Tampilkan posting dengan label integral. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label integral. Tampilkan semua posting

Sabtu, 09 April 2016

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak


         Blog Koma - Setelah mempelajari materi integral secara mendalam dari rumus umum untuk integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri serta belajar beberapa teknik integral yang sangat membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal integral, maka pada artikel ini kita akan membahas integral fungsi khusus yaitu Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak. Dari judulnya ini, tentu pengintegralan akan berkaitan langsung dengan berbagai fungsi yang berbentuk harga mutlak baik mutlak fungsi aljabar maupun mutlak fungsi trigonometri. Harga mutlak fungsi $ f(x) \, $ disimbolkan dengan $ |f(x)| \, $ yang nilainya selalu positif untuk semua $ x $.

         Untuk mempermudah mempelajari Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak ini, sebaiknya teman-teman menguasai kembali materi integral fungsi aljabar dan integral fungsi trigonometri serta teknik integral yang ada. Disamping itu pula, kita harus mempelajari kembali definisi dari harga mutlak (atau nilai mutlak) salah satunya bisa dibaca pada artikel "Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak". Namun pada artikel ini akan kita ulas kembali pengertian dan sifat penting yang berkaitan dengan harga mutlak.

         Secara umum langkah-langkah dalam Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak yaitu kita ubah dulu fungsi mutlaknya berdasarkan definisinya untuk menentukan batasan kapan fungsi tersebut bernilai positif dan bernilai negatif. Artinya fungsi mutlak tersebut akan dibagi menjadi beberapa batasan integral tergantung ada berapa banyaknya fungsi mutlak yang mau kita integralkan. Untuk lebih jelasnya, kita pelajari saja langsung berikut ini.

Definisi Harga Multak suatu Fungsi
       Nilai mutlak dari suatu fungsi $ f(x) \, $ dinotasikan $ |f(x)| $ .
Definisi nilai mutlaknya :
              $ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $
Artinya $ |f(x)| = f(x) \, $ atau $ |f(x)| = -f(x) \, $ tergantung nilai $ f(x) $
Sifat Harga Mutlak :
$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan kuadrat dan akar tidak boleh dihilangkan.

Dengan definisi nilai mutlak, maka nilai mutlak setiap bilangan atau fungsi nilainya selalu positif.
Contoh soal fungsi harga mutlak :
1). Pecahlah bentuk fungsi harga mutlak berikut ini berdasarkan definisi harga mutlak (menghilangkan bentuk mutlaknya).
a). $ | x - 1| $
b). $ | 2x + 5| $
c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
d). $ |x^2 - x - 6 | $

Penyelesaian :
a). $ | x - 1| $
Syarat Positif : $ x - 1 \geq 0 \rightarrow x \geq 1 $,
Syarat negatif : $ x - 1 < 0 \rightarrow x < 1 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x - 1| \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x - 1| = \left\{ \begin{array}{cc} x - 1 & , x \geq 1 \\ -(x-1) & , x < 1 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-1| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $

b). $ | 2x + 5| $
Syarat Positif : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,
Syarat negatif : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,
Sehingga bentuk fungsi $ | 2x + 5 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |2x + 5| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $

c). $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $
Bentuk : $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \, $ (berdasarkan sifatnya).
Syarat Positif : $ x-2 \geq 0 \rightarrow x \geq 2 $,
Syarat negatif : $ x-2 < 0 \rightarrow x < 2 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x-2 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = | x-2 | = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , x \geq 2 \\ -(x-2 ) & , x < 2 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x-2| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $

d). $ |x^2 - x - 6 | $
Syarat Positif : $ x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,
Sehingga bentuk fungsi $ | x^2 - x - 6 | \, $ tanpa mutlaknya :
$ | x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x^2 - x - 6 | \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $

Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak
       Misalkan kita akan menentukan integral fungsi harga mutlak $ |f(x)| \, $ dari batas $ a \leq b \leq c \, $ dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi :
       $ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $
Maka Integralnya dapat dihitung dengan cara :
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
Contoh soal integral fungsi harga mutlak :
2). Tentukan hasil integral dari fungsi harga mutlak berikut ini,
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $

Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan contoh soal 2 ini, kita harus menghilangkan bentuk mutlaknya dengan definisi harga mutlak. Namun tenang saja, cara memecahnya sudah kita bahas pada contoh soal 1 sebelumnya. Jadi untuk batasnya, silahkan baca contoh soal 1 di atas.
a). $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx $
$ |x-1| = (x-1) \, $ untuk batas $ x \geq 1 , \, $ atau
$ |x-1| = -(x-1) \, $ untuk batas $ x < 1 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx & = \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx + \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 | x - 1| dx + \int \limits_{1}^3 | x - 1| dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 -(x-1) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = \int \limits_{-1}^1 (1-x) dx + \int \limits_{1}^3 (x-1) dx \\ & = [x - \frac{1}{2}x^2 ]_{-1}^1 + [\frac{1}{2}x^2 - x]_{1}^3 \\ & = [(1 - \frac{1}{2}.1^2) - ((-1) - \frac{1}{2}(-1)^2 ) ] + [( \frac{1}{2}.3^2 - 3) - ( \frac{1}{2}.1^2 - 1) ] \\ & = [(1 - \frac{1}{2} ) - (-1 - \frac{1}{2} ) ] + [( \frac{9}{2} - 3 ) - ( \frac{1}{2} - 1) ] \\ & = [(\frac{1}{2} ) - (-\frac{3}{2}) ] + [( \frac{3}{2} ) - ( - \frac{1}{2} ) ] \\ & = [ \frac{4}{2} ] + [ \frac{4}{2} ] \\ & = [ 2 ] + [ 2 ] \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-1}^3 | x - 1| dx = 4 $.

b). $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $
$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau
$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari 0 sampai 2 sesuai dengan batas positif $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\ & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.

c). $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx $
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = (x-2) \, $ untuk batas $ x \geq 2 , \, $ atau
$ \sqrt{x^2 - 4x + 4} = -(x-2) \, $ untuk batas $ x < 2 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx & = \int \limits_0^2 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx + \int \limits_2^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx \\ & = \int \limits_0^2 -(x-2) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = \int \limits_0^2 (2-x) dx + \int \limits_2^5 (x-2) dx \\ & = [2x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 + [\frac{1}{2}x^2 - 2x]_2^5 \\ & = [(2.2 - \frac{1}{2}.2^2) - (2.0 - \frac{1}{2}.0^2) ] + [(\frac{1}{2}.5^2 - 2.5) - (\frac{1}{2}.2^2 - 2.2)] \\ & = [(4 - 2) - (0) ] + [(\frac{25}{2} - 10) - (2 - 4)] \\ & = [2 ] + [(\frac{5}{2} ) - (-2)] \\ & = [2 ] + [(2,5 ) + 2] \\ & = 6,5 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_0^5 \sqrt{x^2 - 4x + 4} dx = 6,5 $.

d). $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
Karena batas integral yang diminta dari -3 sampai 5, sesuai dengan batas nilai mutlak maka batasnya kita bagi menjadi tiga yaitu $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
yang dipakai hanya bagian pertama saja yaitu : $ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \, $ dapat dihitung dari bentuk terakhir di atas yang bisa teman-teman integralkan sendiri.^_^

3). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx $ ?
Penyelesaian :
*). Yang dimutlakan hanya $ |x| \, $ , sehingga yang kita hilangkan mutlaknya bentuk $ |x| \, $ saja dengan definisi harga mutlak :
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
Artinya fungsi $ |x| \, $ dapat dibagi menjadi dua yaitu :
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $
Sehingga fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ dapat diubah menjadi :
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Jadi, hasil dari $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx = 19 $.

4). Tentukan hasil dari integral $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx $ ?
Penyelesaian :
Bentuk : $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = \sqrt{(3x^2 - 2x)^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ (sifat mutlak).
Syarat Positif : $ 3x^2 - 2x \geq 0 \rightarrow x(3x - 2) \geq 0 \rightarrow x = 0 \vee x = \frac{2}{3} $,
sehingga syarat positifnya adalah $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} $
SIlahkan baca penyelesaian pertidaksamaan pada : Pertidaksamaan Kuadrat .
Syarat negatif : $ 3x^2 - 2x < 0 \rightarrow 0 < x < \frac{2}{3} $,
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| = \left\{ \begin{array}{cc} 3x^2 - 2x & , x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} \\ -(3x^2 - 2x) & , 0 < x < \frac{2}{3} \end{array} \right. $
Sehingga fungsi $ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = |3x^2 - 2x| \, $ dapat diubah menjadi :
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = (3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ x \leq 0 \vee x \geq \frac{2}{3} , \, $ atau
$ \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } = -(3x^2 - 2x) \, $ untuk batas $ 0 < x < \frac{2}{3} $
*). Menentukan hasil integralnya berdasarkan batas nilai mutlaknya :
$ \begin{align} \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx & = \int \limits_{-2}^0 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} -(3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = \int \limits_{-2}^0 (3x^2 - 2x) dx + \int \limits_{0}^\frac{2}{3} (-3x^2 + 2x) dx + \int \limits_{\frac{2}{3}}^1 (3x^2 - 2x) dx \\ & = [x^3- x^2]_{-2}^0 + [-x^3+ x^2]_{0}^\frac{2}{3} + [x^3- x^2]_{\frac{2}{3}}^1 \end{align} $
Jadi, hasil dari $ \int \limits_{-2}^1 \sqrt{9x^4 - 12x^3 + 4x^2 } dx \, $ bisa teman-teman hitung sendiri dari bentuk integral yang terakhirnya. ^_^.

       Demikian pembahasan materi Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan integral. Semoga materi ini bisa membantu teman-teman yang lagi membutuhkannya.

Kamis, 31 Maret 2016

Menentukan Panjang Busur dengan Integral


         Blog Koma - Aplikasi integral yang sering dipelajari adalah menghitung luas suatu daerah dan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva tertentu. Pada artikel ini kita membahas aplikasi atau penggunaan integral lainnya yaitu menentukan panjang busur suatu kurva. Sehingga materi yang akan kita bahas adalah Menentukan Panjang Busur dengan Integral. Setelah mempelajari semua penggunaan dari integral, kita bisa menyadari bahwa begitu pentingnya materi integral.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Menentukan Panjang Busur dengan Integral, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi jarak dua titik, jumlah Riemann, turunan fungsi aljabar, dan integral tentu fungsi baik aljabar maupun trigonometri. Sebenarnya secara teori materi panjang busur ini sangatlah mudah, hanya saja penggunaan dalam soalnya lebih sulit terutama untuk menghitung hasil integralnya.

         Menentukan Panjang Busur dengan Integral maksudnya kita akan menghitung panjang suatu busur pada batas interval tertentu dari kurva yang nampak. Perhatikan gambar ilustrasi berikut ini, kita akan menghitung panjang busur dari kurva fungsi $ y = f(x) \, $ dari interval $ a \leq x \leq b \, $ atau $ c \leq y \leq d \, $ :
Dari gambar di atas, untuk menghitung panjang busur kita lakukan dengan pendekatan seperti garis warna merah yang berupa garis lurus. Misalkan kita hitung panjang garis merah dari titik $ C(x_{k-1}, y_{k-1}) \, $ ke titik $ D(x_{k}, y_{k}) \, $ yang bisa dihitung dengan rumus jarak dua titik yaitu
jarak $ = \sqrt{(x_k - x_{k-1})^2 + (y_k - y_{k-1})^2 } = \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $.
Artinya panjang total busur dengan pendekatan garis yaitu :
Panjang busur (pendekatan) $ \, = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $ .
Jika kita ambil nilai $ \Delta x_k \, $ dan $ \Delta y_k \, $ sekecil mungkin, artinya banyaknya garis-garis lurus kecil-kecil sependek mungkin yang kita peroleh untuk $ n \, $ mendekati tak hingga, sehingga panjang busur dapat dirumuskan :
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } \, $ atau dengan jumlah Riemann
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ 1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} \right)^2 } \, \Delta x_k = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \, $ atau
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \left( \frac{\Delta x_k}{\Delta y_k} \right)^2 + 1 } \, \, \Delta y_k = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $.

         Bagaimana dengan teori di atas, pasti terlihat sulit yah? iya, karena kita coba untuk menemukan bagaimana asal dari rumus atau cara penghitungan panjang busur suatu kurva menggunakan integral. Berikut akan kita tulis rangkuman secara lebih sederhana rumus panjang busur suatu kurva.

Rumus Menentukan Panjang Busur dengan Integral
Perhatikan gambar kurva berikut ini,
Panjang busur kurva $ y = f(x) \, $ dari titik $ A(a,c) \, $ ke titik $ B(b,d) \, $ dapat dihitung dengan rumus :
*). Berdasarkan batasan sumbu X :
panjang busur AB $ \, = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx $
*). Berdasarkan batasan sumbu Y :
panjang busur AB $ \, = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $ .
Contoh soal menentukan panjang busur dengan integral.
1). Tentukan panjang busur kurva $ 9y^2 = 4x^3 \, $ dari titik $ A(0,0) \, $ ke titik $ B(3, 2\sqrt{3}) $ ?
Penyelesaian :
*). Kita ubah dulu fungsinya :
$ 9y^2 = 4x^3 \rightarrow y = \sqrt{\frac{4x^3}{9}} = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} $
*). Menentukan turunannya :
$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} . \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = x^\frac{1}{2} $
*). Menentukan panjang busurnya :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + \left( x^\frac{1}{2} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + x } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 ( 1 + x )^\frac{1}{2} \, dx \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + x )^\frac{3}{2} ]_0^3 \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + 3 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{2}{3} ( 1 + 0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{2}{3} . 8 ] - [ \frac{2}{3} . 1 ] \\ & = \frac{2}{3} . 7 \\ & = \frac{14}{3} \end{align} $
Jadi, panjang busurnya adalah $ \frac{14}{3} \, $ satuan panjang.

Penghitungan untuk soal nomor 1 ini berdasarkan batasan sumbu X yaitu dari $ x = 0 \, $ sampai $ x = 3 \, $ . Bagaimana dengan perhitungan berdasarkan sumbu Y dari $ y = 0 \, $ sampai $ y = 2\sqrt{3} \, $ ? Bisa saja kita menghitung menggunakan sumbu Y, hanya saja untuk soal ini agak sulit terutama ketika mengintegralkan fungsi yang terbentuk.

2). Tentukan panjang busur kurva $ y = 3x \, $ dari titik $ A(0,0) \, $ ke titik $ B(2,6) $ ?
Penyelesaian :
*). Cara I : Berdasarkan sumbu X, dari $ x = 0 \, $ sampai $ x = 2 $ ,
*). Menentukan turunannya :
$ y = 3x \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3 $
*). Menentukan panjang busurnya :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + \left( 3 \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + 9 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 10 } \, dx \\ & = [ \sqrt{ 10 } x ]_0^2 \\ & = [ \sqrt{ 10 } .2 ] - [ \sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Jadi, panjang busurnya adalah $ 2\sqrt{ 10 } \, $ satuan panjang.

*). Cara II : Berdasarkan sumbu Y, dari $ y = 0 \, $ sampai $ y = 6 $ ,
*). Menentukan turunannya :
$ y = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y \rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} $
*). Menentukan panjang busurnya :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1}{9} + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1+9}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{10}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } \, \, dy \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }y ]_0^6 \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }. 6 ] - [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Jadi, panjang busurnya adalah $ 2\sqrt{ 10 } \, $ satuan panjang.

Bagaimana cara menghitung panjang busur (berupa lintasan) jika fungsi $ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $ dengan berjalan selama $ a \leq t \leq b $. Hal ini bisa kita hitung dengan memodivikasi rumus umumnya :
Panjang $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } $
menjadi :
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \times \frac{dt}{dt} \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {dt} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {(dt)^2} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 + ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 } {(dt)^2} + \frac{ ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \end{align} $

Rumus Menentukan Panjang Busur yang berkaitan dengan fungsi lain
Cara menghitung panjang busur (berupa lintasan) jika fungsi $ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $ dengan berjalan selama $ a \leq t \leq b $.
Panjang busur $ \, = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt $
Contoh soal :
3). Misalkan suatu partikel berjalan sepanjang suatu lintasan pada koordinat cartesius yang memenuhi persamaan $ x = 3t \, $ dan $ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} $, dengan $ t \, $ dalam menit. Tentukan panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel tersebut setelah 1 menit dari titik asal.?

Penyelesaian :
*). Menentukan turunan masing-masing :
$ x = 3t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3 $
$ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} \rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{8}{3} . \frac{3}{2}t^\frac{1}{2} = 4t^\frac{1}{2}$
*). Menentukan panjang lintasan partikel :
$ \begin{align} \text{Panjang lintasan } & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( 3 \right)^2 + \left( 4t^\frac{1}{2} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 \sqrt{ 9 + 16t } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 ( 9 + 16t )^\frac{1}{2} \, \, dt \\ & = [ \frac{1}{6} . \frac{2}{3} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.1 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} ( 25 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} . 125 ] - [ \frac{1}{9} . 27 ] \\ & = \frac{1}{9} ( 125 - 27 ) \\ & = \frac{1}{9} ( 98 ) \\ & = \frac{98}{9} \\ & = 10\frac{8}{9} \end{align} $
Jadi, panjang lintasan yang ditempuh oleh partikel tersebut selama 1 menit adalah $ 10\frac{8}{9} \, $ satuan panjang.

Volume Benda Putar Menggunakan Integral


         Blog Koma - Salah satu penggunaan integral selain menghitung luas daerah juga digunakan untuk menghitung volume benda putar. Pada artikel ini kita akan membahas artikel Volume Benda Putar Menggunakan Integral. Volume benda putar disini maksudnya suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva kemudian diputar terhadap suatu garis tertentu yang biasanya diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y dengan satu putaran penuh yaitu $ 360^\circ $ . Namun untuk tingkat kuliah, khususnya pada matakuliah kalkulus, daerah tersebut tidak hanya diputar terhadap sumbu X atau sumbu Y saja, akan tetapi bisa diputar terhadap garis lain.

         Berikut ilustrasi volume benda putar menggunakan integral dengan memutar suatu daerah mengelilingi sumbu X seperti gambar berikut ini.
Dari gambar ilustrasi di atas, gambar pertama daerah berupa segitiga diputar mengelilingi sumbu X sehingga terbentuk bangun ruang kerucut, dan gambar kedua daerah berupa setengah lingkaran diputar mengelilingi sumbu X sehingga terbentuk bangun ruang bola.

         Volume Benda Putar Menggunakan Integral secara umum menggunakan dua metode dalam perhitungannya yaitu metode cakram dan metode kulit tabung. Untuk metode cakram memiliki ciri arah putaran sesuai dengan batasan integralnya, misalkan jika daerah diputar terhadap sumbu X maka batasannya juga ada pada sumbu X. Sedangkan metode kulit tabung dalam volume benda putar memiliki ciri arah putaran berbeda dengan batasan integralnya, misalkan daerah diputar terhadap sumbu Y tetapi batasnya ada di sumbu X. Seperti luas suatu daerah, volume benda putar juga ada yang dibatasi satu kurva saja dan ada dibatasi dua kurva.

Metode Cakram :
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Perhatikan gambar berikut ini,
Volume benda putar yang terjadi dari daerah yang dibatasi oleh $ y = f(x) $, sumbu X, garis $ x = a$, dan garis $ x = b $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ$, volumenya adalah
Volume $ = \pi \int \limits_a^b y^2 dx = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx $
Contoh soal volume benda putar :
1). Tentukan volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh kurva $ y = x $, sumbu X, dan garis $ x = 3 $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ $. ?

Penyelesaian :
*). gambar benda putar yang terbentuk :
baca materi : Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya.
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^3 [x]^2 dx \\ & = \pi [\frac{1}{3}x^3]_0^3 \\ & = \pi ( [\frac{1}{3}.3^3] - [\frac{1}{3}.0^3] ) \\ & = \pi ( [9] - [0] ) \\ & = 9 \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $ 9 \pi $ satuan volume.

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu Y
Perhatikan gambar berikut ini,
Jika daerah yang dibatasi oleh $ x = f(y)$, sumbu Y, garis $ y = a$, dan garis $ y = b $ diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ$, volume benda putarnya adalah
Volume $ = \pi \int \limits_a^b x^2 dy = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 dy $
Contoh soal :
2). Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $ y = x^2$, garis $ y = 2$, dan garis $ y = 5 $ diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian :
*). Gambarnya,
baca materi : Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_2^5 [\sqrt{y}]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_2^5 y dy \\ & = \pi [ \frac{1}{2}y^2]_2^5 \\ & = \pi ( [ \frac{1}{2}.5^2] - [ \frac{1}{2}.2^2]) \\ & = \frac{21}{2}\pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $ \frac{21}{2}\pi $ satuan volume.

Volume Benda Putar dibatasi Dua Kurva
*). Diputar terhadap sumbu X
Dimisalkan T adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva $ y_1 = f(x) $ dan $ y_2 = g(x) $ dengan $ | f(x) | \geq | g(x) | $ pada interval $ a \leq x \leq b$. Daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ $ sehingga terbentuk suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di atas. Volume benda yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva $ y_1 = f(x), y_2 = g(x)$, garis $ x = a $ dan $ x = b $ adalah
Volume $ \, = \pi \int \limits_a^b (y_1)^2 - (y_2)^2 dx = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 - [g(x)]^2 dx $.

*). Diputar terhadap sumbu Y
Dimisalkan U adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva-kurva $ x_1 = f(y) $ dan $ x_2 = g(y) $ dengan $ | f(y) | \geq | g(y) | $ pada interval $ a \leq x \leq b$. Daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ $ sehingga terbentuk suatu benda putar yang tengahnya kosong. Perhatikan gambar di atas. Volume benda yang terbentuk adalah
Volume $ \, = \pi \int \limits_a^b (x_1)^2 - (x_2)^2 dy = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 - [g(y)]^2 dy $.

Catatan :
Cara mengurangkannya yaitu kurva terjauh dikurangkan kurva terdekat terhadap sumbu putar.
Contoh soal :
3). Tentukan volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 6x - x^2 $ dan $ y = x $ diputar mengelilingi sumbu X sejauh $ 360^\circ$

Penyelesaian :
*). menentukan titik ptong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x & = 6x - x^2 \\ x^2 - 5x & = 0 \\ x(x-5) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 5 \end{align} $
artinya batas integralnya dari 0 sampai 5.
*). Gambar daerahnya,
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 - [g(x)]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^5 [6x - x^2]^2 - [x]^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^5 ( x^4 -12x^3 + 35x^2) dx \\ & = \pi [ \frac{1}{5}x^5 -3x^4 + \frac{35}{3}x^3]_0^5 \\ & = 208\frac{1}{3} \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $ 208\frac{1}{3} \pi $ satuan volume.

4). Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2, y = 3x^2$, dan $ y = 3 $ di kuadran pertama diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ$.

Penyelesaian :
*). gambar daerahnya,
*). Mengubah fungsi menjadi $ x = f(y) $,
fungsi $ y = x^2 \rightarrow x_1 = \sqrt{y} $
fungsi $ y = 3x^2 \rightarrow x_2 = \sqrt{\frac{1}{3}y} $
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = \pi \int \limits_a^b [f(y)]^2 - [g(y)]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 [\sqrt{y}]^2 - [\sqrt{\frac{1}{3}y}]^2 dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 (y - \frac{1}{3}y) dy \\ & = \pi \int \limits_0^3 \frac{2}{3}y dy \\ & = \pi [\frac{2}{6}y^2]_0^3 \\ & = \pi [\frac{1}{3}y^2]_0^3 \\ & = \pi ([\frac{1}{3}.3^2]- [\frac{1}{3}.0^2] ) \\ & = \pi ([3]- [0]) \\ & = 3 \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $ 3 \pi $ satuan volume.

Metode Kulit Tabung :
Volume benda putar mengelilingi sumbu X atau Y
*). Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ adalah
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b xf(x) dx $

*). Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ adalah
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b f(y) . y dy $

Catatan :
Metode kulit tabung ini kita pakai apabila kita kesulitan dalam mengubah bentuk fungsi $ y = f(x) \, $ menjadi $ x = f(y) \, $ atau sebaliknya.
Contoh soal :
5). Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = -x^3 + 4x , \, x = 0, \, x = 1 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ $ . ?

Penyelesaian :
*). Gambar daerahnya,
Karena diputar mengelilingi sumbu Y, dengan metode cakram seharusnya batasnya ada pada sumbu Y dan fungsi kita ubah menjadi bentuk $ x = f(y) $. Hanya saja fungsi dari kurvanya $ y = -x^3 + 4x \, $ yang akan sangat sulit bagi kita untuk mengubahnya menjadi bentuk $ x = f(y) $ , dalam hal ini metode cakram sulit kita terapkan untuk menghitung volume benda putarnya. Sehingga yang termudah kita gunakan metode kulit tabung.
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b xy dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 x(-x^3 + 4x) dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^1 (-x^4 + 4x^2) dx \\ & = 2\pi [\frac{-1}{5}x^5 + \frac{4}{3}x^3]_0^1 \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5}.1^5 + \frac{4}{3}.1^3] - [\frac{-1}{5}.0^5 + \frac{4}{3}.0^3]) \\ & = 2\pi ( [\frac{-1}{5} + \frac{4}{3} ] - [0]) \\ & = 2\pi ( \frac{-3}{15} + \frac{20}{15} ) \\ & = 2\pi ( \frac{17}{15} ) \\ & = \frac{34}{15} \pi \\ & = 2\frac{4}{15} \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $ 2\frac{4}{15} \pi $ satuan volume.

Volume Benda Putar dibatasi dua kurva Metode Kulit Tabung
*). Mengelilingi sumbu Y dan batas di sumbu X
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) , \, y = g(x) , \, x = a, \, x = b, \, $ dan sumbu X diputar terhadap sumbu Y sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(x)| \geq |g(x)| \, $ adalah
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dx = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx $

*). Mengelilingi sumbu X dan batas di sumbu Y
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ x = f(y) , \, x = g(y) , \, y = a, \, y = b, \, $ dan sumbu Y diputar terhadap sumbu X sejauh $ 360^\circ \, $ dengan $ |f(y)| \geq |g(y)| \, $ adalah
Volume $ \, = 2\pi \int \limits_a^b xy dy = 2\pi \int \limits_a^b [f(y) - g(y)] y dy $
Contoh soal :
6). Tentukan volume benda putar yang dibatasi oleh kurva $ y = \frac{1}{3}x^2 , \, y = x , \, x = 0, \, x = 2 , \, $ dan sumbu X yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh $ 360^\circ $ . ?

Penyelesaian :
*). Gambar daerahnya,
*). Menentukan volumenya,
$\begin{align} V & = 2\pi \int \limits_a^b x[f(x) - g(x)] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 x[x - \frac{1}{3}x^2] dx \\ & = 2\pi \int \limits_0^2 (x^2 - \frac{1}{3}x^3) dx \\ & = 2\pi [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{12}x^4]_0^2 \\ & = 2\pi ( [\frac{1}{3}.2^3 - \frac{1}{12}.2^4] - [\frac{1}{3}.0^3 - \frac{1}{12}.0^4] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{8}{3} - \frac{4}{3} ] - [0] ) \\ & = 2\pi ( [\frac{4}{3} ] ) \\ & = \frac{8}{3} \pi \\ & = 2\frac{2}{3} \pi \end{align} $
Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $ 2\frac{2}{3} \pi $ satuan volume.

       Volume benda putar menggunakan integral yang dibahas pada artikel ini memang sederhana dan merupakan konsep dasar yang harus dikuasai serta dipahami dengan baik. Artinya untuk tipe soal yang sulitpun pengerjaannya akan melalui proses yang sama seperti contoh-contoh soal pada materi ini. Dari hampir semua contoh yang ada pada volume benda putar, hal mendasar yang harus kita pahami terlebih dahulu adalah menggambar kurva atau grafik dari fungsi yang ada, setelah itu baru menguasai cara mengintegralkan fungsi aljabar. Semoga materi ini berguna untuk kita semua.

Rabu, 30 Maret 2016

Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral


         Blog Koma - Sebelumnya kita telah mempelajari materi Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral yang bisa membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan luas daerah di bawah suatu kurva dengan cepat. Hanya saja cara cepat ini bersifat terbatas untuk jenis-jenis soal tertentu dan tidak berlaku untuk semua tipe soal. Rumus Cepat yang digunakan ada tiga pada artikel tersebut yang semuanya akan kita buktikan.

         Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral secara langsung. Sebagai siswa/siswi yang memiliki kemampuan berpikir kritis, maka kita tidak bisa percaya begitu saja dengan rumus cepat tersebut, yang walaupun ketika kita menggunakannya dalam menyelesaikan soal-soal yang sesuai memiliki hasil yang sama dengan menggunakan konsep dasarnya. Ada tiga rumus cepat yang akan kita buktikan sesuai yang ada pada materi "Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral".

         Untuk memudahkan dalam memahami materi Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral, sebaiknya teman-teman pelajari dulu materi integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar , Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral , dan rumus operasi akar-akar pada persamaan kuadrat. Kedua materi ini (integral dan operasi akar-akar) akan kita gunakan untuk membuktikan rumus diskriminan dan rumus kedua. Sedangkan untuk pembuktian rumus ketiga akan langsung berkaitan dengan integral dan fungsi kuadrat (grafiknya).

Pembuktian Rumus Cepat Pertama
Rumus Diskriminan
       Dari bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ dapat dihitung dengan cara $ D = b^2 - 4ac $.
Luas Daerah Arsiran $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $

Pembuktian :
*). Sesuai syaratnya, rumus ini hanya berlaku untuk daerah yang hanya dibatasi oleh dua kurva saja yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis.
*). Pertama, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan parabola $ y = a_2x^2 + b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk menentukan titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = a_2x^2 + b_2x + c_2 \\ (a_1-a_2)x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 - a_2, b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2 $.
sehingga persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Kedua, parabola $ y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \, $ dan garis $ y = b_2x + c_2 $
Kita samakan kedua fungsinya untuk menentukan titik potong
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = + b_2x + c_2 \\ a_1x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align} $
kita misalkan $ a = a_1 , b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2 $.
sehingga persamaannya menjadi $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang merupakan titik potong kedua kurva.
*). Dari kedua bentuk di atas, intinya terbentuk persamaan $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ yang juga merupakan titik potong kedua kurva masing-masing daerah seperti gambar berikut ini.
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \, x_1 . x_2 = \frac{c}{a} , \, x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
$ x_2^2 - x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1) = \frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a} $
$ x_2^3 - x_1^3 = (x_2-x_1)^3 + 3x_1x_2(x_2-x_1) = (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} $
*). Menghitung luas dengan integral
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{x_1}^{x_2} y_1 - y_2 dx \\ & = \int \limits_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) dx \\ & = [\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx]_{x_1}^{x_2} \\ & = [\frac{a}{3}x_2^3 + \frac{b}{2}x_2^2 + cx_2] - [\frac{a}{3}x_1^3 + \frac{b}{2}x_1^2 + cx_1] \\ & = \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3) + \frac{b}{2}(x_2^2 - x_1^2) + c(x_2 - x_1) \\ & = \frac{a}{3}[ (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{a}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a^2} + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{1}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a} + 3c \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D}{a} + 3c ] + \frac{b}{2}[ \frac{(-b)}{a}] + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{b^2}{2a} + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2}{6}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D+6ac}{6a} - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3b^2 + 12ac}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(b^2 - 4ac)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(D)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{-D}{6a} \right) \\ & = \frac{-D\sqrt{D}}{6a^2} \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \end{align} $
Jadi, terbukti rumusnya yaitu Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $.

Pembuktian Rumus Cepat Kedua
Rumus Pengurangan titik potong
       Misalkan kedua kurva seperti gambar di atas (syarat dua kurvanya seperti pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ , maka luas daerah yang diarsir dapat ditentukan dengan rumus : $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.

Pembuktian :
*). Untuk membuktikan rumus kedua ini, kita akan gunakan rumus pertama dan operasi akar.
Dari bentuk $ x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a } $
kita peroleh :
$ \sqrt{D} = a(x_2 - x_1 ) \, $ dan $ D = a^2(x_2 - x_1)^2 $
*). Menentukan luasnya :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ & = \frac{a^2(x_2 - x_1)^2 . a(x_2 - x_1 ) }{6a^2} \\ & = \frac{a(x_2 - x_1)^3}{6} \\ & = \frac{a}{6} (x_2 - x_1)^3 \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{a}{6} |x_1-x_2|^3 \end{align} $
Jadi, terbukti rumus cepat kedua ini.

Pembuktian Rumus Cepat Ketiga
       Syarat rumus ini bisa digunakan hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan daerah yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :
Dari gambar, luas daerah A dan B jika digabungkan membentuk persegi panjang. Perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1. Sehingga luas A atau B Yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.

Pembuktian :
*). Kita akan gunakan bentuk fungsi kuadrat yang paling sederhana yaitu $ y = ax^2 \, $ , karena bentuk fungsi kuadrat yang lain yaitu $ y = ax^2 + bx + c \, $ diperoleh dari menggeser bentuk $ y = ax^2 \, $ dan tidak akan merubah luasan darah yang terbentuk. Perhatikan gambar berikut ini,
*). Menghitung luas masing-masing :
Luas daerah A dibatasi oleh kurva $ y = ak^2 \, $ dan $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas A } & = \int \limits_0^k (ak^2 - ax^2) dx \\ & = [ak^2x - \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ak^2 . k - \frac{a}{3}.k^3] - [ak^2.0 - \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ak^3 - \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{2}{3}ak^3 \end{align} $
Luas daerah B dibatasi oleh kurva $ y = ax^2 $ dengan interval 0 sampai $ k $,
$ \begin{align} \text{Luas B } & = \int \limits_0^k ax^2 dx \\ & = [ \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ \frac{a}{3}.k^3] - [ \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{1}{3}ak^3 \end{align} $
*). Perbandingan luas A dan B
$\begin{align} \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{\frac{2}{3}ak^3}{\frac{1}{3}ak^3} \\ \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Karena perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1, artinya jika luas A dan B digabung akan membentuk sebuah persegi panjang, sehingga luas masing-masing jika dikaitkan dengan luas persegi panjang yang ada yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.
Jadi, terbukti luas yang diinginkan.

Senin, 28 Maret 2016

Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral


         Blog Koma - Sebelumnya teman-teman telah belajar menghitung luas daerah menggunakan integral dimana poin penting yang harus kita butuhkan dalam penghitungannya yaitu fungsi setiap kurva, batasan integralnya (baik sumbu X atau sumbu Y), dan daerah arsirannya. Pada artikel ini kita akan mempelajari Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral baik dengan diketahui grafiknya (kurvanya) atau tidak.

         Yang namanya cara cepat itu pasti sifatnya terbatas. Apakah cara cepat ini bisa digunakan untuk menghitung luas daerah berkaitan integral semua jenis soal? tentu tidak, hanya tipe soal tertentu yang bisa kita gunakan cara cepat. Kami menyarankan bagi teman-teman yang sedang belajar menghitung luas daerah sebaiknya juga menguasai konsep dasarnya juga, karena konsep dasar itu pasti akan bisa mengkover atau bisa menyelesaikan semua jenis soal yang berkaitan dengan integral luasan.

         Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral ini secara umum dibagi menjadi dua yaitu pertama : menghitung luas tanpa menggambar kurvanya (grafiknya) dan kedua : diketahui grafiknya tetapi tidak diketahui fungsinya. Untuk penghitungannya juga ada dua yaitu langsung menggunakan rumus baku (artinya tidak perlu menggunakan integral) dan tetap menggunakan integral. Hanya saja untuk penggunaan rumus baku hanya terbatas pada bentuk fungsi kuadrat dan fungsi linear. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita pelajari materinya berikut ini.

Menghitung Luas Daerah dengan Rumus Baku
       Cara cepat yang pertama yaitu langsung menggunakan rumus baku, artinya kita tidak perlu menggunakan integral. Berikut penjelasannya :

i). Rumus Diskriminan
       Tentu teman-teman masih ingat tentang cara menentukan nilai Diskriminan pada materi persamaan kuadrat? Misalkan ada bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ , nilai diskriminannya $ (D) \, $ dapat dihitung dengan cara $ D = b^2 - 4ac $. Adapun syarat penggunaan rumus diskriminan ini adalah untuk daerah yang tepat dibatasi oleh dua kurva yaitu kurva parabola dan parabola atau kurva parabola dan garis lurus.
Langkah-langkah pengerjaannya :
*). Samakan kedua fungsi, lalu nolkan salah satu ruas.
*). Hitunglah nilai diskriminan $(D) \, $ tanpa menyederhanakan bentuk persamaan kuadratnya.
*). Hitung luas dengan rumus : Luas $ \, = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $

ii). Rumus Pengurangan titik potong
Perhatikan bentuk gambar berikut ini,
Misalkan kedua kurva seperti gambar di atas (syarat dua kurvanya seperti pada rumus diskriminan di atas) berpotongan di $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ , maka luas daerah yang diarsir dapat ditentukan dengan rumus : $ \text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 $.

iii). Rumus persegi panjang
       Rumus ketiga ada kaitannya dengan konsep luas persegi panjang. Syarat rumus ini bisa digunakan hanya untuk fungsi kuadrat dimana kurvanya berupa parabola dan daerah yang dicari luasnya harus sisinya melalui titik balik (titik puncak) dari parabola tersebut. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini :
Dari gambar, luas daerah A dan B jika digabungkan membentuk persegi panjang. Perbandingan luas A dan B adalah 2 : 1. Sehingga luas A atau B Yaitu :
Luas A $ \, = \frac{2}{3} \times \, $ luas persegi panjang,
Luas B $ \, = \frac{1}{3} \times \, $ luas persegi panjang.

Catatan : perlu diingat, bagian di dalam kurva (bagian gemuk) memiliki luas lebih besar dari bagian yang di luar kurva (bagian kurus).

Untuk pembuktian ketiga rumus di atas, silahkan dibaca pada artikel Pembuktian Rumus Cepat Luas Daerah Berkaitan Integral

Contoh Soal Cara Cepat Menghitung Luas Daerah :
1). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ a = 2, \, b = -8, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (-8)^2 - 4 . 2 . 0 \\ & = 64 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{64 \sqrt{64}}{6. 2^2} = \frac{64 . 8}{24 } = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

2). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 + 3x + 5 \, $ dan $ y = -4x - 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai diskriminannya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, b = 7, \, c & = 6 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (7)^2 - 4 . 1 . 6 \\ & = 25 \end{align} $
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{25 \sqrt{25}}{6. 1^2} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 20\frac{5}{6} \, $ satuan luas.

3). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva seperti gambar di bawah ini,
Penyelesaian :
a). Gambar (a), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 3 \, $ dan $ x_2 = 5 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 2x^2 + bx + c & = -x^2 + px + q \\ 3x^2 + (b-p)x + (c-q) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|3-5|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 4 \, $ satuan luas.

b). Gambar (b), kedua kurva berpotongan di $ x_1 = 4 \, $ dan $ x_2 = 6 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x^2 + bx + c & = mx + n \\ 3x^2 + (b-m)x + (c-n) & = 0 \\ \end{align} $
kita peroleh nilai $ a = 3 $.
*). Menghitung luasnya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 = \frac{3}{6}|4-6|^3 = \frac{1}{2}|-2|^3 = \frac{1}{2}. 8 = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 4 \, $ satuan luas.

Catatan :
Untuk contoh soal nomor 3 ini, jika kita menggunakan konsep dasar maka harus menentukan fungsi kurva masing-masing yang belum lengkap.

4). Perhatikan gambar berikut ini, tentukan luas daerah yang diarsir.
Penyelesaian :
a). Gambar (a), persegi panjang dengan panjang 2 dan lebar 3 seperti gambar berikut ini :
Luas $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 3 = 4 $.
Jadi, luas daerah gambar (a) adalah 4 satuan luas.

b). Gambar (b), kita bagi menjadi dua bagian yaitu L1 dan L2 berupa segitiga
*). Menghitung luas masing-masing :
Luas L1 $ \, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $
Luas L2 (segitiga) $ \, = \frac{1}{2} \times a \times t = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 $
Sehingga luas totalnya :
Luas $ \, = L1 + L2 = 2\frac{2}{3} + 2 = 4\frac{2}{3} $.
Jadi, luas daerah gambar (b) adalah $ \, 4\frac{2}{3} \, $ satuan luas.

5). Parabola berikut memiliki titik puncak di $(a,b)$ . Jika luas daerah yang diarsir adalah 5 satuan luas, maka tentukan nilai $ a + b $ ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita bagi daerahnya menjadi dua seperti gambar berikut ini
Luas A sama dengan luas B. Persegi panjang yang terbentuk pada daerah A memiliki panjang 1 dan lebar $ b $.
*). Menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} \text{Luas arsir } & = L_A + L_B \\ 5 & = 2 \times L_A \\ 5 & = 2 \times \frac{2}{3} \times p \times l \\ 5 & = \frac{4}{3} \times 1 \times b \\ 5 & = \frac{4}{3} \times b \\ b & = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
Karena titik $(a,b) \, $ adalah titik puncak, maka $ a \, $ terletak ditengah-tengah antara titik potong parabola dengan sumbu X yaitu antara 2 dan 4, artinya nilai $ a = \frac{2 + 4}{2} = 3 $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
Nilai $ a + b = 3 + 3\frac{3}{4} = 6\frac{3}{4} $
Jadi, kita peroleh nilai $ a + b = 6\frac{3}{4} $.

         Bagaimana jika rumus baku di atas tidak bisa kita gunakan untuk menghitung luas daerah berkaitan integral karena syaratnya tidak terpenuhi? Tenang saja teman, kita masih ada cara lain yaitu tidak perlu menggambar grafiknya dimana sebagian besar siswa sangat kurang senang dalam menggambar kurva suatu fungsi. Kita tetap menggunakan konsep luas menggunakan integral hanya saja kita tidak perlu menggambar kurvanya, yang kita butuhkan hanya batas dan fungsinya dan sedikit analisa jika ada lebih dari satu daerah yang harus dihitung luasnya.

Menghitung Luas Daerah dengan integral Tanpa menggambar kurva (grafiknya)
Langkah-langkah dalam menghitung luasnya :
i). Tentukan titik potong kurva terhadap sumbu X (dengan substitusi $ y = 0 $ ) untuk luasan satu kurva dan tentukan titik potong kedua kurva jika dibatasi dua kurva.
ii). Dari titik potong bagian (i), kita akan menentukan apakah pada batasan tersebut daerahnya sudah di atas sumbu X atau di bawah dengan cara mensubstitusi salah satu nilai $ x \, $ yang ada diantara titik potong ke fungsinya. Jika nilai fungsi positif maka daerahnya ada di atas dan jika nilai fungsi negatif maka daerahnya ada di bawah sumbu X.
iii). Menghitung luasnya dengan integral.
Contoh soal menghitung luas daerah dengan integral tanpa menggambar kurva (grafiknya) :
6). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^2 -6x + 8 & = 0 \\ (x - 2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ sama dengan batas garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 4 $, artinya batasan integralnya sudah jelas yaitu dari 2 sampai 4.
*). Menentukan letak daerah arsiran
Batasannya antara 2 dan 4, kita coba titik $ x = 3 \, $ ,
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 3^2 -6.3 + 8 \\ & = 9 -18 + 8 \\ & = -1 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif $(-1) $ , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X, sehingga agar luasnya positif kita kalikan dengan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = - \int \limits_2^4 x^2 -6x + 8 dx \\ & = -[ \frac{1}{3}x^3 -3x^2 + 8x ]_2^4 \\ & = -([ \frac{1}{3}.4^3 -3.4^2 + 8.4 ] - [ \frac{1}{3}.2^3 -3.2^2 + 8.2 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -48 + 32 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 -12 + 16 ]) \\ & = -([ \frac{64}{3} -16 ] - [ \frac{8}{3}.2^3 + 4 ]) \\ & = -( \frac{56}{3} - 20) \\ & = -( - \frac{4}{3} ) \\ & = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ \frac{4}{3} \, $ satuan luas.

7). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 6x + 8 , \, $ sumbu X, garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). soal ini mirip dengan sola nomor 6, sehingga titik potong terhadap sumbu X adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 4 $.
Batas yang diminta adalah garis $ x = 0 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya dari titik potong tersebut ada pembatas $ x = 2 \, $ yang membagi daerah untuk $ x = 0 \, $ sampai $ x = 3 $, ini menandakan ada dua daerah yang akan dihitung luasnya yaitu daerah 0 sampai 2 dan daerah 2 sampai 3.
*). Menentukan letak daerah arsiran
Daerah pertama 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = 1^2 -6.1 + 8 \\ & = 1 -1 + 8 \\ & = 8 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah 0 sampai 2.
Daerah kedua 2 sampai 3, substitusi $ x = 2,5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 -6x + 8 \\ y & = (2,5)^2 -6.(2,5) + 8 \\ & = 6,25 -15 + 8 \\ & = -0,75 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 2 sampai 3, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx + (- \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx ) \\ & = \int \limits_0^2 x^2 -6x + 8 dx - \int \limits_2^3 x^2 -6x + 8 dx \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud bisa dihitung dari bentuk integral di atas.

8). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^3 - 4x \, $ dan sumbu X.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kurva terhadap sumbu X :
$ \begin{align} y = 0 \rightarrow x^3 - 4x & = 0 \\ x(x^2 - 4) & = 0 \\ x(x - 2)(x+2) & = 0 \\ x = 0, \, x = 2, \, \vee x & = -2 \end{align} $
Karena batasnya langsung dengan sumbu X, maka batasan integral yang kita gunakan langsung menggunakan titik potong sumbu X. Ada tiga titik potongnya, artinya ada dua daerah yang akan kita hitung luasnya yaitu daerah dari -2 sampai 0 dan dari 0 sampai 2.
Daerah pertama -2 sampai 0, substitusi $ x = -1 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = (-1)^3 - 4.(-1) \\ & = -1 + 4 \\ & = 3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya positif , artinya daerah arsiran ada di atas sumbu X untuk daerah -2 sampai 0.
Daerah kedua 0 sampai 2, substitusi $ x = 1 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow y & = x^3 - 4x \\ y & = 1^3 - 4.1 \\ & = 1 - 4 \\ & = -3 \end{align} $
Karena hasil fungsinya negatif , artinya daerah arsiran ada di bawah sumbu X untuk daerah 0 sampai 2, agar luasnya positif maka harus kita kalikan negatif.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_1 + L_2 \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx + (- \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx ) \\ & = \int \limits_{-2}^0 x^3 - 4x dx - \int \limits_0^2 x^3 - 4x dx \\ & = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^0 - [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_0^2 \\ & = ([ 0 ]-[\frac{1}{4}. (-2)^4 - 2.(-2)^2]) - ([\frac{1}{4}.2^4 - 2.2^2] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[4 - 8]) - ([4 - 8] - [0]) \\ & = ([ 0 ]-[-4]) - ([-4] ) \\ & = 4 + 4 \\ & = 8 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 8 satuan luas.

9). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x + 5 , \, y = 4x - 3 \, $ , garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x + 5 & = 4x - 3 \\ x^2 - 6x + 8 & = 0 \\ (x-2)(x-4) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 4 \end{align} $
Ternyata titik potong pada sumbu X di $ x_1 = 2 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ . Namun batasan yang diminta adalah garis $ x = 2 \, $ dan garis $ x = 3 $, artinya batasan integralnya ada di dalam interval 2 sampai 4, sehingga yang dipakai adalah batasannya dari 2 sampai 3.
*). Menentukan posisi kurva mana yang di atas dan mana yang di bawah.
Batasannya antara 2 dan 3, kita coba titik $ x = 2,5 \, $ ,
kurva : $ y = x^2 - 2x + 5 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = x^2 - 2x + 5 \\ y & = (2,5)^2 - 2.(2,5) + 5 \\ & = 6,25 -5 + 5 \\ & = 6,25 \end{align} $
kurva : $ y = 4x - 3 $
$ \begin{align} x = 2,5 \rightarrow y & = 4x - 3 \\ y & = 4.(2,5) - 3 \\ & = 10 - 3 \\ & = 7 \end{align} $
Karena nilai untuk kurva $ y = x^2 - 2x + 5 \, $ lebih besar dari nilai kurva $ y = 4x - 3 \, $ , artinya kurva pertama di atas kurva kedua.
*). Menghitung luasnya
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_2^3 (x^2 - 2x + 5) - (4x - 3) dx \\ & = \int \limits_2^3 x^2 - 6x + 8 dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x ]_2^3 \\ & = [\frac{1}{3}.3^3 - 3.3^2 + 8.3 ] - [\frac{1}{3}.2^3 - 3.2^2 + 8.2 ] \\ & = [9 - 18 + 24 ] - [\frac{8}{3} - 12 + 16 ] \\ & = [15 ] - [\frac{8}{3} + 4 ] \\ & = 11 - \frac{8}{3} \\ & = 9\frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah $ 9\frac{2}{3} \, $ satuan luas.

       Bagaimana pembahasan Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Berkaitan Integral pada artikel ini? Mudah-mudahan bisa membantu teman-teman yang lagi mempelajari materi integral khususnya tentang penggunaan integral pada luas daerah arsiran. Yang namanya cara cepat pasti sifatnya terbatas hanya untuk soal-soal terntentu saja. Jadi, kami sarankan bagi teman-teman untuk menguasai konsep dasar menghitung luas daerah dengan integral yaitu membutuhkan fungsi, batasan, dan daerahnya dengan menggambar kurvanya.

Sabtu, 26 Maret 2016

Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral


         Blog Koma - Setelah kita mempelajari cara mengintegralkan suatu fungsi baik itu fungsi aljabar maupun fungsi trigonometri, sudah saatnya kita akan mempelajari penggunaan integral itu sendiri. Ada beberapa penggunaan dari integral diantaranya yaitu menghitung luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva, menghitung volume benda putar, dan menghitung panjang lintasan suatu kurva. Pada artikel ini akan kita bahas salah satunya yaitu Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral.

         Dalam mempelajari materi Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral ini, ada beberapa hal yang harus kita kuasai terlebih dahulu selain menguasai cara pengintegralan yaitu menggambar grafik suatu fungsi. Grafik atau kurva yang biasa dihitung luasnya adalah grafik fungsi linear (berupa garis) dan grafik fungsi kuadrat (berupa parabola). Terkadang juga melibatkan grafik dengan fungsi selain linear dan kuadrat dimanan untuk menggambar kurvanya bisa menggunakan turunan yang bisa dibaca pada artikel Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan.

         Cara Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral sebenarnya dibagi menjadi dua secara garis besarnya yaitu luas daerah dengan batas ada di sumbu X dan luas daerah yang batasnya ada pada sumbu Y. Kemudian untuk masing-masing baik batas di sumbu X maupun sumbu Y dibagi lagi menjadi beberapa bagian. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak materinya langsung pada penjabaran berikut ini.

Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu X
$\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Satu Kurva pada sumbu X
       Untuk daerah yang dibatasi oleh satu kurva memiliki dua tipe luas yaitu luas dengan daerah di atas sumbu X dan daerah berada di bawah sumbu X seperti gambar berikut ini :
*). Luas Daerah R di atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) \, $ , sumbu X, garis $ x = a \, $ dan garis $ x = b \, $ , dengan $ f(x) \geq 0 \, $ pada interval $[a,b] \, $ , dapat dihitung dengan rumus integral :
              Luas R $ \, = \int \limits_a^b f(x) dx $.
*). Luas Daerah S di bawah sumbu X yang dibatasi oleh kurva $ y = g(x) \, $ , sumbu X, garis $ x = c \, $ dan garis $ x = d \, $ , dengan $ g(x) \leq 0 \, $ pada interval $[c,d] \, $ , dapat dihitung dengan rumus integral :
              Luas S $ \, = - \int \limits_c^d g(x) dx $.
Catatan : Kenapa luas daerah di bawah sumbu X diberi tanda negatif? karena nilai fungsi di bawah sumbu X negatif padahal luasan suatu daerah selalu bernilai positif sehingga diberi atau dikalikan negatif agar bernilai positif.

$\spadesuit \, $ Luas Daerah dibatasi Dua Kurva pada sumbu X
       Untuk luas daerah yang terletak di antara dua kurva dengan batas ada di sumbu X bisa dilihat gambar berikut ini.
Daerah U terletak antara dua kurva (dibatasi oleh dua kurva) yaitu kurva fungsi $ y_1 = f(x) \, $ dan $ y_2 = g(x) \, $ dengan batas pada sumbu X yaitu terletak pada interval $[a,b] \, $ secara umum dapat dihitung dengan MENGURANGKAN KURVA ATAS dan KURVA BAWAH dimanapun letak kurva tersebut. Sehingga luas daerah U dapat dihitung dengan rumus :
              Luas U $ \, = \int \limits_a^b (y_1 - y_2) dx = \int \limits_a^b (f(x) - g(x)) dx $
Contoh Soal Luas Daerah pada Sumbu X :
1). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 4x - x^2, x = 1, x = 3$, dan sumbu X.

Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu kurva dan arsiran daerah yang dimaksud.
Untuk cara menggambarnya, silahkan baca artikel Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^3 f(x) dx \\ & = \int \limits_1^3 (4x - x^2) dx \\ & = [2x^2 - \frac{1}{3}x^3]_1^3 \\ & = [2.3^2 - \frac{1}{3}.3^3] - [2.1^2 - \frac{1}{3}.1^3] \\ & = [18 - 9] - [2 - \frac{1}{3} ] \\ & = 7\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 7\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

2). Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar berikut dengan menggunakan integral.

Penyelesaian :
*). Karena L2 terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L2 diberi tanda negatif (agar menjadi positif). Oleh karena itu, luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut.
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = L_1 + (-L_2) = L_1 - L_2 \\ & = \int \limits_0^1 ( x^2 - 5x + 4) dx - \int \limits_1^4 ( x^2 - 5x + 4) dx \\ & = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_0^1 - [\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x]_1^4 \\ & = 6\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 6\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

3). Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ f(x) = - sin x , \, 0 \leq x \leq 2\pi $, dan sumbu-x.

Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu kurva $ f(x) = - \sin x \, $ dan daerah arsirannya.
*). Menentukan luas daerah arsiran.
Luas daerah arisran terdiri dari dua daerah yaitu A1 dan A2, dimana A2 ada di bawah sumbu X sehingga kita berikan tanda negatif agar luasnya positif.
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = A_1 + (-A_2) = A_1 - A_2 \\ & = \int \limits_\pi^{2\pi} ( -\sin x) dx - \int \limits_0^\pi (-\sin x) dx \\ & = [\cos x]_\pi^{2\pi} - [\cos x]_0^\pi \\ & = ([\cos 2\pi ] - [\cos \pi ] ) - ([\cos \pi ] - [\cos 0 ] ) \\ & = ([1] - [ - 1] ) - ([ - 1 ] - [ 1 ] ) \\ & = (2 ) - (- 2) \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 4 satuan luas.

4). Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = x^2 - 2x \, $ dan $ y = 6x - x^2 $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ 2x(x-4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 4 \end{align} $
artinya titik potong kedua kurva di $ x = 0 \, $ dan $ x = 4 $.
*). Berikut gambar daerahnya,
*). Menentukan luas daerah arsiran.
Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = x^2 - 2x \, $ (di atas) dan $ y = 6x-x^2 \, $ (di bawah).
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^4 [( x^2 - 2x ) - ( 6x-x^2) ] dx \\ & = \int \limits_0^4 ( 2x^2 - 8x ) dx \\ & = [ \frac{2}{3}x^3 - 4x^2 ]_0^4 \\ & = 21\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 21\frac{1}{3} \, $ satuan luas.

5). Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ f(x) = 4 - x^2$, garis $ x = 0$, dan di atas garis $ y = 1$, di kuadran I.
Penyelesaian :
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ 4 - x^2 & = 1 \\ x^2 & = 3 \\ x & = \pm \sqrt{3} \\ x = -\sqrt{3} \vee x & = \sqrt{3} \end{align} $
Karena daerah yang dimaksud adalah kuadran I, maka titik potong yang dipakai adalah $ x = \sqrt{3} \, $ (positif).
*). Berikut gambar daerahnya,
*). Menentukan luas daerah arsiran.
Daerah arsiran dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = 4 - x^2 \, $ (di atas) dan $ y = 1 \, $ (di bawah).
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^\sqrt{3} [( 4 - x^2 ) - ( 1 ) ] dx \\ & = \int \limits_0^\sqrt{3} [3 - x^2 ] dx \\ & = [3x - \frac{1}{3}x^3 ]_0^\sqrt{3} \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas.

Luas Daerah dengan Batas pada Sumbu Y
       Bagaimana dengan luas daerah dengan batas yang ada pada sumbu Y? Rumus dan cara penghitungannya hampir sama dengan luas daerah dengan batas pada sumbu X, hanya saja fungsinya harus diubah menjadi bentuk $ x = f(y) \, $ . Sementara luas yang dibatasi oleh dua kurva, caranya PENGURANGAN FUNGSI KURVA KANAN DAN FUNGSI KURVA KIRI. Kesulitan dari luas daerah yang batasnya pada sumbu Y adalah dalam mengubah fungsinya menjadi bentuk $ x = f(y) $. Sehingga kebanyakan soal dikerjakan dengan cara menggunakan batas pada sumbu X seperti di atas.
Contoh soal :
6). Kita akan coba untuk menghitung luas daerah dengan integral pada contoh soal nomor 5 di atas dengan batas yang kita gunakan ada pada sumbu Y.
Fungsinya adalah $ y = 4 - x^2 \rightarrow x = \sqrt{4 - y } $.
Batasnya adalah dari $ y = 1 \, $ sampai $ y = 4 $.
Rumus dasar yang digunakan : $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $.
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_1^4 \sqrt{4 - y } dy \\ & = [ -\frac{2}{3} (4 - y)^\frac{3}{2} ]_1^4 \\ & = [ -\frac{2}{3} (4 - 4)^\frac{3}{2} ] - [ -\frac{2}{3} (4 - 1)^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] - [ -\frac{2}{3} (3)^\frac{3}{2} ] \\ & = [ 0 ] - [ -\frac{2}{3} 3\sqrt{3} ] \\ & = [ 0 ] - [ -2\sqrt{3} ] \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 2\sqrt{3} \, $ satuan luas.

Contoh soal yang belum diketahui fungsinya.
7). Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini :
Penyelesaian :
a). Daerah gambar (a) dibatasi oleh fungsi linear (garis lurus), sehingga kita harus menentukan fungsi linearnya terlebih dahulu karena fungsinya belum ada. Silahkan baca materi : Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus.
*). Garis melalui titik $(x_1,y_1) = (-2,0)\ , $ dan $ (x_2,y_2) = (0,1) $ :
*). Persamaan garis lurusnya :
$\begin{align} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-0}{1-0} & = \frac{x-(-2)}{0-(-2)} \\ \frac{y}{1} & = \frac{x + 2}{2} \\ y & = \frac{1}{2}x + 1 \end{align} $
Artinya fungsi linearnya adalah $ y = \frac{1}{2}x + 1 $
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^2 \frac{1}{2}x + 1 dx \\ & = [ \frac{1}{4}x^2 + x ]_0^2 \\ & = [ \frac{1}{4}. 2^2 + 2 ] - [ \frac{1}{4}x.0^2 + 0 ] \\ & = [ 3 ] - [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 3 \, $ satuan luas.

b). Daerah gambar (b) dibatasi oleh fungsi kuadrat (karena kurvanya berupa parabola), sehingga kita harus menentukan fungsi kuadratnya. Silahkan baca materi : Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat.
*). Titik puncaknya $(x_p,y_p) = (3,0) \, $ dan melalui titik (0,3)
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-3)^2 + 0 \\ y & = a(x-3)^2 \, \, \, \, \, \, \text{[substitusi titik (0,3)]} \\ 3 & = a(0-3)^2 \\ 3 & = 9a \\ a & = \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya fungsi kuadratnya adalah
$ y = \frac{1}{3} (x-3)^2 = \frac{1}{3} (x^2 - 6x + 9) \rightarrow y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 $
*). Menghitung luasnya :
$\begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \int \limits_0^3 \frac{1}{3}x^2 - 2x + 3 dx \\ & = [ \frac{1}{9}x^3 - x^2 + 3x ]_0^3 \\ & = [ \frac{1}{9}.3^3 - 3^2 + 3.3 ] - [ \frac{1}{9}.0^3 - 0^2 + 3.0 ] \\ & = [ 3 ] - [ 0 ] \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ \, 3 \, $ satuan luas.

       Dari semua contoh dan cara penghitungan Luas Daerah Menggunakan Integral di atas, perlu kita ketahui bahwa setiap pengerjaan menggunakan integral harus memerlukan fungsi kurva masing-masing, daerah arsiran, dan batasan baik pada sumbu X maupun sumbu Y. Untuk pemilihan batas integralnya (sumbu X atau sumbu Y) sebaiknya kita sesuaikan dengan masing-masing soal dan fungsi yang ada.

       Apakah bisa menentukan luas daerah menggunakan integral tanpa harus menggambar kurvanya? Untuk beberapa jenis soal memang bisa tanpa harus menggambar grafiknya atau kurvanya terlebih dahulu. Silahkan baca materinya pada artikel : cara cepat menghitung luas daerah berkaitan integral.

Senin, 21 Maret 2016

Jumlah Riemann pada Integral


         Blog Koma - Hallow sahabat koma, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Jumlah Riemann pada Integral yang terkait langsung dengan luasan suatu daerah dan bentuk integral tertentu. Sesuai dengan namanya, Riemann adalah seorang ilmuan berkebangsaan Jerman yang lahir di Breselenz, sebuah desa didekat Danneberg di Kerajaan Hanover di Jerman dengan nama lengkap George Friedrich Bernhard Riemann. Salah satu sumbangsihnya yang masih terkenal sampai sekarang adalah, beliau memperkenalkan secara modern tentang definisi integral tentu. Untuk menghormatinya, disebut Intergal Riemann. Pada tulisan ini akan kita pelajari sedikit ilmu yang telah dijabarkan oleh Riemann. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, teman-teman harus menguasai materi notasi sigma terlebih dahulu.

Perhatikan daerah yang diarsir berikut ini :

Jika kita diminta untuk menghitung luas daerah yang diarsir di atas, bagaimanakah caranya?
Nah, disinilah ide si jenius Rieman keluar. Caranya, Riemann melakukan pendekatan dengan membagi daerah arsiran tersebut menjadi beberapa persegi panjang, lalu semua luas persegi panjang tersebut dijumlahkan seperti nampak seperti gambar berikut ini.
Dengan notasi sigma, maka bisa kita hitung jumlah seluruh persegi panjangnya.
Persegi panjang 1 memiliki luas $ A_1 \, $ dengan panjang $\Delta x_1 \, $ dan lebar $ f(x_1) $ .
         dengan $ A_1 = p \times l = f(x_1) \Delta x_1 $
Persegi panjang 2 memiliki luas $ A_2 \, $ dengan panjang $\Delta x_2 \, $ dan lebar $ f(x_2) $ .
         dengan $ A_2 = p \times l = f(x_2) \Delta x_2 $
Persegi panjang 3 memiliki luas $ A_3 \, $ dengan panjang $\Delta x_3 \, $ dan lebar $ f(x_3) $ .
         dengan $ A_3 = p \times l = f(x_3) \Delta x_3 $
dan seterusnya ..............
Persegi panjang 8 memiliki luas $ A_8 \, $ dengan panjang $\Delta x_8 \, $ dan lebar $ f(x_8) $ .
         dengan $ A_8 = p \times l = f(x_8) \Delta x_8 $
Sehingga luas total persegi panjangnya dinyatakan dalam notasi sigma :
$ \begin{align} A_1 + A_2 + A_3 + ... + A_8 & = f(x_1) \Delta x_1 + f(x_2) \Delta x_2 + f(x_3) \Delta x_3 + ... + f(x_8) \Delta x_8 \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^8 f(x_i) \Delta x_i \end{align} $

Definisi Jumlah Riemann
       Nilai dari $ \displaystyle \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ disebut sebagai Jumlah Riemann fungsi $ f(x) \, $ dengan $ x_i \, $ adalah titik wakil pada interval ke-$i \, $ dan $ \Delta x_i \, $ lebar interval ke-$i \, $ dan $ n \, $ banyak subinterval (banyaknya persegi panjang yang terbentuk) dari interval $[a,b]$ . Titik wakil $(x_i) \, $ kita peroleh dengan tiga cara yaitu titik ujung kiri subinterval, titik tengah subinterval, dan titik ujung kanan subinterval, dimana setiap jenis titik wakil memberikan hasil yang berbeda.
Contoh soal jumlah riemann :
1). Tentukan jumlah Riemann dari fungsi yang diperlihatkan oleh gambar berikut.
Penyelesaian :
*). Menentukan luas persegi panjang masing-masing :
Persegi panjang 1 : panjang = 0,7 , titik wakil $ x_1 = 0,5 \, $
sehingga lebar $ \, = f(x_1) = f(0,5) = (0,5)^2 - 4 (0,5) + 3 = 1,25 $ .
Luas : $ L_1 = p \times l = 0,7 \times 1,25 = 0,875 $

Persegi panjang 2 : panjang = 1,7 - 0,7 = 1 , titik wakil $ x_2 = 1,5 \, $
sehingga lebar $ \, = f(x_2) = f(1,5) = (1,5)^2 - 4 (1,5) + 3 = -0,75 = 0,75 $ .
Luas : $ L_2 = p \times l = 1 \times 0,75 = 0,75 $

Persegi panjang 3 : panjang = 2,7 - 1,7 = 1 , titik wakil $ x_3 = 2 \, $
sehingga lebar $ \, = f(x_3) = f(2) = (2)^2 - 4 (2) + 3 = -1 = 1 $ .
Luas : $ L_3 = p \times l = 1 \times 1 = 1 $

Persegi panjang 4 : panjang = 4 - 2,7 = 1,3 , titik wakil $ x_4 = 3,5 \, $
sehingga lebar $ \, = f(x_4) = f(3,5) = (3,5)^2 - 4 (3,5) + 3 = 1,25 $ .
Luas : $ L_4 = p \times l = 1,3 \times 1,25 = 1,625 $

*). Menentukan jumlah riemannya :
Jumlah riemann $ \, = L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 0,875 + 0,75 + 1 + 1,625 = 4,25 $
Jadi, jumlah riemann pada gambar adalah 4,25.

2). Misalkan diketahui suatu fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan menggunakan 6 subinterval sama panjang dan titik wakilnya :
a). titik ujung kanan subinterval
b). titik tengah subinterval
c). titik ujung kiri subinterval

Penyelesaian :
a). titik ujung kanan subinterval
*). Menentukan panjang setiap subinterval $(\Delta x_i ) $ :
Pada interval [0,3] dibagi menjadi 6 subinterval sama panjang, sehingga :
$ \Delta x_i = \Delta x = \frac{3-0}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 $
Untuk dapat menentukan jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik ujung kanan subinterval, berikut:
*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta adalah titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang digunakan adalah sebelah kanan setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0,5 \rightarrow f(x_1) = f(0,5) = 0,5 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 1 \rightarrow f(x_2) = f(1) = 1 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1,5 \rightarrow f(x_3) = f(1,5) = 1,5 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) = f(2) = 2 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2,5 \rightarrow f(x_5) = f(2,5) = 2,5 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 3 \rightarrow f(x_6) = f(3) = 3 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 + 3 ] \times 0,5 \\ & = [ 10,5 ] \times 0,5 \\ & = 5,25 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya adalah 5,25.

b). titik tengah subinterval
Untuk dapat menentukan jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik tengah subinterval, berikut:
*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta adalah titik tengah subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang digunakan adalah nilai tengah setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0,25 \rightarrow f(x_1) = f(0,25) = 0,25 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 0,75 \rightarrow f(x_2) = f(0,75) = 0,75 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1,25 \rightarrow f(x_3) = f(1,25) = 1,25 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 1,75 \rightarrow f(x_4) = f(1,75) = 1,75 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2,25 \rightarrow f(x_5) = f(2,25) = 2,25 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 2,75 \rightarrow f(x_6) = f(2,75) = 2,75 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,25 + 0,75 + 1,25 + 1,75 + 2,25 + 2,75 ] \times 0,5 \\ & = [ 9 ] \times 0,5 \\ & = 4,5 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya adalah 4,5.

c). titik ujung kiri subinterval
Untuk dapat menentukan jumlah Riemann fungsi $ f(x) = x $ dengan 6 subinterval pada selang [0,3], perhatikan grafik fungsi $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] dan titik ujung kiri subinterval, berikut:
*). Menentukan titik wakil $(x_i)$ :
Karena yang diminta adalah titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang digunakan adalah sebelah kiri setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0 \rightarrow f(x_1) = f(0) = 0 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 0,5 \rightarrow f(x_2) = f(0,5) = 0,5 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1 \rightarrow f(x_3) = f(1) = 1 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 1,5 \rightarrow f(x_4) = f(1,5) = 1,5 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2 \rightarrow f(x_5) = f(2) = 2 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 2,5 \rightarrow f(x_6) = f(2,5) = 2,5 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0 + 0,5 + 1 + 1,5 + 2 + 2,5 ] \times 0,5 \\ & = [ 7,5 ] \times 0,5 \\ & = 3,75 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya adalah 3,75.

Catatan :
Sebenarnya untuk menentukan jumlah Riemann, tanpa gambarpun tidak apa-apa.

3). Misalkan diketahui suatu fungsi $ f(x) = x^2 $ pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan menggunakan 6 subinterval sama panjang dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-tiap subinterval.

Penyelesaian :
*). Menentukan panjang setiap subinterval $(\Delta x_i ) $ :
Pada interval [0,3] dibagi menjadi 6 subinterval sama panjang, sehingga :
$ \Delta x_i = \Delta x = \frac{3-0}{6} = \frac{3}{6} = 0,5 $
*). Menentukan titik wakil $(x_i) $ dengan membagi menjadi 6 subinterval :
Karena yang diminta adalah titik ujung kanan subinterval, maka nilai $ x_i \, $ yang digunakan adalah sebelah kanan setiap subintervalnya.
*). Menentukan lebar (tinggi ) masing-masing subinterval dengan fungsi $ f(x) = x^2 $
Subinterval 1 : 0 - 0,5 dengan $ x_1 = 0,5 \rightarrow f(x_1) = f(0,5) = 0,5^2 = 0,25 $
Subinterval 2 : 0,5 - 1 dengan $ x_2 = 1 \rightarrow f(x_2) = f(1) = 1^2 = 1 $
Subinterval 3 : 1 - 1,5 dengan $ x_3 = 1,5 \rightarrow f(x_3) = f(1,5) = 1,5^2 = 2,25 $
Subinterval 4 : 1,5 - 2 dengan $ x_4 = 2 \rightarrow f(x_4) = f(2) = 2^2 = 4 $
Subinterval 5 : 2 - 2,5 dengan $ x_5 = 2,5 \rightarrow f(x_5) = f(2,5) = 2,5^2 = 6,25 $
Subinterval 6 : 2,5 - 3 dengan $ x_6 = 3 \rightarrow f(x_6) = f(3) = 3^2 = 9 $
*). Menentukan jumlah Riemann :
$ \begin{align} \text{Jumlah Riemann } & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x_i \\ & = \displaystyle \sum_{i=1}^6 f(x_i) \Delta x \\ & = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x + f(x_5) \Delta x + f(x_6) \Delta x \\ & = [ 0,25 + 1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 ] \times 0,5 \\ & = [ 22,75 ] \times 0,5 \\ & = 11,375 \end{align} $
Jadi, jumlah riemann dengan titik ujung kanan subintervalnya adalah 11,375.

         Perhatikan ketiga gambar luasan berikut ini.
Misalkan kita diminta untuk menghitung luas sebenarnya suatu daerah seperti gambar (c) di atas, maka kita bisa menggunakan jumlah riemann dengan membentuk $ n \, $ subinterval dengan $ n \, $ mendekati tak hingga. Dari gambar (a), nampak masih ada beberapa daerah yang belum terkover oleh persegi panjang yang dibuat, daerah pada gambar (b) juga demikian belum tercover semuanya. Tapi jika nilai $ \Delta x \, $ nya semakin kecil (atau banyak subintervalnya sampai tak hingga), maka akan terbentuk daerah seperti gambar (c) yang artinya luas sebenarnya sudah bisa kita hitung.

Luas Suatu Daerah dengan Jumlah Riemann
       Misalkan kita akan menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) \, $ pada selang interval [a,b] dengan membagi menjadi $ n \, $ subinterval ($n \, $ menuju tak hingga), maka akan kita peroleh luas sebenarnya dengan perhitungan :
              Luas $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $
dengan $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} $ .
penulisan lainnya : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_a^b f(x) dx \, $

Catatan :
Bentuk $ \int \limits_a^b f(x) dx \, $ inilah yang disebut sebagai integral Tentu fungsi $ f(x) \, $ pada interval [a,b] .

Untuk memudahkan dalam pengerjaan jumlah riemann, sebaiknya kita pelajari rumus umum notasi sigma berikut ini :
i). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n(n+1) $
ii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $
iii). $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \, k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)^2 $

Baca juga penyelesaian limit tak hingga.

Contoh Soal :
4). Misalkan diberikan suatu fungsi $ f(x) = x $, tentukan integral tentu dari $ f(x) = x $ pada interval [0, 3] atau $ \int \limits_0^3 x dx $

Penyelesaian :
*). Interval yang diminta [a,b]=[0,3]
*). Menentukan nilai $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{3-0}{n} = \frac{3}{n} $
*). Menentukan bentuk umum dari $ f(x_i) $
$ x_1 = 0 + \Delta x = 0 + \frac{3}{n} = \frac{1 \times 3}{n} $
$ x_2 = 0 + 2\Delta x = 0 + \frac{2 \times 3}{n} = \frac{2 \times 3}{n} $
$ x_3 = 0 + 3\Delta x = 0 + \frac{3 \times 3}{n} = \frac{3 \times 3}{n} $
dan seterusnya ........
$ x_i = 0 + i \Delta x = 0 + \frac{i \times 3}{n} = \frac{i \times 3}{n} $
Untuk bentuk $ f(x) = x \, $ , maka $ f(x_i) = \frac{i \times 3}{n} $
*). Menentukan jumlah riemannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i \times 3}{n} \frac{3}{n} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i \times \frac{9}{n^2} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^2} \sum_{i=1}^n i \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan rumus notasi sigma)} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{9}{n^2} [\frac{1}{2}n(n+1)] \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9}{2}n(n+1)}{n^2} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{9}{2}n^2 + \frac{9}{2}n }{n^2} \\ & = \frac{9}{2} \end{align} $
Sehingga nilai dari $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_0^3 x dx = \frac{9}{2} $

5). Misalkan diberikan suatu fungsi $ f(x) = x^2 $, tentukan integral tentu dari $ f(x) = x^2 $ pada interval [0, 2] atau $ \int \limits_0^2 x^2 dx $

Penyelesaian :
*). Interval yang diminta [a,b]=[0,2]
*). Menentukan nilai $ \Delta x_i = \Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n} $
*). Menentukan bentuk umum dari $ f(x_i) $
$ x_1 = 0 + \Delta x = 0 + \frac{2}{n} = \frac{1 \times 2}{n} $
$ x_2 = 0 + 2\Delta x = 0 + \frac{2 \times 2}{n} = \frac{2 \times 2}{n} $
$ x_3 = 0 + 3\Delta x = 0 + \frac{3 \times 2}{n} = \frac{3 \times 2}{n} $
dan seterusnya ........
$ x_i = 0 + i \Delta x = 0 + \frac{i \times 2}{n} = \frac{i \times 2}{n} $
Untuk bentuk $ f(x) = x^2 \, $ , maka $ f(x_i) = \left( \frac{i \times 2}{n} \right)^2 = \frac{4}{n^2} \times i^2 $
*). Menentukan jumlah riemannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{4}{n^2} \times i^2 \frac{2}{n} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i^2 \times \frac{8}{n^3} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan rumus notasi sigma)} \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8}{n^3} \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^3} \frac{1}{3}(2n^3 + 3n^2 + n) \\ & = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{8n^3 + 12n^2 + 4n}{3n^3} \\ & = \frac{8 }{3 } \end{align} $
Sehingga nilai dari $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i = \int \limits_0^2 x^2 dx = \frac{8}{3} $

6). Nyatakan limit berikut sebagai suatu integal tentu :
a). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} $
b). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} $
c). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + ... + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) $

Penyelesaian :
a). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{4}{n} \rightarrow b - a = 4 $
dengan $ a = 0 \, $ maka $ b - a = 4 \rightarrow b - 0 = 4 \rightarrow b = 4 $.
*). Bentuk $ x_i = i \Delta x_i = i \frac{4}{n} = \frac{4i}{n} $
$ f(x_i) = \sqrt{\frac{4i}{n}} = \sqrt{x_i} \, $ artinya $ f(x) = \sqrt{x} $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{4i}{n}} \frac{4}{n} = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_0^4 \sqrt{x} dx $
Jadi, bentuk integral tentunya adalah $ \int \limits_0^4 \sqrt{x} dx $ .

b). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} $
Dari soal ini, bentuk $ 1 + \frac{2i}{n} \, $ , artinya $ x_i = a + i \Delta x_i \, $ , sehingga $ a = 1 $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{2}{n} \rightarrow b - a = 2 $
dengan $ a = 1 \, $ maka $ b - a = 2 \rightarrow b - 1 = 2 \rightarrow b = 3 $.
*). Bentuk $ x_i = a + i \Delta x_i = 1 + i \frac{2}{n} = 1 + \frac{2i}{n} $
$ f(x_i) = \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) = (x_i) \, $ artinya $ f(x) = x $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left( 1 + \frac{2i}{n} \right) \frac{2}{n} = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_1^3 x dx $
Jadi, bentuk integral tentunya adalah $ \int \limits_1^3 x dx $ .

c). $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + ... + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) $

*). Kita jadikan bentuk notasi sigma :
$ \displaystyle \frac{1}{n} \left( \cos (\frac{\pi}{n}) + \cos (\frac{2\pi}{n}) + \cos (\frac{3\pi}{n}) + ... + \cos (\frac{n\pi}{n}) \right) = \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) $
*). Sehingga soal yang akan kita ubah adalah $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) $
*). Berdasarkan rumus : $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i \, $ maka :
*). $ \Delta x_i = \frac{b-a}{n} = \frac{1}{n} \rightarrow b - a = 1 $
dengan $ a = 0 \, $ maka $ b - a = 1 \rightarrow b - 0 = 1 \rightarrow b = 1 $.
*). Bentuk $ x_i = i \Delta x_i = i \frac{1}{n} = \frac{i}{n} $
$ f(x_i) = \cos \pi (\frac{i}{n}) = \cos \pi (x_i) \, $ artinya $ f(x) = \cos \pi x $.
*). Bentuk integral tentunya :
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cos \pi (\frac{i}{n}) = \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_0^1 \cos \pi x dx $
Jadi, bentuk integral tentunya adalah $ \int \limits_0^1 \, \cos \pi x \, dx $ .

       Bagaimana dengan materi Jumlah Riemann yang ada pada artikel ini? Pasti seru dan menyenangkan yah!!!^_^!!! . Untuk penghitungan bentuk integral tentu, kita tidak perlu menggunakan jumlah riemann seperti contoh di atas. Cara pengerjaannya kita menggunakan Teorema Fundamental Kalukulus II, dengan cara ini akan memudahkan kita dalam mengerjakan semua bentuk integral tertentu.

       Kita harus bersyukur dengan lahirnya ilmuan Jerma (Riemann) ini, dengan sumbangsih pengetahuannya kita bisa mempelajari dan bisa menghitung luas suatu daerah dengan jumlah Riemann. Meskipun ilmu terus berkembang sedemikian pesat, hasil pemikiran beliau tetap menjadi salah satu acuan bagi kita terutama yang mendalami materi matematika.