Tampilkan postingan dengan label matematika keuangan. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matematika keuangan. Tampilkan semua postingan

Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

         Blog Koma - Salah satu materi yang kita pelajari dalam matematika keuangan adalah materi "angsuran". Sebenarnya materi angsuran ini sudah kita bahas dalam blog koma ini, silahkan baca artikelnya di "Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan". Rumus angsurannya juga sudah ada pada artikel tersebut yang dilengkapi dengan cara menemukan rumus angsurannya. Terus, apa yang mau kita buktikan lagi pada artikel Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini? Dalam penjabaran untuk menemukan rumus angsuran, terdapat bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ yang mana belum kita berikan penjelasan kenapa hasilnya seperti itu. Akhirnya teman-teman yang senang dengan proses penemuan rumus angsurannya pasti membacanya secara detail dan hanya terkendala atau bingung bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ dapatnya darimana!. Dan kami sebagai penulis juga baru sadar dengan hal itu, terimakasih bagi teman-teman yang mau menanyakannya. Dalam Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, akan kami jabarkan cara menemukan bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ , dimana penjabarannya cukup panjang sehingga kami buatkan dalam artikel khusus ini.

         Untuk memudahkan dalam memahami Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu materi "anuitas dan angsuran", dan "Sisa Pinjaman pada Anuitas ". Langsung saja kita bahas salah satu cara dalam pembuktian rumus angsuran berikut ini.

Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ dapat dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

$\spadesuit \, $ Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran
       Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n - b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n - b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sehingga dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ ... & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran yaitu :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Fokus kita sekarang adalah bagaimana cara memperoleh bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $
Berikut langkah-langkah dalam pembuktiannya :

Langkah (1). Membuktikan $ S_{n-1} - S_n = a_n $ :
       Sisa pinjaman setelah membayar angsuran beberapa kali dapat kita hitung sebagai berikut. Misalkan kita meminjam uang sebesar M yang akan kita lunasi dengan sistem anuitas, maka sisa pinjaman persekian kali mengangsur adalah :
$ \begin{align} S_1 & = M - a_1 \\ S_2 & = M - (a_1 + a_2) \\ S_3 & = M - (a_1 + a_2+a_3) \\ .. & ................ \\ S_{n-1} & = M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1}) \\ S_{n} & = M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1} + a_n) \end{align} $
Sehingga :
$ \begin{align} & S_{n-1} - S_n \\ & = [M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1})] - [M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1} + a_n)] \\ & = [M - a_1 - a_2 -a_3 - ... - a_{n-1}] - [M - a_1 - a_2-a_3 - ... - a_{n-1} - a_n] \\ & = a_n \end{align} $
Keterangan : $ S_n = \, $ sisa pinjaman setelah $ n $ kali mengangsur (membayar).
jadi, terbukti $ S_{n-1} - S_n = a_n $

Langkah (2). Membuktikan $ b_n = i.S_{n-1} $
       Besarnya bunga $(b)$ yang kita bayarkan pada setiap periode bergantung dari sisa pinjaman. Misalkan pinjaman sebesar M akan kita lunasi secara anuitas dengan persentase bunga $ i $, maka besar bunga per periode dapat kita hitung menjadi :
$ \begin{align} b_1 & = i.M \\ b_2 & = i. S_1 \\ b_3 & = i. S_2 \\ b_4 & = i. S_3 \\ .. & ...... \\ b_n & = i.S_{n-1} \\ b_{n+1} & = i.S_n \end{align} $
Kita peroleh : $ b_n = i.S_{n-1} $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $
Keterangan : $ b_n = \, $ bunga yang kita bayarkan dalam pembayaran angsuran yang ke-$n$

Langkah (3). Membuktikan $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $
       Dari langkah (1) dan (2) kita telah memperoleh :
$ S_{n-1} - S_n = a_n , \, b_n = i.S_{n-1} , \, $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $ ,
Sehingga :
$ \begin{align} b_n - b_{n+1} & = i.S_{n-1} - i.S_n \\ & = i. (S_{n-1} - S_n ) \\ & = i.a_n = a_n.i \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ untuk melengkapi Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran pada bagian yang paling atas di artikel ini.

         Demikian Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran . Semoga bisa bermanfaat bagi kita semua. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini. Jika ada kritik dan saran atau mungkin ada cara lain yang lebih praktis, mohon share di blog koma ini dengan mengisi komentar di kolom komentar di setiap akhir artikel atau langsung mengirim email ke email blog koma. Terima kasih.

Penyusutan Nilai Barang

         Blog Koma - Misalkan kita membeli sebuah barang yaitu sebuah sepeda dengan harga Rp1.000.000,00, maka setelah beberapa tahun sepeda itu kita pakai, pasti harganya tdak mungkin akan tetap Rp1.000.000,00. Dengan kata lain terjadi penurunan harga dari harga semula yang kita beli. Penurunan harga jual terjadi dikarenakan setelah kita pakai beberapa lama mungkin saja terjadi kerusakan atau keausan pada sepeda tersebut. Penurunan nilai pada umumnya hampir terjadi pada semua jenis barang. Sebagai contoh kita membeli mesin jahit, maka nilainya pasti akan turun dikemudian hari setelah kita menggunakannya dalam beberapa waktu tertentu dibandingkan dengan hariga diawal kita membelinya. Penurunan nilai barang inilah yang kita sebut sebagai penyusutan nilai barang.

         Pada artikel ini kita akan membahas materi Penyusutan Nilai Barang. Pada penyusutan, ada beberapa istilah penting yang harus kita ketahui yaitu aktiva, nilai beli, dan nilai buku. Aktiva adalah segala sumber daya ekonomi dari suatu perusahaan atau perorangan yang berupa harta (benda) maupun hak-hak yang di miliki berdasarkan kekuatan hukum. Nilai beli adalah harga diawal ketika kita melakukan pembelian suatu barang. Sedangkan nilai buku adalah nilai setelah terjadi penyusutan dimana semakin lama nilai bukun suatu aktiva akan semakin kecil.

         Pada pembahasan penyusutan nilai barang pada blog koma ini, akan kita bahas dua cara untuk menghitung besarnya penyusutan yaitu :
1). metode garis lurus (persen tetap dari harga beli),
2). metode persen tetap dari nilai buku.


Besarnya Penyusutan dari Harga Beli
       Penyusutan dari harga beli merupakan penyusutan yang besarnya selalu tetap setiap periode yaitu sebesar perkalian persentase penyusutan terhadap harga beli. Bentuk penyusutan ini menggunakan konsep barisan dan deret aritmetika (mirip dengan bunga tunggal). Misalkan harga beli di awal sebesar A dengan persentase penyusutan sebesar $ p = i\% \, $ dan besarnya harga setelah penyusutan ke-$n$ (nilai buku ke-$n$) adalah $ S_n $ , maka dapat dirumuskan :
       $ S_n = A(1 - n p) $.
Keterangan :
$ S_n = \, $ nilai buku akhir periode ke-$n$ (nilai aktiva setelah terjadi penyusutan k-$n$).
$ A = \, $ harga beli (harga awal).
$ n = \, $ periode akhir ke-$n$
$ p = \, $ persentase penyusutan dengan $ p = i\% $.

Contoh soal penyusutan nilai barang :
1). Sebuah mesin penggilingan padi dibeli dengan harga Rp3.000.000,00. Hitunglah berapa nilai bukunya pada akhir tahun ke-2, ke-5, dan ke-9 jika diperkirakan besarnya penyusutan adalah 3% per tahun dari harga belinya dan buatlah daftar peyusutan lengkap dengan akumulasi penyusutannya!

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 3.000.000, dan $ p = 3\% = 0,03 $.
*). Menentukan nilai buku (harga mesin setelah terjadi penyusutan) :
a). Akhir tahun ke-2, artinya $ n = 2 $ :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_2 & = 3.000.000 \times (1 - 2 \times 0,03) \\ & = 3.000.000 \times (1 - 0,06) \\ & = 3.000.000 \times 0,94 \\ & = 2.820.000 \end{align} $
Artinya diakhir tahun ke-2 harga mesin penggilangan padi tersebut menjadi Rp2.820.000,00 yang disebut juga nilai buku pada akhir tahun ke-2.

b). Akhir tahun ke-5, artinya $ n = 5 $ :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_5 & = 3.000.000 \times (1 - 5 \times 0,03) \\ & = 3.000.000 \times (1 - 0,15) \\ & = 3.000.000 \times 0,85 \\ & = 2.550.000 \end{align} $
Jadi, nilai buku diahkir tahun ke-5 adalah Rp2.550.000,00.

b). Akhir tahun ke-9, artinya $ n = 9 $ :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_9 & = 3.000.000 \times (1 - 9 \times 0,03) \\ & = 3.000.000 \times (1 - 0,27) \\ & = 3.000.000 \times 0,73 \\ & = 2.190.000 \end{align} $
Jadi, nilai buku diahkir tahun ke-9 adalah Rp2.190.000,00.

*). Daftar peyusutan lengkap dengan akumulasi penyusutannya!
Beban penyusutan setiap periode (setiap tahun) :
$ = 3\% \times A = \frac{3}{100} \times 3.000.000 = 90.000 $

2). Sebuah perusahaan membeli mesik ketik seharga Rp2.500.000,00. Berapa besarkah persentase penyusutan dan besarnya penyusutan setiap tahun menurut harga belinya jika ditaksir mesin tersebut akan berumur 5 tahun dan bernilai sisa Rp500.000,00?

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 2.500.000, $ n = 5 \, $ dan $ S_5 = 500.000 $.
*). Menentukan nilai persentase penyusutan ($p$) :
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_5 & = 500.000 \\ 2.500.000 \times (1 - 5 \times \frac{i}{100}) & = 500.000 \\ (1 - 5 \times \frac{i}{100}) & = \frac{500.000}{2.500.000} \\ 1 - 5 \times \frac{i}{100} & = 0,2 \\ 5 \times \frac{i}{100} & = 1 - 0,2 \\ 5 \times \frac{i}{100} & = 0,8 \\ 5 i & = 0,8 \times 100 \\ 5 i & = 80 \\ i & = \frac{80}{5} = 16 \end{align} $
Jadi, besarnya persentase penyusutannya adalah 16% per tahun.
*). Besarnya penyusutan setiap tahun :
$ = 16\% \times A = \frac{16}{100} \times 2.500.000 = 400.000$
Jadi, setiap tahun ternadi penyusutan sebesar Rp400.000,00.

3). Pada awal tahun 2005 PT Adil dan Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp15.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 12,5% tiap tahun dari harga beli. Tentukan:
a. Nilai aktiva pada awal tahun 2010!
b. Akumulasi penyusutan selama 6 tahun!
c. Umur aktiva jika aktiva tidak bernilai lagi!

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 15.000.000 dan $ p = 12,5\% = 0,125 $
a). Dari awal tahun 2005 sampai awal tahun 2010 = 5 tahun ($n = 5$)
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_5 & = 15.000.000 \times (1 - 5 \times 0,125) \\ & = 15.000.000 \times (1 - 0,625) \\ & = 15.000.000 \times 0,375 \\ & = 5.625.000 \end{align} $
Jadi, harga aktiva pada awal tahun 2010 adalah Rp5.625.000,00.

b). Untuk menghitung akumulasi (total) penyusutan selama 6 tahun, ada dua cara :
Cara I :
Penyusutan setiap tahun = $ 12,5\% \times 15.000.000 = 1.875.000$
total penyusutan 6 tahun = $ 6 \times 1.875.000 = 11.250.000 $
Jadi, total penyusutan selama 6 tahun adalah Rp11.250.000,00.

Cara II :
Total penyusutan selama 6 tahun bisa dihitung dengan menghitung total persentase penyusutan selama 6 tahun.
Total persentase 6 tahun = $ 6 \times 12,5\% = 75\%$.
Total penyusutan selama 6 tahun $ = 75\% \times 15.000.000 = 11.250.000 $ .

Dari contoh soal 3b, maka total penyusutan dapat dihitung dengan rumus :
Total penyusutan selama $ n \, $ periode $ = n \times i\% \times A $.

c). Umur aktiva jika aktiva tidak bernilai lagi, artinya kita menentukan $ n \, $ pada saat nilai bukunya 0 atau $ S_n = 0 $
$ \begin{align} S_n & = A(1 - n p) \\ S_n & = 0 \\ A(1 - n p) & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi A)} \\ 1 - n p & = 0 \\ 1 - n \times 12,5\% & = 0 \\ n \times 12,5\% & = 1 \\ n \times \frac{12,5}{100} & = 1 \\ n & = \frac{100}{12,5} \\ n & = 8 \end{align} $
Jadi, ketika berumur 8 tahun, maka nilai buku dari aktiva tersebut Rp0.


Besarnya Penyusutan dari Nilai Buku Sebelumnya
       Penyusutan dari Nilai Buku Sebelumnya merupakan penyusutan yang besarnya selalu berubah setiap periode yaitu sebesar perkalian persentase penyusutan terhadap nilai bukunya. Bentuk penyusutan ini menggunakan konsep barisan dan deret geometri (mirip dengan bunga majemuk). Misalkan harga beli di awal sebesar A dengan persentase penyusutan sebesar $ p = i\% \, $ dan besarnya harga setelah penyusutan ke-$n$ (nilai buku ke-$n$) adalah $ S_n $ , maka dapat dirumuskan :
       $ S_n = A(1 - p)^n $.
Keterangan :
$ S_n = \, $ nilai buku akhir periode ke-$n$ (nilai aktiva setelah terjadi penyusutan k-$n$).
$ A = \, $ harga beli (harga awal).
$ n = \, $ periode akhir ke-$n$
$ p = \, $ persentase penyusutan dengan $ p = i\% $.

Dari rumus $ S_n = A(1 - p)^n \, $ maka persentase penyusutan ($p$) bisa kita hitung:
$\begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ (1 - p)^n & = \frac{S_n}{A} \\ 1 - p & = \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}} \\ p & = 1 - \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}} \\ p & = (1 - \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}}) \times 100\% \end{align} $

Contoh soal penyusutan :
4). Pada awal tahun 2005 PT Adil dan Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp15.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 7,5% tiap tahun dari nilai buku. Tentukan:
a. Nilai aktiva setelah menyusut selama 5 tahun!
b. Setelah berapa tahun nilai aktiva menjadi Rp 11.871.796,88?

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 15.000.000, dan $ p = 7,5\% = 0,075 $
a). Nilai aktiva setelah menyusut selama 5 tahun ($ n = 5 $)
$ \begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ S_5 & = 15.000.000 \times (1 - 0,075)^5 \\ & = 15.000.000 \times 0,925^5 \\ & = 15.000.000 \times 0,677187080 \\ & = 10.157.806,20 \end{align} $
Jadi, nilai buku pada akhir tahun kelima adalah Rp10.157.806,20.

b). Menentukan $ n \, $ dengan $ S_n = 11.871.796,88 $
$ \begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ S_n & = 11.871.796,88 \\ A(1 - p)^n & = 11.871.796,88 \\ 15.000.000 \times (1 - 0,075)^n & = 11.871.796,88 \\ (0,925)^n & = \frac{11.871.796,88}{15.000.000} \\ (0,925)^n & = 0,791453125 \, \, \, \, \, \text{(beri log)} \\ \log (0,925)^n & = \log 0,791453125 \, \, \, \, \, \text{(sifat log pangkat)} \\ n \times \log (0,925) & = \log (0,791453125) \\ n & = \frac{\log (0,791453125)}{\log (0,925)} \\ n & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai aktiva menjadi Rp 11.871.796,88 setelah 3 tahun.

5). Sebuah aktiva dengan biaya perolehan Rp20.000.000,00. Setelah beroperasi selama 6 tahun ditaksir nilai sisanya Rp5.000.000,00. Dengan mengunakan metode persentase tetap dari nilai buku, tentukan:
a. Tingkat penyusutan tiap tahun!
b. Nilai buku atau harga aktiva pada akhir tahun ke-4!
c. Daftar penyusutannya!

Penyelesaian :
*). Diketahui : A = 20.000.000, $n = 6 \, $ dan $ S_6 = 5.000.000 $
a). Menentukan tingkat penyusutan tiap tahun (persentasenya) :
$ \begin{align} p & = (1 - \sqrt[n]{\frac{S_n}{A}}) \times 100\% \\ & = (1 - \sqrt[6]{\frac{S_6}{A}}) \times 100\% \\ & = (1 - \sqrt[6]{\frac{5.000.000}{20.000.000}}) \times 100\% \\ & = (1 - \sqrt[6]{0,25}) \times 100\% \\ & = (1 - 0,7937) \times 100\% \\ & = 20,63\% \end{align} $
Jadi, besar penyusutan tiap tahun adalah 20,63% dari nilai buku.

b). Menentukan nilai buku atau harga aktiva pada akhir tahun ke-4!
$ \begin{align} S_n & = A(1 - p)^n \\ S_4 & = 20.000.000 \times (1 - 20,63%)^4 \\ & = 20.000.000 \times 0,7937^4 \\ & = 20.000.000 \times 0,396849211 \\ & = 7.936.984,22 \end{align} $
Jadi, nilai buku pada akhir tahun ke-4 adalah Rp7.936.984,22.

c). Daftar penyusutannya :
Keterangan :
Beban penyusutan tahun ke-1 $ = 20,63\% \times 20.000.000 = 4.126.000,00 $
Beban penyusutan tahun ke-2 $ = 20,63\% \times 15.874.000,00 = 3.274.806,20 $
Beban penyusutan tahun ke-3 $ = 20,63\% \times 12.599.193,80 = 2.599.213,68 $
Beban penyusutan tahun ke-4 $ = 20,63\% \times 9.999.980,12 = 2.062.995,90 $
begitu seterusnya.
Dengan kata lain, rumus beban penyusutan tahun ke-$n$
= $ p \times \, \text{ nilai buku tahun ke-}(n-1) $
atau dengan rumus
= $ p \times \, \text{ biaya perolehan tahun ke-}n $

         Demikian pembahasan materi Penyusutan Nilai Barang beserta contoh-contohnya, dimana materi ini juga merupakan bagian dari materi matematika keuangan. Semoga bermanfaat. Terima kasih.

Penerapan Anuitas pada Obligasi

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Penerapan Anuitas pada Obligasi. Pembayaran obligasi oleh penerbit obligasi salah satunya bisa menggunakan penghitungan secara anuitas. Hal-hal yang akan kita bahas dalam artikel Penerapan Anuitas pada Obligasi yaitu : pengenalan obligasi secara umum dan pelunasan abligasi secara anuitas.

         Obligasi adalah surat pinjaman (surat berharga) yang dikeluarkan oleh pemerintah atau perusahaan swasta dan memiliki tingkat suku bunga tertentu yang biasanya berbentuk lembaran (setiap lembar obligasi memiliki nominal tertentu). Dengan kata lain, obligasi memiliki sifat perjanjian pinjaman tertulis. Obligasi dapat diperjualbelikan. Beberapa contoh obligasi yaitu SUN (surat utang negara), ORI (obligasi ritel Indonesia), SPN (surat perbendaharaan negara), dan lainnya. Perbedaan Obligasi dan saham : Obligasi perusahaan tidak sama dengan saham. Orang yang memiliki saham artinya masuk ke dalam jajaran pemilik saham perusahaan, sehingga berlaku ikatan dan kode etik tertentu. Sedangkan obligasi tidak, pembeli obligasi hanya memberikan pinjaman dalam jangka waktu tertentu sesuai jatuh tempo obligasi.

         Dalam obligasi ada yang namanya penerbit obligasi dan pemegang obligasi. Penerbit obligasi adalah pihak yang mengeluarkan obligasi, biasanya pihak ini membutuhkan uang untuk keperluan perusahaannya. Pemegang obligasi adalah pihak yang memberikan pinjaman uang kepada penerbit obligasi atau bisa disebut juga pihak yang membeli obligasi. Setelah melakukan pembelian obligasi, maka penerbit obligasi wajib melakukan pembayaran (pengembalian) kepada pemegang obligasi berdasarkan perjanjian obligasi yang ada.

Ada beberapa istilah dalam obligasi yaitu :
1). Waktu jatuh tempo.
       adalah waktu jatuh tempo obilasi yang disepakati oleh penerbit obligasi dan pemegang obligasi. Nilai pokok obligasi harus lunas ketika jatuh tempo.
2). Periode pembayaran obligasi
       adalah waktu dimana penerbit obligasi membayarkan bunga (atau beserta angsurannya) kepada pemegang obilasi secara periodik sesuai dengan nilai kupon.
3). Face Value (FV) atau nilai nominal
       adalah nilai nominal obligasi yang ditawarkan penerbit obligasi. Sedangkan pemegang obligasi hanya membayar sejumlah harga obligasi yang besarnya dibawah FV
4). Tarif kupon (YTM)
       adalah nilai tarif (dalam persen) yang ditetapkan oleh penerbit obligasi
5). Suku bunga
       adalah besarnya bunga (dalam %) yang harus dibayar pada tanggal-tanggal tertentu (setiap satu periode) yang telah ditentukan. Misalkan suku bunga 5% yang harus dibayarkan pada tanggal-tanggal 1 Januari, 1 April, 1 Juli, dan 1 Oktober yang biasanya disingkat menjadi "5% JAJO". Ini artinya pembayaran dilakukan setiap 3 bulan dalam setahun sehingga terjadi 4 kali pembayaran (4 periode) dengan besar suku bunga 5% setiap periode. Untuk pembayaran setap 4 bulan sekali dalam setahun maka terjadi tiga kali pembayaran, misalkan suku bunga 7% dibayar pada tanggal-tanggal 1 Januari, 1 Mei, dan 1 September bisa disngkat "7% JMS".
6). Nilai emisi
       Nilai emisi dinyatakan dalam persen (tanpa tulisan %) yaitu persentase dari nilai nominalnya (FV).
7). Nilai kupon / bunga (C)
       adalah besarnya bunga yang diperoleh yaitu dengan mengalikan suku bunga dan nilai nominal (FV).

Contoh soal obligasi :
1). Seorang kreditur akan membeli selembar obligasi dengan nilai nominal sebesar Rp.100.000.000 dan bunga 6% setahun, dengan periode pembayaran setiap 4 bulan untuk jangka waktu tertentu. Jika setiap periode tersebut, kreditur akan menerima keuntungan berbentuk bunga, maka tentukanlah besar bunga yang akan diterimanya seperti yang tertera pada nilai kupon?

Penyelesaian :
*). Diketahui : FV = 100.000.000
pembayaran setiap 4 bulan, artinya selama setahun ada $ \frac{12 \text{ bulan}}{4 \text{ bulan}} = 3 \, $ kali pembayaran, sehingga besarnya suku bunga setiap periode (setiap 4 bulan) :
$ i = \frac{6\%}{3} = 2\% = 0,02 $.
*). Menentukan besarnya bunga/nilai kupon (C) :
$ C = i \times FV = 0,02 \times 100.000.000 = 2.000.000 $ .
Jadi, besarnya bunga atau nilai kupon adalah Rp2.000.000,00.

2). Pinjaman berupa obligasi sebesar Rp10.000.000,00, suku bunga 6% per tahun, yang dibayarkan pada setiap tanggal 1 Januari, 1 Mei, dan 1 September dengan tanggal pelunasannya adalah tanggal 1 September, dan kesanggupan membayar kembali dengan nilai emisi 105.
a). Apakah maksud dari nilai emisi?
b). Berapakah besarnya uang yang dibayarkan sesuai dengan perjanjian tersebut?

Penyelesaian :
*). Diketahui : FV = 10.000.000, $ i = 6\% \, $ per tahun.
a). Nilai emisinya adalah 105, maksudnya adalah 105% dari nilai nominalnya (FV).

b). Besarnya uang yang dibayarkan adalah besarnya bunga + nilai emisinya.
*). Besarnya bunga dalam 1 tahu :
bunga $ = 6\% \times 10.000.000 = 600.000 $
*). Besarnya nilai emisi :
$ = 105\% \times 10.000.000 = 10.500.000 $
sehingga besarnya uang yang harus dibayar pada tanggal 1 September adalah :
$ = 600.000 + 10.500.000 = 11.100.000 $
Jadi, besarnya uang yang harus dibayarkan adalah Rp11.100.000,00 .


Rumus Menghitung Harga Obligasi
       Selain dalam bentuk bunga, pemegang obligasi akan menerima keuntungan lain dalam bentuk selisih nilai nominal obligasi (FV) dan harga obigasi. Harga obligasi adalah jumlah uang yang harus ditebus oleh pemegang obligasi sebagai harga dari selembar surat perjanjian obligasi. Harga obligasi ini dibawah nilai nominal obligasi (FV)

Rumus menghitung Harga obligasi :
Harga Obligasi $ = C \times \frac{1 - (1 + r)^{-t}}{r} + FV \times (1+r)^{-t} $

Keterangan :
C = Nilai kupon / bunga
FV = Nilai nominal obligasi
$ r = $ Tarif kupon
$ t = $ Banyaknya periode pembayaran kupon

Contoh soal harga obligasi :
3). Pak Budi berencana membeli surat pinjaman obligasi dari suatu perusahaan dengan nilai nominal sebesar Rp. 10.000.000 dan bunga 12% setahun, dengan periode pembayaran setiap 6 bulan untuk jangka waktu 5 tahun. Jika tarif kupon (YTM) 16%, maka tentukanlah harga obligasi perusahaan tersebut yang harus ditebus pak Budi ?

Penyelesaian :
*). Diketahui :
Jumlah periode dalam setahun $ = \frac{12 \text{ bulan}}{6 \text{ bulan}} = 2 $
$ C = \frac{12\%}{2} \times 10.000.000 = 600.000 $
FV = Rp10.000.000
$ r = \frac{16\%}{2} = 8\% = 0,08 $
$ t = 5 \times 2 = 10 $
*). Menentukan harga obligasi (HO) :
$ \begin{align} \text{HO } & = C \times \frac{1 + (1 + r)^{-t}}{r} + FV \times (1+r)^{-t} \\ & = 600.000 \times \frac{1 - (1 + 0,08)^{-10}}{0,08} + 10.000.000 \times (1+0,08)^{-10} \\ & = 600.000 \times \frac{1 - 0,463}{0,08} + 10.000.000 \times 0,463 \\ & = 600.000 \times \frac{0,537}{0,08} + 4.631.934,88 \\ & = 4.026.048,84 + 4.631.934,88 \\ & = 8.657.983,72 \end{align} $
Jadi, pak Budi hanya perlu membayar sejumlah Rp8.657.983,72.

         Selanjutnya, setelah obligasi dibeli oleh pemberi pinjaman (pemegang obligasi), maka pihak penerbit obligasi berkewajiban melakukan pembayaran sesuai waktu yang disepakati. Umumnya yang dibayarkan secara periodik adalah bunga (kupon) obligasi. Tetapi dapat pula pembayaran dilakukan dengan sistem anuitas yaitu dalam pembayaran jumlah tetap yang terdiri dari pokok pinjaman dan bunga. Jika pinjaman obligasi ini akan dilunasi dengan sistem anuitas atau suatu pinjaman anuitas akan dilunasi dengan obligasi, maka biasanya nilai nominal obligasi akan dipecah menjadi nilai nominal yang lebih kecil, misalkan pinjaman obligasi Rp10.000.000,00 dipecah menjadi Rp10.000,00 sehingga banyaknya obligasi adalah 1.000 lembar.

Penerapan Anuitas pada Obligasi

         Jika jumlah yang dicicil bukan merupakan kelipatan dari pecahan nominal obligasi, maka sisa yang bukan merupakan kelipatan obligasi akan dibayarkan pada anuitas berikutnya. Menentukan besarnya angsuran dapat dihitung sebagai berikut:

Contoh Soal penerapan anuitas pada obligasi :
4). Pinjaman obligasi Rp12.000.000,00 yang terpecah menjadi 1.200 lembar obligasi yang masing-masing sebesar Rp10.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 10%/tahun selama 5 tahun. Tentukan tabel rencana pelunasannya!

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = Rp12.000.000,00 , $ i = 10\% = 0,1 \, $/tahun, dan $ n = 5 \, $ tahun.
*). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{12.000.000 \times 0,1}{1 - (1+0,1)^{5}} \\ & = \frac{1.200.000 }{1 - (1,1)^{5}} \\ & = \frac{1.200.000 }{1 - 0.620921323} \\ & = 3.165.569,77 \end{align} $
*). Rencana pelunasannya sebagai berikut:
*). Tabel pelunasan obligasi secara anuitas :

         Demikian pembahasan materi Penerapan Anuitas pada Obligasi beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan matematika keuangan yaitu penyusutan.

Tabel Pelunasan Anuitas

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana keadaannya hari ini? Pasti baik-baik saja kan!. Nah, masih berkaitan dengan maatematika keuangan yaitu anuitas, pada artikel ini kita akan membahas materi Tabel Pelunasan Anuitas. Untuk memberi gambaran bagi peminjam terhadap rencana pelunasannya, biasanya digunakan tabel pelunasan anuitas dan biasanya anuitas yang dicantumkan dalam tabel merupakan anuitas pembulatan. Dengan mengetahui tabel pelunasan anuitas ini, maka kita sebagai peminjam akan tahu kapan pinjaman kita akan lunas dan dalam periode yang berapa lama.

         Adapun rumus-rumus dasar yang digunakan dalam perhitungan pada tabel pelunasan anuitas yaitu rumus anuitas, bunga, dan sisa pinjaman. Besarnya anuitas : $ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ . Nilai A yang dipakai adalah pembulatan ke atas yaitu nilai A$^+$. Untuk besar bunga kita gunakan rumus $ b_1 = M \times i, \, b_2 = S_1 \times i, ... , b_{m+1} = S_m \times i $ . Sedangakan untuk besar angsuran kita gunakan rumus $ A^+ = a_1 + b_1, A^+ = a_2 + b_2, ..., A^+ = a_n + b_n $. Dan untuk sisa pinjaman kita gunakan rumus $ S_1 = M - a_1, \, S_2 = S_1 - a_2, ... , S_{m+1} = S_m - a_{m+1} $.

Adapun langkah-langkah pengisian tabel pelunasan anuitas :
a). Tentukan nilai A, kemudian dibulatkan ke atas.
b). Tentukan bunga pertama ($b_1$) dengan rumus $b_1 = M \times i $
c). Tentukan angsuran pertama ($a_1$) dengan rumus $A^+ = a_1 + b_1 $.
d). Tentukan sisa pinjaman pertama ($S_1$) dengan rumus $ S_1 = M - a_1 $
e). Tentukan bunga kedua ($b_2$ dengan rumus $ b_2 = S_1 \times i $.
f). Tentukan angsuran kedua ($a_2$) dengan rumus $ A^+ = a_2 + b_2 $
g). Tentukan sisa pinjaman kedua ($S_2$) dengan rumus $ S_2 = S_1 - a_2 $
begitu seterusnya sehingga sisa pinjaman nol.


Contoh Soal Tabel pelunasan anuitas :
1). Suatu pinjaman Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 12%/tahun selama 8 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Tabel rencana pelunasan anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 12\% = 0,12 \, $/tahun, dan $ n = 8 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,12}{1 - (1+0,12)^{-8}} \\ & = \frac{1.200.000}{1 - (1,12)^{-8}} \\ & = \frac{1.200.000}{1 - 0,403883228} \\ & = 2.013.028,41 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp2.013.028,41
Jika dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu, maka A$^+$ = Rp2.100.000,00

b. Tabel rencana pelunasan anuitas:
Keterangan Tabel:
*). Pinjaman awal tahun ke-2 = sisa pinjaman akhir tahun ke-1.
Pinjaman awal tahun ke-3 = sisa pinjaman akhir tahun ke-2, dan seterusnya.
*). Bunga + angsuran masing-masing kelas = anuitas hasil pembulatan (A$^+$), kecuali pada baris terakhir (baris ke-8).
*). Sisa pinjaman akhir tahun ke-1 = (pinjaman awal tahun ke-1) - (angsuran ke-1).
Sisa pinjaman akhir tahun ke-2 = (pinjaman awal tahun ke-2) - (angsuran ke-2).
*). Angsuran terakhir = pinjaman awal tahun terakhir.

c. Pembayaran anuitas terakhir (At) :
At = 110.386,73 + 919.889,44 = Rp 1.030.276,17 .

2). Suatu pinjaman Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 15%/tahun selama 7 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu. Tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Tabel rencana pelunasan anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 12.000.000, $ i = 15\% = 0,15 \, $/tahun, dan $ n = 7 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{12.000.000 \times 0,15}{1 - (1+0,15)^{-7}} \\ & = \frac{1.800.000}{1 - (1,15)^{-7}} \\ & = \frac{1.800.000}{1 - 0,375937040} \\ & = 2.884.324,36 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp2.884.324,36
Jika dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, maka A$^-$ = Rp2.800.000,00

b. Tabel rencana pelunasan anuitas:

c. Pembayaran anuitas terakhir (At) :
At = 486.939,23 + 3.246.261,56 = 3.733.200,79 .

         Demikian pembahasan materi Tabel Pelunasan Anuitas beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan anuitas yaitu penerapan anuitas pada obligasi.

Anuitas yang Dibulatkan

         Blog Koma - Dalam transaksi perbankan, pembayaran pinjaman baik menggunakan sistem anuitas maupun lainnya nilainya bulat. Oleh karena itu, besarnya anuitas dibulatkan ke atas atau ke bawah dengan kelipatan berdasarkan persetujuan penerima hutang dengan pihak perbankan, dengan tujuan agar pembayaran mudah untuk dilaksanakan. Misalkan anuitas dibulatkan ke bawah atau ke atas dengan kelipatan Rp1.000,00 atau Rp100,00 dan lain-lain. Pada artikel ini kita khusus membahas materi anuitas yang dibulatkan.

         Jika anuitas di bulatkan ke atas, maka akan terjadi kelebihan pembayaran. Sebaliknya jika anuitas dibulatkan ke bawah, maka akan terjadi kekurangan pembayaran. Kelebihan atau kekurangan pembayaran tersebut akan diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir.

a). Anuitas dibulatkan ke atas
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke atas dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu ditambah satu dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas adalah: A$^+$

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^+ - b_1 = A^+ - M . i$, maka kelebihan pembayaran dari semua angsuran (NL) adalah:
$ \begin{align} NL & = (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n) - M \\ & = (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ... + a_1(1+i)^{n-1}) - M \\ & = (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}]) - M \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) - M \end{align} $
Keterangan :
NL = Nilai Lebih,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, jika $ L = A^+ - A$, maka nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NL & = L + L(1+i) + L(1+i)^2 + ... + L(1+i)^{n-1} \\ & = L + L[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}] \\ & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A - NL $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke atas :
1). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp2.351.405,78. Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke atas
b. Ratusan ke atas
c. Ribuan ke atas
d. Puluhan ribu ke atas

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.410,00
b. Dibulatkan ratusan ke atas: A$^+$ = Rp2.351.500,00
c. Dibulatkan ribuan ke atas: A$^+$ = Rp2.352.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp2.360.000,00

2). Suatu pinjaman Rp20.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 6%/tahun selama 20 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam puluhan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Total kelebihan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 20.000.000, $ i = 6\% \, $/tahun, dan $ n = 20 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 6% baris 20} \\ & = 20.000.000 \times 0,087184557 \\ & = 1.743.691,14 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.743.691,14
Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A$^+$ = Rp1.750.000,00

b). Kelebihan tiap anuitas (L) :
$ \begin{align} L & = A^+ - A \\ & = 1.750.000,00 - 1.743.691,14 \\ & = 6.308,86 \end{align} $

Total kelebihan pembayaran anuitas (NL) :
$\begin{align} NL & = L + L[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NL & = L + L \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n - 1)} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom 6% baris 19} \\ & = 6.308,86 + 6.308,86 \times 35,785591204 \\ & = Rp232.075,14 \end{align} $

Dengan menggunakan cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^+ - M.i \\ & = 1.750.000,00 - 20.000.000,00 \times 6\% \\ & = 1.750.000,00 - 1.200.000,00 \\ & = 550.000,00 \\ NL & = (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 6% baris (20-1)}) - M \\ NL & = (550.000,00 + 550.000,00 \times 35,785591204) - 20.000.000 \\ & = 232.075,14 \end{align} $
(hasilnya sama yaitu NL = Rp232.075,14).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A - NL = 1.743.691.14 - 232.075.14 = Rp 1.511.616.00 $


b). Anuitas dibulatkan ke bawah
       Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke bawah dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu tetap dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas adalah: A$^-$

$\spadesuit \, $ Jika $a_1 = A^- - b_1 = A^- - M . i$, maka kekurangan pembayaran dari semua angsuran (NK) adalah:
$ \begin{align} NL & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ... + a_1(1+i)^{n-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}]) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r]) \end{align} $
Keterangan :
NK = Nilai Kekurangan,
$ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r = \, $ daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n-1).

$ \clubsuit \, $ Dengan cara lain, jika $ K = A - A^- $, maka nilai akhir kekurangan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu:
$ \begin{align} NK & = K + K(1+i) + K(1+i)^2 + ... + K(1+i)^{n-1} \\ & = K + K[(1+i) +(1+i)^2 + ... + (1+i)^{n-1}] \\ & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \end{align} $

$ \heartsuit \, $ Besarnya anuitas terakhir (At):
$ At = A + NK $

Contoh soal anuitas dibulatkan ke bawah :
3). Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp4.357.895,78 Bulatkan anuitas di atas dalam:
a. Puluhan ke bawah
b. Ratusan ke bawah
c. Ribuan ke bawah
d. Puluhan ribu ke bawah

Penyelesaian :
a. Dibulatkan puluhan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.890,00
b. Dibulatkan ratusan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.800,00
c. Dibulatkan ribuan ke bawah: A$^-$ = Rp4.357.000,00
d. Dibulatkan puluhan ribu ke bawah : A$^-$ = Rp4.350.000,00

4). Suatu pinjaman Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 5%/tahun selama 15 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, tentukan:
a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan
b. Total kekurangan pembayaran anuitas
c. Pembayaran anuitas terakhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 12.000.000, $ i = 5\% \, $/tahun, dan $ n = 15 \, $ tahun
a). Menentukan nilai anuitasnya :
$ \begin{align} A & = M \times \text{ tabel anuitas kolom 5% baris 15} \\ & = 12.000.000 \times 0,096342288 \\ & = 1.156.107,46 \end{align} $
Artinya kita peroleh anuitas : A = Rp1.156.107,46
Dibulatkan ratusan ribu ke bawah: A$^-$ = Rp 1.100.000,00

b). Kekurangan tiap anuitas (K) :
$ \begin{align} K & = A - A^- \\ & = 1.156.107,46 - 1.100.000,00 \\ & = 56.107,46 \end{align} $

Total kekurangan pembayaran anuitas (NK):
$\begin{align} NK & = K + K[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \\ NK & = K + K \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n - 1)} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times \text{ Daftar Nilai akhir rente kolom 5% baris 14} \\ & = 56.107,46 + 56.107,46 \times 20,578563588 \\ & = 1.210.718,39 \end{align} $

Dengan menggunakan cara lain:
$ \begin{align} a_1 & = A^- - M.i \\ & = 1.100.000,00 - 12.000.000,00 \times 5\% \\ & = 1.100.000,00 - 600.000,00 \\ & = Rp500.000,00 \\ NK & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 5% baris (15-1)}) \\ NK & = 12.000.000 - (500.000,00 + 500.000,00 \times 20,578563588) \\ & = 1.210.718,21 \end{align} $
(hasilnya hampir sama dengan cara sebelumnya untuk nilai NK).

c). Pembayaran anuitas terakhir (At) :
$ At = A + NK = 1.156.107,46 + 1.210.718,39 = 2.366.825,85 $

Catatan :
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r \, $ bisa dihitung dengan jumlah $ n $ suku pertama deret geometri.

         Demikian pembahasan materi Anuitas yang Dibulatkan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan anuitas yaitu tabel pelunasan anuitas.

Sisa Pinjaman pada Anuitas

         Blog Koma - Setelah kita melakukan pembayaran anuitas secara terus-menerus maka besarnya pinjaman yang akan kita kembalikan pasti juga akan berkurang sampai pada akhir periode menjadi lunas. Pada artikel ini kita akan membahas materi Sisa Pinjaman pada Anuitas. Jika S$_1$, S$_2$, S$_3$ .... S$_m \, $ berturut-turut merupakan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga .... ke-$m$, maka ada beberapa cara untuk menentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$. Ada empat cara yang akan kita bahas dalam menentukan besarnya sisa pinjaman setelah membayarkan anuitas pada periode tertentu.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi sisa pinjaman, sebaiknya teman-teman mempelajari dulu materi sebelumnya yaitu anuitas dan angsuran. Penghitungan sisa pinjaman sangat berkaitan dengan rumus-rumus pada anuitas dan angsuran.

Cara I : Sisa pinjaman berdasarkan besar Bunga
       Sisa pinjaman dapat dihitung sebagai berikut:
$ b_1 = i . M $
$ b_2 = i . S_1 $
$ b_3 = i . S_2 $
$ b_4 = i . S_3 $
........ ....
$ b_{m+1} = i . S_m $
Sehingga : $ \begin{align} S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \end{align} $

Keterangan :
$ s_m = \, $ sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$
$ b_{m+1} = \, $ besarnya bunga ke-$(m+1)$
$ i = \, $ suku bunga anuitas
Untuk bisa menggunakan cara I ini, kita akan melibatkan beberapa rumus yaitu :
Anuitas : $ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ \, A = a_n + b_n $
Angsuran : $ a_n = a_1(1 + i)^{n-1} $
bunga pertama : $ b_1 = i . M $

Contoh soal sisa pinjaman :
1). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan:
a. Besarnya anuitas!
b. Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 3\% = 0,003 \, $/bulan dan $ n = \, $ 2,5 tahun = 30 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,03}{1 - (1+0,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - (1,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - 0,411986759} \\ & = 510.192,59 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas yaitu Rp510.192,59 yang dibayarkan setiap bulannya.

b). Menentukan Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan ($S_{10}$) :
*). berdasarkan rumus $ S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \, $ maka $ s_{10} = \frac{b_{11}}{i} $, artinya kita harus menentukan besarnya $b_{11} $ (bunga periode ke-11).
*). untuk menentukan $ b_{11} \, $ kita butuh nilai $ a_{11} $ (angsuran ke-11) dengan rumus $ b_{11} = A - a_{11} $
*). Untuk menentukan besarnya $ a_{11} $ , kita butuh nilai $ a_1 $ dengan rumus $ a_{11} = a_{1} (1 + i)^{10}$.
*). Untuk menentukan $a_1 $ kita butuh nilai $ b_1 $ dengan rumus $ a_1 = A - b_1 $ dan $ b_1 = i.M $.

Kita hitung satu persatu semuanya :
Nilai $ b_1 $ :
$ b_1 = i . M = 0,03 \times 10.000.000 = 300.000 $ .
Nilai $ a_1 $ :
$ a_1 = A - b_1 = 510.192,59 - 300.000 = 210.192,59 $
Nilai $ a_{11} $ :
$ a_{11} = a_1(1+i)^{10} = 210.192,59 \times (1 + 0,03)^{10} = 282.481,26 $
Nilai $ b_{11} $
$ b_{11} = A - a_{11} = 510.192,59 - 282.481,26 = 227.711,33 $
Menentukan sisa pinjaman ($S_{10}$) :
$ S_{10} = \frac{b_{11}}{i} = \frac{227.711,33}{0,03} = 7.590.377,67 $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67.

Cara II : Menentukan sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = pokok pinjaman dikurangi jumlah $m$ angsuran yang sudah dibayar.
$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_m) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ...+ a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$.
Sebenarnya bentuk $ (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \, $ bisa dihitung dengan jumlah pada deret geometri.

Contoh soal :
2). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara II :
$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 10.000.000 - (210.192,59 + 210.192,59 \times 10,463879311 ) \\ & = 7.590.377,52 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67 (hampir sama dengan cara I).

Cara III Menghitung sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar yaitu dari $ a_{m+1} \, $ sampai angsuran $ a_n $ .
$ \begin{align} S_m & = (a_{m+1} + a_{m+2} + a_{m+3} + ...+ a_n) \\ & = (a_1+a_2 + ...+a_n) - (a_1 + a_2 + ... + a_m) \\ & = (a_1+a_1(1+i) + ...+a_1(1+i)^{n-1}) \\ & \, \, \, \, - (a_1 + a_1(1+i) + ... + a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] ) - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ & = a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \\ & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$ dan dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-1)$.


Contoh soal :
3). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = a_1(\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = 210.192,59 (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 210.192,59 \times (46,575415706 - 10,463879311) \\ & = 210.192,59 \times 36,111536395 \\ & = 7.590.377,36 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,36 (hampir sama dengan cara I).

Cara IV Menghitung sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = nilai dari semua anuitas yang belum dibayar dihitung pada akhir tahun ke-$m$:
$ \begin{align} S_m & = \frac{A}{(1+i)} + \frac{A}{(1+i)^2} + \frac{A}{(1+i)^3} + ... + \frac{A}{(1+i)^{m-n}} \\ & = A[(1+i)^{-1} +(1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{n-m} ] \\ & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-m)$ .

Contoh soal :
4). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-m)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30 - 10)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(20)} \\ & = 510.192,59 \times 14,877474860 \\ & = 7.590.377,43 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,43 (hampir sama dengan cara I).

         Demikian pembahasan materi Sisa Pinjaman pada Anuitas beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan anuitas dan angsuran yaitu tabel pelunasan anuitas dan anuitas yang dibulatkan.

Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan

         Blog Koma - Misalkan kita akan membeli sesuatu dengan cara mencicil (mengangsur) melalui suatu lembaga keuangan seperti bank, berapakah besarnya cicilan yang harus kita bayarkan setiap bulannya? Setelah mencicil $ n $ kali, berapakah sisa pinjaman kita? Semua ini akan kita dibahas dalam materi Anuitas. Pada artikel ini kita akan membahas materi Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan.

         Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. Sehingga dapat kita tuliskan :
         Anuitas = angsuran + bunga atau $ A = a_n + b_n $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

         Dari rumus anuitas ini, artinya setiap kali pembayaran (sebesar A), kita membayarkan angsuran dan bunganya. Semakin lama pembayaran maka nilai angsuran semakin besar dan nilai bunganya semakin kecil. Ketika waktu pembayaran sudah selesai, maka kita juga sudah menutup semua hutang sebesar jumlah semua angsuran dan semua bunganya. Dari bentuk $ A = a_n + b_n \, $ , artinya $ A = a_1 + b_a = a_2 + b_2 = a_3 + b_3 = .... $

Menentukan Rumus Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
       Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n - b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n - b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sehingga dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ ... & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran yaitu :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Catatan : Untuk mencari besarnya bunga pertama bisa menggunakan rumus :
1). $ b_1 = M . i $.
2). Untuk pembuktian bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ secara mendetail, silahkan teman-teman baca artikelnya pada link "Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran"


Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ dapat dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

Contoh soal Anuitas dan Angsuran :
1). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya Anuitas Rp400.000.00, tentukan:
a). Besarnya angsuran pertama jika bunga pertama = Rp250.000,00!
b). Besarnya bunga ke-5 jika angsuran ke-5 adalah Rp315.000,00!

Penyelesaian :
*). Diketahui : anuitas (A) = 400.000
*). Rumus umum anuitas : $ A = a_n + b_n $
a). Menentukan $a_1 $ dengan $ b_1 = 250.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_1 + b_1 \\ a_1 & = A - b_1 \\ & = 400.000 - 250.000 \\ & = 150.000 \end{align} $
a). Menentukan $b_5 $ dengan $ a_5 = 315.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_5 + b_5 \\ b_5 & = A - a_5 \\ & = 400.000 - 315.000 \\ & = 85.000 \end{align} $

2). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Tentukan besarnya anuitas jika besarnya angsuran ke-6 dan bunga ke-6 masing-masing adalah Rp415.000,00 dan Rp85.000,00!

Penyelesaian :
*). Menentukan Anuitas dengan $a_6 = 415.000 \, $ dan $ b_6 = 85.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_6 + b_6 \\ & = 415.000 + 85.000 \\ & = 500.000 \end{align} $

3). Suatu pinjaman Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan Rp500.000,00. Jika suku bunga 3%/ bulan, tentukan:
a. Besarnya bunga pertama dan angsuran pertama
b. Besarnya angsuran ke-9 dan bunga ke-9

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, A = 500.000, dan $ i = 3\% = 0,03 $ .
a). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,03 \\ & = 300.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 500.000 - 300.000 \\ & = 200.000 \end{align} $
b). Menentukan $ a_9 \, $ dan $ b_9 $
Angsuran ke-9 ($a_9$)
$ \begin{align} a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \\ a_9 & = a_1(1 + 0,03)^{9-1} \\ & = 200.000 \times (1,03)^{8} \\ & = 200.000 \times 1,266770081 \\ & = 253.354,02 \end{align} $
Bunga ke-9 ($b_9$)
$ \begin{align} b_9 & = A - a_9 \\ & = 500.000 - 253.354,02 \\ & = 246.645,98 \end{align} $


Menentukan Rumus Anuitas (A)
       Penjabaran rumus anuitas menggunakan konsep barisn dan deret geomteri. Misalkan seseorang meminjam uang sebesar M yang akan dilunasi dengan mencicil sebesar A setiap periodenya. Besarnya suku bunga $ i \% \, $ per periode, maka besarnya Anuitas (A) dengan mencicil $ n \, $ kali dapat dihitung dengan penjabaran rumus berikut ini :


Hubungan Anuitas dan angsuran pertama :
$ \begin{align} \frac{A}{a_1} & = \frac{M.i.(a+i)^n}{(1+i)^n - 1 } : \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} \\ \frac{A}{a_1} & = (1+i)^n \\ A & = a_1 (1+i)^n \end{align} $

Rumus Penghitungan Anuitas
       Pada Anuitas (A), dari penjabaran di atas kita peroleh :
$ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ a_1 = \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} $.

Menggunakan daftar anuitas :
$ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} = M . \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} = M \times \text{ daftar anuitas} $
dengan $ \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} = \, $ daftar anuitas kolom $i\%$ dan baris ke-$n$.

Hubungan Anuitas (A) dan angsuran pertama ($a_1$) :
$ A = a_1 \times (1+i)^n $

Contoh soal anuitas dan angsuran :
4). Tentukan nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $ dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,02}{1 - (1+0,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{1 - (1,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{0,378278512} \\ & = 264.355,49 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas yaitu Rp264.355,49. Artinya besar cicilan setiap bulannya adalah Rp264.355,49.

5). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan. Tentukan:
a. Anuitasnya
b. Bunga dan angsuran pertama

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 2,5\% = 0,025 \, $/bulan dan $ n = $ 3 tahun = 36 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,025}{1 - (1+0,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - (1,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - 0,411093723} \\ & = 424.515,77 \end{align} $

b). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,025 \\ & = 250.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 424.515,77 - 250.000 \\ & = 174.515,77 \end{align} $

6). Wati bersama suaminya berencana mengambil rumah di VILLA INDAH dengan harga Rp250.000.000,00. Wati hanya memiliki uang muka Rp 100.000.000,00. Sisanya akan dicicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan:
a. Nilai anuitasnya
b. Cicilan setiap bulan

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000,
$ i = 18\% = 0,18 \, $/tahun dan $ n = $ 10 tahun.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{150.000.000 \times 0,18}{1 - (1+0,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{1 - (1,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{0,808935533} \\ & = 33.377.196,20 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas/ciclan setiap tahunnya adalah Rp33.377.196,20.

b). Menentukan besarnya cicilan per bulan :
Cicilan perbulan $ = \frac{ 33.377.196,20}{12} = 2.781.433,02 $
Jadi, cicilan setiap bulan adalah Rp2.781.433,02.

         Demikian pembahasan materi Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan matematika keuangan yaitu  penerapan anuitas pada obligasi, anuitas yang dibulatkantabel pelunasan anuitas dan sisa pinjaman anuitas.

Soal-soal Latihan tentang Rente

         Blog Koma - Setelah kita mempelajari materi "rente dalam matematika keuangan" dengan beberapa jenis rente dan rumusnya masing-masing, sudah saatnya untuk kita berlatih mengerjakan Soal-soal Latihan tentang Rente. Hal ini bertujuan agar kita semakin mengerti tentang konsep rente dan penggunaan rumus yang ada. Tentu soal-soal yang ada bervariasi tingkat kesulitannya. Semoga bisa menjadi bahan latihan baik untuk pemantapan materi atau untuk ulangan. Langsung saja, berikut soal-soal latihan tentang rente.

1). Tentukanlah nilai akhir dari rente pra numerando dengan angsuran Rp125.000,00 tiap semester selama 10 tahun dengan suku bunga 4,75%/semester!

2). Tentukanlah nilai akhir dari rente post numerando dengan angsuran Rp4.000.000,00 tiap tahun selama 15 tahun dengan suku bunga 11%/tahun!

3). Tentukanlah nilai akhir dari rente post numerando dengan angsuran Rp600.000,00 tiap semester selama 8 tahun dengan suku bunga 4,6%/semester!

4). Tentukan nilai tunai post numerando dari modal Rp150.000,00 tiap bulan selama 2,5 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan!

5). Nilai tunai dari rente kekal pra numerando adalah Rp20.350.000,00. Jika suku bunganya 1,75%/bulan, tentukanlah angsuran tiap bulannya!

6). Tutik mendapatkan tunjangan dari orang tua asuh dengan besarnya tetap tiap awal bulan sampai meninggal dunia. Namun, tunjangan akan diberikan sekaligus sebesar Rp20.450.000,00 dengan suku bunga 2,25%. Berapakah besar tunjangan setiap bulannya?

7). Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Damai mendapatkan sumbangan dari Badan Perdamaian Dunia sebesar Rp5.500.000,00 selama 4,5 tahun. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

8). Tentukanlah nilai akhir dari rente pra numerando dengan angsuran Rp300.000,00 tiap bulan selama 4 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

9). Tentukan nilai tunai post numerando dari modal Rp150.000.00 selama 1,5 tahun dengan suku bunga 3,5%/bulan!

10). Tentukanlah nilai tunai rente kekal pra numerando dari suatu modal Rp125.000,00 tiap bulan dengan suku bunga 1,25%/bulan!

11). Nilai tunai rente kekal post numerando adalah Rp10.000.000,00. Jika angsurannya tiap bulan Rp200.000,00, tentukanlah suku bunganya!

12). Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulan dari Yayasan Super Semar sebesar Rp350.000,00 selama 3 tahun 7 bulan. Jika beasiswa akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 3,25%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

13). Setiap awal tahun Azzam menyimpan uang di Bank BRI sebesar Rp1.500.000,00. Jika bank memberikan bunga 8,5%/tahun, tentukan jumlah simpanan Azzam setelah menabung 20 tahun!

14). Setiap akhir tahun Yayasan ABC akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia sebesar Rp3.250.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 10%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yang diterima yayasan ABC tersebut!

15). Setiap akhir bulan Susan menyimpan uangnya di bank Rp225.000,00 selam 5 tahun. Jika Bank memberikan suku bunga 0,75%/bulan, tentukan simpanan total Susan di Bank tersebut!


16). Nilai tunai rente kekal post numerando adalah Rp5.000.000,00. Jika angsurannya tiap bulan Rp300.000,00, tentukanlah suku bunganya.

17). Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap akhir bulan dari Yayasan Super Semar sebesar Rp50.000,00 selam 2 tahun 3 bulan. Jika beasiswa akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 1,25%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

18). Setiap awal bulan Sisca menyimpan uangnya di bank Rp 75.000,00 selama 4,5 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 0,75%/bulan, tentukan simpanan total Sisca di bank tersebut!

19). Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp650.000,00 bank memberikan bunga 1.8 %/ bulan selama 2 tahun. Tentukan simpanan total karyawan tersebut!

20). Nilai akhir rente pra numerando dari suatu modal yang diberikan setiap bulan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5% adalah Rp21.144.221,26. Tentukan besarnya modal yang diberikan tiap bulannya!

21). Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp650.000,00 bank memberikan bunga 1,8%/bulan selama 2 tahun. Tentukan simpanan total karyawan tersebut!

22). Setiap awal tahun Yayasan Khartika akan mendapatkan sumbangan dari luar negeri sebesar Rp2.250.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yang diterima yayasan tersebut!

23). Tiap awal bulan Yayasan Keadilan Sejahtera mendapatkan sumbangan dari negara Saudi Arabia sebesar Rp7.500.000,00 selama 5 tahun. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 1,75%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

24). Tutik mendapatkan tunjangan dari orang tua asuh dengan besarnya tetap tiap awal bulan sampai meninggal dunia. Namun, tunjangan akan diberikan sekaligus sebesar Rp18.450.000,00 dengan suku bunga 2,5%/bulan. Berapakah besar tunjangan setiap bulannya?

25). Setiap awal tahun Nissa menyimpan uang di Bank BRI sebesar Rp 475.000,00 Jika bank memberikan bunga 7,5%/tahun, tentukan jumlah simpanan Nissa setelah menabung 25 tahun!

Sumber : buku Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

         Demikian kumpulan Soal-soal Latihan tentang Rente. Selamat mengerjakan. Semoga soal-soal latihan ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Rente Dalam Matematika Keuangan

         Blog Koma - Andaikan kita menyimpan sejumlah uang setiap awal bulan di bank dengan jumlah yang sama, dan bank memberikan bunga terhadap simpanan kita. Setelah sekian bulan kita akan menghitung jumlah tabungan yang telah tersimpan. Semisal juga bank tidak membebani biaya administrasi, dapatkah kita menghitung jumlah keseluruhan simpanan uang anda? Untuk menghitung jumlah tabungan dari ilustrasi di atas. dibutuhkan ilmu tentang Rente. Pada artikel ini kita akan membahas Rente Dalam Matematika Keuangan.

         Pengertian Rente: Rente adalah sederetan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya.
Ada beberapa macam rente yaitu :
a). Rente berdasarkan saat pembayaran angsuran terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Pra Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di awal periode.
$\clubsuit \, $ Rente Post Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di akhir periode.
b). Rente berdasarkan banyaknya angsuran terdiri dari:
$\spadesuit \, $ Rente Terbatas adalah rente yang jumlah angsurannya terbatas.
$\spadesuit \, $ Rente Kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas.
c). Rente berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Langsung adalah rente yang pembayaran pertamanya langsung sesuai perjanjian.
$\clubsuit \, $ Rente yang ditangguhkan adalah rente yang pembayaran pertamanya ditangguhkan beberapa periode.

         Pada materi Rente Dalam Matematika Keuangan ini, kita akan menghitung besarnya nilai akhir (NA) dan nilai tunai (NT). Sehingga penting bagi teman-teman untuk menguasai terlebih dahulu materi "nilai tunai dan nilai akhir". Dan satu lagi yang perlu kita pahami yaitu penghitungan rente menggunakan konsep "bunga majemuk".

Nilai Akhir Rente Pra numerando
       Rente Pra Numerando adalah Rente yang dibayarkan di awal periode, sehingga angsuran terakhir sudah mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai akhir (NA) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NA = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M . \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.

Contoh soal Nilai Akhir Rente Pra numerando :
1). Setiap awal bulan Wildan menyimpan uang di Bank Makmur sebesar Rp100.000,00. Jika bank memberikan bunga 6%/bulan, tentukan uang Wildan setelah menabung 20 bulan (Seluruh uangnya diambil di akhir bulan ke-20)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 100.000, $ i = 6\% = 0,06 \, $/bulan, dan $ n = 20 $.
*). Menentukan nilai akhir (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{100.000 \times (1+0,06)[(1+0,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{100.000 \times (1 ,06)[(1 ,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{106.000 \times [2,207135472]}{0,06} \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $
Jadi, total uang Wildan ketika diambil diakhir bulan ke-20 adalah Rp3.899.272,67.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M \times \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \\ & = M \times \text{ kolom 6% dan baris 20} \\ & = 100.000 \times 38,99272668 \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $

Nilai Akhir Rente Post numerando
       Rente Pra Numerando adalah Rente yang dibayarkan di akhir periode, sehingga angsuran terakhir tidak mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap akhir periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai akhir (NA) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NA = \frac{M[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.


Contoh soal Nilai Akhir Rente Post numerando :
2). Setiap akhir bulan Wulan menyimpan uang di bank Rp500.000,00 selam 2 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 1.5%/bulan, tentukan simpanan total Wulan di bank tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 500.000, $ i = 1,5\% = 0,015 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan nilai akhir (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{500.000 \times [(1+0,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times [(1 ,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times 0,429502811}{0,015} \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $
Jadi, total uang Wulan ketika diambil diakhir bulan ke-24 adalah Rp14.316.760,40.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M \times \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \\ & = M+ M \times \text{ kolom 1,5% dan baris (24-1) = 23} \\ & = 500.000 + 500.000 \times 27,63352080 \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Pra numerando
       Nilai tunai rente Pra numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah nilai angsuran itu sendiri, yaitu M. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.

Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
3). Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulan dari PT SUKSES ABADI sebesar Rp250.000,00 selama 3 tahun. Jika pemberian itu akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 2%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 250.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M(1+i)[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{250.000 \times (1+0,02)[1 - (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{250.000 \times (1 ,02)[1 - (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times [1 - 0,49022315]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times 0,50977685 }{0,02} \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $
Jadi, siswa tersebut menerima seluruh beasiswanya diawal sebesar Rp6.499.654,83.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \\ & = M + M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 - 1 = 35} \\ & = 250.000 + 250.000 \times 24,99861933 \\ & = 250.000 + 6249654,83 \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Post numerando
       Nilai tunai rente Post numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Misalkan kita menabung setiap akhir periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NT = \frac{M[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.


Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
4). Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Sejahtera mendapatkan sumbangan dari Badan Kemakmuran Dunia sebesar Rp5.000.000,00 selama 3 tahun berturut-turut. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus di awal dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M [1 - (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - 0,552070889]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,447929111}{0,02} \\ & = 111.982.277,80 \end{align} $
Jadi, yayasan akan menerima total uang sejumlah Rp111.982.277,80 di awal sehingga tidak perlu menunggu tiga tahun lagi.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \\ & = M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 } \\ & = 5.000.000 \times 2296455551 \\ & = 111.982.277,80 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Kekal
       Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas. Nilai akhir rente merupakan deret geometri naik. Oleh karena itu rente kekal tidak ada nilai akhirnya. Nilai tunai rente merupakan deret geometri turun, sehingga nilai tunai rente kekal memiliki nilai (konvergen).

a). Nilai Tunai Rente Kekal Pra Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)}{i} \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} NT = \frac{M }{i} + M \end{align} $

a). Nilai Tunai Rente Kekal Post Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M}{i} \end{align} $

Contoh soal rente kekal :
5). Setiap awal bulan, Budi akan mendapatkan beasiswa dari PT ABC sebesar Rp175.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. PT. ABC tak mau repot. Oleh karena itu, beasiswa akan diberikan sekaligus namun harus dikenai bunga sebesar 1%/ bulan. Tentukan beasiswa total yg diterima Budi!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 175.000, $ i = 1\% = 0,01 \, $/bulan, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente kekal pra numerando karena penerimaannya di awal.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} + M \\ & = \frac{175.000 }{0,01} + 175.000 \\ & = 17.500.000 + 175.000 \\ & = 17.675.000 \end{align} $
Jadi, total beasiswa yang diterima oleh budi di awal adalah Rp17.675.000,00.

6). Setiap akhir tahun yayasan A akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia Sebesar Rp3.500.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 17,5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yg diterima yayasan A tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.500.000, $ i = 17,5\% = 0,175 \, $/tahun, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente kekal post numerando karena penerimaannya di akhir setiap periode.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} \\ & = \frac{3.500.000 }{0,175} \\ & = 20.000.000 \end{align} $
Jadi, yayasan A akan menerima total sumbangan sebesar Rp20.000.000,00.

Catatan :
Untuk rumus-rumus yang ada di atas, tentu kurang lengkap rasanya kalau kita tidak mengetahui asal-usul rumus tersebut. Sehingga pada artikel berikutnya akan kami share pembuktian rumus rente. Silahkan baca artikelnya dengan judul "Pembuktian Rumus Rente dalam Matematika Keuangan".

         Demikian pembahasan materi Rente Dalam Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Untuk materi berikutnya, silahkan pelajari yang masih terkait dengan matematika keuangan yaitu anuitas.

Materi Matematika Keuangan

         Blog Koma - Materi Matematika keuangan adalah salah satu materi pelajaran peminatan di tingkat SMA kurikulum 2013 yang dipelajari kelas 12. Sebenarnya materi matematika keuangan telah dipelajari oleh siswa/siswi tingkat SMK. Dengan mempelajari matematika keuangan diharapkan kita mampu memahami masalah kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan keuangan, misalkan masalah bunga pinjaman dan simpanan di Bank (bunga majemuk atau bunga tunggal), rente, cicilan kredit rumah (konsep anuitas), obligasi, dan masalah keuangan lainnya.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi matematika keuangan, sebaiknya teman-teman pelajari terlebih dahulu materi "barisan dan deret aritmatika", "barisan dan deret geometri", "bunga majemuk", serta "nilai tunai dan nilai akhir".

         Pada materi matematika keuangan yang akan kita bahas yaitu bunga tunggal, bunga majemuk, rente, anuitas, angsuran, penerapan anuitas pada obligasi, dan penyusutan. Untuk materi bunga tunggal dan bunga majemuk sudah kita pelajari sebelumnya pada artikel "bunga, pertumbuhan, dan peluruhan" yang merupakan matematika wajib, sehingga tidak kita bahas lagi di sini. Untuk mempelajari materi matematika keuangan yang akan kita bahas, silahkan langsung ikuti link-nya di bawah ini.


Cakupan Materi Matematika Keuangan
       Berikut submateri yang akan kita pelajari dalam matematika keuangan yaitu :
1). Rente
2). Anuitas dan angsuran
3). Penerapan Anuitas pada Obligasi
4). Penyusutan.

         Demikian materi matematika keuangan secara umum yang akan kita bahas. Penyusunan kelima submateri di atas akan kita lengkapi secara berkala, jadi mohon untuk bersabar. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.