Tampilkan postingan dengan label asimtot fungsi. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label asimtot fungsi. Tampilkan semua postingan

Persamaan Asimtot Hiperbola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Asimtot Hiperbola yang bisa kita singkat menjadi PAH (Persamaan Asimtot Hiperbola). Dari semua jenis "irisan kerucut" seperti "lingkaran", "parabola", "elips", dan "hiperbola", persamaan asimtot hanya terdapat pada irisan kerucut berbentuk hiperbola. Asimtot adalah sebuah garis lurus yang akan didekati (tidak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Sebelumnya juga telah kita bahas persamaan asimtot yaitu "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar", "Asimtot Miring Fungsi Aljabar", dan "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri". Persamaan Asimtot Hiperbola adalah salah satu dari jenis asimtot miring. Asimtot hiperbola selalu melalui titik pusat "persamaan hiperbola". Sebuah persamaan hiperbola biasanya memiliki dua Persamaan Asimtot Hiperbola dimana keduanya selalu berpotongan pada titik pusat hiperbola. Untuk ilustrasi asimtot hiperbola, perhatikan gambar berikut ini, asimtot ditunjukkan oleh garis berwarna biru.


         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu materi "persamaan hiperbola dan unsur-unsurnya" secara mendalam dan materi "sifat-sifat eksponen" khususnya bentuk akar seperti $ A^2 = B \rightarrow A = \pm \sqrt{B} $. Langsung saja kita masuk ke bentuk Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) berikut ini.

Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH)
       Bentuk atau rumus Persamaan Asimtot Hiperbola bergantung dari persamaan hiperbolanya. Berikut masing-masing rumus Persamaan Asimtot Hiperbolanya.

1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{b}{a} x $
2). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
3). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{a}{b} x $
4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
       Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $

$ \spadesuit \, $ Trik mengingat dan mengerjakan PAH
(i). Nilai $ a^2 $ selalu ada di bagian positif ($x$ atau $y$), dan sisanya adalah nilai $ b^2 $ dengan nilai $ a $ dan $ b $ selalu positif.
(ii). Bentuk umum asimtotnya $ y = \pm mx $ atau $ y-q = \pm (x-p) $ dengan
       (a). Jika $ x $ positif, maka $ m = \frac{b}{a} $
       (b). Jika $ y $ positif, maka $ m = \frac{a}{b} $
(iii). Jika tidak ingin menggunalan rumus di atas, maka ada cara lain yaitu mengganti angka 1 dengan 0 pada persamaan hiperbolanya, lalu selesaikan sehingga kita peroleh juga persamaan asimtot hiperbolanya.
(iv). Titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola adalah titik pusat hiperbola yaitu titik $ (p,q) $.

Contoh soal Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) :

1). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
$ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{b}{a} x \\ y & = \pm \frac{4}{3} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{4}{3}x $ dan $ y = -\frac{4}{3}x $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 0 \\ \frac{y^2}{16} & = \frac{x^2}{9} \\ y^2 & = \frac{16}{9}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}x^2 } \\ y & = \pm \frac{4}{3}x^2 \end{align} $

(b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{a}{b} x \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5} x \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{2\sqrt{2}}{5}x $ dan $ y = -\frac{2\sqrt{2}}{5}x $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 1 \\ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 0 \\ \frac{y^2}{8} & = \frac{x^2}{25} \\ y^2 & = \frac{8}{25}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{ \frac{8}{25}x^2 } \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5}x \end{align} $

2). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
Penyelesaian :
(a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
$ b^2 = 7 \rightarrow b = \sqrt{7} $
*). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y+1 = \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $ dan $ y+1 = - \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{7} & = \frac{(x-2)^2}{25} \\ (y+1)^2 & = \frac{7}{25} (x-2)^2 \\ y+1 & = \pm \sqrt{ \frac{7}{25} (x-2)^2 } \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $

(b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
$ a^2 = 64 \rightarrow a = 8 $
$ b^2 = 100 \rightarrow b = 10 $
*). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
*). Menentukan persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y - 3 & = \pm \frac{8}{10} (x +2) \\ y - 3 & = \pm \frac{4}{5} (x +2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y - 15 & = \pm 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4(x +2) \vee 5y - 15 = - 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4x + 8 \vee 5y - 15 = - 4x - 8 \\ 5y -4x & = 23 \vee 5y + 4x = 7 \\ \end{align} $
Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ 5y - 4x = 23 $ dan $ 5y + 4x = 7 $.

Cara II : mengganti 1 dengan 0
$ \begin{align} -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 0 \\ \frac{(y-3)^2}{64} & = \frac{(x+2)^2}{100} \\ (y-3)^2 & = \frac{64}{100} (x+2)^2 \\ (y-3) & = \pm \sqrt{ \frac{64}{100} (x+2)^2 } \\ (y-3) & = \pm \frac{8}{10} (x+2) \\ (y-3) & = \pm \frac{4}{5} (x+2) \end{align} $

3). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu X. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+3)^2}{9} & = \frac{(x-1)^2}{4} \\ (y+3)^2 & = \frac{9}{4} (x-1)^2 \\ (y+3) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{4} (x-1)^2 } \\ y+3 & = \pm \frac{3}{2} (x-1) \, \, \, \, \, \text{kali 2)} \\ 2y+6 & = \pm 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 (x-1) \vee 2y+6 & = - 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 x- 3 \vee 2y+6 & = - 3x + 3 \\ 3x - 2y = 9 \vee 3x + 2y & = - 3 \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 3x - 2y = 9 $ dan $ 3x + 2y = -3 $.
*). Menentukan titik potong sumbu X dengan substitusi $ y = 0 $ :
$ 3x - 2y = 9 \rightarrow 3x - 2.0 = 9 \rightarrow x = 3 $
$ 3x + 2y = -3 \rightarrow 3x + 2.0 = -3 \rightarrow x = -1 $
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu X adalah $ A(3,0) $ dan $ B(-1,0) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = 3 - (-1) = 4 $.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah 4 satuan.

4). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu Y. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
Penyelesaian :
*). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \begin{align} -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+n)^2}{9} & = \frac{(x-m)^2}{16} \\ (y+n)^2 & = \frac{9}{16}(x-m)^2 \\ (y+n) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{16}(x-m)^2 } \\ (y+n) & = \pm \frac{3}{4}(x-m) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y+4n & = \pm 3(x-m) \\ 4y+4n = 3(x-m) \vee 4y+4n & = - 3(x-m) \\ 4y+4n = 3x-3m \vee 4y+4n & = - 3x + 3m \\ 4y - 3x = -3m - 4n \vee 4y + 3x & = 3m - 4n \end{align} $
Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 4y - 3x = -3m - 4n $ dan $ 4y + 3x = 3m - 4n $.
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ 4y - 3x = -3m - 4n \rightarrow 4y - 3.0 = -3m - 4n \rightarrow 4y = -3m - 4n \rightarrow y = -\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
$ 4y + 3x = 3m - 4n \rightarrow 4y + 3.0 = 3m - 4n \rightarrow 4y = 3m - 4n \rightarrow y = \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu Y adalah $ A(0,-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n ) $ dan $ B(0, \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) $.
*). Menentukan jarak kedua titik potong :
Jarak $ = (\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) - (-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) = \frac{6}{4}m = \frac{3}{2}m $.
Jadi, jarak kedua titik potong adalah $ \frac{3}{2}m $ satuan.

5). Tentukan titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
$ \begin{align} 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 & = 0 \\ 3x^2 - 12x - 2y^2 - 4y & = -4 \\ 3(x^2 -4x) - 2(y^2 + 2y) & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 2^2] - 2[(y + 1)^2 - 1^2] & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 4] - 2[(y + 1)^2 - 1 ] & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 12 - 2(y + 1)^2 + 2 & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 2(y + 1)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ \frac{3(x-2)^2 }{6} - \frac{2(y + 1)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x-2)^2 }{2} - \frac{(y + 1)^2}{3} & = 1 \end{align} $
Titik pusat hiperbola : $ (p,q) = ( 2, - 1 ) $
*). Titik potong kedua persamaan asimtot adalah titik pusat persamaan hiperbolanya yaitu $ (2,-1) $.
Jadi, titik potong kedua asimtot adalah $ (2,-1) $.

6). Jika titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny = 2m^2 - 3n^2 + 6 $ adalah $ (m-4, -n+2) $, maka tentukan nilai $ m^2 + n^2 $ !
Penyelesaian :
*). Mengubah persamaan :
$ \begin{align} -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny & = 2m^2 - 3n^2 + 6 \\ -2x^2 - 4mx - 2m^2 + 3y^2 - 6ny + 3n^2 & = 6 \\ -2(x^2 + 2mx +m^2) + 3(y^2 - 2ny + n^2 ) & = 6 \\ -2(x+m)^2 + 3(y-n)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ -\frac{2(x+m)^2}{6} + \frac{3(y-n)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ -\frac{(x+m)^2}{3} + \frac{(y-n)^2}{2} & = 1 \end{align} $
Titik pusatnya : $ (p,q) = (-m , n) $
*). Titik potong kedua asimtot adalah titik pusat yaitu $ (-m,n) $.
*). Pada soal juga diketahui bahwa titik potong kedua asimtot adalah $ (m-4,-n+2) $, sehingga kedua titik potong tersebut sama yaitu :
$ \begin{align} (-m , n) & = (m-4,-n+2) \\ -m & = m - 4 \rightarrow 2m = 4 \rightarrow m = 2 \\ n & = -n + 2 \rightarrow 2n = 2 \rightarrow n = 1 \end{align} $
Sehingga nilai $ m^2 + n^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $ .
Jadi, nilai $ m^2 + n^2 = 5 $.

       Demikian pembahasan materi Persamaan Asimtot Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".

Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "asimtot tegak dan mendatar fungsi aljabar" dan "asimtot miring fungsi", pada artikel ini kita akan lanjutkan pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri. Seperti yang telah kita ketahui bersama, asimtot adalah sebuah garis lurus yang akan didekati (tidak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Nah, yang akan kita bahas khusus dua asimtot pertama yaitu tegak dan mendatar khusus fungsi trigonometri. Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri memang tidaklah mudah, namun tenang saja teman-teman, kita tidak perlu menggambar kurva fungsi trigonometrinya, kita langsung gunakan analisa aljabar untuk mencari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "Penyelesaian Persamaan Trigonometri ", "limit fungsi trigonometri", dan "limit tak hingga fungsi trigonometri". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Trigonometri
       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) .

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi Trigonometri bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Asimtot Mendatar Fungsi Trigonometri
       Fungsi Trigonometri $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.
Catatan asimtot mendatar :
Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan x $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \cos x = \cos \theta $ adalah
$ x = \pm \theta + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ , dengan penyebut $ \cos x $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} \cos x & = 0 \\ \cos x & = \cos \frac{\pi}{2} \\ x & = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi \end{align} $
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat, karena $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi } \, \tan x = \pm \infty $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot tegak fungsi trigonometri, kita harus benar-benar menguasai materi persamaan trigonometri yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \sin x = \sin \theta $ adalah
$ x = \theta + k.2\pi \, $ dan $ x = (\pi - \theta ) + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $, dengan penyebut $ 2\sin x + 1 $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} 2\sin x + 1 & = 0 \\ 2\sin x & = -1 \\ \sin x & = - \frac{1}{2} \\ \sin x & = \sin \frac{7\pi}{6} \end{align} $
Solusinya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ atau
$ x = (\pi - \frac{7\pi}{6} ) + k.2\pi = -\frac{1}{6}\pi + k.2\pi = (2k - \frac{1}{6})\pi $ .
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ dan $ x = (2k - \frac{1}{6})\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat.

3). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = x . \tan \frac{1}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sehingga $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.

4). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = \frac{5}{2} $.

5). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 6 $.

Catatan :
Untuk mempermudah dalam menentukan persamaan asimtot mendatar suatu bentuk fungsi trigonometri, teman-teman harus menguasai materi limit tak hingga fungsi trigonometri yang bisa dibaca pada artikel "limit tak hingga fungsi trigonometri".

       Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar".

Asimtot Miring Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Setelah memebahas "asimtot tegak dan mendatar fungsi aljabar", nah pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar. Seperti penjelasan sebelumnya, asimtot adalah sebuah garis lurus yang didekati oleh sebuah kurva pada titik jauh tak hingga (jaraknya semakin dekat antara garis dan kurva yang mendekati nol). Asimtot dibagi menjadi tiga yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Asimtot miring biasanya dimiliki oleh kurva dengan fungsinya berbentuk pecahan, namun asimtot miring juga dimiliki oleh kurva hiperbola yang akan kita bahas dilain kesempatan. Pada pembahasan ini kita hanya fokus pada persamaan asimtot miring suatu fungsi aljabar yang berbentuk pecahan.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar ini, kita harus menguasai beberapa materi terlebih dahulu yaitu "persamaan garis lurus",  "operasi pembagian suku banyak dengan cara bersusun" dan "penyelesaian limit tak hingga".

Menentukan Asimtot Miring Fungsi Aljabar
       Suatu fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ kemungkinan akan memiliki asimtot miring jika pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya. Hasil bagi $ f(x) $ dengan $ g(x) $ disebut sebagai persamaan asimtotnya dengan syarat hasil bagi tersebut harus berderajat satu (fungsi linier). Artinya dapat disimpulkan pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih satu dari pangkat tertinggi penyebutnya.

       Langkah-langkah dalam menentukan persamaan asimtot miring fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ yaitu kita bagi dulu $ f(x) $ dengan $ g(x) $, misalkan hasil baginya $ H(x) = ax + b $, dan sisanya $ S(x) $, dapat kita tuliskan :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{g(x)} & = H(x) + \frac{S(x)}{g(x)} \\ \frac{f(x)}{g(x)} & = (ax + b) + \frac{S(x)}{g(x)} \end{align} $
maka persamaan asimtot miringnya adalah $ y = ax + b $.
Catatan :
Untuk menentukan hasil dan sisa pembagian, kita gunakan cara bersusun yang bisa teman-teman pelajari kembali pada artikel : "Operasi pembagian suku banyak".

Contoh soal Asimtot Miring Fungsi Aljabar :

1). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{2x^2-3x+5}{x+2} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{2x^2-3x+5}{x+2} = (2x - 7) + \frac{19}{x+2} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{19}{x+2} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 2x - 7 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 2x - 7 . \, \heartsuit $

2). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = 4x - 1 + \frac{3x+5}{x-7} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = 4x - 1 + \frac{3x+5}{x-7} \\ f(x) & = 4x - 1 + \left( 3 + \frac{26}{x-7} \right) \\ f(x) & = 4x + 2 + \frac{26}{x-7} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{26}{x-7} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 4x + 2 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 4x + 2 . \, \heartsuit $

3). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^3 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 - 3x + 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama yaitu 3, maka fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

4). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 6x - 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari penyebutnya, maka fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

5). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1} \\ f(x) & = 5x - 15 + \frac{41x+10}{x^2+3x+1} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{41x+10}{x^2+3x+1} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 5x - 15 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 5x - 15 . \, \heartsuit $

6). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x - 3}{x + 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena selisih pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya tidak satu (selsisihnya 2) mengakibatkan hasil pembagiaannya tidak fungsi linear lagi, sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

7). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{-2x^\frac{5}{2} + x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{-2x^\frac{5}{2} + x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} \\ f(x) & = -2x + \frac{5x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{5x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = -2x $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = -2x . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan asimtot sautu fungsi. Kami selalu berharap ada masukan guna perbaikan teori dan contoh-contoh pada semua artikel yang ada di blog koma ini. Terima kasih.

Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar. Apa sih asimtot itu? Menurut kami, asimtot adalah suatu garis lurus yang akan didekati oleh suatu kurva baik secara tegak (asimtot tetak) atau secara mendatar (asimtot mendatar) atau mendekati miring (disebut asimtot miring, akan kita pelajari pada materi lainnya termasuk pada asimtot kurva hiperbola). Garis yang kita sebut asimtot ini akan selalu didekati oleh kurva namun tidak pernah bersentuhan atau tidak akan berpotongan antara garis dan kurva tersebut di titik jauh tak terhingga (jaraknya semakin lama semakin kecil mendekati nol). Di sini, kurva yang kita maksud adalah grafik selain garis lurus. Apakah semua fungsi aljabar memiliki asimtot? Tentuk jawabannya tidak. Kita akan coba bahas seperti apa syarat suatu fungsi aljabar memiliki asimtot tetak atau asimtot mendatar.

         Sebagai gambaran bentuk dari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar, perhatikan grafik dibawah ini dari fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $. Persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ dan persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $. Untuk titik-titik jauh tak terhingga (ujung-ujung grafik lengkung) semakin mendekati asimtotnya.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "grafik persamaan garis lurus", "limit fungsi aljabar", dan "limit tak hingga". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Aljabar
       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) . Untuk fungsi aljabar, kondisi ini (memiliki asimtot tegak) jika fungsinya berbentuk pecahan.

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi aljabar bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Asimtot Mendatar Fungsi Aljabar
       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.
Catatan asimtot mendatar :
i). Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.
ii). Karena penghitungannya menggunakan limit $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ x $ mendekati $ -\infty $ maka ada tiga kemungkinan hasilnya untuk fungsi berbentuk pecahan yaitu :
a). pangkat pembilang dan penyebut tertingginya sama, maka ada asimtot mendatarnya,
b). pangkat pembilang lebih kecil dari pangkat penyebutnya, maka ada asimtot mendatarnya yaitu $ y = 0 $,
c). pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebutnya, maka ada tidak ada asimtot mendatarnya, akan tetapi kemungkinan besar memiliki asimtot miring.

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $ jika ada!
Penyelesaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x - 2 $ yang memiliki akar $ x = 2 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x+1}{x-2} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot mendatarnya, kita harus benar-benar menguasai materi limt tak hingga yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian limit tak hingga".

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 5 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 5 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 5 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ +\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ -\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 0 $.

3). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 + 2x = x(x+2) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 0 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 0 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 3 $.

4). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ (x-1) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $
Sehingga fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $ tidak memiliki asimtot mendatar.

5). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} $!
Penyelsaian :
*). Coba kita sederhanakan dulu fungsinya :
$ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} = \frac{(x+1)(x-3)}{x+1} = x - 3 $.
Ternyata fungsinya berbentuk $ f(x) = x - 3 $ yang artinya bukan berbentuk pecahan, sehingga tidak memiliki persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar.

6). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = -1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

7). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $ tidak memiliki asimtot tegak $ x = a $ karena tidak ada yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } \, \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Kita ubah dulu menjadi bentuk pecahan dengan merasionalkan :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} \times \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} }{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \\ f(x) & = \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \end{align} $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{-4}{2.2} = -1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{4}{2.2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

       Soal-soal untuk menentukan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ternyata dikeluarkan pada SBMPTN 2017 (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) untuk matematika IPA atau saintek. Berikut saya kami sajikan 4 Soal SBMPTN 2017 berkaitan materi asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi aljabar, silahkan teman-teman mencobanya. Jika kesulitan, maka teman-teman bisa ikuti link pembahasan disetiap soalnya.

Nomor 12, SBMTPN 2017 Kode 165
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan $ a > 0 $ dan $ b < 0 $. Jika grafik fngsi $ f $ mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $ y = -3 $ , maka $ a + 2b $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 166
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 167
Di antara pilihan berikut, kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $ memotong asimtot datarnya di titik $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 168
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

       Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri".