Tampilkan postingan dengan label fungsi komposisi dan invers. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label fungsi komposisi dan invers. Tampilkan semua postingan

Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi

         Blog Koma - Setelah mencoba untuk mengerjakan beberapa soal-soal SBMPTN yang berkaitan dengan "fungsi komposisi" dan "fungsi invers", ternyata ada soal yang berkaitan dengan Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi. Memang tidak mudah dalam menentukan Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi. Maka dari itu, pada artikel ini kita akan membahas lebih mendalam materi Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi yang disertai dengan contoh-contohnya. Sebenarnya, Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi sudah pernah kita bahas pada aritikel "fungsi komposisi", hanya saja contoh soalnya belum ada. Pada artikel tersebut dijelaskan tentang definisi komposisi fungsi, syarat-syaratnya, dan sifat-sifat. Untuk daerah asal masing-masing fungsi sudah banyak kita bahas pada artikel "fungsi". Pada artikel Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi ini, kita akan sajikan definisi daerah asal komposisi fungsi, kemudian contoh-contoh soal, daerah hasil komposisi fungsi yang nilainya tergantung dari daerah asalnya, dan terakhir baru kita bahas pembuktiannya.

Definisi Daerah Asal (Domain) Komposisi Fungsi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{g \circ f}$) adalah $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{f \circ g}$) adalah $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ daerah asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ daerah asal fungsi $ g $

       Dari definisi Daerah Asal Komposisi Fungsi di atas, kita akan dapat menentukan daerah asalnya. Hanya saja untuk aplikasinya menurut kami tidaklah mudah. Maka dari itu, kita akan memodifikasi definisi di atas dengan hasil yang sama tentunya. Berikut cara "Menentukan Daerah Asal Komposisi Fungsi" :

Menentukan Daerah Asal Komposisi Fungsi
$ \clubsuit \, $ Menentukan daerah asal $ g \circ f $ :
       Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ p = (g \circ f)(x) \, $ ,
       daerah asal $ g \circ f $ : $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_p ) \} $
$ \spadesuit \, $ Menentukan daerah asal $ f \circ g $ :
       Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ q = (f \circ g)(x) \, $ ,
       daerah asal $ f \circ g $ : $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in ( D_g \cap D_q) \} $

       Sebelum kita membahas contoh-contoh soalnya, kita ingat kembali beberapa bentuk fungsi dan daerah asalnya berikut ini yaitu :
a). Fungsi $ f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ...+ a_1x + a_0 $ (fungsi polinomial)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | x \in R \} $
b). Fungsi $ f(x) = \sqrt{ g(x)} $ (fungsi bentuk akar/irrasional)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | g(x) \geq 0 \} $
c). Fungsi $ f(x) = \frac{h(x)}{g(x)} $ (fungsi bentuk pecahan/rasional)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | g(x) \neq 0 \} $
d). Fungsi $ f(x) = {}^a \log g(x) $ (fungsi bentuk logaritma)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | g(x) > 0 \} $
e). Fungsi $ f(x) = \sin g(x) $ (fungsi bentuk trigonometri)
Daerah asalnya : $ D_f = \{ x | x \in R \} $

Catatan : yang dimaksud dengan daerah asal (domain fungsi) adalah semua nilai $ x $ yang bisa kita substitusikan ke fungsinya dan fungsinya bernilai real (untuk tingkat SMA, batasan bilangannya biasanya sampai bilangan real saja). Atau dengan kata lain, fungsinya bisa kita hitung dengan nilai $ x $ yang kita substitusikan.

Contoh Soal Daerah Asal Komposisi Fungsi :

1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 3 $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $. Tentukan :
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = 2x - 3 $ (polinomial) : $ D_f = \{ x \in R \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = x^2 + 1 $ (polinomial) : $ D_g = \{ x \in R \} $
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g(f(x)) = g (2x-3) = (2x -3)^2 + 1 = 4x^2 -12x + 10 $.
Domain dari $ p = 4x^2 -12x + 10 $ adalah $ D_p = \{ x \in R \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \in R \} \cap \{ x \in R \} = \{ x \in R \} $
Sehingga daerah asal dari $ (g \circ f) (x) $ adalah $ \{ x \in R \} $ .
atau dapat kita tulis $ -\infty < x < \infty $.

b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f(g(x)) = f( x^2 +1) = 2(x^2 + 1) - 3 = 2x^2 -1 $.
Domain dari $ q = x^2 -1 $ adalah $ D_q = \{ x \in R \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \in R \} \cap \{ x \in R \} = \{ x \in R \} $
Sehingga daerah asal dari $ (f \circ g) (x) $ adalah $ \{ x \in R \} $ .
atau dapat kita tulis $ -\infty < x < \infty $.

2). Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 - 1 $ dan $ g(x) = \sqrt{ x - 3} $. Tentukan :
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = x^2 - 1 $ (polinomial) : $ D_f = \{ x \in R \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \sqrt{ x - 3} $
$ x - 3 \geq 0 \rightarrow x \geq 3 $ : $ D_g = \{ x \geq 3 \} $
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (x^2 - 1) = \sqrt{ (x^2 -1) - 3} = \sqrt{ x^2 - 4} $.
Domain dari $ p = \sqrt{ x^2 - 4} $
$ x^2 - 4 \geq 0 $ : $ D_p = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \in R \} \cap \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} = \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (g \circ f) (x) $ adalah $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $ .

b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \sqrt{ x - 3}) = (\sqrt{ x - 3})^2 - 1 = x - 4 $.
Domain dari $ q = x - 4 $ adalah $ D_q = \{ x \in R \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \geq 3 \} \cap \{ x \in R \} = \{ x \geq 3 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (f \circ g) (x) $ adalah $ \{ x \geq 3 \} $ .

Catatan :
Untuk menyelesaikan bentu pertidaksamaan, silahkan teman-teman baca artikelnya pada :
"Pertidaksamaan secara Umum", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", "Pertidaksamaan Pecahan", dan "Pertidaksamaan Bentuk Akar".

3). Diketahui fungsi $ f(x) = \sqrt{x + 1} $ dan $ g(x) = \sqrt{ 4 - x^2} $. Tentukan :
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = \sqrt{x + 1} $
$ x + 1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $ : $ D_f = \{ x \geq -1 \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \sqrt{ 4 - x^2} $
$ 4 - x^2 \geq 0 $ : $ D_g = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (\sqrt{x + 1}) = \sqrt{4 - (\sqrt{x + 1})^2} = \sqrt{ 3 - x} $.
Domain dari $ p = \sqrt{ 3 - x } $
$ 3 - x \geq 0 \rightarrow x \leq 3 $ : $ D_p = \{ x \leq 3 \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \geq -1 \} \cap \{ x \leq 3 \} = \{ -1 \leq x \leq 3 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (g \circ f) (x) $ adalah $ \{ -1 \leq x \leq 3 \} $ .

b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \sqrt{ 4 - x^2}) = \sqrt{\sqrt{ 4 - x^2} + 1} $.
Domain dari $ q = \sqrt{\sqrt{ 4 - x^2} + 1} $
$ \sqrt{ 4 - x^2} + 1 \geq 0 \rightarrow \sqrt{ 4 - x^2} \geq -1 \rightarrow \sqrt{ 4 - x^2} \geq 0 \rightarrow 4 - x^2 \geq 0 $
adalah $ D_q = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ -2 \leq x \leq 2 \} \cap \{ -2 \leq x \leq 2 \} = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (f \circ g) (x) $ adalah $ \{ -2 \leq x \leq 2 \} $ .

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x + 1 $ dan $ g(x) = \frac{2x - 3 }{x + 1} $. Tentukan :
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = 3x + 1 $ : $ D_f = \{ x \in R \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \frac{2x - 3 }{x + 1} $
$ x + 1 \neq 0 \rightarrow x \neq -1 $ : $ D_g = \{ x \neq -1 \} $
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (3x + 1) = \frac{2(3x + 1) - 3 }{3x + 1 + 1} = \frac{6x - 1}{3x + 2} $.
Domain dari $ p = \frac{6x - 1}{3x + 2} $
$ 3x + 2 \neq 0 \rightarrow x \neq - \frac{2}{3} $ : $ D_p = \{ x \neq - \frac{2}{3} \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \in R \} \cap \{ x \neq - \frac{2}{3} \} = \{ x \neq - \frac{2}{3} \} $
Sehingga daerah asal dari $ (g \circ f) (x) $ adalah $ \{ x \neq - \frac{2}{3} \} $ .
atau dapat ditulis $ \{ x < - \frac{2}{3} \, \text{ atau } \, x > - \frac{2}{3} \} $ .

b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \frac{2x - 3 }{x + 1}) = 3\left( \frac{2x - 3 }{x + 1}\right) + 1 = \frac{7x - 8}{ x + 1} $.
Domain dari $ q = \frac{7x - 8}{ x + 1} $
$ x + 1 \neq 0 \rightarrow x \neq -1 $ adalah $ D_q = \{ x \neq -1 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \neq -1 \} \cap \{ x \neq -1 \} = \{ x \neq -1 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (f \circ g) (x) $ adalah $ \{ x \neq -1 \} $ .
atau dapat kita tulis $ \{ x < - 1 \, \text{ atau } \, x > - 1 \} $

5). Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{3}{x-1} $ dan $ g(x) = \frac{2x }{3x - 2} $. Tentukan :
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = \frac{3}{x-1} $
$ x - 1 \neq 0 \rightarrow x \neq 1 $ : $ D_f = \{ x \neq 1 \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \frac{2x }{3x - 2} $
$ 3x - 2 \neq 0 \rightarrow x \neq \frac{3}{2} $ : $ D_g = \{ x \neq \frac{2}{3} \} $
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (\frac{3}{x-1}) = \frac{2.\frac{3}{x-1} }{3.\frac{3}{x-1}- 2} = \frac{6}{11 - 2x} $.
Domain dari $ p = \frac{6}{11 - 2x} $
$ 11 - 2x \neq 0 \rightarrow x \neq \frac{11}{2} $ : $ D_p = \{ x \neq \frac{11}{2} \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \neq 1 \} \cap \{ x \neq \frac{11}{2} \} = \{ x \neq 1 \, \text{ dan } \, x \neq \frac{11}{2} \} $
Sehingga daerah asal dari $ (g \circ f) (x) $ adalah $ \{ x \neq 1 \, \text{ dan } \, x \neq \frac{11}{2} \} $ .
atau dapat ditulis $ \{ x < 1 \, \text{ atau } \, 1 < x < \frac{11}{2} \, \text{ atau } \, x > \frac{11}{2} \} $ .

b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f( \frac{2x }{3x - 2} ) = \frac{3}{\frac{2x }{3x - 2} -1} = \frac{9x - 6}{ -x + 2} $.
Domain dari $ q = \frac{9x - 6}{ -x + 2} $
$ -x + 2 \neq 0 \rightarrow x \neq 2 $ adalah $ D_q = \{ x \neq 2 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \neq \frac{2}{3} \} \cap \{ x \neq 2 \} = \{ x \neq \frac{2}{3} \, \text{ dan } \, x \neq 2 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (f \circ g) (x) $ adalah $ \{ x \neq \frac{2}{3} \, \text{ dan } \, x \neq 2 \} $ .
atau dapat kita tulis $ \{ x < \frac{2}{3} \, \text{ atau } \, \frac{2}{3} < x < 2 \, \text{ atau } \, x > 2 \} $ .

6). Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{4}{x^2-1} $ dan $ g(x) = \sqrt{ x + 4} $. Tentukan :
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Penyelesaian :
*). Domain fungsi $ f(x) = \frac{4}{x^2-1} $
$ x^2-1 \neq 0 \rightarrow x \neq -1 , x \neq 1 $ : $ D_f = \{ x \neq -1 , x \neq 1 \} $
*). Domain fungsi $ g(x) = \sqrt{ x + 4} $
$ x + 4 \geq 0 \rightarrow x \geq -4 $ : $ D_g = \{ x \geq -4 \} $
a). daerah asal komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
Misalkan $ p = (g \circ f) (x) $
$ p = (g \circ f) (x) = g (\frac{4}{x^2-1} ) = \sqrt{\frac{4}{x^2-1} + 4} = \sqrt{ \frac{4x^2}{x^2 - 1}} $.
Domain dari $ p = \sqrt{ \frac{4x^2}{x^2 - 1}} $
$ \frac{4x^2}{x^2 - 1} \geq 0 $ : $ D_p = \{ x < -1 \vee x > 1 \} $ .
*). Domain $ (g \circ f) (x) $ :
$ D_{g \circ f} = D_f \cap D_p = \{ x \neq -1 , x \neq 1 \} \cap \{ x < -1 \vee x > 1 \} = \{ x < -1 \vee x > 1 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (g \circ f) (x) $ adalah $ \{ x < -1 \vee x > 1 \} $ .

b). daerah asal komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
Misalkan $ q = (f \circ g) (x) $
$ q = (f \circ g) (x) = f(\sqrt{ x + 4}) = \frac{4}{(\sqrt{x + 4})^2-1} = \frac{4}{x + 3} $.
Domain dari $ q = \frac{4}{x + 3} $
$ x + 3 \neq 0 \rightarrow x \neq -3 $ adalah $ D_q = \{ x \neq -3 \} $ .
*). Domain $ (f \circ g) (x) $ :
$ D_{f \circ g} = D_g \cap D_q = \{ x \geq -4 \} \cap \{ x \neq -3 \} = \{ x \geq -4 \, \text{ dan } \, x \neq -3 \} $
Sehingga daerah asal dari $ (f \circ g) (x) $ adalah $ \{ x \geq -4 \, \text{ dan } \, x \neq -3 \} $ .
atau dapat kita tulis $ \{ -4 \leq x < -3 \, \text{ atau } \, x > -3 \} $ .

Daerah Hasil (Range) Komposisi Fungsi
       Untuk menentukan daerah hasil suatu bentuk fungsi atau bentuk komposisi fungsi yaitu dengan mensubstitusikan daerah asal yang terbentuk. Namun kita juga harus tetap memperhatikan karakteristik masing-masing fungsinya, semisal fungsi kuadrat memiliki nilai maksimum atau minimum tertentu, sementara fungsi bentuk akar memiliki nilai fungsi yang selalu positif. dan karakteristik fungsi lainnya.

Untuk memudahkan dalam penghitungan, kita akan langsung coba mencari daerah hasil komposisi fungsi pada contoh-contoh soal di atas.

7). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 3 $ dan $ g(x) = x^2 + 1 $. Tentukan :
a). daerah hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
(contoh nomor 6)
Penyelesaian :
a). daerah hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (g \circ f) (x) = 4x^2 -12x + 10 $,
Domain : $ -\infty < x < \infty $,
*). Menentukan daerah hasilnya :
$ y = (g \circ f) (x) = 4x^2 -12x + 10 = 4(x - \frac{3}{2} )^2 + 1 $
Dari bentuk $ y = 4(x - \frac{3}{2} )^2 + 1 $ nilai minimumnya saat $ x = \frac{3}{2} $ yaitu $ y = 1 $
Sehingga daerah hasilnya adalah $ \{ y | y \geq 1 \} $.

b). daerah hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (f \circ g) (x) = 2x^2 -1 $,
Domain : $ -\infty < x < \infty $,
*). Menentukan daerah hasilnya :
$ y = (f \circ g) (x) = 2x^2 -1 $
Dari bentuk $ y = 2x^2 -1 $ nilai minimumnya saat $ x = 0 $ yaitu $ y = -1 $
Sehingga daerah hasilnya adalah $ \{ y | y \geq - 1 \} $.

8). Diketahui fungsi $ f(x) = x^2 - 1 $ dan $ g(x) = \sqrt{ x - 3} $. Tentukan :
a). daerah hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
b). daerah hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
(contoh nomor 6)
Penyelesaian :
a). daerah hasil komposisi fungsi $ (g \circ f) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (g \circ f) (x) = \sqrt{x^2 - 4} $,
Domain : $ x \leq -2 \vee x \geq 2 $,
*). Menentukan daerah hasilnya :
$ y = (g \circ f) (x) = \sqrt{x^2 - 4} $
Dari bentuk $ y = \sqrt{x^2 - 4} $ nilai minimumnya saat $ x = -2 $ atau $ x = 2 $ yaitu $ y = 0 $
Sehingga daerah hasilnya adalah $ \{ y | y \geq 0 \} $.

b). daerah hasil komposisi fungsi $ (f \circ g) (x) $
*). Telah kita peroleh :
$ (f \circ g) (x) = x - 4 $,
Domain : $ x \geq 3 $,
*). Menentukan daerah hasilnya :
$ y = (f \circ g) (x) = x - 4 $
Dari bentuk $ y = x - 4 $ nilai minimumnya saat $ x = 3 $ yaitu $ y = -1 $
Sehingga daerah hasilnya adalah $ \{ y | y \geq - 1 \} $.

cara lain untuk bagian (a) dan (b) nomor (8) ini yaitu :
a). $ y = \sqrt{x^2 - 4}$
$ x \leq -2 \rightarrow x^2 \geq 4 \rightarrow x^2 - 4 \geq 0 \rightarrow \sqrt{x^2 - 4} \geq 0 \rightarrow y \geq 0 $
$ x \geq 2 \rightarrow x^2 \geq 4 \rightarrow x^2 - 4 \geq 0 \rightarrow \sqrt{x^2 - 4} \geq 0 \rightarrow y \geq 0 $
b). $ y = x - 4 $
$ x \geq 3 \rightarrow x - 4 \geq 3 - 4 \rightarrow x - 4 \geq -1 \rightarrow y \geq -1 $.

Untuk contoh yang lainnya silahkan teman-teman coba sendiri ya. Semoga bisa dan benar.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Menentukan Daerah Asal Komposisi Fungsi
       Perhatikan definisi daerah asal komposisi fungsi pada artikel paling atas dan definisi "fungsi invers" berikut ini.
Definisi fungsi invers : $ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $.
dari definisi invers fungsi $ f $ ini , A sebagai domain dan B sebagai range dimana $ f^{-1}(B) = A $ artinya $ f^{-1}{B} $ menghasikan domain dari fungsi $ f $ yaitu A.

*). Pembuktian pertama : Menentukan daerah asal $ g \circ f $ :
     Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ p = (g \circ f)(x) \, $ ,
     daerah asal $ g \circ f $ : $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_p ) \} $

-). Misalkan terdapat $ p $ yang merupakan daerah hasil dari $ (g \circ f)(x) $ atau bisa kita tulis $ p = (g \circ f)(x) $. Karena $ p $ daerah hasil $ (g \circ f)(x) $, maka $ p $ juga merupakan daerah hasil dari fungsi $ g $ , sehingga daerah asal dari $ g $ adalah $ g^{-1}(p) $ sesuai definisi invers di atas.
-). Dari definisi : $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $
bentuk $ f(x) \in D_g $ artinya terdapat $ x $ sehingga nilai fungsi $ f(x) $ ada yang sama dengan anggota dari domain fungsi $ g $, misalkan domain $ g $ yang memenuhi tersebut adalah $ g^{-1}(p) $. Dapat kita tulis $ f(x) = g^{-1}(p) $. Dari definisi invers fungsi :
$ f(x) = g^{-1}(p) \rightarrow p = g(f(x)) \rightarrow p = ( g \circ f)(x) \, $ .....(i)
Dari bentuk (i) ini, artinya $ x $ adalah domain dari fungsi $ p = ( g \circ f)(x) $ atau kita tulis $ x \in D_p $.
-). Pada definisi : $ x \in D_f $. Di lain pihak juga $ x \in D_p $ , sehingga dapat kita simpulkan $ x \in ( D_f \cap D_p) $.
Jadi, terbukti bahwa $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in ( D_f \cap D_p ) \} $

*). Pembuktian kedua : Menentukan daerah asal $ f \circ g $ :
     Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ q = (f \circ g)(x) \, $ ,
     daerah asal $ f \circ g $ : $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in ( D_g \cap D_q) \} $

-). Misalkan terdapat $ q $ yang merupakan daerah hasil dari $ (f \circ g)(x) $ atau bisa kita tulis $ q = (f \circ g)(x) $. Karena $ q $ daerah hasil $ (f \circ g)(x) $, maka $ q $ juga merupakan daerah hasil dari fungsi $ f $ , sehingga daerah asal dari $ f $ adalah $ f^{-1}(q) $ sesuai definisi invers di atas.
-). Dari definisi : $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
bentuk $ g(x) \in D_f $ artinya terdapat $ x $ sehingga nilai fungsi $ g(x) $ ada yang sama dengan anggota dari domain fungsi $ f $, misalkan domain $ f $ yang memenuhi tersebut adalah $ f^{-1}(q) $. Dapat kita tulis $ g(x) = f^{-1}(q) $. Dari definisi invers fungsi :
$ g(x) = f^{-1}(q) \rightarrow q = f(g(x)) \rightarrow q = ( f \circ g)(x) \, $ .....(ii)
Dari bentuk (ii) ini, artinya $ x $ adalah domain dari fungsi $ q = ( f \circ g)(x) $ atau kita tulis $ x \in D_q $.
-). Pada definisi : $ x \in D_g $. Di lain pihak juga $ x \in D_q $ , sehingga dapat kita simpulkan $ x \in ( D_g \cap D_q) $.
Jadi, terbukti bahwa $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in ( D_g \cap D_q) \} $

       Demikian pembahasan materi Daerah Asal dan Daerah Hasil Komposisi Fungsi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "fungsi".

Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi menentukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya, kita lanjutkan dengan pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya. Pada artikel ini kita akan lebih menekankan pada dua jenis grafik yaitu grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma. Meskipun demikian, sebenarnya cara yang akan kita pelajari pada artikel ini bisa diterapkan pada semua jenis grafik fungsi yang diketahui. Namun, kita lebih fokus ke grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma karena kedua jenis grafik fungsi ini yang biasanya keluar di soal-soal Ujian Nasional.

         Menentukan fungsi invers dari grafiknya artinya diketahui grafik suatu fungsi dan kita diminta mencari fungsi inversnya langsung. Untuk memudahkan dalam pengerjaannya, sebaiknya teman-teman memepelajari materi invers fungsi eksponen dan logaritma.

Cara Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya
       Ada dua cara dalam menentukan fungsi invers dari grafiknya, yaitu :
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
       Kita tentukan dulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, setelah itu baru kita cari inversnya.

$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
       Kita substitusikan langsung titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk menentukan fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada materi menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk menentukan fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.
Catatan :
Soal-soal yang akan kita bahas adalah tipe-tipe soal yang ada pilihan gandanya, dimana tipe soal inilah yang sering diujikan di Ujian Nasional. Dan perlu teman-teman ketahui, cara II : teknik substitusi hanya bisa dilakukan untuk soal yang ada fungsinya yaitu pada pilihan gandanya.


Contoh Soal :
1). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi invers dari grafik tersebut adalah ....
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 $
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) $
C). $ g(x) = 2^x - 1 $
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 $
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) $

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan fungsi awal,
*). Contoh soal 1 ini sama dengan contoh soal nomor 4 pada artikel "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya", dima fungsi awal (fungsi asli) dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan teman-teman baca penjelasannya pada artikel tersebut.
*). Kita tentukan invers dari fungsi awal : $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan baca cara menginverskan fungsi eksponen dan fungsi logaritma.
$ \begin{align} f(x) & = 3 \times 2^x + 1 \\ y & = 3 \times 2^x + 1 \\ 3 \times 2^x & = y - 1 \\ 2^x & = \frac{y - 1}{3} \\ x & = {}^2 \log \frac{y - 1}{3} \end{align} $
Sehingga inversnya adalah $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

Catatan : Cara I ini tingkat kesulitannya adalah untuk menentukan fungsi awal dan lalu mencari fungsi inversnya.

Cara II: Teknik Substitusi,
*). Grafik melalui titik $(0,4), \, (1,7), \, $ dan $ (2,13)$. Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(0,4) $, kita substitusikan $ x = 4 $ dan hasilnya harus 0 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{4-2} - 9 = 9 - 9 =0 $ (BENAR)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{4-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{3}{3} \right) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
C). $ g(x) = 2^x - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 =15 $ (SALAH)
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 = 5^{4 - 4} + 1 = 5^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) = {}^3 \log (4+5) = {}^3 \log 9 = 2 $ (SALAH)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (A) dan (B), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(1,7) $ , kita substitusi $ x = 7 $ dan hasilnya harus 1 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{7-2} - 9 = 3^5 - 9 = 243 - 9 = 234 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{7-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{6}{3} \right) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Yang tersisa BENAR adalah pilihan B, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

2).Jika $g(x) $ adalah fungsi invers dari grafik fungsi berikut ini, maka tentukan fungsi $ g(x) $ tersebut!

A). $ g(x) = 3^x - 1 $
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 $
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 $
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 $

Penyelesaian :

*). Untuk contoh soal nomor 2 ini kita langsung menggunakan cara II yaitu teknik substitusi. Namun, bagi teman-teman yang ingin mencoba cara pertama silahkan saja, untuk perbandingan hasil akhirnya apakah sama atau tidak. Dan untuk fungsi awal dari grafiknya sama dengan contoh soal nomor 2 pada artikel "menentukan fungsi logaritma dari grafiknya", silahkan teman-teman lihat artikelnya untuk pembahasannya.
*). Grafik melalui titik-titik : $(-2,0), \, (-1,-1) $ dan $ (2,-2) $.
Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(-2,0) $, kita substitusikan $ x = 0 $ dan hasilnya harus $-2$ :
A). $ g(x) = 3^x - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 = {}^3 \log (2 \times 0 +3) + 1 = {}^3 \log 3 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-0} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( -4 \right) = -2 $ (BENAR)
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 = 5^{0+1} - 3 = 5^{1} - 3 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (0+2) - 3 = {}^2 \log ( 2) - 3 = 1 - 3 = -2 $ (BENAR)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (C) dan (D), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(2,-2) $ , kita substitusi $ x = -2 $ dan hasilnya harus 2 :
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-(-2)} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^2 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 9 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 \right) = 2 $ (BENAR)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (-2+2) - 3 = {}^2 \log ( 0) - 3 $ (SALAH) karena numerus tidak boleh 0.
Yang tersisa BENAR adalah pilihan C, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion C yaitu $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $ .

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas artikel "fungsi invers dan komposisi", kita lanjutkan dengan pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma. Invers fungsi eksponen dan logaritma ini sengaja kita bahas sendiri karena bentuknya yang unik dan perlu teman-teman ketahui bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers. Ini artinya, invers fungsi eksponen adalah fungsi logartima, dan berlaku juga sebaliknya yaitu invers fungsi logaritma adalah fungsi eksponen.

         Materi-materi yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma yaitu definisi logaritma, definisi invers fungsi, dan invers fungsi komposisi. Mari kita simak penjelasannya berikut ini.

Definisi logaritma
       Definisi logartima :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
dengan $ a, \, b, \, c \, $ adalah bilangan real
dan syaratnya $ a > 0, \, a \neq 1 , \, $ dan $ b > 0 $.
Definisi Invers Fungsi
       Misalkan ada fungsi $ y = f(x) \, $ yang bijektif, maka invers fungsinya adalah :
$ \begin{align} y = f(x) \Leftrightarrow x = f^{-1} (y) \end{align} $
Invers Fungsi Komposisi
       Berikut adalah invers fungsi komposisi :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1} ) (x) \\ (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} ) (x) \end{align} $

Contoh soal invers fungsi eksponen dan logaritma :
1). Tentukan invers dari fungsi $ f(x) = 3^x $?
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan invers fungsi, kita ubah $ f(x) = y $ setelah itu kita gunakan definisi invers fungsi sehingga menjadi $ x = f^{-1} (y) $. Untuk bisa menentukan inversnya, kita harus menggunakan definisi logaritma.
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \end{align} $
Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} b = a^c \Leftrightarrow c = {}^a \log b \end{align} $
Sehingga :
$ \begin{align} y = 3^x \Leftrightarrow x = {}^3 \log y \end{align} $
Artinya $ f^{-1} (y) = {}^3 \log y \, $ atau $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x $ .
Jadi, invers dari $ f(x) = 3^x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = {}^3 \log x. \, \heartsuit $

2). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ g(x) = 5^{2x + 1} $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} g(x) & = 5^{2x + 1} \\ y & = 5^{2x + 1} \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 2x + 1 & = {}^5 \log y \\ 2x & = {}^5 \log y - 1 \\ 2x & = {}^5 \log y - {}^5 \log 5 \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ 2x & = {}^5 \log \frac{y}{5} \\ x & = \frac{1}{2} \times {}^5 \log \frac{y}{5} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sifat logaritma)} \\ x & = {}^5 \log \left( \frac{y}{5} \right)^\frac{1}{2} \\ x & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ g^{-1} (y) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{y}{5} } \\ \text{ atau } & \\ g^{-1} (x) & = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ g(x) = 5^{2x + 1} \, $ adalah $ g^{-1} (x) = {}^5 \log \sqrt{\frac{x}{5} } $.


3). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ x & = 2^y \\ f^{-1} (y) & = 2^y \\ \text{atau} & \\ f^{-1} (x) & = 2^x \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ f(x) = {}^2 \log x \, $ adalah $ f^{-1} (x) = 2^x $.

4). Tentukan invers dari fungsi eksponen $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) $ ?
Penyelesaian :
*). Definisi logaritma :
$ \begin{align} {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
atau
$ \begin{align} c = {}^a \log b \Leftrightarrow b = a^c \end{align} $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} h(x) & = {}^7 \log ( 3x - 5) \\ y & = {}^7 \log ( 3x - 5) \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi logaritma)} \\ 3x - 5 & = 7^y \\ 3x & = 7^y + 5 \\ x & = \frac{7^y + 5}{3} \\ x & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ h^{-1}(y) & = \frac{1}{3}(7^y + 5) \\ \text{atau} & \\ h^{-1}(x) & = \frac{1}{3}(7^x + 5) \end{align} $
Jadi, invers fungsi $ h(x) = {}^7 \log ( 3x - 5) \, $ adalah $ h^{-1}(x) = \frac{1}{3}(7^x + 5) $.

5). Diketahui fungsi $ f(x) = 3^x \, $ dan $ g(x) = {}^2 \log x $.
Tentukan :
a). $ (f \circ g)^{-1} (x) $
b). $ (g \circ f)^{-1} (x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi terlebih dahulu :
Invers fungsi $ f(x) = 3^x $ :
$ \begin{align} f(x) & = 3^x \\ y & = 3^x \\ x & = {}^3 \log y \\ f^{-1}(x) & = {}^3 \log x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = {}^2 \log x $ :
$ \begin{align} g(x) & = {}^2 \log x \\ y & = {}^2 \log x \\ x & = 2^y \\ g^{-1}(x) & = 2^x \end{align} $
*). Menentukan invers komposisi dengan sifat invers komposisinya :
a). Hasil bentuk $ (f \circ g)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}({}^3 \log x ) \\ & = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = 2^{{}^3 \log x} \end{align} $

b). Hasil bentuk $ (g \circ f)^{-1} (x) $
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) & = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ & = f^{-1}(g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1}(2^x ) \\ & = {}^3 \log 2^x \end{align} $
Jadi, bentuk $ \begin{align} (g \circ f)^{-1} (x) = {}^3 \log 2^x \end{align} $

6). Diketahui fungsi $ f(x) = {}^3 \log x \, $ dan $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $. Tentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers masing-masing fungsi :
Invers fungsi $ f(x) = {}^3 \log x $ :
$ \begin{align} f(x) & = {}^3 \log x \\ y & = {}^3 \log x \\ x & = 3^y \\ f^{-1} (x) & = 3^x \end{align} $
Invers fungsi $ g(x) = \frac{5x - 2}{4x + 7} $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y & = \frac{5x - 2}{4x + 7} \\ y(4x + 7) & = 5x - 2 \\ 4xy + 7y & = 5x - 2 \\ 4xy - 5x & = -7y - 2 \\ x(4y - 5) & = -7y - 2 \\ x & = \frac{-7y - 2}{4y - 5} \\ g^{-1} & = \frac{-7x - 2}{4x - 5} \end{align} $
*). Menentukan hasil $ (f \circ g)^{-1} (x) $ :
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) & = (g^{-1} \circ f^{-1}) (x) \\ & = g^{-1} ( f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1} (3^x) \\ & = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $
Jadi, hasilnya $ \begin{align} (f \circ g)^{-1} (x) = \frac{-7 \times 3^x - 2}{4 \times 3^x - 5} \end{align} $

         Demikian pembahasan materi Invers Fungsi Eksponen dan Logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan invers fungsi. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Fungsi Invers

         Blog Koma - Fungsi Invers merupakan suatu fungsi kebalikan dari fungsi awal. Untuk mempelajari materi ini, kita harus menguasai materi Relasi, Fungsi, dan Fungsi Komposisi. Berikut penjelasan tentang fungsi invers.

         Materi Fungsi Invers adalah salah satu materi wajib yang mana soal-soalnya selalu ada untuk ujian nasional dan tes seleksi masuk perguruan tinggi. Penting bagi kita untuk menguasainya, karena akan membantu kita dalam kelulusan nantinya. Untuk soal-soal fungsi invers sebenarnya memiliki beberapa trik khusus dalam menjawabnya terutama untuk soal-soal setingkat seleksi masuk perguruan tinggi seperti SBMPTN. Silahkan teman-teman pelajari kumpulan soal-soal fungsi komposisi dan invers untuk lebih mendalami materi fungsi invers ini.

Penjelasan dan Definisi Fungsi Invers
         Berdasarkan Gambar di atas , kita peroleh beberapa hal atau informasi yaitu :
*). Pertama,
       fungsi $f$ memetakan $x \in A$ ke $y \in B$. Jika fungsi $f$ dinyatakan ke dalam bentuk pasangan berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut. $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$. Pasangan berurut $(x , y)$ merupakan unsur dari fungsi $f$.
*). Kedua,
       invers fungsi $f$ atau $f^{-1} $ memetakan $y \in B$ ke $x \in A$. Jika invers fungsi $f$ dinyatakan ke dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis $f^{-1} = \{(y , x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$. Pasangan berurut $(y, x)$ merupakan unsur dari invers fungsi $f$.

Definisi Fungsi invers
       Jika fungsi $f$ memetakan A ke B dan dinyatakan dalam pasangan berurutan $f = \{(x, y) | x \in A \text{ dan } y \in B\}$, maka invers fungsi $f$ (dilambangkan $f^{-1}$) adalah relasi yang memetakan B ke A, dalam pasangan berurutan dinyatakan dengan $f^{-1} = \{(y, x) | y \in B \text{ dan } x \in A\}$.

Dapat ditulis: jika $ y = f(x) , \, $ maka inversnya $ x = f^{-1}(y) $
Cara menentukan fungsi invers dari fungsi awalnya
       Suatu fungsi $f$ akan mempunyai invers, yaitu $f^{-1}$ jika dan hanya jika fungsi $f$ bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, $f$ merupakan fungsi dari A ke B, maka $f^{-1}$ merupakan fungsi invers $f$ jika berlaku $(f^{-1} \circ f)(x) = x $ dan $ (f \circ f^{-1})(x) = x$. Perhatikanlah gambar di bawah ini.
Langkah-langkah menentukan fungsi invers:
1. Buatlah permisalan $f(x) = y$ pada persamaan.
2. Selesaikan persamaan sehingga diperoleh $x$ sebagai fungsi $y$ atau $x = f^{-1}(y)$.
3. Ganti variabel $y$ dengan $x$ pada $f^{-1}(y)$ sehingga diperoleh $f^{-1}(x) = y$ sebagai fungsi invers dari $y = f(x)$.
Contoh
1). Jika diketahui $ f(x) = 2x + 3 , \, $ tentukan inversnya dan nilai $ f^{-1}(1) $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ f(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = f^{-1}(y) $
$ \begin{align} f(x) & = y \\ 2x + 3 & = y \\ 2x & = y - 3 \\ x & = \frac{y-3}{2} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{y-3}{2} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = 2x + 3 , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(1) $
$ f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2} \rightarrow f^{-1}(1) = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $
Jadi, diperoleh nilai $ f^{-1}(1) = -1 $

2). Diketahui fungsi $ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \, $ , tentukanlah inversnya.!
Penyelesaian :
Misalkan $ g(x) = y \, $ dan rubahlah kedalam bentuk $ x = g^{-1}(y) $
$ \begin{align} g(x) & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y & = \frac{3x-1}{2x+5} \\ y(2x+5) & = 3x -1 \\ 2xy + 5y & = 3x - 1 \\ 2xy - 3x & = -5y - 1 \\ x(2y - 3) & = -5y - 1 \\ x & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \\ \text{berdasarkan } x & = f^{-1}(y) \\ \text{diperoleh } f^{-1}(y) & = \frac{-5y - 1}{2y - 3} \end{align} $
Gantilah variabel $ y $ dengan $ x $, artinya $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $
Cara II : $ f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \rightarrow f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{-cx + a } $
$ g(x) = \frac{3x-1}{2x+5} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} $
$ g^{-1}(x) = \frac{5x+1}{-2x+3} \times \frac{-1}{-1} = \frac{-5x-1}{2x-3} $
Jadi, invers dari fungsi $ f(x) = \frac{3x-1}{2x+5} , \, $ adalah $ f^{-1}(x) = \frac{-5x - 1}{2x - 3} $

3). Diketahui $ f(x) = 5x - 3 . \, $ Jika $ f^{-1}(a) = 2 , \, $ maka nilai $ a + 5 = .... $
Penyelesaian :
Menentukan inversnya
$\begin{align} f(x) & = 5x - 3 \\ y & = 5x - 3 \\ 5x & = y + 3 \\ x & = \frac{y+3}{5} \\ f^{-1}(x) & = \frac{x+3}{5} \\ f^{-1}(a) & = \frac{a+3}{5} \end{align} $
Menenukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(a) & = 2 \\ \frac{a+3}{5} & = 2 \\ a+3 & = 10 \\ a & = 7 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + 5 = 7 + 5 = 12 $

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x + 1 . \, $ Apakah fungsi $ g(x) = \frac{x-1}{2} \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) $?
Penyelesaian :
*). Dua fungsi dikatakan salaing invers jika dikomposisikan menghasilkan fungsi identitas ($I(x) = x$).
*). Agar fungsi $ g(x) \, $ merupakan invers dari fungsi $ f(x) \, $ , maka harus terpenuhi $ (f \circ g)(x) = x \, $ atau $ (g \circ f)(x) = x . \, $ Cukup cek salah satu saja.
*). cek fungsi komposisinya :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f\left( \frac{x-1}{2} \right) \\ & = 2\left( \frac{x-1}{2} \right) + 1 \\ & = (x-1) + 1 \\ & = x \end{align} $
Karena diperoleh $ (f \circ g)(x) = x, \, $ maka terbukti bahwa fungsi $ g(x) \, $ adalah invers dari fungsi $ f(x) $

Sifat-sifat Fungsi invers
       Beberapa sifat fungsi invers :
1). $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) $ ,
(fungsi invers di invers lagi, maka hasilnya kembali ke awal)
2). $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f )(x) = I(x) = x $
(fungsi awal di invers dengan dirinya sendiri atau kebalikannya menghasilkan fungsi identitas yaitu $ I(x) = x $

Penjelasan definisi invers :
Definisi : $ y = f(x) \rightarrow f^{-1}(y) = x $, artinya ketika fungsinya ($f$) pindah ruas (dari kanan ke kiri atau dari kiri ke kanan), maka fungsi tersebut diberikan invers. misalkan :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) $
$ A = f^{-1}(B) \rightarrow (f^{-1})^{-1} (A) = B \rightarrow f(A) = B $

Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 1 $
a). Tentukan $ f^{-1}(x) $
b). Tentukan $ (f^{-1}(x))^{-1} $
c). Tentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
d). Tentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
Penyelesaian :
a). Menentukan $ f^{-1}(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x - 1 \\ y & = 2x - 1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
b). Menentukan invers dari $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
$\begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x+1}{2} \\ y & = \frac{x+1}{2} \\ 2y & = x + 1 \\ x & = 2y - 1 \\ f^{-1}(y) & = 2y -1 \end{align} $
invers dari $ f^{-1} (x) $ adalah $ (f^{-1}(x))^{-1} = 2x -1 , \, $ yang sama dengan $ (f^{-1}(x))^{-1} = f(x) , \, $ ini sesuai dengan sifat invers.
c). Menentukan $ (f \circ f^{-1})(x) $
$ \begin{align} (f \circ f^{-1})(x) & = f(f^{-1}(x)) \\ & = f(\frac{x+1}{2}) \\ & = 2\left( \frac{x+1}{2} \right) - 1 \\ & = (x+1) - 1 \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f \circ f^{-1})(x) = x $
d). Menentukan $ (f^{-1} \circ f)(x) $
$\begin{align} (f^{-1} \circ f)(x) & = f^{-1}(f(x)) \\ & = f^{-1}(2x-1) \\ & = \frac{(2x-1)+1}{2} \\ & = \frac{2x}{2} \\ & = x \end{align} $
Diperoleh : $ (f^{-1} \circ f)(x) = x $
Dari hasil c) dan d) terlihat bahwa $ (f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x, \, $ yang sesuai dengan sifat invers.

2). Diketahui fungsi $ f(x-2) = 3x + 5 $. Jika $ f^{-1}(a) = -1 , \, $ maka tentukan nilai $ a^2 -4 $ !
Penyelesaian :
Cara I : Menentukan inversnya terlebih dahulu
Misalkan $ p = x -2 \rightarrow x = p+2 , \, $ substitusi ke fungsinya
$ \begin{align} f(x-2) & = 3x + 5 \\ f(p) & = 3(p+2) + 5 \\ f(p) & = 3p + 11 \end{align} $
sehingga, $ f(x) = 3x + 11 $
*). Menentukan inversnya :
$ \begin{align} f(x) & = 3x + 11 \\ y & = 3x + 11 \\ 3x & = y - 11 \\ x & = \frac{y - 11}{3} \end{align} $
sehingga inversnya : $ f^{-1}(x) = \frac{x - 11}{3} $
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} f^{-1}(x) & = \frac{x - 11}{3} \\ f^{-1}(a) & = -1 \\ \frac{a - 11}{3} & = -1 \\ a - 11 & = -3 \\ a & = 11 - 3 = 8 \end{align} $
diperoleh nilai $ a = 8 $,
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $

Cara II : Tanpa mencari inversnya.
*). Gunakan definisi invers : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
$ f(x-2) = 3x + 5 \rightarrow x-2 = f^{-1}(3x+5) \, $ atau $ f^{-1}(3x+5) = x-2 $
*). Menyamakan bentuk yang diketahui dan yang ditanya.
$ \begin{align} f^{-1}(3x+5) & = x-2 \\ f^{-1}(a) & = -1 \end{align} $
Ruas kanan sama dengan ruas kanan dan ruas kiri sama juga dengan ruas kiri
Diperoleh : $ x - 2 = -1 \, $ dan $ a = 3x + 5 $
$ x - 2 = -1 \rightarrow x = 1 $
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke persamaan kedua
$ x = 1 \rightarrow a = 3x + 5 = 3.1 + 5 = 8 $
sehingga nilai $ a^2 - 4 = 8^2 - 4 = 64 - 4 = 60 $
Jadi, nilai $ a^2 - 4 = 60 $

3). Diketahui fungsi invers $ f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) = \frac{x^2 - 8}{2- x } . \, $ Jika $ f(a) = -3, \, $ maka tentukan nilai $ a + 1 \, $ !
Penyelesaian : Tanpa mencari invernya,
Definisi : $ A = f(B) \rightarrow f^{-1}(A) = B $
sehingga $ f(a) = -3 \rightarrow a = f^{-1}(-3) \, $ atau $ f{-1}(-3) = a $
Menyamakan bentuknya :
$ \begin{align} f^{-1}\left( \frac{3}{x-1} \right) & = \frac{x^2 - 8}{2- x } \\ f^{-1}(-3) & = a \end{align} $
Diperoleh kesamaan : $ \frac{3}{x-1} = -3 \, $ dan $ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } $
$ \frac{3}{x-1} = -3 \rightarrow x - 1 = -1 \rightarrow x = 0 $
Substitusi nilai $ x = 0 \, $ ke persamaan kedua,
$ a = \frac{x^2 - 8}{2- x } = \frac{0^2 - 8}{2- 0 } = \frac{ - 8}{2 } = -4 $
diperoleh nilai $ a = -4 $
Sehingga nilai $ a + 1 = -4 + 1 = -3 $
Jadi, nilai $ a + 1 = -3 $
Catatan : yang diubah menggunakan definisi invers boleh fungsi yang diketahui atau fungsi yang ditanyakan seperti soal nomor 2 dan nomor 3.

Invers dari fungsi komposisi
       Dari gambar diagram di atas $f : A \rightarrow B, \, g : B \rightarrow C$ , dengan $f$ dan $g$ berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga $h = g \circ f$, maka $h^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$. Dalam hal ini $(g \circ f)^{-1} = h^{-1} $ disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifat- sifat berikut ini.

$ (g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \, $ dan $ (f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) $
Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x + 5 \, $ dan $ g(x) = x -1 $. Tentukanlah $ (g \circ f)^{-1}(x) $
Penyelesaian :
*). Menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(3x + 5) \\ & = (3x + 5) - 1 \\ & = 3x + 4 \end{align} $
*). Menentukan inversnya
misalkan $ y = (g \circ f)(x) $
$ \begin{align} (g \circ f)(x) & = 3x + 4 \\ y & = 3x + 4 \\ 3x & = y - 4 \\ x & = \frac{y-4}{3} \\ f^{-1}(y) & = \frac{y-4}{3} \end{align} $
Jadi, inversnya $ (g \circ f)^{-1}(x) = \frac{x-4}{3} $

2). Diketahui fungsi $ f^{-1}(x) = 2 - x \, $ dan $ g^{-1}(x) = \frac{x}{x-1} . \, $ Tentukan $ (f \circ g)^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan sifat invers fungsi komposisi
$ \begin{align} (f \circ g)^{-1}(x) & = (g^{-1} \circ f^{-1})(x) \\ & = g^{-1}(f^{-1}(x)) \\ & = g^{-1}(2-x) \\ & = \frac{(2-x)}{(2-x)-1} \\ & = \frac{2-x}{1-x} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ (f \circ g)^{-1}(x) = \frac{2-x}{1-x} $

Menggambar Grafik Fungsi Invers dan Grafik Fungsi Asalnya
       Grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi awal ($f(x)$) terhadap garis $ y = x $ , begitu juga sebaliknya, untuk mencari grafik fungsi asalnya ($f(x)$) diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi invers ($f^{-1}(x)$) terhadap garis $ y = x $
Contoh
Diketahui fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ gambarlah grafik $ f(x) \, $ dan $ f^{-1}(x) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan invers fungsi
$ \begin{align} f(x) & = 2x-1 \\ y & = 2x-1 \\ 2x & = y + 1 \\ x & = \frac{y+1}{2} \end{align} $
Sehingga, inversnya $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} $
*). Dari grafik di atas, garis warna biru adalah grafik fungsi $ f(x) = 2x-1 , \, $ garis warna hijau adalah grafik fungsi $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ dan garis warna merah adalah grafik garis $ y = x $
*). Dari grafik di atas, terlihat bahwa grafik $ f^{-1}(x) = \frac{x+1}{2} \, $ (warna hijau) adalah pencerminan dari grafik $ f(x) = 2x-1 \, $ (warna biru) terhadap garis $ y = x \, $ (warna merah).

       Demikian penjelasan tentang fungsi invers, semoga bisa bermanfaat. Materi Relasi, Fungsi, Fungsi komposisi, dan Fungsi invers semuanya saling terkait, jadi sebaiknya kita pelajari semuanya.

Fungsi Komposisi

         Blog Koma - Fungsi Komposisi merupakan penggabungan dua fungsi atau lebih. Sebelum mempelajari materi fungsi komposisi ini, kita harus menguasai dulu tentang fungsi, silahkan baca pada artikel "Relasi" dan "Fungsi". Yang kita pelajari kali ini yaitu mengomposisikan dua fungsi atau lebih dan menentukan komponen fungsi yang belum diketahui serta sifat-sifat fungsi komposisi.
Deskripsi dan Definisi Fungsi Komposisi
         Jika diketahui $ A = \{a_1, a_2, a_3\}, B = \{b_1, b_2, b_3, b_4\}$, dan $C = \{c1, c2, c3\}$, maka fungsi $f : A \rightarrow B $ dan $ g : B \rightarrow C $ didefinisikan seperti diagram berikut.
         Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari A ke C sebagai berikut.
         Jika fungsi yang langsung memetakan A ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut.
         Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan $g \circ f $ dibaca "fungsi $g$ bundaran $f$". $g \circ f$ adalah fungsi komposisi dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.
Definisi Fungsi Komposisi
       Diketahui, $f$ dan $g$ dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi $f$ dan $g$ ditulis $g \circ f$, didefinisikan sebagai $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ dengan $f$ dikerjakan lebih dahulu daripada $g$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) $ :
       Sementara untuk fungsi komposisi $g$ dan $f$ ditulis $f \circ g$, didefinisikan sebagai $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ dengan $g$ dikerjakan lebih dahulu daripada $f$.
Ilustrasi diagram panah untuk fungsi komposisi $ (f \circ g )(x) $ :
Syarat Fungsi Komposisi
       Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $(g \circ f)$ adalah irisan antara daerah hasil fungsi $f$ dan daerah asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong, atau $R_f \cap D_g \neq \emptyset $.
Daerah Asal Fungsi Komposisi
*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{g \circ f}$) adalah $ D_{g \circ f} = \{ x | x \in D_f , \, f(x) \in D_g \} $

*). Misalkan terdefinisi fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) \, $ , daerah asalnya ($D_{f \circ g}$) adalah $ D_{f \circ g} = \{ x | x \in D_g , \, g(x) \in D_f \} $
Keterangan :
$ D_f = \, $ daerah asal fungsi $ f $
$ D_g = \, $ daerah asal fungsi $ g $

Untuk contoh menentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi, silahkan baca artikelnya pada "Daerah asal dan daerah hasil komposisi fungsi".

Contoh:
1). Fungsi $ f $ dan $ g $ dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan berikut.
$ f = \{ (a,b),(c,d),(e,f),(g,h),(i,j)\} $
$ g = \{ (b,-1),(f,a),(h,5), (1,i), (j,c) \} $
Nyatakan fungsi-fungsi komposisi berikut dalam pasangan berurutan.!
a). $ (g \circ f)(x) \, \, \, $ b). $ (f \circ g(x) $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f $ : $ f(a) = b, \, f(c) = d, \, f(e)=f , \, f(g)=h, \, f(i)=j $
Domain fungsi $ f $ : $ D_f = \{ a,c,e,g,i \} $
*). Fungsi $ g $ : $ g(b)=-1, \, g(f)=a, \, g(h)=5, \, g(1)=i, \, g(j)=c $
Domain fungsi $ g $ : $ D_g = \{ b,f,h,1,j \} $
*). Menentukan fungsi komposisinya
a). $ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $
Kerjakan fungsi $ f $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ f $ :
$ x = a \rightarrow (g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = -1 , \, $ artinya $ (g \circ f)(a) = -1 $
$ x = c \rightarrow (g \circ f)(c) = g(f(c)) = g(d) = - , \, $ artinya $ (g \circ f)(c) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = e \rightarrow (g \circ f)(e) = g(f(e)) = g(f) = a , \, $ artinya $ (g \circ f)(e) = a $
$ x = g \rightarrow (g \circ f)(g) = g(f(g)) = g(h) = 5 , \, $ artinya $ (g \circ f)(g) = 5 $
$ x = i \rightarrow (g \circ f)(i) = g(f(i)) = g(j) = c , \, $ artinya $ (g \circ f)(i) = c $
Sehingga diperoleh $ g \circ f = \{(a,-1),(e,a),(g,5),(i,c) \} $
b). $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
Kerjakan fungsi $ g $ dahulu dengan memasukkan domain fungsi $ g $ :
$ x = b \rightarrow (f \circ g)(a) = f(g(b)) = f(-1) = - , \, $ artinya $ (f \circ g)(b) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = f \rightarrow (f \circ g)(f) = f(g(f)) = f(a) = b , \, $ artinya $ (f \circ g)(f) = b $
$ x = h \rightarrow (f \circ g)(h) = f(g(h)) = f(5) = - , \, $ artinya $ (f \circ g)(h) = - $
(tidak ada pasangannya)
$ x = 1 \rightarrow (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(i) = j , \, $ artinya $ (f \circ g)(1) = j $
$ x = j \rightarrow (f \circ g)(j) = f(g(j)) = f(c) = d , \, $ artinya $ (f \circ g)(j) = d $
diperoleh $ f \circ g = \{(f,b),(1,j),(j,d) \} $

2). Diketahui fungsi $f: R\rightarrow R $ dengan $ f(x) = x^2 + 2 $ dan fungsi $g: R \rightarrow R $ dengan $ g(x) = \sqrt{1-x} $.
a). Apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi?
b). Tentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ !
Penyelesaian :
*). Menentukan Domain dan Range fungsi $ f $ dan fungsi $ g $ :
Fungsi $ f(x) = x^2 + 2 \rightarrow D_f = \{x | x \in R \} \, $ dan $ R_f = \{y|y \geq 2 \} $
Fungsi $ g(x) = \sqrt{1-x} \rightarrow D_g = \{x | x \leq 1 \} \, $ dan $ R_g = \{y|y \geq 0 \} $
a). Untuk menentukan apakah fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, diketahui berdasarkan:
*). Jika $R_f \cap D_g \neq \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ terdefinisi.
$ R_f \cap D_g = \{y|y \geq 2 \} \cap \{x | x \leq 1 \} = \emptyset $
Karena $R_f \cap D_g = \emptyset $ maka $(g \circ f)(x)$ tidak terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(g \circ f)(x)$ tidak bisa dicari hasilnya.
*). Jika $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi.
$ R_g \cap D_f = \{y|y \geq 0 \} \cap \{x | x \in R \} = \{x | x \geq 0, \, x \in R \} \neq \emptyset $
Karena $R_g \cap D_f \neq \emptyset $ maka $(f \circ g)(x)$ terdefinisi, artinya fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ bisa dicari hasilnya.
b). Menentukan fungsi komposisi $(g \circ f )(x)$ dan $(f \circ g)(x)$
*). Menentukan $ (g \circ f )(x)$
$\begin{align} (g \circ f )(x) & = g(f(x)) \\ & = g(x^2 + 2) \\ & = \sqrt{1-(x^2 + 2)} \\ & = \sqrt{-(x^2+1)} \end{align} $
Karena hasilnya adalah bilangan real (R), maka bentuk $ (g \circ f )(x) = \sqrt{-(x^2+1)} \, $ tidak terdefinisi (dalam akar selalu negatif, padahal pada bilangan real tidak ada akar negatif). Ini artinya fungsi komposisi $ (g \circ f )(x) \, $ tidak ada hasilnya, dan ini sesuai dengan pernyataan a) di atas yaitu bentuk $ (g \circ f )(x) \, $ tidak terdefinisi.
*). Menentukan $ (f \circ g )(x)$
$\begin{align} (f \circ g )(x) & = f(g(x)) \\ & = f(\sqrt{1-x} ) \\ & = (\sqrt{1-x} )^2 + 2 \\ & = (1-x) + 2 \\ & = 3-x \end{align} $
Sehingga diperoleh, $ (f \circ g )(x) = 3-x $


3). Diketahui fungsi $ f(x) = 5x^2 - 3 \, $ dan $ g(x) = 2x + 1 $, tentukan nilai $ (f \circ g)(-1) $ ?
Penyelesaian :
Ada dua cara menyelesaikan soal yaitu dengan mencari fungsi komposisinya atau dengan langsung menghitung nilai komposisinya.
*). Cara I : menentukan fungsi komposisinya
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(2x+1) \\ & = 5(2x+1)^2 - 3 \\ & = 5(4x^2 + 4x + 1) - 3 \\ & = 20x^2 + 20x + 5 - 3 \\ (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ (f \circ g)(-1) $
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 20x^2 + 20x + 2 \\ (f \circ g)(-1) & = 20(-1)^2 + 20(-1) + 2 \\ & = 20.1 -20 + 2 \\ & = 2 \end{align} $
*). Cara II : Langsung substitusi nilai $ x = -1 $
$\begin{align} (f \circ g)(-1) & = f(g(-1)) \\ & = f(2.(-1) + 1) \\ & = f(-1) \\ & = 5(-1)^2 - 3 \\ & = 5 - 3 \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ (f \circ g)(-1) = 2 $ .

4). Diketahui fungsi $ f(x) = 3x -1 $ dan $ g(x) = 2 - x $. Jika $ (f \circ g)(a) = -1 $ , maka nilai $ a^2 + 2 = .... $
Penyelesaian :
Disini kita tidak perlu mencari bentuk komposisinya dulu, tapi langsung kita substitusi nilai $ x = a $ untuk menentukan nilai $ a $ .
$\begin{align} (f \circ g)(a) & = -1 \\ f(g(a)) & = -1 \\ f(2-a) & = -1 \\ 3(2-a) - 1 & = -1 \\ 6 - 3a - 1 & = -1 \\ 5 - 3a & = -1 \\ 3a & = 6 \\ a & = 2 \end{align} $
sehingga nilai $ a^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 $

Sifat-sifat operasi fungsi komposisi
       Bila $f, g$, dan $h$ suatu fungsi, maka:
a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$;
b. jika $I$ fungsi identitas ($I(x) = x$) berlaku :
$(I \circ f)(x) = (f \circ I)(x) = f(x)$;
c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : $(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$.

contoh :
1). Diketahui $f(x) = 2x - 5, g(x) = x^2 +x - 3$.
a. Tentukan $(g \circ f)(x)$.
b. Tentukan $(f \circ g)(x)$. c. Apakah berlaku sifat komutatif: $g \circ f = f \circ g$?
Penyelesaian :
$\begin{align} \text{a. } \, (g\circ f)(x) & = g(f(x)) \\ & = g(2x - 5) \\ & = (2x - 5)^2 + (2x - 5) - 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x - 5) - 3 \\ & = (4x^2 -20x + 25 ) + (2x - 5) - 3 \\ & = 4x^2 - 18x + 17 \\ \\ \text{b. } \, (f \circ g)(x) & = f(g(x)) \\ & = f(x^2 +x - 3) \\ & = 2(x^2 +x - 3) - 5 \\ & = 2x^2 + 2x - 6 - 5 \\ & = 2x^2 + 2x - 11 \end{align} $
c. Tidak berlaku sifat komutatif karena $ (g\circ f)(x) \neq (f \circ g)(x) $ .

2). Diketahui $f(x) = 3x - 7 $ dan $I(x) = x$.
Buktikan $I \circ f = f \circ I = f. $
Pembuktian :
$ \begin{align} (I \circ f)(c) & = I(f(x)) \\ & = I(3x - 7) \\ & = 3x - 7 \\ \\ (f \circ I)(x) & = f(I(x)) \\ & = f(x) \\ & = 3x - 7 \end{align} $
Tampak bahwa $I \circ f = f \circ I = f $ (terbukti).

3). Diketahui $f(x) = x^2, \, g(x) = x + 2$, dan $h(x) = 3x$.
a. Tentukan $(f \circ (g \circ h))(x)$.
b. Tentukan $((f \circ g) \circ h)(x)$.
c. Apakah $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , mengapa?
Penyelesaian :
a. $ (f \circ (g \circ h))(x) = ... $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, p(x) & = (g \circ h)(x) \\ & = g(h(x)) \\ & = g(3x) \\ & = 3x + 2 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} (f \circ (g \circ h))(x) & = (f \circ (g \circ h)(x)) \\ & = (f \circ p)(x) \\ & = f(p(x)) \\ & = f(3x + 2) \\ & = (3x+2)^2 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
b. $ ((f \circ g) \circ h)(x) = ... $
$ \begin{align} \text{Misalkan } \, q(x) & = (f \circ g)(x) \\ & = f(g(x)) \\ & = f(x+2) \\ & = (x+2)^2 \\ & = x^2 + 4x + 4 \end{align} $
Soalnya menjadi :
$ \begin{align} ((f \circ g) \circ h)(x) & = (q \circ h)(x) \\ & = q(h(x)) \\ & = q(3x) \\ & = (3x)^2 + 4(3x) + 4 \\ & = 9x^2 + 12x + 4 \end{align} $
c. Ya, benar berlaku $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , karena bersifat asosiatif.

Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi
Menentukan fungsi $ f $ atau fungsi $ g $ dari fungsi komposisinya
       Jika diketahui fungsi komposisinya $ (g \circ f)(x) \, $ atau $ (f \circ g)(x) \, $ dan diketaui salah satu fungsinya bisa fungsi $ f $ atau fungsi $ g $, maka kita diminta menentukan fungsi yang belum diketahui.

Cara Umumnya :
*). yang ditanyakan bagian kanan
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (f \circ g)(x) $ , kita diminta menentukan fungsi $ g $. Caranya, langsung substitusi bentuk $ g(x) $ ke fungsi $ f $, maksudnya semua variabel $ x $ pada fungsi $ f $ digantikan dengan $ g(x) $.
*). yang ditanyakan bagian kiri
       Misal diketahui fungsi $ f $ dan fungsi komposisi $ (g \circ f)(x) $ , kita diminta menentukan fungsi $ g $. Caranya, substitusi bentuk fungsi $ f(x) $ ke komposisinya, lalu misalkan agar menjadi satu variabel.

1). Diketahui fungsi $ f(x) = 2x - 3 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = 4x^2 - 6x + 5 $. Tentukan fungsi $ g(x) $!
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = 4x^2 - 6x + 5 \\ f(g(x)) & = 4x^2 - 6x + 5 \\ 2[g(x)] - 3 & = 4x^2 - 6x + 5 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 - 6x + 5 + 3 \\ 2[g(x)] & = 4x^2 - 6x + 8 \\ g(x) & = \frac{4x^2 - 6x + 8}{2} \\ g(x) & = 2x^2 - 3x + 4 \end{align} $
Jadi, diperoleh fungsi $ g(x) = 2x^2 - 3x + 4 $

2). Diketahui fungsi $ g(x) = 3x + 2 \, $ dan $ (f \circ g)(x) = x^2 +x - 3 $. Tentukan fungsi $ f(x) $ nya !
Penyelesaian :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) & = x^2 +x - 3 \\ f(g(x)) & = x^2 +x - 3 \\ f(3x+2) & = x^2 +x - 3 \\ \text{misal } p & = 3x+2 \rightarrow x = \frac{p-2}{3} \\ \text{substitusikan } p & = 3x+2 \\ f(3x+2) & = x^2 +x - 3 \\ f(p) & = \left( \frac{p-2}{3} \right)^2 + \left( \frac{p-2}{3} \right) - 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{p-2}{3} - 3 \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3(p-2)}{9} - \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{p^2-4p + 4}{9} + \frac{3p-6}{9} - \frac{27}{9} \\ f(p) & = \frac{(p^2-4p + 4) + (3p-6) + 27 }{9} \\ f(p) & = \frac{p^2 - p + 25 }{9} \end{align} $
Sehingga diperoleh : $ f(p) = \frac{p^2 - p + 25 }{9} \rightarrow f(x) = \frac{x^2 - x + 25 }{9} $
Jadi, diperoleh fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - x + 25 }{9} $

Fungsi

         Blog Koma - Fungsi merupakan salah satu materi penting yang harus dipelajari dalam matematika. Ada banyak sekali macam-macam fungsi, diantaranya fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, dan lainnya. Untuk artikel kali ini akan dibahas tentang fungsi secara umum. Sebelum mempelajari fungsi, kita harus menguasai materi relasi dulu, silahkan baca artikel "Relasi".
Pengertian Fungsi
       Misalkan A dan B himpunan. Fungsi $f$ dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A (Domain) dengan tepat satu anggota himpunan B (Kodomain).

   Secara simbolik ditulis menjadi $f : A \rightarrow B$, dibaca: fungsi $f$ memetakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

       Jika $f$ memetakan suatu elemen $x \in A$ ke suatu $y \in B$ dikatakan bahwa $y$ adalah peta $x$ oleh fungsi $f$ dan peta ini dinyatakan dengan notasi $f(x)$ dan $x$ disebut prapeta $y$, dan $ y \, $ juga disebut sebagai daerah hasil (Range), dengan demikian dapat ditulis menjadi:
$f : x \rightarrow y$, dibaca: fungsi $f$ memetakan $x$ ke $y$, sedemikian hingga $y = f(x)$.

       Suatu fungsi dapat disajikan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan, diagram kartesius (grafik), dan simbol (rumus fungsi).

Contoh :
1). Perhatikan relasi-relasi berikut. Tentukan manankah yang merupakan fungsi?
Penyelesaian :
Syarat sebuah relasi menjadi fungsi adalah sebagai berikut.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan dengan anggota himpunan Q.
*) Semua anggota himpunan P memiliki pasangan tunggal dengan anggota himpunan Q.
Sehingga relasi yang merupakan fungsi adalah relasi 1, relasi 2, relasi 4 dan relasi 6.

2). Diketahui fungsi $ f : R \rightarrow R \, $ dan rumus fungsi $ f(x) = x^2 - 2 $
a). Hitunglah nilai $ f(1), \, f(0), \, f(-2), \, f(-3), \, f(3) $
b). Jika $ f(a) = 2, \, $ maka tentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi.
c). Jika daerah asal fungsi tersebut adalah $ D_f = \{ x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ tentukan daerah hasilnya.
Penyelesaian :
a). Langsung substitusi ke fungsinya, diperoleh
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 2 \\ f(1) & = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \\ f(0) & = 0^2 - 2 = 0 - 2 = -2 \\ f(-2) & = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \\ f(-3) & = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \\ f(3) & = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \end{align} $
b). Menentukan nilai $ a \, $ yang memenuhi $ f(a) = 2 $
$\begin{align} f(a) & = a^2 - 2 \\ f(a) & = 2 \\ a^2 - 2 & = 2 \\ a^2 & = 2 + 2 \\ a^2 & = 4 \rightarrow a = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ a = 2 \, $ atau $ a = -2 $
c). Daerah hasil dari fungsi $ y = f(x) = x^2 -2 \, $ dengan daerah asal
$ D_f = \{x | -3 \leq x \leq 3 \} , \, x \in R \}, \, $ adalah $ R_f = \{ y | -2 \leq y \leq 7 \} , \, y \in R \}, \, $ hasil ini diperoleh dari bagian a) sebelumnya.

3). Diketahui fungsi $ f : x \rightarrow f(x) $ dengan rumus fungsi $ f(x) = px - q$. Jika $f(1) = -3 $ dan $ f(4) = 3$, tentukanlah nilai $p$ dan $q$ kemudian tuliskanlah rumus fungsinya.
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan dalam bentuk $ p \, $ dan $ q \, $ dari $ f(x) = px - q $
$ f(1) = p.1 - q = p-q \rightarrow f(1) = -3 \rightarrow p-q = -3 \, $ ...pers(i)
$ f(4) = p.4 - q = 4p-q \rightarrow f(4) = 3 \rightarrow 4p-q = 3 \, $ ...pers(ii)
*). ELiminasi pers(i) dan (ii)
$ \begin{array}{c} 4p-q = 3 & \\ p-q = -3 & - \\ \hline 3p = 6 & \\ p = 2 & \end{array} $
Pers(i) : $ p - q = -3 \rightarrow 2 - q = -3 \rightarrow q = 5 $
Sehingga diperoleh nilai $ p = 2 \, $ dan $ q = 5 $
Dari nilai $ p \, $ dan $ q \, $ dan $ f(x) = px - q \, $
fungsinya menjadi : $ f(x) = px - q = 2x - 5 $
Jadi rumus fungsinya adalah $ f(x) = 2x - 5 $

4). Diketahui fungsi $f$ dengan rumus $f(x) = \sqrt{2x + 6} $ . Tentukanlah domain fungsi $f$ agar memiliki pasangan anggota himpunan bilangan real.
Penyelesaian :
Domain fungsi $f$ memiliki pasangan dengan anggota himpunan bilangan real apabila dalam akar nilainya positif.
$ \begin{align} 2x + 6 & \geq 0 \\ 2x & \geq -6 \\ x & \geq \frac{-6}{2} \\ x & \geq -3 \end{align} $
Jadi, domain fungsi $ f \, $ adalah $ D_f =\{x | x \geq -3 , \, x \in R \} $

5). Diketahui $f$ suatu fungsi $f : x \rightarrow f(x)$. Jika 1 berpasangan dengan 4 dan $f(x+1) = 2f(x)$. Tentukan pasangan $x = 4$?
Penyelesaian :
*). Diketahui 1 berpasangan dengan 4, artinya $ f(1) = 4 $
*). Menentukan nilai $ f(4) \, $ dari $ f(1) = 4 \, $ dan $f(x+1) = 2f(x)$
Substitusi $ x = 1 \, $ ke persamaan $ f(x+1) = 2f(x) \, $ dan gunakan $ f(1) = 4 $
$\begin{align} x=1 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(1+1) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2f(1) \\ f(2) & = 2 \times 4 = 8 \\ x=2 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(2+1) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2f(2) \\ f(3) & = 2 \times 8 = 16 \\ x=3 \rightarrow f(x+1) & = 2f(x) \\ f(3+1) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2f(3) \\ f(4) & = 2 \times 16 = 32 \end{align} $
Karena nilai $ f(4) = 32 \, $, maka pasangan $ x = 4 \, $ adalah 32.

6). Diketahui $f$ sebuah fungsi yang memetakan $x$ ke $y$ dengan rumus $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, x \neq 3 . \, $ Tentukan rumus fungsi jika $g$ memetakan $y$ ke $x$.
Penyelesaian :
*). Fungsi $g $ memetakan $y$ ke $x$ dari fungsi $y = \frac{x+2}{2x-6}, \, $ artinya kita harus mengubah dalam bentuk $ x = .... $
$ \begin{align} y & = \frac{x+2}{2x-6} \\ y(2x-6) & = x+2 \\ 2xy - 6y & = x+ 2 \\ 2xy - x & = 6y + 2 \\ x(2y -1) & = 6y + 2 \\ x & = \frac{6y+2}{2y-1} \end{align} $
Diperoleh fungsi $ g \, $ memetakan $ y $ ke $ x $ : $ g(y) = \frac{6y+2}{2y-1}, \, y \neq \frac{1}{2} $
Catatan : Jika diketahui fungsi $f$ memetakan $ x \, $ ke $ y \, $, dan kita mencari bentuk fungsi $g$ memetakan $ y \, $ ke $ x \, $ (kebalikan dari fungsi awal), fungsi $ g $ ini disebut fungsi invers dari fungsi $ f $ yang disimbolkan $ f^{-1} (x)$ .

Sifat - sifat Fungsi
Fungsi Injektif
       Jika $f$ fungsi dari himpunan A ke himpunan B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat suatu unsur tertentu yang khas di dalam B. Jika dua unsur yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka $f$ disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu. Dapat ditulis untuk setiap domain $x_1$ dan $x_2 \, (x_1 \neq x_2) \, $ maka $ f(x_1) \neq f(x_2) $
Fungsi Surjektif
       Secara umum, jika pada suatu fungsi $f$ dari A ke B daerah hasilnya $R_f = B \, $ maka fungsi itu disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi pada. Akan tetapi, jika $R_f \subset B$ maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi surjektif $f$ tetapi disebut fungsi into. Dengan kata lain, fungsi $f $ dari himpunan A ke himpunan B dikatakan surjektif jika daerah hasil dari $ f $ sama dengan daerah kawan (kodomain) artinya semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain).
Fungsi Bijektif atau Korespondensi satu-satu
       Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

       Definisi mengakibatkan bahwa jika $ f $ fungsi bijektif dengan himpunan A dan himpunan B berhingga, maka himpunan A dan B mempunyai banyak anggota yang sama.

Contoh
1). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi injektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi injektif, karena setiap domain memiliki pasangan yang berbeda pada kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi injektif, karena ada domain memiliki pasangan yang sama pada kodomain yaitu 2 dan 3 sama-sama dipasangkan ke r.

2). Dari fungsi dalam bentuk diagram panah berikut, manakah yang termasuk fungsi surjektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $f $ (gambar a) merupakan fungsi surjektif, karena daerah hasilnya sama dengan kodomain.
*). Fungsi $g $ (gambar b) bukan fungsi surjektif tetapi merupakan fungsi into, karena daerah hasilnya tidak sama dengan kodomain.

3). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ , kita cek apakah termasuk fungsi injektif, surjektif, atau keduanya.
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi injektif karena setiap domain yang berbeda memiliki pasangan yang berbeda. Misal, $ x_1 = -1 \rightarrow f(-1) = 4(-1) = -4 \, $ dan $ x_2 = 1 \rightarrow f(1) = 4.1 = 4 \, $ ini artinya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) $
*). Fungsi $ f(x) = 4x \, $ merupakan fungsi surjektif karena daerah hasilnya sama dengan kodomainnya yaitu bilangan real.
*). Karena fungsi $ f(x) = 4x \, $ memenuhi fungsi injektif dan surjektif, maka fungsi $f \, $ merupakan fungsi bijektif.

4). Apakah fungsi $ g(x) = x^2 \, $ merupakan fungsi bijektif?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ g(x) = x^2 \, $ bukan merupakan fungsi injektif karena ada anggota domain yang berbenda memberikan hasil yang sama pada kodomain. Misalnya : $ x_1 = -2 \rightarrow g(-2)= (-2)^2 = 4 \, $ dan $ x_2 = 2 \rightarrow g(2) = 2^2 = 4 , \, $ aritnya $ x_1 \neq x_2 \rightarrow g(x_1) = g(x_2)$ .
Karena fungsi $ g \, $ bukan fungsi injektif, secara otomatis fungsi $ g \, $ juga bukan fungsi bijektif.

5). Tunjukkan bahwa $f $ adalah bukan fungsi surjektif dan fungsi $ g $ adalah fungsi surjektif!
a). $ f : R \rightarrow R \, $ dengan $ f(x) = x^2 + 1 $
b). $ g : R \rightarrow R \, $ dengan $ g(x) = x^3 $
Penyelesaian :
a). Fungsi $ f $ bukan fungsi surjektif karena terdapat $ -1 \in R \, $ tetapi tidak ada $ x \in R \, $ sehingga $ f(x) = -1 $ , artinya tidak semua daerah kawan (kodomain) mempunyai pasangan di daerah asal (domain), misalnya $ -1 $ di daerah kawan dan tidak ada pasangannya di daerah asalnya (tidak ada nilai $ x $ yang menyebabkan fungsi $ f $ menghasilkan -1).
b). Jika diambil $ y \in R $ , maka terdapat $ x = y^\frac{1}{3} \in R \, $ sehingga $ g(x) = \left( y^\frac{1}{3} \right)^3 = y . $ Jadi, $ g $ adalah fungsi surjektif.

6). Berikut contoh fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu !
a). Jika kita ingin melihat suatu pertunjukan, setiap pengunjung harus membeli karcis, maka terdapat korespondensi satu-satu ntara himpunan penonton dengan himpunan karcis mereka.
b). Setiap negara mempunyai satu ibu kota negara. Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan negara dengan himpunan ibu kota negara.

Operasi Aljabar pada Fungsi
       Jika $f$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_f$ dan $g$ suatu fungsi dengan daerah asal $D_g$ , maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai berikut.
a). Jumlah $f$ dan $g$ ditulis $f + g$ didefinisikan sebagai $( f + g )(x) = f (x) + g (x)$ dengan daerah asal $ D_{f + g} = D_f \cap D_g $ .
b). Selisih $f$ dan $g$ ditulis $f - g$ didefinisikan sebagai $( f -g)(x)= f (x)-g(x) $ dengan daerah asal $ D_{f - g} = D_f \cap D_g $.
c). Perkalian $f$ dan $g$ ditulis $f \times g$ didefinisikan sebagai $( f \times g)(x)= f (x) \times g (x) $ dengan daerah asal $ D_{f \times g} = D_f \cap D_g $.
d). Pembagian $f$ dan $g$ ditulis $ \frac{f}{g} $ didefinisikan sebagai $ \left( \frac{f}{g} \right) (x) = \frac{f(x)}{g(x)} \, $ dengan daerah asal $ D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{ x | g(x) = 0 \} $.

Contoh
1). Diketahui fungsi $ f(x) = x + 3 \, $ dan $ \, g(x) = x^2 - 9 \, $ . Tentukan fungsi-fungsi berikut dan tentukan pula daerah asalnya.
a). $ (f+g)(x) \, \, $ b). $ (f-g)(x) \, \, $ c). $(f \times g)(x) \, \, $ d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
Penyelesaian :
*). Daerah asal fungsi $ f(x) = x+3 \, $ adalah $ D_f = \{ x | x \in R \} \, $ dan daerah asal fungsi $ g(x) = x^2 - 9 \, $ adalah $ D_g = \{ x | x \in R \} $
a. Menentukan $ (f+g)(x) $
$\begin{align} (f+g)(x) & = f(x) + g(x) \\ & = (x+3) + (x^2 - 9) \\ & = x^2 + x - 6 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f + g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
b. Menentukan $ (f-g)(x) $
$\begin{align} (f-g)(x) & = f(x) - g(x) \\ & = (x+3) - (x^2 - 9) \\ & = -x^2 + x + 12 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f-g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f - g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
c. Menentukan $ (f\times g)(x) $
$\begin{align} (f\times g)(x) & = f(x) \times g(x) \\ & = (x+3) \times (x^2 - 9) \\ & = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ (f+g)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{f \times g} & = D_f \cap D_g \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \\ & = \{ x | x \in R \} \end{align} $
d. Menentukan $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) $
$\begin{align} \left( \frac{f}{g} \right)(x) & = \frac{f(x)}{g(x)} \\ & = \frac{x+3}{x^2 - 9} \\ & = \frac{x+3}{(x-3)(x+3)} \\ & = \frac{1}{x-3} , \, x \neq -3, \, x \neq 3 \end{align} $
*). Daerah asal fungsi $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) \, $ :
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x^2 - 9 \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, (x-3)(x+3) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -3, x \neq 3 \\ & = \{ x | x \in R, \, x \neq -3, x \neq 3 \} \end{align} $

2). Misalkan $ f(x) = x^2 \, $ dan $ g(x) = \sqrt{x+1}. \, $ Tentukan fungsi-fungsi berikut dan daerah asalnya!
a). $ 4f \, \, \, $ b). $ f + g \, \, \, $ c). $ f g \, \, \, $ d). $ \frac{f}{g} $
Penyelesaian :
*) Menentukan daerah asal fungsi masing-masing.
fungsi $ f(x) = x^2 \, $ daerah asalnya $ D_f = \{ x | x \in R \} $
fungsi $ g(x) = \sqrt{x+1} \, $ daerah asalnya : nilai dalam akar harus positif sehingga $ x+1 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 \, $ sehingga daerah asalnya $ D_g = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
*) Menentukan fungsi yang diminta
a). $ (4f)(x) = 4f(x) = 4 (x^2) = 4x^2 $
Daerah asalnya : $ D_{4f} = \{ x | x \in R \} $
b). $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + \sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
c). $ (fg)(x) = f(x) \times g(x) = (x^2).(\sqrt{x+1}) = x^2\sqrt{x+1} $
Daerah asalnya :
$ D_{fg} = D_f \cap D_g = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} $
d). $ \left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{\sqrt{x+1}} $
Daerah asalnya : Nilai $ g(x) \neq 0 \, $ jika $ x \neq -1 $ , sehingga
$\begin{align} D_{\frac{f}{g}} & = D_f \cap D_g \, \, \text{ dan } \, \, g(x) \neq 0 \\ & = \{ x | x \in R \} \cap \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x \geq -1 , \, x \in R \} \, \, \text{ dan } \, \, x \neq -1 \\ & = \{ x | x > -1 , \, x \in R \} \end{align} $

Beberapa Fungsi Khusus
Fungsi konstan (fungsi tetap)
       Suatu fungsi $ f : A \rightarrow B $ ditentukan dengan rumus $f(x)$ disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku $f(x) = C$, di mana $C$ bilangan konstan.

Contoh :
Diketahui $f : R \rightarrow R$ dengan rumus $f(x) = 3$ dengan daerah domain: $\{x | -3 \leq x < 2\}$. Tentukan gambar grafiknya.
Penyelesaian :

Fungsi linear
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x) = ax + b$, di mana $a \neq 0, \, a $ dan $b$ bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

Contoh :
Jika diketahui $f(x) = 2x + 3$, gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi kuadrat
       Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a \neq 0 $ dan $a, b$, dan $c$ bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Untuk lebih lengkap mengenai materi fungsi kuadrat, silahkan langsung baca artikel "Fungsi Kuadrat"

Fungsi identitas
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku $f(x) = x$ atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh $f(x) = x$.

Contoh :
Fungsi pada $R$ didefinisikan sebagai $f(x) = x$ untuk setiap $x$. a. Carilah $f(-2), f(0), f(1), f(3)$. b. Gambarlah grafiknya.
Penyelesaian :
Fungsi tangga (bertingkat)
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi $f(x)$ berbentuk interval-interval yang sejajar.

contoh :
Diketahui fungsi : $ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} -1, & \text{ jika } x \leq -1 \\ 0, & \text{ jika } -1 < x \leq 2 \\ 2, & \text{ jika } 2 < x \leq 4 \\ 3, & \text{ jika } x > 4 \end{array} \right. $
Tentukanlah :
a). $ f(-2) $
b). $ f(0) $
c). $ f(3) $
d). $ f(5) $
e). Gambar grafiknya
Penyelesaian :
Fungsi modulus (Mutlak)
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
$f : x \rightarrow |x| \, $ atau $ f : x \rightarrow |ax+b| $

$ f(x) = |x| \, $ artinya : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x, & \text{ jika } x \geq 0 \\ -x, & \text{ jika } x < 0 \end{array} \right. $
Grafiknya :

Fungsi ganjil dan fungsi genap
       Suatu fungsi $f(x)$ disebut fungsi ganjil apabila berlaku $f(-x) = -f(x)$ dan disebut fungsi genap apabila berlaku $f(-x) = f(x)$. Jika $f(-x) \neq -f(x)$ maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.

Contoh :
Tentukan fungsi $f$ di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
b). $ f(x) = 3 \cos x - 5 $
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
Penyelesaian :
a). $ f(x) = 2x^3 + x $
$ \begin{align} f(-x) & = 2(-x)^3 + (-x) \\ & = -2x^3 - x \\ & = -(2x^3 + x) \\ f(-x) & = -f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = -f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi ganjil.
b). $ f(x) = f(x) = 3 \cos x - 5 $
$ \begin{align} f(-x) & = 3 \cos (-x) - 5 \\ & = 3 \cos x - 5 \\ f(-x) & = f(x) \end{align} $
Karena $ f(-x) = f(x) \, $, fungsi $f(x)$ merupakan fungsi genap.
c). $ f(x) = x^2 - 8x $
$ \begin{align} f(-x) & = (-x)^2 - 8(-x) \\ & = x^2 + 8x \end{align} $
Karena $ f(-x) \neq -f(x) \, $ dan $ f(-x) \neq f(x) $, fungsi $f(x)$ tidak genap atau tidak ganjil.