Tampilkan posting dengan label peluang. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label peluang. Tampilkan semua posting

Senin, 18 Januari 2016

Peluang Kejadian Bersyarat

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Peluang Kejadian Bersyarat yang merupakan bagian dari peluang kejadian majemuk. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan kejadian majemuk yaitu "peluang kejadian saling lepas dan saling bebas" dan baca juga konsep "peluang kejadian secara umum" untuk memudahkan dalam mempelajari materi Peluang Kejadian Bersyarat ini.

Konsep Peluang Kejadian Bersyarat
       Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B.

Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(A|B) $ :
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(B) \neq 0 $

Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi terlebih dahulu ditulis $ P(B|A) $ :
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} , \end{align} \, $ dengan $ \, P(A) \neq 0 $

dengan $ P(A \cap B) = \, $ peluang irisan A dan B.

Contoh Soal Peluang Kejadian Bersyarat :
1). Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu.
Penyelesaian :
*). Misal A adalah kejadian munculnya angka prima,
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}, sehingga $ n(S) = 6 $
A = {2,3,5}, sehingga $ n(A) = 3 $.
Peluang kejadian A : $ \begin{align} P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Misal B adalah kejadian muncul mata dadu ganjil,
B = {1,3,5} , sehingga irisannya : $ A \cap B \, $ = {3,5} , dengan $ n(A \cap B) = 2 $.
Peluang irisannya : $ \begin{align} P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu : $ P(B|A) $
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat munculnya kejadian mata dadu prima lebih dahulu adalah $ \frac{2}{3} $ .

Catatan :
*). Kejadian A terjadi lebih dahulu, sehingga A = {2,3,5} adalah sebagai ruang sampel dari kejadian B.
*). Kejadian B : B = {3,5} , sehingga peluang kejadian B adalah $ \frac{2}{3} $.

2). Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X atau tanda Y. Berikut komposisi bola-bola yang ada dalam kotak :
Dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X.
Penyelesaian :
*). Kejadian ini bisa kita pandang sebagai peluang kejadian munculnya bola hitam ( kejadian B) dengan syarat bola bertanda X (kejadian X) lebih dahulu.
*). Terdapat 8 bola bertanda X dari total 11 bola,
sehingga peluangnya $ \, P(X) = \frac{8}{11} $.
*). Dari 8 bola bertanda X terdapat 5 warna hitam, artinya $ n(B \cap X) = 5 $.
sehingga peluangnya $ \, P(B \cap X) = \frac{5}{11} $.
*). Peluang warna hitam (B) dengan syarat bertanda X : $ P(B|X) $
$ \begin{align} P(B|X) = \frac{P(B \cap X)}{P(X)} = \frac{\frac{5}{11}}{\frac{8}{11}} = \frac{5}{8} \end{align} $
Jadi, peluang dari kejadian terambil bola hitam bertanda X adalah $ \frac{5}{8} $.

Menentukan peluang irisan dari peluang kejadian bersyarat
Peluang kejadian A dan B dengan kejadian B terjadi lebih dahulu : $P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \rightarrow P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B) \end{align} $

Peluang kejadian A dan B dengan kejadian A terjadi lebih dahulu : $P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \rightarrow P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) \end{align} $

Contoh soal :
3). Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil
a). kedua-duanya bola merah,
b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih.
Penyelesaian :
a). kedua-duanya bola merah,
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna merah.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{5}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua merah : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, peluang keduanya merah adalah $ \frac{1}{3} $

b). bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih
*). Misal A kejadian bola pertama merah,
Peluang A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $.
*). B kejadian bola kedua warna putih.
karena bola tidak dikembalikan, maka bola merah tinggal 5 bola merah dan 4 bola putih.
Sehingga peluang B dengan kejadian A sudah terjadi : $ P(B|A) $
$ P(B|A) = \frac{4}{9} $
*). Peluang bola pertama merah dan kedua putih : $ P(A \cap B ) $
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{15} \end{align} $
Jadi, peluang bola pertama warna merah dan bola kedua warna putih adalah $ \frac{4}{15} $

4). Dalam supermarket terdapat 12 ibu-ibu dan 4 orang remaja yang sedang berbelanja. Kemudian dari mereka dipilih secara acak 3 orang untuk mendapatkan 3 undian berhadiah, dan setiap orang hanya berhak memperoleh 1 hadiah. Tentukan peluang dari kejadian :
a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.

Penyelesaian :
*). Misalkan I adalah kejadian ibu-ibu memenangkan undian dan R adalah kejadian remaja memenangkan undian.

a). ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang ibu-ibu memenangkan undian pertama : $ P(I_1) = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $.
*). 1 ibu sudah menang, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I_2|I_1) = \frac{11}{15} $.
*). 2 ibu sudah menang, maka tersisa 10 ibu-ibu dan 4 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian ketiga : $ P(I_3|I_1,I_2) = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} $.
*). Peluang ketiganya dimenangkan oleh ibu-ibu : $ P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) $
$ \begin{align} P(I_1 \cap I_2 \cap I_3 ) & = P(I_1) \times P(I_2|I_1) \times P(I_3|I_1,I_2) \\ & = \frac{3}{4} \times \frac{11}{15} \times \frac{5}{7} \\ & = \frac{11}{28} \end{align} $
Jadi, peluang ketiga undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \frac{11}{28} $.

b). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja.
ada 12 ibu-ibuu dan 4 remaja, sehingga $ n(S) = 16 $.
*). Peluang remaja memenangkan undian pertama : $ P(R_1) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $.
*). 1 remaja sudah menang, maka tersisa 12 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang ibu-ibu memenangkan undian kedua : $ P(I|R_1) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} $.
*). 1 ibu sudah menang dan 1 remaja, maka tersisa 11 ibu-ibu dan 3 remaja, sehingga
Peluang remaja memenangkan undian ketiga : $ P(R_2|R_1,I) = \frac{3}{14} $.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja : $ P(R_1 \cap I \cap R_2 ) $
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{14} \\ & = \frac{3}{70} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{70} $.

c). terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu.
Terdapat tiga kemungkinan dan cara menghitungnya mirip dengan cara bagian (b) sebelumnya.
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh ibu-ibu, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(R_1 \cap I \cap R_2 ) & = P(R_1) \times P(I|R_1) \times P(R_2|R_1,I) \\ & = \frac{3}{70} = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan remaja, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan ibu-ibu,
$ \begin{align} P(R_1 \cap R_2 \cap I ) & = P(R_1) \times P(R_2|R_1) \times P(I|R_1,R_2) \\ & = \frac{4}{16} \times \frac{3}{15} \times \frac{12}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
*). undian pertama dimenangkan ibu-ibu, undian kedua dimenangkan oleh remaja, dan undian ketiga dimenangkan remaja,
$ \begin{align} P(I \cap R_1 \cap R_2 ) & = P(I) \times P(R_1|I) \times P(R_2|I,R_1) \\ & = \frac{12}{16} \times \frac{4}{15} \times \frac{3}{14} \\ & = 0,0428 \end{align} $
Jadi, peluang terdapat 2 undian yang dimenangkan remaja dan 1 undian dimenangkan oleh ibu-ibu adalah $ \, 0,0428 + 0,0428 + 0,0428 = 0,1284 $ .

Sabtu, 16 Januari 2016

Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas

         Blog Koma - Kejadian pada percobaan ada dua yaitu kejadian sederhana dan kejadian majemuk yang telah dibahas sebelumnya pada materi "Peluang Kejadian Secara Umum". Untuk artikel kali ini, kita akan membahas peluang kejadian majemuk yaitu Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas. Namun sebelum membahas materi Peluang Kejadian Saling Lepas dan Saling Bebas kita akan membahas peluang gabungan dua kejadian. Untuk memudahkan dalam memahami materi ini, sebaiknya kuasai dulu teori "peluang kejadian secara umum" dulu.

Peluang Gabungan Dua Kejadian
       Dengan menggunakan sifat-sifat gabungan dua himpunan kita akan bisa menentukan peluang gabungan dua kejadian. Berdasarkan teori "himpunan", banyaknya anggota gabungan himpunan A dan B yang disimbolkan $ A \cup B \, $ yaitu
$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B) \, $, dengan $ A \cap B \, $ menyatakan irisan dua himpunan A dan B.

Menentukan Peluang gabungan dua kejadian : $ P(A \cup B) $
$ \begin{align} n(A \cup B) & = n(A) + n(B) - n(A\cap B) \, \, \, \text{[bagi dg } n(S) ] \\ \frac{ n(A \cup B) }{n(S)} & = \frac{n(A) }{n(S)} + \frac{n(B) }{n(S)} - \frac{ n(A\cap B)}{n(S)} \\ P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \end{align} $
Jadi, rumus peluang gabungannya adalah
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) $ .

Keterangan :
$ P(A \cup B) = \, $ peluang gabungan kejadian A dan B,
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A ,
$ P(B) = \, $ peluang kejadian B ,
$ P(A \cap B) = \, $ peluang irisan kejadian A dan B.
Hasil irisan dua himpunan adalah anggota himpunan yang sama dari kedua himpunan tersebut.
Contoh soal peluang gabungan dua kejadian :
1). Sebuah dadu sisi enam dilempar sekali, berapakah peluang kejadian munculnya mata dadu angka genap atau angka prima?
Penyelesaian :
*). Ruang sampelanya adalah S = {1,2,3,4,5,6}, dengan $ n(S) = 6 $.
*). Misalkan A kejadian muncul mata dadu genap dan B kejadian muncul mata dadu prima,
A = {2,4,6}, B = {2,3,5}, dan $ A \cap B = \{ 2 \} $
Sehingga $ n(A) = 3, \, n(B) = 3, \, n(A \cap B) = 1 $.
*). Gambar diagram Vennnya,
*). Menentukan peluang : $ P(A), \, P(B), \, P(A \cap B) $
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} \\ P(B) & = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{6} \\ P(A \cap B) & = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{6} \end{align} $.
*). Menentukan peluang gabungannya
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \\ & = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} \\ & = \frac{5}{6} \end{align} $.
Jadi, peluang gabungan kejadian A dan B adalah $ \frac{5}{6} $.

2). Dalam satu set kartu bridge ada 52 kartu terdiri atas 13 kartu sekop warna hitam, 13 kartu keriting warna hitam, 13 kartu hati warna merah, dan 13 kartu wajik warna merah. Setiap jenis teridiri atas kartu bernomor 2,3,4,5, ...,10, Jack(J), Queen(Q), King(K), dan As (A). Jika diambil satu kartu dari satu set kartu bridge, berapakah peluang kejadian yang terambil satu kartu berwarna hitam atau satu kartu K.?
Penyelesaian :
*). Jumlah kartu berwarna hitam ada 26 buah, yaitu sekop dan keriting. Misalkan A kejadian munculnya kartu warna hitam, maka
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} $
*). Misalkan B adalah kejadian munculnya kartu K, dan terdapat 4 kartu K, sehingga peluangnya
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} $
*). Banyaknya irisan kartu berwarna hitam dan katu K ada 2 yaitu kartu K sekop dan K keriting, sehingga peluangnya :
$ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} $
*). Menentukan peluang gabungannya
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A\cap B) \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{13} - \frac{1}{26} \\ & = \frac{7}{13} \end{align} $.
Jadi, peluang terambil satu kartu berwarna hitam atau satu kartu K adalah $ \frac{7}{13} $.

Peluang Kejadian Saling Lepas atau Saling Asing
       Kejadian A dan B dikatakan Saling Lepas jika irisan keduanya adalah himpunan kosong ($A \cap B = {}$). Jika A dan B adalah kejadian saling lepas dalam ruang sampel S, maka peluang kejadian $ A \cup B \, $ adalah
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) \end{align} $.
Contoh soal kejadian saling lepas :
3). Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A adalah kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil.
a. Selidiki apakah kejadian A dan B saling asing.
b. Tentukan peluan kejadian A atau B.
Penyelesaian :
*). Menentukan himpunan masing-masing kejadian :
Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} , $ n(S) = 10 $.
Kejadian A : A = {2,4,6,8,10} , $ n(A) = 5 $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5}{10} $
Kejadian B : B = {3,5,7} , $ n(B) = 3 $
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{10} $
a). Ternyata kejadian A dan B tidak memiliki irisan ($A \cap B = {}$) . Artinya kejadian A dan B adalah kejadian saling lepas.
b). Menentukan peluang $ A \cup B $ ,
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) \\ & = \frac{5}{10} + \frac{3}{10} \\ & = \frac{8}{10} \\ & = \frac{4}{5} \end{align} $.
Jadi, peluang terambil kartu genap atau prima ganjil adalah $ \frac{4}{5} $.

4). Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan Ingatlah kejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian B adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah kejadian A dan B saling lepas?
Penyelesaian :
Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam maksudnya irisannya tidak ada karena tidak ada kartu yang berwarna hitam sekaligus warna merah. Jadi, kejadian A dan B saling lepas.

Peluang Kejadian Saling Bebas
       Kejadian A dan kejadian B dikatakan dua kejadian saling bebas jika kejadian A tidak dipengaruhi oleh kejadian B atau sebaliknya kejadian B tidak dipengaruhi oleh kejadian A.

       Jika A dan B adalah dua kejadian saling bebas, maka berlaku :
$ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $
Sebaliknya, jika $ \begin{align} P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \end{align} \, $ , maka kejadian A dan kejadian B tidak saling bebas.
Contoh soal kejadian saling bebas :
5). Dua buah dadu sisi enam dilemparkan sekali secara serentak. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 3, dan B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 5. Apakah kejadian A dan kejadian B saling bebas?
Penyelesaian :
*). Menentukan anggota himpunan masing-masing :
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}, $ n(A) = 6 $
B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)} , $ n(B) = 6 $
$ A \cap B \, $ = {(3,5)} , , $ n(A \cap B ) = 1 $
*). Menentukan peluang masing-masing :
Ada dua dadu dilempar, sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
$ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
$ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{36} $
*). Apakah berlaku $ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $
Mari kita cek :
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ \frac{1}{36} & = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\ \frac{1}{36} & = \frac{1}{36} \end{align} $
Karena berlaku $ \begin{align} P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \end{align} $, maka kejadian A dan B saling bebas.

6). Ada dua kota yang masing-masing memuat bola berwarna merah dan putih. Kotak I memuat 5 Merah dan 4 Putih, serta Kotak II memuat 6 Merah dan 3 Putih. Jika masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus, tentukan peluang terambilnya 1 merah dan 1 putih pada kotak I dan 2 Merah pada kotak II.
Penyelesaian :
*). Kejadian antara kotak A dan Kotak B adalah kejadian saling bebas karena tidak saling mempengaruhi.
*). Misal A adalah kejadian pada kotak I yaitu terambil 1M dan 1P,
akan diambil 2 bola sekaligus dari kotak I yang terdiri dari 9 bola,
$ n(S) = C_2^9 = \frac{9!}{7!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.(2.1)} = 36 $
Terpilih 1 merah dari 5 Merah dan 1 putih dari 4 putih,
$ n(A) = C_1^5 \times C_1^4 = 5 \times 4 = 20 $
Peluangnya : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} $
*). Misal B adalah kejadian pada kotak II yaitu terambil 2M,
akan diambil 2 bola sekaligus dari kotak II yang terdiri dari 9 bola,
$ n(S) = C_2^9 = \frac{9!}{7!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.(2.1)} = 36 $
Terpilih 2 merah dari 6 Merah,
$ n(B) = C_2^6 = \frac{6!}{4!.2!} = \frac{6.5.4!}{4!.(2.1)} = 15 $
Peluangnya : $ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} $
*. Menentukan peluang kejadian A dan B : $ P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = \frac{5}{9} \times \frac{5}{12} \\ & = \frac{25}{108} \end{align} $
Jadi, peluang kejadian A dan kejadian B adalah $ \frac{25}{108} $.

7). Dua dadu sisi enam dilempar secara serentak sekali. Kejadian A adalah kejadian munculnya angka 3 pada dadu pertama, sedangkan kejadian B adalah kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu sama dengan 8. Apakah kejadian A dan kejadian B saling bebas?
Penyelesaian :
*). Dua dadu dilempar, $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Menentukan peluang masing-maisng :
A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}, $ n(A) = 6 $.
Peluangnya : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $
B = {(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)}, $ n(B) = 5 $.
Peluangnya : $ P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{5}{36} $
Sehingga : $ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{36} = \frac{5}{216} $
$ A \cap B \, $ = {(3,5)}, $ n(B) = 1 $.
Peluangnya : $ P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} $
*). Cek apakah saling bebas atau tidak.
Dari haisil perhitungan di atas,
$ P(A \cap B) = \frac{1}{6} \, $ dan $ \, P(A) \times P(B) = \frac{5}{216} $
Artinya $ P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \, $ ,
Sehingga kejadian A dan B tidak saling bebas.

8). Misalkan A dan B adalah kejadian saling bebas, tetapi tidak saling lepas. Jika $ P(A) = \frac{1}{2} \, $ dan $ \, P(A \cup B) = \frac{3}{4}, \, $ hitunglah peluang kejadian B.
Penyelesaian :
*). Misalkan besarknya peluang $ P(B) = c $,
*). A dan B kejadian saling bebas, sehingga :
Peluang : $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times c = \frac{1}{2}c $.
*). Kejadian A dan B tidak saling lepas, sehingga :
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ \frac{3}{4} & = \frac{1}{2} + c - \frac{1}{2}c \\ \frac{3}{4} & = \frac{2}{4} + \frac{1}{2}c \\ \frac{1}{4} & = \frac{1}{2}c \\ c & = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, peluang B adalah $ P(B) = c = \frac{1}{2} $.

9). Misalkan A dan B adalah kejadian saling bebas. Jika $ P(A) = \frac{1}{3} \, $ dan $ P(B) = \frac{2}{3} $, tentukanlah :
a). $ P(A \cap B) $ ,
b). $ P(A \cup B) $ ,
c). $ P(A^c \cap B^c) $ ,
c). $ P(A^c \cup B^c) $.
Penyelesaian :
a). $ P(A \cap B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cap B) & = P(A) \times P(B) \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \\ & = \frac{2}{9} \end{align} $

b). $ P(A \cup B) $ ,
$ \begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ & = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{9} \\ & = 1 - \frac{2}{9} \\ & = \frac{7}{9} \end{align} $

c). $ P(A^c \cap B^c) $ ,
Bentuk komplemen :
$ (A \cap B)^c = (A^c \cup B^c ) $
$ (A \cup B)^c = (A^c \cap B^c ) $
Kita menggunakan peluang komplemen : $ P(A^c) = 1 - P(A) $
Sehingga : $ P(A^c \cap B^c) = P(A \cup B)^c = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9} $

c). $ P(A^c \cup B^c) $.
$ P(A^c \cup B^c) = P(A \cap B)^c = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} $

Jumat, 15 Januari 2016

Peluang Kejadian Secara Umum

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Peluang Kejadian Secara Umum. Hal-hal yang akan kita bahas pada artikel Peluang Kejadian Secara Umum yaitu : ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian, kisaran peluang, peluang komplemen, dan frekuensi harapan . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita membaca dulu materi yang berkaitan dan akan digunakan dalam peluang yaitu kaidah pencacahan yang terdiri dari "aturan perkalian dan penjumlahan", "permutasi", dan "kombinasi".

Ruang Sampel dan kejadian
       Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. Sementara titik sampel adalah anggota dari ruang sampel. Jika sekeping uang logam ditos (dilempar ke atas sambil diputar), akan muncul muka angka (A) atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, A dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {A, G} dinamakan ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pengentosan atau pelemparan (satu kali atau beberapa kali) uang logam atau dadu disebut debagai percobaan.

Jenis-jenis kejadian :
       Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. Misalkan pelemparan sebuah dadu sisi enam, kejadian yang mungkin : kejadian muncul mata dadu 1, kejadian muncul mata dadu 2, sampai kejadian muncul mata dadu 6.

       Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampel. Misalkan kejadian-kejadian : kejadian muncul mata dadu ganjil {1,3,5}, kejadian muncul mata dadu genap {2,4,6} dan lainnya.

Menentukan banyaknya anggota ruang sampel dan suatu kejadian
       Misalkan ada himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan simbol : $ n(A) $ . Sehingga banyaknya anggota ruang sampel (S) disimbolkan dengan $ n(S) $.

Khusus kejadian pelemparan koin (uang logam) dan dadu, banyaknya anggota ruang sampel bisa dihitung dengan rumus berikut :
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin : $ n(S) = 2^k $
Ruang sampel pelemparan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 6^d $
Ruang sampel pelemparan $ k \, $ koin dan $ d \, $ dadu : $ n(S) = 2^k \times 6^d $

Catatan :
Untuk kasusu lainnya, menentukan $ n(S) \, $ bisa menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan, atau aturan permutasi dan kombinasi.
Contoh Ruang sampel :
1). Tentukan banyaknya anggota ruang sampel pada kejadian-kejadian berikut ini.
a). Pelemparan sebuah koin,
b). pelemparan sebuah dadu,
c). pelemparan 2 buah koin,
d). pelemparan 2 buah dadu,
e). pelemparan 3 buah koin,
f). pelemparan 3 buah dadu,
g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Penyelesaian :
a). Pelemparan sebuah koin,
Pada pelemparan sebuah koin, maka ruang sampelnya : S = {A,G}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 2 $.
dengan rumus, ada 1 koin sehingga $ n(S) = 2^1 = 2 $.

b). pelemparan sebuah dadu,
1 dadu memiliki ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6}
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 6 $.
dengan rumus, ada 1 dadu sehingga $ n(S) = 6^1 = 6 $.

c). pelemparan 2 buah koin,
Ada beberapa cara dalam menentukan himpunan 2 koin yang yang dilempar yaitu tabel atau diagram seperti gambar berikut ini.
Sehingga ruang sampelnya : S = {AA, AG, GA, GG}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 4 $.
dengan rumus, ada 2 koin sehingga $ n(S) = 2^2 = 4 $.

d). pelemparan 2 buah dadu,
Perhatikan tabel kemungkinan munculnya mata dadu dari kedua dadu :
Dari tabel, ruang sampelnya : S = {(1,1),(1,2), ...,(6,6)}. Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 36 $.
dengan rumus, ada 2 dadu sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.

e). pelemparan 3 buah koin,
perhatikan diagram berikut ini.
Dari diagram, ruang sampelnya : S = {AAA, AAG, AGA, AGG, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 8 $.
dengan rumus, ada 3 koin sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $.

f). pelemparan 3 buah dadu,
dengan rumus, ada 3 dadu sehingga $ n(S) = 6^3 = 216 $.

g). pelemparan 2 koin dan 1 dadu.
Perhatikan tabel hasil pelemparan berikut ini,
Banyak anggota ruang sampelnya : $ n(S) = 24 $.
dengan rumus, ada 2 koin dan 1 dadu sehingga $ n(S) = 2^2 \times 6^1 = 4 \times 6 = 24 $.

Menentukan Peluang Kejadian
       Peluang adalah kejadian yang mungkin dari suatu percobaan yang dinyatakan dalam besaran angka tertentu. Berbicara tentang peluang berarti kita berbicara tentang harapan suatu kejadian yang tentu bisa terjadi atau tidak.

       Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan yang setiap anggota dari S mempunyai kesempatan sama untuk muncul atau untuk dipilih. Jika E adalah suatu kejadian dengan E adalah himpunan bagian dari S, maka peluang kejadian E dapat ditentukan :
              $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E,
$ n(E) = \, $ banyaknya anggota himpunan E,
$ n(S) = \, $ banyaknya anggota himpunan ruang sampel S
Kisaran Peluang suatu Kejadian
       Karena E adalah himpunan bagian dari ruang sampel S, maka kita peroleh :
$ \begin{align} 0 \leq \, & n(E) \leq n(S) \, \, \, \, \, \, \text{[bagi dengan } n(s) ] \\ \frac{0}{n(S)} \leq \, & \frac{n(E)}{n(S)} \leq \frac{n(S)}{n(S)} \\ 0 \leq \, & P(E) \leq 1 \end{align} $
Artinya peluang suatu kejadian berkisar antara 0 dan 1, dimana jika peluangnya 0 maka kejadian yang tidak pernah terjadi (mustahil terjadi) dan jika peluangnya 1 maka kejadiannya pasti terjadi.
Contoh peluang kejadian :
2). Sebuah dadu dilempar, tentukan peluang dari kejadian :
a). Muncul mata dadu 4,
b). muncul mata dadu ganjil,
c). muncul mata dari prima,
d). muncul mata dadu kurang dari 7,
e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Penyelesaian :
*). Satu dadu dilempar, maka $ n(S) = 6^1 = 6 $.
a). Muncul mata dadu 4,
Himpunan kejadiannya : E = {4} , sehingga $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{6} $.

b). muncul mata dadu ganjil,
Himpunan kejadiannya : E = {1,3,5} , sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

c). muncul mata dari prima,
Himpunan kejadiannya : E = {2,3,5} , sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.

d). muncul mata dadu kurang dari 7,
Himpunan kejadiannya : E = {1,2,3,4,5,6} , sehingga $ n(E) = 6 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1 $.
Karena nilai peluangnya 1, maka kejadian munculnya mata dadu kurang dari 7 pasti terjadi, bisa muncul angka 1 atau angka 2, atau angka 3 , dan seterusnya atau sampai muncul angka 6.

e). muncul mata dadu lebih dari 8.
Himpunan kejadiannya : E = {} (himpunan kosong), sehingga $ n(E) = 0 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0 $.
Karena nilai peluangnya 0, maka kejadian munculnya mata dadu lebih dari 8 tidak mungkin terjadi karena mata dadu paling besar adalah mata dadu 6.

3). Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.
a). Ikan dapat hidup di darat. b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah. c). Lumut tumbuh di daerah gurun.
Penyelesaian :
a). Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.
b). Air mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan 1.
c). Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.

4). Tentukan peluang dari kejadian :
a). munculnya dua sisi angka pada pelemparan 2 koin,
b). munculnya dua sisi angka dan satu sisi gambar pada pelemparan 3 koin.
Penyelesaian :
a). dua koin, sehingga $ n(S) = 2^2 = 4 $, yaitu S = {AA, AG, GA, GG}.
Himpunan kejadiannya dua sisi angka : E = {AA}, sehingga $ n(E) = 1 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{4} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka pada pelemparan dua koin sekaligus adalah $ \frac{1}{4} $.

b). tiga koin, sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $
Himpunan kejadiannya 2 sisi angka dan 1 gambar : E = {AAG, AGA, GAA}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $.
Jadi, peluang munculnya dua sisi angka dan 1 gambar pada pelemparan tiga koin sekaligus adalah $ \frac{3}{8} $.

5). Dalam kantong ada 6 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, tentukan peluang terambil:
a. kelereng merah;
b. kelereng putih;
c. 3 merah dan 1 putih;
Penyelesaian :
*). Ada 6 merah dan 5 putih, totalnya ada 11 kelereng.
Pada kasus pengambilang kelereng, misal yang terambil warna merah dan putih (MP) akan sama dengan termbilnya warna putih dan merah (PM), artinya URUTAN tidak diperhatikan sehingga kasus ini menggunakan kombinasi.
*). Menentukan anggota ruang sampel :
akan diambil 4 kelereng dari 11 kelereng yang ada,
$ \begin{align} n(S) = C_4^{11} = \frac{11!}{(11-4)!4!} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{11.10.9.8.7!}{7!.(4.3.2.1)} = 11.10.3 \end{align} $

a). terambil semuanya warna merah, artinya kita akan memilih 4 warna merah dari 6 warna merah yang ada. Misalkan E adalah mewakili kejadian ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{6} = \frac{6!}{(6-4)!4!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6.5.4!}{(2.1).4!} = 3.5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3.5}{11.10.3} = \frac{1}{22} $.
Jadi, peluang terambil semuanya merah adalah $ \frac{1}{22} $.

b). terambil semuanya warna putih, artinya kita akan memilih 4 warna putih dari 5 warna putih yang ada. Misalkan E adalah mewakili kejadian ini,
$ \begin{align} n(E) = C_4^{5} = \frac{5!}{(5-4)!4!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{11.10.3} = \frac{1}{66} $.
Jadi, peluang terambil semuanya putih adalah $ \frac{1}{66} $.

c). Misalkan kejadian terambilnya 3 merah dan 1 putih adalah E,
*). terambil 3 merah dari 6 merah yang ada :
$ \begin{align} n(E_1) = C_3^{6} = \frac{6!}{(6-3)!3!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6.5.4.3!}{3! . (3.2.1)} = 5.4 \end{align} $
*). terambil 1 putih dari 5 putih yang ada :
$ \begin{align} n(E_2) = C_1^{5} = \frac{5!}{(5-1)!1!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5.4!}{4!} = 5 \end{align} $
*). Karena harus terambil 4 kelereng, maka 3 merah dan 1 putih harus SEKALIGUS terjadi sehingga menggunakan aturan perkalian.
*). Total cara terambil 3 merah dan 1 putih adalah :
$ n(E) = n(E_1) \times n(E_2) = 5.4 \times 5. $
*). Peluang kejadian E :
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5.4.5}{11.10.3} = \frac{10}{33} $.
Jadi, peluang terpilihnya 3 merah dan 1 putih adalah $ \frac{10}{33} $.

6). Ada 5 orang duduk melingkar pada meja bundar. Jika diantara kelima orang tersebut ada yang bernama Wati dan Budi, maka tentukan peluang susunan duduk agar Wati dan Budi selalu berdampingan?
Penyelesaian :
*). Kasus duduk melingkar berkaitan dengan permutasi siklis.
*). Ada 5 orang duduk melingkar, maka semua susunan yang mungkin yaitu :
$ n(S) = (5-1)! = 4! $
*). Harapannya Wati dan Budi selalu berdampingan, misalkan kejadian ini adalah E,
Agar Wati dan Budi selalu berdampingan, kita blok Wati dan Budi menjadi 1 sehingga kita anggap menjadi satu orang . Artinya sekarang ada 4 orang duduk melingkar dengan banyak cara $ (4-1)! = 3! \, $ . Disamping itu, Wati dan Budi bisa ditukar posisinya dengan ada 2 cara.
Total cara agar Wati dan Budi berdampingan : $ n(E) = 3! \times 2 $ .
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3! . 2}{4!} = \frac{3! . 2}{4 . 3!} = \frac{1}{2} $.
Jadi, peluang agar Wati dan Budi selalu berdampingan adalah $ \frac{1}{2} $.

7). Ada 6 pasang suami istri menghadiri pesta dan mereka saling bersalaman. Misalkan E adalah kejadian banyaknya salaman kecuali dengan pasangannya sendiri, tentukan peluang kejadian E.
Penyelesaian :
*). Menentukan banyak anggota ruang sampel : $ n(S) $,
Untuk kasus salaman, misalkan si A salaman dengan si B akan sama saja dengan si B salaman dengan si A, artinya URUTAN Tidak diperhatikan, sehingga menggunakan kombinasi.
Ada 6 pasang suami istri, total orang ada $ 6 \times 2 = 12\, $ orang.
Salaman terjadi antara dua orang, sehingga kita memilih 2 orang dari 12 orang yang ada.
$ \begin{align} n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!2!} = \frac{12!}{10!.2!} = \frac{12.11.10!}{10!.(2.1)} = 66 \end{align} $
*). Menentukan $ n(E) $ :
E adalah kejadian salaman kecuali dengan pasangannya, artinya ada 6 salaman yang tidak dihitung dari 66 pasangan yang terjadi, sehingga $ n(E) = 66 - 6 = 60 $.
*). Menentukan peluangnya,
$ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{60}{66} = \frac{10}{11} $.
Jadi, peluang kejadian E adalah $ \frac{10}{11} $.

Peluang Komplemen
       Misalkan ada ruang sampel S, E adalah kejadian yang merupakan bagian dari ruang sampel, maka E$^c$ juga bagian dari ruang sampel. Misalkan pelemparan sebuah dadu, ruang sampel S = {1,2,3,4,5,6}, kejadian E adalah kejadian muncul bilangan prima, maka E = {2,3,5}, sehingga E$^c \, $ = {1,4,6}. Artinya $ n(E) + n(E^c) = n(S) $

Menentukan Peluang komplemennya :
$ \begin{align} n(E) + n(E^c) & = n(S) \, \, \, \, \, \, \text{[bagi dengan } n(S) ] \\ \frac{n(E)}{n(S)} + \frac{n(E^c)}{n(S)} & = \frac{n(S)}{n(S)} \\ P(E) + P(E^c) & = 1 \\ P(E^c) & = 1 - P(E) \end{align} $
Keterangan :
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E,
$ P(E^c) = \, $ peluang komplemen kejadian E atau peluang kebalikan dari E.
Contoh peluang komplemen :
8). Tentukan peluang berikut :
a). Peluang hidup jika diketahui peluang matinya 0,15
b). Peluang lulus jika diketahui peluang tidak lulusnya 0,71.
Penyelesaian :
a). Misalkan P(E) = peluang mati = 0,15 .
maka P(E$^c$) = peluang kebalikan dari mati yaitu peluang hidup.
$ P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - 0,15 = 0,85 $.
Jadi, peluang hidupnya adalah 0,85.

a). Misalkan P(L) = peluang tidak lulus = 0,71 .
maka P(L$^c$) = peluang kebalikan dari tidak lulus yaitu peluang lulus.
$ P(L^c) = 1 - P(L) = 1 - 0,71 = 0,29 $.
Jadi, peluang lulusnya adalah 0,29.

9). Dalam sebuah kotak terdapat bola yang diberi nomor 1 sampai 10. Jika diambil sebuah bola, berapakah peluang munculnya:
a. nomor prima,
b. bukan nomor prima.
Penyelesaian :
a). S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, sehingga $ n(S) = 10 $.
Misalnya munculnya nomor prima adalah A, maka:
A = {2, 3, 5, 7}, sehingga $ n(A) = 4 $ .
Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya nomor prima adalah $ \frac{2}{5} $.

b). Bukan bilangan prima = $ A^c $, peluangnya $ P(A^c) $
$ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $.
Jadi, peluang terambilnya bukan prima adalah $ \frac{3}{5} $.

10). Dua buah dadu dilempar sekaligus. Tentukan peluang munculnya jumlah dadu lebih dari 3.
Penyelesaian :
*). Menentukan $ n(S) $ :
ada dua dadu, sehingga $ n(S) = 6^2 = 36 $.
*). Dua dadu yang masing-masing bernomor 1,2,3,4,5, dan 6. Jumlah terkecil dua dadu tersebut adalah 2, dan jumlah terbesarnya adalah 12.
*). Harapannya jumlah dadu lebih dari 3, artinya yang diminta adalah jumlah 4,5,6,7,8,9,10,11, dan jumlah 12.
*). Kita misalkan E adalah kejadian muncul jumlah 2 dan jumlah 3, maka E$^c \, $ adalah kebalikannya yaitu muncul jumlah 4,5,6,...,12.
*). Kejadian jumlah 2 dan jumlah 3 :
E = {(1,1),(1,2),(2,1)}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluang kejadian E : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} $
*). Peluang komplemennya $ P(E^c) $ :
$ P(E^c) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} $.
Jadi, peluang munculnya jumlah lebih dari 3 adalah $ \frac{11}{12} $.

Frekuensi Harapan
       Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan E dilakukan $ n \, $ kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.
       $ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) \end{align} $.
Keterangan :
$ F_h(E) = \, $ frekuensi harapan terjadinya kejadian E.
$ P(E) = \, $ peluang kejadian E.
$ n = \, $ banyaknya percobaan.
Contoh soal frekuensi harapan :
11). Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian :
*). banyak percobaan : $ n = 240 $.
*). Menentukan peluang kejadiannya, misalkan kejadiannya adalah E.
ada 3 koin, sehingga $ n(S) = 2^3 = 8 $.
E = kejadian muncul 2 gambar dan 1 angka :
E = { GGA, GAG, AGG}, sehingga $ n(E) = 3 $.
Peluangnya : $ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8} $
*). Menentukan frekuensi harapan kejadian E :
$ \begin{align} F_h(E) = n \times P(E) = 240 \times \frac{3}{8} = 90 \end{align} $.
Jadi, dari 240 kali percobaan pelemparan 3 uang logam, harapan munculnya dua gambar dan satu angka adalah sebanyak 90 kali.

12). Budi menanam 1000 pohon bunga mawar. Jika dalam sebulan peluang mati setiap pohon adalah 0,23 maka tentukan banyaknya harapan bungan mawar yang masih hidup dalam sebulan.
Penyelesaian :
*). Menentukan peluang hidupnya,
$ P(hidup) = 1 - P(mati) = 1- 0,23 = 0,77 $ .
*). Menentukan frekuensi harapannya :
$ \begin{align} F_h(hidup) = n \times P(hidup) = 1000 \times 0,77 = 770 \end{align} $.
Jadi, dalam sebulan harapannya masih ada 770 pohon bunga mawar yang masih hidup dari 1000 pohon yang ditanam.