Asimtot Miring Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Setelah memebahas "asimtot tegak dan mendatar fungsi aljabar", nah pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar. Seperti penjelasan sebelumnya, asimtot adalah sebuah garis lurus yang didekati oleh sebuah kurva pada titik jauh tak hingga (jaraknya semakin dekat antara garis dan kurva yang mendekati nol). Asimtot dibagi menjadi tiga yaitu asimtot tegak, asimtot mendatar, dan asimtot miring. Asimtot miring biasanya dimiliki oleh kurva dengan fungsinya berbentuk pecahan, namun asimtot miring juga dimiliki oleh kurva hiperbola yang akan kita bahas dilain kesempatan. Pada pembahasan ini kita hanya fokus pada persamaan asimtot miring suatu fungsi aljabar yang berbentuk pecahan.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar ini, kita harus menguasai beberapa materi terlebih dahulu yaitu "persamaan garis lurus",  "operasi pembagian suku banyak dengan cara bersusun" dan "penyelesaian limit tak hingga".

Menentukan Asimtot Miring Fungsi Aljabar
       Suatu fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ kemungkinan akan memiliki asimtot miring jika pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya. Hasil bagi $ f(x) $ dengan $ g(x) $ disebut sebagai persamaan asimtotnya dengan syarat hasil bagi tersebut harus berderajat satu (fungsi linier). Artinya dapat disimpulkan pangkat tertinggi pembilangnya harus lebih satu dari pangkat tertinggi penyebutnya.

       Langkah-langkah dalam menentukan persamaan asimtot miring fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ yaitu kita bagi dulu $ f(x) $ dengan $ g(x) $, misalkan hasil baginya $ H(x) = ax + b $, dan sisanya $ S(x) $, dapat kita tuliskan :
$ \begin{align} \frac{f(x)}{g(x)} & = H(x) + \frac{S(x)}{g(x)} \\ \frac{f(x)}{g(x)} & = (ax + b) + \frac{S(x)}{g(x)} \end{align} $
maka persamaan asimtot miringnya adalah $ y = ax + b $.
Catatan :
Untuk menentukan hasil dan sisa pembagian, kita gunakan cara bersusun yang bisa teman-teman pelajari kembali pada artikel : "Operasi pembagian suku banyak".

Contoh soal Asimtot Miring Fungsi Aljabar :

1). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{2x^2-3x+5}{x+2} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{2x^2-3x+5}{x+2} = (2x - 7) + \frac{19}{x+2} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{19}{x+2} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 2x - 7 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 2x - 7 . \, \heartsuit $

2). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = 4x - 1 + \frac{3x+5}{x-7} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = 4x - 1 + \frac{3x+5}{x-7} \\ f(x) & = 4x - 1 + \left( 3 + \frac{26}{x-7} \right) \\ f(x) & = 4x + 2 + \frac{26}{x-7} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{26}{x-7} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 4x + 2 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 4x + 2 . \, \heartsuit $

3). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^3 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 - 3x + 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya sama yaitu 3, maka fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

4). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 6x - 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari penyebutnya, maka fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

5). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{5x^3+x-5}{x^2+3x+1} \\ f(x) & = 5x - 15 + \frac{41x+10}{x^2+3x+1} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{41x+10}{x^2+3x+1} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 5x - 15 $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = 5x - 15 . \, \heartsuit $

6). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + x - 3}{x + 5} $!
Penyelesaian :
*). Karena selisih pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya tidak satu (selsisihnya 2) mengakibatkan hasil pembagiaannya tidak fungsi linear lagi, sehingga fungsi ini tidak memiliki asimtot miring.

7). Tentukan persamaan asimtot miring dari fungsi $ f(x) = \frac{-2x^\frac{5}{2} + x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} $!
Penyelesaian :
*). Kita tentukan hasil dan sisa pembagian dari pembilang dan penyebutnya.
$ \begin{align} f(x) & = \frac{-2x^\frac{5}{2} + x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} \\ f(x) & = -2x + \frac{5x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} \end{align} $
*). Untuk $ x $ mendekati $ \infty $, maka $ \frac{5x + 3}{x^\frac{3}{2} + 2} $ hasilnya mendekati nol, sehingga persamaan asimtot miringnya adalah $ y = -2x $.
Jadi, persamaan asimtot miringnya adalah $ y = -2x . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Asimtot Miring Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan asimtot sautu fungsi. Kami selalu berharap ada masukan guna perbaikan teori dan contoh-contoh pada semua artikel yang ada di blog koma ini. Terima kasih.

Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar. Apa sih asimtot itu? Menurut kami, asimtot adalah suatu garis lurus yang akan didekati oleh suatu kurva baik secara tegak (asimtot tetak) atau secara mendatar (asimtot mendatar) atau mendekati miring (disebut asimtot miring, akan kita pelajari pada materi lainnya termasuk pada asimtot kurva hiperbola). Garis yang kita sebut asimtot ini akan selalu didekati oleh kurva namun tidak pernah bersentuhan atau tidak akan berpotongan antara garis dan kurva tersebut di titik jauh tak terhingga (jaraknya semakin lama semakin kecil mendekati nol). Di sini, kurva yang kita maksud adalah grafik selain garis lurus. Apakah semua fungsi aljabar memiliki asimtot? Tentuk jawabannya tidak. Kita akan coba bahas seperti apa syarat suatu fungsi aljabar memiliki asimtot tetak atau asimtot mendatar.

         Sebagai gambaran bentuk dari Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar, perhatikan grafik dibawah ini dari fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $. Persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ dan persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $. Untuk titik-titik jauh tak terhingga (ujung-ujung grafik lengkung) semakin mendekati asimtotnya.

         Untuk mempermudah mempelajari materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ini, sebaiknya teman-teman menguasai materi "grafik persamaan garis lurus", "limit fungsi aljabar", dan "limit tak hingga". Tentu yang lebih ditekankan di sini adalah penguasaan materi limitnya.

Asimtot Tegak Fungsi Aljabar
       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot tegak misalkan $ x = a $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = +\infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ . Artinya terdapat $ x = a $ yang jika kita cari nilai limit mendakati $ a $ akan menghasilkan nilai $ +\infty $ atau $ -\infty $ (dimana $ a \neq \infty $) . Untuk fungsi aljabar, kondisi ini (memiliki asimtot tegak) jika fungsinya berbentuk pecahan.

       Fungsi $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ memiliki asimtot $ x = a $ jika $ g(a) = 0 $ dan $ f(a) \neq 0 $, artinya $ x = a $ adalah akar dari $ g(x) $ yang sebagai penyebutnya dan berbeda dengan akar pembilangnya (INGAT : suatu bilangan dibagi $ 0 $ pada limit hasilnya $ \infty$). Suatu fungsi aljabar bisa memiliki lebih dari satu asimtot tegak.
Asimtot Mendatar Fungsi Aljabar
       Fungsi $ y = f(x) $ memiliki asimtot mendatar misalkan $ y = b $ jika terpenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $ dengan $ b \neq +\infty $ atau $ b \neq -\infty$. Artinya untuk $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ -\infty $ maka nilai fungsinya akan mendekati nilai konstanta tertentu yaitu $ b $. Agar memiliki asimtot mendatar, biasanya fungsinya berbentuk pecahan.
Catatan asimtot mendatar :
i). Cukup terpenuhi salah satu saja yaitu $ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } f(x) = b $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) = b $, maka $ y = b $ sudah bisa dikatakan sebagai persamaan asimtot mendatar fungsi $ y = f(x) $.
ii). Karena penghitungannya menggunakan limit $ x $ mendekati $ +\infty $ atau $ x $ mendekati $ -\infty $ maka ada tiga kemungkinan hasilnya untuk fungsi berbentuk pecahan yaitu :
a). pangkat pembilang dan penyebut tertingginya sama, maka ada asimtot mendatarnya,
b). pangkat pembilang lebih kecil dari pangkat penyebutnya, maka ada asimtot mendatarnya yaitu $ y = 0 $,
c). pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebutnya, maka ada tidak ada asimtot mendatarnya, akan tetapi kemungkinan besar memiliki asimtot miring.

Contoh Soal Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar :

1). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi $ f(x) = \frac{x+1}{x-2} $ jika ada!
Penyelesaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x - 2 $ yang memiliki akar $ x = 2 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x+1}{x-2} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x+1}{x-2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 1 $.

Catatan :
Untuk memudahkan dalam menentukan persamaan asimtot mendatarnya, kita harus benar-benar menguasai materi limt tak hingga yang bisa teman-teman baca pada artikel "penyelesaian limit tak hingga".

2). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 - 3x - 10 = (x+2)(x-5) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 5 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 5 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 5 } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ +\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ -\infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3}{x^2 - 3x - 10 } = \frac{3}{\infty} = 0 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 0 $.

3). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} $ !
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2 + 2x = x(x+2) $ yang memiliki akar $ x = -2 $ dan $ x = 0 $. Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = -2 $ dan $ x = 0 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to - 2 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to -\infty } \, \frac{3x^2 + x - 5}{x^2 + 2x} = \frac{3}{1} = 3 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = 3 $.

4). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ (x-1) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x^3+1}{x-1} = \infty $
Sehingga fungsi $ f(x) = \frac{x^3+1}{x-1} $ tidak memiliki asimtot mendatar.

5). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} $!
Penyelsaian :
*). Coba kita sederhanakan dulu fungsinya :
$ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{x+1} = \frac{(x+1)(x-3)}{x+1} = x - 3 $.
Ternyata fungsinya berbentuk $ f(x) = x - 3 $ yang artinya bukan berbentuk pecahan, sehingga tidak memiliki persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar.

6). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Perhatikan penyebutnya yaitu $ x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) $ yang memiliki akar $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ . Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ karena $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = 1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{x - 5}{\sqrt{x^2-3x+2}} = -1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

7). Tentukan persamaan asimtot tegak dan asimtot mendatar dari fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $!
Penyelsaian :
*). Asimtot tegaknya :
Fungsi $ f(x) = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} $ tidak memiliki asimtot tegak $ x = a $ karena tidak ada yang memenuhi $ \displaystyle \lim_{x \to a } \, \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} = \infty $.
*). Asimtot mendatar :
-). Kita ubah dulu menjadi bentuk pecahan dengan merasionalkan :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt{4x^2 - 2x + 1} - \sqrt{4x^2 + 2x - 5} \times \frac{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} }{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \\ f(x) & = \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } \end{align} $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ + \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to + \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{-4}{2.2} = -1 $
-). Nilai limit untuk $ x $ mendekati $ - \infty $
$ \displaystyle \lim_{x \to - \infty } \, \frac{-4x + 6}{\sqrt{4x^2 - 2x + 1} + \sqrt{4x^2 + 2x - 5} } = \frac{4}{2.2} = 1 $
Sehingga persamaan asimtot mendatarnya adalah $ y = -1 $ dan $ y = 1 $.

       Soal-soal untuk menentukan Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar ternyata dikeluarkan pada SBMPTN 2017 (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri) untuk matematika IPA atau saintek. Berikut saya kami sajikan 4 Soal SBMPTN 2017 berkaitan materi asimtot tegak dan asimtot mendatar fungsi aljabar, silahkan teman-teman mencobanya. Jika kesulitan, maka teman-teman bisa ikuti link pembahasan disetiap soalnya.

Nomor 12, SBMTPN 2017 Kode 165
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{ax+5}{\sqrt{x^2+bx+1}} $ dengan $ a > 0 $ dan $ b < 0 $. Jika grafik fngsi $ f $ mempunyai satu asimtot tegak dan salah satu asimtot datarnya adalah $ y = -3 $ , maka $ a + 2b $ adalah .....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 166
Jika kurva $ y = \frac{x^3 - 3x +2}{\frac{1}{a}x(x^2-ax-6)} $ mempunyai dua asimtot tegak, maka asimtot datar dari kurva tersebut adalah ....
A). $ y = 1 \, $ B). $ y = \frac{1}{2} \, $
C). $ y=-\frac{1}{2} \, $ D). $ y = -1 \, $
E). $ y = -2 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 167
Di antara pilihan berikut, kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $ memotong asimtot datarnya di titik $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Nomor 12, SBMPTN 2017 Kode 168
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

       Demikian pembahasan materi Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Aljabar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Asimtot miring Fungsi Aljabar" serta "Asimtot Tegak dan Mendatar Fungsi Trigonometri".

Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri. Materi Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri merupakan gabungan bentuk limit tak hingga dan limit fungsi trigonometri. Jika kita perdalam lagi, ternyata bentuk "Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri" lebih menekankan pada limit fungsi trigonometrinya, sehingga teman-teman harus benar-benar menguasai materi limit fungsi trigonometrinya terlebih dahulu.

         Bentuk tak hingga ($\infty$) jika sebagai sudut suatu fungsi trigonometri maka tidak bisa kita tentukan nilainya, misalkan $ \sin \infty, \cos \infty, \tan \infty $ tidak bisa kita tentukan nilainya karena nilai $ \sin x $ berkisar $ -1 \leq \sin x \leq 1 $, begitu juga nilai $ \cos x $ berkisar $ -1 \leq \cos x \leq 1 $ , dan untuk $ \tan x $ berkisar $ -\infty \leq \tan x \leq \infty $, tentu dengan $ x $ yang sudah pasti. Nah untuk memudahkan, maka bentuk yang diguankan adalah $ \frac{1}{\infty} = 0 $ sehingga nilai fungsi trigonometrinya bisa kita hitung yaitu $ \sin \frac{1}{\infty} = 0 , \cos \frac{1}{\infty} = 1, \tan \frac{1}{\infty} = 0 $ . Dan bentuk ini cocok dengan limit fungsi trigonometri yang akan kita bahas dalam artikel Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri.


         Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri ini ternyata soalnya dikeluarkan pada SBMPTN 2017 matematika IPA atau matematika saintek satu soal disetiap kodenya. Nah, berlatar belakang dari inilah saya membahas artikel ini secara lebih khusus agar bisa membantu teman-teman yang ingin mempelajarinya atau siapa tahu tahun-tahun berikutnya akan keluar lagi di soal seleksi masuk PTN lainnya. Dalam pembahasan Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri, kita harus menguasai sifat-sifat limit fungsi trigonometri, rumus-rumus dasar trigonometri, dan limit tak hingga bentuk aljabar.

Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
$\clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri
i). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax }{bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iii). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
iv). $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} \, \, $ atau $ \, \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan ax }{\sin bx} = \frac{a}{b} $
Rumus-rumus dasar Trigonometri
$\spadesuit $ Beberapa rumus yang digunakan dalam limit fungsi trigonometri :
i). $ 1 - \cos px = 2\sin \frac{1}{2} px . \sin \frac{1}{2} px $
ii). $ \cos A - \cos B = -2\sin \frac{1}{2}(A+B) .\sin \frac{1}{2}(A-B) $
iii). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
Limit tak hingga fungsi aljabar
$\clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + ... \, $ dengan pangkat tertinggi $ n \, $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + .... $ dengan pangkat tertinggi $ m \, $ , maka limit di tak hingganya :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ax^n + a_1x^{n-1} + ...}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ....} \left\{ \begin{array}{ccc} = \frac{0}{b} & = 0 & , \text{untuk } n < m \\ = \frac{a}{b} & & , \text{untuk } n = m \\ = \frac{a}{0} & = \infty & , \text{untuk } n > m \end{array} \right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.

Contoh Soal Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri :

1). Tentukan hasil limit berikut ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} $
b). $ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \frac{1}{y} \cot \frac{1}{y} $
c). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \csc \frac{1}{x} }{x} $

Penyelesaian :
a). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , sehingga $ x = \frac{1}{y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x \tan \frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{y} \tan y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y }{y} \\ & = 1 \end{align} $

b). Misalkan $ \frac{1}{y} = x $ , dan $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $ .
Untuk $ y $ mendekati $ \infty $ maka $ x $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \frac{1}{y} \cot \frac{1}{y} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, x \cot x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, x . \frac{1}{\tan x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \frac{x}{\tan x} \\ & = 1 \end{align} $

c). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \csc \frac{1}{x} }{x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x} . \csc \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \csc y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \frac{1}{\sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\sin y} \\ & = 1 \end{align} $

2). Tentukan hasil limit tak kingga fungsi trigonometri berikut ini :
a). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot 3x^{-1} . \sin x^{-1} $
b). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} $

Penyelesaian :
a). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \tan \frac{5}{x} . \csc \frac{2}{x} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \csc 2y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \tan 5y . \frac{1}{\sin 2y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\tan 5y}{\sin 2y} \\ & = \frac{5}{2} \end{align} $

b). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \cot y = \frac{1}{\tan y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot 3x^{-1} . \sin x^{-1} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \cot \frac{3}{x} . \sin \frac{1}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \cot 3y . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1}{\tan 3y} . \sin y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin y}{\tan 3y} \\ & = \frac{1}{3} \end{align} $

c). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ , dan $ \csc y = \frac{1}{\sin y} $ .
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \frac{1}{2x}}{\csc \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\cot \frac{1}{2}y}{\csc 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\frac{1}{\tan \frac{1}{2}y}}{\frac{1}{\sin 3y}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\sin 3y}{\tan \frac{1}{2}y} \\ & = \frac{3}{ \frac{1}{2} } = 6 \end{align} $

3). Tentukan hasil limit tak kingga fungsi trigonometri $ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} $?

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{\sqrt{y}} = x $ , sehingga $ \sqrt{y} = \frac{1}{x} $ .
Untuk $ y $ mendekati $ \infty $ maka $ x $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \, \sqrt{6}.\sqrt{y}\cos \frac{3}{\sqrt{y}} \sin \frac{5}{\sqrt{y}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6}.\frac{1}{x} \cos 3x \sin 5x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6}. \cos 3x . \frac{\sin 5x}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \, \sqrt{6} \cos 3x . \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin 5x}{x} \\ & = \sqrt{6} . \cos 0 . 5 \\ & = \sqrt{6}. 1 . 5 = 5\sqrt{6} \end{align} $

4). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1 - \cos \frac{4}{x}}{ \frac{1}{x} . \tan \frac{3}{x}} = .... ? $

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $.
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
Bentuk $ 1 - \cos 4y = 2\sin 2y. \sin 2y $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1 - \cos \frac{4}{x}}{ \frac{1}{x} . \tan \frac{3}{x}} & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{1 - \cos 4y}{ y . \tan 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin 2y. \sin 2y}{ y . \tan 3y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin 2y}{ y } . \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \sin 2y}{\tan 3y} \\ & = 2.2 .\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \end{align} $

5). Tentukan hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2x \cot \frac{2}{x} - 3 \cot \frac{2}{x}}{5x^2 - 2x} $

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $ dan $ \cot y = \frac{1}{\tan y} $
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2x \cot \frac{2}{x} - 3 \cot \frac{2}{x}}{5x^2 - 2x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x - 3) \cot \frac{2}{x}}{x(5x - 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x - 3) }{5x - 2} . \frac{1}{x} . \cot \frac{2}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{(2x - 3) }{5x - 2} . \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{1}{x} . \cot \frac{2}{x} \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \cot 2y \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, y . \frac{1}{\tan 2y} \\ & = \frac{2}{5}. \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\tan 2y} \\ & = \frac{2}{5}. \frac{1}{2} = \frac{1}{5} \end{align} $

6). $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\cos \frac{4}{x}+ \cos \frac{2}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{4}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{2}{x}}{\sin ^2 \frac{1}{x} - \cos \frac{2}{x} + 1}= ...?$

Penyelesaian :
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, maka $ \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{y} $
Untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $ 0 $.
*). Mengubah bentuk soalnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\cos \frac{4}{x}+ \cos \frac{2}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{4}{x}.\sin \frac{3}{\sqrt{x}} - \cos \frac{2}{x}}{\sin ^2 \frac{1}{x} - \cos \frac{2}{x} + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} - \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} - \cos2y}{\sin ^2 y - \cos 2y + 1} \end{align} $
*). Mengubah bentuk pembilang dan penyebutnya :
-). Pembilangnya, Rumus $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2}(A+B).\sin \frac{1}{2}(A-B) $
$ \begin{align} & \cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} - \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} - \cos2y \\ & = \cos 4y - \cos 4y. \sin 3\sqrt{y} - \cos 2y + \cos 2y . \sin 3\sqrt{y} \\ & = \cos 4y ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) - \cos 2y ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = (\cos 4y - \cos 2y) ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = (-2 \sin \frac{1}{2}(4y+2y). \sin \frac{1}{2}(4y-2y)) ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = -2 \sin 3y. \sin y. ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \end{align} $
-). Penyebutnya, Rumus $ 1 - \cos px = 2 \sin \frac{1}{2} px . \sin \frac{1}{2} px $
$ \begin{align} \sin ^2 y - \cos 2y + 1 & = \sin ^2 y + (1 - \cos 2y) \\ & = \sin ^2 y + 2\sin y . \sin y \\ & = 3\sin y . \sin y \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\cos 4y+ \cos 2y.\sin 3\sqrt{y} - \cos 4y.\sin 3\sqrt{y} - \cos2y}{\sin ^2 y - \cos 2y + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2 \sin 3y. \sin y. ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) }{3\sin y . \sin y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2 \sin 3y. ( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) }{3\sin y } \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y}{\sin y} . \frac{-2}{3}( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin 3y}{\sin y} . \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{-2}{3}( 1 - \sin 3\sqrt{y} ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}( 1 - \sin 0 ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}( 1 - 0 ) \\ & = 3 . \frac{-2}{3}.( 1 ) = -2 \end{align} $

Berikut kami sajikan 4 soal limit tak hingga fungsi trigonometri yang keluar pada soal SBMPTN 2017 matematika IPA dari 4 kode berbeda:

Nomor 11 , Soal SBMPTN 2017 Kode 165
$ \displaystyle \lim_{y \to \infty } y . \sin \frac{3}{y}. \cos \frac{5}{y} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Nomor 11, Soal SBMPTN 2017 Kode 166
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sin \frac{3}{x}}{\left(1 - \cos \frac{2}{x} \right).x^2.\sin \frac{1}{x}} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ 3 $

Nomor 11, Soal SBMPTN 2017 Kode 167
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{5} $

Nomor 11, Soal SBMPTN 2017 Kode 168
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

       Demikian pembahasan materi Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri dan contohnya. Silahkan baca juga materi Limit lainnya.

Pembagian Suku Banyak Metode Horner

         Sebelumnya kita telah membahas materi "Operasi Pembagian Suku Banyak" dengan penekanan dua cara yaitu cara bersusun dan cara skema horner atau bagan horner. Khusus untuk metode horner yang telah kita bahas adalah pembagian suku banyak dengan pembaginya berderajat satu (pangkat tertingginya satu). Bagaimana metode horner untuk pembaginya berderajat dua, berderajat tiga, atau lebih? Apakah Metode horner selalu bisa kita gunakan? Nah, jawabannya akan kita bahas dalam artikel Pembagian Suku Banyak Metode Horner ini, mudah-mudahan bisa dengan jelas ^_^. Pada materi Pembagian Suku Banyak Metode Horner kali ini kita akan bahas dua metode horner yaitu metode horner-khusus dan metode horner-umum.

         Apa bedanya kedua metode yang ada pada artikel Pembagian Suku Banyak Metode Horner ini? Metode horner-khusus biasanya hanya kita terapkan pada pembagian suku banyak dengan pembagi berderajat satu dan dua saja serta harus bisa difaktorkan. Sedangkan metode horner-umum penggunaannya lebih luas lagi yaitu bisa untuk semua jenis pembagi entah bisa difaktorkan atau tidak dan bisa untuk dari pembagi berderajat satu atau lebih. Namun cara kerja kedua metode horner ini hampir sama, hanya ada beberapa perbedaan.

         Pada beberapa teks buku terdapat yang namanya metode horner-Kino, terus apa bedanya dengan metode horner-umum? Perbedaan mendasar pada Pembagian Suku Banyak Metode Horner antara Horner-Kino dan Horner-Umum adalah cara kerjanya yang terbalik. Silahkan teman-teman cari di teks buku-buku tertentu atau di internet untuk metode horner-Kino dan bisa dilihat perbedaannya. Metode Horner-umum, saya juga sering menyebutnya sebagai metode segitiga kosong karena ada bagian yang tidak kita isi dan membentuk segitiga.

Pembagian Suku Banyak Metode Horner-Khusus
       Misalkan suku banyak berderajat $ n $ yaitu $ f(x) = f_nx^n + f_{n-1}x^{n-1} + ...+f_2x^2 + f_1x + f_0 $ dibagi dengan pembagi $ P(x) = p_2x^2+p_1x+p_0 = (x-x_1)(x-x_2) $ , hasil bagi dan sisanya dapat ditentukan dengan metode horner-khusus yaitu :
$\begin{array}{c|ccccccc} & f_n & f_{n-1} & ... & f_2 & f_1 & f_0 & \\ x_1 & * & ... & ... & ... & ... & ... & + \\ \hline & a_n & a_{n-1} & ... & a_2 & a_1 & s_1 & \\ x_1 & * & ... & ...& ... & ... & & + \\ \hline &h_n&h_{n-1}& ... & h_1 & s_2 & & \end{array} $

$\spadesuit $ Hasil baginya ada dua jenis tergantung nilai $ p_2 $ (koefisien pangkat 2 pembaginya):
Jika $ p_2 = 1 $, maka hasil $ H(x) = h_nx^{n-2}+h_{n-1}x^{n-3}+...+ h_1 $
Jika $ p_2 \neq 1 $, maka hasil $ H(x) = \begin{align} \frac{h_nx^{n-2}+h_{n-1}x^{n-3}+...+ h_1}{p_2} \end{align} $
$\clubsuit $ Sisa pembagiannya :
$ S(x) = s_2(x-x_1) + s_1 $.
Keterangan :
-). $ f_n, f_{n-1}, ...,f_2, f_1, f_0 \, $ adalah koefisien dan konstanta suku banyak yang mau dibagi.
-). $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah akar-akar dari pembaginya (penentuan mana sebagai $ x_1 $ dan $ x_2 $ bebas karena hasil akhirnya akan sama).
-). Hasil baginya berderajat $ n - 2 $ dan sisa pembagian berderajat satu.
-). Cara penghitungannya sama dengan pembagian horner dengan pembagi berderajat satu, silahkan baca artikelnya di "operasi pembagian suku banyak".

Pembagian Suku Banyak Metode Horner-Umum
       Mislakan ada suku banyak berderajat lima yaitu $ f(x)=f_5x^5+f_4x^4+f_3x^3+f_2x^2+f_1x+f_0 $ dibagi dengan suku banyak yang kita bagi berdasarkan derajatnya yaitu :
$\clubsuit $ Pembagi berderajat dua : $ P(x)= a_2x^2+a_1x+a_0 $,
*). Metode horner-umum untuk $ a_2 = 1 $ :
$ \begin{array}{c|ccccccc} & f_5 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & \\ p_1 & * & p_1.h_3 & p_1.h_2 & p_1.h_1 & p_1.h_0 & * & \\ p_0 & * & * & p_0.h_3 & p_0.h_2 & p_0.h_1 & p_0.h_0 & + \\ \hline & h_3 & h_2 & h_1 & h_0 & s_1 & s_0 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = h_3x^3 + h_2x^2 + h_1x + h_0 $
Sisa : $ S(x) = s_1x + s_0 $

Keterangan :
1). pertama isi dulu koefisien dari $ f(x) $ yaitu $ f_5,f_4,f_3,f_2,f_1$, dan $ f_0$ (dari pangkat tertinggi ke rendah).
2). Kedua isi koefisien dari pembagi $ P(x) $ yaitu $ p_1 $ dan $ p_0 $ dengan $ p_1 = -a_1 , \, p_0=-a_0 $ (dari pangkat tertinggi ke rendah).
3). Ketiga kita lengkapi bertahap :
$ h_3 = f_ 5 $,
$ h_2 = f_4 + p_1.h_3 $
$ h_1 = f_3 + p_1.h_2 + p_0.h_3$
$ h_0 = f_2 + p_1.h_1 + p_0.h_2 $
$ s_1 = f_1 + p_1.h_0 + p_0.h_1 $
$ s_0 = f_0 + p_0.h_0 $
4). Tanda * (bintang) itu kosong.

*). Metode horner-umum untuk $ a_2 \neq 1 $ :
Skema/bagannya sama seperti di atas, hanya saja berbeda untuk penentuan nilai $ p_1 = \frac{-a_1}{a_2} $ dan $ p_0 = \frac{-a_0}{a_2} $ beserta hasilnya yaitu :
Hasil $ H(x) = \begin{align} \frac{h_3x^3 + h_2x^2 + h_1x + h_0}{a_2} \end{align} $
Sisa : $ S(x) = s_1x + s_0 $ (sama)

$\clubsuit $ Pembagi berderajat tiga : $ P(x)= a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $,
*). Metode horner-umum untuk $ a_3 = 1 $ :
$ \begin{array}{c|ccccccc} & f_5 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & \\ p_2 & * & p_2.h_2 & p_2.h_1 & p_2.h_0 & * & * & \\ p_1 & * & * & p_1.h_2 & p_1.h_1 & p_1.h_0 & * & \\ p_0 & * & * & * & p_0.h_2 & p_0.h_1 & p_0.h_0 & + \\ \hline & h_2 & h_1 & h_0 & s_2 & s_1 & s_0 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = h_2x^2 + h_1x + h_0 $
Sisa : $ S(x) = s_2x^2 + s_1x + s_0 $

Keterangan :
1). pertama isi dulu koefisien dari $ f(x) $ yaitu $ f_5,f_4,f_3,f_2,f_1$, dan $ f_0$ (dari pangkat tertinggi ke rendah).
2). Kedua isi koefisien dari pembagi $ P(x) $ yaitu $ p_2, p_1 , p_0 $ dengan $ p_2 = -a_2, \, p_1 = -a_1 , \, p_0=-a_0 $ (dari pangkat tertinggi ke rendah).
3). Ketiga kita lengkapi bertahap :
$ h_2 = f_ 5 $,
$ h_1 = f_4 + p_2.h_2 $
$ h_0 = f_3 + p_2.h_1 + p_1.h_2$
$ s_2 = f_2 + p_2.h_0 + p_1.h_1 + p_0.h_2 $
$ s_1 = f_1 + p_1.h_0 + p_0.h_1 $
$ s_0 = f_0 + p_0.h_0 $
4). Tanda * (bintang) itu kosong.

*). Metode horner-umum untuk $ a_3 \neq 1 $ :
Skema/bagannya sama seperti di atas, hanya saja berbeda untuk penentuan nilai $ p_2 = \frac{-a_2}{a_3}, \, p_1 = \frac{-a_1}{a_3} $ dan $ p_0 = \frac{-a_0}{a_3} $ beserta hasilnya yaitu :
Hasil $ H(x) = \begin{align} \frac{h_2x^2 + h_1x + h_0}{a_3} \end{align} $
Sisa : $ S(x) = s_2x^2 + s_1x + s_0 $ (sama)

$\clubsuit $ Pembagi berderajat empat : $ P(x)= a_4x^4 + a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $,
*). Metode horner-umum untuk $ a_4 = 1 $ :
$ \begin{array}{c|ccccccc} & f_5 & f_4 & f_3 & f_2 & f_1 & f_0 & \\ p_3 & * & p_3.h_1 & p_3.h_0 & * & * & * & \\ p_2 & * & * & p_2.h_1 & p_2.h_0 & * & * & \\ p_1 & * & * & * & p_1.h_1 & p_1.h_0 & * & \\ p_0 & * & * & * & * & p_0.h_1 & p_0.h_0 & + \\ \hline & h_1 & h_0 & s_3 & s_2 & s_1 & s_0 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = h_1x + h_0 $
Sisa : $ S(x) = s_3x^3 + s_2x^2 + s_1x + s_0 $

Keterangan :
1). pertama isi dulu koefisien dari $ f(x) $ yaitu $ f_5,f_4,f_3,f_2,f_1$, dan $ f_0$ (dari pangkat tertinggi ke rendah).
2). Kedua isi koefisien dari pembagi $ P(x) $ yaitu $ p_3, p_2, p_1 , p_0 $ dengan $ p_3=-a_3, \, p_2 = -a_2, \, p_1 = -a_1 , \, p_0=-a_0 $ (dari pangkat tertinggi ke rendah).
3). Ketiga kita lengkapi bertahap :
$ h_1 = f_ 5 $,
$ h_0 = f_4 + p_3.h_1 $
$ s_3 = f_3 + p_3.h_0 + p_2.h_1$
$ s_2 = f_2 + p_2.h_0 + p_1.h_1 $
$ s_1 = f_1 + p_1.h_0 + p_0.h_1 $
$ s_0 = f_0 + p_0.h_0 $
4). Tanda * (bintang) itu kosong.

*). Metode horner-umum untuk $ a_4 \neq 1 $ :
Skema/bagannya sama seperti di atas, hanya saja berbeda untuk penentuan nilai $ p_3= \frac{-a_3}{a_4}, \, p_2 = \frac{-a_2}{a_4}, \, p_1 = \frac{-a_1}{a_4} $ dan $ p_0 = \frac{-a_0}{a_4} $ beserta hasilnya yaitu :
Hasil $ H(x) = \begin{align} \frac{h_1x + h_0}{a_4} \end{align} $
Sisa : $ S(x) = s_3x^3 + s_2x^2 + s_1x + s_0 $ (sama)

Catatan :
i). Tanda * dibagian kiri atau dibagian kanan berbentuk segitiga sama kaki sehingga nama lain dari metode horner-umum adalah metode segitiga kosong.
ii). Trik termudah, setelah mengisi koefisien suku banyak dan pembaginya, setelah itu isilah tanda * (bintang) artinya tidak perlu diisi angka.
iii). skema atau bagan horner-umum ini berlaku untuk pembagi berderajat 5, berderajat 6, dan seterusnya.
iv). Untuk pengecekan hasil, teman-teman boleh menggunakan cara bersusun.

Wah, teorinya ternyata sulit ya? Tapi tenang saja, dengan banyak berlatih pasti kita akan terbiasa dan akan menyenangkan menggunakan metode horner. Langsung saja kita ke contohnya biar tidak puyeng nich kepala baca teorinya saja.

Contoh soal Pembagian Suku Banyak Metode Horner :

1). Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $ x^3+2x^2-x+3 $ dibagi dengan $ x^2-x-6$!

Penyelesaian :
Cara I : Metode horner-khusus
*). Memfaktorkan pembaginya
$ x^2 - x- 6 = (x+2)(x-3) \rightarrow x_1 = -2 \vee x_2 = 3 $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ x^3+2x^2-x+3 \rightarrow 1, 2, -1, 3 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & -1 & 3 & \\ x_1 = -2 & * & ... & ... & ... & + \\ \hline &...& ... & ... & s_1 & \\ x_2 = 3 & * & ... & ... & & + \\ \hline &h_1& h_0 & s_2 & & \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & -1 & 3 & \\ x_1 = -2 & * & -2 & 0 & 2 & + \\ \hline &1 & 0 & -1 & s_1 = 5 & \\ x_2 = 3 & * & 3 & 9 & & + \\ \hline &1& 3 & s_2=8 & & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = h_1x+h_0 = x + 3 $
$\begin{align} \text{Sisa : } S(x) & = s_2(x-x_1)+s_1 \\ & = 8(x-(-2))+5 \\ & = 8(x+2)+5 \\ & = 8x + 21 \end{align} $

Cara II : Metode horner-umum
*). Menentukan $ p_1, \, p_0 $ dari pembaginya
$ x^2 - x- 6 \rightarrow p_1 = -(-1) = 1 $ dan $ p_0 = -(-6)=6 $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ x^3+2x^2-x+3 \rightarrow 1, 2, -1, 3 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & -1 & 3 & \\ p_1 = 1 & * & ... & ... & * & \\ p_0 = 6 & * & * & ... & ... & + \\ \hline &h_1& h_0 & s_1 & s_0 & \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 2 & -1 & 3 & \\ p_1 = 1 & * & 1 & 3& * & \\ p_0 = 6 & * & * & 6 & 18 & + \\ \hline &1& 3 & 8 & 21 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = x + 3 $
Sisa : $ S(x) = 8x + 21 $.

2). Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $ 2x^3+x^2-5 $ dibagi dengan $ x^2-1$!

Penyelesaian :
Cara I : Metode horner-khusus
*). Memfaktorkan pembaginya
$ x^2 - 1 = (x+1)(x-1) \rightarrow x_1 = 1 \vee x_2 = -1 $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ 2x^3+x^2-5 \rightarrow 2, 1, 0, -5 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|ccccc} & 2 & 1 & 0 & -5 & \\ x_1 = 1 & * & ... & ... & ... & + \\ \hline &...& ... & ... & s_1 & \\ x_2 = -1 & * & ... & ... & & + \\ \hline &h_1& h_0 & s_2 & & \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|ccccc} & 2 & 1 & 0 & -5 & \\ x_1 = 1 & * & 2 & 3 & 3 & + \\ \hline &2& 3 & 3 & s_1=-2 & \\ x_2 = -1 & * & -2 & -1 & & + \\ \hline &2& 1 & s_2=2 & & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = h_1x+h_0 = 2x + 1 $
$\begin{align} \text{Sisa : } S(x) & = s_2(x-x_1)+s_1 \\ & = 2(x-1)+(-2) \\ & = 2x - 2 - 2 \\ & = 2x -4 \end{align} $

Cara II : Metode horner-umum
*). Menentukan $ p_1, \, p_0 $ dari pembaginya
$ x^2 -1 = x^2 + 0x - 1 \rightarrow p_1 = -(0) = 0 $ dan $ p_0 = -(-1)=1 $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ 2x^3+x^2-5 \rightarrow 2, 1, 0, -5 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|ccccc} & 2 & 1 & 0 & -5 & \\ p_1 = 0 & * & ... & ... & * & \\ p_0 = 1 & * & * & ... & ... & + \\ \hline &h_1& h_0 & s_1 & s_0 & \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|ccccc} & 2 & 1 & 0 & -5 & \\ p_1 = 0 & * & 0 & 0 & * & \\ p_0 = 1 & * & * & 2 & 1 & + \\ \hline &2& 1 & 2 & -4 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = 2x + 1 $
Sisa : $ S(x) = 2x -4 $.

3). Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $ 3x^3-x^2+2x+1 $ dibagi dengan $ x^2-x+5$!

Penyelesaian :
Cara Metode horner-umum
*). Pembaginya $ x^2 - x + 5 $ tidak bisa difaktorkan sehingga cara horner-khusus tidak bisa kita terapkan, yang bisa kita pakai metode horner-umum. Teman-teman juga bisa coba car bersusun.
*). Menentukan $ p_1, \, p_0 $ dari pembaginya
$ x^2-x+5 \rightarrow p_1 = -(-1) = 1 $ dan $ p_0 = -(5)=-5 $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ 3x^3-x^2+2x+1 \rightarrow 3,-1,2,1 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|ccccc} & 3 & -1 & 2 & 1 & \\ p_1 = 1 & * & ... & ... & * & \\ p_0 = -5 & * & * & ... & ... & + \\ \hline &h_1& h_0 & s_1 & s_0 & \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|ccccc} & 3 & -1 & 2 & 1 & \\ p_1 = 1 & * & 3 & 2 & * & \\ p_0 = -5 & * & *& -15 & -10 & + \\ \hline &3& 2 & -11 & -9 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = 3x + 2 $
Sisa : $ S(x) = -11x -9 $.

4). Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $ 2x^5-3x^4+2x-1 $ dibagi dengan $ x^3-2x^2+x+5$!

Penyelesaian :
Cara Metode horner-umum
*). Pembaginya $ x^3-2x^2+x+5 $ langsung kita pakai metode horner-umum. Teman-teman juga bisa coba car bersusun.
*). Menentukan $ p_2, \, p_1, \, p_0 $ dari pembaginya
$ x^3-2x^2+x+5 \rightarrow p_2=-(-2)=2, p_1 = -(1) = -1 $ dan $ p_0 = -(5)=-5 $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ 2x^5-3x^4+2x-1 \rightarrow 2, -3, 0,0,2,-1 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|ccccccc} & 2 & -3 & 0 & 0 & 2 & -1 & \\ p_2 = 2 & * & ... & ... & ... & * & * & \\ p_1 = -1 & * & * & ... & ... & ...& * & \\ p_0 = -5 & * & * & * & ... & ...& ... & + \\ \hline &h_2& h_1 &h_0 & s_2 &s_1 & s_0 & \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|ccccccc} & 2 & -3 & 0 & 0 & 2 & -1 & \\ p_2 = 2 & * & 4 & 2 & 0 & * & * & \\ p_1 = -1 & * & * & -2 & -1 & 0 & * & \\ p_0 = -5 & * & * & * & -10 & -5 & 0 & + \\ \hline &2 & 1 & 0 & -11 & -3 & -1 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = 2x^2 + x $
Sisa : $ S(x) = -11x^2 - 3x - 1 $.

5). Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $ 2x^4-3x^3 + x^2 $ dibagi dengan $ 2x^2+5x-3$!

Penyelesaian :
Cara Metode horner-umum
*). langsung kita pakai metode horner-umum. Teman-teman juga bisa coba car bersusun dan horner-khusus.
*). Menentukan $ p_1, \, p_0 $ dari pembaginya dengan $ a_3 = 2 $
$ 2x^2+5x-3 \rightarrow p_1 = \frac{-(5)}{2} = -\frac{5}{2} $ dan $ p_0 = \frac{-(-3)}{2} = \frac{3}{2} $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ 2x^4-3x^3 + x^2=2x^4-3x^3 + x^2+0x+0 $
$ \rightarrow 2,-3,1,0,0 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|cccccc} & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 & \\ p_1 = -\frac{5}{2} & * & ... & ... & ... & * & \\ p_0 = \frac{3}{2} & * & * & ... & ... & ... & + \\ \hline &h_2& h_1& h_0 & s_1 & s_0 & \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|cccccc} & 2 & -3 & 1 & 0 & 0 & \\ p_1 = -\frac{5}{2} & * &-5 & 20 & -60 & * & \\ p_0 = \frac{3}{2} & * & * & 3 & -12 &36 & + \\ \hline &2 &-8 & 24 & -72 & 36 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = \frac{2x^2 -8 x + 24}{2} = x^2 - 4x + 12 $
Sisa : $ S(x) = -72x + 36 $.

6). Tentukan hasil dan sisa pembagian suku banyak $ 3x^6-2x^3+2x $ dibagi dengan $ x^4+2x-1$!

Penyelesaian :
Cara Metode horner-umum
*). langsung kita pakai metode horner-umum. Teman-teman juga bisa coba car bersusun.
*). Menentukan $ p_3, \, p_2, \, p_1, \, p_0 $ dari pembaginya
$ x^4+2x-1=x^4+0x^3+0x^2+2x-1 $
$ \rightarrow p_3=0,p_2=0, p_1 = -(2) = -2 $ dan $ p_0 = -(-1)=1 $.
*). Koefisien suku banyaknya :
$ 3x^6-2x^3+2x=3x^6+0x^5+0x^4-2x^3+0x^2+2x+0 $
$ \rightarrow 3,0,0,-2,0,2,0 $
*). Skema/bagannya :
$ \begin{array}{c|cccccccc} & 3 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & \\ p_3 = 0 & * & ... & ... & ... & * & * & * & \\ p_2 = 0 & * & * & ... & ... & ...& * & * & \\ p_1 = -2 & * & * & * & ... & ...& ... & * & \\ p_0 = 1 & * & * & * & * & ...& ... & ...& + \\ \hline &h_2& h_1 &h_0 & s_3 & s_2&s_1 & s_0& \end{array} $
*). Kita lengkapi yang kosong
$ \begin{array}{c|cccccccc} & 3 & 0 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & \\ p_3 = 0 & * & 0 & 0 & 0 & * & * & * & \\ p_2 = 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & * & * & \\ p_1 = -2 & * & * & * & -6 & 0 & 0 & * & \\ p_0 = 1 & * & * & * & * & 3 & 0 & 0 & + \\ \hline &3 & 0 & 0 & -8 & 3 & 2 & 0 & \end{array} $
Hasil : $ H(x) = 3x^2 $
Sisa : $ S(x) = -8x^3 + 3x^2 + 2x $.

Catatan lagi :
i). Kalau teman-teman merasa sulit untuk menggunakan metode horner, sebaiknya gunakan cara bersusun saja, karena cara bersusun berlaku umum untuk semua jenis pembagian suku banyak.
ii). Namun untuk pengajar (guru) menurut saya perlu mempelajari metode horner-umum ini, ketika sudaah mengerti, akan sangat mudah bagi siswa ketika dijelaskan langsung oleh gurunya daripada membaca sendiri langsung materinya.

       Demikian pembahasan materi Pembagian Suku Banyak Metode Horner dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan suku banyak.

Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan. Soal-soal yang berkaitan dengan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan juga pernah keluar pada ujian nasional tingkat SMA. Pada dasarnya bangun datar segi-n beraturan terbentuk dari lingkaran yang dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang sama besar (berbentuk segitiga sama kaki). Sehingga untuk menghitung luas dan keliling bangun datar segi-n kita akan melibatkan sudut pusat dan jari-jarinya. Sudut pusatnya adalah sudut pada segitiga dengan besarnya adalah $ \frac{360^\circ}{n} $ yang ditunjukkan oleh tanda sudut warna merah. Sementara sisi dari bangun datar segi-n ditunjukkan oleh huruf $ x $. Perhatikan gambar berikut ini.

         Dalam menghitung Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan, kita melibatkan rumus luas segitiga yang melibatkan sudut yaitu lebih tepatnya luas segitiga menggunakan sinus dan untuk menghitung kelilingnya kita menggunakan konsep aturan kosinus. Silahkan teman-teman baca materinya pada artikel : "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga". Untuk lebih memudahkan, teman-teman sebaiknya juga mempelajari nilai perbandingan fungsi trigonometri pada sudut-sudut istimewa pada artikel "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".

Penghitungan Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan
$\spadesuit $ Luas bangun datar segi-n beraturan :
*). Luas segitiga menggunaan sinus.
Perhatikan segitga PRQ pada segienam di atas (sebagai contoh saja), luasnya adalah :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.r.r .\sin \theta = \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $.
*). Luas bangun datar segi-n beraturan :
Luas segi-n $ = n \times \, $ luas segitiga
Luas segi-n $ = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} $

$\clubsuit $ Keliling bangun datar segi-n beraturan :
*). Aturan kosinus menentukan pajang sisi segin-n ($x$).
Berdasarkan aturan kosinus pada segitiga PRQ, panjang $ x $ adalah
$ x^2 = r^2 + r^2 - 2.r.r.\cos \theta $
$ x = \sqrt{2r^2 - 2r^2 \cos \frac{360^\circ}{n}} $
$ x = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $
*). Keliling bangun datar segi-n beraturan
Keliling $ = n \times x = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} $.
keterangan :
$\theta =\, $ sudut pusat $ = \frac{360^\circ}{n} $.

Contoh soal Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan :

1). Pada segienam beraturan dengan jari-jari 10 cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui $ r = 10 $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.10^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 300 \sin 60^\circ \\ & = 300 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 150 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut adalah $ 150\sqrt(3) \, cm^2 . \, \heartsuit $.

b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.10\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 60\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 60\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 60\sqrt{2-1 } \\ & = 60\sqrt{1} \\ & = 60 \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut adalah $ 60 \, cm . \, \heartsuit $.

2). Sebuah bangun datar segi-8 beraturan memiliki keliling $ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm. Tentukan
a). Panjang sisi dan jari-jarinya,
b). Tentukan luas segidelapan tersebut.

Penyelesaian :
a). Panjang sisi $(x)$ dan jari-jari $(r)$ :
*). Panjang sisi,
$ \begin{align} \text{Keliling segidelapan } & = 8x \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8x \\ x & = \frac{32\sqrt{2-\sqrt{2}} }{8} = 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \end{align} $
Sehingga panjang sisinya adalah $ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \, $ cm.
*). Jari-jari $(r)$ :
$ \begin{align} \text{Keliling Segidelapan } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ 32\sqrt{2-\sqrt{2}} & = 8.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{8}} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2\cos 45^\circ} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{2}} \\ 4\sqrt{2-\sqrt{2}} & = r\sqrt{2-\sqrt{2}} \\ r & = 8 \end{align} $
Sehingga panjang jari-jarinya $ r = 4 $.

b). Luas segidelapan beraturan :
$ \begin{align} \text{Luas Segidelapan } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{8}{2}.4^2 \sin \frac{360^\circ}{8} \\ & = 64 \sin 45^\circ \\ & = 64 . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 32 \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, luas segidelapan tersebut adalah $ 32\sqrt(2) \, cm^2 . \, \heartsuit $.

3). Luas bangun datar segi-12 beraturan adalah 27 cm$^2$. Tentukan :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
b). Keliling segi-12 tersebut.

Penyelesaian :
a). Panjang jari-jari dan panjang sisi,
*). Panjang jari-jari :
$ \begin{align} \text{Luas Segi-12 } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ 27& = \frac{12}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{12} \\ 27& =6r^2 \sin 30^\circ \\ 27& = 6r^2 . \frac{1}{2} \\ 27& = 3r^2 \\ r & = 3 \end{align} $
Sehingga $ r = 3 \, $ cm.
*). Panjang sisi $(x) $ segi-12 :
$ \begin{align} x & = r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{12}} \\ & = 3\sqrt{2-2\cos 30^\circ} \\ & = 3\sqrt{2-2.\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} \end{align} $
Sehingga panjang sisi $ x = 3\sqrt{2-\sqrt{3}} $

b). Keliling segi-12 tersebut.

Keliling $ = n.x = 12 . 3\sqrt{2-\sqrt{3}} = 36\sqrt{2-\sqrt{3}} $
Jadi, keliling segi-12 adalah $ 36\sqrt{2-\sqrt{3}} \, cm. \, \heartsuit $.

4). Sebuah bangun datar segienam beraturan memeiliki jari-jari $ r \, $ cm, tentukan :
a). Luas,
b). Keliling.

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui jari-jari $ = r $.
Bangun datar segienam artinya $ n = 6 $.
a). Luas segienam beraturan:
$ \begin{align} \text{Luas Segienam } & = \frac{n}{2}r^2 \sin \frac{360^\circ}{n} \\ & = \frac{6}{2}.r^2 \sin \frac{360^\circ}{6} \\ & = 3r^2 \sin 60^\circ \\ & = 3r^2 . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, luas segienam tersebut adalah $ \frac{3}{2}r^2\sqrt{3} \, cm^2 . \, \heartsuit $.

b). Keliling segienam beraturan,
$ \begin{align} \text{Keliling Segienam } & = nr\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{n}} \\ & = 6.r\sqrt{2-2\cos \frac{360^\circ}{6}} \\ & = 6r\sqrt{2-2\cos 60^\circ } \\ & = 6r\sqrt{2-2. \frac{1}{2} } \\ & = 6r\sqrt{2-1 } \\ & = 6r\sqrt{1} \\ & = 6r \end{align} $
Jadi, keliling segienam tersebut adalah $ 6r \, cm . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Luas dan Keliling Bangun Datar Segi-n Beraturan dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luasan.

Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Luasan suatu bangun datar dengan judul Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya. Luas bangun datar yang akan kita bahas adalah luas segitiga, luas segiempat, luas segilima, dan luas segi lainnya. Materi Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya sengaja kita bahas karena memang terkadang kita diminta menghitung luas suatu bangun datar yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya, salah satunya pada materi "transformasi geometri" yang selalu melibatkan luas bangun datar yaitu bisa menghitung luas bayangan atau luas awal bangun tersebut, dimana materinya sudah kita bahas khusus pada artikel "Transformasi Geometri Luas Bangun datar".

         Untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya menggunakan rumus aslinya tentu akan sulit bagi kita, kenapa? Karena kita harus menghitung panjang-panjang sisinya terlebih dahulu dengan menggunakan rumus jarak dua titik. Belum tentu juga panjang sisinya akan bulat. Berlatar belakang dari permasalahan inilah kita menshare cara lain dalam menyelesaikan Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya.

         Pada kesempatan artikel Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya ini, akan kita tampilkan dua cara dalam penghitungannya yaitu cara I : menggunakan luas persegipanjang dan luas segitiga (bisa juga trapesium), dan cara II : menggunakan rumus mirip determinan matriks. Langsung saja kita simak penjelasannya berikut ini beserta contohnya.

Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya Cara I
       Cara pertaman dalam menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya yaitu dengan memanfaatkan beberapa luas bangun datar yaitu luas persegi panjang, luas segitiga, dan luas trapesium.

$\clubsuit $ Rumus Luas beberapa bangun datar :
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $.
*). Luas persegipanjang $ = $ panjang $ \times $ lebar.
*). Luas trapesium $ = \frac{a+b}{2} \times \text{ tinggi} $.
dengan $ a $ dan $ b $ adalah sisi-sisi sejajar pada trapesium.

$ \spadesuit $ Luas bangun datar diketahui koordinatnya :
Luas $ = $ luas persegipanjang $ - $ luas bangun baru yang terbentuk.

Catatan : Bangun baru yang terbentuk biasanya segitiga atau trapesium.
Langkah-langkah cara I :
1). Membuat persegipanjang yang bisa mencakup semua daerah yang mau kita hitung luasnya.
2). Menghitung luas persegipanjang dan luas bangun lain (biasanya berbentuk segitiga, trapesium, persegi atau persegipanjang kecil) yang terbentuk diluar daerah sebenarnya.
3). Luas daerah yang kita cari adalah pengurangan seperti pembahasan di atas.

Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya Cara II
       Cara kedua untuk menghitung Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya adalah dengan menggunakan rumus yang mirip dengan determinan matriks. Rumus ini berlaku untuk semua bangun datar yang diketahui koordinat titik-titik sudutnya.

*). Rumus luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) $ , dan $ C(c_1,c_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2})] $

*). Rumus luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya yaitu $ A(a_1,a_2), B(b_1,b_2) , C(c_1,c_2) $ , dan $ D(d_1,d_2) $ adalah
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(\color{white} {a_1b_2+b_1c_2+c_1d_2+d_1a_2})-(\color{green} {b_1a_2+c_1b_2+d_1c_2+a_1d_2})] $

Catatan :
*). Begitu seterusnya untuk bangun datar segilima, segienam, dan lainnya berlaku mirip dengan rumus di atas.
*). Urutan titiknya harus berurutan sehingga membentuk bangun yang dihitung luasnya.
*). Dari rumus di atas, satu titik paling kiri kita ulang lagi letakkan di akhir paling kanan.
*). Keuntungan cara II ini adalah kita tidak perlu detail menggambar bangun datarnya.

Contoh Soal Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya :

1). Hitunglah luas segitiga ABC dengan koordinat titik sudutnya $A(1,1), B(-1,-2) $, dan $ C(-2,2) $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Perhatikan gambar segitiga ABC berikut :
*). Menentukan luas beberapa bangun:
Luas persegipanjang CDEF $ = p . l = 3 . 4 = 12 $
Luas $\Delta CDB = \frac{1}{2}.1 .4 = 2 $
Luas $\Delta ABE = \frac{1}{2}.2 .3 = 3 $
Luas $\Delta CAF = \frac{1}{2}.1 .3 = 1,5 $
*). Luas segitiga ABC :
Luas $ = 12 - ( 2 + 3 + 1,5) = 12 - 6,5 = 5,5 $.
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 5,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Koordinatnya : $A(1,1), B(-1,-2) $, dan $ C(-2,2) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & -1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(1.-2 + -1.2 + -2.1)-(-1.1 + -2.-2 + 1.2)] \\ & = \frac{1}{2} [(-2 - 2 - 2)-(-1 + 4 + 2)] \\ & = \frac{1}{2} [(-6)-(5)] \\ & = \frac{1}{2} [-11] = -5,5 = 5,5 \end{align} $
(luas selalu bernilai positif).
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 5,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

2). Hitunglah luas segiempat ABCD dengan koordinat titik sudutnya $A(1,-1), B(3,1) , C(2,4) $, dan $ D(-1,0) $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Perhatikan gambar segiempat ABCD berikut :
*). Menentukan luas beberapa bangun :
Luas persegipanjang EFGH $ = p . l = 4 . 5 = 20 $
Luas $\Delta ADE = \frac{1}{2}.2 .1 = 1 $
Luas $\Delta ABH = \frac{1}{2}.2 .2 = 2 $
Luas $\Delta BGC = \frac{1}{2}.1 .3 = 1,5 $
Luas $\Delta DFC = \frac{1}{2}.3 .4 = 6 $
*). Luas segiempat ABCD :
Luas $ = 20 - ( 1 + 2 + 1,5 + 6) = 20 - 10,5 = 9,5 $.
Jadi, luas segiempat ABCD adalah $ 9,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Koordinatnya : $A(1,-1), B(3,1) , C(2,4) $, dan $ D(-1,0) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 4 & 0 & -1 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(1.1 + 3.4 + 2.0 + -1.-1)-(3.-1+2.1+-1.4+1.0)] \\ & = \frac{1}{2} [(1 + 12 + 0 + 1)-(-3 + 2 - 4 + 0)] \\ & = \frac{1}{2} [(14)-(-5)] \\ & = \frac{1}{2} [19] = 9,5 \end{align} $
Jadi, luas segiempat ABCD adalah $ 9,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

3). Hitunglah luas segilima ABCDE dengan koordinat titik sudutnya $A(-2,-2), B(2,-1) , C(3,1) $, $ D(0,3)$ , dan $ E(-3,2) $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Perhatikan gambar segilima ABCDE berikut :
*). Menentukan luas beberapa bangun :
Luas persegipanjang FGIJ $ = p . l = 6 . 5 = 30 $
Luas $\Delta EAF = \frac{1}{2}.1.4 = 2 $
Luas $\Delta EJD = \frac{1}{2}.1.3 = 1,5 $
Luas $\Delta CDI = \frac{1}{2}.2 .3 = 3 $
Luas $\Delta CHB = \frac{1}{2}.1.2 = 1 $
Luas trapesium AGHB $ = \frac{HB+AG}{2}.GH = \frac{1+5}{2}.1 = 3 $
*). Luas segilima ABCDE :
Luas $ = 30 - ( 2 + 1,5 + 3 + 1 + 3) = 30 - 10,5 = 19,5 $.
Jadi, luas segilima ABCDE adalah $ 19,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Koordinatnya : $A(-2,-2), B(2,-1) , C(3,1) $, $ D(0,3)$ , dan $ E(-3,2) $
$ \begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & e_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & e_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -2 & 2 & 3 & 0 & -3 & -2 \\ -2 & -1 & 1 & 3 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(2+2+9+0+6)-(-4-3+0-9_4)] \\ & = \frac{1}{2} [(19)-(-20)] \\ & = \frac{1}{2} [39] = 19,5 \end{align} $
Jadi, luas segilima ABCDE adalah $ 19,5 $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Catatan Penting :
i). Rumus mirip determinan (Cara II) hanya bisa digunakan pada bangun datar dengan semua sudutnya cekung kelur (sudutnya harus kurang dari $180^\circ$) seperti pada contoh soal di atas, namun berlaku untuk semua segitiga.
ii). Jika bangun datarnya dimana ada sudutnya yang tidak cekung keluar (cekung ke dalam), maka sebaiknya teman-teman menggunakan cara I saja.

4). Perhatikan bangun datar dengan sudutnya cekung kedalam.
Gambar di atas ini adalah contoh bangun datar yang titik sudutnya cekung ke dalam. Untuk menentukan luas daerahnya (bangun datar bersangkutan), sebaiknya kita menggunakan cara I seperti pada contoh-contoh di atas sebelumnya.

       Demikian pembahasan materi Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Luas suatu bangun datar yaitu luas segi-$n$ beraturan.

Transformasi Geometri Luas Bangun datar

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan kembali membahas artikel yang terkait dengan "Transformasi geometri" yaitu dengan jugul Transformasi Geometri Luas Bangun datar. Materi terkait Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini perlu kita bahas karena baik di ujian tingkat sekolah seperti ulangan harian, ulangan semesteran atau ujian nasional, serta tingkat seleksi masuk perguruan tinggi juga sering dikeluarkan soal-soalnya.

         Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar ini, silahkan teman-teman kuasai terlebih dahulu transformasi secara umum dan jenis-jenis transformasi (seperti translasi, dilatasi, rotasi, dan refleksi), serta komposisi transformasi. Selain itu juga teman-teman harus menguasai operasi pada matriks terutama perkalian.

         Transformasi geometri pada titik dan pada "persamaan kurva", kita harus mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan pada soal. Nah, apakah pada Transformasi Geometri Luas Bangun datar perlu kita lakukan hal yang sama yaitu mengerjakan semua jenis transformasi yang disediakan oleh soal? jawabannya tidak, karena berdasarkan sifat-sifat masing-masing jenis transformasi hanya dilatasi yang menyebabkan perubahan luas suatu bangaun datar. Artinya kita tidak perlu menghitung semua, cukup kerjakan yang dilatasi saja. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar Transformasi Geometri Luas Bangun datar segitiga ABC berikut.

         Perlu diperhatikan, jika titik pada bangun datar saja yang ditransformasi, maka Transformasi Geometri Luas Bangun datar harus melibatkan semua jenis transformasi yang ada pada soal karena bukan luas bayangan yang kita cari akan tetapi bayangan dari titik-titik sudutnya sehingga ini termasuk transformasi titik bukan luas.

Transformasi Geometri Luas Bangun datar
       Langkah-langkah dalam mengerjakan Transformasi Geometri Luas Bangun datar yaitu :
1). Jika yang ditanyakan luas bayangannya, maka cukup kerjakan yang ada dilatasinya saja. Jika pada soal tidak ada dilatasinya, maka luas bayangannya sama dengan luas awalnya.
2). Jika pada soal langsung diketahui matriks transformasinya (bukan translasi atau rotasi atau refleksi), maka wajib kita hitung luas bayangannya menggunakan matriks tersebut digabungkan dengan dilatasi jika ada.
3). Jika yang ditanyakan bayangan dari titik-titik sudutnya, maka semua jenis transformasi yang ada pada soal kita kerjakan.

$\spadesuit $ Cara menghitung luas bayangan :
       Luas bayangan = $|MT| \times $ Luas awal.
dimana $ |MT| = \, $ determinan matriksnya.
Cara Menghitung Luas Segitiga
$\spadesuit $ Luas Segitiga ABC
       Misalkan segitiga ABC dengan koordinatnya $A(a_1,a_2) , B(b_1,b_2) $ dan $ C(c_1,c_2)$, Luasnya :
Luas $ = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| $
Luas $ = \frac{1}{2} [(a_1b_2+b_1c_2+c_1a_2)-(b_1a_2+c_1b_2+a_1c_2)] $
Catatan :
Bentuk penghitungan luas seperti di atas mirip determinan pada matriks dengan mengulang titik yang paling kiri diletakkan kembali di paling kanan. Untuk lebih mendalam tentang cara menghitung luas bangun datar yang diketahui koordinatnya, silahkan baca artikel "Luas Bangun Datar Diketahui Koordinatnya".

Contoh Soal Transformasi Geometri Luas Bangun datar :

1). Segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudutnya yaitu $A(-1,2) , B(2,3) $ dan $ C(1,5) $ ditransformasi oleh matriks $ \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $. Tentukan :
a). bayangan titik-titik sudut segitiga ABC,
b). luas bayangan segitiga ABC.

Penyelesaian :
a). Menentukan bayangan titik-titik sudutnya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} A & B & C \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 16 & 22 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi bayangan titik sudutnya adalah :
$ A^\prime (-5,6), \, B^\prime (3,16), $ dan $ (-2, 22) $.

b). Menentukan luas bayangan segitga ABC dengan bayangan titik-titik sudutnya sudah kita peroleh di bagian (a) di atas.
Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -5 & 3 & -2 & -5 \\ 6 & 16 & 22 & 6 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-5.16+3.22+-2.6)-(3.6+-2.16+-5.22)] \\ & = \frac{1}{2} [(-80+66-12)-(18-32-110)] \\ & = \frac{1}{2} [(-26)-(-124)] \\ & = \frac{1}{2} [98] = 49 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah 49 satuan luas$. \, \heartsuit $

Cara 2 : bagian (b),
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -1 & 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-3 + 10 +2)-(4 + 3 -5)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (3.4-(2.(-1)) \times \frac{7}{2} \\ & = 14 \times \frac{7}{2} = 49 \end{align} $

2). Segitiga ABC dengan koordinat $A(1,2), B(3,-1), $ dan $ C(4,1) $ ditranslasi $ \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) $, kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X, setelah itu didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat $(-1,3)$, setelah itu dilanjutkan lagi dengan rotasi sejauh $ 90^\circ $ belawanan jarum jam dengan titik pusat $(2,1) $. Tentukan luas bayangan segitiga ABC!

Penyelesaian :
Cara I : Menentukan bayangan titik segitiganya
*). Pertama : Translasi ,
$ \left( \begin{matrix} A^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Kedua : Pencerminan sumbu X, MT $ = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 \\ -2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 9 \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). Ketiga: dilatasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(-1,3)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 - (-1) \\ -1 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 7 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 14 \\ -8 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 13 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 8 - (-1) \\ 2 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 18 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 17 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 9 - (-1) \\ 0 - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 10 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 20 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 19 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Keempat: rotasi, MT $ = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $ dengan $(a,b)=(2,1)$
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} A^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 13 - 2 \\ -5 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 11 \\ -6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 6 \\ 11 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 8 \\ 12 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} B^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 - 2 \\ 1 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 15 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 15 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 16 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} C^{\prime \prime \prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 19 - 2 \\ -3 - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 17 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 17 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 6 \\ 18 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Koordinat bayangan titik-titik sudut segitiga adalah :
$A^{\prime \prime \prime \prime}(8,12), B^{\prime \prime \prime \prime}(2,16) $ dan $ C^{\prime \prime \prime \prime}(6, 18 )$.
*). Menentukan luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 2 & 6 & 8 \\ 12 & 16 & 18 & 12 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(128 + 36 + 72)-(24 + 96 + 144)] \\ & = \frac{1}{2} [-28] = -14 = 14 \end{align} $
(Luasan selalu bernilai positif).
Jadi, luas bayangannya adalah 14 satuan luas$. \, \heartsuit $

Cara 2 : Hanya memperhatikan bentuk dilatasi saja.
*). Pada dilatasi, berapapun titik pusatnya tidak berpengaruh pada luas, artinya luas hanya ditentukan oleh faktor skala saja.
*). Luas awal segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & a_2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = \frac{1}{2} [(-1 + 3 + 8)-(6 - 4 + 1)] \\ & = \frac{1}{2} [7] = \frac{7}{2} \end{align} $
*). Luas bayangannya : dilatasi dengan $ k = 2 $
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right| \times \frac{7}{2} \\ & = (2.2-0.0) \times \frac{7}{2} \\ & = 4 \times \frac{7}{2} = 14 \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah 14 satuan luas, sama dengan cara I.

3). Lingkaran dengan persamaan $(x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ dirotasi sejauh $ 135^\circ $ searah jarum jam, kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = x + 6 $, setelah itu dilanjutkan dengan translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 12 \\ -10 \end{matrix} \right) $ . Tentukan luas bayangan lingkaran tersebut!

Penyelesaian :
*). Luas akan berubah jika dilakukan dilatasi pada lingkaran tersebut.
*). Karena tidak ada dilatasi, maka luas bayangan tetap yaitu sama dengan luas awal.
*). Lingkaran $ (x-1)^2 + (y + 3)^2 = 5 $ memiliki $ r = \sqrt{5} $.
*). Luas bayangannya :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = \text{Luas awal} \\ & = \pi r^2 \\ & = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah $ 5\pi $ satuan luas $. \, \heartsuit $

4). Sebuah segiempat ABCD memiliki koordinat A(1,2), B(2,5), C(3, 7) dan D(5,4) dilakukan transformasi yaitu pertama didilatasi dengan faktor skala 3 dan titik pusat $(-1,2)$, dilanjutkan dengan rotasi sejauh $ 180^\circ $ dengan pusat $(0,0)$, dilanjutkan kembali translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $. Tentukan perbandingan luas bayangan dan luas awalnya!

Penyelesaian :
*). Pada soal ini, yang berpengaruh hanya dilatasi dengan $ k = 3 $, sehingga :
$\begin{align} \text{Luas bayangan } & = |MT| \times \text{Luas awal} \\ \frac{\text{Luas bayangan } }{\text{Luas awal } } & = |MT| \\ & = \left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right| \\ & = 3.3 - 0.0 \\ & = 9 = \frac{9}{1} \end{align} $
Jadi, perbandingan luas bayangan dan luas awalnya adalah $ 9 : 1 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Transformasi Geometri Luas Bangun datar dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri.