Tampilkan posting dengan label geometri bidang datar. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label geometri bidang datar. Tampilkan semua posting

Rabu, 30 Desember 2015

Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas materi dalil menelaus pada segitiga yang merupakan bagian dari "geometri bidang datar" yang ada pada matematika peminatan kelas X. Silahkan baca juga materi "Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga" untuk lebih melengkapi materi yang ada.

Konsep Dalil Menelaus pada Segitiga
       Diberikan sebuah segitiga ABC, titik D terletak pada garis AC dan titik E terletak pada garis BC. Kemudian titik D dan E dihubungkan membentuk garis DE. Garis AB dan DE diperpanjang sehingga keduanya berpotongan di titik F seperti nampak pada gambar berikut.

Dalil Menelaus berbunyi :
Titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
jika dan hanya jika memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $.


Untuk memudahkan dalam mengingat, perhatikan alur panah berikut :
Contoh soal Dalil Menelaus pada Segitiga :
1). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ x $?
Penyelesaian :
*). Panjang LO = OM sehingga $ \frac{LO}{OM} = 1 $.
*). Kita menggunakan dalil Menenlaus pada segitiga :
$ \begin{align} \frac{LO}{OM} . \frac{MN}{NK} . \frac{KP}{LP} & = 1 \\ 1 . \frac{2}{3} . \frac{8+x}{8} & = 1 \\ \frac{16 + 2x}{24} & = 1 \\ 16 + 2x & = 24 \\ 2x & = 8 \\ x & = 4 \end{align} $
Jadi, panjang $ x = 4 $.

2). Perhatikan gambar berikut,
Tentukan nilai $ y $?
Penyelesaian :
*). Panjang PS = SR sehingga $ \frac{PR}{RS} = \frac{2}{1} $.
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{ST}{TU} . \frac{UQ}{QP} . \frac{PR}{RS} & = 1 \\ \frac{2}{y}. \frac{4x}{x} . \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{16}{y} & = 1 \\ y & = 16 \end{align} $
Jadi, panjang $ y = 16 $.

3). Diketahui gambar seperti berikut dengan BE : EC = 2 : 3
dan AB : FB = 5 : 3. Tentukan nilai AD : AC?
Penyelesaian :
*). Nilai AB : FB = 5 : 3 sehingga AF : FB = 8 : 3 .
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC} . \frac{CD}{DA} . \frac{AF}{FB} & = 1 \\ \frac{2}{3} . \frac{CD}{DA} . \frac{8}{3} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} . \frac{16}{9} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} & = \frac{9}{16} \end{align} $
Karena nilai CD : DA = 9 : 16 , maka AD : AC = 16 : 25.
Jadi, nilai AD : AC = 16 : 26 .

4). Pada segitiga ABC, titik D terletak pada sisi AB dengan perbandingan AD : DB = 2 : 3 dan titik E terletak pada sisi BC dengan perbandingan BE : EC = 5 : 4 seperti gambar berikut.
Tentukan :
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
Penyelesaian :
Kita menggunakan dalil Menelaus dan luas segitiga dengan tinggi sama.
*). perbandingan DO : OC dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{DO}{OC} . \frac{CE}{EB} . \frac{BA}{DA} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . \frac{4}{5} . \frac{5}{2} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . 2 & = 1 \\ \frac{DO}{OC} & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). perbandingan EO : OA dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{EO}{OA} . \frac{AD}{DB} . \frac{BC}{EC} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{2}{3} . \frac{9}{4} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sehingga gambar lengkapnya :
*). Misalkan [ABC] menyatakan luas segitiga ABC.
Kita misalkan juga luas AOD adalah $ [AOD]= x $.
*). Perhatikan segitiga ADC,
$\Delta$AOD dengan alas DO dan $\Delta$AOC dengan alas OC memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[AOC]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OC.t_1}{\frac{1}{2}.DO.t_1} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ OC }{DO} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ 2 }{1} \\ [AOC] & = 2x \end{align} $
*). Perhatikan segitiga ACE,
$\Delta$AOC dengan alas AO dan $\Delta$COE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[COE]}{[AOC]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_2}{\frac{1}{2}.AO.t_2} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ OE }{AO} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ 2 }{3} \\ [COE] & = \frac{4}{3}x \end{align} $
sehingga : [ACD] = [AOD] + [AOC] = $ x + 2x = 3x $.
*). Perhatikan segitiga ABC,
$\Delta$ACD dengan alas AD dan $\Delta$BCD dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_3$.
$ \begin{align} \frac{[BCD]}{[ACD]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_3}{\frac{1}{2}.AD.t_3} \\ \frac{[COE] + [EODB]}{3x} & = \frac{ DB }{AD} \\ \frac{\frac{4}{3}x + [EODB]}{3x} & = \frac{3 }{2} \\ \frac{4}{3}x + [EODB] & = \frac{9}{2}x \\ [EODB] & = \frac{9}{2}x - \frac{4}{3}x \\ [EODB] & = \frac{19}{6}x \end{align} $

*). Menentukan perbandingan masing-masing soal,
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[COE]} = \frac{x}{\frac{4}{3}x} = \frac{3}{4} \end{align} $.
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
$\begin{align} \frac{[AOC]}{[EODB]} = \frac{2x}{\frac{19}{6}x } = \frac{12}{19} \end{align} $.

Cara II :
untuk soal 4 bagian (b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB
Perhatikan gambar berikut, kita tarik garis DE.
*). Misalkan luas AOD adalah $ [AOD]=x$,
*). Perhatikan segitiga ADE,
$\Delta$AOD dengan alas AO dan $\Delta$DOE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[DOE]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_1}{\frac{1}{2}.AO.t_1} \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ OE }{ AO } \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ 2 }{ 3 } \\ [DOE] & = \frac{ 2 }{ 3 }x \end{align} $
sehingga : [ADE] = [AOD] + [DOE] = $ x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 5 }{ 3 }x $.
*). Perhatikan segitiga AEB,
$\Delta$AED dengan alas AD dan $\Delta$BED dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[BED]}{[AED]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_2}{\frac{1}{2}.AD.t_2} \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ DB }{ AD } \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ 3 }{ 2 } \\ [BED] & = \frac{ 3 }{ 2 } . \frac{ 5 }{ 3 }x \\ [BED] & = \frac{ 5 }{ 2 }x \end{align} $
sehingga : [EODB] = [BED] + [DOE] = $ \frac{ 5 }{ 2 }x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 19 }{ 6 }x $.
*). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.

Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga
       Untuk membuktikan dalil menelaus pada segitiga, ada tiga cara pembuktian yang akan ditampilkan pada artikel ini yaitu menggunakan kesebangunan, menggunakan luas segitiga, dan menggunakan aturan sinus pada segitiga.

       Pada dalil menelaus terdapat kata "jika dan hanya jika", artinya pembuktiannya ada dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan , kedua arah harus dibuktikan.
Pembuktian dari kiri ke kanan :
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian dari kanan ke kiri :
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
.

Pembuktian Dari kiri ke kanan
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga Dengan Konsep Kesebangunan
       Proyeksi titik A, B, dan C pada garis DEF, akan diperoleh seperti gambar berikut.
Hasil proyeksi titik A pada garis DEF adalah titik P.
Hasil proyeksi titik B pada garis DEF adalah titik R.
Hasil proyeksi titik C pada garis DEF adalah titik Q.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
*). $\Delta $BER sebangun dengan $\Delta $QEC , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{BE}{EC} = \frac{BR}{QC} \, $ ....pers(i).
*). $\Delta $CDQ sebangun dengan $\Delta $ADP , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{CD}{DA} = \frac{QC}{PA} \, $ ....pers(ii).
*). $\Delta $BRF sebangun dengan $\Delta $APF , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{AF}{FB} = \frac{PA}{BR} \, $ ....pers(iii).
*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{BR}{QC}\times \frac{QC}{PA}\times \frac{PA}{BR} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Luas segitiga
       Perpanjang garis ED, kemudian beri titik P dan Q serta hubungan beberapa titik seperti gambar berikut.

*). Kita misalkan $ [ABC] \, $ menyatakan luas segitiga ABC.
*). Menentukan perbandingan BE : EC .
*). Perhatikan $\Delta$BPC,
$\Delta$BPE dengan alas BE dan $\Delta$EPC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_1 $.
$ [BPE] = \frac{1}{2}.BE . t_1 \, $ dan $ [EPC] = \frac{1}{2}.EC.t_1 $
*). Perhatikan $\Delta$BQC,
$\Delta$BQE dengan alas BE dan $\Delta$EQC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_2 $.
$ [BQE] = \frac{1}{2}.BE . t_2 \, $ dan $ [EQC] = \frac{1}{2}.EC.t_2 $
*). Menentukan luas segitiga BQP dan luas segitiga CQP .
$ [BQP] = [BQE]-[BPE] $.
$ [BQP] = \frac{1}{2}.BE.t_2 - \frac{1}{2}.BE . t_1 = \frac{1}{2}.BE . (t_2 - t_1) $.
$ [CQP] = [EQC]-[EPC] $ .
$ [CQP] = \frac{1}{2}.EC.t_2 - \frac{1}{2}.EC.t_1 = \frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1) $ .
*). Perbandingan BE : EC ,
$ \begin{align} \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{\frac{1}{2}.BE . (t_2 - t_1)}{\frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1)} \\ \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{BE}{EC} \end{align} $
Kita peroleh : $ \frac{BE}{EC} = \frac{[BQP]}{[CQP]} \, $ ....pers(a).

Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga APC dan segitiga AQC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{CD}{DA} = \frac{[CQP]}{[AQP]} \, $ ....pers(b).
*). Menggunakan segitiga APF dan segitiga AQF kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{AF}{FB} = \frac{[AQP]}{[BQP]} \, $ ....pers(c).

*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{[BQP]}{[CQP]} \times \frac{[CQP]}{[AQP]} \times \frac{[AQP]}{[BQP]} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Aturan Sinus
       Perhatikan gambar berikut,
untuk aturan sinus, silahkan baca materinya di "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".

Kita terapkan aturan sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga CDE,
$ \frac{CE}{\sin \angle CDE} = \frac{CD}{\sin \angle CED} \rightarrow \frac{CD}{CE} = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} \, $ ....pers(1).
*). Segitiga ADF,
$ \frac{AF}{\sin \angle ADF} = \frac{AD}{\sin \angle AFD} \rightarrow \frac{AF}{AD} = \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} \, $ ....pers(2).
*). Segitiga BEF,
$ \frac{EB}{\sin \angle EFB} = \frac{FB}{\sin \angle BEF} \rightarrow \frac{EB}{FB} = \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \, $ ....pers(3).
Catatan :
$ \sin \angle CED = \sin \angle BEF , \, \sin \angle EFB = \sin \angle AFD $.
dan $ \sin \angle ADF = \sin (180^\circ - \angle CDE ) = \sin \angle CDE $.
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{CD}{CE} . \frac{AF}{AD} . \frac{EB}{FB} & = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} . \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} . \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \\ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.

Pembuktian dari kanan ke kiri
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
.
       Sebelumnya telah terbukti dari kiri ke kanan :
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $
.

Misalkan perpanjangan garis DE pada perpanjangan sisi AB di titik F', cukup kita tunjukkan F = F'.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF'}{F'B} = 1 \, $ ....pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 \, $ ....pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
$ \frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB} $
artinya F = F', sehingga garis DEF' berimpit dengan garis DEF karena titik F dan F' sama. Sehingga terbukti bahwa titik D, E, dan F segaris (kolinear), atau lebih lengkapnya :
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
.

Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga

         Blog Koma - Pada kesempatan kali ini kita melanjutkan materi "geometri bidang datar", khususnya materi dalil titik tengah dan dalil intercep segitiga.

Dalil Titik Tengah Segitiga
Perhatikan segitiga ABC berikut,
Pada segitiga ABC di atas, titik D dan E adalah titik tengah masing-masing sisi AC dan BC, kemudian ditarik garis DE (gambar (ii)) yang memenuhi dalil titik tengah.

       Dalil Titik Tengah Segitiga yaitu segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga (garis DE) adalah sejajar dengan sisi segitiga (sisi AB) dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi ketiga segitiganya (sisi AB).
Artinya panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB$.
Contoh :
1). Pada segitiga ABC diketahui panjang AB = 14 cm, CD = DA, CE = EB, dan DE sejajar dengan garis AB. Tentukan panjang garis DE?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan dalil titik tengah segitiga,
panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 14 = 7 $.
Jadi, panjang DE = 7 cm.

2). perhatikan gambar segitiga berikut.
.
Tentukan panjang sisi AB.?
Penyelesaian :
*). Dari gambarnya, maka berlaku dalil titik tengah segitiga.
$ DE = \frac{1}{2} \times AB \rightarrow AB = 2 \times DE = 2 \times 3 = 6 $.
Jadi, panjang AB = 6 cm.

Dalil Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Pada segitiga PQR ditarik garis TU yang sejajar dengan sisi QR.

       Dalil intercep segitiga yaitu Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga PQR (misalkan garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR) memotong dua sisi lain dari segitiga PQR (garis TU memotong sisi PQ dan PR) di titik T dan U, maka berlaku perbandingan PT : TQ = PU : UR dan PT : PQ = PU : PR = TU : QR..
Contoh :
3). perhatikan segitiga berikut,
Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $.?
Penyelesaian :
*). Kita akan menggunakan dalil intercep segitiga.
*). Menentukan nilai $ x $ ,
$ \begin{align} \frac{PU}{UR} & = \frac{PT}{TQ} \\ \frac{x}{3} & = \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} \times 3 \\ & = \frac{9}{2} \\ & = 4,5 \end{align} $.
Sehingga panjang $ PU = x = 4,5 $.
*). Menentukan nilai $ y $ ,
$ \begin{align} \frac{TU}{QR} & = \frac{PT}{PQ} \\ \frac{y}{10} & = \frac{3}{5} \\ y & = \frac{3}{5} \times 10 \\ & = \frac{30}{5} \\ & = 6 \end{align} $.
Sehingga panjang $ TU = y = 6 $.

4). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ m + n $.
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ m $.
Perhatikan segitiga AFG,
$ \frac{DE}{FG} = \frac{AD}{AF} \rightarrow \frac{m}{10} = \frac{1}{2} \rightarrow m = 5 $.
*). Menentukan nilai $ n $.
Perhatikan segitiga ABC,
$ \frac{FG}{BC} = \frac{AF}{AB} \rightarrow \frac{10}{n} = \frac{2}{3} \rightarrow n = 15 $.
Sehingga nilai $ m + n = 5 + 15 = 20 $.

Cara II :
Untuk soal seperti gambar pada soal nomor 4 ini, maka berlaku :
$ m + n = 2 \times 10 = 20 $.
Maksudnya, jika panjang garis $ FG = a , \, $ maka $ m + n = 2a $.

Pembuktian Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR.

       Untuk membuktikan kedua dalil ini, konsep yang digunakan adalah "kesebangunan" pada segitiga. Segitiga PTU sebangun dengan segitiga PQR sehingga berlaku perbandingan yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian.
Perbandingan yang berlaku : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} \, $ ....pers(i).
sehingga terbukti untuk dalil intercep : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} $

*). Pembuktian dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.
Dari segitiga PQR, maka $ PQ = PT + TQ \, $ dan $ PR = PU + UR $.
kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & =\frac{PU}{PR} \\ PT.PR & = PU.PQ \\ PT.(PU+UR) & = PU.(PT+TQ) \\ PT.PU + PT.UR & = PU.PT + PU.TQ \\ PT.UR & = PU.TQ \\ \frac{PT}{TQ} & =\frac{PU}{PR} \end{align} $
Sehingga terbukti dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.

*). Pembuktian dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.
Untuk dalil titik tengah, maka PT = TQ sehingga $ \frac{PT}{PQ} = \frac{1}{2} $.
Kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & = \frac{TU}{QR} \\ \frac{1}{2} & = \frac{TU}{QR} \\ TU & = \frac{1}{2} \times QR \end{align} $
Jadi, terbukti dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.

Geometri Bidang Datar Secara Umum

         Blog Koma - Geometri bidang datar merupakan materi SMA kelas X Kurikulum 2013 bidang matematika peminatan. Geometri bidang datar secara umum membahas materi "titik, garis, dan bidang", "Sudut : pengertian sudut, pengukuran sudut, hubungan sudut, dan sudut garis sejajar", "dalil titik tengah segitiga", "dalil intercep", "dalil Menelaus", "dalil de ceva", dan "dalil segmen garis : dalil stewart, garis sumbu, garis tinggi, garis berat, dan garis bagi". Juga membahas tentang luas sgitiga yang bisa dicari materinya pada blog konsep-matematika ini. Dari sub materi yang ada, terlihat bahwa kebanyakan membahas bidang datar khususnya segitiga.

         Selain materi yang sudah disebutkan di atas, pada artikel Geometri Bidang Datar juga membahas konsep jarak baik antara dua titik ataupun jarak titik ke garis. Di samping itu juga dibahas tentang titik tengah antara dua titik. Materi jarak ini bisa kita baca pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis".

         Untuk lebih jelas materi-materi yang dibahas pada geometri bidang datar, langsung saja klik link-link yang berkaitan dengan materinya. Sementara untuk sedikit mengingatkan kembali teori-teori yang ada, berikut kami akan sajikan contoh-contoh soalnya langsung beserta penyelesaiannya.

Contoh :
1). Tentukan jarak dan titik tengah dari dua titik A(1,4) dan B(-3,1)?
Penyelesaian :
*). Menentukan jarak titik A dan B :
$ \begin{align} \text{Jarak AB } & = \sqrt{(x_2-x+1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (4 - 1)^2} \\ & = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \end{align} $
Sehingga jarak titik A dan B adalah 25 satuan.
*). Menentukan titik tengah A dan B.
$ \begin{align} \text{Jarak AB } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{1 + (-3)}{2} , \frac{4 + 1}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-2}{2} , \frac{5}{2} \right) \\ & = \left( -1 , \frac{5}{2} \right) \end{align} $
Sehingga titik tengan AB adalah $ \left( -1 , \frac{5}{2} \right) $.

2). Perhatikan gambar sudut berikut,
Tentukan nilai $ x $ .
Penyelesaian :
*). Sudut $(2x+10^\circ) \, $ dan $ (3x + 20^\circ) \, $ adalah luar sepihak, sehingga jumlahnya $ 180^\circ$.
$ \begin{align} (2x+10^\circ) + (3x + 20^\circ) & = 180^\circ \\ 5x + 30^\circ & = 180^\circ \\ 5x & = 150^\circ \\ x & = \frac{150^\circ }{5} \\ x & = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 30^\circ $ .

3). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Diketahui sebarang segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ, QR, dan RP diperpanjang berturut-turut sehingga PQ = QB, QR = RC, dan RP = PA. Tentukan perbandingan luas segitiga PQR dan luas segitiga ABC.
Penyelesaian :
*). Konsep luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi}$.
Misalkan luas segitiga PQR adalah $ y \, $ satuan luas.
*). Kita buat garis RB, QA dan garis PC seperti gambar berikut,
*). Perhatikan segitiga PBR,
segitiga PQR dan BQR memiliki panjang alas dan tinggi yang sama, sehingga luasnya sama.
artinya luas BQR = luas PQR = $ y $.
*). Perhatikan segitiga BQC,
segitiga BCR dan BQR memiliki panjang alas dan tinggi yang sama, sehingga luasnya sama.
artinya luas BCR = luas BQR = $ y $.
*). Hal yang sama juga bisa diterapkan pada segitiga AQR dan segitiga APB, begitu juga segitiga PQC dan segitiga ARC.
Dapat disimpulkan bahwa luas semua segitiga kecil-kecil itu sama, yaitu
$\Delta APQ = \Delta AQB = \Delta BQR = \Delta BRC = \Delta CRP = \Delta CPA = \Delta PQR = y $ .
*). Luas segitiga ABC adalah :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \Delta APQ + \Delta AQB + \Delta BQR + \Delta BRC + \Delta CRP + \Delta CPA + \Delta PQR \\ & = y + y + y + y + y + y + y \\ & = 7y \end{align} $
*). Perbandingan segitiga PQR dan segitiga ABC
$\begin{align} \frac{\text{Luas PQR}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{y}{7y} = \frac{1}{7} \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah 1 : 7 .