Tampilkan posting dengan label fungsi kuadrat. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label fungsi kuadrat. Tampilkan semua posting

Selasa, 07 Juli 2015

Terapan Fungsi Kuadrat pada Nilai Maksimum dan Minimum

         Blog Koma - Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita dihadapkan dengan masalah yang berkaitan maksimum atau minimum. Untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan nilai maksimum atau nilai minimum, bisa menggunakan terapan fungsi kuadrat. Artinya soal cerita tersebut kita arahkan ke dalam bentuk fungsi kuadrat.
         Terapan Fungsi Kuadrat pada Nilai Maksimum dan Minimum sebagian besar diterapkan pada soal cerita. Tentu yang akan membuat kita kesulitan adalah bagaimana cara mengubah soal cerita menjadi bentuk model matematika khususnya berbentuk fungsi kuadrat. Saran kami adalah sebaiknya teman-teman mengerjakan soal-soal terapan fungsi kuadrat sebanyak-banyaknya agar lebih lancar dalam membuat model matematikanya. Namun tidak semua soal cerita dapat diselesaikan dengan terapan fungsi kuadrat karena bentuk fungsinya harus berupa fungsi kuadrat.

         Materi Terapan Fungsi Kuadrat pada Nilai Maksimum dan Minimum adalah materi terakhir pada materi fungsi kuadrat. Harapannya selain mampu menguasai materi dasar dari fungsi kuadrat juga kita mampu menenrapkannya dalam permasalah sehari-hari yang berupa soal cerita. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita pelajari materinya berikut ini.
Langkah-langkah Menyelesaikan Soal Cerita
         Untuk menggunakan terapan fungsi kuadrat, soal cerita yang ada harus kita proses dulu sesuai dengan langkah-langkah berikut.
1). Buat model matematika yaitu dalam bentuk fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2+bx+c $
2). Tentukan nilai maksimum atau minimumnya dengan rumus pada fungsi kuadrat :
       (i). jika $ a > 0 , \, $ maka nilai minimum = $ \frac{D}{-4a} $
       (ii). jika $ a < 0 , \, $ maka nilai maksimum = $ \frac{D}{-4a} $
       (iii). nilai yang menyebabkan maksimum/minimum = $ -\frac{b}{2a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac \, $ yang disebut sebagai nilai Diskriminan.
Berikut contoh dalam penerapan fungsi kuadrat.
Contoh 1.
Pak Budi memiliki sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan panjang $(2x-3) \, $ dm dan lebarnya $(7-2x) \, $ dm. Tentukan luas maksimum kebun pak Budi?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Menentukan luas kebun maksimumnya
$\begin{align} \text{Luas Kebun } (L) & = p.l \\ L & = (2x-3)(7-2x) \\ L & = -4x^2+20x-21 \\ a = -4, \, b & = 20, \, c = -21 \\ \text{Luas Maksimum } & = \frac{D}{-4a} \\ & = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ & = \frac{20^2-4.(-4).(-21)}{-4.(-4)} \\ \text{Luas Maksimum } & = \frac{64}{16} = 4 \end{align}$
Jadi, luas maksimumnya adalah 4 dm$^2 . \heartsuit $
Penyelesaian : Cara II
$\clubsuit \,$ Menentukan luas kebun maksimumnya
$\begin{align} \text{Luas Kebun } (L) & = p.l \\ L & = (2x-3)(7-2x) \\ L & = -4x^2+20x-21 \\ a = -4, \, b & = 20, \, c = -21 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Dari fungsi $ L = -4x^2+20x-21 \, $ , nilai maksimum bergantung dari nilai $ x \, $ , artinya nilai $ x \, $ bisa diperoleh dari :
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(20)}{2.(-4)} = \frac{5}{2} \, $ dm
Sehingga luas maksimumnya saat $ x = \frac{5}{2} $ :
$\begin{align} \text{Luas Maksimum } & = -4.(\frac{5}{2})^2+20.(\frac{5}{2}-21 \\ & = -25 + 50 - 21 = 4 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Bisa juga menentukan panjang dan lebarnya dengan nilai $ x = \frac{5}{2} $
panjang = $ 2x-3 = 2.\frac{5}{2} - 3 = 5 - 3 = 2 $
lebar = $ 7 - 2x = 7 - 2.\frac{5}{2} = 7 - 5 = 2 $
Luas Maksimum = $ p . l = 2 . 2 = 4 $
Jadi, luas maksimumnya adalah 4 dm$^2 . \heartsuit $
Contoh 2.
Jika suatu proyek akan diselesaikan dalam $ x \, $ hari maka biaya proyek per hari menjadi $ \left( x + \frac{800}{x}-40 \right) \, $ juta rupiah. Tentukan biaya minimum proyek tersebut?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Menentukan model matematikanya
biaya per hari = $ \left( x + \frac{800}{x}-40 \right) \, $ dan banyak hari = $ x $
$\begin{align} \text{Total biaya } & = \text{ biaya per hari kali banyak hari } \\ & = \left( x + \frac{800}{x}-40 \right) . x \\ \text{Total biaya } & = x^2 - 40x + 800 \\ a = 1, \, b = -40, \, c & = 800 \\ \text{Total biaya minimum} & = \frac{D}{-4a} \\ & = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ & = \frac{(-40)^2-4.(1).(800)}{-4.1} \\ \text{Total biaya minimum } & = \frac{-1600}{-4} = 400 \end{align}$
Jadi, total biaya minimumnya adalah 400 juta rupiah . $ \heartsuit $
Contoh 3.
Selisih dua bilangan adalah 10. Hasil kali bilangan tersebut mencapai nilai terkecil jika jumlah kedua bilangan itu adalah .... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Menentukan model matematikanya
$\clubsuit \,$ Misalkan kedua bilangan tersebut adalah $ x \, $ dan $ y $
$\begin{align} \text{selisih } & = 10 \\ y-x & = 10 \\ y & = x + 10 \text{hasil kali } & = x.y \\ & = x.(x+10) \\ & = x^2 + 10x \\ \end{align}$
$\clubsuit \,$ Nilai terkecil $ x^2 + 10x \, $ diperoleh pada saat
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2.1} = - 5 $
sehingga nilai $ y = x + 10 = -5 + 10 = 5 $
Nilai $ x + y = (-5) + 5 = 0 \, $ artinya jumlahnya = 0 .
Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah 0 . $ \heartsuit $
         Sebenarnya untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi bisa menggunakan terapan atau aplikasi dari turunan. Hanya saja jika bentuk fungsinya adalah fungsi kuadrat, maka bisa menggunakan terapan fungsi kuadrat untuk menentukan nilai maksimum atau minimumnya. Namun untuk fungsi selain bentuk fungsi kuadrat, maka secara umum menentukan nilai maksimum atau minimumnya menggunakan turunan.

Senin, 06 Juli 2015

Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat

         Blog Koma - Pada materi sebelumnya (sketsa grafik fungsi kuadrat), kita memiliki fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ dan diminta untuk menggambar grafiknya. Namun untuk materi ini sebaliknya yaitu ada grafik dan kita akan menentukan atau menyusun fungsi kuadratnya. Fungsi kuadrat bisa disusun berdasarkan yang diketahui, yaitu diketahui titik puncaknya, titik potong terhadap sumbu X, dan tiga titik sembarang yang dilalui oleh grafik.
         Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat berdasarkan grafik yang diketahui atau berdasarkan titik-titik yang diketahui, artinya di sini kita harus teliti dalam menentukan jenis titik yang diketahui. Terkadang ada juga soal yang diketahui grafiknya, kita diminta untuk menentukan nilai fungsi kuadratnya di $ \, x \, $ tertentu, langkah-langkahnya harus menentukan fungsi kuadratnya dulu barus kita substitusikan nilai $ x \, $ yang diminta sehingga kita akan memperoleh nilai fungsi kuadratnya.

         Pada soal-soal yang terkait dengan luas dan volume benda putar juga membutuhkan cara Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat, karena kebanyakan pasti grafik yang ditampilkan adalah grafik fungsi kuadrat sehingga kita harus menetukan bentuk fungsi kuadratnya. Setelah itu baru kita bisa mengintegralkan untuk menentukan luas atau volume daerah yang diminta.
Rumus Dasar dalam Menyusun Fungsi Kuadrat
(i). Diketahui titik puncaknya $(x_p , y_p) $
         Rumus : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(ii). Parabola memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ [ $(x_1,0) \, $ dan $(x_2,0)$]
         Rumus : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
dengan nilai $ a \, $ diperoleh dari titik lain yang diketahui.
(iii). Parabola melalui tiga titik sembarang selain titik-titik yang telas disebutkan di atas
         Cara : Untuk menentukan fungsi kuadratnya, substitusikan ketiga titik yang diketahui ke bentuk umum FK $ y = ax^2+bx+c \, $ , lalu eliminasi untuk menentukan nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c $
         Berikut beberapa contoh soal untuk menyusun fungsi kuadrat.
Contoh 1.
Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1,2) \, $ dan melalui titik $(0,1)$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (-1,2) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 2 \\ y & = a(x+1)^2 + 2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,1)
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ 1 & = a(0+1)^2 + 2 \\ 1 & = a + 2 \\ a & = -1 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x+1)^2 + 2 \\ y & = (-1).(x^2+2x+1) + 2 \\ y & = -x^2 -2x -1 + 2 \\ y & = -x^2 -2x + 1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 -2x + 1 . \heartsuit $
Contoh 2.
Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Parabola memotong sumbu X di (1,0) dan (4,0), artinya $ x_1 = 1 \, $ dan $ x_2 = 4 \, $ , serta melalui titik (0,2).
$\spadesuit \, $ Menyusun FK : $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
$\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-1)(x-4) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,2)
$\begin{align} (x,y)=(0,2) \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ 2 & = a(0-1)(0-4) \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ a $
$\begin{align} a=\frac{1}{2} \rightarrow y & = a(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x-1)(x-4) \\ y & = \frac{1}{2}(x^2 - 5x + 4) \\ y & = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 2 . \heartsuit $
Contoh 3.
Tentukan fungsi kuadrat yang menyinggung sumbu X di titik (1,0) dan melalui titik (0,-1) ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Kurva menyinggung sumbu X di titik (1,0), artinya titik puncaknya : $(x_p,y_p) = (1,0) $
$\clubsuit \,$ Menyusun FK yang diketahui titik puncaknya
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-1)^2 + 0 \\ y & = a(x-1)^2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dengan substitusi titik (0,-1)
$\begin{align} (x,y)=(0,-1) \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ -1 & = a(0+1)^2 \\ -1 & = a \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ a = -1 $
$\begin{align} a = -1 \rightarrow y & = a(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x-1)^2 \\ y & = (-1).(x^2-2x+1) \\ y & = -x^2 +2x -1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -x^2 +2x -1 . \heartsuit $
Contoh 4.
Tentukan fungsi kuadrat dari kurva parabola di bawah ini ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Parabola melalui titik (0,1), (3,1), dan (-1,0). Karena titik yang diketahui bukan titik puncak atau bukan titik potong sumbu X, maka kita gunakan cara ketiga yaitu substitusi semua titik tersebut ke bentuk umum FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik ke FK : $ y = ax^2 + bx + c $
$\begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow 1 & = a.0^2 + b.0 + c \\ c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(3,1) \rightarrow 1 & = a.3^2 + b.3 + c \\ 9a+3b+c & = 1 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(-1,0) \rightarrow 0 & = a.(-1)^2 + b.(-1) + c \\ a-b+c & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi dan substitusi ketiga persamaan di atas untuk menentukan nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c \, $ .
Diperoleh nilainya : $ a = -\frac{1}{4}, \, b = \frac{3}{4}, \, $ dan $ c = 1 $
$\spadesuit \, $ Fungsi kuadratnya menjadi
$\begin{align} y & = ax^2 + bx + c \rightarrow y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 \end{align}$
Jadi fungsi kuadratnya adalah $ y = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{3}{4}x + 1 . \heartsuit $
         Dari ketiga tipe rumus atau cara "Menyusun dan Menentukan Fungsi Kuadrat" ini, tipe ketiga yang agak lebih rumit karena kita harus melakukan eliminasi dan substitusi untuk menentukan nilai $ a, \, b, \, $ dan $ \, c \, $ yang melibatkan tiga variabel. Butuh ketetukan dan ketelitian dalam pengerjaannya, karena salah satu saja maka yang lainnya juga ikut salah.

         Menyusun fungsi kuadrat biasanya selalu keluar dalam Ujian Nasional atau ujian Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri baik ujian bersama maupun ujian mandirinya. Selamat belajar, semoga bermanfaat, dan terima kasih.

Hubungan Garis dan Parabola

         Blog Koma - Hubungan garis dan parabola (grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $) yang dimaksud adalah posisi garis pada parabola yaitu garis memotong parabola, menyingung parabola, dan garis tidak memotong atau tidak menyinggung parabola.
         Materi Hubungan Garis dan Parabola erat kaitannya dengan pertidaksamaan karena dari beberapa syarat yang ada akan menggunakan tanda ketaksamaan. Penting bagi kita juga untuk menguasai materi pertidaksamaan terutama kaitannya dengan pertidaksamaan kuadrat. Selain itu juga, materi Hubungan Garis dan Parabola memang tidak sulit karena hanya menggunakan nilai diskriminan saja, oleh karena itu kita harus teliti dalam melakukan perhitungan terutama ketika mengubah atau mensubstitusi persamaan garis ke persamaan fungsi kuadratnya.

         Untuk menentukan posisi garis pada parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ , hal yang sangat berperan penting adalah nilai Diskriminannya $(D) \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac \, $ . Berikut posisi garis pada parabola berdasarkan nilai Diskriminannya :
(i). Garis dan parabola berpotongan di dua titik berbeda,
       sayaratnya : $ D > 0 $
(ii). Garis dan parabola bersinggungan (berpotongan di satu titik),
       syaratnya : $ D = 0 $
(iii). Garis dan parabola tidak berpotongan atau bersinggungan,
       syaratnya : $ D < 0 $
         untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar dan deskripsinya berikut ini.
Langkah-langkah dalam Menyelesaikan Soal
1). Substitusi persamaan garis ke persamaan bola sehingga terbentuk persamaan kuadrat
2). Tentukan nilai Diskriminannya $(D)\, $
3). Selesaikan sesui syarat yang diminta (berpotongan, bersinggungan, atau tidak berpotongan dan bersinggungan)
Contoh
Garis $ y = 2x - p \, $ menyinggung parabola $ y = x^2 + 3x + 1 , \, $ tentukan nilai dari $ 4p+25 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Substitusi atau samakan persamaan garis ke parabola
$\begin{align} y = 2x - p \rightarrow y & = x^2 + 3x + 1 \\ 2x - p & = x^2 + 3x + 1 \\ x^2 + x + (p+1) & = 0 \\ a = 1, \, b = 1, \, c & = p + 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Garis dan parabola bersinggungan, syarat : $ D = 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & = 0 \\ 1^2 - 4.1.(p+1) & = 0 \\ 1-4p - 4 & = 0 \\ 4p & = -3 \\ p & = \frac{-3}{4} \end{align}$
Sehingga nilai $ 4p + 25 = 4.\frac{-3}{4} + 25 = -3 + 25 = 22 $
Jadi, nilai $ 4p + 25 = 22. \heartsuit$
         Syarat-syarat pada hubungan garis dan parabola juga berlaku pada hubungan parabola dan parabola, yaitu berpotongan di dua titik, bersinggungan, dan tidak berpotongan atau tidak bersinggungan. Syarat-syarat yang digunakan juga sama persis dengan syarat-syarat pada hubungan garis dan parabola.

         Sebagai informasi juga untuk kita, tidak hanya terjadi hubungan garis dan parabola, tetapi ada juga hubungan garis dan lingkaran yang lebih tepatnya "kedudukan garis terhadap lingkaran" yang akan dipelajari di kelas XI SMA (kurikulum 2013). Tentu syarat yang dipakai juga sama yaitu berdasarkan nilai diskriminannya dengan cara substitusikan garis ke persamaan lingkaran. Jadi, langkah-langkah pengerjaan pada artikel ini harus tetap kita ingat karena pasti akan kita pakai lagi untuk materi berikutnya.

Sabtu, 04 Juli 2015

Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola)

         Blog Koma - Grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ disebut juga parabola karena lintasannya yang menyerupai parabola. Ternyata parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ (di sini yang dimaksud adalah grafik fungsi kuadrat) memiliki beberapa karakteristik yang menarik untuk kita pelajari berdasarkan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $ . Berikut beberapa ciri-ciri parabola yang akan berguna dalam memahami grafik fungsi kuadrat lebih mendalam.
         Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat (parabola) kita pelajari untuk menganalisa grafik fungsi kuadrat secara khusus. Misalkan ada fungsi kuadratnya, kita akan langsung sketsa grafiknya berdasarkan nilai $ a, \, b , \, $ dan $ c \, $ tanpa harus menentukan titik potong sumbu-sumbu dan tanpa menentukan titik puncaknya. Begitu juga sebaliknya, jika diketahui grafiknya (berupa parabola), kita akan bisa menentukan kisaran nilai $ a , \, b , \, $ dan $ c \, $ , apakah positif atau negatif.

         Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, biasanya soal-soal yang ada kaitannya dengan Ciri-ciri Grafik Fungsi Kuadrat sering muncul. Sehingga penting bagi teman-teman untuk menguasainya, karena sebenarnya di sini kita tidak memerlukan perhitungan yang sulit, hanya kita perlu mengetahui dan menghafal ciri-ciri grafiknya saja. Namun sebaliknya, jika kita tidak menguasai materinya, maka akan sangat sulit bagi kita untuk menjawab soalnya karena setiap pilihan jawaban (opsi A, B, C, D, dan E) hampir mirip semua.
Berdasarkan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $
         Parabola $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ bergantung dari nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c \, $ nya. Berikut penjelasannya :
(i). Nilai $ a $
         Nilai $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan arah parabola yaitu terbuka ke atas atau terbuka ke bawah.
(*). Jika nilai $ a > 0 \, $ (positif), maka parabola terbuka ke atas yang mengakibatkan nilai minimum.
(*). Jika nilai $ a < 0 \, $ (negatif), maka parabola terbuka ke bawah yang mengakibatkan nilai maksimum.
(ii). Nilai $ b $
         Nilai $ b \, $ dan $ a \, $ pada grafik fungsi kuadrat (parabola) berfungsi untuk menentukan letak titik puncak .
         Untuk memudahkan mengingat posisi titik puncak berdasarkan nilai $ a \, $ dan $ b \, $, gunakan singkatan berikut :
                           BeKa SaKi = Beda Kanan Sama Kiri
Artinya , jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda ($ a < 0 \, $ dan $ b > 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b < 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kanan sumbu Y. dan jika tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama ($ a < 0 \, $ dan $ b < 0 \, $ atau $ a > 0 \, $ dan $ b > 0 $ ) , maka posisi titik puncaknya ada di kiri sumbu Y. yang dimaksud tanda disini adalah nilai positif atau negatif saja tanpa memperhatikan besarnya.
(iii). Nilai $ c \, $
         Nilai $ c \, $ menunjukkan perpotongan grafik dengan sumbu Y, bisa positip, negatif, atau tepat di pusat koordinat.
Kedudukan Parabola pada Sumbu X
         Kedudukan yang dimaksud adalah posisi parabola , apakah memotong sumbu X, menyinggung sumbu X, atau tidak memotong dan menyinggung sumbu X , yang ditentukan berdasarkan nilai Diskriminaanya $(D=b^2-4ac)$ .
Definit Positif dan Definit Negatif
         Bentuk definit tergantung dari nilai Diskriminan ($D$) dan nilai $ a \, $
*). Definit Positif (kurva selalu di atas sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a > 0 $
*). Definit Negatif (kurva selalu di bawah sumbu X) artinya nilai fungsi kuadrat selalu negatif untuk semua $ x \, $ . Syaratnya : $ D < 0 \, $ dan $ a < 0 $
         Untuk lebih memahami ciri-ciri parabola , mari kita simak contoh-contoh berikut.
Contoh 1.
Tentukan nilai $ a, \, b, \, c \, $ dan $ D \, $ berdasarkan grafik FK di bawah ini.
Penyelesaian :
*). Kurva menghadap ke atas, maka nilai $ a > 0 \, $ (positif)
*). titik puncak ada disebelah kiri sumbu Y, berarti singkatan yang digunakan adalah SaKi (Sama Kiri) , artinya tanda $ a \, $ dan $ b \, $ sama. Karena nilai $ a > 0 \, $ , maka nilai $ b > 0 \, $ juga.
*). Kurva memotong sumbu Y negatif, sehingga nilai $ c < 0 $
*). Kurva memotong sumbu X di dua titik, sehingga nilai $ D > 0 $ .
Jadi, diperoleh nilai-nilai $ a > 0, \, b > 0 , \, c < 0 , \, $ dan $ D > 0 $
Contoh 2.
Agar grafik FK $ y = px^2 + (p+1)x + (p+2) \, $ memenuhi grafik di bawah ini, tentukan nilai $ p \, $ yang memenuhi?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ FK : $ y = px^2 + (p+1)x + (p+2) \rightarrow a = p, \, b = p+1, \, c = p+2 $
*). Kurva menghadap ke bawah, maka nilai $ a < 0 \Leftrightarrow p < 0 \, $ ...(HP1)
*). Titik puncak ada di sebelah kanan sumbu Y, berarti singkatan yang digunakan adalah BeKa (Beda Kanan) , artinya tanda $ a \, $ dan $ b \, $ berbeda. Karena $ a < 0 \, $ , maka nilai $ b > 0 \, $ (berbeda).
sehingga : $ b > 0 \rightarrow p+1 > 0 \rightarrow p > -1 \, $ ....(HP2)
*). Kurva memotong sumbu Y positif, sehingga $ c > 0 \rightarrow p+2 > 0 \rightarrow p > -2 \, $ ....(HP3)
$\clubsuit \,$ Nilai $ p \, $ yang memenuhi grafik adalah nilai $ p \, $ yang memenuhi ketiga syarat di atas.
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \cap HP3 \\ & = \{ p < 0 \} \cap \{ p > -1 \} \cap \{ p > -2 \} \\ & = \{ -1 < p < 0 \} \end{align} $
Jadi, nilai $ p \, $ nya adalah $ \{ -1 < p < 0 \} $ .
Contoh 3.
Tentukan nilai $ k \, $ agar FK $ y = (k-1)x^2 -2x-1 \, $ selalu bernilai negatif untuk semua $ x $ . ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ FK : $ y = (k-1)x^2 -2x-1 \rightarrow a = k-1, \, b = -2, \, c = -1 $
$\clubsuit \,$ Grafik selalu benilai negatif, artinya definit negatif , syarat : $ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan syaratnya :
Syarat pertama : $ a < 0 $
$\begin{align} a & < 0 \rightarrow k - 1 < 0 \rightarrow k < 1 \, \, \, \, \text{...(HP1)} \end{align} $
Syarat kedua : $ D < 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & < 0 \\ (-2)^2 - 4.(k-1).(-1) & < 0 \\ 4 + 4k - 4 & < 0 \\ 4k & < 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ k & < 0 \, \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align} $
Nilai $ k \, $ yang memenuhi adalah irisan dari kedua syaratnya.
HP = HP1 $ \cap \, $ HP2 = $ \{ k < 0 \} $
Jadi, nilai $ k \, $ yang memenuhi adalah $ \{ k < 0 \} $ .
         Catatan penting yang harus kita ketahui dalam materi "ciri-ciri grafik fungsi kuadrat (parabola)" terutama yang berkaitan langsung dengan soal-soalnya adalah harus sudah ada grafiknya terlebih dahulu. Setelah ada grafiknya baru kita bisa menganalisa nilai $ a, \, b, \, $ dan $ c, \, $ serta nilai diskriminannya secara cermat dan tepat. Artinya untuk kebanyakan soal, kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu, karena ada beberapa soal yang grafiknya belum ada tetapi kita diminta untuk menganalisa ciri-ciri grafiknya.

Jumat, 03 Juli 2015

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Teknik Menggeser

         Blog Koma - Teknik Menggeser merupakan menggambar dengan menggeser grafik awal (grafik acuan) searah sumbu X dan sumbu Y. Teknik menggeser biasanya digunakan ketika fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2+bx+c \, $ tidak memiliki titik potong (akar-akar) pada sumbu X. Teknik menggeser dapat digunakan untuk menggambar semua jenis fungsi kuadrat dan semua jenis fungsi lainnya. Jangan lupa juga baca sketsa grafik fungsi kuadrat pada artikel sebelumnya.
         Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Teknik Menggeser membutuhkan kemampuan untuk mengubah bentuk umum fungsi kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurnanya $(y = k(x \pm a)^2 \pm b)$ . Karena dengan bentuk kuadrat sempurnanya ini kita akan bisa menentukan untuk menggeser garfik acuannya kearah mana baik untuk arah sumbu X maupun arah sumbu Y.

         Untuk jenis-jenis soal tertentu, yang ditanyakan bukan bagaimana hasil grafik setelah terjadi penggeseran, akan tetapi ditanyakan "menggesernya ke arah mana dan sejauh berapa". Jika kita tidak benar-benar memahami teknik menggeser ini, maka akan sulit bagi kita untuk menjawab soalnya, padahal kalau kita kuasai dengan baik maka akan sangat mudah untuk menjawab soalnya.
Teknik Menggeser Grafik Fungsi Kuadrat
         Langkah-langkah Teknik Menggeser fungsi kuadrat $ y=f(x) = ax^2+bx+c \, $ :
1). Gambar dulu grafik $ y = f(x) \, $ sebagai grafik awal. Untuk fungsi kuadrat, grafik awalnya adalah $ y = x^2 $

2). Untuk $ a \, $ bilangan positif,
*). grafik $ y = f(x+a) \, $ artinya menggeser grafik $ y = f(x) \, $ sejauh $ a \, $ ke arah kiri sumbu X ,
*). grafik $ y = f(x-a) \, $ artinya menggeser grafik $ y = f(x) \, $ sejauh $ a \, $ ke arah kanan sumbu X .

3). Untuk $ b \, $ bilangan positif,
*). grafik $ y = f(x) + b \, $ artinya menggeser grafik $ y = f(x) \, $ sejauh $ b \, $ ke arah atas sumbu Y ,
*). grafik $ y = f(x) - b \, $ artinya menggeser grafik $ y = f(x) \, $ sejauh $ b \, $ ke arah bawah sumbu Y .

4). Jika bentuknya gabungan dari bentuk 2) dan 3) di atas, maka gesernya sekaligus searah sumbu X dan sumbu Y sesuai dengan langkah 2) dan 3).
         Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari contoh teknik menggeser berikut ini.
Contoh 1.
Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat $ y = x^2+5 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ FK $ y = x^2+5 $
$\spadesuit \, $ Langkah-langkah teknik menggeser grafik fk
1). Gambar grafik awal : $ y = f(x) \, $ dengan $ f(x) = x^2 $
2). Grafik $ y = x^2 + 5 \, $ bentuknya sama dengan $ y = f(x) + 5 $
artinya menggeser $ f(x) = x^2 \, $ sejauh 5 satuan ke arah atas sumbu Y.
Berikut grafik $ y = x^2 + 5 \, $ yang diminta.
Contoh 2.
Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat $ y = x^2-6x+10 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Modifikasi FK menjadi $ y = (x \pm a )^2 \pm b $
$ y = x^2-6x+10 \rightarrow y = (x^2-6x+9)+1 \rightarrow y = (x-3)^2 + 1 $
Artinya gambar $ y = x^2-6x+10 \, $ sama dengan gambar $ y = (x-3)^2 + 1 $
$\clubsuit \,$ Langkah-langkah teknik menggeser grafik fk
1). Gambar grafik awal : $ y = f(x) \, $ dengan $ f(x) = x^2 $
2). Grafik $ y = (x-3)^2 + 1 \, $ bentuknya sama dengan $ y = f(x-a) + b $
artinya menggeser $ f(x) = x^2 \, $ sejauh $ a = 3 \, $ satuan ke arah kanan sumbu X dan menggeser $ f(x) = x^2 \, $ sejauh $ b = 1 \, $ ke arah atas sumbu Y.
Berikut grafik $ y = x^2-6x+10 \, $ atau $ y = (x-3)^2 + 1 \, $ yang diminta.

         Teknik menggeser untuk menggambar grafik fungsi kuadrat sangatlah unik, karena hanya dengan menggeser sesuai arah yang tepat dan benar maka kita sudah memperoleh grafik asli dari grafik fungsi kuadrat yang diminta tanpa kita harus mencari titik potong pada sumbu X dan sumbu Y serta tidak harus mencari titik puncaknya lagi. Hanya saja butuh skill dasar dalam menggunakannya yaitu bentuk kuadrat sempurna dan hafalan arah menggesernya. Tetapi paling tidak teknik menggeser ini menjadi salah satu pilihan dalam menggambar grafik suatu fungsi khususnya grafik fungsi kuadrat.

         Teknik menggeser ini sbenarnya jarang dibahas disekolah sehingga masih banyak siswa yang belum mengetahuinya, dan akan terkejut ketika ada soal yang berkaitan dengan menggambar grafik yang mengharuskan menggunakan teknik menggeser.Semoga teknik menggeser untuk menggambar grafik fungsi kuadrat ini bisa bermanfaat, meskipun dengan keterbatasan materi yang ada pada artikel ini. Masukan dan saran dari pembaca selalu kami butuhkan untuk perbaikan setiap artikel yang ada menjadi lebih baik. Terima kasih.

Sketsa dan Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik Fungsi Kuadrat
         Blog Koma - Grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2+bx+c \, $ secara umum berbentuk lintasan parabola (bisa menghadap ke atas, ke bawah, ke kanan, dan ke kiri) seperti gambar berikut ini.

         Hal unik yang perlu kita ketahui untuk sketsa dan menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu grafik fungsi kuadrat berupa parabola dan arah atau hadap dari parabolanya tergantung dari nilai $ a \, $ nya. Nilai $ a \, $ dari fungsi kuadrat ini juga akan membantu kita untuk mengetahui jenis titik puncak dari grafik fungsi kuadratnya. Menggambar grafik fungsi kuadrat ini sangat penting karena biasanya ada kaitannya dengan matri lain pada matematika yaitu "menentukan luas dan volume benda putar menggunakan integral" suatu daerah.

         Tentu sobat bertanya, bagaimana cara menggambar grafik fungsi kuadrat ini? sebenarnya mudah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat, ada dua cara yaitu dengan sketsa biasa dan dengan teknik menggeser. Sketsa langsung grafik fungsi kuadrat digunakan ketika parabolanya memiliki titik potong terhadap sumbu X. Sementara teknik menggeser grafik fungsi kuadrat kita gunakan ketika grafiknya tidak memeiliki titik potong pada sumbu X. Sebenarnya teknik menggesaer ini sifatnya lebih umum, berlaku untuk semua jenis grafik baik ada titik potong atau tidak ada titik potong pada sumbu X. Berikut penjelasan tentang sketsa grafik fungsi kuadrat.
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat (FK)
         Langkah-langkah sketsa grafik fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ :
1). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu X (jika ada) dengan cara mensubstitusi $ y = 0 \, $ , sehingga diperoleh akar-akar dari $ ax^2+bx+c = 0 \, $ yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Artinya tipotnya $ (x_1,0) \, $ dan $ (x_2,0) $ .

2). Menentukan titik potong (tipot) pada sumbu Y dengan cara mensubstitusi $ x = 0 \, $ , sehingga diperoleh $ y = c \, $ . Artinya tipotnya $ (0,c) $

3). Menentukan titik balik/puncak $ (x_p,y_p) $
Rumus : $ x_p = \frac{-b}{2a} \, $ dan $ y_p = \frac{D}{-4a} \, $ atau $ y_p = f(x_p)= f\left( \frac{-b}{2a} \right) $
Sehingga titik balik/puncaknya :
$ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , \frac{D}{-4a} \right) \, $ atau $ (x_p,y_p)= \left( \frac{-b}{2a} , f\left( \frac{-b}{2a} \right) \right) $

4). Menentukan sembarang titik bantuan lainnya agar menggambar lebih mudah, dengan cara memilih beberapa nilai $ x \, $ dan disubstitusikan ke FK.
         dengan $ D = b^2 - 4ac \, ( D \, $ disebut nilai Diskriminan seperti pada persamaan kuadrat).
Sumbu Simetri pada grafik fungsi kuadrat
         Garis $ x = x_p \, $ disebut sumbu simetri yaitu garis yang membagi parabola menjadi dua bagian sama besar ruas kanan dan ruas kiri dari sumbu simetri atau ruas atas dan bawah dari sumu simetri. Lihat gambar berikut
         Untuk lebih jelas tentang cara sketsa grafik fungsi kuadrat, silahkan pelajari contoh berikut ini.
Contoh
Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat $ y = x^2-2x-15 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ FK $ y = x^2-2x-15 \rightarrow a= 1 , \, b= -2, \, c = -15 $
$\spadesuit \, $ Langkah-langkah sketsa grafik fk
1). Tipot sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ x^2-2x-15 = 0 \rightarrow (x+3)(x-5)=0 \rightarrow x = -3 \vee x = 5 $
Tipot sumbu X : $ ( -3,0) \, $ dan $ ( 5,0) $
2). Tipot sumbu Y , substitusi $ x = 0 $
$ y = x^2-2x-15 \rightarrow y = 0^2-2.0-15 \rightarrow y = -5 $
Tipot sumbu Y : $ (0,-15) $
3). Titik balik/puncaknya $ (x_p,y_p) $
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 $
$ y_p = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} = \frac{(-2)^2-4.1.(-15)}{-4.1} = -16 $
atau cara lain menentukan nilai $ y_p \, $
$ y_p = f(x_p) = f(1) = 1^2-2.1-15 = -16 $
titik balik/puncaknya : $ (x_p , y_p) = ( 1, -16) $
Persamaan sumbu simetrinya : $ x = x_p \rightarrow x = 1 $
Berikut gambar dari langkah-langkah di atas.
Keterangan gambarnya :
Nilai Maksimum dan minimum fungsi kuadrat
         Untuk nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kuadrat $ y = ax^2+bx+c \, $ bisa dilihat dari posisi titik balik yang bergantung dari nilai $ a \, $ nya.
*). Jika nilai $ a \, $ positif ($a > 0 $) , maka kurva akan mengahdap ke atas yang artinya titik baliknya ada di bawah. Pada keadaan ini akan diperoleh nilai minimum.
*). Jika nilai $ a \, $ negatif ($a < 0 $) , maka kurva akan mengahdap ke bawah yang artinya titik baliknya ada di atas. Pada keadaan ini akan diperoleh nilai maksimum.
         Nilai maksimum atau minimum ini akan sangat berguna pada soal-soal cerita yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum, materi ini akan diperdalam pada penerapan fungsi kuadrat .

         Dari penjelasan dan konsep serta contoh menggambar grafik fungsi kuadrat dengan teknik sketsa langsung, langkah-langkah yang harus kita lakukan yaitu menentukan titik potong grafik pada sumbu-sumbu baik sumbu X maupun sumbu Y, menentukan titik puncak grafik, dan menentukan beberapa titik lain agar grafiknya lebih baik. Namun untuk penerapan dalam integral nantinya, menggambar grafik fungsi kuadrat tidak perlu sedetail ini, cukup kita mencari titik potong sumbu X dan nilai $ a \, $ saja untuk arah atau hadap dari grafiknya.

Kamis, 02 Juli 2015

Bentuk Umum Fungsi Kuadrat (FK)

         Blog Koma - Fungsi Kuadrat (FK) merupakan suatu fungsi dengan variabel bebasnya memiliki pangkat tertinggi dua. Biasanya fungsi kuadrat variabel bebasnya adalah $ x $ . Pada artikel ini kita akan membahas Bentuk Umum Fungsi Kuadrat (FK) yang merupakan materi dasar dari fungsi kuadrat itu sendiri. Kurva fungsi kuadrat memiliki bentuk parabola yang secara umum terbuka ke atas atau ke bawah, namun ada juga kurva parabola yang menghadap ke kanan atau ke kiri.

        Meskipun Bentuk Umum Fungsi Kuadrat (FK) itu sangatlah mudah, tapi teman-teman harus ingat dan pahami baik-baik terutama untuk nilai dari koefisien-koefisien untuk setiap sukunya yaitu nilai $ a, \, b, \, $ dan $ \, c $. Dari materi paling dasar inilah yang akan menjadi pondasi kita untuk dengan mudah dalam mempelajari materi fungsi kuadrat secara keseluruhannya. Di samping itu juga, materi fungsi kuadrat sebenarnya sudah kita pelajari di tingkat SMP dan kita lanjutkan lagi di SMA, artinya untuk menguasai materinya tidaklah sulit. Hanya saja terkadang kita akan kesulitan untuk menyelesaikan soal-soal terutama yang tingkat kesulitannya sudah tinggi seperti soal SBMPTN atau soal olimpiade.

Adapun bentuk umum fungsi kuadrat :
$ f(x) = ax^2 + bx + c $
               Atau
$ y = ax^2 + bx + c $
dengan $ a, \, b, \, c \in R \, $ dan $ a \neq 0 $
Keterangan :
$ x \, $ disebut variabel bebasnya
$ a \, $ adalah koefisien $ x^2 $
$ b \, $ adalah koefisien $ x $
$ c \, $ disebut konstanta
        Nilai fungsi $ f(x) \, $ jika digambar/diplot pada cartesius mewakili nilai $ y \, $ (sumbu Y) , sehingga $ f(x) \, $ bisa diganti dengan $ y \, $. Semua nama fungsi bisa diganti dengan $ y \, $ , artinya ini berlaku umum.

        Apa bedanya fungsi kuadrat dengan persamaan kuadrat? Persamaan kuadrat $ ax^2+bx+c=0 \, $ memiliki variabel $ x \, $ yang nilainya terbatas (disebut akar-akar atau penyelesaian persamaan kuadrat) , maksimal ada dua yaitu $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Sementara fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ memiliki variabel bebas $ x \, $ yang nilainya tak terbatas (nilai $ x \, $ bisa digantikan dengan sembarang bilangan) dan bisa diplot dalam sebuah grafik yang biasanya disebut parabola.

Berikut contoh - contoh fungsi kuadrat :
Contoh 1.
Berikut adalah contoh fungsi kuadrat :
(i) . $ f(x) = x^2 + 3x - 5 $
(ii) . $ y = -3x^2 + 6 $
(iii) . $ y = \frac{1}{3}x^2 $
(iv) . $ f(x) = 2x^2 - 5x $

Contoh 2.
Dari bentuk fungsi kuadrat berikut dengan variabel bebas $ x \, $ , tentukan nilai $ a , \, b, \, $ dan $ c $
(i). $ f(x) = x^2 - 5x^2 + 3 $
(ii) . $ f(x) = -3x^2 - 4x $
(iii) . $ y = px^2 + 9 $
(iv) . $ y = 2x^2 $
Penyelesaian :
Bentuk umum fungsi kuadrat : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
(i). $ f(x) = x^2 - 5x^2 + 3 \rightarrow a = 1, \, b = -5 , \, c = 3 $
(ii) . $ f(x) = -3x^2 - 4x \rightarrow a = -3, \, b = -4 , \, c = 0 $
(iii) . $ y = px^2 + 9 \rightarrow a = p, \, b = 0 , \, c = 9 $
(iv) . $ y = 2x^2 \rightarrow a = 2, \, b = 0 , \, c = 0 $
        Pada fungsi kuadrat, materi yang akan dipelajari diantaranya sketsa grafik fungsi kuadrat, teknik menggeser, ciri-ciri parabola , hubungan garis dan parabola, menyusun fk, dan terapan fungsi kuadrat. Semoga materi pembuka (bentuk umum fungsi kuadrat) ini bisa membantu, dan semangat belajar untuk menguasai materi fungsi kuadrat. Perlu juga kita ketahui bersama, soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat biasanya selalu ada untuk UN dan tes seleksi masuk perguruan tinggi negeri, yang mana setiap tahunnya soalnya selalu berkembang dan akan semakin sulit dibandingkan dengan tahun-tahun sebelumnya.