Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi. Tentu teman-teman tidak asing dengan kata pencerminan yang hampir setiap hari kita lakukan yaitu ketika berkaca pada sebuah cermin untuk berdandan atau bergaya. Refleksi atau Pencerminan merupakan salah satu jenis dari transformasi geometri. Dalam transformasi geometri, bangun atau benda yang kita refleksikan berupa titik, kurva, dan bangun datar atau ruang. Sementara yang menjadi cermin di sini adalah sebuah garis. Refleksi atau pencerminan merupakan transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang dipindahkan. Sifat bayangan cermin yaitu jarak antara benda asli dengan cermin akan sama dengan jarak titik bayangan ke cermin, serta ukuran dan bentuknya sama.

         Seperti jenis transformasi geometri lainnya, Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi juga melibatkan bentuk "matriks transformasi geometri". Hanya saja, bentuk matriksnya cukup banyak tergantuk dari jenis pencerminannya misalkan terhadap sumbu X, sumbu Y, garis $ y = x $ dan garis $ y = -x $. Untuk penghitungannya, kita juga menggunakan rumus umum transformasi geometri yaitu $ \text{bayangan } = \text{ Matriks } \times \text{ awalnya} $. Untuk memudahkan mempelajari materi refleksi atau pencerminan, sebaiknya teman-teman menguasai materi operasi hitung pada matriks terlebih dahulu.

Sifat-sifat Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi
       Berikut beberapa sifat dari Refleksi atau pencerminan yaitu :
i). Bangun (objek) yang dicerminkan (refleksi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
ii). Jarak bangun (objek) dari cermin (cermin datar) adalah sama dengan jarak bayangan dengan cermin tersebut.

Perhatikan gambar berikut,

Matriks Transformasi dan Cara Penghitungannya untuk refleksi
       Berikut adalah matriks transformasi untuk refleksi berdasarkan garis sebagai cerminnya yaitu :
*). Pencerminan terhadap sumbu X
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a , -b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap sumbu Y
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-a , b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = x $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (b,a) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = -x $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-b,-a) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap titik asal yaitu pusat koordinat (0,0)
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (-a,-b) $.
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ x = h $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (2h-a,b) $.
$\begin{align} a^\prime = 2h - a & \rightarrow a^\prime = (-1.a + 0 . b )+ 2h \\ b^\prime = b & \rightarrow b^\prime = (0.a + 1. b )+ 0 \\ \end{align} $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) $

*). Pencerminan terhadap garis $ y = k $
$ A(a,b) { \Huge \longrightarrow } A^\prime (a, 2k - b) $.
$\begin{align} a^\prime = a & \rightarrow a^\prime = (1.a + 0 . b )+ 0 \\ b^\prime = 2k - b & \rightarrow b^\prime = (0.a + -1. b )+ 2k \\ \end{align} $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
Penghitungan : $ \left( \begin{matrix} a^\prime \\ b^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) $
gambar pencerminannya :

Contoh Soal Refleksi atau pencerminan :
1). Tentukan bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) jika dicerminkan terhadap :
a). Sumbu X,
b). Sumbu Y,
c). garis $ y = x $
d). titik asal,
e). garis $ x = 7 $.

Penyelesaian :
*). Untuk soal bagian (a) sampai dengan (d) kita kerjakan sekaligus (bukan titik A atau B atau C sendiri-sendiri).
a). Sumbu X,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Untuk menentukan bayangan beberapa titik dengan matriks yang sama, bisa menghitung satu-satu atau bisa juga langsung semua titik.
*). Misalkan menghitung bayangan titik A(1,2) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,-2) $.

*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ -2 & 1 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (1,-2), \, B^\prime (3,1) \, $ dan $ C^\prime (-4,6) $.

b). Sumbu Y,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 & 4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (-1,2), \, B^\prime (-3,-1) \, $ dan $ C^\prime (4,-6) $.

c). garis $ y = x $
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 & -6 \\ 1 & 3 & -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (2,1), \, B^\prime (-1,3) \, $ dan $ C^\prime (-6,-4) $.

d). titik asal,
Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Bayangan titik A(1,2), B(3,-1) dan C(-4,-6) secara serentak :
$\begin{align} \text{ bayangan } & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \text{ awal} \\ \left( \begin{matrix} A^\prime & B^\prime & C^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & -1 & -6 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & -3 & 4 \\ -2 & 1 & 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh bayangan masing-masing :
$ A^\prime (-1,-2), \, B^\prime (-3,1) \, $ dan $ C^\prime (4,6) $.

2). Tentukan bayangan titik P(2,-5) jika direfleksikan terhadap :
a). garis $ x = 3 $
b). garis $ y = - 4 $

Penyelesaian :
a). garis $ x = 3 $
Pencerminan titik A(2,-5) oleh garis $ x = 3 $, artinya $ h = 3 $ , bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2. 3 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (4,-5). \, \heartsuit $.

b). garis $ y = - 4 $
Pencerminan titik A(2,-5) oleh garis $ y = -4 $, artinya $ k = -4 $ , bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2.(-4) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ -8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (2,-3). \, \heartsuit $.

3). Tentukan bayangan persamaan $ y = x^3 - 2x + 1 $ jika dicerminkan terhadap sumbu X.!

Penyelesaian :
*). Matriks pencerminan terhadap sumbu X :
$ M = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x \rightarrow x = x^\prime $
$ y^\prime = -y \rightarrow y = -y^\prime $.
*). Substitusi bentuk $ x = x^\prime $ dan $ y = -y^\prime $ ke persamaan awalnya sehingga kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} y & = x^3 - 2x + 1 \\ -y^\prime & = {x^\prime}^3 - 2x^\prime + 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ y^\prime & = -{x^\prime}^3 + 2x^\prime - 1 \end{align} $
sehingga bayangannya $ y^\prime = -{x^\prime}^3 + 2x^\prime - 1 $ atau $ y = -x^3 + 2x - 1 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ y = -x^3 + 2x - 1 . \, \heartsuit $

4). Tentukan bayangan persamaan $ x^3 - xy^2 + 3xy - y + 1 = 0 $ jika direfleksikan oleh garis $ x = -5 $!

Penyelesaian :
Pencerminan oleh garis $ x = -5 $, artinya $ h = -5 $
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2h \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2. (-5) \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -10 \\ 0 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x - 10 \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = -x - 10 \rightarrow x = - x^\prime - 10 $
$ y^\prime = y \rightarrow y = y^\prime $.
*). Substitusi bentuk $ x = - x^\prime - 10 $ dan $ y = y^\prime $ ke persamaan awalnya sehingga kita dapatkan persamaan bayangannya :
$ \begin{align} x^3 - xy^2 + 3xy - y + 1 & = 0 \\ (- x^\prime - 10)^3 - (- x^\prime - 10){y^\prime}^2 + 3(- x^\prime - 10)y^\prime - y^\prime + 1 & = 0 \\ -(x^\prime + 10)^3 + (x^\prime + 10){y^\prime}^2 - 3(x^\prime + 10)y^\prime - y^\prime + 1 & = 0 \end{align} $

sehingga bayangannya $ -(x^\prime + 10)^3 + (x^\prime + 10){y^\prime}^2 - 3(x^\prime + 10)y^\prime - y^\prime + 1 = 0 $
atau $ -(x + 10)^3 + (x + 10){y}^2 - 3(x + 10)y - y + 1 = 0 $.
Jadi, bayangannya adalah $ -(x + 10)^3 + (x + 10){y}^2 - 3(x + 10)y - y + 1 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Suatu persamaan garis dicerminkan terhadap garis $ y = 2 $ menghasilkan bayangan $ 3x - y - 1 = 0 $ . Tentukan persamaan awal garis tersebut!

Penyelesaian :
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 2 $ , artinya $ k = 2 $.
*). Persamaan bayangannya : $ 3x - y - 1 $ atau $ 3x^\prime - y^\prime - 1 = 0 $.
*). Menentukan hubungan $ (x,y) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2k \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 2.2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ -y + 4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = x $
$ y^\prime = -y + 4 $.
*). Substitusi bentuk $ x^\prime = x $ dan $ y^\prime = -y + 4 $ ke persamaan bayangannya sehingga kita dapatkan persamaan awalnya :
$ \begin{align} 3x^\prime - y^\prime - 1 & = 0 \\ 3x - ( - y + 4) - 1 & = 0 \\ 3x + y - 4 - 1 & = 0 \\ 3x + y - 5 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan awalnya adalah $ 3x+y - 5 = 0 . \, \heartsuit $.

       Refleksi atau pencerminan selain terhadap garis vertikal atau garis horizontal, juga dapat dilakukan pencerminan terhadap garis yang lainnya yaitu terhdap garis $ y = mx + c $ atau terhadap garis $ ax + by + c = 0 $. Untuk pencerminan tipe ini, akan kita bahas pada artikel lainnya secara lebih mendalam. Silahkan teman-teman ikuti link : "Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $".

       Demikian pembahasan materi Refleksi atau Pencerminan pada Transformasi dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "regangan dan gusuran".

Rotasi pada Transformasi Geometri

         Blog Koma - Dua jenis transformasi geometri telah kita bahas pada artikel sebelumnya yaitu "translasi" dan "dilatasi". Pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan materi Rotasi pada Transformasi Geometri. Rotasi memiliki makna perputaran. Ada beberapa contoh rotasi/perputaran yang sering kita jumpai dalam kehidupan yaitu jarum jam dinding, kincir angin, kipas angin, dan lain-lainnya.

         Rotasi pada Transformasi Geometri memiliki putaran sebesar sudut tertentu misalkan sebesar $ \theta $ dengan arah perputaran ada dua jenis yaitu rotasi searah jarum jam dan rotasi berlawanan arah jarum jam. Yang membedakan adalah besar sudutnya dimana searah jarum jam sudut bernilai negatif dan rotasi berlawanan arah jarum jam sudut bernilai positif. Rotasi pada transformasi geometri juga membutuhkan titik acuan atau disebut titik pusat yang merupakan sebagai sumbu putarnya. Titik pusat rotasi dibagi menjadi dua yaitu titik pusat (0,0) dan titik pusat P($a,b$) dengan $ a $ atau $ b $ keduanya tidak nol.

         Seperti jenis-jenis transformasi lain yang sudah kita bahas, Rotasi juga memiliki matriks transformasi geometri yang berbentuk $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $ dengan sudut $ \theta $ menyatakan besar sudut perputarannya dan nilainya bisa positif atau bisa juga negatif tergantung dari arah putaran. Untuk pembuktian matriks rotasi ini, teman-teman bisa membacanya di bagian akhir artikel ini.

Sifat-sifat Rotasi pada transformasi geometri
       Suatu benda atau bangun jika dirotasikan maka akan memiliki beberapa sifat yaitu :
i). Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
ii). Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Simbol Penulisan Rotasi dan Matriks Rotasinya
       Dalam mengerjakan soal-soal Rotasi, terkadang tidak langsung menggunakan perintah lengkap namun dalam bentuk simbol rotasi. Berikut simbol penulisan rotasi dan maknanya berdasarkan jenis titik pusatnya :
*). Rotasi titik pusat (0,0)
1). simbol R[O,$\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $.
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[O,$-\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $
*). Rotasi titik pusat ($a,b$)
1). simbol R[P($a,b$),$\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan berlawanan arah jarum jam, nilai $ \theta = \alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
2). simbol R[P($a,b$),$-\alpha$]
artinya rotasi dengan pusat ($a,b$) dengan sudut putaran sebesar $ \alpha $ dan searah jarum jam, nilai $ \theta = -\alpha $
matriks rotasinya : $ M = \left( \begin{matrix} \cos (-\alpha ) & -\sin (-\alpha ) \\ \sin (-\alpha ) & \cos (-\alpha ) \end{matrix} \right) $
Catatan :
*). Karena besar sudut putaran ada yang positif dan ada yang negatif, maka akan berpengaruh pada nilai sin dan cos sudut positif atau negatif yaitu : $ \cos ( - \alpha ) = \cos \alpha $ dan $ \sin (- \alpha ) = - \sin \alpha $.
*). Secara umum dituliskan matriks rotasi adalah $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $

Contoh soal :
1). Tentukan simbol rotasi dan matriks rotasi dari masing-masing soal berikut ini :
a). Suatu rotasi dengan pusat (0,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 60^\circ $.
b). Suatu rotasi dengan pusat (1,-3) diputar berlawanan arah jarum jam sejauh $ 30^\circ $
c). Suatu rotasi dengan pusat (-2,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 150^\circ $.

Penyelesaian :
a). Suatu rotasi dengan pusat (0,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 60^\circ $.
simbolnya : R[O,$ -60^\circ $] , dengan $ \theta = -60^\circ $.
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos (-60^\circ ) & -\sin (-60^\circ ) \\ \sin (-60^\circ ) & \cos (-60^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 60^\circ & \sin 60^\circ \\ -\sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) $.
Bentuk: $ -\sin (-60^\circ ) = - ( - \sin 60^\circ ) = \sin 60^\circ $

b). Suatu rotasi dengan pusat (1,-3) diputar berlawanan arah jarum jam sejauh $ 30^\circ $
simbolnya : R[P(1,-3),$ 30^\circ $] , dengan $ \theta = 30^\circ $.
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right)$.

c). Suatu rotasi dengan pusat (-2,0) diputar searah jarum jam sebesar $ 150^\circ $.
simbolnya : R[P(-2,0),$ -150^\circ $] , dengan $ \theta = -150^\circ $.
Nilai : $ \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \, $ dan $ \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $
Matriks rotasinya :
$ M = \left( \begin{matrix} \cos (-150^\circ ) & -\sin (-150^\circ ) \\ \sin (-150^\circ ) & \cos (-150^\circ ) \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos 150^\circ & \sin 150^\circ \\ -\sin 150^\circ & \cos 150^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) $.
Bentuk: $ -\sin (-150^\circ ) = - ( - \sin 150^\circ ) = \sin 150^\circ $

2). Tentukan arti dari simbol rotas berikut ini.
a). R[O,$120^\circ$]
b). R[P(2,-3),$-90^\circ$]

Penyelesaian :
a). R[O,$120^\circ$]
artinya rotasi dengan pusat (0,0) dan berlawanan arah jarum jam dengan sudut sebesar $ 120^\circ $, nilai $ \theta = 120^\circ $.

b). R[P(2,-3),$-90^\circ$]
artinya rotasi dengan pusat $(a,b) = (2,-3) $ dan searah jarum jam dengan sudut sebesar $ 90^\circ $, nilai $ \theta = -90^\circ $.

Cara Penghitungan Rotasi pada Transformasi Geometri
       Untuk mencari bayangan oleh suatu rotasi menggunakan rumus umum transformasi geometri yaitu :
bayangan = Matriks $ \times $ awal.

Untuk lebih detail penghitungan rotasi, kita bagi menjadi dua berdasarkan titik pusatnya yaitu :
1). Titik pusat (0,0) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

2). Titik pusat P($a,b$) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Contoh soal Rotasi pada transformasi geometri :

3). Tentukan bayangan titik masing-masing soal berikut ini :
a). Titik A(1,3) oleh rotasi sejauh $ 30^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0,0).
b). Titik B(-2,1) oleh rotasi sejauh $ 60^\circ $ searah jarum jam dengan pusat (3,5).
c). Titik C(3,-2) oleh R[(4,2),$90^\circ$].

Penyelesaian :
a). Titik A(1,3) oleh rotasi sejauh $ 30^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat (0,0).
*). Pusat (0,0) dan $ \theta = 30^\circ $ (positif karena berlawanan).
*). Menentukan bayangan titik A(1,3) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}\sqrt{3} -\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{3} \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}(\sqrt{3} -3) \\ \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) \end{matrix} \right) \end{align} $
jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (\frac{1}{2}(\sqrt{3} -3), \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) ) . \, \heartsuit $

b). Titik B(-2,1) oleh rotasi sejauh $ 60^\circ $ searah jarum jam dengan pusat (3,5).
*). Pusat $ (a,b) = (3,5) $ dan $ \theta = - 60^\circ $ (positif karena searah).
*). Menentukan bayangan titik B(-2,1) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos (- 60^\circ ) & -\sin (- 60^\circ ) \\ \sin (- 60^\circ ) & \cos (- 60^\circ ) \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -2 - 3 \\ 1-5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 60^\circ & \sin 60^\circ \\ -\sin 60^\circ & \cos 60^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -5 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -5 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-5}{2} + \frac{-4}{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{-4}{2} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \frac{-5}{2} + \frac{-4}{2}\sqrt{3} + 3 \\ \frac{5}{2}\sqrt{3} + \frac{-4}{2} + 5 \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (\frac{1}{2}(\sqrt{3} -3), \frac{1}{2}(1 + 3\sqrt{3}) ) . \, \heartsuit $

c). Titik C(3,-2) oleh R[(4,2),$90^\circ$].
*). Pusat $ (a,b) = (4,2) $ dan $ \theta = 90^\circ $ (positif sesuai pada simbol rotasi).
*). Menentukan bayangan titik C(3,-2) :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 -4 \\ -2-2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (8,1) . \, \heartsuit $

       Untuk memudahkan menentukan bayangan suatu persamaan yang dirotasi, kita menggunakan sifat invers yaitu :
$ AB = C \rightarrow B = A^{-1}.C \, $ dengan $ A^{-1} $ adalah invers dari matriks A.
*). Invers dari matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc } \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $ .
*). identitas trigonometri : $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $.
*). Menentukan invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{\cos \theta . \cos \theta - \sin \theta . (-\sin \theta)} \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta } \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{1 } \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $

4). Tentukan bayangan persamaan $ -x + 3y + 5 = 0 $ jika dirotasi sejauh $ 120^\circ $ berlawanan arah jarum jam?

Penyelesaian :
*). Jika tidak disebutkan titik pusat pada soal, maka pasti dianggap titik pusatnya adalah (0,0). Nilai $ \theta = 120^\circ $ (posotif karena berlawanan).
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 120^\circ & \sin 120^\circ \\ -\sin 120^\circ & \cos 120^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime \\ -\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{1}{2}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x = -\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime $
$ y = -\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{1}{2}y^\prime $.
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} -x + 3y + 5 & = 0 \\ -(-\frac{1}{2}x^\prime + \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime ) + 3(-\frac{1}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{1}{2}y^\prime) + 5 & = 0 \\ \frac{1}{2}x^\prime - \frac{1}{2}\sqrt{3}y^\prime -\frac{3}{2}\sqrt{3}x^\prime - \frac{3}{2}y^\prime) + 5 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x^\prime - \sqrt{3}y^\prime -3\sqrt{3}x^\prime - 3y^\prime) + 10 & = 0 \\ ( 1 - 3\sqrt{3}) x^\prime - ( \sqrt{3} + 3)y^\prime + 10 & = 0 \end{align} $
Sehingga bayangannya $ ( 1 - 3\sqrt{3}) x^\prime - ( \sqrt{3} + 3)y^\prime + 10 = 0 $ atau
$ ( 1 - 3\sqrt{3}) x - ( \sqrt{3} + 3)y + 10 = 0 $
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ ( 1 - 3\sqrt{3}) x - ( \sqrt{3} + 3)y + 10 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Tentukan bayangan persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0 $ jika dirotasi searah jarum jam sebesar $ 180^\circ $ dengan titik pusat (-1,2).!

Penyelesaian :
*). Pusat $ (a,b) = (-1,2) \, $ dan $ \theta = - 180^\circ $ (negatif karena searah)
*). Menentukan hubungan $(x,y)$ dan $ (x^\prime , y^\prime ) $ :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x -a \\ y -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x -a \\ y -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} x^\prime -a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x - (-1) \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos -180^\circ & \sin -180^\circ \\ -\sin -180^\circ & \cos -180^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime - (-1) \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime +1 \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x^\prime +1 \\ y^\prime -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x + 1 \\ y -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -x^\prime -1 \\ -y^\prime +2 \end{matrix} \right) \end{align} $
kita peroleh :
$ x + 1 = -x^\prime -1 \rightarrow x = -x^\prime - 2 $
$ y - 2 = -y^\prime +2 \rightarrow y = -y^\prime + 4 $
*). Substitusi bentuk yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 & = 0 \\ (-x^\prime - 2)^2 + (-y^\prime + 4)^2 - 2(-x^\prime - 2) + 3(-y^\prime + 4) + 2 & = 0 \\ ({x^\prime}^2 + 4x^\prime + 4) + ({y^\prime}^2 - 8y^\prime + 16) + 2x^\prime + 4 -3y^\prime + 12 + 2 & = 0 \\ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 6x^\prime -11y^\prime + 38 & = 0 \end{align} $
sehingga persamaan bayangannya yaitu $ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 6x^\prime -11y^\prime + 38 = 0 $ atau $ x^2 + y^2 + 4x + 5y + 38 = 0 $ .
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 . \, \heartsuit $.

6). Pada soal nomor (5) di atas, tentukanlah luas lingkaran persamaan bayangannya? Apakah terjadi perubahan luas dari luas awal dan luas bayangannya?

Penyelesaian :
*). Dari soal nomor (5), diketahui persamaan lingkarannya :
Persamaan awal : $ x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0 $
Persamaan bayangannya : $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 $
*). Cara menentukan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkarannya :
Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
jari-jari : $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $
*). Menentukan jari-jari masing-masing lingkaran dan luasnya :
-). Persamaan awal : $ x^2 + y^2 - 2x + 3y + 2 = 0 \rightarrow A = -2, B = 3, C = 2 $
$ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = \frac{1}{4}.(-2)^2 + \frac{1}{4}.3^2 - 2 = \frac{5}{4} $
Luas awal $ = \pi r^2 = \pi . \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\pi $.
-). Persamaan bayangan : $ x^2 + y^2 + 6x -11y + 38 = 0 \rightarrow A = 6, B = -11, C = 38 $
$ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = \frac{1}{4}.(6)^2 + \frac{1}{4}.(-11)^2 - 38 = \frac{5}{4} $
Luas bayangan $ = \pi r^2 = \pi . \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\pi $.
Jadi, luas bayangannya adalah $ \frac{5}{4}\pi . \, \heartsuit $.

*). Ternyata luas bayangan dan luas awalnya sama yaitu $ \frac{5}{4}\pi $ satuan luas. Ini sesuai dengan sifat dari rotasi di atas yaitu rotasi suatu bangun tidak merubah bentuk dan ukuran bangun tersebut.

Pembuktian Matriks Rotasi pada transformasi geometri
       Telah kita tuliskan bahwa matriks rotasi dengan sudut sebesar $ \theta $ yaitu
$ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $.

Langsung saja kita lihat pembuktiannya berikut ini.
*). Rumus-rumus dasar yang kita butuhkan :
i). Koordinat cartesius dan koordinat kutub,
koordinat cartesius : $ (p,q) $
koordinat kutubnya : $ (r\cos \beta , r\sin \beta ) $
dengan $ r = \sqrt{p^2 + q^2} \, $ dan $ \tan \beta = \frac{q}{p} $ .
$ \beta = \, $ sudut titik $(p,q) $ terhadap sumbu X positif.
dari kedua koordinat, $ p = r\cos \beta $ dan $ q = r\sin \beta $.
ii). Rumus jumlah sudut pada trogonometri :
$ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $

Proses pembuktian :
*). Misalkan terdapat titik A($p,q$) yang dirotasi sebesar $ \theta $ dengan titik pusat O(0,0) sehingga diperoleh bayangan $A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ seperti gambar berikut ini.
*). Dari gambar di atas, kita ubah koordinat cartesiusnya menjadi koordinat kutub :
-). Titik A($p,q$) membentuk sudut $ \alpha $ terhadap sumbu X positif.
$ A(p,q) = A ( r \cos \alpha , r \sin \alpha ) $
artinya $ p = r \cos \alpha $ dan $ q = r \sin \alpha $.
-). Titik $ A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ membentuk sudut $ ( \alpha + \theta ) $ terhadap sumbu X positif.
$ A^\prime (p^\prime , q^\prime ) = A ( r \cos ( \alpha + \theta ) , r \sin ( \alpha + \theta ) ) $
artinya $ p^\prime = r \cos ( \alpha + \theta ) $ dan $ q^\prime = r \sin ( \alpha + \theta ) $.
*). Kita proses bentuk titik $A^\prime (p^\prime , q^\prime ) $ , dan dengan menggunakan rumus jumlah sudut serta bentuk $ p = r \cos \alpha $ dan $ q = r \sin \alpha $, yaitu :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} p^\prime \\ q^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} r \cos ( \alpha + \theta ) \\ r \sin ( \alpha + \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r (\cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta \\ r (\sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} r \cos \alpha \cos \theta - r\sin \alpha \sin \theta \\ r \sin \alpha \cos \theta + r\cos \alpha \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} (r \cos \alpha ) \cos \theta - (r\sin \alpha) \sin \theta \\ (r \sin \alpha) \cos \theta + (r\cos \alpha) \sin \theta ) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} p \cos \theta - q \sin \theta \\ q \cos \theta + p \sin \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} p \cos \theta - q \sin \theta \\ p \sin \theta + q \cos \theta \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ \left( \begin{matrix} p^\prime \\ q^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right) $
Berdasarkan rumus umum transformasi geometri :
Bayangan = Matriks $ \times $ awal ,
Sehingga matriks rotasinya adalah $ M = \left( \begin{matrix} \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $.
Jadi, sudah terbukti yang kita harapkan.

       Demikian pembahasan materi Rotasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Refleksi pada Transformasi Geometri.

Dilatasi pada Transformasi Geometri

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi "translasi pada transformasi geometri", pada artikel ini kita lanjutkan dengan pembahasan salah satu jenis dari transformasi geometri yaitu Dilatasi pada Transformasi Geometri. Dilatasi adalah sebuah transformasi geometri yang mengubah ukuran benda namun bentuk benda tetap. Beberapa contoh dari dilatasi yaitu : sebuah miniatur mobil dimana ukurannya lebih kecil dari ukuran mobil sebenarnya, sebuah pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya (layar kamera), dan lain-lainnya.

         Proses perubahan ukuran benda dari kecil menjadi lebih besar (diperbesar) atau sebaliknya yaitu dari besar menjadi lebih kecil (diperkecil) inilah yang disebut dengan dilatasi. Dilatasi pada transformasi geometri mengakibatkan ukuran benda berubah, Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi atau faktor skala atau faktor pengali. Faktor skala ini biasanya disimbolkan dengan $ k $.

         Perbesaran atau pengecilan suatu bangun oleh dilatasi membutuhkan suatu titik acuan yangg biasa kita sebut sebagai titik pusat. Artinya ada acuan jelas bagi kita sehingga bisa diperoleh ukuran yang lebih besar atau lebih kecil. Titik pusat tersebut kita simbolkan sebagai titik $ P(a,b)$. Titik pusat pada dilatasi dibagi menjadi dua yaitu titik pusat $ P(0,0) $ dan titik pusat bukan $ (0,0) $ yaitu $ P(a,b)$.

  gambar perubahan bangun berdasarkan faktor skala $ k $.

Sifat-sifat Dilatasi pada transformasi geometri
       Dilatasi menyebabkan ukuran suatu bangun berubah kecuali untuk faktor skala $ k = 1 $ yang ukuran bendanya tetap. Perhatikan gambar di atas, perubahan ukuran bangun dipengaruhi oleh besarnya faktor skala $ k $ yang terbagi menjadi beberapa bagian yaitu :

i). Jika $ k > 1 $ maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna hijau.
ii). Jika $ k = 1 $ maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak, terlihat seperti gambar warna biru (gambar awal/aslinya).
iii). Jika $ 0 < k < 1 $ maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna kuning.
iv). Jika $ -1 < k < 0 $ maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna abu-abu.
v). Jika $ k = -1 $ maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna merah.
vi). Jika k < - 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula, terlihat seperti gambar warna oranye.
Simbol Penulisan Dilatasi
       Terkadang pada soal-soal tidak tertuliskan kata-kata dilatasi tetapi menggunakan simbolnya, jika kita mengerti simbolnya maka akan sulit bagi kita untuk menjawab soal tersebut yang padahal kita mengerti cara pengerjaannya. Berikut simbol yang mewakili dilatasi yaitu :
1). Simbol D[O,$k$]
       artinya dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala $ k $.
2). Simbol D[P($a,b),k$]
       artinya dilatasi dengan pusat ($a,b$) dan faktor skala $ k $.
Contoh Soal Dilatasi :
1). Tuliskan simbol dilatasinya dari pernyataan berikut ini dan tentukan jenis perubahan ukurannya :
a). Suatu dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 2.
b). Suatu dilatasi dengan pusat ($-2,3$) dan faltor skala $ -\frac{2}{3} $

Penyelesaian :
a). Simbolnya yaitu : D[O,$k$] = D[O,2].
Bangun mengalami perbesaran dan searah karena $ k = 2 $.

b). Simbolnya yaitu : D[P($a,b),k$] = D[P($-2,3), -\frac{2}{3}$].
Bangun mengalami pengecilan dan berlawanan arah karena $ k = -\frac{2}{3} $.

2). Tuliskan arti dari simbol dilatasi berikut ini.
a). D[O,$-3$] ,
b). D[P(2,1), 5].

Penyelesaian :
a). D[O,$-3$] ,
artinya suatu dilatasi dengan pusat (0,0) dan fakator skala $ - 3 $.

b). D[P(2,1), 5].
artinya suatu dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 5.

Cara Penghitungan Dilatasi
       Setiap jenis transformasi geometri proses penghitungannya dapat diubah dalam bentuk matriks transformasi geometri. Dilatasi dengan faktor skala $ k $ memiliki matriks transformasi yaitu $ M = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) $. Untuk penghitungannya kita bagi menjadi dua berdasarkan titik pusatnya :
i). Titik pusat (0,0) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

ii). Titik pusat P($a,b$) :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) $
atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Catatan :
Cara penghitungan ini sesuai dengan rumus umum transformasi geometri yaitu :
bayangan = Matriks transformasi $ \times $ awal.

Contoh Soal :
3). Tentukan bayangan masing-masing titik berikut ini :
a). Titik A(2,3) didilatasi dengan titik pusat adalah pusat koordinat dan faktor skala $ -2$.
b). Titik B($-1,1$) didilatasi dengan faktor skala 3 dan terhadap titik ($-2,5$).
c). Titik C(1,5) oleh D[O,7].
d). Titik D($4, - 1$) oleh D[P(1,2),3].

Penyelesaian :
a). Titik A(2,3) didilatasi dengan titik pusat adalah pusat koordinat dan faktor skala $ -2$.
*). Faktor skala $ - 2 $ artinya $ k = -2 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan banyangan titik A(2,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ -6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (-4,-6) . \, \heartsuit $.

b). Titik B($-1,1$) didilatasi dengan faktor skala 3 dan terhadap titik ($-2,5$).
*). Faktor skala $ 3 $ artinya $ k = 3 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya : $ (a,b) = (-2,5) $.
*). Menentukan banyangan titik B($-1,1$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 - (-2) \\ 1 - 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ -4 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 \\ -12 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -2 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (1,-7) . \, \heartsuit $.

c). Titik C(1,5) oleh D[O,7].
*). Faktor skala $ 7 $ artinya $ k = 7 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya adalah (0,0).
*). Menentukan banyangan titik C(1,5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 7 \\ 35 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (7,35) . \, \heartsuit $.

d). Titik D($4, - 1$) oleh D[P(1,2),3].

*). Faktor skala $ 3 $ artinya $ k = 3 $, Matriksnya : $ M = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) $
dan titik pusatnya : $ (a,b) = (1,2) $.
*). Menentukan banyangan titik D($4, - 1$) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 4-1 \\ -1-2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 3 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 9 \\ -9 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 10 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik D adalah $ D^\prime (10,-7) . \, \heartsuit $.

4). Tentukan bayangan persamaan $ 4x + 3y - 5 = 0 $ oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dan pusat (0,0)!

Penyelesaian :
*). Untuk menentukan persamaan bayangannya, kita ubah bentuk awal ($x,y$) menjadi bayangannya ($x^\prime , y^\prime $).
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2} x^\prime $
$ y^\prime = 2y \rightarrow y = \frac{1}{2} y^\prime $
*). Substitusikan bentuk $ x = \frac{1}{2} x^\prime $ dan $ y = \frac{1}{2} y^\prime $ ke persamaan awal :
$ \begin{align} 4x + 3y - 5 & = 0 \\ 4. (\frac{1}{2} x^\prime ) + 3.(\frac{1}{2} y^\prime ) - 5 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x^\prime + 3 y^\prime - 10 & = 0 \end{align} $
sehingga bayangannya $ 4x^\prime + 3 y^\prime - 10 = 0 $ atau $ 4x + 3y - 10 = 0 $.
Jadi, persamaan bayangannya adalah $ 4x + 3y - 10 = 0 . \, \heartsuit $.

5). Sebuah lingkaran $ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 $ ditranslasikan oleh D[P(1,4),$\frac{1}{2}$]. Tentukan persamaan bayangannya dan luas bayangan dari lingkarannya?

Penyelesaian :
*). Faktor skalanya $ k = \frac{1}{2} $ dan titik pusatnya $ (a,b) = (1,4) $
*). Menentukan hubungan ($x,y$) dan ($x^\prime , y^\prime $) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime - a \\ y^\prime -b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 1 \\ y - 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 1 \\ y^\prime - 4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{1}{2}(x - 1) \\ \frac{1}{2}(y - 4) \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh :
$ x^\prime - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \rightarrow x - 1 = 2(x^\prime -1) \rightarrow x = 2x^\prime -1 $
$ y^\prime - 4 = \frac{1}{2}(y - 4) \rightarrow y - 4 = 2(y^\prime -4) \rightarrow y = 2y^\prime - 4 $
*). Kita substitusi ke persamaan awalnya :
$ \begin{align} (x-3)^2 + (y+2)^2 & = 16 \\ ( 2x^\prime -1 -3)^2 + ( 2y^\prime - 4+2)^2 & = 16 \\ ( 2x^\prime -4)^2 + ( 2y^\prime - 2)^2 & = 16 \\ [2(x^\prime -2)]^2 + [ 2(y^\prime - 1)]^2 & = 16 \\ 4(x^\prime -2)^2 + 4(y^\prime - 1)^2 & = 16 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ (x^\prime -2)^2 + (y^\prime - 1)^2 & = 4 \end{align} $
Sehingga persamaan bayangan lingkarannya adalah $ (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 $.
jari-jarinya : $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $.
*). Menentukan luas bayangannya :
Luas $ = \pi r^2 = \pi . 2^2 = 4\pi \, $ satuan luas.
Jadi, luas bayangannya adalah $ 4 \pi $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

Cara II untuk soal nomor 5.
*). Persamaan lingkaran awal :
$ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 16 \rightarrow r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $.
Luas awal $ = \pi r^2 = \pi . 4^2 = 16\pi $
*). Menentukan luas bayangannya :
$ \begin{align} \text{Luas bayangan } & = det{M} \times \text{ luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right| \times 16\pi \\ & = \left( \frac{1}{2} . \frac{1}{2} - 0.0 \right) \times 16\pi \\ & = \frac{1}{4} \times 16\pi \\ & = 4\pi \end{align} $
Jadi, luas bayangannya adalah $ 4 \pi $ satuan luas. $ \, \heartsuit $.

6). Suatu persamaan parabola memiliki bayangan $ y = 2x^2 - 3x + 1 $ oleh translasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat (0,5). Tentukan persamaan awal dari persamaan parabola tersebut!.

Penyelesaian :
*). Faktor skala $ k = 2 $ dan titik pusat $(a,b) = (0,5) $.
persamaan bayangannya : $ y = 2x^2 - 3x + 1 \, $ atau $ y^\prime = 2{x^\prime}^2 - 3x^\prime + 1 $
ditanyakan persamaan awalnya?
*). Hubungan titik awal ($x,y$) dan bayangannya ($x^\prime , y^\prime $):
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x - 0 \\ y - 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y - 10 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2x \\ 2y - 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = 2x \, $ dan $ y^\prime = 2y - 5 $
*). Substitusikan bentuk $ x^\prime = 2x \, $ dan $ y^\prime = 2y - 5 $ ke persamaan bayagannya sehingga kita peroleh persamaan awal.
$ \begin{align} y^\prime & = 2{x^\prime}^2 - 3x^\prime + 1 \\ 2y - 5 & = 2(2x)^2 - 3(2x) + 1 \\ 2y - 5 & = 8x^2 - 6x + 1 \\ 2y & = 8x^2 - 6x + 1 + 5 \\ 2y & = 8x^2 - 6x + 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ y & = 4x^2 - 3x + 3 \end{align} $
Jadi, persamaan awal fungsi parabola tersebut adalah $ y = 4x^2 - 3x + 3 . \, \heartsuit $.

       Demikian pembahasan materi Dilatasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan "rotasi pada transformasi geometri".

Translasi pada Transformasi Geometri

         Blog Koma - Setelah membahas materi "Matriks Transformasi Geometri" pada artikel sebelumnya, kita lanjutkan dengan pembahasan jenis-jenis transformasi geometri yang pertama yaitu translasi atau pergeseran dengan artikel berjudul Translasi pada Transformasi Geometri. Translasi memiliki makna pergeseran atau perpindahan. Contoh penggunaan translasi dalam kehidupan yaitu posisi duduk siswa di kelas yang berpindah setiap periode tertentu, permainan catur, gerakan pada paskibraka, dan lain-lainnya.

         Translasi pada transformasi geometri adalah perpindahan dengan cara menggeser suatu benda (biasanya berupa titik, kurva, bangun datar, dan lainnya) menurut jarak dan arah tertentu. Misalkan, kita ingin memindahkan suatu titik dari posisi A ke posisi B, terjadi pergeseran sejauh $ a $ satuan arah horizontal dan sejauh $ b $ satuan arah vertikal. Sehingga mastriks transformasi untuk jenis translasi dapat kita tuliskan : $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ .

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi Translasi pada Transformasi Geometri ini, kita harus menguasai materi matriks terlebih dahulu khususnya "operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks". Untuk penjelasan cara penghitungan pada translasi, mari kita simak langsung pembahasannya berikut ini.

Cara Penghitungan pada Translasi dan Sifat-sifat Translasi
       Misalkan sembarang titik $A(x,y) $ ditranslasikan oleh matriks translasi $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $, maka kita peroleh bayangannya yaitu $ A^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, dapat kita tuliskan : $ A(x,y) \overset{T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) }{ \huge \longrightarrow} A^\prime (x^\prime, y^\prime ) $

$\clubsuit $ Cara Penghitungannya :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $
Sehingga kalau kita operasikan menjadi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) $

$ \spadesuit $ Sifat-sifat Translasi
       Berikut beberapa sifat pada translasi yaitu :
(i). Bangun yang digeser (ditranslasikan) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
(ii). Bangun yang digeser (ditranslasikan) mengalami perubahan posisi.

Contoh Soal Translasi pada transformasi geometri :

1). Tentukan bayangan titik A(2,-5) jika ditranslasikan oleh matriks $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) $

Penyelesaian :
*). Menentukan bayangan titik A(2,-5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 + (-1) \\ -5 + 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (1,-2). \, \heartsuit $

2). Suatu benda terletak pada posisi dengan koordinat ($-3,1$), kemudian benda tersebut bergerak kearah bawah secara vertikal sejauh 2 satuan dan dilanjutkan ke arah kanan secara horizontal sejauh 4 satuan. Tentukan koordinat posisi akhir dari benda tersebut!

Penyelesaian :
*). Menentukan matriks translasinya
benda bergerak :
horizontal ke kanan (4 satuan) $ \rightarrow a = 4 $
vertikal ke bawah (2 satuan) $ \rightarrow b = -2 $
Matriks translasinya : $ T = \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) $
Catatan :
arah kanan dan atas bernilai positif,
arah kiri dan bawah bernilai negatif,
*). Menenetukan posisi akhir sama saja dengan menentukan bayangannya setelah ditanslasi.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 4 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 + 4 \\ 1 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, posisi titik akhir benda tersebut adalah $ ( 1,-1). \, \heartsuit $

3). Translasi $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ memetakan titik $A(7, - 1) $ ke $ A^\prime (2, -3 )$.
a). Tentukan matriks translasinya,
b). Tentukan bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1,3), B(-4,2), dan C(-1,-5) oleh translasi tersebut,
c). Tentukan Luas bayangan segitiganya.

Penyelesaian :
a). Menentukan matriks translasinya :
titik awal : A(7,-1)
bayangannya : $ A^\prime (2,-3) $.
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 7 \\ -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 - 7 \\ -3 - (-1) \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ -2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks translasinya adalah $ T = \left( \begin{matrix} -5 \\ -2 \end{matrix} \right) $

b). Menentukan bayangan segitiga dengan
titik A(1,3),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 + (-5) \\ 3 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
titik B(-4,2),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 + (-5) \\ 2 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -9 \\ 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
titik C(-1,-5),
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -1 + (-5) \\ -5 + (-2) \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -6 \\ -7 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan dari segitiga ABC adalah $A^\prime (-4,1), \, B^\prime (-9,0), \, $ dan $ C^\prime (-6,-7) $.

c). Sesuai dengan sifat (i) pada Translasi di atas, maka bentuk dan ukuran segitiganya tidak berubah, sehingga luas bayangannya sama saja dengan luas segitiga awalnya. Mari kita cek kebenarannya dengan menghitung luas awal dan luas bayangannya.
*). Luas awal segitiga ABC dengan titik sudut A(1,3), B(-4,2), dan C(-1,-5) :
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -4 & -1 & 1 \\ & 3 & 2 & -5 & 3 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[(1.2 + (-4).(-5) + (-1).3 ) - ((-4).3 + (-1).2+1.(-5))] \\ & = \frac{1}{2}[(2 + 20 + (-3) ) - ((-12) + (-2) + (-5))] \\ & = \frac{1}{2}[(19 ) - (-19)] \\ & = \frac{1}{2}[38] \\ & = 19 \end{align} $
sehingga luas segitiga awal adalah 19 satuan luas.
*). Luas bayangan segitiga ABC dengan titik sudut $A^\prime (-4,1), \, B^\prime (-9,0), \, $ dan $ C^\prime (-6,-7) $
$\begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & -4 & -9 & -6 & -4 \\ & 1 & 0 & -7 & 1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[((-4).0 + (-9).(-7)+(-6).1 ) - ((-9).1+(-6).0+(-4).(-7))] \\ & = \frac{1}{2}[(0 + 63 + (-6) ) - ((-9)+0+28)] \\ & = \frac{1}{2}[( 57 ) - (19)] \\ & = \frac{1}{2}[38] \\ & = 19 \end{align} $
sehingga luas bayangan segitiga adalah 19 satuan luas.
Jadi, dapat disimpulkan benar bahwa luas bayangannya sama dengan luas awal ketika kita lakukan translasi sesuai dengan sifat (i).

4). Tentukan bayangan kurva parabola $ y = x^2 - 5x + 1 $ jika ditranslasikan oleh $ T = \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) $!

Penyelesaian :
*). Karena persamaan atau fungsi ditransformasi, maka yang kita transformasikan adalah titik $(x,y)$, setelah itu kita ubah menjadi dalam bentuk $x^\prime $ dan $ y^\prime $.
*). Proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -4 \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - (-4) \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime + 4 \\ y^\prime - 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime + 4 \, $ dan $ y = y^\prime - 1 $.
bentuk inilah yang akan kita substitusikan ke persamaan kurva awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya.
*). Substitusikan bentuk $ x = x^\prime + 4 \, $ dan $ y = y^\prime - 1 $ ke persamaan awal
$ \begin{align} y & = x^2 - 5x + 1 \\ y^\prime - 1 & = (x^\prime + 4)^2 - 5(x^\prime + 4) + 1 \\ y^\prime - 1 & = {x^\prime}^2 + 8 x^\prime + 16 - 5x^\prime -20 + 1 \\ y^\prime - 1 & = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 3 \\ y^\prime & = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 2 \end{align} $
Sehingga kita peroleh persamaan bayangannya yaitu $ y^\prime = {x^\prime}^2 + 3 x^\prime - 2 $
Jadi, persamaan bayagannya adalah $ y = x^2 + 3x - 2 . \, \heartsuit $

5). Persamaan garis $ 2x + 3y = 5 $ ditranslasi oleh $ T = \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) $ sehingga menghasilkan bayangan $ 2x + 3y = 9 $. Tentukan matriks translasinya!

Penyelesaian :
*). Pada soal diketahui :
persamaan awal : $ 2x + 3y = 5 $
persamaan bayangannya : $ 2x + 3y = 9 $ atau $ 2x^\prime + 3y^\prime = 9 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + 2 $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + 2 $ ke persamaan bayangannya sehingga kita peroleh persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align} 2x^\prime + 3y^\prime & = 9 \\ 2(x+a) + 3(y + 2) & = 9 \\ 2x + 2a + 3y + 6 & = 9 \\ 2x + 3y & = 9 - 6 - 2a \\ 2x + 3y & = 3 - 2a \end{align} $
kita peroleh persamaan awal yaitu $ 2x + 3y = 3 - 2a $ yang bentuknya sama dengan $ 2x + 3y = 5 $, sehingga haruslah :
$ 3 - 2a = 5 \rightarrow -2a = 2 \rightarrow a = -1 $.
*). Matriks translasinya adalah $ T = \left( \begin{matrix} a \\ 2 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) $
Jadi, matriksnya adalah $ T = \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

6). Fungsi kuadrat $ y = 2x^2 - x + 1 $ ditranslasikan oleh matriks $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $, sehingga menghasilkan bayangan $ y = 2x^2 - 5x + 3 $. Tentukan nilai $ 2a + 3b $?

Penyelesaian :
*). Untuk menentukan nilai $ 2a + 3b$, kita harus menentukan matriks translasinya terlebih dahulu.
*). pada soal diketahui :
Persamaan awal : $ y = 2x^2 - x + 1 $
persamaan bayangannya : $ y = 2x^2 - 5x + 3 $ atau $ y^\prime = 2{x^\prime} ^2 - 5x^\prime + 3 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x + a \\ y + b \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + b $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x^\prime = x + a $ dan $ y^\prime = y + b $ ke persamaan bayangannya sehingga kita peroleh persamaan awal (bentuknya sama dengan persamaan awal).
$ \begin{align} y^\prime & = 2{x^\prime} ^2 - 5x^\prime + 3 \\ ( y + b) & = 2( x + a) ^2 - 5( x + a) + 3 \\ ( y + b) & = 2( x^2 + 2ax + a^2) - 5x - 5 a + 3 \\ ( y + b) & = 2x^2 + 4ax + 2a^2 - 5x - 5 a + 3 \\ y & = 2x^2 + (4a - 5)x + (2a^2 - 5 a + 3 - b ) \end{align} $
kita peroleh persamaan awal yaitu $ y = 2x^2 + (4a - 5)x + (2a^2 - 5 a + 3 - b ) $ yang bentuknya sama dengan $ y = 2x^2 - x + 1 $, sehingga haruslah :
Pertama koefisien $ x $ sama yaitu :
$ 4a - 5 = -1 \rightarrow 4a = 4 \rightarrow a = 1 $.
Kedua, konstantanya sama :
$ \begin{align} (2a^2 - 5 a + 3 - b ) & = 1 \\ (2.1^2 - 5.1 + 3 - b ) & = 1 \\ (2 - 5 + 3 - b ) & = 1 \\ - b & = 1 \\ b & = -1 \end{align} $
Sehingga matriks translasinya adalah $ T = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ 2a + 3b $ :
$ 2a + 3b = 2.1 + 3.(-1) = 2 + (-3) = -1 $.
Jadi, nilai $ 2a + 3b = -1 . \, \heartsuit $.

7). Matriks translasi $ T = \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) $ mentranslasikan persamaan $ x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $ menjadi $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $. Tentukan nilai $ p + q + r $?

Penyelesaian :
*). diketahui :
persamaan awal : $ x^2 + y^2 + 3xy + 1 = 0 $
persamaan bayangannya : $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $
*). Kita tentukan hubungan $(x,y)$ dan $(x^\prime , y^\prime )$ dari proses translasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 2 \\ -2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime - 2 \\ y^\prime + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = x^\prime - 2 $ dan $ y = y^\prime + 2 $.
*). Kita substitusikan bentuk $ x = x^\prime - 2 $ dan $ y = y^\prime + 2 $ ke persamaan awal sehingga kita peroleh persamaan bayangannya (bentuknya sama dengan persamaan bayangan yang diketahui pada soal).
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 3xy + 1 & = 0 \\ (x^\prime - 2)^2 + (y^\prime + 2)^2 + 3(x^\prime - 2)(y^\prime + 2) + 1 & = 0 \\ {x^\prime}^2 + {y^\prime}^2 + 3x^\prime y^\prime + 4x^\prime - 2y^\prime - 3 & = 0 \, \, \, \, \text{ (atau)} \\ x^2 + y^2 + 3xy + 4x - 2y - 3 & = 0 \end{align} $
kita peroleh persamaan bayangan yaitu $ x^2 + y^2 + 3xy + 4x - 2y - 3 = 0 $ yang bentuknya sama dengan $ x^2 + y^2 + 3xy + 2px + (p-q)y + r = 0 $, sehingga haruslah :
$ 2p = 4 \rightarrow p = 2 $
$ (p-q) = -2 \rightarrow 2 - q = - 2 \rightarrow q = 4 $
$ r = -3 $.
*). Menentukan hasil $ p + q + r $ :
$ p + q + r = 2 + 4 + (-3) = 3 $.
Jadi, nilai $ p + q + r = 3 . \, \heartsuit $

       Demikian pembahasan materi Translasi pada Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan Dilatasi pada Transformasi Geometri.

Matriks Transformasi Geometri

         Blog Koma - Sebenarnya materi transformasi geometri itu apakah sulit bagi teman-teman? Tentu ada sebagian siswa/siswi akan menjawab ya, dan sebagian lagi menjawab tidak. Khusus untuk transformasi geometri tingkat SMA, kita lebih ditekankan pada perhitungan secara aljabarnya, artinya kita tidak terlalu dibebankan pada bentuk geometri baik bentuk awal ataupun bentuk setelah terjadi perubahan (kita sebut bayangannya). Nah, maka dari itu kita harus konsentrasi pada perhitungan secara aljabarnya.

         Pada proses transformasi dari semua jenis transformasi geometri (translasi, rotasi, dilatasi, dan refleksi), masing-masing melibatkan bentuk matriks dalam proses penghitungannya yang biasanya melibatkan dua operasi yaitu penjumlahan untuk translasi dan perkalian untuk jenis transformasi lainnya. Bagaimana cara penghitungannya? Inilah yang akan kita bahas dalam artikel ini yaitu matriks transformasi geometri secara umum.

         Setiap jenis transformasi geometri memiliki matriks transformasi geometri tersendiri yang tentu akan kita bahas secara spesifik lagi pada pembahasan jenis transformasi masing-masing. Pada artikel ini kita hanya mengumpamakan ada suatu matriks transformasi geometri yang mentransformasi suatu titik, atau fungsi suatu kurva, atau suatu bangun datar, atau sejenisnya, sehingga kita peroleh bayangannya. Secara Garis Besar, Ordo matriks transformasi geometri adalah berordo $ 2 \times 2 $, kecuali translasi (pergeseran) yang matriks transformasinya berordo $ 2 \times 1 $ . Namun, yang kita bahas khusus matriks transformasi berordo $ 2 \times 2 $ saja.

Penghitungan Menggunakan Matriks Transformasi Geometri
       Misalkan terdapat suatu matriks transformasi yang digunakan untuk mentransformasikan suatu titik, fungsi suatu kurva, dan bidang, sehingga diperoleh bayangannya, dimana matriks tersebut disajikan dalam bentuk $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $, Penulisan dan penghitungan transformasinya dapat kita tuliskan :

*). Penulisan :
$ \text{awal} \overset{\text{matriks} }{\Huge \longrightarrow} \text{bayangannya} \, $
atau dalam bentuk koordinat kartesiusnya :
$ A(x,y) \overset{\text{M} }{ \longrightarrow} A^\prime (x^\prime, y^\prime ) $

*). Rumus Umum Penghitungannya :
$ \text{bayangan} = M \times \text{ awalnya} \, $ atau
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $

Keterangan :
$ A(x,y) \, $ : adalah titik awal,
$ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) \, $ : adalah bayangannya.
Catatan :
*). Sebaiknya teman-teman menguasai operasi hitung pada matriks, silahkan baca : "operasi hitung pada matriks".
*). Dari rumus umum di atas, kita hanya perlu menghafal atau mengingat matriks transformasi dari masing-masing jenis transformasi, setelah itu tinggal mengalikan ke titik awalnya sehingga diperoleh bayangannya.
*). Penekanan pada pembahasan artikel ini adalah pada penggunaan matriks transformasi geometrinya secara umum, sehingga untuk hal-hal yang khusus akan kita bahas pada artikel lainnya, misalkan seperti menghitung luas bayangan dan mentransformasikan suatu persamaan atau fungsi.

Contoh Soal Matriks Transformasi Geometri :
1). Bayangan titik $ A(1,3) \, $ dan $ B(-2,-5) \, $ oleh transformasi matriks $ \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) $ adalah ....

Penyelesaian :
*). Kita cari bayangan masing-masing titik dengan rumus umum di atas :
*). Menentukan bayangan Titik A(1,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik A adalah $ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 8 , 6) $

*). Menentukan bayangan Titik B(-2,-5) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 3 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -13 \\ -10 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik B adalah $ B^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -13 , -10) $

2). Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis $ 2x - 3y = 5 \, $ jika ditransformasikan oleh matriks transformasi $ \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right) $ ?

Penyelesaian :
*). Sifat invers fungsi : $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}. C $
Silahkan teman-teman baca : "determinan dan invers matriks".
*). Karena persamaan yang ditransformasi, maka yang sebagai titik awal adalah dalam bentuk umum saja yaitu $(x,y) \, $, setelah itu kita ubah bentuk awal menjadi dalam bayangannya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \end{matrix} \right)^{-1} \times \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{2.(-3) - 5. (-1)} \left( \begin{matrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{-1} \left( \begin{matrix} -3x^\prime + y^\prime \\ -5x^\prime + 2y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = (-1) \left( \begin{matrix} -3x^\prime + y^\prime \\ -5x^\prime + 2y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3x^\prime - y^\prime \\ 5x^\prime - 2y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
$ x = 3x^\prime - y^\prime \, $ dan $ y = 5x^\prime - 2y^\prime $
*). Kita substitusi yang kita peroleh ke persamaan awal sehingga kita peroleh bayangannya :
$ \begin{align} \text{awal : } 2x - 3y & = 5 \\ 2(3x^\prime - y^\prime) - 3(5x^\prime - 2y^\prime) & = 5 \\ 6x^\prime - 2y^\prime - 15x^\prime + 6y^\prime & = 5 \\ -9x^\prime + 4y^\prime & = 5 \end{align} $
Jadi, bayangan persamaannya adalah $ -9x^\prime + 4y^\prime = 5 \, $ atau tanda aksennya dihilangkan sehingga menjadi $ -9x + 4y = 5 $.

Untuk penjelasan lebih mendetail tentang suatu fungsi atau suatu persamaan di transformasikan, teman-teman bisa membacanya pada artikel "transformasi geometri pada persamaan atau fungsi".

3). Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks $ \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) $ , maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

Penyelesaian :
*). Luas segitiga yang diketahui koordinat ketiga sudutnya dapat dihitung seperti determinan yaitu :
Misalkan ada segitiga ABC dengan titik sudutnya : $ A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), \, $ dan $ C(x_3,y_3) $. Maka luasnya dapat dihitung dengan rumus :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ & y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1) - (x_2y_1+x_3y_2+x_1y_3)] \end{align} $
*). Luas bayangan suatu bangun datar jika ditransformasi oleh matriks transformasi $ M $ yang berordo $ 2 \times 2 $ yaitu :
Luas $ = |M| \times \, $ Luas awal.
dengan $ |M| \, $ = determinan matriks M.

*). Ada dua cara yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan soal nomor 3 ini :

Cara I : Menentukan titik bayangan ketiga sudutnya, setelah itu baru menghitung luas bayangannya dengan menggunakan titik bayangannya.
*). Menentukan bayangan ketiga titiknya :
*). Menentukan bayangan Titik A(1,3) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -7 \\ 13 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik A adalah $ A^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -7, 13) $
*). Menentukan bayangan Titik B(-2,4) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -2 \\ 4 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -16 \\ 14 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik B adalah $ B^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -16 , 14) $
*). Menentukan bayangan Titik C(-1,-1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 \\ -5 \end{matrix} \right) \end{align} $
sehingga bayangan titik C adalah $ C^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 1,-5) $
*). Menentukan Luas bayangan segitiga ABC dengan titik bayangannya :
$ A^\prime ( -7, 13) , B^\prime ( -16 , 14) , \, $ dan $ C^\prime ( 1,-5) $
$ \begin{align} \text{Luas bayangan } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & -7 & -16 & 1 & -7 \\ & 13 & 14 & -5 & 13 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[( (-7).14 + (-16).(-5) + 1.13 ) - ( (-16).13 + 1. 14 + (-7).(-5) )] \\ & = \frac{1}{2}[( -98 + 80 + 13 ) - ( -208 + 14 + 35 )] \\ & = \frac{1}{2}[( -5 ) - ( -159 )] \\ & = \frac{1}{2} . (154) \\ & = 77 \end{align} $
Jadi, luas bayangan segitiga ABC adalah 77 satuan luas.

Cara II : Menentukan luas awal dan setelah itu menentukan luas bayangannya.
*). Luas awal segitiga dengan titik sudutnya :
A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1)
$ \begin{align} \text{Luas awal } & = \frac{1}{2} \begin{array}{c|ccc|c} & 1 & -2 & -1 & 1 \\ & 3 & 4 & -1 & 3 \end{array} \\ & = \frac{1}{2}[( 1.4 + (-2).(-1)+(-1).3 ) - ( (-2).3 + (-1).4+1.(-1))] \\ & = \frac{1}{2}[( 4 + 2+(-3) ) - ( (-6) + (-4)+ (-1))] \\ & = \frac{1}{2}[( 3 ) - ( -11)] \\ & = \frac{1}{2}[14] \\ & = 7 \end{align} $
*). Menentukan luas bayangannya :
$ \begin{align} \text{Luas bayangannya } & = |M| \times \text{Luas awal} \\ & = \left| \begin{matrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{matrix} \right| \times 7 \\ & = (2.4 - (-3).1) \times 7 \\ & = (11) \times 7 \\ & = 77 \end{align} $
Jadi, luas bayangan segitiga ABC adalah 77 satuan luas.

Untuk penjelasan tentang luas bayangan suatu bangun datar, silahkan teman-teman kunjungi artikel "Transformasi geometri pada Luas bangun datar".

4). Suatu matriks transformasi $ M = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & b \end{matrix} \right) \, $ mentransformasi titik A($2,-3$) sehingga diperoleh bayangannya yaitu $A^\prime (9,-11)$. Tentukan bayangan titik P(-3,1) jika ditransformasikan oleh matriks M?

Penyelesaian :
*). Matriks M masih belum lengkap karena masih memuat entri-entri yang bukan angka yaitu $ a $ dan $ b $. Sehingga kita harus menentukan nilai $ a $ dan $ b $ terlebih dahulu dari proses trasformasi pertama yaitu pada titik A.
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $.
titik A($2,-3$) memeiliki bayangan $A^\prime (9,-11)$ oleh matriks transformasi M, artinya dapat kita tuliskan :
$ \begin{align} A^\prime & = M \times A \\ \left( \begin{matrix} 9 \\ -11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & -1 \\ 2 & b \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 9 \\ -11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2a+3 \\ 4 - 3b \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$ 2a + 3 = 9 \rightarrow 2a = 6 \rightarrow a = 3 $
$ 4 - 3b = -11 \rightarrow -3b = -15 \rightarrow b = 5 $
Sehingga matriks M menjadi $ M = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik P(-3,1) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 \\ -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik P adalah $ P^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( -10 , -1) $

5). Suatu matriks mentransformasikan titik A(-1,2) dan B(2,-5) menjadi titik $A^\prime (-5,11) $ dan $ B^\prime (12,-26) $. Tentukan bayangan titik C(7,-8) jika ditransformasikan oleh matriks tersebut?

Penyelesaian :
*). Kita tentukan dulu matirks transformasinya, misalkan matriksnya adalah $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $.
*). Menyusun persamaan dari masing-masing proses transformasi baik titik A maupun titik B.
*). Titik A(-1,2) dengan bayangan $A^\prime (-5,11) $
$ \begin{align} A^\prime & = M \times A \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ 11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} -1 \\ 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -5 \\ 11 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -a + 2b \\ -c+2d \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$-a + 2b = -5 \, $ .....pers(i)
$-c + 2d = 11 \, $ .....pers(ii)
*). Titik B(2,-5) dengan bayangan $A^\prime (12,-26) $
$ \begin{align} B^\prime & = M \times B \\ \left( \begin{matrix} 12 \\ -26 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 2 \\ -5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 12 \\ -26 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2a-5b \\ 2c-5d \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh persamaan :
$2a-5b = 12 \, $ .....pers(iii)
$2c-5d = -26 \, $ .....pers(iv)
*). Kemudian kita selesaikan dari persamaan yang ada untuk mencari nilai $ a, b, c $ dan $ d $ dengan cara eliminasi dan substitusi. Untuk langkah ini kami biarkan teman-teman pembaca yang melakukannya sendiri.
*). Eliminasi pers(i) dan (iii), kita akan peroleh nilai $ a = 1 $ dan $ b = -2 $.
*). Eliminasi pers(ii) dan (iv), kita akan peroleh nilai $ c = -3 $ dan $ d = 4 $.
Sehingga matriks transformasinya adalah $ M = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right) $
*). Menentukan bayangan titik C(7,-8) :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} 7 \\ -8 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 23 \\ -53 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, bayangan titik C adalah $ C^\prime (x^\prime, y^\prime ) = ( 23, -53) $

       Demikian pembahasan materi Matriks Transformasi Geometri dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan transformasi geometri : Translasi.