Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton

         Blog koma - Setelah mempelajari materi "Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)", pada artikel ini kita akan membahas materi Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton. Konsep binomial newton memiliki beberapa kegunaan di ataranya dalam memfaktorkan suatu ekspresi perpangkatan dan kegunaan lainnya adalah untuk menghitung Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yang kita bahas sekarang ini. Berdasarkan Wikipedia, Konstanta matematika $e$ adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini ($e$) adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan $ 0, 1, i$, dan $ \pi $ . Nilai bilangan Euler ($e$), dipotong pada posisi ke-30 setelah tanda desimal (tanpa dibulatkan), adalah: $ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 $.

         Pada artikel Besar Bilangan Euler ($e$) dengan Binomial Newton ini, kita tidak membahas asal-usul keberadaan bilangan euler tersebut namun kita akan lebih menekankan tentang cara menemukan besarnya bilangan Euler ($e$) dengan salah satunya pendekatan menggunakan konsep binomial newton. Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai terlebih dahulu untuk memudahkan dalam mempelajari Cara menemukan Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton yaitu : "limit tak hingga fungsi khusus", "konsep binomial newton", "bentuk faktorial", "notasi sigma", "kombinasi", dan "penyelesaian limit tak hingga fungsi aljabar".

Kesetaraan Bilangan Euler ($e$)
       Seperti yang ada dalam pembahasan materi "Limit Tak hingga Fungsi Khusus", nilai bilangan euler setara dengan beberapa bentuk limit tak hingga fungsi khusus yaitu :
$ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ dan $ e = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x\right)^\frac{1}{x} $

Bentuk $ e = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \, $ inilah yang akan kita hitung sebagai pendekatan untuk nilai konstanta $ e $.

Langkah-langkah Menentukan besarnya nilai bilangan euler ($e$) :
*). Konsep Binomial newton :
$(a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^n C_r^n a^{n-r}b^r \, \, $ atau
$ (a+b)^n = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + ... + C_{n-1}^nab^{n-1} + C_n^nb^n $
dengan $ n, \, r \, $ adalah bilangan asli dan $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
serta $ n! = n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1$
Contoh : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 \, $ dan $ 0! = 1 $

*). Perhatikan bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ , dengan memisalkan $ a = 1 , b = \frac{1}{x} $ dan $ n = x $ , maka bentuk $ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x $ dapat kita jabarkan (ekspansi) dengan konsep binomial Newton menjadi :

$ \begin{align} (a+b)^n & = C_0^n a^n + C_1^n a^{n-1}b + C_2^n a^{n-2}b^2 + C_3^n a^{n-3}b^3 + ... + C_n^nb^n \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = C_0^x 1^x + C_1^x 1^{x-1}.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x 1^{x-2}.\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + C_3^x 1^{x-3}.\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = C_0^x + C_1^x.\left( \frac{1}{x} \right) + C_2^x .\left( \frac{1}{x} \right)^2 + C_3^x .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + C_x^x.\left( \frac{1}{x} \right)^n \\ & = \frac{x!}{(x-0)!.0!} + \frac{x!}{(x-1)!1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x} \right)^2 \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x} \right)^3 + ... + \frac{x!}{(x-x)!x!}.\left( \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \frac{x!}{x!} . 1 + \frac{x.(x-1)!}{(x-1)!. 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1).(x-2)!}{(x-2)!2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2).(x-3)!}{(x-3)!3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{0!x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{x}{ 1!}.\left( \frac{1}{x} \right) + \frac{x.(x-1)}{2!} .\left( \frac{1}{x^2} \right) \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x.(x-1).(x-2)}{3!} .\left( \frac{1}{x^3} \right) + ... + \frac{x!}{x!}.\left( \frac{1}{x^x} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x.(x-1).(x-2)...(x-x)}{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ \end{align} $

*). Penyelesaian limit tak hingga :
Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + ....}{bx^n + b_{n-1}x^{n-1} + ....} = \frac{a}{b} $
(hasilnya adalah pembagian koefisien pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya).
Sehingga kita peroleh hasil limit tak hingga berikut ini :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^2 - x}{x^2} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} = \frac{1}{1} = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x} = \frac{1}{1} = 1 $

*). Bentuk limit tak hingga dari nilai $ e $ :
$ \begin{align} e & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{x^2 - x}{x^2} . \frac{1}{2!} + \frac{x^3-3x^2 + 2x}{x^3} . \frac{1}{3!} \\ & \, \, \, \, \, \, + \frac{x^4-6x^3 - 7x^2 - 6x}{x^4} . \frac{1}{4!} + ... + \frac{x^x + c_{x-1}x^{x-1} + .... }{x^x}. \frac{1}{x!} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} +1. \frac{1}{2!} + 1 . \frac{1}{3!} + 1. \frac{1}{4!} + ... + 1. \frac{1}{x!} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \, \, \, \left( 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ... + \frac{1}{x!} \right) \\ & = 1 + \frac{1}{ 1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2.1} + \frac{1}{3.2.1} + \frac{1}{4.3.2.1} + \frac{1}{5.4.3.2.1} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + \frac{1}{ 1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + ... + \frac{1}{\infty} \\ & = 1 + 1 + 0,5 + 0,166666... + 0,04166666... + 0,0083333.... + ... + 0 \\ & \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... \end{align} $

Kesimpulannya, kita peroleh nilai besar bilangan Euler ($e$) dengan pendekatan yaitu :
$ e \approx 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352.... $

       Demikian pembahasan materi Besar Bilangan Euler (e) dengan Binomial Newton sebagai salah satu kegunaan dari konsep binomial Newton dan materi lainnya. Semoga materi ini bermanfaat. Terimakasih.

Kedudukan Garis terhadap Parabola

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "persamaan parabola dan unsur-unsurnya" yang merupakan bagian dari artikel "irisan kerucut", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Parabola. Materi Kedudukan Garis terhadap Parabola ini penting untuk kita bahas karena bagian awal dari materi "garis singgung parabola" yang akan kita bahas di artikel berikutnya. Kedudukan Garis terhadap Parabola ada tiga jenis atau tiga kemungkinan yaitu pertama : garis memotong kurva parabola di dua titik yang berbeda, kedua : garis menyinggung parabola (memotong parabola di satu titik), dan ketiga : adalah garis tidak memotong kurva parabola. Tentu dari ketiga jenis kedudukan garis ini, masing-masing memiliki syarat tertentu yang tergantung dari nilai Diskriminannya ($ D$) yang biasa kita pelajari pada materi persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat dengan rumus $ D = b^2 -4ac $ .

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Kedudukan Garis terhadap Parabola ini, teman-teman harus menguasai terlebih dahulu beberapa materi yaitu "persamaan garis lurus", "persamaan parabola", dan cara mencari nilai diskriminan seperti pada materi persamaan kuadrat, serta tentang penyelesaian pertidaksamaan.

Syarat Kedudukan Garis terhadap Parabola
       Perhatikan gambar di atas, ada tiga syarat dalam menentukan kedudukan garis terhadap parabola yaitu :
a). Jika nilai $ D > 0 $ , maka garis memotong parabola di dua titik yang berbeda,
b). Jika nilai $ D = 0 $ , maka garis menyinggung parabola (memotong di satu titik) ,
c). Jika nilai $ D < 0 $ , maka garis tidak memotong parabola.

Langkah-langkah dalam menentukan kedudukan garis terhadap parabola :
1). Substitusi garis ke parabola sehingga terbentuk persamaan kuadrat $ ax^2 + bx+ c = 0 $ atau $ ay^2 + by + c = 0 $ ,
2). Tentukan nilai $ D $ (Diskriminan) dengan rumus $ D = b^2 - 4ac $,
3). Dari langkah (2), nilai $ D $ yang kita peroleh kita cocokkan dengan syarat kududukan garis terhadap parabola di atas.

Contoh Soal Kedudukan Garis terhadap Parabola :

1). Tentukan kedudukan masing-masing garis berikut terhadap parabolanya :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
b). garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
c). garis $ x - y = -5 $ terhadap parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $
Penyelesaian :
a). garis $ y = 2x + 3 $ terhadap parabola $ x^2 = 2(y-1) $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 2(y-1) \\ x^2 & = 2(2x + 3-1) \\ x^2 & = 2(2x + 2) \\ x^2 & = 4x + 4 \\ x^2 & - 4x - 4 = 0 \\ a & = 1 , b = -4 , c = -4 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4. 1. (-4) = 16 + 16 = 32 $
*). Karena nilai $ D = 32 > 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ y = 2x + 3 $ memotong parabola $ x^2 = 2(y-1) $ di dua titik yang berbeda.

b). garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ terhadap parabola $ x^2 = 4y $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ 2x - 4y - 1 = 0 \rightarrow 4y = 2x - 1 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4y \\ x^2 & = 2x - 1 \\ x^2 & - 2x + 1 = 0 \\ a & = 1 , b = -2 , c = 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4. 1. 1 = 4 - 4 = 0 $
*). Karena nilai $ D = 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ 2x - 4y - 1 = 0 $ menyinggung parabola $ x^2 = 4y $.

c). garis $ x - y = -5 $ terhadap parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $
*). Ubah persamaan garisnya :
$ x - y = -5 \rightarrow x = y - 5 $
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} (y - 2)^2 & = 3(x+1) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3((y-5)+1) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3(y - 4) \\ y^2 - 4y + 4 & = 3y - 12 \\ y^2 - 7y + 16 & = 0 \\ a & = 1 , b = -7 , c = 16 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan :
$ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4. 1. 16 = 49 - 64 = -15 $
*). Karena nilai $ D = -15 < 0 $ , maka sesuai syarat kedudukan garis terhadap parabola, garis $ x - y = -5 $ tidak memotong parabola $ (y - 2)^2 = 3(x+1) $.

2). Jika garis $ y = 2x+p $ menyinggung kurva $ x^2 = 4(y+1) $ , maka tentukan nilai $ p^2 -3p + 7 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 4(y+1) \\ x^2 & = 4(2x+p+1) \\ x^2 & = 8x + 4(p+1) \\ x^2 & - 8x - 4(p+1) = 0 \\ a & = 1 , b = -8 , c = -4(p+1) \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung parabol : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-8)^2 - 4.1. (-4(p+1)) & = 0 \\ 64 + 16(p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 16)} \\ 4 + p + 1 & = 0 \\ p & = -5 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ p^2 -3p + 7 = (-5)^2 -3.(-5) + 7 = 47 $
Jadi, nilai $ p^2 -3p + 7 = 47 $

3). Sebuah garis $ g $ memiliki gradien $ m $ dan menyinggung parabola $ x^2 = 3(y-2) $. Jika garis $ g $ melalui titik $ (0,q) $ , maka tentukan nilai $ m + 3 $!
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis $ g $ yang melalui titik $ (x_1,y_1) = (0,q) $ dan gradien $ m $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - q & = m(x -0) \\ y - q & = mx \\ y & = mx + q \end{align} $
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3(y-2) \\ x^2 & = 3( mx + q-2) \\ x^2 & = 3mx + 3q-6 \\ x^2 & - 3mx + 6 - 3q = 0 \\ a & = 1, b = -3m, c = 6 - 3q \end{align} $
*). Syarat garis bersinggungan : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (-3m)^2 - 4.1.(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 - 4(6-3q) & = 0 \\ 9m^2 & = 4(6-3q) \\ m^2 & = \frac{4}{9}(6-3q) \\ m & = \pm \sqrt{\frac{4}{9}(6-3q)} \\ & = \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} \end{align} $
Sehingga nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} $
Jadi, nilai $ m + 3 = 3 \pm \frac{2}{3}\sqrt{6 - 3q} $ .

4). Tentukan semuan nilai $ d $ dengan $ d $ bilangan real sehingga garis $ x = 4dy - 2d $ tidak memotong parabola $ y^2 = \frac{1}{4}(x-3) $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = \frac{1}{4}(x-3) \\ y^2 & = \frac{1}{4}(4dy - 2d-3) \\ y^2 & = dy - \frac{(2d+3)}{4} \\ y^2 & - dy + \frac{2d+3}{4} = 0 \\ a & = 1, b = -d , c = \frac{2d+3}{4} \end{align} $
*). Syarat tidak berpotongan : $ D < 0 $
$ \begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (-d)^2 - 4.1 . \frac{2d+3}{4} & < 0 \\ d^2 - 2d- 3 & < 0 \\ (d + 1)(d-3) & < 0 \\ d = -1 \vee d & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
solusinya : $ \{ -1 < d < 3 \} $.
Jadi, nilai $ d $ agar garis dan bola tidak berpotongan adalah $ \{ -1 < d < 3 \} $.

5). Garis $ y = 2x + r $ memotong parabola $ x^2 = 3y $ di dua titik yang berbeda. Jika $ r $ adalah bilangan bulat terkecil yang memenuhi soal, maka tentukan nilai $ r^2 - 3 $ !
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x^2 & = 3y \\ x^2 & = 3(2x + r) \\ x^2 & = 6x + 3r \\ x^2 & - 6x - 3r = 0 \\ a & = 1, b = -6 , c = -3r \end{align} $
*). Syarat tidak berpotongan : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ (-6)^2 - 4.1 . (-3r) & > 0 \\ 36 + 12r & > 0 \\ 12r & > -36 \\ r & > -3 \end{align} $
*). Nilai $ r $ bulat yang memenuhi $ r > -3 $ adalah $ \{ -2,-1,0,1,2,3, ... \} $ dengan nilai $ r $ terkecil adalah $ r = -2 $.
Sehingga nilai $ r^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 $
Jadi, nilai $ r^2 - 3 = 1 $.

       Demikian pembahasan materi Kedudukan Garis terhadap Parabola dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Garis Singgung Parabola".

Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya

         Blog Koma - Materi yang akan kita bahas berkaitan dengan "irisan kerucut (konik)" adalah parabola. Pada artikel ini kita akan membahas materi Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya. Kurva parabola kita peroleh dari mengiriskan bidang datar dengan bangun ruang berbentuk kerucut. Secara definisi, parabola dapat diartikan sebagai tempat kedudukan titik-titik (misalkan P) sedemikian sehingga jarak titik P dengan titik fokus (titik F) sama dengan jarak titik P ke garis direktris (garis arahnya). Himpunan semua titik $ P(x,y) $ pada kurva parabola dapat kita susun suatu persamaan yaitu persamaan parabola. Untuk cara menemukan persamaan parabola, silahkan baca artikel "Cara Menemukan Persamaan Parabola". Parabola memiliki empat arah yaitu hadap kanan, hadap kiri, hadap atas, dan hadap bawah. Pada artikel ini kita akan lebih fokus pada Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya yang kita lengkapi dengan berbagai contoh soal serta trik mudah dalam mengingat hal-hal yang berkaitan persamaan bola.

Perhatikan ilustrasi kurva parabola dan unsur-unsurnya berikut ini.
Unsur-unsur dari kurva parabola di atas yaitu :
-). Kurva parabolanya ditandai dengan garis lengkung warna biru.
-). Titik $ F(p,0) $ adalah titik Fokus parabola.
-). Titik $ O(0,0) $ adalah titik puncak parabola
-). Garis $ g $ adalah garis arah atau direktris.
-). garis mendatar yang melalui titik Fokus dan titik puncak parabola serta tegak kurus dengan direktris disebut garis sumbu simetri, pada gambar ini garis sumbu simetrinya adalah sumbu X.
-). Garis $ L_1 $ ke $ L_2 $ disebut Latus Rectum dengan panjangnya dapat dihitung yaitu $ L_1L_2 = |4p| $.
-). Jarak titik P ke F sama dengan jarak P ke garis direktris (garis $ g $).

         Sesua dengan arah atau hadap dari kurva parabola, Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya dapat dibagi menjadi empat yaitu hadap kanan, kiri, atas, dan bawah. Sesuai letak titik puncaknya, Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan parabola dengan titik puncak $ (0,0) $ dan persamaan parabola dengan titik puncak $ M(a,b) $. Seperti pada artikel "cara menemukan persamaan parabola", ada empat rumus persamaan parabola yaitu $ x^2 = 4py $, $ x^2 = -4py $, $ y^2 = 4px $ , dan $ y^2 = -4y $ . Untuk memudahkan dalam mengingat persamaan parabola, pada blog ini kita bagi persamaan parabolanya hanya menjadi dua saja yaitu $ x^2 = 4py $ dan $ y^2 = 4px $ dengan nilai $ p $ bisa positif dan juga bisa negatif.

Persamaan Parabola dan unsur-unsurnya, titik puncak $ (0,0) $
$\clubsuit \, $ Bentuk pertama yaitu : $ y^2 = 4px $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (0,0) $
2). Titik Fokus $ F(p,0) $
3). Persamaan direktris : $ x = -p $
4). Sumbu Simetri : $ y = 0 $
5). Parabola searah sumbu X, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke kanan, dan jika $ p <0 br="" ke="" kiri.="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
$\spadesuit \, $ Bentuk Kedua yaitu : $ x^2 = 4py $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (0,0) $
2). Titik Fokus $ F(0, p) $
3). Persamaan direktris : $ y = -p $
4). Sumbu Simetri : $ x = 0 $
5). Parabola searah sumbu Y, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke atas, dan jika $ p <0 bawah.="" div="" ke="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
Persamaan Parabola dan unsur-unsurnya, titik puncak $ M(a,b) $
$\clubsuit \, $ Bentuk pertama yaitu : $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (a,b) $
2). Titik Fokus $ F(a+p,0) $
3). Persamaan direktris : $ x = a-p $
4). Sumbu Simetri : $ y = b $
5). Parabola searah sumbu X, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke kanan, dan jika $ p <0 br="" ke="" kiri.="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">
$\spadesuit \, $ Bentuk Kedua yaitu : $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $
Unsur-unsurnya :
1). Titik puncak $ (a,b) $
2). Titik Fokus $ F(0,b+ p) $
3). Persamaan direktris : $ y =b -p $
4). Sumbu Simetri : $ x = a $
5). Parabola searah sumbu Y, jika $ p > 0 $ (positif) maka menghadap ke atas, dan jika $ p <0 bawah.="" div="" ke="" kurva="" maka="" menghadap="" negatif="" parabola="">

Trik Mudah Mengingat persamaan parabola dan unsur-unsurnya.
*). Bentuk $ y^2 = 4px $ atau $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ :
-). Memiliki arah kurva searah sumbu X (ke kanan atau ke kiri), ciri-cirinya $ x $ pangkat satu.
-). Jika diketahui titik puncak dan Fokus, yang berubah $ x $ (absisnya).
-). Memiliki direktris $ x = ... $
-). Rumus Fokus Plus ($+$) dan direktris minus ($-$) :
$ \, \, \, \, \, F(a+p, b) \, $ dan $ x = a - p $

*). Bentuk $ x^2 = 4py $ atau $ (x-b)^2 = 4p(y-a) $ :
-). Memiliki arah kurva searah sumbu Y (ke atas atau ke bawah), ciri-cirinya $ y $ pangkat satu.
-). Jika diketahui titik puncak dan Fokus, yang berubah $ y $ (absisnya).
-). Memiliki direktris $ y = ... $
-). Rumus Fokus Plus ($+$) dan direktris minus ($-$) :
$ \, \, \, \, \, F(a, b+p) \, $ dan $ y = b - p $

*). Ciri-ciri umum :
-). Untuk titik puncak $ (a,b) $ , $ a $ mengurangkan $ x $ dan $ b $ mengurangkan $ y $,
dari $ y^2 = 4px $ menjadi $ (y - b)^2 = 4p(x-a) $.
dari $ x^2 = 4py $ menjadi $ (x - a)^2 = 4p(y - b) $.
-). Titik Fokus selalu ada di adalam parabola dan direktris ada di luar kurva serta titik puncak selalu ada di antara titik fokus dan direktris.

Contoh-contoh Soal Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya :

1). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ y^2 = 12x $
b). $ y^2 = - 6x $
Penyelesaian :
a). $ y^2 = 12x $
*). Bentuk $ y^2 = 12x $ mirip dengan persamaan parabola $ y^2 = 4px $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(p,0) = (3,0) $
Direktris : $ x = -p \rightarrow x = -3 $
Sumbu simetri : $ y = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.3| = 12 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ y^2 = 12x $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = 3 $ positif maka arahnya ke kanan.

b). $ y^2 = - 6x $
*). Bentuk $ y^2 = - 6x $ mirip dengan persamaan parabola $ y^2 = 4px $, artinya :
$ 4p = -6 \rightarrow p = -\frac{3}{2} $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(p,0) = (-\frac{3}{2},0) $
Direktris : $ x = -p \rightarrow x = -(-\frac{3}{2}) \rightarrow x = \frac{3}{2} $
Sumbu simetri : $ y = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-\frac{3}{2})| = |-6| = 6 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ y^2 = -6x $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = -\frac{3}{2} $ negatif maka arahnya ke kiri.

2). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ x^2 = 8y $
b). $ x^2 = -12y $
Penyelesaian :
a). $ x^2 = 8y $
*). Bentuk $ x^2 = 8y $ mirip dengan persamaan parabola $ x^2 = 4py $, artinya :
$ 4p = 8 \rightarrow p = 2 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(0,p) = (0,2) $
Direktris : $ y = -p \rightarrow y = -2 $
Sumbu simetri : $ x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.2| = 8 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ x^2 = 8y $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = 2 $ positif maka arahnya ke atas.

b). $ x^2 = -12y $
*). Bentuk $ x^2 = -12y $ mirip dengan persamaan parabola $ x^2 = 4py $, artinya :
$ 4p = -12 \rightarrow p = -3 $.
Titik puncak : $ (0,0) $
Titik fokus : $ F(0,p) = (0,-3) $
Direktris : $ y = -p \rightarrow y = -(-3) \rightarrow y = 3 $
Sumbu simetri : $ x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-3)| = 12 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ x^2 = -12y $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = -3 $ negatif maka arahnya ke bawah.

3). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ (y+1)^2 = 12(x-3) $
b). $ (y-2)^2 = -8(x+5) $
Penyelesaian :
a). $ (y+1)^2 = 12(x-3) $
*). Bentuk $ (y+1)^2 = 12(x-3) $ mirip dengan persamaan parabola $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
$ x - a = x - 3 \rightarrow a = 3 $
$ y - b = y + 1 \rightarrow b = -1 $
$ a + p = 3 + 3 = 6 $ dan $ a - p = 3-3 = 0 $
Titik puncak : $ (a,b) = (3,-1) $
Titik fokus : $ F(a+p,b) = (6,-1) $
Direktris : $ x = a-p \rightarrow x = 0 $
Sumbu simetri : $ y = b \rightarrow y = -1 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.3| = 12 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (y+1)^2 = 12(x-3) $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = 3 $ positif maka arahnya ke kanan.
 


b). $ (y-2)^2 = -8(x+5) $
*). Bentuk $ (y-2)^2 = -8(x+5) $ mirip dengan persamaan parabola $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $, artinya :
$ 4p = -8 \rightarrow p = -2 $.
$ x - a = x +5 \rightarrow a = -5 $
$ y - b = y -2 \rightarrow b = 2 $
$ a + p = -5 + (-2) = -7 $ dan $ a - p = -5 - (-2) = -3 $
Titik puncak : $ (a,b) = (-5,2) $
Titik fokus : $ F(a+p,b) = (-7,2) $
Direktris : $ x = a-p \rightarrow x = -3 $
Sumbu simetri : $ y = b \rightarrow y = 2 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-2)| = 8 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (y-2)^2 = -8(x+5) $ yaitu $ x $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu X, dan nilai $ p = -2 $ negatif maka arahnya ke kiri.

4). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ (x-2)^2 = 6(y-3) $
b). $ x^2 = -16(y+5) $
c). $ (x+1)^2 = 12y $
Penyelesaian :
a). $ (x-2)^2 = 6(y-3) $
*). Bentuk $ (x-2)^2 = 6(y-3) $ mirip dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = 6 \rightarrow p = \frac{3}{2} $.
$ x - a = x - 2 \rightarrow a = 2 $
$ y - b = y -3 \rightarrow b = 3 $
$ b + p = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $ dan $ b - p = 3-\frac{3}{2} = \frac{3}{2} $
Titik puncak : $ (a,b) = (2,3) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (2, \frac{9}{2}) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = \frac{3}{2} $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = 2 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.\frac{3}{2}| = 6 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (x-2)^2 = 6(y-3) $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = \frac{3}{2} $ positif maka arahnya ke atas.

b). $ x^2 = -16(y+5) $
*). Bentuk $ x^2 = -16(y+5) $ mirip dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = -16 \rightarrow p = -4 $.
$ x - a = x \rightarrow a = 0 $
$ y - b = y + 5 \rightarrow b = -5 $
$ b + p = -5 + (-4) = -9 $ dan $ b - p = -5 - (-4) = -1 $
Titik puncak : $ (a,b) = (0,-4) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (0, -9) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = -1 $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = 0 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-4)| = |-16| = 16 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ x^2 = -16(y+5) $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = -4 $ negatif maka arahnya ke bawah.

c). $ (x+1)^2 = 12y $
*). Bentuk $ (x+1)^2 = 12y $ mirip dengan persamaan parabola $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $, artinya :
$ 4p = 12 \rightarrow p = 3 $.
$ x - a = x + 1 \rightarrow a = -1 $
$ y - b = y \rightarrow b = 0 $
$ b + p = 0 + 3 = 3 $ dan $ b - p = 0-3 = -3 $
Titik puncak : $ (a,b) = (-1,0) $
Titik fokus : $ F(a,b+p) = (-1,3) $
Direktris : $ y = b-p \rightarrow y = -3 $
Sumbu simetri : $ x = a \rightarrow x = -1 $
Panjang latus rektum $ = |4p| = |4.(-4)| = |-16| = 16 $
*). Untuk grafiknya, karena persamaan parabolanya $ (x+1)^2 = 12y $ yaitu $ y $ yang pangkat satu maka kurva parabola searah sumbu Y, dan nilai $ p = 3 $ positif maka arahnya ke atas.

5). Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan direktris, persamaan sumbu simetri, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola :
a). $ x^2 + 4x - 6y - 14 = 0 $
b). $ y^2 - 6y - 4x - 11 = 0 $
c). $ x^2 + 12y - 24 = 0 $
d). $ 2y^2 - 3x + 15 = 0 $
Penyelesaian :
*). Untuk memudahkan mengerjakan soal nomor 5 ini, kita ubah dulu persamaan pada soal menjadi bentuk persamaan parabola pada teori di atas dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Silahkan pelajari artikelnya di "Cara melengkapkan Kuadrat Sempurna".

a). Mengubah persamaan parabola:
$ \begin{align} x^2 + 4x - 6y - 14 & = 0 \\ x^2 + 4x & = 6y + 14 \\ (x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2 & = 6y + 14 \\ (x + 2)^2 - 4 & = 6y + 14 \\ (x + 2)^2 & = 6y + 18 \\ (x + 2)^2 & = 6(y + 3) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ (x+2)^2 = 6(y+3) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 4 di atas.
b). Mengubah persamaan parabola:
$ \begin{align} y^2 - 6y - 4x - 11 & = 0 \\ y^2 - 6y & = 4x + 11 \\ (y- \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 & = 4x + 11 \\ (y- 3)^2 - 9 & = 4x + 11 \\ (y- 3)^2 & = 4x + 20 \\ (y- 3)^2 & = 4(x + 5) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ (y- 3)^2 = 4(x + 5) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 3 di atas.
c). Mengubah persamaan parabola :
$ \begin{align} x^2 + 12y - 24 & = 0 \\ x^2 & = -12y + 24 \\ x^2 & = -12(y - 2) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ x^2 = -12(y - 2) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 4 di atas.
d). Mengubah persamaan parabola :
$ \begin{align} 2y^2 - 3x + 15 & = 0 \\ 2y^2 & = 3x - 15 \\ 2y^2 & = 3(x - 5) \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ y^2 & = \frac{3}{2}(x - 5) \end{align} $
Sehingga bentuk persamaannya menjadi $ y^2 = \frac{3}{2}(x - 5) $, langkah berikutnya mirip dengan contoh 3 di atas.

6). Tentukan persamaan parabola jika diketahui :
a). titik puncak $ (-1,2) $ dan Fokus $ (3,2) $
b). titik puncak $ (2,-3) $ dan Fokus $ (2,-4) $
Penyelesaian :
*). Perhatikan titik puncak dan titik fokusnya, jika yang berubah $ x $ (absisnya) maka persamaannya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ , dan jika yang berubah $ y $ (ordinatnya), maka persamaannya $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $.

a). Titik puncak $ (-1,2) $ dan Fokus $ (3,2) $ , yang berubah $ x $ dari $ - 1 $ menjadi $ 3 $ sehingga persamaannya $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $.
-). Titik puncak $ (a,b) = (-1,2) $ , nilai $ a = -1 $ dan $ b = 2 $.
-). Titik fokus $ (a+p,b) = ( 3,2) $
$ a + p = 3 \rightarrow -1 + p = 3 \rightarrow p = 4 $.
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-2)^2 & = 4.4(x-(-1)) \\ (y-2)^2 & = 16(x+1) \end{align} $

b). Titik puncak $ (2,-3) $ dan Fokus $ (2,-4) $ , yang berubah $ y $ dari $ - 3 $ menjadi $ -4 $ sehingga persamaannya $ (x - a)^2 = 4p(y-b) $.
-). Titik puncak $ (a,b) = (2,-3) $ , nilai $ a = 2 $ dan $ b = -3 $.
-). Titik fokus $ (a, b+p) = ( 2, - 4) $
$ b + p = -4 \rightarrow -3 + p = -4 \rightarrow p = -1 $.
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x - a)^2 & = 4p(y-b) \\ (x - 2)^2 & = 4. (-1)(y-(-3)) \\ (x - 2)^2 & = -4(y+3) \end{align} $

7). Tentukan persamaan parabola jika diketahui :
a). titik puncak $ (1,-7) $ dan direktris $ x + 1 = 0 $
b). titik Fokus $ (-3,5) $ dan direktris $ y + 3 = 0 $
Penyelesaian :
*). Perhatikan persamaan direktrisnya, jika persamaannya dalam bentuk $ x = ...$ maka persamaan parabolanya $ (y - b)^2 = 4p(x-a) $ , dan jika persamaan direktrisnya $ y = ... $ maka persamaan parabolanya $ (x - a)^2 = 4p(y-b) $.

a). Direktrisnya $ x +1 = 0 \rightarrow x = -1 $, sehingga persamaan parabolanya $ (y-b)^2 = 4p( x - a) $
Titik puncak $ (a,b) = (1, -7) $ , nilai $ a = 1 $ dan $ b = -7 $
Direktris $ x = a - p \leftrightarrow x = - 1 $
sehingga $ a - p = -1 \rightarrow 1 - p = -1 \rightarrow p = 2 $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-(-7))^2 & = 4.2(x-1) \\ (y+7)^2 & = 8(x-1) \end{align} $

b). Direktrisnya $ y + 3 = 0 \rightarrow y = -3 $, sehingga persamaan parabolanya $ (x-a)^2 = 4p( y - b) $
Titik Fokus $ (a,b+p) = (-3,5) $ , nilai $ a = -3 $ dan $ b + p = 5 $
Direktris $ y = b - p \leftrightarrow y = -3 $
sehingga $ b - p = -3 $
Dari bentuk $ b + p = 5 $ dan $ b - p = -3 $, dengan eliminasi dan substitusi kita peroleh $ b = 1 $ dan $ p = 4 $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x-a)^2 & = 4p(y - b) \\ (x-(-3))^2 & = 4.4(y - 1) \\ (x+3)^2 & = 16(y - 1) \end{align} $

8). Tentukan persamaan parabola jika diketahui titik puncak $ (-3,1) $ dan melalui titik $ (5, -7) $ !
Penyelesaian :
*). Karena pada soal tidak ada permintaan arah atau hadap dari parabola, maka semua kemungkinan kita hitung (arah sumbu X dan arah sumbu Y).

a). Parabola searah sumbu X dengan persamaan $ (y-b)^2 = 4p(x-a) $ .
titik puncaknya $ (a,b) = ( -3,1) $
*). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (y-b)^2 & = 4p(x-a) \\ (y-1)^2 & = 4p(x-(-3)) \\ (y-1)^2 & = 4p(x+3) \, \, \, \, \, \, \text{(i)} \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui $ (5, -7) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} (y-1)^2 & = 4p(x+3) \\ (-7-1)^2 & = 4p(5+3) \\ 64 & = 4p.8 \\ 4p & = 8 \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (y-1)^2 = 8(x+3) $

b). Parabola searah sumbu Y dengan persamaan $ (x - a)^2 = 4p(y - b) $ .
titik puncaknya $ (a,b) = ( -3,1) $
*). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x - a)^2 & = 4p(y - b) \\ (x - (-3))^2 & = 4p(y - 1) \\ (x + 3)^2 & = 4p(y - 1) \, \, \, \, \, \, \text{(ii)} \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui $ (5, -7) $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} (x + 3)^2 & = 4p(y - 1) \\ (5 + 3)^2 & = 4p(-7 - 1) \\ 64 & = 4p. (-8) \\ 4p & = -8 \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (x + 3)^2 = -8(y - 1) $

9). Tentukan persamaan parabola jika memiliki titik fokus $ (-2,4) $ dan melalui titik $ (2,1) $ serta searah sumbu Y (parabola menghadap atas atau bawah)!
Penyelesaian :
*). Kurva parabola searah sumbu Y memiliki persamaan $ (x-a)^2 = 4p(y-b) $ .
Titik fokus $ (a, b+p) = ( -2, 4) $ , nilai $ a = -2 $ dan $ b + p = 4 \rightarrow b = 4 - p $
-). Persamaan parabolanya :
$ \begin{align} (x-a)^2 & = 4p(y-b) \\ (x-(-2))^2 & = 4p(y-(4 - p)) \\ (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Substitusikan titik yang dilalui $ (2,1) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (2 + 2)^2 & = 4p(1+ p -4) \\ 16 & = 4p(p -3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 4 & = p(p -3) \\ 4 & = p^2 - 3p \\ 0 & = p^2 - 3p - 4 \\ 0 & = (p + 1)(p-4) \\ p & = -1 \vee p = 4 \end{align} $
-). Sehingga persamaan parabolanya :
$ \begin{align} p = -1 \rightarrow (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (x + 2)^2 & = 4.(-1)(y+ (-1) -4) \\ (x + 2)^2 & = -4(y - 5) \\ p = 4 \rightarrow (x + 2)^2 & = 4p(y+ p -4) \\ (x + 2)^2 & = 4.4(y+ 4 -4) \\ (x + 2)^2 & = 16y \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya adalah $ (x + 2)^2 = -4(y - 5) $ atau $ (x + 2)^2 = 16y $ .

10. Tentukan persamaan parabola yang memiliki persamaan direktris $ x = -4 $ , sumbu simetri $ y = 4 $ dan melalui titik $ (11, - 8 ) $ !
Penyelesaian :
*). Karena direktrisnya $ x = .... $ maka persamaan parabolanya $ ( y - b)^2 = 4p(x-a) $ dan searah sumbu X.
*). Sumbu simetri $ y = b \leftrightarrow y = 4 $ sehingga $ b = 4 $.
*). Persamaan direktrisnya $ x = a-p \leftrightarrow x = -4 $ sehingga $ a - p = -4 \rightarrow a = p - 4 $
*). Persamaan parabolnya :
$ \begin{align} ( y - b)^2 & = 4p(x-a) \\ ( y - 4)^2 & = 4p(x-(p -4)) \\ ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
*). Substitusikan titik yang dilalui $ ( 11, -8 ) $ ke pers(i) :
$ \begin{align} ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( -8 - 4)^2 & = 4p(11- p + 4) \\ 144 & = 4p(15- p) \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ 36 & = p(15- p) \\ 36 & = 15p - p^2 \\ p^2 - 15p + 36 & = 0 \\ (p - 3)(p - 12) & = 0 \\ p = 3 \vee p & = 12 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ p $ ke pers(i) :
$ \begin{align} p = 3 \rightarrow ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 4.3(x- 3 + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 12(x+1) \\ p = 12 \rightarrow ( y - 4)^2 & = 4p(x- p + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 4.12(x- 12 + 4) \\ ( y - 4)^2 & = 48(x-8) \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ ( y - 4)^2 = 12(x+1) $ atau $ ( y - 4)^2 = 48(x-8) $ .

11). Tentukan persamaan parabola yang melalui tiga titik yaitu $ (-2,1) $ , $ (1,4) $ , dan $ (1, -2) $ dan searah sumbu X!
Penyelesaian :
*). Persamaan parabola melaui tiga titik dan searah sumbu X adalah $ y^2 + Ay + Bx + C = 0 $, persamaan parabola melaui tiga titik dan searah sumbu Y adalah $ x^2 + Ax + By + C = 0 $.
*). Pada soal ini parabola searah sumbu X sehingga yang kita gunakan adalah $ y^2 + Ay + Bx + C = 0 $ .
*). Substitusi ketiga titik yang dilalui oleh kurva parabola :
$ \begin{align} (1,4) \rightarrow 16 + 4A + B + C & = 0 \, \, \, \, ....(i) \\ (1,-2) \rightarrow 4 -2A + B + C & = 0 \, \, \, \, ....(ii) \\ (-2,1) \rightarrow 1 + A - 2B + C & = 0 \, \, \, \, ....(iii) \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 16 + 4A + B + C = 0 & \\ 4 -2A + B + C = 0 & - \\ \hline 12 + 6A = 0 & \\ A = -2 & \end{array} $
Pers(i) : $ 16 + 4A + B + C = 0 \rightarrow 16 + 4.(-2) + B + C = 0 \rightarrow B + C = - 8 \, $ ...(iv)
Pers(iii): $ 1 + A - 2B + C = 0 \rightarrow 1 + (-2) - 2B + C = 0 \rightarrow -2B + C = 1 \, $ ...(v)
*). Eliminasi pers(iv) dan pers(v) :
$ \begin{array}{cc} B + C = -8 & \\ -2B + C = 1 & - \\ \hline 3B = -9 & \\ B = -3 & \end{array} $
Pers(iv): $ B + C = -8 \rightarrow -3 + C = -8 \rightarrow C = -5 $.
Kita peroleh $ A = -2, B = -3 , C = -5 $.
Sehingga persamaan parabolanya :
$ y^2 + Ay + Bx + C = 0 \rightarrow y^2 -2y -3x -5 = 0 $
*). Kita ubah persamaan parabolanya :
$ \begin{align} y^2 -2y -3x -5 & = 0 \\ y^2 -2y & = 3x + 5 \\ (y - \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = 3x + 5 \\ (y - 1)^2 - 1 & = 3x + 5 \\ (y - 1)^2 & = 3x + 6 \\ (y - 1)^2 & = 3(x + 2) \end{align} $
Jadi, persamaan parabolanya $ (y - 1)^2 = 3(x + 2) $ .

       Demikian pembahasan materi Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya yang dilengkapi dengan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "irisan kerucut" yaitu "Kedudukan Garis terhadap Parabola".

Cara Menemukan Persamaan Parabola

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Cara Menemukan Persamaan Parabola, kita akan menyusun dari awal sehingga kita peroleh rumusnya dengan lengkap. Parabola merupakan salah satu hasil pada irisan kerucut dengan mengiriskan bidang datar dengan sebuah bangun ruang kerucut. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik (misalkan P) sedemikian sehingga jarak titik P dengan titik fokus (titik F) sama dengan jarak titik P ke garis direktris (garis arahnya). Lalu bagaimana Cara Menemukan Persamaan Parabola? Untuk menemukan persamaan parabola, salah satu yang kita butuhkan adalah rumus jarak antara dua titik. Misalkan ada titik $ A(x_1,y_1) $ dan titik $ A(x_2,y_2) $ , jarak antara titik A dan B adalah $ |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 +(y_2-y_1)^2} $. Untuk contohnya, silahkan teman-teman baca pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis ".

         Untuk memudahkan dalam Cara Menemukan Persamaan Parabola, kita akan konstruksi ilustrasi gambar kurva parabolanya. Misalkan titik fokus $ F(p,0) $ , titik puncak $ O(0,0) $ , garis direktris (garis arah) yaitu garis $ g $ dan kita pilih titik $ R(-p,y) $ pada garis $ g $, kita pilih sembarang titik $ P(x,y) $ yang ada pada parabola. Berikut ilustrasi gambarnya .

$\spadesuit \, $ Cara Menemukan Persamaan Parabola dengan Titik Puncak $(0,0) $ :
    Sesuai dengan pengertian parabola, jarak titik P ke titik Fokus ($|PF|$) sama dengan jarak titik P ke titik R ($|PR|$).
$ \begin{align} |PF| & = |PR| \\ \sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2} & = \sqrt{(x - (-p))^2 + (y - y)^2 } \\ \sqrt{(x - p)^2 + y^2} & = \sqrt{(x + p)^2 + (0)^2 } \\ \sqrt{(x - p)^2 + y^2} & = \sqrt{(x + p)^2 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (x - p)^2 + y^2 & = (x + p)^2 \\ x^2 - 2px + p^2 + y^2 & = x^2 + 2px + p^2 \\ y^2 & = 2px + 2px \\ y^2 & = 4px \end{align} $
Sehingga persamaan parabolanya $ y^2 = 4px $.

       Persamaan parabola dengan titik puncak $ O(0,0) $ dengan titik fokus $ F(p,0) $ dan parabola menghadap kearah kanan (arah sumbu X positif) adalah : $ y^2 = 4px $
Dengan cara penghitungan yang mirip dengan cara di atas, maka kita akan dapat menentukan tiga persamaan parabola lainnya yang menghadap ke arah yang berbeda. Berikut adalah ilustrasi kurva parabola yang ada empat jenis dengan menghadap ke kanan, ke kiri, ke atas, dan ke bawah lengkap dengan persamaannya. Untuk Cara Menemukan Persamaan Parabola, silahkan teman-teman lakukan seperti perhitungan di atas yatu $ |PF| = |PR| $.

$\clubsuit \, $ Cara Menemukan Persamaan Parabola dengan Titik Puncak $M(a,b) $ :
       Cara Menemukan Persamaan Parabola dengan Titik Puncak $M(a,b) $ yaitu dengan cara menggeser persamaan parabola yang titik puncaknya $ O(0,0) $ ke titik puncak $ M(a,b) $. Untuk memudahkan, kita gunakan konsep translasi (pergeseran). Silahkan baca materi translasi pada artikel "Translasi pada Transformasi Geometri". Perhatikan ilustrasi kurva parabola dengan titik puncak $ M(a,b) $ dan titik Fokus $ F(a+p,b) $ .
Sesuai dengan konsep translasi, menggeser sejauh $ a $ satuan searah sumbu X dan sejauh $ b $ satuan searah sumbu Y, matriks translasinya dapat ditulis $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
*). Hubungan titik awal dan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a + x \\ b + y \end{matrix} \right) \\ x^\prime & = a + x \rightarrow x = x^\prime - a \\ y^\prime & = b + y \rightarrow y = y^\prime - b \end{align} $
*). Persamaan awal untuk kurva parabola menghadap ke kanan : $ y^2 = 4px $, sehingga persamaan baru setelah digeser yaitu :
$ \begin{align} y^2 & = 4px \\ (y^\prime - b)^2 & = 4p(x^\prime - a) \\ \text{ atau } & \text{ dapat ditlis} \\ (y-b)^2 & = 4p(x-a) \end{align} $
Berikut rumus persamaan parabola dengan titik puncak $ M(a,b) $ :
Persamaan Parabola dengan titik Puncak $ M(a,b) $
*). Parabola menghadap ke kanan (arah sumbu X positif)
$ \, \, \, \, \, (y-b)^2 = 4p(x-a) $
*). Parabola menghadap ke kiri (arah sumbu X negatif)
$ \, \, \, \, \, (y-b)^2 = -4p(x-a) $
*). Parabola menghadap ke atas (arah sumbu Y positif)
$ \, \, \, \, \, (x - a)^2 = 4p(y-b) $
*). Parabola menghadap ke bawah (arah sumbu Y negatif)
$ \, \, \, \, \, (x - a)^2 = -4p(y-b) $

       Demikian pembahasan materi Cara Menemukan Persamaan Parabola , di sini hanya kita bahas cara menyusun persamaannya saja tanpa kita berikan contoh soalnya. Untuk Contoh soal persamaan kuadrat secara mendalam, silahkan teman-teman baca pada artikel "Persamaan Parabola dan Unsur-unsurnya". Terimakasih.

Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna

         Blog Koma - Hallow teman-teman, Bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan membahas tentang Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna. Materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna ini sangat penting karena banyak kita pakai dalam pembelajaran matematika, seperti persamaan kuadrat, persamaan lingkaran, persamaan parabola, persamaan elips, persamaan hiperbola dan materi lain yang terkait dengan bentuk kuadrat. Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna ini, teman-teman harus menguasai materi dasar berhitung seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian serta ketelitian dalam menghitung. Langsung saja berikut ringkasan materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna.


Rumus Melengkapkan Kuadrat Sempurna
       Rumus sederhana Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna yaitu :
$ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $

Catatan :
Koefisien $ x^2 $ harus 1, jika tidak maka bagi dulu sehingga nilainya 1 atau bisa juga dengan distributif.

Pembuktian Rumus dasar Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna di atas :
Rumus Pertama :
$ \begin{align} x^2 + bx & = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = \left( x^2 + bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 + bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 + bx \, \, \, \, \, \text{(Benar Sama)} \end{align} $
Rumus Kedua :
$ \begin{align} x^2 - bx & = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = \left( x^2 - bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 \right) - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 - bx + \left( \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 \\ & = x^2 - bx \, \, \, \, \, \text{(Benar Sama)} \end{align} $

Contoh Soal Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna :
1). Tentukan Bentuk Kuadrat Sempurna dari :
a). $ x^2 + 4x -1 $
b). $ x^2 - 6x + 7 $
c). $ x^2 + 5x - 3 $
Penyelesaian :
a). Dengan Cara melengkapkan kuadrat sempurna :
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 + 4x -1 & = (x + \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2 -1 \\ & = (x + 2)^2 - (2)^2 -1 \\ & = (x + 2)^2 - 4 -1 \\ & = (x + 2)^2 -5 \end{align} $
Jadi, bentuk $ x^2 + 4x -1 = (x+2)^2 - 1 $

b). $ x^2 - 6x + 7 $
Rumus Dasar : $ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 - 6x + 7 & = (x - \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 + 7 \\ & = (x - 3)^2 - (3)^2 + 7 \\ & = (x - 3)^2 - 9 + 7 \\ & = (x - 3)^2 -2 \end{align} $
Jadi, bentuk $ x^2 - 6x + 7 = (x - 3)^2 - 2$

c). Dengan Cara melengkapkan kuadrat sempurna :
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 + 5x - 3 & = (x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 -3 \\ & = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} -3 \\ & = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - \frac{12}{4} \\ & = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{37}{4} \end{align} $
Jadi, bentuk $ x^2 + 5x - 3 = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{37}{4} $

2). Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari persamaan :
a). $ x^2 + 8x -9 = 0 $
b). $ x^2 - 2x + 2y - 3 = 0 $
c). $ 2x^2 + 12x + 4y - 9 = 0 $
Penyelesaian :
a). $ x^2 + 8x -9 = 0 $
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 + 8x -9 & = 0 \\ x^2 + 8x & = 9 \\ (x + \frac{8}{2})^2 - (\frac{8}{2})^2 & = 9 \\ (x + 4)^2 - (4)^2 & = 9 \\ (x + 4)^2 - 16 & = 9 \\ (x + 4)^2 & = 9 + 16 \\ (x + 4)^2 & = 25 \end{align} $

b). $ x^2 - 2x + 2y - 3 = 0 $
Rumus Dasar : $ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} x^2 - 2x + 2y - 3 & = 0 \\ x^2 - 2x & = -2y + 3 \\ (x - \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = -2y + 3 \\ (x -1)^2 - (1)^2 & = -2y + 3 \\ (x -1)^2 - 1 & = -2y + 3 \\ (x -1)^2 & = -2y + 3 + 1 \\ (x -1)^2 & = -2y + 4 \end{align} $

c). $ 2x^2 + 12x + 4y - 9 = 0 $
Rumus Dasar : $ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ \begin{align} 2x^2 + 12x + 4y - 9 & = 0 \\ 2x^2 + 12x & = -4y + 9 \\ 2(x^2 + 6x) & = -4y + 9 \\ 2\left( x^2 + 6x \right) & = -4y + 9 \\ 2\left( (x + \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 \right) & = -4y + 9 \\ 2\left( (x + 3)^2 - (3)^2 \right) & = -4y + 9 \\ 2\left( (x + 3)^2 - 9 \right) & = -4y + 9 \\ 2 (x + 3)^2 - 18 & = -4y + 9 \\ 2 (x + 3)^2 & = -4y + 9 + 18 \\ 2 (x + 3)^2 & = -4y +27 \end{align} $

3). Tentukan bentuk kuadrat sempurna dari persamaan :
a). $ x^2 +y^2 - 4x + 2y -2 = 0 $
b). $ 3x^2 - y^2 + 6x + 8y - 1 = 0 $
Penyelesaian :
a). $ x^2 +y^2 - 4x + 2y -2 = 0 $
Rumus Dasar :
$ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
Melengkapkan Kuadrat sempurna :
$ \begin{align} x^2 +y^2 - 4x + 2y -2 & = 0 \\ x^2 - 4x +y^2 + 2y & = 2 \\ (x - \frac{4}{2})^2 - (\frac{4}{2})^2 + (y + \frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = 2 \\ (x - 2)^2 - (2)^2 + (y + 1)^2 - (1)^2 & = 2 \\ (x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 & = 2 \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 & = 2 + 4 + 1 \\ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 & = 7 \end{align} $

b). $ 3x^2 - y^2 + 6x + 8y - 1 = 0 $
Rumus Dasar :
$ x^2 + bx = \left( x + \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
$ x^2 - bx = \left( x - \frac{b}{2} \right)^2 - \left( \frac{b}{2} \right)^2 $
Melengkapkan Kuadrat sempurna :
$ \begin{align} 3x^2 - y^2 + 6x + 8y - 1 & = 0 \\ 3x^2 + 6x - y^2 + 8y & = 1 \\ 3(x^2 + 2x ) - ( y^2 - 8y) & = 1 \\ 3\left((x + \frac{2}{2} )^2 - (\frac{2}{2})^2 \right) - \left((y - \frac{8}{2} )^2 - (\frac{8}{2})^2 \right) & = 1 \\ 3\left((x + 1 )^2 - (1)^2 \right) - \left((y - 4 )^2 - (4)^2 \right) & = 1 \\ 3\left((x + 1 )^2 - 1 \right) - \left((y - 4 )^2 - 16 \right) & = 1 \\ 3(x + 1 )^2 - 3 -(y - 4 )^2 + 16 & = 1 \\ 3(x + 1 )^2 -(y - 4 )^2 & = 1 + 3 - 16 \\ 3(x + 1 )^2 -(y - 4 )^2 & = -12 \end{align} $

       Demikian pembahasan materi Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna dan contoh-contohnya. Semoga materi ini bisa membantu dan menunjang dalam pembelajaran matematika. Terimakasih.

Irisan Kerucut (Konik)

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Irisan Kerucut (Konik) yang merupakan salah satu materi sekolah tingkat SMA untuk kurikulum 2013. Ada empat bentuk irisan kerucut yang akan kita pelajari yaitu parabola, elips, hiperbola, dan lingkaran. Cara mudah dalam memperoleh bentuk irisan kerucut yaitu dengan mengiriskan sebuah bidang datar pada bangun ruang yang berbentuk kerucut, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Irisan antara bidang datar dan bangun ruang kerucut inilah yang disebut dengan irisan kerucut yang membentuk sebuah kurva dimana bentuk kurvanya tergantung dari cara kita mengiris. Tampak terlihat empat jenis kurva yang kita peroleh yaitu kurva parabola, kurva elips, kurva hiperbola, dan kurva lingkaran.

         Pada materi irisan kerucut atau konik ini, kita akan membahas beberapa hal yang penting yaitu unsur-unsur masing-masing irisan kerucut, persamaan kurva masing-masing, dan garis singgung kurva, serta untuk hiperbola akan kita bahas hal yang berkaitan dengan asimtot hiperbola. Sementara pada artikel ini akan kita bahas mengenai definisi atau pengertian irisan kerucut serta hal-hal yang akan kita bahas berikutnya. Jika dilihat dari pengertian irisan kerucut, maka hanya tiga kurva yang akan terbentuk pada irisan kerucut yaitu parabola, elips, dan hiperbola. Namun jika dilihat secara lebih luas, maka lingkaran juga merupakan bagian dari irisan kerucut, dimana lingkaran adalah himpunan semua titik yang jaraknya tetap (disebut jari-jari) terhadap suatu titik tertentu (titik pusatnya).

Pengertian Irisan Kerucut
$\clubsuit \, $ Pengertian Singkat
       Irisan kerucut adalah kedudukan titik-titik (himpunan titik-titik tersebut membentuk sebuah kurva yaitu parabola, elips, dan hiperbola) yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu (biasanya disebut titik Fokus) dengan jaraknya ke garis tertentu (biasanya disebut garis arah atau direktris) mempunyai nilai tetap.

$\spadesuit \, $ Pengertian Lengkap
       Misalkan terdapat garis tetap $ r $ pada sebuah bidang dan terdapat titik tetap F di luar garis $ r $. Himpunan semua titik P sedemikian sehingga perbandingan antara jarak titik P ke titik F ($|PF|$) dengan jarak titik P ke garis $ r $ ($|PR|$) adalah tetap sebesar $ e $ dengan $ e > 0 $, himpunan semua titik P inilah dinamakan irisan kerucut atau Konik. Perbandingannya dapat dituliskan $ \frac{|PF|}{|PR|} = e \, $ atau $ |PF| = e|PR| $. Garis $ r $ disebut garis arah atau direktris, titik F disebut fokus, dan $ e $ biasa disebut eksentrisitas.

$ \heartsuit \, $ Jenis-jenis irisan Kerucut
       Jenis-jenis irisan kerucut tergantung dari nilai $ e $ (eksentrisitas), yaitu :
i). Jika $ e = 1 $, maka irisan kerucut berupa parabola,
ii). Jika $ 0 < e < 1 $, maka irisan kerucut berupa elips,
iii). Jika $ e > 1 $, maka irisan kerucut berupa hiperbola.

       Adapun submateri yang akan kita bahas dalam irisan kerucut yaitu :
a). Parabola
    -). Cara Menemukan Persamaan Parabola,
    -). Unsur-unsur dan Persamaan Parabola,
    -). Kedudukan Titik terhadap Parabola,
    -). Kedudukan Garis terhadap Parabola,
    -). Garis singgung Parabola,
b). Elips
    -). Cara Menemukan persamaan ELips,
    -). Unsur-unsur dan Persamaan ELips,
    -). Kedudukan Titik terhahadap Elips,
    -). Kedudukan Garis terhadap ELips,
    -). Garis Singgung ELips,
c). Hiperbola
    -). Cara menemukan persamaan Hiperbola,
    -). Unsur-unsur dan Persamaan Hiperbola,
    -). Kedudukan titik terhadap Hiperbola,
    -). Kedudukan Garis terhadap Hiperbola,
    -). Garis Singgung Hiperbola,
    -). Asimtot Hiperbola,
d). Lingkaran
    -). Unsur-unsur dan Persamaan Lingkaran,
    -). Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran,
    -). Garis Singgung Lingkaran,

       Demikian pembahasan materi Irisan Kerucut Secara umum serta hal-hal yang akan kita bahas. Tentu akan kami lengkapi pembahasan submateri "irisan kerucut" ini secara bertahap. Semoga bisa bermanfaat untuk kita semua dan jika ada saran serta kritik, silahkan isi komentar pada kolom komentar disetiap artikelnya. Terimakasih.

Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri

         Blog Koma - Setelah mempelajari artikel "asimtot tegak dan mendatar fungsi aljabar" dan "asimtot miring fungsi", pada artikel ini kita akan lanjutkan pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri. Seperti yang telah kita ketahui bersama, asimtot adalah sebuah garis lurus yang akan didekati (tidak bersentuhan) oleh sebuah kurva di titik jauh tak hingga. Ada tiga jenis asimtot yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Nah, yang akan kita bahas khusus dua asimtot pertama yaitu tegak dan mendatar khusus fungsi trigonometri. Untuk menggambar grafik fungsi trigonometri memang tidaklah mudah, namun tenang saja teman-teman, kita tidak perlu menggambar kurva fungsi trigonometrinya, kita langsung gunakan analisa aljabar untuk mencari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "Penyelesaian Persamaan Trigonometri ", "limit fungsi trigonometri", dan "limit tak hingga fungsi trigonometri". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Trigonometri
       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) .

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi Trigonometri bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Asimtot Mendatar Fungsi Trigonometri
       Fungsi Trigonometri $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.
Catatan asimtot mendatar :
Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan x $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \cos x = \cos \theta $ adalah
$ x = \pm \theta + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ , dengan penyebut $ \cos x $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} \cos x & = 0 \\ \cos x & = \cos \frac{\pi}{2} \\ x & = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi \end{align} $
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat, karena $ \displaystyle \lim_{x \to \pm \frac{\pi}{2} + k.2\pi } \, \tan x = \pm \infty $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot tegak fungsi trigonometri, kita harus benar-benar menguasai materi persamaan trigonometri yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian persamaan trigonometri".

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $!
Penyelesaian :
*). Penyelesaian bentuk : $ \sin x = \sin \theta $ adalah
$ x = \theta + k.2\pi \, $ dan $ x = (\pi - \theta ) + k.2\pi $
*). Menentukan Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \frac{1 - \sin x }{2\sin x + 1} $, dengan penyebut $ 2\sin x + 1 $ akan bernilai $ 0 $ ketika :
$ \begin{align} 2\sin x + 1 & = 0 \\ 2\sin x & = -1 \\ \sin x & = - \frac{1}{2} \\ \sin x & = \sin \frac{7\pi}{6} \end{align} $
Solusinya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ atau
$ x = (\pi - \frac{7\pi}{6} ) + k.2\pi = -\frac{1}{6}\pi + k.2\pi = (2k - \frac{1}{6})\pi $ .
Artinya persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = \frac{7\pi}{6} + k.2\pi \, $ dan $ x = (2k - \frac{1}{6})\pi $ untuk $ k $ bilangan bulat.

3). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = x . \tan \frac{1}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sehingga $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.

4). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = \frac{5}{2} $.

5). Tentukan persamaan asimtot mendatar dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $ !
Penyelesaian :
Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $
Artinya persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 6 $.

Catatan :
Untuk mempermudah dalam menentukan persamaan asimtot mendatar suatu bentuk fungsi trigonometri, teman-teman harus menguasai materi limit tak hingga fungsi trigonometri yang bisa dibaca pada artikel "limit tak hingga fungsi trigonometri".

       Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar".

Kumpulan Soal Vektor Seleksi Masuk PTN

         Blog koma - Nah artikel terakhir yang terkait dengan "kumpulan soal matematika per bab seleksi masuk ptn" adalah tentang Kumpulan Soal Vektor Seleksi Masuk PTN. Materi vektor biasanya keluar soal-soalnya pada matematika ipa (matematika saintek). Vektor kalau secara aljabar penghitungannya mirip dengan matriks, namun secara geometri akan lebih sulit bagi kita untuk mengerjakan soal-soalnya. Nah, dengan adanya Kumpulan Soal Vektor Seleksi Masuk PTN ini akan mempermudah kita dalam menguasai materi vektor, dimana soal-soalnya kita susun dari berbegai seleksi seperti SBMPTN, SNMPTN, SPMB, UMPTN, dan juga seleksi mandiri seperti SImak UI, UM UGM, dan SPMK UB. Berikut Kumpulan Soal Vektor Seleksi Masuk PTN dan lengkap dengan pembahasan masing-masing soalnya.

Nomor 1. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 Kode 554
Diberikan limas $T.ABC$. Misalkan $u=\vec{TA}, v=\vec{TB}, w=\vec{TC}$. Jika $P$ titik berat $\Delta ABC$, maka $\vec{TP}=...$
sbmptn_mat_ipa_2014.png
Nomor 2. Soal SBMPTN MatDas 2014 Kode 611
Vektor-vektor $u , v, \, $ dan $w$ tak nol dan $|u|=|v|$. Jika $|v-w|=|u-w|$, maka ...
Nomor 3. Soal UTUL UGM Mat IPA 2014
Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\theta$ . Jika panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan $2sin\theta$ dan panjang vektor $\vec{b}$ adalah 1, maka $tan2\theta =...$
Nomor 4. Soal SBMPTN Mat IPA 2013 Kode 436
Diketahui A(-3,0,0), B(0,3,0), dan C(0,0,7). Panjang vektor proyeksi $\vec{AC}$ ke vektor $\vec{AB}$ adalah ...
Nomor 5. Soal SNMPTN Mat IPA 2012 Kode 634
Diketahui $|\vec{u}|=1 $ dan $|\vec{v}|=2 $ . Jika $\vec{u} $ dan $\vec{v} $ membentuk sudut 30$^o $ , maka ($\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} = ...$
Nomor 6. Soal SNMPTN Mat IPA 2011 Kode 574
Diketahui vektor $\vec{u}=(a, -2, -1) $ dan $\vec{v}=(a, a, -1) $ . Jika vektor $\vec{u} $ tegak lurus pada $\vec{v}$ , maka nilai $a$ adalah ...
Nomor 7. Soal SNMPTN Mat IPA 2011 Kode 574
Pernyataan berikut yang benar adalah ...
(A) Jika $\sin x = \sin y $ , maka $x=y$
(B) Untuk setiap vektor $\vec{u}, \vec{v} $ dan $\vec{w} $ berlaku $\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w}) = (\vec{u}.\vec{v}).\vec{w} $
(C) Jika $\int \limits_a^b f(x)dx=0 $ , maka $f(x) = 0 $
(D) Ada fungsi $f$ sehingga $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) \neq f(c) $ untuk suatu $c$
(E) $1-\cos 2x = 2\cos ^2 x $
Nomor 8. Soal SNMPTN Mat IPA 2011 Kode 574
Vektor $\vec{u} = 4\vec{i} + b\vec{j}+c\vec{k} $ tegak lurus vektor $\vec{w} = 2\vec{i} -2\vec{j}+3\vec{k} $ dan $|\vec{u} | = 2|\vec{w}| $ , maka nilai $b$ memenuhi ...
Nomor 9. Soal SNMPTN Mat IPA 201 Kode 574
Diketahui vektor $\vec{u} = (1, -3a+1, 2) $ dan $\vec{v} = (a^3-3a^2, 3, 0) $ dengan $-2 < a < 4 $ . Nilai maksimum $\vec{u} . \vec{v} $ adalah ...
Nomor 10. Soal SNMPTN Mat IPA 2010 Kode 526
Nilai $p$ agar vektor $\, \, pi+2j-6k \, \, $ dan $\, \, 4i-3j+k \, \, $ saling tegak lurus adalah ...

Nomor 11. Soal SNMPTN Mat IPA 2009 Kode 276
Agar vektor $\vec{a} = 2\vec{i} + p \vec{j} + \vec{k} $ dan $\vec{b} = 3\vec{i} + 2 \vec{j} + 4\vec{k} $ saling tegak lurus, maka nilai $p$ adalah ....
Nomor 12. Soal Simak UI Mat IPA 2014
Misalkan diberikan vektor $\vec{b}=(y,-2z,3x)$, dan $\vec{c}=(2z,3x,-y)$. Diketahui vektor $\vec{a}$ membentuk sudut tumpul dengan sumbu $y$ dan $|| \vec{a} || = 2\sqrt{3}$. Jika $\vec{a}$ membentuk sudut yang sama dengan $\vec{b}$ maupun $\vec{c}$ , dan tegak lurus dengan $\vec{d} = (1,-1,2)$ , maka $\vec{a}=...$
Nomor 13. Soal SPMB Mat IPA 2006
Diberikan vektor-vektor $ \vec{a} = x\vec{i} - 3x\vec{j}+6y\vec{k} \, $ dan $ \, \vec{b} = (1-y)\vec{i} +3\vec{j}-(1+x)\vec{k} \, $ dengan $ x > 0 $. Jika $ \vec{a} \, $ dan $ \vec{b} $ sejajar, maka $ \vec{a}+3\vec{b} = .... $
Nomor 14. Soal SPMB Mat IPA 2005
Diketahui vektor satuan $ \vec{u} = 0,8\vec{i} + a \vec{j}. \, $ Jika vektor $ \vec{v} = b\vec{i} + \vec{j} \, $ tegak lurus $ \vec{u} \, $ , maka $ a . b = .... $
Nomor 15. Soal SPMB Mat IPA 2004
Bila panjang proyeksi vektor $ \vec{b} = \vec{i} - 2 \vec{j} \, $ pada vektor $ \vec{a} = x\vec{i} + y \vec{j} \, $ dengan $ x, y > 0 \, $ adalah 1, maka nilai $ 4x-3y+1 = .... $
Nomor 16. Soal SPMB Mat IPA 2003
Vektor $ \vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \, $ dan $ \, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}. \, $ Jika panjang proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \, \vec{v} \, $ adalah 6, maka $ x = ..... $
Nomor 17. Soal SPMB Mat IPA 2002
O adalah titik awal, jika
$ \vec{a} \, $ adalah vektor posisi A
$ \vec{b} \, $ adalah vektor posisi B
$ \vec{c} \, $ adalah vektor posisi C
$ \vec{CD} = \vec{b} , \, \vec{BE} = \vec{a} , \, \vec{DP} = \vec{OE} $
Maka vektor posisi titik P adalah .....
Nomor 18. Soal UMPTN Mat IPA 2001
Jika sudut antara vektor $ \vec{a} = \vec{i}+\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k} \, $ dan $ \vec{b} = \vec{i}-\sqrt{2}\vec{j}+p\vec{k} \, $ adalah $ 60^\circ , $ maka $ p = .... $
Nomor 19. Soal UMPTN Mat IPA 2000
umptn_mat_ipa_1_2000.png
Pada segitiga ABC, E adalah titik tengah BC dan M adalah titik berat segitiga tersebut.
Jika $ \vec{u} = \vec{AB} \, $ dan $ \vec{v} = \vec{AC}, \, $ maka ruas garis berarah $ \vec{ME} \, $ dapat dinyatakan dalam $ \vec{u} \, $ dan $ \vec{v} \, $ sebagai .....
Nomor 20. Soal Simak UI Mat IPA 2014
Diketahui vektor $\vec{a}=(-1,1,2) , \vec{u}=(-1,c,2)$ dan $\vec{x}=(-3,0,1)$. $L_1$ adalah luas segitiga siku-siku yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{x}$. $L_2$ adalah luas segitiga siku-siku yang dibentuk oleh $\vec{u}$ dan proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{x}$. Jika $L_1=\frac{1}{8}L_2$, maka nilai $2c^2=...$

Nomor 21. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 Kode 523
Diberikan limas $T.ABC$. Misalkan $u=\vec{TA}, v=\vec{TB}, w=\vec{TC}$. Jika $P$ titik berat $\Delta ABC$, maka $\vec{TP}=...$
sbmptn_1_mat_ipa_k523_2014.png
Nomor 22. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 Kode 532
Jika $ u \, $ dan $ v \, $ adalah vektor-vektor sehingga $ ||u|| = 5, ||v|| = 3, \, $ dan $ u.v = -1 , \, $ maka $ ||u - v || = ..... $
Nomor 23. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 Kode 586
sbmptn_1_mat_ipa_k586_2014.png
Diberikan segi-4 sembarang ABCD dengan X dan Y adalah masing-masing titik tengah diagonal AC dan BD. Jika $ u = \vec{AB} , \, v = \vec{AC} , \, w = \vec{AD} , \, $ maka $ \vec{XY} = .... $
Nomor 24. Soal SBMPTN Mat IPA 2014 Kode 542
Vektor-vektor $ u , \, v , \, $ dan $ x \, $ tidak nol. Vektor $ u+v \, $ tegak lurus $ u - x \, $ , jika ....
(A) $ |u+v| = |u-v| $
(B) $ |v| = |x| $
(C) $ u.u = v.v, \, v = -x $
(D) $ u.u = v.v, \, v = x $
(E) $ u.v = v.v $
Nomor 25. Soal UTUL UGM Mat IPA 2013
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = (a,1,-a) \, $ dan $ \vec{v} = (1,a,a). \, $ Jika $ \vec{u}_1 \, $ vektor proyeksi $ \vec{u} \, $ pada $ \vec{v}, \, \vec{v}_1 \, $ vektor proyeksi $ \vec{v} \, $ pada $ \vec{u} , \, $ dan $ \theta \, $ sudut antara $ \vec{u} \, $ dan $ \vec{v} \, $ dengan $ \cos \theta = \frac{1}{3}, \, $ maka luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $ \vec{u}_1 \, $ dan $ \vec{v}_1 \, $ adalah ....
Nomor 26. Soal SBMPTN Mat IPA 2015 Kode 517
Diketahui $\vec{a} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} \, $ dan $ \vec{b} = \vec{i} - 4\vec{j}. \, $ Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $ \vec{a} + \vec{b} \, $ dan $ \vec{a} \, $ adalah ....
Nomor 27. Soal UTUL UGM Mat IPA 2015
Diketahui vektor $ \vec{p} = a\vec{i}+b\vec{j}+2\vec{k} , \, \vec{q} = \vec{i}+2\vec{j}+c\vec{k} , \, $ dan $ \vec{r} = 3\vec{i}+6\vec{j}+c\vec{k} , \, $ dengan $ a, b \neq 0 . \, $ Jika $ \vec{p} \bot \vec{q} \, $ dan $ \, \vec{p} \bot \vec{r} \, $ maka $ \frac{a^2 + 4b^2}{ab} = .... $
Nomor 28. Soal UTUL UGM Mat IPA 2016 Kode 581
Diketahui vektor $\vec{OA} = (1, \, 2) \, $ dan $ \vec{OB}=(2, \, 1)$. Jika titik P terletak pada AB sehingga AP:PB=1:2, maka panjang vektor $\vec{OP} \, $ adalah ....
A). $ \frac{3}{2}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{41} \, $ E). $ \frac{3}{2}\sqrt{41} $
Nomor 29. Soal UTUL UGM Mat IPA 2016 Kode 381
Diketahui $ \theta \, $ merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor $ \vec{a} \, $ dan $ \vec{b} $, dengan $ \vec{a} = (1, p+1, p-1) \, $ dan $ \vec{b} = (-1,3,-3)$. Jika $ \cos \theta = \frac{5}{19}, \, $ maka $ p^2 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 25 $
Nomor 30. Soal SBMPTN Mat IPA 2016 Kode 246
Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $ dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan $ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $

Nomor 31. Soal SBMPTN Mat IPA 2016 Kode 250
Jika vektor $ v = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ dirotasikan sejauh $ 90^\circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat, kemudian dicerminkan pada garis $ x = -y $ menjadi vektor $ u $, maka $ u + v = .... $
A). $\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix} \right) \, $
Nomor 32. Soal SBMPTN Mat IPA 2016 Kode 251
Jika vektor $ x = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ didilatasi sebesar $ b $ kali kemudian dirotasi sejauh $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat menjadi vektor $ y $, maka $ ax - y = .... $
A). $a\left( \begin{matrix} a + b \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} a^2 + b^2 \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ b\left( \begin{matrix} a + b \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ a^2 + b^2 \end{matrix} \right) \, $ E). $ b\left( \begin{matrix} 0 \\ a + b \end{matrix} \right) \, $
Nomor 33. Soal UTUL UGM Mat IPA 2010
Vektor $\vec{u} = (x, y, 1) $ sejajar $ \vec{v} = (-1,3,z) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus $ (3,-2,3) $ , maka $ y = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 $
Nomor 34. Soal SBMPTN Mat IPA 2017 Kode 165
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} , \, \vec{b} , \, $ dan $ \vec{ c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, \, 1) , \, \vec{b} \bot \vec{c} , \, $ dan $ \vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0$. Jika $|\vec{a}| = 5 $ dan sudut antara $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adlah $ \alpha $ , maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} , \vec{b}, $ dan $\vec{c} $ adalah ....
A). $ 5\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{\sqrt{5}}{2} \, $ C). $ \frac{2}{\sqrt{5}} \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $
Nomor 35. Soal SBMPTN Mat IPA 2017 Kode 166
Vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ membentuk sudut tumpul $ \alpha $ dengan $ \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{7}} $ . Jika $ |\vec{a}| = \sqrt{5} $ dan $ |\vec{b}| = \sqrt{7} $ dan $ \vec{b}=\vec{a}+\vec{c} $ , maka $ \vec{a}.\vec{c} = .... $
A). $ \sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ B). $ \sqrt{30} - 5 \, $
C). $ -\sqrt{5} - \sqrt{30} \, $ D). $ -5 - \sqrt{30} \, $
E). $ -\sqrt{5} + \sqrt{30} \, $
Nomor 36. Soal SBMPTN Mat IPA 2017 Kode 167
Diketahui vektor $ \vec{a} = (4,6), \vec{b}=(3,4)$, dan $ \vec{c} =(p,0) $. Jika $ |\vec{c}-\vec{a}|=10 $ , maka kosinus sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah ....
A). $ 2/5 \, $ B). $ 1/2 \, $ C). $ 3/5 \, $ D). $2/3 \, $ E). $ 3/4 \, $
Nomor 37. Soal SBMPTN Mat IPA 2017 Kode 168
Diketahui tiga vektor $ \vec{a}, \vec{b}, $ dan $ \vec{c} $ dengan $|\vec{b}| = 3 $ , $ |\vec{c}| = 4 $ , dan $ \vec{a} = \vec{c} - \vec{b} $ . Jika $ \gamma $ adalah sudut antara vektor $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , dengan $ \vec{a}.\vec{c} = 25 $, maka $ \sin \gamma = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7}}{6} \, $ E). $ \frac{\sqrt{7}}{4} \, $
Nomor 38. Soal UTUL UGM Mat IPA 2017 Kode 713
Jika panjang vektor $ \vec{u}, \vec{v}, $ dan $ (\vec{u}+\vec{v}) $ berturut-turut 12, 8, dan $ 4\sqrt{7} $, maka besar sudut antara $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 60^\circ \, $ C). $ 90^\circ \, $ D). $ 120^\circ \, $ E). $ 150^\circ $
Nomor 39. Soal UTUL UGM Mat IPA 2017 Kode 713
Jika proyeksi $ \vec{u} = (6,1) \, $ pada $ \vec{p} = (1,1) $ sama dengan proyeksi $ \vec{v}=(\alpha , 5) $ pada $ \vec{p} $ , maka nilai $ \alpha $ yang memenuhi adalah ....
A). $ -12 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 12 $
Nomor 40. Soal UTUL UGM Mat IPA 2017 Kode 814
Diberikan dua vektor $ \vec{u} = (1, -1, 2) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1) $ . Jika vektor $ \vec{w} $ mempunyai panjang satu dan tegak lurus dengan vektor $ \vec{u } $ dan $ \vec{v} $ , maka $ \vec{w} = .... $
A). $ (0,0,0) \, $
B). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
C). $ \left( \frac{1}{2}\sqrt{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, 0 \right) \, $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
E). $ \left( \frac{2}{3} , \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \, $
Nomor 41. Soal UTUL UGM Mat IPA 2017 Kode 814
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = a\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} $ dan $ \vec{v} = -\vec{i}-\vec{j}-\vec{k} $ . Jika vektor $ \vec{w} $ tegak lurus vektor $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ dengan panjang vektor $ \vec{w} $ adalah 3, maka jumlah nilai-nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Update bulan November 2017 "kumpulan soal-soal Matematika Seleksi Masuk PTN" dilengkapi dengan pembahasannya.

Nomor 42. Soal UM UGM 2009 Mat IPA
Vektor $ \vec{w} $ merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor $ (a, 1-a, a) $ pada vektor $ (-1,-1,1) $. Jika panjang $ \vec{w} $ adalah $ \frac{2}{3}\sqrt{3} $ , maka di antara nilai $ a $ berikut ini yang memenuhi adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $
Nomor 43. Soal UM UGM 2008 Mat IPA
Panjang proyeksi vektor $(a, 5, -1 ) $ pada vektor $ (1,4,8) $ adalah 2, maka $ a = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $
Nomor 44. Soal UM UGM 2007 Mat IPA
Diketahui vektor-vektor $ \vec{a} = (2,2,z) $ , $ \vec{b}= (-8,y,-5 ) $ dan $ \vec{d} = (2x,22-z,8) $ . Jika vektor $ \vec{ a } $ tegak lurus dengan vektor $ \vec{b } $ dan vektor $ \vec{ c } $ sejajar dengan $ \vec{ d} $ , maka $ y + z = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ -5 $
Nomor 45. Soal UM UGM 2006 Mat IPA
Jika proyeksi vektor $ \vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} $ ke vektor $ \vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j} $ adalah vektor $ \vec{w} $, maka $ |\vec{w}| $ adalah ....
A). $ \sqrt{5} \, $ B). $ 5 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 3 $
Nomor 46. Soal UM UGM 2005 Mat IPA
Jika $ \vec{p} , \vec{q}, \vec{r} $ dan $ \vec{s} $ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang PQRS dengan PQ sejajar SR, maka $ \vec{s} $
A). $ -\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $
B). $ -\vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
C). $ \vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
D). $ \vec{p}-\vec{q}-\vec{r} \, $
E). $ \vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $
Nomor 47. Soal UM UGM 2004 Mat IPA
Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 1) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1)$. $ \vec{w} $ vektor yang panjangnya satu, tegak lurus pada $ \vec{u} $ dan tegak lurus pada $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ ( 0,0,1) $
B). $ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
C). $ \left( 0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) $
E). $ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $
Nomor 48. Soal UM UGM 2003 Mat IPA
DIketahui kubus satuan ABCD.EFGH. Misalkan vektor-vektor : $ \vec{AB}=\vec{i} = (1,0,0) $, $ \vec{AD}=\vec{j}=(0,1,0)$ , dan $ \vec{AE}=\vec{k}=(0,0,1)$. Titik P adalah titik pusat sisi BCGF. Vektor proyeksi $ \vec{FP} $ ke vektor $ \vec{AC} $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $ B). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} \, $ C). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (0,1,1) \, $
D). $ \frac{1}{2\sqrt{2}} (1,1,0) \, $ E). $ \frac{1}{4} (1,1,0) \, $
Nomor 49. Soal UM UNDIP 2017 Mat IPA
Panjang vektor $ \vec{u}, \vec{v} $ dan $ \vec{u} + \vec{v} $ berturut-turut adalah 15, 7, 13 satuan panjang. Besar sudut yang dibentuk oleh vektor $ \vec{u} $ dan vektor $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 60^\circ \, $ C). $ 90^\circ \, $ D). $ 120^\circ \, $ E). $ 150^\circ $
       Demikian Kumpulan Soal Vektor Seleksi Masuk PTN lengkap dengan pembahasannya. Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua. Kumpulan Soal Vektor Seleksi Masuk PTN ini akan terus kami update untuk soal-soal tahun lainnya. Jika ada kritik dan saran, langsung saja ketikkan komentar pada kolom kontar di bagian bawah setiap artikel. Silahkan juga pelajari kumpulan soal lain pada "Kumpulan Soal Matematika Per Bab Seleksi Masuk PTN". Terima Kasih.