Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi transformasi geometri yang terdiri dari beberapa jenis yaitu Translasi, Dilatasi, Refleksi, dan Rotasi, dimana disetiap penjelasan juga sudah disertai dengan contoh-contohnya, nah pada artikel ini kita akan khusus membahas materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi. Hal ini penting untuk kita perdalam lagi karena biasanya untuk soal-soal Ujian Nasional (UN) atau Ujian masuk perguruan tinggi negeri (SBMPTN), benda atau objek yang ditransformasi kebanyakan berbentuk persamaan kurva atau fungsi suatu kurva.

         Memepelajari materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi tentu kita tidak terlepas dari bentuk "komposisi transformasi geometri". Suatu persamaan kurva atau fungsi suatu kurva bisa ditransformasi tidak hanya satu kali saja namun bisa lebih dari satu kali baik dengan jenis transformasi yang sama atau jenis transformasi yang berbeda. Pada komposisi transformasi, ada matriks yang bisa langsung dikalikan dan ada juga harus dikerjakan satu-persatu transformasinya, inilah salah satu penekanan yang akan kita bahas pada artikel Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi ini.

         Dalam pembahasan materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi, kita bagi menjadi dua bagian yaitu pertama jenis soal yang matriks transformasinya bisa digabung langsung dan kedua jenis soal yang matriksnya tidak bisa digabung langsung sehingga pengerjaannya dilakukan satu demi satu.

         Untuk mempermudah dalam mempelajari materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi, teman-teman harus menguasai materi transformasi secara keseluruhan seperti 'matriks transformasi geometri', 'jenis-jenis transformasi', 'komposisi transfomasi geometri', dan tentu juga 'operasi matriks'.

Matriks transformasi bisa digabungkan (bisa dikomposisikan langsung)
       Untuk jenis matriks transformasi yang bisa langsung digabungkan maka pengerjaan Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi sangatlah mudah. Berikut langkah-langkahnya :
i). Gabungkan semua matriks transformasinya dengan cara dikalikan,

ii). Menentukan hubungan titik awal $ (x,y)$ dan bayangan $(x^\prime , y^\prime ) $,

a). Jika yang diminta bayangan persamaan, maka bentuklah $ x = m_1x^\prime + n_1y^\prime $ dan $ y = m_2x^\prime + n_2y^\prime $ . Setelah itu substitusi ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangan kurva.

b). Jika yang diminta persamaan bayangan, maka bentuklah $ x^\prime = m_1x + n_1y $ dan $ y^\prime = m_2x + n_2y $. Setelah itu substitusikan ke persamaan bayangan sehingga akita peroleh persamaan awalnya.
Catatan :
Silahkan teman-teman baca syarat matriks transformasi bisa digabungkan atau tidak pada artikel : "Komposisi Transformasi dengan Matriks".

Contoh Soal Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi :

1). Persamaan $ y = x^2 - 2x $ dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian dilanjutkan lagi dengan dilatasi pusat (0,0) dan faktor skala 3, dan dilanjtukan lagi rotasi sejauh $ 90^\circ $ terhadap titik pusat. Tentukan bayangan persamaan kurva parabola tersebut!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi bisa digabungkan langsung karena memiliki titik pusat yang sama (0,0) dan matriks berordo $ 2 \times 2 $.
*). Menentukan matriks masing-masing dan matriks gabungannya :
Pertama : Pencerminan terhadap sumbu X, $ T_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Dilatasi dengan $ k = 3 $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Rotasi dengan $ \theta = 90^\circ $ , $ T_3 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Matriks gabungannya (MT) :
$ \begin{align} MT & = T_3 \circ T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3y \\ 3x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 3y \rightarrow y = \frac{1}{3}x^\prime $
$ y^\prime = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y^\prime $
*). Susbstitusi yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 2x \\ \frac{1}{3}x^\prime & = \left( \frac{1}{3}y^\prime\right)^2 - 2(\frac{1}{3}y^\prime) \\ \frac{1}{3}x^\prime & = \frac{1}{9}( y^\prime )^2 - \frac{2}{3}y^\prime \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ x^\prime & = \frac{1}{3}( y^\prime )^2 - 2y^\prime \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ x^\prime = \frac{1}{3}( y^\prime )^2 - 2y^\prime $ atau $ x = \frac{1}{3}y^2 - 2y $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = \frac{1}{3}y^2 - 2y . \, \heartsuit $.

Berikut adalah ilustrasi kurva awal dan kurva bayangannya :

2). Suatu persamaan kurva atau suatu fungsi didilatasi terhadap pusat koordinat dengan faktor skala -2 kemudian dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = x $ menghasilkan persamaan bayangan $ 2x - 3y = 5 $. Tentukan persamaan kurva tersebut!

Penyelesaian :
*). Kedua jenis matriks transformasi bisa digabungkan.
*). Pada soal diketahui :
Persamaan bayangannya : $ 2x - 3y = 5 $ atau dapat dituliskan $ 2x^\prime - 3y^\prime = 5 $.
Yang ditanyakan persamaan awalnya.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing dan matriks gabungannya :
Pertama : Dilatasi dengan $ k = -2 $ , $ T_1 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
Kedua : Pencerminan terhadap garis $ y = x $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Matriks gabungannya (MT) :
$ \begin{align} MT & = T_2 \circ T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2y \\ -2x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -2y $ dan $ y^\prime = -2x $
(tidak perlu diubah lagi karena yang ditanyakan persamaan awalnya).
*). Susbstitusi $ x^\prime = -2y $ dan $ y^\prime = -2x $ ke persamaan bayangan sehingga kita dapatkan persamaan awalnya :
$ \begin{align} 2x^\prime - 3y^\prime & = 5 \\ 2(-2y) - 3(-2x) & = 5 \\ -4y + 6x & = 5 \\ 6x -4y & = 5 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 6x -4y = 5 . \, \heartsuit $.

Matriks transformasi tidak bisa digabungkan
       Untuk Kasus kedua ini dimana matriks transformasinya tidak bisa digabungkan langsung sehingga pengerjaan Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi dilakukan satu-persatu. Ada dua cara yang bisa kita lakukan dalam pengerjaannya yaitu :
1). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ setelah itu kita ubah sesuai pertanyaannya apakah yang ditanya persamaan bayangan atau persamaan awal seperti contoh di atas.

2). Kita lakukan satu persatu dan langsung mencari bayangan persamaannya sehingga akan ada persamaan bayangan pertama, persamaan bayangan kedua, dan seterusnya. Persamaan bayangan terakhirlah jawaban yang kita pakai.
Contoh Soal Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi :

3). Tentukan persamaan bayangan kurva $ x^2 + y^2 = 4 $ jika ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $, kemudian dirotasikan sebesar $ 180^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat putaran (1,2), dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala $ -2 $ dengan titik acuan (0,0)!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi pada soal ini tidak bisa digabungkan karena ordo berbeda dan titik pusat (titik acuan) juga berbeda.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
Pertama : Translasi , $ T_1 = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Rotasi dengan $ \theta = 180^\circ $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Dilatasi dengan $ k = -2 $, $ T_3 = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
*). Untuk pengerjaan berikutnya, kita gunakan Dua Cara yaitu :

Cara 1 : Langsung menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x-3 \\ y + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kedua : titik $(x^\prime , y^\prime ) $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} (x-3) - 1 \\ (y+1) - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x - 4 \\ y - 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 4 \\ -y + 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 5 \\ -y + 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Ketiga : titik $(x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime \prime} \\ y^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) &= (T_3) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -x+5 \\ -y+3 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 2x -10 \\ 2y - 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk akhir hubungan titik awal dan titik bayangannya :
$ x^{\prime \prime \prime} = 2x -10 \rightarrow x = \frac{ x^{\prime \prime \prime} + 10}{2} $
$ y^{\prime \prime \prime} = 2y -6 \rightarrow x = \frac{ y^{\prime \prime \prime} + 6 }{2} $
*). Substitusi bentuk akhir yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 4 \\ \left( \frac{ x^{\prime \prime \prime} + 10}{2} \right)^2 + \left( \frac{ y^{\prime \prime \prime} + 6 }{2} \right)^2 & = 4 \\ \frac{ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2}{4} + \frac{ (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2}{4} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2 + (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2 & = 16 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangannya adalah $ (x^{\prime \prime \prime} + 10)^2 + (y^{\prime \prime \prime} + 6 )^2 = 16 $
atau $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 . \, \heartsuit $.

Cara 2 : Kita tentukan langsung bayangan persamaannya untuk setiap jenis transformasi :
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x-3 \\ y + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x - 3 \rightarrow x = x^\prime + 3 $
$ y^\prime = y + 1 \rightarrow y = y^\prime - 1 $
Bayangan pertama persamaan :
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 4 \\ (x^\prime + 3)^2 + (y^\prime - 1)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga bayangan pertama persamaan : $ (x+3)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ .

*). Kedua : $ (x+3)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{ \prime } \\ y^{\prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 1 \\ -y + 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -x + 2 \\ -y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = -x + 2 \rightarrow x = -x^\prime + 2 $
$ y^\prime = -y + 4 \rightarrow y = -y^\prime + 4 $
Bayangan kedua persamaan :
$ \begin{align} (x+3)^2 + (y - 1)^2 & = 4 \\ (-x^\prime + 2+3)^2 + (-y^\prime + 4 - 1)^2 & = 4 \\ (-x^\prime + 5)^2 + (-y^\prime + 3)^2 & = 4 \\ (x^\prime - 5)^2 + (y^\prime - 3)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga bayangan kedua persamaan : $ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 4 $ .

*). Ketiga : $ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 4 $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (T_3) . \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2x \\ -2y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = -2x \rightarrow x = -\frac{1}{2}x^\prime $
$ y^\prime = -2y \rightarrow y = -\frac{1}{2}y^\prime $
Bayangan ketiga persamaan :
$ \begin{align} (x - 5)^2 + (y - 3)^2 & = 4 \\ (-\frac{1}{2}x^\prime - 5)^2 + (-\frac{1}{2}y^\prime - 3)^2 & = 4 \\ (-\frac{1}{2}x^\prime - \frac{10}{2})^2 + (-\frac{1}{2}y^\prime - \frac{6}{2})^2 & = 4 \\ (\frac{-x^\prime - 10}{2})^2 + (\frac{-y^\prime -6}{2})^2 & = 4 \\ \frac{(-x^\prime - 10)^2}{4} + \frac{(-y^\prime -6)^2}{4} & = 4 \\ \frac{(x^\prime + 10)^2}{4} + \frac{(y^\prime + 6)^2}{4} & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (x^\prime + 10)^2 + (y^\prime + 6)^2 & = 16 \end{align} $
Sehingga bayangan ketiga persamaan : $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x + 10)^2 + (y + 6 )^2 = 16 . \, \heartsuit $.

4). Suatu persamaan kurva ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $, kemudian dirotasikan sebesar $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat putaran (1,2), dan dilanjutkan lagi dilatasi dengan faktor skala $ 3 $ dengan titik acuan (0,0) menghasilkan bayangan $ y = x^3 - 2x + 5$. Tentukan persamaan awal kurva tersebut!

Penyelesaian :
*). Ketiga jenis matriks transformasi pada soal ini tidak bisa digabungkan karena ordo berbeda dan titik pusat (titik acuan) juga berbeda.
*). Pada soal diketahui :
Persamaan bayangan kurva : $ y = x^3 - 2x + 5 $ atau bisa ditulis $ y^{\prime \prime \prime} = (x^{\prime \prime \prime} )^3 - 2x^{\prime \prime \prime} + 5 $.
Yang ditanyakan persamaan awalnya.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
Pertama : Translasi , $ T_1 = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) $
Kedua : Rotasi dengan $ \theta = 180^\circ $ , $ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Ketiga : Dilatasi dengan $ k = 3 $, $ T_3 = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
*). Pertama : Ditranslasi,
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x+2 \\ y 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kedua : titik $(x^\prime , y^\prime ) $ dirotasi dengan titik pusat $(a,b) = (1,2) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) &= (T_2) . \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} (x+2) - 1 \\ (y-1) - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x +1 \\ y - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -y +3 \\ x + 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -y + 4 \\ x + 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Ketiga : titik $(x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $ didilatasi dengan pusat (0,0):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime \prime} \\ y^{\prime \prime \prime} \end{matrix} \right) &= (T_3) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} -y+4 \\ x+3 \end{matrix} \right) \\ &= \left( \begin{matrix} -3y + 12 \\ 3x + 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita peroleh bentuk akhir hubungan titik awal dan titik bayangannya :
$ x^{\prime \prime \prime} = -3y + 12 $ dan $ y^{\prime \prime \prime} = 3x + 9 $
*). Substitusi bentuk akhir yang kita peroleh ke persamaan bayangan sehingga kita peroleh persamaan awalnya.
$ \begin{align} y^{\prime \prime \prime} & = (x^{\prime \prime \prime} )^3 - 2x^{\prime \prime \prime} + 5 \\ 3x + 9 & = (-3y + 12)^3 - 2(-3y + 12) + 5 \\ 3x + 9 & = (-3y + 12)^3 + 6y -24 + 5 \\ 3x & = (-3y + 12)^3 + 6y -28 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 3x = (-3y + 12)^3 + 6y -28 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Transformasi Geometri Persamaan Kurva atau Fungsi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Transformasi geometri Luas bangun datar".

Komposisi Rotasi Sepusat

         Blog Koma - Satu lagi bentuk "komposisi transformasi geometri" yang akan kita bahas yaitu Komposisi Rotasi Sepusat, yang sebelumnya juga telah kita bahas artikel komposisi translasi, komposisi refleksi, dan komposisi dilatasi serta komposisi matriks transformasi yang melibatkan semua jenis transformasi geometri. Komposisi Rotasi Sepusat artinya suatu benda atau objek akan kita rotasi beberapa kali dengan pusat (titik acuan) yang sama sehingga matriks transformasinya bisa kita gabungkan. Jika Komposisi Rotasi Tidak Sepusat, maka pengerjaan komposisinya kita lakukan satu-persatu sehingga bentuk rotasi terakhir.

         Untuk memudahkan mempelajari artikel Komposisi Rotasi Sepusat ini, teman-teman harus menguasai materi "Rotasi pada Transformasi Geometri", "Matriks Transformasi Geometri", dan operasi pada matriks. Untuk Pengerjaannya juga seperti biasa yaitu $ bayangan \, = \, matriks \times awal $. Langsung saja kita simak penjelasannya berikut ini.

Pengerjaan Komposisi Rotasi Sepusat
       Perhatikan ilustrasi gambar komposisi rotasi sepusat di atas, pusat rotasi adalah $(a,b)$ dengan titik awal $A(x,y)$ dilakukan rotasi sebesar $ \theta _1 $ menghasilkan bayangan $A^\prime (x^\prime , y^\prime )$, dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _2 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } (x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime } ) $, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $ \theta _3 $ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime } (x^{\prime \prime \prime } , y^{\prime \prime \prime } ) $ .
*). Matriks gabungannya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) $
Catatan :
Nilai $ \theta _1 , \, \theta _2 , \, $ dan $ \theta _3 $ bisa bernilai negatif tergantung dari arah putaran terhadap jarum jam.
Jika searah jarum jam, maka sudutnya negatif.
Jika berlawanan arah jarum jam, maka sudutnya positif.

*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Contoh Soal Komposisi Rotasi Sepusat :

1). Titik A(1,2) dirotasi sebesar $35^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 55^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik pusat kedua rotasi sama yaitu $ (-3,5) $ , maka tentukan bayangan titik A?

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 35^\circ , \, \theta _2 = 55^\circ \, $ dan titik pusat $(a,b) = (-3,5) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (35^\circ + 55^\circ ) & - \sin (35^\circ + 55^\circ ) \\ \sin (35^\circ + 55^\circ ) & \cos (35^\circ + 55^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (90^\circ ) & - \sin (90^\circ ) \\ \sin (90^\circ ) & \cos (90^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - (-3) \\ 2 - 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 9 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (0,9) . \, \heartsuit $.

2). Persamaan $ y = 3x^4 - 2x - 1 $ dirotasi sebesar $50^\circ $ berlawanan arah jarum jam, kemudian dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 300^\circ $ searah jarum jam, dan dilanjutkan lagi rotasi sebesar $70^\circ $ berlawanan arah jarum jam. Jika titik pusat ketiga rotasi sama yaitu $ (0,0) $ , maka tentukan bayangan persamaan kurva tersebut?

Penyelesaian :
*). Matriks gabungannya :
$ \theta _1 = 50^\circ , \, \theta _2 = -300^\circ, \, \theta _3 = 70^\circ \, $ dan titik pusat $(a,b) = (0,0) $.
$\begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & - \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \\ \sin (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) & \cos (\theta _1 + \theta _2 + \theta _3 ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & - \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \\ \sin (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) & \cos (50^\circ + (-300^\circ) + 70^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (-180^\circ ) & - \sin (-180^\circ ) \\ \sin (-180^\circ ) & \cos (-180^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (180^\circ ) & \sin (180^\circ ) \\ - \sin (180^\circ ) & \cos (180^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x \\ -y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -x \rightarrow x = -x^\prime $ dan $ y^\prime = -y \rightarrow y = -y^\prime $ .
*). Substitusi bentuk $ x = -x^\prime $ dan $ y = -y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = 3x^4 - 2x - 1 \\ -y^\prime & = 3(-x^\prime)^4 - 2.(-x^\prime) - 1 \\ -y^\prime & = 3(x^\prime)^4 + 2x^\prime - 1 \\ y^\prime & = - 3(x^\prime)^4 - 2x^\prime + 1 \end{align} $
Sehingga bayangannya $ y^\prime = - 3(x^\prime)^4 - 2x^\prime + 1 $ atau $ y = -3x^4 - 2x + 1 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = -3x^4 - 2x + 1 . \, \heartsuit $.

3). Titik B($-2,1$) dirotasi sejauh $ 60^\circ $ dengan titik pusat (1,0) , lalu dilanjutkan lagi dengan rotasi sebesar $ 30^\circ $ dengan titik pusat $ (-1,3) $. Tentukan bayangan titik B?

Penyelesaian :
*). Karena titik pusat rotasinya tidak sama, maka matriks rotasinya tidak bisa kita gabung langsung, artinya kita harus mengerjakan satu demi satu bentuk rotasinya.
*). Rotasi pertama : $ \theta _ 1 = 60^\circ $ dengan pusat $(a,b) = (1,0) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (60^\circ ) & - \sin (60^\circ ) \\ \sin (60^\circ ) & \cos (60^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan pertama titik $B(-2,1) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 - 1 \\ 1 - 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-3}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{-3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga $ B^\prime ( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $

*). Rotasi kedua : $ \theta _ 2 = 30^\circ $ dengan pusat $(a,b) = (-1,3) $.
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos (30^\circ ) & - \sin (30^\circ ) \\ \sin (30^\circ ) & \cos (30^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) $
Bayangan kedua titik $ B^\prime ( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} , -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{ \prime \prime } \\ y^{ \prime \prime } \end{matrix} \right) & = ( MT) \times \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} - (-1) \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} - 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} ) \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{3}{2}\sqrt{3} - \frac{5}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}\sqrt{3} + \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{9}{4} - \frac{5}{4}\sqrt{3} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} + \frac{1}{2} \\ - \frac{7}{4}\sqrt{3} - 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \\ - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} - \frac{1}{2} , - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) $
Jadi, bayangan akhir titik B adalah $ B^{\prime \prime } ( \sqrt{3} - \frac{1}{2} , - \frac{7}{4}\sqrt{3} + 1 ) . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Rotasi Sepusat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi transformasi geometri.

Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap

         Blog Koma - Hallow teman-teman, pada artikel ini kita akan share tentang Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap. Soal-soal SBMPTN dibagi menjadi tiga jenis yaitu TKPA, Saintek, dan Soshum. Di TKPA diujikan salah satu matapelajaran matematika yaitu matematika dasar, sementara di Saintek diujikan juga pelajaran matematika yaitu matematika ipa. Tentu kedua jenis matematika (dasar atau ipa) memiliki tingkat kesulitan yang berbeda dimana matematika IPA secara umum lebih sulit. Agar bisa sukses mengerjakan Soal-soal SBMPTN Matematika IPA, ada baiknya teman-teman banyak berlatih mengerjakan soal-soal SBMPTN yang sudah pernah diujikan (soal-soal SBMPTN tahun-tahun sebelumnya), karena biasanya soal-soal yang akan dikeluarkan ditahun berikutnya ada kemiripan dengan soal tahun sebelumnya.

         Pada Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap ini, kita akan sajikan link-link soal-soal SBMPTN beserta pembahasannya yang terdiri dari soal-soal tahun 2000 sampai tahun terbaru. Silahkan untuk mempelajari semua jenis soal SBMPTN yang ada agar kita terbiasa dengan logika pengerjaan soalnya, namun jika teman-teman tidak memiliki banyak waktu persiapan untuk mengikuti SBMPTN, saran kami sebaiknya "CUKUP MENGERJAKAN LIMA TAHUN TERAKHIR SAJA". Langsung saja berikut link dari Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap.



  • SBMPTN 2017 K165
  • SBMPTN 2017 K166
  • SBMPTN 2017 K167
  • SBMPTN 2017 K168
  • SBMPTN 2016 K245
  • SBMPTN 2016 K246
  • SBMPTN 2016 K247
  • SBMPTN 2016 K248
  • SBMPTN 2016 K249
  • SBMPTN 2016 K250
  • SBMPTN 2016 K251
  • SBMPTN 2016 K252
  • SBMPTN 2015 K517
  • SBMPTN 2014 K554
  • SBMPTN 2014 K514
  • SBMPTN 2014 K523
  • SBMPTN 2014 K532
  • SBMPTN 2014 K586
  • SBMPTN 2014 K542
  • SBMPTN 2013 K436
  • SNMPTN 2012 K634
  • SNMPTN 2011 K574
  • SNMPTN 2010 K526
  • SNMPTN 2009 K276
  • SNMPTN 2008 K302
  • SPMB tahun 2007
  • SPMB tahun 2006
  • SPMB tahun 2005
  • SPMB tahun 2004
  • SPMB tahun 2003
  • SPMB tahun 2002
  • UMPTN tahun 2001
  • UMPTN tahun 2000


  •        Jika teman-teman ingin mempelajari soal-soal seleksi masuk PTN Matematika yang sudah dikelompokkan berdasarkan per-bab yang dilengkapi dengan pembahasannya, silahkan baca artikelnya pada link "Kumpulan soal matematika per bab seleksi masuk PTN".

           Demikian artikel tentang Soal SBMPTN dan Pembahasan Matematika IPA Lengkap yang terdiri dari berbagai tahun. Kami akan terus berusaha untuk meng-update soal-soal SBMPTN serta pembahasannya. Silahkan juga baca artikel lain yang berkaitan "Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar Lengkap". Semoga terus bisa membantu. Terima kasih.

    Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar Lengkap

             Blog Koma - Hallow Sahabat blog koma, Bagaimana kabarnya sekarang? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada kesempatan ini kita akan menshare atikel Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar Lengkap. Bagi adik-adik yang ingin mengikuti seleksi masuk perguruan tinggi negeri (PTN) baik jalur tes bersama ataupun tes mandiri, penting sekali untuk banyak berlatih mengerjakan soal-soal yang sudah pernah diujikan sebelumnya. Selain untuk melatih dan membiasakan diri mengerjakan soal-soal yang sulit, soal-soal yang diujikan tahun berikutnya biasanya ada kemiripan dengan soal-soal tahun sebelumnya.

             Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri atau yang disingkat SBMPTN merupakan salah satu seleksi jalur masuk PTN, dimana semua PTN yang ada di Indonesia menjaring calon mahasiswa/mahasiswinya melalalui jalur SBMPTN ini. Seleksi masuk PTN dari beberapa tahun sebelumnya pernah mengalami perubahan nama yaitu dari UMPTN, SPMB, SNMPTN, dan yang terakhir ini namanya SBMPTN, tetapi memiliki tujuan yang sama seperti SBMPTN, hanya namanya saja berbeda. Soal-soal yang diujikan untuk seleksi masuk PTN tergolong sulit sehingga teman-teman harus mempersiapkannya dengan baik, salah satunya dengan cara sering berlatih. Nah itulah tujuan dari artikel Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar Lengkap ini, sebagai salah satu media belajar bagi teman-teman.

             Pada artikel Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar Lengkap, kami akan sajikan link soal-soal SBMPTN beserta pembahasannya dari tahun 2000 sampai tahun terbaru. Jika teman-teman memiliki banyak waktu persiapan SBMPTN, sebaiknya kerjakan semua tipe soal yang ada dari semua tahun, tapi jika terbatas maka kami sarankan "CUKUP MENGERJAKAN SOAL-SOAL SBMPTN 5 TAHUN TERAKHIR". Langsung saja berikut link Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar Lengkap dari berbagai tahun.






  • SBMPTN 2017 K224
  • SBMPTN 2017 K265
  • SBMPTN 2017 K268
  • SBMPTN 2017 K207
  • SBMPTN 2017 K233
  • SBMPTN 2016 K345
  • SBMPTN 2016 K346
  • SBMPTN 2016 K347
  • SBMPTN 2015 K617
  • SBMPTN 2015 K618
  • SBMPTN 2015 K619
  • SBMPTN 2015 K620
  • SBMPTN 2015 K621
  • SBMPTN 2015 K622
  • SBMPTN 2015 K623
  • SBMPTN 2015 K624
  • SBMPTN 2014 K654
  • SBMPTN 2014 K611
  • SBMPTN 2014 K631
  • SBMPTN 2014 K691
  • SBMPTN 2014 K663
  • SBMPTN 2013 K326
  • SBMPTN 2013 K228
  • SBMPTN 2013 K323
  • SBMPTN 2013 K128
  • SBMPTN 2013 K442
  • SBMPTN 2013 K328
  • SNMPTN 2012 K122
  • SNMPTN 2011 K179
  • SNMPTN 2010 K336
  • SNMPTN 2009 K283
  • SNMPTN 2008 K201
  • SPMB tahun 2007
  • SPMB tahun 2006
  • SPMB tahun 2005
  • SPMB tahun 2004
  • SPMB tahun 2003
  • SPMB tahun 2002
  • UMPTN tahun 2001
  • UMPTN tahun 2000


  •        Jika teman-teman ingin mempelajari soal-soal seleksi masuk PTN Matematika yang sudah dikelompokkan berdasarkan per-bab yang dilengkapi dengan pembahasannya, silahkan baca artikelnya pada link "Kumpulan soal matematika per bab seleksi masuk PTN".

           Demikian artikel Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika Dasar Lengkap. Kami akan selalu berusaha untuk meng-update soal-soal terbaru serta pembahasannya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "Soal dan Pembahasan SBMPTN Matematika IPA Lengkap". Semoga artikel ini bermanfaat untuk kita semua. Semangat terus BELAJAR. Terima kasih.

    Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang

             Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang sebagai kelanjutan dari artikel "Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang". Dua garis sembarang yang dimaksud yaitu pencerminan terhadap garis $ y =m_1x+c_1$ kemudian dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2 $ . Untuk pengerjaannya sama dengan rotasi sehingga membutuhkan titik pusat dan sudut putar sebesar $ \theta $, dan tentu ada matriks rotasinya yaitu berbentuk $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & - \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $. Matriks rotasi inilah yang akan kita buktikan cara memperolehnya.

             Untuk memudahkan mempelajari materi Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang, sebaiknya teman-teman memahami beberapa materi trigonometri yaitu diantaranya "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut", "kesamaan dua buah matriks", dan "Matriks Transformasi Geometri".

    Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang
           Adapun matriks pencerminan dua garis sembarang yaitu $ y = m_1x + c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
    yaitu : MT $ = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & - \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $
    dengan titik pusat rotasi adalah titik perpotongan kedua garis,
    Sudut perputaran ($\theta$) diperoleh dari $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $ ,
    dimana $ m_1 $ dan $ m_2 $ adalah gradien kedua garis.

    Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang
    Perhatikan ilustrasi gambar berikut, terdapat titik $A(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x + c_1 $ dan dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y = m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $.
    Keterangan berdasarkan gambar:
    Jari-jari lingkaran adalah $ r $,
    Sudut antara kedua garis sebesar $ \theta $,
    sudut $ \theta $ dibagi menjadi dua $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ yang tidak harus sama besar,
    dimana $ \theta _1 + \theta _ 2 = \theta $ ,
    Sudut yang dibentuk oleh titik $A(a,b)$ terhadap sumbu X = $ \beta $,
    Sudut yang dibentuk oleh titik $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap sumbu X = $ 2\theta + \beta $,
    Sudut BOA $ = \beta + \theta _1 + \theta _1 + \theta _2 + \theta _2 = 2(\theta _1 + \theta _2) + \beta = 2\theta + \beta $ .

    *). Perhatikan segitiga OCA :
    Sudut COA adalah $ \beta $ dengan panjang $ OC = a , \, OA = r $, dan $ AC = b $, sehingga :
    $ \sin \beta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{OA} = \frac{b}{r} \rightarrow b = r \sin \beta $ .
    $ \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{OC}{OA} = \frac{a}{r} \rightarrow a = r \cos \beta $ .

    *). Perhatikan segitiga OBA$^\prime$ :
    Sudut BOA$^\prime$ adalah $ (2\theta - \beta ) $ dengan panjang $ OB = a^\prime , \, OA^\prime = r $, dan $ BA^\prime = b^\prime $, sehingga :
    $ \sin (2\theta + \beta ) = \frac{de}{mi} = \frac{BA^\prime}{OA^\prime} = \frac{b^\prime}{r} \rightarrow b^\prime = r \sin (2\theta + \beta ) $ .
    $ \cos (2\theta + \beta ) = \frac{sa}{mi} = \frac{OB}{OA^\prime} = \frac{a^\prime}{r} \rightarrow a^\prime = r \cos (2\theta + \beta ) $ .

    *). Rumus trigonometri jumlah atau selisih sudut :
    $ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
    $ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

    *). Menentukan hubungan $ A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ dan $ A(a,b) $ :
    $ \begin{align} a^\prime & = r \cos (2\theta + \beta ) \\ b^\prime & = r \sin (2\theta + \beta ) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos (2\theta + \beta ) \\ r \sin (2\theta + \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos 2\theta \cos \beta - \sin 2\theta \sin \beta ) \\ r ( \sin 2\theta \cos \beta + \cos 2\theta \sin \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos 2\theta \cos \beta - r\sin 2\theta \sin \beta ) \\ r \sin 2\theta \cos \beta + r\cos 2\theta \sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . r \cos \beta - \sin 2\theta . r\sin \beta ) \\ \sin 2\theta .r\cos \beta + \cos 2\theta .r\sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . a - \sin 2\theta .b ) \\ \sin 2\theta .a + \cos 2\theta .b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & - \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
    Artinya kita peroleh $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & - \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $.
    Terbukti yang kita inginkan.

           Demikian pembahasan materi Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang . Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Pembuktian Matriks Pencerminan garis $ y=mx+c $.

    Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c

             Blog Koma - Setelah sebelumnya kita belajar tentang "Pencerminan terhadap Garis $y=mx+c$", dimana pengerjaan transformasinya sama seperti rotasi dengan pusat $(0,c)$ dan sudut rotasi $ \theta $ serta $ \tan \theta = m $ sehingga matriks rotasinya adalah $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $ . Nah, pada artikel ini kita akan membahas Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$ , artinya kita akan mempelajari cara menemukan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $.

             Untuk memudahkan mempelajari materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$, sebaiknya teman-teman memahami beberapa materi trigonometri yaitu diantaranya "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut", "kesamaan dua buah matriks", dan "Matriks Transformasi Geometri".

    Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$
           Adapun matriks pencerminan garis $ y = mx + c $
    yaitu : MT $ = \left( \begin{matrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta \end{matrix} \right) $

    Pembuktian Matriks Pencerminan garis $y=mx+c$
    Perhatikan ilustrasi gambar berikut, terdapat titik $A(a,b)$ dicerminkan terhadap garis $ y = mx + c $ menghasilkan bayangan $A^\prime (a^\prime , b^\prime )$.
    Keterangan berdasarkan gambar:
    Jari-jari lingkaran adalah $ r $,
    Sudut yang dibentuk oleh titik $A(a,b)$ terhadap sumbu mendatar = $ \beta $,
    Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap sumbu mendatar = $ \theta $,
    Sudut yang dibentuk oleh garis $ y = mx + c $ terhadap titik $A(a,b) = \theta - \beta $,
    Sudut yang dibentuk oleh garis $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap $ y = mx + c = \theta - \beta $,
    Sudut yang dibentuk oleh titik $A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ terhadap sumbu mendatar = $ 2\theta - \beta $,

    *). Perhatikan segitiga OCA :
    Sudut COA adalah $ \beta $ dengan panjang $ OC = a , \, OA = r $, dan $ AC = b $, sehingga :
    $ \sin \beta = \frac{de}{mi} = \frac{AC}{OA} = \frac{b}{r} \rightarrow b = r \sin \beta $ .
    $ \cos \beta = \frac{sa}{mi} = \frac{OC}{OA} = \frac{a}{r} \rightarrow a = r \cos \beta $ .

    *). Perhatikan segitiga OBA$^\prime$ :
    Sudut BOA$^\prime$ adalah $ (2\theta - \beta ) $ dengan panjang $ OB = a^\prime , \, OA^\prime = r $, dan $ BA^\prime = b^\prime $, sehingga :
    $ \sin (2\theta - \beta ) = \frac{de}{mi} = \frac{BA^\prime}{OA^\prime} = \frac{b^\prime}{r} \rightarrow b^\prime = r \sin (2\theta - \beta ) $ .
    $ \cos (2\theta - \beta ) = \frac{sa}{mi} = \frac{OB}{OA^\prime} = \frac{a^\prime}{r} \rightarrow a^\prime = r \cos (2\theta - \beta ) $ .

    *). Rumus trigonometri jumlah atau selisih sudut :
    $ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
    $ \cos (A - B ) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $

    *). Menentukan hubungan $ A^\prime (a^\prime , b^\prime ) $ dan $ A(a,b) $ :
    $ \begin{align} a^\prime & = r \cos (2\theta - \beta ) \\ b^\prime & = r \sin (2\theta - \beta ) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos (2\theta - \beta ) \\ r \sin (2\theta - \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos 2\theta \cos \beta + \sin 2\theta \sin \beta ) \\ r ( \sin 2\theta \cos \beta - \cos 2\theta \sin \beta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos 2\theta \cos \beta + r\sin 2\theta \sin \beta ) \\ r \sin 2\theta \cos \beta - r\cos 2\theta \sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . r \cos \beta + \sin 2\theta . r\sin \beta ) \\ \sin 2\theta .r\cos \beta - \cos 2\theta .r\sin \beta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta . a + \sin 2\theta .b ) \\ \sin 2\theta .a - \cos 2\theta .b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
    Artinya kita peroleh $ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end{matrix} \right) $.
    Terbukti yang kita inginkan.

           Demikian pembahasan materi Pembuktian Matriks Pencerminan garis y=mx+c . Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Pembuktian Matriks Pencerminan Dua Garis Sembarang.