Tampilkan posting dengan label eksponen. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label eksponen. Tampilkan semua posting

Kamis, 24 November 2016

Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya


         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi menentukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya, kita lanjutkan dengan pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya. Pada artikel ini kita akan lebih menekankan pada dua jenis grafik yaitu grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma. Meskipun demikian, sebenarnya cara yang akan kita pelajari pada artikel ini bisa diterapkan pada semua jenis grafik fungsi yang diketahui. Namun, kita lebih fokus ke grafik fungsi eksponen dan grafik fungsi logaritma karena kedua jenis grafik fungsi ini yang biasanya keluar di soal-soal Ujian Nasional.

         Menentukan fungsi invers dari grafiknya artinya diketahui grafik suatu fungsi dan kita diminta mencari fungsi inversnya langsung. Untuk memudahkan dalam pengerjaannya, sebaiknya teman-teman memepelajari materi invers fungsi eksponen dan logaritma.

Cara Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya
       Ada dua cara dalam menentukan fungsi invers dari grafiknya, yaitu :
$\clubsuit $ Cara I : Menentukan fungsi awal
       Kita tentukan dulu fungsi awal (fungsi asli) dari grafiknya, setelah itu baru kita cari inversnya.

$\spadesuit $ Cara II : Teknik Substitusi
       Kita substitusikan langsung titik yang dilalui oleh grafiknya ke pilihan gandanya.
*). Untuk menentukan fungsi awal, kita substiusi $x$ dan hasilnya $y$, teknik ini sudah kita aplikasikan pada materi menetukan fungsi eksponen dan fungsi logaritma dari grafiknya.
*). Untuk menentukan fungsi invers, kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$, teknik ini akan kita terapkan pada artikel ini.
Catatan :
Soal-soal yang akan kita bahas adalah tipe-tipe soal yang ada pilihan gandanya, dimana tipe soal inilah yang sering diujikan di Ujian Nasional. Dan perlu teman-teman ketahui, cara II : teknik substitusi hanya bisa dilakukan untuk soal yang ada fungsinya yaitu pada pilihan gandanya.


Contoh Soal :
1). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Fungsi invers dari grafik tersebut adalah ....
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 $
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) $
C). $ g(x) = 2^x - 1 $
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 $
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) $

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan fungsi awal,
*). Contoh soal 1 ini sama dengan contoh soal nomor 4 pada artikel "menentukan fungsi eksponen dari grafiknya", dima fungsi awal (fungsi asli) dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan teman-teman baca penjelasannya pada artikel tersebut.
*). Kita tentukan invers dari fungsi awal : $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $. Silahkan baca cara menginverskan fungsi eksponen dan fungsi logaritma.
$ \begin{align} f(x) & = 3 \times 2^x + 1 \\ y & = 3 \times 2^x + 1 \\ 3 \times 2^x & = y - 1 \\ 2^x & = \frac{y - 1}{3} \\ x & = {}^2 \log \frac{y - 1}{3} \end{align} $
Sehingga inversnya adalah $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

Catatan : Cara I ini tingkat kesulitannya adalah untuk menentukan fungsi awal dan lalu mencari fungsi inversnya.

Cara II: Teknik Substitusi,
*). Grafik melalui titik $(0,4), \, (1,7), \, $ dan $ (2,13)$. Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(0,4) $, kita substitusikan $ x = 4 $ dan hasilnya harus 0 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{4-2} - 9 = 9 - 9 =0 $ (BENAR)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{4-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{3}{3} \right) = {}^2 \log 1 = 0 $ (BENAR)
C). $ g(x) = 2^x - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 =15 $ (SALAH)
D). $ g(x) = 5^{x - 4} + 1 = 5^{4 - 4} + 1 = 5^0 + 1 = 1 + 1 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^3 \log (x+5) = {}^3 \log (4+5) = {}^3 \log 9 = 2 $ (SALAH)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (A) dan (B), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(1,7) $ , kita substitusi $ x = 7 $ dan hasilnya harus 1 :
A). $ g(x) = 3^{x-2} - 9 = 3^{7-2} - 9 = 3^5 - 9 = 243 - 9 = 234 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^2 \log \left( \frac{x-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{7-1}{3} \right) = {}^2 \log \left( \frac{6}{3} \right) = {}^2 \log 2 = 1 $ (BENAR)
Yang tersisa BENAR adalah pilihan B, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion B yaitu $ g(x) = {}^2 \log \frac{x - 1}{3} $ .

2).Jika $g(x) $ adalah fungsi invers dari grafik fungsi berikut ini, maka tentukan fungsi $ g(x) $ tersebut!

A). $ g(x) = 3^x - 1 $
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 $
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 $
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 $

Penyelesaian :

*). Untuk contoh soal nomor 2 ini kita langsung menggunakan cara II yaitu teknik substitusi. Namun, bagi teman-teman yang ingin mencoba cara pertama silahkan saja, untuk perbandingan hasil akhirnya apakah sama atau tidak. Dan untuk fungsi awal dari grafiknya sama dengan contoh soal nomor 2 pada artikel "menentukan fungsi logaritma dari grafiknya", silahkan teman-teman lihat artikelnya untuk pembahasannya.
*). Grafik melalui titik-titik : $(-2,0), \, (-1,-1) $ dan $ (2,-2) $.
Karena yang ditanya fungsi inversnya, maka kita substitusikan $y$ dan hasilnya $x$.
Titik pertama $(-2,0) $, kita substitusikan $ x = 0 $ dan hasilnya harus $-2$ :
A). $ g(x) = 3^x - 1 = 3^0 - 1 = 1 - 1 = 0 $ (SALAH)
B). $ g(x) = {}^3 \log (2x+3) + 1 = {}^3 \log (2 \times 0 +3) + 1 = {}^3 \log 3 + 1 = 1 + 1 = 2$ (SALAH)
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-0} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( -4 \right) = -2 $ (BENAR)
D). $ g(x) = 5^{x+1} - 3 = 5^{0+1} - 3 = 5^{1} - 3 = 2 $ (SALAH)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (0+2) - 3 = {}^2 \log ( 2) - 3 = 1 - 3 = -2 $ (BENAR)
*). Yang BENAR tersisa pilihan (C) dan (D), kita lanjutkan substitusi titik lainnya ke kedua pilihan tersebut.
Titik kedua $(2,-2) $ , kita substitusi $ x = -2 $ dan hasilnya harus 2 :
C). $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^{-(-2)} - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 3^2 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 9 - 5 \right) = \frac{1}{2} \left( 4 \right) = 2 $ (BENAR)
E). $ g(x) = {}^2 \log (x+2) - 3 = {}^2 \log (-2+2) - 3 = {}^2 \log ( 0) - 3 $ (SALAH) karena numerus tidak boleh 0.
Yang tersisa BENAR adalah pilihan C, sehingga itulah jawabannya.
Jadi, invers dari grafik tersebut adalah opsion C yaitu $ g(x) = \frac{1}{2} \left( 3^{-x} - 5 \right) $ .

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Invers dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan fungsi dan grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Kamis, 10 November 2016

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya


         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "menggambar grafik fungsi eksponen", kita lanjutkan dengan membahas materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya. Pada materi menggambar grafik fungsi eksponen, akan diketahui fungsi eksponennya dan kita diminta untuk menggambar grafiknya. Hal sebaliknya terjadi untuk materi menentukan fungsi eksponen dari grafiknya, kita disajikan grafik fungsi eksponennya dan kita akan menentukan fungsi eksponennya. Menentukan fungsi eksponen dari grafiknya juga merupakan salah satu tipe soal yang dikeluarkan dalam Ujian Nasional.

         Sebenarnya untuk ujian Nasional, Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya tidaklah sulit karena kita tidak perlu menghafal banyak rumus, namun cukup dengan TEKNIK SUBSTITUSI titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi eksponen pada opsionnya (pilihan gandanya) langsung. Nanti akan kita coba beberapa tipe soal yang ada pilihan gandanya. Modal utama yang kita butuhkan di sini hanya kecakapan dalam berhitung saja.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya, teman-teman harus menguasai sifat-sifat eksponen dalam keperluan untuk menghitung, bentuk fungsi eksponen, dan terakhir adalah menyelesaikan sistem persamaan. Pada pembahasan di blog koma ini, secara garis besar kita bagi menjadi dua jenis grafik. Untuk lebih jelasnya kita ikuti pembahasannya berikut ini.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya I
       Secara umum ada dua fungsi eksponen yang akan kita gunakan sebagai permisalan yaitu $ f(x) = b \times a^x \, $ dan $ \, f(x) = b \times a^x + c $ . Bentuk $ f(x) = b \times a^x \, $ kita gunakan jika pada grafik fungsi eksponennya melalui dua titik saja. Dan bentuk $ \, f(x) = b \times a^x + c \, $ kita gunakan jika grafiknya melalui lebih dari dua titik. Catatan penting, grafik eksponen yang kita bahas dalam artikel ini adalah grafik eksponen yang monoton, baik monoton naik ataupun monoton turun.

Contoh soal :
1). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 1 ini melalui dua titik yaitu (0,1) dan (1,3), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,1) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 1 & = b \times a^0 \\ 1 & = b \times 1 \\ 1 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,3) \rightarrow f(x) & = a^x \\ 3 & = a^1 \\ 3 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = a^x \rightarrow f(x) = 3^x $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3^x $.

2). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 2 ini melalui dua titik yaitu (1,6) dan (2,12), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(1,6) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 6 & = b \times a^1 \\ 6 & = b a \\ a & = \frac{6}{b} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
$ \begin{align} (x,y)=(2,12) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 12 & = b \times a^2 \\ 12 & = b a^2 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
Substitusi $ a = \frac{6}{a} \, $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 12 & = b a^2 \\ 12 & = b \left( \frac{6}{b} \right)^2 \\ 12 & = b \left( \frac{36}{b^2} \right) \\ 12 & = \frac{36}{b} \\ b & = \frac{36}{12} = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ a = \frac{6}{b} = \frac{6}{3} = 2 $.
Artinya fungsinya : $ f(x) = b \times a^x = 3 \times 2^x $ .
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x $.


3). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.

Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 3 ini melalui dua titik yaitu (0,4) dan (1,2), sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x \\ 4 & = b \times a^0 \\ 4 & = b \times 1 \\ 4 & = b \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = b \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times a^x $.
$ \begin{align} (x,y)=(1,2) \rightarrow f(x) & = 4 \times a^x \\ 2 & = 4 \times a^1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 4 \times a^x \rightarrow f(x) = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x $.
*). Kita sederhanakan bentuk fungsi yang kita peroleh :
$ \begin{align} f(x) & = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times \left( 2^{-1}\right)^x \\ f(x) & = 2^2 \times 2^{-x} \\ f(x) & = 2^{2 - x} \end{align} $
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{2 - x} $.

4). Tentukan fungsi eksponen dari grafik berikut ini.


Penyelesaian :
*). Grafik pada gambar contoh soal 4 ini melalui dua titik yaitu (0,4), (1,7), dan (2,13) sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x + c $. Kita substitusikan kedua titik tersebut.
$ \begin{align} (x,y)=(0,4) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 4 & = b \times a^0 + c \\ 4 & = b \times 1 + c \\ 4 & = b + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ (x,y)=(1,7) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 7 & = b \times a^1 + c \\ 7 & = b \times a + c \\ 7 & = ba + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ (x,y)=(2,13) \rightarrow f(x) & = b \times a^x + c \\ 13 & = b \times a^2 + c \\ 13 & = ba^2 + c \, \, \, \, \, \, \text{...pers(iii)} \\ \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} ba + c = 7 & \\ b + c = 4 & - \\ \hline ba - b = 3 & \end{array} $
Kita peroleh : $ ba - b = 3 \, $ ....pers(iv).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} ba^2 + c = 13 & \\ ba + c = 7 & - \\ \hline ba^2 - ba = 6 & \\ a(ba - b) = 6 & \end{array} $
Kita peroleh : $ a(ba - b) = 6 \, $ ....pers(v).
*). Dari pers(iv) dan (v),
$ a(ba - b) = 6 \rightarrow a \times 3 = 6 \rightarrow a = 2 $.
Pers(iv) : $ ba - b = 3 \rightarrow 2b - b = 3 \rightarrow b = 3 $.
Pers(i) : $ b + c = 4 \rightarrow 3 + c = 4 \rightarrow c = 1 $.
Sehingga fungsinya : $ f(x) = b \times a^x + c = 3 \times 2^x + 1 $.
Jadi, fungsi eksponen dari grafik tersebut adalah $ f(x) = 3 \times 2^x + 1 $.

Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya II
       Bagaimana dengan cara menentukan fungsi eksponen yang soal-soalnya dalam bentuk pilihan ganda seperti soal-soal UN? Cara terbaik yang bisa selain menentukan fungsi eksponen dengan cara di atas yaitu dengan langsung mengecek setiap pilihan gandanya dengan cara mensubstitusikan titik yang dilalui oleh grafik eksponennya. Fungsi yang benar adalah fungsi yang melalui semua titik tersebut.

Contoh Soal :
5). Perhatikan grafik fungsi berikut ini.
Dari grafik tersebut, fungsi yang mewakili grafik tersebut adalah ....
A). $ f(x) = 3^x + 1 $
B). $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $
C). $ f(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^x + \frac{7}{2} $
D). $ f(x) = {}^2 \log x + 4 $
E). $ f(x) = {}^3 \log ( x+ 2) + 3 $.

Penyelesaian :
*). Kita substitusi titik yang dilewati oleh grafik ke fungsi-fungsi yang ada pada pilihan gandanya. Trik untuk memilih titik adalah, pilihlah titik yang selain titik pertama karena biasanya akan banyak fungsi di pilihan ganda yang memenuhi. Sehingga kita pilih titik kedua yaitu (2,5). Titik (2,5) artinya ketika kita substitusi $ x = 2 \, $ maka nilai fungsinya harus 5 atau $ f(2) = 5 $.
Pilihan (A) : $ f(2) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \, $ (SALAH).
Pilihan (B) : $ f(2) = 2^{2 - 1} + 3 = 2 + 3 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (C) : $ f(2) = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{2} = \frac{19}{4} \, $ (SALAH).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 2 + 4 = 1 + 4 = 5 \, $ (BENAR).
Pilihan (E) : $ f(2) = {}^3 \log ( 2+ 2) + 3 = {}^3 \log 4 + 3 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
*). Karena yang BENAR masih ada lebih dari satu fungsi, maka kita akan cek untuk titik lain yaitu titik (3,7) untuk pilihan B dan D. Titik (3,7) artinya ketika kita substitusi $ x = 3 \, $ maka nilai fungsinya harus 7 atau $ f(3) = 7 $.
Pilihan (B) : $ f(3) = 2^{3 - 1} + 3 = 4 + 3 = 7 \, $ (BENAR).
Pilihan (D) : $ f(2) = {}^2 \log 3 + 4 = 1, + 4 = 5,.. \, $ (SALAH).
Sehingga yang benar tersisa pilihan B, ini artinya fungsi grafik tersebut adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.
Jadi, fungsi grafiknya adalah $ f(x) = 2^{x - 1} + 3 $.

         Demikian pembahasan materi Menentukan Fungsi Eksponen dari Grafiknya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan eksponen lainnya dengan mengikuti artikel terkait berikut ini.

Jumat, 04 November 2016

Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma


         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi grafik fungsi eksponen dan logaritma. Grafik fungsi eksponen merupakan suatu grafik yang bentuknya monoton yaitu monoton naik atau monoton turun. Namun pada artikel Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma yang kita bahas hanya grafik fungsi eksponennya saja. Dan untuk grafik fungsi logaritma, sebenarnya sudah kami share sebelumnya dengan artikel yang berjudul "fungsi logaritma". Silahkan teman-teman langsung ke link artikel tersebut untuk mempelajari grafik fungsi logaritma.

         Untuk menggambar Grafik Fungsi Eksponen tidaklah begitu sulit teman-teman. Bentuk fungsi eksponen yang paling sederhana adalah $ f(x) = a^x \, $. Silahkan teman-teman baca juga materi "fungsi eksponen" agar lebih memudahkan dalam mempelajari dan membuat/menggambar grafik fungsi eksponen. Hal utama yang menentukan bentuk grafik fungsi eksponen adalah nilai $ a \, $ nya atau biasa disebut basis (silahkan baca : Bentuk Umum Eksponen atau Perpangkatan), jika nilai $ a > 1 \, $ maka grafik umumnya monoton naik dan jika $ 0 < a < 1 \, $ maka grafik monoton turun.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = a^x$
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = a^x \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = 1 $ dan monoton naik.
Bentuk grafiknya :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = 1 $ dan monoton turun.
Bentuk grafiknya :

Catatan :
Kita boleh mengambil beberapa titik $(x,y)$ yang memenuhi fungsi eksponen tersebut dengan cara mensubstitusikan nilai $ x \, $ yang kita pilih terlebih dahulu sehingga setelah kita substitusikan maka kita akan mendapatkan nilai $ y \, $ nya. Titik-titik ini akan membantu kita dalam memudahkan menggambar grafiknya.
Contoh Soal :
1). Buatlah grafik dari fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = 2^x $
b). $ f(x) = 5^x $
c). $ f(x) = 9^x $
d). $ f(x) = \left(\frac{1}{2} \right)^x $
e). $ f(x) = \left(\frac{1}{5} \right)^x $
f). $ f(x) = \left(\frac{1}{9} \right)^x $

Penyelesaian :
*). Untuk fungsi $ f(x) = 2^x, \, f(x) = 5^x, \, $ dan $ f(x) = 9^x \, $ memiliki basis lebih dari 1 sehingga grafiknya monoton naik seperti gambar berikut ini.
*). Untuk fungsi $ f(x) = \left(\frac{1}{2} \right)^x , \, f(x) = \left(\frac{1}{5} \right)^x , \, $ dan $ f(x) = \left(\frac{1}{9} \right)^x \, $ memiliki basis lebih dari 1 sehingga grafiknya monoton naik seperti gambar berikut ini.

Catatan :
grafik fungsi $ \begin{align} f(x) = \left( \frac{1}{a} \right) ^x \end{align} \, $ bisa diperoleh dengan mencerminkan bentuk grafik $ f(x) = a^x \, $ dan berlaku sebaliknya.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = b \times a^x$
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = b \times a^x \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b $ dan monoton naik.
Bentuk grafiknya :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b $ dan monoton turun.
Bentuk grafiknya :

Contoh Soal :
2). Buatlah grafik fungsi eksponen dari fungsi $ f(x) = 2 \times 5^x \, $ dan $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{5} \right)^x $!.
Penyelesaian :
grafiknya sebagai berikut.

Grafik Fungsi Eksponen $ f(x) = b \times a^x + c $
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = b \times a^x + c \, $ dapat dilihat dari nilai $ a \, $ yaitu :
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ a > 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b + c $ dan monoton naik.
$ \clubsuit \, $ Untuk nilai $ 0 < a < 1 $ :
       Grafik memotong sumbu Y di $ y = b + c $ dan monoton turun.
Contoh Soal :
3). Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = 2 \times 3^x + 1 $
b). $ f(x) = 2 \times 3^x - 3 $
c). $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^x + 1 $
d). $ f(x) = 2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^x - 3 $
Penyelesaian :
*). Gambar (a) dan (c): nilai $ b = 2 \, $ dan $ c = 1 \, $ sehingga titik potong sumbu Y adalah $ y = 2 + 1 \rightarrow y = 3 $
*). Gambar (b) dan (d): nilai $ b = 2 \, $ dan $ c = -3 \, $ sehingga titik potong sumbu Y adalah $ y = 2 - 3 \rightarrow y = -1 $
grafik gambar (a) dan (b) monoton naik yaitu :
grafik gambar (c) dan (d) monoton turun yaitu :

Grafik Fungsi Eksponen Negatif
Grafik fungsi eksponen $ f(x) = -a^x, \, f(x) = -b \times a^x \, $ dan $ f(x) = - ( b \times a^x + c ) \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen $ f(x) = a^x, \, f(x) = b \times a^x \, $ dan $ f(x) = b \times a^x + c \, $ terhadap sumbu X.
Contoh Soal :
4). Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut ini :
a). $ f(x) = - 2 \times 3^x $
b). $ f(x) = - 2 \times 3^x + 3 $
Penyelesaian :
a). Grafik $ f(x) = -2\times 3^x \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik $ f(x) = 2\times 3^x $ . Kita peroleh seperti gambar berikut ini.
b). Grafik $ f(x) = -2\times 3^x + 3 = -(2\times 3^x - 3) \, $ diperoleh dengan mencerminkan grafik $ f(x) = 2\times 3^x - 3 $ . Kita peroleh seperti gambar berikut ini.


         Demikian pembahasan materi Grafik fungsi eksponen dan logaritma beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan menentukan fungsi eksponen dari grafiknya. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Kamis, 27 Oktober 2016

Fungsi Eksponen dan Penerapannya


         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi fungsi eksponen dan Penerapannya. Fungsi eksponen adalah fungsi yang memuat bentuk eksponen, artinya fungsi tersebut memuat bentuk pangkat dimana pangkatnya berisi variabel-variabel. Adapun penerapan fungsi eksponen salah satunya tentang "pertumbuhan" dan "peluruhan" yang teman-teman bisa pelajari pada materi matematika wajib kelas XII SMA.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya, kita harus menguasai terlebih dahulu materi sifat-sifat eksponen. Dalam pembahasan kali ini, pertama kita bahas fungsi eksponen, lalu akan kita lanjutkan pada penerapan fungsi eksponen. Langsung saja kita simak pemaparan materinya berikut ini.

Fungsi Eksponen
       Berikut adalah bentuk-bentuk fungsi eksponen :
$\clubsuit \, $ fungsi eksponen sederhana :
$ \begin{align} f(x) = a^x \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ x \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).

$\clubsuit \, $ fungsi eksponen kompleks :
$ \begin{align} f(x) = b \times a^{g(x)} \, + c \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ g(x) \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).

Contoh Soal :
1). Berikut adalah beberapa contoh dari fungsi eksponen yaitu :
a). $ f(x) = 2^x $
b). $ g(x) = 3^{5x} $
c). $ h(x) = \left( \frac{1}{5} \right) ^x $
d). $ f(x) = 3 \times 5^x $
e). $ f(x) = 2 \times 3^x + 5 $
f). $ f(x) = 3^{x^2+2x-8} $
g). $ f(x) = 2 \times 5^{x^3 - x +1} -1 $

2). Diketahui fungsi eksponen $ f(x) = 3^{x+1} - 2 $ . Tentukan nilai dari $ f(1) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ f(1) \, $ dengan substitusi $ x = 1 $ :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 3^{x+1} - 2 \\ f(1) & = 3^{1+1} - 2 \\ & = 3^{2} - 2 \\ & = 9 - 2 \\ & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(1) = 7. \, \heartsuit $.

3). Diketahui suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 2^{x-1} - 1 $ . Jika $ f(a) = 31 \, $ , maka nilai dari $ a^2 - 30 = .... $
Penyelesaian :
*). Dari fungsi $ f(x) = 2^{x-1} - 1 \, $ maka
$ f(a) = 2^{a-1} - 1 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari bentuk $ f(a) = 31 $ :
$ \begin{align} f(a) & = 31 \\ 2^{a-1} - 1 & = 31 \\ 2^{a-1} & = 32 \\ 2^{a-1} & = 2^5 \, \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ a - 1 & = 5 \\ a & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ a^2 - 30 = 6^2 - 30 = 36 - 30 = 6 $.
Jadi, nilai $ a^2 - 30 = 6. \, \heartsuit $.

4). Suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 3^{2x} $ . Nyatakan bentuk $ f(3a+b-c) \, $ dalam bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $.
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ a^{m+n} = a^m . a^n \, $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $.
*). Dari bentuk fungsi awal $ f(x) = 3^{2x} $ , kita peroleh :
$ f(a) = 3^{2a} , \, f(b) = 3^{2b} , \, $ dan $ f(c) = 3^{2c} $.
*). Agar bentuk $ f(a^2+b-c) \, $ menjadi bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $ , maka kita harus mengarahkan hasilnya kebentuk di atas.
*). Memodifikasi dan menyelesaikan soal :
$ \begin{align} f(x) & = 3^{2x} \\ f(3a+b-c) & = 3^{2(3a+b-c)} \\ & = 3^{6a+2b-2c} \\ & = \frac{3^{6a} \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( 3^{2a} \right)^3 \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \begin{align} f(3a+b-c) = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} . \, \heartsuit $.


Penerapan Fungsi Eksponen
       Salah satu penerapan fungsi eksponen adalah tentang model pertumbuhan dan peluruhan yang bisa teman-teman baca materi lengkapnya pada artikel "pertumbuhan dalam matematika" dan "peluruhan dalam matematika". Namun untuk soal-soal tertentu, biasanya bentuk fungsi eksponensialnya sudah diberikan terlebih dahulu. Adapun bentuk fungsi eksponen atau fungsi eksponensial untuk pertumbuhan dan peluruhan adalah
$ \begin{align} A_t = A_0 \times (r)^t \end{align} $.
Keterangan :
$ A_t = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada waktu ke-$t$
$ A_0 = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada awal periode
$ r = \, $ rasio (tingkat perubahan) .

Contoh soal :
5). Dalam ilmu biologi ada yang namanya pertumbuhan jenis amoeba tertentu. Misalkan pertumbuhannya mengikuti fungsi eksponensial $ A_t = A_0 \times (2)^t \, $ dengan $ A_0 \, $ adalah banyaknya amoeba pada awal pengamatan dan $ t \, $ adalah waktu pada pengamatan terjadi (satuannya menit). Jika diketahui pada awal pengamatan pukul 09.00 ada 100 amoeba , tentukan banyak amoeba setelah dilakukan pengamatan lagi pada pukul 09.10?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ A_0 = 100 \, $ amoeba.
dari pukul 09.00 ke pukul 09.10, nilai $ t = 10 \, $ menit.
*). Menentukan banyak amoeba pada $ t = 10 $
$ \begin{align} A_t & = A_0 \times (2)^t \\ A_{10} & = 100 \times (2)^{10} \\ & = 100 \times 1024 \\ & = 102.400 \end{align} $
Jadi, akan ada 102.400 amoeba pada pengamatan pukul 09:10 $. \, \heartsuit $.

         Demikian pembahasan materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan grafik fungsi eksponen dan logaritma.

Sabtu, 05 Desember 2015

Kumpulan Soal-soal Eksponen (Bentuk Pangkat) Seleksi Masuk PTN


         Blog Koma - Pada artikel kali ini, kita akan mempelajari berbagai jenis soal-soal yang berkaitan dengan eksponen. Dengan latihan lebih banyak lagi soal-soal akan membantu kita lebih mahir dan lebih mendalam memahami materi eksponen, terutama bagi teman-teman yang akan mngikuti tes seleksi masuk PTN (Perguruan Tinggi Negeri) yang diidamkan. Selain kumpulan soal-soal eksponen seleksi masuk PTN juga telah dilengkapi dengan pembahasannya langsung.

         Untuk memudahkan dalam memahami dan mengerjakan soal-soal eksponen yang ada di bawah ini, sebaiknya kita pelajari dulu teori atau materi yang berkaitan dengan eksponen, seperti "sifat-sifat eksponen", "bentuk akar", "persamaan eksponen", dan "pertidaksamaan eksponen".
         Kumpulan Soal-soal Eksponen (Bentuk Pangkat) Seleksi Masuk PTN pada artikel ini terdiri dari berbagai jenis soal seperti soal SBMPTN, SNMPTN, SPMB, UMPTN, serta seleksi mansiri seperti SIMAK UI, UM UGM (UTUL), SPMK UB. Pada kumpulan soal-soal ini juga kami sediakan soal-soal dari tahun yang lama sampai tahun terbaru. Setiap kali ada tes seleksi masuk Perguruan tinggi negeri (PTN), terkadang juga ditampilkan tipe soal-soal tahun-tahun sebelumnya, mungkin angkanya saja yang diubah, atau ada modifikasi sedikit dari logika soalnya. Jadi, penting bagi teman-teman untuk mempelajari soal-soal sebelumnya dalam melakukan persiapan.

Nomor 1. Soal SBMPTN MatDas 2014 Kode 611
Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $2^{2x+2}-17(2^x)+4 < 0 $ adalah ...
Nomor 2. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 Kode 514
Nilai $a$ yang menyebabkan persamaan $9^x-a.3^x+a=0$ mempunyai tepat satu akar nyata adalah ...
Nomor 3. Soal UM UGM MatDas 2014
Bentuk sederhana dari $\frac{\left( x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x \right) \left( x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \right) }{\left( x^{\frac{4}{3}} - x \right) \left( x + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}}\right)}$ dengan $x\neq 0$ adalah ...
Nomor 4. Soal SBMPTN MatDas 2013 Kode 326
Jika $9^{m+1}-2.9^m = 14$ , maka $27^m = ...$
Nomor 5. Soal SBMPTN MatDas 2012 Kode 122
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif yang memenuhi $a^b=2^{20}-2^{19}$ , maka nilai $a+b$ adalah ...
Nomor 6. Soal SBMPTN MatDas 2010 Kode 336
Jika $n$ memenuhi $\underbrace{25^{0,25}\times 25^{0,25}\times ...\times 25^{0,25}}_{n \text{ faktor}}=125,$
maka $(n-3)(n+2)= ...$
Nomor 7. Soal SPMK UB Mat IPA 2013 Kode 21
Jika $x-y=1 $ dan $x^y = 64 $ , maka $x+y = ... $
Nomor 8. Soal SPMK UB Mat IPA 2013 Kode 21
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $(x^2+x-1)^{x-2} = 1 $ adalah ...
(1). -2       (2). 0       (3). 1       (4). 2
Nomor 9. Soal SNMPTN MatDas 2008 Kode 201
Dalam bentuk pangkat positif, $\frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}} = ...$
Nomor 10. Soal SNMPTN MatDas 2008 Kode 201
Jika $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} = a + b\sqrt{5}$ , maka $a+b = ...$
Nomor 11. Soal SNMPTN MatDas 2008 Kode 201
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8}=\frac{1}{2^{2x+1}}$ adalah ...
Nomor 12. Soal SPMB MatDas 2007
Jika $a > 0 $ dan $a\neq 1 $ memenuhi $a^{\sqrt[3]{4}} = \left( \frac{1}{a} \right)^{-b} $ , maka ${}^2 \log b = ....$
Nomor 13. Soal SPMB MatDas 2006
Jika $a > 0 , \, b > 0$ dan $a\neq b $ , maka $ \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} = ....$
Nomor 14. Soal SPMB MatDas 2006
Jika $p=(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}}) $ dan $q=(x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}}) $ , maka $\frac{p}{q} = .... $
Nomor 15. Soal SPMB MatDas 2006
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ solusi persamaan $ 3.9^x +9^{1-x} = 28 $ , maka $x_1 + x_2 = .... $
Nomor 16. Soal SPMB MatDas 2005
Jika grafik fungsi $y=N\left( 3^{-ax} \right) \, \, $ melalui titik (1, $\frac{1}{27} $ ) dan $(\frac{1}{2}, \, \frac{1}{9} ) $ , maka nilai $a \, $ yang memenuhi adalah ....
Nomor 17. Soal SPMB MatDas 2005
Jika $f(n) = 2^{n+2}6^{n-4} \, \, $ dan $g(n) = 12^{n-1} \, \, $ , $n \, $ bilangan asli, maka $\frac{f(n)}{g(n)} = .... $
Nomor 18. Soal SPMB MatDas 2005
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $ \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} = 1 \, $ adalah ....
Nomor 19. Soal SPMB MatDas 2004
Nilai $x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{0,09^{\frac{1}{2}(x-3)}}{0,3^{(3x+1)}} = 1 \, $ adalah ....
Nomor 20. Soal SPMB MatDas 2004
Jika $n \, $ bilangan bulat, maka : $\frac{2^{n+2}.6^{n-4}}{12^{n-1}} = .... $
Nomor 21. Soal SPMB MatDas 2004
Penyelesaiaan pertidaksamaan $ 9^{-x+1} + 8.3^{-x} - 1 > 0 \, $ adalah ....
Nomor 22. Soal SPMB MatDas 2003
Nilai dari : $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+2-\sqrt{5})(\sqrt{10}+2\sqrt{3})= .... $
Nomor 23. Soal SPMB MatDas 2003
Jika $a=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} \, \, $ dan $ b = \frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}, \, \, $ maka $ a + b = .... $
Nomor 24. Soal SPMB MatDas 2003
Untuk $x \, $ dan $y \, $ yang memenuhi sistem persamaan :
$\left\{ \begin{array}{c} 3^{x-2y+1} = 9^{x-2y} \\ 4^{x-y+2} = 32^{x-2y+1} \end{array} \right. $
Maka nilai $x.y= .... $
Nomor 25. Soal SPMB MatDas 2003
$\sqrt{\frac{3}{9^p}\sqrt{\frac{9^p}{3}}} = 27, \, \, $ nilai $ p = .... $
Nomor 26. Soal SPMB MatDas 2002
Jika $ a = 2 + \sqrt{7} \, \, $ dan $ \, b= 2 - \sqrt{7} \, \, $ , maka $ a^2 + b^2 - 4ab = .... $
Nomor 27. Soal SPMB MatDas 2002
Apabila $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \, $ dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi ....
Nomor 28. Soal SPMB MatDas 2002
Panjang sisi miring suatu segitiga siku - siku adalah $ 2^{x+2} \, $ . Jika panjang dua sisi yang lain adalah 4 dan $ 2^{2x+1} \, $ , maka nilai $x \, $ yang memenuhi terletak pada interval ....
Nomor 29. Soal UMPTN MatDas 2001
Pertidaksamaan $ \, \left( \frac{1}{3} \right)^{2x+1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x-1}}} \, $ mempunyai penyelesaian ....
Nomor 30. Soal Simak UI MatDas KD1 2014
Diketahui untuk bilangan real positif $a,b,c,p,q,$ dan $r$ berlaku $\frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}$. Nilai dari $\frac{abc(p+q)(q+r)(r+p)}{pqr(a+b)(b+c)(c+a)}$ adalah ...
Nomor 31. Soal UMPTN MatDas 2000
Diberikan persamaan :
$\left( \sqrt[3]{\frac{1}{243}} \right)^{3x} = \left( \frac{3}{3^{x-2}} \right)^2 . \sqrt[3]{\frac{1}{9}} $ .
Jika $ x_0 $ memenuhi persamaan, maka nilai $ 1- \frac{3}{4}x_0 = .... $
Nomor 32. Soal SPMB Mat IPA 2006
Jika $ \, \frac{8^x}{2^y} = 32 \, $ dan $ \, 4^x.2^y = 32^2 \, , $ maka $ \, x+y = .... $
Nomor 33. Soal SELMA UM MatDas Kode 141 2014
Jika $ a + b = 0, \, $ maka nilai $ \frac{2013^a}{2013^{-b}} \, $ adalah ....
Nomor 34. Soal SELMA UM MatDas Kode 141 2014
Nilai $\frac{\sqrt{2^{13}} - \sqrt{2^{11}} }{ \sqrt{2^{13}} + \sqrt{2^{11}}} \, $ adalah ....
Nomor 35. Soal SPMB Mat IPA 2004
Semua nilai - nilai $ x $ yang memenuhi
$ 2^{-x^2+x+6} > \frac{{}^a \log b . {}^c \log a }{{}^c \log b } $
adalah ....
Nomor 36. Soal SPMB Mat IPA 2003
Jika $ 3^{x+2} + 9^{x+1} = 810 , \, $ maka $ 3^{x-3} = ..... $
Nomor 37. Soal SPMB Mat IPA 2002
Himpunan penyelesaian $ 2^{2-2x} + 2 > \frac{9}{2^x}, \, x \in R \, $ adalah .....
Nomor 38. Soal UMPTN Mat IPA 2000
Jumlah semua akar persamaan :
$ 10 (x^2-x-12)^{\log (x^2-x-12) } = (x-4)^2(x+3)^2 $
adalah .....
Nomor 39. Soal Simak-Ui Mat MatDas KD2 tahun 2014
Misalkan $a=\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}} , b=\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}}\, $ dan $c=\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}}$. Hubungan yang benar antara $a, b$ dan $c$ adalah ...
Nomor 40. Soal SBMPTN MatDas Kode 631 tahun 2014
Himpunan penyelesaian dari $ \left( \frac{1}{8} \right)^{8+2x-x^2} \geq \left( \frac{1}{16} \right)^{x+2} \, $ adalah ....
Nomor 41. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 532 tahun 2014
Jika $ A(x) = \frac{1}{2}\left( p^x - p^{-x} \right) \, $ dan $ B(x) = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \, $ denga $ p > 1 \, $ , maka $ B(nx) = .... $
(A) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( \frac{x}{n} \right) $
(B) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( nx \right) $
(C) $ \left( B(x) - A(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(D) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(E) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( \frac{x}{n} \right) $
Nomor 42. Soal SBMPTN MatDas Kode 228 tahun 2013
Jika $4^{m+1}+4^m = 15 \, $ , maka $8^m = ...$
Nomor 43. Soal SBMPTN MatDas Kode 128 tahun 2013
Jika $ 27^m = 8 \, $ , maka $ 3.9^m - 3^{m+1} = ...$
Nomor 44. Soal UM UGM atau Utul UGM MatDas tahun 2013
$ \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} = .... $
Nomor 45. Soal UM UGM atau Utul UGM MatDas tahun 2013
Nilai $ 1-x \, $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{8^{3-x}} = 4.2^{1-2x} \, $ adalah ....
Nomor 46. Soal SPMK UB Mat IPA Kode 26 tahun 2014
Jika $n$ memenuhi
$\underbrace{27^{0,2}\times 27^{0,2}\times ...\times 27^{0,2}}_{n \text{ faktor}}=729$
maka $(n-5)(n-2)= ...$
Nomor 47. Soal SPMK UB Mat IPA Kode 91 tahun 2009
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left( 8^{x + \frac{1}{3}} \right)^2 = 0,5\sqrt[3]{2^x} \, $ adalah ....
Nomor 48. Soal SBMPTN MatDas Kode 442 tahun 2013
Jika $ 8^m = 27 \, $ , maka $ 2^{m+2} + 4^m = ...$
Nomor 49. Soal SBMPTN MatDas Kode 328 tahun 2013
Jika $9^m+9^{m+1} = 20 \, $ , maka $27^m = ...$
Nomor 50. Soal SBMPTN MatDas Kode 617 tahun 2015
Jika $ a, \, b , \, $ dan $ x \, $ adalah bilangan real positif dan $ \frac{\sqrt[3]{x}\sqrt{ab}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}, \, $ maka nilai $ x \, $ adalah .....
Nomor 51. Soal UM UGM atau UTUL UGM Mat IPA Kode 262 tahun 2013
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ \sqrt{(625)^{x-2}} > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \, $ adalah ....
Nomor 52. Soal SBMPTN MatDas Kode 618 tahun 2015
Diketahui $ a, \, b , \, $ dan $ c \, $ adalah bilangan real positif . Jika $ \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt[4]{ab^3}} = ab , \, $ maka nilai $ c \, $ adalah ....
Nomor 53. Soal SBMPTN MatDas Kode 619 tahun 2015
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif. Jika $ \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} = c \, $ , maka nilai $ c \, $ adalah ....
Nomor 54. Soal SBMPTN MatDas Kode 620 tahun 2015
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif, maka $ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a+b} = .... $
Nomor 55. Soal SBMPTN MatDas Kode 621 tahun 2015
Jika $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} , \, $ maka $ a = .... $
Nomor 56. Soal SBMPTN MatDas Kode 622 tahun 2015
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif, maka $ \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{b}(2\sqrt{2a}+\sqrt{b})}{-2a} = .... $
Nomor 57. Soal SBMPTN MatDas Kode 624 tahun 2015
Jika $ \sqrt{a+3} = \sqrt{a} + 1 , \, $ maka $ \sqrt{a+1} = ... $
Nomor 58. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 517 tahun 2015
Nilai $ c \, $ yang memenuhi $ (0,0081)^{(x^2+3x+c)} < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \, $ adalah ....
Nomor 59. Soal SBMPTN Mat IPA Kode 517 tahun 2015
Jika $ x_1, \, x_2 \, $ adalah akar-akar $ 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a = 0 \, $ dimana $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 , \, $ maka $ a = .... $
       Demikian Kumpulan Soal-soal Eksponen (Bentuk Pangkat) Seleksi Masuk PTN, SIlakan juga baca dan pelajari kumulan soal-soal yang lainnya untuk persiapan seleksi masuk PTN atau persiapan lainnya. Dengan banyak berlatih dan mengerjakan berbagai jenis soal-soal seleksi masuk PTN, maka akan sangat membantu kita untuk lebih percaya diri dalam mengikuti tes seleksi yang akan kita ikuti. Dalam mengerjakan soal-soal seleksi masuk PTN, materi atau teroi saja tidaklah cukup, karena tipe atau logika soalnya akan lebih sulit, sehingga kita harus membiasakan diri untuk mengerjakan soal-soal yang selevel dan setipe atau bahkan yang lebih sulit untuk memperbesar peluang kita lulus seleksi tersebut.

Senin, 10 Agustus 2015

Pembahasan Soal Eksponen UK 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013 Kelas X


         Blog Koma - Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.2 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu tentang sifat-sifat eksponen dan sifat bentuk akar. Setelah itu baru kita akan dapat dengan lebih mudah dalam mengerjakannya.

         Pembahasan Soal Eksponen UK 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013 Kelas X ini khusus membahas soal-soal yang berkaitan langsung dengan bentuk akar yang merupakan bagian dari materi eksponen (perpangkatan). Pada materi bentuk akar, hal mendasar yang harus kita kuasai adalah sifat-sifat dan operasinya. Selain itu juga ada yang namanya "bentuk akar dalam akar" yang tentu akan sangat seru dari segi teori dan juga aplikasinya. Pembahasan UK 1.2 ini kita sajikan untuk memudahkan dan menjadi bahan alternatif untuk penyelesaian soal-soalnya yang terdapat pada buku matematika wajib kelas X kurikulum 2013.

         Soal-soal Eksponen UK 1.2 (Bentuk Akar) Kurikulum 2013 Kelas X yang ada pada buku K13 menurut kami tipenya sangat menantang dan bahkan ada yang selevel soal olimpiade. Tentu banyak siswa akan kesulitan untuk menjawab soal-soal tersebut, apalagi soal-soal tantangannya. Semoga dengan adanya pembahasan ini, akan bisa membantu kita semua dalam mengerjakan soal-soalnya, dan bisa menjadi koreksi kita bersama jika ada kesalahan dalam pembahasannya.

         Berikut soal dan pembahasan soal eksponen UK 1.2 kurikulum 2013 kelas X.
Soal no. 1
Jika $ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = a+b\sqrt{6}, \, $ tentukan nilai $ a + b \, $ !
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Kita akan memodifikasi ruas kiri (RKi) menjadi bentuk ruas kanan (RKa) dengan merasionalkan penyebut RKi.
$ \begin{align} \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}& = a+b\sqrt{6} \\ \frac{2 + 3 - 2\sqrt{6}}{2-3} & = a+b\sqrt{6} \\ \frac{5 - 2\sqrt{6}}{-1} & = a+b\sqrt{6} \\ -5 + 2\sqrt{6} & = a+b\sqrt{6} \end{align} $
artinya nilai $ a = -5 \, $ dan $ b = 2 $
Sehingga nilai $ a + b = -5 + 2 = -3 $
Jadi, nilai $ a+b = -3 . \heartsuit $
Soal no. 2
Sederhanakanlah bentuk akar berikut!
$\clubsuit \,$ Untuk menyelesaikan soalnya, kita menggunakan bentuk akar dalam akar berikut :
$\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} \, $ atau
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a\times b}} = \sqrt{a}-\sqrt{b} $
serta $ a\sqrt{b} = \sqrt{a^2\times b} $
a). $ \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} $
$ \begin{align} \sqrt{19 + 8\sqrt{3}} & = \sqrt{19 + 2 \times 4\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{19 + 2 \times \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{(16+3) + 2 \sqrt{16\times 3}} \\ & = \sqrt{16} + \sqrt{3} = 4 + \sqrt{3} \end{align} $
b). $ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} $
$ \begin{align} \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} & = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} + \sqrt{2} \end{align} $
c). $ \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} $
$ \begin{align} \sqrt{43 + 12\sqrt{7}} & = \sqrt{43 + 2 \times 6\sqrt{3}} \\ & = \sqrt{43 + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{(36+7) + 2 \sqrt{36\times 7}} \\ & = \sqrt{36} + \sqrt{7} = 6 + \sqrt{7} \end{align} $
d). $ \sqrt{21 - 4\sqrt{5}} $
$ \begin{align} \sqrt{21 - 4\sqrt{5}} & = \sqrt{21 - 2 \times 2\sqrt{5}} \\ & = \sqrt{21 - 2 \sqrt{4\times 5}} \\ & = \sqrt{21 - 2 \sqrt{20}} \\ & = \sqrt{(20 + 1) - 2 \sqrt{20 \times 1}} \\ & = \sqrt{20} - \sqrt{1} = \sqrt{20} - 1 = 2\sqrt{5} - 1 \end{align} $
e). $ \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} $
$ \begin{align} & \sqrt{18 + 8\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \times 4\sqrt{2}} + \sqrt{11 - 2 \times 3\sqrt{2}} \\ & = \sqrt{18 + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{11 - 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = \sqrt{(16+2) + 2 \sqrt{16\times 2}} + \sqrt{(9+2) - 2 \sqrt{9 \times 2}} \\ & = (4 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) \\ & = (\sqrt{16} + \sqrt{2}) + (\sqrt{9} - \sqrt{2}) \\ & = 4 + 3 = 7 \end{align} $
f). $ \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} $
$ \begin{align} \frac{3-\sqrt{14 + 6\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\times 3\sqrt{5}}}{\sqrt{21 + 2\times 6\sqrt{3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{14 + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{21 + 2\sqrt{36\times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{6 \times 6 \times 3}}} \\ & = \frac{3-\sqrt{(9+5) + 2\sqrt{9\times 5}}}{\sqrt{(12+9) + 2\sqrt{12 \times 9}}} \\ & = \frac{3-(\sqrt{9}+\sqrt{5})}{\sqrt{12} + \sqrt{9}} \\ & = \frac{3-(3+\sqrt{5})}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \\ & = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{3} + 3} \times \frac{2\sqrt{3} - 3}{2\sqrt{3} - 3} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{12 - 9} \\ & = \frac{-2\sqrt{15} + 3\sqrt{5}}{3} \end{align} $

Soal Tantangan
Soal no. 1
Tentukan nilai dari :
Penyelesaian : Sifat : $ \sqrt[n]{a} = b \rightarrow a = b^n $
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal tantangan nomor 1 ini, kita menggunakan permisalan.
a). $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} $
misalkan $ x = \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 \underbrace{\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}_{\text{sama dengan } x} }} \\ x & = \sqrt[3]{2\sqrt{3 x }} \\ x^3 & = 2\sqrt{3 x } \\ (x^3)^2 & = (2\sqrt{3 x }^2 \\ x^6 & = 4\times 3 x \\ x^6 - 12x & = 0 \\ x(x^5 - 12 ) & = 0 \\ x = 0 \vee x^5 & = 12 \rightarrow x = \sqrt[5]{12} \end{align} $
Karena nilai $ x \, $ tidak mungkin sama dengan nol, sehingga yang memenuhi adalah $ x = \sqrt[5]{12} $
Jadi, nilai $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{...}}}}}}} = \sqrt[5]{12} . \heartsuit $



b). $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} $
misalkan $ y = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} $
kita substitusi ke soalnya ,
$\begin{align} y & = \sqrt{2 + \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}}_{\text{sama dengan } y} } \\ y & = \sqrt{2 + y } \\ y^2 & = 2 + y \\ y^2 - y - 2 & = 0 \\ (y+1)(y-2) & = 0 \\ y = -1 \vee y = 2 \end{align} $
Karena nilai $ y \, $ positif (hasil akar genap selalu positif), sehingga yang memenuhi adalah $ y = 2 $
Jadi, nilai $ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{...}}}}}} = 2 . \heartsuit $



c). $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} $
Kita hitung dulu bentuk akarnya : $ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} $
$\clubsuit \,$ Rumus Cardano (Cardano's Formula) :
Penyelesaian dari persamaan $ x^3 + px + q = 0 \, $ adalah
$\begin{align} x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \end{align} $
misalkan $ z = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ z $
$\begin{align} z & = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{ \underbrace{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}_{\text{sama dengan } z} }} \\ z & = \sqrt{1 + \frac{1}{z}} \\ z^2 & = 1 + \frac{1}{z} \\ z^3 & = z + 1 \\ z^3 & - z - 1 = 0 \\ p & =-1 , \, q = -1 \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+ \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2}+ \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{-(-1)}{2} - \sqrt{\frac{(-1)^2}{4} + \frac{(-1)^3}{27}}} \\ z & = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}} \end{align} $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya
gunakan : $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p})^2 - (\sqrt[3]{p})(\sqrt[3]{q}) + (\sqrt[3]{q})^2 ) $
$ (\sqrt[3]{p})^3 + (\sqrt[3]{q})^3 = ((\sqrt[3]{p})+(\sqrt[3]{q}))((\sqrt[3]{p^2}) + (\sqrt[3]{q^2}) ) - (\sqrt[3]{pq}) $
Substitusi nilai $ z \, $ ke soalnya dan rasionalkan.
$\begin{align} & 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} \\ & = 1 + \frac{1}{z} \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}}} \\ & \text{Misalkan : } p = \frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} } , \, q = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108} } \\ & = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}}} \times \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })^2} + \sqrt[3]{(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })^2} - \sqrt[3]{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} })(\frac{1}{2}- \sqrt{\frac{23}{108} })}}{(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }})^3 + (\sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}}})^3} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{23}{108} }) + (\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{23}{108}})} \\ & = 1 + \frac{\sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3}}{1} \\ & = 1 + \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} - \frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{...}}}}}} = \sqrt[3]{\frac{25}{54} + \frac{\sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{25}{54} - \frac{\sqrt{69}}{18}} + \frac{2}{3} . \heartsuit $
Soal no. 2
Jika $a , \, b \, $ bilangan asli dengan $ a \leq b \, $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} \, $ adalah bilangan rasional, tentukan pasangan $(a,b)$ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Agar $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} \, $ bilangan rasional, maka pembilang atau penyebutnya harus merupakan kelipatan dari salah satunya. Karena $ a \leq b \, $ , maka $ \sqrt{4} +\sqrt{b} \, $ merupakan kelipatan dari $ \sqrt{3} + \sqrt{a}. \, $ Misalkan $ m \, $ bilangan asli, dapat dituliskan hubungannya :
$ \begin{align} \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}} & = \frac{1}{m} \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m(\sqrt{3}+\sqrt{a}) \\ \sqrt{4}+\sqrt{b} & = m\sqrt{3}+m\sqrt{a} \end{align}$
Karena $ \sqrt{4} = 2 \, $ bilangan rasional, dan $ \sqrt{3} \, $ pasti bilangan irrasional, maka pasangan yang mungkin adalah :
$\sqrt{b} = m\sqrt{3} \, $ dan $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} $
$\clubsuit \,$ Dari $ \sqrt{4} = m\sqrt{a} \rightarrow 4 = m^2 . a \rightarrow a = \frac{4}{m^2} $
dan $ a \, $ bilangan asli, maka yang memenuhi adalah $ m = 1 \, $ atau $ m = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dari nilai $ m $
*). Untuk $ m = 1 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{1^2} = 4 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 1.\sqrt{3} \rightarrow b = 3 $
Tidak memenuhi karena nilai $ a = 4 \geq b = 3 $
*). Untuk $ m = 2 $
$ a = \frac{4}{m^2} = \frac{4}{2^2} = 1 $
$ \sqrt{b} = m\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{b} = 2.\sqrt{3} \rightarrow b = 12 $
memenuhi karena nilai $ a = 1 \leq b = 12 $
Jadi, pasangan $(a,b)\, $ yang memenuhi adalah $ (a,b)=(1,12). \heartsuit$
Soal no. 3
Nyatakan $ b \, $ dalam $ a \, $ dan $ c \, $ dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b\sqrt{c}}}{\sqrt{c\sqrt[3]{a}}} = abc $ !
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen :
$ \sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \, $ dan $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \, $ serta $ (ab)^n = a^n.b^n $
$\spadesuit \, $ Pangkatkan 6 kedua ruas :
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{b\sqrt{c}}}{\sqrt{c\sqrt[3]{a}}} & = abc \\ \sqrt[3]{b\sqrt{c}} & = abc . \sqrt{c\sqrt[3]{a}} \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} & = abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \, \, \, \, \text{ (pangkatkan 6)} \\ \left[ (bc^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} \right]^6 & = \left[abc . (ca^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \right]^6 \\ (bc^\frac{1}{2})^\frac{6}{3} & = (abc)^6 . (ca^\frac{1}{3})^\frac{6}{2} \\ (bc^\frac{1}{2})^2 & = a^6b^6c^6 . (ca^\frac{1}{3})^3 \\ b^2 c & = a^6b^6c^6 . c^3 a \\ \frac{b^6}{b^2} & = \frac{c}{a^6c^6c^3a} \\ b^{6-2} & = \frac{1}{a^{6+1}.c^{6+3-1}} \\ b^4 & = \frac{1}{a^7.c^8} \\ b & = \left( \frac{1}{a^7.c^8} \right)^\frac{1}{4} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^\frac{8}{4}} \\ b & = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ b = \frac{1}{a^\frac{7}{4}.c^2} . \heartsuit$
Soal no. 4
Sederhanakanlah bentuk $ \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} $ !
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} & = \sqrt[2]{\sqrt[2]{49 - 2 \times 10\sqrt{6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{49 - 2\sqrt{100\times 6}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{(25+24) - 2\sqrt{25.24}}} \\ & = \sqrt{\sqrt{25} - \sqrt{24}} \\ & = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3 \times 2}} \\ & = \sqrt{3} - \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \sqrt[4]{49 - 20\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} . \heartsuit$
Soal no. 5
Tentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dari
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Kita akan menyederhanakan RKi(Ruas Kiri) menjadi bentuk RKa(Ruas Kanan) dengan merasionalkan penyebutnya :
$ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2-3} = - \sqrt{2} + \sqrt{3} $
$ \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} . \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{\sqrt{3} - \sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{4}}{3-4} = - \sqrt{3} + \sqrt{4} $
dan seterusnya sampai merasionalkan bentuk $ \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} $
Sehingga diperoleh :
$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001}} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ (- \sqrt{2} + \sqrt{3}) + (- \sqrt{3} + \sqrt{4}) + (- \sqrt{4} + \sqrt{5}) + ...+ (- \sqrt{1.000.000} + \sqrt{1.000.001})& = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ - \sqrt{2} + \sqrt{1.000.001} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \\ \sqrt{1.000.001} - \sqrt{2} & = \sqrt{a} - \sqrt{b} \end{align}$
Diperoleh nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 $
Jadi, nilai $ a = 1.000.001 \, $ dan $ b = 2 . \heartsuit $
Soal no. 6
Hitunglah : $ \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} $
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ sifat akar dalam akar :
$ \sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \, $ dengan $ a \geq b $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya :
$ \begin{align} & \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{54 + 2 \times 7\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 2\times 5\sqrt{7}} \\ & = \sqrt{(49+5) + 2 \sqrt{49\times 5}} + \sqrt{(7+5) - 2\sqrt{7\times 5}} + \sqrt{32 - 2\sqrt{25\times 7}} \\ & = (\sqrt{49} + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (\sqrt{25} - \sqrt{7}) \\ & = (7 + \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + (5 - \sqrt{7}) \\ & = 7 + 5 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sqrt{54 + 14\sqrt{5}} + \sqrt{12 - 2\sqrt{35}} + \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} = 12 . \heartsuit$
Soal no. 7
Jika $ (3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) = (4^x - 3^y ), \, $ tentukan nilai $ x - y . $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Gunakan sifat : $ (p-q)(p+q) = p^2 - q^2 $
Misalkan : $ (4-3)(4+3) = 4^2 - 3^2 \, $ dan $ (4^2 - 3^2 ) (4^2 + 3^2 ) = 4^4 - 3^4 $
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal, kita kalikan (4-3) pada ruas kiri, ini tidak mengubah nilai karena hasil dari 4 - 3 = 1, dan kalikan dari bagian yang paling kiri.
$ \begin{align} (3+4)(3^2+4^2)(3^4+4^4)(3^8+4^8)(3^{16}+4^{16})(3^{32}+4^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4-3)(4+3)(4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^2-3^2](4^2+3^2)(4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^4-3^4](4^4+3^4)(4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^8-3^8](4^8+3^8)(4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^{16}-3^{16}](4^{16}+3^{16})(4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ [4^{32}-3^{32}](4^{32}+3^{32}) & = (4^x - 3^y ) \\ (4^{64}-3^{64}) & = (4^x - 3^y ) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 64 \, $ dan $ y = 64 $
sehingga nilai $ x - y = 64 - 64 = 0 $
Jadi, nilai $ x - y = 0 . \heartsuit$

Rabu, 29 Juli 2015

Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X


         Blog Koma - Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.1 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu tentang sifat-sifat eksponen dengan baik dan benar. Setelah itu baru kita akan dapat dengan lebih mudah dalam mengerjakannya. Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 ini kami sajikan dengan harapan bisa membantu teman-teman untuk menjawab soal-soal yang ada pada buku wajib matematika kurikulum 2013 kelas X.

         Untuk Soal-soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X yang akan kita bahas, memang terdiri dari soal-soal yang menurut kami sangat menantang untuk kita kerjakan. Bahkan menurut kami, beberapa soal yang ada adalah soal-soal setingkat olimpiade, sehingga tidak mudah bagi kita untuk mengerjakannya. Semoga pembahasan yang ada pada artikel ini bisa membantu kita semua, dan bisa menambah wawasan dalam mempelajari dan memperdalam materi eksponen.

         Untuk memudahkan mempelajari Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X ini, sebaiknya teman-teman mempelajari dulu baik-baik materi eksponen, seperti : bentuk umum eksponen, sifat-sifat eksponen, persamaan eksponen, pertidaksamaan eksponen dan lainnya yang terkait dengan eksponen (perpangkatan).

         Berikut soal dan pembahasan soal eksponen UK 1.1 kurikulum 2013 kelas X.
Soal no. 1
Sederhanakan hasil operasi bilangan berpangkat berikut :
a. $ 2^5 \times 2^9 \times 2^{12} = 2^{5+9+12} = 2^{26} $
$\begin{align} \text{b. } 2^5 \times 3^6 \times 4^6 & = 2^5 \times 3^6 \times (2^2)^6 \\ & = 2^5 \times 3^6 \times 2^{12} \\ & = 2^{5+12} \times 3^6 = 2^{17} \times 3^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{12^2} & = \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{(3\times 4)^2} \\ & = \frac{2^5 \times 3^5 \times \not{4}^2 }{ 3^2 \times \not{4}^2} \\ & = 2^5 \times 3^{5-2} = 2^5 \times 3^3 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } \frac{(-5)^6 \times 25^2}{125} & = \frac{(-1 \times 5)^6 \times (5^2)^2}{5^3} \\ & = \frac{(-1)^6 \times (5)^6 \times 5^4}{5^3} \\ & = 1 \times 5^{6+4-3} = 5^7 \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(42)^3} & = \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(3 \times 7 \times 2)^3} \\ & = \frac{3^7 \times \not{7}^3 \times 2}{3^3 \times \not{7}^3 \times 2^3} \\ & = 3^{7-3} \times 2^{1-3} = 3^4 \times 2^{-2} = \frac{3^4}{2^2} \end{align} $
Soal no. 2
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut.
$\begin{align} \text{a. } 2x^3 \times 7x^4 \times (3x)^2 & = 2x^3 \times 7x^4 \times 3^2 \times x^2 \\ & = (2 \times 7 \times 9) \times x^{3+4+2} = 126x^9 \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } \left( \frac{-2p}{q} \right)^3 \times (-q)^4 \times \frac{2}{5}p^2 & = \frac{(-2p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{(-2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^{3+1}}{5} \times q^{4-3} \times p^{3+2} \\ & = - \frac{2^4}{5} \times q \times p^5 = - \frac{2^4}{5} q p^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } y^5 \times (x\times y)^3 \left( \frac{1}{x^2 \times y} \right) & = y^5 \times x^3 \times y^3 \times \frac{1}{x^2 \times y} \\ & = y^{5+3-1} \times x^{3-2} = y^7x \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & (a\times b \times c)^4 \times \frac{3}{(b \times c)^3} \times \frac{b^3}{27a^5} \\ & = a^4 \times b^4 \times c^4 \times \frac{3}{b^3 \times c^3} \times \frac{b^3}{3^3 \times a^5} \\ & = 3^{1-3} \times a^{4-5} \times b^{4-3+3} \times c^{4-3} \\ & = 3^{-2} \times a^{-1} \times b^4 \times c^1 = \frac{b^4c}{9a} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{-4a^3\times 2b^5}{\left( \frac{8a}{b} \right)} & = -\not{4}a^3\times \not{2}b^5 \times \frac{b}{\not{8}a} \\ & = -a^3\times b^5 \times \frac{b}{a} \\ & = - a^{3-1} \times b^{5+1} = -a^2b^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (4y)^2 & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times 4^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (2^2)^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2\not{x}}{3\not{y}^2}\times \frac{5}{3\not{x}} \times 2^4 \not{y}^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2}{3}\times \frac{5}{3} \times 2^4 \\ & = \frac{2^5\times 5}{3^2x^2y} \end{align} $
$\begin{align} \text{g. } & (-a \times b)^3 \times \left( \frac{-b}{2a} \right)^4 \times \left( \frac{3a}{b} \right)^5 \\ & = (-a)^3 \times (b)^3 \times \frac{(-b)^4}{(2a)^4} \times \frac{(3a)^5}{(b)^5} \\ & = -(a)^3 \times b^3 \times \frac{b^4}{2^4a^4} \times \frac{3^5a^5}{b^5} \\ & = - \frac{3^5}{2^4} \times a^{3-4+5} \times b^{3 + 4 - 5} \\ & = - \frac{3^5}{2^4} a^4 \times b^2 \end{align} $
$\begin{align} \text{h. } & \left( \frac{24a^3\times b^8}{6a^5 \times b} \right) \times \left( \frac{4b^3 \times a}{2a^3} \right)^2 \\ & = \left( 4 \times a^{3-5} \times b^{8-1} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{1-3} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{-2} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2^2 \times b^6 \times a^{-4} \right) \\ & = 2^{2+2} \times a^{-2 + (-4)} \times b^{7 + 6} \\ & = 2^4 \times a^{-6} \times b^{13} = \frac{2^4 b^{13}}{a^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{i. } & \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) : \left( \frac{12x(3y)^2}{9x^2y} \right)^2 \\ & = \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x(3y)^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{12x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x\times 3^2y^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{3 \times 2^2 \times x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ x^2y}{3\times 2^2 \times x\times y^2} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x}{3\times 2^2 \times y} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x^2}{3^2\times 2^4 \times y^2} \right) \\ & = \frac{x^3}{3y^2} \end{align} $
$\begin{align} \text{j. } & \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) : \left( \frac{2pqr^3}{-12(qr)^2} \right) \\ & = \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) \times \left( \frac{-12(qr)^2}{2pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{-(p)^3\times q^2 \times r^3}{-3p^6q^3} \right) \times \left( \frac{-6q^2r^2}{pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{3-6} \times q^{2-3} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^{2-1} \times r^{2-3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{-3} \times q^{-1} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^1 \times r^{-1} \right) \\ & = -2 \times p^{-3 + (-1)} \times q^{-1+1} \times r^{3 + (-1)} \\ & = -2 \times p^{-4} \times r^2 = -\frac{2r^2}{p^4} \end{align} $
Soal no. 3
Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.
$\begin{align} \text{a. } \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)^2 & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{2}{6} \right)^2 \\ & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{2^4}{3^4} \times \frac{1}{3^2} \\ & = \frac{2^4}{3^{4+2}} = \frac{2^4}{3^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } & (-5)^3 \times \left( \frac{1}{15} \right)^2 \times \left( \frac{10}{3} \right)^4 \times \left( \frac{9}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \left( \frac{1}{3\times 5} \right)^2 \times \left( \frac{2 \times 5}{3} \right)^4 \times \left( \frac{3^2}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \frac{1}{3^2 \times 5^2} \times \frac{2^4 \times 5^4}{3^4} \times \frac{3^{10}}{5^5} \\ & = -5^{3+4-2-5} \times 3^{10-2-4} \times 2^4 = - 5^0 \times 3^4 \times 2^4 = - 3^4 \times 2^4 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } & \frac{3x^2 \times y^3}{24x} \times (2y)^2 \, ; \, \, \text{untuk } x = 2 \, \text{ dan } y = 3 \\ & = \frac{x \times y^3}{8} \times 2^2y^2 = \frac{1}{2} \times x\times y^5 \\ & = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^5 = 3^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & \frac{\left( \frac{2}{3} x\right)^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) (-y)^3}{xy^2} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{3} \\ & = \frac{ \frac{2^2}{3^2} x^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) -(y)^3}{xy^2} \\ & = - \frac{1}{3}xy = - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = - \frac{1}{18} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } & \frac{3p^2 \times (-3)^4}{(-2p)^2 \times (-3q)^2} \times 4\left( \frac{q}{p} \right)^2 \, ; \, \text{untuk } p = 4 \, \text{ dan } q = 6 \\ & = \frac{3p^2 \times 3^4}{2^2p^2 \times 3^2q^2} \times 4\left( \frac{q^2}{p^2} \right) \\ & = \frac{3^2}{p^2} = \frac{9}{4^2} = \frac{9}{16} \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } & \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} - y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{2} \\ & \text{ Menggunakan sifat : } (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 \\ & = \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} - y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( x^\frac{3}{2} \right)^2 - \left( y^{-\frac{3}{2}} \right)^2 \right) \frac{1}{x} \times y}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 - y^{-3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 - \frac{1}{y^3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 - \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^3} \right) \frac{\left( \frac{1}{2} \right)}{\left( \frac{1}{2} \right)}}{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)} + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 2 + 4 \right)} = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \times \frac{8}{8} = \frac{1-64}{2 + 48} = - \frac{63}{50} \end{align} $
Soal no. 4
Hitunglah : $ \begin{align} \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...} \end{align}$
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memodifikasi penyebutnya.
$ \begin{align} & \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...)+(2^{-4} - 2^{-4} + 4^{-4} - 4^{-4} + 6^{-4}-6^{-4} + ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...)+(2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4}+ ...) - (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4} +...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+5^{-4}+6^{-4}+ 7^{-4}+...)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)- 2^{-4}(1^{-4} + 2^{-4} + 3^{-4} +4^{-4}+ ...)} \\ & \text{pembilang dan penyebut dibagi dengan } \, (1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...) \\ & = \frac{1}{1- 2^{-4}\times 1} \\ & = \frac{1}{1- \frac{1}{2^4}} = \frac{1}{1-\frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{15}{16}} = \frac{16}{15} \end{align} $
Soal no. 5
Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b} \end{align}$
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan sifat pemfaktoran :
$ p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) $
Artinya kalau pangkatnya satu, maka menjadi :
$ p - q = (p^\frac{1}{2} + q^\frac{1}{2} )(p^\frac{1}{2} - q^\frac{1}{2} ) $
Sehingga bentuk : $ a - b = (a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2} ) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} & \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b} \\ & = \frac{(a\times a^\frac{2}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}(b\times b^\frac{1}{2})}{(a^\frac{1}{2} \times a^\frac{2}{3})b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}(b^\frac{1}{2} \times b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2} (a-b)}{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2}(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a-b)}{(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2} )}{(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} . \heartsuit $
Soal no. 6
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan berikut
a). $ 2^x = 8 $
     $ 2^x = 8 \rightarrow 2^x = 2^3 \rightarrow x = 3 $

b). $ 4^x = 0,125 $
     $ 4^x = 0,125 \rightarrow (2^2)^x = \frac{1}{8} \rightarrow 2^{2x} = 2^{-3} $
     $ 2x = -3 \rightarrow x = -\frac{3}{2} $

c). $ \left( \frac{2}{5} \right)^x = 1 $
     $ \left( \frac{2}{5} \right)^x = 1 \rightarrow \left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \frac{2}{5} \right)^0 \rightarrow x = 0 $
Soal no. 7
Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \end{align}$
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m . a^n = a^{m+n} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \\ & = \frac{(2^{2n+4})-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n} \times 2^2 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 2^4)-4 \times 2^{2n}}{2^{n+n} \times 4 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 16)-4 \times 2^{2n}}{2^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{\not{2}^{2n} (16-4)}{\not{2}^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{(16-4)}{ 4 } = \frac{12}{4} = 3 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah 3. $ \heartsuit $
Soal no. 8
      Misalkan kamu diminta menghitung $ 7^{64}. \, $ Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang diantara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tulisnkan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}. \, $ Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Bentuk $ 7^{64} \, $ dengan $ n = 64 $
Untuk menentukan banyaknya cara perkalian minimum (sesedikit mungkin), pangkatnya kita jabarkan.
$ n = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 6 $
$ 7^{64} = (((((7^2)^2)^2)^2)^2)^2 $
Banyaknya cara perkalian sesedikit mungkin :
ada $(2+2+2+2+2+2)-6 = 6 \, $ perkalian.
$\spadesuit \, $ Prosedurnya :
Hasilnya kita misalkan dalam bentuk aljabar karena sangat besar.
$7^2 = 7 \times 7 = a \, $ ada 1 perkalian
$ [7^2]^2 = a \times a = b \, $ ada 1 perkalian
$ [(7^2)^2]^2 = b \times b = c \, $ ada 1 perkalian
$ [((7^2)^2)^2]^2 = c \times c = d \, $ ada 1 perkalian
$ [(((7^2)^2)^2)^2]^2 = d \times d = e \, $ ada 1 perkalian
$ [((((7^2)^2)^2)^2)^2]^2 = e \times e = f \, $ ada 1 perkalian
Artinya banyak perkalian sebanyak $ 1 + 1+1+1+1+1 = 6 \, $ kali untuk memperoleh hasilnya (hasil akhirnya adalah $ f \, $) .
Jadi, bentuk $ 7^{64}, \, $ banyaknya perkalian (sesedikit mungkin) ada 6 perkalian.
Prosedur ini berlaku untuk pangkat bulat positif berapapun.

Untuk penjelasan lengkap tentang melakukan perkalian sesedikit mungkin, langsung saja klik "Cara Melakukan Banyak Perkalian Sesedikit Mungkin" .
Soal no. 9
Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ tanpa menghitung tuntas!
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Perhatikan sifat perpangkatan angka 7 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^1 & 7 \\ 7^2 & 9 \\ 7^3 & 3 \\ 7^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^5 & 7 \\ 7^6 & 9 \\ 7^7 & 3 \\ 7^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 7 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Misalkan, satuan dari $ 7^{21} = ....?$
$ 7^{21} = 7^{4\times 5 + 1} = 7^{4 \times 5} \times 7^1 = (7^4)^5 \times 7^1 $
Satuan $ 7^{21} = (\text{satuan } 7^4)^5 \times \text{satuan } 7^1 = (1)^5 \times 7 = 7 $
artinya satuan $ 7^{21} \, $ adalah 7.
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
Satuan dari : $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} $
*). $ 7^{1234} = 7^{4\times 308 + 2 } = 7^{4 \times 308} \times 7^2 = (7^4)^{308} \times 7^2 $
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{308} \times \text{satuan } 7^2 = (1)^{308} \times 9 = 9 $
*). $ 7^{2341} = 7^{4\times 585 + 1 } = 7^{4 \times 585} \times 7^1 = (7^4)^{585} \times 7^1 $
Satuan $ 7^{2341} = (\text{satuan } 7^4)^{585} \times \text{satuan } 7^1 = (1)^{585} \times 7 = 7 $
*). $ 7^{3412} = 7^{4\times 853} = 7^{4 \times 853} = (7^4)^{853}$
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{853} = (1)^{853} = 1 $
*). $ 7^{4123} = 7^{4\times 1030 + 3 } = 7^{4 \times 1030} \times 7^3 = (7^4)^{1030} \times 7^3 $
Satuan $ 7^{4123} = (\text{satuan } 7^4)^{1030} \times \text{satuan } 7^3 = (1)^{1030} \times 3 = 3 $
Sehingga diperoleh :
$\begin{align} & \text{satuan } 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \\ & = \text{satuan } 7^{1234} + \text{satuan } 7^{2341} + \text{satuan } 7^{3412} + \text{satuan } 7^{4123} \\ & = \text{satuan } (9 + 7 + 1 + 3) \\ & = \text{satuan } (20) \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ adalah 0. $ \heartsuit$
Soal no. 10
Tentukan angka satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 6 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 6^1 & 6 \\ 6^2 & 6 \\ 6^3 & 6 \\ 6^4 & 6 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 6 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 6.
Sehingga diperoleh :
Satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ adalah 6.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 2 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^1 & 2 \\ 2^2 & 4 \\ 2^3 & 8 \\ 2^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^5 & 2 \\ 2^6 & 4 \\ 2^7 & 8 \\ 2^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 2 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((2)^{26} \right)^{62} = 2^{26 \times 62} = 2^{1612} = 2^{4\times 403} = (2^4)^{403} $
Satuan $ \left((2)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 2^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 \, $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 3 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^1 & 3 \\ 3^2 & 9 \\ 3^3 & 7 \\ 3^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^5 & 3 \\ 3^6 & 9 \\ 3^7 & 7 \\ 3^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 3 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((3)^{26} \right)^{62} = 3^{26 \times 62} = 3^{1612} = 3^{4\times 403} = (3^4)^{403} $
Satuan $ \left((3)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 3^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 4 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^1 & 4 \\ 4^2 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^3 & 4 \\ 4^4 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 4 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode kedua.
Sehingga diperoleh :
$ \left((4)^{26} \right)^{62} = 4^{26 \times 62} = 4^{1612} = 4^{4\times 403} = (4^4)^{403} $
Satuan $ \left((4)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 4^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 5 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 5^1 & 5 \\ 5^2 & 5 \\ 5^3 & 5 \\ 5^4 & 5 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 5 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 5.
Sehingga diperoleh :
Satuan dari $ \left((5)^{26} \right)^{62} \, $ adalah 5.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 8 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^1 & 8 \\ 8^2 & 4 \\ 8^3 & 2 \\ 8^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^5 & 8 \\ 8^6 & 4 \\ 8^7 & 2 \\ 8^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 8 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((8)^{26} \right)^{62} = 8^{26 \times 62} = 8^{1612} = 8^{4\times 403} = (8^4)^{403} $
Satuan $ \left((8)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 8^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 9 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^1 & 9 \\ 9^2 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^3 & 9 \\ 9^4 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 9 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode kedua.
Sehingga diperoleh :
$ \left((9)^{26} \right)^{62} = 9^{26 \times 62} = 9^{1612} = 9^{4\times 403} = (9^4)^{403} $
Satuan $ \left((9)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 9^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $
Soal no. 11
Tunjukkan bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \, $ adalah kelipatan 13.
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menunjukkan kelipatan 13, maka harus terbentuk
$ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} = 13\times k \, $ ....pers(i)
dengan $ k \, $ adalah bilangan bulat positif.
$\clubsuit \,$ Pemfaktoran yang digunakan :
$ a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b+a^{n-3}b^2 - ... - b^{n-1}) $
dengan $ n \, $ adalah bilangan ganjil.
Bilangan 2002 dan 1001 adalah kelipatan 13 :
$ 2002 = 13 \times 154 = 13 \times p \, $ dan $ 1001 = 13 \times 77 = 13 \times q $
$\clubsuit \,$ Memodifikasi soal menjadi kelipatan 13
$ \begin{align} & 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \\ & = (1^{2001}+2001^{2001}) + (2^{2001}+2000^{2001}) + ...\\ & +(1000^{2001} + 1002^{2001}) + 1001^{2001} \\ & = (1+2001)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + ...-2001^{2000})+ \\ & + (2+2000)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + ...-2000^{2000})+... +1001^{2001} \\ & = (2002)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + ...-2001^{2000})+ \\ & + (2002)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + ...-2000^{2000})+...+1001^{2001} \\ & = (2002)(k_1)+ (2002)(k_2)+...+(13 \times q)^{2001} \\ & = (13\times p)(k_1)+ (13\times p)(k_2)+...+(13)(13^{2000}) \times (q)^{2001} \\ & = (13)(pk_1)+ (13)(pk_2)+...+(13 )(n) \\ & = 13 (pk_1 + pk_2 + ...+n) \\ & = 13 \times k \end{align} $
Berdasarkan pers(i), terbukti bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \, $ adalah kelipatan 13.
Disini, kita memisalkan semua aljabar yang ada seperti $ p,q, k_1,k_2,...,n,k \, $ adalah suatu bilangan bulat positif tertentu.
Jadi, terbukti yang diinginkan. $ \heartsuit $
Soal no. 12
Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \begin{align} \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \end{align} $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen
$ (ab)^n = a^n \times b^n ; \, \, \, $ dan $ a^{m+n} = a^m \times a^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$ \begin{align} & \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}((5\times 2)^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}((3\times 2)^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}(5^{2013}\times 2^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(3^{2010} \times 2^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008} \times 5^{2012} \times 2^{2011}(5^{1}\times 2^{2} + 1 )}{5^{2012} \times 3^{2009} \times 2^{2008}(3^{1} \times 2^{2} + 1) } \\ & = \frac{2^{3}(5\times 4 + 1 )}{ 3^{1} (3 \times 4 + 1) } \\ & = \frac{8\times (21 )}{ 3 \times (13) } \\ & = \frac{8\times (7 )}{ 13 } = \frac{56}{13} \end{align} $
Jadi, nilainya adalah $ \frac{56}{13} . \heartsuit $