Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris

         Blog Koma - Seperti yang telah kita bahas pada materi "pengertian vektor dan penulisannya", vektor memiliki besar (panjangnya) dan arah. Hal ini sangat berkaitan erat dengan materi kesamaan dua vektor yang akan kita bahas pada artikel kali ini yaitu materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris. Hal pertama yang akan kita bahas adalah pengertian kesamaan dua vektor, yang dilanjutkan dengan pembahasan vektor-vektor yang sejajar dan terakhir adalah titik-titik yang segaris (kolinear). Untuk memudahkan mempelajari materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris, teman-teman harus menguasai beberapa materi vektor sebelumnya seperti "pengertian vektor", "panjang vektor" dan "vektor basis". Untuk sub-materi beberapa vektor yang sejajar dan sub-materi titik yang segaris (kolinear) sebenarnya memeiliki konsep yang sama yaitu menitikberatkan pada konsep kesejajaran pada vektor. Berikut penjelasan masing-masing secara lebih lengkap.

Kesamaan Dua Vektor
       Pengertian kesamaan dua buah vektor atau lebih dapar kita tinjau dari dua hal yaitu :
$\spadesuit \, $ Secara Geometri
     Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor memiliki besar (panjangnya) dan arah yang sama. Misalkan vektor $ \vec{AB} $ sama dengan vektor $ \vec{CD} $ atau kita tulis $ \vec{AB} = \vec{CD} $ seperti ilustrasi berikut ini.

$ \clubsuit \, $ Secara Aljabar
     Dua buah vektor dikatakan sama jika unsur-unsur yang bersesuaian besarnya sama (nilainya sama).
*). Vektor di R$^2 $
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $ dan $ a_2 = b_2 $
*). Vektor di R$^3$
Misalkan $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3 ) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $.
Jika $ \vec{a} = \vec{b} $ , maka $ a_1 = b_1 $, $ a_2 = b_2 $ dan $ a_3 = b_ 3 $

Catatan :
Secara Geometri, dua vektor meskipun tidak berimpit asalkan memiliki arah dan panjang yang sama, maka kita sebut kedua vektor tersebut sama.

Contoh soal Kesamaan Dua Vektor :

1). DIketahui titik $ A(2,-1,1) $ , $ B(1,0,3) $ , $ C(p, 1, 3) $ dan $ D(-1, q, r) $. Jika $ \vec{AB} = \vec{CD} $ , maka tentukan :
a). Koordinat titik C dan D ,
b). Nilai $ p + q + r $
Penyelesaian :
a). Koordinat titik C dan D ,
$ \begin{align} \vec{AB}& = \vec{CD} \\ B - A & = D - C \\ \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 \\ q \\ r \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} p \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1 - 2 \\ 0 - (-1) \\ 3 - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 - p \\ q - 1 \\ r - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor, maka kita peroleh persamaan :
$ -1 = -1 - p \rightarrow p = 0 $
$ 1 = q - 1 \rightarrow q = 2 $
$ 2 = r - 3 \rightarrow r = 5 $
Sehingga koordinat titik C dan D adalah
$ C(p,1,3) = (0,1,3) $ dan $ D(-1,q,r) = (-1,2,5) $.

b). Nilai $ p + q + r $
$ p + q + r = 0 + 2 + 5 = 7 $
Jadi, nilai $ p + q + r = 7 $.

2). Perhatikan gambar jajar genjang berikut ini,
Dari gambar tersebut, tentukan :
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
b). Koordinat titik S.
Penyelesaian :
a). Panjang vektor $ \vec{SR} $ dan vektor $ \vec{PS} $ ,
*). Panjang vektor $ \vec{SR} $ ,
Perhatikan gambar, karena PQRS adalah jajar genjang, maka panjang SR = panjang PQ. Dilain pihak, vektor $ \vec{SR} $ memiliki arah yang sama dengan vektor $ \vec{PQ} $ , sehingga vektor $ \vec{SR} = \vec{PQ} $. Panjang vektor $ \vec{SR} $ sama dengan panjang vektor $ \vec{PQ} $.
$ |\vec{SR} | = |\vec{PQ}| = \sqrt{(3-1)^2+(1-(-2))^2+(-2-0)^2)} $
$ = \sqrt{4 + 9 + 4} =\sqrt{17} $
*). Panjang vektor $ \vec{PS} $ ,
Dengan alasan yang sama seperti vektor $ \vec{SR} $, maka $ \vec{PS} = \vec{QR} $ ,
$ |\vec{PS}| = |\vec{QR}| = \sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2+(1-(-2))^2} $
$ = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $

b). Koordinat titik S.
Pada bagian (a) di atas, kita peroleh $ \vec{SR} = \vec{PQ} $ dan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, sehingga koordinat titik S bisa kita tentukan :
$ \begin{align} \vec{SR} & = \vec{PQ} \\ R - S & = Q - P \\ S & = R - Q + P \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 7 \\ 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5- 3 + 1 \\ 7 - 1 + (-2) \\ 1 - (-2) + 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, koordinat titik S adalah $ S(3, 4, 3) $.
Kita juga bisa menggunakan kesamaan $ \vec{PS} = \vec{QR} $, juga memberikan hasil yang sama yaitu koordinat titik S adalah $ S(3, 4, 3) $.

3). Diketahui vektor $ \vec{u} = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) $. Jika $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka tentukan :
a). Nilai $ m - n $!
b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Penyelesaian :
a). Nilai $ m - n $!
$ \begin{align} \vec{u} & = \vec{v} \\ \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}m - 1 \\ -5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) \end{align} $
terbentuk persamaan :
$ \frac{1}{2}m - 1 = -2 \rightarrow \frac{1}{2}m = -1 \rightarrow m = -2 $
$ -5 = 3 - 2n \rightarrow 2n = 8 \rightarrow n = 4 $.
Sehingga nilai $ m - n = -2 - 4 = -6 $

b). vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka kita gunakan salah satu saja.
$ \vec{u} = \vec{v} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 3-2n \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) $

c). nilai $ |\vec{u}| + |\vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka panjang kedua vektor juga sama yaitu :
$|\vec{u}| + |\vec{v}| = 2|\vec{u}|=2\sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = 2\sqrt{4 + 25} = 2\sqrt{29} $.

d). nilai $ | \vec{u} + \vec{v}| $
Karena $ \vec{u} = \vec{v} $ , maka
$ \vec{u} + \vec{v} = 2\vec{u} = 2 \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4 \\ -10 \end{matrix} \right) $
Sehingga :
$ \begin{align} | \vec{u} + \vec{v}| & = \sqrt{(-4)^2 + (-10)^2} \\ & = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \\ & = \sqrt{4 \times 29} = 2\sqrt{29} \end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{u} + \vec{v}| = 2\sqrt{29} $.

Vektor-vektor yang sejajar
       Dua vektor atau lebih sejajar memiliki kemiringan vektor yang sama yaitu searah atau berlawanan arah antara vektor-vektor tersebut dimana panjang-panjang vektornya tidak harus sama. Dengan kata lain, jika dua vektor sejajar maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Perhatikan ilustrasi berikut ini.

$ \spadesuit \, $ Definisi dua vektor sejajar
Vektor $ \vec{p} $ sejajar vektor $ \vec{q} $ ditulis $ \vec{p} // \vec{q} $ apabila $ \vec{p} = k\vec{q} \, $ , dengan $ k $ skalar , $ k \in R $. $ k $ kita sebut sebagai pengali atau kelipatan vektor yang lainnya.
Ada beberapa kemungkinan nilai $ k $ :
1). Jika $ k > 0 $ , maka $ \vec{p} $ searah dengan $ \vec{q} $ ,
2). Jika $ k < 0 $ , maka $ \vec{p} $ berlawanan arah dengan $ \vec{q} $ ,
3). Jika $ k = 1 $ , maka $ \vec{p} $ sama dengan $ \vec{q} $ ,
4). Jika $ k = -1 $ , maka panjang kedua vektor sama dan berlawan arah.

Contoh soal kesamaan dua vektor dan vektor sejajar.

4). Perhatikan gambar-gambar vektor di dimensi tiga berikut
Misalkan vektor $ \vec{AB} = \vec{p} $ , $ \vec{AD} = \vec{q} $ dan $ \vec{AE} = \vec{r} $. Tentukan vektor-vektor yang sama dan yang berlawanan arah!
Penyelesaian :
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{p} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{GH} = -\vec{p} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{q} $ adalah
$ \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{q} $
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{p} $ adalah
$ \vec{HE} = -\vec{q} $
*). Vektor yang sama dengan $ \vec{r} $ tidak ada
*). Vektor yang berlawanan arah dengan $ \vec{r} $ adalah
$ \vec{FB} = \vec{GC} = \vec{HD} = -\vec{r} $

5). Diketaui vektor $ \vec{a} = -\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan memiliki panjang yang sama, maka tentukan vektor $ \vec{b} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{b} $ berlawanan arah dengan vektor $ \vec{b} $ dan memiliki panjang yang sama maka berlaku $ \vec{b} = -\vec{a} $. Sehingga :
$ \begin{align} \vec{b} & = -\vec{a} \\ & = -(-\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}) \\ & = \vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{k} \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{b} = \vec{i} - 3\vec{j} - 2\vec{k} $.

6). Diketahui $ \vec{m} = 6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k} $ dan $ \vec{n} $ vektor yang sejajar namun berlawanan arah dengan $ \vec{m} $. Jika panjang vektor $ \vec{n} $ adalah 21, maka tentukan vektor $ \vec{n} $!
Penyelesaian :
*). Karena vektor $ \vec{n} $ dan $ \vec{m} $ sejajar, maka berlaku $ \vec{n} = c\vec{m} $ dan nilai $ c < 0 $ untuk syarat berlawanan arah.
*). Menentukan vektor $ \vec{n} $ :
$ \vec{n} = c\vec{m} = c(6\vec{i}-2\vec{j} + 3\vec{k}) = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} $
*). Menentukan nilai $ c $ dengan $ |\vec{n}| = 21 $
$ \begin{align} |\vec{n}| & = 21 \\ \sqrt{(6c)^2 + (-2c)^2 + (3c)^2} & = 21 \\ \sqrt{36c^2 + 4c^2 + 9c^2} & = 21 \\ \sqrt{49c^2} & = 21 \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 49c^2 & = 21^2 \\ c^2 & =\frac{21 \times 21}{49} \\ c^2 & = 9 \\ c & = \pm 3 \end{align} $
Karena berlawanan arah, maka $ c < 0 $ , sehingga $ c = -3 $ yang memenuhi.
Sehingga vektor $ \vec{n} $ adalah
$ \vec{n} = 6c\vec{i}-2c\vec{j} + 3c\vec{k} = -18\vec{i} +6\vec{j} -9\vec{k} $

7). Jika vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) $ sejajar, maka tentukan nilai $ x + y + 9 $ !
Penyelesaian :
*). Karena kedua vektor sejajar, maka salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya yang dapat kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$ \begin{align} \vec{p} & = k\vec{q} \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 3x \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-1 \\ 4 \\ y - x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -k \\ 2k \\ 3kx \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 4 = 2k \rightarrow k = 2 $
$ x - 1 = -k \rightarrow x - 1 = -2 \rightarrow x = -1 $
$ y - x = 3kx \rightarrow y - (-1) = 3.2.(-1) \rightarrow y + 1 = - 6 \rightarrow y = -7 $
Sehingga nilai :
$ x + y + 9 = -1 + (-7) + 9 = 1 $.
Jadi, nilai $ x + y + 9 = 1 $.

8). Diketahui vektor $ \vec{a} = (2, -3 , 1) $ , $ \vec{b} = ( 4, 1, -2) $ , $ \vec{c} = (-6, 9, -3) $ dan $ \vec{d} = (8,2,-1) $. Diantara keempat vektor tersebut, manakah pasangan vektor yang sejajar!
Penyelesaian :
*). Dua buah vektor sejajar memiliki syarat salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya.
*). Pasangan vektor-vektor yang sejajar adalah :
-). vektor $ \vec{a} $ sejajar dengan $ \vec{c} $ karena $ \vec{c} = -3\vec{a} $
-). vektor $ \vec{b} $ sejajar dengan $ \vec{d} $ karena $ \vec{d} = 2\vec{b} $
*). Lalu bagaimana cara mengecek apakah dua vektor itu sejajar atau tidak? Untuk mengecek apakah sejajar atau tidak pada dua buah vektor, maka kita bentuk $ \vec{p} = k\vec{q} $ , lalu kita cari nilai $ k $ dari kesamaan vektor. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh sama semua, maka kedua vektor sejajar. Jika nilai $ k $ yang kita peroleh tidak sama semua, maka kedua vektor tidak sejajar.
Berikut kita ambil beberapa contoh pengecekan:
-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} -6 \\ 9 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -6k \\ 9k \\ -3k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = -6k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ -3 = 9k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
$ 1 = -3k \rightarrow k = -\frac{1}{3} $
Karena semua nilai $ k $ sama yaitu $ k = -\frac{1}{3} $ , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{c} $ sejajar, dimana dapat kita tuliskan sebagai kelipatan yaitu :
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{c} \\ \vec{a} & = -\frac{1}{3}\vec{c} \\ -3\vec{a} & = \vec{c} \\ \vec{c} & = -3\vec{a} \end{align} $

-). Cek vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $
$ \begin{align} \vec{a} & = k\vec{b} \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = k\left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4k \\ k \\ -2k \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
Dari kesamaan vektor kita peroleh :
$ 2 = 4k \rightarrow k = \frac{1}{2} $
$ -3 = k \rightarrow k = -3 $
$ 1 = -2k \rightarrow k = -\frac{1}{2} $
Karena semua nilai $ k $ tidak sama semua , maka vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ tidak sejajar.

9). Diketahui vektor $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2x^2 - 4x - 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 - 6x - 45 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $.
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor searah
c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah
Penyelesaian :
a). Apakah vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar?
Dua vektor sejajar jika vektor yang satu kelipatan dari vektor yang lainnya atau dapat kita tulis $ \vec{p} = k\vec{q} $.
$ \begin{align} \vec{p} & = \left( \begin{matrix} 2x^2 - 4x - 30 \\ -x^2 + 2x + 15 \\ 3x^2 - 6x - 45 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} (x^2 - 2x - 15).2 \\ (x^2 - 2x - 15). (-1) \\ (x^2 - 2x - 15).3 \end{matrix} \right) \\ & = (x^2 - 2x - 15) \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \vec{p} & = (x^2 - 2x - 15) \vec{q} \\ \vec{p} & = k \vec{q} \end{align} $
Artinya vektor $ \vec{p} $ kelipatan dari vektor $ \vec{q} $ dengan $ k = x^2 - 2x - 15 $ sehingga vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan vektor $ \vec{q} $.

b). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor searah
Sesuai bagian (a), vektor $ \vec{p} $ sejajar dengan $ \vec{q} $. Agar kedua vektor searah, maka nilai $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan syarat $ k > 0 $ dan menyelesaikan pertidaksamaannya.
$ \begin{align} k & > 0 \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
Garis bilangannya :
Solusinya : $ x < -3 \vee x > 5 $.
Jadi, kedua vektor akan searah jika nilai $ x $ memenuhi $ x < - 3 \, $ atau $ x > 5 $.

c). Jika vektor $ \vec{p} $ dan $ \vec{q} $ sejajar, tentukan nilai $ x $ agar kedua vektor berlawan arah
Untuk solusi bagian (c) ini adalah kebalikan dari solusi bagian (b) yaitu syarat berlawanan arah adalah $ k < 0 $.
Jadi, kedua vektor akan berlawanan arah jika nilai $ x $ memenuhi $ -3 < x < 5 $.

Titik-titik yang segaris (Kolinear)
       Jika diketahui beberapa titik segaris (lebih dari dua titik), maka dapat kita buat vektor dari masing-masing dua titik yang segaris (kolinear) juga. Karena vektor-vektor yang terbentuk segaris, maka otomatis semua vektor yang terbentuk adalah sejajar, sehingga langkah selanjutnya bisa kita terapkan konsep vektor-vektor yang sejajar seperti teori di atas sebelumnya.

       Misalkan terdapat titik A, B, dan C segaris, maka bisa kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BA} $ , $ \vec{AC} $, $ \vec{CA} $ , $ \vec{BC} $ dan $ \vec{CB} $ yang segaris juga (mengakibatkan sejajar) dimana salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lainnya. Artinya dapat juga kita tulis $ \vec{AB} = k\vec{BC} $ atau $ \vec{AB} = n\vec{AC} $ dan lainnya asalkan vektornya melibatkan lebih dari dua titik.

Contoh soal beberapa titik segaris (kolinear) :

10). Diketahui tiga titik yaitu $ A (-3,-8,-3) $ , $ B(1, -2, -1) $ dan $ C(3,1,0) $. Coba selidiki, apakah titik A, B, dan C terletak pada satu garis (segaris/kolinear)?
Pembahasan :
*). Untuk menentukan segaris atau tidak, cukup kita bentuk dua vektor dari titik-titik yang ada dan kita cek apakah salah satu vektor adalah kelipatan dari vektor yang lain, jika ya maka ketiga titik segaris (dan berlaku sebaliknya).
*). Misal kita bentu vektor :
$ \vec{AB} = B - A = (1 - (-3), -2 - (-8), -1-(-3)) = (4, 6, 2) $
$ \vec{BC} = C - B = ( 3 - 1, 1 - (-2) , 0 - (-1) ) = ( 2, 3, 1 ) $ *). Terlihat bahwa $ \vec{AB} $ kelipatan dari vektor $ \vec{BC} $ yaitu $ \vec{AB} = 2\vec{BC} $.
Artinya dapa kita simpulkan bahwa ketiga titik A, B, dan C segaris (kolinear).

11). Agar titik $ A(2,y,-8) $ , $ B(x, 3y,-2) $ , dan $ C (5, 4y, z ) $ terletak pada satu garis lurus, maka nilai $ x + z = ....$ !
Penyelesaian :
*). Agar ketiga titik segaris(kolinear) , maka dua vektor yang terbentuk dari ketiga titik tersebut harus saling berkelipatan. Misalkan kita bentuk vektor $ \vec{AB} $ dan vektor $ \vec{BC} $, kita peroleh hubungan :
$ \begin{align} \vec{AB} & = k \vec{BC} \\ B - A & = k (C - B) \\ \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 2 \\ y \\ -8 \end{matrix} \right) & = k \left[ \left( \begin{matrix} 5 \\ 4y \\ z \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ 3y \\ -2 \end{matrix} \right) \right] \\ \left( \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = k \left( \begin{matrix} 5 - x \\ y \\ z + 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x - 2 \\ 2y \\ 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} (5 - x)k \\ ky \\ (z + 2)k \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan dua vektor kita peroleh :
$ 2y = ky \rightarrow k = 2 $
$ x - 2 = (5 - x)k \rightarrow x - 2 = (5 - x).2 \rightarrow x = 4 $
$ 6 = (z + 2)k \rightarrow 6 = (z + 2). 2 \rightarrow z = 1 $
Sehingga nilai $ x + z = 4 + 1 = 5 $.
Jadi, nilai $ x + z = 5 $.

       Demikian pembahasan materi Kesamaan Dua Vektor, Vektor Sejajar dan Segaris dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Penjumlahan dan Pengurangan pada Vektor".

Vektor Basis Normal Standar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Vektor Basis Normal Standar yang merupakan salah satu dari bagian "materi vektor tingkat SMA". Pada artikel sebelumnya tentang "Pengertian Vektor dan Penulisannya", sebuah vektor dapat kita sajikan atau tulis dalam bentuk vektor baris atau vektor kolom atau dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \, \vec{k} $. Nah, pada artikel Vektor Basis Normal Standar ini akan kita bahas apa pengertian dari vektor basis itu sendiri. Namun sebelum mempelajari apa itu vektor basis atau apa itu basis sebuah vektor, kita akan mempelajari terlebih dahulu materi kombinasi linear vektor. Kombinasi linear vektor berkaitan erat dengan perkalian skalar dengan vektor dan penjumlahan vektor, sehingga kita juga akan bahas sekilas tentang perkalian skalar dengan vektor dan penjumlahan vektor secara aljabar dimana caranya sama dengan "operasi pada matriks". Untuk lebih mendetail tentang operasi vektor khususnya "penjumlahan dan pengurangan vektor" dan "perkalian skalar dengan vektor" akan kita bahas dalam artikel lain secara lengkap.

Penjumlahan dan pengurangan vektor serta perkalian skalar
$ \clubsuit \, $ Penjumlahan dan pengurangan vektor
       Secara aljabar, penjumlahan dan pengurangan dua vektor dilakukan dengan menjumlahkan unsur-unsur yang seletak.
-). vektor di dimensi dua (R$^2$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2) $ dan $ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2) $
-). vektor di dimensi tiga (R$^3$)
       Misalkan terdapat vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2, \, a_3) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $, maka
$ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \, a_2 + b_2 , \, a_3 + b_3) $ dan
$ \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \, a_2 - b_2, \, a_3 - b_3) $

$ \spadesuit \, $ Perkalian Skalar
       Secara aljabar, perkalian skalar dengan vektor hasilnya semua unsur pada vektor dikalikan dengan skalarnya. Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, \, b_2, \, b_3) $ serta terdapat skalar $ k $, maka
$ k\vec{a} = (ka_1 , \, ka_2) \, $ dan $ k\vec{b} = (kb_1, \, kb_2, \, kb_3 ) $
Kombinasi Linear vektor dan Basis
       Misalkan $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ adalah vektor-vektor dalam R$^2$ atau di R$^3$. Setiap vektor $ \vec{v} $ dalam R$^2$ atau di R$^3$ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dalam $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $, yaitu :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3}+...+k_r\vec{v_r} $,
dengan $ k_1, k_2, k_3, ...,k_r $ adalah skalar-skalar real. Jika $ k_1, k_2, k_3, ...,k_r $ tunggal, maka vektor-vektor $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ ini disebut basis untuk vektor di R$^2$ atau di R$^3$.

Contoh soal kombinasi linear dan basis :

1). Misalkan terdapat vektor $ \vec{v_1} = (2 , \, 0) $ , $ \vec{v_2} = (3 , \, 1) $ , $ \vec{v_3} = (2, \, 3 ) $ dan $ \vec{v} = ( 6 , \, 4) $.
a). Apakah $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?
b). Apakah $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?

Penyelesaian :
a). Apakah $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?
Misalkan terdapat $ k_1 $ dan $ k_2 $, sehingga memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} $ . Jika terdapat tunggal $ k_1 $ dan $ k_2 $ yang memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} $ , maka $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$, jika tidak tunggal, maka bukan merupakan vektor basis.
$ \begin{align} \vec{v} & = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & = k_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +k_2\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 \\ 0 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 + 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) \end{align} $
terbentuk persamaan :
$ k_2 = 4 $
$ 6 = 2k_1 + 3k_2 \rightarrow 6 = 2k_1 + 3.4 \rightarrow 6 = 2k_1 + 12 \rightarrow k_1 = - 3 $
kita peroleh nilai $ k_1 = -3 $ dan $ k_2 = 4 $. Karena nilai $ k_1 $ dan $ k_2 $ hanya ada satu masing-masing yaitu $ k_1 = -3 $ dan $ k_2 = 4 $, artinya ada tunggal nilai $ k_1 $ dan $ k_2 $, sehingga $ \vec{v_1} $ dan $ \vec{v_2} $ adalah vektor basis untuk R$^2$.

b). Apakah $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ adalah vektor basis untuk R$^2$?
Misalkan terdapat $ k_1, k_2, k_3 $ yang memenuhi $ \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} + k_3\vec{v_3} $. Mari kita cek, apakah terdapat tunggal nilai $ k_1, k_2, k_3 $ .
$ \begin{align} \vec{v} & = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2} + k_3\vec{v_3} \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & = k_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) +k_2\left( \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right) +k_3\left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 \\ 0 \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 3k_2 \\ k_2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k_3 \\ 3k_3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix} \right) & =\left( \begin{matrix} 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 \\ k_2 + 3k_3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Terbentuk persamaan :
$ 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 = 6 \, $ ......(i)
$ k_2 + 3k_3 = 4 \, $ ........(ii)
Karena hanya terbentuk dua persamaan dan terdapat tiga variabel $ k_1, k_2, k_3 $ , maka akan ada banyak penyelesaian. Misalkan nilai $ k_3 = t $, maka dari persamaan (ii) :
$ k_2 + 3k_3 = 4 \rightarrow k_2 + 3t = 4 \rightarrow k_2 = 4 - 3t $.
Dari pers(i) :
$ \begin{align} 2k_1 + 3k_2 + 2k_3 & = 6 \\ 2k_1 + 3( 4 - 3t) + 2t & = 6 \\ 2k_1 + 12 - 9t + 2t & = 6 \\ 2k_1 & = -6 + 7t \\ k_1 & = -3 + \frac{7}{2}t \end{align} $
Sehingga nilai $ k_1, k_2, $ dan $ k_3 $ :
$ k_3 = t, k_2 = 4 - 3t $ , dan $ k_1 = -3 + \frac{7}{2}t $.
Artinya solusinya tidak tunggal karena tergantung dari nilai $ t $.
Misalkan $ t = 0 \rightarrow k_3 = 0 , k_2 = 4, k_1 = - 3 $
Misalkan $ t = 2 \rightarrow k_3 = 2 , k_2 = -2, k_1 = 4 $
dan lainnya.
Jadi, $ \vec{v_1}, \, \vec{v_2} $ dan $ \vec{v_3} $ bukan vektor basis untuk R$^2$.

Vektor Basis normal Standar
       Misalkan V menyetakan dimensi R$^2 $ atau di R$^3$ atau di ruang vektor lainnya, vektor-vektor $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ disebut basis dari V jika untuk setiap $ \vec{v} \in V $, vektor $ \vec{v} $ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear secara tunggal dari $ r $ vektor tersebut, yakni :
$ \, \, \, \, \, \, \, \vec{v} = k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v_2}+k_3\vec{v_3}+...+k_r\vec{v_r} $,
dengan $ k_1, k_2, k_3 , ... , k_r $ tunggal.

       Jika masing-masing vektor tersebut panjangnya 1 satuan dan saling tegak lurus, maka $ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, ..., \vec{v_r} $ disebut vektor basis normal standar dalam V.

Berdasarkan definisi dari Vektor Basis normal Standar, maka :
(i). vektor $ \vec{i} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{j} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) $ adalah vektor basis normal standar dalam ruang vektor di R$^2$.
(ii). vektor $ \vec{i} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $ , $ \vec{j} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) $ $ \vec{k} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) $ adalah vektor basis normal standar dalam ruang vektor di R$^3$.


Contoh Soal Vektor Basis Normal Standar :

2). Diketahui koordinat $ A (-1, 3) $ dan $ B (2, 0 ) $ . Tuliskan vektor $ \vec{AB} $ dalam vektor baris, vektor kolom, dan dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{AB} $ :
$ \vec{AB} = B - A = ( 2 - (-1) , \, 0 - 3) = (3, \, -3) \, $ (vektor baris),
Vektor kolomnya : $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) $
vektor basis : $ \vec{AB} = 3\vec{i} - 3\vec{j} $

*). Mari kita cek khusus penyajian dalam vektor basis untuk contoh soal nomor 2 ini :
$ \begin{align} \vec{AB} & = 3\vec{i} - 3\vec{j} \\ & = 3\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) - 3\left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 - 0 \\ 0 - 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ - 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, penyajian $ \vec{AB} = 3\vec{i} - 3\vec{j} \, $ adalah benar yaitu menghasilkan vektor $ \vec{AB} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) $

3). Diketahui koordinat $ P (1, 0 , -2) $ dan $ Q (3, -1, 1) $ . Tuliskan vektor $ \vec{PQ} $ dalam vektor baris, vektor kolom, dan dalam vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \vec{j} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q - P = ( 3 - 1, \, -1 - 0 , \, 1 - (-2) ) = (2, \, -1 , \, 3 ) $ (vektor baris),
Vektor kolomnya : $ \vec{PQ} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $
vektor basis : $ \vec{PQ} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} $

*). Mari kita cek khusus penyajian dalam vektor basis untuk contoh soal nomor 3 ini :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} \\ & = 2\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + 3\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - 0 + 0 \\ 0 - 1 + 0 \\ 0 - 0 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, penyajian $ \vec{PQ} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k} \, $ adalah benar yaitu menghasilkan vektor $ \vec{PQ} = (2, \, -1 , \, 3 ) $

4). Tentukan penyajian vektor $ \vec{a} = (3, \, 0 , \, -5 ) $ dalam bentuk vektor basis $ \vec{i} , \, \vec{j} , \vec{j} $ !
Penyelesaian :
Penyajian dalam vektor basisnya yaitu : $ \vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{k} $.

5). Ubahlah penyajian vektor dibawah ini menjadi vektor baris :
a). $ \vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} \, $ di R$^2$
b). $ \vec{b} = 3\vec{i} \, $ di R$^2$
c). $ \vec{c} = -4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \, $ di R$^3$
d). $ \vec{d} = 2\vec{j}-7\vec{k} \, $ di R$^3$
e). $ \vec{e} = -\vec{i} + 3\vec{j} \, $ di R$^3$
Penyelesaian :
*). Berikut penyajian vektor masing-masing dalam vektor baris :
a). $ \vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} \, $ di R$^2$
vektor baris : $ \vec{a} = (2, \, -3) $
b). $ \vec{b} = 3\vec{i} \, $ di R$^2$
vektor baris : $ \vec{b} = (3, \, 0) $
c). $ \vec{c} = -4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{c} = (-4, \, 1, \, 2) $
d). $ \vec{d} = 2\vec{j}-7\vec{k} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{d} = (0, \, 2 , \, -7) $
e). $ \vec{e} = -\vec{i} + 3\vec{j} \, $ di R$^3$
vektor baris : $ \vec{e} = (-1, \, 3 , \, 0 ) $

6). Tentukanlah panjang dari vektor-vektor berikut :
a). $ \vec{p} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $ di R$^2$,
b). $ \vec{q} = 3\vec{i} + \vec{j}- 2\vec{k} $ di R$^3$,
Penyelesaian :
*). Berikut panjang vektor masing-masing :
a). $ \vec{p} = -2\vec{i} + 3\vec{j} $ di R$^2$,
panjang vektor $ \vec{p} $ :
$ |\vec{p}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 } = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $
b). $ \vec{q} = 3\vec{i} + \vec{j}- 2\vec{k} $ di R$^3$,
panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2 } = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} $

       Demikian pembahasan materi Vektor Basis Normal Standar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Kesamaan Dua Vektor dan Sejajar, dan Segaris".

Vektor Posisi dan Vektor Nol

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari materi "pengertian vektor dan penulisannya" dan materi "panjang vektor dan vektor satuan", nah pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Vektor Posisi dan Vektor Nol, dimana materi ini juga bagian dari "materi vektor tingkat SMA" yang akan kita bahas. Kita bagi menjadi dua bagian pembahasan yaitu vektor posisi dan vektor nol. Berikut penjelasan masing-masing vektor posisi dan vektor nol.

Vektor Posisi
       Misalkan suatu vektor kita gambar pada bidang Cartesius, vektor posisi suatu titik adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal koordinat (pusat koordinat) dan titik ujungnya di titik itu. Titik pusat koordinat adalah titik $ (0,0 ) $ di R$^2$ dan titik $ (0,0,0) $ di R$^3$.

$\clubsuit \, $ Vektor posisi di R$^2$
     Misalkan titik P adalah sebuah titik pada bidang koordinat Cartesius di R$^2$, vektor posisi dari titik P dilambangkan $ \vec{OP} = \vec{p} $. Jika koordinat titik P adalah $ P(x_1,y_1) $, maka vektor posisi dari titik P adalah
$ \vec{OP} = \vec{p} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) \, $
atau dalam vektor baris yaitu $ \vec{OP} = \vec{p} = (x_1 , \, y_1) $.
Penulisan vektor posisi dari titi P boleh $ \vec{OP} $ atau $ \vec{p} $.

$\clubsuit \, $ Vektor posisi di R$^3$
     Misalkan titik Q adalah sebuah titik pada bidang koordinat Cartesius di R$^3$, vektor posisi dari titik Q dilambangkan $ \vec{OQ} $ atau $ \vec{q} $. Jika koordinat titik Q adalah $ Q(x_1,y_1,z_1) $, maka vektor posisi dari titik Q adalah
$ \vec{OQ} = \vec{q} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right) \, $
atau dalam vektor baris yaitu $ \vec{OQ} = \vec{q} = (x_1 , \, y_1 , \, z_1) $.
Catatan :
*). Jika $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right) $ adalah vektor posisi titik P, maka titik P berkoordinat $(x_1,y_1) $
*). Jika $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{matrix} \right) $ adalah vektor posisi titik Q, maka titik Q berkoordinat $(x_1,y_1,z_1) $

Contoh Soal vektor posisi :

1). Tentukan vektor posisi dari koordinat titik-titik $ A(1,5,2) $, $ B(-2,0,3) $ dan $ C(3,-1,4) $!
Penyelesaian :
*). Berikut adalah vektor posisi masing-masing vektor :
-). vektor posisi titik A :
$ \vec{OA} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} \right) \, $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix} \right) $
-). vektor posisi titik B :
$ \vec{OB} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \, $ atau $ \vec{b} = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \right) $
-). vektor posisi titik C :
$ \vec{OC} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \, $ atau $ \vec{c} = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{matrix} \right) $

2). Diketahui vektor posisi $ \vec{p} = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $ dan $ \vec{q} = \left( \begin{matrix} -3 \\ 4 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). Koordinat titik P dan titik Q,
b). Vektor $ \vec{PQ} $.
Penyelesaian :
a). Koordinat titik P dan titik Q,
*). Koordinat titik masing-masing :
-). Koordinat titik P adalah $ P(2, -1) $
-). Koordinat titik Q adalah $ Q(-3,4) $.
b). Vektor $ \vec{PQ} $.
*). menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q - P = ( -3 - 2, \, 4 - (-1)) = ( -5, \, 5) $
atau dalam vektor kolom : $ \vec{PQ} = \left( \begin{matrix} -5 \\ 5 \end{matrix} \right) $

Vektor Nol
       Vektor Nol adalah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya berimpit. Suatu vektor nol memiliki panjang nol. Arah dari vektor nol tidak tentu. Misalkan vektor $ \vec{AA} $, $ \vec{BB} $ , $ \vec{CC} $ , dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor nol dilambangkan $ \vec{o} $. Vektor nol untuk di R$^2$ adalah $ \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $ dan vektor nol untuk di R$^3$ adalah $ \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $.

Ilustrasi vektor Nol :
Perhatikan gambar vektor berikut ini,
Dari gambar, vektor nol $ \vec{AA} $ dapat kita peroleh dengan menjumlahkan beberapa vektor sehingga titik pangkal vektor $ \vec{AA} $ adalah titik A dan titik ujung vektor $ \vec{AA} $ adalah titik A juga, dimana $ \vec{AA} $ bisa kita peroleh dengan penjumlahan :
$ \vec{AA} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} $ .
Untuk konsep penjumlahan vektor akan kita pelajari pada artikel lainnya di blog koma ini yaitu pada artikel "Penjumlahan dan Pengurangan Vektor".

Contoh soal vektor nol :

3). Tentukan vektor nol dari titik-titik $ A(-2,3) $ dan $ B(1, -3, -1 ) $!
Penyelesaian :
*). Vektor nol dari masing-masing koordinat :
-). vektor nol dari titik $ A(-2,3) $
$ \vec{AA} = A - A = (-2 - (-2), \, 3 - 3 ) = (0, \, 0 ) $
atau dalam vektor kolom : $ \vec{AA} = \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $
-). vektor nol dari titik $ B(1, -3, -1 ) $
$ \vec{BB} = B - B = (1 -1 , \, -3 - (-3) , \, -1 - (-1) ) = (0, \, 0 , \, 0 ) $
atau dalam vektor kolom : $ \vec{BB} = \vec{o} = \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) $.

       Demikian pembahasan materi Vektor Posisi dan Vektor Nol dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Vektor Basis Normal Standar".

Panjang Vektor dan Vektor Satuan

         Blog Koma - Setelah mempelajari "materi vektor" yaitu "pengertian vektor dan penulisannya", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan. Seperti yang kita ketahui, vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah, besar vektor secara matematika yang dimaksud adalah panjang vektor itu sendiri. Panjang sebuah vektor adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektornya. Karena secara aljabar, titik pangkal vektor dan titik ujung vektor dalam bentuk koordinat baik dimensi dua maupun dimensi tiga, maka panjang vektor dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Misalkan ada titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B(x_2,y_2) $, maka jarak titik A ke titik B dapat dihitung dengan rumus jarak yaitu sama dengan $ \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $. Karena panjang vektor bisa dihitung dengan rumus jarak, maka panjang vektor $ \vec{AB} $ akan sama dengan panjang vektor $ \vec{BA} $. Panjang vektor $ \vec{AB} $ dilambangkan dengan $ |\vec{AB}| $. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan, teman-teman harus menguasai materi "pengertian vektor dan penulisannya" terlebih dahulu.

         Bagaimana dengan vektor satuan? Vektor satuan adalah vektor dengan panjang satu satuan. Tentu tidak semua vektor termasuk vektor satuan karena panjang setiap vektor bervariasi. Akan tetapi, setiap vektor yang bukan vektor satuan bisa kita cari vektor satuannya. Misalkan ada vektor $ \vec{a} $ , maka vektor satuan dari vektor $ \vec{a} $ dilambangkan dengan $ e_\vec{a} $. Vektor satuan dari $ \vec{a} $ searah dengan vektor $ \vec{a} $ itu sendiri. Berikut kita rangkum rumus untuk mencari Panjang Vektor dan Vektor Satuan.

Panjang Vektor
*). Panjang vektor dimensi dua
       Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
       Panjang vektor $ \vec{a} = |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} $
*). Panjang vektor dimensi Tiga
       Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
       Panjang vektor $ \vec{b} = |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $
*). Panjang vektor Diketahui titik pangkal dan ujung
-). Dimensi dua :
       Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2) $ dan $ B(b_1,b_2) $
       Panjang vektor $ \vec{AB} = |\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2} $
       Panjang vektor $ \vec{BA} = |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} $
-). Dimensi tiga :
       Misalkan diketahui titik $A(a_1,a_2,a_3) $ dan $ B(b_1,b_2,b_3) $
       $|\vec{AB}| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2} $
       $ |\vec{BA}| = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2} $
dengan $ |\vec{AB}| = |\vec{BA}| $
Vektor Satuan
*). Vektor satuan dimensi dua
       Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1 , \, a_2) $
       Vektor satuan $ \vec{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} (a_1 , \, a_2) $
*). Vektor satuan dimensi Tiga
       Misalkan vektor $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $
       Vektor satuan $ \vec{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{1}{\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} (b_1 , \, b_2 , \, b_3) $

Contoh soal Panjang Vektor dan Vektor Satuan

1). Tentukan panjang vektor masing-masing berikut ini
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $

Penyelesaian :
a). vektor $ \vec{a} = ( 2, \, -3 ) $
Panjang vektor $ \vec{a} $ adalah :
$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} $

b). vektor $ \vec{b} = ( 1, \, -1 , \, 5 ) $
Panjang vektor $ \vec{b} $ adalah :
$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27} $

c). vektor $ \vec{AB} $ dengan koordinat titik $ A(1, 2) $ dan $ B(-2, 3) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $
-). Cara kedua :
Kita cari dulu vektor $ \vec{AB} $ yaitu :
$ \vec{AB} = B - A = (-2 - 1 , \, 3 - 2) = (-3 , \, 1 ) $
Panjang vektor $ \vec{AB} $ adalah :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $

d). vektor $ \vec{CD} $ dengan koordinat titik $ C(0, -1, 3) $ dan $ D(-2, 0 , 1) $
-). Cara pertama :
Panjang vektor $ \vec{CD} $ adalah :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2-0)^2 + (0-(-1))^2 + (1 -3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
-). Cara kedua :
Kita cari dulu vektor $ \vec{CD} $ yaitu :
$ \vec{CD} = D - C = (-2 - 0 , \, 0-(-1), \, 1 - 3) = (-2 , \, 1 , \, -2) $
Panjang vektor $ \vec{CD} $ adalah :
$ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1+4} = \sqrt{9} = 3 $

2). Tentukan vektor satuan dari masing-masing vektor berikut :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
Penyelesaian :
a). $ \vec{p} = (-1, \, 3) $
*). Panjang vektor $ \vec{p} $ :
$ |\vec{p}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{p} $ yaitu :
$ e_\vec{p} = \frac{1}{|\vec{p}|} \, \vec{p} = \frac{1}{\sqrt{10}} (-1, \, 3) = \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}, \, \frac{3}{\sqrt{10}} \right) $

b). $ \vec{q} = (1, \, 2, \, -2 ) $
*). Panjang vektor $ \vec{q} $ :
$ |\vec{q}| = \sqrt{(1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{q} $ yaitu :
$ e_\vec{q} = \frac{1}{|\vec{q}|} \, \vec{q} = \frac{1}{3} (1, \, 2, \, -2 ) = \left( \frac{1}{3}, \, \frac{2}{3}, \, -\frac{2}{3} \right) $

3). Diketahui koordinat titik $ A(3, -1, -2 ) $ dan $ B( 0, -1, 2) $. Tentukan vektor satuan dari vektor $ \vec{BA} $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{BA} $ :
$ \vec{BA} = A - B = (3-0, \, -1 - (-1), \, -2 - 2) = (3, \, 0 , \, - 4) $
*). Panjang vektor $ \vec{BA} $ :
$ |\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
*). Vektor satuan dari $ \vec{BA} $ yaitu :
$ e_\vec{BA} = \frac{1}{|\vec{BA}|} \, \vec{BA} = \frac{1}{5} (3, \, 0 , \, - 4) = \left( \frac{3}{5}, \, 0, \, -\frac{4}{5} \right) $

4). Diketahui koordinat titik $ P(1,2) $ dan $ Q(-2,k) $. Jika panjang vektor $ \vec{PQ} $ adalah 5 satuan, maka tentukan jumlah semua nilai $ k $ yang mungkin!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ :
$ \vec{PQ} = Q - P = (-2 - 1, \, k - 2) = (-3, \, k - 2) $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan $ |\vec{PQ}| = 5 $ :
$ \begin{align} |\vec{PQ}| & = 5 \\ \sqrt{(-3)^2 + (k-2)^2} & = 5 \\ \sqrt{9 + k^2 - 4k + 4 } & = 5 \\ \sqrt{k^2 - 4k + 13 } & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{k^2 - 4k + 13 })^2 & = 5^2 \\ k^2 - 4k + 13 & = 25 \\ k^2 - 4k - 12 & = 0 \\ (k + 2)(k-6) & = 0 \\ k_1 = -2 \vee k_2 & = 6 \end{align} $
Sehingga jumlah semua nilai $ k $ yang mungkin yaitu :
$ k_1 + k_2 = -2 + 6 = 4 $.

5). Jika vektor satuan dari $ \vec{a} = (1, \, -1, \, r) $ adalah $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $, maka tentukan nilai $ ( r - 3)^2 $ !
Penyelesaian :
*). Panjang vektor $ \vec{a} $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + r^2} = \sqrt{1 + 1 + r^2} = \sqrt{2 + r^2} $
*). Vektor satuan dari $ \vec{a} $ yaitu :
$ e_\vec{a} = \frac{1}{|\vec{a}|} \, \vec{a} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} (1, \, -1, \, r) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
*). Pada soal juga diketahui vektor satuan dari $ \vec{a} $ adalah $ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) $,
Sehingga terjadi kesamaan yaitu :
$ \left( \frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \, -\frac{2}{\sqrt{6}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}}, \, \frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \right) $
Yang artinya nilai :
$ \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow \sqrt{6} = \sqrt{2 + r^2} \rightarrow r^2 = 4 \rightarrow r = \pm 2 $
$ -\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{r}{\sqrt{2 + r^2}} \rightarrow r = 2 $
Nilai $ r $ yang memenuhi adalah $ r = 2 $.
*). Menentukan nilai $ ( r - 3)^2 $ :
$ ( r - 3)^2 = ( 2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1 $
Jadi, nilai $ ( r - 3)^2 = 1 . \, \heartsuit $.

6). Sebuah segitiga ABC memiliki koordinat titik pojoknya masing-masing yaitu $ A(0,0) $ , $ B(3,4) $ , dan $ C(p,0) $. Jika keliling segitiga ABC adalah 16 satuan, maka tentukan nilai $ p^2 - 6p + 1 $ !
Penyelesaian :
*). Untuk menentukan keliling segitiga ABC dapat kita hitung dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya yaitu $ |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| $
*). Menentukan panjang masing-masing sisi segitiga ABC :
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(3-0)^2 + (4 - 0)^2 } = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
$ |\vec{BC}| = \sqrt{(p-3)^2 + (0-4)^2 } = \sqrt{p^2 - 6p + 9 + 16} = \sqrt{p^2 - 6p + 25} $
$ |\vec{CA}| = \sqrt{(0-p)^2 + (0-0)^2 } = \sqrt{p^2+ 0} = \sqrt{p^2} = p $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan keliling segitiga = 16
$ \begin{align} |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CA}| & = 16 \\ 5 + \sqrt{p^2 - 6p + 25} + p & = 16 \\ \sqrt{p^2 - 6p + 25} & = 11 - p \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{p^2 - 6p + 25})^2 & = (11 - p)^2 \\ p^2 - 6p + 25 & = 121 - 22p + p^2 \\ 22p - 6p & = 121 - 25 \\ 16p & = 96 \\ p & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai $ p = 6 $.
*). Menentukan nilai $ p^2 - 6p + 1 $ :
$ p^2 - 6p + 1 = 6^2 - 6.6 + 1 = 36 - 36 + 1 = 1 $
Jadi, nilai $ p^2 - 6p + 1 = 1 . \, \heartsuit $.

7). Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ di R$^2$. Jika $ |\vec{a}| = 4 $, $\vec{b}| = 5 $ , dan $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $, maka tentukan nilai $ | \vec{a} - \vec{b}| $!
Penyelesaian :
*). Misalkan vektor $ \vec{a} = (a_1, \, a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1 , \, b_2) $
*). Menyusun beberapa persamaan dari yang diketahui
-). Persamaan pertama : $ |\vec{a}| = 4 $
$ \begin{align} |\vec{a}| & = 4 \\ \sqrt{a_1^2 + a_2^2} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ a_1^2 + a_2^2 & = 16 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ |\vec{b}| = 5 $
$ \begin{align} |\vec{b}| & = 5 \\ \sqrt{b_1^2 + b_2^2} & = 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ b_1^2 + b_2^2 & = 25 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
-). Persamaan ketiga : $ |\vec{a}+\vec{b}| = 7 $
$ \begin{align} |\vec{a}+\vec{b}| & = 7 \\ \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} & = 7 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2 & = 49 \\ a_1^2+b_1^2 + 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 +2a_2b_2 & = 49 \\ (a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 16 + 25 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 41 + 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 \\ 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 49 - 41 \\ 2a_1b_1 +2a_2b_2 & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Menentukan nilai panjang $ | \vec{a} - \vec{b}| $ :
$ \begin{align} | \vec{a} - \vec{b}| & = \sqrt{(a_1+b_1)^2 + (a_2+b_2)^2} \\ & = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2} \\ & = \sqrt{a_1^2+b_1^2 - 2a_1b_1 + a_2^2+b_2^2 -2a_2b_2 } \\ & = \sqrt{(a_1^2+ a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2) -( 2a_1b_1 +2a_2b_2) } \\ & = \sqrt{16 + 25 -8 } \\ & = \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, panjang $ | \vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{33} . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk pengerjaan contoh soal nomor (7) di atas, akan lebih menggunakan konsep perkalian dot (dot product) dua buah vektor yang akan kita bahas pada artikel lain yang berjudul "Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product)".

       Demikian pembahasan materi Panjang Vektor dan Vektor Satuan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "vektor posisi dan vektor nol".

Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran

         Blog Koma - Salah satu materi yang kita pelajari dalam matematika keuangan adalah materi "angsuran". Sebenarnya materi angsuran ini sudah kita bahas dalam blog koma ini, silahkan baca artikelnya di "Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan". Rumus angsurannya juga sudah ada pada artikel tersebut yang dilengkapi dengan cara menemukan rumus angsurannya. Terus, apa yang mau kita buktikan lagi pada artikel Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini? Dalam penjabaran untuk menemukan rumus angsuran, terdapat bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ yang mana belum kita berikan penjelasan kenapa hasilnya seperti itu. Akhirnya teman-teman yang senang dengan proses penemuan rumus angsurannya pasti membacanya secara detail dan hanya terkendala atau bingung bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ dapatnya darimana!. Dan kami sebagai penulis juga baru sadar dengan hal itu, terimakasih bagi teman-teman yang mau menanyakannya. Dalam Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, akan kami jabarkan cara menemukan bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ , dimana penjabarannya cukup panjang sehingga kami buatkan dalam artikel khusus ini.

         Untuk memudahkan dalam memahami Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran ini, silahkan teman-teman pelajari terlebih dahulu materi "anuitas dan angsuran", dan "Sisa Pinjaman pada Anuitas ". Langsung saja kita bahas salah satu cara dalam pembuktian rumus angsuran berikut ini.

Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ dapat dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

$\spadesuit \, $ Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran
       Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n - b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n - b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sehingga dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ ... & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran yaitu :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Fokus kita sekarang adalah bagaimana cara memperoleh bentuk $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $
Berikut langkah-langkah dalam pembuktiannya :

Langkah (1). Membuktikan $ S_{n-1} - S_n = a_n $ :
       Sisa pinjaman setelah membayar angsuran beberapa kali dapat kita hitung sebagai berikut. Misalkan kita meminjam uang sebesar M yang akan kita lunasi dengan sistem anuitas, maka sisa pinjaman persekian kali mengangsur adalah :
$ \begin{align} S_1 & = M - a_1 \\ S_2 & = M - (a_1 + a_2) \\ S_3 & = M - (a_1 + a_2+a_3) \\ .. & ................ \\ S_{n-1} & = M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1}) \\ S_{n} & = M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1} + a_n) \end{align} $
Sehingga :
$ \begin{align} & S_{n-1} - S_n \\ & = [M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1})] - [M - (a_1 + a_2+a_3 + ... + a_{n-1} + a_n)] \\ & = [M - a_1 - a_2 -a_3 - ... - a_{n-1}] - [M - a_1 - a_2-a_3 - ... - a_{n-1} - a_n] \\ & = a_n \end{align} $
Keterangan : $ S_n = \, $ sisa pinjaman setelah $ n $ kali mengangsur (membayar).
jadi, terbukti $ S_{n-1} - S_n = a_n $

Langkah (2). Membuktikan $ b_n = i.S_{n-1} $
       Besarnya bunga $(b)$ yang kita bayarkan pada setiap periode bergantung dari sisa pinjaman. Misalkan pinjaman sebesar M akan kita lunasi secara anuitas dengan persentase bunga $ i $, maka besar bunga per periode dapat kita hitung menjadi :
$ \begin{align} b_1 & = i.M \\ b_2 & = i. S_1 \\ b_3 & = i. S_2 \\ b_4 & = i. S_3 \\ .. & ...... \\ b_n & = i.S_{n-1} \\ b_{n+1} & = i.S_n \end{align} $
Kita peroleh : $ b_n = i.S_{n-1} $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $
Keterangan : $ b_n = \, $ bunga yang kita bayarkan dalam pembayaran angsuran yang ke-$n$

Langkah (3). Membuktikan $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $
       Dari langkah (1) dan (2) kita telah memperoleh :
$ S_{n-1} - S_n = a_n , \, b_n = i.S_{n-1} , \, $ dan $ b_{n+1}=i.S_n $ ,
Sehingga :
$ \begin{align} b_n - b_{n+1} & = i.S_{n-1} - i.S_n \\ & = i. (S_{n-1} - S_n ) \\ & = i.a_n = a_n.i \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa $ b_n - b_{n+1} = a_n.i $ untuk melengkapi Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran pada bagian yang paling atas di artikel ini.

         Demikian Pembuktian Cara Menemukan Rumus Angsuran . Semoga bisa bermanfaat bagi kita semua. Terima kasih untuk kunjungannya ke blog koma ini. Jika ada kritik dan saran atau mungkin ada cara lain yang lebih praktis, mohon share di blog koma ini dengan mengisi komentar di kolom komentar di setiap akhir artikel atau langsung mengirim email ke email blog koma. Terima kasih.

Pengertian Vektor dan Penulisannya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan mempelajari materi Pengertian Vektor dan Penulisannya . "Materi vektor" adalah salah satu materi yang dipelajari dalam pelajaran Matematika dan pelajaran Fisika. Untuk Matematika, vektor mulai dipelajari pada jenjang SMA. Nah, pada blog koma ini, kita akan mempelajari materi vektor secara Matematikanya. Pengertian Veketor secara Fisika adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran yang hanya memiliki besar saja disebut skalar. Sementara Pengertian Vektor secara Matematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya. Perhitungan vektor secara Matematika adalah perpaduan antara aljabar dan geometri namun penekanannya lebih banyak ke aljabarnya dari pada geometrinya. Salah satu contoh vektor dalam kehidupan sehari-hari adalah terjadi pada olahraga lempar lembing seperti pada gambar berikut ini.

         Pernahkah kalian melihat lembing yang meluncur di udara saat dilempar oleh atlet lempar lembing? Lembing tersebut meluncur dengan kecepatan dan arah tertentu sesuai dengan keinginan sang atlet. Dalam matematika, lembing yang meluncur ini mewakili sebuah vektor, yaitu ruas garis berarah atau secara Fisika yaitu suatu besaran yang memiliki besar dan arah. Dari contoh ini, dapat kita simpulkan bahwa vektor baik secara Matematika maupun Fisika sebenarnya sama, hanya saja penekanan yang akan dibahas saja yang berbeda pada masing-masing pelajaran tersebut. Dan jika ditinjau dari Pengertian Vektornya juga memiliki kesamaan makna.

         Lalu bagaimana dengan Penulisan vektornya? Sebuah vektor adalah sebuah garis berarah yang memiliki titik pangkal (titik asal) dan titik ujung (titik terminal). Vektor yang pangkalnya di titik A dan ujungnya di titik B diberi lambang dengan "$\vec{AB}$". Panjang vektor $\vec{AB}$ ini dilambangkan dengan $|\vec{AB}|$. Selain cara di atas, sebuah vektor dapat pula ditulis menggunakan:
*). huruf kecil yang dicetak tebal seperti a,b,c, dan sebagainya. Misalkan vektor $\vec{AB}$ ditulis sebagai vektor p.
*). huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah. Misalkan vektor $\vec{AB}$ ditulis sebagai vektor $ \vec{p} $.
       Penulisan vektor dengan menggunakan lambang panah di atas lebih sering digunakan, karena mnggunakan tulisan tangan, vektor yang dibubuhi tanda panah lebih mudah dituliskan daripada yang dicetak tebal. Namun teman-teman bebas memilih cara penulisan vektor tersebut.

Penulisan vektor secara aljabar
       Secara aljabar, vektor $ \vec{a} $ dapat ditulis dalam bentuk matriks baris, atau matriks kolom, atau dalam vektor basis $ \vec{i}, \vec{j}$ , dan $ \vec{k} $. Jika diketahui koordinat titik pangkal dan titik ujung sebuah vektor, maka penulisannya dapat kita tinjau dari dua hal yaitu :
1). Ruang dimensi Dua (R$^2$)
       Dalam runga dimensi dua, vektor dituliskan dalam dua komponen yaitu searah sumbu X dan searah sumbu Y. Misalkan vektor $ \vec{a} $ memiliki komponen $ a_1 $ searah sumbu X dan $ a_2 $ searah sumbu Y, maka vektor $ \vec{a} $ dapat kita tulis menjadi :
$ \vec{a} = ( a_1, \, a_2 ) $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix} \right) $ atau $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} $.

2). Ruang dimensi Tiga (R$^3$)
       Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditandai dengan tiga buah sumbu yang saling berpotongan yaitu sumbu X (arah depan atau belakang), sumbu Y (arah kanan atau kiri), dan sumbu Z (arah atas atau bawah). Misalkan vektor $ \vec{a} $ memiliki komponen $ a_1 $ searah sumbu X, $ a_2 $ searah sumbu Y, dan $ a_3 $ searah sumbu Z, maka vektor $ \vec{a} $ dapat kita tulis menjadi :
$ \vec{a} = ( a_1, \, a_2 , \, a_3) $ atau $ \vec{a} = \left( \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix} \right) $ atau $ \vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k} $.
Cara menentukan vektor secara aljabar
       Misalkan diketahui koordinat titik A dan titik B, maka vektor $ \vec{AB} $ dan $ \vec{BA} $ dapat ditentukan dengan cara :
$ \vec{AB} = B - A $ dan $ \vec{BA} = A - B $
(Ujung dikurangkan pangkalnya).

       Misalkan titik $ A (a_1, a_2) $ dan $ B(b_1, b_2) $ pada ruang dimensi dua, maka
$ \vec{AB} = B - A = ( b_1 - a_1 , \, b_2 - a_2) $ dan
$ \vec{BA} = A - B = (a_1-b_1, \, a_2-b_2) $

       Misalkan titik $ A (a_1, a_2, a_3) $ dan $ B(b_1, b_2,b_3) $ pada ruang dimensi dua, maka
$ \vec{AB} = B - A = ( b_1 - a_1 , \, b_2 - a_2, \, b_3 - a_3) $ dan
$ \vec{BA} = A - B = (a_1-b_1, \, a_2-b_2, \, a_3 - b_3) $

Contoh Soal Pengertian Vektor dan Penulisannya :

1). Pada ruang dimensi Dua, segitiga ABC memiliki koordinat titik sudut masing-masing yaitu $ A(1,2) $ , $ B(-3,1) $ dan $ C(-2,-3) $. Tentukan vektor $ \vec{AB} $ , $ \vec{BC} $ , dan vektor $ \vec{AC} $!
Penyelesaian :
*). Sesuai cara menentukan vektor secara aljabar yaitu titik ujung dikurangkan titik pangkalnya, maka kita peroleh :
$ \vec{AB} = B - A = ( -3 - 1 , \, 1 - 2) = ( -4, \, -1) $
$ \vec{BC} = C - B = ( -2-(-3) , \, -3 - 1) = ( 1, \, -4) $
$ \vec{AC} = C - A = ( -2-1 , \, -3 - 2) = ( -3, \, -5) $

2). Diketahui titik $ P(0,-1,3) $ dan $ Q(2,3,-1) $. Tentukan vektor $ \vec{PQ} $ dan $ \vec{QP} $!
Penyelesaian :
*). Menentukan vektor $ \vec{PQ} $ dan $ \vec{QP} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = Q - P = \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 - 0 \\ 3 - (-1) \\ -1 - 3 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ -4 \end{matrix} \right) \\ \vec{QP} & = P - Q = \left( \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 3 \end{matrix} \right)- \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 - 2 \\ -1 - 3 \\ 3-(-1) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 4 \end{matrix} \right) \end{align} $

3). Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(2,0,1), B(-1,3,2), dan C(4,2,-5). Tentukan :
a). Vektor $ \vec{p} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B
b). Vektor $ \vec{q} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C
c). Vektor $ \vec{r} $ yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C
Penyelesaian :
a). Vektor $ \vec{p} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B, maka
$ \vec{p} = \vec{AB} = B - A = (-1-2, \, 3-0, \, 2-1) = (-3, \, 3, \, 1) $

b). Vektor $ \vec{q} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik C, maka
$ \vec{q} = \vec{BC} = C - B = (4-(-1), \, 2 - 3, \, -5-2) = (5, \, -1, \, -7) $

c). Vektor $ \vec{r} $ mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik C, maka
$ \vec{r} = \vec{AC} = C - A = (4-2, \, 2-0, \, -5-1) = (2, \, 2, \, -6) $

4). Gambarkan vektor $ \vec{u} = (3 , \, 2) $ dan $ \vec{v} = (1, \, 3, \, 2) $ pada bidang koordinat Cartesius!
Penyelesaian :
*). Gambar vektor $ \vec{u} = (3 , \, 2) $ pada dimensi dua (R$^2$) dengan pangkal pusat koordinat :

*). Gambar vektor $ \vec{v} = (1, \, 3, \, 2) $ pada dimensi tiga (R$^3$) dengan pangkal pusat koordinat :

Catatan :
Untuk penulisan vektornya terserah teman-teman, apakah dalam bentuk matriks baris atau matriks kolom atau dalam vektor basis.

       Demikian pembahasan materi Pengertian Vektor dan Penulisannya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Panjang Vektor dan Vektor Satuan ".

Materi Vektor Tingkat SMA

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan selalu sehat ya!!!. Pada artikel ini kita akan membahas Materi Vektor Tingkat SMA secara garis besar saja yaitu tentang submateri apa sih yang ada dalam Materi Vektor Tingkat SMA itu. Materi Vektor Tingkat SMA dibahas dalam pelajaran Fisika dan juga dibahas dalam pelajaran Matematika. Lalu apa perbedaannya? Sebenarnya sama, hanya saja masing-masing pelajaran menekankan pada bagian tertentu saja. Mengenai vektor secara Fisika dan Matematika, akan kita bahas lebih mendetail pada artikel "pengertian vektor".

         Pembahasan Materi Vektor Tingkat SMA secara matematika akan melihat dari dua sudut pandang yaitu secara aljabar (analitis) dan secara geometris. Untuk secara aljabar, Materi Vektor Tingkat SMA penghitungannya lebih mudah karena hampir mirip dengan beberapa perhitungan pada "operasi matriks" yang sudah teman-teman pelajari. Nah, secara geometri juga tidak sulit, hanya saja butuh imajinasi yang tepat dalam mengerjakan soal-soal.
 
         Selain membahas Materi Vektor Tingkat SMA secara matematis, pada blog koma ini akan kita bahas beberapa aplikasi atau penerapan dari vektor yang mungkin jarang dibahas di sekolah. Untuk artikel aplikasi vektor akan kita bahas dibagian akhir setelah kita menguasai materi vektor itu dengan baik.

       Adapun submateri yang akan kita bahas dalam Materi Vektor Tingkat SMA yaitu :
1). Pengertian Vektor dan Penulisannya,
2). Panjang Vektor dan Vektor Satuan
3). Vektor Posisi dan Vektor Nol,
4). Vektor Basis Normal Standar,
5). Kesamaan Dua Buah Vektor, segaris, dan sejajar,
6). Operasi pada Vektor :
     -). Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
     -). Perkalian Vektor dengan Skalar
     -). sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan vektor
7). Perbandingan Vektor,
8). Perkalian Dot Dua Vektor (Dot Product),
9). Perkalian Silang Dua Vektor (Cross Product),
10). Proyeksi Orthogonal Suatu Vektor ke Vektor Lain,
11). Aplikasi vektor :
     -). Titik berat segitiga
     -). Pembuktian dalil Menelaus dan Ceva 
     -). Jarak Titik ke Garis
     -). Luas Bangun Datar
     -). Volume Bangun Ruang
     -). Jarak Dua Garis Bersilangan.

       Demikian tentang Materi Vektor Tingkat SMA yang akan kita bahas. Untuk mempelajari materi vektor secara lebih mendalam, silahkan ikuti link disetiap submateri vektor di atas dimana akan kami update secara berkala. Terimakasih.

Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita sajikan artikel "Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika Dasar", pada artikel ini kita lanjutkan tentang Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA. Seperti yang kita ketahui bersama, untuk penyeleksian penerimaan mahasiswa baru oleh Perguruan Tinggi Negeri (PTN) ada berbagai jalur diantaranya Seleksi bersama masuk PTN (disingkat SBMPTN), dan ada juga jalur ujian Mandiri yang biasanya diadakan secara mandiri oleh PTN bersangkutan. Salah satu PTN favorit di Indonesia yang masih mengadakan UJian Mandiri (UM) adalah Universitas Gadjah Mada (UGM) yang kita kenal sebagai UM UGM atau UTUL UGM (Ujian TUlis UGM). Pada Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA ini kita sajikan berbagai variasi soal matematika ipa dari tahun 2003 sampai tahun terbaru, dan kami akan selalu beruhasa untuk mengupdatenya. TIngkat kesulitan soal-soal matematika IPA tentu ada di atasnya tingkat kesulitan matematika dasar. Mudah-mudahan dengan adanya Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA ini akan bisa membantu teman-teman untuk belatih mengerjakan soal-soal UM UGM sehingga ketika TES SEBENARNYA akan mampu memperoleh hasil yang maksimal.

         Jika teman-teman mempunyai banyak waktu untuk berlatih mengerjakan soal-soal, silahkan pelajari semua tipe soal dari seluruh tahun yang sudah diujikan yang sudah kita daftar pada artikel Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA ini. Namun jika waktu terbatas, kami sarankan "CUKUP KERJAKAN SOAL-SOAL 5 TAHUN TERBARU SAJA". Harapan kami, sebaiknya teman-teman coba kerjakan dulu soalnya lalu cocokkan jawabannya pada pembahasan, jika berbeda silahkan dikoreksi mungkin ada kesalahan baik dari teman-teman sendiri atau dari pembahasan yang ada memang terjadi kesahan. Berikut soal-soal dan Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA. Selamat belajar.


  • Pembahasan 2017 kode 713
  • Pembahasan 2017 kode 814
  • Pembahasan 2016 kode 581
  • Pembahasan 2016 kode 381
  • Pembahasan 2015
  • Pembahasan 2014
  • Pembahasan 2013
  • Pembahasan 2010
  • Pembahasan 2009
  • Pembahasan 2008
  • Pembahasan 2007
  • Pembahasan 2006
  • Pembahasan 2005
  • Pembahasan 2005 kode 612
  • Pembahasan 2004
  • Pembahasan 2003


  •        Demikian artikel Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika IPA yang disajikan dalam link-link pembahasan. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Pembahasan Lengkap UM UGM Matematika Dasar". Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua. Akan terus kami update pembahasan soal-soal terbarunya dan kami akan berusaha untuk menyusun soal-soal UM UGM berdasarkan per-bab. Jika ada masukan dalam segi pembahasannya, atau masukan lainnya, seilahkan teman-teman isi komentar di bawah artikel ini, atau bisa langsung kirim ke email blog koma. Terimakasih.

    Persamaan Asimtot Hiperbola

             Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Asimtot Hiperbola yang bisa kita singkat menjadi PAH (Persamaan Asimtot Hiperbola). Dari semua jenis "irisan kerucut" seperti "lingkaran", "parabola", "elips", dan "hiperbola", persamaan asimtot hanya terdapat pada irisan kerucut berbentuk hiperbola. Asimtot adalah sebuah garis lurus yang akan didekati (tidak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Sebelumnya juga telah kita bahas persamaan asimtot yaitu "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar", "Asimtot Miring Fungsi Aljabar", dan "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri". Persamaan Asimtot Hiperbola adalah salah satu dari jenis asimtot miring. Asimtot hiperbola selalu melalui titik pusat "persamaan hiperbola". Sebuah persamaan hiperbola biasanya memiliki dua Persamaan Asimtot Hiperbola dimana keduanya selalu berpotongan pada titik pusat hiperbola. Untuk ilustrasi asimtot hiperbola, perhatikan gambar berikut ini, asimtot ditunjukkan oleh garis berwarna biru.


             Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) ini, sebaiknya kita harus menguasai dahulu materi "persamaan hiperbola dan unsur-unsurnya" secara mendalam dan materi "sifat-sifat eksponen" khususnya bentuk akar seperti $ A^2 = B \rightarrow A = \pm \sqrt{B} $. Langsung saja kita masuk ke bentuk Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) berikut ini.

    Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH)
           Bentuk atau rumus Persamaan Asimtot Hiperbola bergantung dari persamaan hiperbolanya. Berikut masing-masing rumus Persamaan Asimtot Hiperbolanya.

    1). Persamaan Hiperbola : $ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $
           Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{b}{a} x $
    2). Persamaan Hiperbola : $ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
           Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
    3). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 $
           Persamaan Asimtotnya : $ y = \pm \frac{a}{b} x $
    4). Persamaan Hiperbola : $ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
           Persamaan Asimtotnya : $ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $

    $ \spadesuit \, $ Trik mengingat dan mengerjakan PAH
    (i). Nilai $ a^2 $ selalu ada di bagian positif ($x$ atau $y$), dan sisanya adalah nilai $ b^2 $ dengan nilai $ a $ dan $ b $ selalu positif.
    (ii). Bentuk umum asimtotnya $ y = \pm mx $ atau $ y-q = \pm (x-p) $ dengan
           (a). Jika $ x $ positif, maka $ m = \frac{b}{a} $
           (b). Jika $ y $ positif, maka $ m = \frac{a}{b} $
    (iii). Jika tidak ingin menggunalan rumus di atas, maka ada cara lain yaitu mengganti angka 1 dengan 0 pada persamaan hiperbolanya, lalu selesaikan sehingga kita peroleh juga persamaan asimtot hiperbolanya.
    (iv). Titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola adalah titik pusat hiperbola yaitu titik $ (p,q) $.

    Contoh soal Persamaan Asimtot Hiperbola (PAH) :

    1). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
    (a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
    (b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
    Penyelesaian :
    (a). $ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 $
    *). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
    $ a^2 = 9 \rightarrow a = 3 $
    $ b^2 = 16 \rightarrow b = 4 $
    *). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
    *). Menentukan persamaan asimtotnya :
    $ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{b}{a} x \\ y & = \pm \frac{4}{3} x \end{align} $
    Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{4}{3}x $ dan $ y = -\frac{4}{3}x $.

    Cara II : mengganti 1 dengan 0
    $ \begin{align} \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 1 \\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} & = 0 \\ \frac{y^2}{16} & = \frac{x^2}{9} \\ y^2 & = \frac{16}{9}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}x^2 } \\ y & = \pm \frac{4}{3}x^2 \end{align} $

    (b). $ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} = 1 $
    *). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
    $ a^2 = 8 \rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
    $ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $
    *). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
    *). Menentukan persamaan asimtotnya :
    $ \begin{align} y & = \pm m x \\ y & = \pm \frac{a}{b} x \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5} x \end{align} $
    Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y = \frac{2\sqrt{2}}{5}x $ dan $ y = -\frac{2\sqrt{2}}{5}x $.

    Cara II : mengganti 1 dengan 0
    $ \begin{align} -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 1 \\ -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{8} & = 0 \\ \frac{y^2}{8} & = \frac{x^2}{25} \\ y^2 & = \frac{8}{25}x^2 \\ y & = \pm \sqrt{ \frac{8}{25}x^2 } \\ y & = \pm \frac{2\sqrt{2}}{5}x \end{align} $

    2). Tentukan persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan :
    (a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
    (b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
    Penyelesaian :
    (a). $ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} = 1 $
    *). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
    $ a^2 = 25 \rightarrow a = 5 $
    $ b^2 = 7 \rightarrow b = \sqrt{7} $
    *). Karena $ x $ yang positif, maka $ m = \frac{b}{a} $.
    *). Menentukan persamaan asimtotnya :
    $ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $
    Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ y+1 = \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $ dan $ y+1 = - \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) $.

    Cara II : mengganti 1 dengan 0
    $ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{25} - \frac{(y+1)^2}{7} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{7} & = \frac{(x-2)^2}{25} \\ (y+1)^2 & = \frac{7}{25} (x-2)^2 \\ y+1 & = \pm \sqrt{ \frac{7}{25} (x-2)^2 } \\ y+1 & = \pm \frac{\sqrt{7}}{5} (x-2) \end{align} $

    (b). $ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} = 1 $
    *). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ :
    $ a^2 = 64 \rightarrow a = 8 $
    $ b^2 = 100 \rightarrow b = 10 $
    *). Karena $ y $ yang positif, maka $ m = \frac{a}{b} $.
    *). Menentukan persamaan asimtotnya :
    $ \begin{align} y-q & = \pm m (x-p) \\ y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y - 3 & = \pm \frac{8}{10} (x +2) \\ y - 3 & = \pm \frac{4}{5} (x +2) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 5)} \\ 5y - 15 & = \pm 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4(x +2) \vee 5y - 15 = - 4(x +2) \\ 5y - 15 & = 4x + 8 \vee 5y - 15 = - 4x - 8 \\ 5y -4x & = 23 \vee 5y + 4x = 7 \\ \end{align} $
    Jadi, persamaan asimtot hiperbolanyan adalah $ 5y - 4x = 23 $ dan $ 5y + 4x = 7 $.

    Cara II : mengganti 1 dengan 0
    $ \begin{align} -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{100} + \frac{(y-3)^2}{64} & = 0 \\ \frac{(y-3)^2}{64} & = \frac{(x+2)^2}{100} \\ (y-3)^2 & = \frac{64}{100} (x+2)^2 \\ (y-3) & = \pm \sqrt{ \frac{64}{100} (x+2)^2 } \\ (y-3) & = \pm \frac{8}{10} (x+2) \\ (y-3) & = \pm \frac{4}{5} (x+2) \end{align} $

    3). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu X. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
    Penyelesaian :
    *). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
    $ \begin{align} \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+3)^2}{9} & = \frac{(x-1)^2}{4} \\ (y+3)^2 & = \frac{9}{4} (x-1)^2 \\ (y+3) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{4} (x-1)^2 } \\ y+3 & = \pm \frac{3}{2} (x-1) \, \, \, \, \, \text{kali 2)} \\ 2y+6 & = \pm 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 (x-1) \vee 2y+6 & = - 3 (x-1) \\ 2y+6 = 3 x- 3 \vee 2y+6 & = - 3x + 3 \\ 3x - 2y = 9 \vee 3x + 2y & = - 3 \end{align} $
    Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 3x - 2y = 9 $ dan $ 3x + 2y = -3 $.
    *). Menentukan titik potong sumbu X dengan substitusi $ y = 0 $ :
    $ 3x - 2y = 9 \rightarrow 3x - 2.0 = 9 \rightarrow x = 3 $
    $ 3x + 2y = -3 \rightarrow 3x + 2.0 = -3 \rightarrow x = -1 $
    Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu X adalah $ A(3,0) $ dan $ B(-1,0) $.
    *). Menentukan jarak kedua titik potong :
    Jarak $ = 3 - (-1) = 4 $.
    Jadi, jarak kedua titik potong adalah 4 satuan.

    4). Kedua persamaan asimtot hiperbola $ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} = 1 $ masing-masing memotong sumbu Y. Tentukan jarak kedua titik potong tersebut!
    Penyelesaian :
    *). Mnenentukan PAH dengan mengganti 1 dengan 0 :
    $ \begin{align} -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 1 \\ -\frac{(x-m)^2}{16} + \frac{(y+n)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+n)^2}{9} & = \frac{(x-m)^2}{16} \\ (y+n)^2 & = \frac{9}{16}(x-m)^2 \\ (y+n) & = \pm \sqrt{ \frac{9}{16}(x-m)^2 } \\ (y+n) & = \pm \frac{3}{4}(x-m) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y+4n & = \pm 3(x-m) \\ 4y+4n = 3(x-m) \vee 4y+4n & = - 3(x-m) \\ 4y+4n = 3x-3m \vee 4y+4n & = - 3x + 3m \\ 4y - 3x = -3m - 4n \vee 4y + 3x & = 3m - 4n \end{align} $
    Persamaan asimtot hiperbolanya adalah $ 4y - 3x = -3m - 4n $ dan $ 4y + 3x = 3m - 4n $.
    *). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
    $ 4y - 3x = -3m - 4n \rightarrow 4y - 3.0 = -3m - 4n \rightarrow 4y = -3m - 4n \rightarrow y = -\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
    $ 4y + 3x = 3m - 4n \rightarrow 4y + 3.0 = 3m - 4n \rightarrow 4y = 3m - 4n \rightarrow y = \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n $
    Sehingga titik potong masing-masing asimtot dengan sumbu Y adalah $ A(0,-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n ) $ dan $ B(0, \frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) $.
    *). Menentukan jarak kedua titik potong :
    Jarak $ = (\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) - (-\frac{3}{4}m - \frac{3}{4}n) = \frac{6}{4}m = \frac{3}{2}m $.
    Jadi, jarak kedua titik potong adalah $ \frac{3}{2}m $ satuan.

    5). Tentukan titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 = 0 $ !
    Penyelesaian :
    *). Mengubah persamaan dengan "cara melengkapkan kuadrat sempurna".
    $ \begin{align} 3x^2 - 2y^2 - 12x - 4y + 4 & = 0 \\ 3x^2 - 12x - 2y^2 - 4y & = -4 \\ 3(x^2 -4x) - 2(y^2 + 2y) & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 2^2] - 2[(y + 1)^2 - 1^2] & = -4 \\ 3[(x-2)^2 - 4] - 2[(y + 1)^2 - 1 ] & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 12 - 2(y + 1)^2 + 2 & = -4 \\ 3(x-2)^2 - 2(y + 1)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ \frac{3(x-2)^2 }{6} - \frac{2(y + 1)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ \frac{(x-2)^2 }{2} - \frac{(y + 1)^2}{3} & = 1 \end{align} $
    Titik pusat hiperbola : $ (p,q) = ( 2, - 1 ) $
    *). Titik potong kedua persamaan asimtot adalah titik pusat persamaan hiperbolanya yaitu $ (2,-1) $.
    Jadi, titik potong kedua asimtot adalah $ (2,-1) $.

    6). Jika titik potong kedua persamaan asimtot hiperbola $ -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny = 2m^2 - 3n^2 + 6 $ adalah $ (m-4, -n+2) $, maka tentukan nilai $ m^2 + n^2 $ !
    Penyelesaian :
    *). Mengubah persamaan :
    $ \begin{align} -2x^2 + 3y^2 - 4mx - 6ny & = 2m^2 - 3n^2 + 6 \\ -2x^2 - 4mx - 2m^2 + 3y^2 - 6ny + 3n^2 & = 6 \\ -2(x^2 + 2mx +m^2) + 3(y^2 - 2ny + n^2 ) & = 6 \\ -2(x+m)^2 + 3(y-n)^2 & = 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ -\frac{2(x+m)^2}{6} + \frac{3(y-n)^2}{6} & = \frac{6}{6} \\ -\frac{(x+m)^2}{3} + \frac{(y-n)^2}{2} & = 1 \end{align} $
    Titik pusatnya : $ (p,q) = (-m , n) $
    *). Titik potong kedua asimtot adalah titik pusat yaitu $ (-m,n) $.
    *). Pada soal juga diketahui bahwa titik potong kedua asimtot adalah $ (m-4,-n+2) $, sehingga kedua titik potong tersebut sama yaitu :
    $ \begin{align} (-m , n) & = (m-4,-n+2) \\ -m & = m - 4 \rightarrow 2m = 4 \rightarrow m = 2 \\ n & = -n + 2 \rightarrow 2n = 2 \rightarrow n = 1 \end{align} $
    Sehingga nilai $ m^2 + n^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $ .
    Jadi, nilai $ m^2 + n^2 = 5 $.

           Demikian pembahasan materi Persamaan Asimtot Hiperbola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut".