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ 2x - 1 - 3 & = 5 -3 \\ 2x - 4 & = 2 \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ 2x - 4 = 2 $.

iii). kedua ruas dikalikan 2,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ 2 \times (2x - 1 ) & = 2 \times 5 \\ 4x - 2 & = 10 \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ 4x - 2 = 10 $.

iv). kedua ruas dibagi 4,
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \\ \frac{(2x - 1 )}{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{2x }{4} - \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{x }{2} - \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \\ \frac{1 }{2} x - \frac{1 }{4} & = \frac{5}{4} \end{align} $
sehingga bentuk ekuivalen persamaannya adalah $ \frac{1 }{2} x - \frac{1 }{4} = \frac{5}{4} $.

Jadi persamaan $ 2x - 1 = 5 \, $ ekuivalen atau setara dengan persamaan
$ 2x = 6, \, 2x - 4 = 2, \, 4x - 2 = 10, \, \frac{1 }{2} x - \frac{1 }{4} = \frac{5}{4} $.

5). Tentukan penyelesaian dari persamaan $ 2x - 1 = 5 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 2x - 1 & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah 1)} \\ 2x - 1 + 1 & = 5 + 1 \\ 2x & = 6 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 2)} \\ \frac{2x}{2} & = \frac{6}{2} \\ x & = 3 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 3 \} $.

6). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ 4x - 3 = 3x + 5 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 4x - 3 & = 3x + 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah 3)} \\ 4x - 3 + 3 & = 3x + 5 + 3 \\ 4x & = 3x + 8 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 3x) \\ 4x - 3x & = 3x + 8 - 3x \\ x & = 8 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 8 \} $.

7). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ 3x + 13 = 5 - x $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} 3x + 13 & = 5 - x \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurang 13)} \\ 3x + 13 - 13 & = 5 - x - 13 \\ 3x & = -8 - x \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambah } x) \\ 3x + x & = -8 - x + x \\ 4x & = -8 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikali } \frac{1}{4}) \\ \frac{1}{4} \times 4x & = \frac{1}{4} \times (-8 ) \\ x & = -2 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ -2 \} $.

8). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ \frac{1}{2}x - 2 = 1 $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaiannya, kita gunakan sifat ekuvalen.
$ \begin{align} \frac{1}{2}x - 2 & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ \frac{1}{2}x - 2 + 2 & = 1 + 2 \\ \frac{1}{2}x & = 3 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 2)} \\ 2 \times \frac{1}{2}x & = 2 \times 3 \\ x & = 6 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ 6 \} $.

9). Tentukan penyelesaian persamaan linear $ \frac{1}{5}x - 2 = \frac{x-1}{2} $
Penyelesaian :
*). Jika persamaan linearnya memuat pecahan lebih dari satu, maka untuk memudahkan dalam menyelesaikannya kita harus mengalikan dengan KPK dari penyebut pecahan yang merupakan bagian dari sifat ekuivalen.
*). Bentuk $ \frac{1}{5}x - 2 = \frac{x-1}{2} \, $ memuat pecahan dengan penyebut 5 dan 2 dengan KPKnya 10, ini artinya kedua ruas kita kalikan 10.
$ \begin{align} \frac{1}{5}x - 2 & = \frac{x-1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan 10)} \\ 10 \times \left( \frac{1}{5}x - 2 \right) & = 10 \times \left( \frac{x-1}{2} \right) \\ 10 \times \frac{1}{5}x - 10 \times 2 & = \frac{10(x-1)}{2} \\ 2x - 20 & = 5(x-1) \\ 2x - 20 & = 5x - 5 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 20)} \\ 2x - 20 + 20 & = 5x - 5 + 20 \\ 2x & = 5x + 15 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 5x) \\ 2x - 5x & = 5x + 15 - 5x \\ -3x & = 15 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi } -3) \\ \frac{-3x}{-3} & = \frac{15}{-3} \\ x & = -5 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ -5 \} $.

Cara II : Menyamakan penyebutnya,
$ \begin{align} \frac{1}{5}x - 2 & = \frac{x-1}{2} \\ \frac{1}{5}x - 2 & = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ \frac{1}{5}x - 2 + 2 & = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 2 \\ \frac{1}{5}x & = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } \frac{1}{2}x ) \\ \frac{1}{5}x - \frac{1}{2}x & = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x \\ \frac{2}{10}x - \frac{5}{10}x & = \frac{3}{2} \\ \frac{-3}{10}x & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } \frac{-10}{3} ) \\ \frac{-10}{3} \times \frac{-3}{10}x & = \frac{-10}{3} \times \frac{3}{2} \\ x & = \frac{-30}{6} \\ x & = -5 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x = \{ -5 \} $.

10). Persamaan linear $ 3x - 2 = m - x \, $ memiliki penyelesaian untuk $ x = 3. \, $ Tentukan nilai $ m $.
Penyelesaian :
*). Karena $ x = 3 \, $ adalah solusinya, maka bisa kita substitusikan ke persamaannya
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow 3x - 2 & = m - x \\ 3 \times 3 - 2 & = m - 3 \\ 9 - 2 & = m - 3 \\ 7 & = m - 3 \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 3) } \\ 7 + 3 & = m - 3 + 3 \\ 10 & = m \end{align} $
Jadi, kita peroleh nilai $ m = 10 $ .

Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

         Blog Koma - Matematika SMP : Hallow Teman-teman Koma. Bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja.

         Pada artikel ini kita akan membahas materi Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup yang merupakan bagian dari materi persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup adalah materi dasar yang harus dikuasai dulu untuk memudahkan mempelajari materi selanjutnya.

Pengertian Pernyataan dan Kalimat Tertutup
       Kalimat yang dinyatakan benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya disebut kalimat tertutup atau Pernyataan.

Contoh soal Pernyataan dan Kalimat Tertutup :
1). Perhatikan kalimat-kalimat berikut,
a). Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
b). Satu ditambah tiga sama dengan lima.
c). Tugu Monas terletak di Bandung.
d). Matahari terbenam di arah timur.
e). Siapakah presiden republik Indonesia yang pertama?
f). Berapakah dua ditambah 4?
g). Bali adalah salah satu provinsi yang ada di indonesia.
Dari kalimat-kalimat di atas, tentukan manakah yang merupakan pernyataan dan bukan.
Penyelesaian :
a). Jakarta adalah ibu kota Indonesia.
kalimat ini benar, sehingga termasuk pernyataan.

b). Satu ditambah tiga sama dengan lima.
kalimat ini salah, sehingga termasuk pernyataan.

c). Tugu Monas terletak di Bandung.
kalimat ini salah karena monas terletak di Jakarata, sehingga termasuk pernyataan.

d). Matahari terbenam di arah timur.
kalimat ini salah, sehingga termasuk pernyataan.

e). Siapakah presiden republik Indonesia yang pertama?
Kalimat ini tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya (salah atau benar), sehingga bukan pernyataan, dan lebih tepatnya disebut kalimat pertanyaan.

f). Berapakah dua ditambah 4?
Kalimat ini tidak bisa ditentukan nilai kebenarannya (salah atau benar), sehingga bukan pernyataan, dan lebih tepatnya disebut kalimat pertanyaan.

g). Bali adalah salah satu provinsi yang ada di indonesia.
kalimat ini benar, sehingga termasuk pernyataan.

Pengertian Kalimat Terbuka
       Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya (belum bisa ditentukan bernilai benar atau salah).

       Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan.

Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.

       Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka.

Contoh soal Kalimat Terbuka :
2). Sebutkan 5 contoh kalimat terbuka?
Penyelesaian :
*). Berikut adalah contoh-contoh kalimat terbuka :
i). $ y \, $ adalah bilangan prima kurang dari enam.
dengan variabel $ y $.

ii). Tiga dikurangkan dengan $ m \, $ menghasilkan 12.
dengan variabel $ m $.

iii). $ x + 9 = 3 $.
dengan variabel $ x $.

iv). $ 3a - 5 \geq 5 $.
dengan variabel $ a $.

v). $ x^2 + 3y - 5 = 12 $.
dengan variabel $ x \, $ dan $ \, y $ .

vi). Umur Andi ditambahkan dengan umur Budi adalah 25 tahun.
kalimat (vi) ini adalah contoh kalimat terbuka karena umur masing-masing bisa kita misalkan dengan suatu variabel. Misalkan umur Andi adalah $ a \, $ tahun dan umur budi adalah $ \, b \, $ tahun, maka kalimat terbukanya menjadi : $ a + b = 25 $.

Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka
       Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

Contoh soal :
3). Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut ini,
a). $ x + 3 = 5 $
b). $ 2y - 5 = 7 $
c). $ z^2 = 9 $.
Penyelesaian :
a). $ x + 3 = 5 $
$ x = 2 \, $ memenuhi kalimat terbuka $ x + 3 = 5 \, $ karena $ 2 + 3 = 5 $.
Sehingga himpunan penyelesaiannya : {2}.

b). $ 2y - 5 = 7 $
$ y = 6 \, $ memenuhi kalimat terbuka $ 2y - 5 = 7 \, $ karena $ 2 \times 6 - 5 = 7 $.
Sehingga himpunan penyelesaiannya : {6}.

c). $ z^2 = 9 $.
$ z = 3 \, $ dan $ z = -3 \, $ memenuhi kalimat terbuka $ z^2 = 9 \, $
karena $ 3^2 = 9 \, $ dan $ \, (-3)^2 = 9 $ .
Sehingga himpunan penyelesaiannya : $ \{-3, \, 3 \} $.

Catatan :
Soal nomor 3 bagian a) dan b) disebut sebagai persamaan linear satu variabel yang akan dibahas lebih lanjut pada materi berikutnya.