Tampilkan posting dengan label barisan dan deret. Tampilkan semua posting
Tampilkan posting dengan label barisan dan deret. Tampilkan semua posting

Sabtu, 12 September 2015

Barisan dan Deret Geometri

         Blog Koma - Barisan dan Deret Geometri merupakan salah satu bentuk pola bilangan yang juga memiliki ciri khusus yaitu setiap suku sesudahnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan suku sebelumnya. Seperti "Barisan dan Deret Aritmetika" , di sini juga dibahas tentang suku ke-$n \, $ , suku tengah, sisipan, dan jumlah $ n \, $ suku pertamanya. Hanya saja pada deret geometri terdapat jumlahan sampai takhingga suku-sukunya yang di bahas dalam artikel tersendiri yaitu "Deret Geometri Tak Hingga". Langsung saja simak penjelasan tentang barisan dan deret geometri berikut ini.

Barisan Geometri
Pengertian barisan Geometri
       Barisan Geometri merupakan suatu barisan yang memiliki perbandingan yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai perbandingan yang sama itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan huruf $ \, r \, $ .
Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $
Cara menghitung rasio ($r$) adalah
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = \frac{u_4}{u_3} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}}$

Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = ar^{n-1} $
dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ r $ = rasionya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$
untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-$n \, $ ini bisa dibaca "arni"

Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan geometrinya,
$ u_n = ar^{n-1} $
$ u_1 = ar^{1-1} = ar^0 = a $
$ u_2 = ar^{2-1} = ar^1 = ar $
$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 $
$ u_4 = ar^{4-1} = ar^3 $
dan seterusnya .....
sehingga barisan geometrinya : $ a, \, ar, \, ar^2, \, ar^3, \, .... $

Contoh :
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri?
a). 1, 2, 4, 8, ..... b). $\frac{1}{3} $, 1, 3, 9, 27, ....
c). 1, 2, 6, 8, 16, .... d). 3, 4, 8, 2, 12, .... e). 16, 8, 4, 2, 1, ....
Penyelesaian :
Disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.
a). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 4 }_{\times 2} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} , .... $
Karena perbandingannya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan geometri dengan rasionya 2. Cara mencari rasionya :
$ r = \frac{2}{1} = 2 \, $ atau $ r = \frac{4}{2} = 2 \, $ atau $ r = \frac{8}{4}= 2 \, $ dan seterusnya.
b). $ \underbrace{\frac{1}{3}, \, 1}_{\times 3} \underbrace{, \, 3 }_{\times 3} \underbrace{, \, 9 }_{\times 3} \underbrace{, \, 27 }_{\times 3} , .... $
Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya 3.
c). $ \underbrace{1, \, 2}_{\times 2} \underbrace{, \, 6 }_{\times 3} \underbrace{, \, 8 }_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 16 }_{\times 2} , .... $
Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan Geometri.
d). $ \underbrace{3, \, 4}_{\times \frac{4}{3}} \underbrace{, \, 8 }_{\times 2} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{4}} \underbrace{, \, 12 }_{\times 6} , .... $
Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan geometri.
e). $ \underbrace{16, \, 8}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 4 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 2 }_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, \, 1 }_{\times \frac{1}{2}} , .... $
Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya $ \frac{1}{2}$. Cara mencari rasionya :
$ r =\frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \, $ atau $ r =\frac{u_3}{u_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \, $ dan seterusnya.

2). Tentukan suku ke-21 dari barisan geometri 1, 2, 4, 8, 16, ....?
Penyelesaian :
*). dari barisannya diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{2}{1} = 2 $
*). Menentukan suku ke-21 dengan $ u_n = a r^{n-1} $
$ u_{21} = a r^{21-1} = 1 . 2^{20}= 2^{20} $
Jadi, suku ke-21 nya adalah $ 2^{20} $ ($u_{21} = 2^{20} $).

3). Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!
Penyelesaian : diketahui $ u_3 = 9 \, $ dan $ u_5 = 81 $
Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan rasionya ($r$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.
*). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = ar^{n-1} $
$ u_5 = ar^{5-1} = ar^4 \rightarrow a r^4 = 81 \, $ .... pers(i)
$ u_3 = ar^{3-1} = ar^2 \rightarrow a r^2 = 9 \, $ .... pers(ii)
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan membagi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} a r^4 = 81 & \\ a r^2 = 9 & : \\ \hline r^2 = 9 & \\ r = \pm 3 & \end{array} $
Karena nilai rasionya positif, maka $ r =3 \, $ yang memenuhi.
Pers(ii) : $ a r^2 = 9 \rightarrow a 3^2 = 9 \rightarrow a = frac{9}{9} = 1 $
*). Menentukan suku ke-2
$ u_{2} = ar^{2-1} = 1.3^1 = 3 $
Jadi, suku ke-2 nya adalah 3.

4). Jika suku-suku $ 4p, \, 3p-4, \, $ dan $ \, 2p - 4 \, $ adalah tiga suku pertama berurutan barisan geometri, maka tentukan suku ke-9 ?
Penyelesaian :
Diketahui : $ u_1 = 4p, \, u_2 = 3p-4, \, $ dan $ u_3 = 2p -4 $
*). Tiga suku berurutan barisan geometri, maka rasionya sama :
$ \begin{align} \frac{u2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ (u_2)^2 & = u_1 . u_3 \\ (3p-4)^2 & = (4p).(2p-4) \\ 9p^2 -24p + 16 & = 8p^2 -16 p \\ p^2 - 8p + 16 & = 0 \\ (p-4)^2 & = 0 \\ p - 4 & = 0 \\ p & = 4 \end{align} $
diperoleh nilai $ p = 4 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r \, $ dengan nilai $ p = 4 $
$ a = u_1 = 4p = 4.4 = 16 = 2^4 $
$ u_2 = 3p - 4 = 3.4 - 4 = 12 - 4 = 8 $
$ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $
*). Menentukan suku ke-9
$ \begin{align} u_n & = ar^{n-1} \\ u_9 & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{9-1} \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2} \right)^{8} \\ & = 2^4. \left( \frac{1^8}{2^8} \right) \\ & = 2^4. \left( \frac{1}{2^8} \right) \\ & = \frac{1}{2^4} \\ & = \frac{1}{16} \end{align} $
Jadi, nilai suku ke-9 nya adalah $ \frac{1}{16} $ .

Suku Tengah barisan Geometri
Menentukan suku tengah ($u_t$)
       Barisan geometri mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga.
Rumus suku tengah : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} $
Keterangan :
$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Contoh :
Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan geometri berikut !
a). 1, 2, 4, 8, 16 b). $\frac{1}{9}, \, \frac{1}{3}, \, $ 1, 3, 9, 27, 81
Penyelesaian :
a). Suku tengahnya adalah 4, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{1\times 16} = \sqrt{16} = 4 $
b). Suku tengahnya adalah 3, caranya : $ u_t = \sqrt{u_1.u_n} = \sqrt{\frac{1}{9} \times 81} = \sqrt{9} = 3 $

Sisipan pada barisan Geometri
Menentukan barisan baru setelah disisipkan $ k \, $ suku atau bilangan
       Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, .... $
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan geometri. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya rasio baru setelah disisipkan.
       Rumus rasio barunya : $ r^* = \sqrt[k+1]{r} = (r)^\frac{1}{k+1} $
Keterangan :
$ r \, $ = rasio awal dari barisan sebelum disisipkan
$ r^* \, $ = rasio baru setelah barsian disisipkan (rasio barisan baru)
$ k \, $ = banyak suku yang disisipkan.

Contoh :
Diketahui barisan 1, 8, 64, 512, .... . Setiap antara dua suku disisipkan 2 bilangan. Tentukan barisan baru yang terbentuk?
Penyelesaian :
Untuk menyisipkan 2 bilangan, kita tidak boleh menyisipkan sebarang bilangan, karena barisan baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan geometri. Agar dijamin tetap terbentuk barisan geometri, maka kita harus menggunakan rumus untuk mencari rasio barunya.
*). Dari barisan 1, 8, 64, 512, .... diperoleh rasio awal $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{8}{1} = 8 $
*). akan disisipkan 2 bilangan, artinya $ k = 2 $
Sehingga raasio barunya : $ r^* = (r)^\frac{1}{k+1} = (8)^\frac{1}{2+1} = (2^3)^\frac{1}{3} = 2^1 = 2 $
Barisan barunya dengan rasio baru 2 adalah :
$ 1, \underbrace{ 2, 4}_{\text{sisipan}} , 8 , \underbrace{ 16, 32}_{\text{sisipan}} , 64 , \underbrace{ 126, 256}_{\text{sisipan}} , 512, .... $
dimana barisan yang baru ini juga berbentuk barisan geometri.

Deret Geometri
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri
       Deret geometri merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan geometri. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.
Misalkan :
$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)
$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)
$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama)
$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama deret geometri.
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \, $ untuk $ -1 < r < 1 $
Jumlah $ n \, $ suku pertama : $ s_n = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} \, $ untuk $ r < -1 \, $ atau $ \, r > 1 $
Catatan :
Sebenarnya kedua rumus $ s_n \, $ di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup diingat salah satu saja.
Pembuktian : $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \times \frac{-1}{-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1-r} $

Contoh :
1). Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan 1, 2, 4, 8, ....?
Penyelesaian :
*). Dari barisan diperoleh $ a = 1 \, $ dan $ r = \frac{2}{1} = 2 $
Jumlah 5 suku pertamanya :
$ \begin{align} s_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \\ s_5 & = \frac{1.(2^5 - 1)}{2-1} \\ & = \frac{(32 - 1)}{1} \\ & = 31 \end{align} $
Jadi, jumlah 5 suku pertamanya adalah 31.

         Bisanya untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, soal-soalnya langsung melibatkan barisan dan deret aritmetka dan geometri. Agar lebih menguasai materinya, sebaiknya kita lebih banyak latihan lagi mengerjakan soal-soal yang ada.

Deret Geometri Tak Hingga

         Blog Koma - Deret Geometri Tak Hingga adalah deret yang penjumlahannya sampai suku ke tak hingga. Jumlah deretnya mengikuti deret geometri. Silahkan baca artikel "Barisan dan deret Geometri". Sebelumnya juga kita telah membahas tentang barisan dan deret aritmetika, bagi yang ingin mempelajarinya silahkan baca artikel "Barisan dan Deret Aritmetika". Berikut penjelasan tentang deret geometri tak hingga.

Rumus jumlah tak hingga deret geometri
       Misalkan ada deret $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + .... \, $ yang dijumlahkan sampai tak hingga yang disimbolkan dengan $ s_\infty $. Hasil jumlah tak hingganya ($s_\infty$) tergantng dari nilai rasionya ($r$).
a). Jika $ r > 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = + \infty $
b). Jika $ -1 < r < 1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
c). Jika $ r < -1 , \, $ maka hasil penjumlahannya : $ s_\infty = - \infty $

Secara umum nilai jumlah tak hingga deret geometri dengan rasio $ -1 < r < 1 \, $ adalah        $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} $

Pada penjumlahan deret geometri tak hingga, ada dua istilah yaitu :
1). Konvergen (deret konvergen) syaratnya $ -1 < r < 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil angka tertentu (hasilnya bukan $ +\infty \, $ atau $ - \infty $)
2). Divergen (deret divergen) syaratnya $ r < -1 \, $ atau $ r > 1 , \, $ artinya jumlah sampai tak hingganya memberikan hasil $ +\infty \, $ atau $ - \infty $

Contoh :
1). Tentukan hasil penjumlahan dari deret geometri tak hingga berikut :
a). $ 2 + 4 + 8 + 16 + ..... $
b). $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ..... $
c). $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ..... $
Penyelesaian :
a). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{2} = 2 $
Karena nilai rasionya = 2 ($r>1$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ + \infty $
Jadi, nilai $ 2 + 4 + 8 + 16 + ..... = \infty $
b). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{1}{2} $
Karena nilai rasionya = $ \frac{1}{2} $ ($-1 < r < 1$), maka deret ini termasuk konvergen
Hasilnya : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4 $
Jadi, nilai $ 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ..... = 4 $
c). Rasio deretnya : $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-6}{3} = -2 $
Karena nilai rasionya = -2 ($r < - 1$), maka deret ini termasuk divergen dan hasilnya $ - \infty $
Jadi, nilai $ 3 + (-6) + 12 + (-24) + ..... = - \infty $

2). Diketahui jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 6 dan suku pertamanya 2, tentukan nilai rasionya?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 2, \, $ dan $ s_\infty = 6 $
*). Menentukan nilai rasionya ($r$)
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ \frac{2}{1-r} & = 6 \\ 1 - r & = \frac{2}{6} \\ 1-r & = \frac{1}{3} \\ r & = 1 - \frac{1}{3} \\ r & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai rasionya adalah $ r = \frac{2}{3} $

3). Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a \, $ dan jumlahnya 4, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ... ?
Penyelesaian :
*). Karena jumlah takhingganya adalah 4 ($s_\infty = 4$) , artinya hasilnya bukan $ + \infty \, $ atau $ - \infty \, $ , maka deret ini termasuk deret konvergen dengan syarat $ -1 < r < 1 $
*). Menentukan hubungan suku pertama ($ a $) dan $ r \, $ dari jumlah tak hingganya.
$ \begin{align} s_\infty & = 4 \\ \frac{a}{1-r} & = 4 \\ 1-r & = \frac{a}{4} \\ r & = 1 - \frac{a}{4} \end{align} $
*). Substitusikan bentuk $ r = 1 - \frac{a}{4} \, $ ke syarat konvergen :
$ \begin{align} -1 < & r < 1 \\ -1 < 1 - & \frac{a}{4} < 1 \, \, \, \, \text{(jumlahkan -1)} \\ -1 + (-1) < 1 - & \frac{a}{4} + (-1) < 1 +(-1) \\ -2 < - & \frac{a}{4} < 0 \, \, \, \, \text{(kalikan -4, tanda dibalik)} \\ -2 \times (-4) < - & \frac{a}{4} \times (-4) < 0 \times (-4) \\ 8 > & a > 0 \\ 0 < & a < 8 \end{align} $
Catatan : jika pertidaksamaan dikalikan negatif, maka tanda ketaksamaan harus dibalik.
Jadi, agar deretnya konvergen, nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah $ 0 < a < 8 $

Deret geometri takhingga suku-suku genap dan suku-suku ganjil
       Misalkan ada deret geomeri tak hingga $ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 .... \, $
Deret tersebut bisa dibagi menjadi dua bagian yaitu suku-suku bernomor genap dan ganjil
$ \begin{align} s_\infty & = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 .... \\ s_\infty & = (u_1 + u_3 + u_5+... ) + (u_2 + u_4 + u_6 ....) \\ s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \end{align} $
Artinya jumlah takhingga merupakan penjumlahan jumlah takhingga nomor ganjil dengan jumlah takhingga nomor genap.

Rumus takhingga nomor ganjil dan nomor genap.
$ \begin{align} s_{\infty \text{ ganjil}} & = u_1 + u_3 + u_5+... \\ & = a + ar^2 + ar^3 +... \\ & \left( \text{rasio} = \frac{ar^2}{a} = r^2 \right) \\ & \left( \text{suku pertama} = a \right) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = \frac{a}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor ganjil : $ s_{\infty \text{ ganjil}} = \frac{a}{1 - r^2} $
$ \begin{align} s_{\infty \text{ genap}} & = u_2 + u_4 + u_6+... \\ & = ar + ar^3 + ar^5 +... \\ & \text{rasio} = \frac{ar^3}{ar} = r^2 \\ & \text{suku pertama} = ar \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} \\ s_{\infty \text{ genap}} & = \frac{ar}{1 - r^2} \end{align} $
Sehingga rumus jumlah takhingga nomor genap : $ s_{\infty \text{ genap}} = \frac{ar}{1 - r^2} $

Menentukan rasio dari jumlah takhingga nomor ganjil dan genap.
$ \begin{align} \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{\frac{ar}{1 - r^2}}{\frac{a}{1 - r^2}} \\ & = \frac{ar}{1 - r^2} . \frac{1-r^2}{a} \\ & = \frac{ar(1-r^2)}{a(1 - r^2)} \\ \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} & = r \end{align} $
Artinya untuk menentukan rasionya, cukup gunakan $ r = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} $

Contoh :
Jika jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 6, sedangkan jumlah suku-sukunya yang bernomor genap adalah 2, maka tentukan suku pertama deret tersebut ?
Penyelesaian :
Diketahui : $ s_\infty = 6 \, $ dan $ s_{\infty \text{ genap}} = 2 $
*). Menentukan nilai jumlah suku bernomor ganjil ($s_{\infty \text{ ganjil}}$) dan $ r $
$ \begin{align} s_\infty & = s_{\infty \text{ ganjil}} + s_{\infty \text{ genap}} \\ 6 & = s_{\infty \text{ ganjil}} + 2 \\ s_{\infty \text{ ganjil}} & = 6 - 2 = 4 \\ r & = \frac{s_{\infty \text{ genap}}}{s_{\infty \text{ ganjil}}} \\ r & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku pertama ($a$)
untuk menentukan nilai $ a \, $ bisa menggunakan $ s_\infty \, $ atau $ s_{\infty \text{ ganjil}} \, $ atau $ s_{\infty \text{ genap}} $
$ \begin{align} s_\infty & = 6 \\ \frac{a}{1-r} & = 6 \\ a & = 6(1-r) \\ a & = 6(1-\frac{1}{2}) \\ a & = 6(\frac{1}{2}) \\ a & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai suku pertamanya adalah $ a = 3 $

Penerapan jumlah takhingga deret geometri pada benda yang dijatuhkan/dilempar
       Kejadian pelemparan benda yang dimaksud biasanya bola yang dijatuhkan atau bola dilempar ke atas. Berikut penjelasan dua kasus yang dimaksud :

Bola dilempar ke atas
       Misalkan bola dilempar ke atas, terbentuklah lintasan yang dilalui oleh bola tersebut seperti gambar berikut :
keterangan :
$ a = \, $ ketianggian awal yang dicapai oleh bola
$ r = \, $ rasio ketinggian setelah terjadi pantulan dari ketinggian sebelumnya.
Dari lintasan yang dilalui oleh bola, ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Masing-masing bagian naik total panjang lintasannya adalah $ s_\infty \, $ dan bagian yang turun juga panjang lintasannya $ s_\infty $. Sehingga total panjang lintasan (PL) yang dilalui oleh bola adalah :
$ \begin{align} \text{total panjang lintasan} & = \text{Lintasan naik } + \text{ lintasan turun} \\ PL & = s_\infty + s_\infty \\ PL & = 2s\infty \\ PL & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) \\ PL & = \frac{2a}{1-r} \end{align} $

Bola dijatuhkan dari ketinggian awal $ a $
       Lintasan yang terbentuk ketika bola dijatuhkan hampir sama dengan lintasan yang terbentuk ketika bola dilempar ke atas. Hanya saja satu lintasan awal (lintasan naik awal) tidak dihitung karena bola langsung dijatukan. Berikut gambar lintasannya :
Dari gambar bola dijatuhkan, terlihat bahwa lintasannya sama dengan bola dilempar ke atas, hanya saja satu lintasan naik ($a$) tidak dihitung. Sehingga total panjang lintasannya adalah :
$ PL = 2s_\infty - a $
$ PL = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a $

Panjang Lintasan setelah pantulan ke-$k$
       Untuk kasus panjang lintasan setelah pantulan ke-$k \, $ baik bola dijatuhkan atau dilempar ke atas hasilnya akan selalu sama.

Dari gambar terlihat bahwa setelah pantulan ke-1 maka suku pertamanya adalah suku ke-2 ($u_2$), setelah pantulan ke-2 maka suku pertamanya adalah suku ke-3 ($u_3$), setelah pantulan ke-3 maka suku pertamanya adalah suku ke-4 ($u_4$), dan seterusnya sampai setelah pantulan ke-$k\,$ maka suku pertamanya adalah suku ke-$k+1\,$ ($u_{k+1}$)
Dapat disusun rumus panjang lintasannya dengan $ u_n = ar^{n-1} $ :
Panjang lintasan setelah pantulan ke-1 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_2}{1 - r} = 2. \frac{ar}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-2 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_3}{1 - r} = 2. \frac{ar^2}{1 - r} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_4}{1 - r} = 2. \frac{ar^3}{1 - r} $
dan seterusnya .....
Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ :
$ PL = 2s_\infty = 2. \frac{\text{suku pertama}}{1 - \text{ rasio}} = 2. \frac{u_{k+1}}{1 - r} = 2. \frac{ar^k}{1 - r} $
Jadi dapat diperumum, panjang lintasan bila bola dijatuhkan atau dilempar ke atas setelah pantulan ke-$k \, $ adalah
                     $ PL = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} $

Contoh :
1). Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{2}{3} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan bola tersebut sampai berhenti?
Penyelesaian:
Diketahui : $ a = 4 \, $ dan $ r = \frac{2}{3} $
Panjang lintasannya :
$ \begin{align} PL & = 2s_\infty - a \\ & = 2\left( \frac{a}{1-r} \right) - a \\ & = 2\left( \frac{4}{1-\frac{2}{3}} \right) - 4 \\ & = 2\left( \frac{4}{\frac{1}{3}} \right) - 4 \\ & = 2\left( 4 . 3 \right) - 4 \\ & = 2\left( 12 \right) - 4 \\ & = 24 - 4 = 20 \end{align} $
Jadi, panjang lintasan sampai berhenti adalah 20 m.

2). Sebuah bola dilempar ke atas sehingga mencapai ketinggian 5 m dan memantul kembali menjadi $ \frac{4}{5} \, $ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan setelah pantulan ke-3 samapi berhenti?
Penyelesaian :
Diketahui : $ a = 5 \, $ dan $ r = \frac{4}{5} $
Panjang lintasan setelah pantulan ke-3 ($k = 3$)
$ \begin{align} PL & = 2 \times \frac{ar^k}{1 - r} \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{4}{5} \right)^3}{1 - \frac{4}{5} } \\ & = 2 \times \frac{5\left( \frac{64}{125} \right)}{ \frac{1}{5} } \\ & = 2 \times 5 \times \frac{64}{125} \times \frac{5}{1} \\ & = \frac{128}{5} \end{align} $
Jadi, panjang lintasan setelah pantulan ke-3 sampai berhenti adalah $ \frac{128}{5} \, $ m.

Kamis, 10 September 2015

Barisan dan Deret Aritmetika

         Blog Koma - Barisan dan Deret Aritmetika membahas khusus tentang kumpulan suatu bilangan yang memiliki pola tersendiri. Disini akan dibedakan tentang barisan dan deret. Adapun materi yang akan kita pelajari pada barisan dan deret aritmetika adalah barisan, sisipan, suku tengah, dan jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika. Selain barisan dan deret aritmetika, juga akan dibahas tentang barisan dan deret geometri, silahkan dibaca pada artikel "Barisan dan Deret Geometri". Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasan masing-masing berikut ini.
Barisan Aritmetika
Pengertian barisan
       Barisan merupakan kumpulan suatu bilangan (atau bentuk aljabar) yang disusun sehingga membentuk suku-suku yang dipisahkan dengan tanda koma dan memiliki pola tertentu. Bentuknya disusun sebagai berikut :
                     $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $
Keterangan :
$ u_1 \, $ artinya suku ke-1 (suku pertama)
$ u_2 \, $ artinya suku ke-2 (suku kedua)
dan seterusnya....

Contoh : Berikut beberapa contoh barisan!
1). Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, ....
Keterangan :
suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 ($u_1 = 1$),
suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 ($u_2=3$),
suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 ($u_3=5$),
dan seterusnya ....
2). Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ....
3). Barisan sebarang : 1, 5, 3, -2, 5, 7, ...

Pengertian barisan aritmetika
       Barisan Aritmetika merupakan suatu barisan yang memiliki selisih yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai selisih yang sama itu dinamakan bedanya yang disimbulkan dengan huruf $ \, b \, $ .
Misal barisannya : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, u_5, \, u_6, \, u_7, .... $
Cara menghitung bedanya ($b$) adalah
$ b = u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = u_4 - u_3 = .....= u_n - u_{n-1} \, $

Adapun rumus suku ke-$n\, $ nya adalah $ \, u_n = a + (n-1)b $
dengan $ a $ = suku pertamanya ($u_1$), $ b $ = bedanya, dan $ u_n $ = suku ke-$n$

Dari rumus suku ke-$n\, $ nya, dapat disusun barisan aritmetikanya,
$ u_n = a + (n-1)b $
$ u_1 = a + (1-1)b = a $
$ u_2 = a + (2-1)b = a + b $
$ u_3 = a + (3-1)b = a + 2b $
$ u_4 = a + (4-1)b = a + 3b $
$ u_5 = a + (5-1)b = a + 4b $
dan seterusnya .....
sehingga barisan aritmetikanya : $ a, \, a+b, \, a+2b, \, a+3b, \, .... $

Contoh :
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan aritmetika?
a). 1, 3, 5, 7, ..... b). 2, 5, 8, 11, 14, ....
c). 1, 2, 5, 7, 8, .... d). 3, 5, 6, 2, 12, .... e). 4, 2, 0, -2, -4, ....
Penyelesaian :
Disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.
a). $ \underbrace{1, \, 3}_{+2} \underbrace{, \, 5 }_{+2} \underbrace{, \, 7 }_{+2} , .... $
Karena selisihnya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 2. Cara mencari bedanya : $ b = 3-1 = 2 \, $ atau $ b = 5 - 3 = 2 \, $ atau $ b = 7 - 5 = 2 \, $ dan seterusnya.
b). $ \underbrace{2, \, 5}_{+3} \underbrace{, \, 8 }_{+3} \underbrace{, \, 11 }_{+3} \underbrace{, \, 14 }_{+3} , .... $
Selisihnya sama, sehingga termasuk barisan aritmetika dengan bedanya 3.
c). $ \underbrace{1, \, 2}_{+1} \underbrace{, \, 5 }_{+3} \underbrace{, \, 7 }_{+2} \underbrace{, \, 8 }_{+1} , .... $
Selisihnya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan aritmetika.
d). $ \underbrace{3, \, 5}_{+2} \underbrace{, \, 6 }_{+1} \underbrace{, \, 2 }_{-4} \underbrace{, \, 12 }_{+10} , .... $
Selisihnya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan aritmetika.
e). $ \underbrace{4, \, 2}_{-2} \underbrace{, \, 0 }_{-2} \underbrace{, \, -2 }_{-2} \underbrace{, \, -4 }_{-2} , .... $
Selisihnya sama, sehingga termasuk barisan aritmetika dengan bedanya -2. Cara mencari bedanya :
$ b = u_2 - u_1 = 2 -4 = -2 \, $ atau $ b = u_3 - u_2 = 0 - 2 = -2 \, $ dan seterusnya.

2). Tentukan suku ke-101 dari barisan aritmetika -1, 3, 7, 11, 15, ....?
Penyelesaian :
*). dari barisannya diperoleh $ a = -1 \, $ dan $ b = 7-3 = 4 $
*). Menentukan suku ke-101 dengan $ u_n = a + (n-1)b $
$ u_{101} = a + (101-1)b = -1 + 100 \times 4 = -1 + 400 = 399 $
Jadi, suku ke-101 nya adalah 399 ($u_{101} = 399$).

3). Diketahui suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan aritmetika berturut-turut 6 dan 14. Tentukan nilai suku ke-11 nya!
Penyelesaian : diketahui $ u_2 = 6 \, $ dan $ u_4 = 14 $
Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai $ a \, $ dan bedanya ($b$) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.
*). Rumus suku ke-$n\, \, : \, \, u_n = a+ (n-1)b $
$ u_4 = a+(4-1)b = a + 3b \rightarrow a + 3b = 14 \, $ .... pers(i)
$ u_2 = a+(2-1)b = a + b \rightarrow a + b = 6 \, $ .... pers(ii)
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dengan eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} a + 3b = 14 & \\ a + b = 6 & - \\ \hline 2b = 8 & \\ b = 4 & \end{array} $
Pers(ii) : $ a + b = 6 \rightarrow a + 4 = 6 \rightarrow a = 2 $
*). Menentukan suku ke-11
$ u_{11} = a+(11-1)b = 2 + 10 \times 4 = 2 + 40 = 42 $
Jadi, suku ke-11 nya adalah 42.

4). Tentukan banyak bilangan antara 1 sampai 500 yang habis dibagi oleh 3 !
Penyelsaian :
*). Kita daftar dulu barisan bilangan yang habis dibagi 3 antara 1 sampai 500
barisannya : 3, 6, 9, 12, ... , 498
diperoleh $ a = 3 \, $ dan $ b = 6 -3 = 3 $
*). Untuk menentukan banyak suku, kita gunakan suku terakhirnya.
Suku terakhir = 498 artinya $ u_n = 498 $
$ \begin{align} u_n & = 498 \\ a + (n-1)b & = 498 \\ 3 + (n-1)3 & = 498 \\ 3 + 3n - 3 & = 498 \\ 3n & = 498 \\ n & = \frac{498}{3} = 166 \end{align} $
artinya suku terakhir adalah suku ke-166, ini menandakan bahwa banyaknya suku ada 166 suku.

5). Jika suku-suku $ 2k +2 , \, k+7 , \, $ dan $ \, 3k+6 \, $ merupakan tiga suku pertama berurutan barisan aritmetika, tentukan besarnya suku ke-11?
Penyelesaian :
Diketahui : $ u_1 = 2k +1, \, u_2 = k+7, \, $ dan $ \, u_3 = 3k+6 $
*) Tiga suku berurutan barisan aritmetika, selisihnya sama :
$ \begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (k+7) - (2k+2) & = (3k+6)- (k+7) \\ -k + 5 & = 2k - 1 \\ 5 + 1 & = 2k + k \\ 6 & = 3k \\ k & = \frac{6}{3} = 2 \end{align} $
diperoleh nilai $ k = 2 $
*). Menentukan besarnya suku pertama ($a$) dan bedanya ($b$) dengan $ k = 2 $
$ a = u_1 = 2k+2 = 2.2 + 2 = 6 $
$ u_2 = k + 7 = 2 + 7 = 9 $
$ b = u_2 - u_1 = 9 - 6 = 3 $
*). Menentukan nilai suku ke-11
$\begin{align} u_n & = a + (n-1)b \\ u_{11} & = 6 + (11-1)3 \\ & = 6 + 30 \\ & = 36 \end{align} $
Jadi, nilai suku ke-11 nya adalah 36.

Suku Tengah barisan aritmetika
Menentukan suku tengah ($u_t$)
       Barisan aritmetika mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan $ u_t \, $ yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga.
Rumus suku tengah : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $
Keterangan :
$ u_1 \, $ = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
$ u_n \, $ = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Contoh :
Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan aritmetika berikut !
a). 1, 3, 5, 7, 9 b). 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 c). 3, 5, 7, 9, ... , 2015
Penyelesaian :
Untuk banyak sukunya sedikit seperti soal bagian a dan b bisa langsung ditentukan suku tengahnya. Akan tetapi untuk soal bagian c kita tidak bisa langsung menentukan suku tengahnya sehingga harus menggunakan rumusnya.
a). Suku tengahnya adalah 5, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5 $
b). Suku tengahnya adalah 8, caranya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8 $
c). Suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} = \frac{3 + 2015}{2} = 1009 $

Sisipan pada barisan aritmetika
Menentukan barisan baru setelah disisipkan $ k \, $ suku
       Misalkan awalnya ada barisan : $ u_1, \, u_2, \, u_3, \, u_4, \, .... $
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak $ k \, $ suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan aritmetika. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya beda baru setelah disisipkan.
       Beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} $
Keterangan :
$ b \, $ = beda awal dari barisan sebelum disisipkan
$ b^* \, $ = beda baru setelah barsian disisipkan (beda barisan baru)
$ k \, $ = banyak suku yang disisipkan.

Contoh :
Diketahui barisan 1, 9, 17, 25, .... . Setiap antara dua suku disisipkan 3 bilangan. Tentukan barisan baru yang terbentuk?
Penyelesaian :
Untuk menyisipkan 3 bilangan, kita tidak boleh menyisipkan sebarang bilangan, karena barisan baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan aritmetika. Agar dijamin tetap terbentuk barisan aritmetika, maka kita harus menggunakan rumus untuk mencari beda barunya.
*). Dari barisan 1, 9, 17, 25, .... diperoleh beda awal $ b = 9 - 1 = 8 $
*). akan disisipkan 3 bilangan, artinya $ k = 3 $
Sehingga beda barunya : $ b^* = \frac{b}{k+1} = \frac{8}{3+1} = \frac{8}{4} = 2 $
Barisan barunya dengan beda baru 2 adalah :
$ 1, \underbrace{ 3, 5, 7}_{\text{sisipan}} , 9 , \underbrace{ 11, 13, 15}_{\text{sisipan}} , 17 , \underbrace{ 19, 21, 23}_{\text{sisipan}} , 25, .... $
dimana barisan yang baru ini juga berbentuk barisan aritmetika.

Deret aritmetika
Jumlah $ n \, $ suku pertama deret aritmetika
       Deret aritmetika merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan aritmetika. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga ($ n \, $ suku pertama). Simbol yang digunakan adalah $ s_n \, $ yang artinya jumlah $ n \, $ suku pertama.
Misalkan :
$ s_1 = u_1 \, $ (jumlah 1 suku pertama)
$ s_2 = u_1 + u_2 \, $ (jumlah 2 suku pertama)
$ s_3 = u_1 + u_2 + u_3 \, $ (jumlah 3 suku pertama)
$ s_4 = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 \, $ (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah $ n \, $ suku pertama berdasarkan :
*). Diketahui suku pertama ($u_1$) dan suku terakhirnya ($u_n$),
              $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) $
*). Diketahui suku pertama ($u_1 = a $) dan bedanya ($b$),
              $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Diketahui banyak suku ($n \, $ suku) dan suku tengahnya ($u_t$),
Rumus suku tengahnya : $ u_t = \frac{u_1 + u_n}{2} $
Rumus jumlahnya : $ s_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) = n . \frac{u_1 + u_n}{2} = n . u_t $
Sehingga : $ s_n = n.u_t $

Ketiga rumus $ s_n \, $ di atas memberikan hasil yang sama. Jika sobat tidak ingin mengingat ketiganya, cukup ingat rumus kedua saja yaitu $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

Contoh :
1). Tentukan jumlah 11 suku pertama dari barisan 2, 4, 6, 8, ....?
Penyelesaian :
*). Dari barisan diperoleh $ a = 2 \, $ dan $ b = 4-2 = 2 $
Jumlah 11 suku pertamanya :
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{11} & = \frac{11}{2}(2.2 + (11-1)2) \\ & = \frac{11}{2}(4 + 20) \\ & = \frac{11}{2}(24) \\ & = 11 . 12 = 132 \end{align} $

2). Diketahui suatu barisan aritmetika yang terdiri dari 11 suku dengan suku tengahnya adalah 34. Tentukan jumlah 11 suku pertama barisan tersebut.!
Penyelesaian :
Diketahui $ n = 11 \, $ dan $ u_t = 34 $
Sehingga jumlah 11 suku pertamanya adalah :
$ s_n = n.u_t \rightarrow s_{11} = 11 . 34 = 374 $

3). Tentukan jumlah semua bilangan antara 5 sampai 200 yang habis dibagi 4!
Penyelesaian :
*). Pertama kita daftar dulu bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200.
Bilangannya : 8, 12, 16 ... , 196
dengan $ a = 8 \, $ dan $ b = 8 - 4 = 4 $
*). Menentukan banyaknya suku dengan menggunakan suku terakhir ($u_n = 196$)
$ \begin{align} u_n & = 196 \\ a + (n-1)b & = 196 \\ 8 + (n-1)4 & = 196 \\ 8 + 4n - 4 & = 196 \\ 4n & = 192 \\ n & = \frac{192}{4} = 48 \end{align} $
artinya ada 48 bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampai 200 .
Sehingga jumlah semua bilangan $ 8 + 12 + 16 + .... + 196 \, $ yang ada 48 suku
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \\ s_{48} & = \frac{48}{2}(8 + 196) \\ & = 24 \times 204 = 4896 \end{align} $
Jadi, jumlah semua bilangan yang habis dibagi 4 antara 5 sampi 200 adalah 4.896

         Barisan dan deret Aritmetika juga sering dikaitkan dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dalam penyelesaian suatu soal SBMPTN atau soal-soal masuk perguruan tinggi negeri. Silahkan juga baca materi mengenai persaman dan fungsi kuadrat.