Tampilkan postingan dengan label dimensi tiga. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label dimensi tiga. Tampilkan semua postingan

Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Konsep sudut berkaitan dengan dimensi tiga terakhir yang akan kita bahas pada artikel ini adalah Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Sudut antara dua bidang penghitungannya lebih kompleks dibandingan dengan "Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga" dan "Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga". Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tidak bisa langsung kita hitung besar sudutnya melainkan harus kita sederhanakan sedemikian sehingga akan diwakili oleh dua garis, sudut dua garis ini baru bisa kita hitung besarnya. Karena penghitungan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga pada akhirnya melibatkan sudut antara dua garis, maka sebaiknya teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi sebelumnya yaitu "Sudut Antara Dua garis pada Dimensi Tiga" dengan baik. Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga tentunya juga melibatkan konsep trigonometri seperti "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penerapan trigonometri pada segitiga : aturan cosinus".

Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat bidang V dan bidang W seperti pada gambar ilustrasi di atas. Jika kedua bidang belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudut dari kedua bidang tersebut.

Langkah-langkah menentukan Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika bidang V dan bidang W belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Lukis garis $ l $ yang merupakan perpotongan antara bidang V dan bidang W.
3). Lukis garis $ g $ pada bidang V dan garis $ h $ pada bidang W, dimana kedua garis ini tegak lurus dengan garis $ l $.
4). Sudutnya : $ \angle (V, W) = \angle (g,h) $.

Catatan :
*). Langkah berikutnya adalah mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada materi sebelumnya yaitu "sudut antara dua garis pada dimensi tiga".
*). garis $ g $ dan $ h $ harus berpotongan (harus bertemu agar terbentuk sudutnya).

Contoh soal Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ADHE!
Penyelesaian :
*). Bidang ABCD dan bidang ADHE berpotongan pada garis AD.
*). Pilih garis AB pada bidang ABCD dan garis AE pada bidang ADHE dimana AB dan AE tegak lurus AD. Sehingga sudutnya :
$ \angle (ABCD, ADHE) = \angle (AB, AE) = \angle BAE $
*). AB dan AE tegak lurus sehingga besarnya $ 90^\circ $.
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan ADHE adalah $ 90^\circ $.

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara bidang ABCD dan bidang ABGH!
Penyelesaian :
*). Bidang ABCD dan bidang ABGH berpotongan pada garis AB.
*). Pilih garis BC pada bidang ABCD dan garis BG pada bidang ABGH dimana BC dan BG tegak lurus AB. Sehingga sudutnya :
$ \angle (ABCD, ABGH) = \angle (BC, BG) = \angle GBC $
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu G ke C sehingga terbentuk segitiga GBC. Karena segitiga GBC siku-siku sama kaki, maka besar sudut $ GBC = 45^\circ $.
Jadi, besar sudut antara bidang ABCD dan ABGH adalah $ 45^\circ $.

3). Pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ adalah sudut antara bidang BDE dan bidang BDG, maka tentukan nilai $ \tan \theta $!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P terletak ditengah rusuk BD.
*). Bidang BDE dan bidang BDG berpotongan pada garis BD.
*). Pilih garis GP pada bidang BDG dan garis EP pada bidang BDE dimana EP dan GP tegak lurus BD. Sehingga sudutnya :
$ \angle (BDE, BDG) = \angle (EP, GP) = \angle EPG = \theta $
*). Panjang sisi segitiga EPG :
pada segitiga EAP,
$ EP = \sqrt{EA^2 + AP^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
$ EG = 2\sqrt{2} $ dan $ GP = EP = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga EPG dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{EP^2 + GP^2 - EG^2}{2.EP.GP} \\ & = \frac{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{6}.\sqrt{6} } \\ & = \frac{6 + 6 - 8}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Kita peroleh : $ \cos \theta = \frac{1}{3} = \frac{sa}{mi} $
pada segitiga siku-siku :
$ depan = \sqrt{mi^2 - sa^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
Sehingga nilai $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2} $.
Jadi, nilai $ \tan \theta = 2\sqrt{2} $.

4). Pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ adalah sudut antara bidang BEG dan bidang ABGH, maka tentukan nilai $ \cos \theta $!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P dan Q terletak berturut-turut ditengah BG dan AH.
*). Bidang BEG dan bidang ABGH berpotongan pada garis BG.
*). Pilih garis EP pada bidang BEG dan garis PQ pada bidang ABGH dimana EP dan PQ tegak lurus BG. Sehingga sudutnya :
$ \angle (BEG,ABGH) = \angle (EP, PQ) = \angle EPQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga EPQ siku-siku di Q :
$ PQ = 2 $ dan $ EQ = \frac{1}{2}ED = \sqrt{2} $
$ EP = \sqrt{PQ^2 + EQ^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga EPQ :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} = \frac{PQ}{EP} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

5). Titik T terletak ditengah AB pada kubus ABCD.EFGH. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang TED dan bidang ADHE!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik M terletak ditengah DE.
*). Bidang TED dan bidang ADHE berpotongan pada garis DE.
*). Pilih garis TM pada bidang TED dan garis AM pada bidang ADHE dimana TM dan AM tegak lurus DE. Sehingga sudutnya :
$ \angle (TED,ADHE) = \angle (TM, AM) = \angle TMA = \theta $
*). Panjang sisi segitiga ATM siku-siku di A :
$ AT = 1 $ dan $ AM = \frac{1}{2}AH = \sqrt{2} $
$ TM = \sqrt{AT^2 + AM^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga ATM :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{sa}{mi} = \frac{AM}{TM} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{2}{3}\sqrt{6} $.

6). Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Tentukan nilai tangen sudut antara bidang TAD dan bidang ABCD!
Penyelesaian :
*). Titik P dan Q berturut-turut terletak ditengah AD dan AC.
*). Bidang TAD dan bidang ABCD berpotongan pada garis AD.
*). Pilih garis TP pada bidang TAD dan garis PQ pada bidang ABCD dimana TP dan PQ tegak lurus AD. Sehingga sudutnya :
$ \angle (TAD,ABCD) = \angle (TP, PQ) = \angle TPQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga TPQ siku-siku di Q :
$ AQ = \sqrt{2} $ dan $ PQ = \frac{1}{2}AB = 1 $
$ TQ = \sqrt{AT^2 - AQ^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{7} $
*). Menentukan nilai $ \tan \theta $ pada segitiga TPQ :
$ \begin{align} \tan \theta & = \frac{de}{sa} = \frac{TQ}{PQ} = \frac{\sqrt{7}}{1} = \sqrt{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \sqrt{7} $.

7). Pada limas segiempat beraturan P.ABCD dengan panjang rusuk alas 4 cm dan rusuk tegak 5 cm. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang PAD dan bidang PBC!
Penyelesaian :
*). Karena bidang PAD dan PBC berpotongan pada satu titik saja (bukan pada sebuah garis), maka kita buat bidang yang melalui titik P dan tegak lurus bidang PAD dan PBC yaitu bidang PMN. Bidang PMN memotong bidang PAD dan PBC masing-masing pada garis PM dan PN, Sehingga sudutnya :
$ \angle (PAD,PBC) = \angle (PM, PN) = \angle MPN = \theta $
*). Panjang sisi segitiga PMN :
Pada segitiga PBN
$ PN = \sqrt{PB^2 - BN^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21} $
$ MN = 4 $ dan $ PM = PN = \sqrt{21} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga PMN dengan aturan kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{PM^2 + PN^2 - MN^2}{2.PM.PN} \\ & = \frac{( \sqrt{21})^2 + ( \sqrt{21})^2 - 4^2}{2. \sqrt{21}. \sqrt{21}} \\ & = \frac{21 + 21 - 16}{42} = \frac{26}{42} = \frac{13}{21} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{13}{21} $.

8). Pada limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak 3 cm. Tentukan nilai kosinus sudut antara bidang TAD dan bidang TAB!
Penyelesaian :
*). Bidang TAD dan bidang TAB berpotongan pada garis AT.
*). Kita pilih titik P pada garis AT sehingga garis BP pada bidang TAB dan garis DP pada bidang TAD tegak lurus dengan garis AT. Sehingga sudutnya :
$ \angle (TAD, TAB) = \angle (PB,PD) = \angle BPD = \theta $
*). Perhatikan segitiga TAB :
$ TQ = \sqrt{AT^2 - AQ^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
dengan konsep luas pada segitiga TAB :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AT.PB & = \frac{1}{2}.AB.TQ \\ AT.PB & = AB.TQ \\ 3.PB & = 2.2\sqrt{2} \\ PB & = \frac{4\sqrt{2}}{3} \end{align} $
*). Panjang sisi segitiga BPD :
Pada segitiga PBN
$ BP = PD = \frac{4\sqrt{2}}{3} $ dan $ BD = 2\sqrt{2} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga BPD dengan aturan kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{BP^2 + PD^2 - BD^2}{2.BP.PD} \\ & = \frac{( \frac{4\sqrt{2}}{3})^2 + ( \frac{4\sqrt{2}}{3})^2 - (2\sqrt{2})^2}{2. \frac{4.\sqrt{2}}{3}. \frac{4\sqrt{2}}{3}} \\ & = \frac{\frac{32}{9} + \frac{32}{9} - 8}{\frac{64}{9}} \times \frac{9}{9} \\ & = \frac{32+32 - 72}{64} = \frac{-8}{64} = -\frac{1}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = -\frac{1}{8} $.

9). Tentukan nilai sinus sudut antara bidang BDHF dan bidang AFH pada kubus ABCD.EFGH!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Titik P dan Q terletak berturut-turut ditengah FH dan BD.
*). Bidang AFH dan bidang BDHF berpotongan pada garis FH.
*). Pilih garis AP pada bidang AFH dan garis PQ pada bidang BDHF dimana AP dan PQ tegak lurus FH. Sehingga sudutnya :
$ \angle (AFH,BDHF) = \angle (AP, PQ) = \angle APQ = \theta $
*). Panjang sisi segitiga APQ siku-siku di Q :
$ PQ = AE = 2 $ dan $ AQ = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $
$ AP = \sqrt{PQ^2 + AQ^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ pada segitiga APQ :
$ \begin{align} \sin \theta & = \frac{de}{mi} = \frac{AQ}{AP} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} $.

10). Pada kubus ABCD.EFGH. Tentukan besar sudut antara bidang ACGE dan bidang CFH!
Penyelesaian :
*). Titik P terletak ditengah garis FH.
*). Bidang ACGE dan bidang CFH berpotongan pada garis CP.
*). Pilih garis FP pada bidang CFH dan garis PQ pada perluasan bidang ACGE dimana FP dan PQ tegak lurus CP. Sehingga sudutnya :
$ \angle (CFH, ACGE) = \angle (FP, PQ) = \angle FPQ = \theta $
*). Segitiga CPG sebangun dengan segitiga CPQ :
$ \begin{align} \frac{CP}{CQ} & = \frac{CG}{CP} \\ CP^2 & = CQ. CG \\ (\sqrt{6})^2 & = CQ.2 \\ 6 & = 2CQ \\ CQ & = 3 \end{align} $
Sehingga $ GQ = CQ - CG = 3 - 2 = 1 $
$ PQ = \sqrt{CQ^2 - CP^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{3} $
Pada segitiga FGQ :
$ FQ = \sqrt{FG^2 + GQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga FPQ dengan aturan kosinus :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{FP^2 + PQ^2 - FQ^2}{2.FP.PQ} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - ( \sqrt{5})^2}{2 .\sqrt{2}.\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 + 3 - 5}{2\sqrt{6}} = \frac{0}{2\sqrt{6}} \\ \cos \theta & = 0 \\ \theta & = 90^\circ \end{align} $
Jadi, sudut antara ACGE dan CFH adalah $ 90^\circ $.

       Demikian pembahasan materi Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "melukis bidang irisan".

Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Setelah membahas materi "sudut antara dua garis pada dimensi tiga", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga. Langkah-langkah Penghitungan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini sedikit lebih sulit dibandingkan menghitung besarnya sudut antara dua garis karena melibatkan "konsep proyeksi garis pada bidang" agar dijamin sudut yang kita peroleh adalah sudut terkecil. Silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu konsep proyeksi pada artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang". Setelah mengetahui proyeksi, Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dapat kita sederhanakan menjadi sudut antara dua garis, sehingga kita harus menguasai juga materi sebelumnya yang berkaitan dengan "sudut antara dua garis pada dimensi tiga". Jika garis dan bidang sejajar, maka besarnya sudut yang terbentuk adalah $ 0^\circ $. Namun pada soal-soal, kita akan jarang menjumpai kasus garis dan bidangnya sejajar.

Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga
       Perhatikan gambar ilustrasi di atas. Misalkan terdapat garis $ g $ dan bidang V. Jika garis dan bidang belum berpotongan (belum bertemu), maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga berpotongan dan terbentuk sudutnya.

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :
1). Jika garis $ g $ dan bidang V belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Lukis garis $ h $ yang merupakan hasil proyeksi garis $ g $ pada bidang V.
3). Sudutnya : $ \angle (g, V) = \angle (g, h) $

Cara lain untuk menentukan garis $ h $ :
a). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan tegak lurus bidang V.
b). Garis $ h $ adalah perpotongan bidang V dan bidang W.

Catatan :
*). Langkah berikutnya adalah mencari sudut antara dua garis yang sudah kita pelajari pada materi sebelumnya yaitu "sudut antara dua garis pada dimensi tiga".

Contoh soal Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut garis BG an bidang alas (bidang ABCD)?
Penyelesaian :
*). Hasil proyeksi BG pada bidang alas (bidang ABCD) adalah BC. Sehingga sudutnya : $ \angle (BG, ABCD) = \angle (BG, BC) $
*). Hubungkan ujung kedua garis yaitu C ke G sehingga terbentuk segitiga BCG siku-siku sama kaki sehingga besar sudutnya $ \angle CBG = 45^\circ $.
Jadi, sudut BG dan ABCD adalah $ 45^\circ $.

Catatan : Cara lain memproyeksikan
*). Buat bidang melalui BG dan tegak lurus ABCD yaitu bidang BCGF.
*). Bidang ABCD dan BCGF berpotongan pada garis BC, sehingga hasil proyeksi BG pada ABCD adalah BC.

2). Jika $ \theta $ adalah sudut yang dibentuk antara garis AC dan bidang BDG pada kubus ABCD.EFGH, maka tentukan nilai $ \sin \theta $ !
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui AC dan tegak lurus bidang BDG yaitu bidang ACGE dimana kedua bidang berpotongan pada garis GP. Sehingga :
$ \angle (AC, BDG) = \angle (AC, GP) = \angle GPC = \theta $.
*). Segitiga GPC siku-siku di C :
$ CP = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $ dan $ CG = 2 $
$ GP = \sqrt{CP^2 + CG^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6} $.
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ pada segitiga GPC :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{CG}{GP} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2}{6}\sqrt{6} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

3). Diketahui kubus ABCD.EFGH, tentukan besar sudut antara garis AH dan bidang BDHF!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui AH dan tegak lurus bidang BDHF yaitu bidang ACH dimana kedua bidang berpotongan pada garis HP. Sehingga :
$ \angle (AH, BDHF) = \angle (AH, HP) = \angle AHP $.
*). Karena segitiga ACH sama kaki dan titik P terletak ditengah AC, maka segitiga AHP siku-siku di P.
*). Segitiga AHP siku-siku di P :
$ AP = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $ dan $ AH = 2\sqrt{2} $
*). Menentukan besar sudut AHP :
$ \begin{align} \sin \angle AHP & = \frac{de}{mi} = \frac{AP}{AH} \\ \sin \angle AHP & = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ \sin \angle AHP & = \frac{1}{2 } \\ \angle AHP & = 30^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut antara AH dan BDHF adalah $ 30^\circ $.

4). Diketahui limas segitiga beraturan P.QRS dengan panjag rusuk alas $ a $ cm dan panjang rusuk tegak $ a\sqrt{3} $ cm. Jika sudut antara garis PS dan bidang QRS adalah $ \alpha $, maka tentukan nilai $ \cos \alpha $!
Penyelesaian :
*). Buat bidang melalui PS dan tegak lurus bidang QRS yaitu bidang PSM dimana kedua bidang berpotongan pada garis SM. Sehingga :
$ \angle (PS, QRS) = \angle (PS, SM) = \angle PSM = \alpha $.
*). Menentukan panjang sisi segitiga PSM :
$ PS = a\sqrt{3} $
Pada segitiga SMQ :
$ SM = \sqrt{SQ^2 - QM^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{3} $
Pada segitiga PMQ :
$ PM = \sqrt{PQ^2 - QM^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2}a)^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{11} $
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \alpha & = \frac{PS^2 + SM^2 - PM^2}{2.PS.SM} \\ & = \frac{(a\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{3})^2 - (\frac{1}{2}a\sqrt{11})^2}{2.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}a\sqrt{3}} \\ & = \frac{3a^2 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{11}{4}a^2}{3a^2} \\ & = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

Cara II untuk contoh soal nomor 4 :
*). Jika kita proyeksikan PS dimana titik P akan jatuh pada titik N. Titik N adalah titik berat segitiga QRS dengan perbandingan $ SN : NM = 2 : 1 $. Sehingga panjang SN yaitu :
$ SN = \frac{2}{3}SM = \frac{2}{3}. \frac{1}{2}a\sqrt{3} = \frac{1}{3}a\sqrt{3} $
*). segitiga SPN siku-siku di N sehingga nilai :
$ \cos \alpha = \frac{sa}{mi} = \frac{SN}{PS} = \frac{\frac{1}{3}a\sqrt{3} }{a\sqrt{3} } = \frac{1}{3} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $.

5). Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik T terletak ditengah GH. Jika $ \theta $ adalah sudut antara garis DT dan bidang BDHF, maka tentukan $ \cos \theta $ !
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui DT dan tegak lurus bidang BDHF yaitu bidang DQT dimana kedua bidang berpotongan pada garis DP. Sehingga :
$ \angle (DT, BDHF) = \angle (DT, DP) = \angle PDT = \theta $.
*). Karena segitiga DQT sama kaki dan titik P terletak ditengah QT, maka segitiga PDT siku-siku di P.
*). Menentukan sisi segitiga PDT :
$ PT = \frac{1}{2}QT = \frac{1}{2}\sqrt{2} $
pada segitiga DHT :
$ DT =\sqrt{DH^2 + HT^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ DP = \sqrt{DT^2 - PT^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{2})^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga PDT:
$ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{DP}{DT} = \frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{3}{10}\sqrt{10} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{3}{10}\sqrt{10} $.

6). Titik P terletak pada perpanjangan rusuk CG sehingga $ CG = GP $ pada kubus ABCD.EFGH. Jika $ \beta $ adalah sudut antara garis PC dan bidang BDP, maka tentukan nilai $ \tan \beta $!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Buat bidang melalui PC dan tegak lurus bidang BDP yaitu bidang ACPS dimana kedua bidang berpotongan pada garis PQ. Sehingga :
$ \angle (PC, BDP) = \angle (PC, PQ) = \angle CPQ = \beta $.
*). Menentukan sisi segitiga CPQ :
$ QC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2} $ dan $ PC = 4 $
*). Menentukan nilai $ \tan \beta $ pada segitiga CPQ:
$ \tan \beta = \frac{de}{sa} = \frac{QC}{PC} = \frac{ \sqrt{2}}{4} $
Jadi, nilai $ \tan \beta = \frac{ \sqrt{2}}{4} $.

7). Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika $ \theta $ adalah sudut antara garis CF dan bidang ACH, maka tentukan $ \cos \theta $ !
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm.
*). Bangun F.ACH adalah limas segitiga beraturan dengan alas ACH.
*). Buat bidang melalui CF dan tegak lurus bidang ACH yaitu bidang CPF dimana kedua bidang berpotongan pada garis CP. Sehingga :
$ \angle (CF, ACH) = \angle (CF, CP) = \angle PCF = \theta $.
*). Menentukan panjang sisi segitiga PCF.
$ CF = 2\sqrt{2} $
Pada segitiga PEF :
$ PF = \sqrt{EF^2 + EP^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{6} $
$ PC = PF = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \cos \theta $ pada segitiga PCF :
$ \begin{align} \cos \theta & = \frac{PC^2 + CF^2 - PF^2}{2.PC.CF} \\ & = \frac{( \sqrt{6})^2 + (2\sqrt{2} )^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{6}.2\sqrt{2} } \\ & = \frac{8}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{3} \sqrt{3} $.

       Demikian pembahasan materi Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Sudut Antara Dua Bidang pada Dimensi Tiga".

Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Setelah mempelajari konsep jarak pada dimensi tiga, pada artikel ini kita akan melanjutkan pembahasan materi yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga. Besarnya Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga bisa kita hitung jika kedua garis sudah berptongan, jika tidak maka harus ada yang kita geser sejajar garis awal sehingga kedua garis berpotongan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka besar sudutnya $ 0^\circ $ karena jika kita geser maka kedua garis akan berimpit. Namun pada soal-soal biasanya jarang kita temukan dimana kedua garisnya sejajar. Dalam penghitungan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga melibatkan konsep trigonometri. Ada dua rumus dasar trigonometri yang akan kita gunakan yaitu "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" dan "penereapan trigonometri pada segitiga yaitu aturan kosinus". Ini artinya, untuk memudahkan mempelajari materi Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai kedua materi trigonometri tersebut. Karena berkaitan dengan rumus trigonometri, maka pada soal-soal selain menyakan besar Sudut Antara Dua Garis, juga menanyakan nilai perbandingan trigonometrinya seperti nilai sin, nilai cos, nilai tan, dan lainnya.

Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat garis $ g $ dan $ h $. Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser salah satu (atau keduanya) sehingga kedua garis berpotongan. Dalam menggeser garis harus tetap sejajar dengan posisi garis awalnya. Sudut yang terbentuk adalah pada perpotongan kedua garis yang dibatasi kedua garis (baik garis awal maupun garis hasil pergeserannya).

Langkah-langkah Menentukan Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :
1). Jika kedua garis belum berpotongan, maka geser sehingga berpotongan.
2). Hubungakan kedua ujung garis sehingga terbentuk segitiga.
3). Ada dua kemungkinan besar sudutnya, yaitu :
(i). Besar sudut langsung bisa ditebak
     a). Segitiga sama sisi, besar sudutnya $ 60^\circ $
     b). Sudut siku-siku, besar sudutnya $ 90^\circ $
     c). Segitiga siku-siku sama kaki, besar sudutnya $ 45^\circ $
(ii). Sudut tidak bisa langsung ditebak, ada dua cara yaitu :
a). Terbentuk segitiga siku-siku. Perhitungan sudutnya menggunakan "perbandingan trigonometri dasar" yaitu $ \sin = \frac{de}{mi} $ , $ \cos = \frac{sa}{mi} $ , dan $ \tan = \frac{de}{sa} $.
b). Bukan segitiga siku-siku. Perhitungannya menggunakan "aturan cosinus" yaitu
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos C \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2}{2ba} $
Catatan :
*). Baik diketahui atau tidak panjang rusuk pada kubus, untuk memudahkan sebaiknya kita pilih panjang rusuk yang mudah bagi kita dalam melakukan perhitungan, misalkan kita pilih panjang rusuknya 2, atau 4, atau 6, dan lainnya.
*). Kedu garis boleh diperpanjang atau diperpendek yang bertujuan untuk memudahkan dalam perhitungan karena sudutnya akan tetap besarnya.

Contoh soal Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara BG dan CH?
Penyelesaian :
*). Karena BG dan CH belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser CH ke BE (CH dan BE sejajar), sehingga sudutnya sama dengan BG dan BE.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu E ke G sehingga terbentuk segitiga EBG. sehingga
$ \angle (BG, CH) = \angle (BG, BE) = \angle EBG $
*). Karena segitiga EBG sama sisi, maka besar sudutnya $ 60^\circ $.
Jadi, besar sudut BG dan CH adalah $ 60^\circ $.
Catatan : kita juga bisa menggeser BG ke AH sehingga sudutnya AHC = $ 60^\circ $

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara AE dan FG?
Penyelesaian :
*). Karena AE dan FG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser FG ke AD (FG dan AD sejajar), sehingga sudutnya sama dengan AE dan AD.
$ \angle (AE, FG) = \angle (AE, AD) = \angle EAD $
*). Karena AE dan AD tegak lurus, maka besar sudutnya $ 90^\circ $.
Jadi, besar sudut AE dan FG adalah $ 90^\circ $.
Catatan : kita juga bisa menggeser AE ke FB sehingga sudutnya BFG = $ 90^\circ $

3). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara AH dan BC?
Penyelesaian :
*). Karena AH dan BC belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BC ke AD (BC dan AD sejajar), sehingga sudutnya sama dengan AH dan AD.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu H ke D sehingga terbentuk segitiga ADH. sehingga
$ \angle (AH, BC) = \angle (AH, AD) = \angle DAH $
*). Karena segitiga ADH siku-siku sama kaki dengan AD = DH,
maka besar sudutnya $ \angle DAH = 45^\circ $.
Jadi, besar sudut AH dan BC adalah $ 45^\circ $.
Catatan : kita juga bisa menggeser AH ke BG sehingga sudutnya CBG = $ 45^\circ $

4). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 2018. Jika $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk oleh AG dan AC, maka tentukan nilai $ \sin \theta $!
Penyelesaian :
*). AG dan AC berptongan di A sehingga sudutnya :
$ \theta = \angle (AG, AC) = \angle CAG $
*). Meskipun pada soal diketahui panjang rusuknya 2018, kita pilih panjang rusuk yang mudah dihitung yaitu 2. (nilainya akan sama karena pada trigonometri menggunakan konsep perbandingan sehingga pasti bisa disederhanakan).
*). Segitiga CAG siku-siku di C dengan panjang :
$ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ , $ AC = 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ dan $ CG = 2 $.
*). Menentukan nilai $ \sin \theta $ :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{CG}{AG} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{3}\sqrt{3} $.

5). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan besarnya sudut antara CE dan BG?
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena CE dan BG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BG ke PQ (BG dan AQ sejajar), dimana CE dan PQ berpotongan di O, sehingga sudutnya sama dengan OE dan OQ.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu E ke Q sehingga terbentuk segitiga EOQ. sehingga
$ \angle (CE, BG) = \angle (CE, PQ) = \angle (OE, OQ) = \angle EOQ $
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EOQ,
$ OE = \frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}(2\sqrt{3}) = \sqrt{3} $
$ OQ = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2}(2\sqrt{2}) = \sqrt{2} $
Pada segitiga EHQ :
$ EQ = \sqrt{EH^2 + HQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
*). Menentukan besar sudut EOQ dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle EOQ & = \frac{OE^2 + OQ^2 - EQ^2}{2.OE.OQ} \\ & = \frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2.\sqrt{3}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{3 + 2 - 5}{2\sqrt{6} } \\ & = \frac{0}{2\sqrt{6} } \\ \cos \angle EOQ & = 0 \\ EOQ & = 90^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut CE dan BG adalah $ 90^\circ $.

6). Pada kubus ABCD.EFGH dan titik P terletak di tengah CG. Misalkan $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk oleh BP dan AG, maka tentukan nilai $ \tan \theta$?
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena BP dan AG belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BP ke GQ (BP dan GQ sejajar), sehingga sudutnya sama dengan AG dan GQ.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu A ke Q sehingga terbentuk segitiga AGQ. sehingga
$ \angle (AG, BP) = \angle (AG, GQ) = \angle AGQ $

Cara I :
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga AGQ,
$ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Pada segitiga ABQ :
$ AQ = \sqrt{AB^2 + BQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ GQ = AQ = \sqrt{5} $
*). Menentukan nilai cosinus sudut AGQ dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle AGQ & = \frac{AG^2 + GQ^2 - AQ^2}{2.AG.GQ} \\ & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{5}} \\ & = \frac{12 + 5 - 5}{4\sqrt{15} } \\ & = \frac{12}{4\sqrt{15} } \\ \cos \angle EOQ & = \frac{3}{\sqrt{15} } = \frac{sa}{mi} \end{align} $
Dengan pythagoras :
$ depan = \sqrt{mi^2 - sa^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 - 3^2} = \sqrt{6} $
Sehingga nilai $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

Cara II :
*). Dari cara I di atas, kita taris garis QR yang memotong AG di tengah-tengah dimana QR tegak lurus dengan AG.
*). Perhatikan segitiga GOQ siku-siku di O :
$ OG = \frac{1}{2}AG = \sqrt{3} $ dan $ OQ = \frac{1}{2} QR = \sqrt{2} $
sehingga nilai :
$ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{QO}{OG} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{1}{3}\sqrt{6} $.

7). Pada kubus ABCD.EFGH, terdapat titik R yang merupakan perpanjangan rusuk CG dengan perbandingan $ CG : GR = 2:1 $. Tentukan nilai $ \sin \theta $ dimana $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk antara CR dan AR!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). CR dan AR berpotongan di R sehingga sudutnya $ \theta = \angle ARC $
*). Menentukan panjang sisi segitiga ACR siku-siku di C
$ AC = 2\sqrt{2} $ , $ CQ = 3 $
$ AR = \sqrt{AC^2 + CR^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{17} $
Sehingga nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{AR} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = \frac{2}{17}\sqrt{34} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{2}{17}\sqrt{34} $

8). Pada kubus ABCD.EFGH dan titik P terletak di tengah-tengah CG. Tentukan nilai $ \cos \theta $ dimana $ \theta $ adalah sudut yang terbentuk antara BP dan CE!
Penyelesaian :
*). Pilih panjang rusuknya 2 cm
*). Karena BP dan CE belum berpotongan, geser salah satu, misal kita geser BP ke EQ (BP dan EQ sejajar), sehingga sudutnya sama dengan CE dan EQ. Titik Q terletak pada kubus di atasnya yang panjang rusuknya sama yaitu 2. Kubus baru ini kita buat untuk memudahkan dalam penghitungan.
*). Hubungkan kedua ujung garis yaitu C ke Q sehingga terbentuk segitiga CEQ. sehingga
$ \angle (CE, BP) = \angle (CE, EQ) = \angle CEQ = \theta $
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga CEQ,
$ CE = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $
Pada segitiga HEQ :
$ EQ = \sqrt{EH^2 + HQ^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
Pada segitiga CDQ :
$ CQ = \sqrt{CD^2 + DQ^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $
*). Menentukan nilai cosinus sudut CEQ dengan aturan cosinus :
$ \begin{align} \cos \angle CEQ & = \frac{CE^2 + EQ^2 - CQ^2}{2.CE.EQ} \\ \cos \theta & = \frac{(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{13})^2}{2.2\sqrt{3}.\sqrt{13}} \\ & = \frac{12 + 5 - 13}{4\sqrt{39} } \\ & = \frac{4}{4\sqrt{39} } \\ \cos \theta & = \frac{1}{\sqrt{39} } = \frac{1}{39}\sqrt{39} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \theta = \frac{1}{39}\sqrt{39} $.

       Demikian pembahasan materi Sudut Antara Dua Garis pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Sudut Antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga".

Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Konsep jarak terakhir yang akan kita bahas yang berkaitan jarak pada dimensi tiga tingkat SMA adalah Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Seperti biasa, konsep jarak yang akan kita hitung dalam materi Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga adalah jarak terdekat dari kedua bidang tersebut. Untuk menentukan jarak terdekatnya, kita akan menerapkan langkah-langkah yang diperlukan dalam menghitung Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai materi jarak sebelumnya seperti jarak dua titik dan jarak titik ke garis dalam artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", "jarak titik ke bidang", "jarak dua garis", dan "jarak garis dan bidang pada dimensi tiga". Materi konsep jarak sebelumnya sangat penting karena kita tidak bisa menghitung langsung jarak dua bidang melainkan menyederhanakan sehingga jaraknya sama dengan jarak titik ke garis atau jarak lainnya yang sudah kita pelajari.

Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga
Misalkan terdapat dua bidang U dan V yang tidak saling berpotongan (jika berpotongan maka jaraknya nol). Perhatikan gambar ilustrasi di atas, langkah-langkah menentukan jarak kedua bidang tersebut yaitu :
1). Buat bidang W yang tegak lurus dengan bidang U dan bidang V,
2). Misalkan garis $ g $ dan $ h $ adalah perpotongan bidang W dengan bidang U dan bidang W dengan bidang V,
3). Jarak U ke V = jarak garis $ g $ ke $ h $.

Ada dua cara untuk menentukan jarak $ g $ dan $ h $ yaitu :
Cara I :
i). Pilih sembarang satu titik P pada salah satu garis,
ii). Jarak $ g $ dan $ h $ adalah jarak titik titik P ke garis yang tidak memuat P.
Cara II :
a). buat bidang T yang tegak lurus garis $ g $ dan $ h $,
b). bidang U memotong garis $ g $ dan $ h $ masing-masing di titik P dan Q,
c). Jarak $ g $ ke $ h $ = jarak titik P ke titik Q.

Contoh Soal Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga

1). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 3 cm. Tentukan jarak bidang BCGF dan ADHE!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus BCGF dan ADHE yaitu bidang ABFE.
*). ABFE memotong BCGF dan ADHE di BF dan AE, sehingga jaraknya adalah BF ke AE.
*). Buat bidang tegak lurus BF dan AE yaitu ABCD dimana ABCD memotong BF dan AE di A dan B, sehingga jaraknya adalah A ke B yaitu 3 cm.
Jadi, jarak bidang BCGF dan ADHE adalah 3 cm.

2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak bidang BDE dan CFH!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus BDE dan CFH yaitu bidang ACGE.
*). ACGE memotong BDE dan CFH di PE dan CQ, sehingga jaraknya adalah PE ke CQ.
*). Kita pilih titik P pada PE, sehingga jaraknya adalah P ke CQ yaitu panjang PN. Untuk memudahkan perhitungan PN, kita fokus pada segitiga CPQ yang siku-siku di P.
*). Menentukan panjang sisi-sisi CPQ
$ CP = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2} \, $ cm
PQ = CG = 6 cm
$ CQ = \sqrt{CP^2 + PQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6}= 3\sqrt{2} \sqrt{3} $
*). Konsep luas segitiga CPQ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.CP.PQ & = \frac{1}{2}.CQ.PN \\ CP.PQ & = CQ.PN \\ 3\sqrt{2} . 6 & = 3\sqrt{2} \sqrt{3} .PN \\ 6 & = \sqrt{3} .PN \\ PN & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BDE dan CFH adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

3). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Titik-titik P, Q, R, dan S terletak di tengah-tengah AB, EF, EH, dan AD. Titik-titik T, U, V, dan W terletak di tengah-tengah BC, FG, GH, dan CD. Tentukan jarak bidang PQRS dan TUVW!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus PQRS dan TUVW yaitu bidang ACGE.
*). ACGE memotong PQRS dan TUVW di MN dan XY, sehingga jaraknya adalah MN ke XY.
*). Buat bidang tegak lurus MN dan XY yaitu ABCD dimana ABCD memotong MN dan XY di M dan X, sehingga jaraknya adalah M ke X.
$ MX = \frac{2}{4}AC = \frac{2}{4} . 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $
Jadi, jarak bidang PQRS dan TUVW adalah $ 2\sqrt{2} \, $ cm.

4). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 2 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak ditengah-tengah AE dan CG. Tentukan jarak bidang PFH dan QBD!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus PFH dan QBD yaitu bidang ACGE.
*). ACGE memotong PFH dan QBD di PX dan QY, sehingga jaraknya adalah PX ke QY.
*). Kita pilih titik X pada PX, sehingga jaraknya adalah X ke QY yaitu panjang XN. Untuk memudahkan perhitungan XN, kita fokus pada segitiga XQY.
*). Menentukan panjang sisi-sisi XQY
XY = CG = 2 cm
Pada segitiga CQY :
$ QY = \sqrt{YC^2 + CQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3} \, $ cm
QX = QY = $ \, \sqrt{3} \, $ cm
Misalkan $ YN = s $, maka $ NQ = \sqrt{3} - s $
*). Menentukan $ s $ pada $ \Delta XQY $ :
$ \begin{align} t^2 \, (\Delta YNX) & = t^2 \, (\Delta QNX) \\ XY^2 - YN^2 & = XQ^2 - NQ^2 \\ 2^2 - s^2 & = (\sqrt{3})^2 - ( \sqrt{3} - s)^2 \\ 4 - s^2 & = 3 - ( 3 - 2\sqrt{3}s + s^2) \\ 4 - s^2 & = 3 - 3 + 2\sqrt{3}s - s^2 \\ 4 & = 2\sqrt{3}s \\ s & = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{3} \end{align} $
*). Menentukan $ XN = t $ pada segitiga YNX :
$ \begin{align} t & = \sqrt{XY^2 - YN^2} \\ & = \sqrt{2^2 - s^2} \\ & = \sqrt{2^2 - (\frac{2}{3}\sqrt{3} )^2} \\ & = \sqrt{2^2 - \frac{4}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak PFH dan QBD adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{6} \, $ cm.

5). Sebuah limas T.ABCD dimana semua panjang rusuknya sama yaitu 8 cm. Titik P, Q, R, dan S masing-masing terletak ditengah-tengah AB, CD, TD, dan TA. Tentukan jarak PQRS dan TBC!
Penyelesaian :
*). Buat bidang yang tegak lurus PQRS dan TBC yaitu bidang TUV.
*). TUV memotong PQRS dan TBC di OK dan TV, sehingga jaraknya adalah OK ke TV.
*). Kita pilih titik O pada OK, sehingga jaraknya adalah O ke TV yaitu panjang ON. Untuk memudahkan perhitungan ON, kita fokus pada segitiga TOV.
*). Menentukan panjang sisi-sisi TOV :
$ OV = \frac{1}{2}AB = 4 \, $ cm
Pada segitiga TOB :
$ TO = \sqrt{TB^2 - OB^2} = \sqrt{8^2 - (4\sqrt{2})^2} = 4\sqrt{2} \, $ cm
Pada segitiga TVC :
$ TV = \sqrt{TC^2 - CV^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = 4\sqrt{3} \, $ cm
*). Konsep luas segitiga TOV :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.TO.OV & = \frac{1}{2}.TV.ON \\ TO.OV & = TV.ON \\ 4\sqrt{2} . 4 & = 4\sqrt{3}.ON \\ ON & = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3}\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak PQRS dan TBC adalah $ \frac{4}{3}\sqrt{6} \, $ cm.

6). Pada Kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 4 cm. Terdapat titik P dan Q masing-masing di tengah-tengah EF dan EH. Tentukan jarak APQ dan BCGF!
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar contoh 6 di atas, bidang APQ dan BCGF tidak sejajar sehingga jika kedua bidang diperluas maka akan berpotongan. Disini kita akan mencari jarak terdekat antara segmen bidang APQ dan BCGF yang tampak pada kubus ABCD.EFGH tanpa adanya perluasan. Jarak terdekat akan kita peroleh dari titik P ke garis FB yaitu jarak antara P ke F sebesar 2 cm.
Jadi, jarak APQ dan BCGF adalah 2 cm.

       Demikian pembahasan materi Jarak Dua Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Sudut antara Dua Garis pada Dimensi Tiga".

Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga . Seperti yang telah kita pelajari, konsep jarak pada dimensi tiga adalah "jarak terpendek yang kita hitung antara garis dan bidang. Jarak terpendek akan kita peroleh salah satunya ketika terbentuk bagian yang tegak lurus. Sebelum mempelajari materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga ini, kita juga telah membahas materi jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", materi "jarak titik dan bidang", dan "jarak dua garis pada dimensi tiga". Lalu bagaimana cara menghitung Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga? Tentu kita tidak bisa langsung menghitung jarak garis ke bidang, namun yang bisa kita hitung adalah jarak titik ke garis atau jarak dua garis atau jarak titik ke bidang, sehingga kita perlu menyederhanakan agar bentuknya ekuivalen dengan bentuk yang paling sederhana. Jadi, untuk memudahkan mempelajari Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga, teman-teman harus menguasai dahulu konsep jarak-jarak sebelumnya pada dimensi tiga.

Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan terdapat garis $ g $ dan bidang W yang tidak berpotongan, perhatikan ilustrasi gambar di atas. Langkah-langkah Menentukan jarak garis $ g $ ke bidang W yaitu :
1). Buat sebuah bidang V yang melalui garis $ g $ dan tegak lurus bidang W,
2). Tentukan perpotongan bidang V dan bidang W, misalkan keduanya berpotongan di sepanjang garis $ l $,
3). Jarak $ g $ ke bidang W = jarak $ g $ ke $ l $.

Ada dua cara untuk menentukan jarak $ g $ dan $ l $ yaitu :
Cara I :
i). Pilih sembarang satu titik P pada salah satu garis,
ii). Jarak $ g $ dan $ l $ adalah jarak titik titik P ke garis yang tidak memuat P.
Cara II :
a). buat bidang U yang tegak lurus garis $ g $ dan $ l$,
b). bidang U memotong garis $ g $ dan $ l $ masing-masing di titik P dan Q,
c). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke titik Q.

Contoh soal Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga :

1). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak BC dan bidang ADHE!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui BC dan tegak lurus ADHE yaitu bidang ABCD dimana kedua bidang berpotongan di AD, sehingga jaraknya adalah BC ke AD.
*). Buat bidang yang tegak lurus BC dan AD yaitu bidang ABFE yang berpotongan dengan garis di A dan B, sehingga jaraknya adalah A ke B yaitu 5 cm.
Jadi, jarak BC dan bidang ADHE adalah 5 cm.

2). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan bidang BCGF!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui AH dan tegak lurus BCGF yaitu bidang ABGH dimana kedua bidang berpotongan di BG, sehingga jaraknya adalah AH ke BG.
*). Buat bidang yang tegak lurus AH dan BG yaitu bidang CDEF yang berpotongan dengan garis di P dan Q, sehingga jaraknya adalah P ke Q yaitu 6 cm.
Jadi, jarak AH dan bidang BCGF adalah 6 cm.

3). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, titik P terletak di tengah-tengah BD. Tentukan jarak PG dan bidang AFH!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui PG dan tegak lurus AFH yaitu bidang ACGE dimana kedua bidang berpotongan di AQ, sehingga jaraknya adalah PG ke AQ.
*). Kita pilih titik P pada garis PG, sehingga jaraknya adalah dari titik P ke garis AQ yaitu panjang PM.
*). Menentukan panjang sisi segitiga APQ :
$ AP = \frac{1}{2}. AC = 3\sqrt{2} \, $ cm
PQ = CG = 6 cm
$ AQ = \sqrt{AP^2+PQ^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = 3\sqrt{6} \, $ cm.
*). Menentukan PM dengan Luas $ \Delta APQ $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AP.PQ & = \frac{1}{2}. AQ.PM \\ AP.PQ & = AQ.PM \\ 3\sqrt{2} . 6 & = 3\sqrt{6}.PM \\ \sqrt{2} . 6 & = \sqrt{2} . \sqrt{3}.PM \\ PM & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak PG dan AFH adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

4). Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm, titik P, Q, dan M masing-masing terletak di tengah-tengah EF, GH, dan AB. Tentukan jarak MF dan bidang APQD!
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang melalui MF dan tegak lurus APQD yaitu bidang ABFE dimana kedua bidang berpotongan di AP, sehingga jaraknya adalah MF ke AP.
*). Kita pilih titik M pada garis MF, sehingga jaraknya adalah dari titik M ke garis AP yaitu panjang MN.
*). Menentukan panjang sisi segitiga AMP :
$ AM = \frac{1}{2}. AB = 2 \, $ cm
MP = BF = 4 cm
$ AP = \sqrt{AM^2+MP^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5} \, $ cm.
*). Menentukan MN dengan Luas $ \Delta AMP $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.AM.MP & = \frac{1}{2}. AP.MN \\ AM.MP & = AP.MN \\ 2 . 4 & = 2\sqrt{5}.MN \\ MN & = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak MF dan APQD adalah $ \frac{4}{5}\sqrt{5} \, $ cm.

5). Titik P terletak di tengah-tengah FG pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 3 cm. Tentukan jarak BP dan bidang ADH!
Penyelesaian :
*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang ADH yaitu bidang ABPQ dimana kedua bidang hanya berpotongan di titik A, sehingga jaraknya adalah dari titik A ke garis BP yaitu AB.
Jadi, jarak BP dan ADH adalah 3 cm.

6). Titik P dan M masing-masing terletak di tengah-tengah FG dan AD pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 2 cm. Tentukan jarak BP dan bidang MDH!
Penyelesaian :
*). Buat bidang melalui BP dan tegak lurus bidang MDH yaitu bidang ABPQ. Ternyata bidang MDH dan ABPQ tidak berpotongan, sehingga jarak terdekatnya adalah jarak BP dan MH.
*). Kita pilih titik M pada garis MH, sehingga jaraknya dari titik M ke garis BP yaitu panjang MN. Untuk menentukan panjang MN, kita harus fokus pada segitiga BPM.
*). Menentukan panjang sisi segitiganya :
$ \Delta ABM , \, BM = \sqrt{AB^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta BFP , \, BP = \sqrt{BF^2 + FP^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} $
$ \Delta MQP , \, MP = \sqrt{MQ^2 + QP^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} $
Misalkan panjang $ BN = x $ , maka $ PN = \sqrt{5} - x $
Misalkan $ MN = t $ (yang akan kita cari panjangnya).
*). Menentukan nilai $ x $ dengan bantuan teorema Pythagoras pada segitiga BNM dan PNM untuk panjang $ t $ :
$ \begin{align} t^2 \, \text{ BNM } & = t^2 \, \text{ PNM } \\ BM^2 - BN^2 & = PM^2 - PN^2 \\ (\sqrt{5})^2 - x^2 & = (\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5} - x)^2 \\ 5 - x^2 & = 8 - (5 - 2\sqrt{5}x + x^2) \\ 5 - x^2 & = 8 - 5 + 2\sqrt{5}x - x^2 \\ 2\sqrt{5}x & = 2 \\ x & = \frac{1}{\sqrt{5}} \end{align} $
*). Menentukan panjang MN ($t$) pada segitiga BNM :
$ \begin{align} t & = \sqrt{BM ^2 - BN^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - x^2} \\ & = \sqrt{5 - \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2} \\ & = \sqrt{5 - \frac{1}{5} } = \sqrt{ \frac{24}{5} } \\ & = \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{5}\sqrt{30} \end{align} $
Jadi, jarak BP dan MDH adalah $ \frac{2}{5}\sqrt{30} $ cm.

       Demikian pembahasan materi Jarak Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "Jarak dua bidang pada dimensi tiga".

Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga. Sebelumnya juga telah kita bahas jarak pada dimensi tiga yaitu jarak dua titik dan jarak titik ke garis pada artikel "Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang", serta "jarak titik ke bidang pada dimensi tiga". Sebagai kelanjutannya, kita bahas Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang tentu akan lebih sulit dalam penghitungannya dibandingkan dengan konsep jarak sebelumnya. Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga yang kita bahas adalah jarak antara dua garis yang tidak berpotongan, karena jika kedua garis tersebut berpotongan, maka sudah bisa kita pastikan jaraknya nol.

         Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga akan kita bagi menjadi tiga bagian yaitu jarak antara dua garis yang sejajar, jarak antara dua garis yang bersilangan tegak lurus, dan jarak antara dua garis yang bersilangan namun tidak tegak lurus. Untuk memudahkan mempelajri materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu konsep jarak titik ke titik, konsep jarak titik ke garis, dan konsep jarak titik ke bidang.

Jarak Dua garis Sejajar pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ sejajar garis $ l $.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W yang tegak lurus terhadap kedua garis,
2). Tentukan titik potong bidang terhadap kedua garis, misalkan berpotongan di P dan Q
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke Q.

Contoh soal Jarak Dua Garis Sejajar pada Dimensi Tiga:

1). Pada kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Tentukan :
a). Jarak BC dan AD,
b). Jarak BC dan EH,
c). Jarak BG dan AH.
Penyelesaian :
a). Jarak BC dan AD,
*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan AD tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan AD di A dan B, sehingga jaraknya adalah AB yaitu 4 cm.
Jadi, jarak BC dan AD adalah 4 cm.

b). Jarak BC dan EH,
*). Kita pilih bidang yang memotong BC dan EH tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang ABFE. Bidang ABFE memotong BC dan EH di B dan E, sehingga jaraknya adalah BE yaitu $ 4\sqrt{2} \, $ cm.
Jadi, jarak BC dan EH adalah $ 4\sqrt{2} \, $ cm.

c). Jarak BG dan AH.
*). Kita pilih bidang yang memotong BG dan AH tegak lurus kedua garis tersebut yaitu bidang CDEF. Bidang CDEF memotong BG dan AH di P dan Q, sehingga jaraknya adalah PQ = AB yaitu 4 cm.
Jadi, jarak BG dan AH adalah 4 cm.

Catatan :
Sebenarnya kita tidak harus membuat bidang untuk menentukan jarak kedua garis tersebut, namun kita juga cukup membuat sebuah garis bantu yang tentu tegak lurus dengan kedua garis yang mau kita cari jaraknya.

2). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika titik P adalah titik perpotongan diagonal alas dan titik Q adalah titik perpotongan diagonal tutup, maka tentukan jarak PE dan CQ!
Penyelesaian :
*). Perhatikan Ilustrasi gambar berikut.
*). Kita buat garis yaitu garis AG yang tegak lurus dengan garis PE dan CQ dimana garis AG memotong kedua garis tersebut di titik M dan N. Ini artinya jarak PE dan CQ sama dengan jarak M ke N.
*). Perhatikan garis AG yang merupakan diagonal ruang, titik M dan N membagi garis AG menjadi 3 bagian sama panjang sehingga jarak MN adalah
Panjang MN $ = \frac{1}{3} AG = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ .
Jadi, jarak PE dan CQ adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Jarak Dua garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ dan garis $ l $ bersilangan tegak lurus.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan tegak lurus garis $ l $,
2). Misalkan bidang W memotong garis $ l $ di titik P,
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke garis $ g $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan apakah kedua garis bersialngan tegak lurus atau tidak, sebaiknya teman-teman menguasa terlebih dahulu materi "sudut antara dua garis pada dimensi tiga", karena pada artikel ini tidak akan kita jelaskan lagi kenapa kedua garis tegak lurus atau tidak.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak AB dan CF!
Penyelesaian :
*). Garis AB dan CF bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui CF dan tegak lurus AB yaitu bidang BCGF yang memotong AB di B. Sehingga jarak AB ke CF sama saja dengan jarak titik B ke CF.
*). Dari gambar, jarak B ke CF sama dengan setengah dari diagonal BG, sehingga
jarak B ke CF $ = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
Jadi, jarak AB dan CF adalah $ 3\sqrt{2} \, $ cm.

4). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, tentukan jarak BG dan DE!
Penyelesaian :
*). Garis BG dan DE bersilangan tegak lurus. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus DE yaitu bidang BGHA yang memotong DE di Q. Sehingga jarak BG ke DE sama saja dengan jarak titik P ke BG yang sama juga dengan jarak A ke B karena garis AH sejajar BG.
Jarak P ke BG = panjang AB = 6 cm.
Jadi, jarak BG dan DE adalah 6 cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Garis BG tegak lurus dengan garis CE. Kita pilih bidang melalui BG dan tegak lurus CE yaitu bidang BDG yang memotong CE di titik P. Sehingga jarak BG ke CE sama saja dengan jarak titik P ke BG atau panjang PQ.
*). Perhatikan $\Delta GNC $ , panjang GN :
$ GN = \sqrt{CN^2 + CG^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 12^2} = 6\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNC $ , luasnya :
$ \begin{align} \frac{1}{2}.NC. CG & = \frac{1}{2}. GN . PC \\ NC. CG & = GN . PC \\ 6\sqrt{2}. 12 & = 6\sqrt{6} . PC \\ PC & = \frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = 4\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan $ \Delta GPC $ :
$ GP = \sqrt{CG^2 - PC^2} = \sqrt{ 12^2 - (4\sqrt{3})^2} = 4\sqrt{6} $
*). Perhatikan $ \Delta GNB $ :
$ \Delta GPQ $ sebangun dengan $ \Delta GNB $, sehingga perbandingan sisi yang bersesuaian sama yaitu :
$ \begin{align} \frac{PQ}{NB} & = \frac{GP}{GB} \\ \frac{PQ}{6\sqrt{2}} & = \frac{4\sqrt{6}}{12\sqrt{2}} \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{PQ}{1} & = \frac{4\sqrt{6}}{2} \\ PQ & = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE adalah $ 2\sqrt{6} \, $ cm.

Jarak Dua garis Bersilangan tidak Tegak Lurus pada Dimensi Tiga
Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
garis $ g $ dan garis $ l $ bersilangan tidak tegak lurus.

Langkah-langkah menentukan jarak kedua garis $ g $ dan $ l $ yaitu :
1). Buat bidang W melalui garis $ g $ dan sejajar garis $ l $,
2). pilih sembarang satu titik pada garis $ l $, misalkan titik P
3). Jarak $ g $ ke $ l $ = jarak titik P ke bidang W.

Contoh soal Jarak Dua Garis Bersilangan tidak Tegak Lurus pada Dimensi Tiga:

6). Pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 6 cm, tentukanlah jarak CH dan BD!
Penyelesaian :
*). Garis CH dan BD bersilangan tidak tegak lurus. Kita buat bidang melalui CH dan sejajar BD yaitu bidang CFH, sehingga jarak yang kita hitung sama saja dengan jarak garis BD ke bidang CFH. Untuk memudahkan, kita pilih titik P di tengah-tengah BD, sehingga jaraknya sama dengan jarak P ke bidang CFH. Kita buat bidang melalui titik P dan tegak lurus bidang CFH yaitu biang ACGE yang berpotongan dengan bidang CFH di garis CM, sehingga jaraknya sekarang sama dengan jarak P ke garis CM yaitu panjang PQ.
*). Untuk memudahkan menghitung jarak P ke CM, kita hubungakan titik P ke M dan ke C sehingga terbentuk segitiga CPM yang siku-siku di P.
*). Perhatikan $ \Delta CGM $,
$ CM = \sqrt{GC^2 + GM^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{2})^2} = 3\sqrt{6} $
Panjang $ PC = \frac{1}{2}AC = 3\sqrt{2} \, $ dan PM = 6 .
*). Perhatikan segitiga CPM, dengan konsep luas $ \Delta CPM $ :
$ \begin{align} \frac{1}{2}. PC. PM & = \frac{1}{2}. CM. PQ \\ PC. PM & = CM. PQ \\ 3\sqrt{2}. 6 & = 3\sqrt{6}. PQ \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ 6 & = \sqrt{3}. PQ \\ PQ & = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak CH dan BD adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

Catatan :
Perhatikan contoh soal nomor 5 dan 6 di atas, kesulitan utamanya adalah menentukan bidang yang dimaksud sehingga membutuhkan imajinasi yang tinggi untuk bisa menjawab soal-soal ini. Nah, sebagai alternatif penyelesaian lainnya, kami menyajikan penyelesaian jarak antara dua garis menggunakan konsep vektor yang menurut kami lebih mudah dalam mengerjakannya soal-soalnya bahkan untuk berbagai variasi soal lainnya yang lebih sulti. Silahkan baca artikelnya pada "Aplikasi vektor : Jarak dua garis".

       Demikian pembahasan materi Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu "jarak garis dan bidang pada dimensi tiga".