Tampilkan posting dengan label bunga pertumbuhan dan peluruhan. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label bunga pertumbuhan dan peluruhan. Tampilkan semua posting

Sabtu, 20 Agustus 2016

Peluruhan dalam Matematika

         Blog Koma - Apa sih yang dimaksud dengan peluruhan khususnya dalam matematika? Sebenarnya peluruhan dalam matematika konsepnya mirip dengan "pertumbuhan dalam matematika" yang telah kita bahas sebelumnya, bedanya adalah untuk pertumbuhan semakin meningkat setipa periode berikutnya, sedangkan peluruhan akan selalu menurun setiap periode berikutnya. Dapat kita simpulkan, Peluruhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin menurun jumlahnya (semakin sedikit) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Penurunan pada peluruhan dalam matematika biasanya mengikuti pola tertentu yaitu "barisan dan deret aritmatika" atau "barisan dan deret geometri".

       Bagaimana dengan peluruhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk peluruhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan peluruhan suatu objek suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di awal sebanyak $ A_0 \, $ serta banyak objek setelah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
setelah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 - i \times A_0 = A_0(1 - i) $
setelah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 - i \times A_1 = A_1(1 - i) = A_0(1 - i)(1-i) = A_0(1-i)^2 $
setelah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 - i \times A_2 = A_2(1 - i) = A_0(1 - i)^2(1-i) = A_0(1-i)^3 $
dan seterusnya sampai
setelah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} - i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 - i) = A_0(1 - i)^{n-1}(1-i) = A_0(1-i)^n $

Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 - i)^n \, $ sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 - i $. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus peluruhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan peluruhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1-i)^1 = A_0(1-i) $.

Rumus Peluruhan dalam Matematika
       Adapaun rumus peluruhan setelah tahun ke-$n$ yaitu :
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1-i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ 0 < r < 1 $

Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah objek diawal
$A_n = \, $ jumlah objek setelah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase penurunan/peluruhan
$r = \, $ kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)


Contoh soal pertumbuhan :
1). Sebuah industri rumah tangga yang baru beroperasi tahun 2012 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Dengan berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan
a. Harga mesin pada tahun ke-2014.
b. Harga mesin pada tahun ke-2020.

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
a). Menentukan harga mesin pada tahun 2014 :
Tahun 2014 artinya dua tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 2 $
atau $ n = 2014 - 2012 = 2 $
harga mesin tahun 2014 = $ A_2 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_2 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^2 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^2 \\ & = 100.000.000 \times ( 0,9801) \\ & = 98.010.000 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2014 adalah Rp98.010.000,00.
b). Menentukan harga mesin pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 8 tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 8 $
atau $ n = 2020 - 2012 = 8 $
harga mesin tahun 2020 = $ A_8 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_8 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^8 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^8 \\ & = 100.000.000 \times ( 0, 922744694) \\ & = 92.274.469,40 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2020 adalah Rp92.274.469,40.

2). Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 4 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 12 jam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000.000 \, $ dan $ i = 5\% = 0,05 $
peluruhan terjadi setiap 4 jam, sehingga selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{12}{4} = 3 $.
*). Menentukan banyak bakteri setelah 12 jam ($A_{3}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_3 & = 1.000.000 \times (1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000 \times (0,95)^3 \\ & = 1 .000.000 \times ( 0, 857375) \\ & = 857.375 \end{align} $
Jadi, banyak bakteri setelah 12 jam adalah 857.375 bakteri.

3). Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami rekasi kimia sehingga ukurannya menyusut 10% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100 \, $ dan $ i = 10\% = 0,1 $
peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehingga selama 2 hari = 48 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{48}{12} = 4 $.
*). Menentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_4 & = 100 \times (1-0,1)^4 \\ & = 100 \times (0,9 )^4 \\ & = 100 \times (0,6561) \\ & = 65,61 \end{align} $
Jadi, ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari adalah 65,61 gram.

4). Seekor sapi terinveksi suatu virus yang mematikan. Setelah dilakukan pemeriksaan oleh dokter hewan, ternyata terdapat 1000 virus didalam tubuh sapi tersebut. Agar bisa menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang mampu membunuh sepertiga dari virus yang ada setiap 2 jam. Tentukan sisa virus setelah 8 jam?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1000 \, $ dan $ r = \frac{1}{3} $
peluruhan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 8 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{8}{2} = 4 $.
*). Menentukan sisa virus setelah 8 jam ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_4 & = 1000 \times (\frac{1}{3})^4 \\ & = 1000 \times \frac{1}{81} \\ & = 12,345679012 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, sisa virus setelah 8 jam adalah 13 virus.

         Demikian pembahasan materi Peluruhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga pembahasan soal-soal bunga, pertumbuhan dan peluruhan yang ada di buku kurikulum 2013.

Pertumbuhan dalam Matematika

         Blog Koma - Apa sih yang dimaksud dengan pertumbuhan khususnya dalam matematika? Baik, secara garis besar, Pertumbuhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin meningkat (semakin banyak) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Pertumbuhan yang akan dibahas lebih banyak pada pertumbuhan mahluk hidup seperti pertumbuhan pada manusia, bakteri, dan lainnya. Peningkatan yang terjadi pada Pertumbuhan dalam Matematika mengikuti pola atau aturan tertentu yang biasanya sesuai dengan barisan atau deret aritmatika dan barisan atau deret geometri. Untuk memudahkan mempelajari materi pertumbuhan ini, sebaiknya teman-teman kuasai dulu materi "barisan dan deret aritmatika" dan "barisan dan deret geometri".

         Adapun Ilustrasi pertumbuhan misalnya terjadi pada model multilevel marketing dimana setiap anggota harus merekrut dua anggota. Misalkan seseorang berhasil merekrut dua anggota, maka kedua anggota tersebut berada pada tingkat 1. Selanjutnya jika kedua anggota pada tingkat 1 masing-masing berhasil merekrut dua anggota, maka keempat anggota dari tingkat 1 berada pada tingkat 2 dan anggota yang Anda memiliki sebanyak 6 orang. Selanjutnya, jika keempat anggota pada level 2 masing-masing merekrut 2 anggota, maka anggota pada tingkat 3 sebanyak 8 orang dan anggota Anda mencapai 14 orang. Tentunya Anda bisa menghitung banyak anggota yang Anda miliki jika tingkat Anda semakin tinggi.

         Adapun Ilustrasi lain pertumbuhan misalkan terjadi pada pembelahan bakteri, dimana satu bakteri dapat membelah menjadi dua bakteri dan untuk membelah diri dibutuhkan waktu 1 jam. Dengan kata lain dari satu bakteri setelah 1 jam akan diperoleh dua bakteri. Selanjutnya, jika setiap bakteri dapat membelah diri menjadi dua bakteri baru, maka setelah 2 jam akan diperoleh empat bakteri, dan seterusnya.

Rumus pada Barisan dan deret aritmatika serta geometri
       Untuk mengingatkan kembali, kami akan mereview sedikit rumus suku ke-$n$ dan jumlah $ n $ suku pertama ($s_n$) barisan dan deret artimatika serta geometri :
*). Barisan dan deret aritmatika,
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Barisan dan deret geometri,
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ \, s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $

Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama.
$ b = \, $ beda = $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = ...= u_n - u_{n-1}$ .
$ r = \, $ rasio = $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}} $ .

Contoh soal pertumbuhan dalam matematika :
1). Sebuah penitipan kucing peliharaan mengalami peningkatan penitipan ketika mendekati hari raya besar yang terjadi biasanya 10 hari sebelum hari H. Jika peningkatan setiap harinya selalu tetap, diketahui pada hari kedua ada 4 kucing yang dititipkan oleh pelanggan dan pada hari keenam ada 16 kucing yang dititipkan, maka tentukan :
a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh.
b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari.

Penyelesaian :
*). Karena peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan pada kasus ini mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika.
*). Diketahui : $ u_2 = 4 \, $ dan $ u_6 = 16 $.
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $
$ u_2 = 4 \rightarrow a + b = 4 \, $ ....pers(i)
$ u_6 = 16 \rightarrow a + 5b = 16 \, $ ....pers(ii)
Eleiminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 5b = 16 & \\ a + b = 4 & - \\ \hline 4b = 12 & \\ b = 3 & \end{array} $
pers(i) : $ a + b = 4 \rightarrow a + 3 = 4 \rightarrow a = 1 $.
*). Menyelesaikan soal :
a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh ($u_{10}$).
$ u_{10} = a + 9b = 1 + 9 \times 3 = 1 + 27 = 28 \, $ ekor kucing.

b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
hari pertama = 1 ,
hari kedua = 1 + 3 = 4 ekor kucing,
hari ke-3 = 4 + 3 = 7 ekor kucing,
hari ke-4 = 7 + 3 = 10 ekor kucing,
hari ke-5 = 10 + 3 = 13 ekor kucing,
hari ke-6 = 13 + 3 = 16 ekor kucing,
hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing,
hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing,
hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing,
hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing.

c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari ($s_{10}$).
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{10} & = \frac{10}{2}(2a + (10-1)b) \\ & = 5(2a + (9)b) \\ & = 5(2 \times 1 + 9 \times 3) \\ & = 5(2 + 27) \\ & = 5 \times (29) \\ & = 145 \end{align} $
Artinya selama 10 hari pertama ada 145 ekor kucing yang dititipkan pelanggan ke penitipan kucing tersebut.


       Bagaimana dengan pertumbuhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk pertumbuhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan pertumbuhan penduduk suatu tempat setiap tahunnya meningkat sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %), dan banyak penduduk di awal sebanyak $ A_0 \, $ serta banyak penduduk setelah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
setelah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 + i \times A_0 = A_0(1 + i) $
setelah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 + i \times A_1 = A_1(1 + i) = A_0(1 + i)(1+i) = A_0(1+i)^2 $
setelah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 + i \times A_2 = A_2(1 + i) = A_0(1 + i)^2(1+i) = A_0(1+i)^3 $
dan seterusnya sampai
setelah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} + i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 + i) = A_0(1 + i)^{n-1}(1+i) = A_0(1+i)^n $

Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 + i)^n \, $ sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 + i $. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus pertumbuhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan pertumbuhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1+i)^1 = A_0(1+i) $.

Rumus Pertumbuhan dalam Matematika
       Adapaun rumus pertumbuhan setelah tahun ke-$n$ yaitu :
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1+i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ r > 1 $

Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya diawal
$A_n = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya setelah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase kenaikannya/pertumbuhannya
$r = \, $ kelipatan kenaikannya/pertumbuhannya (rasio)

Contoh soal pertumbuhan :
2). Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
*). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2010 :
Tahun 2010 artinya satu tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 1 $
atau $ n = 2010 - 2009 = 1 $
banyak penduduk tahun 2010 = $ A_1 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_1 & = 100.000 \times (1+0,01)^1 \\ & = 100.000 \times (1 ,01) \\ & = 101.000 \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2010 adalah 101.000 jiwa.
*). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 11 tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 11 $
atau $ n = 2020 - 2009 = 11 $
banyak penduduk tahun 2020 = $ A_{11} $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_{11} & = 100.000 \times (1+0,01)^{11} \\ & = 100.000 \times (1 ,01)^{11} \\ & = 100.000 \times 1,115668347 \\ & = 111.566,8347 \\ & = 111.567 \, \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2020 adalah 111.567 jiwa.

3). Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menujukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000 \, $ dan $ r = 2 $
Pembelahan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 20 jam terjadi 10 kali pembelahan.
atau $ n = \frac{20}{2} = 10 $.
*). Menentukan banyak bakteri setelah 20 jam ($A_{10}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_{10} & = 1 .000 \times (2)^{10} \\ & = 1 .000 \times 1.024 \\ & = 1.024.000 \end{align} $
Jadi, ada 1.024.000 bakteri setelah 20 jam.

         Demikian pembahasan materi Pertumbuhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan Peluruhan dalam Matematika. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Selasa, 16 Agustus 2016

Diskonto dalam Matematika Keuangan

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi bunga tunggal, kita lanjutkan pembahasan berikutnya yaitu Diskonto dalam Matematika Keuangan. Diskonto adalah bunga yang dibayarkan oleh peminjam pada saat menerima pinjaman. Proses perhitungan diskonto menggunakan sistem bunga tunggal, sehingga untuk menghitung besarnya diskonto hampir sama dengan perhitungan besarnya bunga tunggal jika besarnya pinjaman dan % diskonto diketahui. Besarnya nilai pinjaman pada sistem diskonto nilainya sama dengan jumlah modal yang harus dibayar saat jatuh tempo.

         Perhatikan ilustrasi berikut ini: Misalkan seorang meminjam Rp100.000,00 dengan diskonto 2% tiap bulan, maka diskontonya = 2% $\times$ Rp100.000,00 tiap bulan = Rp2.000,00. Jika pinjaman akan dikembalikan 1 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 - Rp2.000,00 = Rp98.000,00 dan 1 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00. Nilai Rp100.000 kita sebut sebagai nilai akhir (NA) dan nilai yang diterima di awal yaitu Rp98.000 kita sebut sebagai nilai tunai (NT). Jika pinjaman akan dikembalikan 3 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 - 3 $\times$ Rp2.000,00 = Rp94.000,00 (NT) dan 3 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00 (NA).

Rumus menentukan Diskonto dari NA dan NT
       Misalkan seseorang meminjam uang sebesar NA (yang akan dikembalikan diakhir periode peminjaman), suku bunga $ i $ per periode selama $ n $ periode, dan akan menerima sebesar NT, maka besarnya diskonto (D) dapat ditentukan dengan rumus :
$ \begin{align} D = NA - NT \end{align} \, $ sehingga $ \, \begin{align} NT = NA - D \end{align} $

*). Menentukan besarnya D jika diketahui NA :
$ D = n \times i \times NA $

*). Menentukan besarnya D jika diketahui NT :
$ D = \frac{p}{100-p} \times NT $,
dengan suku bunga total periode $ \, = p\% $.

Keterangan :
NA = nilai akhir (besar yang harus dikembalikan)
NT = nilai tunai (besar yang diterima di awal)
D = diskonto (bunga yang dibayarkan di awal)
$ i = \, $ suku bunga tunggal
$ n = \, $ lama waktu peminjaman.

Catatan :
*). Satuan $ i $ dan $ n \, $ harus sama.
*). Perhitungan nilai diskonto sama dengan menghitung besarnya bunga pada bunga tunggal.

Contoh soal Diskonto :
1). Pinjaman sebesar Rp2.000.000,00 dengan sistem diskonto 3%/bulan dan akan dikembalikan setelah 5 bulan. Tentukan:
a. Nilai diskonto
b. Modal yang diterima peminjam (NT)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 2.000.000, $ i = 3\% = \frac{3}{100} \, $ /bulan, dan $ n = 5 \, $ bulan.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = n \times i \times NA = 5 \times \frac{3}{100} \times 2.000.000 = 300.000 $.

b). Menentukan modal yang diterima peminjam/nilai tunai.
$ NT = NA - D = 2.000.000 - 300.000 = 1.700.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp300.000,00 dan besarnya nilai tunai adalah Rp1.700.000,00. Dimana setelah 5 bulan sipeminjam akan mengembalikan uang pinjamannya sebesar Rp2.000.000,00.

2). Pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 dengan sistem diskonto 18%/tahun dan akan dikembalikan setelah 9 bulan. Tentukan:
a. Nilai diskonto
b. Modal yang diterima peminjam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 5.000.000, $ i = 18\% = \frac{18}{100} \, $ /tahun,
dan $ n = 9 \, $ bulan = $ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \, $ tahun.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = n \times i \times NA = \frac{3}{4} \times \frac{18}{100} \times 5.000.000 = 675.000 $.

b). Menentukan modal yang diterima peminjam/nilai tunai.
$ NT = NA - D = 5.000.000 - 675.000 = 4.325.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp675.000,00 dan besarnya nilai tunai adalah Rp4.325.000,00.

3). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 14%/tahun dan akan dikembalikan dalam waktu 1.5 tahun. Jika modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.135.000,00. Tentukan:
a. Nilai diskonto
b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo (NA)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NT = 5.135.000 dan $ n = 1,5 \, $ tahun.
total suku bunga, $ 14\% \times 1,5 = 21\% \, $ artinya $ p\% = 21\% $ , sehingga $ p = 21 $.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = \frac{p}{100-p} \times NT = \frac{21}{100-21} \times 5.135.000 = \frac{21}{79} \times 5.135.000 = 1.365.000 $.

b). Menentukan pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo/nilai akhir.
$ NA = NT + D = 5.135.000 + 1.365.000 = 6.500.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp1.365.000,00 dan besarnya nilai akhir adalah Rp6.500.000,00.

4). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 6%/cawu dan akan dikembalikan dalam waktu 10 bulan. Jika Modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.312.500,00. Tentukan:
a. Nilai diskonto?
b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NT = 5.312.500 dan $ n = 10 \, $ bulan.
1 cawu = 4 bulan, sehingga
suku bunga, $ i = 6\% \, $/cawu = $ \frac{6}{4}\% = 1,5\% \, $ /bulan.
total suku bunga, $ 1,5\% \times 10 = 15\% \, $ artinya $ p\% = 15\% $ , sehingga $ p = 15 $.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = \frac{p}{100-p} \times NT = \frac{15}{100-15} \times 5.312.500 = \frac{15}{85} \times 5.312.500 = 937.500 $.

b). Menentukan pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo/nilai akhir.
$ NA = NT + D = 5.312.500 + 937.500 = 6.250.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp937.500,00 dan besarnya nilai akhir adalah Rp6.250.000,00.

         Demikian pembahasan materi Diskonto dalam Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan bunga, pertumbuhan, dan peluruhan.

Senin, 15 Agustus 2016

Nilai Tunai dan Nilai Akhir

         Blog Koma - Padaa artikel ini kita akan mempelajari materi Nilai Tunai dan Nilai Akhir. Apakah Nilai Tunai dan Nilai Akhir itu? Untuk memahami keduanya, perhatikan ilustrasi berikut ini. Ilustrasi , misalkan seseorang akan menerima uang dari sebuah lembaga (entah bank, koperasi, atau lainnya) sebesar Rp25.000.000,00 pada 2 tahun yang akan datang (mungkin dia mendapat bantuan dana). Jika orang tersebut meminta uang tersebut sekarang, maka uang yang diterima pasti nilainya akan lebih kecil dari Rp25.000.000 yang seharusnya dia terima 2 tahun yang akan datang. Uang yang diterima sekarang inilah yang disebut Nilai Tunai atau harga tunai.

         Nilai tunai juga biasanya ada kaitannya dengan suatu pinjaman (berhutang). Misalkan seseorang meminjam uang di bank sebesar Rp1.000.000 yang akan dikembalikan setelah 6 bulan. Artinya setelah 6 bulan dia akan mengembalikan Rp1.000.000. Dengan sistem bunga tertentu (bunga tunggal atau bunga majemuk), sekarang dia menerima uang sebesar Rp950.000. Uang sekarang (Rp950.000) ini disebut nilai tunai dan uang yang akan dibayarkan sebesar Rp1.000.000 setelah 6 bulan yang akan datang disebut nilai akhir atau harga akhir.

         Berdasarkan bunga tunggal dan bunga majemuk, kita telah mengenal istilah modal awal (M) dan modal akhir($M_n$). Sebenarnya modal awal ini sama saja dengan nilai tunai (NT) dan modal akhir sama saja dengan nilai akhir (NA). Artinya untuk menentukan Nilai Tunai dan Nilai Akhir kita akan menggunakan rumus bunga tunggal dan bunga majemuk.

Rumus Menentukan nilai tunai dan nilai akhir
       Berikut adalah rumus menentukan nilai tunai (NT) dan nilai akhir (NA) :
*). Bunga tunggal :
$ \begin{align} M_n = M(1 + ni) \rightarrow M = \frac{M_n}{1 + ni} \end{align} $
atau
$ \begin{align} NA = NT \times (1 + ni) \rightarrow NT = \frac{NA}{1 + ni} \end{align} $

*). Bunga majemuk :
$ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n \rightarrow M = \frac{M_n}{(1 + i)^n} \end{align} $
atau
$ \begin{align} NA = NT \times (1 + i)^n \rightarrow NT = \frac{NA}{(1 + i)^n} \end{align} $

Keterangan :
NA = nilai akhir, NT = nilai tunai,
NA = $ M_n \, $ dan NT = M.
$ n = \, $ lama periode (waktu),
$ i = \, $ suku bunga (tunggal atau majemuk)

Contoh soal nilai tunai dan nilai akhir:
1). Tentukan nilai tunai dari pinjaman sebesar Rp1.000.000 dengan pengembalian 9 bulan dengan suku bunga tunggal 6% per tahun ?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = Rp1.000.000, $ i = 6\% = 0,06 $ , dan
$ n = \, $ 9 bulan = $ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \, $ tahun.
*). Menentukan nilai tunai (NT)
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{1 + ni} \\ & = \frac{1.000.000}{1 + \frac{3}{4} \times 0,06} \\ & = \frac{1.000.000}{1 + 0,045} \\ & = \frac{1.000.000}{1 ,045} \\ & = 956.937,79 \end{align} $
Jadi, besarnya nilai tunai adalah Rp956.937,79.


2). Ratih menabung di bank yang memberikan suku bunga majemuk 1,5% sebulan. Ternyata setelah 7 bulan tabungan Ratih menjadi Rp1.109.844,91. Berapakah besar uang yang ditabung oleh Ratih di awal?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 1.109.844,91, $ i = 1,5\% = 0,015 , \, $ dan $ n = 7 $.
*). Ditanya modal awal/nilai tunai :
*). Menentukan modal awal/nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{(1 + i)^n} \\ & = \frac{1.109.844,91}{(1 + 0,015)^7 } \\ & = \frac{1.109.844,91}{(1 ,015)^7 } \\ & = \frac{1.109.844,91}{ 1,10984491 } \\ & = 1.000.000 \end{align} $
Jadi, Ratih di awal menabung sebesar Rp1.000.000,00.

3). Tentukan modal mula-mula (Nilai Tunai dari suatu modal) jika nilai akhir modal sebesar Rp17.262.804,24 setelah dibungakan 4 tahun 9 bulan dengan suku bunga 8%/kwartal?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 17.262.804,24, $ i = 8\% = 0,08 \, $ /kwartal.
1 tahun = 4 kwartal , sehigga 1 kwartal = 3 bulan.
4 tahun 9 bulan = 48 + 9 = 57 bulan, sehingga :
$ n = \frac{57}{3} = 19 \, $ kwartal.
*). Menentukan modal awal/nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{(1 + i)^n} \\ & = \frac{17.262.804,24}{(1 + 0,08)^{19} } \\ & = \frac{17.262.804,24}{(1 ,08)^{19} } \\ & = \frac{17.262.804,24}{4,315701059 } \\ & = 4.000.000 \end{align} $
Jadi, nilai tunainya adalah Rp4.000.000,00.

Nilai Tunai Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan
       Berikut adalah rumus menentukan nilai tunai (NT) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan :
*). Bunga majemuk :
$ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i) \rightarrow M = \frac{M_n}{(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i)} \end{align} $
atau
$ \begin{align} NA = NT(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i) \rightarrow NT = \frac{NA}{(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i)} \end{align} $

Keterangan :
NA = nilai akhir, NT = nilai tunai,
NA = $ M_n \, $ dan NT = M.
$ n = \, $ lama periode (waktu),
$ i = \, $ suku bunga (tunggal atau majemuk)
$ p = \, $ bagian waktu pecahan.

Contoh soal :
4). Tentukan nilai tunai setelah berbunga selama 6,5 bulan. Modal menjadi Rp3.500.000,00 jika dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 3.500.000, $ i = 3\% = 0,03 \, $ /bulan.
waktu 6,5 bulan artinya $ n = 6 \, $ dan $ p = 0,5 $.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i)} \\ & = \frac{3.500.000}{(1 + 0,03)^6 \times ( 1 + 0,5\times 0,03)} \\ & = \frac{3.500.000}{(1 ,03)^6 \times ( 1 ,015)} \\ & = \frac{3.500.000}{ 1,194052297 \times ( 1 ,015)} \\ & = \frac{3.500.000}{ 1,211963081} \\ & = 2.887.876,75 \end{align} $
Jadi, besarnya nilai tunai adalah Rp2.887.876,75.

         Demikian pembahasan materi Nilai Tunai dan Nilai Akhir beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan diskonto.

Sabtu, 13 Agustus 2016

Bunga Majemuk dan Contohnya

         Blog Koma - Jika seseorang menyimpan uang di bank kemudian setiap akhir periode, bunga yang diperoleh tersebut tidak diambil, maka bunga itu akan bersama-sama modal menjadi modal baru yang akan berbunga pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh nilainya menjadi lebih besar dari bunga pada periode sebelumnya. Proses bunga berbunga pada ilustrasi ini dinamakan Bunga Majemuk. Pada artikel ini kita akan membahas materi Bunga Majemuk dan Contohnya.

Perhatikan ilustrasi berikut ini :
       Sinta meminjam uang di koperasi untuk membeli mobil sebesar Rp75.000.000,00 dengan bunga majemuk 3% selama 3 tahun. Sinta mendapatkan rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di akhir tahun ketiga sebagai berikut.

Dari tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga terus berubah setiap periodenya yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ($i = 3\%$) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya. Perhitungannya :
Modal sebelumnya = 75.000.000
bunga periode I = $ 3\% \times 75.000.000 = 2.250.000 \, $
Modal periode I = 75.000.000 + 2.250.000 = 77.250.000
bunga periode II = $ 3\% \times 77.250.000 = 2.317.500 \, $ ,
begitu seterusnya.

Contoh soal :
1). Dani menyimpan uang di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank memberikan bunga 10%/tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan dianggap tidak ada biaya administrasi bank. Tentukan besarnya bunga pada akhir tahun pertama, akhir tahun kedua, dan akhir tahun ketiga ?

Penyelesaian :
*). Diketahui :
Suku bunga majemuk : $ i = 10\% = \frac{10}{100}= 0,1 $
Modal awal : M = 1.000.000
*). Bunga akhir tahun pertama/periode pertama ($B_1$) :
$ B_1 = i \times M = 0,1 \times 1.000.000 = 100.000 $.
*). Besar modal akhir tahun pertama ($M_1$) :
$ M_1 = M + B_1 = 1.000.000 + 100.000 = 1.100.000 $.
*). Bunga akhir tahun kedua/periode kedua ($B_2$) :
$ B_2 = i \times M_1 = 0,1 \times 1.100.000 = 110.000 $.
*). Besar modal akhir tahun kedua ($M_2$) :
$ M_2 = M_1 + B_2 = 1.100.000 + 110.000 = 1.210.000 $.
*). Bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ($B_3$) :
$ B_3 = i \times M_2 = 0,1 \times 1.210.000 = 121.000 $.
*). Besar modal akhir tahun ketiga ($M_3$) :
$ M_3 = M_2 + B_3 = 1.210.000 + 121.000 = 1.331.000 $.
Jadi, besarnya bunga dari periode pertama sampai ketiga berturut-turut Rp100.000, Rp110.000, dan Rp121.000.

Rumus besarnya bunga pada akhir periode ke-$n$ ($B_n$)
       Besarnya bunga setiap periode tertentu langsung bisa kita hitung dengan rumus berikut ini :
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $

Keterangan :
$ B_n = \, $ bunga periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
$ i = \, $ suku bunga per periode
$ M = \, $ modal awal yang ditabung atau yang dipinjam


Contoh :
2). Kita akan coba menghitung kembali besarnya bunga pada contoh soal nomor (1) di atas dengan rumus bunga.
Pada soal nomor (1) diketahui $ i = 10\% = 0,1 \, $ dan modal awal M = 1.000.000.
*). Menentukan besarnya bunga periode pertama, kedua dan ketiga dengan rumus
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $
Besar bunga akhir tahun pertama/periode pertama ($n=1$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_1 & = i \times (1+i)^{1-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{0} \times M \\ & = i \times 1 \times M \\ & = i \times M \\ & = 0,1 \times 1.000.000 \\ & = 100.000 \end{align} $
Besar bunga akhir tahun kedua/periode kedua ($n=2$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_2 & = i \times (1+i)^{2-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{1} \times M \\ & = i \times (1 + i) \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1) \times 1.000.000 \\ & = 110.000 \end{align} $
Besar bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ($n=3$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_3 & = i \times (1+i)^{3-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{2} \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1)^2 \times 1.000.000 \\ & = 121.000 \end{align} $
Kita peroleh hasil yang sama dengan perhitungan pada contoh soal nomor (1) di atas.

Rumus Modal akhir pada periode ke-$n$ ($M_n$)
       Besarnya modal akhir periode ke-$n$ dapat langsung kita hitung dengan rumus berikut ini :
$ \begin{align} M_n = M(1+i)^n \end{align} $

Keterangan :
$ M_n = \, $ modal akhir stelah periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
Catatan :
*). $i \, $ dan $ n \, $ harus dalam satuan/periode yang sama.
*). Jika satuan $ i \, $ dan $ n \, $ tidak sama, maka satuan $ n \, $ yang diubah menjadi bentuk satuan $i $ .

Contoh soal :
3). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ , dan $ n = 6 $
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 5.000.000 \times (1+0,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times (1 ,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \\ & = 8.857.805 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 6 tahun adalah Rp8.857.805,00.
*). Menentukan jumlah semua bunga yang diperoleh selama 6 tahun :
Total bunga = 8.857.805 - 5.000.000 = 3.857.805
Jadi, jumlah semua bunga selama 6 tahun adalah Rp3.857.805,00.

4). Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama 5 tahun. Tentukan modal akhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 2.000.000 , $ i = 5\% = 0,05 \, $/semester (6 bulan).
Satuan $i \, $ dan $ n \, $ harus sama dengan tanpa merubah satuan dari $ i \, $ , sehingga kita ubah $ n \, $ menjadi satu periode = 1 semester = 6 bulan. Sementara 1 tahun = 2 semester, sehingga kita peroleh :
$ n = \, $ 5 tahun = 5 $ \times \, $ 2 semester = 10 semester.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 2.000.000 \times (1+0,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times (1 ,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times 1,628894627 \\ & = 3.257.789,25 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 5 tahun adalah Rp3.257.789,25.

5). Radit menyimpang uangnya di bank sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan. Tentukan besar tabungan akhirnya setelah tabungannya berjalan selama 3 tahun 9 bulan.?

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 1.500.000 dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /triwulan (3 bulan).
Kita samakan satuan $ i $ dan $ n $ yaitu sama-sama dalam triwulan.
1 triwulan = 3 bulan,
dan 3 tahun 9 bulan = $ 3 \times 12 + 9 = 45 \, $ bulan.
Sehingga $ n = \frac{45}{3} = 15 \, $ triwulan.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 1.500.000 \times (1+0,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times (1 ,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times 1,800943506 \\ & = 2.701.415,26 \end{align} $
Jadi, besar tabungan akhir Radit setelah dibungakan selama 3 tahun 9 bulan adalah Rp2.701.415,26.

6). Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4%/semester, setelah berapa tahun modal akhir menjadi = Rp4.440.732,87?

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.000.000, $ M_n = 4.440.732,87 \, $ dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /semester.
*). Sifat logaritma yang digunakan : $ \log a^n = n \times \log a $.
*). Menentukan lama menabung ($n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.440.732,87 & = 3.000.000(1+0,04)^n \\ (1+0,04)^n & = \frac{4.440.732,87}{3.000.000} \\ (1,04)^n & = 1.48024429 \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ \log (1,04)^n & = \log (1.48024429) \\ n \times \log (1,04) & = \log (1.48024429) \\ n & = \frac{\log (1.48024429)}{\log (1,04)} \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ n & = 10 \end{align} $
Karena $ i $ dan $ n $ satuannya sama, maka $ n = \, $ 10 semester = 5 tahun.
Jadi, modal tersebut dibungakan selama 5 tahun.

7). Rita meminjam uang di koperasi sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk tiap bulan. Setelah 2 tahun modal menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 2.500.000, $ M_n = 4.021.093,12 \, $ dan
$ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan ( satuan $i $ dan $ n $ sama-sama dalam bulan).
*). Sifat eksponen yang digunakan : $ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
*). Menentukan suku bunga ($i$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.021.093,12 & = 2.500.000 \times (1+i)^{24} \\ (1+i)^{24} & = \frac{4.021.093,12}{2.500.000} \\ (1+i)^{24} & = 1,608437249 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat eksponen)} \\ (1+i) & = \sqrt[24]{1,608437249 } \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ (1+i) & = 1.02 \\ i & = 1.02 - 1 \\ i & = 0,02 \\ i & = 0,02 \times 100\% \\ i & = 2 \% \end{align} $
Jadi, suku bunganya adalah sebesar 2%/bulan.

Modal Akhir ($M_n$) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan ($n$)
       Jangka waktu ($n$) proses berbunganya suatu modal tidak hanya merupakan bilangan bulat. Jika jangka waktu bukan merupakan bilangan bulat, maka cara menentukan nilai $ (1 + i)^n \, $ dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:
i). Dengan menghitung langsung bentuk $ (1 + i)^n \, $ menggunakan kalkulator,
ii). Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga yang bulat. Jika disederhanakan dalam rumus adalah sebagai berikut:
              $ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) \end{align} $
Dengan $ p \, $ masa bunga pecahan

Catatan :
Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas.

Cotoh soal :
8). Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 5,75 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 4.500.000, $ i = 3\% = 0,03 \, $ /bulan, dan $ n = 5,75 \, $ bulan.

Cara I, langsung menggunakan rumus : $ M_n = M(1+i)^n $
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 4.500.000 \times (1+0,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times (1 ,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times 1,18526113 \\ & = 5.333.675,08 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.333.675,08.

Cara II, menggunakan rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $ :
lama menabung 5,75 bulan, artinya $ n = 5 \, $ (bagian bulat) dan $ p = 0,75 \, $ (bagian pecahan).
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 4.500.000 (1 + 0,03)^5 (1 + 0,75 \times 0,03) \\ & = 4.500.000 (1 ,03)^5 \times (1 + 0,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,159274074 \times (1,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,185357741 \\ & = 5.334.109,84 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.334.109,84.

Catatan :
Terjadi perbedaan hasil antara cara I dan cara II yaitu sebesar Rp434,76 dimana perbedaannya hanya kecil saja. Artinya kita boleh menggunakan salah satu dari cara yang ada, dan disarankan menggunakan cara kedua yaitu menggunakan rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $.

9). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 10%/tahun. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 6 tahun 3 bulan.

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ /tahun.
Karena satuan $ i $ dalam tahun, maka 6 tahun 3 bulan kita ubah menjadi dalam tahun.
6 tahun 3 bulan = $ 6 + \frac{3}{12} = 6 + 0,25 = 6,25 \, $ tahun.
artinya $ n = 6 \, $ dan $ p = 0,25 $.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 5.000.000 (1 + 0,1)^6 (1 + 0,25 \times 0,1) \\ & = 5.000.000 (1 ,1)^6 \times (1 + 0,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \times (1,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,815850025 \\ & = 9.079.250,125 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 6,25 tahun adalah Rp9.079.250,125.

         Demikian pembahasan materi Bunga Majemuk dan Contohnya . Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan bunga, pertumbuhan dan peluruhan yaitu nilai tunai.

Rabu, 10 Agustus 2016

Bunga Tunggal dan Contohnya

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan membahas materi bunga tunggal dengan judul Bunga Tunggal dan Contohnya. Bunga tunggal merupakan salah satu jenis perhitungan bunga dalam matematika keuangan dimana bunga dibagi menjadi dua yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Sebelumnya juga telah dibahas pengenai "pengertian bunga dan contohnya", silahkan dibaca untuk pemahaman awal dalam mempelajari bunga tunggal.

         Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap.

Perhatikan ilustrasi kasus berikut ini!
         Iwan mendapatkan dana pinjaman dari yayasan pendidikan "Indonesia Pintar Berkarya" untuk melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi dengan pinjaman Rp20.000.000,00 dengan bunga tunggal 5% per tahun selama 4 tahun. Adi membayar lunas pinjamannya setelah 4 tahun sebesar Rp24.000.000,00 dengan rincian pinjaman sebagai berikut:

Keterangan :
Pada tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga selalu sama setiap tahun yaitu sebesar Rp1.000.000 dengan perhitungan 5% dikalikan besarnya modal awal (Rp20.000.000) yaitu : $ 5\% \times 20.000.000 = 1.000.000 $. Besarnya bunga yang tetap setiap periode inilah disebut bunga tunggal.

Rumus Menghitung Bunga Tunggal
       Misalkan kita menabung atau meminjam uang dengan modal awal $ M $ dengan suku $i$ per periode selama $ n $ periode, besarnya bunga tunggal ($B$) dapat dihitung dengan rumus :
Bunga = banyaknya periode $ \times $ suku bunga tiap periode $ \times $ modal awal.
$ B = n \times i \times M $.


Contoh Soal :
1). Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 2%/bulan. Tentukan bunga setelah 1 bulan, 2 bulan, dan 5 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ M = 1.000.000 \, $ dan $ i = 2\% = \frac{2}{100} $
*). Menentukan bunga setelah 1 bulan ($ n = 1 $)
$ B = n \times i \times M = 1 \times \frac{2}{100} \times 1.000.000 = 20.000 $
*). Menentukan bunga setelah 2 bulan ($ n = 2 $)
$ B = n \times i \times M = 2 \times \frac{2}{100} \times 1.000.000 = 40.000 $
*). Menentukan bunga setelah 5 bulan ($ n = 5 $)
$ B = n \times i \times M = 5 \times \frac{2}{100} \times 1.000.000 = 100.000 $

Catatan Penting :
*). Dari rumus $ B = n \times i \times M \, $ , syarat utamanya adalah periodenya harus sama (satuan waktunya sama).
*). Yang diubah boleh satuan $i \, $ nya atau satuan $ n \, $ sehingga sama.
*). Misalkan beberapa kasus di bawah ini :
i). Diketahui suku bunga ($i$) per tahun dan $ t $ dalam tahun,
maka $ B = t \times i \times M $
ii). Diketahui suku bunga ($i$) per tahun dan $ t $ dalam bulan,
maka $ n = \frac{t}{12} \, $ tahun,
sehingga $ B = \frac{t}{12} \times i \times M $
iii). Diketahui suku bunga ($i$) per tahun dan $ t $ dalam hari,
maka $ n = \frac{t}{360} \, $ tahun (anggap 1 tahun = 360 hari),
sehingga $ B = \frac{t}{360} \times i \times M $
iv). Diketahui suku bunga ($i$) per bulan dan $ t $ dalam tahun,
maka $ n = 12 \times t \, $ bulan,
sehingga $ B = 12 \times t \times i \times M $
v). Diketahui suku bunga ($i$) per bulan dan $ t $ dalam bulan,
maka $ n = t \, $ bulan,
sehingga $ B = t \times i \times M $
vi). Diketahui suku bunga ($i$) per bulan dan $ t $ dalam hari,
maka $ n = \frac{t}{30} \, $ bulan (anggap 1 bulan = 30 hari),
sehingga $ B = \frac{t}{30} \times i \times M $

Contoh soal :
2). Budi menabung di bank sebesar Rp1.000.000 dengan suku bunga tunggal 6% per tahun. Tentukan besarnya bunga setelah menabung sebesar 3 tahun, 3 bulan, dan 36 hari (anggap 1 tahun = 360 hari)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ M = 1.000.000 \, $ dan $ i = 6\% = \frac{6}{100} \, $ per tahun.
*). Bunga setelah 3 tahun :
$ n = 3 \, $ tahun dan satuan sudah sama dengan $ i $ yaitu suku bunga pertahun.
$ B = n \times i \times M = 3 \times \frac{6}{100} \times 1.000.000 = 180.000 $
*). Bunga setelah 3 bulan :
$ n = $ 3 bulan $ = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \, $ tahun .
$ B = n \times i \times M = \frac{1}{4} \times \frac{6}{100} \times 1.000.000 = 15.000 $
*). Bunga setelah 36 hari :
$ n = $ 36 hari $ = \frac{36}{360} = \frac{1}{10} \, $ tahun .
$ B = n \times i \times M = \frac{1}{10} \times \frac{6}{100} \times 1.000.000 = 6.000 $

Rumus Menghitung Modal Akhir Bunga Tunggal
       Setelah kita bisa mencari besarnya bunga dalam bunga tunggal, berikutnya kita akan menghitung modal akhir ($M_n$) dari modal awal ($M$) setelah dibungankan selama $ n $ periode dengan suku bunga $ i \, $ setiap periodenya yaitu :
Modal akhir = modal awal + bunga
$ M_n = M + B \, $ dengan $ B = n \times i \times M $
sehingga :
$ \begin{align} M_n & = M + B \\ & = M + n \times i \times M \\ & = M(1 + n \times i) \end{align} $
Jadi, rumus modal akhir adalah $ M_n = M(1 + n i) $ .

Contoh soal :
3). Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 3 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan bunga yang diperoleh dan modal akhir setelah dibungakan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 1.000.000, $ n = 3 \, $ , dan $ i = 18\% = \frac{18}{100} $
*). Menentukan besarnya bungan (B) :
$ B = n \times i \times M = 3 \times \frac{18}{100} \times 1.000.000 = 540.000 $
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ M_n = M + B = 1.000.000 + 540.000 = 1.540.000 $
Jadi, besarnya bungan Rp540.000 dan modal akhirnya Rp1.540.000.

*). Untuk menghitung besarnya modal akhir pada contoh soal nomor 3 ini bisa langsung dengan rumus $M_n = M(1 + ni) $.
$ \begin{align} M_n & = M(1 + ni) \\ & = 1.000.000 \times (1 + 3 \times \frac{18}{100}) \\ & = 1.000.000 \times (1 + \frac{54}{100}) \\ & = 1.000.000 \times ( \frac{100}{100}+ \frac{54}{100}) \\ & = 1.000.000 \times ( \frac{154}{100} ) \\ & = 1.540.000 \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil yang untuk besarnya modal akhir yaitu Rp1.540.000.

4). Budi menabung di bank A sebesar Rp2.500.000 dengan suku bunga 3%/cawu. Jika ia menabung selama 1 tahun 7 bulan, maka berapa besar bunga dan tabungan akhir yang diperoleh Budi?

Penyelesaian :
*). Karena satuan $ i $ dan $ n \, $ belum sama, maka kita samakan terlebih dahulu menjadi bulan semua.
1 cawu = 4 bulan, sehingga :
$ i = 3\% $ tiap cawu $ = \frac{3\%}{4} = \frac{3}{4}\% = \frac{3}{400} \, $ tiap bulan.
$ n = $ 1 tahun 7 bulan = 12 + 7 = 19 bulan.
*). Menentukan besarnya bunga (B) :
$ B = n \times i \times M = 19 \times \frac{3}{400} \times 2.500.000 = 356.250 $ .
*). Menentukan tabungan akhir/modal akhir ($M_n$) :
$ M_n = M + B = 2.500.000 + 356.250 = 2.856.250 $
Jadi, besarnya bungan Rp356.250 dan tabungan akhirnya Rp2.856.250.

5). Suatu pinjaman sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 2 tahun 3 bulan. Ternyata bunga yang diperoleh Rp450.000,00. Tentukan suku bunganya tiap tahun dan tiap triwulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 2.500.000, B = 450.000, dan $ n = 27 \, $ bln.
*). Menentukan suku bunga ($i$) tiap bulan :
$ \begin{align} B & = n \times i \times M \\ 450.000 & = 27 \times i \times 2.500.000 \\ i & = \frac{450.000}{27 \times i \times 2.500.000} \\ & = \frac{450.000}{27 \times 2.500.000} \\ & = \frac{45 }{27 \times 250 } \\ & = \frac{45 }{27 \times 250 } \\ & = \frac{1 }{150 } \\ & = \frac{1 }{150 } \times 100\% \\ & = \frac{2}{3 } \% \\ \end{align} $
artinya suku bunga setiap bulannya adalah $ \frac{2}{3} \% $.
*). Suku bunga setiap tahun dan tiap triwulan :
Suku bunga tiap tahun = $ 12 \times \frac{2}{3} \% = 8 \% $ .
Suku bunga tiap triwulan = $ 3 \times \frac{2}{3} \% = 2 \% $ .
Jadi, kita peroleh suku bunga 8%/tahun dan 2%/triwulan.

6). Suatu pinjaman sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 7.5%/semester. Ternyata modal tersebut menjadi Rp1.800.000,00. Setelah berapa bulan bunga tersebut dibungakan?

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 1.500.000 dan $ M_n = 1.800.000 $.
*). suku bunga kita ubah dulu menjadi tiap bulan,
1 semester = 6 bulan, sehingga
suku bunga tiap bulan = $ \frac{7,5\%}{6} = \frac{15}{200} \times {1}{6} = \frac{1}{80} $
artinya $ i = \frac{1}{80} \, $ tiap bulan.
*). Menentukan besarnya bunga (B) :
$ M_n = B + M \rightarrow B = M_n - M = 1.800.000 - 1.500.000 = 300.000 $.
*). Menentukan lama dibungakan ($n$) :
$ \begin{align} B & = n \times i \times M \\ 300.000 & = n \times \frac{1}{80} \times 1.500.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 300.000)} \\ 1 & = n \times \frac{1}{80} \times 5 \\ 1 & = n \times \frac{1}{16} \\ n & = 16 \end{align} $
Jadi, lamanya dibungakan selama 16 bulan.

7). Suatu modal setelah dibungakan dengan bunga tunggal 15%/tahun selama 2 tahun modal tersebut menjadi Rp6.110.000,00. Tentukan Modal mula-mula!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ i = 15\% = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} \, $ , $ M_n = 6.110.000\, $ dan $ n = 2 $.
*). Menentukan modal awal/mula-mula (M) :
$ \begin{align} M_n & = M(1 + ni) \\ M & = \frac{M_n}{1 + ni} \\ & = \frac{6.110.000}{1 + 2 \times \frac{3}{20} } \\ & = \frac{6.110.000}{1 + \frac{3}{10} } \\ & = \frac{6.110.000}{ \frac{13}{10} } \\ & = 6.110.000 \times \frac{10}{13} \\ & = 4.700.000 \end{align} $
Jadi, modal awalnya adalah Rp4.700.000,00.

         Demikian pembahasan materi Bunga Tunggal dan Contohnya . Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan bunga majemuk dan contohnya.

Kamis, 04 Agustus 2016

Pengertian Bunga dalam Matematika Keuangan

         Blog Koma - Apa sih sebenarnya pengertian bunga dalam matematika keuangan? Perhatikan ilustrasi berikut ini. Mengapa banyak orang yang berbondong-bondong menyimpan atau mendepositokan uangnya di Bank. Di samping karena masalah keamanan, juga karena mendapatkan jasa dari simpanan tersebut, yang dinamakan bunga. Mengapa banyak dealer mobil maupun motor menawarkan kredit kepada konsumen. Karena dengan kredit, dealer akan mendapatkan tambahan modal dari sejumlah modal yang telah ditanamkan. Tambahan modal tersebut dinamakan bunga. Jadi, Bunga adalah jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka waktu yang telah disepakati bersama.

        Jika besarnya bunga suatu pinjaman atau simpanan dinyatakan dengan persen (%), maka persen tersebut dinamakan suku bunga atau persentase bunga yang biasa disimbolkan $ i $ .

Rumus Penentuan Besarnya Bunga (B), Suku Bunga ($i$) , dan Tabungan Akhir ($M_n$)
       Misalkan seseorang menyimpan atau meminjam uang di lembaga keuangan sebesar $ M $ dengan suku bunga $ i $ dan besar tabungan akhir atau pinjaman akhir adalah $ M_n $ , maka dapat kita rumuskan :

$ M_n = M + B \, $ sehingga $ B = M_n - M $
$ i = \frac{B}{M} \times 100\% \, $ sehingga $ B = i \times M $

Keterangan :
$ B = \, $ Bunga (dalam rupiah)
$ i = \, $ Suku Bunga (dalam persentase)
$ M = \, $ Tabungan awal atau pinjaman awal
$ M_n = \, $ Tabungan akhir atau modal yang harus dikembalikan


Contoh Soal :
1). Budi meminjam uang dari Koperasi sebesar Rp1.000.000,00. Setelah satu bulan, maka Budi harus mengembalikan modal beserta bunganya sebesar Rp1.030.000,00. Tentukan besarnya bunga dan suku bunganya?

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui : $ M = 1.000.000 , \, $ dan $ M_n = 1.030.000 $
*). Menentukan besar bunga ($B$) :
$ B = M_n - M = 1.030.000 - 1.000.000 = 30.000 $
*). Menentukan suku bunga/persentase bunga ($i$) :
$ i = \frac{B}{M} \times 100\% = \frac{30.000}{1.000.000} \times 100\% = 3\% $
Jadi, kita peroleh bunga Rp30.000 dan suku bunga 3%.

2). Iwan menyimpan uangnya di Bank ABC sebesar Rp500.000,00. Bank memberikan bunga 2% tiap bulan. Tentukan jumlah simpanan Iwan setelah satu bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ M = 500.000 , \, $ dan $ i = 2\% $
Ditanyakan : $ M_n = ... ? $
*). Menentukan besarnya bunga ($B$) :
$ B = i \times M = 2\% \times 500.000 = \frac{2}{100} \times 500.000 = 10.000 $
*). Menentukan besarnya simpanan akhir ($M_n$) :
$ M_n = M + B = 500.000 + 10.000 = 510.000 $
Jadi, jumlah simpanan Iwan setelah satu bulan adalah Rp510.000,00.

3). Fulan menyimpan uangnya di Bank Segar Indah sebesar Rp400.000,00. Bank memberikan bunga 1.5% tiap bulan. Jika bank membebankan biaya administrasi Rp1.000,00 setiap bulan, tentukan jumlah simpanan Fulan setelah satu bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ M = 400.000, \, i = 1,5\% \, $ dan administrasi = 1.000.
Ditanya : $ M_n = ....? $
*). Menentukan $ M_n$ :
$ \begin{align} M_n & = M + B - \text{administrasi} \\ & = M + i \times M - \text{administrasi} \\ & = 400.000 + 1,5\% \times 400.000 - 1.000 \\ & = 400.000 + 6.000 - 1.000 \\ & = 405.000 \end{align} $
Jadi, besar tabungan akhirnya adalah Rp405.000,00.

4). Indra meminjam uang di bank sebesar Rp40.000.000,00 untuk keperluan membangun rumah. Jika bank memberikan pinjaman dengan syarat dikenakan suku bunga 5% setahun, maka uang yang harus dikembalikan Indra adalah sebesar .... ?

Penyelesaian :
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ M = 40.000.000 , \, $ dan $ i = 5\% $
Ditanyakan : $ M_n = ... ? $
*). Menentukan besarnya bunga ($B$) :
$ B = i \times M = 5\% \times 40.000.000 = \frac{5}{100} \times 40.000.000 = 2.000.000 $
*). Menentukan besarnya pinjaman akhir ($M_n$) :
$ M_n = M + B = 40.000.000 + 2.000.000 = 42.000.000 $
Jadi, Indra harus mengembalikan uang sebesar Rp42.000.000,00.

         Demikian pembahasan materi Pengertian Bunga dalam Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Bunga yang dibahas pada artikel ini bersifat umum karena hanya dihitung pada satu periode saja (satu bulan saja atau satu tahun saja). Ketika kita berbicara untuk lebih dari satu periode (misalkan 2 atau 3 bulan atau lebih), maka perhitungan bunga yang dilakukan harus sudah dibedakan yang biasanya dibagi menjadi dua jenis yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk.

         Silahkan baca artikel lain yang terkait dengan bunga pada matematika keuangan yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Bunga, Pertumbuhan, dan Peluruhan Secara Umum

         Blog Koma - Bunga, Pertumbuhan, dan Peluruhan Secara Umum merupakan materi Wajib pada kelas 12 SMA untuk semua jurusan. Pada artikel ini kita akan membahas secara umum, artinya apa saja yang akan dibahas dan materi apa yang harus dikuasai terlebih dahulu untuk memudahkan dalam mempelajari bunga-pertumbuhan-peluruhan. Hal-hal yang akan dipelajari pada artikel bunga, pertumbuhan, dan peluruhan ini yaitu bunga tunggal, bunga majemuk, nilai tunai, diskonto, pertumbuhan dan peluruhan.

         Adapun materi dasar yang harus dikuasai dalam mempelajari Bunga, Pertumbuhan, dan Peluruhan Secara Umum adalah barisan dan deret yaitu barisan dan deret aritmatika serta barisan dan deret geometri. Barisan aritmatika kita gunakan untuk bunga tunggal, sementara barisan geometri digunakan untuk bunga majemuk, pertumbuhan dan peluruhan.
         Sebenarnya materi bunga baik bunga tunggal maupun bunga majemuk termasuk dalam materi matematika keuangan. Materi matematika keuangan mencakup Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk, Rente, Anuitas, dan Penyusutan Nilai Barang. Untuk Rente, Anuitas dan penyusutan akan dibahas tersendiri yang termasuk dalam matematika "peminatan". Untuk mempelajari materinya satu demi satu secara lengkap, silahkan ikuti link di bawah ini.


Materi pada Bunga, Pertumbuhan, dan Peluruhan


         Demikian penjelasan Bunga, Pertumbuhan, dan Peluruhan Secara Umum . Materi ini sebenarnya tidak lah sulit, karena rumusnya juga tidak banyak. Hanya saja perlu ketelitian dalam melakukan perhitungan yang melibatkan banyak angka bahkan angka-angka yang desimal. Semoga bermanfaat. Terima kasih.