Tampilkan posting dengan label irisan dua lingkaran. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label irisan dua lingkaran. Tampilkan semua posting

Selasa, 17 Januari 2017

Rangkuman Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran

         Blog Koma - Pada artikel ini kami akan sajikan tentang Rangkuman Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran. Sebelumnya juga sudah ada artikel tentang "Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran". Rangkuman rumus keliling ini bertujuan untuk mempermudah bagi teman-teman karena akan kita kumpulkan semua rumus yang tergantuk dari bentuk irisannya yaitu keliling irisan dua lingkaran bentuk 1, bentuk 2, bentuk 3, dan bentuk 4. Untuk contoh-contoh dan cara menemukan rumusnya, kita bisa langsung ke link masing-masing yang akan tersedia pada setiap akhir rumus. Semoga kumpulan rumus keliling irisan dua lingkaran ini bisa bermanfaat.

Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 1
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 1 yaitu :
i). Jari-jari kedua lingkaran berbeda,
ii). Titik pusat kedua lingkaran dipisah oleh garis perpotongan lingkaran.
*). Rumus Keliling irisannya :
Keliling irisan $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r + \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $

Untuk contoh dan cara penurunan rumusnya, silahkan baca link : Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 1
Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 2 yaitu :
i). Jari-jari kedua lingkaran berbeda,
ii). Titik pusat salah satu lingkaran dilalui oleh garis perpotongan lingkaran.
*). Rumus Keliling irisannya :
Keliling irisan $ = \pi \left( r + \frac{\angle CAD}{180^\circ} . R \right) $

Untuk contoh dan cara penurunan rumusnya, silahkan baca link : Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2
Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 3 yaitu :
i). Jari-jari kedua lingkaran berbeda,
ii). Titik pusat kedua lingkaran ada di sebelah kiri atau kanan dari garis perpotongan lingkaran.
*). Rumus Keliling irisannya :
Keliling irisan $ = \pi \left( \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . r + \frac{y}{180^\circ} . R \right) $

Untuk contoh dan cara penurunan rumusnya, silahkan baca link : Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3
Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 4 yaitu :
1). Jari-jari kedua lingkaran sama,
2). dibagi menjadi dua bentuk yaitu :
i). Titik pusat kedua lingkaran berbeda,
ii). titik pusat kedua lingkaran sama.
*). Rumus Keliling irisan titik pusat berbeda
Keliling irisan $ = \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r $

*). Rumus Keliling irisan titik pusat sama
Keliling irisan $ = 2\pi r $

Untuk contoh dan cara penurunan rumusnya, silahkan baca link : Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4

       Demikian pembahasan materi Rangkuman Rumus Keliling Irisan Dua Lingkaran dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan irisan dua lingkaran dengan mengikuti link yang ada pada artikel terkait disetiap bagian akhir artikel.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4

         Blog Koma - Berikut ini kita akan membahas materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 yang merupakan kelanjutan dari artikel sebelumnya yaitu "Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 1, bentuk 2, dan bentuk 3". Untuk Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 ini memiliki ciri-ciri jari-jari kedua lingkaran sama. Irisan dua lingkaran yang jari-jarinya sama ini dibagi lagi menjadi dua yaitu bagian pertama : titik pusat kedua lingkaran berbeda, dan kedua : titik pusat kedua lingkaran sama. Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari bersama penjelasan berikut ini.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4
       Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 kita begi menjadi dua bagian dengan rumus keliling yang berbeda pula yaitu :

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian pertama
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya. Namun, jari-jari kedua lingkaran sama, secara otomatis sudut kedua busur juga sama (sudut CAD dan sudut CBD), sehingga kita cukup menghitung panjang salah satu busur dan keliling daerah irisannya adalah dua kalinya.
*). Panjang busur CD berdasarkan sudut CAD :
panjang busur = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = 2 $ \times $ panjang busur salah satu.
Keliling irisan = $ 2 \times \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r $

Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r $

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian kedua
karena titik pusat kedua lingkaran sama, maka daerah arsirannya membentuk satu lingkaran (kedua lingkaran saling berimpit menjadi satu), sehingga keliling irisannya sama dengan keliling satu lingkaran.
Keliling irisan = $ 2\pi r $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 1, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
Contoh Soal Keliling irisan dua lingkaran bentuk 4 :
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(1,1)
$ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(0,1)
Titik pusat kedua lingkaran berbeda dan jari-jari sama, sehingga ini adalah bentuk 4 bagian pertama.
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 $
$ L_2 : \, x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2y = 3 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 & \\ x^2 + y^2 - 2y = 3 & - \\ \hline -2x = -1 & \\ x = 0,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 0,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 0,5 \rightarrow x^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (0,5)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 0,25 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3,75 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3,75} \\ y = 1 + \sqrt{3,75} \vee y & = 1 - \sqrt{3,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($0,5;1 + \sqrt{3,75}$ ) dan D($0,5;1 - \sqrt{3,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(0,5-0,5 )^2 + [(1 + \sqrt{3,75}) - (1 - \sqrt{3,75}) ]^2 } = 2\sqrt{3,75} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.(2)^2 - (2\sqrt{3,75})^2}{2.(2)^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 - 15}{8} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-7}{14} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = \frac{\angle CAD}{90^\circ} . \pi . r \\ & = \frac{120^\circ}{90^\circ} .(3,14) . 2 \\ & = \frac{4}{3} .(6,28) \\ & = 8,373 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 8,373 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

2). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 $ dan $ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 $ ?

Penyelesaian :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 \rightarrow r = \sqrt{9} = 3 \, $, pusat(3,-1)
$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 \rightarrow A = -6 , \, B = 2, \ , C = 1 $,
Pusat : $(a,b)=(-\frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (3,-1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9} = 3 $
Karena titik pusat dan jari-jari kedua lingkaran sama, maka daerah irisannya adalah bentuk 4 bagian kedua.
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = 2 \pi . r \\ & = 2 .(3,14) . 3 \\ & = 18,84 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 18,84 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Rangkuman Keliling Irisan Dua Lingkaran.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "keliling irisan dua lingkaran bentuk 1" dan "keliling irisan dua lingkaran bentuk 2", kita lanjutkan pada artikel ini pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3. Adapun bentuk irisan dua lingkaran bentuk 3 yaitu kedua pusat lingkaran berada disebelah kiri garis perpotongan lingkaran atau disebelah kanan (kedua pusat lingkaran berada pada satu ruas terhadap garis perpotongan lingkaran). Seperti biasanya, keliling daerah arsiran irisan dua lingkaran berbentuk busur-busur pada masing-masing kedua lingkaran, sehingga untuk menghitung kelilingnya teman-teman harus mengetahui rumus panjang busur pada lingkaran. Berikut penjelasan menghitung rumus keliling irisannya.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 3 berikut ini.

Dari gambar tersebut, keliling irisan dua lingkaran tersebut adalah penjumlahan dari dua busur yang terbentuk yaitu busur 1 (pada lingkaran kecil) dan busur 2 (pada lingkaran besar). Misalkan jari-jari lingkaran kecil adlah $ r $ dan jari-jari lingkaran besar adalah $ R $. Besar sudut pada busur 1 adalah $ 360^\circ - x $ dan besar sudut busur 2 adalah $ y $.

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 3
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran kecil dengan sudut $ 360^\circ - x $ :
busur 1 = $ \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . \pi . r $
*). Busur 2 pada lingkaran Besar :
busur 2 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . R = \frac{y}{180^\circ} . \pi . R $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . \pi . r + \frac{y}{180^\circ} . \pi . R $

Keliling irisan = $ \pi \left( \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . r + \frac{y}{180^\circ} . R \right) $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 2, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
Contoh Soal Keliling irisan dua lingkaran bentuk 3 :
1). Tentukan Keliling irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran dan jari-jarinya,
$ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 $
$ L_2 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 & - \\ \hline -2x + 6 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 3 \, $ ke persamaan lingkaran 1.
$\begin{align} x = 3 \rightarrow (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (3 - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 1 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3} \\ y = 1 + \sqrt{3} \vee y & = 1 - \sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($3,1 + \sqrt{3}$ ) dan D($3,1 - \sqrt{3}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(3-3 )^2 + [(1 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) ]^2 } = 2\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} \\ \cos y & = \frac{2(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(\sqrt{7})^2} \\ \cos y & = \frac{14 - 12}{14} \\ \cos y & = \frac{2}{14} \\ \cos y & = \frac{1}{7} \\ y & = arc \, \cos \frac{1}{7} \\ y & = 81,787^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut CBD (segitiga kecil) :
$ \begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos x & = \frac{2(2)^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(2)^2} \\ \cos x & = \frac{8 - 12}{8} \\ \cos x & = \frac{-4}{8} \\ \cos x & = -\frac{1}{2} \\ x & = arc \, \cos -\frac{1}{2} \\ x & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = \pi \left( \frac{360^\circ - x}{180^\circ} . r + \frac{y}{180^\circ} . R \right) \\ & = (3,14). \left( \frac{360^\circ - 120^\circ}{180^\circ} . 2 + \frac{81,787^\circ}{180^\circ} . \sqrt{7} \right) \\ & = (3,14). \left( \frac{240^\circ}{180^\circ} . 2 + \frac{81,787^\circ}{180^\circ} . \sqrt{7} \right) \\ & = (3,14). \left( 2,667 + 1,202 \right) \\ & = (3,14). \left( 3,869 \right) \\ & = 12,149 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 12,149 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4.

Senin, 16 Januari 2017

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2

         Blog Koma - Seperti pada perhitungan luas irisan dua lingkaran yang teridiri dari beberapa bentuk, penghitungan pada keliling irisan dua lingkaran juga seperti itu. Sebelumnya telah kita bahas "keliling irisan dua lingkaran bentuk 1", dan pada artikel ini kita lanjutkan pada pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2. Adapun irisan dua lingkaran bentuk 2 adalah kedua lingkaran memiliki jari-jari yang berbeda dan salah satu titik pusat lingkaran ada pada garis perpotongan kedua lingkaran. Untuk menghitung kelililingnya, langsung saja kita simak penjelasannya berikut ini.

Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 2 berikut ini.
Dari gambar tersebut, keliling irisan dua lingkaran tersebut adalah penjumlahan dari dua busur yang terbentuk yaitu busur 1 (pada lingkaran kecil) dan busur 2 (pada lingkaran besar).

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran bentuk 2
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran kecil berupa setengah lingkaran :
busur 1 = $ \frac{1}{2} . 2 \pi . r = \pi . r $
*). Busur 2 pada lingkaran Besar :
busur 2 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . R = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . R $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \pi . r + \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . R $

Keliling irisan = $ \pi \left( r + \frac{\angle CAD}{180^\circ} . R \right) $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur 2, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
Contoh Soal Keliling irisan dua lingkaran bentuk 2 :
1). Tentuk Keliling irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 3)^2 + ( y - 2)^2 = 4 $ dan $ (x - 1)^2 + ( y - 2)^2 = 8 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran dan jari-jarinya,
$ (x - 3)^2 + ( y - 2)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x - 1)^2 + ( y - 2)^2 = 8 \rightarrow R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan besar sudut CAD :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 - 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 - 2r^2}{R^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{(2\sqrt{2})^2 - 2.2^2}{(2\sqrt{2})^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 - 8}{8} \\ \cos \angle CAD & = 0 \\ \angle CAD & = arc \, \cos \, 0 \\ \angle CAD & = 90^\circ \end{align} $
*). Menentukan Keliling irisan :
$ \begin{align} \text{Keliling irisan } & = \pi \left( r + \frac{\angle CAD}{180^\circ} . R \right) \\ & = (3,14) \left( 2 + \frac{90^\circ}{180^\circ} . 2\sqrt{2} \right) \\ & = (3,14) \left( 2 + \frac{1}{2} . 2\sqrt{2} \right) \\ & = (3,14) \left( 2 + \sqrt{2} \right) \\ & = (3,14). \left( 3,414 \right) \\ & = 10,72 \end{align} $
Jadi, keliling irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 10,72 \, $ satuan keliling. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Keliling Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3.

Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar

         Blog Koma - Setelah mempelajari "luas irisan dua lingkaran" yang terdiri dari berbagai bentuk (teman-teman bisa baca artikel "rangkuman rumus luas irisan dua lingkaran"), hampir setiap pengerjaan soalnya membutuhkan sketsa gambar irisan kedua lingkaran yang tujuannya untuk mengetahui bentuk mana yang dimaksud sehingga rumus yang kita gunakan juga tepat dalam menghitung luas irisannya. Nah, pada artikel ini kita akan membahas materi Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar yang tentunya akan sangat membantu kita dalam mengerjakan soal-soalnya dan akan lebih efisien dari segi waktu pengerjaan.


         Secara garis besar, bentuk irisan dua lingkaran dibagi menjadi dua yaitu dua lingkaran yang jari-jarinya berbeda dan kedua lingkaran yang jari-jarinya sama. Untuk irisan dua lingkaran yang jari-jarinya sama sebenarnya tidak perlu digambar karena kita tinggal memperhatikan titik pusant kedua lingkaran, apakah berbeda atau sama, dan setelah itu langsung kita bisa menggunakan rumus yang tepat. Yang jadi masalah adalah untuk irisan dengan jari-jari kedua lingkaran berbeda yang bentuk irisannya ada tiga jenis. Poin inilah yang akan kita bahas dalam artikel Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar.

Lanagkah-langkah Menentuka bentuk irisan dua lingkaran tanpa menggambar
       Untuk irisan dua lingkaran yang jari-jarinya berbeda, dalam menentukan bentuk irisannya kita tidak perlu menggambar. Berikut langkah-langkahnya :
i). Menentukan titik Pusat dan jari-jari kedua lingkaran,
ii). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran (berbentuk $ax+by+c=0$) dengan cara eliminasi kedua persamaan lingkarannya,
iii). Substitusi kedua titik pusat ke persamaan garis perpotongan lingkaran, sehingga diperoleh tiga kemungkinan yaitu :
Pusat lingkaran 1 $(x_1,y_1) \rightarrow K_1 = ax_1 + by_1 + c $
Pusat lingkaran 2 $(x_2,y_2) \rightarrow K_2 = ax_2 + by_2 + c $
Kita anggap lingkaran 1 sebagai lingkaran kecil.
1). Bentuk 1 jika $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 2). Bentuk 2 jika $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2 > 0 \, $ atau $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2<0 br=""> 3). Bentuk 3 jika $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 < 0 \, $ atau $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2<0 br="">
       Jika jari-jari kedua lingkaran sama, maka langsung kita arahkan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 yang juga tidak harus digambar daerah irisannya karena hanya dibedakan oleh dua jenis yaitu :
i). Pusat kedua lingkaran berbeda,
ii). Pusat kedua lingkaran sama.

Contoh soal Menentukan Luas irisan dua lingkaran tanpa menggambar.

1). Tentukan bentuk irisan dari masing-masing soal berikut ini sehingga bisa menggunakan rumus luas irisan dua lingkaran dengan tepat:
a). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 $
b). Persamaan lingkaran $ (x-1)^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x+1)^2 + y^2 = 8 $
c). Persamaan lingkaran $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 $

Penyelesaian :
a). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 $
*). Menentukan titik pusat kedua lingkaran dan jari-jari:
$ x^2 + y^2 = 4 \rightarrow r =2 , \, P(0,0) $ (lingkaran kecil)
$ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \rightarrow R = \sqrt{5} , \, P(1,1) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran 2 :
$ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 5 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y -3 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 2y -3 = 0 & - \\ \hline 2x + 2y - 1 = 0 & \end{array} $
sehingga persamaan garis perpotongannya adalah $ 2x + 2y - 1 = 0 $
artinya $ K = 2x + 2y - 1 $
*). Substitusi titik pusat ke persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
$ P(0,0) \rightarrow K_1 = 2.0 + 2.0 - 1 = -1 < 0 $
$ P(1,1) \rightarrow K_2 = 2.1 + 2.1 - 1 = 3 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 < 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sehingga untuk soal bagian (a) ini irisan kedua lingkarannya adalah bentuk 1, sehingga rumus luas irisan yang digunakan :
Luas $ = [\frac{\angle CAD}{360^\circ} \pi r_1^2 - \frac{1}{2} r_1^2 \sin \angle CAD ] + [\frac{\angle CBD}{360^\circ} \pi r_2^2 - \frac{1}{2} r_2^2 \sin \angle CBD] $

b). Persamaan lingkaran $ (x-1)^2 + y^2 = 4 \, $ dan $ (x+1)^2 + y^2 = 8 $
*). Menentukan titik pusat kedua lingkaran dan jari-jari:
$ (x-1)^2 + y^2 = 4 \rightarrow r =2 , \, P(1,0) $ (lingkaran kecil)
$ (x+1)^2 + y^2 = 8 \rightarrow R = 2\sqrt{2} , \, P(-1,0) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran :
$ (x-1)^2 + y^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x -3 = 0 $
$ (x+1)^2 + y^2 = 8 \rightarrow x^2 + y^2 + 2x - 7 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x -3 = 0 & \\ x^2 + y^2 + 2x - 7 = 0 & - \\ \hline -4x + 4 = 0 & \end{array} $
sehingga persamaan garis perpotongannya adalah $ -4x + 4 = 0 $
artinya $ K = -4x + 4 $
*). Substitusi titik pusat ke persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
$ P(1,0) \rightarrow K_1 = -4 . 1 + 4 = 0 $
$ P(-1,0) \rightarrow K_2 = -4.(-1) + 4 = 8 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 = 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sehingga untuk soal bagian (b) ini irisan kedua lingkarannya adalah bentuk 2, sehingga rumus luas irisan yang digunakan :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $

c). Persamaan lingkaran $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \, $ dan $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 $
*). Menentukan titik pusat kedua lingkaran dan jari-jari:
$ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \rightarrow r = 2 , \, P(2,1) $ (lingkaran kecil)
$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} , \, P(1,2) $ (lingkaran besar)
*). Menentukan persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran :
$ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 $
$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 4y - 2 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 4y - 2 = 0 & - \\ \hline -2x + 2y + 3 = 0 & \end{array} $
sehingga persamaan garis perpotongannya adalah $ -2x + 2y + 3 = 0 $
artinya $ K = -2x + 2y + 3 $
*). Substitusi titik pusat ke persamaan garis perpotongan kedua lingkaran :
$ P(2,1) \rightarrow K_1 = -2.2 + 2.1 + 3 = 1 > 0 $
$ P(1,2) \rightarrow K_2 = -2.1 + 2.2 + 3 = 5 > 0 $
Karena kita peroleh nilai $ K_1 > 0 \, $ dan $ K_2 > 0 $ , sehingga untuk soal bagian (c) ini irisan kedua lingkarannya adalah bentuk 3, sehingga rumus luas irisan yang digunakan :
Luas $ = r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $

       Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Tanpa Menggambar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan irisan lingkaran yaitu keliling irisan dua lingkaran bentuk 2.

Minggu, 15 Januari 2017

Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran

         Blog Koma - Untuk mempermudah dalam mempelajari materi luas irisan dua lingkaran, pada artikel ini akan kita sajikan sebuah Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran. Dimana, pada artikel-artikel sebelumnya sudah kita bahas secara parsial cara menghitung Luas irisan dua lingkaran yang terdiri dari beberapa bentuk yaitu bentuk 1, bentuk 2, bentuk 3 dan bentuk 4. Tentu untuk contoh-contohnya teman-teman harus langsung ke masing-masing artikel tersebut karena pada penulisan kali ini hanya kita sajikan Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran saja. Langsung saja berikut adalah rumus-rumusnya beserta gambar irisannya :

Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 1
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 1 yaitu :
1). Jari-jari kedua lingkaran berbeda,
2). Titik pusat kedua lingkaran dipisah oleh garis perpotongan lingkaran.
*). Rumus Luas irisannya :
Luas $ = [\frac{\angle CAD}{360^\circ} \pi r_1^2 - \frac{1}{2} r_1^2 \sin \angle CAD ] - [\frac{\angle CBD}{360^\circ} \pi r_2^2 - \frac{1}{2} r_2^2 \sin \angle CBD] $

Untuk contoh soal dan pembuktian rumusnya, silahkan baca link : Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 1
Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 2 yaitu :
1). Jari-jari kedua lingkaran berbeda,
2). Titik pusat salah satu lingkaran dilalui oleh garis perpotongan lingkaran.
*). Rumus Luas irisannya :
Luas $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $

Untuk contoh soal dan pembuktian rumusnya, silahkan baca link : Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2
Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 3 yaitu :
1). Jari-jari kedua lingkaran berbeda,
2). Titik pusat kedua lingkaran ada di sebelah kiri atau kanan dari garis perpotongan lingkaran.
*). Rumus Luas irisannya :
Luas $ = r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $

Untuk contoh soal dan pembuktian rumusnya, silahkan baca link : Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3
Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4
       Ciri-ciri irisan dua lingkaran bentuk 4 yaitu :
1). Jari-jari kedua lingkaran sama,
2). dibagi menjadi dua bentuk yaitu : i). Titik pusat kedua lingkaran berbeda,
ii). titik pusat kedua lingkaran sama.
*). Rumus Luas irisan titik pusat berbeda
Luas $ = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi - \sin \angle CAD \right) $

*). Rumus Luas irisan titik pusat sama
Luas $ = \pi r^2 $

Untuk contoh soal dan pembuktian rumusnya, silahkan baca link : Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4

       Demikian pembahasan materi Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan irisan dua lingkaran yaitu "menentukan luas irisan dua lingkaran tanpa menggambar".

Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "luas irisan dua lingkaran bentuk 1", "luas irisan dua lingkaran bentuk 2", dan "luas irisan dua lingkaran bentuk 3", sekarang kita lanjutkan dengan pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4. Untuk luas irisan dua lingkaran bentuk 4 ini memiliki ciri-ciri yaitu jari-jari kedua lingkaran sama, tinggal yang membedakan adalah titik pusat kedua lingkaran. Luas irisan dua lingkaran bentuk 4 kita bagi menjadi dua yaitu pertama titik pusat lingkaran berbeda dan kedua titik pusat lingkaran sama. Perhatika gambarnya berikut ini untuk lebih jelasnya.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 ini, ada beberapa materi yang harus kita kuasai terlebih dahulu yaitu diantaranya : "persamaan lingkaran", "menentukan besarnya sudut menggunakan aturan kosinus", "luas juring dan luas tembereng", "luas segitiga dengan aturan sinus", dan "jarak antara dua titik". Berikut cara menghitung luas irisan dua lingkaran bentuk 4 dan penurunan rumusnya.

Menentukan Rumus Luas irisan dua lingkaran bentuk 4
$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 Bagian Pertama
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 4 bagian pertama berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna biru dan abu-abu dimana luas keduanya sama besar sehingga untuk menghitung luas irisannya cukup menghitung salah satu dan kita kalikan dua. Misalkan besarnya jari-jari lingkaran adalah $ r $.

*). Luas daerah yang kita hitung adalah luas tembereng warna abu-abu
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r^2. \sin \angle CAD $
Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
Luas tembereng $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD $
*). Luas irisannya :
$ \begin{align} \text{Luas irisan } & = 2 \times \text{ Luas Tembereng} \\ & = 2 \times \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \right) \\ & = 2 \times \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r^2 - 2 \times \frac{1}{2}. r^2 . \sin \angle CAD \\ & = \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi . r^2 - r^2 . \sin \angle CAD \\ & = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi - \sin \angle CAD \right) \end{align} $
$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada lingkaran A, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2.r^2 - CD^2}{2.r^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 4 Bagian Kedua
       Perhatikan gambar berikut ini,
Kedua lingkaran memiliki titik pusat dan jari-jari yang sama sehingga daerah irisannya adalah lingkaran itu sendiri. Ini artinya luas daerah irisannya adalah :
Luas irisan $ = \pi r^2 $
Contoh Soal luas irisan dua lingkaran bentuk 4 :
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(1,1)
$ x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 \, $, pusat(0,1)
Titik pusat kedua lingkaran berbeda dan jari-jari sama, sehingga ini adalah bentuk 4 bagian pertama.
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 $
$ L_2 : \, x^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 2y = 3 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x - 2y = 2 & \\ x^2 + y^2 - 2y = 3 & - \\ \hline -2x = -1 & \\ x = 0,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 0,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 0,5 \rightarrow x^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (0,5)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 0,25 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3,75 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3,75} \\ y = 1 + \sqrt{3,75} \vee y & = 1 - \sqrt{3,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($0,5;1 + \sqrt{3,75}$ ) dan D($0,5;1 - \sqrt{3,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(0,5-0,5 )^2 + [(1 + \sqrt{3,75}) - (1 - \sqrt{3,75}) ]^2 } = 2\sqrt{3,75} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.(2)^2 - (2\sqrt{3,75})^2}{2.(2)^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 - 15}{8} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-7}{14} \\ \cos \angle CAD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CAD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas irisan} & = r^2 \left( \frac{\angle CAD}{180^\circ} . \pi - \sin \angle CAD \right) \\ & = 2^2 \left( \frac{120^\circ}{180^\circ} . \pi - \sin 120^\circ \right) \\ & = 4 \left( \frac{2}{3} . (3,14) - 0,867 \right) \\ & = 4 \left( 2,093 - 0,867 \right) \\ & = 4 . \left( 1,226 \right) \\ & = 4,904 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 4,904 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

2). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 $ dan $ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 $ ?

Penyelesaian :
persamaan lingkaran, titik pusat, dan jari-jarinya,
$ (x - 3)^2 + ( y + 1)^2 = 9 \rightarrow r = \sqrt{9} = 3 \, $, pusat(3,-1)
$ x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0 \rightarrow A = -6 , \, B = 2, \ , C = 1 $,
Pusat : $(a,b)=(-\frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) = (3,-1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{9} = 3 $
Karena titik pusat dan jari-jari kedua lingkaran sama, maka daerah irisannya adalah bentuk 4 bagian kedua.
*). Menentukan luas irisannya :
Luas irisan $ = \pi r^2 = (3,14) . 2^2 = 12,56 $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 12,56 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4 dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Rangkuman Rumus Luas Irisan Dua Lingkaran.

Sabtu, 14 Januari 2017

Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "luas irisan dua lingkaran bentuk 1" dan "luas irisan dua lingkaran bentuk 2", sekarang kita lanjutkan dengan pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3. Untuk luas irisan dua lingkaran bentuk 3 ini, letak titik pusat kedua lingkaran ada di sebelah kiri atau disebelah kanan garis perpotongan kedua lingkaran. untuk lebih jelasnya, silahkan kita lihat gambar irisan dua lingkaran bentuk 3 beriku ini.



         Untuk memudahkan mempelajari materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 ini, ada beberapa materi yang harus kita kuasai terlebih dahulu yaitu diantaranya : "persamaan lingkaran", "menentukan besarnya sudut menggunakan aturan kosinus", "luas juring dan luas tembereng", "luas segitiga dengan aturan sinus", dan "jarak antara dua titik". Berikut cara menghitung luas irisan dua lingkaran bentuk 3 dan penurunan rumusnya.

Menentukan Rumus Luas irisan dua lingkaran bentuk 3
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 3 berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna biru, abu-abu dan kuning digabungkan. Untuk memudahkan perhitungan, kita bagi daerahnya menjadi bagian bagian yaitu daerah I (warna biru) berbentuk juring lingkakaran dari lingkaran kecil, daerah II (warna abu-abu) berbentuk segitiga lingkaran kecil, dan daerah III (warna kuning) berbentuk tembereng dari lingkaran besar. Kita misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $ r $ dan jari-jari lingkaran besar adalah $ R $ serta besar $ \angle CBD = x \, $ (lingkaran kecil) dan besar $ \angle CAD = y $ (lingkaran besar).

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 3
*). Luas daerah I (berupa juring lingkaran dari lingkaran kecil) :
Karena besar $ \angle CBD = x \, $ , maka sudut juringnya (warna biru) adalah $ 360^\circ - x $
L1 $ = \frac{360^\circ - x}{360^\circ} \times \pi r^2 $
*). Luas daerah II (berupa segitiga CBD pada lingkaran kecil) :
L2 $ = \frac{1}{2}.BC.BD.\sin \angle CBD = \frac{1}{2}r^2 \sin x $
*). Luas daerah III (berupa tembereng dari segitiga besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2$
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 = Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
L3 $ = \frac{y}{360^\circ} . \pi . R^2 - \frac{1}{2}. R^2 . \sin y $
L3 $ = R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2 + L3.
Luas irisan = $ \frac{360^\circ - x}{360^\circ} \times \pi r^2 + \frac{1}{2}r^2 \sin x + R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $
Luas irisan = $ r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada lingkaran besar, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - CD^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $


Langkah-langkah menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 3 :
i). Menentukan gambar irisan dan jari-jari masing-masing lingkaran,
ii). Menentukan titik potong kedua lingkaran dan jaraknya (panjang CD),
iii). Menentukan besar sudut CAD juring lingkaran besar dan sudut CBD juring lingkaran kecil,
iv). Menghitung luas arsiran dengan rumusnya.

Contoh Soal luas irisan dua lingkaran bentuk 3 :
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 $ dan $ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
 persamaan lingkaran dan jari-jarinya,
$ (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow R = \sqrt{7} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 = 4 \rightarrow x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 $
$ L_2 : \, (x - 1)^2 + ( y - 1)^2 = 7 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 2x - 2y -5 = 0 & - \\ \hline -2x + 6 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 3 \, $ ke persamaan lingkaran 1.
$\begin{align} x = 3 \rightarrow (x - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ (3 - 2)^2 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ 1 + ( y - 1)^2 & = 4 \\ ( y - 1)^2 & = 3 \\ ( y - 1) & = \pm \sqrt{3} \\ y & = 1 \pm \sqrt{3} \\ y = 1 + \sqrt{3} \vee y & = 1 - \sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($3,1 + \sqrt{3}$ ) dan D($3,1 - \sqrt{3}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(3-3 )^2 + [(1 + \sqrt{3}) - (1 - \sqrt{3}) ]^2 } = 2\sqrt{3} $
*). Menentukan besar sudut CAD (segitiga besar) :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 - CD^2}{2R^2} \\ \cos y & = \frac{2(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(\sqrt{7})^2} \\ \cos y & = \frac{14 - 12}{14} \\ \cos y & = \frac{2}{14} \\ \cos y & = \frac{1}{7} \\ y & = arc \, \cos \frac{1}{7} \\ y & = 81,787^\circ \end{align} $
*). Menentukan besar sudut CBD (segitiga kecil) :
$ \begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos x & = \frac{2(2)^2 - (2\sqrt{3})^2}{2(2)^2} \\ \cos x & = \frac{8 - 12}{8} \\ \cos x & = \frac{-4}{8} \\ \cos x & = -\frac{1}{2} \\ x & = arc \, \cos -\frac{1}{2} \\ x & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas } & = r^2 \left( \frac{360^\circ - x}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin x \right)+ R^2 \left( \frac{y}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin y \right) \\ & = 2^2 \left( \frac{360^\circ - 120^\circ}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} \sin 120^\circ \right)+ (\sqrt{7})^2 \left( \frac{81,787^\circ}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin 81,787^\circ \right) \\ & = 4 \left( \frac{240^\circ}{360^\circ} . \pi + \frac{1}{2} . 0,866 \right)+ 7 \left( 0,244 . \pi - \frac{1}{2}. 0,989 \right) \\ & = 4 \left( 0,667 . \pi + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,244 . \pi - 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 0,667 . (3,14) + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,244 . (3,14) - 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 2,094 + 0,433 \right)+ 7 \left( 0,766 - 0,495 \right) \\ & = 4 \left( 2,527 \right)+ 7 \left( 0,271 \right) \\ & = 10,108 + 1,897 \\ & = 12,005 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 12,005 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 4.

Jumat, 13 Januari 2017

Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah mempelajari materi "Keliling dan Luas Irisan Dua Lingkaran", disana telah dibahas tentang luas irisan dua lingkaran bentuk 1. Nah, pada artikel ini kita lanjutkan pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2. Pada irisan dua lingkaran bentuk pertama, pusat lingkaran masing-masing terletak terpisah oleh garis perpotongan kedua lingkaran, sedangkan irisan dua lingkaran bentuk 2 ini kita lihat dari letak salah satu pusat lingkaran pada garis yang menghubungkan titik perpotongan kedua lingkaran. Untuk lebih jelasnya, kita perhatikan gambar berikut ini.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2 ini, ada beberapa materi yang harus kita kuasai terlebih dahulu yaitu diantaranya : "persamaan lingkaran", "menentukan besarnya sudut menggunakan aturan kosinus", "luas juring dan luas tembereng pada lingkaran", "luas segitiga dengan aturan sinus", dan "luas lingkaran". Berikut cara menghitung luas irisan dua lingkaran bentuk 2 dan penurunan rumusnya.

Menentukan Rumus Luas irisan dua lingkaran bentuk 2
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran bentuk 2 berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna biru dan warna abu-abu. Untuk memudahkan perhitungan, kita bagi daerahnya menjadi dua bagian yaitu daerah I (warna biru) berbentuk setengah lingkakaran dari lingkaran kecil dan daerah II (warna abu-abu) berbentuk tembereng dari lingkaran besar. Kita misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $ r $ dan jari-jari lingkaran besar adalah $ R $.

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 2
*). Luas daerah I (berupa setengah lingkaran dari lingkaran kecil) :
L1 $ = \frac{1}{2} \times \pi r^2 $
*). Luas daerah II (berupa tembereng dari lingkaran besar) :
Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
luas juring CAD = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 = Luas tembereng = luas juring CAD $ - $ lusa segitiga CAD.
L2 $ = \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . R^2 - \frac{1}{2}. R^2 . \sin \angle CAD $
L2 $ = R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $
*). Luas irisannya :
Luas irisan = L1 + L2.
Luas irisan = $ \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) $

$ \clubsuit $ Menentukan besarnya sudut CAD :
Panjang $ CD = 2r $ , dengan aturan cosinus kita peroleh besarnya sudut CAD yaitu :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{R^2 + R^2 - (2r)^2}{2.R.R} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2R^2 - 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 - 2r^2}{R^2} $


Langkah-langkah menentukan luas irisan dua lingkaran bentuk 2 :
i). Menentukan gambar irisan dan jari-jari masing-masing lingkaran,
ii). Menentukan besar sudut juring lingkaran besar (sudut CAD),
iii). Menghitung luas arsiran dengan rumusnya.

Contoh Soal luas irisan dua lingkaran bentuk 2 :
1). Tentuk luas irisan dua lingkaran dengan persamaan lingkaran masing-masing $ (x - 3)^2 + ( y - 2)^2 = 4 $ dan $ (x - 1)^2 + ( y - 2)^2 = 8 $ ?

Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran :
persamaan lingkaran dan jari-jarinya,
$ (x - 3)^2 + ( y - 2)^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $ (lingkaran kecil)
$ (x - 1)^2 + ( y - 2)^2 = 8 \rightarrow R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $ (lingkaran besar)
*). Menentukan besar sudut CAD :
$ \begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2R^2 - 4r^2}{2R^2} = \frac{R^2 - 2r^2}{R^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{(2\sqrt{2})^2 - 2.2^2}{(2\sqrt{2})^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{8 - 8}{8} \\ \cos \angle CAD & = 0 \\ \angle CAD & = arc \, \cos \, 0 \\ \angle CAD & = 90^\circ \end{align} $
*). Menentukan luas irisan :
$ \begin{align} \text{Luas irisan } & = \frac{1}{2} \times \pi r^2 + R^2 \left( \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi - \frac{1}{2}. \sin \angle CAD \right) \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{22}{7} . 2^2 + (\sqrt{8})^2 \left( \frac{90^\circ}{360^\circ} . \frac{22}{7} - \frac{1}{2}. \sin 90^\circ \right) \\ & = \frac{44}{7} + 8 \left( \frac{11}{14} - \frac{1}{2}. 1 \right) \\ & = 6,286 + 8 \left( 0,786 - 0,5 \right) \\ & = 6,286 + 8 .\left( 0,286 \right) \\ & = 6,286 + 2,288 \\ & = 8,574 \end{align} $
Jadi, luas irisan kedua lingkaran tersebut adalah $ 8,574 \, $ satuan luas. $ \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 2 dan contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luas Irisan Dua Lingkaran Bentuk 3.

Rabu, 07 Desember 2016

Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "kedudukan dua lingkaran", pada artikel ini kita akan membahas tentang kelanjutan materi tersebut yaitu Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran. Tujuan materi Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran ini adalah untuk memantapkan pemahaman materi melalui beberapa variasi tipe soal. Namun sebelumnya, akan kita tuliskan kembali beberapa kemungkinan kedudukan dua lingkaran dengan syarat-syaratnya. Teman-teman sebaiknya juga membaca dulu artikel kedudukan dua lingkaran yang sudah kita upload sebelumnya.

         Agar memudahkan dalam mempelajari artikel variasi soal kedudukan dua lingkaran, teman-teman harus menguasai materi "persamaan lingkaran" (khususnya menentukan pusat dan jari-jarinya) , jarak antara dua titik (untuk mencari jarak antara dua pusat lingkaran), bentuk mutlak dan sifat pertidaksamaan bentuk mutlak

Beberapa Jenis kedudukan dua lingkaran
       Dari artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya, ada 8 jenis kedudukan dua lingkaran. Misalkan ada dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing $ r_1 $ dan $ r_2 $, serta jarak kedua pusat lingkarannya adalah $ d $ dan kita tidak tahu lingkaran mana yang lebih besar. Berikut syarat masing-masing kedudukan dua lingkarannya :

$\spadesuit \, $ Lima jenis kedudukan dua lingkaran
Untuk memudahkan mengingat, perhatikan gambar berikut ini.
Dari gambar, ada 5 kemungkinan kedudukan dua lingkaran. Perhatikan gerakan lingkaran kecil (warna merah), seolah-olah bergerak terus menurus ke arah kanan lingkaran besar (warna biru) yang tetap. Nah untuk syaratnya, perhatikan garis bilangan di bawahnya, kedudukan (i) berada dipaling kiri $|r_1-r_2|$, kedudukan (ii) berada tepat di $|r_1-r_2|$, kedudukan (iii) diantara $|r_1-r_2| \, $ dan $ r_1 + r_2 $ , kedudukan (iv) berada tepat di $ r_1+r_2$ , dan kedudukan (v) berada di kanan $ r_1 + r_2 $.
Kedudukan dan syarat-syaratnya :
(i). Lingkaran berada di dalam lingkaran lain, syaratnya $ d < |r_1 - r_2| $
(ii). bersinggungan dalam, syaratnya $ d = |r_1 - r_2| $
(iii). berotongan, syaratnya $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 $
(iv). bersinggungan luar, syaratnya $ d = r_1 + r_2 $
(v). tidak berpotongan, syaratnya $ d > r_1 + r_2 $

$\clubsuit \, $ Tiga jenis kedudukan dua lingkaran sisanya
Tiga jenis kedudukan lainnya adalah :
(vi). Kosentris (sepusat), syaratnya kedua pusat lingkaran sama.
(vii). Ortogonal (tegak lurus), syaratnya $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
(viii). berpotongan tepat pada diameter, syaratnya $ d^2 = | r_1^2 - r_2^2 | $
Catatan :
*). Untuk gambar kedudukan (vi), (vii), dan (viii), teman-teman langsung bisa melihat gambarnya pada artikel "kedudukan dua lingkaran" sebelumnya.
*). bentuk $ |r_1 - r_2 | $ bertujuan agar hasil pengurangannya selalu positif karena nilai $ d $ (jarak pusat) juga selalu positif.
*). Bentuk mutlak $ |f(x) | = \sqrt{[f(x)]^2} $
*). Sifat pertidaksamaan mutlak yang kita gunakan yaitu :
$ |f(x)| < a , \, $ maka $ -a < f(x) < a \, $ dan
$ | f(x) > a , \, $ maka $ f(x) < -a \, $ atau $ f(x) > a $
berlaku sama juga untuk tanda ketaksamaan $ \leq \, $ dan $ \geq $.


Contoh variasi soal kedudukan dua lingkaran :
1). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $ .
Jika kedua lingkaran kosentris, maka tentukan nilai $ p + q \, $ dan jari-jari kedua lingkaran!

Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat kedua lingkaran :
L1 : $ x^2 + y^2 -2px + 4y + p^2 - 5p - 16 = 0 $
nilai $ A = -2p, B = 4, C = p^2 - 5p - 16 $
Pusat L1,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2p) = p $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(4) = -2 $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( p , -2) $
Jari-jari L1,
$ r_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{p^2 + (-2)^2 - (p^2 - 5p - 16)} = \sqrt{5p + 20} $
L2 : $ x^2 + y^2 -2x - 2qy + q^2 - q - 2 = 0 $
nilai $ A = -2, B = -2q, C = q^2 - q - 2 $
Pusat L2,
$ a = -\frac{1}{2}A = - \frac{1}{2}(-2) = 1 $
$ b = -\frac{1}{2}B = - \frac{1}{2}(-2q) = q $ Sehingga pusatnya : $ (a,b) = ( 1,q) $
Jari-jari L2,
$ r_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - C } = \sqrt{1^2 + q^2 - (q^2 - q - 2)} = \sqrt{q+3} $
*). Kedua lingkaran kosentris, artinya kedua lingkaran memiliki pusat yang sama sehingga :
$ \begin{align} \text{pusat L1 } & = \text{ pusat L_2} \\ ( p , -2) & = ( 1,q) \end{align} $
Artinya nilai $ p = 1 \, $ dan $ q = -2 $.
*). Nilai $ p + q = 1 + (-2) = -1 $.
*). Menentukan besar jari-jari kedua lingkaran :
$ r_1 = \sqrt{5p + 20} = \sqrt{5 . 1 + 20} = \sqrt{25} = 5 $
$ r_2 = \sqrt{q + 3} = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1 $
Jadi, nilai $ p + q = -1 \, $ dan $ r_1 = 5, \, r_2 = 1. \, \heartsuit $.

2). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan masing-masing
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 \, $ dan
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $.
Tentukan besarnya jari-jari lingkaran kedua jika kedua lingkaran memiliki kedudukan :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari :
L1 : $ (x+2)^2 + (y-2)^2 = r^2 $
Pusat L1 : $(-2,2) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{r^2} = r $
L2 : $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9 $
Pusat L2 : $(2,-1) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat lingkaran ($d$) :
$ d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{25} = 5 $.

*). Menentukan besar jari-jari lingkaran pertama ($r$) jika
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ 5 & < |r - 3| \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ |r - 3 | & > 5 \\ r - 3 & < -5 \vee r - 3 > 5 \\ r & < -5 + 3 \vee r > 5 + 3 \\ r & < -2 \vee r > 8 \end{align} $
Karena jari-jari positif, maka yang memenuhi $ r > 8 $.
Jadi, agar salah satu lingkaran ada di dalam lingkaran lainnya, maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r > 8 $.

b). bersinggungan dalam,
Syaratnya $ d = | r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$\begin{align} d & = | r_1 - r_2 | \\ 5 & = | r - 3 | \\ | r - 3 | & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ ( r - 3 )^2 & = 5^2 \\ ( r - 3 )^2 - 5^2 & = 0 \\ ( r - 3 + 5 )(r - 3 - 5) & = 0 \\ ( r +2 )(r- 8) & = 0 \\ r = - 2 \vee r & = 8 \end{align} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 8 $.

c). berpotongan,
Syarat $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |r - 3 | < & 5 < r + 3 \\ |r - 3 | < 5 & \cap 5 < r + 3 \\ -5 < r - 3 < 5 & \cap r + 3 > 5 \\ -5 + 3 < r - 3 + 3 < 5 + 3 & \cap r > 5 - 3 \\ -2 < r < 8 & \cap r > 2 \end{align} $
solusinya adalah irisan dari $ -2 < r < 8 \, $ dan $ r > 2 $ yaitu $ 2 < r < 8 $.
Jadi, agar kedua lingkaran berpotongan, maka besar jari-jarinya adalah $ 2 < r < 8 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat $ d = r_1 + r_2 $
sehingga : $ d = r_1 + r_2 \rightarrow 5 = r + 3 \rightarrow r = 2 $.
Jadi, agar kedua bersinggungan luar, maka jari-jari lingkaran pertama $ r = 2 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ 5 & > r + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(atau sama dengan)} \\ r + 3 & < 5 \\ r & < 5 - 3 \\ r & < 2 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran tidak berpotongan maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ 0 < r < 2 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ 5^2 & = r^2 + 3^2 \\ 25 & = r^2 + 9 \\ r^2 & = 16 \\ r & = 4 \end{align} $
Jadi, agar kedua lingkaran ortogonal maka jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = 4 $.

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $.
sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ 5^2 & = |r^2 - 3^2| \\ 25 & = |r^2 - 9| \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 25^2 & = (r^2 - 9)^2 \\ (r^2 - 9 + 25)(r^2 - 9 - 25) & = 0 \\ (r^2 + 16)(r^2 -34) & = 0 \\ r^2 = - 16 \vee r^2 = 34 \end{align} $
yang memenuhi $ r^2 = 34 \rightarrow r = \sqrt{34} $
Jadi, jari-jari lingkaran pertama adalah $ r = \sqrt{34} $ .


3). Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing adalah 4 dan 7. $ d $ menyatakan jarak kedua pusat lingkaran. Tentukan nilai $ d $ jika kedua lingkaran memiliki keduduka :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ d & < |4 - 7 | \\ d & < | - 3 | \\ d & < 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ 0 < d < 3 \, $ karena selalu positif.

b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ d & = |4 - 7 | \\ d & = |-3| \\ d & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 3 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |4 - 7 | < & d < 4 + 7 \\ |-3 | < & d < 11 \\ 3 < & d < 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d $ adalah $ 3 < d < 11 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ d & = 4 + 7 \\ d & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d = 11 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ d & > 4 + 7 \\ d & > 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ d > 11 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ d & = \sqrt{4^2 + 7^2 } \\ & = \sqrt{16 + 49 } \\ & = \sqrt{65 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{65} $

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ d & = \sqrt{|4^2 - 7^2| } \\ & = \sqrt{|16 - 49| } \\ & = \sqrt{|-33| } \\ & = \sqrt{33 } \end{align} $
Jadi, nilai $ d =\sqrt{33} $

4). Diketahui dua lingkaran dengan persamaan
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Tentukan nilai $ p \, $ jika kedudukan kedua lingkarannya :
a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
b). bersinggungan dalam,
c). berpotongan,
d). bersinggungan luar,
e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
f). ortogonal,
g). berpotngan tepat pada diameter.

Penyelesaian :
*). Menentukan pusat, jarak pusat, dan jari-jari lingkarannya :
L1 : $(x-p)^2 + y^2 = 25 \, $ dan
Pusat L1 : $( p,0) \, $ dan $ r_1 = \sqrt{25} = 5 $
L2 : $ x^2 + y^2 = 9 $.
Pusat L2 : $ ( 0,0 ) \, $ dan $ r_2 = \sqrt{9} = 3 $
Jarak kedua pusat ($d$) :
$ d =\sqrt{(p-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{p^2} = |p| $

a). Salah satu ada di dalam lingkaran lainnya,
Syarat : $ d < |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & < |r_1 - r_2 | \\ |p| & < |5 - 3 | \\ |p| & < 2 \\ -2 < p & < 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ -2 < d < 2 \, $ untuk kedudukan pertama ini.

b). bersinggungan dalam,
Syarat : $ d = |r_1 - r_2 | $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = |r_1 - r_2 | \\ |p| & = |5-3| \\ |p| & = 2 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ p^2 & = 2^2 \\ p & = \pm \sqrt{4} \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p= -2 \, $ atau $ p = 2 $.

c). berpotongan,
Syarat : $ |r_1 - r_2 | < d < r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} |r_1 - r_2 | < & d < r_1 + r_2 \\ |5 - 3 | < & |p| < 5 + 3 \\ 2 < & |p| < 8 \\ 2 < & p < 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p $ adalah $ 2 < p < 8 $.

d). bersinggungan luar,
Syarat : $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & = r_1 + r_2 \\ |p| & = 5 + 3 \\ p & = \pm 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 \, $ atau $ p = 8 $.

e). tidak berpotongan dan bersinggungan,
Syarat : $ d > r_1 + r_2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d & > r_1 + r_2 \\ |p| & > 5 + 3 \\ |p| & > 8 \\ p < -8 & \vee p > 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p < -8 \, $ atau $ p > 8 $.

f). ortogonal,
Syarat : $ d^2 = r_1^2 + r_2^2 $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = r_1^2 + r_2^2 \\ |p|^2 & = 5^2 + 3^2 \\ p ^2 & = 34 \\ p & = \pm \sqrt{34} \end{align} $
Jadi, nilai $ p = \sqrt{34} \, $ atau $ p = \sqrt{34} $

g). berpotngan tepat pada diameter.
Syarat : $ d^2 = |r_1^2 - r_2^2| $
Sehingga :
$ \begin{align} d^2 & = |r_1^2 - r_2^2| \\ |p|^2 & = |5^2 - 3^2| \\ p^2 & = |16| \\ p^2 & = 16 \\ p & = \pm 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -4 \, $ atau $ p = 4 $.

         Demikian pembahasan materi Variasi Soal Kedudukan Dua Lingkaran beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan irisan dua lingkaran. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Jumat, 30 Oktober 2015

Berkas Lingkaran

         Blog Koma - Kali ini kita akan mempelajari materi berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dulu materi yang terkait yaitu "persamaan lingkaran", dan "garis kuasa".

Berkas Lingkaran
       Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah :

         $ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $

Keterangan :
$ k \, $ adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
$ \lambda \, $ adalah konstanta tertentu.
Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 - L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa.

Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
Contoh :
1). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \end{align} $
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 - 2.1 - 11) + \lambda (1^2 + 1^2 - 6.1 - 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 - 2 - 11) + \lambda (1 + 1 - 6 - 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = - \frac{7}{4} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44) + (-7) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44 - 7x^2 - 7y^2 + 42x + 28y - 28 & = 0 \\ - 3x^2 - 3y^2 + 58x + 20y - 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 = 0 $

2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta memiliki titik pusat $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
$ -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $
*). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + 1 . (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 = 0 $

3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
*). Pusat lingkaran terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik pusat ke garis ini,
$ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 - 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = - \frac{3}{8} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran,
$ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y - 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+300) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y + 28 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10y + 28 = 0 . $

Kamis, 29 Oktober 2015

Keliling dan Luas Irisan Dua Lingkaran

         Blog Koma - "Irisan dua lingkaran" akan membentuk suatu daerah irisan. Daerah irisan akan terbentuk jika kedua lingkaran berpotongan di dua titik yang berbeda, silahkan baca materinya di "kedudukan dua lingkaran". Materi dasar yang harus dikuasai untuk mempermudah mempelajari keliling dan luas irisan lingkaran adalah "panjang busur dan luas juring" serta "aturan kosinus" untuk menentukan besar sudutnya, dan jarak antara dua titik, yang semua materi dasar ini bisa langsung kita pelajari di "irisan dua lingkaran".

Keliling irisan dua lingkaran
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau. Keliling daerah irisan yang dimaksud adalah jumlah busur lingkaran warna biru (busur 1) dan busur lingkaran berwarna orange (busur 2). Berikut busur masing-masing,

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r + \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur pertama, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan keliling irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua busur lingkaran,
iv). Menentukan panjang busur kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua panjang busurnya

contoh :
1). Tentukan keliling lingkaran dari dua irisan lingkaran berikut
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \, $ dan $ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 $
$ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 & - \\ \hline 16x - 72 = 0 & \\ x = 4,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 4,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 4,5 \rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (4,5-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ 2,25 + (y-1)^2 & = 9 \\ (y-1)^2 & = 6,75 \\ y - 1 & = \pm \sqrt{6,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{6,75} \\ y_1 = 1 - \sqrt{6,75} \vee y_2 & = 1 + \sqrt{6,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($4,5 ; 1 - \sqrt{6,75}$ ) dan D($4,5 ; 1 + \sqrt{6,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(4,5 - 4,5 )^2 + [(1 + \sqrt{6,75}) - (1 - \sqrt{6,75}) ]^2 } = 2\sqrt{6,75} $

*). Menentukan sudut kedua busur :
busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
$\begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.7^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.7^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{98 - 27}{98} \\ \cos \angle CAD & = \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = 43,57^\circ = 44^\circ \end{align} $
busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
$\begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{2.3^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.3^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{18 - 27}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-9}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan panjang busur masing-masing :
Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{44^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 7 = 5,38 $
Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{120^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 3 = 6,29 $
*). Keliling irisan lingkarannya :
Keliling = busur 1 + busur 2 = 5,38 + 6,29 = 11,67
Jadi, keliling irisan kedua lingakaran adalah 11,67.

Luas irisan dua lingkaran
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau dan warna biru. Ternyata daerah arsirannya adalah perpaduan dari dua tembereng yaitu tembereng 1 (dari lingkaran pertama) dan tembereng 2 (dari lingkaran kedua).

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran
Untuk menentukan luas irisannya, kita harus menentukan luas kedua temberengnya. Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r_1^2 . \sin \angle CAD $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}. r_2^2 . \sin \angle CBD $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD.
*). Sehingga luas irisannya :
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2.
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan luas irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua juring lingkaran,
iv). Menentukan luas juring, luas segitiga dan tembereng kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua luas tembereng

Contoh :
2). Tentukan luas irisan dua lingkaran yang ada pada soal nomor satu di atas!
Penyelesaian :
*). Dari pembahasan sola nomor satu di atas, diperoleh :
$ \angle CAD = 44^\circ , \, \angle CBD = 120^\circ $
*). Menentukan luas juring, segitiga dan tembereng
Tembereng pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 = \frac{44^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 7^2 = 21,39 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}.7^2 . \sin 44^\circ = 17,02 $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD = 21,39 - 17,02 = 4,37.
Tembereng kedua (L2) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 = \frac{120^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 3^2 = 9,43 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}.3^2 . \sin 120^\circ = 3,89 $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD = 9,43 - 3,89 = 5,54.
*). Menentukan luas irisan lingkaran
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2 = 4,37 + 5,54 = 9,91
Jadi, luas daerah irisannya adalah 9,91.

    Silahkan juga baca materi yang terkait dengan irisan lingkaran yaitu Luas irisan dua lingkaran bentuk 2.