Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah mempelajari materi "Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang. Pencerminan dua garis sembarang yang dimaksud adalah pencerminan terhadap garis $ y = m_1x + c_1 $ dan dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = m_2x + c_2 $. Perlu diperhatikan bahwa, pengerjaan transformasinya bukan satu demi satu melainkan sekaligus menggunakan bentuk komposisi transformasinya.

         Untuk pengerjaan bentuk Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang ini ternyata menggunakan konsep "rotasi pada transformasi geometri". Ini artinya kita membutuhkan titik pusat rotasi dan besarnya sudut putar $ \theta $, serta matriks transformasinya. Komposisi pencerminan dua garis sembarang yaitu garis $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ ditunjukkan oleh ilustrasi gambar seperti berikut dimana titik $A(x,y)$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $.

         Hal-hal mendasar yang harus kita kuasai untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $ yaitu operasi hitung pada matriks, rumus perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, sudut rangkap pada trigonometri, nilai trigonometri sudut-sudut istimewa, invers dan determinan matriks, dan juga materi menentukan gradien suatu garis lurus. Berikut penjelasan cara penghitungannya.

Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang $ y = m_1x+c_1 $ dan $ y = m_2x+c_2 $
       Perhatikan gambar di atas, titik $A(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $ y = m_1x+c $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y=m_2x+c_2$ menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime }(x^{\prime \prime } ,y^{\prime \prime } ) $, dimana pengerjaannya menggunakan konsep rotasi yaitu :
Pusatnya $(a,b)$ diperoleh dari perpotongan kedua garis,
Sudut putaran : $ 2\theta $
dengan $ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| $
dimana $ m_1 $ adalah gradien garis pertama dan $ m_2$ adalah gradien garis kedua.
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) $

*). Pengerjaan menggunakan rumus umum transformasi geometri :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Untuk pembuktian matriks rotasinya, silahkan teman-teman baca artikel :
Pembuktian matriks pencerminan dua garis sembarang.

Contoh soal Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang :

1). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ y = 3x - 3 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = -\frac{1}{3}x + 7 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ y = 3x - 3 \rightarrow m_1 = 3 $.
Garis kedua : $ y = -\frac{1}{3}x + 7 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{3} $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 3 \times -\frac{1}{3} = -1 $.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
Karena hasil kali gradien kedua garis adalah $ - 1 $ , maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis adalah $ 90^\circ $ (siku-siku / tegak lurus). Sehingga besarnya $ \theta = 90^\circ $ .
Silahkan baca : "Hubungan Dua Garis Lurus".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(90^\circ) & -\sin 2(90^\circ) \\ \sin 2(90^\circ) & \cos 2(90^\circ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x - 3 & = -\frac{1}{3}x + 7 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 9x - 9 & = -x + 21 \\ 9x + x & = 9 + 21 \\ 10x & = 30 \\ x & = \frac{30}{10} = 3 \end{align} $
Persamaan 1 : $ y = 3x - 3 \rightarrow y = 3.3 - 3 = 9 - 3 = 6 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (3,6) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (3,6) $.
Jadi, titik pusatnya $ (3,6) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

2). Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $. Tentukan titik pusat komposisi transformasinya dan tentukan matriks komposisinya!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 4 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ x + y = -1 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{1} = - 1 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -1 = -2 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + 2.(-1)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = | -3| = 3 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 3 $ yang bukan dari hasil sudut istimewa, maka kita gunakan rumus sudut rangkap saja untuk menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $.
Diketahui $ \tan \theta = 3 = \frac{3}{1} = \frac{de}{sa} $
sehingga $ de = 3 $ dan $ sa = 1 $.
Dengan pythagoras untuk menentukan sisi miring segitiga siku-sikunya (mi) :
$ mi = \sqrt{de^2 + sa^2 } = \sqrt{3^2 + 1^2 } = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $.
Sehingga nilai : $ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{3}{\sqrt{10}} $ dan $ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
Silahkan baca : "Perbandingan trigonometri segitiga siku-siku".
*). Menentukan nilai $ \cos 2\theta $ dan $ \sin 2\theta $ :
$ \cos 2\theta = 2\cos ^2 \theta - 1 = 2 (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 - 1 = \frac{2}{10} - 1 = \frac{1}{5} - 1 = - \frac{4}{5} $
$ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{3}{\sqrt{10}} . \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $
silahkan baca : "Sudut rangkap (ganda) pada trignometri".
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 4 & \\ x + y = -1 & + \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ x + y = -1 \rightarrow 1 + y = -1 \rightarrow y = -2 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (1,-2) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (1,-2) $.
Jadi, titik pusatnya $ (1,-2) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right). \, \heartsuit $

3). Tentukan bayangan titik A(3,5) jika dicerminkan terhadap garis $ 2x-y = 4 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ x + y = -1 $!

Penyelesaian :
*). Untuk titik pusat dan matriks gabungannya sama dengan contoh soal nomor (2) di atas, sehingga tinggal kita pakai pada soal nomor (3) ini.
Titik pusat : $ (a,b) = (1,-2) $
Matriks : $ MT \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik A(3,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 - 1 \\ 5- (-2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{3}{5} & - \frac{4}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{8}{5} + -\frac{21}{5} \\ \frac{6}{5} + - \frac{28}{5} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 7 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} \\ - \frac{22}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{29}{5} + 1 \\ - \frac{22}{5} - 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} - \frac{24}{5} \\ - \frac{32}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
Silahkan baca : "Operasi hitung pada matriks".
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime \left( - \frac{24}{5} , - \frac{32}{5} \right) . \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 - 2 $ jika dicerminkan terhadap garis $ 2x - y = 3 $ kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ 3x + y = 7 $!

Penyelesaian :
*). Gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = -\frac{a}{b} $
*). Menentukan gradien masing-masing garis :
Garis pertama : $ 2x - y = 3 \rightarrow m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 $.
Garis kedua : $ 3x + y = 7 \rightarrow m_2 = -\frac{3}{1} = - 3 $
Hasil kali kedua gradien : $ m_1.m_2 = 2 \times -3 = -6 $.
artinya kedua garis tidak tegak lurus.
*). Menentukan besarnya sudut kedua garis :
$ \tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1.m_2} \right| = \left| \frac{2 - (-3)}{1 + 2.(-3)} \right| = \left| \frac{5}{-5} \right| = | -1| = 1 $
Karena hasil dari $ \tan \theta = 1 $, maka sudut $ \theta $ yang memenuhi adalah $ \theta = 45^\circ $
*).Menentukan matriks gabungan atau matriks komposisinya :
$ \begin{align} MT & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 2(45^\circ ) & -\sin 2(45^\circ ) \\ \sin 2(45^\circ ) & \cos 2(45^\circ ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan titik pusat rotasi :
Substitusi atau eliminasi kedua persamaan untuk memperoleh titik potongnya :
$ \begin{array}{cc} 2x - y = 3 & \\ 3x + y = 7 & + \\ \hline 5x = 10 & \\ x = 2 & \end{array} $
Persamaan 2 : $ 3x + y = 7 \rightarrow 3 . 2 + y = 7 \rightarrow 6 + y = 7 \rightarrow y = 1 $
titik potong kedua garis $ (x,y) = (2,1) $.
Sehingga titik pusat rotasinya : $ (a,b) = (2,1) $.
sehingga, titik pusatnya $ (2,1) $ dan matriks gabungannya $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right). \, \heartsuit $
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y-b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 2 \\ y-1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y + 1 \\ x - 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime - 2 = -y + 1 \rightarrow y = -x^\prime + 3 $
$ y^\prime - 1 = x - 2 \rightarrow x = y^\prime + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = y^\prime + 1 $ dan $ y = -x^\prime + 3 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 2 \\ -x^\prime + 3 & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 2 - 3 \\ -x^\prime & = (y^\prime + 1 )^2 - 5 \\ x^\prime & = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 \end{align} $
Sehingga bayangannya : $ x^\prime = -(y^\prime + 1 )^2 + 5 $ atau $ x = -(y+1)^2 + 5 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = -(y+1)^2 + 5 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Pencerminan Dua Garis Sembarang dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Dilatasi.

Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal. Sebelumnya telah kita bahas materi "Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi" dan "Pencerminan terhadap Garis $ y = mx + c $". Seperti komposisi transformasi yang lainnya, komposisi pencerminan juga melibatkan lebih dari satu pencerminan yang dilakukan secara berurutan terhadap suatu bangun atau benda tertentu. Sebenarnya refleksi atau pencerminan ada beberapa jenis yaitu pencerminan terhadap sumbu X, sumbu Y, garis $ y = x $, garis $ y = -x $, dan pencerminan terhadap pusat koordinat. Namun pada materi ini kita lebih fokuskan pada pembahsan Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal yaitu pencerminan terhadap garis $ y = h $ dan garis $ x = k $. Untuk jenis komposisi pencerminan yang tidak dibahas pada artikel ini, pengerjaannya mirip dengan maeri "komposisi transformasi dengan matriks" dimana titik pusatnya tidak ada atau dianggap (0,0).

Komposisi Pencerminan garis Vertikal sejajar sumbu Y
       Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ x = k $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ x = h $, maka bayangannya adalah :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2(h-k)+a,b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Vertikal sejajar sumbu Y :

1). Tentukan bayangan titik C(-2,1) jika dicerminkan terhadap garis $ x = 1 $ , lalu dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ x = 3 $!

Penyelesaian :
Cara I :
*). Kita bisa mengerjakan satu per satu pencerminannnya dengan rumus yang telah kita pelajari sebelumnya pada artikel "refleksi atau pencerminan pada transformasi", rumusnya pencerminan terhadap garis $ x = k $ dengan pencerminan pertama terhadap garis $ x = 1 $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \times 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Dilanjutkan pencerminan kedua terhadap garis $ x = 3 $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^{\prime \prime} \\ b^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2k \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \times 3 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan akhir dari titik C adalah $ C^{\prime \prime} (2,1). \, \heartsuit $.

Silahkan baca : "operasi hitung pada matriks" untuk mempermudah dalam pengerjaan matriks transformasi berupa pencerminan di artikel ini.

Cara II :
*). Kita langsung menggunakan komposisi transformasi pencerminan seperti rumus di atas.
*). Pencerminan terhadap garis $ x = 1 $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ x = 3 $, artinya $ k = 1 $ dan $ h = 3 $. Bayangan titik C(-2,1) dapat kita tentukan sebagai berikut :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2(3 - 1) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (2,1). \, \heartsuit $.

2). Tentukan bayangan dari persamaan $ y = x^2 - 5 $ jika dicerminkan terhadap garis $ x = -3 $ kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ x = 2$!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ x = -3 $ dilanjutkan lagi dengan $ x = 2 $, artinya $ k = -3 $ dan $ h = 2 $. Hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime )$ yaitu :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(h-k) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(2 - (-3)) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(5) \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + 10 \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x + 10 \rightarrow x = x^\prime - 10 $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = x^\prime - 10 $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 - 5 \\ y^\prime & = (x^\prime - 10)^2 - 5 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 - 20x^\prime + 100 - 5 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 - 20x^\prime + 95 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ y^\prime = {x^\prime}^2 - 20x^\prime + 95 $ atau $ y = x^2 - 20x + 95 $.
jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = x^2 - 20x + 95. \, \heartsuit $.

Komposisi Pencerminan garis Horizontal sejajar sumbu X
       Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ y = m $, dilanjutkan pencerminan terhadap garis $ y = n $, maka bayangannya adalah :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a , 2(n - m)+b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Horizontal sejajar sumbu X :

3). Tentukan bayangan titik A(1,-3) jika dicerminkan terhadap garis $ y = -1 $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = 2 $!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ y = -1 $, dilanjutkan garis $ y = 2 $, artinya $ m = -1 $ dan $ n = 2 $. Bayangan titik A(1,-3) yaitu :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(2 - (-1)) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(3) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,3). \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan garis $ 5x - y = 7 $ jika dicerminakan terhadap garis $ y = 1 $, kemudian dilanjutkan lagi pencerminan terhadap garis $ y = 3 $!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ m = 1 $ dan $ n = 3 $.
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(n-m) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(3 - 1) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 2(2) \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) &s = \left( \begin{matrix} x \\ y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = x \rightarrow x = x^\prime $
$ y^\prime = y + 4 \rightarrow y = y^\prime - 4 $
*). Kita substitusikan $ x = x^\prime $ dan $ y = y^\prime - 4 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 5x - y & = 7 \\ 5x^\prime - (y^\prime - 4) & = 7 \\ 5x^\prime - y^\prime + 4 & = 7 \\ 5x^\prime - y^\prime & = 3 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ 5x^\prime - y^\prime = 3 $ atau $ 5x - y = 3 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 5x - y = 3 . \, \heartsuit $.

Komposisi Pencerminan Garis Vertikal dan Horizontal (garis yang saling tegak lurus)
       Suatu bangun dicerminkan terhadap garis $ x = h $ dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ y = k $, bayangannya dapat kita hitung dengan cara :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2h - a , 2k - b) $

Penulisan dalam bentuk matriks :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Ilustrasi gambarnya :

Contoh soal Komposisi Pencerminan garis Vertikal dan Horizontal (garis yang saling tegak lurus) :

5). Tentukan bayangan titik B(-2,-3) jika dicerminkan terhadap garis $ x = 1 $, kemudian dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap garis $ y = 5$!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ h = 1 $ dan $ k = 5 $.
*). Menentukan bayangan titik B(-2,-3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \times 1 \\ 2 \times 5 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 10 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 13 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (4,13) . \, \heartsuit $.

6). Tentukan bayangan persamaan $ (x+5)^2 + y^2 = 3 $ jika dicerminkan terhadap garis $ x = -2 $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = 1 $!

Penyelesaian :
*). Dari soal kita peroleh $ h = -2 $ dan $ k = 1 $.
*). Menentukan hubungan $(x,y) $ dan $ ( x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2h \\ 2k \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2(-2) \\ 2(1) \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -4 -x \\ 2 - y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh hubungan :
$ x^\prime = -4 - x \rightarrow x = -x^\prime - 4 $
$ y^\prime = 2 - y \rightarrow y = -y^\prime + 2 $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = -x^\prime - 4 $ dan $ y = -y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} (x+5)^2 + y^2 & = 3 \\ (-x^\prime - 4+5)^2 + (-y^\prime + 2)^2 & = 3 \\ (-x^\prime + 1)^2 + (-y^\prime + 2)^2 & = 3 \\ [(-1)(x^\prime - 1)]^2 + [(-1)(y^\prime - 2)]^2 & = 3 \\ (-1)^2(x^\prime - 1)^2 + (-1)^2(y^\prime - 2)^2 & = 3 \\ (1).(x^\prime - 1)^2 + (1).(y^\prime - 2)^2 & = 3 \\ (x^\prime - 1)^2 + (y^\prime - 2)^2 & = 3 \end{align} $
Sehingga bayangannya : $ (x^\prime - 1)^2 + (y^\prime - 2)^2 = 3 $ atau $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 3 . \, \heartsuit $.

Catatan :
Jika teman-teman tidak terlalu menyukai pengerjaan komposisi pencerminan seperti di atas, maka sebaiknya kita lakukan pengerjaannya satu-satu saja dengan rumus perhitungan sebagai berikut yaitu :
*). Pencerminan terhadap garis $ x = k $ :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2k - a , b) $
*). Pencerminan terhadap garis $ y = h $ :
$A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime ( a , 2h - b) $

       Demikian pembahasan materi Komposisi Pencerminan Garis Vertikal atau Horizontal dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Pencerminan dua garis sembarang.

Komposisi Transformasi pada Translasi

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Komposisi Transformasi pada Translasi. Artikel ini merupakan kelanjutan dari materi komposisi transformasi geometri yang mana sebelumnya juga telah kita bahas materi "komposisi transformasi dengan matriks". Sesuai dengan pengertian komposisi transformasi geometri, maka pada artikel Komposisi Transformasi pada Translasi ini kita akan membahas transformasi yang lebih dari satu kali yang dikenakan pada suatu bangun dimana semua jenis transformasinya adalah berupa translasi atau pergeseran.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Transformasi pada Translasi, sebaiknya teman-teman menguasai dulu materi "translasi pada transformasi geometri" dan "operasi hitung pada matriks" khususnya operasi penjumlahan. Translasi juga melibatkan atau memiliki "matriks transformasi geometri" dengan cara pengerjaannya yaitu dengan cara dijumlahkan.

Penulisan komposisi transformasi pada translasi
       Misalkan ada suatu bangun ditranslasi $T_1$ dengan matriks yang bersusaian dengan $M_1 = \left( \begin{matrix} a_1 \\ b_1 \end{matrix} \right) $ , dilanjutkan lagi dengan translasi kedua yaitu $T_2$ dengan matriks $ M_2 = \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) $, dan dilanjutkan lagi dengan translasi ketiga yaitu $ T_3 $ dengan matriks $ M_3 = \left( \begin{matrix} a_3 \\ b_3 \end{matrix} \right) $, maka bentuk komposisi translasinya bisa ditulis dengan :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 + M_2 + M_1 $

Komposisi transformasi pada translasi bentuk matriksnya bisa langsung dihitung sekaligus, artinya kita tidak perlu mengerjakan satu persatu dari masing-masing translasinya:
$ \begin{align} T_3 \circ T_2 \circ T_1 & = M_3 + M_2 + M_1 \\ & = \left( \begin{matrix} a_3 \\ b_3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a_1 \\ b_1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} a_3 + a_2 + a_1 \\ b_3 + b_2 + b_1 \end{matrix} \right) \end{align} $

Catatan :
Karena translasi dikerjakan dengan penjumlahan, sebenarnya bentuk $ M_3 + M_2 + M_1 $ bisa diacak dalam urutan yang lainnya, misalkan $ M_3 + M_1 + M_2 $ atau $ M_1 + M_2 + M_3 $ atau yang lainnya karena hasilnya tetap sama. Tetapi, untuk memudahkan dan tidak salah penerapan pada konsep transformasi yang lainnya, sebaiknya tetap diurutkan saja sesuai dengan urutan translasi pada soal.

Pengerjaan Komposisi transformasi pada translasi
       Cara pengerjaan komposisi translasi yaitu langsung dengan menjumlahkannya saja dengan bangun awalnya. Berikut cara mencari bayangannya :
Bayangan $ = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \, $ awal.

*). Penulisan secara mariksnya :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (M_3+M_2+M_1) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a_3 + a_2 + a_1 \\ b_3 + b_2 + b_1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

Contoh soal komposisi transformasi pada translasi :

1). Tentukan bayangan titik B(-2,3) jika ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $ , yang dilanjutkan dengan translasi oleh matriks yang bersesuain dengan $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $ !

Penyelesaian :
*). Matriks masing-masing translasi :
$T_1$ : translasi dengan $ M_1 = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $
$T_2$ : translasi dengan $ M_2 = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
*). Penulisan komposisi translasinya :
$ T_2 \circ T_1 = M_2 + M_1 = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 + 1 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik B(-2,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + (-2) \\ -3 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (2,0). \, \heartsuit $.

Cara penghitunganya juga bisa seperti berikut ini :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = (M_2 + M_1) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left[ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \right] + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + (-2) \\ -3 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $

2). Jika $ T_1 = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) , \, T_2 = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) , \, $ dan $ T_3 = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) $. Tentukan bayangan titik A(5,-1) jika ditransformasi oleh komposisi translasi berikut ini :
a). $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ ,
b). $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $,
c). $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $,
d). $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $.

Penyelesaian :
a). $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ ,
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ artinya dilakukan translasi $T_3$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_1 $.
$ \begin{align} T_1 \circ T_2 \circ T_3 & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 1 + (-4) \\ -3 + (-1) + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 \circ T_2 \circ T_3 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 5 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (4,-3). \, \heartsuit $.

b). $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $,
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan translasi $T_1$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_3 $.
$ \begin{align} T_3 \circ T_2 \circ T_1 & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 + 1 + 2 \\ 2 + (-1) + (-3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_3 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 5 \\ -2 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (4,-3). \, \heartsuit $.

Catatan :
hasil dari soal bagian (a) dan bagian (b) di atas sama karena urutan $ T_1 \circ T_2 \circ T_3 $ sama saja dengan $ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $. Hal ini terjadi karena matriksnya dijumlahkan.

c). $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $,
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_2 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan translasi $T_1$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_2 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_2 $.
$ \begin{align} T_2 \circ T_2 \circ T_1 & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + 1 + 2 \\ -1 + (-1) + (-3) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 + 5 \\ -5 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 \\ -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (9,-6). \, \heartsuit $.

d). $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $.
*). Menentukan matriks gabungan dari komposisi translasinya :
Bentuk $ T_1 \circ T_1 \circ T_3 $ artinya dilakukan translasi $T_3$, kemudian dilanjutkan translasi $ T_1 $, dan dilanjutkan lagi translasi $ T_1 $.
$ \begin{align} T_1 \circ T_1 \circ T_3 & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + 2 + (-4) \\ -3 + (-3) + 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan bayangan titik A(5,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_1 \circ T_1 \circ T_3 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 5 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 + 5 \\ -4 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (5, -5). \, \heartsuit $.

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = 2x^2 - 3x + 1 $ jika ditranslasi oleh $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $ , dan dilanjutkan lagi dengan translasi sejauh $ \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) $!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks komposisi (gabungannya) :
$T_1$ : translasi dengan $ M_1 = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $
$T_2$ : translasi dengan $ M_2 = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) $
$ T_2 \circ T_1 = M_2 + M_1 = \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 + 4 \\ 3 + (-5) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = T_2 \circ T_1 + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 + x \\ -2 + y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 3 + x \rightarrow x = x^\prime - 3 $
$ y^\prime = -2 + y \rightarrow y = y^\prime + 2 $
*). Kita substitusi bentuk $ x = x^\prime - 3 $ dan $ y = y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = 2x^2 - 3x + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2(x^\prime - 3)^2 - 3(x^\prime - 3) + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2[ {x^\prime }^2 - 6 x^\prime + 9] - 3x^\prime + 9 + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2{x^\prime }^2 - 12 x^\prime + 18 - 3x^\prime + 9 + 1 \\ y^\prime + 2 & = 2{x^\prime }^2 - 15 x^\prime + 28 \\ y^\prime & = 2{x^\prime }^2 - 15 x^\prime + 26 \end{align} $
Sehingga bayangannya adalah $ y^\prime = 2{x^\prime }^2 - 15 x^\prime + 26 $ atau $ y = 2x^2 - 15x + 26 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = 2x^2 - 15x + 26 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Transformasi pada Translasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Komposisi Pencerminan garis vertikal atau horizontal.

Komposisi Transformasi dengan Matriks

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita membahas materi "Pengertian Komposisi Transformasi Geometri", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan artikel Komposisi Transformasi dengan Matriks. Apa bedanya dengan materi sebelumnya? Pada materi Komposisi Transformasi dengan Matriks ini kita akan menekankan pada jenis-jenis matriks transformasi yang bisa dikalikan langsung atau harus mengerjakan satu-satu untuk masing-masing transformasinya. Jika dua jenis matriks transformasi bisa kita kalikan langsung terlebih dahulu, maka ini akan menghemat waktu pengerjaan kita karena kita tidak harus mengerjakan satu-satu transformasinya. Memang cara yang paling aman adalah mengerjakan satu-satu sesuai urutan transformasinya, akan tetapi kalau bisa satu kali pengerjaan kenapa tidak kita lakukan.

         Pada artikel Komposisi Transformasi dengan Matriks ini pertama-tama akan kita sajikan matriks transformasi masing-masing, setelah itu baru kita akan bahas syarat-syarat apa saja yang diperlukan agar dua jenis transformasi bisa kita kalikan langsung tanpa harus mengerjakan satu-satu. Tentu untuk memudahkan mempelajari materi Komposisi Transformasi dengan Matriks, teman-teman harus menguasai jenis-jenis transformasi yang ada seperti dilatasi, translasi, rotasi, dan refleksi atau pencerminan.

Matriks Transformasi
       Berikut kami daftarkan matriks transformasi masing-masing untuk memudahkan dalam pengerjaan soal-soal yang berkaitan dengan Komposisi Transformasi dengan Matriks:
i). Dilatasi dengan faktor skala $ k $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $
ii). Translasi :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
iii). Rotasi dengan besar sudut $ \theta $ :
Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
iv). Refleksi atau pencerminan terhadap :
Sumbu X, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Sumbu Y, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
garis $ y = -x $, Matriks : $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Pusat koordinat, Matriks : $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
garis $ y = mx + c$, Matriks : $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & - \cos 2 \theta \end{matrix} \right) $
Syarat Matriks Transformasi bisa langsung dikalikan
       Berikut adalah syarat agar dua atau lebih matriks transformasi bisa dikalikan agar kita mengerjakannya tidak satu-satu, syarat-syaratnya yaitu :
1). Matriks transformasinya harus berordo $ 2 \times 2 $,
2). Jika memiliki pusat (titik acuan seperti dilatasi dan transformasi), maka titik pusatnya harus sama,
3). Jika pada transformasi tidak disebutkan titik pusatnya seperti refleksi, maka titik pusatnya dianggap (0,0) dan matriks transformasinya bisa langsung dikalikan dengan matriks transformasi yang titik pusatnya (0,0) juga atau yang tidak disebutkan titik pusatnya.

Catatan :
Ketiga syarat di atas harus terpenuhi untuk bisa langsung mengalikan dua jenis matriks transformasi atau lebih.
silahkan baca juga : pengenalan matriks untuk mengetahui tentang ordo matriks.

Penulisan Komposisi Transformasi dengan Matriks
       Misalkan suatu benda atau bangun dilakukan komposisi transformasi. Pertama ditransformasi $T_1$ yang bersesuaian dengan matriks $ M_1$, dilanjutkan lagi dengan transformasi $ T_2$ yang bersesuaian dengan matriks $M_2$, dan dilanjutkan lagi dengan transformasi $T_3$ yang bersesuaian dengan matriks $M_3$. Penulisan komposisinya yaitu :
$ T_3 \circ T_2 \circ T_1 = M_3 . M_2 . M_1 $
(penulisannya dibalik sesuai urutan pengerjaannya).

$\spadesuit $ Menentukan bayangannya :
bayangan $ = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \, $ awal
*). titik pusat (0,0)
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). titik pusat $(a,b)$
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( T_3 \circ T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

Contoh Soal Komposisi Transformasi dengan Matriks :

1). Tentukan bayangan titik A(1,3) jika didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat (-1,4), setelah itu dilanjutkan lagi dengan rotasi sejauh $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan titik acuan (-1,4)?

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks dan titik pusat masing-masing :
$T_1$ : Dilatasi faktor skala 2, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$T_2$ : Rotasi sebesar $ 90^\circ $ , $ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
silahkan baca juga artikel :
Dilatasi pada transformasi geometri dan rotasi pada transformasi geometri.
*). Karena kedua matriksnya berordo $ 2 \times 2 $ dan titik pusatnya sama, maka pengerjaannya langsung bisa kita kalikan kedua matriksnya tanpa harus melakukan transformasi satu-satu.
*). Menentukan bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( T_2 \circ T_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - (-1) \\ 3 - 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right) \end{align} $
silahkan baca : operasi hitung pada matriks.
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,8) . \, \heartsuit $.

Cara II untuk contoh soal nomor (1) :
*). Coba kita kerjakan dengan cara transformasi satu-satu, apakah hasilnya sama dengan dara di atas.
*). Pertama titik A(1,3) didilatasi faktor skala 2, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 - (-1) \\ 3 - 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh bayangan pertama : $ A^\prime (3,2) $.
*). Kedua titik $ A^\prime (3,2) $ dirotasi sebesar $ 90^\circ $ , $ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Titik pusatnya : $(a,b) = (-1,4) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 3 - (-1) \\ 2 - 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 8 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan akhir yaitu $ A^{\prime \prime } (1,8) $ yang tentu hasilnya sama dengan cara di atas sebelumnya.

2). Persamaan garis $ 3x - 2y = 1 $ dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian dilanjutkan dengan rotasi sejauh $ 180^\circ $ searah jarum jam, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi dengan faktor skala $ - 3$. Tentukan bayangan dari persamaan garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Matriks pencerminan terhadap sumbu X, rotasi, dan dilatasi pasti berordo $ 2 \times 2 $. Pada soal juga tidak disebutkan titik pusat transformasinya, sehingga titik pusatnya dianggap sama yaitu $(0,0)$. Ini artinya ketiga matriks transformasinya bisa dikalikan secara langsung tanpa harus mengerjakan satu-satu.
*). Menentukan matriks transformasi masing-masing :
$ T_1 $ : Pencerminan terhadap sumbu X, $ M_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ T_2 $ : rotasi sejauh $ 180^\circ $ searah jarum jam,
$ M_2 = \left( \begin{matrix} \cos (-180^\circ ) & - \sin (-180^\circ ) \\ \sin (-180^\circ ) & \cos (-180^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ T_3 $ : dilatasi dengan faktor skala $ - 3 $, $ M_3 = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) $
silahkan baca : refleksi atau pencerminan pada transformasi.
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = ( M_3 . M_2 . M_1 ) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3x \\ -3y \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x^\prime = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}x^\prime $
$ y^\prime = -3y \rightarrow y = - \frac{1}{3}y^\prime $
*). Kita substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{3}x^\prime $ dan $ y = - \frac{1}{3}y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 3x - 2y & = 1 \\ 3( \frac{1}{3}x^\prime ) - 2( - \frac{1}{3}y^\prime ) & = 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3x^\prime + 2y^\prime & = 3 \end{align} $
sehingga persamaan bayangannya : $ 3x^\prime + 2y^\prime = 3 $ atau $ 3x + 2y = 3 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 3x + 2y = 3 . \, \heartsuit $.

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^2 + 3 $ jika ditranslasi sejauh $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = - x $?

Penyelesaian :
*). Matriks translasi berordo $ 2 \times 2 $, sehingga tidak memenuhi syarat untuk dikalikan langsung kedua matriks transformasinya. Ini artinya kita harus mengerjakannya satu demi satu.
*). Pertama di translasi :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
silahkan baca : Translasi pada transformasi geometri.
*). Kedua dicerminakan terhadap garis $ y = -x $ :
Matriksnya : $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y + 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime} \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -y - 2 \\ -x + 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^{\prime \prime } = -y - 2 \rightarrow y = - x^{\prime \prime } - 2 $
$ y^{\prime \prime } = -x + 1 \rightarrow x = - y^{\prime \prime } + 1 $
*). Kita substitusi bentuk $ y = - x^{\prime \prime } - 2 $ dan $ x = - y^{\prime \prime } + 1 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^2 + 3 \\ - x^{\prime \prime } - 2 & = (- y^{\prime \prime } + 1)^2 + 3 \\ - x^{\prime \prime } - 2 & = { y^{\prime \prime }}^2 - 2y^{\prime \prime } + 1 + 3 \\ - x^{\prime \prime } & = { y^{\prime \prime }}^2 - 2y^{\prime \prime } + 6 \\ x^{\prime \prime } & = - { y^{\prime \prime }}^2 + 2y^{\prime \prime } - 6 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ x^{\prime \prime } = - { y^{\prime \prime }}^2 + 2y^{\prime \prime } - 6 $ atau $ x = -y^2 + 2y - 6 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x = -y^2 + 2y - 6 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Komposisi Transformasi dengan Matriks dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan komposisi translasi.

Pengertian Komposisi Transformasi Geometri

         Blog Koma - Pada artikel sebelumnya kita telah membahas artikel transformasi geometri yang terdiri dari beberapa jenis yaitu translasi, dilatasi, rotasi, refleksi, regangan dan gusuran. Hanya saja pada artikel tersebut kita mebahasnya secara sendiri-sendiri, maksudnya hanya terjadi satu kali transformasi yaitu translasi saja satu kali, dilatasi satu kali, dan yang lainnya. Nah, pada artikel ini kita akan mulai mengenal transformasi geometri yang terjadi lebih dari satu kali. Suatu bangun atau benda dikenakan transformasi lebih dari satu kali kita sebut sebagai Pengertian Komposisi Transformasi Geometri.

         Komposisi Transformasi Geometri merupakan transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali atau bisa kita sebut sebagai gabungan transformasi. Misalkan suatu titik A dilakukan transformasi pertama yaitu dilatasi menghasilkan bayangan $ A^\prime $, setelah itu dilanjutkan lagi hasilnya dengan transformasi kedua yaitu pencerminan menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime } $, dan dilanjutkan lagi dengan dilatasi menghasilkan bayangan $ A^{\prime \prime \prime} $ , begitu seterusnya.

Simbol Penulisan Komposisi Transformasi Geometri
       Misalkan ada suatu bangun ditransformasi kita sebut saja $T_1$, dilanjutkan dengan transformasi kedua yaitu $T_2$, hasilnya dilanjutkan lagi ditransformasi ketiga $T_3$, dan dilanjutkan lagi transformasi yang keempat $T_4$, semuanya ini bisa kita tulis dalam bentuk simbol komposisi transformasi yaitu $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $.

       Ingat, bentuk $ T_4 \circ T_3 \circ T_2 \circ T_1 $ artinya dimulai dari $T_1$ dulu, kemudian $ T_2$, lalu $T_3$, dan terakhir $T_4$ (dibalik pengerjaannya).
Contoh Soal Komposisi Transformasi Geometri :
1). Misalkan $T_1$ menyatakan transformasi berupa dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $, dan $ T_2 $ menyatakan trasformasi berupa pencerminan terhadap sumbu X. Tentukan bayangan titik A(1,5) jika dilakukan komposisi transformasi berupa :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
b). $ T_1 \circ T_2 $.

Penyelesaian :
a). $ T_2 \circ T_1 $ .
Bentuk $ T_2 \circ T_1 $ artinya dilakukan $T_1$ dulu baru dilanjutkan $T_2$.
*). Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Translasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A oleh $T_1$ adalah $ A^\prime (4,3) $.
*). Titik $ A^\prime (4,3) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya adalah $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Silahkan baca : Refleksi atau pencerminan pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_2$ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-3) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_2 \circ T_1 $ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-3) . \, \heartsuit $.

b). $ T_1 \circ T_2 $.
Bentuk $ T_1 \circ T_2 $ artinya dilakukan $T_2$ dulu baru dilanjutkan $T_1$.
*). Titik $ A (1,5) $ kita Transformasi $ T_2 $ : pencerminan terhadap sumbu X, matriks pencerminannya adalah $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A oleh $T_2$ adalah $ A^\prime (1, -5) $.
*). Titik $ A^\prime (1 , -5) $ kita lanjutkan Transformasi $ T_1 $ : dilatasi sebesar $ \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik $A^\prime $ oleh $T_1$ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-7) $.
Jadi, bayangan titik A oleh komposisi trasnformasi $ T_1 \circ T_2 $ adalah $ A^{\prime \prime } (4,-7) . \, \heartsuit $.

Catatan :
Hasil bayangan oleh komposisi transformasi $ T_2 \circ T_1 $ tidak sama dengan $ T_1 \circ T_2 $, ini terjadi memang karena berdasarkan urutan pengerjaan transformasinya. Penting untuk kita ingat, Urutan pengerjaan Transformasi berpengaruh pada hasil bayangan akhirnya.

2). Misalkan Persamaan garis $ 2x - 3y = 5 $ ditransformasi berupa dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, kemudian hasilnya dilanjutkan lagi dengan rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $. Tentukan simbol komposisi transformasinya dan tentukan bayangan akhir dari persamaan garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Menentukan simbol komposisi transformasinya :
Misalkan :
$T_1 $ menyatakan transformasi yang pertama yaitu dilatasi, dan $T_2$ menyatakan transformasi yang kedua yaitu rotasi, sehingga simbol komposisi transformasinya adalah $ T_2 \circ T_1 $.
*). Kita kerjakan $ T_1 $ dulu : dilatasi dengan faktor skala $ 4 $, matriksnya $ \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) $.
silahkan baca : Dilatasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Kita lanjutkan dengan $ T_2 $ : rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar $ 90^\circ $, matriksnya
$ \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & - \sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
silahkan baca : Rotasi pada transformasi geometri.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4x \\ 4y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bentuk akhir yaitu :
$ \left( \begin{matrix} x^{\prime \prime } \\ y^{\prime \prime } \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -4y \\ 4x \end{matrix} \right) $
artinya :
$ x^{\prime \prime } = -4y \rightarrow y = - \frac{1}{4} x^{\prime \prime } $
$ y^{\prime \prime } = 4x \rightarrow x = \frac{1}{4} y^{\prime \prime } $.
*). Kita substitusi bentuk terakhir yang kita peroleh ke persamaan awalnya sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x - 3y & = 5 \\ 2(\frac{1}{4} y^{\prime \prime } ) - 3(- \frac{1}{4} x^{\prime \prime }) & = 5 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2 y^{\prime \prime } + 3 x^{\prime \prime } & = 20 \\ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } & = 20 \\ \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ 3 x^{\prime \prime } + 2 y^{\prime \prime } = 20 $ atau $ 3 x + 2 y = 20 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 3 x + 2 y = 20 . \, \heartsuit $.

       Submateri yang akan kita perlajari yang berkaitan dengan komposisi transformasi geometri yaitu :
*). Komposisi Transformasi dengan Matriks,
*). Komposisi Translasi,
*). Komposisi Pencerminan garis vertikal atau horizontal,
*). Komposisi Pencerminan dua garis sembarang,
*). Komposisi Dilatasi,
*). Komposisi Rotasi sepusat.

       Demikian pembahasan materi Pengertian Komposisi Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca submateri yang terkait dengan komposisi transformasi dengan mengikuti link di atas atau mengikuti artikel terkait di bagian bawah setiap artikel. Semoga materi ini bermanfaat, Terima Kasih.

Penerapan Rumus Trigonometri pada Soal-soal Bagian 1

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "rumus jumlah dan selisih sudut pada trigonometri" dan materi "rumus hasil kali antara dua bentuk trigonometri" serta rumus trigonometri yang lainnya, pada artikel ini kita akan coba membahas tentang Penerapan Rumus Trigonometri pada Soal-soal Bagian 1. Soal-soal yang melibatkan rumus-rumus trigonometri ini biasanya kita jumpai pada soal UJian Nasional, soal seleksi masuk perguruan tinggi baik negeri maupun swasta seperti SBMPTN, UM UGM, SIMAK UI, dan lain-lainnya. Hal mendasar yang harus kita perhatikan adalah ketelitian baik dalam menggunakan rumusnya atau dalam melakukan penjabaran dan perhitungannya. Langsung saja kita pelajari beberapa contoh soal berikut ini.

1). Tentukan nilai dari bentuk $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ $ ?

Penyelesaian :
Ada tiga cara yang akan kita sajikan dalam menyelesaikan soal nomor 1 :
Cara I :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \sin A . \sin B = -\frac{1}{2} [ \cos (A+B) - \cos (A-B)] $
$ \sin A . \cos B = \frac{1}{2} [ \sin (A+B) + \sin (A-B)] $
$ \sin ( 180^\circ - A) = \sin A $
$ \sin 100^\circ = \sin ( 180^\circ - 80^\circ ) = \sin 80^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ & = (\sin 20^\circ . \sin 40^\circ ) . \sin 80^\circ \\ & = (\sin 40^\circ . \sin 20^\circ ) . \sin 80^\circ \\ & = \left(-\frac{1}{2} [ \cos (40^\circ + 20^\circ) - \cos (40^\circ - 20^\circ)] \right) . \sin 80^\circ \\ & = \left(-\frac{1}{2} [ \cos 60^\circ - \cos 20^\circ ] \right) . \sin 80^\circ \\ & = \left(-\frac{1}{2} [ \frac{1}{2} - \cos 20^\circ ] \right) . \sin 80^\circ \\ & = \left( - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^\circ \right) . \sin 80^\circ \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{2} \sin 80^\circ . \cos 20^\circ \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{2} (\sin 80^\circ . \cos 20^\circ ) \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} [ \sin (80^\circ + 20^\circ ) + \sin (80^\circ - 20^\circ )] \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4} [ \sin 100^\circ + \sin 60^\circ ] \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4} [ \sin 80^\circ + \sin 60^\circ ] \\ & = - \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{1}{4} \sin 80^\circ + \frac{1}{4} \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{3} \end{align} $
jadi, nilai $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{3} . \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \sin A . \sin B = -\frac{1}{2} [ \cos (A+B) - \cos (A-B)] $
$ \cos A . \sin B = \frac{1}{2} [ \sin (A+B) - \sin (A-B)] $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ & = \sin 20^\circ . (\sin 40^\circ . \sin 80^\circ ) \\ & = \sin 20^\circ . (\sin 80^\circ . \sin 40^\circ ) \\ & = \sin 20^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 40^\circ ) - \cos (80^\circ - 40^\circ )]\right) \\ & = \sin 20^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos 120^\circ - \cos 40^\circ ]\right) \\ & = \sin 20^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ -\frac{1}{2} - \cos 40^\circ ]\right) \\ & = \sin 20^\circ . \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \right) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \sin 20^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 40^\circ \sin 20^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \sin (40^\circ + 20^\circ ) - \sin ( 40^\circ - 20^\circ )] ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \sin 60^\circ - \sin 20^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \frac{1}{2}\sqrt{3} - \sin 20^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \sin 20^\circ + \frac{1}{8} \sqrt{3} - \frac{1}{4} \sin 20^\circ \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{3} \end{align} $
jadi, nilai $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{3} . \, \heartsuit $.

Cara III :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \sin A . \sin B = -\frac{1}{2} [ \cos (A+B) - \cos (A-B)] $
$ \cos A . \sin B = \frac{1}{2} [ \sin (A+B) - \sin (A-B)] $
$ \sin ( 180^\circ - A) = \sin A $
$ \sin 140^\circ = \sin ( 180^\circ - 40^\circ ) = \sin 40^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ & = \sin 40^\circ . (\sin 80^\circ . \sin 20^\circ ) \\ & = \sin 40^\circ . (\sin 80^\circ . \sin 20^\circ ) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 20^\circ ) - \cos (80^\circ - 20^\circ )] \right) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos 100^\circ - \cos 60^\circ ] \right) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} [ \cos 100^\circ - \frac{1}{2} ] \right) \\ & = \sin 40^\circ . \left( -\frac{1}{2} \cos 100^\circ + \frac{1}{4} \right) \\ & = -\frac{1}{2} \cos 100^\circ \sin 40^\circ + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{2} (\cos 100^\circ \sin 40^\circ ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \sin (100^\circ + 40^\circ ) - \sin (100^\circ - 40^\circ )] ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = ( -\frac{1}{4} [ \sin 140^\circ - \sin 60^\circ ] ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = ( -\frac{1}{4} [ \sin 140^\circ - \frac{1}{2}\sqrt{3} ] ) + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{4} \sin 140^\circ + \frac{1}{8}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = -\frac{1}{4} \sin 40^\circ + \frac{1}{8}\sqrt{3} + \frac{1}{4} \sin 40^\circ \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{3} \end{align} $
jadi, nilai $ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{3} . \, \heartsuit $.

2). Tentukan nilai dari bentuk $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ $ ?

Penyelesaian :
Ada empat cara yang akan kita sajikan dalam menyelesaikan soal nomor 2 :
Cara I :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \cos A . \cos B = \frac{1}{2} [ \cos (A+B) + \cos (A-B)] $
$ \cos ( 180^\circ - A) = -\cos A $
$ \cos 100^\circ = \cos ( 180^\circ - 80^\circ ) = -\cos 80^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ & = (\cos 20^\circ \cos 40^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = (\cos 40^\circ \cos 20^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos (40^\circ + 20^\circ ) + \cos (40^\circ - 20^\circ )] \right) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 60^\circ + \cos 20^\circ ] \right) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} + \cos 20^\circ ] \right) \cos 80^\circ \\ & = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^\circ \right) \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{2} \cos 80^\circ \cos 20^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 80^\circ \cos 20^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 20^\circ ) + \cos (80^\circ - 20^\circ )] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + ( \frac{1}{4} [ \cos 100^\circ + \cos 60^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ + ( \frac{1}{4} [ -\cos 80^\circ + \frac{1}{2} ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 80^\circ -\frac{1}{4} \cos 80^\circ + \frac{1}{8} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \cos A . \cos B = \frac{1}{2} [ \cos (A+B) + \cos (A-B)] $
$ \cos ( 180^\circ - A) = -\cos A $
$ \cos 140^\circ = \cos ( 180^\circ - 40^\circ ) = -\cos 40^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ & = (\cos 80^\circ \cos 20^\circ ) \cos 40^\circ \\ & = (\cos 80^\circ \cos 20^\circ ) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 20^\circ ) + \cos (80^\circ - 20^\circ )] \right) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 100^\circ + \cos 60^\circ ] \right) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 100^\circ + \frac{1}{2} ] \right) \cos 40^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} \cos 100^\circ + \frac{1}{4} \right) \cos 40^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{2} \cos 100^\circ \cos 40^\circ \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 100^\circ \cos 40^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \cos (100^\circ + 40^\circ ) + \cos (100^\circ - 40^\circ )] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + ( \frac{1}{4} [ \cos 140^\circ + \cos 60^\circ ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ + ( \frac{1}{4} [ -\cos 40^\circ + \frac{1}{2} ] ) \\ & = \frac{1}{4} \cos 40^\circ -\frac{1}{4} \cos 40^\circ + \frac{1}{8} \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

Cara III :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah rumus perkalian fungsi trigonometri :
$ \cos A . \cos B = \frac{1}{2} [ \cos (A+B) + \cos (A-B)] $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ & = (\cos 80^\circ \cos 40^\circ ) \cos 20^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos (80^\circ + 40^\circ ) + \cos (80^\circ - 40^\circ )] \right) \cos 20^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ \cos 120^\circ + \cos 40^\circ ] \right) \cos 20^\circ \\ & = \left( \frac{1}{2} [ -\frac{1}{2} + \cos 40^\circ ] \right) \cos 20^\circ \\ & = \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \right) \cos 20^\circ \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \cos 40^\circ \cos 20^\circ \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{2} ( \cos 40^\circ \cos 20^\circ ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} [ \cos (40^\circ + 20^\circ ) + \cos (40^\circ - 20^\circ )] ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \cos 60^\circ + \cos 20^\circ ] ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + ( \frac{1}{4} [ \frac{1}{2} + \cos 20^\circ ] ) \\ & = - \frac{1}{4} \cos 20^\circ + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cos 20^\circ \\ & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

Cara IV :
*). Rumus Dasar yang kita gunakan adalah "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda" :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A \rightarrow \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A $
Rumus Lain :
$ \sin (180^\circ - A) = \sin A $
$ \sin 160^\circ = \sin (180^\circ - 20^\circ ) = \sin 20^\circ $
*). Menyelesaikan soal ,
Kita misalkan hasilnya $ P $ atau $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = P $ :
$ \begin{align} P & = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \, \, \, \, \text{(kali } \sin 20^\circ ) \\ P . \sin 20^\circ & = \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = (\sin 20^\circ \cos 20^\circ ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = ( \frac{1}{2}\sin 40^\circ ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{2} ( \sin 40^\circ \cos 40^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{2} \times ( \frac{1}{2} \sin 80^\circ ) \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ \\ & = \frac{1}{4} ( \sin 80^\circ \cos 80^\circ ) \\ & = \frac{1}{4} \times ( \frac{1}{2} \sin 160^\circ ) \\ P . \sin 20^\circ & = \frac{1}{8} \sin 20^\circ \, \, \, \, \text{(bagi } \sin 20^\circ ) \\ P & = \frac{1}{8} \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = P = \frac{1}{8} . \, \heartsuit $.

3). Tentukan nilai dari $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ $ ?
(Soal UN Matematika IPA tahun 2007)

Penyelesaian :
Soal ini bisa diselesaikan dengan berbagai cara, diantaranya :
Cara I :
*). Rumus dasar yang digunakan :
$ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{(A+B)}{2} \cos \frac{(A-B)}{2} $
$ \cos (180^\circ - A ) = - \cos A $
Nilai $ \cos 160^\circ = \cos (180^\circ - 20^\circ ) = - \cos 20^\circ $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ & = ( \cos 80^\circ + \cos 40^\circ ) + \cos 160^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(80^\circ + 40^\circ )}{2} \cos \frac{(80^\circ - 40^\circ )}{2} ) + \cos 160^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(120^\circ )}{2} \cos \frac{(40^\circ )}{2} ) + (- \cos 20^\circ ) \\ & = ( 2\cos 60^\circ \cos 20^\circ ) - \cos 20^\circ \\ & = 2 . \frac{1}{2} \cos 20^\circ - \cos 20^\circ \\ & = \cos 20^\circ - \cos 20^\circ \\ & = 0 \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ = 0 . \, \heartsuit $.

Cara II :
*). Rumus dasar yang digunakan :
$ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{(A+B)}{2} \cos \frac{(A-B)}{2} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ & = ( \cos 160^\circ + \cos 80^\circ ) + \cos 40^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(160^\circ + 80^\circ )}{2} \cos \frac{(160^\circ - 80^\circ )}{2} ) + \cos 40^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(240^\circ )}{2} \cos \frac{(80^\circ )}{2} ) + \cos 40^\circ \\ & = ( 2\cos 120^\circ \cos 40^\circ ) + \cos 40^\circ \\ & = 2 . -\frac{1}{2} \cos 40^\circ + \cos 40^\circ \\ & = - \cos 40^\circ + \cos 40^\circ \\ & = 0 \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ = 0 . \, \heartsuit $.

Cara III :
*). Rumus dasar yang digunakan :
$ \cos A + \cos B = 2\cos \frac{(A+B)}{2} \cos \frac{(A-B)}{2} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ & = ( \cos 160^\circ + \cos 40^\circ ) + \cos 80^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(160^\circ + 40^\circ )}{2} \cos \frac{(160^\circ - 40^\circ )}{2} ) + \cos 80^\circ \\ & = ( 2\cos \frac{(200^\circ )}{2} \cos \frac{(120^\circ )}{2} ) + \cos 80^\circ \\ & = ( 2\cos 100^\circ \cos 60^\circ ) + \cos 80^\circ \\ & = 2 . \cos 100^\circ . \frac{1}{2} + \cos 80^\circ \\ & = \cos 100^\circ + \cos 80^\circ \\ & = 2\cos \frac{(100^\circ + 80^\circ )}{2} \cos \frac{(100^\circ - 80^\circ )}{2} \\ & = 2\cos \frac{180^\circ }{2} \cos \frac{20^\circ }{2} \\ & = 2\cos 90^\circ \cos 10^\circ \\ & = 2 \times 0 \times \cos 10^\circ \\ & = 0 \end{align} $
jadi, nilai $ \cos 40^\circ + \cos 80^\circ + \cos 160^\circ = 0 . \, \heartsuit $.

4). Tentukan nilai dari $ \csc 10^\circ - \sqrt{3} \sec 10^\circ $?
(soal SIMAK UI tahun 2013 Matematika IPA kode 133)

Penyelesaian :
*). Rumus dasar yang digunakan :
i). Sudut Rangkap :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A \rightarrow \sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A $.
ii). Selilisih sudut : $ \sin (A - B ) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
iii). Rumus lain :
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $.
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} \csc 10^\circ - \sqrt{3} \sec 10^\circ & = \frac{1}{\sin 10^\circ } - \frac{\sqrt{3} }{\cos 10^\circ } \\ & = \frac{1}{\sin 10^\circ } - \frac{\sqrt{3} }{\cos 10^\circ } \\ & = \frac{\cos 10^\circ }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } - \frac{\sqrt{3} \sin 10^\circ }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } \\ & = \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } \, \, \, \, \, \, \text{(modifikasi)} \\ & = \frac{ 2 \times ( \frac{1}{2} . \cos 10^\circ - \frac{1}{2} \sqrt{3} . \sin 10^\circ ) }{\sin 10^\circ \cos 10^\circ } \\ & = \frac{ 2 \times ( \sin 30^\circ . \cos 10^\circ - \cos 30^\circ . \sin 10^\circ ) }{\frac{1}{2} . \sin 2 \times 10^\circ } \\ & = \frac{ 2 \sin ( 30^\circ - 10^\circ ) }{\frac{1}{2} . \sin 20^\circ } \\ & = \frac{ 4 \sin ( 20^\circ ) }{ \sin 20^\circ } \\ & = 4 \end{align} $
Jadi, nilai dari $ \csc 10^\circ - \sqrt{3} \sec 10^\circ = 4 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Penerapan Rumus Trigonometri pada Soal-soal Bagian 1 dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan trigonometri.

Regangan dan Gusuran pada Transformasi

         Blog Koma - Selain membahas empat jenis transformasi geometri, ada dua lagi jenis transformasi yang akan kita bahasan yang merupakan materi pengayaan (materi tidak wajib diajarkan dan hanya sebagai tambahan saja) di tingkat SMA yaitu Regangan dan Gusuran pada Transformasi. Adapun empat jenis transformasi yang sudah kita bayas yaitu : translasi, dilatasi, rotasi, dan refleksi.

         Pada materi Regangan dan Gusuran pada Transformasi juga melibatkan matriks transformasi geometri dalam melakukan penghitungannya yaitu menggunakan rumus umum transformasi. Sehingga untuk memudahkan mempelajari materi regangan dan gusuran ini teman-teman harus menguasai materi operasi hitung pada matriks dan sifat invers matriks.

         Regangan pada transformasi sebenarnya lebih mirip dengan dilatasi, hanya saja yang mengalami perbesaran atau perkecilan pada salah satu bagian yaitu absisnya saja ($x$) atau ordinatnya saja ($y$), sementara kalau dilatasi keduanya berubah ($x,y$). Gusuran pada transformasi lebih mirip dengan translasi (pergeseran) dimana translasi digeser kedua arah yaitu searah sumbu X dan searah sumbu Y, sementara untuk gusuran hanya digeser kesalah satu arah saja yaitu serah sumbu X saja atau searah sumbu Y saja.

Sifat-sifat Regangan dan Gusuran pada Transformasi
       Adapun sifat-sifat bayangan hasil dari transformasi berupa Regangan atau Gusuran yaitu :
1). Regangan atau Gusuran mengakibatkan bentuk dan ukuran bangun semula berubah.
2). Regangan atau Gusuran mengakibatkan posisi bangun semua berubah.
Regangan pada Transformasi Geometri
       Berikut cara menghitung mencari bayangan oleh transformasi berupa Regangan :
*). Perubahan bagian absis ($x$) :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Regangan searah sumbu X dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Perubahan bagian ordinat ($y$) :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Regangan searah sumbu Y dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
Contoh Soal Regangan pada Transformasi :
1). Tentukan bayangan titik P(-3,2) jika mengalami peregangan terhadap sumbu X dengan faktor skala 5?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik P yang mengalami peregangan searah sumbu X :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -15 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime (-15, 2) . \, \heartsuit $.

2). Tentukan bayangan titik A(1,4) jika mengalami peregangan terhadap sumbu Y dengan faktor skala -2?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik A yang mengalami peregangan searah sumbu Y :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -8 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,-8) . \, \heartsuit $.

3). Persamaan $ 2x - 3y = 1 $ mengalami peregangan terhadap sumbu X dengan faktor skala 4. Tentukan bayangan persamaan tersebut?

Penyelesaian :
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 4x \rightarrow x = \frac{1}{4} x^\prime $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $.
*). Substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{4} x^\prime $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} 2x - 3y & = 1 \\ 2.\frac{1}{4} x^\prime - 3y^\prime & = 1 \\ \frac{1}{2} x^\prime - 3y^\prime & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x^\prime - 6y^\prime & = 2 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ x^\prime - 6y^\prime = 2 $ atau $ x - 6y = 2 $.
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ x - 6y = 2 . \, \heartsuit $.

Gusuran pada Transformasi Geometri
       Berikut cara menghitung mencari bayangan oleh transformasi berupa Gusuran :
*). Perubahan searah sumbu X :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Gusuran searah sumbu X dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
*). Perubahan searah sumbu Y :
       Misalkan titik $A(x,y)$ mengalami Gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala $ k $ (faktor pengubahnya), maka bayangannya diperoleh dengan cara :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
4). Bayangan titik B(-1,2) yang mengalami gusuran yang searah sumbu X dengan faktor skala 3 adalah ....?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik B yang mengalami gusuran searah sumbu X :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + 6 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (5, 2) . \, \heartsuit $.

5). Bayangan titik C(-3,-1) yang mengalami gusuran yang searah sumbu Y dengan faktor skala -2 adalah ....?

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik C yang mengalami gusuran searah sumbu Y :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 6 + (-1) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (-3,5) . \, \heartsuit $.

6). Persamaan $ -2x + 5y + 1 = 0 $ mengalami gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3. Tentukan bayangan persamaan tersebut?

Penyelesaian :
Cara I : Menggunakan sifat invers Matriks :
$ A = B.X \rightarrow X = B^{-1} . A $
dengan $ B^{-1} \, $ adalah invers dari matriks B.
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1.1 - 3.0} \left( \begin{matrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1 - 0} \left( \begin{matrix} 1 . x^\prime + -3y^\prime \\ 0 . x^\prime + 1 . y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x^\prime -3y^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} -2x + 5y + 1 & = 0 \\ -2(x^\prime -3y^\prime ) + 5. y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 6y^\prime + 5 y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 = 0 $ atau $ -2x + 11y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ -2x + 11y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

Cara II : Jika salah satu entri (isi matriks) matriksnya ada yang bernilai nol, maka bisa langsung dikalikan saja.
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + 3y \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ y^\prime = y $ atau $ y = y^\prime $
$ x^\prime = x + 3y \rightarrow x^\prime = x + 3y^\prime \rightarrow x = x^\prime - 3y^\prime $.
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime -3y^\prime \, $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya :
$ \begin{align} -2x + 5y + 1 & = 0 \\ -2(x^\prime -3y^\prime ) + 5. y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 6y^\prime + 5 y^\prime + 1 & = 0 \\ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $
sehingga bayangannya adalah $ -2x^\prime + 11y^\prime + 1 = 0 $ atau $ -2x + 11y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ -2x + 11y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

7). Suatu persamaan garis mengalami gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala $ - 3 $ menghasilkan bayangan $ -10x-5y+2 = 0 $. Tentukan persamaan awalnya?

Penyelesaian :
*).Diketahui pada soal :
Persamaan bayangannya : $ -10x-5y+2 = 0 $ atau $ -10x^\prime -5y^\prime +2 = 0 $
Yang ditanyakan adalah persamaan awalnya?
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -3x + y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -3x + y $
*). Substitusikan bentuk $ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -3x + y $ ke persamaan bayangan sehingga kita peroleh persamaan awalnya :
$ \begin{align} -10x^\prime -5y^\prime +2 & = 0 \\ -10x -5(-3x + y) +2 & = 0 \\ -10x + 15x -5y + 2 & = 0 \\ 5x -5y + 2 & = 0 \end{align} $
Jadi, bayangan awalnya adalah $ 5x -5y + 2 = 0 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Regangan dan Gusuran pada Transformasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri.