Tampilkan posting dengan label garis dan sudut. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label garis dan sudut. Tampilkan semua posting

Senin, 07 Desember 2015

Pembahasan Uji Kompetensi 4 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013


         Blog Koma - Matematika SMP : Untuk melengkapi pembahasan soal-soal yang ada pada materi "garis dan sudut" kelas VII kurikulum 2013, kita akan mempelajari Pembahasan Uji Kompetensi 4 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 untuk menambah wawasan dalam mempelajari materi garis dan sudut. Sebelumnya juga telah dibahas mengenai "pembahasan latihan 4.1" dan "pembahasan latihan 4.2". Pada pembahasan uji kompetensi 4 ini akan dibahas 3 soal.
         Uji Kompetensi 4 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 ini merupakan latihan final yang mencakup keseluruhan materi garis dan sudut. Tentu soal-soal yang ditampilkan lebih atraktif dan lebih menantang dari soal-soal sebelumnya pada latihan 4.1 dan 4.2. Jika teman-teman sudah bisa menjawab semua soal yang ada pada "uji kompetensi 4 (UK 4)" ini, maka itu menunjukan teman-teman sudah mahir dan mampu menguasai materi garis dan sudut dengan baik dan mendalam. Jika belum bisa, sebaiknya terus dilatih baik materi maupun soal-soal.

         Soal-soal pada Pembahasan Uji Kompetensi 4 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 yang menarik untuk dikerjakan tentu soal nomor 3. Butuh kiat-kiat khusus untuk menyelesaikannya, semisal dengan memperpanjang salah satu garis agar terbentuk suatu hubungan antara garis-garis dan sudut yang terbentuk. Tetap harus berusaha terlebih dahulu, kalau ada yang sulit sekali baru kita lihat pembahasannya yang ada pada artikel ini.

Soal 1.
Jika sudut m$\angle $ A $ = \frac{1}{8} \, $ putaran penuh, maka tentukanlah sudut:
a. Besar sudut penyiku $\angle $A.
b. Besar sudut pelurus $\angle $A.
Penyelesaian :
*). Menentukan besar sudut A :
$ \angle A = \frac{1}{8} \, $ putaran penuh $ = \frac{1}{8} . 360^\circ = 45^\circ $

a. Besar sudut penyiku $\angle $A $ = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $ .
b. Besar sudut pelurus $\angle $A $ = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ $ .
Soal 2.
Perhatikanlah gambar berikut ini.
Tentukan sudut-sudut yang merupakan pasangan sudut luar berseberangan dengan sudut-sudut berikut.
a. $\angle $FID
b. $\angle $JKB
c. $\angle $CIE
Penyelesaian :
*). Sudut FID dan sudut JKB adalah sudut dalam pada garis sejajar AB dan CD sehingga sudut FID dan JKB tidak memiliki pasangan sudut luar bersebrangan, ini sekaligus menjawab pertanyaan a dan b.

c). Sudut CIE luar bersebrangan dengan sudut FKB.
Soal 3.
Tentukan nilai x dan y pada gambar berikut.
Penyelesaian :
*). Untuk mempermudah penyelesaiannya, perlu beberapa gambar kita tambahkan garis sehingga akan membantu kita.

a). Perhatikan gambar a berikut,
*). Sudut $ b \, $ dan $ 27^\circ \, $ adalah bertolak belakang, sehingga besarnya sama yaitu $ b = 27^\circ $
*). Sudut $ c \, $ dan $ 35^\circ \, $ adalah sehadap, sehingga besarnya sama yaitu $ c = 35^\circ $
*). Sudut $ b, \, c, \, $ dan $ \, x \, $ adalah sudut pada segitiga, jumlah sudut-sudut segitiga $ 180^\circ $
$ \begin{align} b + c + x & = 180^\circ \\ 27^\circ + 35^\circ + x & = 180^\circ \\ 62^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 180^\circ - 62^\circ \\ x & = 118^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 118^\circ $ .

b). Perhatikan gambar b berikut,
*). Sudut $ x \, $ dan $ 26^\circ \, $ adalah dalam bersebrangan, sehingga besarnya sama yaitu $ x = 26^\circ $ .
*). Ada dua cara untuk menentukan nilai $ y $ :
Cara I : Berpelurus,
Sudut $ a \, $ sehadap dengan $ 63^\circ \, $ sehingga besarnya sama, $ a = 63^\circ $
Sudut $ a, \, y, \, x \, $ berpelurus, sehingga jumlahnya $ 180^\circ $ .
$ \begin{align} a + y + x & = 180^\circ \\ 63^\circ + y + 26^\circ & = 180^\circ \\ y + 89^\circ & = 180^\circ \\ y & = 180^\circ - 89^\circ \\ y & = 91^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ y = 91^\circ $
Cara II : Jumlah sudut segitiga $ = 180^\circ $
Sudut $ b \, $ bertolak belakang dengan $ 63^\circ \, $ sehingga besar sudutnya sama, $ b = 63^\circ $
Sudut $ b, \, y, \, x \, $ adalah sudut-sudut segitiga, sehingga jumlahnya $ 180^\circ $ .
$ \begin{align} b + y + x & = 180^\circ \\ 63^\circ + y + 26^\circ & = 180^\circ \\ y + 89^\circ & = 180^\circ \\ y & = 180^\circ - 89^\circ \\ y & = 91^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ y = 91^\circ $
Jadi, kesimulannya nilai $ x = 26^\circ \, $ dan $ y = 91^\circ $ .

c). Perhatikan gambar c berikut,
*). Sudut $ (2x+40) , \, m, \, n \, $ adalah sehadap sehingga besarnya sama, yaitu $ m = n = 2x + 40 $ .
*). Sudut $ n \, $ bertolak belakang dengan $ (x + 80) \, $ , sehingga besarnya sama,
$ \begin{align} n & = x + 80 \\ 2x + 40 & = x + 80 \\ x & = 40 \end{align} $
Sehingga nilai $ x = 40^\circ $

*). Sudut $ m \, $ dan $ y \, $ berpelurus, jumlahnya $ 180^\circ $
$ \begin{align} m + y & = 180^\circ \\ (2x + 40) + y & = 180^\circ \\ (2.40 + 40) + y & = 180^\circ \\ (80 + 40) + y & = 180^\circ \\ 120^\circ + y & = 180^\circ \\ y & = 180^\circ - 120^\circ \\ y & = 60^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 40^\circ \, $ dan $ y = 60^\circ $ .

d). Perhatikan gambar d berikut,
*). Sudut $ a \, $ dan $ 102^\circ $ adalah sehadap, sehingga besarnya sama, $ a = 102^\circ $ .
*). Sudut $ a \, $ dan $ x \, $ berpelurus, jumlahnya $ 180^\circ $
$ \begin{align} a + x & = 180^\circ \\ 102^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 180^\circ - 102^\circ \\ x & = 78^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 78^\circ $ .

e). Perhatikan gambar e berikut,
*). Sudut $ a \, $ dan $ 80^\circ \, $ bertolak belakang, sehingga besarnya sama, $ a = 80^\circ $
*). Sudut $ a \, $ dan $ 7y \, $ sehadap, sehingga besarnya sama,
$ 7y = 80^\circ \rightarrow y = \frac{80^\circ }{7} = 11\frac{3}{7} ^\circ $
*). Sudut $ 5x \, $ dan $ 80^\circ \, $ dalam sepihak, sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
$ \begin{align} 5x + 80 & = 180^\circ \\ 5x & = 180^\circ - 80^\circ \\ 5x & = 100^\circ \\ x & = 20^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 20^\circ \, $ dan $ y = 11\frac{3}{7} ^\circ $ .

       Demikian Pembahasan Uji Kompetensi 4 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 . Jika ada kekeliruan dalam penyelesaiannya, mohon kritik dan saranya agar penyelesaiannya menjadi lebih baik dengan memberikan komentar di kotak komentar di bawah. Semoga pembahasannya bisa bermanfaat untuk kita semua. Terima kasih.

Pembahasan Latihan 4.2 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013


         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya kita telah mengepostkan artikel "Pembahasan Latihan 4.1 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013", dan pada kesempatan kali ini kita akan membaca Pembahasan Latihan 4.2 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 yang merupakan kelanjutan dari soal-soal latihan pada bab garis dan sudut . Untuk memudahkan dalam mengerjakan soal-soal pada latihan 4.2, kita harus menguasai materi "konsep sudut", "hubungan antar sudut", dan "sudut pada garis sejajar".
         Untuk Latihan 4.2 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 ini tentu soal-soalnya lebih kompleks dan lebih rumit lagi dibandingkan dengan soal-soal pada latihan 4.1 sebelumnya. Konsep yang digunakanpun sudah lebih berkembang untuk menjawab latihan 4.2. Saran kami, sebaiknya teman-teman menguasai dulu materi yang terkait dengan soal-soalnya, setelah itu pasti akan dengan mudah bisa menjawab atau mudah memahami pembahasan yang ada pada artikel ini.

Soal 1.
Nyatakan setiap sudut di bawah ini, apakah termasuk sudut lancip, tumpul, atau siku-siku. Serta gambarkan setiap sudut tersebut.
a). $ \frac{1}{3} \, $ sudut lurus
b). $ \frac{2}{3} \, $ putaran penuh
c). $ 180^\circ - \frac{5}{6} \, $ Sudut lurus
Penyelesaian :
a). $ \frac{1}{3} \, $ sudut lurus $ = \frac{1}{3} . 180^\circ = 60^\circ $
Sudut ini termasuk sudut lancip karena antara $ 0^\circ \, $ dan $ \, 90^\circ $ .
b). $ \frac{2}{3} \, $ putaran penuh $ = \frac{2}{3} . 360^\circ = 240^\circ $
Sudut ini termasuk sudut refleks karena antara $ 180^\circ \, $ dan $ \, 360^\circ $ .
c). $ 180^\circ - \frac{5}{6} \, $ Sudut lurus = $ 180^\circ - \frac{5}{6} . 180^\circ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $
Sudut ini termasuk sudut lancip karena antara $ 0^\circ \, $ dan $ \, 90^\circ $ .
Catatan : Untuk gambarnya, silahkan teman-teman coba sendiri ya.
Soal 2.
Manakah dari pernyataan berikut ini yang benar? Jelaskan.
a. Jika $\angle $A dan $\angle $B berpelurus, maka m$\angle $A tidak mungkin sama dengan m$\angle $B.
b. Jika $\angle $A adalah sudut tumpul, maka pelurus $\angle $A pasti sudut lancip.
c. Jika sudut penyiku $\angle $A kurang dari 30$^\circ $ , maka pelurus $\angle $A adalah sudut tumpul.
Penyelesaian :
a). $\angle $A dan $\angle $B berpelurus , maka $ \angle A + \angle B = 180^\circ $ ,
artinya kemungkinan bisa besar kedua sudut sama besar yaitu $ \angle A = 90^\circ \, $ dan $ \angle B = 90^\circ \, $
Sehingga pernyataan a ini masih salah.

b). Karena $ \angle $ A tumpul maka sudutnya lebih besar dari $ 90^\circ $ ( $ \angle A > 90^\circ $) .
Pelurus dari $ \angle A = 180^\circ - \angle A \, $ .
Karena besar $ \angle A > 90^\circ $ , maka pastilah $ 180^\circ - \angle A < 90^\circ \, $ yang artinya sudut pelurusnya adalah sudut lancip.
Sehingga pernyataan b benar.

c). Misalkan sudut penyiku dari $ \angle $ A adalah $ \angle $B,
Jika sudut penyiku $\angle $A kurang dari 30$^\circ $ , artinya $ \angle B < 30^\circ \, $
Sehingga : $ \angle A + \angle B = 90^\circ \rightarrow \angle A = 90^\circ - \angle B $
Karena $ \angle B < 30^\circ \, $ maka besar $ \angle A \, $ adalah $ 30^\circ \leq \angle A \leq 90^\circ $ .
*). Misalkan pelurus $ \angle A \, $ adalah $ \angle C $.
$ \angle C = 180^\circ - \angle A \, $
Karena besar sudut A adalah $ 30^\circ \leq \angle A \leq 90^\circ $
sehingga Pelurus sudut A adalah $ 90^\circ < \angle C < 150^\circ $
Artinya pelurus sudut A adalah sudut tumpul,
Sehingga pernyataan c benar.
Soal 3.
Tentukanlah nilai a pada setiap gambar di bawah ini.
Penyelesaian :
*). Gambar 1,
Sudut $ 3a \, $ dan $ 2a \, $ membentuk sudut siku-siku (berpenyiku), sehingga jumlahnya $ 90^\circ $ .
$ 3a + 2a = 90^\circ \rightarrow 5a = 90^\circ \rightarrow a = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ $
Jadi, dari gambar 1, nilai $ a = 18^\circ $ .

*). Gambar 2,
Sudut $ 46^\circ, \, (a+29), \, $ dan $ (5a+15) \, $ membentuk sudut lurus (berpelurus), sehingga jumlahnya $ 180^\circ $ .
$ 46^\circ + (a+29) + (5a+15) = 180^\circ \rightarrow 90^\circ + 6a = 180^\circ $
$ 6a = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \rightarrow a = \frac{90^\circ}{6} = 15^\circ $
Jadi, dari gambar 2, nilai $ a = 15^\circ $ .
Soal 4.
Diketahui m$\angle $A = $ \frac{2}{3} $ m$\angle $B. Tentukan
a. m$\angle $A dan m$\angle $B jika keduanya saling berpelurus. b. Selisih m$\angle $A dan m$\angle $B, jika kedua sudut saling berpenyiku.
Penyelesaian :
a). Keduanya saling berpelurus, jumlahnya $ 180^\circ $
$ \begin{align} m\angle A + m \angle B & = 180^\circ \\ \frac{2}{3} m \angle B + m \angle B & = 180^\circ \\ \frac{2}{3} m \angle B + \frac{3}{3} m \angle B & = 180^\circ \\ \frac{5}{3} m \angle B & = 180^\circ \\ m \angle B & = 180^\circ . \frac{3}{5} \\ m \angle B & = 108^\circ \end{align} $
Sehingga sudut A :
$ m\angle A = \frac{2}{3} m \angle B = \frac{2}{3} . 108^\circ = 72^\circ $
Jadi, besarnya $ m \angle A = 72^\circ \, $ dan $ m \angle B = 108^\circ $ .

b). Keduanya saling berpenyiku, jumlahnya $ 90^\circ $
$ \begin{align} m\angle A + m \angle B & = 90^\circ \\ \frac{2}{3} m \angle B + m \angle B & = 90^\circ \\ \frac{2}{3} m \angle B + \frac{3}{3} m \angle B & = 90^\circ \\ \frac{5}{3} m \angle B & = 90^\circ \\ m \angle B & = 90^\circ . \frac{3}{5} \\ m \angle B & = 54^\circ \end{align} $
Sehingga sudut A :
$ m\angle A = \frac{2}{3} m \angle B = \frac{2}{3} . 54^\circ = 36^\circ $
Selisih kedua sudut : selisih $ = 54^\circ - 36^\circ = 18^\circ $
Jadi, selisih kedua sudut adalah $ \, 18^\circ $ .
Soal 5.
Jika m$\angle $A - m$\angle $B = 70$^\circ $, dan m$\angle $A adalah tiga kali m$\angle $B. Hitunglah.
a. m$\angle $A + m$\angle $B.
b. Pelurus sudut A.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan :
$ m \angle A - m \angle B = 70^\circ \, $ ....pers(i)
$ m \angle A = 3 m \angle B \, $ ....pers(ii)
*). Substitusi pers (ii) ke pers(i)
$ \begin{align} m \angle A - m \angle B & = 70^\circ \\ 3 m \angle B - m \angle B & = 70^\circ \\ 2 m \angle B & = 70^\circ \\ m \angle B & = \frac{70^\circ }{2} = 35^\circ \end{align} $
Sehinga sudut A : $ m \angle A = 3 m \angle B = 3 . 35^\circ = 105^\circ $

a). Nilai $ m \angle A + m \angle B = 105^\circ + 35^\circ = 140^\circ $
Jadi, nilai $ m \angle A + m \angle B = 140^\circ $

b). Pelusur sudut A $ = 180^\circ - m \angle A = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ $
Jadi, pelurusnya sudut A adalah $ 75^\circ $ .
Soal 6.
Perhatikan gambar di bawah ini. Sebutkanlah pasangan:
a. Sudut-sudut sehadap.
b. Sudut-sudut sepihak (dalam dan luar ).
c. Sudut-sudut berseberangan (dalam dan luar)
Penyelesaian :
a). Daftar pasangan sudut-sudut yang sehadap :
$ A_1 $ sehadap $ B_1 $ ; $ A_2 $ sehadap $ B_2 $ ; $ A_3 $ sehadap $ B_3 $ ; $ A_4 $ sehadap $ B_4 $
$ A_1 $ sehadap $ D_1 $ ; $ A_2 $ sehadap $ D_2 $ ; $ A_3 $ sehadap $ D_3 $ ; $ A_4 $ sehadap $ D_4 $
$ B_1 $ sehadap $ C_1 $ ; $ B_2 $ sehadap $ C_2 $ ; $ B_3 $ sehadap $ C_3 $ ; $ B_4 $ sehadap $ C_4 $
$ D_1 $ sehadap $ C_1 $ ; $ D_2 $ sehadap $ C_2 $ ; $ D_3 $ sehadap $ C_3 $ ; $ D_4 $ sehadap $ C_4 $

b). Sudut-sudut sepihak :
Sudut-sudut dalam sepihak :
$ A_2 $ sepihak $ B_1 $ ; $ A_3 $ sepihak $ B_4 $ ; $ A_4 $ sepihak $ D_1 $ ; $ A_3 $ sepihak $ D_2 $
$ B_4 $ sepihak $ C_1 $ ; $ B_3 $ sepihak $ C_2 $ ; $ C_4 $ sepihak $ D_3 $ ; $ C_1 $ sepihak $ D_2 $
Sudut-sudut luar sepihak :
$ A_1 $ sepihak $ B_2 $ ; $ A_4 $ sepihak $ B_3 $ ; $ A_1 $ sepihak $ D_4 $ ; $ A_2 $ sepihak $ D_3 $
$ B_1 $ sepihak $ C_4 $ ; $ B_2 $ sepihak $ C_3 $ ; $ C_3 $ sepihak $ D_4 $ ; $ C_2 $ sepihak $ D_1 $

c). Sudut-sudut bersebrangan :
Sudut-sudut dalam bersebrangan :
$ A_2 $ dan $ B_4 $ ; $ A_3 $ dan $ B_1 $ ; $ A_4 $ dan $ D_2 $ ; $ A_3 $ dan $ D_1 $
$ B_4 $ dan $ C_2 $ ; $ B_3 $ dan $ C_1 $ ; $ C_4 $ dan $ D_2 $ ; $ C_1 $ dan $ D_3 $
Sudut-sudut luar bersebrangan :
$ A_1 $ dan $ B_3 $ ; $ A_4 $ dan $ B_2 $ ; $ A_1 $ dan $ D_3 $ ; $ A_2 $ dan $ D_4 $
$ B_1 $ dan $ C_3 $ ; $ B_2 $ dan $ C_4 $ ; $ C_3 $ dan $ D_1 $ ; $ C_2 $ dan $ D_4 $
Soal 7.
Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan besar sudut
a. $ \angle $ABC
b. $ \angle $ACB
c. $ \angle $ACG
d. $ \angle $FGC
Penyelesaian :
a). Sudut ABC dan sudut ABD berpelurus, jumlahnya $ 180^\circ $
$ \angle ABC + \angle ABD = 180^\circ $
$ \angle ABC = 180^\circ - \angle ABD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, besar sudut ABC adalah $ 60^\circ $ .

b). sudut A, B, dan C adalah sudut pada segitiga, jumlahnya $ 180^\circ $
$ \begin{align} \angle ACB + \angle ABC + \angle BAC & = 180^\circ \\ \angle ACB + 60^\circ + 55^\circ & = 180^\circ \\ \angle ACB + 115^\circ & = 180^\circ \\ \angle ACB & = 180^\circ - 115^\circ \\ \angle ACB & = 75^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut ACB adalah $ 75^\circ $ .

c). Sudut ACG dan sudut ACB berpelurus, jumlahnya $ 180^\circ $
$ \angle ACG + \angle ACB = 180^\circ $
$ \angle ACG = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 75^\circ = 115^\circ $
Jadi, besar sudut ACG adalah $ 115^\circ $ .

d). Sudut FGC bertolak belakang dengan sudut ACB, besarnya sama,
Sehingga $ \angle FGC = \angle ACB = 75^\circ $
Jadi, besar sudut FGC adalah $ 75^\circ $ .
Soal 8.
Sudut P dan sudut Q adalah sudut dalam sepihak. m$\angle $ Q = 112$^\circ $. Tentukanlah m$\angle $P.
Penyelesaian :
*). Sudut dalam sepihak memiliki jumlah $ 180^\circ $
$ \angle P + \angle Q = 180^\circ \rightarrow \angle P = 180^\circ - \angle Q $
$ \angle P = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ $
Jadi, besarnya sudut P adalah $ 68^\circ $
Soal 9.
Tentukan Nilai $x$.
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,
*). Perhatikan sudut $ a , \, b , \, $ dan $ \, c \, $ adalah tiga sudut yang sehadap. Karena sudutnya sehadap, maka besarnya sama ($ a = b = c $) , sehingga $ c = 2x + 40 $ .
*). Perhatikan sudut $ c \, $ dan sudut $ x + 80 \, $ , adalah bertolak belakang, sehingga besar sudutnya juga sama.
$ \begin{align} c & = x + 80 \\ 2x + 40 & = x + 80 \\ 2x - x & = 80 - 40 \\ x & = 40 \end{align} $
Jadi, besarnya $ x \, $ adalah $ 40 $

       Demikian Pembahasan Latihan 4.2 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013. Jika ada kekeliruan dalam penyelesaiannya, mohon kritik dan saranya agar penyelesaiannya menjadi lebih baik dengan memberikan komentar di kotak komentar di bawah. Semoga pembahasannya bisa bermanfaat untuk kita semua. Terima kasih.

Pembahasan Latihan 4.1 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013


         Blog Koma - Matematika SMP : Setelah membahas semua materi yang berkaitan dengan garis dan sudut yang ada pada kelas VII kurikulum 2013, kita akan melanjutkan artikel khusus pembahasan latihan 4.1 garis dan sudut kelas VII kurikulum 2013. Materi dasar yang harus dikuasai untuk menjawab dan memahami pembahasan soal-soal latihan 4.1 ini kita harus menguasai materi "konsep titik", "konsep sudut", dan "sudut pada jarum jam". Pada latihan 4.1 ini ada 5 soal yang akan kita selesaikan.
         Pada Latihan 4.1 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 ini khusus membahas soal-soal yang terkait dengan sudut dan hubungan sudut dengan jarum jam. Dari kelima soal yang ada, hampir semuanya mudah untuk kita selesaikan dengan rumus yang ada masing-masing. Yang menarik adalah menentukan besarnya sudut terkecil pada arah jarum jam. Tapi tenang saja, rumus yang diperlukan pada pembahasan latihan 4.1 sudah kita sediakan.

         Pembahasan Latihan 4.1 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013 ini sengaja kita sajikan agar bisa dijadikan bahan pertimbangan dalam mengerjakan soal-soal yang ada pada buku kurikulum 2013. Besar harapan kami untuk siswa/siswi mengerjakan soal-soal yang ada terlebih dahulu, setelah memang dirasa sulit dan tidak bisa baru melihat pembahasan yang ada pada artikel ini. Dengan banyak berlatih mengerjakan soal-soal, maka kami yakin teman-teman akan lebih mendalami konsep dari "garis dan sudut" itu sendiri.

Soal 1.
Perhatikan gambar di bawah ini. Ukurlah besar sudut yang diberi tanda.
Penyelesaian :
       Untuk soal nomor 1 ini, kita langsung serahkan kepada pembaca untuk mencobanya langsung dalam melakukan pengukuran besarnya sudut masing-masing $ v, \, x, \, y, \, $ dan $ \, z $ . Silahkan baca cara mengukur sudut menggunakan busur derajat pada materi "konsep sudut".
Soal 2.
Nyatakan setiap sudut di bawah ini, apakah termasuk sudut lancip, tumpul, atau siku-siku. Serta gambarkan setiap sudut tersebut.
a). $ \frac{1}{3} \, $ sudut lurus
b). $ \frac{2}{3} \, $ putaran penuh
c). $ 180^\circ - \frac{5}{6} \, $ Sudut lurus
Penyelesaian :
a). $ \frac{1}{3} \, $ sudut lurus $ = \frac{1}{3} . 180^\circ = 60^\circ $
Sudut ini termasuk sudut lancip karena antara $ 0^\circ \, $ dan $ \, 90^\circ $ .
b). $ \frac{2}{3} \, $ putaran penuh $ = \frac{2}{3} . 360^\circ = 240^\circ $
Sudut ini termasuk sudut refleks karena antara $ 180^\circ \, $ dan $ \, 360^\circ $ .
c). $ 180^\circ - \frac{5}{6} \, $ Sudut lurus
$ = 180^\circ - \frac{5}{6} . 180^\circ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $
Sudut ini termasuk sudut lancip karena antara $ 0^\circ \, $ dan $ \, 90^\circ $ .
Catatan : Untuk gambarnya, silahkan teman-teman coba sendiri ya.
Soal 3.
Hitung sudut terkecil dari jarum jam berikut ini.
a. Pukul 04.30
b. Pukul 07.20
c. Pukul 05.12
d. Pukul 09.01
e. Pukul 10.40
Penyelesaian :
a. Pukul 04.30
*). Menentukan besar sudut masing-masing jarum
Pukul 04.30, artinya $ a = 4 \, $ dan $ b = 30 $.
sudut jarum jam $ = [4 + \frac{30}{60}] \times 30^\circ = 135^\circ $
Sudut jarum menit $ = b . 6^\circ = 30 . 6^\circ = 180^\circ $
Sehingga sudut kedua jarum jam adalah selisihnya,
sudut $ = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $
Jadi, besarnya sudut antara kedua jarum adalah $ 45^\circ $
Cara II :
Pukul 04.30, artinya $ a = 4 \, $ dan $ b = 30 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.30 - 30.4 | = | 165-120| = 45^\circ $

Catatan : Untuk soal berikutnya, kita langsung menggunakan cara II,

b. Pukul 07.20
Pukul 07.20, artinya $ a = 7 \, $ dan $ b = 20 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.20 - 30.7 | $
$ = | 110-210| = |-100| = 100^\circ $

c. Pukul 05.12
Pukul 05.12, artinya $ a = 5 \, $ dan $ b = 12 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.12 - 30.5 | $
$ = | 66-150| = |-84| = 84^\circ $

d. Pukul 09.01
Pukul 09.01, artinya $ a = 9 \, $ dan $ b = 1 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.1 - 30.9 | $
$ = | 5,5-270| = |-264,5| = 264,5^\circ $
Sehingga sudut terkecilnya $ = 360^\circ - 264,5^\circ = 95,5^\circ $

e. Pukul 10.40
Pukul 10.40, artinya $ a = 10 \, $ dan $ b = 40 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.40 - 30.10 | $
$ = | 220-300| = |-80| = 80^\circ $
Soal 4.
Untuk 1 hari 1 malam (24 jam), ada berapa kali ukuran sudut sebesar:
a. 90$^\circ $
b. 150$^\circ $
c. 180$^\circ $
Penyelesaian :
a). Dalam setiap jam (1 jam) akan terbentuk sudut $ 90^\circ \, $ sebanyak dua kali yaitu sebelum dan sesudah jarum pendeknya.
Sehingga selama 24 jama ada $ = 24 \times 2 = 48 \, $ kali sudut $ 90^\circ $.

b). Dalam setiap jam (1 jam) akan terbentuk sudut $ 150^\circ \, $ sebanyak dua kali yaitu sebelum dan sesudah jarum pendeknya.
Sehingga selama 24 jama ada $ = 24 \times 2 = 48 \, $ kali sudut $ 150^\circ $.

c). Dalam setiap jam (1 jam) akan terbentuk sudut $ 180^\circ \, $ sebanyak dua kali yaitu sebelum dan sesudah jarum pendeknya.
Sehingga selama 24 jama ada $ = 24 \times 2 = 48 \, $ kali sudut $ 180^\circ $.

Catatan : Untuk sudut $ > 180^\circ \, $ , setiap jam hanya terbentuk satu kali saja.
Soal 5.
Tentukan jenis sudut pada gambar berikut tanpa mengukurnya.
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan dalam menentukan besarnya sudut yang dimaksud, kita beri tanda warna merah saja seperti gambar berikut ini.
*). Dari gambar, tanpa menghitung kita langsund dapat menentukan jenis sudutnya yaitu :
gambar a adalah sudut lancip,
gambar b adalah sudut tumpul,
gambar c adalah sudut lancip,
gambar d adalah sudut tumpul,
gambar e adalah sudut lancip.

       Demikian Pembahasan Latihan 4.1 Garis dan sudut kelas VII Kurikulum 2013. Jika ada kekeliruan dalam penyelesaiannya, mohon kritik dan saranya agar penyelesaiannya menjadi lebih baik dengan memberikan komentar di kotak komentar di bawah. Semoga pembahasannya bisa bermanfaat untuk kita semua. Terima kasih.

Jumat, 04 Desember 2015

Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar


         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya telah dijelaskan materi "Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku, Berpelurus, dan Bertolak Belakang", dan kali ini kita lanjutkan dengan materi Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar. Pada Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar ini, ada beberapa hubungan sudut yang kita peroleh yaitu sudut bersebrangan, sudut sehadap dan sudut-sudut sepihak.

Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar
       Misalkan terdapat dua garis yang sejajar yaitu garis $ m \, $ dan garis $ n \, $ . Kemudian kita buat garis $ l \, $ yang memotong kedua garis. Untuk lebih jelasnya, berikut ilustrasi gambarnya,

       Dari gambar di atas, ada beberapa hubungan sudut yang kita peroleh yaitu sudut sehadap, sudut bersebrangan, dan sudut sepihak. Tapi sebelumnya kita daftar dulu sudut-sudut yang ada di dalam garis sejajar dan sudut-sudut yang ada di luar garis sejajar ,
sudut-sudut dalam : $ \angle P_3 , \, \angle P_4, \, \angle Q_1, \, $ dan $ \angle Q_2 $
sudut-sudut luar : $ \angle P_1 , \, \angle P_2, \, \angle Q_3, \, $ dan $ \angle Q_3 $
Sudut-Sudut Sehadap
       Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akan terbentuk empat pasang sudut sehadap yang besarnya sama. Sudut-sudut yang sehadap adalah :
$ \angle P_1 \, $ sehadap dengan $ \, \angle Q_1 \, $ sehingga $ \angle P_1 = \angle Q_1 $
$ \angle P_2 \, $ sehadap dengan $ \, \angle Q_2 \, $ sehingga $ \angle P_2 = \angle Q_2 $
$ \angle P_3 \, $ sehadap dengan $ \, \angle Q_3 \, $ sehingga $ \angle P_3 = \angle Q_3 $
$ \angle P_4 \, $ sehadap dengan $ \, \angle Q_4 \, $ sehingga $ \angle P_4 = \angle Q_4 $
Sudut-Sudut Bersebrangan
$\clubsuit $ Sudut-sudut dalam berseberangan
       Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, besar sudut-sudut dalam berseberangan yang terbentuk adalah sama besar. Pasangan sudut-sudut dalam bersebranga yaitu :
$ \angle P_3 \, $ dan $ \, \angle Q_1 \, $ sehingga $ \angle P_3 = \angle Q_1 $
$ \angle P_4 \, $ dan $ \, \angle Q_2 \, $ sehingga $ \angle P_4 = \angle Q_2 $

$\clubsuit $ Sudut-sudut luar berseberangan
       Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut-sudut luar berseberangan yang terbentuk adalah sama besar. Pasangan sudut-sudut luar bersebranga yaitu :
$ \angle P_1 \, $ dan $ \, \angle Q_3 \, $ sehingga $ \angle P_1 = \angle Q_3 $
$ \angle P_2 \, $ dan $ \, \angle Q_4 \, $ sehingga $ \angle P_2 = \angle Q_4 $
Sudut-Sudut Sepihak
$\spadesuit $ Sudut-sudut dalam sepihak
       Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut dalam sepihak adalah 180$^\circ$. Pasangan sudut-sudut dalam sepihak yaitu :
$ \angle P_4 \, $ dan $ \, \angle Q_1 \, $ sehingga $ \angle P_4 + \angle Q_1 = 180^\circ $
$ \angle P_3 \, $ dan $ \, \angle Q_2 \, $ sehingga $ \angle P_3 + \angle Q_2 = 180^\circ $

$\spadesuit $ Sudut-sudut luar sepihak
       Jika dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut luar sepihak adalah 180$^\circ$. Pasangan sudut-sudut dalam sepihak yaitu :
$ \angle P_1 \, $ dan $ \, \angle Q_4 \, $ sehingga $ \angle P_1 + \angle Q_4 = 180^\circ $
$ \angle P_2 \, $ dan $ \, \angle Q_3 \, $ sehingga $ \angle P_2 + \angle Q_3 = 180^\circ $
Contoh :
1). Perhatikan gambar berikut,
Diketahui $ \angle P_1 = (3x + 45)^\circ \, $ dan $ \, \angle Q_3 = (5x + 23)^\circ $ .
Tentukan besar $ \angle Q_1 $ ?
Penyelesaian :
*). Dari gambar, $ \angle Q_1 \, $ sehadap dengan $ \angle P_1 \, $
sehingga $ \angle Q_1 = \angle P_1 = (3x + 45)^\circ $ .
*). $ \angle Q_1 \, $ bertolak belakang dengan sudut $ \angle Q_3 \, $
Sehingga $ \angle Q_3 = \angle Q_1 $
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} \angle Q_3 & = \angle Q_1 \\ 5x + 23 & = 3x + 45 \\ 5x - 3x & = 45 - 23 \\ 2x & = 22 \\ x & = \frac{22}{2} = 11 \end{align} $
*). Menentukan sudut $ \angle Q_1 $
$ \angle Q_1 = (3x + 45)^\circ = (3. 11 + 45)^\circ = (33 + 45)^\circ = 78^\circ $
Jadi, besar $ \angle Q_1 = 78^\circ $

2). Perhatikan gambar berikut,
Tentukan nilai $ x $ ?
Penyelesaian :
*). Perhatikan segitiga ABC,
AB = BC , sehingga segitiga ABC adalah segitiga sama kaki,
artinya sudut ABC sama dengan sudut ACB ( $ \angle ABC = \angle ACB $).
*). Perhatikan sudut $ 145^\circ \, $ dan $ \angle ABC \, $ adalah berpelurus, sehingga jumlahnya $ 180^\circ $ .
$ 145^\circ + \angle ABC = 180^\circ \rightarrow \angle ABC = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ $
Sehingga : $ \angle ACB = \angle ABC = 35^\circ $
*). Perhatikan sudut $ 2x \, $ dan $ \angle ACB \, $ adalah sudut dalam bersebrangan, sehingga besar sudutnya sama.
*). Menentukan nilai $ x $
$ \begin{align} 2x & = \angle ACB \\ 2x & = 35^\circ \\ x & = \frac{35^\circ}{2} \\ x & = 17,5^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 17,5^\circ $

Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku, Berpelurus, dan Bertolak Belakang


         Blog Koma - Matematika SMP : Pada kali ini kita akan membahas materi Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku, Berpelurus, dan Bertolak Belakang. Pada materi sebelumnya "Konsep Sudut dan Jenis-jenis Sudut", kita telah mempelajari jenis-jenis sudut yang salah satunya sudut siku-siku ($90^\circ$) dan sudut lurus ($180^\circ$). Dari hubungan antar sudut, kita akan mempelajari tiga jenis hubungan yaitu sudut berpelurus, sudut berpenyiku, dan sudut bertolak belakang. Perhatikan gambarnya berikut ini,

Hubungan Antar Sudut : Berpenyiku (berkomplemen)
       Dua atau lebih sudut dikatakan berpenyiku jika jumlah semua sudutnya $ 90^\circ \, $ atau semua sudutnya membentuk sudut siku-siku. Misalkan gambar di bawah ini,
Keterangan :
*). Sudut $ r \, $ dan $ s \, $ disebut saling berpenyiku, artinya penyiku dari $ r \, $ adalah $ s \, $ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $ x , \, y , \, $ dan $ z \, $ juga disebut saling berpenyiku.
Contoh :
1). Tentukan besar sudut penyiku dari sudut-sudut
a). $ 37^\circ $
b). $ 65^\circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut penyiku dari $ 37^\circ \, $ adalah $ x \, $ maka
$ x + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow x = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ $
Jadi, penyiku dari sudut $ 37^\circ \, $ adalah $ 53^\circ $ .

b). Misalkan sudut penyiku dari $ 65^\circ \, $ adalah $ y \, $ maka
$ y + 65^\circ = 90^\circ \rightarrow y = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ $
Jadi, penyiku dari sudut $ 65^\circ \, $ adalah $ 25^\circ $ .

2). Sudut $ z \, $ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut penyikunya, tentukan besar sudut $ z \, $ dan penyikunya?
Penyelesaian :
*). Misalkan penyiku dari $ z \, $ adalah $ x \, $ ,
kita peroleh : $ z = \frac{1}{3} x \, $ atau $ x = 3z $
*). Jumlah sudut-sudut berpenyiku adalah $ 90^\circ $
$ z + x = 90^\circ \rightarrow z + 3z = 90^\circ \rightarrow 4z = 90^\circ \rightarrow z = \frac{90^\circ}{4} = 22,5^\circ $
Diperoleh besar $ z = 22,5^\circ $
Sudut penyikunya : $ x = 3z = 3 \times 22,5^\circ = 67,5^\circ $
Jadi, besar $ z = 22,5^\circ \, $ dan penyikunya adalah $ 67,5^\circ $

3). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $ x \, $ dan $ b \, $ dari masing-masing gambarnya!
Penyelesaian :
*). Gambar a), sudut-sudut $ 2x, \, 3x , \, $ dan $ x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 2x + 3x + x = 90^\circ \rightarrow 6x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{6} = 15^\circ $
Jadi, besar $ x = 15^\circ $

*). Gambar b), sudut-sudut $ 6x, \, $ dan $ 14x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 6x + 14x = 90^\circ \rightarrow 20x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{20} = 4,5^\circ $
Jadi, besar $ x = 4,5^\circ $

*). Gambar c), sudut-sudut $ 2x, \, 5x , \, $ dan $ 2x \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ 2x + 5x + 2x = 90^\circ \rightarrow 9x = 90^\circ \rightarrow x = \frac{90^\circ }{9} = 10^\circ $
Jadi, besar $ x = 10^\circ $

*). Gambar a), sudut-sudut $ b, \, $ dan $ 37^\circ \, $ membentuk sudut berpenyiku sehingga jumlahnya $ 90^\circ $
$ b + 37^\circ = 90^\circ \rightarrow b = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ $
Jadi, besar $ b = 53^\circ $

Hubungan Antar Sudut : Berpelurus (bersuplemen)
       Dua atau lebih sudut dikatakan berpelurus jika jumlah semua sudutnya $ 180^\circ \, $ atau semua sudutnya membentuk sudut lurus (garis lurus). Misalkan gambar di bawah ini,
Keterangan :
*). Sudut $ t \, $ dan $ u \, $ disebut saling berpelurus, artinya pelurus dari $ t \, $ adalah $ u \, $ begitu juga sebaliknya.
*). Sudut $ x , \, y , \, $ dan $ z \, $ juga disebut saling berpelurus.
Contoh :
1). Tentukan besar sudut pelurus dari sudut-sudut
a). $ 70^\circ $
b). $ 120^\circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan sudut pelurus dari $ 70^\circ \, $ adalah $ x \, $ maka
$ x + 70^\circ = 180^\circ \rightarrow x = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ $
Jadi, pelurus dari sudut $ 70^\circ \, $ adalah $ 110^\circ $ .

b). Misalkan sudut pelurus dari $ 120^\circ \, $ adalah $ y \, $ maka
$ y + 120^\circ = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $
Jadi, pelurus dari sudut $ 120^\circ \, $ adalah $ 60^\circ $ .

2). Sudut $ z \, $ memiliki besar yang sama dengan sepertiga dari sudut pelurusnya, tentukan besar sudut $ z \, $ dan pelurusnya?
Penyelesaian :
*). Misalkan pelurus dari $ z \, $ adalah $ x \, $ ,
kita peroleh : $ z = \frac{1}{3} x \, $ atau $ x = 3z $
*). Jumlah sudut-sudut berpelurus adalah $ 180^\circ $
$ z + x = 180^\circ \rightarrow z + 3z = 180^\circ \rightarrow 4z = 180^\circ \rightarrow z = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ $
Diperoleh besar $ z = 45^\circ $
Sudut pelurusnya : $ x = 3z = 3 \times 45^\circ = 135^\circ $
Jadi, besar $ z = 45^\circ \, $ dan pelurusnya adalah $ 135^\circ $

3). Dari gambar di bawah ini, tentukan besar sudut KON dan sudut MON ?
Penyelesaian :
*). Dari gambar, sudut $ 2x , \, 3x , \, $ dan $ 85 \, $ adalah berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ 2x + 3x + 85^\circ = 180^\circ \rightarrow 5x = 180^\circ - 85^\circ \rightarrow 5x = 95^\circ \rightarrow x = \frac{95^\circ}{5} = 19^\circ $
*). Menentukan besar sudut KON dan MON :
$ \angle KON = 2x = 2 \times 19^\circ = 38^\circ $
$ \angle MON = 3x = 3 \times 19^\circ = 57^\circ $
Jadi, besar $ \angle KON = 38^\circ \, $ dan $ \, \angle MON = 57^\circ $ .

4). Dari gambar di bawah ini, tentukan nilai $ a \, $ dan $ c \, $ dari masing-masing gambarnya!
Penyelesaian :
*). Gambar a), sudut-sudut $ 2a, \, $ dan $ a \, $ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
$ 2a + a = 180^\circ \rightarrow 3a = 180^\circ \rightarrow a = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ $
Jadi, besar $ a = 60^\circ $

*). Gambar b), ketiga sudut $ c \, $ membentuk sudut berpelurus sehingga jumlahnya $ 180^\circ $
$ c + c + c = 180^\circ \rightarrow 3c = 180^\circ \rightarrow c = \frac{180^\circ }{3} = 60^\circ $
Jadi, besar $ c = 60^\circ $

Hubungan Antar Sudut : Bertolak Belakang
       Jika dua sudut bertolak belakang, maka besar sudutnya sama.
Perhatikan gambar berikut,
*). Sudut AOB bertolak belakang dengan sudut COD,
sehingga $ \angle AOB = \angle COD $
*). Sudut BOC bertolak belakang dengan sudut AOD,
sehingga $ \angle BOC = \angle AOD $
Contoh :
1). Perhatikan gambar berikut, tentukan nilai $ x + y + z $ ?
Penyelesaian :
*). Sudut $ 2x \, $ dan $ 120^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 2x = 120^\circ \rightarrow x = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $
*). Sudut $ 3y \, $ dan $ 42^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 3y = 42^\circ \rightarrow y = \frac{42^\circ}{3} = 14^\circ $
*). Sudut $ 5z+3 \, $ dan $ 68^\circ \, $ adalah bertolak belakang,
$ 5z + 3 = 68^\circ \rightarrow 5z = 65^\circ \rightarrow z = \frac{65^\circ}{5} = 13^\circ $
*). Menentukan hasilnya :
$ x + y + z = 60^\circ + 14^\circ + 13^\circ = 87^\circ $
Jadi, nilai $ x + y + z = 87^\circ $ .

2). Perhatikan gambar berikut,
a). tentukan pasangan sudut yang saling bertolak belakang,
b). tentukan besar ketiga sudut yang lainnya.
Penyelesaian :
a). Pasangan sudut-sudut yang bertolak belakang :
$ \angle BOD \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOC $
$ \angle BOC \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOD $
b). Menentukan besar sudut yang lainnya, dengan $ \angle AOC = 35^\circ $
*). $ \angle BOD \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOC $
sehingga $ \angle BOD = \angle AOC \rightarrow \angle BOD = 35^\circ $
*). $ \angle AOC \, $ dan $ \angle BOC \, $ berpelurus sehingga :
$ \angle AOC + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow 35^\circ + \angle BOC = 180^\circ \rightarrow \angle BOC = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ $
*). $ \angle BOC \, $ bertolak belakang dengan $ \, \angle AOD $
sehingga $ \angle AOD = \angle BOC = 145^\circ $
Jadi, diperoleh : $ \angle BOD = 35^\circ , \, \angle BOC = 145^\circ , \, $ dan $ \, \angle AOD = 145^\circ $

Kamis, 03 Desember 2015

Menentukan Besar Sudut pada Jarum Jam


         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya telah kita bahas materi "Konsep Sudut dan Jenis-jenis Sudut". Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Menentukan Besar Sudut pada Jarum Jam. Untuk Menentukan Besar Sudut pada Jarum Jam, kita harus ingat bahwa besarnya sudut satu putaran penuh adalah $ 360^\circ \, $ yang berhubungan langsung dengan jarum jam yang berputar satu putaran penuh.

Menentukan Besar Sudut pada Jarum Jam
       Pada jarum jam, terdapat jarum pendek untuk penunjuk jam dan jarum panjang untuk penunjuk menit. Misalkan pada pukul $ a : b \, $ artinya jam $ a \, $ lebih $ b \, $ menit (misalkan pukul 3:45 , artinya $ a = 3 \, $ dan $ b = 45 $ ), maka besar sudut yang terbentuk pada pukul $ a : b $ ,
*). Jarum penunjuk jam (jarum pendek),
       Dalam satu putaran penuh ada 12 jam dan mewakili $ 360^\circ , \, $ ini artinya setiap jam mewakili $ \frac{360^\circ }{12} = 30^\circ $ . Sehingga sudut yang terbentuk oleh jarum kecil penunjuk jam pada pukul $ a : b \, $ adalah
Sudut jam $ = [a + \frac{b}{60}] \times 30^\circ $

*). Jarum penunjuk menit (jarum panjang),
       Dalam satu putaran penuh terdapat 60 menit yang mewakili $ 360^\circ , \, $ ini artinya setiap menit mewakili $ \frac{360^\circ }{60} = 6^\circ $ . Sehingga sudut yang dibentuk oleh jarum panjang penunjuk menit pada pukul $ a : b \, $ adalah
Sudut menit $ = b \times 6^\circ $

*). Sudut yang dibentuk oleh kedua jarum adalah selisih dari masing-masing kedua sudut yang terbentuk. Berikut gambar sudut yang terbentuk pada jarum jam.
Menentukan Besar Sudut pada Jarum Jam dengan lebih Praktis
       Dari penjelasan di atas, kita langsung bisa menentukan besar sudut pada jarum jam tapa menghitung masing-masing.
Sudut jarum jam $ = [a + \frac{b}{60}] \times 30^\circ = [30.a + \frac{1}{2}b]^\circ $
Sudut jarum menit $ = b . 6^\circ $

$ \begin{align} \text{sudut kedua jarum } & = | \text{Sudut jarum menit } - \text{Sudut jarum jam } | \\ & = | b . 6^\circ - [30.a + \frac{1}{2}b]^\circ | \\ & = | \frac{11}{2}b - 30a | \end{align} $

Artinya sudut pada pukul $ a : b \, $ adalah : Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | $ .
agar besarnya sudut positif, maka diberi harga mutlak.
Contoh :
1). Tentukan ukuran sudut yang dibentuk oleh jarum jam dan jarum menit ketika menunjukkan pukul 02.00. ?
Penyelesaian :
*). Menentukan besar sudut masing-masing jarum
Pukul 02.00, artinya $ a = 2 \, $ dan $ b = 0 $.
sudut jarum jam $ = [2 + \frac{0}{60}] \times 30^\circ = 60^\circ $
Sudut jarum menit $ = b . 6^\circ = 0 . 6^\circ = 0^\circ $
Sehingga sudut kedua jarum jam adalah selisihnya,
sudut $ = 60^\circ - 0^\circ = 60^\circ $
Jadi, besarnya sudut antara kedua jarum adalah $ 60^\circ $

Cara II :
Pukul 02.00, artinya $ a = 2 \, $ dan $ b = 0 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.0 - 30.2 | = | -60| = 60^\circ $

Catatan :
$ 60^\circ \, $ adalah sudut terkecil yang terbentuk oleh kedua jarum. Artinya sudut terbesarnya bisa kita cari yaitu $ 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ $ .

2). Dengan aturan jarum jam dan jarum menit, kita dapat menentukan besar sudut yang terbentuk, saat pukul 03.25.
Penyelesaian :
*). Menentukan besar sudut masing-masing jarum
Pukul 03.25, artinya $ a = 3 \, $ dan $ b = 25 $.
sudut jarum jam $ = [3 + \frac{25}{60}] \times 30^\circ = 102,5^\circ $
Sudut jarum menit $ = b . 6^\circ = 25. 6^\circ = 150^\circ $
Sehingga sudut kedua jarum jam adalah selisihnya,
sudut $ = 150^\circ - 102,5^\circ = 47,5^\circ $
Jadi, besarnya sudut antara kedua jarum adalah $ 47,5^\circ $ >

Cara II :
Pukul 03.25, artinya $ a = 3 \, $ dan $ b = 25 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.25 - 30.3 | = |137,5 -90| = 47,5^\circ $

3). Tentukan besar sudut terkecil yang dibentuk oleh jarum pendek dan jarum panjang ketika menunjukkan pukul 10.08 ?
Penyelesaian :
*). Kita langsung menngunakan cara II,
Pukul 10.08, artinya $ a = 10 \, $ dan $ b = 8 $
Sudut $ = | \frac{11}{2}b - 30a | = | \frac{11}{2}.8 - 30.10 | = |44 -300| = = |-256| = 256^\circ $
Artinya sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua jarum jam adalah $ 360^\circ - 256^\circ = 104^\circ $
Jadi, sudut terkecil yang terbentuk adalah $ 104^\circ $ .

Konsep Sudut dan Jenis-jenis Sudut : Materi SMP


         Blog Koma - Matematika SMP : Sebelumnya kita telah belajar tentang materi "Konsep Titik, Garis, dan Bidang". Pada artikel ini kita akan belajar materi Konsep Sudut dan Jenis-jenis Sudut serta cara mengukur sudut menggunakan busur derajat.

Konsep sudut
       Sudut adalah daerah yang dibentuk oleh pertemuan antara dua buah sinar atau dua buah garis lurus. Berikut gambar secara geometrisnya,
Satuan sudut dinyatakan dalam dua jenis, yaitu derajat (" $^\circ $ ") dan radian (rad). Sudut dinotasikan dengan simbol "$\angle $ " . Bentuk $\angle $APB dibaca sudut APB, bisa juga disebut $\angle $P (dibaca sudut P). Besar sudut P dilambangkan dengan m$\angle $P.
Penamaan Sudut
       Perhatikan gambar sudut berikut,
Dari gambar di atas, ruas garis BA dan BC disebut kaki sudut, sedangkan titik pertemuan kaki-kaki sudut itu disebut titik sudut (titik B). Daerah yang dibatasi oleh kaki-kaki sudut, yaitu daerah ABC disebut daerah sudut. Untuk selanjutnya, daerah sudut ABC disebut besar sudut ABC. Sudut yang terbentuk pada gambar di atas dapat juga notasikan dengan $\angle $ABC atau $\angle $CBA, atau $\angle $B.
Pengukuran Besar Sudut
       Pada setiap sudut yang terbentuk, harus kita tahu berapa besarnya. Secara manual, kita dapat menggunakan alat ukur sudut yaitu busur derajat. Alat ini dapat membantu kita mengukur suatu sudut yang sudah terbentuk dan membentuk besar sudut yang akan digambar. Berikut gambar busur derajatnya.
Langkah-langkah Pengukuran Besar Sudut
       Langkah-langkah dalam mengukur besar suatu sudut sebagai berikut.
Cara menghitung besarnya sudut AOB,
1). Letakkan busur derajat pada sudut AOB sehingga
a).titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik O;
b).sisi horizontal busur derajat berimpit dengan sinar garis OA.
2). Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak padagaris OA. Jika angka nol berada pada skala bawah, perhatikan angka pada skala bawah yang terletak pada kaki sudut OB. Dari gambar tampak bahwa garis OB terletak pada angka $ 75^\circ $ . Jadi, besar sudut AOB = $ 75^\circ $.
Contoh :
Dengan menggunakan busur derajat, tentukan besarnya sudut gambar berikut :
Penyelesaian :
Terlebih dahulu kalian tambahkan garis bantu untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh sandaran kursi dan dudukan kursi yang ditunjukkan oleh garis warna merah. Setelah itu kita gunakan busur derajat seperti gambar busur derajat berikut,
Dari busur derajat di atas, besar sudut yang terbentuk adalah $ 140^\circ $ .

Menggambar Besar Suatu Sudut
       Setelah kita mengetahui cara mengukur besar sudut dengan busur derajat, sekarang kita akan mempelajari cara menggambar sudut.

       Misalkan kita akan melukis sudut PQR yang besarnya 60$^\circ $. Langkah-langkah untuk melukis sudut PQR yang besarnya 60$^\circ $ sebagai berikut.
1). Buatlah salah satu kaki sudutnya yang horizontal, yaitu kaki sudut PQ.
2). Letakkan busur derajat sehingga
*). titik pusat lingkaran busur derajat berimpit dengan titik Q;
*). sisi lurus busur derajat berimpit dengan garis PQ.
3). Perhatikan angka nol (0) pada busur derajat yang terletak pada garis PQ.
*). Jika angka nol (0) terletak pada skala bawah maka angka 60 yang berada di bawah yang digunakan.
*). Jika angka nol (0) terletak pada skala atas maka angka 60 yang berada di atas yang digunakan. Berilah tanda pada angka 60 dan namakan titik R.
4). Hubungkan titik Q dan R. Daerah yang dibentuk oleh garis PQ dan QR adalah sudut PQR dengan besar $\angle $PQR = 60$^\circ $.
Berikut gambar lengkapnya :
Jenis-jenis sudut
       Terdapat beberapa ukuran sudut standar yang harus kita ketahui yaitu :
1. Sudut Lancip: ukuran sudutnya antara $0^\circ $ dan $90^\circ $.
2. Sudut Siku-Siku: ukuran sudutnya $90^\circ $ .
3. Sudut Tumpul: ukuran sudutnya antara $90^\circ $ dan $180^\circ $.
4. Sudut Lurus: ukuran sudutnya $180^\circ $.
5. Sudut Refleks: ukuran sudutnya antara $180^\circ $ dan $360^\circ $.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar jenis-jenis sudut berikut,

Catatan :
sudut satu putaran penuh $ = 360^\circ $
sudut lurus $ = 180^\circ $
sudut siku-siku $ = 90^\circ $
Contoh :
Tentukan jenis-jenis sudut dari masing-masing besar sudut berikut :
a). $ \frac{1}{3} \, $ sudut siku-siku
b). $ \frac{2}{3} \, $ sudut lurus
c). $ \frac{1}{4} \, $ putaran penuh
d). $ \frac{3}{5} \, $ putaran penuh
Penyelesaian :
a). $ \frac{1}{3} \, $ sudut siku-siku
Sudut $ = \frac{1}{3} \times 90^\circ = 30^\circ \, $ (sudut lancip).
b). $ \frac{2}{3} \, $ sudut lurus
Sudut $ = \frac{2}{3} \times 180^\circ = 120^\circ \, $ (sudut tumpul).
c). $ \frac{1}{4} \, $ putaran penuh
Sudut $ = \frac{1}{4} \times 360^\circ = 90^\circ \, $ (sudut siku-siku).
d). $ \frac{3}{5} \, $ putaran penuh
Sudut $ = \frac{3}{5} \times 360^\circ = 216^\circ \, $ (sudut refleks).

Rabu, 02 Desember 2015

Konsep Titik, Garis, dan Bidang : Materi SMP


         Blog Koma - Matematika SMP: Untuk mengawali mempelajari materi "garis dan sudut", kita akan mengenal dulu konsep titik, garis, dan bidang. Setelah materi konsep titik, garis, dan bidang, baru kita akan belajar dan mengenal "konsep sudut" itu sendiri.

Konsep Titik, Garis, dan Bidang
       Perhatikan gambar berikut ini,
$\clubsuit $ Titik tidak memiliki ukuran, biasanya dideskripsikan menggunakan tanda noktah, seperti pada gambar di atas. Penamaan titik menggunakan huruf kapital, seperti titik A, titik B, titik C, dan sebagainya.
$\clubsuit $ Garis direpresentasikan oleh suatu garis lurus dengan dua tanda panah di setiap ujungnya yang mengindikasikan bahwa garis tersebut panjangnya tak terbatas.
$\clubsuit $ Suatu bidang direpresentasikan oleh permukaan meja atau dinding. Pada Gambar di atas bidang $ \alpha \, $ memiliki luas yang tak terbatas.
Kedudukan Titik pada garis dan Bidang
       Berikut ada beberapa posisi titik atau letak titik terhadap garis dan bidang :
i). Posisi titik terhadap garis
ii). Posisi titik terhadap bidang
iii). Titik-titik segaris (kolinear)
       Dua atau lebih dikatakan segaris jika titik-titik tersebut terletak pada garis yang sama. Pada Gambar di bawah ini, titik A dan titik B dikatakan segaris, karena sama-sama terletak pada garis l.
iv). Titik-titik sebidang (koplanar)
       Dua atau lebih dikatakan sebidang jika titik-titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Pada Gambar di bawah ini, titik C dan titik D dikatakan sebidang, karena sama-sama terletak pada bidang $ \beta $ .
Pengertian Garis, Segmen Garis, dan SInar Garis
       Berikut pengertian garis, segmen garis, dan sinar garis :
$\spadesuit $ Garis
       Garis yang melalui titik A dan B disebut garis AB , dinotasikan $ \overleftrightarrow{AB} $ . Tanda panah pada kedua ujung $ \overleftrightarrow{AB} \, $ artinya dapat diperpanjang sampai tak terbatas.
$\spadesuit $ Segmen Garis (ruas garis)
       Gambar di bawah ini adalah ruas garis (segmen) AB, disimbolkan $ \overline{AB} $ , dengan titik A dan B merupakan titik ujung ruas garis AB.
$\spadesuit $ Sinar Garis
       Sinar AB, disimbolkan $ \overrightarrow{AB} $ , memiliki titik pangkal A, tetapi tidak memiliki titik ujung. Begitu juga sebaliknya, Sinar BA, disimbolkan $ \overrightarrow{BA} $ , memiliki titik pangkal B, tetapi tidak memiliki titik ujung.


       Jika titik C terdapat di antara titik A dan B, maka $ \overrightarrow{CA} $ dan $ \overrightarrow{CB} $ merupakan dua sinar yang berlawanan .

Catatan :
dari gambar di atas diperoleh : $ \overleftrightarrow{AB} = \overleftrightarrow{BA} , \, \overline{AB} = \overline{BA} , \, $ dan $ \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{BA} $
Kedudukan antara dua garis
       Ada tiga kemungkinan kedudukan dua garis yaitu :
i). Dua garis berpotongan di satu titik (kongkuren)
       Garis m dikatakan memotong garis k, jika kedua garis bertemu pada satu titik.
ii). Dua garis sejajar
       Garis m dikatakan sejajar dengan garis k, jika kedua garis terletak pada satu bidang datar dan kedua garis tidak berpotongan.
iii). Dua garis berimpit
       Garis m dan garis k dikatakan berhimpit, jika garis m terletak pada garis k (atau sebaliknya). Garis m dan garis k dikatakan berhimpit, dalam sajian geomtri, direpresentasikan sebagai garis yang sama (identik).
Sifat-sifat Garis Sejajar
       Berikut beberapa sifat-sifat garis sejajar :
i). Sifat 1) : Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar dengan garis itu.
keterangan :
Dari titik C di luar garis m dibuat garis sejajar garis m yang melalui titik tersebut, ternyata hanya dapat dibuat tepat satu garis, yaitu garis n.

ii). Sifat 2) : Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua.
keterangan :
Pada gambar di di atas diketahui garis m sejajar dengan garis n (m // n) dan garis l memotong garis m di titik P. Apabila garis l yang memotong garis m di titik P diperpanjang maka garis l akan memotong garis n di satu titik, yaitu titik Q.

ii). Sifat 3) : Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lainnya maka kedua garis itu sejajar pula satu sama lain.
keterangan :
Pada gambar tersebut, mula-mula diketahui garis k sejajar dengan garis l dan garis m. Tampak bahwa garis k sejajar dengan garis l atau dapat ditulis k // l dan garis k sejajar dengan garis m, ditulis k // m. Karena k // l dan k // m, maka l // m. Hal ini berarti bahwa garis l sejajar dengan garis m.