Tampilkan postingan dengan label irisan kerucut. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label irisan kerucut. Tampilkan semua postingan

Persamaan Asimtot Hiperbola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Asimtot Hiperbola yang bisa kita singkat menjadi PAH (Persamaan Asimtot Hiperbola). Dari semua jenis "irisan kerucut" seperti "lingkaran", "parabola", "elips", dan "hiperbola", persamaan asimtot hanya terdapat pada irisan kerucut berbentuk hiperbola. Asimtot adalah sebuah garis lurus yang akan didekati (tidak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Sebelumnya juga telah kita bahas persamaan asimtot yaitu "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar", "Asimtot Miring Fungsi Aljabar", dan "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri". Persamaan Asimtot Hiperbola adalah salah satu dari jenis asimtot miring. Asimtot hiperbola selalu melalui titik pusat "persamaan hiperbola". Sebuah persamaan hiperbola biasanya memiliki dua Persamaan Asimtot Hiperbola dimana keduanya selalu berpotongan pada titik pusat hiperbola. Untuk ilustrasi asimtot hiperbola, perhatikan gambar berikut ini, asimtot ditunjukkan oleh garis berwarna biru.


         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu materi "persamaan hiperbola dan unsur-unsurnya" secara mendalam dan materi "sifat-sifat eksponen" khususnya bentuk akar seperti $ A^2 = B \rightarrow A = \pm \sqrt{B} $. Langsung saja kita masuk ke bentuk Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) berikut ini.

Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH)
       Bentuk atau rumus Persamaan Asimtot Hiperbola bergantung dari persamaan hiperbolanya. Berikut masing-masing rumus Persamaan Asimtot Hiperbolanya.

1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{b}{a} x $
2). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
3). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{a}{b} x $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $

$ \spadesuit \, $ Trik mengingat dan mengerjakan PAH
(i). Nilai $ a^2 $ selalu ada di bagian positif ($x$ atau $y$), dan sisanya adalah nilai $ b^2 $ dengan nilai $ a $ dan $ b $ selalu positif.
(ii). Bentuk umum asimtotnya $ y = \pm mx $ atau $ y-q = \pm (x-p) $ dengan
       (a). Jika $ x $ positif, maka $ m = \frac{b}{a} $
       (b). Jika $ y $ positif, maka $ m = \frac{a}{b} $
(iii). Jika tidak ingin menggunalan rumus di atas, maka ada cara lain yaitu mengganti angka 1 dengan 0 pada persamaan hiperbolanya, lalu selesaikan sehingga kita peroleh juga persamaan asimtot hiperbolanya.
(iv). Titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola adalah titik pusat hiperbola yaitu titik $ (p,q) $.

Contoh soal Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) :

1). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{b}{a} x \\ y & = \pm \frac{4}{3} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{4}{3}x $ dan $ y = -\frac{4}{3}x $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 0 \\ \frac{y^2}{16} & = \frac{x^2}{9} \\ y^2 & = \frac{16}{9}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}x^2 } \\ y & = \pm \frac{4}{3}x^2 \end{align} $

(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{a}{b} x \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{2\sqrt{2}}{5}x $ dan $ y = -\frac{2\sqrt{2}}{5}x $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 1 \\ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 0 \\ \frac{y^2}{8} & = \frac{x^2}{25} \\ y^2 & = \frac{8}{25}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{ \frac{8}{25}x^2 } \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5}x \end{align} $

2). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
$ b^2 = 7 \rightarrow b = \sqrt{7} $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y+1 = \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $ dan $ y+1 = - \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{7} & = \frac{(x-2)^2}{25} \\ (y+1)^2 & = \frac{7}{25} (x-2)^2 \\ y+1 & = \pm \sqrt{ \frac{7}{25} (x-2)^2 } \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $

(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 64 \rightarrow a = 8 $
$ b^2 = 100 \rightarrow b = 10 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y - 3 & = \pm \frac{8}{10} (x +2) \\ y - 3 & = \pm \frac{4}{5} (x +2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y - 15 & = \pm 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4(x +2) \vee 5y - 15 = - 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4x + 8 \vee 5y - 15 = - 4x - 8 \\ 5y -4x & = 23 \vee 5y + 4x = 7 \\ \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ 5y - 4x = 23 $ dan $ 5y + 4x = 7 $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 0 \\ \frac{(y-3)^2}{64} & = \frac{(x+2)^2}{100} \\ (y-3)^2 & = \frac{64}{100} (x+2)^2 \\ (y-3) & = \pm \sqrt{ \frac{64}{100} (x+2)^2 } \\ (y-3) & = \pm \frac{8}{10} (x+2) \\ (y-3) & = \pm \frac{4}{5} (x+2) \end{align} $

3). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu X. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+3)^2}{9} & = \frac{(x-1)^2}{4} \\ (y+3)^2 & = \frac{9}{4} (x-1)^2 \\ (y+3) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{4} (x-1)^2 } \\ y+3 & = \pm \frac{3}{2} (x-1) \, \, \, \, \, \text{kali 2)} \\ 2y+6 & = \pm 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 (x-1) \vee 2y+6 & = - 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 x- 3 \vee 2y+6 & = - 3x + 3 \\ 3x - 2y = 9 \vee 3x + 2y & = - 3 \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 3x - 2y = 9 $ dan $ 3x + 2y = -3 $.
*). Menentukan titik potong sumbu X dengan substitusi $ y = 0 $ :
$ 3x - 2y = 9 \rightarrow 3x - 2.0 = 9 \rightarrow x = 3 $
$ 3x + 2y = -3 \rightarrow 3x + 2.0 = -3 \rightarrow x = -1 $
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu X adalah $ A(3,0) $ dan $ B(-1,0) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = 3 - (-1) = 4 $.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah 4 satuan.

4). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu Y. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+n)^2}{9} & = \frac{(x-m)^2}{16} \\ (y+n)^2 & = \frac{9}{16}(x-m)^2 \\ (y+n) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{16}(x-m)^2 } \\ (y+n) & = \pm \frac{3}{4}(x-m) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y+4n & = \pm 3(x-m) \\ 4y+4n = 3(x-m) \vee 4y+4n & = - 3(x-m) \\ 4y+4n = 3x-3m \vee 4y+4n & = - 3x + 3m \\ 4y - 3x = -3m - 4n \vee 4y + 3x & = 3m - 4n \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 4y - 3x = -3m - 4n $ dan $ 4y + 3x = 3m - 4n $.
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ 4y - 3x = -3m - 4n \rightarrow 4y - 3.0 = -3m - 4n \rightarrow 4y = -3m - 4n \rightarrow y = -\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
$ 4y + 3x = 3m - 4n \rightarrow 4y + 3.0 = 3m - 4n \rightarrow 4y = 3m - 4n \rightarrow y = \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu Y adalah $ A(0,-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n ) $ dan $ B(0, \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = (\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) - (-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) = \frac{6}{4}m = \frac{3}{2}m $.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah $ \frac{3}{2}m $ satuan.

5). Tentukan titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
$ \begin{align} 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 & = 0 \\ 3x^2 - 12x - 2y^2 - 4y & = -4 \\ 3(x^2 -4x) - 2(y^2 + 2y) & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 2^2] - 2[(y + 1)^2 - 1^2] & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 4] - 2[(y + 1)^2 - 1 ] & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 12 - 2(y + 1)^2 + 2 & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 2(y + 1)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ \frac{3(x-2)^2 }{6} - \frac{2(y + 1)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x-2)^2 }{2} - \frac{(y + 1)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Titik pusat hiperbola : $ (p,q) = ( 2, - 1 ) $
*). Titik potong kedua persamaan asimtot adalah titik pusat persamaan hiperbolanya yaitu $ (2,-1) $.
Jadi, titik potong kedua asimtot adalah $ (2,-1) $.

6). Jika titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny = 2m^2 - 3n^2 + 6 $ adalah $ (m-4, -n+2) $, maka tentukan nilai $ m^2 + n^2 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan :
$ \begin{align} -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny & = 2m^2 - 3n^2 + 6 \\ -2x^2 - 4mx - 2m^2 + 3y^2 - 6ny + 3n^2 & = 6 \\ -2(x^2 + 2mx +m^2) + 3(y^2 - 2ny + n^2 ) & = 6 \\ -2(x+m)^2 + 3(y-n)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ -\frac{2(x+m)^2}{6} + \frac{3(y-n)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ -\frac{(x+m)^2}{3} + \frac{(y-n)^2}{2} & = 1 \end{align} $
Titik pusatnya : $ (p,q) = (-m , n) $
*). Titik potong kedua asimtot adalah titik pusat yaitu $ (-m,n) $.
*). Pada soal juga diketahui bahwa titik potong kedua asimtot adalah $ (m-4,-n+2) $, sehingga kedua titik potong tersebut sama yaitu :
$ \begin{align} (-m , n) & = (m-4,-n+2) \\ -m & = m - 4 \rightarrow 2m = 4 \rightarrow m = 2 \\ n & = -n + 2 \rightarrow 2n = 2 \rightarrow n = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ m^2 + n^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $ .
Jadi, nilai $ m^2 + n^2 = 5 $.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Asimtot Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva

         Blog Koma - Pada materi "persamaan garis singgung hiperbola", ada tiga jenis garis singgungnya dimana jenis pertama dan jenis kedua sudah kita bahas di dalam artikel tersebut . Nah, pada artikel ini kita masih melanjutkan pembahasan garis singgung Hiperbola jenis ketiga yaitu Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva. Mengingatkan kembali, tiga jenis garis singgung Hiperbola yaitu pertama : persamaan garis singgung melalui titik $(x_1,y_1) $ dimana titik ini ada pada Hiperbola, kedua : persamaan garis singgung diketahui gradiennya $(m)$, dan ketiga garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini ada di luar kurva Hiperbola yang akan kita bahas pada artikel berjudul Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva ini. Pembahasan Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva sengaja kita bahas pada artikel tersendiri karena bertujuan untuk menyederhanakan cakupan pembelajaran sehingga artikelnya tidak terlalu panjang. Ada tiga cara yang akan kita gunakan untuk menentukan Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva.

         Sebelum kita mempelajari materi Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva ini, kita harus memahami terlebih dahulu materi "persamaan Hiperbola", "persamaan garis lurus", "kedudukan garis terhadap Hiperbola", "kedudukan titik terhadap Hiperbola", dan "persamaan garis singgung Hiperbola" tipe pertama dan tipe kedua yang sudah kita pelajari sebelumnya karena kita akan menggunakan cara-cara tersebut juga dalam menentukan persamaan garis singgung bentuk ketiga ini.

Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
       Persamaan Garis singgung Hiperbola ketiga ini adalah garis singgung melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada di luar kurva Hiperbola, sehingga akan terbentuk dua garis singgung seperti tampak pada gambar di atas. Ada tiga cara menentukan Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva, sebagai berikut :
Cara Pertama Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\spadesuit \, $ Cara Pertama, Syarat garis menyinggung Hiperbola : $ D = 0 $
Langkah-langkah cara pertama (Cara Diskriminan):
(1). Misalkan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $, substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke garis singgung tersebut sehingga kita peroleh bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $
(2). Substitusi bentuk $ y = mx + y_1 - mx_1 $ ke persamaan Hiperbola, dan kita ubah menjadi bentuk persamaan kuadrat.
(3). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat $ D = 0 $
(4). Substitusi nilai $ m $ ke persamaan $ y = mx + y_1 - mx_1 $ yang merupakan persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Nilai $ D = b^2 - 4ac $ dari persamaan kuadrat yang terbentuk.
Silahkan baca syarat garis menyinggung Hiperbola pada artikel "Kedudukan garis terhadap Hiperbola".

Cara Kedua Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\clubsuit \, $ Cara Kedua, Menggunakan PGSH Kedua
Langkah-langkah cara kedua (PGSH kedua):
(1). Menentukan rumus garis singgung yang akan digunakan :
-). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
-). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang ada dibagian positif.
-). Jika titik pusat Hiperbolanya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $ .

(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan garis singgung dari langkah (1) dan kita tentukan nilai $ m $.
(3). Nilai $ m $ yang kita peroleh substitusi ke persamaan garis singgun dari langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Silahkan baca tentang PGSH Kedua pada artikel "Persamaan garis singgung Hiperbola" sebelumnya.

Cara Ketiga Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva
$\heartsuit \, $ Cara Ketiga, Menggunakan PGSH Pertama
Langkah-langkah cara ketiga (PGSH Pertama):
(1). Lakukan CARA BAGI ADIL pada persamaan Hiperbola yang diketahui,
(2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) $ ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), sehingga kita peroleh bentuk persamaan garis,
(3). Menentukan titik potong antara persamaan garis pada langkah (2) dengan persamaan Hiperbola, titik potong yang kita peroleh adalah sebagai titik singgung antara garis dan Hiperbola.
(4). Substitusi masing-masing titik potong ke persamaan BAGI ADIL pada langkah (1), itulah persamaan garis singgung Hiperbolanya.
Silahkan baca tentang PGSH Pertama (CARA BAGI ADIL) pada artikel "Persamaan garis singgung Hiperbola" sebelumnya.

Contoh Soal Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva :

Contoh 1). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $ di titik $ (2,-2) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (2,-2) $ terhadap Hiperbolanya :
$ \begin{align} (x,y)=(2,-2) \rightarrow \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(2 - 1)^2}{6} - \frac{(-2)^2}{8} & ... 1 \\ \frac{1}{6} - \frac{4}{8} & ... 1 \\ \frac{1}{6} - \frac{1}{2} & ... 1 \\ \frac{1}{6} - \frac{3}{6} & ... 1 \\ -\frac{2}{6} & ... 1 \\ -\frac{1}{3} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ < $ ruas kiri, maka titik $ (2,-2) $ ada di luar Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $ .
Silahkan baca : "Kedudukan titik terhadap Hiperbola"
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar Hiperbola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :

CARA PERTAMA : Cara Diskriminan
Langkah (1). Misalkan persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + c $,
-). Substitusi titik $ (x,y) = (2,-2) $ ke garis singgung :
$ \begin{align} y & = mx + c \\ -2 & = m.2 + c \\ c & = -2 - 2m \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx - 2-2m $.
Langkah (2). Substitusi $ y = mx - 2 - 2m $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{(mx - 2 - 2m)^2}{8} & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 24)} \\ 4(x - 1)^2 - 3(mx - 2 - 2m)^2 & = 24 \\ 4(x^2 - 2x + 1) - 3(m^2x^2 - 4(1 + m)mx + (2+2m)^2) & = 24 \\ 4x^2 - 8x + 4 - 3m^2x^2 + 12(1 + m)mx - 3(2+2m)^2 & = 24 \\ (4 - 3m^2)x^2 + [12(1 + m)m - 8]x - [3(2+2m)^2 + 20] & = 0 \\ a = 4 - 3m^2, b = 12(1 + m)m - 8, c & = - [3(2+2m)^2 + 20] \end{align} $
Langkah (3). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [12(1 + m)m - 8]^2 - 4.(4 - 3m^2).(- [3(2+2m)^2 + 20]) & = 0 \end{align} $
Ternyata pada langkah (3) ini sangat sulit bagi kita untuk menentukan nilai $ m $ nya, hal ini terjadi karena persamaan Hiperbola kedua variabelnya yaitu $ x $ dan $ y $ berbentuk kuadrat sehingga ketika kita substitusi persamaan garis singgunggnya maka setelah kita kuadratkan menghasikan bentuk yang agak rumit. Namun bukan berarti tidak bisa dikerjakan, silahkan coba teman-teman lanjutkan pengerjaan langkah (3) untuk mencari nilai $ m $, setelah itu lanjutkan ke langkah (4). Sebagai bantuan, nilai $ m $ nya adalah $ m = 2 $ dan $ m = -\frac{6}{5} $.

SARAN : Untuk garis singgung Hiperbola titik diluar kurva, sebaiknya jangan menggunakan cara pertama ini karena sulit dalam penghitungan mencari nilai $ m $.

CARA KEDUA : Menggunakan PGSH Kedua
Langkah (1). Menentukan garis singgung yang akan digunakan :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $
-). Dari persamaan Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $
$ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 8 $.
INGAT : nilai $ a^2 $ adalah nilai yang ada dibagian positif.
*). Karena $ a $ ada di bawah $ x $, maka
PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
Karena ada titik pusat $ (p,q) $ , maka
PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
-). Substitusi $ a^2 = 6 $ dan $ b^2 = 8 $ ke garisnya :
$ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \rightarrow y = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x,y) = (2,-2) $ ke garisnya :
$ \begin{align} y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ -2 & = m(2-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ -2 & = m \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ \pm \sqrt{6m^2 - 8} & = m + 2 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 6m^2 - 8 & = m^2 + 4m + 4 \\ 5m^2 - 4m - 12 & = 0 \\ (5m + 6 )(m-2) & = 0 \\ m = -\frac{6}{5} \vee m & = 2 \end{align} $
Langkah (3). Substitusi nilai $ m = -\frac{6}{5} $ atau $ m = 2 $ ke garis singgungnya :
$ \begin{align} m = 2 \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ y & = 2(x-1) \pm \sqrt{6.(2)^2 - 8} \\ y & = 2x - 2 \pm \sqrt{16} \\ y & = 2x-2 \pm 4 \\ y & = 2x-2 + 4 \vee y = 2x-2 - 4 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x-6 \\ m = -\frac{6}{5} \rightarrow y & = m(x-1) \pm \sqrt{6m^2 - 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{6.(-\frac{6}{5})^2 - 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{216}{25} - 8} \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \sqrt{ \frac{16}{25} } \\ y & = -\frac{6}{5}(x-1) \pm \frac{4}{5} \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y & = -6(x-1) \pm 4 \\ 5y & = -6x + 6 \pm 4 \\ 5y & = -6x + 6 + 4 \vee 5y = -6x + 6 - 4 \\ 5y & = -6x + 10 \vee 5y = -6x + 2 \end{align} $
Dari keempat garis singgung yang kita peroleh di atas, hanya dua saja yang memenuhi jawaban yaitu garis singgung yang melalui titik $(2,-2)$. Garis singgung tersebut adalah $ y = 2x - 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2x - 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.

CARA KETIGA : Menggunakan PGSH Ketiga
Langkah (1). Menentukanpersamaa BAGI ADIL
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)(x_1 - 1)}{6} - \frac{y.y_1}{8} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 24)} \\ 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \end{align} $
Langkah (2). Substitusi titik $ (x_1,y_1) = (2,-2) $ ke persamaan bagi adil :
$ \begin{align} 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x - 1)(2 - 1) - 3y.(-2) & = 24 \\ 4(x - 1) + 6y & = 24 \\ 4x - 4 + 6y & = 24 \\ 4x + 6y & = 28 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2x + 3y & = 14 \\ y & = \frac{14 - 2x}{3} \end{align} $
Langkah (3). Menentukan titik potong garis $ y = \frac{14 - 2x}{3} $ dengan Hiperbola $ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} = 1 $ dengan cara substitusi garis ke Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{y^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{(\frac{14 - 2x}{3} )^2}{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{ \frac{(14 - 2x)^2}{9} }{8} & = 1 \\ \frac{(x - 1)^2}{6} - \frac{(14 - 2x)^2}{72} & = 1 \, \, \, \, \text{(kali 72)} \\ 12(x - 1)^2 - (14 - 2x)^2 & = 72 \\ 12(x^2 - 2x + 1) - (4x^2 - 56x + 196) & = 72 \\ 12x^2 - 24x + 12 - 4x^2 + 56x - 196 & = 72 \\ 8x^2 + 32x - 256 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ x^2 + 4x - 32 & = 0 \\ (x +8)(x - 4) & = 0 \\ x = -8 \vee x & = 4 \end{align} $
Untuk $ x = -8 \rightarrow y = \frac{14 - 2x}{3} = \frac{14 - 2(-8)}{3} = \frac{30}{3} = 10 $
Untuk $ x = 4 \rightarrow y = \frac{14 - 2x}{3} = \frac{14 - 2.4}{3} = \frac{6}{3} = 2 $
Titik singgungnya adalah $ (-8,10 ) $ dan $ (4,2) $.
Langkah (4). Substitusi titik singgung ke persamaan Bagi Adil :
$ \begin{align} \text{untuk } (x_1,y_1) & = (-8,10) \rightarrow \\ 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x - 1)(-8 - 1) - 3y.10 & = 24 \\ 4(x - 1)(-9) - 30y & = 24 \\ -36(x - 1) - 30y & = 24 \\ -36x + 36 - 30y & = 24 \\ -36x - 30y & = -12 \, \, \, \, \text{(bagi -6)} \\ 6x + 5y & = 2 \\ 5y & = -6x + 2 \\ \text{untuk } (x_1,y_1) & = (4,2) \rightarrow \\ 4(x - 1)(x_1 - 1) - 3y.y_1 & = 24 \\ 4(x - 1)(4 - 1) - 3y.2 & = 24 \\ 12(x - 1) - 6y & = 24 \\ 12x - 12 - 6y & = 24 \\ 12x - 6y & = 36 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ 2x - y & = 6 \\ y & = 2x - 6 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ y = 2x - 6 $ dan $ 5y = -6x + 2 $.

Berikut ilustrasi kurva dan garis singgung untuk contoh soal nomor 1.

Contoh 2). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{12} - \frac{(y - 2)^2}{3} = 1 $ di titik $ (1,4) $!
Penyelesaian :
*). Kita cek dulu kedudukan titik $ (1,4) $ terhadap Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{12} - \frac{(y - 2)^2}{3} & = 1 \\ \frac{(1+1)^2}{12} - \frac{(4 - 2)^2}{3} & ... 1 \\ \frac{4}{12} - \frac{4}{3} & ... 1 \\ \frac{1}{3} - \frac{4}{3} & ... 1 \\ - \frac{3}{3} & ... 1 \\ - 1 & ... 1 \\ - 1 & < 1 \end{align} $
Karena ruas kanan $ < $ ruas kiri, maka titik $ (1,4) $ ada di luar Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{12} - \frac{(y - 2)^2}{3} = 1 $ .
*). Karena titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar Hiperbola, maka ada tiga cara untuk menentukan persamaan garis singgungnya. Untuk langkah berikutnya silahkan teman-teman coba sendiri ya sebagai bahan latihan. Semoga sukses dan bisa mengerjakannya.

       Demikian pembahasan materi Garis Singgung Hiperbola Titik Diluar Kurva dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Persamaan Garis Singgung Hiperbola

         Blog Koma - Tiba pada artikel ketiga jenis "irisan kerucut" yaitu "Hiperbola". Salah satu materi yang terkait dengan "persamaan hiperbola" adalah Persamaan Garis Singgung Hiperbola. Pada artikel ini kita akan fokus pada materi Persamaan Garis Singgung Hiperbola. Sebelumnya juga telah kita bahas materi "Persamaan Garis Singgung Parabola" dan "Persamaan Garis Singgung Elips". Persamaan Garis Singgung Hiperbola kita bagi menjadi tiga jenis berdasarkan yang diketahui pada soal yaitu pertama : garis singgung Hiperbola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik ini berada pada Hiperbola, kedua : garis singgung Hiperbola yang diketahui gradiennya, dan ketiga : garis singgung Hiperbola yang melalui suatu titik dan titik tersebut tidak berada pada Hiperbola melainkan di luar kurva Hiperbola. Untuk ilustrasi ketiga garis singgung Hiperbola tersebut, perhatikan gambar di bawah ini. Materi lain yang juga terkait langsung dengan Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu "kedudukan titik terhadap hiperbola" dan "kedudukan garis terhadap hiperbola".

         Sebelum mempelajari materi Persamaan Garis Singgung Hiperbola ini, kita sebaiknya menguasai beberapa materi dasar yaitu "persamaan Hiperbola", "kedudukan titik terhadap Hiperbola", "kedudukan garis terhadap Hiperbola", "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus", dan "Hubungan Dua Garis Lurus".

Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Pertama
       Jenis pertama Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola melalui titik $ (x_1,y_1) $ dimana titik tersebut ada pada Hiperbola. Titik $ (x_1,y_1) $ ini disebut sebagai titik singgungnya. Berikut bentuk persamaan garis singgung Hiperbolanya :
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ \frac{x.x_1}{a^2} - \frac{y.y_1}{b^2} = 1 $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ -\frac{x.x_1}{b^2} + \frac{y.y_1}{a^2} = 1 $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ \frac{(x-p).(x_1-p)}{a^2} - \frac{(y-q).(y_1-q)}{b^2} = 1 $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ -\frac{(x-p).(x_1-p)}{b^2} + \frac{(y-q).(y_1-q)}{a^2} = 1 $

Catatan :
-). Dalam PGSH Pertama ini, kita harus pastikan terlebih dahulu apakah titik $ (x_1,y_1) $ ada pada Hiperbola (dilalui oleh Hiperbola) atau tidak. Silahkan baca "Kedudukan Titik Terhadap Hiperbola".
-). Trik Mudah mengingat rumus persamaan garis singgung Hiperbola yang diketahui titik singgung $(x_1,y_1)$ : Persamaan garis singgung Hiperbola yang diketahui titik singgungnya, kita gunakan yang namanya CARA BAGI ADIL. CARA BAGI ADIL yaitu jika ada bentuk kuadrat maka kita ubah menjadi perkalian, dan jika ada pangkat satu maka kita ubah menjadi penjumlahan dan dibagi dua. Berikut penjabaran CARA BAGI ADIL Persamaan Garis Singgung Hiperbola :
$ x^2 \, $ menjadi $ x.x_1 $
$ y^2 \, $ menjadi $ y.y_1 $
$ x \, $ menjadi $ \frac{x+x_1}{2} $
$ y \, $ menjadi $ \frac{y+y_1}{2} $
$ (x-p)^2 \, $ menjadi $ (x-p)(x_1-p) $
$ (y-q)^2 \, $ menjadi $ (y-q)(y_1-q) $
Untuk lebih mudah dalam memahaminya, mari kita pelajari contoh berikut ini.

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH Pertama) :

1). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} = 1 $ di titik $(4,1)$!
Penyelesaian :
*). Kita cek kedudukan titik $ (4,1)$ pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} = 1 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (4,1) \rightarrow \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{4^2}{12} - \frac{1^2}{3} & ... 1 \\ \frac{16}{12} - \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{4}{3} - \frac{1}{3} & ... 1 \\ \frac{3}{3} & ... 1 \\ 1 & ... 1 \\ 1 & = 1 \\ \end{align} $
Karena hasilnya ruas kiri $ = $ ruas kanan (ruas kiri = 1 dan ruas kanan = 1), maka titik $ (4,1)$ ada pada Hiperbola $ \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} = 1 $ sehingga untuk menentukan PGSH-nya bisa menggunakan CARA BAGI ADIL.
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (4,1) $
$ \begin{align} \frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{3} & = 1 \\ \frac{x.x_1}{12} - \frac{y.y_1}{3} & = 1 \\ \frac{x.4}{12} - \frac{y.1}{3} & = 1 \\ \frac{x }{3} - \frac{y}{3} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x - y & = 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x - y = 3 $.
*). Ilustrasi gambarnya :

Catatan :
-). Untuk contoh soal berikutnya yang terkait dengan PGSH Pertama ini, titik yang dilalui oleh Hiperbola selalu ada pada Hiperbola sehingga kita tidak perlu mengecek kedudukan titik tersebut lagi. Namun jika teman-teman ingin mengecek kedudukan titiknya, kami persilahkan untuk mencobanya sendiri.

2). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ -\frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{30} = 1 $ di titik $(0,-4)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (0,-4) $
$ \begin{align} -\frac{(x+1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{30} & = 1 \\ -\frac{(x+1)(x_1+1)}{5} + \frac{(y-2)(y_1-2)}{30} & = 1 \\ -\frac{(x+1)(0+1)}{5} + \frac{(y-2)(-4-2)}{30} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{(y-2)(-6)}{20} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{-(y-2) }{5} & = 1 \\ -\frac{x+1}{5} + \frac{-y + 2}{5} & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ -(x+1) + (-y + 2) & = 5 \\ -x- y & = 4 \\ x+ y & = -4 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x + y = -4 $.
*). Ilustrasi gambarnya :

3). Tentukan Persamaan Garis singgung di titik yang berabsis 1 pada Hiperbola $ -3x^2 + 2y^2 = 29 $!
Penyelesaian :
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi absis yaitu $ x = 1 $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3.1^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3 + 2y^2 & = 29 \\ 2y^2 & = 32 \\ y^2 & = 16 \\ y & = \pm \sqrt{16} \\ y & = \pm 4 \end{align} $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (1, 4 ) $ dan $ (x_2,y_2) = (1,-4) $
(ada dua titik singgungnya, sehingga garis singgungnya juga ada dua).
*). Menentukan PGSH :
-). Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (1,4) $
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3x.x_1 + 2y.y_1 & = 29 \\ -3x.1 + 2y.4 & = 29 \\ -3x + 8y & = 29 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgung pertamanya adalah $ -3x + 8y = 29 $ .
-). Titik singgungnya $ (x_2,y_2) = (1,-4) $
$ \begin{align} -3x^2 + 2y^2 & = 29 \\ -3x.x_1 + 2y.y_1 & = 29 \\ -3x.1 + 2y.(-4) & = 29 \\ -3x - 8y & = 29 \end{align} $
Sehingga persamaan garis singgung keduanya adalah $ -3x - 8y = 29 $ .
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ -3x + 8y = 29 $ dan $ -3x - 8y = 29$.
*). Ilustrasi gambarnya :


4). Tentukan Persamaan Garis singgung pada Hiperbola $ 2x^2 - 3y^2 - 8x - 6y = 13 $ di titik $(-1,-1)$!
Penyelesaian :
*). Menentukan PGSH :
Titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (-1,-1) $
$ \begin{align} 2x^2 - 3y^2 - 8x - 6y & = 13 \\ 2x.x_1 - 3y.y_1 - 8.\frac{x+x_1}{2} - 6.\frac{y+y_1}{2} & = 13 \\ 2x.x_1 - 3y.y_1 - 4(x+x_1) - 3(y+y_1) & = 13 \\ 2x.(-1) - 3y.(-1) - 4(x+(-1)) - 3(y+(-1)) & = 13 \\ -2x + 3y - 4(x-1) - 3(y -1) & = 13 \\ -2x + 3y - 4x + 4 - 3y + 3 & = 13 \\ -6x & = 6 \\ x & = -1 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ x = -1 $.
*). Ilustrasi gambarnya :


Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Kedua
       Jenis Kedua Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola yang diketahui gradiennya ($m$). Berikut bentuk persamaan garis singgung Hiperbolanya :
1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
2). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
3). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $

Catatan :
-). Gradien garis $ px + qy + r = 0 $ adalah $ m = \frac{-p}{q} $. Dua garis sejajar memiliki gradien sama, dan dua garis tegak lurus maka perkalian gradien kedua garis sama dengan $ - 1 $.
-). Trik mudah mengingat persamaan garis singgung diketahui gradiennya : Kita cukup mengingat dua bentuk rumusnya saja tergantung dari letak $ a $, apakah ada di bawah $ x $ atau di bawah $ y $, yaitu :
1). Jika $ a $ di bawah $ x $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
2). Jika $ a $ di bawah $ y $ , maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
dengan nilai $ a $ adalah yang ada dibagian positif.
-). Jika titik pusat Hiperbolanya $(p,q) $ , maka variabel $ x $ dan $ y $ masing-masing kita kurangkan dengan $ p $ dan $ q $ sehingga bentuknya $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $ atau $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $ .

Contoh Soal Persamaan garis singgung Hiperbola (PGSH Kedua) :

5). Tentukan persamaan garis singgung Hiperbola pada :
a). Hiperbola $ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
b). Hiperbola $ -\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{12} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
Penyelesaian :
a). Hiperbola $ \frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 1 $ dengan gradien $ 2 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 2 $ dan $ b^2 = 4 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = 2 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{2.2^2 - 4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{2.4 - 4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4} \\ y & = 2x \pm 2 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x - 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = 2x + 2 $ dan $ y = 2x - 2$.
*). Ilustrasi gambarnya :

b). Hiperbola $ -\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{12} = 1 $ dengan gradien $ -1 $
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 12 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} \\ y & = -1.x \pm \sqrt{12 - 3.(-1)^2} \\ y & = -x \pm \sqrt{12 - 3} \\ y & = -x \pm \sqrt{9} \\ y & = -x \pm 3 \\ y & = -x + 3 \vee y = -x - 3 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = -x + 3 $ dan $ y = -x - 3 $.
*). Ilustrasi gambarnya :

6). Tentukan persamaan garis singgung Hiperbola $ \frac{(x+2)^2}{2} - \frac{(y-3)^2}{6} = 1 $ dengan gradien $ \sqrt{5} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 2 $ dan $ b^2 = 6 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ (y-q) = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = \sqrt{5} \rightarrow m^2 = 5 $ :
$ \begin{align} (y-q) & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} \\ (y-3) & = \sqrt{5}(x+2) \pm \sqrt{2.5 - 6} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm \sqrt{4} \\ (y-3) & = \sqrt{5}x+2\sqrt{5} \pm 2 \\ y & = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = \sqrt{5}x+ 2\sqrt{5} + 3 \pm 2 $.

7). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ \frac{(x-4)^2}{24} - \frac{(y+5)^2}{2} $ yang sejajar dengan garis $ x + 2y = -12 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ x + 2y = -12 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung sejajar, maka gradiennya sama yaitu $ m = -\frac{1}{2} $.
Silahkan baca artikel : "Hubungan dua garis lurus".
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 24 $ dan $ b^2 = 2 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ x $ maka PGSH-nya : $ y-q = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -\frac{1}{2} \rightarrow m^2 = \frac{1}{4} $ :
$ \begin{align} y-q & = m(x-p) \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2 } \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{24. \frac{1}{4}- 2} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm \sqrt{6 - 2} \\ y+5 & = -\frac{1}{2}(x-4) \pm 2 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2y+10 & = - (x-4) \pm 4 \\ 2y+10 & = - x+ 4 \pm 4 \\ 2y & = - x+ 4 - 10 \pm 4 \\ x + 2y & = -6 \pm 4 \end{align} $
pertama : $ x + 2y = -6 + 4 \rightarrow x + 2y = -2 $
pertama : $ x + 2y = -6 - 4 \rightarrow x + 2y = -10 $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya $ x + 2y = -2 $ atau $ x + 2y = -10 $.

8). Tentukan persamaan garis singgung pada parabola $ -\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{6} = 1 $ yang tegak lurus dengan garis $ -x - 2y = 3 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien garis singgungnya :
-). Gradien garis $ -x - 2y = 3 \rightarrow m_1 = \frac{-(-1)}{-2} = - \frac{1}{2} $
-). Karena garis singgung tegak lurus, maka .
$ m_1 . m_2 = -1 \rightarrow - \frac{1}{2} . m_2 = - 1 \rightarrow m_2 = 2 $.
Artinya gradien garis singgungnya adalah $ m = 2 $.
*). Menentukan nilai $ a^2 $ dan $ b^2 $ :
dari persamaan, nilai $ a^2 = 16 $ dan $ b^2 = 3 $.
Karena nilai $ a $ di bawah $ y $ maka PGSH-nya : $ y = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} $
*). Menentukan PGSH dengan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx \pm \sqrt{a^2 - b^2m^2} \\ y & = 2x \pm \sqrt{16 - 3.4} \\ y & = 2x \pm \sqrt{4} \\ y & = 2x \pm 2 \\ y & = 2x + 2 \vee y = 2x - 2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung Hiperbolanya : $ y = 2x + 2 $ dan $ y = 2x - 2 $.

9). Tentukan persamaan garis singgung pada Hiperbola $ -11x^2 + y^2 + 22x + 4y - 8 = 0 $ yang tegak lurus dengan garis $ x- 3y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk mengerjakan contoh soal (9) ini, pertama kita ubah dulu bentuk $ -11x^2 + y^2 + 22x + 4y - 8 = 0 $ menjadi persamaan Hiperbola standar dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh soal nomor (8) di atas. Silahkan teman-teman coba sendiri ya, ^_^ , sebagai latihan saja.

Persamaan Garis Singgung Hiperbola (PGSH) Ketiga
       Jenis Ketiga Persamaan Garis Singgung Hiperbola yaitu garis singgung Hiperbola yang melalui titik $ (x_1,y_1) $ yang terletak di luar kurva Hiperbola.

-). Untuk bentuk PGSH Ketiga ini akan kita lanjutkan pada artikel yang lainnya karena penjelasannya cukup panjang. SIlahkan baca PGSH jenis ketiga ini pada artikel "Garis Singgung Hiperbola titik diluar".

       Demikian pembahasan materi Persamaan Garis Singgung Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Kedudukan Garis terhadap Hiperbola

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "kedudukan titik terhadap Hiperbola" yang berkaitan langsung dengan "persamaan garis singgung Hiperbola" pada "persamaan Hiperbola", materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola juga sebagai landasan dalam mempelajari materi persamaan garis singgung Hiperbola. Kedudukan Garis terhadap Hiperbola caranya hampir sama dengan materi sebelumnya yang sudah kita pelajari yaitu "kedudukan garis terhadap parabola" dan "kedudukan garis terhadap elips". Kedudukan Garis terhadap Hiperbola ada tiga jenis kemungkinan yaitu pertama : garis memotong kurva Hiperbola di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung Hiperbola (memotong Hiperbola di satu titik), dan ketiga : garis tidak memotong kurva Hiperbola. Untuk mengetahui dari ketiga jenis kedudukan garis terhadap Hiperbola tersebut, masing-masing memiliki syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada materi persamaan kuadrat atau fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ . Berikut ilustrasi ketiga jenis Kedudukan Garis terhadap Hiperbola dalam bentuk ringkasan gambar.

         Materi-materi dasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola ini yaitu "persamaan Hiperbola", "persamaan garis lurus", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Berikut penjelasan syarat-syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Hiperbola
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap Hiperbola yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong Hiperbola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung Hiperbola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong Hiperbola.

Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap Hiperbola :
1). Substitusi garis ke Hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap Hiperbola di atas.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Hiperbola :

1). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 2 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{((x+2) -2)^2}{4} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{x^2}{4} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64 \times \frac{(x+1)^2}{16} - 64 \times\frac{x^2}{4} & = 1 \times 64 \\ 4(x+1)^2 - 16x^2 & = 64 \\ 4(x^2 + 2x + 1) - 16x^2 & = 64 \\ 4x^2 + 8x + 4 - 16x^2 & = 64 \\ -12x^2 + 8x - 60 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ -3x^2 + 2x - 15 & = 0 \\ a = -3 , b = 2 , c & = -15 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4. (-3). (-15) = 4 - 180 = -176 $
*). Karena nilai $ D = -176 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 2 $ tidak memotong Hiperbola $ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y -2)^2}{4} = 1 $.

2). Tentukan kedudukan garis $ x - y = 0 $ terhadap Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = 0 \rightarrow y = x $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(x+2)^2}{12} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 12)} \\ -4(x-1)^2 + (x+2)^2 & = 12 \\ -4(x^2 - 2x + 1) + x^2+4x + 4 & = 12 \\ -4x^2 + 8x - 4 + x^2 + 4x + 4 & = 12 \\ -3x^2 + 12x - 12 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -3)} \\ x^2 - 4x + 4 & = 0 \\ a = 1 , b = -4 , c & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4. 1. 4 = 16 - 16 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ x - y = 0 $ menyinggung Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y+2)^2}{12} = 1 $.

3). Tentukan kedudukan garis $ y = x + 4 $ terhadap Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{((x + 4)-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(x + 3)^2}{9} & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 36)} \\ 9(x-1)^2 - 4(x + 3)^2 & = 36 \\ 9(x^2 - 2x + 1) - 4(x^2 + 6x + 9) & = 36 \\ 9x^2 - 18x + 9 - 4x^2 - 24x - 36 & = 36 \\ 5x^2 - 42x -63 & = 0 \\ a = 5 , b = -42 , c & = -63 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4. 5. (-63) = 1764 + 1260 = 3024 $
*). Karena nilai $ D = 3024 >0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap Hiperbola, garis $ y = x + 4 $ memotong Hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} = 1 $ di dua titik yang berbeda.

4). Jika garis $ x - y = k $ menyinggung kurva Hiperbola $ x^2 - 2y^2 = 8 $ , maka tentukan nilai $ k + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = k \rightarrow x = y + k $
*). Substitusi garis ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} x^2 - 2y^2 & = 8 \\ (y + k)^2 - 2y^2 & = 8 \\ y^2 + 2ky + k^2 - 2y^2 & = 8 \\ -y^2 + 2ky + k^2 - 8 & = 0 \\ a = -1 , b = 2k , c & = k^2 - 8 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2k)^2 - 4.(-1). ( k^2 - 8) & = 0 \\ 4k^2 + 4k^2 - 32 & = 0 \\ 8k^2 - 32 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ k^2 - 4 & = 0 \\ k^2 & = 4 \\ k & = \pm 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ k + 1 $ :
$ k = 2 \rightarrow k + 1 = 2 + 1 = 3 $
$ k = -2 \rightarrow k + 1 = -2 + 1 = -1 $
Jadi, nilai $ k + 1 $ adalah 3 atau $ -1 $

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Garis Singgung Hiperbola".

Kedudukan Titik terhadap Hiperbola

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "kedudukan titik terhadap parabola" dan "kedudukan titik terhadap elips", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Kedudukan Titik terhadap Hiperbola, dimana materi ini sangat penting kita bahas karena berkaitan langsung dengan "persamaan garis singgung Hiperbola" dimana titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar kurva Hiperbola. Kedudukan Titik terhadap Hiperbola proses kerjanya hampir sama dengan kedudukan titik terhadap parabola dan elips, hanya saja pada artikel Kedudukan Titik terhadap Hiperbola kita akan melibatkan "persamaan Hiperbola" dan syarat kedudukan titiknya berlawanan dari sebelumnya. Ada tiga jenis Kedudukan Titik terhadap Hiperbola yaitu pertama : titik ada di dalam kurva Hiperbola, kedua : titik ada pada Hiperbola (titik dilalui oleh Hiperbola), dan ketiga : titik ada di luar Hiperbola. Pada pembahasan di halaman ini, kita akan sedikit kembangkan soal-soalnya sehingga selain bisa menentukan kedudukan titik terhadap kurva Hiperbola, kita juga bisa menentukan hal lainnya yang berkaitan syarat kedudukan titik tersebut. Berikut ilustrasi kedudukan titik $ C(x_1,y_1) $ terhadap Hiperbola.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Kedudukan Titik terhadap Hiperbola, kita harus menguasai beberapa materi inti seperti "persamaan Hiperbola", dan "penyelesaian pertidaksamaan". Untuk lebih lengkapnya, mari kita bahas syarat apa saja untuk mengetahui jenis masing-masing kedudukan titik terhadap Hiperbola berikut ini.

Syarat Kedudukan Titik terhadap Hiperbola
       Untuk mengetahui Kedudukan Titik terhadap Hiperbola, kita substitusi titik tersebut ke persamaan Hiperbolanya sehingga akan kita peroleh tiga kemungkinan yaitu :

1). Jika nilai ruas kiri $ < $ ruas kanan (lebih kecil), maka titik ada di luar Hiperbola,

2). Jika nilai ruas kiri $ = $ ruas kanan, maka titik ada pada Hiperbola (titik dilalui oleh Hiperbola),

3). Jika nilai ruas kiri $ > $ ruas kanan (lebih besar), maka titik ada di dalam Hiperbola.
Catatan :
Bentuk persamaan Hiperbolanya harus memenuhi bentuk umumnya, setelah itu baru bisa kita substitusi titik yang mau kita cek kedudukannya terhadap Hiperbola tersebut. Bentuk yang dimaksud adalah $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ atau $ -\frac{(x-p)^2}{b^2}+ \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $ atau $ Ax^2 - By^2 + Cx + Dy + E = 0 $ atau $ -Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 $.

Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Hiperbola :

1). Tentukan kedudukan titik $ (2,-1) $ terhadap Hiperbola $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,-1) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,-1) \rightarrow \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{2^2}{9} - \frac{(-1)^2}{16} & ... 1 \\ \frac{4}{9} - \frac{1}{16} & ... 1 \\ \frac{55}{144} & ... 1 \\ \frac{55}{144} & < 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ < $ ruas kanan ( $ \frac{55}{144} < 1 $) , maka titik $ (2,-1) $ ada di luar Hiperbola. Berikut ilustrasi gambarnya,

2). Tentukan kedudukan titik $ (1,3) $ terhadap Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{25} = 1 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,3) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow -\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+2)^2}{25} & = 1 \\ -\frac{(1-1)^2}{16} + \frac{(3+2)^2}{25} & ... 1 \\ -\frac{0}{16} + \frac{25}{25} & ... 1 \\ 0 + 1 & ... 1 \\ 1 & = 1 \end{align} $
Karena ruas kiri $ = $ ruas kanan ( $ 1 = 1 $) , maka titik $ (1,3) $ ada pada Hiperbola (titik tersebut dilalui oleh kurva Hiperbola). Berikut ilustrasi gambarnya,

3). Tentukan kedudukan titik $ (2,1) $ terhadap Hiperbola $ 9x^2 - 4y^2 + 16y - 20 = 0 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (2,1) $ ke persamaan Hiperbola :
$ \begin{align} (x,y)=(2,1) \rightarrow 9x^2 - 4y^2 + 16y - 20 & = 0 \\ 9(2)^2 - 4.1^2 + 16.1 - 20 & ... 0 \\ 36 - 4 + 16 - 20 & ... 0 \\ 28 & ... 0 \\ 28 & > 0 \end{align} $
Karena ruas kiri $ > $ ruas kanan ( $ 28 > 0 $) , maka titik $ (2,1) $ ada di dalam Hiperbola. Berikut ilustrasi gambarnya,

4). Jika titik $ (3,-2) $ ada pada Hiperbola (dilalui Hiperbola) $ \frac{(x-p)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $ , maka tentukan nilai $ p_1 + p_2 $!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $(3,-1) $ ke persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} (x,y) & = (3,-2) \\ \frac{(x-p)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} - \frac{(-2+2)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} - \frac{0}{9} & = 1 \\ \frac{(3-p)^2}{4} & = 1 \\ (3-p)^2 & = 4 \\ 3-p & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ 3-p = 2 \vee 3 - p & = -2 \\ p_1 = 1 \vee p_2 & = 5 \\ \end{align} $
*). Sehingga nilai :
$ p_1 + p_2 = 1 + 5 = 6 $
Jadi, nilai $ p_1 + p_2 = 6 $.

5). Jika titik $ (1,2) $ ada di luar Hiperbola $ -2x^2 + ky^2 + 3x- 4y + 9 = 0 $ , maka tentukan nilai $ k $ yang memenuhi!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,2) $ dan syarat ada di luar adalah $ < $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,2) \\ -2x^2 + ky^2 + 3x- 4y + 9 & = 0 \\ -2.1^2 + k.2^2 + 3.1- 4.1 + 9 & < 0 \\ -2 + 4k + 3 - 4 + 9 & < 0 \\ 4k + 8 & < 0 \\ 4k & < - 8 \\ k & < -2 \end{align} $
Jadi, nilai $ k $ yang memenuhi adalah $ k < -2 $.

6). Titik $ (1,k) $ ada di dalam Hiperbola $ -\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} = 1 $. Misalkan $ p $ adalah himpunan selain $ k $ yang memenuhi penyelesaian soal. Jika $ M $ menyatakan nilai maksimum dari $ p $ dan $ N $ menyatakan nilai minimum dari $ p $ , maka tentukan nilai $ M - N $ dengan $ M $ dan $ N $ adalah bilangan bulat!
Penyelesaian :
*). Substitusi titik $ (1,k) $ dan syarat ada di dalam adalah $ > $ :
$ \begin{align} (x,y) & = (1,k) \\ -\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(1-1)^2}{4} + \frac{(k+2)^2}{9} & > 1 \\ -\frac{0}{4} + \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & > 1 \\ \frac{k^2 + 4k + 4}{9} & > 1 \\ k^2 + 4k + 4 & > 9 \\ k^2 + 4k -5 & > 0 \\ (k +5)(k-1) & > 0 \\ k = -5 \vee k & = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :
Solusinya : $ \{ k < -5 \vee k > 1 \} $.
Sehingga himpunan $ p $ adalah $ \{ -5 \leq p \leq 1 \} $.
Artinya nilai $ M = 1 $ dan $ N = -5 $.
Sehingga nilai $ M - N = 1 - (-5) = 6 $.
Jadi, nilai $ M - N = 6 $.

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Titik terhadap Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Kedudukan Garis terhadap Hiperbola".

Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya

         Blog Koma - Materi irisan kerucut mencakup lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola, dimana yang sudah kita bahas adalah "persamaan parabola", "persamaan lingkaran", dan "persamaan elips". Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya. Kurva Hiperbola kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan bangun ruang kerucut seperti tampak pada gambar berikut ini. Hiperbola dapat didefinisikan sebagai himpunan semua titik (misalkan titik $P(x,y)$) dimana selisih jarak setiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan anggota himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api ($F_1 $ dan $F_2$) hiperbola dan himpunan semua titik P membentuk kurva Hiperbola. Bagaimana cara menemukan persamaan Hiperbolanya?, silahkan teman-teman baca pada artikel "cara menemukan persamaan Hiperbola". Kurva Hiperbola memiliki dua bentuk tergantung dari sumbu nyatanya yaitu sejajar X dan sejajar Y. Pada artikel ini kita lebih fokus pada Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya yang disertai contoh-contoh soal dan tentu trik mudah dalam mengingat Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya.

Perhatikan ilustrasi kurva Hiperbola dan unsur-unsurnya berikut ini.
Unsur-unsur dari kurva Hiperbola di atas yaitu :
*). Titik $ P(x,y) $ adalah titik sembarang pada Hiperbola sehingga berlaku $ |F_1P| - |F_2P| = 2a $
*). Titik pusat Hiperbola : $ M(0,0) $
*). Titik fokus Hiperbola : $ F_1(-c,0) $ dan $ F_2(c,0) $
*). Sumbu Simetri :
-). Sumbu utama, yaitu sumbu X.
-). Sumbu sekawan, yaitu sumbu Y.
*). Sumbu nyata, yaitu $ AB = 2a $ .
*). Sumbu imajiner, yaitu $ CD = 2b $ .
*). Titik puncak Hiperbola, yaitu titik $ A(-a.0) $ dan $ B(a,0) $ adalah titik potong Hiperbola dengan sumbu nyata
*). Latus rectum adalah garis melalui titik fokus $ F_1 $ dan $ F_2 $ yang tegak lurus dengan sumbu nyata. Pada gambar, garis latus rectumnya adalah garis warna birus. Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} $.
*). Hubungan $ a, b$ , dan $ c $ adalah berlaku pythagoras yaitu $ c^2 = a^2 + b^2 $ pada segitiga $ DMB $.
*). Eksentrisitas $(e)$ adalah perbandingan jarak dua titik fokus dan panjang sumbu nyatanya, sehingga dapat kita tulis rumusnya : $ e = \frac{c}{a} $.
*). Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu nyata yang ditunjukkan oleh garis $ g $ dan gris $ h $. Persamaan direktris masing-masing : garis $ g $ adalah $ x = -\frac{a^2}{c} $ dan garis $ h $ adalah $ x = \frac{a^2}{c} $.
*). Adapun persamaan Hiperbola yang sesuai dengan ilustrasi di atas adalah $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $.

         Sesuai dengan sumbu nyata dan titik pusat, Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya dibagi menjadi empat bagian yaitu :
1). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(0,0) $
2). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
3). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
4). Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
       Pada penjelasan di atas, persamaan Hiperbola jenis (1) sudah kita bahas, tinggal tiga jenis berikutnya.

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(0,0) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 3 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ - \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ (0,0) $
-). Titik Fokus : $ F_1(0,-c) $ dan $ F_2(0,c) $
-). Titik puncak : titik $A(0,-a)$ dan $B(0,a)$ .
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y.
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X.
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} $ dan $ y = \frac{a^2}{c} $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu X dan titik pusat $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 4 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p-c, q) $ dan $ F_2(p+c,q) $
-). Titik puncak : titik $A(p-a,q) \, $ dan $ B(p+a,q)$.
-). Sumbu Utama adalah sumbu X' (garis $ y = q $).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu Y' (garis $ x = p $).
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ dan $ x = \frac{a^2}{c} + p $

Persamaan Hiperbola dengan sumbu nyata sejajar sumbu Y dan titik pusat $ M(p,q) $
$ \spadesuit \, $ Persamaan Hiperbola
       Pada gambar 5 di atas, persamaan Hiperbolanya adalah
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $

$ \clubsuit \, $ Unsur-unsurnya :
-). titik pusat : $ M(p,q) $
-). Titik puncak : $ F_1(p, q - c) $ dan $ F_2(p, q + c) $
-). Titik puncak : titik $A(p, q - a) \, $ dan $ B(p, q + a)$.
-). Sumbu Utama adalah sumbu Y' (garis $ x = p $).
-). Sumbu sekawan adalah sumbu X' (garis $ y = q $).
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{b^2}{a} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} $
-). Persamaan direktris : $ y = -\frac{a^2}{c} + q $ dan $ y = \frac{a^2}{c} + q $

       Ada dua hal yang akan menjadi pertanyaan pada soal yaitu pertama : diketahui persamaan Hiperbolanya dan kita diminta menentukan unsur-unsur Hiperbolanya sekaligus gambar grafiknya, dan yang kedua : diketahui unsur-unsur Hiperbolanya dan kita diminta menentukan persamaan Hiperbolanya.

$ \spadesuit \, $ Trik mudah menentukan unsur-unsur pada Hiperbola yang diketahui persamaan Hiperbolanya
Trik (I) : nilai $ a^2 $ adalah nilai yang ada dibawah bagian positif, sehingga sisanya adalah nilai $ b^2 $.
Trik (II) : Letak nilai $ a^2 $ menentukan sumbu nyatanya. Jika $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbolanya $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $ atau $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika $ a $ ada di bawah sumbu Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbolanya $ -\frac{x^2}{b^2} +\frac{y^2}{a^2} = 1 $ atau $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
Trik (III) : Nilai $ c $ kita tentukan dari $ c^2 = a^2 + b^2 $.
Triks (IV) : Untuk menentukan titik fokus dan titik puncak, kita tinggal menggeser titik pusat $ M(p,q) $ searah sumbu X atau searah sumbu Y. Jika searah sumbu X maka yang berubah bagian $ x $ saja yaitu kekanan ditambah dan ke kiri dikurangkan. Jika searah sumbu Y maka yang berubah bagian $ y $ saja yaitu ke atas ditambahkan dan ke bawah dikurangkan. Ditambah atau dikurangkan tergantung dari besar pergeserannya yaitu $ a $ atau $ c $. Nilai $ c $ selalu menggeser ke titik fokus, nilai $ a $ menggeser ke titik puncak.
Trik (V) : titik fokus dan titik puncak selalu ada di sumbu nyata.

Contoh Soal Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
b). $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bagian $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 16 \rightarrow c^2 = 25 \rightarrow c = 5 $.
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 4 = 8 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.4^2}{3} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{5} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{5} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{5} $ atau $ x = \frac{9}{5} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 5 $:
$ F_1(0-5,0) = (-5,0) $
$ F_2(0+5,0) = (5,0) $
-). Titik Puncak pada sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0-3,0) = (-3,0) $
$ B(0+3,0) = (3,0) $

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -9x^2 + 4y^2 = 36 $
*). Mengubah persamaannya :
$ \begin{align} -9x^2 + 4y^2 & = 36 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ -\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ -\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a , b $ dan $ c $ :
-). Karena bagian $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 4 \rightarrow b = 2 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 9 + 4 \rightarrow c^2 = 13 \rightarrow c = \sqrt{13} $.
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ -\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 3 = 6 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 2 = 4 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.2^2}{3} = \frac{8}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} = - \frac{9}{\sqrt{13}} \, $ atau $ x = \frac{a^2}{c} = \frac{9}{\sqrt{13}} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{9}{\sqrt{13}} $ atau $ x = \frac{9}{\sqrt{13}} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (0,0) $
-). Titik fokus pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = \sqrt{13} $:
$ F_1(0,0-\sqrt{13}) = (0,-\sqrt{13}) $
$ F_2(0,0+\sqrt{13}) = (0,\sqrt{13}) $
-). Titik Puncak pada sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 3 $:
$ A(0,0-3) = (0,-3) $
$ B(0,0+3) = (0,3) $

2). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola berikut ini :
a). $ \frac{(x+1)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
b). $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
Penyelesaian :
a). Persamaan Hiperbolanya : $ frac{(x+1)^2}{36} - \frac{(y-2)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bagian $ x $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ x $.
$ a^2 = 36 \rightarrow a = 6 $
$ b^2 = 64 \rightarrow b = 8 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 36 + 64 \rightarrow c^2 = 100 \rightarrow c = 10 $.
$ x - p = x + 1 \rightarrow p = -1 $
$ y - q = y - 2 \rightarrow q = 2 $
*). Karena $ a $ ada di bawah X, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu X, sehingga persamaaan yang dipakai $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 6 = 12 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 8 = 16 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.8^2}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $
-). Persamaan direktris :
$ x = -\frac{a^2}{c} + p = - \frac{6^2}{10} + (-1) = - \frac{23}{5} \, $
atau $ x = \frac{a^2}{c} + p = \frac{6^2}{10} + (-1) = \frac{8}{5} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = - \frac{23}{5} $ atau $ x = \frac{8}{5} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (-1,2) $
-). Titik fokus sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ c = 10 $:
$ F_1(-1-10,2) = (-11,2) $
$ F_2(-1+10,2) = (9,2) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu X (sumbu nyata), $ x $ nya berubah dengan $ a = 6 $:
$ A(-1-6,2) = (-7,2) $
$ B(-1+6,2) = (5,2) $

b). Persamaan Hiperbolanya : $ -\frac{(x-1)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a , b , c , p $ dan $ q $ :
-). Karena bagian $ y $ yang positif, maka $ a^2 $ ada di bawah $ y $.
$ a^2 = 144 \rightarrow a = 12 $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
$ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow c^2 = 144 + 25 \rightarrow c^2 = 169 \rightarrow c = 13 $.
$ x-p = x - 1 \rightarrow p = 1 $
$ y - q = y - 3 \rightarrow q = 3 $
*). Karena $ a $ ada di bawah Y, maka sumbu nyatanya sejajar sumbu Y, sehingga persamaaan yang dipakai $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Menentukan unsur-unsurnya :
-). Panjang sumbu nyata $ = 2a = 2 . 12 = 24 $
-). Panjang sumbu imajiner $ = 2b = 2 . 5 = 10 $
-). Panjang latus rectum $ = \frac{2b^2}{a} = \frac{2.5^2}{12} = \frac{25}{6} $
-). Eksentrisitas : $ e = \frac{c}{a} = \frac{13}{12} $
-). Persamaan direktris :
$ y = -\frac{a^2}{c} + q = - \frac{12^2}{13} + 3 = -\frac{105}{13} \, $
atau $ y = \frac{a^2}{c} + q = \frac{12^2}{13} + 3 = \frac{183}{13} $
sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{105}{13} $ atau $ x = \frac{183}{13} $
-). Titik pusat : $ M(p,q) = (1,3) $
-). Titik fokus sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ c = 13 $:
$ F_1(1, 3 - 13) = (1,-10) $
$ F_2(1,3+13) = (1,16) $
-). Titik Puncak sejajar sumbu Y (sumbu nyata), $ y $ nya berubah dengan $ a = 12 $:
$ A(1,3-12) = (1,-9) $
$ B(1,3+12) = (1,15) $

3). Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu nyata, panjang sumbu imajiner, panjang latus rectum, persamaan direktris, dan nilai eksentrisitasnya dari persamaan Hiperbola $ 9x^2 - 16y^2 + 36x - 32y - 122 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita ubah persamaan Hiperbolanya dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna"
$ \begin{align} 9x^2 - 16y^2 + 36x - 32y - 122 & = 0 \\ 9x^2 + 36x - 16y^2 - 32y & = 122 \\ 9(x^2 + 4x) - 16(y^2 + 2y) & = 122 \\ 9[(x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2] - 16[(y + \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 ] & = 122 \\ 9[(x +2)^2 - 4] - 16[(y + 1)^2 - 1 ] & = 122 \\ 9(x +2)^2 - 36 - 16(y - 1)^2 + 16 & = 122 \\ 9(x +2)^2 - 16(y - 1)^2 & = 122 + 36 - 16 \\ 9(x +2)^2 - 16(y - 1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x +2)^2}{144} - \frac{16(y - 1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x +2)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} & = 1 \end{align} $
*). Langkah berikutnya mirip dengan contoh (2) di atas bagian (a).

$ \clubsuit \, $ Trik mudah menentukan persamaan Hiperbola yang diketahui unsur-unsurnya
       Berikut ada beberapa trik mudah sehingga kita tidak perlu mengingat semua rumus persamaan Hiperbolanya jika diketahui unsur-unsur Hiperbolanya.

i). Diketahui titik fokus, perhatikan bagian $ x $ atau $ y $ kah yang berubah. Jika yang berubah $ x $ nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $. Jika yang berubah $ y $ nya, maka sumbu nyata sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ - \frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
ii). Jarak duat titik fokus dan puncak :
Jarak dua titik fokus $ = 2c $
Jarak dua titik puncak = $ 2a $
iii). gunakan juga teorema pythagoras : $ c^2 = a^2 + b^2 $
iv). Untuk menentukan titik pusat $ M(p,q) $ , kita menggunakan konsep titik tengah antara dua titik. Titik tengah antara titik $ (x_1,y_1) $ dan titik $ (x_2,y_2) $ adalah $ \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) $ . Titik pusat selalu ditengah-tengah antara dua titik fokus dan juga ditengah-tengah antara dua titik puncak.

Contoh soal diketahui unsur-unsur Hiperbola :

4). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3) serta panjang sumbu nyata 2.
b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $ serta panjang sumbu imajiner 4.
Penyelesaian :
a). Titik fokus (2,3) dan (6,3), yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (4,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu nyata = 2 ,
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). Jarak dua fokus = $ 6-2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = b^2 + 1 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-4)^2}{1} - \frac{(y-3)^2}{3} = 1 $.

b). Titik fokus $(-1,-3) $ dan $ (-1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 5}{2} \right) = (-1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Panjang sumbu imajiner = 4 ,
$ 2b = 4 \rightarrow b = 2 $
-). Jarak dua fokus = $ 5 - (-3) = 8 $
$ 2 c = 8 \rightarrow c = 4 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 16 = a^2 + 4 \rightarrow a^2 = 12 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-(-1))^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \\ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{12} = 1 $.

5). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $ serta titik puncaknya $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (-4,1) $ dan $ (6,1) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{-4 + 6}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1,1) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - (-4) = 10 $
$ 2 c = 10 \rightarrow c = 5 $
-). Titik puncak $ (-2,1) $ dan $ (4,1) $.
Jarak dua titik puncak = $ 4 - (-2) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(y-1)^2}{16} = 1 $.

6). Tentukan persamaan Hiperbola yang diketahui titik fokusnya $ (1,1) $ dan $ (1,5) $ serta titik puncaknya $ (1,2) $ dan $ (1,4) $!
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,1) $ dan $ (1,5) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{1 + 5}{2} \right) = (1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 5 - 1 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Titik puncak $ (1,2) $ dan $ (1,4) $.
Jarak dua titik puncak = $ 4 - 2 = 2 $
$ 2a = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-3)^2}{1} = 1 $.

7). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $ serta nilai eksentrisitasnya $ 2 $ !
Penyelesaian :
*). Titik fokus $ (1,2) $ dan $ (1,6) $, yang berubah $ y $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu Y dengan persamaan Hiperbola $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik fokus :
$ (p,q) = \left( \frac{1+1}{2}, \frac{2 + 6}{2} \right) = (1,4) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua fokus = $ 6 - 2 = 4 $
$ 2 c = 4 \rightarrow c = 2 $
-). Eksentrisitas :
$ e = 2 \rightarrow \frac{c}{a} = 2 \rightarrow \frac{2}{a} = 2 \rightarrow a = 1 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 4 = 1 + b^2 \rightarrow b^2 = 3 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-1)^2}{3} + \frac{(y-4)^2}{1} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ -\frac{(x-1)^2}{3} + (y-4)^2 = 1 $.

8). Tentukan persamaan Hiperbola jika diketahui titik puncak $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $ serta salah satu persamaan direktrisnya adalah $ x = -\frac{14}{5} $ !
Penyelesaian :
*). Titik puncak $ (-4,3) $ dan $ (2,3) $, yang berubah $ x $ nya, sehingga sumbu nyatanya sejajar sumbu X dengan persamaan Hiperbola $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $.
*). Titik pusat diantara dua titik Puncak :
$ (p,q) = \left( \frac{-4+2}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = (-1,3) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
-). Jarak dua puncak = $ 2- (-4) = 6 $
$ 2 a = 6 \rightarrow a = 3 $
-). Persamaan direktrisnya $ x = -\frac{14}{5} $ ada di sebelah kiri titik puncak, sehingga persamaan direktrisnya $ x = -\frac{a^2}{c} + p $ :
$ -\frac{a^2}{c} + p = -\frac{14}{5} \rightarrow -\frac{3^2}{c} + (-1) = -\frac{9}{5} -1 \rightarrow -\frac{9}{c} = -\frac{9}{5} \rightarrow c = 5 $
-). $ c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 25 = 9 + b^2 \rightarrow b^2 = 16 $.
*). Menentukan persamaan Hiperbolanya :
$ \begin{align} \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} & = 1 \\ \frac{(x-(-1))^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaan Hiperbolanya $ \frac{(x+1)^2}{9} - \frac{(y-3)^2}{16} = 1 $.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Hiperbola dan Unsur-unsurnya serta contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "kedudukan titik dan garis terhadap Hiperbola".