Tampilkan postingan dengan label aplikasi vektor. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label aplikasi vektor. Tampilkan semua postingan

Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar. Dengan mengetahui "panjang vektor", "perkalian dot" "perkalian silang", "proyeksi orthogonal vektor pad vektor", dan "vektor normal garis atau bidang", ternyata konsep vektor ini bisa kita aplikasikan pada bangun ruang dan bangun datar yang berkaitan dengan luas, jarak dan sudut. Adapun Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar yaitu menghitung luas bangun datar, menentukan jarak baik titik ke titik, jarak titik ke garis, jarak dua garis bersilangan, jarak titik ke bidang, jarak bidang ke bidang, sudut antara dua garis, sudut antara garis ke bidang, dan sudut antara bidang ke bidang. Tentu dengan menggunakan konsep pada dimensi tiga juga bisa, hanya saja untuk jenis atau tipe soal tertentu sangatlah sulit dikerjakan dengan konsep pada dimensi tiga, namun dengan menggunakan Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar ternyata pengerjaannya akan lebih mudah. Salah satu penghitungan yang sulit dikerjakan dengan konsep pada dimensi tiga yaitu jarak antara dua garis bersilangan, karena butuh imajinasi tinggi dalam menentukan jaraknya.

         Dengan mempelajari Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar berkaitan dengan jarak dan sudut, harapannya adalah sebagai penambah wawasan dalam pembelajaran matematika karena semakin banyak cara pengerjaan yang kita ketahui maka akan semakin bagus. Saran kami adalah tetap menggunakan konsep pada dimensi tiga, namun jika dirasa sulit maka silahkan teman-teman menggunakan konsep Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar ini. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya kita harus menguasai secara baik konsep vektor, silahkan baca artikelnya di "Materi Vektor Tingkat SMA". Berikut Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar yang bisa kita pelajari bersama-sama yaitu :

1). Luas Bangun Datar,
2). Jarak dua titik,
3). Jarak titik ke garis,
4). Jarak titik ke bidang,
5). Jarak dua garis bersilangan
6). Jarak garis ke bidang,
7). Jarak dua bidang,
8). Sudut antara dua garis,
9). sudut antara garis dan bidang,
10). sudut antara dua bidang,
11). Titik berat segitiga,
12). Volume bangun ruang.

       Demikian penjabaran submateri Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar. Semoga materi Aplikasi Vektor pada Bangun Ruang dan Datar ini bisa bermanfaat untuk kita semua baik dari segi kebutuhan dalam mengerjakan soal maupun sebagai wawasan dalam pengetahuan tentang penerapan vektor. Untuk melengkapi seluruh aplikasi vektor, kami akan update secara berkala. Terima kasih.

Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

         Blog Koma - Aplikasi vektor yang akan kita bahas pada artikel ini adalah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis. Aplikasi vektor dalam bangun datar atau bangun ruang cukuplah banyak, diantaranya kita sudah membahas materi "aplikasi vektor : jarak titik ke garis", "aplikasi vektor : luas bangun datar", dan "aplikasi vektor : volume bangun ruang". Pada dimensi tiga, sebenarnya juga kita pelajari materi "jarak dua garis bersilangan", namun pengerjaannya menggunakan konsep keruangan pada dimensi tiga dimana menurut kami memang tidak mudah dalam aplikasi pengerjaan pada soalnya. Nah pada konsep vektor yaitu Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis ini, kita hanya terfokus pada pengerjaan soalnya menggunakan konsep vektor yaitu "proyeksi orthogonal vektor pada vektor" khususnya panjang vektor proyeksinya. Hal-hal yang harus teman-teman kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis yaitu "pengertian vektor dan penulisannya", "panjang vektor", "perkalian dot", "perkalian silang dua vektor", dan "panjang proyeksi vektor".

Langkah-langkah Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas. Misalkan kita akan mencari jarak antara garis $ g_1 $ dan garis $ g_2 $. Garis $ g_1 $ dan $ g_2 $ diwakili oleh masing-masing vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $. Pada garis $ g_1 $ kita pilih titik A. Berikut langkah-langkah menentukan jarak dua garis bersilangan menggunakan konsep vektor :
1). Impitkan kedua pangkal vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $ di titik A.
2). Kita buat bidang W melalui kedua vektor $ \vec{v}_1 $ dan $ \vec{v}_2 $.
3). Tentukan vektor normal yang tegak lurus dengan bidang W yaitu vektor $ \vec{u} $ dengan $ \vec{u} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 $.
4). Tentukan salah satu vektor dari garis $ g_1 $ ke garis $ g_2 $, misalkan vektor $ \vec{AC} $.
5). Jarak kedua garis adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor $ \vec{u} $.

Dapat kita ringkas rumus jaraknya yaitu :
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{AD} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BC} $ ke $ \vec{u} \, $ atau
Jarak = panjang proyeksi $ \vec{BD} $ ke $ \vec{u} $.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis

1). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak BG dan CE!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan CE :
B(12, 12, 0); G(0, 12, 12); C(0, 12, 0) dan E(12, 0, 12)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-12, 0, 12) $
$ \vec{CE} = \vec{e} - \vec{c} = (12, -12, 12) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{CE} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -12 & 0 & 12 \\ 12 & -12 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 144\vec{j} +144\vec{k}) - (-144\vec{i} - 144\vec{j} + 0) \\ & = 144\vec{i} + 288\vec{j} + 144\vec{k} = (144, 288 , 144 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{144^2 + 288^2+144^2} = 144\sqrt{6} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan CE, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BE} $ yaitu $ \vec{BE} = \vec{e} - \vec{b} = (0, -12, 12) $
*). Jarak BG ke CE adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BE} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BE} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -12, 12).(144, 288 , 144 ) }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{0 + (-12).288 + 12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| \\ & = \left| \frac{-12. 144 }{144\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-12 }{ \sqrt{6}} \right| = \frac{12 }{ \sqrt{6}} = 2\sqrt{6} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan CE adalah $ 2 \sqrt{6} \, $ cm.

2). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak BG dan AC!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis BG dan AC :
B(6, 6, 0); G(0, 6, 6); A(6, 0, 0) dan C(0, 6, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{BG} \times \vec{AC} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ -6 & 6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 -36\vec{j} -36\vec{k}) - (36\vec{i} + 0 + 0) \\ & = -36\vec{i} -36\vec{j} -36\vec{k} = (-36, -36, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{(-36)^2 + (-36)^2+(-36)^2} = 36\sqrt{3} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan BG dan AC, misalkan kita pilih vektor $ \vec{BA} $ yaitu $ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (0, -6, 0) $
*). Jarak BG ke AC adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{BA} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(0, -6, 0).(-36, -36, -36) }{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 36 + 0}{36\sqrt{3} } \right| \\ & = \left| \frac{6.36}{36\sqrt{3} } \right| = \left| \frac{6 }{ \sqrt{3}} \right| = \frac{6 }{ \sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, jarak BG dan AC adalah $ 2 \sqrt{3} \, $ cm.

3). Sebuah balok ABCD.EFGH memiliki panjang 6 cm, lebar 4 cm, dan tinggi 3 cm. Jika titik M adalah titik tengah EF, maka tentukan jarak AG dan DM!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AG dan DM :
A(4, 0, 0): G(0, 6, 3); D(0, 0, 0) dan M(4, 3, 3)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AG} = \vec{g} - \vec{a} = (-4, 6, 3) $
$ \vec{DM} = \vec{m} - \vec{d} = (4, 3, 3) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AG} \times \vec{DM} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 6 & 3 \\ 4 & 3 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} + 12\vec{j} -12\vec{k}) - (9\vec{i} - 12\vec{j} + 24\vec{k}) \\ & = 9\vec{i} + 24\vec{j} -36\vec{k} = (9, 24, -36) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{9^2 + 24^2+(-36)^2} = \sqrt{1953} = 3\sqrt{217} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AG dan DM, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AD} $ yaitu $ \vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = (-4, 0, 0) $
*). Jarak AG ke DM adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AD} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AD} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{AD}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-4, 0, 0).(9, 24, -36) }{ 3\sqrt{217}} \right| \\ & = \left| \frac{-36 +0 + 0}{ 3\sqrt{217} } \right| \\ & = \left| \frac{-36}{ 3\sqrt{217}} \right| = \left| \frac{12 }{ \sqrt{217}} \right| = \frac{12}{217}\sqrt{217} \end{align} $
Jadi, jarak AG dan DM adalah $ \frac{12}{217}\sqrt{217} \, $ cm.

4). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jika titik P, Q, dan R terletak ditengah-tengah rusuk AB, EH, dan CD, maka tentukan jarak PQ dan FR!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
 

*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis PQ dan FR:
P(6, 3, 0); Q(3, 0, 6); F(6, 6, 6) dan R(0, 3, 0)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3, -3, 6) $
$ \vec{FR} = \vec{r} - \vec{f} = (-6, -3, -6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{PQ} \times \vec{FR} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & 6 \\ -6 & -3 & -6 \end{matrix} \right| \\ & = (18\vec{i} -36\vec{j} + 9\vec{k}) - (-18\vec{i} + 18\vec{j} + 18\vec{k}) \\ & = 36\vec{i} - 54\vec{j} -9\vec{k} = (36 , -54 , -9) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{36^2 + (-54)^2+(-9)^2} = 9\sqrt{53} $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan PQ dan FR, misalkan kita pilih vektor $ \vec{PR} $ yaitu $ \vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = (-6, 0, 0) $
*). Jarak PQ ke FR adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{PR} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{PR} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{PR}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 0, 0).(36 , -54 , -9) }{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216 +0 + 0}{ 9\sqrt{53} } \right| \\ & = \left| \frac{-216}{ 9\sqrt{53} } \right| = \left| \frac{24 }{ \sqrt{53}} \right| = \frac{24}{53}\sqrt{53} \end{align} $
Jadi, jarak PQ dan FR adalah $ \frac{24}{53}\sqrt{53} \, $ cm.

5). Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak AH dan CF!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini,
*). Pertama-tama kita tentukan koordinat titik-titik kedua garis AH dan CF :
A(6, 0, 0); H(0, 0, 6); C(0, 6, 0) dan F(6, 6, 6)
*). Menentukan vektor kedua garis :
$ \vec{AH} = \vec{h} - \vec{a} = (-6, 0, 6) $
$ \vec{CF} = \vec{f} - \vec{c} = (6, 0, 6) $
*). Menentukan vektor normal kedua garis yaitu $ \vec{u} $
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{AH} \times \vec{CF} \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -6 & 0 & 6 \\ 6 & 0 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = (0 +36\vec{j} + 0 ) - (0 -36\vec{j} + 0 ) \\ & = 72\vec{j} = (0, 72, 0 ) \end{align} $
Panjang $ |\vec{u} | = \sqrt{0^2 + 72^2+0^2} = 72 $
*). Kita tentukan salah satu vektor yang menghubungkan AH dan CF, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AC} $ yaitu $ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-6, 6, 0 ) $
*). Jarak AH ke CF adalah panjang proyeksi vektor $ \vec{AC} $ ke vektor normal $ \vec{u} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \text{ panjang proyeksi } \vec{AC} \, \text{ ke } \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BE}. \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{(-6, 6, 0 ).(0, 72, 0 ) }{72} \right| \\ & = \left| \frac{0 + 6. 72 + 0}{72} \right| \\ & = \left| \frac{6.72}{72 } \right| = 6 \end{align} $
Jadi, jarak AH dan CF adalah $ 6 \, $ cm.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Jarak Dua Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor Tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang".

Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang yang merupakan salah satu bagian dari aplikasi vektor, dimana sebelumnya kita telah membahas aplikasi vektor yang lainnya yaitu "aplikasi vektor : jarak titik ke garis" dan "aplikasi vektor : luas bangun datar". Dengan mempelajari Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, akan menambah wawasan kepada kita semua bahwa untuk mencari atau menentukan volume bangun ruang selain dengan menggunakan rumus volume yang sudah kita pelajari di tingkat SMP, ternyata volume bangun datar juga bisa kita hitung dengan menggunakan konsep vektor. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi "pengertian vektor dan penulisannya", "panjang vektor", "perkalian dot dua vektor", "perkalian silang dua vektor", dan "proyeksi orthogonal vektor pada vektor". Salah satu bangun ruang yang akan kita bahas adalah Paralel Epipedum , prisma, dan limas dalam Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang ini.

Rumus Aplikasi vektor : Volume Bangun Ruang
$ \spadesuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan bangun ruang di atas. Paralel Epipedum adalah benda ruang bersisi 6 yang sisi-sisi sejajarnya kongruen dan masing-masing sisinya berupa jajargenjang. Paralel Epipedum terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume Paralel Epipedum yaitu :
    Volume $ = |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan gambar limas segitiga di atas yang terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$. Rumus volume limas segitiga dengan konsep vektor yaitu :
    Volume $ = \frac{1}{6} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{6} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \clubsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Volume Limas segiempat dengan alas berbentuk persegi, persegi panjang, belah ketupat, atau jajargenjang, dimana limas terbentuk dari tiga vektor yaitu $ \vec{u} $ , $ \vec{v} $ , dan $ \vec{w}$ yaitu :
    Volume $ = \frac{1}{3} |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = \frac{1}{3} |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| $ .

$ \heartsuit \, $ Volume prisma segi empat
       Rumus Volume prisma segi empat (alasnya persegi atau persegi atau belahketupat) sama dengan rumus volume Paralel Epipedum di atas.
Catatan :
*). Bentuk $ \vec{a} \times \vec{b} \, $ adalah perkalian silang yang menghasilkan vektor.
*). Bentuk $ \vec{a} . \vec{b} \, $ adalah perkalian dot yang menghasilkan skalar.
*). bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| \, $ artinya nilainya selalu positif.
*). Bentuk $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v}.(\vec{u} \times \vec{w})| = |\vec{w}.(\vec{u} \times \vec{v})| \, $ artinya kita bisa menghitung volumenya dengan memilih salah satu rumus karena hasilnya akan sama, misalkan cukup menggunakan rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $ saja dengan mengerjakan operasi yang didalam kurung terlebih dahulu.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang

1). Tentukan volume Paralel Epipedum yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} = (3, -1 , 2) $ , $ \vec{v} = (1, 0 , -2) $ , dan $ \vec{w} = (2, 1, 3) $ !
Penyelesaian :
*). Kita gunakan rumus $ |\vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w})| $.
*). Menentukan hasil $ \vec{v} \times \vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{v} \times \vec{w} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = (0.3.\vec{i} + (-2).2.\vec{j} + 1.1.\vec{k}) - (-2.1.\vec{i} + 1.3.\vec{j} + 0.2.\vec{k}) \\ & = - 4\vec{j} + \vec{k} + 2\vec{i} - 3\vec{j} \\ & = 2\vec{i} - 7\vec{j} + \vec{k} \\ & = ( 2 , -7 , 1) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) $
$ \begin{align} \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) & = (3, -1 , 2) . ( 2 , -7 , 1) \\ & = 3.2 + (-1).(-7) + 2.1 \\ & = 6 + 7 + 2 = 15 \end{align} $
*). Menentukan volume Paralel Epipedum
Volume $ = | \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}) | = | 15 | = 15 $
Jadi, volume Paralel Epipedum tersebut adalah 15 satuan volume.

Gambar balok ABCD.EFGH berikut adalah untuk contoh soal nomor 2,3,4, dan 5.
Untuk memudahkan, mari kita daftar titik-titik sudut masing-masing yaitu :
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; D(0,0,0) ; E(5, 0, 4) ;
F(5, 6, 4) ; G(0, 6, 4) ; dan H(0, 0, 4) .

2). Tentukan volume Balok ABCD.EFGH di atas.
Penyelesaian :
Cara I : Rumus volume balok $ = p . l . t $
Pada gambar , $ p = 6, l = 5, t = 4 $.
Volume $ = p.l.t = 6.5.4 = 120 \, $ satuan volume.

Cara II : Aplikasi vektor .
*). Alas balok adalah ABCD yang terbentuk oleh vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AD} $
$ \vec{AB} = (0, 6, 0 ) $ dan $ \vec{AD} = (-5, 0 , 0 ) $
*). Balok ABCD. EFGH terbentuk juga oleh vektor $ \vec{AE} $
$ \vec{AE} = (0, 0, 4) $
*). Volume balok $ = | \vec{AE} . (\vec{AB} \times \vec{AD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AB} \times \vec{AD} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + 0) - (0 + 0 -30\vec{k}) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = ( 0 , 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) $
$ \begin{align} \vec{AE}.(\vec{AB} \times \vec{AD}) & = (0, 0, 4) . ( 0 , 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
Sehingga volume balok ABCD.EFGH adalah 120 satuan volume.
(hasilnya sama dengan cara I ).

3). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga F.ACH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut
*). Limas segitiga F.ACH terbentuk dari :
alas segitiga ACH dengan $ \vec{AC} = (-5, 6, 0) $ dan $ \vec{AH} = (-5, 0, 4) $
vektor ketiga $ \vec{AF} = (0, 6, 4) $
*). Volume Limas F.ACH $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 +0) - (0 -20\vec{j} - 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30 \vec{k} \\ & = (24, 20 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) $
$ \begin{align} \vec{AF}.(\vec{AC} \times \vec{AH}) & = (0, 6, 4) . (24, 20 , 30 ) \\ & = 0 + 120 + 120 = 240 \end{align} $
*). Volume limas F.ACH :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{AF} . (\vec{AC} \times \vec{AH} ) | = \frac{1}{6} |240 | = 40 $
Sehingga volume limas F.ACH adalah 40 satuan volume.

4). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segitiga E.BCD!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut
*). Limas segitiga E.BCD terbentuk dari :
alas segitiga BCD dengan $ \vec{BC} = (-5, 0, 0) $ dan $ \vec{BD} = (-5, -6, 0) $
vektor ketiga $ \vec{BE} = (0, -6, 4) $
*). Volume Limas E.BCD $ = \frac{1}{6} | \vec{BE} . (\vec{BC} \times \vec{BD} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{BC} \times \vec{BD} $ :
$ \begin{align} \vec{BC} \times \vec{BD} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 0 & 0 \\ -5 & -6 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 +30\vec{k}) - (0 + 0 + 0) \\ & = 30 \vec{k} \\ & = (0, 0 , 30 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) $
$ \begin{align} \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) & = (0, -6, 4) . (0, 0 , 30 ) \\ & = 0 + 0 + 120 = 120 \end{align} $
*). Volume limas E.BCD :
Volume $ = \frac{1}{6} | \vec{BE}.(\vec{BC} \times \vec{BD}) | = \frac{1}{6} |120 | = 20 $
Sehingga volume limas E.BCD adalah 20 satuan volume.

5). Pada balok ABCD.EFGH di atas, tentukan volume limas segiempat A.PQRS dengan titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak ditengah-tengah garis CD, CG, GH, dan DH!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut
Koordinat titik A(5, 0, 0) ; P(0, 3, 0) ; Q(0, 6, 2) : S(0, 0, 2)
*). Limas segiempat A.PQRS terbentuk dari :
alas PQRS dengan $ \vec{PQ} = (0, 3, 2) $ dan $ \vec{PS} = (0, -3 , 2) $
vektor ketiga $ \vec{PA} = (5, -3, 0 ) $
*). Volume Limas A.PQRS $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) | $
*). Menentukan hasil $ \vec{PQ} \times \vec{PS} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} \times \vec{PS} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & -3 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (6\vec{i} + 0 +0) - (-6\vec{i} + 0 + 0) \\ & = 12\vec{i} \\ & = (12, 0, 0 ) \end{align} $
*). Menentukan nilai $\vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) $
$ \begin{align} \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} ) & = (5, -3, 0 ) . (12, 0, 0 ) \\ & = 60 + 0 + 0 = 60 \end{align} $
*). Volume limas A.PQRS :
Volume $ = \frac{1}{3} | \vec{PA} . (\vec{PQ} \times \vec{PS} )| = \frac{1}{3} |60 | = 20 $
Sehingga volume limas A.PQRS adalah 20 satuan volume.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang :

$ \heartsuit \, $ Volume Paralel Epipedum
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
*). Alas Paralel Epipedum adalah jajargenjang yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi Paralel Epipedum adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume Paralel Epipedum (berbentuk prisma) :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume Paralel Epipedum $ = \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segitiga
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
*). Alas Limas adalah segitiga yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segitiga :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}| \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segitiga $ = \frac{1}{6} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

$ \heartsuit \, $ Volume Limas Segiempat
       Perhatikan ilustrasi gambar berikut :
*). Alas Limas adalah segiempat yang terbentuk dari vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
Luas alas $ = | \vec{u} \times \vec{v} | $
*). Perkalian silang $ \vec{u} \times \vec{v} \, $ menghasilkan vektor normal $ \vec{n} $ yang tegak lurus dengan bidang alas, sehingga $ \vec{u} \times \vec{v} = \vec{n} $ dan $ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{n}| $
*). Tinggi limas segitiganya adalah panjang hasil proyeksi $ \vec{w} $ pada $ \vec{n} $ yaitu :
tinggi $ = \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| $
*). Volume limas segiempat :
$ \begin{align} \text{Volume } & = \frac{1}{3} \times \text{Luas alas } \times \text{ tinggi} \\ & = \frac{1}{3} \times | \vec{u} \times \vec{v} | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \times | n | \times \left| \frac{ \vec{w}. \vec{n} } {|\vec{n}|} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. \vec{n} \right| \\ & = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| \end{align} $
Jadi, terbukti volume limas segiempat $ = \frac{1}{3} \left| \vec{w}. ( \vec{u} \times \vec{v}) \right| $.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Volume Bangun Ruang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Materi Vektor tingkat SMA" yaitu "Aplikasi vektor : Jarak dua garis bersilangan".

Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "aplikasi vektor : jarak titik ke garis", pada artikel ini kita lanjutkan lagi pembahasan aplikasi vektor yang lainnya yaitu Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar. Luas bangun datar yang akan kita hitung adalah bangun datar yang diketahui titik-titik sudutnya. Setiap bangun datar pada intinya tersusun dari beberapa segitiga, sehingga kita harus bisa menghitung luas segitiga dengan aplikasi dari vektor. Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar melibatkan rumus "perkalian silang antara dua vektor" yaitu khusus menentukan panjangnya. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu materi "pengertian vektor dan penulisannya" dan "perkalian silang dua vektor". Selain itu juga tentu kita harus mengetahui rumus luas segitiga dan luas bangun datar lainnya serta rumus "perbandingan trigonometri segitiga siku-siku". Pada SBMPTN, soal-soal berkaitan Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar ini sering keluar untuk soal matematika IPA (saintek). Langsung saja kita pelajari materi "Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar" ini secara mendetail berikut ini.

Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar
       Perhatikan ilustrasi gambar jajar genjang dan segitiga yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $.
$ \spadesuit \, $ Luas jajar genjang
Rumus luas jajar genjangnya yaitu :
     Luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga
Rumus luas segitiga yaitu :
     Luas segitiga $ = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| $
Catatan :
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = \, $ besar/panjang vektor $ \vec{u} \times \vec{v} $

Pembuktian Rumus luas bangun datar :
*). Rumus panjang perkalian silang dua vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
$ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin \theta $.
*). Perhatikan sudut $ \theta $ pada jajar genjang,
$ \sin \theta = \frac{t}{|\vec{v}|} \rightarrow t = |\vec{v}| \sin \theta $

*). Luas jajargenjang
       Perhatikan jajargenjang di atas, luas jajar genjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = \text{alas } \times \text{ tinggi} \\ & = |\vec{u}| \, t \\ & = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta \\ & = |\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas jajargenjang $ = |\vec{u} \times \vec{v}| $ .

*). Luas segitiga
Segitiga adalah bangun datar yang bentuknya separuh dari jajargenjang seperti pada gambar di atas, sehingga luas segitiga :
$ \begin{align} \text{luas segitiga } & = \frac{1}{2}\text{ luas jajargenjang} \\ & = \frac{1}{2}|\vec{u} \times \vec{v}| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| $.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

1). Tentukan luas jajar genjang dan luas segitiga yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} = (-1,2,3) $ dan $ \vec{v} = (2, -1,2) $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (2.2.\vec{i} + 3.2.\vec{j} + (-1).(-1).\vec{k}) - (-1.3.\vec{i} + (-1).2.\vec{j} + 2.2.\vec{k}) \\ & = (4\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}) - (-3\vec{i} -2\vec{j} + 4\vec{k}) \\ & = 7\vec{i} + 8\vec{j} -3\vec{k} \\ & = ( 7 , 8 , -3) \end{align} $
*). Menentukan luas jajargenjangnya :
$ \begin{align} \text{Luas jajargenjang} & = |\vec{u} \times \vec{v}| \\ & = \sqrt{7^2 + 8^2 + (-3)^2} \\ & = \sqrt{49 + 64 + 9} = \sqrt{112} \\ & = \sqrt{16.7} = 4\sqrt{7} \end{align} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ 4\sqrt{7} $ satuan luas.

*). Menentukan luas segitiganya :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2} . 4\sqrt{7} = 2\sqrt{7} $
Jadi, luas segitiga yang terbentuk adalah $ 2\sqrt{7} $ satuan luas.

2). Diketahui vektor $ \vec{a} = ( 1, -2 , 0) $ dan $ \vec{b} = ( -3, 1, p) $ . Jika luas jajargenjang yang dibentuk oleh $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah $ 3\sqrt{5} $ satuan luas, maka tentukan semua nilai $ p $ yang mungkin!
Penyelesaian :
*). Menentukan hasil perkalian silang $ \vec{a} \times \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ -3 & 1 & p \end{matrix} \right| \\ & = (-2p\vec{i} + 0 + \vec{k} ) - ( 0 + p\vec{j} + 6\vec{k}) \\ & = -2p\vec{i} - p\vec{j} - 5\vec{k} \\ & = (-2p , -p , -5) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$ \begin{align} \text{Luas } & = |\vec{a} \times \vec{b}| \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{(-2p)^2 + (-p)^2 + (-5)^2} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{4p^2 + p^2 + 25} \\ 3\sqrt{5} & = \sqrt{5p^2 + 25} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 45 & = 5p^2 + 25 \\ 5p^2 & = 20 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -2 $ atau $ p = 2 $

3). Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk seperti gambar berikut,
Tentukan luas bidang ACH!
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan perhitungan, sebaiknya kita identifikasi terlebih dahulu koordinat titiktitik sudut yang diperlukan.
*). Dari gambar yang tersedia kita dapat menyatakan bahwa koordinat titik
A(5, 0, 0) ; B(5, 6, 0) ; C(0, 6, 0) ; H(0, 0, 4) ; F(5, 6, 4) ; dan G(0, 6, 4).
*). Menentukan vektor $ \vec{AC} $ dan $ \vec{AH} $ :
$ \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (-5, 6, 0 ) $
$ \vec{AH} = \vec{h} - \vec{a} = (-5, 0, 4 ) $
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{AC} \times \vec{AH} $ :
$ \begin{align} \vec{AC} \times \vec{AH} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 6 & 0 \\ -5 & 0 & 4 \end{matrix} \right| \\ & = (24\vec{i} + 0 + 0) - (0 -20\vec{j} - 30\vec{k}) \\ & = 24\vec{i} + 20\vec{j} + 30\vec{k} \\ & = ( 24 , 20 , 30) \end{align} $
*). Menentukan luas bidang ACH (segitiga) :
$ \begin{align} \text{Luas ACH} & = \frac{1}{2}|\vec{AC} \times \vec{AH}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{24^2 + 20^2 + 30^2} \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{1984} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \times 496} \\ & = \frac{1}{2} . 2\sqrt{ 496} = \sqrt{ 496} \end{align} $
Jadi, luas bidang ACH adalah $ \sqrt{ 496} $ satuan luas.

Luas Bangun Datar Diketahui koordinat titik sudutnya
       Untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya adalah dengan menggunakan rumus yang mirip dengan determinan matriks. Rumus ini berlaku untuk semua bangun datar segi-$n$ yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya.

*). Rumus luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2})] $

*). Rumus luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) , C(c_1,c_2) $ , dan $ D(d_1,d_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1d_2+d_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+d_1c_2+a_1d_2})] $

Catatan :
*). Begitu seterusnya untuk bangun datar segilima, segienam, dan lainnya berlaku mirip dengan rumus di atas.
*). Urutan titiknya harus berurutan sehingga membentuk bangun yang dihitung luasnya.
*). Dari rumus di atas, satu titik paling kiri kita ulang lagi letakkan di akhir paling kanan.

Contoh Soal Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar

4). Hitunglah luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $!

Penyelesaian :
*). Koordinatnya : $A(-2,1), B(2,3) $, dan $ C(4,-5) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -2 & 2 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & -5 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-2.3+2.-5+4.1)-(2.1+4.3+-2.-5)] \\ & = \frac{1}{2} [(-6-10+4)-(2+12+10)] \\ & = \frac{1}{2} [(-12)-(24)] \\ & = \frac{1}{2} [-36] = -18 = 18 \end{align} $
(luas selalu bernilai positif).
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 18 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Untuk contoh lainnya tentang luas bangun datar yang diketahui koordinat titik sudutnya, silahkan baca pada artikel "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya"

Pembuktian Rumus luas bangun datar yang diketahui koordinatnya :
$ \clubsuit \, $ Luas segitiga dengan koordinat $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $
*). Untuk menentukan luas segitiganya , kita bentuk dua vektor yaitu $ \vec{AB} $ dan $ \vec{AC} $ yang berpotongan di titik A.
$ \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 ) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 - a_1, c_2 - a_2) $
*). Karena rumus perkalian silang hanya berlaku di R$^3$, maka kita tambahkan $ 0 $ pada vektor maing-masing yang searah dengan sumbu $ Z $ seperti berikut ini :
$ \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2 , 0) $ dan $ \vec{AC} = (c_1 - a_1, c_2 - a_2, 0 ) $
*). Menentukan hasil perkalian silangnya $ \vec{AB} \times \vec{AC} $ :
$ \begin{align} \vec{AB} \times \vec{AC} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ b_1 - a_1 & b_2 - a_2 & 0 \\ c_1 -a_1 & c_2 - a_2 & 0 \end{matrix} \right| \\ & = (0 + 0 + (b_1-a_1)(c_2-a_2)\vec{k} ) - ( 0 + 0 + (c_1-a_1)(b_2-a_2)\vec{k}) \\ & =[(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]\vec{k} \\ & = (0,0,(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)) \end{align} $
*). Menentukan Luas segitiganya :
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta & = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + 0^2 + [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)]^2 } \\ & = \frac{1}{2} [(b_1-a_1)(c_2-a_2)-(c_1-a_1)(b_2-a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [(b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 + a_1a_2)-(c_1b_2 - c_1a_2 - a_1b_2 + a_1a_2)] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 + a_1a_2 - c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2 - a_1a_2] \\ & = \frac{1}{2} [b_1c_2 - b_1a_2 - a_1c_2 - c_1b_2 + c_1a_2 + a_1b_2] \\ & = \frac{1}{2} [ a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 - b_1a_2 - c_1b_2 - a_1c_2 ] \\ & = \frac{1}{2} [ (a_1b_2 + b_1c_2 + c_1a_2 ) - (b_1a_2 + c_1b_2 + a_1c_2 )] \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiga $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $ .

$ \spadesuit \, $ Luas segiempat dan lainnya
       Untuk membuktikan rumus luas segiempat dan segi lainnya, kita cukup menghitung dengan membagi-bagi bangunnya menjadi segitiga-segitiga, kemuadian luasnya kita jumlahkan, dengan sedikit pengaturan maka akan terbukti luas yang kita inginnkan. Silahkan teman-teman coba ya. Semoga berhasil.

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Luas Bangun Datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Volume bangun ruang".

Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis . Aplikasi vektor pertama yang kita bahas adalah jarak titik ke garis lurus. Sebenarnya materi ini sudah kita bahas pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis", pada artikel tersebut kita bahas rumusnya dan contoh soalnya. Nah pada artikel ini, kita akan membahas pembuktian rumusnya menggunakan konsep vektor. Tentu juga akan kita bahas contoh-contoh soalnya. Untuk memudahkan mempelajari materi Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis, teman-teman harus menguasai materi "pengertian vektor", "panjang vektor", "perkalian dot dua vektor", "proyeksi vektor", dan "vektor normal garis lurus". Materi-materi dasar ini akan kita gunakan dalam pembuktian Rumus Jarak Titik ke Garis. Garis lurus yang dimaksud disini adalah berkaitan dengan persamaannya yaitu biasanya berbentuk $ ax + by + c = 0 $. Berikut penjelasan Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis yang berkaitan dengan rumus jaraknya dan pembuktian serta contoh soalnya.

Aplikasi vektor : Jarak titik ke garis lurus
Pada R$^2$ , jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ adalah
       Jaraknya $ = \left| \frac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
Aplikasi vektor : Jarak titik ke bidang
Pada R$^3$ , jarak titik $ b(x_1,y_1,z_1) $ ke bidang $ ax + by + cz + d = 0 $ adalah
       Jaraknya $ = \left| \frac{ax_1+by_1+cz_1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \right| $

$ \spadesuit \, $ Pembuktian jarak titik ke garis lurus :
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut,
*). Misalkan kita pilih sembarang titik $ B(x_2,y_2) $ yang terletak pada garis $ ax + by + c = 0 $ . Berikutnya kita buat vektor normal $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ yang melalui titik B.
*). Titik $ B(x_2,y_2) $ terletak pada garis, artinya titik B bisa kita substitusikan ke persamaan garis $ ax + by + c = 0 $ yaitu $ ax_2 + by_2 + c $. Kita peroleh :
$ ax_2 + by_2 + c \rightarrow c = -ax_2 - by_2 \, $ ......(i)
*). Pada gambar, terbentuk vektor $ \vec{BA} $ yaitu
$ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{matrix} \right) $
*). Kita proyeksikan vektor $ \vec{BA} $ ke vektor normal $ \vec{u} $ sehingga menghasilkan vektor $ \vec{c} $. Jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax+by+c=0 $ sama dengan panjang vektor proyeksi $ \vec{BA} $ ke vektor $ \vec{u} $.
*). Menentukan jarak titik $ A(x_1,y_1) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ dan dengan bentuk $ c = ax_2 - by_2 $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = panjang \, proyeksi \, vektor \, \vec{BA} \, ke \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BA} . \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{\left( \begin{matrix} x_1 - x_2 \\ y_1 - y_2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right)}{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{a(x_1-x_2) + b(y_1 - y_2) }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1-ax_2 + by_1 - by_2 }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1 + by_1 -ax_2 - by_2 }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \end{align} $
Jadi, terbukti jaraknya $ = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| $.

Dengan cara yang hampir mirip, kita bisa membuktikan rumus jarak titik ke bidang $ ax + by + cz + d = 0 $.

Contoh soal Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis :

1). Tentukan jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Ada dua cara yang akan kita gunakan untuk menentukan jaraknya yaitu :
Cara I : menggunakan konsep vektor
-). vektor normal dari $ 3x - 4y + 9 = 0 $ adalah $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right) $
-). kita pilih titik yang terletak pada garis yaitu $ B(1,3) $.
-). Vektor $ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
-). Jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ sama dengan panjang proyeksi vektor $ \vec{BA} $ ke vektor $ \vec{u} $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = panjang \, proyeksi \, vektor \, \vec{BA} \, ke \, \vec{u} \\ & = \left| \frac{\vec{BA} . \vec{u}}{|\vec{u}|} \right| \\ & = \left| \frac{\left( \begin{matrix} -2 \\ -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 \\ -4 \end{matrix} \right)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-2.3 + (-1).(-4) }{\sqrt{9 + 16} } \right| \\ & = \left| \frac{-6 + 4 }{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-2}{5} \right| = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ adalah $ \frac{2}{5} $ satuan.

Cara II : Rumus jarak titik ke garis :
-). jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ :
artinya titik $ (x_1,y_1) + (-1,2) $ dan $ a = 3, b = -4 $.
-). Menenetukan jaraknya :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ & = \left| \frac{3.(-1) - 4.2 + 9}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-3 -8 + 9}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-2}{5} \right| = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ A(-1,2) $ ke garis $ 3x - 4y + 9 = 0 $ adalah $ \frac{2}{5} $ satuan.

2). Tentukan jarak titik $ P(-1,2,3) $ ke bidang yang memiliki persamaan $ 2x - y + 2z - 8 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). kita langsung menggunakan rumus jaraknya,
*). Diketahui titiknya $ (x_1,y_1,z_1) = ( -1,2,3) $
*). persamaan bidangnya : $ 2x - y + 2z - 8 = 0 \rightarrow a = 2, b = -1 , c = 2 $
*). Menentukan jaraknya :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 }{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} } \right| \\ & = \left| \frac{ 2.(-1) - 2 + 2.3 - 8}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} } \right| \\ & = \left| \frac{-2 -2 + 6 - 8}{\sqrt{25} } \right| \\ & = \left| \frac{-6}{5} \right| = \frac{6}{5} \end{align} $
Jadi, jarak titik $ P(-1,2,3) $ ke bidang yang memiliki persamaan $ 2x - y + 2z - 8 = 0 $ adalah $ \frac{6}{5} $ satuan.

3). Jika jarak titik $ Q(1,k) $ ke garis $ 12x - 5y + 11 = 0 $ adalah 1 satuan dengan $ k < 5 $, maka tentukan nilai $ k^2 - 2k + 3$!
Penyelesaian :
*). Sifat nilai mutlak :
$ |x| = a \rightarrow x = \pm a $
*). Menentukan nilai $ k $ :
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c }{\sqrt{a^2 + b^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{12.1 - 5.k + 11}{\sqrt{12^2 + (-5)^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{12 - 5k + 11}{\sqrt{169} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{23 - 5k }{\sqrt{169} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{23 - 5k }{13} \right| \\ 13 & = | 23 - 5k| \\ \pm 13 & = 23 - 5k \end{align} $
$ 23 - 5k = 13 \rightarrow 5k = 10 \rightarrow k = 2 $
$ 23 - 5k = -13 \rightarrow 5k = 36 \rightarrow k = \frac{36}{5} $
Karena $ k < 5 $, maka $ k = 2 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ k^2 - 2k + 3 $ !
$ k^2 - 2k + 3 = 2^2 - 2.2 + 3 = 3 $ .
Jadi, nilai $ k^2 - 2k + 3 = 3 $.

Aplikasi Vektor : Jarak titik ke Garis pada dimensi Tiga
Misalkan jarak titik P ke garis $ g $ seperti gambar berikut :
Kita pilih titik A dan B yang ada pada garis $ g $ dimana vektor $ \vec{AB} $ mewakili garis $ g $. Kita bentuk vektor yang menghubungkan titik P ke garis $ g $, misalkan kita pilih vektor $ \vec{AP} $. Jarak titik P ke garis $ g $ adalah panjang vektor "komponen tegak lurus vektor $ \vec{AP} $ terhadap vektor $ \vec{AB}$" yaitu :
Jarak $ = \left| \vec{AP} - \left( \frac{\vec{AP}.\vec{AB}}{|\vec{AB}|^2} \right) \vec{AB} \right| $

Contoh soal Aplikasi vektor : jarak titik ke garis

4). Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, tentukan jarak titik E ke garis AG!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar
*). Menentukna titik sudut E, A, dan G serta vektornya :
E(8, 0, 8); A(8, 0, 0) dan G(0, 8, 8)
$ \vec{AE} = (0, 0, 8) $ dan $ \vec{AG} = (-8, 8, 8) $
*). Menentukan jarak titik E ke garis AG :
jarak = panjang komponen tegak lurus vektor $ \vec{AE} $ terhadap $ \vec{AG} $
$ \begin{align} \text{Jarak } & = \left| \vec{AE} - \left( \frac{\vec{AE}.\vec{AG}}{|\vec{AG}|^2} \right) \vec{AG} \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{(0, 0, 8).(-8, 8, 8)}{(\sqrt{(-8)^2 + 8^2 + 8^2})^2} \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{0 + 0 + 64}{(\sqrt{3 . 64})^2} \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{64}{ 3 . 64 } \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( \frac{1}{ 3 } \right) (-8, 8, 8) \right| \\ & = \left| (0, 0, 8) - \left( -\frac{8}{ 3 } , \frac{8}{ 3 } , \frac{8}{ 3 } \right) \right| \\ & = \left| \left( \frac{8}{ 3 } , -\frac{8}{ 3 } , \frac{2. 8}{ 3 } \right) \right| \\ & = \sqrt{ (\frac{8}{ 3 } )^2 +( -\frac{8}{ 3 })^2 + ( \frac{2. 8}{ 3 } )^2 } \\ & = \sqrt{ 6. (\frac{8}{ 3 } )^2 } = \frac{8}{ 3 } \sqrt{ 6 } \end{align} $
Jadi, jarak titik E ke AG adalah $ \frac{8}{ 3 } \sqrt{ 6 } \, $ cm.

Silahkan baca cara menentukan jarak titik ke garis dengan konsep pada dimensi tiga yaitu pada artikel "konsep jarak pada dimensi tiga"

       Demikian pembahasan materi Aplikasi Vektor : Jarak Titik ke Garis dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "materi vektor tingkat SMA" yaitu "aplikasi vektor : Luas bangun datar".

Menentukan Titik Berat Segitiga

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Titik Berat Segitiga. Pada segitiga terdapat garis-garis istimewa seperti garis sumbu, garis tinggi, garis bagi, dan garis berat, dimana rumus-rumus panjangnya bisa teman-teman baca pada artikel "Panjang Garis-garis Istimewa pada Segitiga" serta pembuktiannya pada artikel "Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya". Garis berat segitiga ada tiga yang ditarik dari masing-masing ketiga titik sudut segitiga. Perpotongan ketiga garis berat tersebut pada sebuah titik disebut titik berat segitiga. Bagaimana cara Menentukan Titik Berat Segitiga tersebut? Untuk Menentukan Titik Berat Segitiga, salah satunya menggunakan penerapan materi vektor yaitu "perbandingan vektor pada ruas garis". Hal-hal yang harus kita kuasai untuk mempermudah mempelajari materi Menentukan Titik Berat Segitiga ini yaitu "pengertian vektor", "panjang vektor", "vektor posisi", "kesamaan dua vektor, sejajar, dan segaris (kelipatan)", "penjumlahan dan pengurangan vektor", dan "perkalian vektor dengan skalar".

Peengertian garis berat dan titik berat
$ \spadesuit \, $ Pengertian garis berat segitiga
       Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sama panjang. Pada gambar di atas, yang termasuk garis berat adalah garis AE, garis BD, dan garis CF.

$ \spadesuit \, $ Pengertian titik berat segitiga
       Titik berat segitiga adalah titik perpotongan antara ketiga garis berat segitiga. Pada gambar di atas, titik P adalah titik berat segitiga ABC.
Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga
       Perhatikan ilustrasi gambar di atas, masing-masing garis berat terhadap titik berat (titik P) memiliki perbandingan $ 2 : 1 $ yaitu $ AP : PE = 2 : 1 $ , $ BP : PD = 2 : 1 $, dan $ CP : PF = 2 : 1 $.
Rumus menentukan titik berat segitiga
$ \clubsuit \, $ Vektor di R$^2$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1) $ , $ B(x_2,y_2) $ , dan $ C(x_3,y_3) $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus :
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $

$ \clubsuit \, $ Vektor di R$^3$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1,z_1) $ , $ B(x_2,y_2,z_2) $ , dan $ C(x_3,y_3,z_3) $. Titik berat segitiga ABC dapat kita tentukan dengan rumus :
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) $
Catatan :
Untuk pembuktian teori di atas, silahkan teman-teman lihat di bagian bawah setelah contoh-contoh soalnya.

Contoh soal Menentukan Titik Berat Segitiga :

1). Tentukan koordinat titik berat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudut $ A(-1,2) $ , $ B(3, -2) $ , dan $ C(1,6) $ !
Penyelesaian :
*). Titik berat $ \Delta$ABC yaitu :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{-1 + 3 + 1}{3} , \frac{2 + (-2) + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 1 , 2 \right) \end{align} $
Jadi, titik berat segitiga ABC adalah $ (1,2 ) . \, \heartsuit $.

2). Diketahui $ \Delta$PQR dengan koordinat titik sudut $ P(1, -2,3) $ , $ Q(5, 1, -1) $ , dan $ R(-3, -5, 4) $. Tentukan koordinat titik berat segitiga PQR tersebut!
Penyelesaian :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{1 + 5 + (-3)}{3} , \frac{-2 + 1 + (-5)}{3} , \frac{3 + (-1) + 4}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{-6}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 1 , -2 , 2 \right) \end{align} $
Jadi, titik berat segitiga PQR adalah $ (1 , -2 , 2 ) . \, \heartsuit $.

3). Segitiga KLM memiliki titik sudut $ K(p,1,2) $, $ L(1, q, -1) $ , dan $ M(3, 0 , r) $. Jika titik berat segitiga KLM adalah $ (1,1,-1) $ , maka tentukan koordinat titik sudut K, L, dan M serta tentukan nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ p , q, r $ dari titik beratnya :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{p+1+3}{3} , \frac{1+q+0}{3} , \frac{2+ (-1) + r}{3} \right) & = (1,1,-1) \\ \left( \frac{p+4}{3} , \frac{1+q}{3} , \frac{1 + r}{3} \right) & = (1,1,-1) \end{align} $
*). Dari kesamaan dua buah vektor, kita peroleh :
$ \frac{p+4}{3} = 1 \rightarrow p + 4 = 3 \rightarrow p = -1 $
$ \frac{1+q}{3} = 1 \rightarrow 1 + q = 3 \rightarrow q = 2 $
$ \frac{1 + r}{3} = -1 \rightarrow 1 + r = -3 \rightarrow r = -4 $
Sehingga koordinat masing-masing titik sudut segitiga KLM yaitu :
$ K(p,1,2) = (-1,1,2) $ , $ L(1, q, -1) = (1, 2, -1) $, dan $ M(3, 0 , r) = (3, 0 , -4) $.
*). Menentukan nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} $ :
$ ( p + 2q + r)^{2017} = ( -1 + 2.2 + (-4))^{2017} = (-1)^{2017} = -1 $.
Jadi, nilai $ ( p + 2q + r)^{2017} = -1 . \, \heartsuit $

4). Diketahui persegipanajng ABCD dengan $ A(0,0) $ , $ B(3,0) $ , $ C(3,6) $ , dan $ D(0,6) $. Jika titik P adalah titik berat segitiga ABC dan titik Q adalah titik berat segitiga ACD, maka tentukan :
a). Panjang PQ,
b). Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD?
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar.
a). Panjang PQ,
-). Menentukan titik berat segitiga ABC :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{0 + 3 + 3}{3} , \frac{0 + 0 + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{6}{3} , \frac{6}{3} \right) \\ & = \left( 2 , 2 \right) \end{align} $
sehingga titik P(2,2)
-). Menentukan titik berat segitiga ACD :
$ \begin{align} \text{Titik berat } & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \\ & = \left( \frac{0 + 3 + 0}{3} , \frac{0 + 6 + 6}{3} \right) \\ & = \left( \frac{3}{3} , \frac{12}{3} \right) \\ & = \left( 1 , 4 \right) \end{align} $
sehingga titik Q(1,4)
-). Menentukan panjang PQ dimana P(2,2) dan Q(1,4) :
$ |PQ| = \sqrt{(1-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $.
Jadi, panjang PQ adalah $ \sqrt{5} \, $ satuan panjang.

b). Apakah titik P dan Q terletak pada bidang diagonal BD?
*). Untuk mengetahui terletak atau tidaknya titik pada sebuah garis, cuku kita cek apakah titik-titik tersebut segaris (kolinear) atau tidak. Titik K, L , dan M segaris jika $ \vec{KL} = k \vec{LM} $ (salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya).
-). Apakah titik $ B(3,0) $ , $ P(2,2) $ dan $ D(0,6) $ segaris? mari kita cek :
$ \begin{align} \vec{BP} & = k \vec{PD} \\ \vec{p} - \vec{b} & = k ( \vec{d} - \vec{p} ) \\ (2,2) - (3,0) & = k ( (0,6) - (2,2) ) \\ (-1, 2) & = k ( -2 , 4 ) \\ (-1, 2) & = ( -2k , 4k ) \end{align} $
Kita peroleh :
$ -2k = -1 \rightarrow k = \frac{1}{2} $
$ 4k = 2 \rightarrow k = \frac{1}{2} $
Karena terdapat nilai $ k $ yang sama maka berlaku $ \vec{BP} = k \vec{PD} \rightarrow \vec{BP} = \frac{1}{2} \vec{PD} $ , sehingga titik P segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat P terletak pada bidang diagonal BD.
-). Apakah titik $ B(3,0) $ , $ Q(1,4) $ dan $ D(0,6) $ segaris? mari kita cek :
$ \begin{align} \vec{BQ} & = n \vec{QD} \\ \vec{q} - \vec{b} & = n ( \vec{d} - \vec{q} ) \\ (1,4) - (3,0) & = n ( (0,6) - (1,4) ) \\ (-2, 4) & = n ( -1 , 2 ) \\ (-2, 4) & = ( -n , 2n ) \end{align} $
Kita peroleh :
$ -n = -2 \rightarrow n = 2 $
$ 2n = 4 \rightarrow n = 2 $
Karena terdapat nilai $ n $ yang sama maka berlaku $ \vec{BQ} = n \vec{QD} \rightarrow \vec{BQ} = 2 \vec{QD} $ , sehingga titik Q segaris dengan titik B dan D, artinya titik berat Q terletak pada bidang diagonal BD.
Jadi, kesimpulannya titik berat P dan Q terletak pada bidang diagonal BD.

$ \spadesuit \, $ Pembuktian Perbandingan ruas garis pada titik berat segitiga
*). Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
*). Untuk menentukan perbandingan garis yang diminta, kita akan kerjakan dengan menggunakan konsep perbandingan vektor.
*). Dengan konsep titik-titik segaris (kolinear) , kita peroleh :
Misalkan $ \vec{AB} = \vec{q} $ dan $ \vec{AC} = \vec{p} $.
$ \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{q} $ dan $ \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{p} $.
-). Vektor $\vec{FP} $ segaris dengan $ \vec{FC} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{FP} = n\vec{FC} \rightarrow \frac{\vec{FP}}{\vec{FC}} = \frac{n}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{FP}}{\vec{PC}} = \frac{n}{1-n} $
-). Vektor $\vec{DP} $ segaris dengan $ \vec{DB} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{DP} = m\vec{DB} \rightarrow \frac{\vec{DP}}{\vec{DB}} = \frac{m}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{DP}}{\vec{PB}} = \frac{m}{1-m} $
-). Vektor $\vec{AP} $ segaris dengan $ \vec{AE} $ sehingga berlaku kelipatan :
$ \vec{AP} = x\vec{AE} \rightarrow \frac{\vec{AP}}{\vec{AE}} = \frac{x}{1} $ sehingga $ \frac{\vec{AP}}{\vec{PE}} = \frac{x}{1-x} $
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{FP}:\vec{PC} = n : 1-n $
$ \vec{AP} = \frac{n\vec{AC} + (1-n)\vec{AF}}{n + (1-n)} = \frac{n\vec{p} + (1-n).\frac{1}{2}\vec{q}}{1} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{DP}:\vec{PB} = m : 1-m $
$ \vec{AP} = \frac{m\vec{AB} + (1-m)\vec{AD}}{m + (1-m)} = \frac{m\vec{q} + (1-m).\frac{1}{2}\vec{p}}{1} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} $.
*). Menentukan vektor $ \vec{AP} $ dari $ \vec{BE}:\vec{EC} = 1 : 1 $
$ \vec{AP} = x \vec{AE} = x \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{1 + 1} = x\frac{\vec{q} + \vec{p}}{2} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} $.
*). Ketiga bentuk vektor $ \vec{AP} $ di atas sama yaitu :
$ \vec{AP} = n\vec{p} + \frac{1-n}{2}\vec{q} \, $ .... (i)
$ \vec{AP} = m\vec{q} + \frac{1-m}{2}\vec{p} \, $ .... (ii)
$ \vec{AP} = \frac{x}{2}\vec{q} + \frac{x}{2}\vec{p} \, $ .... (iii)
*). Menentukan nilai $ n , m , x $ dengan menyamakan koefisien vektor sejenis :
-). Bentuk (i) dan (iii) :
Koefisien $ \vec{p} \rightarrow n = \frac{x}{2} $
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow \frac{1-n}{2} = \frac{x}{2} $
Artinya $ n = \frac{1-n}{2} \rightarrow 2n = 1- n \rightarrow 3n = 1 \rightarrow n = \frac{1}{3} $.
Nilai $ \frac{x}{2} = n \rightarrow \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \rightarrow x = \frac{2}{3} $.
-). Pers(ii) dan (iii) dan gunakan $ x = \frac{2}{3} $ :
Koefisien $ \vec{q} \rightarrow m = \frac{x}{2} \rightarrow m = \frac{\frac{2}{3} }{2} = \frac{1}{3} $
Sehingga kita peroleh nilai :
$ n = \frac{1}{3}, m = \frac{1}{3} $ , dan $ x = \frac{2}{3} $
*). Menentukan perbandingan yang diminta :
$ \vec{AP}:\vec{PE} = x : 1-x = \frac{2}{3} : 1 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
$ \vec{BP}:\vec{PD} = 1 - m : m = 1 - \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
$ \vec{CP}:\vec{PF} = 1 - n : n = 1 - \frac{1}{3} : \frac{1}{3} = \frac{2}{3} : \frac{1}{3} = 2 : 1 $
Jadi, kita peroleh perbandingan $ AP : PE = 2 : 1 $ , $ BP : PD = 2 : 1 $, dan $ CP : PF = 2 : 1 $.

$ \clubsuit \, $ Pembuktian Rumus menentukan titik berat segitiga
       Misalkan titik A, B, C, P, dan E memiliki vektor posisi masing-masing $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , $ \vec{c} $ , $ \vec{p} $ , dan $ \vec{e} $ .
Paerhatikan gambar berikut :
-). Perhatikan perbandingan $ \vec{BE}:\vec{EC} = 1 : 1 $ , sehingga
$ \vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} $.
-). $\vec{AP} $ dan $ \vec{AE} $ segaris, sehingga :
$ \begin{align} \vec{AP} & = \frac{2}{3}\vec{AE} \\ \vec{p} - \vec{a} & = \frac{2}{3}( \vec{e} - \vec{a}) \\ \vec{p} & = \frac{2}{3} \vec{e} - \frac{2}{3}\vec{a} + \vec{a} \\ & = \frac{2}{3} . \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c}) + \frac{1}{3}\vec{a} \\ & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \end{align} $
Sehingga vektor posisi titik beratnya : $ \vec{p} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) $.

-). Vektor di R$^2$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1) $ , $ B(x_2,y_2) $ , dan $ C(x_3,y_3) $. RUmus titik berat segitiganya :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ & = \frac{1}{3} ((x_1,y_1) + (x_2,y_2) + (x_3,y_3)) \\ & = \frac{1}{3} (x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3) \\ & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right) $

-). Vektor di R$^3$
       Misalkan terdapat segitiga ABC dengan koordinat masing-masing titik sudutnya $ A(x_1,y_1,z_1) $ , $ B(x_2,y_2,z_2) $ , dan $ C(x_3,y_3,z_3) $. RUmus titik berat segitiganya :
$ \begin{align} \vec{p} & = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \\ & = \frac{1}{3} ((x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) + (x_3,y_3,z_3)) \\ & = \frac{1}{3} (x_1+ x_2 + x_3,y_1+y_2+y_3, z_1 + z_2 + z_3) \\ & = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa rumus titik berat adalah
Titik berat $ = \left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3} , \frac{y_1+y_2+y_3}{3} , \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \right) $

       Demikian pembahasan materi Menentukan Titik Berat Segitiga dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan aplikasi vektor yaitu "pembuktian dalil Menelaus dan Ceva dengan Vektor".