Tampilkan posting dengan label lingkaran. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label lingkaran. Tampilkan semua posting

Jumat, 23 Oktober 2015

Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

         Blog Koma - Pembuktian Rumus Pesamaan Garis Singgung Lingkaran merupakan penjelasan mengenai asal-usul rumus persamaan garis singgung. Namun sebelumnya, coba baca dulu materi "persamaan lingkaran" dan "Pesamaan Garis Singgung Lingkaran". Sementara untuk menyusun persamaan garis, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus" dan "Hubungan Dua Garis Lurus".

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ x^2 + y^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y - y_1 ) & = - x_1 ( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 & = - x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , diperoleh : $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ adalah $ x_1 x + y_1y = r^2 $ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align} $
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y - y_1 ) & = - (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 - by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 - ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ , diperoleh :
$ \begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + y_1^2 - 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ adalah $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align} $
Pembuktian :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 \, $ dan substitusikan bentuk $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
*). Penjabaran bentuk $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y - a(x_1 + x) - b(y_1+y) + a^2 + b^2 - r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y - (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) - (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ adalah $ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 $ .

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + (mx+n)^2 & = r^2 \\ x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 & = r^2 \\ (m^2+1)x^2 + 2mnx + n^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2mn , \, c & = n^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2mn)^2 - 4.(m^2 + 1) . (n^2 - r^2 ) & = 0 \\ 4m^2n^2 - 4(n^2 + m^2n^2 - r^2 - m^2r^2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2n^2 - n^2 - m^2n^2 + r^2 + m^2r^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ n^2 & = r^2 + m^2r^2 \\ n^2 & = r^2 (1 + m^2) \\ n & = \pm \sqrt{ r^2 (1 + m^2) } \\ n & = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} $

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ atau $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-a)^2 + (mx + n -b)^2 = r^2 \\ x^2 -2ax + a^2 + m^2x^2 + 2m(n-b)x + (n-b)^2 - r^2 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + [2m(n-b) - 2a ]x + (n-b)^2 + a^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = [2m(n-b) - 2a ] , \, c & = (n-b)^2 + a^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [2m(n-b) - 2a ]^2 - 4.(m^2 + 1) . ((n-b)^2 + a^2 - r^2 ) & = 0 \\ (b-am-n)^2 & = r^2(1+m^2) \\ b - am - n & = \pm \sqrt{r^2(1+m^2)} \\ b - am - n & = \pm r \sqrt{1+m^2} \\ n & = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} $

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

         Blog Koma - Persamaan garis singgung lingkaran merupakan suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan garis singgung lingkaran, sebaiknya baca dulu materi "persamaan lingkaran". Ada tiga jenis yang diketahui dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu : Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran, Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran, dan garis singgung lingkaran yang diketahui gradien garisnya.

Persamaan Garis Singgung (PGS) yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
       Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis ada pada ingkaran. Berikut penjabarannya masing-masing
i). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $

ii). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) = r^2 \end{align} $

iii). Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Persamaan garis singgungnya :
$ x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $

Catatan : Cara ini dinamakan cara BAGI ADIL.

Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca materi "Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran".
Contoh :
1). Tunjukkan bahwa titik (6, -8) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$, kemudian tentukan pula garis singgungnya.
Penyelesaian :
*). Menunjukkan bahwa titik (6, -8) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 100 $ , substitusi titik tersebut ke persamaan lingkaran. Jika hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik tersebut dikatakan terletak pada lingkaran.
$\begin{align} (x,y) = (6,-8) \rightarrow x^2 + y^2 & = 100 \\ 6^2 + (-8)^2 & = 100 \\ 36 + 64 & = 100 \\ 100 & = 100 \end{align} $
Karena hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik (6,-8) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 100 $ .
*). Menentukan persamaan garis singgung lingkaran
$\begin{align} (x_1,y_1) = (6,-8) \rightarrow x_1.x + y_1.y & = 100 \\ 6x +(-8)y & = 100 \\ 6x - 8y & = 100 \, \, \, \, \text{(bagi 2) } \\ 3x - 4y & = 50 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x - 4y = 50 $

2). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 58 $ pada titik A(1, -4).
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,-4) $
$\begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) & = r^2 \\ (x_1+2)(x+2) + (y_1 - 3)(y-3) & = 58 \\ (1+2)(x+2) + (-4 - 3)(y-3) & = 58 \\ 3(x+2) + (-7)(y-3) & = 58 \\ 3x + 6 - 7y + 21 & = 58 \\ 3x - 7y & = 31 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x - 7y = 31 $

3). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 4y - 11 = 0 $ pada titik A(1, 2).
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,2) $
$\begin{align} x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C & = 0 \\ x_1.x + y_1.y -2.\frac{(x_1+x)}{2} + 4.\frac{(y_1+y)}{2} - 11 & = 0 \\ 1.x + 2.y -2.\frac{(1+x)}{2} + 4.\frac{(2+y)}{2} - 11 & = 0 \\ x + 2y -(1+x) + 2(2+y) - 11 & = 0 \\ x + 2y -1 -x + 4 + 2y - 11 & = 0 \\ 4y - 8 & = 0 \\ 4y & = 8 \\ y & = 2 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 2 $

Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
       Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar lingkaran. Misalkan titik yang dilalui adalah titik A($x_1,y_1$). Dari titik yang dilalui tersebut bisa ditarik dua garis singgung melalui titik pada lingkaran misalnya B($x_2,y_2$) dan titik C($x_3,y_3$).
Ada dua cara menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :
$\clubsuit \, $ 1). Persamaan garis singgung melalui titik A($x_1,y_1$) diluar lingkaran,
Langkah-langkah penyelesaian :
i). Misalkan garis singggungnya $ y = mx + n $ ,
ii). Substitusi titik A($x_1,y_1$) ke garis $ y = mx + n $ , dan tentukan nilai $ n \, $ dalam bentuk $ m $ kemudian substitusi nilai $ n \, $ ke garis $ y = mx + n $ .
iii). Substitusi garis yang baru ke persamaan lingkaran, lalu tentukan nilai diskriminannya ($D$).
iv). Tentukan nilai $ m \, $ dengan syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $ .
v). Substitusi nilai $ m $ yang diperoleh ke garis baru yang terbentuk.

$\clubsuit \, $ 2). Menggunakan garis kutub (polar).
Jika melalui titik A($x_1, y_1$) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B($x_2, y_2$) dan C($x_3, y_3$), maka persamaan garis BC adalah $x_1.x + y_1.y = r^2$ disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A($x_1, y_1$) disebut titik kutub.
Langkah-langkah penyelesaian :
i). Membuat persamaan garis kutub dari titik A($x_1, y_1$) terhadap lingkaran.
ii). Substitusi garis kutub yang terbentuk ke persamaan lingkaran, lalu selesaikan untuk menentukan nilai $ x \, $ .
iii). Substitusi nilai $ x \, $ atau $ y \, $ yang diperoleh ke persamaan garis kutub untuk menentukan titik B dan C.
iv). Titik B dan C adalah titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung, selanjutnya gunakan cara BAGI ADIL.
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ !
Penyelesaian :

Cara I :
*). Titik (7, 1) berada di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh $ 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 $ .
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sehingga bisa disubstitusi ke garis singgung :
$ \begin{align} (x,y)=(7,1) \rightarrow y & = mx + n \\ 1 & = m . 7 + n \\ n & = 1 - 7m \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ n = 1 - 7m \, $ ke garis $ y = mx + n $
diperoleh garis singgung baru : $ y = mx + (1-7m) $
*). Substitusi garis singgung baru ke lingkaran :
$ \begin{align} y = mx + (1-7m) \rightarrow x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (mx + 1 - 7m)^2 & = 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m & = 25 \\ (m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2m - 14m^2 , \, c & = -49m^2-14m-24 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan ($D$) :
$ \begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2m-14m^2)^2 - 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24) \\ & = 4m^2 - 56m^3 + 196m^4 - 4(49m^2 - 14m - 24 + 49m^4 - 14m^3 - 24m^2) \\ & = -96m^2 + 56m + 96 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ -96m^2 + 56m + 96 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)} \\ 12m^2 - 7m - 12 & = 0 \\ (4m + 3)(3m - 4) & = 0 \\ m = - \frac{3}{4} \vee m & = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ m \, $ ke garis singgung baru :
$ \begin{align} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1-7.(- \frac{3}{4})) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1 + \frac{21}{4}) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + \frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = -3x + 25 \\ 3x + 4y & = 25 \\ m = \frac{4}{3} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1-7.(\frac{4}{3})) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1 - \frac{28}{3}) \\ y & = \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y & = 4x - 25 \\ 4x - 3y & = 25 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $ .

Cara II : Menggunakan garis kutub (polar)
*). Menentukan persamaan garis kutub di titik (7,1) :
$ \begin{align} x_1x + y_1y & = r^2 \\ 7.x + 1.y & = 25 \\ y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7x \end{align} $
*). Substitusi $ y = 25 - 7x \, $ ke $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (25 - 7x)^2 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 - 350x + 625 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 - 350x + 600 & = 0 \\ 50x^2 - 350x + 600 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 50)} \\ x^2 - 7x + 12 & = 0 \\ (x - 3 )(x - 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 4 \end{align} $
*). Menentukan titik singgungnya :
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7.3 \\ y & = 4 \\ x = 4 \rightarrow y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7.4 \\ y & = -3 \end{align} $
Titik singgungnya : (3,4) dan 4,-3) .
*). Menentukan PGS dengan cara Bagi ADIL
titik $ (x_1,y_1) = (3,4) $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 3x + 4y & = 25 \end{align} $
titik $ (x_1,y_1) = (4,-3) $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 4x -3y & = 25 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $ .

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $
       Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $ kita bagi menjadi tiga berdasarkan jenis persamaan lingkarannya, yaitu :
i). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

ii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

iii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
Untuk menentukan pusat dan jari-jarinya, silahkan baca materi "Persamaan Lingkaran"

Karena ada kaitannya dengan gradien, maka biasanya juga melibatkan hubungan antara dua garis. Silahkan baca materi "Hubungan Dua Garis".
*). Dua garis sejajar, maka gradiennya sama : $ m_1 = m_2 $
*). Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $

Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca materi "Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran".
Contoh :
1). Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $ \sqrt{8} \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 = 16, \, $ jari-jari : $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = \sqrt{8} $
$\begin{align} y & = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + 8} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 . 3 \\ y & = \sqrt{8}x \pm 12 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = \sqrt{8}x + 12 \, $ dan $ y = \sqrt{8}x - 12 $

2). Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $ y = 2x - 3 \, $ pada lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1, \, $ jari-jari : $ r^2 = 1 \rightarrow r = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = (2, -1) $
*). Menentukan gradien garis singgungnya
Garis $ y = 2x - 3 \rightarrow m_1 = 2 $
Karena sejajar, maka gradiennya sama, sehingga $ m = 2 $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = 2 $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - (-1) & = 2(x - 2) \pm 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 & = 2x - 4 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 4 - 1 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 5 \pm \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 2x - 5 + \sqrt{5} \, $ dan $ y = 2x - 5 - \sqrt{5} $

3). Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $ -3x + 4y - 1 = 0, \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0, \rightarrow A = 4, B = -2, C = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2} , - \frac{-2}{2} \right) = (-2,1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2 $
*). Menentukan gradien garis singgungnya
Garis $ -3x + 4y - 1 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $
Karena tegak lurus, maka $ m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = - \frac{4}{3} $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = - \frac{4}{3} $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x - (-2)) \pm 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x + 2) \pm 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 . \frac{5}{3} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm \frac{10}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - 3 & = - 4x - 8 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 8 + 3 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 5 \pm 10 \\ \text{(PGS I) } : 3y & = - 4x - 5 + 10 \\ 3y & = -4x + 5 \\ 4x + 3y & = 5 \\ \text{(PGS II) } : 3y & = - 4x - 5 - 10 \\ 3y & = -4x - 15 \\ 4x + 3y & = -15 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 4x + 3y = 5 \, $ dan $ 4x + 3y = -15 $

Kamis, 22 Oktober 2015

Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

         Blog Koma - Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran di sini maksudnya posisi (letak) titik dan garis pada lingkaran yaitu untuk titik posisinya diluar lingkaran, pada lingkaran, atau di dalam lingkaran , sedangkan untuk garis posisinya berbotongan dengan lingkaran, bersinggungan, atau tidak berpotongan.

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Contoh :
Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
1). A(3,1)
2). B(-3,4)
3). C(5,-6)
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 25.
*). Menentukan nilai $ K $ setiap titik :
$ \begin{align} A(3,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 3^2 + 1^2 \\ K & = 9 + 1 = 10 \end{align} $
Nilai $ K = 10 < 25 , \, $ artinya titik A(3,1) terletak di dalam lingkaran $x^2 + y^2 = 25$

$ \begin{align} B(-3,4) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = (-3)^2 + 4^2 \\ K & = 9 + 16 = 25 \end{align} $
Nilai $ K = 25 , \, $ artinya titik B(-3,4) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 25$

$ \begin{align} C(5,-6) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 5^2 + (-6)^2 \\ K & = 25 + 36 = 61 \end{align} $
Nilai $ K = 61 > 25 , \, $ artinya titik C(5,-6) terletak di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25$

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = (x-a)^2 + (y-b)^2 $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Contoh :
Tentukan kedudukan titik A(1,3) terhadap lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = (x-2)^2 + (y+1)^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 16.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(1,3) \rightarrow K & = (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ K & = (1-2)^2 + (3+1)^2 \\ K & = 1 + 16 = 17 \end{align} $
Nilai $ K = 17 > 16 , \, $ artinya titik A(1,3) terletak di luar lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 + Ax + By + C $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ 0 $, yaitu :
*). Jika $ K < 0 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = 0 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > 0 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Contoh :
1). Tentukan kedudukan titik A(-1,2) terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(-1,2) \rightarrow K & = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 \\ K & = (-1)^2 + 2^2 -2(-1) + 3.2 - 13 \\ K & = 1 + 4 + 2 + 6 - 13 = 0 \end{align} $
Nilai $ K = 0 , \, $ artinya titik A(-1,2) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $

2). Agar titik B(-2,1) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 3x + py - 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ p $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} B(-2,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 \\ K & = (-2)^2 + 1^2 - 3(-2) + p.1 - 3 \\ K & = 4 + 1 + 6 + p - 3 \\ K & = 8 + p \end{align} $
*). Agar titik B terletak pada lingkaran, syaratnya : Nilai $ K = 0 $
$ \begin{align} K = 0 \rightarrow 8 + p = 0 \rightarrow p = -8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 $ .

Kedudukan garis terhadap suatu lingkaran
       Untuk menentukan kedudukan garis terhadap suatu lingkaran, kita substitusikan garis ke persamaan lingkaran kemudian kita tentukan nilai Diskriminannya ($ D = b^2 - 4ac $). Ada tiga kemungkinan nilai D, yaitu :
i). Jika $ D < 0 $ , maka persamaan garis terletak di luar lingkaran , dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran ($k > r$).

ii). Jika $ D = 0 $, maka persamaan garis terletak pada lingkaran dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran ($k = r$), atau bisa disebut juga garis bersinggungan dengan lingkaran.

iii). Jika $D > 0 $, maka persamaan garis terletak di dalam lingkaran , dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran ($k < r$).

dimana $ k \, $ menyatakan jarak pusat lingkaran ke garis. Silahkan baca materi "jarak titik ke garis".

Contoh :
1). Tentukan posisi garis $ x - y + 1 = 0 $ terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. !
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran
$ x - y + 1 = 0 \rightarrow y = x + 1 $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (x+1)^2 & = 25 \\ x^2 + (x^2 + 2x + 1) & = 25 \\ 2x^2 + 2x + - 24 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x + - 12 & = 0 \\ a = 1, \, b = 1, \, c & = -12 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 1^2 - 4.1.(-12) \\ & = 1 + 48 \\ & = 49 \end{align} $
Diperoleh $ D = 49 > 0 \, $ , artinya kedudukan garis $ y = x + 1 \, $ memotong lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di dua titik yang berbeda.
*). Menentukan titik potong garis dan lingkaran.
$ \begin{align} x^2 + x + - 12 & = 0 \\ (x - 3)(x + 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \\ x = 3 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = 3 + 1 = 4 \\ x = -4 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = -4 + 1 = -3 \end{align} $
Sehingga titik potong garis terhadap lingkaran adalah (3,4) dan (-4,-3).

2). Diketahui garis lurus $ g $ dengan persamaan $ y = mx + 2 $ dan lingkaran L dengan persamaan $x^2 + y^2 = 4$. Agar garis $ g $ memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai $m $ yang memenuhi.!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan lingkaran.
$ \begin{align} y = mx + 2 \rightarrow x^2 + y^2 & = 4 \\ x^2 + (mx+2)^2 & = 4 \\ x^2 + (m^2x^2 + 4mx + 4) & = 4 \\ (m^2+1)x^2 + 4mx & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 4m, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (4m)^2 - 4.(m^2+1).0 \\ & = 16m^2 - 0 \\ & = 16m^2 \end{align} $
*). Syarat garis memotong lingkaran di dua titik : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ 16m^2 & > 0 \\ m^2 & > 0 \end{align} $
Karena nilai $ m^2 \, $ selalu positif, maka $ m^2 > 0 \, $ terpenuhi untuk semua nilai $ m \, $ kecuali $ m = 0 . \, $
Jadi, solusinya : $ \{ m \in R , \, m \neq 0 \} \, $ atau bisa ditulis $ \{ m < 0 \vee m > 0 \} $ .

Rabu, 21 Oktober 2015

Persamaan Lingkaran

         Blog Koma - Persamaan Lingkaran merupakan materi yang ada kaitannya dengan irisan kerucut. Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
.
Dari gambar di atas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = $r$.

Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari $ r$
       Misalkan ada titik A($x,y$) terletak pada lingkaran yang berpusat di O($0,0$) seperti gambar berikut. Jari-jarinya adalah OA ( $ OA = r $ ).
Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik O($0,0$) ke titik A($x,y$), diperoleh :
$\begin{align} |OA| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ r & = \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} \\ r & = \sqrt{x^2 + y^2} \\ r^2 & = x^2 + y^2 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di O($0,0$) dengan jari-jari $ r $ :
$\begin{align} x^2 + y^2 = r^2 \end{align} $
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O($0,0$) dan jari-jarinya 5 !
Penyelesaian :
*). Pusatnya O($0,0$) dan $ r = 5 $
$\begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + y^2 & = 5^2 \\ x^2 + y^2 & = 25 \end{align} $ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 = 25 $ .

Persamaan lingkaran dengan pusat A($a,b$) dan jari-jari $ r$
       Misalkan ada titik B($x,y$) terletak pada lingkaran yang berpusat di A($a,b$) seperti gambar berikut. Jari-jarinya adalah AB ( $ AB = r $ ).
Dengan menggunakan konsep jarak dua titik dari titik A($a,b$) ke titik B($x,y$), diperoleh :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ r & = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} \\ r^2 & = (x-a)^2 + (y-b)^2 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkaran berpusat di A($a,b$) dengan jari-jari $ r $ :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align} $
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2,1) dengan jari-jari 3 !
Penyelesaian :
*). Pusat $(a,b)=(-2,1) \, $ dan $ r = 3 $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-2))^2 + (y-1)^2 & = 3^2 \\ (x+2)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5 & = 9 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingakarannya : $ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0 $

Bentuk Umum Persamaan lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} \, $ yang diperoleh dari persamaan lingkaran $\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{align} $ .
Menentukan pusat dan jari-jari liingkaran dari bentuk umumnya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2by + b^2) & = r^2 \\ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) & = 0 \\ \text{bentuk ini sama dengan } & \\ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \end{align} $
Sehingga diperoleh :
$\begin{align} A & = -2a \rightarrow a = -\frac{A}{2} \\ B & = -2b \rightarrow b = -\frac{B}{2} \\ C & = a^2 + b^2 - r^2 \rightarrow r^2 = a^2 + b^2 - C \\ r & = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-\frac{A}{2})^2 + (-\frac{B}{2})^2 - C} = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C} \end{align} $
Jadi, Pusat lingkaran dan jari-jarinya :
Pusat : $ A(a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \, $ atau $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C $
Contoh :
Dari persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \, $, tentukan pusat dan jari-jarinya !
Penyelesaian :
*). Persamaan bentuk umumnya : $ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \, $
artinya nilai $ A = -4, \, B = 6, \, $ dan $ C = -3 $
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkarannya.
Pusat : $ A(a,b) = \left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{-4}{2}, -\frac{6}{2} \right) = (2, -3) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 2^2 + (-3)^2 - (-3) \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
atau cara kedua :
Jari-jari : $ r^2 = \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C \rightarrow r^2 = \frac{((-4)^2}{4} + \frac{6^2}{4} - (-3) \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 . $
Jadi, pusat lingkaran ($ 2,-3$) dan jari-jarinya $ r = 4 $.

Pola - pola dalam Menyusun Persamaan lingkaran
       Untuk menentukan persamaan lingkaran, kita hanya membutuhkan pusatnya ($a,b$) dan jari-jari $ r $ . Hanya saja tidak semua soal sudah lengkap ada kedua-duanya (pusat dan jari-jarinya). Berikut beberapa pola yang biasanya berkaitan dengan menyusun persamaan lingkaran.

i). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran melalui sembarang titik ($p,q$). Untuk menentukan persamaan lingkarannya, kita butuh jari-jarinya yaitu jarak titik pusat ke titik yang dilalui. Untuk jarak dua titik, silahkan baca materi "jarak dua titik".
Jari-jarinya : $ \begin{align} r = \sqrt{(p-a)^2 + (q-b)^2} \end{align} $
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (1,2) dan melalui titik (3, 5)!
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari lingkaran (jarak titik (1,2) dan (3,5)) :
$ \begin{align} r & = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2} \\ r & = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} \\ r & = \sqrt{13} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(1,2) $ dan $ r = \sqrt{13} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 & = (\sqrt{13})^2 \\ (x-1)^2 + (y-2)^2 & = 13 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 13 $

ii). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran menyinggung garis $ mx + ny + c = 0 $ . Jari-jari lingkarannya adalah jarak titik pusat ke garis. Untuk menghitung jaraknya, silahkan baca materi "jarak titik ke garis".
Jari-jarinya : $ \begin{align} r = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \end{align} $
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1,2) dan lingkaran menyinggung garis $ y = 2x + 9 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari lingkaran (jarak titik (-1,2) ke garis) :
garis : $ y = 2x + 9 \rightarrow 2x-y + 9 = 0 $
$ \begin{align} r & = \left| \frac{m.a + n.b + c}{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2x-y + 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{2.(-1)-2 + 9}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \left| \frac{5}{\sqrt{5}} \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5}} . \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b)=(-1,2) $ dan $ r = \sqrt{5} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2 + (y-2)^2 & = (\sqrt{5})^2 \\ (x+1)^2 + (y-2)^2 & = 5 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 5 $

iii). Diketahui pusat lingkaran ($a,b$) dan lingkaran menyinggung sumbu-sumbu.
*). Jika lingkaran Menyinggung sumbu X, maka jari-jarinya $ r = b $
*). Jika lingkaran menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $
*). Jika lingkaran menyinggung kedua sumbu, maka titik pusatnya ($p,p$), sehingga $ r = p $

Contoh :
1). Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat (2,5) dan lingkaran menyinggung sumbu X !
Penyelesaian :
*). Lingkaran menyinggung sumbu X, artinya jari-jari : $ r = b = 5 $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (2,5) \, $ dan $ r = 5 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-2)^2 + (y-5)^2 & = 5^2 \\ (x-2)^2 + (y-5)^2 & = 25 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-2)^2 + (y-5)^2 = 25 $

2). Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat (-3,1) dan lingkaran menyinggung sumbu Y !
Penyelesaian :
*). Lingkaran menyinggung sumbu Y, artinya jari-jari : $ r = a = -3 $
karena jari-jari selalu positif, maka $ r = |-3| = 3 $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (-3,1) \, $ dan $ r = 3 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-3))^2 + (y-1)^2 & = 3^2 \\ (x+3)^2 + (y-1)^2 & = 9 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x+3)^2 + (y-1)^2 = 9 $

3). Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat (6,6) dan lingkaran menyinggung kedua sumbu (sumbu X dan sumbu Y)!
Penyelesaian :
*). Lingkaran menyinggung kedua sumbu, artinya jari-jari : $ r = a = b = 6 $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (6,6) \, $ dan $ r = 6 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-6)^2 + (y-6)^2 & = 6^2 \\ (x-6)^2 + (y-6)^2 & = 36 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-6)^2 + (y-6)^2 = 36 $

iv). Diketahui titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) merupakan diameter suatu lingkaran. Untuk menentukan persamaan lingkarannya, kita harus menentukan titik pusat dan jari-jarinya. Titik pusat lingkaran adalah titik tengah dari titik A dan B, serta jari-jarinya adalah setengah dari panjang AB (diameter). Silahkan baca materi "menentukan titik tengah antara dua titik".
Titik Pusat : $ \begin{align} (a,b) = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \end{align} $
Jari-jari : $ \begin{align} r = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \end{align} $
Contoh :
Jika titik A(1,3) dan titik B(5,7) merupakan diameter suatu lingkaran, tentukan persamaan lingkaran tersebut!
Penyelesaian :
*).Menentukan titik pusat lingkaran ($a,b$) :
$ \begin{align} (a,b) & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{1 + 5}{2} , \frac{3 + 7}{2} \right) \\ & = (3,5) \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
$ \begin{align} r & = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{(5-1)^2 + (7-3)^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{4^2 + 4^2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{32} \\ & = \frac{1}{2}. ( 4 \sqrt{2} ) \\ r & = 2 \sqrt{2} \end{align} $
*). Persamaan lingkarannya dengan pusat $(a,b) = (3,5) \, $ dan $ r = 2\sqrt{2} $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-3)^2 + (y-5)^2 & = (2\sqrt{2})^2 \\ (x-3)^2 + (y-5)^2 & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ (x-3)^2 + (y-5)^2 = 8 $

v). Lingkaran melalui tiga sebarang titik. Untuk menentukan persamaan Lingkarannya, cukup substitusi ketiga titik yang dilalui ke persamaan umum lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 \, $ sehingga terbentuk tiga persamaan. Dari ketiga persamaan tersebut, lakukan eliminasi dan substitusi untuk menentukan nilai $ A, B, \, $ dan $ C \, $ , lalu substitusi kembali nilai $ A, B, \, $ dan $ C \, $ ke bentuk umum persamaan lingkarannya.
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3, -1), (5, 3), dan (6, 2) kemudian tentukan pula pusat dan jari-jari lingkaran. !
Penyelesaian :
*). Bentuk Umum persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
*). Substitusi ketiga titik yang dilalui ke bentuk umum.
$ \begin{align} (x,y) = (3,-1) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 3^2 + (-1)^2 + A.3 + B.(-1) + C & = 0 \\ 9 + 1 + 3A - B + C & = 0 \\ 3A - B + C & = - 10 \, \, \, \, \text{....prs(i)} \\ (x,y) = (5,3) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 5^2 + 3^2 + A.5 + B.3 + C & = 0 \\ 25 + 9 + 5A + 3B + C & = 0 \\ 5A + 3B + C & = - 34 \, \, \, \, \text{....prs(ii)} \\ (x,y) = (6,2) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 6^2 + 2^2 + A.6 + B.2 + C & = 0 \\ 36 + 4 + 6A + 2B + C & = 0 \\ 6A + 2B + C & = - 40 \, \, \, \, \text{....prs(iii)} \end{align} $
Terbentuklah 3 persamaan yaitu
$ \begin{align} 3A - B + C & = - 10 \, \, \, \, \text{....prs(i)} \\ 5A + 3B + C & = - 34 \, \, \, \, \text{....prs(ii)} \\ 6A + 2B + C & = - 40 \, \, \, \, \text{....prs(iii)} \end{align} $
*). Selesaikan ketiga persamaan tersebut dengan eliminasi dan substitusi, diperoleh nilai $ A = -8, \, B = -2, \, $ dan $ C = 12 $
Sehingga persamaan lingkarannya :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ x^2 + y^2 -8x -2y + 12 = 0 $

Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis

         Blog Koma - Jarak dua titik dan titik ke garis merupakan salah satu materi yang cukup penting, biasanya dipakai salah satunya pada materi persamaan lingkaran. Pada artikel ini, kita akan mempelajari jarak antara dua titik, jarak sebuah titik ke garis, dan menentukan titik tengah jika diketahui dua titik.

         Jarak dua titik dan titik ke garis ada kaitannya dengan persamaan garis lurus, khususnya materi jarak titik ke garis. Garis yang digunakan adalah dalam bentuk persamaan garis lurus yaitu $ ax + by + c = 0 \, $ . Untuk konsep jarak yang dipakai adalah jarak terdekat baik dua titik maupun titik ke garis.

Jarak dua titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$)
       Untuk menentukan jarak titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$), kita misalkan jaraknya sebagai mutlak dari AB. Sehingga rumus jaraknya :
$\begin{align} \text{jarak } & = \sqrt{(\text{selisih } x)^2 + (\text{selisih } y)^2} \\ |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & \text{ atau } \\ |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \end{align} $
Contoh :
Tentukan jarak titik A(2,1) ke titik B(-3,4) !
Penyelesaian :
*). Menetukan jarak A ke B ($|AB|$) :
$\begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \\ & = \sqrt{(2-(-3))^2 + (4-1)^2} \\ & = \sqrt{(5)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{25 + 9} \\ & = \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah $ \sqrt{34} $ .

Jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $
       Perhatiakan gambar dibawah ini. Terlihat bahwa jarak titik A ke garis adalah jarak terdekatnya yang dicapai pada saat garis AD tegak lurus dengan garis $ ax+by+c=0 . \, $ Jarak titik A ke garis $ ax+by=0 $ sama dengan jarak A ke titik D, hanya saja sulit untuk mencari titik D pada garis $ ax+by+c=0 $ . Tapi tenang saja, kita langsung bisa menggunakan rumus jarak titik ke garis tanpa harus mencari titik D.
Rumus jarak titik A($x_1,y_1$) ke garis $ ax+by+c=0 $ :
$\begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \end{align} $
Contoh :
Tentukan jarak titik A(3,5) ke garis $ -3x - 4y = - 9 $ !
Penyelesaian :
*). Persamaan garis dirubah dalam bentuk $ ax+by+c=0 $
$ -3x - 4y = - 9 \rightarrow -3x - 4y + 9 = 0 $
*). Jarak A($x_1,y_1$) = (3,5) ke garis $ -3x - 4y + 9 = 0 $
$ \begin{align} \text{jarak } & = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3x - 4y + 9}{\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}} \right| \\ & = \left| \frac{-3.3 - 4.5 + 9}{\sqrt{9 + 16}} \right| \\ & = \left| \frac{-20}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-20}{ 5 } \right| \\ & = \left| -4 \right| \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, jarak titik ke garisnya adalah 4.

Menentukan titik tengah jika diketahui dua titik
       Misalkan ada titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) serta titik tengahnya C, kita akan menentukan titik tengah yaitu titik antara titik A dan titik B.
Cara menentukan titik tengahnya C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \end{align} $
Contoh :
Diketahui titik A(3,6) dan B(1, -2). Tentukan titik tengah antara titik A dan titik B!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik tengahnya, misalkan titik C :
$\begin{align} \text{titik C } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{3 + 1}{2} , \frac{6 + (-2)}{2} \right) \\ & = \left( \frac{4}{2} , \frac{4}{2} \right) \\ & = \left( 2,2 \right) \end{align} $
Jadi, titik tengahnya adalah C(2,2).