Tampilkan posting dengan label dimensi tiga. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label dimensi tiga. Tampilkan semua posting

Sabtu, 24 September 2016

Cara Menggambar atau Melukis Kubus


         Kubus adalah salah satu bangun ruang dimensi tiga yang memiliki semua rusuk sama panjang. Pernahkan teman-teman diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus? Jika kita diminta untuk menggambar atau melukis sebuah kubus, maka setiap orang pasti akan menghasilkan bentuk yang berbeda seperti pada gambar 1 di bawah ini. Dari gambar 1 di bawah ini, manakah yang paling benar menurut kalian? Jika tidak ada syarat khusus, maka semua gambar kubus benar. Namun, jika ada ketentuan khusus yang diminta dalam membuat kubus, maka hanya salah satu yang benar. Pada artikel ini kita akan membahas materi Cara Menggambar atau Melukis Kubus.
gambar 1 beberapa bentuk kubus.

Isitilah-istilah dalam menggambar Kubus
       Berikut ini beberapa istilah yang harus kita ketahui dalam menggambar atau melukis kubus yaitu : Bidang gambar, bidang frontal, bidang orthogonal, garis frontal, garis orthogonal, sudut surut atau sudut miring atau sudut menyisi, dan perbandingan orthogonal. Untuk penjelasannya, kita simak berikut ini.

Penjelasan Isitilah-istilah dalam menggambar Kubus

Berikut penjelasan masing-maasing istilah pada menggambar kubus :
1). Bidang Gambar
       Bidang gambar adalah suatu bidang tempat untuk menggambar atau melukis suatu bangun ruang (kubus). Bidang gambar selalu ada di hadapan pengamat. Perhatikan kubus berikut ini, bidang gambar ditunjukkan oleh bidang $ \beta $ yaitu bidang yang dibatasi warna biru.

2). Bidang Frontal
       Bidang Frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang gambar. Ukuran bidang frontal sesuai dengan ukuran pada kubusnya. perhatikan contoh berikut ini, bidang frontal ditunjukkan oleh bidang ABFE dan bidang CDHG.

3). Bidang Orthogonal
       Bidang orthogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang gambar. Bidang orthogonal digambarkan tidak sesuai dengan ukuran sebenarnya. pada gambar berikut, bidang orthogonalnya adalah ABCD, EFGH, BCGF, dan ADHE.

4). Garis frontal
       Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal (sejajar bidang frontal). Pada gambar berikut ini, garis frontalnya yaitu : garis frontal horizontal adalah AB, EF, CD, dan GH, garis frontal vertikal adalah AE, BF, CG, dan DH.

5). Garis Orthogonal
       Garis orthogonal adalah garis yang tegak lurus dengan bidang frontal (sejajar bidang orthogonal). Panjang garis frontal tidak sama dengan panjang sebenarnya. Panjang garis ortogonal ditentukan dengan menggunakan perbandingan ortogonalnya.

Pada gambar berikut ini, garis orthogonalnya yaitu AD, BC, FG, dan EH.

6). Sudut Surut
       Sudut surut adalah sudut dalam gambar yang besarnya ditentukan oleh garis frontal horisontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Perhatikan gambar berikut, sudut surutnya adalah sudut BAD dan sudut FEH.



7). Perbandingan Orthogonal
       Perbandingan ortogonal adalah perbandingan antara panjang garis ortogonal yang dilukiskan atau digambar dengan panjang garis ortogonal yang sebenarnya.
Pada gambar, ada 4 garis orthogonalnya yang memiliki panjang sama yaitu AD=BC=FG=EH.
Perbandingan orthogonal dapat dirumuskan :
$ \frac{\text{panjang garis yang dilukiskan}}{\text{panjang garis yang sebenarnya}}$.

Misalkan panjang AD sebenarnya adalah 6 cm dan perbandingan orthogonalnya adalah $ \frac{2}{3} $ , maka panjang AD yang dilukis dapat dihitung yaitu :
$ \begin{align} \text{perbandingan orthogonal} & = \frac{2}{3} \\ \frac{\text{AD dilukis}}{\text{AD sebenarnya}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{\text{AD dilukis}}{6} & = \frac{2}{3} \\ \text{AD dilukis} & = \frac{2}{3} \times 6 \\ \text{AD dilukis} & = 4 \end{align} $
Artinya pada gambar, panjang AD yang kita lukis adalah 4 cm.

Contoh soal :
Lukislah atau gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm, sudut surut 45$^\circ \, $ dan perbandingan ortogonalnya $ \frac{2}{3} $.

Penyelesaian :
Langkah-langkah menggambar kubus ABCD.EFGH adalah :
1). Gambar bidang ABFE berupa persegi dengan panjang AB = 9 cm, AE = 9 cm
2). Gambar garis AD yang akan dilukis dengan perbandingan ortogonalnya $ \frac{2}{3} $.
panjang AD yang dilukis = $ \frac{2}{3} \times 9 = 6 \, $ cm.
3). Gambar garis AD yang membentuk sudut 45$^\circ \, $ (sudut surutnya) dengan garis horisontal AB.
4). Buat garis BC sejajar AD, CD sejajar AB, CG dan DH sejajar AE.
5). Lengkapkan garis-garis yang belum ada sehingga lengkap membentuk kubus berikut ini.

       Demikian pembahasan materi Cara Menggambar atau Melukis Kubus dan contohnya. Semoga materi ini bisa bermanfaat buat kita.

Jumat, 08 April 2016

Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga


         Blog Koma - Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari Konsep Jarak pada Dimensi Tiga dimana yang dibahas adalah jarak antara dua titik dan jarak titik ke garis. Pada artikel ini kita lanjutkan pembahasan konsep jarak yaitu Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga. Sebenarnya kami ingin membahas materi ini menjadi satu dengan materi konsep jarak sebelumnya, akan tetapi artikelnya menjadi sangat panjang lagi, hal ini akan membuat pembaca cepat bosan. Maka dari itu kita pilah-pilah setiap penghitungan jaraknya dengan menyertakan contoh soalnya yang lebih banyak.

         Materi Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga lebih sulit dari pada jarak titik dan garis. Prinsip kerja secara umumnya adalah kita proyeksikan titik ke bidang yang akan kita cari jaraknya, kemudian kita hitung jaraknya dengan bantuan garis pada bidang tersebut. Artinya setelah itu kita harus mengingat kembali konsep jarak titik ke garis yang sudah dibahas sebelumnya pada artikel konsep jarak pada dimensi tiga. Penting bagi kita juga untuk menguasai materi Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang agar memperlancar dalam pengerjaan soal nantinya dan pemahaman materinya.

Jarak Titik ke Bidang pada Dimensi Tiga
       Misalkan X adalah suatu bidang datar dan titik P merupakan sebuah titik yang berada di luar bidang X. Jarak titik P terhadap bidang X merupakan panjang garis tegak lurus dari titik P ke bidang X. Panjang garis tegak lurus inilah merupakan jarak terpendeknya dari titik P ke bidang X. Perhatikan gambar ilustrasinya berikut ini,
Jarak dari titik P ke bidang X diwakili oleh panjang garis PA, dimana garis PA tegak lurus dengan bidang X dan titik A terletak pada garis k.

Langkah-langkah mengubah jarak titik P ke bidang X menjadi jarak titik P ke garis k :
1). Lukis bidang W yang melalui titik P dan tegak lurus bidang X.
2). Lukis garis k yang merupakan perpotongan antara bidang W dan X.
3). jarak titik P ke bidang X adalah jarak titik P ke garis k.

Catatan :
       Meskipun yang mau kita cari adalah jarak titik ke bidang, tetapi kita tidak langsung bisa mencari jaraknya karena akan sulit. Untuk memudahkan, kita harus membuat garis bantuan yang ada pada bidang, selanjutnya kita akan menghitung jarak titik ke garis tersebut yang merupakan perwakilan dari jarak titik ke bidang yang dicari dan hasilnya sama.
Contoh soal jarak titik ke bidang :
1). Sebuah kubus KLMN.OPQR memiliki panjang rusuk 6 cm. Perhatikan segitiga KMR, tentukanlah jarak titik N ke bidang KMR ?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik N dan tegak lurus dengan bidang KMR yaitu bidang NTR seperti gambar berikut ini.
*). Dari gambar di atas, jarak titik N ke bidang KMR sama dengan panjang NS dimana NS ada pada garis TR yang merupakan perpotongan kedua bidang KMR dan NTR. dengan kata lain juga, kita cukup mencari jarak titik N ke garis TR. Salah satu cara yang kita gunakan untuk menentukan panjang NS dari titik N ke garis TR yaitu perbandingan luas segitiga.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga NTR :
NR = 6 cm,
$ NT = \frac{1}{2} NL = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} $
$ RT = \sqrt{NT^2 + NR^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{18 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} $
*). Menentukan panjang NS dengan luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas NTR } & = \text{Luas NTR } \\ \frac{1}{2}. RT . NS & = \frac{1}{2}. NT . NR \\ RT . NS & = NT . NR \\ 3\sqrt{6} . NS & = 3\sqrt{2} . 6 \\ NS & = \frac{3\sqrt{2} . 6}{3\sqrt{6} } \\ & = \frac{\sqrt{2} . 6}{\sqrt{6} } \\ & = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak titik N ke bidang KMR adalah $ 2\sqrt{3} \, $ cm.

2). Tentukan jarak titik A ke bidang CDHG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang CDHG, bidang tersebut adalah bidang ADHE. Kedua bidang berpotongan pada garis DH, sehingga jarak A ke bidang CDHG sama dengan jarak titik A ke garis DH.
*). Jarak A ke garis DH = panjang garis AD karena AD tegak lurus dengan DH, sehingga jarak titik A ke garis DH adalah 6 cm.
Jadi, jarak titik A ke bidang CDHG adalah 6 cm.

3). Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $ \sqrt{5} \, $ cm. Titik P terletak pada garis AD dengan AP = 2 cm, dan titik Q terletak pada garis EH dengan EQ = 2 cm seperti gambar berikut ini.
Tentukan jarak titik A ke bidang PQFB?
Penyelesaian :
*). Kita buat bidang yang melalui titik A dan tegak lurus dengan bidang PQFB. Bidang tersebut adalah bidang PAB yang berpetongan di garis BP dengan bidang PQFB. Sehingga jarak titik A ke bidang PQFB sama saja dengan jarak titik A ke garis BP yaitu panjang garis AN. Perhatikan gambarnya berikut ini,

*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga PAB,
$ PB = \sqrt{AP^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3 $
*). Menentukan panjang AN dengan luas segitiga PAB :
$ \begin{align} \text{Luas PAB } & = \text{Luas PAB } \\ \frac{1}{2}. PB. AN & = \frac{1}{2}. PA.PB \\ PB. AN & = PA.PB \\ 3. AN & = 2.\sqrt{5} \\ AN & = \frac{2}{3}\sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik A ke bidang PQFB adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{5} \, $ cm.

4). Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik perpotongan EG dan FH. Tentukan arak titik R ke bidang EPQH ?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Kita buat bidang melalui titik R dan tegak lurus dengan bidang EPQH yaitu bidang PQTS seperti gambar berikut ini,
Kedua bidang berpotongan di garis TN, sehingga jarak titik R ke bidang EPQH sama dengan jarak titik R ke garis TN yaitu panjang garis RM.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga TNR,
NR = 8 cm, TR = 4,
$ TN = \sqrt{TR^2 + NR^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Menentukan panjang RM dengan luas segitiga TNR,
$ \begin{align} \text{Luas TNR } & = \text{Luas TNR } \\ \frac{1}{2}. TN. RM & = \frac{1}{2}. NR.TR \\ TN. RM & = NR.TR \\ 4\sqrt{5}. RM & = 8 . 4 \\ \sqrt{5}. RM & = 8 \\ RM & = \frac{8}{5} \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik R ke bidang EPQH adalah $ \frac{8}{5} \sqrt{5} \, $ cm.

5). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Titik P adalah titik tengah rusuk CG. Tentukan jarak titik E ke bidang BPD?
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan, kita gambar dulu kubus dan titik yang diketahui :
*). Kita buat bidang melalui titik E dan tegak lurus dengan bidang BPD yaitu bidang ACGE seperti gambar berikut ini,
Kedua bidang berpotongan di garis PM, sehingga jarak titik E ke bidang BPD sama dengan jarak titik E ke garis PM yaitu panjang garis EN.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiga EPM,
$ EM = \sqrt{EA^2 + AM^2} = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 32} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} $
$ EP = \sqrt{EG^2 + GP^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{128 + 16} = \sqrt{144} = 12 $
$ MP = \sqrt{MC^2 + CP^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} $
Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EMP, kita terapkan aturan cosinus pada sudut M.
$ EP^2 = ME^2 + MP^2 - 2 . ME. MP \cos M \rightarrow \cos M = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} $.
Menentukan nilai cos M :
$ \begin{align} \cos M & = \frac{ME^2 + MP^2- EP^2}{2 . ME. MP} \\ & = \frac{(4\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2- 12^2}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{96 + 48- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{144- 144}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ & = \frac{0}{2 . 4\sqrt{6}. 4\sqrt{3}} \\ \cos M & = 0 \rightarrow M = 90^\circ \end{align} $
Karena sudut M $ \, = 90^\circ \, $ , maka segitga EMP siku-siku di M sehingga panjang EN sama dengan panjang EM yaitu $ \, 4\sqrt{6} $ .
Jadi, jarak titik E ke bidang MPD adalah $ 4\sqrt{6} \, $ cm.

       Menghitung Jarak Titik dan Bidang pada Dimensi Tiga memanglah tidak mudah dibandingkan dengan menghitung jarak antara dua titik atau menghitung jarak titik ke garis. Kita harus menentukan terlebih dahulu garis yang mewakili bidang sehingga kita bisa mencari jarak antara titik ke garis yang mewakili jarak titik ke bidang. Tentu kemampuan menggambar dan mengimajinasikan bidang-bidang dan garis yang terbentuk itulah yang cukup sulit bagi kita. Kuncinya sabar dan terus berlatih dan jangan malu untuk bertanya kepada suapapun yang lebih bisa daripada kita.OK!

Kamis, 07 April 2016

Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang


         Blog Koma - Setelah mempelajari materi kedudukan titik, garis, dan bidang pada bangun ruang, kita lanjutkan lagi materi berikutnya yang berkaitan dengan dimensi tiga yaitu materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang. Menentukan atau penghitungan jarak pada dimensi tiga merupakan salah satu materi yang pasti wajib soal-soalnya ada pada ujian nasional maupun ujian masuk perguruan tinggi. Ini artinya konsep jarak harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan banyak berlatih.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang, hal mendasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu adalah teorema phytagoras, aturan cosinus pada segitiga, serta Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang. Memang tidak semudah mempelajari teorinya dari pada menyelesaikan soal yang berkaitan jarak, karena pada dimensi tiga ini kita harus bisa membayangkan dan menggambarkan jarak yang akan dicari terutama menggunakan proyeksinya. Namun kami yakin, dengan banyak berlatih, pasti kita akan terbiasa dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga.

         Konsep jarak pada dimensi tiga atau bangun ruang yang akan kita bahas di sini adalah jarak antara dua titik, jarak titik ke garis, jarak titik ke bidang, jarak dua garis bersilangan, jarak garis dan bidang yang sejajar, dan jarak dua bidang yang sejajar. Diantara semua jenis konsep jarak yang akan kita pelajari, jarak titik ke titik dan jarak titik ke garis lah yang paling mudah, sementara konsep jarak yang lainnya akan lebih sulit. Makanya teman-teman harus berlatih lebih giat lagi ya, OK !!!^_^!!!

Konsep Jarak pada Dimensi Tiga Secara Umum
       Secara umum, yang dimaksud jarak pada dimensi tiga adalah jarak terdekat yang bisa kita peroleh dari konsep jarak yang akan kita hitung. Jarak terdekat akan kita peroleh ketika terbentuk saling tegak lurus sehingga penghitungannya bisa menggunakan teorema phytagoras.
Contoh soal :
1). Perhatikan gambar kubus berikut ini,
*). Jarak titik E ke garis AF adalah jarak terdekatnya yaitu jaraknya = panjang EM, dimana terdekat ketika EM tegak lurus dengan garis AF seperti gambar (a).
*). Jarak titik E ke NF adalah jarak terdekatnya yaitu jaraknya = panjang EN. Kenapa jaraknya adalah panjang EN ? kok bukan panjang EM? ini disebabkan karena yang ditanyakan adalah jarak titik E ke NF (NF yang dimaksud adalah segmen garis NF saja) bukan jarak E ke garis NF sehingga NF tidak bisa diperpanjang. Artinya jika ditanya jarak terhadap segmen garis tertentu, maka yang kita hitung adalah jarak terdekatnya meskipun tidak membentuk siku-siku seperti gambar (b).
*). Jarak titik E ke garis NF adalah jarak terdekatnya dengan memperpanjang garis FN sehingga menjadi FM, ini artinya jarak terdekatnya membentuk siku-siku. Jarak titik E ke garis NF = panjang EM seperti gambar (c).

Konsep Jarak antara dua titik
       Jarak antara dua titik dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras biasa, hanya saja kita harus jeli dan pintar dalam memilih segitiga siku-siku yang melibatkan kedua titik tersebut.
Contoh soal jarak dua titik :
2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Hitunglah :
a). Jarak titik A ke F,
b). Jarak titik A ke P dengan titik P adalah titik tengah HF,
c). Jarak titik A ke N dengan titik N adalah titik tengah EC,
d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.
Penyelesaian :
a). Jarak titik A ke F,
untuk menghitung jarak A ke F kita gunakan segitiga siku-siku AEF.
$ \begin{align} \text{panjang AF } & = \sqrt{AE^2 + EF^2} \\ & = \sqrt{6^2 + 6^2} \\ & = \sqrt{36 + 36} \\ & = \sqrt{36\times 2} \\ & = 6 \sqrt{ 2} \end{align} $
Jadi, jarak A ke F adalah $ 6\sqrt{2} \, $ cm.

b). Jarak titik A ke P dengan titik P adalah titik tengah HF,
untuk menghitung jarak A ke P kita gunakan segitiga siku-siku AEP.
EG adalah diagonal bidang sehingga $ EG = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang EP $ \, = \frac{1}{2} EG = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
$ \begin{align} \text{panjang AP } & = \sqrt{AE^2 + EP^2} \\ & = \sqrt{6^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{36 + 18} \\ & = \sqrt{54} \\ & = \sqrt{9\times 6} \\ & = 3 \sqrt{ 6} \end{align} $
Jadi, jarak A ke P adalah $ 3\sqrt{6} \, $ cm.

c). Jarak titik A ke N dengan titik N adalah titik tengah EC,
untuk menghitung jarak A ke N kita gunakan segitiga siku-siku AXN.
XY adalah diagonal bidang sehingga $ XY = 6 \sqrt{ 2} $
Panjang XN $ \, = \frac{1}{2} XY = \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{ 2} = 3 \sqrt{ 2} $
Panjang AX $ \, = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} \times 6 = 3 $
$ \begin{align} \text{panjang AN } & = \sqrt{AX^2 + XN^2} \\ & = \sqrt{3^2 + (3 \sqrt{ 2})^2} \\ & = \sqrt{9 + 18} \\ & = \sqrt{27} \\ & = \sqrt{9\times 3} \\ & = 3 \sqrt{ 3} \end{align} $
Jadi, jarak A ke N adalah $ 3\sqrt{3} \, $ cm.

d). Jarak titik B ke Q , titik Q berada di garis EH dengan EQ = 2QH.
untuk menghitung jarak B ke Q kita gunakan segitiga siku-siku BEQ.
BE adalah diagonal bidang sehingga panjang $ BE = 6\sqrt{2} $
*). Menentukan panjang EQ :
$ \begin{align} EQ & = 2QH \\ \frac{EQ}{QH} & = \frac{2}{1} \\ EQ & = \frac{2}{3} EH \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \\ & = 4 \end{align} $
*). Menentukan panjang BQ :
$ \begin{align} \text{panjang BQ } & = \sqrt{BE^2 + EQ^2} \\ & = \sqrt{(6 \sqrt{ 2})^2 + 4^2} \\ & = \sqrt{72 + 16} \\ & = \sqrt{88} \\ & = \sqrt{4\times 22} \\ & = 2 \sqrt{22} \end{align} $
Jadi, jarak B ke Q adalah $ 2\sqrt{22} \, $ cm.

Catatan : Segitiga siku-siku yang digunakan untuk masing-masing jawaban adalah salah satu alternatif, artinya teman-teman bisa menggunakan segitiga siku-siku yang lainnya tentu dengan hasil yang sama pula.

Konsep Jarak Titik ke Garis
Misalkan kita mau menghitung jarak titik A ke garis BC, perhatikan gambar berikut ini.
*). gambar (a), Jarak A ke garis BC.
*). gambar (b), Jarak A ke garis BC = panjang AD, dengan AD tegak lurus garis BC. Titik D diperoleh dengan memproyeksikan titik A pada garis BC.
*). gambar (c), untuk menghitung panjang AD, kita buat segitiga bantuan dengan menghubungkan AB dan AC sehingga terbentuk segitiga ABC.

Ada beberapa cara dalam menyelesaikan konsep jarak titik ke garis, diantaranya menggunakan :
i). perbandingan luas segitiga.
       Cara ini digunakan jika segitiga yang terbentuk siku-siku di A atau panjang semua segitiganya adalah bilangan bulat.
ii). teorema phytagoras.
       Cara ini bida digunakan untuk semua tipe soal jarak titik ke garis.
iii). aturan cosinus.
       Cara ini digunakan sebagai alternatif lain dari dua cara sebelumnya. Kita akan mencari nilai cos dari sudut B atau C, kemudian kita cari lagi nilai sin sudut B atau C dengan segitiga baru.
Contoh soal :
3). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik E ke garis AG?
Penyelesaian :
*). Jarak E ke garis AG diwakili oleh garis EP karena EP tegak lurus dengan AG. Segitiga bantuan adalah segitiga EAG siku-siku di E.
Cara I : Menggunakan luas segitiga,
Luas segitiga AEG dapat dihitung dari dua cara yaitu dengan alasnya AG dan tingginya EP, serta alasnya EA dan tingginya EG yang keduanya memiliki luas yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas AEG (alas AG) } & = \text{Luas AEG (alas EA) } \\ \frac{1}{2} \times AG \times EP & = \frac{1}{2} \times EA \times AG \\ AG \times EP & = EA \times AG \\ 8\sqrt{3} \times EP & = 8 \times 8\sqrt{2} \\ EP & = \frac{8 \times 8\sqrt{2}}{8\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8\sqrt{2}}{\sqrt{3} } \\ & = \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Cara II : Menggunakan teorema phytagoras,
Misalkan panjang $ AP = x , \, $ maka panjang $ PG = AG - AP = 8\sqrt{3} - x $
Perhatikan segitiga EAP, $ EP^2 = EA^2 - AP^2 $
Perhatikan segitiga EGP, $ EP^2 = EG^2 - GP^2 $
Kedua panjang EP adalah sama, sehingga kita peroleh :
$ \begin{align} \text{ (segitiga EAP) } EP^2 & = \text{ (segitiga EGP) } EP^2 \\ EA^2 - AP^2 & = EG^2 - GP^2 \\ 8^2 - x^2 & = (8\sqrt{2})^2 - (8\sqrt{3} - x)^2 \\ 64 - x^2 & = 128 - (192 - 16\sqrt{3}x + x^2) \\ 64 - x^2 & = 128 - 192 + 16\sqrt{3}x - x^2 \\ 64 & = -64 + 16\sqrt{3}x \\ 16\sqrt{3}x & = 128 \\ x & = \frac{128}{16\sqrt{3}} \\ x & = \frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align} $
Menentukan panjang EP :
$ \begin{align} EP^2 & = EA^2 - AP^2 \\ & = 8^2 - (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2 \\ & = 64 - (\frac{64}{3} ) \\ EP^2 & = \frac{128}{3} \\ EP & = \sqrt{ \frac{128}{3} } = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8 }{3} \sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Cara III : Menggunakan Aturan cosinus,
*). Perhatikan segitiga EAG, kita terapkan aturan cosinus pada sudut A.
$ EG^2 = AE^2 + AG^2 - 2 . AE. AG \cos A \rightarrow \cos A = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} $.
Menentukan nilai cos A :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} \\ & = \frac{8^2 + (8\sqrt{3})^2- (8\sqrt{2})^2}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{64 + 192- 128}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{128}{2 . 8.8\sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3}} \end{align} $
Menentukan nilai sin A , menggunakan identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A + (\frac{1}{ \sqrt{3}})^2 = 1 \rightarrow \sin ^2 A + \frac{1}{ 3} = 1 $
$ \rightarrow \sin ^2 A = \frac{2}{ 3} \rightarrow \sin A = \sqrt{\frac{2}{ 3} } = \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Menentukan panjang EP, perhatikan segitiga EAP :
$ \begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{EA} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{8} \\ \frac{8}{3}\sqrt{6} & = EP \end{align} $
Jadi, jarak E ke garis AG adalah $ \frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \, $ cm.

Catatan : Tidak semua soal bisa dikerjakan dengan ketiga cara diatas. Namun untuk cara II dan Cara III bisa diterapkan kesemua tipe soal konsep jarak titik ke garis.

4). Diketahui titik P ada ditengah-tengah garis EA pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Tentukan jarak titik P ke garis BH?
Penyelesaian :
*). Jarak P ke garis BH diwakili oleh garis PN karena PN tegak lurus dengan BH.
*). Menentukan panjang sisi-sisi segitiganya :
panjang PB = PH = $ \sqrt{PA^2 + PB^2} = \sqrt{5^2 + 100^2} = 5\sqrt{5} $
Karena segitiga PBH samakaki, maka letak N terletak ditengah BH.
Panjang $ BN = \frac{1}{2} BH = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2} $
Menentukan panjang PN, menggunakan segitiga PBN
$ \begin{align} PN & = \sqrt{PB^2 - BN^2} \\ & = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{2})^2} \\ & = 5\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak P ke garis BH adalah $ 5\sqrt{3} \, $ cm.

5). Pada limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki rusuk alas $ 3\sqrt{2} \, $ cm dan rusuk tegaknya 8 cm. Tentukan jarak titik A ke TC?
Penyelesaian :
*). Melengkapkan panjang sisi-sisi segitiga.
Jarak A ke garis TC, kita gunakan segitiga ATC sebagai bantuannya.
Panjang AC pada segitiga ABC :
$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 } = \sqrt{ (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 } = \sqrt{36} = 6 $
Untuk menghitung jarak A ke TC = panjang AE, banyak metode yang bisa kita terapkan, misalnya metode phytagoras seperti contoh 3 dengan memisalkan $ CE = x \, $. Bisa juga menggunakan metode aturan cosinus pada sudut C atau T. Pada pembahasan ini kita akan menggunakan metode luas segitiga karena sisi-sisi segitiganya berupa bilangan bulat dengan luasan rumus Heron dan metode luasan biasa.
Cara I : Luas segitiga rumus Heron,
Luas segitiga $ \, = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \, $ dengan $ s = \frac{1}{2}(a+b+c) $.
Segitiga ATC dengan sisi-sisi 6, 8, 8.
$ s = \frac{1}{2}(6 + 8 + 8) = \frac{1}{2}(22) = 11 $
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{11(11-6)(11-8)(11-8)} = \sqrt{11.5.3.3} = 3\sqrt{55} \end{align} $
Luas segitiga ATC juga dapat dihitung dengan rumus :
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.TC . AE = \frac{1}{2}.8 . AE = 4AE $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC adalah $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

Cara II : Luas segitiga rumus biasa,
Perhatikan gambar (c),
Panjang TF dari segitiga TFC,
$ TF = \sqrt{TC^2 - FC^2 } = \sqrt{8^2 - 3^2 } = \sqrt{64 - 9 } = \sqrt{ 55} $
Luas segitiga ATC,
$ \text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.AC . TF = \frac{1}{2}. 6 . \sqrt{ 55} = 3\sqrt{ 55} $
*). Menentukan panjang AE dengan kedua luas ATC yang sama.
$ \begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \frac{1}{2}.AC . TF \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align} $
Jadi, jarak A ke garis TC adalah $ \frac{3}{4} \sqrt{55} \, $ cm.

6). Tentukan jarak titik A ke garis EF pada kubus ABCD.EFGH yang memiliki panjang rusuk 10 cm?
Penyelesaian :
Jika titik A kita proyeksi ke garis EF, maka hasilnya adalah titik E karena AE tegak lurus dengan EF. Sehingga jarak titik A ke garis EF adalah 10 cm.

Untuk konsep jarak lainnya pada dimensi tiga, silahkan baca pada artikel : jarak titik dan bidang pada dimensi tiga, jarak dua garis bersilangan pada dimensi tiga, jarak antara garis dan bidang pada dimensi tiga.

       Bagaimana dengan materi Konsep Jarak pada Dimensi Tiga atau Bangun Ruang ini, pasti seru ya!!!. Memang tidak mudah untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan jarak pada dimensi tiga. Semuanya butuh latihan dan berlatih terus secara kontinu untuk mempelajarinya. Percayalah, semuanya pasti bisa, tidak ada yang tidak mungkin di dunia ini. (sok menghibur diri saya sebagai penulis, karena menurut saya juga sulit kok mempelajari dimensi tiga, apalagi berkaitan dengan soal-soal seleksi masuk PTN. ^_^). Semoga bermanfaat materi pada artikel ini untuk kita semua.

Rabu, 06 April 2016

Dimensi Tiga : Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang


         Blog Koma - Sebelumnya pada artikel konsep titik, garis, dan bidang telah dibahas pengertian titik, garis dan bidang. Pada artikel Dimensi Tiga : Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang ini akan kita cuplik sedikit pengertiannya, namun kita lebih menekankan pada kedudukan dari masing-masing titik, garis dan bidang. Sangat penting bagi kita untuk memahami arti dan konsep dari ketiganya satu persatu secara jelas dan setelah itu pasti akan mudah bagi kita untuk mempelajari materi selanjutnya.

         Titik tidak memiliki ukuran dan biasanya dideskripsikan menggunakan tanda noktah. Penamaan titik menggunakan huruf kapital, seperti titik A, titik B, titik C, dan sebagainya. Berikut contoh titik,
         Suatu garis memiliki panjang tak terbatas, sehingga tidak mungkin kita gambar semuanya, yang digambar hanya sebagian dari garis tersebut yang disebut segmen garis. Suatu segmen garis dapat diperpanjang sesuai keperluan dalam soal yang kita kerjakan. Berikut contoh garis AB.
         Bidang memiliki luas yang tak terbatas sehingga yang digambar hanya sebagian saja. Bidang direpresentasikan oleh permukaan meja atau dinding.

Kedudukan Titik terhadap Garis dan Bidang
       Secara umum, kedudukan titik terhadap garis dibagi menjadi dua yaitu terletak pada garis dan tidak terletak pada garis, begitu juga kedudukan titik terhadap bidang. Perhatikan ilustrasi di bawah ini.

Definisi :
*). Jika suatu titik dilalui garis, maka dikatakan titik terletak pada garis tersebut.
*). Jika suatu titik tidak dilalui garis, maka dikatakan titik tersebut berada di luar garis.
*). Jika suatu titik dilewati suatu bidang, maka dikatakan titik itu terletak pada bidang.
*). Jika titik tidak dilewati suatu bidang, maka titik itu berada di luar bidang.
       Perhatikan Gambar 9.1a dan Gambar 9.1b. Apa yang dapat kamu lihat? Misalkan kabel listrik adalah suatu garis dan burung adalah titik, maka dapat dikatakan bahwa tempat hinggap burung pada kabel listrik merupakan sebuah titik yang terletak pada suatu garis, yang dapat dilihat pada Gambar 9.1b.
Gambar berikut akan mencoba pemahaman kita terhadap kedudukan titik dengan garis.
       Jika dimisalkan jembatan penyeberangan merupakan suatu garis dan lokomotif kereta adalah suatu titik. Kita dapat melihat bahwa lokomotif tidak terletak atau melalui jembatan penyeberangan. Artinya jika dihubungkan dengan garis dan titik maka dapat dikatakan bahwa contoh di atas merupakan suatu titik yang tidak terletak pada garis.
Untuk lebih melengkapi pemahaman kedudukan titik terhadap garis, perhatikan pula Gambar 9.3a dan Gambar 9.3b.
       Gambar di atas merupakan ilustrasi contoh kedudukan titik terhadap bidang, dengan bola sebagai titik dan lapangan sebagai bidang. Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah bidang jika titik itu dapat dilalui bidang seperti terlihat pada titik A pada gambar dan sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang jika titik itu tidak dapat dilalui bidang.

Contoh soal kedudukan titik :
1). Pada kubus ABCD.EFGH, Terhadap bidang DCGH, tentukanlah:
a. titik sudut kubus apa saja yang terletak pada bidang DCGH!
b. titik sudut kubus apa saja yang berada di luar bidang DCGH!
Penyelesaian :
Pandang kubus ABCD.EFGH, pada bidang DCGH dapat diperoleh:
a). Titik sudut yang berada di bidang DCGH adalah D, C, G, dan H.
b). Titik sudut yang berada di luar bidang DCGH adalah A, B, E, dan F.

Kedudukan Garis terhadap Garis dan Bidang
       Kemungkinan kedudukan garis terhadap garis adalah berimpit, berpotongan, sejajar, dan bersilangan. Sedangakan kedudukan garis terhadap bidang adalah berpotongan atau sejajar.
Contoh soal :
2). Perhatikan kubus ABCD.EFGH di bawah ini,
Pada gambar kubus di atas, garis AB :
*). berimpit dengan garis AB,
*). berpotongan dengan garis AD, BC, BF, AE
*). sejajar dengan garis DC, HG, EF
*). bersilangan dengan garis FC, CG, FG, EH, dan lainnya
*). terletak pada bidang ABCD, ABFE
*). memotong bidang BCGF, ADHE,
*). sejajar dengan bidang CDHG, EFGH

Kedudukan Bidang terhadap Bidang
       Kedudukan bidang terhadap bidang yaitu berimpit, berpotongan, dan sejajar.
Contoh soal :
3). Perhatikan kubus ABCD.EFGH di bawah ini,
Pada gambar kubus di atas, bidang ABCD :
*). berimpit dengan bidang ABC,
*). berpotongan dengan bidang BCGF, ABFE, ADHE, CDHG
*). sejajar dengan bidang EFGH

4). Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut ini,
Beberapa hal akan kita peroleh dari kedudukan titik, garis, dan bidang yaitu :
*). AH dan GE bersilangan,
*). EC tegak lurus bidang BDG,
*). BE tegak lurus bidang ADGF,
*). AC bersilangan tegak lurus dengan DH,
*). AC bersilangan tidak tegak lurus dengan EB,
*). BG adalah titik potong antara bidang ABGH dan bidang BDG
*). EF tegak lurus dengan bidang BCGF, artinya semua garis yang ada pada bidang BCGF akan tegak lurus dengan garis EF, seperti garis EF tegak lurus dengan garis FG, garis EF tegak lurus dengan garis FB, garis EF tegak lurus dengan garis BC, garis EF tegak lurus dengan garis CG, garis EF tegak lurus dengan garis BG, garis EF tegak lurus dengan garis FC, dan EF tegak lurus dengan semua garis lain yang ada pada bidang BCGF.

5). Berikut beberapa pernyataan yang terkait dengan kedudukan titik, garis, dan bidang :
i). Jika bidang V tegak lurus dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V tegak lurus dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W tegak lurus dengan bidang V.

ii). Jika bidang V sejajar dengan bidang W, maka
*). semua garis yang ada pada bidang V sejajar dengan bidang W,
*). semua garis yang ada pada bidang W sejajar dengan bidang V.

iii). Bidang V dan bidang W berpotongan sepanjang garis $ s $, jika garis $ g $ tegak lurus bidang V maka garis $ g $ juga tegak lurus dengan garis $ s $.

       Demikian pembahasan materi Dimensi Tiga : Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dan contoh-contohnya. Sebenarnya materi ini tidaklah sulit, hanya saja butuh ketelitian dan konsentrasi lebih untuk memudahkan dalam mempelajarinya terutama berkaitan dengan dimensi tiga yang memuat banyak titik, garis dan bidang. Semoga materi ini bisa bermanfaat untuk kita semua.

Senin, 04 April 2016

Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang


         Blog Koma - Pada materi yang terkait dimensi tiga (bangun ruang), hal utama yang dibahas adalah jarak dan sudut. Untuk memudahkan menentukan jarak dan sudut, salah satu materi dasar yang sangat penting sebelumnya kita kuasai adalah materi proyeksi. Oleh karena itu, pada artikel ini kita akan mempelajari materi Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang secara mendasar. Proyeksi titik, garis dan bidang sangat penting kita kuasai karena dalam konsep jarak dan sudut akan secara langsung melibatkan titik, garis, dan bidang.

         Hal yang kita pelajari dalam Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang yaitu proyeksi titik ke garis, proyeksi titik ke bidang, proyeksi garis ke garis, proyeksi garis ke bidang, dan proyeksi bidang ke bidang. Semua jenis proyeksi ini penting bagi teman-teman yang belajar tentang dimensi tiga. Secara teori sebenarnya tidaklah mudah dalam mempelajari dan menguasai teknik proyeksi ini, apalagi hanya dengan membayangkan saja, akan lebih mudah bagi kita jika langsung ada alat peraganya. Hanya saja, kita harus tetap terbiasa untuk belajar tanpa alat peraga langsung karena ketika mengerjakan soal tidak akan disediakan alat peraga. Jadi, teman-teman harus banyak berlatih dalam memproyeksikan titik, garis, dan bidang.

         Untuk memudahkan dalam memahami materi cara proyeksi titik, garis, dan bidang, sebaiknya kita harus memahami dulu pengertian dan konsep titik itu apa, pengertian garis, dan pengertian bidang pada artikel Konsep Titik, Garis, dan Bidang.

Pengertian Proyeksi
Permisalan :
Proyeksian mewakili benda yang mau diproyeksikan (titik, garis, atau bidang), Hasil Proyeksian mewakili hasil proyeksinya, dan Proyeksitor mewakili benda sebagai tempat proyeksinya (titik, garis, atau bidang)

       Secara sederhana Proyeksi dapat kita artikan sebagai pencerminan proyeksian pada proyeksitor yang hasil proyeksiannya ada pada proyeksitor, dimana jika proyeksian dan hasil proyeksian kita hubungkan dengan garis maka garis tersebut tegak lurus dengan proyeksitornya. Adapun hasil proyeksiannya sesuai dengan proyeksiannya yaitu jika titik yang diproyeksikan maka hasilnya titik, begitu juga garis dan bidang.

Proyeksi Titik ke Garis
       Untuk proyeksi titik ke garis, titik sebagai proyeksian dan garis sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi titik P ke segmen garis AB yang hasil proyeksinya adalah titik R yang ada pada garis AB. Titik R tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis PR (putus-putus) tegak lurus dengan garis AB.

Proyeksi Titik ke Bidang
       Untuk proyeksi titik ke bidang, titik sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi titik P ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah titik R yang ada pada bidang W. Titik R tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis PR (putus-putus) tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = titik P, hasil proyeksian = titik R, dan proyeksitor = bidang W.

Proyeksi garis ke Garis
       Untuk proyeksi garis ke garis, garis pertama sebagai proyeksian dan garis keuad sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi segmen garis AB ke garis g yang hasil proyeksinya adalah segmen garis PR yang ada pada garis g. Segmen garis PR tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus tegak lurus dengan garis g. Proyeksian = segmen garis AB, hasil proyeksian = segmen garis PR, dan proyeksitor = garis g.

Proyeksi Garis ke Bidang
       Untuk proyeksi garis ke bidang, garis sebagai proyeksian dan bidang sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi segmen garis AB ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah segmen garis PR yang ada pada bidang W. Segmen garis PR tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = segmen garis AB, hasil proyeksian = segmen garis PR, dan proyeksitor = bidang W.

Proyeksi Bidang ke Bidang
       Untuk proyeksi bidang ke bidang, bidang pertama sebagai proyeksian dan bidang kedua sebagai proyeksitor. Berikut gambar proyeksinya :
Dari gambar, proyeksi bidang V ke bidang W yang hasil proyeksinya adalah bidang Y. Bidang Y tersebut dikatakan hasil proyeksi jika garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan bidang W. Proyeksian = bidang V, hasil proyeksian = bidang Y, dan proyeksitor = bidang W.

Contoh soal proyeksi titik, garis, dan bidang :
1). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi titik A ke garis HF?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah titik R karena garis AR tegak lurus dengan garis HF.

2). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi titik A ke bidang HDC?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah titik D karena garis AD tegak lurus dengan bidang HDC.

3). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi garis AH ke garis AD?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah garis AD karena garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan garis AD.

4). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi garis AE ke bidang AFH?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah garis AP karena garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan garis AP.

5). Pada kubus ABCD.EFGH, tentukan hasil proyeksi bidang AFH ke bidang ABCD?
Penyelesaian :
Perhatikan kubus berikut ini,
dari gambar, hasil proyeksinya adalah bidang ABD karena garis putus-putus warna merah tegak lurus dengan ABD.