Tampilkan posting dengan label binomial newton. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label binomial newton. Tampilkan semua posting

Selasa, 12 Januari 2016

Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah belajar materi "Kombinasi pada Peluang dan Contohnya" yang merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Binomial. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton). Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial).

         Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya:
$ \begin{align} (a+b)^0 & = 1 \\ (a+b)^1 & = a + b \\ (a+b)^2 & = a^2 + 2ab + b^2 \\ (a+b)^3 & = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\ (a+b)^4 & = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + y^4 \\ (a+b)^5 & = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \\ (a+b)^n & = ..... \end{align} $

         Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi $ C_r^n \, $ yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)
       Berikut adalah rumus Binomial Newton secara umum :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $
atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli.
Keterangan :
Bentuk $ \displaystyle \sum_{r=0}^n \, $ disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan.
Berikut beberapa contoh notasi sigma :
$ \displaystyle \sum_{r=0}^3 r^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^3 $
$ \displaystyle \sum_{i=2}^5 (2i+1) = (2.2+1) + (2.3+1) + (2.4+1) + (2.5+1) $
$ \displaystyle \sum_{k=1}^9 (k^3 + k) = (1^3 + 1) + (2^3 + 2) + (3^3 + 3) + (4^3 + 4) + ... + (9^3 + 9) $

Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :
Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel "kombinasi pada peluang".

1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
a). $ (x+2)^4 $
b). $ (2a + 3b)^3 $
c). $ (a - 2b)^3 $
d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 $
Penyelesaian :
a). $ (x+2)^4 \, $ artinya $ n = 4 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ (x+2)^4 & = \displaystyle \sum_{r=0}^4 C_r^4 x^{4-r}2^r \\ & = C_0^4 x^{4-0}2^0 + C_1^4 x^{4-1}2^1 + C_2^4 x^{4-2}2^2 + C_3^4 x^{4-3}2^3 + C_4^4 x^{4-4}2^4 \\ & = 1. x^{4}.1 + 4. x^{3}.2 + 6. x^{2}.4 + 4. x^{1}.8 + 1. x^{0}.16 \\ (x+2)^4 & = x^{4} + 8x^{3} + 24 x^{2} + 32x + 16 \end{align} $

b). $ (2a + 3b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (2a + 3b)^3 & = \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 (2a)^{3-r}(3b)^r \\ & = C_0^3 (2a)^{3-0}(3b)^0 + C_1^3 (2a)^{3-1}(3b)^1 + C_2^3 (2a)^{3-2}(3b)^2 + C_3^3 (2a)^{3-3}(3b)^3 \\ & = 1. (2a)^{3} .1 + 3. (2a)^{2}(3b) + 3. (2a)^{1}(3b)^2 + 1. (2a)^{0}(3b)^3 \\ & = 1. 2^3.a^3 .1 + 3. 2^2.a^2.(3b) + 3. (2a).3^2.b^2 + 1. 1.3^3.b^3 \\ (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $

c). $ (a - 2b)^3 \, $ artinya $ n = 3 $
$ \begin{align} (x+y)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n x^{n-r}y^r \\ (a-2b)^3 & = (a + (-2b))^3 \displaystyle \sum_{r=0}^3 C_r^3 a^{3-r}(-2b)^r \\ & = C_0^3 a^{3-0}(-2b)^0 + C_1^3 a^{3-1}(-2b)^1 + C_2^3 a^{3-2}(-2b)^2 + C_3^3 a^{3-3}(-2b)^3 \\ & = 1. a^{3}.1 + 3. a^{2}(-2b) + 3. a^{1}(-2b)^2 + 1. a^{0}(-2b)^3 \\ & = a^{3} + 3. a^{2}(-2b) + 3. a.(-2)^2.b^2 + 1. 1.(-2)^3.b^3 \\ (a-2b)^3 & = a^{3} -6a^2b + 12ab^2 -8b^3 \end{align} $

d). $ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 \, $ artinya $ n = 5 $
$ \begin{align} (a+b)^n & = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = \displaystyle \sum_{r=0}^5 C_r^5 x^{5-r} \left( \frac{2}{x} \right)^r \\ & = C_0^5 x^{5-0} \left( \frac{2}{x} \right)^0 + C_1^5 x^{5-1} \left( \frac{2}{x} \right)^1 + C_2^5 x^{5-2} \left( \frac{2}{x} \right)^2 \\ & + C_3^5 x^{5-3} \left( \frac{2}{x} \right)^3 + C_4^5 x^{5-4} \left( \frac{2}{x} \right)^4 + C_5^5 x^{5-5} \left( \frac{2}{x} \right)^5 \\ & = 1. x^{5} .1 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{2^2}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{2^3}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{2^4}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{2^5}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 5. x^{4} \left( \frac{2}{x} \right) + 10. x^{3} \left( \frac{4}{x^2} \right) \\ & + 10. x^{2} \left( \frac{8}{x^3} \right) + 5. x^{1} \left( \frac{16}{x^4} \right) + 1. x^{0} \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x^{1} \\ & + 80 \left( \frac{1}{x} \right) + 80 \left( \frac{1}{x^3} \right) + \left( \frac{32}{x^5} \right) \\ \left( x + \frac{2}{x} \right)^5 & = x^5 + 10 x^{3} + 40 x + \frac{80}{x} + \frac{80}{x^3} + \frac{32}{x^5} \end{align} $

Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
       Dari rumus Binomial Newton berikut ini,
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $

Maka suku ke-$k$ bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus :
Suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $.

Misalkan ada bentuk $ (2a + 3b)^3 \, $ yang bisa dijabarkan menjadi :
$ \begin{align} (2a + 3b)^3 & = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \end{align} $
Suku-suku dari ekspansi binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah :
Suku ke-1 : $ \begin{align} 8a^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 8.
Suku ke-2 : $ \begin{align} 36a^2b \end{align} \, $ dengan koefisiennya 36.
Suku ke-3 : $ \begin{align} 54ab^2 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 54.
Suku ke-4 : $ \begin{align} 27b^3 \end{align} \, $ dengan koefisiennya 27.
Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ , maka kita peroleh :
Suku ke-2 dengan $ k = 2 $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}y^{k-1} & = C_{(2-1)}^3 (2a)^{3-(2-1)}(3b)^{2-1} \\ & = C_{1}^3 (2a)^{2}(3b)^{1} \\ & = 3. 4.a^2 .3b = 36a^2b \end{align} $.
artinya suke ke-2 dari binomial $ (2a + 3b)^3 \, $ adalah $ 36a^2b \, $ yang sesuai dengan bentuk di atasnya.

Contoh soal koefisien binomial :
2). Tentukan suku ke-3 dari binomial $ (2x - 5y)^{20} \, $ dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk binomialnya : $ (2x - 5y)^{20} \, $ artinya $ n = 20 $.
*). Yang diminta suku ke-3 artinya $ k = 3 $.
Rumus suku ke-$k \, $ adalah $ \, C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} $ .
Suku ke-2 yaitu dari $ (2x - 5y)^{20} = (2x + (- 5y))^{20} \, $ :
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(3-1)}^{20} (2x)^{20-(3-1)}(-5y)^{3-1} \\ & = C_{2}^{20} (2x)^{18}(-5y)^{2} \\ & = \frac{20!}{(20-2)!2!} . 2^{18}.x^{18}(-5)^2.y^{2} \\ & = \frac{20!}{18!2!} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19.18!}{18!.2.1} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = \frac{20.19}{2} . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = 190 . 2^{18}.x^{18}.25.y^{2} \\ & = (190 \times 2^{18} \times 25). x^{18}y^{2} \\ & = 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \end{align} $.
Sehingga suku ke-3 dari $ (2x - 5y)^{20} \, $ adalah $ \, 4750 \times 2^{18} x^{18}y^{2} \, $ dengan koefisiennya adalah $ 4750 \times 2^{18} $.

Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} \, $ dan $ \, a^m . a^n = a^{m+n} $

3). Diketahi bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.
Penyelesaian :
*). Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , artinya $ n = 50 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ k - 1 = 24 \rightarrow k = 25 $.
Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25.
*). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.

4). Diketahui bentuk binomial $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukan suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , artinya $ n = 2016 $.
*). Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $.
Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = - \frac{1}{x} = -x^{-1} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 - 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : $ 2018 - 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $.
Artinya bentuk $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001.
*). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $.
Jadi, koefisien dari bentuk $ x^{16} \, $ adalah $ C_{1000}^{2016} $.