Tampilkan posting dengan label matriks. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label matriks. Tampilkan semua posting

Selasa, 02 Agustus 2016

Penerapan Invers Matriks pada Kode Sandi Rahasia

         Blog KoMa - Hallow sobat, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel kali ini kita akan membahas sesial tentang Penerapan Invers Matriks pada Kode Sandi Rahasia. Mungkin sebelumnya kita hanya mengetahui bahwa matriks itu hanya penyusunan suatu angka dalam baris dan kolom sehingga penerapannya hanya cocok untuk pengganti suatu tabel saja. Ternyata lebih dari itu, matriks juga bisa kita terapkan dalam kode sandi rahasia.

         Dalam Penerapan Invers Matriks pada Kode Sandi Rahasia, kita akan menggunakan bentuk inversnya. Sehingga penting bagi kita untuk menguasai invers matriks terlebih dahulu yang bisa teman-teman pelajari pada artikiel "Determinan dan Invers Matriks".

Ilustrasi Penerapan Invers Matriks pada Kode Sandi Rahasia
       Berikut ilustrasi pengiriman pesan bersandi yang ditunjukkan seperti gambar :
Keterangan :
P : pesan awal yang sudah dirubah dalam bentuk matriks
E : matriks enskripsi yang digunakan untuk mengamankan pesan
B : pesan baru yang sudah diamankan setelah di kalikan matriks bersandi
D : matriks dekripsi yang digunakan untuk membuka matriks menjadi matriks awal .
Dimana matriks D adalah matriks invers dari matriks E atau ditulis $ D = E^{-1} $ .

Catatan :
*). Matriks E harus memiliki invers.
*). $ B = P \times E $
*). $ P = D \times B = E^{-1} \times B $

Enskripsi adalah suatu proses untuk mengubah pesan rahasia menjadi bentuk lain dengan aturan atau rumus tertentu sehingga tidak mudah dipahami oleh pihak lain yang tidak berkepentingan. Salah satu aturan yang kita gunakan adalah menggunakan bentuk matriks.

Dekripsi adalah proses mengembalikan bentuk pesan rahasia yang sudah terEnskripsi menjadi bentuk pesan rahasia awal.

Contoh :
1). Misalkan seseorang mengirimkan pesan rahasia : 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13 . Bisakah kita membaca pesan rahasia tersebut? Untuk bisa membacanya, kita perlu yang namanya KODE SANDI untuk menterjemahkan pesan rahasia tersebut. Misalkan kode sandinya adalah sebagai berikut :
*). Dengan menggunakan kode sandi ini, maka pesan rahasia 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13 bisa kita baca menjadi :
Artinya pesan rahasia tersebut bisa dibaca menjadi : I LOVE MOMMY.
*). Bagaimana jika kode sandi tersebut bocor ke orang yang tidak berhak, pesan akan mudah dibaca. Mungkin kita akan berpikir tentang bagaimana cara meningkatkan pengamanan pesan rahasia agar lebih sulit diketahui orang yang tidak berhak? Untuk meningkatkan pengamanan, kita bisa menggunakan konsep matriks.
*). Penerapan matriksnya :
Misalkan pesan rahasia : 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13 kita ubah menjadi matriks berorde $ 6 \times 2 $ :
$ P = \left( \begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 7\\ -6 & 8 \\ 8 & 7 \\ -11 & 7\\ 3 & 13 \end{matrix} \right) $
Misalkan matriks enskripsinya : $ E = \left( \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) $
Kita enskripsi pesan rahasia awal (matriks P) :
$ B = P \times E = \left( \begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 7\\ -6 & 8 \\ 8 & 7 \\ -11 & 7\\ 3 & 13 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 25 & 15 \\ 21 & 14 \\ -6 & -2 \\ 61 & 38 \\ -34 & -19 \\ 54 & 35 \end{matrix} \right) $

Artinya pesan rahasia yang akan kita kirim adalah : 25 21 -6 61 -34 54 15 14 -2 38 -19 35 , sehingga meski ada yang mengetahui kode sandi pertama, orang tersebut belum dapat membaca pesan tersebut. Pengirim pesan cukup memberitahukan matriks $ \left( \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) $ yang digunakannya untuk mengamankan pesan kepada orang yang dituju.
*). Untuk mengembalikan pesan yang sudah terenskripsi (matriks B), kita cukup menDekripsikannya dengan cara mengalikan matriks dekripsi (matriks D) yang diperoleh dari invers matriks E.
$ D = E^{-1} = \frac{1}{5.2 - 3.3 } \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right) $
Artinya Penerima pesan harus mendekripsi matriks B menjadi matriks P (pesan rahasia awal) dengan mengalikan matriks B dengan matriks D.
*). Menentukan matriks P (pesan rahasia aslinya) :
$ P = B \times D = \left( \begin{matrix} 25 & 15 \\ 21 & 14 \\ -6 & -2 \\ 61 & 38 \\ -34 & -19 \\ 54 & 35 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 7\\ -6 & 8 \\ 8 & 7 \\ -11 & 7\\ 3 & 13 \end{matrix} \right) $
Sehingga yang dibaca oleh penerima adalah matriks P dengan isi pesan rahasianya : 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13 , kemudian dicocokkan dengan kode sandi yang ada dan terbacalah menjadi I LOVE MOMMY.

Sumber : Buku K13.


Dari contoh di atas, urutan pengiriman pesan rahasianya :
i). Pengirim ingin mengirim pesan rahasia : 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13 . Namun pesan rahasia ini di enskripsi dulu dengan matriks E, sehingga menjadi 25 21 -6 61 -34 54 15 14 -2 38 -19 35 . Pesan rahasia yang sudah terEnskripsi inilah yang dikirimkan ke penerima pesan lengkap dengan matriks E.
ii). Penemrima pesan menerima pesan : 25 21 -6 61 -34 54 15 14 -2 38 -19 35 . Kemudian pesan ini diDekripsi dengan menggunakan matriks D sehingga menjadi 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13.
iii). Pesan rahasia 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13 inilah yang dibaca oleh penerima menggunakan kode sandi yang ada, dan terjemahannya adalah I LOVE MOMMY .

         Kode sandi rahasia biasanya dalam bentuk pesan rahasia yang dikirimkan oleh pihak tertentu kemudian kita terjemahkan pesan rahasia tersebut menggunakan kode sandi rahasia yang ada. Pesan rahasia ini tentu sifatnya terbatas dan penting dimana yang boleh mengetahui hanya dua belah pihak saja (pengirim dan penerima). Misalkan setiap negara pasti memiliki kode sandi rahasia untuk menjaga kedaulatannya masing-masing dan agar tidak diketahui oleh negara lain. Contoh lain adalah pengiriman email, dimana email yang kita kirim sudah di enkripsi menjadi bentuk lain sehingga orang lain tidak mudah untuk mengetahui isi email yang kita kirimkan. Terkadang juga proses Enskripsi dan Dekripsi ini berlangsung otomatis tanpa diketahui oleh pengguna seperti pada media sosial yang ada misalnya WhatsApp (WA).

         Demikian penjelasan atau Penerapan Invers Matriks pada Kode Sandi Rahasia. Semoga akan menambah wawasan tentang penggunaan matriks pada kehidupan sehari-hari bagi kita semua.

Rabu, 09 September 2015

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Penerapannya

         Blog Koma - Operasi Baris Elementer (OBE) merupakan suatu operasi yang diterapkan pada baris suatu matriks. OBE bisa digunakan untuk menentukan invers suatu matriks dan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear (SPL). Untuk cara menentukan invers sobat bisa baca artikel "Determinan dan invers matriks", dan menyelesaikan SPL dengan konsep matriks sobat bisa membaca artikel "Penerapan matriks pada SPL".
         Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan "Eliminasi Gauss-Jordan". Materi OBE ini sebenarnya dipelajari pada tingkat perkuliahan, untuk tingkat SMA jarang yang membahasnya. Hal ini dikarenakan tingkatnya sudah lebih sulit dari materi matriks lain yang sudah dibahas.

Operasi Baris Elementer (OBE)
Perhatikan matriks berordo $ m \times n \, $ berikut :
                  $ A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m1} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right] $
Kita menyebut masing-masing ($a_{i1} \, ... \, a_{in}$) sebagai baris-baris dari matriks A. Pada matriks A kita dapat melakukan operasi-operasi berikut :
         1). mengalikan suatu baris dengan bilangan tak nol,
         2). menambahkan kelipatan suatu baris pada baris lain,
         3). menukarkan sebarang dua buah baris,
Ketiga operasi di atas disebut Operasi Baris Elementer (OBE). Ketiga operasi OBE bisa digunakan atau hanya menggunakan salah satunya saja. Suatu matriks $ A^\prime \, $ yang diperoleh dari proses sejumlah hingga OBE pada matriks A, dikatakan ekuivalen dengan matriks A, yang dapat dinotasikan dengan $ A \sim A^\prime $ .
Catatan :
Simbol yang digunakan untuk ketiga operasi :
*). Operasi I, simbolnya $ kR_i \rightarrow R_i \, $ artinya baris ke-$i$ berubah setelah dikalikan $ k $
*). Operasi II, simbolnya $ R_i +kR_j \rightarrow R_i \, $ artinya baris ke-$i$ berubah setelah dilakukan penjumlahan $ R_i + kR_j $
*). Operasi III, simbolnya $ R_i \leftrightarrow R_j \, $ artinya kedua baris berubah dengan bertukar posisi.

Contohnya :
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] $
Tentukan matriks baru yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) berikut ini secara berurutan : $ 2R_1 , R_2 \leftrightarrow R_3, R_2 + 3R_3 $
Penyelesaian :
*). Pertama : $ 2R_1 \, $ artinya baris satu dikalikan dengan 2, hasilnya adalah :
$ A_{op1} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] $
*). Kedua : dilanjutnkan dengan $ R_2 \leftrightarrow R_3 \, $ artinya baris 2 dan 3 ditukar, diperoleh :
$ A_{op12} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
*). ketiga : dilanjutkan dengan $ R_2 + 3R_3 \, $ artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga, hasilnya
$ A_{op123} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 + 3.2 & -2 + 3.4 & 3 + 3.5 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
$ A_{op123} = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $
Kalau ditulis secara lengkap adalah
$ \begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \\ & 2R_1 \rightarrow R_1 \\ & \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -2 \\ 2 & 4 & 5 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix} \right] \\ & R_2 \leftrightarrow R_3 \\ & \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ -1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] \\ & R_2 + 3R_3 \rightarrow R_2 \\ & \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi matriks baru yang diperoleh dari hasil OBE adalah $ A^\prime = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & -4 \\ 5 & 10 & 18 \\ 2 & 4 & 5 \end{matrix} \right] $

Penerapan OBE untuk menentukan invers matriks
         Untuk menentukan invers matriks persegi A, dapat menggunakan sejumlah Operasi baris elementer (OBE) pada matriks A dan melakukan urutan OBE yang sama pada matriks I (matriks identitas).

         Konsepnya : $ [A|I] \, \text{ Dilakukan OBE } \, [I|A^{-1}] $

         dengan $ A^{-1} \, $ menyatakan invers matriks A.
Artinya dengan OBE kita akan mengubah A menjadi matriks I (identitas).
Catatan : Jika setelah dilakukan beberapa kali OBE dan diperoleh salah satu baris isinya nol semua, maka matriks tersebut tidak mempunyai invers karena determinannya sama dengan nol.

Contoh : Tentukan invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian : Kita gabungkan kedua matriks A dan I dan kita lakukan OBE
bentuk awal : $[A|I] : \, \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 8 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_2 - 2R_1 \rightarrow R_2 \\ R_3 - R_1 \rightarrow R_3 \end{array} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 5 & | & -1 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ R_3 +2R_2 \rightarrow R_3 \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & | & -5 & 2 & 1 \end{matrix} \right) $
$ (-1)R_3 \rightarrow R_3 \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_1 - 3R_3 \rightarrow R_1 \\ R_2 + 3R_3 \rightarrow R_2 \end{array} \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & | & -14 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
$ R_1 - 2R_2 \rightarrow R_1 \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & -40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
Bentuk akhir : $ [I|A^{-1}] : \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & -40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & 13 & -5 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $
Jadi, invers matriks A adalah $ A^{-1} = \left( \begin{matrix} -40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $

Penerapan OBE untuk menyelesaikan SPL
         Penerapan Operasi Baris Elementer (OBE) dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) dikenal dengan nama Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan. Untuk penerapan matriks yaitu menggunakan konsep determinan dan invers matriks dalam menyelesaikan SPL, sobat bisa baca artikel "Penerapan matriks pada SPL". Namun pada artikel ini kita akan lebih mendalam membahas penerapan OBE. Berikut ada beberapa istilah yang harus kita ketahui dahulu sebelum menyelesaikan SPL dengan OBE.

Matriks Eselon Baris (MEB)
         Suatu matriks disebut sebagai Matriks Eselon Baris (MEB) jika memenuhi :
1). Jika memeuat baris tak nol maka entri tak nol paling kiri adalah 1, selanjutnya elemen tersebut (angka 1) kita sebut sebagai elemen pivot.
2). Untuk sebarang dua baris tak nol yang berurutan, elemen pivot baris lebih bawah terletak lebih kanan.
3). Jika memuat baris-baris nol maka semuanya terletak dibagian bawah matriks.
Berikut contoh-contoh matriks eselon baris :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 5 & 9 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{matrix} \right), D = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, E = \left( \begin{matrix} 1 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $

Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT)
         Suatu matriks disebut sebagai Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT) jika matriks tersebut merupakan Matriks Eselon baris dimana setiap kolom yang mempunyai elemen pivot mempunyai nol pada entri yang lain pada kolom pivot tersebut
Berikut contoh-contoh matriks eselon baris Tereduksi :
$ A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 8 \end{matrix} \right), D = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) , \, E = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $

Matriks Lengkap atau matriks augmentasi (augmented matrix form)
Misalkan ada sistem persamaan linear (SPL)
SPL $ \left\{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_1 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_2 = b_2 \\ .... ..+ ..... + ... ... + .... .. = ...... \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \end{array} \right. $
Bentuk matriksnya adalah $ A_{m \times n} X_{n \times 1} = B_{m \times 1}, $ yaitu
$ \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_m \end{matrix} \right) $
dengan $ A_{m \times n} = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{matrix} \right) , \, X_{n \times 1} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{matrix} \right) , \, $ dan $ B_{m \times 1} = \left( \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_m \end{matrix} \right) $

Matriks lengkap adalah matriks yang digabung antara matriks koefisien (matriks A) dengan matriks konstanta (matriks B), sehingga
matriks lengkap berbentuk : $ [A|B] $ yaitu
$ \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} & | & b_2 \\ ... & ... & ... & ...&|&... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} &|& b_m \end{matrix} \right) $
Contoh : Tentukan bentuk matriks lengkap dari kedua bentuk SPL berikut.
a). SPL $ \left\{ \begin{array}{c} 2x - y = 3 \\ -3x + 5y = 9 \end{array} \right. \, \, \, $ b). SPL $ \left\{ \begin{array}{c} x+y-z = 3 \\ 2x - 3y + 5z = 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian : ubah SPL ke dalam bentuk matriks
a). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ 9 \end{matrix} \right) $
Matriks lengkapnya : $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 & | & 3 \\ -3 & 5 & | & 9 \end{matrix} \right) $
b). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -3 & 5 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ 6 \end{matrix} \right) $
Matriks lengkapnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & | & 3 \\ 2 & -3 & 5 & | & 6 \end{matrix} \right) $

Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gaus
         Mengubah Matriks lengkap yang terbentuk dengan OBE menjadi MEB

Eliminasi Gaus-Jordan
         Mengubah Matriks lengkap yang terbentuk dengan OBE menjadi MEBT

Langkah - langkah penyelesaian SPL :
1). Tentukan bentuk matriksnya
2). Tentukan matriks lengkapnya
3). lakukan OBE sehingga terbentuk MEB (eliminasi gauss) atau MEBT (eliminasi gauss-jordan)
Contoh :
Tentukan penyelesaian dari SPL berikut:
SPL $ \left\{ \begin{array}{c} x + y - 2z = 4 \\ 3x - y + z = 1 \\ 2x + 3y + 3z = 2 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
*). Matriks lengkap : $ [A|B] = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & -1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 3 & 3 & | & 2 \end{matrix} \right) $
*). Melakukan OBE

Cara I : Eliminasi Gauss
Matriks lengkap : $ [A|B] = \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 3 & -1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 3 & 3 & | & 2 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_2 -3R_1 \rightarrow R_2 \\ R_3 - 2R_1 \rightarrow R_3 \end{array} \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & -4 & 7 & | & -11 \\ 0 & 1 & 7 & | & -6 \end{matrix} \right) $
$ -\frac{1}{4}R_2 \rightarrow R_2 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 1 & 7 & | & -6 \end{matrix} \right) $
$ R_3 - R_2 \rightarrow R_3 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & \frac{35}{4} & | & -\frac{35}{4} \end{matrix} \right) $
$ \frac{4}{35}R_3 \rightarrow R_3 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
Diperoleh SPL baru yang ekuivalen dengan SPL pada soal yaitu :
$ \begin{align} x + y - 2z & = 4 \\ y -\frac{7}{4}z & = \frac{11}{4} \\ z & = -1 \end{align} $
Sehingga solusinya :
$ z = -1, $
$ y -\frac{7}{4}z = \frac{11}{4} \rightarrow y -\frac{7}{4}(-1) = \frac{11}{4} \rightarrow y = 1 $
$ x + y - 2z = 4 \rightarrow x + 1 - 2(-1) = 4 \rightarrow x = 1 $
Jadi solusinya adalah $ x = 1, \, y=1, \, $ dan $ z = -1 $

Cara II : Eliminasi Gauss-Jordan
Untuk eliminasi Gauss-Jordan, kita harus mengubah matriks lengkap menjadi MEBT dengan melanjutkan OBE dari hasil pada eliminasi gaus di atas.
Bentuk terakhir : $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
$ R_1 - R_2 \rightarrow R_1 \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 0 & -\frac{1}{4} & | & \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & \frac{11}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{array}{c} R_1 +\frac{1}{4}R_3 \rightarrow R_1 \\ R_2 + \frac{7}{4}R_3 \rightarrow R_2 \end{array} \, \, \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 \end{matrix} \right) $
Diperoleh SPL baru yang ekuivalen dengan SPL pada soal yaitu :
SPL baru $ \left\{ \begin{array}{c} x & = 1 \\ y & = 1 \\ z & = -1 \end{array} \right.$
Jadi solusinya adalah $ x = 1, \, y=1, \, $ dan $ z = -1 $

Selasa, 08 September 2015

Penerapan matriks pada SPL

         Blog Koma - Penerapan matriks pada SPL (Sistem Persamaan Linear) merupakan suatu aplikasi matriks untuk menyelesaikan suatu bentuk Sistem persamaan Linear dengan menggunakan konsep invers dan determinan. Agar bisa menguasai materi ini, kita harus menguasai materi tentang determinan dan invers matriks dengan baik serta harus menguasai sifat determinan dan invers. Berikut penjelasan lebih lengkapnya
         Penerapan matriks pada SPL (Sistem Persamaan Linear) sangat cocok jika kita aplikasikan langsung pada komputer. Hal ini karena penghitungan menggunakan matriks akan sistematis yaitu metode invers dan metode determinan (Cramer). Memang untuk sistem persamaan linear yang terdiri dari dua variabel atau tiga variabel, penyelesaian dengan teknik substitusi-eliminasi akan mudah, tetapi jika sudah melibatkan empat variabel atau lebih, maka dengan penerapan matriks pada SPL akan lebih cocok dikombinasikan dengan komputerisasi.

         Penerapan matriks pada sistem persamaan linear (SPL) membutuhkan ketelitian dalam penghitungan karena akan melibatkan banyak sekali angka-angka yang akan kita bentuk menjadi suatu bentuk persamaan matriks dari sistem persamaan linear (SPL) yang ada. Metode matriks pada SPL terkadang sangat kita butuhkan karena memang ada jenis soal tertentu yang mengharuskan atau diketahui dalam bentuk matriks sehingga mau tidak mau harus kita selesaikan dengan metode matriks. Dengan banyak berlatih soal-soal, pasti kita akan bisa dengan lancar untuk menguasai materi ini.

Mengubah SPL menjadi bentuk matriks
         Sistem persamaan linear (SPL) harus diubah dulu dalam bentuk persamaan matriks, setelah itu baru kita menerapkan konsep matriks yaitu invers dan determinan.
Sistem persamaan dua variabel $ x \, $ dan $ y $ :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal(matriks koefisien)
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil(matriks konstanta)

Sistem persamaan tiga variabel $ x, \, y \, $ dan $ z $:
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} $
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
Keterangan :
$ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks awal
$ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks variabel yang kita cari nilainya
$ \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) \, $ kita sebut matriks hasil

Penerapan invers pada SPL
         Untuk menerapkan invers dalam menyelesaikan SPL, kita menggunakan sifat invers yaitu :
                           $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
dengan $ A \, $ sebagai matriks awal, $ B \, $ sebagai matriks variabel, $ C \, $ sebagai matriks hasil, dan $ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks $ A. $

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang memenuhi sistem persamaan linear (SPL) dengan menggunakan konsep invers matriks
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} x - y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
kita misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right), \, $ dan $ C = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
Menentukan matriks B :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ AB & = C \\ B & = A^{-1}C \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ menentukan inversnya} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1.1 - 2.(-1)} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ mengalikan matriksnya} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{3} \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{3}{3} \\ \frac{-3}{3} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1 \, $ dan $ y = -1 $

2). Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan konsep invers matriks
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} 3y + 2z = 1 \\ x + y = 2 \\ 4x -2y -z = 3 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
kita misalkan $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right), \, $ dan $ C = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
invers matriks A berdasarkan artikel " Determinan dan Invers Matriks " adalah
$ A^{-1} = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
untuk cara menentukan invers matriks A ini, langsung saja lihat artikel " Determinan dan Invers Matriks "
Menentukan matriks B :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -9 \\ -9 \\ 9 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1, \, y = 1 \, $ dan $ z = -1 $

Penerapan determinan pada SPL
         Penerapan determinan matriks pada penyelesaian SPL sering dikenal dengan nama cara "Cramer"
*). Penyelesaian SPL dua variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y& = c_1 \\ a_2x + b_2y&=c_2 \end{align} \Rightarrow $ $ \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \right) $
         Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} \, $ dan $ y = \frac{D_y}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right| $

*). Penyelesaian SPL tiga variabel :
$ \begin{align} a_1x +b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{align} \Rightarrow \left( \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{matrix} \right) $
         Solusinya : $ x = \frac{D_x}{D} , \, y = \frac{D_y}{D} \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} $
keterangan :
$ D \, $ adalah determinan matriks awal yaitu $ D = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_x \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ x \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_x = \left| \begin{matrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_y \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ y \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_y = \left| \begin{matrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{matrix} \right| $
$ D_z \, $ adalah determinan matriks dengan mengganti kolom $ z \, $ pada matriks awal dengan matriks hasil yaitu $ D_z = \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{matrix} \right| $

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang memenuhi sistem persamaan linear (SPL) dengan menggunakan konsep determinan matriks (cara cramer)
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} x - y = 2 \\ 2x + y = 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $
$ D = \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| = 1.1 - (-1) . 2 = 3 $
$ D_x = \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right| = 2.1 - (-1) . 1 = 3 $
$ D_y = \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right| = 1.1 - 2 . 1 = -3 $
Solusinya :
$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{3}{3} = 1 \, $ dan $ x = \frac{D_y}{D} = \frac{-3}{3} = -1 $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1 \, $ dan $ y = -1 $

2). Tentukan penyelesaian dari SPL berikut dengan cara cramer
$ SPL \left\{ \begin{array}{c} 3y + 2z = 1 \\ x + y = 2 \\ 4x -2y -z = 3 \end{array} \right. $
Penyelesaian : kita ubah dalam bentuk matriks dulu
bentuk matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} D_x & = \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \end{matrix} \right| = -9 \\ D_y & = \left| \begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & -1 \end{matrix} \right| -9 \\ D_z & = \left| \begin{matrix} 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \end{matrix} \right| = 9 \end{align} $
Solusinya :
$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-9}{-9} = 1, \, y = \frac{D_y}{D} = \frac{-9}{-9} = 1 \, $ dan $ z = \frac{D_z}{D} = \frac{9}{-9} = -1 $
Jadi, solusi SPLnya adalah $ x = 1, \, y = 1 \, $ dan $ z = -1 $

         Ada cara lain untuk menyelesaikan SPL yaitu teknik substitusi dan eliminasi. Selain itu juga ada cara lain lagi yaitu menggunakan cara "Operasi Baris Elementer (OBE)" pada matriks yang lebih dikenal dengan nama Eliminasi Gauss-Jordan. Untuk materi OBE bisa sobat baca pada artikel " Operasi Baris Elementer dan penerapannya " .

Jumat, 04 September 2015

Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks

         Blog Koma - Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks akan membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal yang ada kaitannya dengan determinan dan invers matriks dengan lebih mudah. Untuk materi dasar tentang determinan dan invers, sobat bisa langsung baca artikel "Determinan dan Invers Matriks" .
         Bahkan dengan Sifat-sifat determinan dan invers matriks akan mampu membantu kita mempercepat dalam menyelesaikan suatu soal-soal yang berkaitan dengan determinan dan invers. Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, banyak sekali soal-soal matriks harus kita selesaikan dengan sifat-sifatnya. Jadi, penting bagi teman-teman untuk menguasai sifat-sifat determinan dan invers matriks.

Sifat-sifat determinan matriks
     Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan :
1). $ |A^t| = |A| $
2). $ |A.B| = |A| . |B| $
3). $ |A^n| = |A|^n $
4). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
5). $ |k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A| $

Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan $ |A.B.C| = |A|.|B|.|C| $ dan seterusnya.

Contoh :
1). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} -2 & -1 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) $
Tentukan nilai dari
a). $ |A| \, $ dan $ |B| $
b). $ |A^t| $
c). $ |A.B| $
d). $ |A^5| $
e). $ |A^{-1}| $
f). $ |3A| $
Penyelesaian : Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan
a). $ |A| = 4.3 - 2.5 = 12 - 10 = 2 \, $ dan $ |B| = (-2).1 - (-1).(-3) = -2 - 3 = -5 $
b). untuk menentukan nilai $ |A^t| \, $ kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.
sehingga $ |A^t| = |A| = 2 $
c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian $ AB \, $ lalu mencari determinannya.
sehingga $ |A.B| = |A|.|B| = 2 . (-5) = -10 $
d). Kita tidak perlu mencari nilai $ A^5 \, $ , langsung menggunakan sifat nomor 3.
sehingga $ |A^5| = |A|^5 = 2^5 = 32 $
e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai $ A^{-1} \, $ (inversnya).
sehingga $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{2} $
f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A.
sehingga $ |3A_{2 \times 2}| = 3^2 . |A| = 9 . 2 = 18 $

2). Suatu matriks A berordo $ 3 \times 3 \, $ memiliki nilai determinan 5, tentukan nilai determinan 2A ?
Penyelesaian :
Berdasarkan sifat nomor 5,
$ |2A| = |2A_{3 \times 3} | = 2^3 . |A| = 8 . 5 = 40 $
Jadi, determinan matriks 2A adalah 40.

3). Dari persamaan matriks berikut
$ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $
tentukan nilai determinan matriks A ?
Penyelesaian :
         Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu karena akan sulit dan butuh waktu yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2 dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) A \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right) \right| & = \left| \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \right| \\ \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| . \left|A \right| .\left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} 4 & 2 \\ 0 & 10 \end{matrix} \right|.\left| \begin{matrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ (4.3-2.5).(1.3-2.2).|A|.(2.6-2.1) & = (4.10-0.2).(0.3-3.1) \\ (12-10).(3-4).|A|.(12-2) & = (40 - 0).(0 - 3) \\ 2.(-1).|A|.(10) & = (40).(- 3) \\ (-20).|A| & = -120 \\ |A| & = \frac{-120}{-20} = 6 \end{align} $
Jadi, nilai determinan matriks A adalah 6.

Sifat-sifat invers matriks
     Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki invers serta I adalah matriks identitas. Berikut beberapa sifat-sifat invers :
1). $ (A^{-1})^{-1} = A $
2). $ A^{-1} . A = A.A^{-1} = I $
3). $ AB = I \, $ artinya A dan B saling invers yaitu $ A^{-1} = B \, $ dan $ B^{-1} = A $
4). $ (AB)^{-1} = B^{-1} . A^{-1} $
5). $ AB = C \, \text{ maka } \, \left\{ \begin{array}{c} A = C.B^{-1} \\ B = A^{-1} . C \end{array} \right. $

Contoh :
1). Dari persamaan matriks $ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, $ tentukan matriks X yang berordo $ 2 \times 2 \, $ ?
Penyelesaian :
         Untuk menyelesaikan soal ini kita menggunakan sifat nomor 5 pada sifat-sifat invers yaitu $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
langsung kita gunakan sifat nomor 5.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right) X & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ 5 & 3 \end{matrix} \right)^{-1} . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan invers)} \\ X & = \frac{1}{4.3 - 2.5} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ -5 & 4 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{ (menentukan perkalian)} \\ X & = \frac{1}{2} . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) \\ X & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, diperoleh mariks $ X = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{matrix} \right) $

2). Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B^{-1} = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) \, , $ tentukan nilai $ (A^{-1}. B)^{-1} $
Penyelesaian :
         Kita menggunakan sifat nomor 1 dan nomor 4 pada sifat-sifat invers
$ \begin{align} (A^{-1}. B)^{-1} & = (B)^{-1} . (A^{-1})^{-1} \, \, \, \, \text{(sifat nomor 4)} \\ & = (B)^{-1} . A \, \, \, \, \text{(sifat nomor 1)} \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, diperoleh hasil $ (A^{-1}. B)^{-1} = \left( \begin{matrix} 14 & 1 \\ 27 & 6 \end{matrix} \right) $

         Dari contoh soal-soal dan pembahasan di atas, tentu kita berpikir bahwa dengan menggunakan sifat-sifat determinan dan invers matriks akan sangat memudahkan kita dalam menyelesaikan soal-soalnya. Untuk pendalaman penggunaan sifat-sifatnya, silahkan teman-teman baca dan latihan pada kumpulan soal-soal matriks seleksi masuk perguruan tinggi.

Determinan dan Invers Matriks

         Blog Koma - Pada artikel sebelumnya kita telah mempelajari tentang pengenalan matriks dan operasi hitung pada matriks. Kali ini kita akan membahas tentang determinan dan invers suatu matriks. Determinan matriks merepresentasikan suatu bilangan tunggal. Determinan diperoleh dengan mengalikan dan menjumlahkan elemen-elemen matriks dengan cara yang khusus.

         Determinan dan Invers suatu matriks sangat berguna dalam penerapan matriks. Salah satunya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang bisa kita selesaikan baik menggunakan metode determinan atau metode invers. Metode matriks ini kita pilih karena secara komputasi akan mudah diterapkan, hal ini terjadi karena perhitungan determinan dan invers berlaku secara sistematis dan pasti.

Determinan Matriks
         Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi, sobat bisa baca materi "jenis - jenis matriks" . Determinan matriks A bisa ditulis det(A) atau |A|.

Determinan matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d - b\times c $
Determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ cara Sarrus
Untuk menentukan determinan matriks $ 3 \times 3 \, $ dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
determinan matriks A adalah :
 Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks $ 3 \times 3 \, $ saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor . Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks persegi.

Contoh :
Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian :
*). determinan matriks A ,
$ |A| = 2 .5 - 1.4 = 10 - 4 = 6 $
*). determinan matriks B ,

Determinan matriks menggunakan Metode Kofaktor
         Metode kofaktor merupakan metode umum yang dapat digunakan untuk menentukan determinan dan invers suatu matriks. Sebelum menentukan kofaktornya, kita harus menentukan sub matriksnya atau minornya terlebih dahulu.
Pengertian Minor suatu matriks
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan $ M_{ij} \, $ adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-$i \, $ dan elemen-elemen pada kolom ke-$j$.
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right) $
Adapun Minor matriks A pada baris satu :
 $ M_{11}, \, M_{12} , \, $ dan $ M_{13} \, $ merupakan submatriks (minor) hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A.
Pengertian kofaktor suatu matriks
Kofaktor suatu elemen baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari matriks A dilambangkan dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $ . Bentuk $|M_{ij}| $ menyatakan determinan dari minor $ M_{ij} $ . Untuk menentukan nilai determinan matriks A dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja, misalkan ekspansi baris ke-1.

Determinan matriks A berdasarkan ekspansi baris ke-1
$ |A| = a_{11}. k_{11} + a_{12}.k_{12} + a_{13}.k_{13} $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . |M_{11}| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . |M_{12}| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . |M_{13}| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{(1+1)} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{(1+2)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{(1+3)} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.(-1)^{2} . \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1)^{3} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.(-1)^{4} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}.1. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{12}.(-1) . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13}.1 . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $
$ |A| = a_{11}. \left|\begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right| - a_{12}. \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix}\right| + a_{13} . \left|\begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}\right| $

Catatan : menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.

Contoh : Tentukan determinan matriks $ B = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & -3 & 4 \end{matrix} \right) $
Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1
*). Menentukan minor baris ke-1
*). Menentukan kofaktor ekspansi baris ke-1
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)}. |M_{11}| = (-1)^2. 12 = 12 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)}. |M_{12}| = (-1)^3. (-4) = (-1).(-4) = 4 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)}. |M_{13}| = (-1)^4. (-3) = -3 $
*). Menentukan determinan ekspansi baris ke-1
$\begin{align} |B| & = b_{11}.k_{11} + b_{12}.k_{12} + b_{13}.k_{13} \\ & = 2.12 + 1.4 + 3.(-3) \\ & = 24 + 4 + (-9) \\ & = 19 \end{align} $
Jadi determinan matriks B adalah 19.

Invers Matriks
         Invers suatu matriks dilambangkan $ A^{-1} \, $ , $ A^{-1} \, $ melambangkan invers dari matriks A. Secara umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers.

Invers matriks $ 2 \times 2 $
Misalkan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
det(A) = |A| = $ a \times d - b\times c $
invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Contoh :
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Determinan matriks A : $ |A| = 3.1 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $
*). Invers matriks A :
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = -1 \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $
Jadi, invers matriks A adalah $ A ^{-1} = \left( \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix} \right) $

Invers matriks $ 3 \times 3 \, $ dengan metode kofaktor
Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A adalah
                  $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $
$adj(A) \, $ artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.
Misalkan matriks kofaktornya : $ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) $
dengan $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
maka adjoin matriks A adalah $ adj(A) = K^t $ .
Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor.
Catatan :
Rumus invers matriks A adalah $ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) $ , dari rumus ini diperoleh :
*). Jika $ |A| = 0 \, $ (determinan = 0) , maka matriks tidak punya invers (disebut matriks singular)
*). Jika $ |A| \neq 0 \, $ (determinan $ \neq $ 0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)

Contoh :
Tentukan invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 \end{matrix} \right) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan determinan matriks A
*). Menentukan Minor matriks A
*). Menentukan matriks kofaktornya : $ k_{ij} = (-1)^{(i+j)} \times |M_{ij}| $
$ k_{11} = (-1)^{(1+1)} . |M_{11}| = (-1)^2 . (-1) = -1 $
$ k_{12} = (-1)^{(1+2)} . |M_{12}| = (-1)^3 . (-1) = 1 $
$ k_{13} = (-1)^{(1+3)} . |M_{13}| = (-1)^4 . (-6) = -6 $
$ k_{21} = (-1)^{(2+1)} . |M_{21}| = (-1)^3 . (1) = -1 $
$ k_{22} = (-1)^{(2+2)} . |M_{22}| = (-1)^4 . (-8) = -8 $
$ k_{23} = (-1)^{(2+3)} . |M_{23}| = (-1)^5 . (-12) = 12 $
$ k_{31} = (-1)^{(3+1)} . |M_{31}| = (-1)^4 . (-2) = -2 $
$ k_{32} = (-1)^{(3+2)} . |M_{32}| = (-1)^5 . (-2) = 2 $
$ k_{33} = (-1)^{(3+3)} . |M_{33}| = (-1)^6 . (-3) = -3 $
Sehingga matriks kofaktornya :
$ K = \left( \begin{matrix} k_{11} & k_{12} & k_{13} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 1 & -6 \\ -1 & -8 & 12 \\ -2 & 2 & -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan adjoin matriks A
$ adj(A) = K^t = \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
*). invers matriks A
$ A^{-1} = \frac{1}{|A|} . adj(A) = \frac{1}{-9} \left( \begin{matrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & -8 & 2 \\ -6 & 12 & -3 \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{-1}{9} & \frac{8}{9} & \frac{-2}{9} \\ \frac{6}{9} & \frac{-12}{9} & \frac{3}{9} \end{matrix} \right) $

         Setelah kita memahami tentang determinan dan invers suatu matriks persegi, selanjutnya kita harus menguasai materi yang tidak kalah pentingnya lagi yaitu tentang sifat-sifat determinan dan invers. Silahkan baca materinya dengan klik "Sifat- sifat Determinan dan Invers Matriks".

         Untuk menentukan invers suatu matriks, bisa menggunakan "Operasi Baris Elementer (OBE)". Determinan dan invers suatu matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Untuk penjelasannya, bisa sobat baca pada artikel "Penerapan matriks pada SPL" .

Selasa, 01 September 2015

Operasi Hitung pada Matriks

         Blog Koma - Operasi hitung pada matriks yang ada pada matriks adalah operasi pnjumlahan, operasi pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks (perkalian skalar), dan perkalian dua matriks (perkalian matriks). Untuk memudahkan dalam penguasaan operasi hitung pada matriks, kita harus memahami tentang ordo matriks yang bisa sobat baca pada artikel "Pengenalan Matriks". Berikut penjelasan masing-masing.

         Operasi hitung pada matriks sebenarnya tidaklah sulit, hanya butuh ketelitian ekstra dalam perhitungannya. Dari semua operasi hitung yang akan kita bahas, operasi Perkalian dua matriks yang agak sulit bentuk perhitungannya, karena kita akan mengkombinasikan operasi perkalian dan penjumlahan. Tapi tenang saja, dengan banyak berlatih melakukan perkalian dua matriks, maka kita pasti akan terbiasa dalam melakukan operasi perhitungan dua matriks atau lebih.

         Pada Operasi hitung matriks, kenapa tidak ada pembagian? ini terjadi karena pada perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Semisalkan bentuk $ \frac{A}{B} = \frac{1}{B} \times A \neq A \times \frac{1}{B} \, $ . Dari bentuk inilah maka operasi hitung pembagian pada matriks tidak ada. Yang ada nantinya adalah bentuk invers dari matriks dikalikan dengan matriks bukan inversnya.

Penjulahan dua matriks
Misalkan A dan B adalah matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan $ b_{ij} $ . Jika matriks C adalah jumlah matriks A dengan matriks B, ditulis C = A + B, matriks C juga berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen ditentukan oleh:
$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \, $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).
Sifat-sifat penjumlahan pada matriks
*). Komutatif : $A + B = B + A$
*). Assosiatif : $(A + B) + C = A + (B + C) $
*). penjumlahan berulang : $ kA = \underbrace{A + A + A + ... + A}_{\text{sebanyak } k} $
Pengurangan dua matriks
Misalkan A dan B adalah matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan $ b_{ij} $ . Jika matriks C adalah pengurangan matriks A dengan matriks B, ditulis C = A $ - $ B, matriks C juga berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen ditentukan oleh:
$ c_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \, $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).
Catatan:
Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika dan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan atau pengurangan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.

Untuk lebih memahami maksud dari teori di atas, langsung saja kita simak contoh - contoh berikut.
Contoh 1
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right), \, D = \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari :
a). $ A + B \, $ b). $ A - B \, $ c). $ A + C \, $ d). $ C + D $
Penyelesaian :
a). $ A + B $
$ \begin{align} A + B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 5 & -1 + 2 & 3 + (-1) \\ 1 + 2 & 4 + 1 & (-2) + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
b). $ A - B $
$ \begin{align} A - B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - 5 & -1 - 2 & 3 - (-1) \\ 1 - 2 & 4 - 1 & (-2) - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & -3 & 4 \\ -1 & 3 & -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). $ A + C $
Operasi hitung $ A + C \, $ tidak bisa dilakukan karena ordonya berbeda.
d). $ C + D $
$ \begin{align} C + D & = \left( \begin{matrix} 3 & 2 \\ -1 & 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & y + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 + x & 2 + (-1) \\ (-1) + 2 & 6 + (y + 3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} x + 3 & 1 \\ 1 & y + 9 \end{matrix} \right) \end{align} $

Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks
Misalkan A adalah suatu matriks berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemen $ a_{ij} \, $ dan $ k \, $ adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real $ k \, $ terhadap matriks A, dinotasikan: $ C = k.A, \, $ bila matriks C berordo $ m \times n \, $ dengan elemen-elemennya ditentukan oleh: $ c_{ij} = k.a_{ij} $ (untuk semua $ i \, $ dan $ j$).
Contoh 2
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari :
a). $ 3A \, $ b). $ -2B \, $ c). $ A + 3B \, $ d). $ 2A - 3B $
Penyelesaian :
a). $ 3A $
$ \begin{align} 3A & = 3\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3.2 & 3.(-1) \\ 3.1 & 3.4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 & -3 \\ 3 & 12 \end{matrix} \right) \end{align} $
b). $ -2B $
$ \begin{align} -2 B & = -2 \left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2.5 & -2.2 \\ -2.2 & -2.1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & -4 \\ -4 & -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). $ A + 3B $
$ \begin{align} A + 3B & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 15 & -1 + 6 \\ 1 + 6 & 4 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 17 & 5 \\ 7 & 7 \end{matrix} \right) \end{align} $ d). $ 2A - 3B $
$ \begin{align} 2A - 3B & = 2\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) - 3\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 2 & 8 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 15 & 6 \\ 6 & 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 - 15 & -2 - 2 \\ 2 - 2 & 8 - 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -11 & -4 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \end{align} $

Perkalian Dua Matriks


Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks A$_{m \times n} \, $ dan matriks B$_{n \times p} \, $, dinotasikan C = A $ \times $ B, maka
*). Matriks C berordo $ m \times p$.
*). Elemen-elemen matriks C pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$, dinotasikan $c_{ij}$, diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-$i$ matriks A dan elemen kolom ke-$j$ matriks B, kemudian dijumlahkan.
Dinotasikan $ c_{ij} = a_{i1}.b_{1j} + a_{i2}.b_{2j} + a_{i3}.b_{3j} + ... + a_{in}.b_{nj} $
Catatan :
*). pada perkalian dua matriks $ AB \, $ hasilnya belum tentu sama dengan $ BA $
*). Dua matriks bisa dikalikan jika dan hanya jika banyak kolom matriks pertama sama dengan banyak baris matriks kedua.
Sifat-sifat perkalian pada matriks
*). Assosiatif : $(A \times B) \times C = A \times (B \times C) $
*). Distributif : $ A \times (B+C) = A \times B + A \times C $
*). Pangkat : $ A^n = \underbrace{A \times A \times A \times ... \times A}_{n \text{ faktor}} $
Contoh 3
Diketahui matriks -matriks berikut :
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) $
$ C = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) , \, D = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) $
$ P = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) , \, Q = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) $
Tentukan hasil dari :
a). $ AB \, $ b). $ CD \, $ c). $ DC \, $ d). $ PQ $ e). $PC$
Penyelesaian :
a). $ AB $
$ \begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a.e+b.g & a.f + b.h \\ c.e + d.g & c.f + d.h \end{matrix} \right) \end{align} $
b). $ CD $
$ \begin{align} CD & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1.5+2.7 & 1.6+2.8 \\ 3.5 + 4.7 & 3.6 + 4.8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5+14 & 6+16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix} \right) \end{align} $
c). $ DC $
$ \begin{align} DC & = \left( \begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5.1+6.3 & 5.2+6.4 \\ 7.1 + 8.3 & 7.2 + 8.4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5+18 & 10+24 \\ 7 + 24 & 14 + 32 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 23 & 24 \\ 31 & 46 \end{matrix} \right) \end{align} $
terlihat bahwa hasil $ CD \neq DC $

d). $ PQ $
$ \begin{align} PQ & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -3 & 5 \\ 6 & -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \text{baris 1 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 1 } \times \text{ kolom 2} \\ \text{baris 2 } \times \text{ kolom 1} & \text{baris 2 } \times \text{ kolom 2}\end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1.1 + 3.(-3) + 2.6 & -1.2 + 3.5 + 2.(-2) \\ 1.1 + 1. (-3) + 1.6 & 1.2 + 1. 5 + 1.(-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + (-9) + 12 & -2 + 15 + (-4) \\ 1 + (-3) + 6 & 2 + 5 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 9 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
e). $ PC $
operasi $ PC \, $ tidak bisa dihitung karena tidak memenuhi syarat ordonya, yaitu banyak kolom matriks $ P \, $ (3 kolom) tidak sama dengan banyak baris matriks $ C \, $ (ada 2 baris).

         Demikian untuk pembahasan operasi hitung pada matriks. Sobat bisa melanjutkan membaca materi determinan dan invers suatu matriks. Kami yakin, dengan banyak berlatih operasi hitung pada matriks, maka teman-teman pasti akan bisa untuk melahap semua soal-soal yang berkaitan dengan operasi hitung matriks seperti operasi penjumlahan, pengurangan, kali skalar, dan kali dua matriks. Semoga materi pada artikel ini bermanfaat untuk kita semua. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

Pengenalan Matriks

         Blog Koma - Matriks adalah salah satu materi wajib yang dipelajari oleh siswa di tingkat SMA. Materi matriks ini menurut saya cukup mudah, hanya saja butuh kesabaran dan ketelitian dalam melakukan penghitungan pada matriks. Pada pengenalan matriks ini kita akan mempelajari beberapa materi yaitu :

Isi Materi matriks :

         Materi Pengenalan Matriks ini hanya membahas sampai kesamaan dua matriks, artinya sub materi seperti operasi hitung, determinan dan invers, serta penerapan matriks akan kita bahas pada artikel lainnya. Pengenalan matriks ini sangat penting bagi kita dalam mempelajari matriks secara matematis sebagai pendahuluan untuk pengetahuan kita tentang matriks.

         Matriks secara umum akan melibatkan angka-angka atau aljabar yang disusun dalam entri-entri tertentu (letaknya pada baris dan kolom ke-$(i,j)$ ). Dalam mempelajari matriks, kita harus teliti karena jika salah satu unsur saja maka akan mengakibatkan kesalahan pada komponen yang lainnya. Ini akan memaksa kita untuk melakukan penghitungan ulang, dan tentu itu akan sangat membutuhkan waktu yang tidak sedikit.

         Berikut penjelasan masing-masing,
Definisi Matriks
       Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa "( )" atau kurung siku "[ ]". Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.
Biasanya pelabelan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, ..., dan seterusnya. Misalkan berikut ada matriks A,

keterangan : $a_{ij} \, $ bilangan real, menyatakan elemen matriks pada baris ke-$i \, $ dan kolom ke-$j, \, i = 1,2,3,...,m; \, j = 1,2,3,...,n. $
$A_{m \times n} \, $ : $ \, m \, $ menyatakan banyak baris matriks A dan $ \, n \, $ menyatakan banyak kolom matriks A.
Ordo Matriks
       Ordo (ukuran) matriks menyatakan ukuran banyaknya baris dan kolom suatu matriks, yang biasanya dinotasikan dengan $ m \times n \, $ (baris $ \times \, $ kolom) , dimana $ m \, $ menyatakan banyak baris dan $ n \, $ menyatakan banyak kolom.
contoh - contoh matriks,
Contoh 1
Berikut contoh matriks
a). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 7 & 5 \end{matrix} \right) $
Matriks $ A \, $ berordo $ 2 \times 3 \, $ artinya banyak baris ada 2 dan kolom ada 3.
nilai elemen baris 1 kolom 1 adalah 3 ($a_{11}=3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 adalah -1 ($a_{12}=-1$)
nilai elemen baris 1 kolom 3 adalah 0 ($a_{13}=-1$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 adalah 1 ($a_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 adalah 7 ($a_{22}=7$)
nilai elemen baris 2 kolom 3 adalah 5 ($a_{23}=5$)

b). Matriks $ P = \left[ \begin{matrix} -3 & 4 \\ 1 & 6 \end{matrix} \right] $
Matriks $ P \, $ berordo $ 2 \times 2 \, $ artinya banyak baris ada 2 dan kolom ada 2.
nilai elemen baris 1 kolom 1 adalah -3 ($p_{11}=-3$)
nilai elemen baris 1 kolom 2 adalah 4 ($p_{12}=4$)
nilai elemen baris 2 kolom 1 adalah 1 ($p_{21}=1$)
nilai elemen baris 2 kolom 2 adalah 6 ($p_{22}=6$)
Contoh 2
Tentukan matriks $ 2 \times 2 \, $ , dengan $ B = [b_{ij}] \, $ yang memenuhi kondisi $ b_{ij} = j^{(i+1)} $ !
Penyelesaian : Misalkan matriksnya yaitu
Matriks $ B_{2 \times 2 } = \left[ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix} \right] $
Dengan kondisi $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai elemennya dengan $ b_{ij} = j^{(i+1)} $
$ b_{11} = 1^{(1+1)} = 1^2 = 1 $
$ b_{12} = 2^{(1+1)} = 2^2 = 4 $
$ b_{21} = 1^{(2+1)} = 1^3 = 1 $
$ b_{22} = 2^{(2+1)} = 2^3 = 8 $
Jadi, matriks yang dimaksud adalah $ B = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 1 & 8 \end{matrix} \right] $

         Berikut beberapa jenis matriks yang dimaksud
a). Matriks Baris
         Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo matriks seperti ini, $ 1 \times n, \, $ dengan $ n \, $ banyak kolomnya.
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 0 & -10 & 3 & 15 \end{matrix} \right] \, $
b). Matriks Kolom
         Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Matriks kolom berordo $ m \times 1, \, $ dengan $ m \, $ banyak barisnya.
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} -7 \\ 2 \\ 21 \end{matrix} \right] \, $
c). Matriks Persegi (bujur sangkar)
         Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Matriks ini memiliki ordo $ n \times n. $
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 51 & 3 \\ 31 & 100 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 1 \\ 9 & 10 & 12 \end{matrix} \right] \, $
catatan :
*). Pada matriks ada istilah diagonal utama (primer) dan diagonal samping (sekunder) seperti matriks berikut ini,


*). Pada matriks persegi ada istilah "Trace". Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 7 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 1 \\ 9 & 10 & 12 \end{matrix} \right] \, $
Trace(A) = 1 + 5 = 6, dan Trace(B) = 7 + 6 + 12 = 35.
d). Matriks Segitiga
         Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah atau di atas elemen diagonal utama bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen-elemen di bawah elemen diagonal utama maka disebut matriks segitiga atas, sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal utama harus bernilai tak nol.
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & 9 \end{matrix} \right] \, $
e). Matriks Diagonal
         Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan pola semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen diagonal utama.
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \, $
f). Matriks skalar
         Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai sama.
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right] \, $
g). Matriks Identitas
         Jika suatu matriks persegi semua elemen diagonal utamanya adalah 1 dan unsur yang lainnya semua nol disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai $ I \, $ berordo $ n \times n. $
Contohnya : $ I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] , \, I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \, $ dan $ I = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \, $
h). Matriks Nol
         Jika semua elemen suatu matriks semuanya bernilai nol disebut matriks nol.
Contohnya : $ O = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right] , \, O = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \, $ dan $ O = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \, $
i). Matriks Simetri
         Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika $ A = A^t $
(matriksnya sama dengan transposenya)
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, $ trasposenya : $ A^t = \left[ \begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right] $
ini berarti matriks A adalah matriks simetri.
j). Matriks Ortogonal
         Matriks A orthogonal jika dan hanya jika $ A^t = A^{-1} $
$ A^{-1} \, $ menyatakan invers dari matriks A, untuk materi invers matriks bisa sobat baca artikel "Determinan dan Invers Matriks"
Contohnya : $ A = \left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] , \, $ trasposenya : $ A^t = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] , \, $ inversnya : $ A^{-1} = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right] $

karena $A^t = A^{-1} , \, $ maka matriks A adalah matriks ortogonal.

         Transpose matriks adalah perubahan baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris. Dengan adanya transpose maka ordo matriksnya juga berubah, misalkan awalnya ordo matriks $ m \times n \, $ dan setelah di transpose ordo berubah menjadi $ n \times m $ .
         Untuk simbol transpose biasanya menggunakan pangkat $ t \, $ atau $ T \, $ . Misalkan ada matriks A, transpose matriks A adalah $ A^t \, $ atau $ A^T . \, $ Jika tidak menggunakan huruf $ t \, $ , biasanya akan diberikan keterangan bahwa yang dipakai tersebut adalah melambangkan transpose, misalkan $ \overline{A} \, $ atau $ A^\prime $ .
Contohnya :
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 5 & 6 & 9 \end{matrix} \right]_{2 \times 3}, \, $ transposenya $ \, A^t = \left[ \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 6 \\ 2 & 9 \end{matrix} \right]_{3 \times 2} \, $
$ B = \left[ \begin{matrix} -4 & 5 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2}, \, $ transposenya $ \, B^t = \left[ \begin{matrix} -4 & 1 \\ 5 & 2 \end{matrix} \right]_{2 \times 2} \, $
$ C = \left[ \begin{matrix} 2 & 7 & 8 \end{matrix} \right]_{1 \times 3}, \, $ transposenya $ \, C^t = \left[ \begin{matrix} 2 \\ 7 \\ 8 \end{matrix} \right]_{3 \times 1} \, $
Sifat - sifat transpose matriks
1). $( A^t)^t = A $
2). $ (A + B)^t = A^t + B^t $
3). $ (A - B)^t = A^t - B^t $
4). $ (AB)^t = B^tA^t $
5). $ (kA)^t = k(A)^t $

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika:
i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
ii. Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B sama, $a_{ij} = b_{ij} \, $ (untuk semua nilai $ i \, $ dan $ j \, $).
Contoh 3
Diantara matriks - matriks berikut, manakah yang sama !
$ A = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, C = \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 9 \end{matrix} \right] $
$ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] , \, Q = \left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right] , \, R = \left[ \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 9 \end{matrix} \right] $
Penyelesaian :
Matriks yang sama adalah $ A = Q \, $ dan $ B = P $
Contoh 4
Diketahui matriks - matriks
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y - 1 \\ 3x + z - 2 \end{matrix} \right) $
Jika $ A^t = B , \, $ maka tentukan nilai $ x + y + z $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Menentukan transposenya :
$ A = \left( \begin{matrix} 6 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix} \right) \Rightarrow A^t = \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x, y, z $
$ \begin{align} A^t & = B \\ \left( \begin{matrix} 6 & 1 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x + 4 & 1 \\ 1 & y - 1 \\ 3x + z - 2 & 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Diperoleh persamaan :
$ 2x + 4 = 6 \rightarrow 2x = 6- 4 \rightarrow 2x = 2 \rightarrow x = 1 $
$ y - 1 = 3 \rightarrow y = 4 $
$ 3x + z - 2 = 2 \rightarrow 3.1 + z - 2 = 2 \rightarrow z = 1 $
sehingga nilai $ x + y + z = 1 + 4 + 1 = 6 $

         Pada Pengenalan matriks ini kita hanya mempelajari materi dasarnya saja. Meskipun demikian, pengenalan matriks ini sangat penting bagi kita, terutama bagi pemula yang ingin menguasai materi matriks dengan mudah dan benar. Soal-soal Matriks biasanya sering keluar untuk ujian nasional maupun untuk tes seleksi masuk perguruan tinggi. Jadi, matriks ini bisa kita target untuk mendulang nilai karena materinya mudah , hanya saja butuh ketelitian lebih untuk mengerjakan soal-soalnya. Dengan banyak berlatih baik teori maupun soalnya, kita pasti akan bisa.