Tampilkan postingan dengan label luas bangun datar khusus. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label luas bangun datar khusus. Tampilkan semua postingan

Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan. Soal-soal yang berkaitan dengan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan juga pernah keluar pada ujian nasional tingkat SMA. Pada dasarnya bangun datar segi-n beraturan terbentuk dari lingkaran yang dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang sama besar (berbentuk segitiga sama kaki). Sehingga untuk menghitung luas dan keliling bangun datar segi-n kita akan melibatkan sudut pusat dan jari-jarinya. Sudut pusatnya adalah sudut pada segitiga dengan besarnya adalah $ \frac{360^\circ}{n} $ yang ditunjukkan oleh tanda sudut warna merah. Sementara sisi dari bangun datar segi-n ditunjukkan oleh huruf $ x $. Perhatikan gambar berikut ini.

         Dalam menghitung Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan, kita melibatkan rumus luas segitiga yang melibatkan sudut yaitu lebih tepatnya luas segitiga menggunakan sinus dan untuk menghitung kelilingnya kita menggunakan konsep aturan kosinus. Silahkan teman-teman baca materinya pada artikel : "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga". Untuk lebih memudahkan, teman-teman sebaiknya juga mempelajari nilai perbandingan fungsi trigonometri pada sudut-sudut istimewa pada artikel "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Penghitungan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan
$\spadesuit $ Luas bangun datar segi-n beraturan :
*). Luas segitiga menggunaan sinus.
Perhatikan segitga PRQ pada segienam di atas (sebagai contoh saja), luasnya adalah :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.r.r .\sin \theta = \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $.
*). Luas bangun datar segi-n beraturan :
Luas segi-n $ = n \times \, $ luas segitiga
Luas segi-n $ = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $

$\clubsuit $ Keliling bangun datar segi-n beraturan :
*). Aturan kosinus menentukan pajang sisi segin-n ($x$).
Berdasarkan aturan kosinus pada segitiga PRQ, panjang $ x $ adalah
$ x^2 = r^2 + r^2 - 2.r.r.\cos \theta $
$ x = \sqrt{2r^2 - 2r^2 \cos \frac{360^\circ}{n}} $
$ x = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $
*). Keliling bangun datar segi-n beraturan
Keliling $ = n \times x = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $.
keterangan :
$\theta =\, $ sudut pusat $ = \frac{360^\circ}{n} $.

Contoh soal Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan :

1). Pada segienam beraturan dengan jari-jari 10 cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui $ r = 10 $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.10^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 300 \sin 60^\circ \\ & = 300 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 150 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut adalah $ 150\sqrt(3) \, cm^2 . \, \heartsuit $.

b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.10\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 60\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 60\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 60\sqrt{2-1 } \\ & = 60\sqrt{1} \\ & = 60 \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut adalah $ 60 \, cm . \, \heartsuit $.

2). Sebuah bangun datar segi-8 beraturan memiliki keliling $ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm. Tentukan
a). Panjang sisi dan jari-jarinya,
b). Tentukan luas segidelapan tersebut.

Penyelesaian :
a). Panjang sisi $(x)$ dan jari-jari $(r)$ :
*). Panjang sisi,
$ \begin{align} \text{Keliling segidelapan } & = 8x \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8x \\ x & = \frac{32\sqrt{2-\sqrt{2}} }{8} = 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{align} $
Sehingga panjang sisinya adalah $ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm.
*). Jari-jari $(r)$ :
$ \begin{align} \text{Keliling Segidelapan } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{8}} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2\cos 45^\circ} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-\sqrt{2}} \\ r & = 8 \end{align} $
Sehingga panjang jari-jarinya $ r = 4 $.

b). Luas segidelapan beraturan :
$ \begin{align} \text{Luas Segidelapan } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{8}{2}.4^2 \sin \frac{360^\circ}{8} \\ & = 64 \sin 45^\circ \\ & = 64 . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 32 \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, luas segidelapan tersebut adalah $ 32\sqrt(2) \, cm^2 . \, \heartsuit $.

3). Luas bangun datar segi-12 beraturan adalah 27 cm$^2$. Tentukan :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
b). Keliling segi-12 tersebut.

Penyelesaian :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
*). Panjang jari-jari :
$ \begin{align} \text{Luas Segi-12 } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ 27& = \frac{12}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{12} \\ 27& =6r^2 \sin 30^\circ \\ 27& = 6r^2 . \frac{1}{2} \\ 27& = 3r^2 \\ r & = 3 \end{align} $
Sehingga $ r = 3 \, $ cm.
*). Panjang sisi $(x) $ segi-12 :
$ \begin{align} x & = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{12}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos 30^\circ} \\ & = 3\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} \end{align} $
Sehingga panjang sisi $ x = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} $

b). Keliling segi-12 tersebut.

Keliling $ = n.x = 12 . 3\sqrt{2-\sqrt{3}} = 36\sqrt{2-\sqrt{3}} $
Jadi, keliling segi-12 adalah $ 36\sqrt{2-\sqrt{3}} \, cm. \, \heartsuit $.

4). Sebuah bangun datar segienam beraturan memeiliki jari-jari $ r \, $ cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui jari-jari $ = r $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 3r^2 \sin 60^\circ \\ & = 3r^2 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut adalah $ \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \, cm^2 . \, \heartsuit $.

b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 6r\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 6r\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 6r\sqrt{2-1 } \\ & = 6r\sqrt{1} \\ & = 6r \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut adalah $ 6r \, cm . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luasan.

Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Luasan suatu bangun datar dengan judul Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya. Luas bangun datar yang akan kita bahas adalah luas segitiga, luas segiempat, luas segilima, dan luas segi lainnya. Materi Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya sengaja kita bahas karena memang terkadang kita diminta menghitung luas suatu bangun datar yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya, salah satunya pada materi "transformasi geometri" yang selalu melibatkan luas bangun datar yaitu bisa menghitung luas bayangan atau luas awal bangun tersebut, dimana materinya sudah kita bahas khusus pada artikel "Transformasi Geometri Luas Bangun datar".

         Untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya menggunakan rumus aslinya tentu akan sulit bagi kita, kenapa? Karena kita harus menghitung panjang-panjang sisinya terlebih dahulu dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Belum tentu juga panjang sisinya akan bulat. Berlatar belakang dari permasalahan inilah kita menshare cara lain dalam menyelesaikan Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya.

         Pada kesempatan artikel Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya ini, akan kita tampilkan dua cara dalam penghitungannya yaitu cara I : menggunakan luas persegipanjang dan luas segitiga (bisa juga trapesium), dan cara II : menggunakan rumus mirip determinan matriks. Langsung saja kita simak penjelasannya berikut ini beserta contohnya.

Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya Cara I
       Cara pertaman dalam menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya yaitu dengan memanfaatkan beberapa luas bangun datar yaitu luas persegi panjang, luas segitiga, dan luas trapesium.

$\clubsuit $ Rumus Luas beberapa bangun datar :
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $.
*). Luas persegipanjang $ = $ panjang $ \times $ lebar.
*). Luas trapesium $ = \frac{a+b}{2} \times \text{ tinggi} $.
dengan $ a $ dan $ b $ adalah sisi-sisi sejajar pada trapesium.

$ \spadesuit $ Luas bangun datar diketahui koordinatnya :
Luas $ = $ luas persegipanjang $ - $ luas bangun baru yang terbentuk.

Catatan : Bangun baru yang terbentuk biasanya segitiga atau trapesium.
Langkah-langkah cara I :
1). Membuat persegipanjang yang bisa mencakup semua daerah yang mau kita hitung luasnya.
2). Menghitung luas persegipanjang dan luas bangun lain (biasanya berbentuk segitiga, trapesium, persegi atau persegipanjang kecil) yang terbentuk diluar daerah sebenarnya.
3). Luas daerah yang kita cari adalah pengurangan seperti pembahasan di atas.

Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya Cara II
       Cara kedua untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya adalah dengan menggunakan rumus yang mirip dengan determinan matriks. Rumus ini berlaku untuk semua bangun datar yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya.

*). Rumus luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2})] $

*). Rumus luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) , C(c_1,c_2) $ , dan $ D(d_1,d_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1d_2+d_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+d_1c_2+a_1d_2})] $

Catatan :
*). Begitu seterusnya untuk bangun datar segilima, segienam, dan lainnya berlaku mirip dengan rumus di atas.
*). Urutan titiknya harus berurutan sehingga membentuk bangun yang dihitung luasnya.
*). Dari rumus di atas, satu titik paling kiri kita ulang lagi letakkan di akhir paling kanan.
*). Keuntungan cara II ini adalah kita tidak perlu detail menggambar bangun datarnya.

Contoh Soal Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya :

1). Hitunglah luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya $A(1,1), B(-1,-2) $, dan $ C(-2,2) $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Perhatikan gambar segitiga ABC berikut :
*). Menentukan luas beberapa bangun:
Luas persegipanjang CDEF $ = p . l = 3 . 4 = 12 $
Luas $\Delta CDB = \frac{1}{2}.1 .4 = 2 $
Luas $\Delta ABE = \frac{1}{2}.2 .3 = 3 $
Luas $\Delta CAF = \frac{1}{2}.1 .3 = 1,5 $
*). Luas segitiga ABC :
Luas $ = 12 - ( 2 + 3 + 1,5) = 12 - 6,5 = 5,5 $.
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 5,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Koordinatnya : $A(1,1), B(-1,-2) $, dan $ C(-2,2) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(1.-2 + -1.2 + -2.1)-(-1.1 + -2.-2 + 1.2)] \\ & = \frac{1}{2} [(-2 - 2 - 2)-(-1 + 4 + 2)] \\ & = \frac{1}{2} [(-6)-(5)] \\ & = \frac{1}{2} [-11] = -5,5 = 5,5 \end{align} $
(luas selalu bernilai positif).
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 5,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

2). Hitunglah luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya $A(1,-1), B(3,1) , C(2,4) $, dan $ D(-1,0) $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Perhatikan gambar segiempat ABCD berikut :
*). Menentukan luas beberapa bangun :
Luas persegipanjang EFGH $ = p . l = 4 . 5 = 20 $
Luas $\Delta ADE = \frac{1}{2}.2 .1 = 1 $
Luas $\Delta ABH = \frac{1}{2}.2 .2 = 2 $
Luas $\Delta BGC = \frac{1}{2}.1 .3 = 1,5 $
Luas $\Delta DFC = \frac{1}{2}.3 .4 = 6 $
*). Luas segiempat ABCD :
Luas $ = 20 - ( 1 + 2 + 1,5 + 6) = 20 - 10,5 = 9,5 $.
Jadi, luas segiempat ABCD adalah $ 9,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Koordinatnya : $A(1,-1), B(3,1) , C(2,4) $, dan $ D(-1,0) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 4 & 0 & -1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(1.1 + 3.4 + 2.0 + -1.-1)-(3.-1+2.1+-1.4+1.0)] \\ & = \frac{1}{2} [(1 + 12 + 0 + 1)-(-3 + 2 - 4 + 0)] \\ & = \frac{1}{2} [(14)-(-5)] \\ & = \frac{1}{2} [19] = 9,5 \end{align} $
Jadi, luas segiempat ABCD adalah $ 9,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

3). Hitunglah luas segilima ABCDE dengan koordinat titik sudutnya $A(-2,-2), B(2,-1) , C(3,1) $, $ D(0,3)$ , dan $ E(-3,2) $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Perhatikan gambar segilima ABCDE berikut :
*). Menentukan luas beberapa bangun :
Luas persegipanjang FGIJ $ = p . l = 6 . 5 = 30 $
Luas $\Delta EAF = \frac{1}{2}.1.4 = 2 $
Luas $\Delta EJD = \frac{1}{2}.1.3 = 1,5 $
Luas $\Delta CDI = \frac{1}{2}.2 .3 = 3 $
Luas $\Delta CHB = \frac{1}{2}.1.2 = 1 $
Luas trapesium AGHB $ = \frac{HB+AG}{2}.GH = \frac{1+5}{2}.1 = 3 $
*). Luas segilima ABCDE :
Luas $ = 30 - ( 2 + 1,5 + 3 + 1 + 3) = 30 - 10,5 = 19,5 $.
Jadi, luas segilima ABCDE adalah $ 19,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Koordinatnya : $A(-2,-2), B(2,-1) , C(3,1) $, $ D(0,3)$ , dan $ E(-3,2) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & e_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & e_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -2 & 2 & 3 & 0 & -3 & -2 \\ -2 & -1 & 1 & 3 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(2+2+9+0+6)-(-4-3+0-9_4)] \\ & = \frac{1}{2} [(19)-(-20)] \\ & = \frac{1}{2} [39] = 19,5 \end{align} $
Jadi, luas segilima ABCDE adalah $ 19,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Catatan Penting :
i). Rumus mirip determinan (Cara II) hanya bisa digunakan pada bangun datar dengan semua sudutnya cekung kelur (sudutnya harus kurang dari $180^\circ$) seperti pada contoh soal di atas, namun berlaku untuk semua segitiga.
ii). Jika bangun datarnya dimana ada sudutnya yang tidak cekung keluar (cekung ke dalam), maka sebaiknya teman-teman menggunakan cara I saja.

4). Perhatikan bangun datar dengan sudutnya cekung kedalam.
Gambar di atas ini adalah contoh bangun datar yang titik sudutnya cekung ke dalam. Untuk menentukan luas daerahnya (bangun datar bersangkutan), sebaiknya kita menggunakan cara I seperti pada contoh-contoh di atas sebelumnya.

       Demikian pembahasan materi Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luas suatu bangun datar yaitu luas segi-$n$ beraturan.