Tampilkan posting dengan label logaritma. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label logaritma. Tampilkan semua posting

Kamis, 24 November 2016

Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi menentukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya, kita lanjutkan dengan pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya. Pada artikel ini kita akan lebih menekankan pada dua jenis grafik yaitu grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma. Meskipun demikian, sebenarnya cara yang akan kita pelajari pada artikel ini bisa diterapkan pada semua jenis grafik fungsi yang diketahui. Namun, kita lebih fokus ke grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma karena kedua jenis grafik fungsi ini yang biasanya keluar di soal-soal Ujian Nasional.

         Menentukan fungsi invers dari grafiknya artinya diketahui grafik suatu fungsi dan kita diminta mencari fungsi inversnya langsung. Untuk memudahkan dalam pengerjaannya, sebaiknya teman-teman memepelajari materi invers fungsi eksponen dan logaritma.

Cara Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya
       Ada dua cara dalam menentukan fungsi invers dari grafiknya, yaitu :
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
       Kita tentukan dulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, setelah itu baru kita cari inversnya.

$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
       Kita substitusikan langsung titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk menentukan fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada materi menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk menentukan fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.
Catatan :
Soal-soal yang akan kita bahas adalah tipe-tipe soal yang ada pilihan gandanya, dimana tipe soal inilah yang sering diujikan di Ujian Nasional. Dan perlu teman-teman ketahui, cara II : teknik substitusi hanya bisa dilakukan untuk soal yang ada fungsinya yaitu pada pilihan gandanya.


Contoh Soal :
1). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi invers dari grafik tersebut adalah ....
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 $
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) $
C). $ g(x) = 2^x - 1 $
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 $
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) $

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan fungsi awal,
*). Contoh soal 1 ini sama dengan contoh soal nomor 4 pada artikel "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya", dima fungsi awal (fungsi asli) dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan teman-teman baca penjelasannya pada artikel tersebut.
*). Kita tentukan invers dari fungsi awal : $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan baca cara menginverskan fungsi eksponen dan fungsi logaritma.
$ \begin{align} f(x) & = 3 \times 2^x + 1 \\ y & = 3 \times 2^x + 1 \\ 3 \times 2^x & = y - 1 \\ 2^x & = \frac{y - 1}{3} \\ x & = {}^2 \log \frac{y - 1}{3} \end{align} $
Sehingga inversnya adalah $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

Catatan : Cara I ini tingkat kesulitannya adalah untuk menentukan fungsi awal dan lalu mencari fungsi inversnya.

Cara II: Teknik Substitusi,
*). Grafik melalui titik $(0,4), \, (1,7), \, $ dan $ (2,13)$. Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(0,4) $, kita substitusikan $ x = 4 $ dan hasilnya harus 0 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{4-2} - 9 = 9 - 9 =0 $ (BENAR)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{4-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{3}{3} \right) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
C). $ g(x) = 2^x - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 =15 $ (SALAH)
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 = 5^{4 - 4} + 1 = 5^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) = {}^3 \log (4+5) = {}^3 \log 9 = 2 $ (SALAH)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (A) dan (B), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(1,7) $ , kita substitusi $ x = 7 $ dan hasilnya harus 1 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{7-2} - 9 = 3^5 - 9 = 243 - 9 = 234 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{7-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{6}{3} \right) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Yang tersisa BENAR adalah pilihan B, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

2).Jika $g(x) $ adalah fungsi invers dari grafik fungsi berikut ini, maka tentukan fungsi $ g(x) $ tersebut!

A). $ g(x) = 3^x - 1 $
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 $
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 $
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 $

Penyelesaian :

*). Untuk contoh soal nomor 2 ini kita langsung menggunakan cara II yaitu teknik substitusi. Namun, bagi teman-teman yang ingin mencoba cara pertama silahkan saja, untuk perbandingan hasil akhirnya apakah sama atau tidak. Dan untuk fungsi awal dari grafiknya sama dengan contoh soal nomor 2 pada artikel "menentukan fungsi logaritma dari grafiknya", silahkan teman-teman lihat artikelnya untuk pembahasannya.
*). Grafik melalui titik-titik : $(-2,0), \, (-1,-1) $ dan $ (2,-2) $.
Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(-2,0) $, kita substitusikan $ x = 0 $ dan hasilnya harus $-2$ :
A). $ g(x) = 3^x - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 = {}^3 \log (2 \times 0 +3) + 1 = {}^3 \log 3 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-0} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( -4 \right) = -2 $ (BENAR)
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 = 5^{0+1} - 3 = 5^{1} - 3 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (0+2) - 3 = {}^2 \log ( 2) - 3 = 1 - 3 = -2 $ (BENAR)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (C) dan (D), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(2,-2) $ , kita substitusi $ x = -2 $ dan hasilnya harus 2 :
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-(-2)} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^2 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 9 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 \right) = 2 $ (BENAR)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (-2+2) - 3 = {}^2 \log ( 0) - 3 $ (SALAH) karena numerus tidak boleh 0.
Yang tersisa BENAR adalah pilihan C, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion C yaitu $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $ .

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Rabu, 23 November 2016

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "fungsi logaritma dan menggambar grafiknya", kita lanjutkan pembahasan berikut ini yaitu Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya. Pada artikel ini, akan diketahui grafik fungsi logaritma yang melalui beberapa titik, dan tugas kita untuk menentukan persamaan fungsi logaritmanya. Soal-soal Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya biasanya juga muncul untuk Ujian Nasional, jadi perlu juga kita pelajari secara seksama teman-teman.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "definisi logaritma" dan "sifat-sifat pada eksponen" karena akan melibatkan bentuk perpangkatan dalam perhitungannya nanti. Secara garis besar, pembahasan pada artikel Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya kita bagi menjadi dua yaitu pertama dengan menggunakan bentuk umum fungsi logaritma (yang sederhana) dan kedua diketahui soalnya dalam bentuk pilihan ganda yang biasanya keluar di Ujian Nasional.

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua bentuk fungsi logaritma sebagai permisalan yang akan kita gunakan yaitu $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ dan $ f(x) = {}^a \log (bx+c) $ .
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu dua titik saja.
*). Bentuk $ f(x) = {}^a \log (bx + c) \, $ kita gunakan jika grafik diketahui hanya melalu lebih dari dua titik.

       Langkah kerjanya adalah kita substitusi semua titik yang dilalui oleh grafik sehingga membentuk beberapa persamaan, setelah itu kita selesaikan persamaan yang terbentuk dengan teknik substitusi dan eliminasi.

Adapun rumus-rumus dasar yang paling berperan disini adalah :
*). Definisi logaritma :
       $ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
dengan syarat : $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ b > 0 $.
*). Sifat-sifat eksponen :
$ a^ 0 = 1 \, $ dengan $ a \neq 0 $.
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

Contoh Soal :
1). Tentukan fungsi logaritma dari grafik di bawah ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik hanya melalui dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx) $.
*). Grafik melalui titik $(\frac{1}{3},0) \, $ dan $ (\frac{4}{3},2) $. Kita substitusikan kedua titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{1}{3},0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx) \\ 0 & = {}^a \log (b \frac{1}{3} ) \\ 0 & = {}^a \log (\frac{b}{3} ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ \frac{b}{3} & = a^0 \\ \frac{b}{3} & = 1 \\ b & = 3 \times 1 = 3 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (bx) = {}^a \log (3x) $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (\frac{4}{3},2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (3x) \\ 2 & = {}^a \log (3 \times \frac{4}{3} ) \\ 2 & = {}^a \log 4 \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm \sqrt{4} \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena syarat basis adalah positif, maka yang memenuhi $ a = 2 $.
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = {}^a \log (3x) = {}^2 \log (3x) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^2 \log (3x) $.


2). Tentukan fungsi logaritma dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Karena grafik melalui leih dari dua titik, maka kita gunakan fungsi $ f(x) = {}^a \log (bx + c) $.
*). Grafik melalui titik $(-2,0) , \, (-1,-1)$, dan $ (2,-2) $. Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke fungsi logaritmanya.
Substitusi titik pertama :
$ \begin{align} (x,y) = (-2,0) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ 0 & = {}^a \log (b \times (-2) + c ) \\ 0 & = {}^a \log (-2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -2b + c & = a^0 \\ -2b + c & = 1 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
Substitusi titik kedua :
$ \begin{align} (x,y) = (-1,-1) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -1 & = {}^a \log (b \times (-1) + c ) \\ -1 & = {}^a \log (-b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ -b + c & = a^{-1} \\ -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
Substitusi titik ketiga :
$ \begin{align} (x,y) = (2,-2) \rightarrow f(x) & = {}^a \log (bx + c) \\ -2 & = {}^a \log (b \times (2) + c ) \\ -2 & = {}^a \log (2b + c ) \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2b + c & = a^{-2} \\ 2b + c & = \frac{1}{a^2} \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(iii) :
Kurangkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & - \\ \hline -4b = 1 - \frac{1}{a^2} & \\ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
Jumlahkan :
$\begin{array}{cc} -2b + c = 1 & \\ 2b + c = \frac{1}{a^2} & + \\ \hline 2c = 1 + \frac{1}{a^2} & \\ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & \end{array} $
*). Dari pers(ii) , kita substitusi bentuk $ b $ dan $ c $ yang kita peroleh:
$ \begin{align} -b + c & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ -[-\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = \frac{1}{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan } 4a^2) \\ 4a^2 \times [\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2})] + 4a^2 \times \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a^2 \times \frac{1}{a} \\ a^2 \times (1 - \frac{1}{a^2}) + 2a^2 \times (1 + \frac{1}{a^2}) & = 4a \\ a^2 - 1 + 2a^2 + 2 & = 4a \\ 3a^2 - 4a + 1 & = 0 \\ (3a - 1)(a-1) & = 0 \\ a = \frac{1}{3} \vee a & = 1 \end{align} $
Karena syarat basis tidak sama dengan 1, maka $ a = \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ b $ dan $ c $ :
$ b = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{a^2}) = -\frac{1}{4}(1 - \frac{1}{\frac{1}{9}}) = -\frac{1}{4}(1 - 9) = 2 $
$ c = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{a^2}) = \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\frac{1}{9}}) = \frac{1}{2}(1 + 9) = 5 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = {}^a \log (bx + c) \rightarrow f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $
Jadi, fungsi logaritma dari grafik tersebut di atas adalah $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log (2x + 5) $.

       Dari contoh penghitungan untuk soal nomor (2) di atas, terlihat bahwa proses menyelesaikan persamaannya yang agak sulit. Namun, dengan penuh kesabaran, pasti kita akan bisa menyelesaikannya dengan baik dan benar. Memang untuk bentuk fungsi logaritma lebih sulit dibandingkan dengan materi "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya".

Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya II
       Tipe-tipe soal menentukan fungsi logaritma dari grafiknya juga bisa muncul di UJIAN NASIONAL. Namun di soal-soal Ujian Nasional biasanya dalam bentuk pilihan ganda, sehingga akan memudahkan kita untuk menentukan fungsi dari sebuah grafik yaitu dengan cara langsung SUBSTITUSI titik yang dilewati oleh grafik ke opsionnya (pilihan gandanya), dan kita pilih yang sesuai hasil dengan titik yang dilalui. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal :
3). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi yang sesuai dengan grafik di atas adalah .....
A). $ y = {}^3 \log ( x + 1) $
B). $ y = 2^x - 1 $
C). $ y = {}^2 \log x + 1 $
D). $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 $
E). $ y = {}^2 \log (x - 1) $

Penyelesaian :
*). Titik - titik yang dilalui oleh grafik yaitu $(2,0) \, $ dan $ (3,1) $.
*). Kita substitusi titik pertama $(2,0)$ , untuk $ x = 2 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 0 $.
Pilihan A: $ y = {}^3 \log ( x + 1) = {}^3 \log ( 2 + 1) = {}^3 \log 3 = 1 $ (SALAH).
Pilihan B: $ y = 2^x - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 $ (SALAH)
Pilihan C: $ y = {}^2 \log x + 1 = {}^2 \log 2 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{- 1} - 2 = 2 - 2 = 0 $ (BENAR)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (2 - 1) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
*). Karena opsi D dan E BENAR, maka kita substitusi titik lain ke kedua opsion yang benar tersebut.
*). Kita substitusi titik kedua $(3,1)$ , untuk $ x = 3 \, $ maka nilai $ y \, $ haruslah $ 1 $.
Pilihan D: $ y = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-3 + 1} - 2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} - 2 = 4 - 2 = 2 $ (SALAH)
Pilihan E: $ y = {}^2 \log (x - 1) = {}^2 \log (3 - 1) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Sehingga opsion yang tersisa benar adalah opsi E.
Jadi, persamaan fungsi dari grafik tersebut adalah $ f(x) = {}^2 \log (x-1) $, yaitu opsion E.

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Logaritma dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan logaritma. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Kamis, 14 Januari 2016

Kumpulan Soal-soal Logaritma Seleksi Masuk PTN

         Blog Koma - Pada artikel kali ini, kita akan mempelajari berbagai jenis soal-soal yang berkaitan dengan Logaritma. Dengan latihan lebih banyak lagi soal-soal akan membantu kita lebih mahir dan lebih mendalam memahami materi logaritma, terutama bagi teman-teman yang akan mngikuti tes seleksi masuk PTN (Perguruan Tinggi Negeri) yang diidamkan. Selain kumpulan soal-soal logaritma seleksi masuk PTN juga telah dilengkapi dengan pembahasannya langsung.

         Untuk memudahkan dalam memahami dan mengerjakan soal-soal logaritma yang ada di bawah ini, sebaiknya kita pelajari dulu teori atau materi yang berkaitan dengan logaritma, seperti "pengertian dan sifat-sifat logaritma", "fungsi logartima", "persamaan logaritma", dan "pertidaksamaan logaritma".
         Kumpulan soal-soal logaritma seleksi masuk PTN ini kita susun dari berbagai sumber dan berbagai jenis soal-soal seperti soal SBMPTN, SNMPTN, SPMB, UMPTN, serta seleksi mandiri seperti UM UGM (UTUL) dan SIMAK UI, dari tahun yang lama sampai yang baru. Dari kumpulan soal-soal yang ada pada artikel ini, banyak sekali soal-soal yang menurut kami menantang dan patut dicoba oleh teman-teman. Namun tenang saja, jika memang sudah mengalami kesulitan, bisa langsung lihat pembahasannya dengan menekan tombol atau tab pembahasannya. Semoga kumpulan soal-soal logaritma seleksi masuk PTN ini bisa bermanfaat bagi kita semua dalam persiapan untuk mengikuti tes berikutnya.


Nomor 1. Soal SBMPTN MatDas 2014 Kode 654
Jika ${}^{p}loga=2\, $ dan ${}^{q}log8p=2$, maka ${}^{2p}log\frac{pq^2}{a}=...$
Nomor 2. Soal SBMPTN MatDas 2014 Kode 654
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left( {}^{2}logx \right)^2 + {}^{2}logx=6$, maka $x_1x_2=...$
Nomor 3. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 kode 554
Semua nilai $a$ sehingga $f(x)=log(4^x+a.2^x+a+3)$ selalu bernilai real adalah ...
Nomor 4. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 kode 554
Diketahui $1+{}^{3}\log (\tan x)+({}^{3}\log (\tan x))^2 + ({}^{3}\log (\tan x))^3+...= \frac{2}{3}$, dengan $0\leq x \leq \pi , x\neq \frac{\pi}{2}$, nilai $\sin 2x$ adalah ...
Nomor 5. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 kode 554
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{(|x|+1)}} \log (2x+3) < 1 $ adalah ...
Nomor 6. Soal SBMPTN MatDas 2014 kode 611
Nilai $\frac{1}{2}+\left( {}^{3}log8 \right) \left( {}^{2}log3+{}^{4}log5 \right) - 4\, {}^{9}log45 \, $ adalah ...
Nomor 7. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 kode 514
Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\left(1-|x|\right)} log (3x-1) < 1 $ adalah ...
Nomor 8. Soal UM UGM MatDas 2014
Jika $f(x^2+3x+1)={}^{2}log(2x^3-x^2+7)$ , $x\geq 0$ maka $f(5)=...$
Nomor 9. Soal UM UGM MatDas 2014
Jika $4^{y+3x}=64$ dan ${}^{x}log (x+12) - 3{}^{x}log 4 = -1$ , maka $x+2y=...$
Nomor 10. Soal UM UGM Mat IPA 2014
Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x = {}^{4}\log 4x^2 $ mak ${}^{a}\log 3 =...$
Nomor 11. Soal SBMPTN MatDas 2013 kode 326
Jika ${}^{2}\log a - 2 \left( {}^{2}\log b \right) = 2 $ dan ${}^{2}\log b - 2 \left( {}^{2}\log a \right) = -1 $ , maka nilai $ab$ adalah ...
Nomor 12. Soal SBMPTN MatDas 2012 kode 122
Jika ${}^{2}\log 3 = x$ dan ${}^{3}\log 7 = y$ , maka nilai ${}^{3}\log 14 $ adalah ...
Nomor 13. Soal SBMPTN MatDas 2011 kode 179
Jika $6(3^{40})(^2 \log a)+ 3^{41}(^2 \log a)=3^{43}$ , maka nilai $a$ adalah ...
Nomor 14. Soal SPMK UB Mat IPA 2013 kode 21
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian $x^{^2 \log x } = 16 $ , maka $x_1x_2 = ... $
Nomor 15. Soal SNMPTN MatDas 2008 kode 201
Jika $^7 \log 2 = a $ dan $^2 \log 3 = b$ , maka $^6 \log 98 = ...$
Nomor 16. Soal SNMPTN MatDas 2008 kode 201
Jumlah n suku pertama deret : $^5 \log \frac{1}{a} + ^5 \log \frac{b}{a} + ^5 \log \frac{b^2}{a} + ... $ adalah ...
Nomor 17. Soal SNMPTN MatDas 2008 kode 201
Deret geometri tak hingga : $(\log (x-5))^2 + (\log (x-5))^3 + (\log (x-5))^4 + ... $
Nomor 18. Soal SPMB MatDas 2007
Jika $a > 0 $ dan $a\neq 1 $ memenuhi $a^{\sqrt[3]{4}} = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b} $ , maka ${}^2 \log b = ....$
Nomor 19. Soal SPMB MatDas 2007
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ adalah akar-akar persamaan $(5-2\log x ) \log x = \log 1000 $ , maka $x_1^2+x_2^2 = .... $
Nomor 20. Soal SPMB MatDas 2006
Jika ${}^4 \log 6 = m+1 $ , maka ${}^9 \log 8 = .... $
Nomor 21. Soal SPMB MatDas 2005
Nilai $x \, \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) > -1 \, \, $ adalah ....
Nomor 22. Soal SPMB MatDas 2004
$\frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} = .... $
Nomor 23. Soal SPMB MatDas 2004
Jika $ u = x^2 \, $ dan $ {}^x \log 10 = {}^u \log (5u-40), \, $ maka nilai $u \, $ adalah ....
Nomor 24. Soal SPMB MatDas 2003
Jika ${}^4 \log 6 = m+1 , \, \, $ maka $ {}^9 \log 8 = ..... $
Nomor 25. Soal SPMB MatDas 2003
Nilai $x \, $ yang memenuhi persamaan : $\left( {}^4 \log x \right)^2 - {}^2 \log \sqrt{x} - \frac{3}{4} = 0 \, \, $ adalah ....
Nomor 26. Soal SPMB MatDas 2003
Jumlah 10 suku pertama deret : $ {}^a \log \frac{1}{x} + {}^a \log \frac{1}{x^2} + {}^a \log \frac{1}{x^3} + .... \, \, $ adalah ....
Nomor 27. Soal SPMB MatDas 2002
Jika ${}^8 \log 5 = r , \, $ maka $ \, {}^5 \log 16 = .... $
Nomor 28. Soal UMPTN MatDas 2001
Jika $ \, {}^2 \log \frac{1}{a} = \frac{3}{2} \, $ dan $ \, {}^{16} \log b = 5 . \, $ Maka $ \, {}^a \log \frac{1}{b^3} = .... $
Nomor 29. Soal UMPTN MatDas 2001
Nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \, \left( {}^b \log x \right)^2 + 10 < 7. {}^b \log x \, $ dengan $ \, b > 1 \, $ adalah ....
Nomor 30. Soal Simak UI MatDas 2014 KD1
Jika ${}^{ab} \log a =4$, maka ${}^{ab} \log \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt{b}} = ...$
Nomor 31. Soal UMPTN MatDas 2000
Jika $x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan :
$(2\log x - 1 ) . \frac{1}{{}^x \log 10 } = \log 10 , \, x_1x_2 = .... $
Nomor 32. Soal UMPTN MatDas 2000
Nilai $ x $ yang memenuhi :
$\log x = 4 \log (a+b) + 2\log (a-b) - 3\log (a^2-b^2) - \log \frac{a+b}{a-b} $ adalah ....
Nomor 33. Soal Simak UI Mat IPA 2014 KA1
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $ \log |x+1| \geq \log 3 + \log |2x-1|$ adalah ...
Nomor 34. Soal Simak UI Mat IPA 2014 KA1
Semua nilai $x$ yang memenuhi ${}^{\sin x} \log \left( \frac{1}{2}\sin 2x \right) =2 $ adalah ...
Nomor 35. Soal SPMB Mat IPA 2006
Jika $ {}^{81} \log \frac{1}{x} = {}^{x} \log \frac{1}{y} = {}^{y} \log \frac{1}{81} , \, $ maka $ 2x - 3y = .... $
Nomor 36. Soal Selma UM MatDas 2014 Kode 141
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \log x = \frac{1}{3} \log 8 + \log 9 - \frac{1}{3} \log 27 \, \, $ adalah ....
Nomor 37. Soal Selma UM Mat IPA 2014 Kode 232
Jika $ \, {}^{18} \log 2 = a \, $ dan $ \, {}^{10} \log 2 = b , \, $ maka $ \, {}^{18} \log 45 = .... $
Nomor 38. Soal SPMB Mat IPA 2005
Diketahui $ 2\left( {}^4 \log x \right)^2 - 2.{}^4 \log \sqrt{x} = 1. \, $ Jika akar-akar persamaan di atas adalah $ x_1 $ dan $ x_2, \, $ maka $ x_1 + x_2 \, $ adalah .....
Nomor 39. Soal SPMB Mat IPA 2004
Jika $ a > 0, b > 0 \, $ dan $ \, {}^a \log b + {}^b \log a^4 + 4 = 0, \, $ maka $ a^2b - {}^a \log b = .... $
Nomor 40. Soal SPMB Mat IPA 2004
Semua nilai - nilai $ x $ yang memenuhi
$ 2^{-x^2+x+6} > \frac{{}^a \log b . {}^c \log a }{{}^c \log b } $
adalah ....
Nomor 41. Soal SPMB Mat IPA 2003
Hail kali nilai - nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{x^{2 \, {}^{10} \log x \, - 6}}{1000} = \frac{1000}{x^2} \, $ adalah ....
Nomor 42. Soal SPMB Mat IPA 2002
Himpunan penyelesaian pertaksamaan : $ 2 \log (x-2) \leq \log (2x-1) \, $ adalah .....
Nomor 43. Soal UMPTN Mat IPA 2001
Jika $ \frac{{}^2 \log a }{{}^3 \log b} = m \, $ dan $ \frac{{}^3 \log a }{{}^2 \log b} = n, \, a > 1 \, $ dan $ b > 1, \, $ maka $ \frac{m}{n} = ..... $
Nomor 44. Soal UMPTN Mat IPA 2000
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan :
$ {}^2 \log \, {}^2 \log \left( 2^{x+1} + 3 \right) = 1 + {}^2 \log x $
adalah .....
Nomor 45. Soal UMPTN Mat IPA 2000
Jumlah semua akar persamaan :
$ 10 (x^2-x-12)^{\log (x^2-x-12) } = (x-4)^2(x+3)^2 $
adalah .....
Nomor 46. Soal Simak UI MatDas KD2 tahun 2014
Nilai $a$ yang memenuhi $\frac{1}{{}^{10}\log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{10}}\log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{\sqrt{10}}}\log a}+...=200$ adalah ...
Nomor 47. Soal SBMPTN MatDas Kode 631 tahun 2014
Jika $ {}^b \log a = -2 \, $ dan $ {}^3 \log b = \left( {}^3 \log 2 \right) ( 1 + {}^2 \log 4a ), \, $ maka $ 4a + b = .... $
Nomor 48. Soal SBMPTN MatDas Kode 631 tahun 2014
Jika $ \log (\log x ) = \log (\log (1+y)) + \log 2 \, $ dan $ \log (x-5) = 2\log y , \, $ maka $ x + y = ..... $
Nomor 49. Soal SBMPTN MatDas Kode 691 tahun 2014
Jika $ p = ({}^a \log 2) \left( {}^{a^2b} \log 4 \right) , \, $ maka $ \frac{1}{p} = .... $
Nomor 50. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 523 tahun 2014
Diberikan deret geometri $ u_1+u_2+u_3+.... \, $ Jika $ u_5 = 48, \, $ rasio deret -2, dan $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 = 6 \log 2 + 4 \log 3, \, $ maka nilai $ 2u_3 + 3u_2 \, $ adalah ....
Nomor 51. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 523 tahun 2014
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan akar-akar persamaan $ {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) = 2 , \, $ maka $ a + b = ..... $
Nomor 52. Soal SBMPTN MatDas Kode 663 tahun 2014
Diketahui $ f(n) = {}^3 \log 4 . {}^4 \log 5... {}^{n-1} \log n . \, $ Jika $ a_1 \, $ dan $ a_2 \, $ penyelesaian persamaan $ f(a) + f(a^2) + ... + f(a^9) = f(a) .f(a^5) , \, $ maka $ a_1.a_2 = ..... $
Nomor 53. Soal SBMPTN MatDas Kode 663 tahun 2014
Jika $ {}^{p^2 + 4} \log 2 = \frac{{}^3 \log 5}{{}^2 \log 5 . {}^3 \log 8} , \, $ dengan $ p > 0 \, $ maka $ p + {}^{p^2 } \log 16 = .... $
Nomor 54. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 586 tahun 2014
Penyelesaian pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{x^2+1} \log \left( \frac{x}{2} \right) > 1 \, $ adalah ....
Nomor 55. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 542 tahun 2014
Semua nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^{|1-x|} \log (x+5) > 2 \, $ adalah ....
Nomor 56. Soal SBMPTN MatDas Kode 228 tahun 2013
Jika $ \frac{{}^{3}\log x }{{}^{3}\log w } = 2 $ dan ${}^{xy}\log w = \frac{2}{5} $ , maka nilai $\frac{{}^{2}\log w }{{}^{2}\log y } \, $ adalah ...
Nomor 57. Soal SBMPTN MatDas Kode 128 tahun 2013
Jika $ {}^5 \log a + {}^5 \log b = 3 \, $ dan $ 3({}^5 \log a ) - {}^5 \log b = 1 \, $ , maka nilai $ \frac{b}{a} \, $ adalah ...
Nomor 58. Soal UM UGM (UTUL UGM) MatDas 2013
Persamaan kuadrat $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = -6 \, $ maka $ {}^m \log 8 = .... $
Nomor 59. Soal SPMK UB Mat IPA 2014 Kode 26
Jika ${}^{b} log a + {}^{a} log b^4 = 5$ , maka nilai ${}^{b} log a$ yang mungkin adalah ...
Nomor 60. Soal SPMK UB Mat IPA 2009 Kode 91
Diketahui $ {}^2 \log a > 1 \, $ dan $ {}^3 \log b > 1 \, $ dengan $ a,b > 0 \, $ dan $ a \neq b \, $ . Hubungan antara $ a \, $ dan $ b \, $ yang berlaku adalah .....
Nomor 61. Soal SPMK UB Mat IPA 2008 Kode 81
Nilai maksimum dari fungsi $ {}^4 \log (x+5) + {}^4 \log (3-x) \, $ adalah .....
Nomor 62. Soal SPMK UB Mat IPA 2008 Kode 81
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 11 sampai 15.
Diketahui $ {}^2 \log a > 1 \, $ dan $ {}^2 \log b > 1, \, $ sedangkan $ a \neq b . \, $ Hubungan antara $ a \, $ dan $ b \, $ yang berlaku adalah .....
(1). $ \frac{a}{b} > 1 $
(2). $ \frac{b}{a} > 1 $
(3). $ a-b > 1 $
(4). $ a.b> 4 $
Nomor 63. Soal SBMPTN MatDas 2013 Kode 442
Jika $ {}^a \log b + {}^b \log a = 3 , \, $ maka nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 \, $ adalah ...
Nomor 64. Soal SBMPTN MatDas 2013 Kode 328
Jika $ \frac{\log xy }{\log w } = 2 $ dan $ \frac{\log w }{\log y } = \frac{1}{4} $ , maka nilai $ {}^{x}\log w \, $ adalah ...
Nomor 65. Soal SBMPTN MatDas 2015 Kode 617
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^3 \, $ dan $ y = q^2, \, $ maka $ {}^x \log y = ..... $
Nomor 66. Soal UM UGM (UTUL UGM) Mat IPA 2013 Kode 262
Jika sudut lancip $ x \, $ memenuhi
$ 1 = {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) + {}^2 \log (\cos 2x) \, $
maka $ x = .... $
Nomor 67. Soal SBMPTN MatDas 2015 Kode 618
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^y \log x = ..... $
Nomor 68. Soal SBMPTN MatDas 2015 Kode 619
Jika $ xy = 90 \, $ dan $ \log x - \log y = 1 , \, $ maka $ x - y = .... $
Nomor 69. Soal SBMPTN MatDas 2015 Kode 621
Diketahui $ {}^p \log 2 = 8 \, $ dan $ {}^q \log 8 = 4. \, $ Jika $ s = p^4 \, $ dan $ t = q^2, \, $ maka $ {}^t \log s = ..... $
Nomor 70. Soal SBMPTN MatDas 2015 Kode 623
Jika $ {}^a \log 2 = x \, $ dan $ {}^a \log 5 = y, \, $ maka $ \log a^{3x} + 3\log a^y = .... $
Nomor 71. Soal SBMPTN Mat IPA 2015 Kode 617
Jika $ x_1, \, x_2 \, $ adalah akar-akar $ 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a = 0 \, $ dimana $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 , \, $ maka $ a = .... $
Nomor 72. Soal SImak Ui MatDas 2015
Diketahui $ \log _2 5 = b \, $ dan $ \log _5 3 = c , \, $ maka nilai dari $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = .... $
Nomor 73. Soal SImak Ui MatDas 2015
Misalkan tiga suku pertama dari barisan aritmatika adalah $ \log a^3b^7, \, \log a^5b^{12}, \, \log a^8b^{15} \, $ dan suku ke-12 adalah $ \log a^mb^n . \, $ Nilai $ 2m + n \, $ adalah ....
Nomor 74. Soal SImak Ui MatDas 2015
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan bulat positif yang tidak sama dengan satu dan persamaan $ \log _a x . \log _b x = \frac{\log _ x b }{\log _x a } . \, $ Nilai $ (a+b)x \, $ adalah ....
Nomor 75. Soal UM UGM (UTUL UGM) MatDas 2015
Jika $ \sqrt[3]{4.2^{3-x}} = 2^{y-3} \, $ dan $ \, {}^3 \log (2x +y) = -\frac{5}{2} {}^9 \log \left( \frac{1}{4} \right) . {}^{32} \log 64 $ , maka nilai $ x^2 - y + 1 = .... $
Nomor 76. Soal UM UGM (UTUL UGM) MatDas 2015
Pada sebuah deret geometri diketahui suku ke-6 adalah 162 dan jumlah logaritma dari suku ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-5 sama dengan $ 4 \, \log 2 + 6 \, \log 3 . \, $ Jika suku awal positif, suku ke-4 deret tersebut adalah .....
Nomor 77. Soal UM UGM (UTUL UGM) MatDas 2015
Dalam suatu barisan artimatika, perbandingan jumlah 5 suku pertama dan jumlah 10 suku pertama adalah 2 : 3. Jika $ U_n \, $ menyatakan suku ke-$n$ , maka nilai $ \log \left( \frac{U_5}{U_{10}} - 4 \frac{U_{10}}{U_5} \right) = .... $
       Demikian Kumpulan Soal-soal Logaritma Seleksi Masuk PTN, Silakan juga baca dan pelajari kumulan soal-soal yang lainnya untuk persiapan seleksi masuk PTN atau persiapan lainnya.

Jumat, 18 September 2015

Pembahasan Soal Logaritma UK 1.3 Kurikulum 2013 Kelas X

         Blog Koma - Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.3 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu tentang sifat-sifat logaritma dengan baik dan benar. Logaritma tentu berkaitan erat dengan eksponen, logaritma dan eksponen saling berkebalikan.

         Pembahasan soal logaritma UK 1.3 kurikulum 2013 kelas x ini kami sajikan sebagai bahan pertimbangan dalam menyelesaikan soal-soal logaritma yang ada pada buku kurikulum 2013 kelas X secara online. Jika ada kesalahan atau kekurangan dalam pembahasannya, mohon teman-teman untuk membantu mengkoreksinya dan memberikan masukan untuk memperbaikinya. Dengan mengerjakan kumpulan soal-soal logaritma uk 1.3 ini, harapannya siswa/siswi akan bisa lebih memperdalam konsep logaritma itu sendiri dengan baik dan benar.

         Soal-soal yang disajikan pada soal logaritma UK 1.3 kurikulum 2013 kelas x memang bervariasi dari yang paling mudah sampai yang paling sulit bahkan setingkat soal olimpiade. Semoga pembahasan pada artikel ini bisa membantu teman-teman dalam berlatih dan mengerjakan soal-soalnya.

         Berikut soal dan pembahasan soal logaritma UK 1.3 kurikulum 2013 kelas X.
Soal no. 1
Tuliskan dalam bentuk logaritma dari :
Gunakan definisi Logaritma : $ a^c = b \Leftrightarrow {}^a \log b = c $
a). $ 5^3 = 125 \rightarrow {}^5 \log 125 = 3 $
b). $ 10^2 = 100 \rightarrow {}^{10} \log 100 = 2 $
c). $ 4^3 = 64 \rightarrow {}^{4} \log 64 = 3 $
d). $ 6^1 = 6 \rightarrow {}^{6} \log 6 = 1 $
Soal no. 2
Tuliskan dalam bentuk pangkat dari :
Gunakan definisi Logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b$
a). $ \log 0,01 = -2 \rightarrow {}^{10} \log 0,01 = -2 \rightarrow 10^{-2} = 0,01 $
b). $ {}^{0,5} \log 0,0625 = 4 \rightarrow 0,5^4 = 0,0625 $
c). $ {}^{2} \log \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3} \rightarrow 2^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{2} $
d). $ {}^{3} \log \frac{1}{9} = -2 \rightarrow 3^{-2} = \frac{1}{9} $
Soal no. 3
Hitunglah nilai setiap bentuk :
Gunakan Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b \, \, \, $ dan $ \, \, {}^a \log a = 1 $
a). $ \log 10^4 = {}^{10} \log 10^4 = 4 \times {}^{10} \log 10 = 4 \times 1 = 4 $
b). $ {}^5 \log 125 = {}^{5} \log 5^3 = 3 \times {}^{5} \log 5 = 3 \times 1 = 3 $
c). $ {}^3 \log \frac{1}{27} = {}^{3} \log 3^{-3} = -3 \times {}^{3} \log 3 = -3 \times 1 = -3 $
d). $ {}^2 \log 0,25 = {}^2 \log \frac{1}{4} = {}^{2} \log 2^{-2} = -2 \times {}^{2} \log 2 = -2 \times 1 = -2 $
e). $ {}^4 \log 4^{10} = 10 \times {}^{4} \log 4 = 10 \times 1 = 10 $
f). $ {}^5 \log 1 = 0 $
Soal no. 4
Diketahui $ \log 2 = 0,3010 ; \, \log 3 = 0,4771 \, $ dan $ \, \log 7 = 0,8451 \, $ tentukan :
Gunakan Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b ; \, {}^a \log b.c = {}^a \log b + {}^a \log c $
dan $ \, {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
a). $ \log 18 $
$ \begin{align} \log 18 & = \log 2.3^2 = \log 2 + \log 3^2 \\ & = \log 2 + 2.\log 3 = 0,3010 + 2.(0,4771) \\ & = 0,3010 + 0,9542 = 1,2552 \end{align} $
b). $ \log 21 $
$ \begin{align} \log 21 & = \log 3.7 = \log 3 + \log 7 \\ & = 0,4771 + 0,8451 = 1,3222 \end{align} $
c). $ \log 10,5 $
$ \begin{align} \log 10,5 & = \log \frac{105}{10} = \log \frac{21}{2} = \log 21 - \log 2 \\ & = 1,3222 - 0,3010 = 1,0212 \end{align} $
d). $ \log \frac{1}{7} $
$ \begin{align} \log \frac{1}{7} & = \log 7^{-1} = -1 \times \log 7 \\ & = -1 \times 0,8451 = -0,8451 \end{align} $
Soal no. 5
Sederhanakanlah :
Gunakan Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b ; \, {}^a \log b.c = {}^a \log b + {}^a \log c $
dan $ \, {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
a). $ \frac{2}{3} \times {}^2 \log 64 - \frac{1}{2} \times {}^2 \log 16 $
$ \begin{align} \frac{2}{3} \times {}^2 \log 64 - \frac{1}{2} \times {}^2 \log 16 & = \frac{2}{3} \times {}^2 \log 2^6 - \frac{1}{2} \times {}^2 \log 2^4 \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \times {}^2 \log 2 - \frac{1}{2} \times 4 \times {}^2 \log 2 \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \times 1 - \frac{1}{2} \times 4 \times 1 \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \times 1 - \frac{1}{2} \times 4 \times 1 \\ & = 4 - 2 = 2 \end{align} $
b). $ {}^a \log 2x + 3({}^a \log x - {}^a \log y) $
$ \begin{align} {}^a \log 2x + 3({}^a \log x - {}^a \log y) & = {}^a \log 2x + 3({}^a \log \frac{x}{y}) \\ & = {}^a \log 2x + {}^a \log \left( \frac{x}{y} \right)^3 \\ & = {}^a \log 2x + {}^a \log \frac{x^3}{y^3} \\ & = {}^a \log \left( 2x \times \frac{x^3}{y^3} \right) \\ & = {}^a \log \frac{2x^4}{y^3} \end{align} $
c). $ {}^a \log \frac{a}{\sqrt{x}} - {}^a \log \sqrt{ax} $
$ \begin{align} {}^a \log \frac{a}{\sqrt{x}} - {}^a \log \sqrt{ax} & = {}^a \log \frac{\frac{a}{\sqrt{x}}}{\sqrt{ax}} \\ & = {}^a \log \frac{a}{\sqrt{x}.\sqrt{a}.\sqrt{x}} \\ & = {}^a \log \frac{a}{x\sqrt{a}} \\ & = {}^a \log \frac{\sqrt{a}}{x} \\ & = {}^a \log \sqrt{a} - {}^a \log x \\ & = {}^a \log a^\frac{1}{2} - {}^a \log x \\ & = \frac{1}{2} \times {}^a \log a - {}^a \log x \\ & = \frac{1}{2} \times 1 - {}^a \log x \\ & = \frac{1}{2} - {}^a \log x \end{align} $
d). $ \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \frac{1}{2} \log ab $
$ \begin{align} \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \frac{1}{2} \log ab & = \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \log (ab)^\frac{1}{2} \\ & = \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \log \sqrt{ab} \\ & = \log \sqrt{a} . \sqrt{b} - \log \sqrt{ab} \\ & = \log \sqrt{ab} - \log \sqrt{ab} \\ & = 0 \end{align} $
Soal no. 6
Jika $ {}^2 \log 3 = a \, $ dan $ \, {}^3 \log 5 = b \, $ , nyatakan bentuk berikut dalam $ a \, $ dan $ b $ !
Gunakan Sifat-sifat logaritma : ${}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} $
a). $ {}^2 \log 15 $
$ \begin{align} {}^2 \log 15 & = \frac{\log 15 }{\log 2 } = \frac{{}^3 \log 15 }{{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{{}^3 \log (3.5) }{{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 5 }{{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{1 + b }{\frac{1}{a} } = a(1+b) = a + ab \end{align} $
b). $ {}^4 \log 75 $
$ \begin{align} {}^4 \log 75 & = \frac{\log 75 }{\log 4 } = \frac{{}^3 \log 75 }{{}^3 \log 2^2 } \\ & = \frac{{}^3 \log (3.5^2) }{{}^3 \log 2^2 } = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 5^2 }{2. {}^3 \log 2 } \\ & = \frac{{}^3 \log 3 + 2.{}^3 \log 5 }{2.{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{1 + 2b }{2.\frac{1}{a} } = \frac{(1+2b)a}{2} = \frac{a+2ab}{2} \end{align} $
c). $ {}^{25} \log 36 $
$ \begin{align} {}^{25} \log 36 & = \frac{\log 36 }{\log 25 } = \frac{{}^3 \log 6^2 }{{}^3 \log 5^2 } = \frac{2. {}^3 \log 6 }{2.{}^3 \log 5} \\ & = \frac{{}^3 \log (3.2) }{{}^3 \log 5 } = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 }{ {}^3 \log 5 } \\ & = \frac{1 + \frac{1}{a} }{b } = \frac{1 + \frac{1}{a} }{b } . \frac{a}{a} = \frac{a + 1 }{ab } \end{align} $
d). $ {}^{2} \log 5 $
$ \begin{align} {}^{2} \log 5 & = \frac{\log 5 }{\log 2 } = \frac{{}^3 \log 5 }{{}^3 \log 2 } = \frac{b }{\frac{1}{a} } =ab \end{align} $
e). $ {}^{30} \log 150 $
$ \begin{align} {}^{30} \log 150 & = \frac{\log 150 }{\log 30 } = \frac{{}^3 \log 150 }{{}^3 \log 30 } \\ & = \frac{{}^3 \log (3.2.5^2) }{{}^3 \log (3.2.5) } = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + {}^3 \log 5^2 }{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + {}^3 \log 5} \\ & = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + 2 . {}^3 \log 5 }{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + {}^3 \log 5} \\ & = \frac{1 + \frac{1}{a} + 2 . b }{1 + \frac{1}{a} + b} = \frac{1 + \frac{1}{a} + 2 b }{1 + \frac{1}{a} + b} . \frac{a}{a} = \frac{a + 1 + 2ab }{a + 1 + ab} \end{align} $
f). $ {}^{100} \log 50 $
$ \begin{align} {}^{100} \log 50 & = \frac{\log 50 }{\log 100 } = \frac{{}^3 \log (2 . 5^2) }{{}^3 \log (2^2 . 5^2)} \\ & = \frac{{}^3 \log 2 + {}^3 \log 5^2 }{ {}^3 \log 2^2 + {}^3 \log 5^2 } = \frac{{}^3 \log 2 + 2. {}^3 \log 5 }{ 2.{}^3 \log 2 + 2.{}^3 \log 5 } \\ & = \frac{\frac{1}{a} + 2. b }{ 2.\frac{1}{a} + 2.b } = \frac{\frac{1}{a} + 2b }{ 2.\frac{1}{a} + 2b } . \frac{a}{a} = \frac{1 + 2ab}{2 + 2ab} \end{align} $
Soal no. 7
Jika $ b = a^4, \, a \, $ dan $ b \, $ bilangan real positif, $ a \neq 1, b \neq 1 , \, $ tentukan nilai $ {}^a \log b - {}^b \log a ! $
Gunakan sifat : $ {{}^a}^m \log {b}^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
Substitusi bentuk $ b = a^4 $
$ \begin{align} {}^a \log b - {}^b \log a & = {}^a \log a^4 - {{}^a}^4 \log a^1 \\ & = 4 . {}^a \log a - \frac{1}{4} . {}^a \log a \\ & = 4 . 1 - \frac{1}{4} . 1 = 4 - \frac{1}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log b - {}^b \log a = 3\frac{3}{4} . \heartsuit $
Soal no. 8
Jika $ {}^a \log b = 4 , \, {}^c \log b = 4 \, $ dan $ a, b, c \, $ bilangan positif, $ a , c \neq 1, \, $ tentukan nilai $ \left[ {}^a \log (bc)^4 \right]^\frac{1}{2} ! $
Gunakan sifat : $ {}^a \log {b} = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} $
$ \begin{align} \left[ {}^a \log (bc)^4 \right]^\frac{1}{2} & = \left[ 4.{}^a \log (bc) \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{{}^b \log ab}{{}^b \log a} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{{}^b \log a + {}^b \log b}{{}^b \log a} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{\frac{1}{4} + 1}{\frac{1}{4}} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{\frac{5}{4} }{\frac{1}{4}} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.5 \right]^\frac{1}{2} \\ & = 4^\frac{1}{2}.5^\frac{1}{2} = 2 \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \left[ {}^a \log (bc)^4 \right]^\frac{1}{2} = 2 \sqrt{5} . \heartsuit $
Soal no. 9
Buktikan $ \log 1 = 0 \, $ dan $ \log 10 = 1 $ !
Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b $
Kita membuktikan berdasarkan definisi logaritma di atas :
$ \begin{align} \log 1 = 0 \rightarrow {}^{10} \log 1 & = 0 \\ 10^0 & = 1 \\ \log 10 = 1 \rightarrow {}^{10} \log 10 & = 1 \\ 10^1 & = 10 \end{align} $
Jadi, berdasarkan definisi logaritma, terbukti yang diinginkan. $\heartsuit $

Minggu, 19 Juli 2015

Pertidaksamaan Logaritma

         Blog Koma - Pertidaksamaan logaritma merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma yang berkaitan langsung dengan tanda ketaksamaan yaitu $ >, \, \geq , \, < , \, $ dan $ \leq \, $ . Pada artikel ini kita akan bahas tentang pertidaksamaan logaritma sederhana, dan untuk pertidaksamaan logaritma yang lebih sulit bisa sobat langsung lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertidaksamaan logaritma sederhana (misal bentuknya $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) $ ) , penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a) \, $ dan untuk menyelesaikannya sobat harus menguasai sifat-sifat logaritma dengan baik terlebih dahulu. Berikut konsep dasar dari pertidaksamaan logaritmanya.
         Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertidaksamaan secara umum dengan tahap-tahap yaitu menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, serta mengarsir daerah yang diminta berdasarkan tanda ketaksamaannya. Untuk menentukan akar-akar pertidaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.

Konsep Pertidaksamaan Logaritma
       Untuk $ a \in R, \, a > 0 , \, a \neq 1, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ bentuk pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan bergantug dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
*). Solusi Umum :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

       Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.
Hint : Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.
         Berikut beberapa contoh dari pertidaksamaan logaritma.
Contoh 1.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^2 \log (x+1) > 3 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya $(a =2)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap
$\clubsuit \,$ Solusi Umum
Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
$\begin{align} {}^2 \log (x+1) & > 3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 2^3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 8 \\ \text{(basisnya } a & = 2 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ (x+1) & > 8 \\ x & > 7 \end{align} $
HP1 = $ \{ x > 7 \} $
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma : (numerusnya)
$\begin{align} (x + 1 ) & > 0 \\ x & > - 1 \end{align} $
HP2 = $ \{ x > -1 \} $
Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > 7 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x > 7 \} $
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
$\spadesuit \, $ Solusi umum :
$\begin{align} {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{3} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (2x-3) & \leq (x+1) \\ x & \leq 4 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \leq 4 \} $
$\spadesuit \, $ Solusi syaratnya : (numerusnya)
*). $ (2x-3) > 0 \rightarrow 2x > 3 \rightarrow x > \frac{3}{2} \, $ ....(HP2)
*). $ (x+1) > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusi totalnya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $

         Pertidaksamaan Logaritma sebenarnya tidaklah sulit, hanya saja kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan juga yang akan menjadi solusi bersama sekaligus syarat tersebut yang menjadi ruang sampel untuk penyelesaian pertidaksamaan logaritmanya. Jadi, teman-teman jangan sampai lupa untuk menyelesaikan syarat logaritmanya juga.

Persamaan Logaritma

         Blog Koma - Persamaan Logaritma merupakan persamaan yang melibatkan sifat-sifat logaritma yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Untuk artikel kali ini akan dibahas tentang persamaan logaritma dari bentuk yang paling sederhana sampai yang lebih sulit.
         Persamaan Logaritma memiliki berbagai bentuk dari yang paling sederhana dan yang paling kompleks. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan logaritma, sebaiknya kita kuasai dulu sifat-sifat logaritma, karena pasti akan melibatkan sifat-sifat logaritma setiap kali menyelesaikan bentuk persamaan logaritmanya.

         Persamaan Logaritma akan sering kita jumpai pada soal-soal ujian nasional maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Tentu soal-soalnya akan bervariasi dari tipe yang sederhana sampai yang paling sulit. Tapi tenang saja teman-teman, salah satu cara terbaik untuk mengatasinya adalah dengan latihan dan banyak mengerjakan soal-soal yang setingkat, maka kita pasti akan bisa mengerjakannya. Dan satu hal penting yang harus selalu diingat adalah semua akar-akar dari penyelesaian persamaan logaritma harus memenuhi semua syarat logaritma yang ada, ini artinya belum tentu semua akar-akar yang kita peroleh adalah sebagai solusi dari persamaannya.

Konsep Persamaan Logaritma
Untuk $ a, \, b \in R , \, a > 0 , \, b > 0 , \, $ dan $ a \neq 1 , \, $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :
(i). $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $
(ii). $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0, \, g(x) > 0 , \, h(x) > 0, \, $ dan $ h(x) \neq 1 $
(iii). $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ b > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
(iv). $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) , \, $ solusinya semua yang memenuhi
    1). $ f(x) = g(x) $
    2). $ h(x) = 1 $
    dengan syarat : $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
Hint :
Ruas kiri dan kanan harus memuat bentuk logaritma.
Nilai $ x \, $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada.

         Untuk lebih mudah dalam memahami sifat-sifat persamaan logaritma, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :
Contoh 1.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ {}^5 \log (3x-1) = {}^5 \log 2 $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 3x-1 \, $ dan $ g(x) = 2 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2 \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow f(x) = 3x-1 \rightarrow f(1) = 3.1 -1 = 2 > 0 $
Karena untuk $ x = 1 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, $ maka $ x = 1 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 1 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 2.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log (2x-2) = 3 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Modifikasi soal agar kedua ruas memuat logaritma
$ {}^2 \log (2x-2) = 3 \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 2^3 $
$ \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 8 $
Sehingga soalnya menjadi : $ {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 8 $
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 2x-2 \, $ dan $ g(x) = 8 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x-2 & = 8 \\ 2x & = 10 \\ x & = 5 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Cek syarat untuk $ x = 5 $
$ x = 5 \rightarrow f(x) = 2x-2 \rightarrow f(5) = 2.5-2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 5 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, $ maka $ x = 5 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 5 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 3.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^4 \log (3x-1) = {}^4 \log (2x+2) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 3x-1 \, $ dan $ g(x) = 2x+2 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 , \, g(x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2x+2 \\ 3x - 2x & = 2 + 1 \\ x & = 3 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 3 $
$ x = 3 \rightarrow f(x) = 3x-1 \rightarrow f(3) = 3.3 -1 = 8 > 0 $
$ x = 3 \rightarrow g(x) = 2x+2 \rightarrow g(3) = 2.3+2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 3 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, g(x) > 0 , \, $ maka $ x = 3 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 3 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 4.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{3x-5} \log (2x+1) = {}^{3x-5} \log (x+3) $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (ii) : $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) $
$h(x) = 3x-5, \, f(x) = 2x+1 \, $ dan $ g(x) = x+3 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0, \, g(x) > 0, \, h(x) > 0, \, h(x) \neq 1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x+1 & = x+3 \\ 2x - x & = 3-2 \\ x & = 1 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Cek syarat untuk $ x = 2 $
$ x = 2 \rightarrow h(x) = 3x-5 \rightarrow h(2) = 3.2 - 5 = 1 > 0 $
Karena untuk $ x = 2 , \, $ diperoleh nilai $ h(x) = 1 , \, $ sementara syaratnya haruslah $ h(x) \neq 1 , \, $ ini artinya $ x = 2 \, $ tidak memenuhi syarat. Sehingga tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut (tidak ada solusi atau jawabannya himpunan kosong).
Catatan : Nilai $ x \, $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada, jika salah satu saja ada syarat yang tidak terpenuhi, maka bisa dikatan nilai $ x \, $ tersebut gagal menjadi solusi persamaan logaritmanya.
Jadi, tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 5.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{x^2 + 6x} \log (\frac{1}{3}) = {}^{2x+5} \log (\frac{1}{3}) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (iii) : $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b $
$ f(x) = x^2 + 6x \, $ dan $ g(x) = 2x+5 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0, \, f(x) \neq 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ x^2 + 6x & = 2x+5 \\ x^2 + 4x - 5 & = 0 \\ (x-1)(x+5) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -5 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 1 \, $ dan $ x = -5 $
*). Untuk $ x = 1 $
$ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(1) = 1^2 + 6.1 = 7 > 0 $
$ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.1+5 = 7 > 0 $
nilai $ x = 1 \, $ memenuhi syarat.
*). Untuk $ x = -5 $
$ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(-5) = (-5)^2 + 6.(-5) = -5 < 0 $
$ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.(-5)+5 = -5 < 0 $
nilai $ x = -5 \, $ tidak memenuhi syarat.
Sehingga yang memenuhi syarat adalah $ x = 1 $ .
Jadi, nilai $ x = 1 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 6.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{2x^2-3x+1} \log (2x-1) = {}^{x^2+2x-5} \log (2x-1) $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (iv) : $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) $
$h(x) = 2x-1, \, f(x) = 2x^2-3x+1 \, $ dan $ g(x) = x^2+2x-5 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan $ h(x) = 1 , \, $ dengan syarat $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
*). Solusi pertama :
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x^2-3x+1 & = x^2+2x-5 \\ x^2 - 5x + 6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align}$
Cek untuk nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 $
untuk $ x = 2 $
$ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(2) = 2.2 - 1 = 3 \, $ (memenuhi)
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(2) = 2.2^2-3.2+1 = 3 \, $ (memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 2^2+2.2-5 = 3 \, $ (memenuhi)
untuk $ x = 3 $
$ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(3) = 2.3 - 1 = 5 \, $ (memenuhi)
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(3) = 2.3^2-3.3+1 = 10 \, $ (memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 3^2+2.3-5 = 10 \, $ (memenuhi)
Artinya untuk nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 \, $ memenuhi syarat sebagai solusi dari persamaannya.
*). Solusi kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} h(x) & = 1 \\ 2x-1 & = 1 \\ 2x & = 2 \\ x & = 1 \end{align}$
Cek untuk nilai $ x = 1 $
untuk $ x = 2 $
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(1) = 2.1^2-3.1+1 = 1 \, $ (tidak memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(1) = 1^2+2.1-5 = -2 \, $ (tidak memenuhi)
Artinya nilai $ x = 1 \, $ tidak memenuhi syarat atau nilai $ x = 1 \, $ tidak sebagai solusi dari persamaan.
Jadi, penyelesaiannya adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 . \heartsuit $
         Sebenarnya masih ada lagi tipe atau bentuk lain dari persamaan logaritma seperti bentuk persamaan logaritma yang melibatkan bentuk polinomial (suku banyak). Untuk tipe lainnya, sobat bisa lihat pada kumpulan soal-soal logaritma. Semoga Bermanfaat. Terima kasih.

Fungsi Logaritma

         Blog Koma - Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang memuat bentuk logaritma. Selain bisa menentukan nilai fungsi logaritmanya, juga bisa menggambar grafik fungsi logaritmanya. Terkadang juga ada soal yang melibatkan nilai maksimum atau nilai minimum suatu bentuk fungsi logaritma.

         Fungsi Logaritma bentuk $ f(x) = {}^a \, \log g(x) \, $ memiliki karakteristik salah satunya berdasarkan nilai basisnya $ (a) $, yaitu naik atau turunnya bentuk grafik fungsi kuadratnya. Fungsi logaritma yang dipelajari pada artikel ini adalah fungsi kuadrat yang bentuknya sederhana saja khususnya yang akan digambar grafiknya. Namun fungsi kuadrat yang ada kaitannya dengan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat tersebut, fungsi yang kita bahas lebih kompleks lagi. Bentuk numerus pada fungsi logarimta juga bisa dikaitkan dengan bentuk fungsi kuadrat, sehingga kita harus mengingat kembali nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat.

Adapun bentuk umum fungsi logaritma sederhana :
                                    $ f(x) = {}^a \log x $
dengan $ a > 0 , \, a \neq 1, \, $ dan $ x > 0 \, $ serta $ x \, $ adalah variabel bebasnya.

Grafik fungsi logaritma
         Bentuk grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log x \, $ bergantung dari nilai basisnya (bilangan pokok). Jika $ a > 1 , \, $ maka grafiknya naik , dan jika $ 0 < a < 1 , \, $ maka grafiknya turun. Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafiknya berikut.
Contoh 1.
Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian : nilai $ a = 2 , \, $ sehingga grafiknya naik
Contoh 2.
Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log x $ ?
Penyelesaian : nilai $ a = \frac{1}{3} , \, $ sehingga grafiknya turun

Nilai Maksimum atau Minimum fungsi logaritma
         Nilai Maksimum atau minimum fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log g(x) \, $ dengan $ g(x) > 0 , \, $ dapat ditentukan berdasarkan nilai basisnya $(a)$ :
*). Untuk $ a > 1 $
         Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum
         Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum
*). Untuk $ 0 < a < 1 $
         Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum
         Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum
         Untuk lebih jelasnya, yuk kita perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 3.
Tentukan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya ($ a = 2 $) lebih dari 1, sehingga $ f(x) \, $ minimum ketika nilai $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ juga minimum. Karena bentuk $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ diperoleh ketika $ x = \frac{-b}{2a} , \, $ yaitu :
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 $
artinya bentuk $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ minimum pada saat $ x = 1 \, $ yang mengakibatkan nilai fungsi $ f(x) \, $ juga minimum.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai minimum fungsi logaritmanya
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke $ f(x) \, $ :
$\begin{align} f(x) & = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \\ f_\text{minimum} & = f(1) = {}^2 \log (1^2 - 2.1 + 9 ) \\ & = {}^2 \log (8) \\ & = {}^2 \log (2^3) \\ f_\text{minimum} & = 3.{}^2 \log 2 = 3.1 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \, $ adalah 3 . $ \heartsuit $
Contoh 4.
Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya ($ a = \frac{1}{3} $) kurang dari 1, sehingga $ f(x) \, $ maksimum ketika nilai $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ minimum. Nilai minimum dari $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ diperoleh ketika $ x = -3 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai maksimum fungsi logaritmanya
Substitusi nilai $ x = -3 \, $ ke $ f(x) \, $ :
$\begin{align} f(x) & = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \\ f_\text{maksimum} & = f(-3) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (-3+3)^2 + 1 \right) \\ & = {}^\frac{1}{3} \log 1 \\ f_\text{maksimum} & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ adalah 0 . $ \heartsuit $

         Bagaimana dengan artikel fungsi kuadrat pada artikel ini? Mudah-mudahan bisa membantu dalam mempelajari fungsi logaritma. Untuk tipe soal ujian nasional, soal yang sering keluar yang berkaitan dengan fungsi logaritma adalah bentuk grafiknya baik grafik fungsi aslinya atau grafik inversnya. Dengan latihan soal-soal yang banyak, pasti teman-teman akan bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat atau grafiknya.