Tampilkan postingan dengan label binomial newton. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label binomial newton. Tampilkan semua postingan

Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton

         Blog koma - Setelah mempelajari materi "Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)", pada artikel ini kita akan membahas materi Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton. Konsep binomial newton memiliki beberapa kegunaan di ataranya dalam memfaktorkan suatu ekspresi perpangkatan dan kegunaan lainnya adalah untuk menghitung Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yang kita bahas sekarang ini. Berdasarkan Wikipedia, Konstanta matematika $e$ adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini ($e$) adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan $ 0, 1, i$, dan $ \pi $ . Nilai bilangan Euler ($e$), dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah: $ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 $.

         Pada artikel Besar Bilangan Euler ($e$) dengan Binomial Newton ini, kita tidak membahas asal-usul keberadaan bilangan euler tersebut namun kita akan lebih menekankan tentang cara menemukan besarnya bilangan Euler ($e$) dengan salah satunya pendekatan menggunakan konsep binomial newton. Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan dalam mempelajari Cara menemukan Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yaitu : "limit tak hingga fungsi khusus", "konsep binomial newton", "bentuk faktorial", "notasi sigma", "kombinasi", dan "penyelesaian limit tak hingga fungsi aljabar".

Kesetaraan Bilangan Euler ($e$)
       Seperti yang ada dalam pembahasan materi "Limit Tak hingga Fungsi Khusus", nilai bilangan euler setara dengan beberapa bentuk limit tak hingga fungsi khusus yaitu :
$ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ dan $ e = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x\right)^\frac{1}{x} $

Bentuk $ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ inilah yang akan kita hitung sebagai pendekatan untuk nilai konstanta $ e $.

Langkah-langkah Menentukan besarnya nilai bilangan euler ($e$) :
*). Konsep Binomial newton :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli dan $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
serta $ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1$
Contoh : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \, $ dan $ 0! = 1 $

*). Perhatikan bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ , dengan memisalkan $ a = 1 , b = \frac{1}{x} $ dan $ n = x $ , maka bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ dapat kita jabarkan (ekspansi) dengan konsep binomial Newton menjadi :

$ \begin{align} (a+b)^n & = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + C_2^n a^{n-2}b^2 + C_3^n a^{n-3}b^3 + ... + C_n^nb^n \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = C_0^x 1^x + C_1^x 1^{x-1}.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x 1^{x-2}.\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + C_3^x 1^{x-3}.\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = C_0^x + C_1^x.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x .\left( \frac{1}{x} \right)^2 + C_3^x .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^n \\ & = \frac{x!}{(x-0)!.0!} + \frac{x!}{(x-1)!1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + \frac{x!}{(x-x)!x!}.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \frac{x!}{x!} . 1 + \frac{x.(x-1)!}{(x-1)!. 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1).(x-2)!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2).(x-3)!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{0!x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{x}{ 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1)}{2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2)}{3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x.(x-1).(x-2)...(x-x)}{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \end{align} $

*). Penyelesaian limit tak hingga :
Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + ....}{bx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ....} = \frac{a}{b} $
(hasilnya adalah pembagian koefisien pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya).
Sehingga kita peroleh hasil limit tak hingga berikut ini :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - x}{x^2} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x} = \frac{1}{1} = 1 $

*). Bentuk limit tak hingga dari nilai $ e $ :
$ \begin{align} e & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} +1. \frac{1}{2!} + 1 . \frac{1}{3!} + 1. \frac{1}{4!} + ... + 1. \frac{1}{x!} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... + \frac{1}{x!} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2.1} + \frac{1}{3.2.1} + \frac{1}{4.3.2.1} + \frac{1}{5.4.3.2.1} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + 1 + 0,5 + 0,166666... + 0,04166666... + 0,0083333.... + ... + 0 \\ & \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... \end{align} $

Kesimpulannya, kita peroleh nilai besar bilangan Euler ($e$) dengan pendekatan yaitu :
$ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... $

       Demikian pembahasan materi Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton sebagai salah satu kegunaan dari konsep binomial Newton dan materi lainnya. Semoga materi ini bermanfaat. Terimakasih.

Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah belajar materi "Kombinasi pada Peluang dan Contohnya" yang merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Binomial. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton). Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial).

         Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya:
$ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ..... \end{align} $

         Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)
       Berikut adalah rumus Binomial Newton secara umum :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $
atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli.
Keterangan :
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=0}^n \, $ disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan.
Berikut beberapa contoh notasi sigma :
$ \displaystyle \sum_{r=0}^3 r^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^3 $
$ \displaystyle \sum_{i=2}^5 (2i+1) = (2.2+1) + (2.3+1) + (2.4+1) + (2.5+1) $
$ \displaystyle \sum_{k=1}^9 (k^3 + k) = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + (4^3 + 4) + ... + (9^3 + 9) $

Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :
Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel "kombinasi pada peluang".

1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
a). $ (x+2)^4 $
b). $ (2a + 3b)^3 $
c). $ (a - 2b)^3 $
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 $
Penyelesaian :
a). $ (x+2)^4 \, $ artinya $ n = 4 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ (x+2)^4 & = \displaystyle \sum_{r=0}^4 C_r^4 x^{4-r}2^r \\ & = C_0^4 x^{4-0}2^0 + C_1^4 x^{4-1}2^1 + C_2^4 x^{4-2}2^2 + C_3^4 x^{4-3}2^3 + C_4^4 x^{4-4}2^4 \\ & = 1. x^{4}.1 + 4. x^{3}.2 + 6. x^{2}.4 + 4. x^{1}.8 + 1. x^{0}.16 \\ (x+2)^4 & = x^{4} + 8x^{3} + 24 x^{2} + 32x + 16 \end{align} $

b). $ (2a + 3b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (2a + 3b)^3 & = \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 (2a)^{3-r}(3b)^r \\ & = C_0^3 (2a)^{3-0}(3b)^0 + C_1^3 (2a)^{3-1}(3b)^1 + C_2^3 (2a)^{3-2}(3b)^2 + C_3^3 (2a)^{3-3}(3b)^3 \\ & = 1. (2a)^{3} .1 + 3. (2a)^{2}(3b) + 3. (2a)^{1}(3b)^2 + 1. (2a)^{0}(3b)^3 \\ & = 1. 2^3.a^3 .1 + 3. 2^2.a^2.(3b) + 3. (2a).3^2.b^2 + 1. 1.3^3.b^3 \\ (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $

c). $ (a - 2b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (a-2b)^3 & = (a + (-2b))^3 \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 a^{3-r}(-2b)^r \\ & = C_0^3 a^{3-0}(-2b)^0 + C_1^3 a^{3-1}(-2b)^1 + C_2^3 a^{3-2}(-2b)^2 + C_3^3 a^{3-3}(-2b)^3 \\ & = 1. a^{3}.1 + 3. a^{2}(-2b) + 3. a^{1}(-2b)^2 + 1. a^{0}(-2b)^3 \\ & = a^{3} + 3. a^{2}(-2b) + 3. a.(-2)^2.b^2 + 1. 1.(-2)^3.b^3 \\ (a-2b)^3 & = a^{3} -6a^2b + 12ab^2 -8b^3 \end{align} $

d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 \, $ artinya $ n = 5 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = \displaystyle \sum_{r=0}^5 C_r^5 x^{5-r} \left( \frac{2}{x} \right)^r \\ & = C_0^5 x^{5-0} \left( \frac{2}{x} \right)^0 + C_1^5 x^{5-1} \left( \frac{2}{x} \right)^1 + C_2^5 x^{5-2} \left( \frac{2}{x} \right)^2 \\ & + C_3^5 x^{5-3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 + C_4^5 x^{5-4} \left( \frac{2}{x} \right)^4 + C_5^5 x^{5-5} \left( \frac{2}{x} \right)^5 \\ & = 1. x^{5} .1 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{2^2}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{2^3}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{2^4}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{2^5}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{4}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{8}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{16}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x^{1} \\ & + 80 \left( \frac{1}{x} \right) + 80 \left( \frac{1}{x^3} \right) + \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x + \frac{80}{x} + \frac{80}{x^3} + \frac{32}{x^5} \end{align} $


Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
       Dari rumus Binomial Newton berikut ini,
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $

Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus :
Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.

Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi :
$ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah :
Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8.
Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36.
Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54.
Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27.
Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh :
Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $.
artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.

Contoh soal koefisien binomial :
2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x - 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk binomialnya : $ (2x - 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $.
*). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $.
Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ .
Suku ke-2 yaitu dari $ (2x - 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $.
Sehingga suku ke-3 dari $ (2x - 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.

Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $

3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.
Penyelesaian :
*). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k - 1 = 24 \rightarrow k = 25 $.
Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25.
*). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.

4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $.
Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = - \frac{1}{x} = -x^{-1} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 - 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 - 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $.
Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001.
*). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.