Tampilkan posting dengan label kaidah pencacahan. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label kaidah pencacahan. Tampilkan semua posting

Rabu, 13 Januari 2016

Apa Bedanya Permutasi dan Kombinasi pada Peluang

         Blog Koma - Bagi teman-teman yang sedang mempelajari materi Peluang atau sedang mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan kaidah pencacahan, tentu akan sedikit bingung apakah soal tersebut akan dikerjakan dengan menggunakan Permutasi atau Kombinasi. Untuk dapat membedakannya dengan mudah, maka pada artikel kali ini kita akan membahas tentang Apa Bedanya Permutasi dan Kombinasi pada Peluang.

         Sebelum belajar tentang peluang, kita harus menguasai dulu yang namanya "kaidah pencacahan". Kaidah pencacahan adalah teknik menentukan banyaknya susunan atau cara pada suatu kejadian atau percobaan. Kaidah pencacahan terdiri dari "aturan perkalian dan aturan penjumlahan", permutasi dan kombinasi. Berikut akan dibahas perbedaan permutasi dan kombinasi secara singkat sehingga mudah-mudahan bisa mengatasi kebingungan yang selama ini terjadi.

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi
       Berikut perbedaan mendasar antara permutasi dan kombinasi yaitu :

*). Permutasi adalah cara penyusunan suatu unsur pada suatu kejadian atau percobaan yang memperhatikan "URUTAN".
Lambang permutasi : $ P_k^n \, $ atau $ \, _nP_k \, $ atau $ \, P(n,k) $
Rumus permutasi : $ P_k^n = \frac{n!}{(n-k)!} $

*). Kombinasi adalah cara penyusunan suatu unsur pada suatu kejadian atau percobaan yang TIDAK memperhatikan URUTAN.
Lambang kombinasi : $ C_k^n \, $ atau $ \, _nC_k \, $ atau $ \, P(n,k) \, $ atau $ \, \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) $
Rumus Kombinasi : $ C_k^n = \frac{n!}{(n-k)!. k!} $

Catatan :
*). Untuk memudahkan dalam mengingat manakah yang memperhatikan URUTAN dan mana yang TIDAK, yaitu diantara kata permUtasi dan kombinasi manakah yang menggunakan huruf "U" (huruf U mewakili kata URUTAN). Ternyata kata permUtasi yang menggunakan huruf U, sehingga permutasilah yang memperhatikan URUTAN.
*). Kombinasi hasilnya lebih sedikit dengan permutasi.

Untuk lebih memahami perbedaan permutasi dan kombinasi terutama apa yang dimaksud dengan memperhatikan URUTAN atau TIDAK, perhatikan contoh soal berikut ini.Namun sebelumnya juga pelajar
materi yang berkaitan dengan faktorial pada artikel "aturan perkalian dan penjumlahan"

Contoh soal-soal perbedaan permutasi dan kombinasi:
1). Ada 5 orang kemudian akan dipilih 3 orang dari 5 orang tersebut. Tentukan banyak cara pemilihan yang mungkin jika
a). 3 orang tersebut dipilih untuk menjadi pengurus organisasi yaitu ketua, wakil, dan bendahara.
b). 3 orang tersebut dipilih untuk mewakili sebuah tim dalam perlombaan.
Penyelesaian :
*). Ada lima orang, misalkan orang tersebut adalah A, B, C, D, dan E.
*). Akan dipilih 3 orang dari 5 orang tersebut.

a). 3 orang tersebut dipilih untuk menjadi pengurus organisasi yaitu ketua, wakil, dan bendahara.
Kita akan cek, apakah pada kasus (a) ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK.
Misalkan 3 orang yang terpilih adalah A, B, dan D.
Susunan kepengurusan dari A, B, dan D yaitu :
susunan I : A menjadi Ketua, B menjadi wakil, dan D menjadi bendahara atau disingkat ABD.
susunan II : B menjadi Ketua, A menjadi wakil, dan D menjadi bendahara atau disingkat BAD.
Susunan I dan susunan II dari kepengurusan dianggap berbeda karena pada susunan I ketuanya A dan susunan II ketuanya B sehingga pasti berbeda, artinya ABD tidak sama dengan BAD (ABD $\neq $ BAD). Ini artinya URUTAN diperhatikan pada kasus ini, sehingga kita menggunakan PERMUTASI untuk menyelesaikannya.
*). Menentukan banyak cara yang mungkin.
Kita memilih 3 orang dari 5 orang, banyak cara yaitu :
$ \begin{align} P_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5.4.3.2.1}{2.1} = 60 \end{align} \, $ cara.
Jadi, ada 60 cara pemilihan untuk kasus (a).

b). 3 orang tersebut dipilih untuk mewakili sebuah tim dalam perlombaan.
Kita akan cek, apakah pada kasus (b) ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK.
Misalkan 3 orang yang terpilih adalah A, B, dan D.
Maka urutan terpilihnya yaitu : ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA.
Bentuk I : ABD artinya yang terpilih adalah A, B, dan D.
Bentuk II : ADB artinya yang terpilih adalah A, D, dan B.
Karena hanya sebagai sebuah tim, maka bentuk ABD dan ADB sama saja yaitu yang terpilih A,B, dan D sebagai sebuah tim. Ini artinya URUTAN tidak diperhatikan ( ABD sama saja dengan ADB ), sehingga kasus (b) ini adalah kasus KOMBINASI yang tidak memperhatikan urutan.
*). Menentukan banyak cara yang mungkin.
Kita memilih 3 orang dari 5 orang, banyak cara yaitu :
$ \begin{align} C_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!3!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5.4.3!}{(2.1).3!} = 10 \end{align} \, $ cara.
Jadi, ada 10 cara pemilihan untuk kasus (b).

2). Misalkan ada 5 warna cat yaitu Merah, Hijau, Putih, Kuning, dan Biru. Jika 2 warna cat akan dicampurkan sehingga terbentuk warna baru, maka tentukan ada berapakah banyak warna baru yang diperoleh?
Penyelesaian :
*). Kita cek, apakah kasus ini memperhatikan URUTAN atau TIDAK.
Misalkan kita campurkan 2 warna yaitu warna Merah dan Putih,
cat warna Merah dicampur dengan cat warna Putih hasilnya akan sama pada pencampuran cat warna Putih dan warna Merah, ini artinya URUTAN pencampuran tidak berpengaruh (URUTAN tidak diperhatikan) sehingga soal ini adalah kasus KOMBINASI.
*). Menentukan banyak warna baru :
Kita memilih 2 warna cat dari 5 warna yang ada, banyak cara yaitu :
$ \begin{align} C_2^5 = \frac{5!}{(5-2)!2!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5.4.3!}{3!.(2.1)} = 10 \end{align} \, $ cara.
Jadi, ada 10 warna baru yang akan kita peroleh setelah mencampurkan dua warna dari 5 warna yang ada.

Catatan :
Untuk lebih mendalam tentang materi permutasi dan kombinasi, silahkan baca materinya dengan klik link yang ada di bawah ini.
*). Materi permutasi pada artikel "Permutasi pada Peluang"
*). Materi kombinasi pada artikel "kombinasi pada Peluang"

Selasa, 12 Januari 2016

Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah belajar materi "Kombinasi pada Peluang dan Contohnya" yang merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Binomial. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton). Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial).

         Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya:
$ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ..... \end{align} $

         Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)
       Berikut adalah rumus Binomial Newton secara umum :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $
atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli.
Keterangan :
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=0}^n \, $ disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan.
Berikut beberapa contoh notasi sigma :
$ \displaystyle \sum_{r=0}^3 r^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^3 $
$ \displaystyle \sum_{i=2}^5 (2i+1) = (2.2+1) + (2.3+1) + (2.4+1) + (2.5+1) $
$ \displaystyle \sum_{k=1}^9 (k^3 + k) = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + (4^3 + 4) + ... + (9^3 + 9) $

Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :
Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel "kombinasi pada peluang".

1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
a). $ (x+2)^4 $
b). $ (2a + 3b)^3 $
c). $ (a - 2b)^3 $
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 $
Penyelesaian :
a). $ (x+2)^4 \, $ artinya $ n = 4 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ (x+2)^4 & = \displaystyle \sum_{r=0}^4 C_r^4 x^{4-r}2^r \\ & = C_0^4 x^{4-0}2^0 + C_1^4 x^{4-1}2^1 + C_2^4 x^{4-2}2^2 + C_3^4 x^{4-3}2^3 + C_4^4 x^{4-4}2^4 \\ & = 1. x^{4}.1 + 4. x^{3}.2 + 6. x^{2}.4 + 4. x^{1}.8 + 1. x^{0}.16 \\ (x+2)^4 & = x^{4} + 8x^{3} + 24 x^{2} + 32x + 16 \end{align} $

b). $ (2a + 3b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (2a + 3b)^3 & = \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 (2a)^{3-r}(3b)^r \\ & = C_0^3 (2a)^{3-0}(3b)^0 + C_1^3 (2a)^{3-1}(3b)^1 + C_2^3 (2a)^{3-2}(3b)^2 + C_3^3 (2a)^{3-3}(3b)^3 \\ & = 1. (2a)^{3} .1 + 3. (2a)^{2}(3b) + 3. (2a)^{1}(3b)^2 + 1. (2a)^{0}(3b)^3 \\ & = 1. 2^3.a^3 .1 + 3. 2^2.a^2.(3b) + 3. (2a).3^2.b^2 + 1. 1.3^3.b^3 \\ (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $

c). $ (a - 2b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (a-2b)^3 & = (a + (-2b))^3 \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 a^{3-r}(-2b)^r \\ & = C_0^3 a^{3-0}(-2b)^0 + C_1^3 a^{3-1}(-2b)^1 + C_2^3 a^{3-2}(-2b)^2 + C_3^3 a^{3-3}(-2b)^3 \\ & = 1. a^{3}.1 + 3. a^{2}(-2b) + 3. a^{1}(-2b)^2 + 1. a^{0}(-2b)^3 \\ & = a^{3} + 3. a^{2}(-2b) + 3. a.(-2)^2.b^2 + 1. 1.(-2)^3.b^3 \\ (a-2b)^3 & = a^{3} -6a^2b + 12ab^2 -8b^3 \end{align} $

d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 \, $ artinya $ n = 5 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = \displaystyle \sum_{r=0}^5 C_r^5 x^{5-r} \left( \frac{2}{x} \right)^r \\ & = C_0^5 x^{5-0} \left( \frac{2}{x} \right)^0 + C_1^5 x^{5-1} \left( \frac{2}{x} \right)^1 + C_2^5 x^{5-2} \left( \frac{2}{x} \right)^2 \\ & + C_3^5 x^{5-3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 + C_4^5 x^{5-4} \left( \frac{2}{x} \right)^4 + C_5^5 x^{5-5} \left( \frac{2}{x} \right)^5 \\ & = 1. x^{5} .1 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{2^2}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{2^3}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{2^4}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{2^5}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{4}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{8}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{16}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x^{1} \\ & + 80 \left( \frac{1}{x} \right) + 80 \left( \frac{1}{x^3} \right) + \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x + \frac{80}{x} + \frac{80}{x^3} + \frac{32}{x^5} \end{align} $

Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
       Dari rumus Binomial Newton berikut ini,
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $

Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus :
Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.

Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi :
$ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah :
Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8.
Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36.
Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54.
Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27.
Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh :
Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $.
artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.

Contoh soal koefisien binomial :
2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x - 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk binomialnya : $ (2x - 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $.
*). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $.
Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ .
Suku ke-2 yaitu dari $ (2x - 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $.
Sehingga suku ke-3 dari $ (2x - 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.

Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $

3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.
Penyelesaian :
*). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k - 1 = 24 \rightarrow k = 25 $.
Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25.
*). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.

4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $.
Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = - \frac{1}{x} = -x^{-1} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 - 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 - 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $.
Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001.
*). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.

Kombinasi pada Peluang dan Contohnya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita belajar tentang Kombinasi pada Peluang dan Contohnya yang merupakan salah satu cara dalam perhitungan kaidah pencacahan. Pada materi Kombinasi pada Peluang dan Contohnya ini kita akan memberikan contohnya dengan berbagai variasi yang mudah-mudahan akan lebih membantu dalam memahami konsep kombinasi itu sendiri. Silahkan juga baca materi "Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial" untuk memudahkan dalam memahami kombinasi terutama bentuk faktorialnya.

Konsep Kombinasi pada Peluang
       Kombinasi adalah cara penyusunan suatu unsur pada suatu kejadian yang TIDAK memperhatikan URUTAN. Misalkan kita akan memilih dua orang untuk mewakili sebuah tim, dan yang terpilih adalah si A dan si B (disingkat AB). Untuk menyebutkan si A dan si B yang terpilih bisa dengan dua cara yaitu AB atau BA. Akan tetapi pada kasus ini urutan AB atau BA tidak berpengaruh karena tetap saja yang terpilih dua orang tersebut untuk mewakili sebuah tim. Berbeda jika kita memilih dua orang untuk menjadi pengurus (misal sebagai ketua dan bendahara), misal si A menjadi ketua dan si B menjadi bendahara akan berbeda posisinya jika si B menjadi ketua dan si A menjadi bendahara secara kepengurusan.

       Kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur biasa dituliskan $ C_k^n \, $ atau $ \, _nC_k \, $ atau $ C(n,k) \, $ atau $ \, \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right) \, $. Banyak kombinasi $ k $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia, tanpa memperhatikan urutan susunannya dapat ditentukan dengan Rumus :
$ C_k^n = \frac{n!}{(n-k)!.k!} \, $
dengan $ n \geq k , \, $ dan $ n , \, k \, $ merupakan bilangan asli.
Bentuk $ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".
$ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1 \, $ dan nilai $ 0! = 1 $.
Contoh soal kombinasi
1). Tentukan nilai bentuk kombinasi berikut ini,
a). $ C_2^5 $
b). $ C_2^7 \times C_1^4 $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} C_2^5 & = \frac{5!}{(5-2)!.2!} = \frac{5!}{3!.2!} = \frac{5.4.3!}{3!.(2.1)} = 10 \end{align} $
b). $ C_2^7 \times C_1^4 $
$ \begin{align} C_2^7 \times C_1^4 & = \frac{7!}{(7-2)!.2!} \times \frac{4!}{(4-1)!.1!} \\ & = \frac{7!}{5!.2!} \times \frac{4!}{3!.1!} \\ & = \frac{7.6.5!}{5!.2.1} \times \frac{4.3!}{3!.1} \\ & = 21 \times 4 \\ & = 84 \end{align} $

2). Tentukan nilai $ n \, $ dari persamaan kombinasi $ C_2^n = 4n + 5 $ ,
dan tentukan nilai $ C_9^n $.
Penyelesaian :
*). Jabarkan bentuk kombinasinya dan faktorkan :
$ \begin{align} C_2^n & = 4n + 5 \\ \frac{n!}{(n-2)!.2!} & = 4n + 5 \\ \frac{n.(n-1).(n-2)!}{(n-2)!.2.1} & = 4n + 5 \\ \frac{n.(n-1) }{2} & = 4n + 5 \\ n^2 - n & = 2(4n + 5) \\ n^2 - n & = 8n + 10 \\ n^2 - 9n - 10 & = 0 \\ (n+1)(n-10) & = 0 \\ n = -1 \vee n & = 10 \end{align} $
Karena $ n \, $ bilangan asli, maka yang memenuhi adalah $ n = 10 $.
*). Menentukan nilai $ C_9^n $
$ \begin{align} C_9^n = C_9^{10} & = \frac{10!}{(10-1)!.1!} = \frac{10!}{9!.1!} = \frac{10.9!}{9!} = 10 \end{align} $

3). Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a). ganda putra
b). ganda putri
c). ganda campuran
Penyelesaian :
a). Karena banyaknya pemain putra ada 10 dan akan dipilih 2 untuk bermain ganda, maka banyak cara pemilihan 2 putra dari 10 putra yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_2^{10} & = \frac{10!}{(10-2)!.2!} = \frac{10!}{8!.2!} = \frac{10.9.8!}{8! . 2.1} = 45 \end{align} \, $ cara.

b). Karena banyaknya pemain putri ada 8 orang dan dipilih 2, maka banyaknya cara pemilihan 2 putri dari 8 putri yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_2^8 & = \frac{8!}{(8-2)!.2!} = \frac{8!}{6!.2!} = \frac{8.7.6!}{6! . 2.1} = 28 \end{align} \, $ cara.

c). Ganda campuran berarti 10 putra diambil satu dan 8 putri diambil 1, maka:
$ \begin{align} C_1^{10} \times C_1^8 & = \frac{10!}{(10-1)!.1!} \times \frac{8!}{(8-1)!.1!} \\ & = \frac{10!}{9!.1!} \times \frac{8!}{7!.1!} \\ & = \frac{10.9!}{9! } \times \frac{8.7!}{7! } \\ & = 10 \times 8 \\ & = 80 \, \, \, \text{ cara } \end{align} $

4). Tersedia 10 siswa yang memenuhi syarat menjadi tim olimpiade matematika suatu SMA. Dari sejumlah calon itu, 6 siswa pandai komputer dan 4 siswa pandai bahasa inggris. Tim yang dibentuk beranggotakan 3 siswa yang terdiri dari 2 siswa pandai komputer dan 1 siswa pandai bahasa inggris. Berapa banyak susunan yang mungkin dapat dibentuk?
Penyelesaian :
*). Akan dipilih 3 orang sebagai sebuah tim yang mewakili sekolah dengan rincian 2 siswa dari komputer dan 1 siswa dari bahasa inggris.
*). Banyak cara pemilihan 2 siswa dari 6 siswa pandai komputer :
$ \begin{align} C_2^6 & = \frac{6!}{(6-2)!.2!} = \frac{6!}{4!.2!} = \frac{6.5.4!}{4! . 2.1} = 15 \end{align} \, $ cara.
*). Banyak cara pemilihan 1 siswa dari 4 siswa pandai bahasa inggris :
$ \begin{align} C_1^4 & = \frac{4!}{(4-1)!.1!} = \frac{4!}{3!.1!} = \frac{4.3!}{3! } = 4 \end{align} \, $ cara.
*). Karena 2 siswa dari komputer dan 1 siswa dari bahasa inggris harus terpilih SEKALIGUS, maka berlaku "aturan perkalian". Sehingga total cara pemilihan 3 siswa yaitu :
$ \begin{align} C_2^6 \times C_1^4 = 15 \times 4 = 60 \end{align} \, $ cara.

5). Dalam pertemuan untuk menentukan tanggal kelulusan siswa, 20 orang guru diundang, setelah memutuskan tanggal kelulusan, mereka saling berjabat tangan. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Penyelesaian :
*). Jabat tangan biasanya hanya dilakukan antar 2 orang saja, artinya untuk menentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi sama saja dengan kita menentukan banyaknya cara memilih 2 orang untuk berjabat tangan dari 20 orang guru yang ada. Dua orang jabat tangan tidak memperhatikan urutan sehingga kita menggukanan konsep kombinasi.
*). Total banyak cara jabat tangan yaitu memilih 2 orang dari 20 orang guru yaitu
$ \begin{align} C_2^{20} & = \frac{20!}{(20-2)!.2!} = \frac{20!}{18!.2!} = \frac{20.19.18!}{18! . 2.1 } = 190 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 190 jabat tangan yang terjadi.

6). Pada bidatang datar tertentu terdapat 20 titik dan tidak ada 3 titik yang terletak pada satu garis.
a). Tentukan banyak garis yang terbentuk.
b). Tentukan banyak segitiga yang terbentuk.
Penyelesaian :
*). Dalam pemilihan titik (baik 2 titik atau 3 titik), urutan tidak diperhatikan sehingga kita menggunakan konsep kombinasi.
a). Karena tidak ada 3 titik yang segaris, maka untuk membuat garis kita cukup menghubungkan dua titik saja. Ini artinya kita hanya butuh 2 titik saja yang dipilih dari 20 titik yang ada dengan banyaknya cara pemilihan 2 titik dari 20 titik yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_2^{20} & = \frac{20!}{(20-2)!.2!} = \frac{20!}{18!.2!} = \frac{20.19.18!}{18! . 2.1 } = 190 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 190 garis yang terbentuk dari 20 titik yang ada.

b). Karena tidak ada 3 titik yang segaris, maka untuk membuat segitiga kita cukup menghubungkan tiga titik saja. Ini artinya kita hanya butuh 3 titik saja yang dipilih dari 20 titik yang ada dengan banyaknya cara pemilihan 3 titik dari 20 titik yang ada yaitu :
$ \begin{align} C_3^{20} & = \frac{20!}{(20-3)!.3!} = \frac{20!}{17!.3!} = \frac{20.19.18.17!}{17! . 3.2.1 } = 1140 \end{align} \, $ cara.
Jadi, totalnya ada 1.140 segitiga yang terbentuk dari 20 titik yang ada.

7). Budi mengikuti UTS pelajaran Matematika. Ada 15 soal yang diujikan di kelas. Dari 15 soal yang ada, setiap siswa harus memilih 12 soal untuk dikerjakan. Dari 12 soal yang dipilih, soal nomor 1 sampai nomor 5 wajib dikerjakan. Tentukan banyak cara pemilihan soal yang dapat dilakukan oleh Budi?
Penyelesaian :
*). Untuk pemilihan soal, urutan tidak diperhatikan, misalkan Budi mengerjakan soal nomor 2 dan nomor 5 akan sama saja dengan Budi mengerjakan soal nomor 5 dan nomor 2. Sehingga untuk menyelesaikannya kita menggunakan konsep kombinasi.
*). Soal nomor 1 sampai nomor 5 wajib dikerjakan, artinya Budi tinggal memilih $ 12 - 5 = 7 \, $ soal tersisa dari soal nomor 6 sampai nomor 15 yang ada karena 5 soal sudah pasti nomor 1 sampai nomor 5.
*). Memilih 7 soal dari nomor 6 sampai nomor 15, artinya kita memilih 7 soal dari 10 soal tersisa dengan banyak cara :
$ \begin{align} C_7^{10} & = \frac{10!}{(10-7)!.7!} = \frac{10!}{3!.7!} = \frac{10.9.8.7!}{(3.2.1).7! } = 120 \end{align} \, $ cara.
Jadi, 120 cara untuk Budi melakukan pemilihan soal yang akan dikerjakannya.

8). Pak Bayu memiliki 5 warna cat berbeda yaitu warna Merah, Putih, Biru, Kuning, dan Hijau. Pak Bayu ingin memiliki warna cat selain kelima warna yang telah dimilikinya itu, dan Pak Bayu pun mempunyai ide yaitu dengan mencampur dua jenis warna cat dari 5 warna cat yang ada. Ada berapakah warna cat baru yang diperoleh oleh pak Bayu?
Penyelesaian :
*). Dua warna cat dicampurkan akan diperoleh warna baru, misalkan warna Merah dicampur dengan Hijau hasilnya akan sama dengan warna Hijau dicampurkan dengan warna Merah, ini artinya urutan tidak diperhatikan sehingga kita bisa menggunakan konsep kombinasi.
*). Dua warna akan dicampurkan dari 5 warna yang ada, artinya kita akan memilih 2 unsur dari 5 unsur dengan banyak cara yaitu :
$ \begin{align} C_2^5 & = \frac{5!}{(5-2)!.2!} = \frac{5!}{3!.2!} = \frac{5.4.3!}{3!.2.1 } = 10 \end{align} \, $ cara.
Jadi, ada 10 warna cat baru yang akan diperoleh oleh pak Bayu setelah mencampurkan dua warna dari 5 warna cat yang ada.

Sabtu, 09 Januari 2016

Permutasi pada Peluang dan Contohnya

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah belajar tentang "Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial" yang merupakan salah satu bagian dari kaidah pencacahan. Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Permutasi pada Peluang dan Contohnya yang juga merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Permutasi dibagi menjadi tiga yaitu permutasi dengan unsur yang berbeda, permutasi yang memuat beberapa unsur sama, dan permutasi siklis.

Permutasi dengan unsur yang berbeda
       Permutasi adalah cara penyusunan suatu percobaan atau suatu kejadian yang memperhatikan "URUTAN". Misalkan kita memilih dua orang yang akan menjadi ketua dan bendahara, dan yang terpilih adalah si A dan B. Jika si A menjadi ketua dan si B menjadi bendahara maka susunan ini akan berbeda dengan si B menjadi ketua dan si A menjadi bendahara, atau secara singkat "URUTAN" sangat mempengaruhi sehingga AB $ \neq \, $ BA pada permutasi. Contoh-contoh kejadian yang merupakan permutasi atau kejadian yang memperhatikan "URUTAN" yaitu pemilihan kepengurusan, penyusunan cara duduk, posisi dalam berfoto, menyusun angka, menusun plat nomor, dan pemilihan juara dalam lomba.

       Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur yang tersedia biasanya dituliskan $ P_k^n \, $ atau $ \, _nP_k \, $ atau $ P(n,k) \, $ dengan $ k \leq n \, $ .
Cara penghitungannya :
*). Permutasi $ k $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_k^n = \frac{n!}{(n-k)!} $
*). Permutasi $ n $ unsur dari $ n \, $ unsur : $ P_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n! $
Keterangan :
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ...\times 3 \times 2 \times 1 \, $ dan $ 0! = 1 $.
$ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".

       Permutasi dengan unsur yang berbeda maksudnya unsur-unsur yang mau kita susun semuanya berbeda. Misalkan ada 5 orang akan kita pilih 3 orang untuk menjadi pengurus osis, maka yang dimaksud berbeda adalah setiap orang dari 5 orang tersebut berbeda semua tidak ada yang sama. contoh lain, kita misalkan mau menyusun bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8, artinya angka-angka 1,2,3,4,5,6,7,8 semuanya berbeda. Contoh permutasi yang unsurnya tidak berbeda adalah misalkan kita menyusun 4 angka yang dipilih dari angka-angka 2,3,3,5, artinya dari angka-angka 2,3,3,5 ada yang sama yaitu angka 3.
Contoh soal permutasi dengan unsur berbeda :
1). Tentukanlah nilai permutasi berikut,
a). $ P_3^7 $
b). $ P_5^5 $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} P_3^7 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210 \end{align} $
b). $ \begin{align} P_5^5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \end{align} $

2). Tentukan nilai $ n \, $ pada persamaan $ P_2^{(n-1)} = 20 $.
Penyelesaian :
$ \begin{align} P_2^{(n-1)} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{[(n-1)-2]!} & = 20 \\ \frac{(n-1)!}{(n-3)!} & = 20 \\ \frac{(n-1) \times (n-2) \times (n-3)!}{(n-3)!} & = 20 \\ (n-1) \times (n-2) & = 20 \\ n^2 - 3n + 2 & = 20 \\ n^2 - 3n -18 & = 0 \\ (n + 3)(n-6) & = 0 \\ n = -3 \vee n & = 6 \end{align} $
Karena $ n \, $ positif, maka yang memenuhi adalah $ n = 6 $.
Jadi, nilai $ n = 6 $.

3). Sekolah SMA Generasi Emas, setiap tahun mengadakan acara pentas seni. Biasanya 8 bulan sebelum acara akbar, para siswa melakukan pemilihan untuk jabatan ketua dan sekretaris. Setelah melalui seleksi terdapat 5 kandidat yang mendaftarkan diri; yakni, Ayu (A), Beni (B), Charli (C), Dayu (D), dan Edo (E). Bagaimana kita mengetahui banyak cara memilih ketua dan sekretaris untuk acara pentas seni sekolah tersebut?
Penyelesaian :
Cara I : dengan cara mendaftar,
Seluruh kandidat yang mungkin dibuat dapat didaftarkan sebagai berikut:
AB BA CA DA EA
AC BC CB DB EB
AD BD CD DC EC
AE BE CE DE ED
Dari daftar di atas diperoleh banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.

Cara II : dengan cara permutasi,
Jabatan yang akan diisi adalah ketua dan sekretaris, artinya kita akan memilih dua orang untuk kedua jabatan yang dipilih dari 5 orang yang tersedia, sehingga dalam permutasi ditulis $ P_2^5 $
$ \begin{align} P_2^5 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} = 5 \times 4 = 20 \end{align} $
Jadi, banyak susunan pengurus acara pentas seni adalah 20 cara.

4). Seorang resepsionis klinik ingin mencetak nomor antrian pasien yang terdiri tiga angka tanpa memuat angka yang sama dari angka 1, 2, 3, dan 4. Tentukan banyak pilihan nomor antrian dibuat dari:
a). Tiga angka pertama.
b). Empat angka yang tersedia.
Penyelesaian :
a). Jika resepsionis menggunakan angka 1, 2, 3 maka nomor antrian yang dapat disusun adalah:
*). Cara mendaftar langsung :
123 132 213 231 312 321
Terdapat 6 angka kupon antrian.
*). Cara permutasi :
Kita memilih 3 angka dari 3 angka pertama yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Terdapat 6 angka kupon antrian.

b). Jika nomor antrian disusun dengan menggunakan angka 1, 2, 3, dan 4, maka susunan nomor antrian yang diperoleh adalah:
*). Cara mendaftar langsung :
123 142 231 312 341 421
124 143 234 314 342 423
132 213 243 321 412 431
134 214 241 324 413 432
Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.
*). Cara permutasi :
Kita memilih 3 angka dari 4 angka yang tersedia :
$ \begin{align} P_3^4 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \end{align} $
Sehingga terdapat 24 pilihan nomor antrian.

5). Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan tersebut yang kurang
a). dari 500
b). dari 600
Penyelesaian :
a). Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu angka 4.
*). Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti Kita harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500.

b). Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5. Artinya untuk angka ratusan ada dua pilihan angka.
*). Untuk angka puluhan dan satuan kita pilih dari sisa angka yang sudah dipakai untuk ratusan yaitu tersisa 4 angka karena satu angka sudah dipakai pada angka ratusan, ni berarti Kita harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu
$ \begin{align} P_2^4 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2!}{2!} = 4 \times 3 = 12 \end{align} $
Sehingga total banyaknya bilangan yang kurang dari 600 $ = 2 \times 12 = 24 $.
Jadi, terdapat 24 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 600.

6). Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C).
*). Cara mendaftar dengan diagram kemungkinan susunan pengurus :
dari diagram, ada 6 kemungkinan kepengurusan yang terbentuk.

*). Cara permutasi :
Ada tiga orang yaitu Abdul, Beny, dan Cindi akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara, artinya permutasi 3 unsur dari 3 unsur :
$ \begin{align} P_3^3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \end{align} $
Jadi, ada 6 kemungkinan kepengurusan yang terbentuk.

Permutasi yang memuat beberapa unsur sama
       Misalkan dari $ n \, $ unsur terdapat $ k_1, k_2, k_3, ....,k_t \, $ unsur yang sama dengan $ k_1 + k_2 + k_3 + ... + k_t \leq n $ . Banyak permutasi dari $ n \, $ unsur tersebut adalah :
$ \begin{align} P_{(k_1,k_2,k_3,...,k_t)}^n = \frac{n!}{k_1! \times k_2! \times k_3! \times ... \times k_t! } \end{align} $
Contoh permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama :
7). Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf pembentuk kata APA?
Penyelesaian :
*). Kata-kata yang terbentuk tidak harus bermakna.
*). Kata APA terdiri dari 3 huruf yaitu A, P, dan A yang akan kita susun ulang sehingga membentuk kata baru yang tetap terdiri dari 3 huruf tersebut.
*). Cara Mendaftar langsung :
*). Tersedia 3 unsur; yakni, huruf-huruf A, P, dan A. Dari 3 unsur yang tersedia memuat 2 unsur yang sama; yaitu, huruf A.
*). Banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama tersebut akan dicari melalui pendekatan banyak permutasi 3 unsur yang berbeda. Oleh karena itu, hurufhuruf yang sama (huruf A) diberi label A$_1$, dan A$_2$.
*). Banyak permutasi dari 3 unsur yang melibatkan 2 unsur yang sama adalah:
A$_1$PA$_2$, A$_2$PA$_1$, A$_1$A$_2$P, A$_2$A$_1$P, PA$_1$A$_2$, PA$_2$A$_1$.
*). Kita hapus label yang ada, sehingga :
Kelompok A$_1$PA$_2$ dan A$_2$PA$_1$, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi APA .
Kelompok A$_1$A$_2$P dan A$_2$A$_1$P, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi AAP .
Kelompok PA$_1$A$_2$ dan PA$_2$A$_1$, jika labelnya dihapus maka diperoleh permutasi PAA .
Karena ada unsur yang sama (A dua kali), maka sebenarnya permutasi dari kata APA hanya ada tiga yaitu APA, AAP, dan PAA.
Jadi, ada 3 susunan kata baru yang diperoleh dari kata APA.

*). Cara permutasi unsur sama :
Kata APA memuat 2 unsur yang sama yaitu huruf A, dan kata APA terdiri dari 3 huruf. Sehingga total huruf baru yang terbentuk adalah
$ \begin{align} P_{2}^3 = \frac{3!}{2! } = \frac{3 \times 2!}{2! } = 3 \end{align} $
Jadi, ada 3 susunan kata baru yang diperoleh dari kata APA.

8). Berapa banyak kata dapat disusun dari kata:
a). AGUSTUS
b). GAJAH MADA
c). MATEMATIKA
d). RABU
Penyelesaian :
a). Kata AGUSTUS
Banyaknya huruf = 7, banyaknya S = 2, dan banyaknya U = 2.
$ \begin{align} P_{2,2}^7 = \frac{7!}{2! . 2! } = \frac{7.6.5.4.3.2.1 }{(2.1).(2.1) } = 1260 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata AGUSTUS adalah 1.260 kata.

b). Kata GAJAH MADA
Banyaknya huruf = 9, banyaknya A = 4
$ \begin{align} P_{4}^9 = \frac{9!}{4! } = 15120 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata GAJAH MADA adalah 15.120 kata.

c). Kata MATEMATIKA
Banyaknya huruf = 10, banyaknya A = 3, banyaknya M = 2, dan banyaknya T = 2.
$ \begin{align} P_{3,2,2}^{10} = \frac{10!}{3!. 2! . 2! } = \frac{10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(2.1).(2.1) } = 151200 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata MATEMATIKA adalah 151200 kata.

b). Kata RABU
Banyaknya huruf = 4, dan tidak ada yang sama
$ \begin{align} P_{1}^4 = \frac{4!}{1! } = 4! = 4.3.2.1 = 24 \end{align} $
Jadi, banyaknya kata baru dari kata RABU adalah 24 kata.

9). Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun dari angka 2275 yang terdiri dari empat angka?
Penyelesaian :
*). Kita akan menyusun angka yang terdiri dari 4 angka yang disusun dari angka-angka 2,2,7,5.
*). Cara mendaftar langsung dengan diagram :
Sehingga banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.

*). Cara permutasi unsur yang sama.
Angkanya 2275, banyaknya angka = 4 dan banyak angka 2 ada 2.
$ \begin{align} P_{2}^4 = \frac{4!}{2! } = 4 . 3 = 12 \end{align} $
Jadi, banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.

10). Berapa banyak bilangan 7 angka yang dapat disusun dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7
Penyelesaian :
Banyaknya angka = 7, banyaknya angka 4 ada 3, banyaknya angka 5 ada 3.
$ \begin{align} P_{3,3}^{7} = \frac{7!}{3!. 3! } = \frac{ 7.6.5.4.3.2.1 }{(3.2.1).(3.2.1) } = 140 \end{align} $
Jadi, banyaknya bilangan 7 angka dari angka-angka: 4, 4, 4, 5, 5, 5, dan 7 adalah 140 angka.

permutasi siklis
       Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu. Pada permutasi siklis salah satu unsur dijadikan ditetapkan sebagai titik acuan.

       Misalkan dari $ n $ unsur yang berbeda yang tersusun melingkar. Banyak permutasi siklis dari $ n $ unsur tersebut dinyatakan:
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! $
Contoh soal permutasi siklis :
11). Dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Tentukan banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar tersebut?
Penyelesaian :
*). Misalkan si A kita anggap sebagai titik acuan, maka susunan duduk yang akan kita peroleh seperti gambar berikut ini dengan arah putaran searah jarum jam.
*). Dari gambar di atas, ternyata hanya ada 6 susunan duduk berbeda yang kita peroleh dari empat orang yang duduk melingkar.
*). Untuk cara membaca searah jarum jam :
perhatikan gambar (1), susunan duduknya : ABCD, BCDA, CDAB, DABC
Akan tetapi keempat susunan duduk ini sebenarnya sama saja seperti gambar (1), hanya cara membacanya saja empat cara.
perhatikan gambar (2), susunan duduknya : ABDC, BDCA, DCAB, CABD
Akan tetapi keempat susunan duduk ini sebenarnya sama saja seperti gambar (2), hanya cara membacanya saja empat cara.
Begitu seterusnya untuk gambar (3) sampai gambar (6).

*). Cara permutasi siklis :
Ada 4 orang duduk melingkar, maka semua susunan duduk berbeda adalah :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 $
Jadi, ada 6 susunan duduk berbeda ketika ada 4 orang duduk melingkar.

12). Seorang direktor bank swasta yang berkantor di Jakarta akan melakukan rotasi kepala cabang yang terdapat di 5 kota besar, yaitu Fahmi (Jakarta), Cintha (Surabaya), Trisnawati (Bandung), Novand (Medan), dan Rahmat (Padang). Dia meminta staff ahlinya untuk menyusun pilihan-pilihan yang mungkin untuk rotasi kepala cabang bank yang dipimpimnya. Bantulah staff ahli tersebut untuk menyusun pilihan rotasi kepala cabang bank swasta tersebut.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita anggap nama-nama kota sebagai kursi tempat duduk kelima kepala cabang tersebut. Ini artinya kita akan menentukan banyaknya susunan duduk yang berbeda dari 5 orang yang duduk melingkar yaitu sebanyak :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 $
Jadi, ada 24 susunan rotasi yang mungkin yang bisa dilakukan oleh direktor bank tersebut.

13). Berapa cara yang mungkin dapat dibuat jika dalam suatu pesta makan terdapat 7 orang yang duduk dalam :
a). berjajar dalam satu baris,
b). meja makan bundar.
Penyelesaian :
a). Posisi duduk berjajar dalam satu baris merupakan permutasi 7 unsur dari 7 unsur atau kita memilih 7 orang untuk kita tempatkan pada 7 kursi berjajar yaitu :
$ \begin{align} P_7^7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 \end{align} \, $ cara.
soal (a) ini menggunakan permutasi unsur berbeda.

b). Duduk di meja bundar, artinya permutasi siklis 7 unsur.
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (7-1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 \, $ cara.

14). Wati dan Indah beserta 3 teman lainnya duduk melingkar pada meja bundar. Tentukan banyak susunan duduk berbeda jika Wati dan Indah selalu bersama.
Penyelesaian :
*). Syaratnya Wati dan Indah harus selalu bersama, maka kita blok mereka dan kita anggap satu orang sehingga sekarang totalnya ada 4 orang.
*). kita gunakan permutasi siklis 4 unsur :
$ P_{\text{(siklis)}} = (n-1)! = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 \, $ cara.
*). Dua orang yang kita blog (Wati dan Indah) bisa ditukar-tukar posisinya yaitu Wati-Indah atau Indah-Wati, yaitu ada 2 cara.
*). Total cara duduk $ = 2 \times 6 = 12 \, $ cara.
Jadi, total susunan duduk melingkar agar Wati dan Indah selalu bersama adalah 12 cara.
Catatan : Kenapa harus di blok kedua orang tersebut? dengan kita blok, maka pasti dijamin mereka akan selalu bersama.

Jumat, 08 Januari 2016

Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial

         Blog Koma - Halow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja.
Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi yang berkaitan dengan kaidah pencacahan yaitu menentukan banyaknya cara dalam menyusun suatu percobaan. Kaidah pencacahan terdiri dari aturan perkalian dan aturan penjumlahan, permutasi dan kombinasi.

         Untuk khusus pada kesempatan ini, kita akan membahas lebih mendetail tentang Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial. Materi faktorial digunakan untuk masalah permutasi dan kombinasi.

Aturan Perkalian pada kaidah pencacahan
       Jika terdapat $ n \, $ unsur yang tersedia,
$k_1 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur pertama
$ k_2 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun
$ k_3 = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun
dan seterusnya sampai
$k_n = \, $ banyak cara untuk menyusun unsur ke-$n$ setelah objek $ n - 1 $ unsur sebelumnya tersusun
Maka banyak cara untuk menyusun $ n \, $ unsur yang tersedia adalah:
$ k_1 \times k_2 \times k_3 \times ... \times k_n $

Catatan :
Aturan perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya "SEKALIGUS TERJADI" dan biasanya menggunakan kata penghubung "DAN"
Contoh soal penggunaan aturan perkalian :
1). Budi mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat, dan batik. Ia juga memiliki 2 buah celana warna hitam dan putih yang berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan pasangan yang berbeda?
Penyelesaian :
*). Cara I : Mendaftarkan semua pasangan dengan diagram
Berikut diagram kemungkinan pasangan baju dan celana.
Dari diagram di atas, banyaknya pasangan baju dan celana yang dapat digunakan oleh Budi sebanyak 6 pasang yaitu (baju putih, celana hitam), (baju putih, celana cokelat), (baju batik, celana hitam), (baju batik, celana cokelat), (baju cokelat, celana hitam), dan (baju cokelat, celana cokelat).

*). Cara II : Menggunakan aturan perkalian.
Pada soal ini kita akan menentukan banyaknya pasangan baju dan celana, artinya setiap pasangan harus memuat baju dan celana sehingga SEKALIGUS kedua-duanya (baju dan celana) harus ada sehingga kita bisa menggunakan aturan perkalian secara langsung.
*). Unsur pertama adalah baju,
ada 3 pilihan baju, sehingga $ k_1 = 3 $.
*). Unsur kedua adalah celana,
ada 2 pilihan celana, sehingga $ k_2 = 2 $.
*). Total pasangan baju dan celanan :
Total pasangan $ = k_1 \times k_2 = 3 \times 2 = 6 $.
Jadi, banyaknya pasangan baju dan celana ada 6 pasang berbeda.

2). Iwan memiliki 5 jenis baju yang berbeda, 2 jenis celana yang berbeda, 2 topi yang berbeda, 3 dasi yang berbeda, dan 4 pasang sepatu serta kaosnya. Tentukan ada berapa banyak cara Iwan menggunakan seragam sekolah jika semua jenis harus dipakai?
Penyelesaian :
Total seragam yang mungkin terbentuk adalah
$ 5 \times 2 \times 2 \times 3 \times 4 = 240 \, $ pilihan.
Jadi, ada 240 pilihan seragam yang bisa dipakai oleh Iwan.

3). Untuk menuju kota C dari kota A harus melewati kota B. Dari kota A ke kota B melewati 4 jalur dan dari kota B ke kota C ada 3 jalur. Dengan berapa jalur Budi dapat pergi dari kota A ke kota C?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan aturan perkalian karena jalur AB dan BC harus ditempuh semua, artinya ketiga jalur SEKALIGUS dilewati untuk perjalanan dari kota A ke kota C.
Total jalur $ = 4 \times 3 = 12 \, $ jalur.

4). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
*). Plat nomor tidak boleh ada angka yang berulang, artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi. Misalkan palat nomor 2113 tidak boleh karena angka 1 berulang. Contoh yang boleh adalah plat nomor 2134, 1234, 1235, dan lainnya.
*). Misalkan kita buat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab nomor kendaraan itu terdiri dari 4 angka.
Berikut cara pengisian masing-masing kotak :
Pilihan angkanya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
i). Kotak (a), dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak (b), dapat diisi dengan 4 pilihan bilangan karena satu bilangan sudah dipakai untuk kotak (a).
iii). Kotak (c), dapat diisi dengan 3 pilihan bilangan karena dua bilangan sudah dipakai untuk kotak (a) dan (b).
iv). Kotak (d), dapat diisi dengan 2 pilihan bilangan karena tiga bilangan sudah dipakai untuk kotak (a), (b), dan (c).
Sehingga gambar lengkap kotaknya adalah :
Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \, $ plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 120 plat nomor.

5). Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka yang dipilih dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat?
Penyelesaian :
Soal ini sebenarnya mirip dengan soal nomor (4), hanya saja syaratnya yang dibedakan sedikt.
Plat nomor boleh ada angka yang sama, artinya angka yang sudah dipakai boleh dipakai lagi.
*). Kita buat 4 kota karena plat nomor terdiri dari 4 angka saja.
Pilihan angkarnya adalah 1, 2, 3, 4, 5, artinya totalnya ada 5 pilihan angka.
Cara pengisian setiap kotak :
i). Kotak I, dapat diisi angka 1, 2, 3, 4, atau 5 sehingga ada 5 cara.
ii). Kotak II, dapat diisi dengan 5 pilihan angka juga karena angka yang sudah dipakai pada kotak I bisa dipakai lagi pada kotak II. Begitu juga dengan kotak III dan kotak IV ada 5 pilihan angka masing-masing.
Banyaknya plat nomor $ = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \, $ plat nomor.
Jadi, banyaknya plat nomor yang bisa dibuat adalah 625 plat nomor.

Aturan Penjumlahan pada kaidah pencacahan
       Jika terdapat $ n \, $ peristiwa yang saling lepas,
$k_1 = \, $ banyak cara pada peristiwa pertama
$ k_2 = \, $ banyak cara pada peristiwa kedua
$ k_3 = \, $ banyak cara pada peristiwa ketiga
dan seterusnya sampai
$k_n = \, $ banyak cara pada peristiwa ke-$n$
Maka banyak cara untuk $ n \, $ buah peristiwa secara keseluruhan adalah:
$ k_1 + k_2 + k_3 + ... + k_n $

Catatan :
Aturan penjumlahan biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang "TIDAK SEKALIGUS TERJADI" artinya yang terjadi hanya salah satu saja atau bisa dibilang "PILIHAN" dan biasanya menggunakan kata penghubung "ATAU"
Contoh soal aturan penjumlahan :
6). Di rumahnya Wati terdapat 3 jenis sepeda berbeda, 2 jenis sepeda motor berbeda, dan 2 mobil yang berbeda. Jika Wati ingin berpergian, ada berapa cara Wati menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya?
Penyelesaian :
Pada kasus ini, ada tiga pilihan kendaraan yaitu sepeda, sepeda motor, dan mobil. Wati tidak mungkin menggunakan SEKALIGUS ketiga jenis kendaraan tersebut yang artinya Wati harus memilih salah satu jenis kendaraan saja. Sehingga kita bisa menggunakan aturan penjumlahan pada kasus ini.
*). Menentukan banyak cara menggunakan kendaraan
Total cara $ = 3 + 2 + 2 = 7 \, $ cara.
Jadi, ada 7 cara pilihan kendaraan yang bisa digunakan oleh Wati.

7). Dari Kota A menuju kota D dapat melalui beberapa jalur pada gambar di bawah ini. Berapa banyak kemungkinan jalur yang dapat dilalui dari Kota A ke Kota D?
Penyelesaian :
*). Untuk perjalanan dari kota A ke kota D bisa melalui kota B atau kota C.
Beberapa jalur yang bisa ditempuh :
Jalur Pertama : jalurnya A - B - D
A - B ada 4 jalan dan B - D ada 3 jalan,
toal jalur pertama $ = 4 \times 3 = 12 $
Jalur Kedua : jalurnya A - C - D
A - C ada 3 jalan dan C - D ada 3 jalan,
toal jalur kedua $ = 3 \times 3 = 9 $
*). Keseluruhan jalur yang ditempuh adalah melalui jalur pertama atau jalur kedua sehingga bisa menggunakan aturan penjumlahan.
Total jalur = jalur pertama $ + \, $ jalur kedua = $ 12 + 9 = 21 \, $.
Jadi, banyak kemungkinan jalur yang ditempuh dari A ke D ada 21 jalur.

Definisi dan Notasi Faktorial
       Misalkan ada $ n \, $ bilangan asli,
Notasi faktorial adalah $ n! \, $ dibaca "$n \, $ faktorial".
Cara penghitungannya :
$ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $
dengan $ 0! = 1 $.
Contoh soal faktorial :
8). Tentukan nilai faktorial berikut ini,
a). 5!
b). 3!
c). 6!
d). $ \frac{7!}{5!} $
e). $ 3! \times 2 ! $
f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} $
Penyelesaian :
a). $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 $
b). $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
c). $ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 $
d). $ \frac{7!}{5!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 $
e). $ 3! \times 2 ! = (3 \times 2 \times 1 ) \times ( 2 \times 1) = 6 \times 2 = 12 $
f). $ \frac{8!}{3! \times 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!} = \frac{8 \times 7 }{(3 \times 2 \times 1) } = \frac{28}{3} $

9). Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk faktorial :
a). $ 4 \times 5 \times 6 $
b). $ \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} 4 \times 5 \times 6 = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3 } = \frac{6!}{3!} \end{align} $
b). $ \begin{align} \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1 \times 2 \times 3 \times 4) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) } = \frac{8!}{4! \times 4!} \end{align} $

10). Hitunglah nilai faktorial dari $ \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{24}{8!} $
Penyelesaian :
*). Karena penyebutnya ada tiga jenis, maka kemunngkinan jawabannya ada 3 bentuk yang nilainya tetap sama.
$ \begin{align} \frac{5}{7!} - \frac{1}{6!} + \frac{10}{8!} & = \frac{8 \times 5}{8 \times 7!} - \frac{8 \times 7 \times 1 }{8 \times 7 \times 6!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40}{8!} - \frac{56 }{8!} + \frac{24}{8!} \\ & = \frac{40 - 56 + 24}{8!} \\ & = \frac{8}{8!} \\ & = \frac{8}{8 \times 7!} \\ & = \frac{1}{7!} \\ & = \frac{1}{7 \times 6!} \\ \end{align} $
Jadi hasilnya adalah $ \frac{8}{8!} \, $ atau $ \frac{1}{7!} \, $ atau $ \frac{1}{7 \times 6!} $.

11). Tentukan nilai $ n \, $ , jika $ \frac{n! - (n-2)!}{(n-1)!} = 1 $
Penyelesaian :
$ \begin{align} \frac{n! - (n-2)!}{(n-1)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) \times (n-2)! - (n-2)!}{(n-1) \times (n-2)!} & = 1 \\ \frac{n \times (n-1) - 1}{(n-1) } & = 1 \\ \frac{(n^2 - n ) - 1}{(n-1) } & = 1 \\ n^2 - n - 1 & = n - 1 \\ n^2 - 2n & = 0 \\ n(n-2) & = 0 \\ n = 0 \vee n = 2 \end{align} $
Yang memenuhi adalah untuk $ n = 2 $ .
Jadi, diperoleh nilai $ n = 2 $.