Kamis, 27 Oktober 2016

Fungsi Eksponen dan Penerapannya

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas materi fungsi eksponen dan Penerapannya. Fungsi eksponen adalah fungsi yang memuat bentuk eksponen, artinya fungsi tersebut memuat bentuk pangkat dimana pangkatnya berisi variabel-variabel. Adapun penerapan fungsi eksponen salah satunya tentang "pertumbuhan" dan "peluruhan" yang teman-teman bisa pelajari pada materi matematika wajib kelas XII SMA.

         Untuk memudahkan mempelajari materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya, kita harus menguasai terlebih dahulu materi sifat-sifat eksponen. Dalam pembahasan kali ini, pertama kita bahas fungsi eksponen, lalu akan kita lanjutkan pada penerapan fungsi eksponen. Langsung saja kita simak pemaparan materinya berikut ini.

Fungsi Eksponen
       Berikut adalah bentuk-bentuk fungsi eksponen :
$\clubsuit \, $ fungsi eksponen sederhana :
$ \begin{align} f(x) = a^x \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ x \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).

$\clubsuit \, $ fungsi eksponen kompleks :
$ \begin{align} f(x) = b \times a^{g(x)} \, + c \end{align} $
dengan $ a \, $ sebagai basis dan $ g(x) \, $ sebagai pangkatnya (eksponennya).

Contoh Soal :
1). Berikut adalah beberapa contoh dari fungsi eksponen yaitu :
a). $ f(x) = 2^x $
b). $ g(x) = 3^{5x} $
c). $ h(x) = \left( \frac{1}{5} \right) ^x $
d). $ f(x) = 3 \times 5^x $
e). $ f(x) = 2 \times 3^x + 5 $
f). $ f(x) = 3^{x^2+2x-8} $
g). $ f(x) = 2 \times 5^{x^3 - x +1} -1 $

2). Diketahui fungsi eksponen $ f(x) = 3^{x+1} - 2 $ . Tentukan nilai dari $ f(1) $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ f(1) \, $ dengan substitusi $ x = 1 $ :
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 3^{x+1} - 2 \\ f(1) & = 3^{1+1} - 2 \\ & = 3^{2} - 2 \\ & = 9 - 2 \\ & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(1) = 7. \, \heartsuit $.

3). Diketahui suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 2^{x-1} - 1 $ . Jika $ f(a) = 31 \, $ , maka nilai dari $ a^2 - 30 = .... $
Penyelesaian :
*). Dari fungsi $ f(x) = 2^{x-1} - 1 \, $ maka
$ f(a) = 2^{a-1} - 1 $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari bentuk $ f(a) = 31 $ :
$ \begin{align} f(a) & = 31 \\ 2^{a-1} - 1 & = 31 \\ 2^{a-1} & = 32 \\ 2^{a-1} & = 2^5 \, \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ a - 1 & = 5 \\ a & = 6 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ a^2 - 30 = 6^2 - 30 = 36 - 30 = 6 $.
Jadi, nilai $ a^2 - 30 = 6. \, \heartsuit $.

4). Suatu fungsi eksponen berbentuk $ f(x) = 3^{2x} $ . Nyatakan bentuk $ f(3a+b-c) \, $ dalam bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $.
Penyelesaian :
*). Sifat eksponen : $ a^{m+n} = a^m . a^n \, $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $.
*). Dari bentuk fungsi awal $ f(x) = 3^{2x} $ , kita peroleh :
$ f(a) = 3^{2a} , \, f(b) = 3^{2b} , \, $ dan $ f(c) = 3^{2c} $.
*). Agar bentuk $ f(a^2+b-c) \, $ menjadi bentuk $ f(a), \, f(b), \, $ dan $ f(c) $ , maka kita harus mengarahkan hasilnya kebentuk di atas.
*). Memodifikasi dan menyelesaikan soal :
$ \begin{align} f(x) & = 3^{2x} \\ f(3a+b-c) & = 3^{2(3a+b-c)} \\ & = 3^{6a+2b-2c} \\ & = \frac{3^{6a} \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( 3^{2a} \right)^3 \times 3^{2b}}{3^{2c}} \\ & = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \begin{align} f(3a+b-c) = \frac{\left( f(a) \right)^3 \times f(b)}{f(c)} \end{align} . \, \heartsuit $.


Penerapan Fungsi Eksponen
       Salah satu penerapan fungsi eksponen adalah tentang model pertumbuhan dan peluruhan yang bisa teman-teman baca materi lengkapnya pada artikel "pertumbuhan dalam matematika" dan "peluruhan dalam matematika". Namun untuk soal-soal tertentu, biasanya bentuk fungsi eksponensialnya sudah diberikan terlebih dahulu. Adapun bentuk fungsi eksponen atau fungsi eksponensial untuk pertumbuhan dan peluruhan adalah
$ \begin{align} A_t = A_0 \times (r)^t \end{align} $.
Keterangan :
$ A_t = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada waktu ke-$t$
$ A_0 = \, $ besarnya pertumbuhan atau peluruhan pada awal periode
$ r = \, $ rasio (tingkat perubahan) .

Contoh soal :
5). Dalam ilmu biologi ada yang namanya pertumbuhan jenis amoeba tertentu. Misalkan pertumbuhannya mengikuti fungsi eksponensial $ A_t = A_0 \times (2)^t \, $ dengan $ A_0 \, $ adalah banyaknya amoeba pada awal pengamatan dan $ t \, $ adalah waktu pada pengamatan terjadi (satuannya menit). Jika diketahui pada awal pengamatan pukul 09.00 ada 100 amoeba , tentukan banyak amoeba setelah dilakukan pengamatan lagi pada pukul 09.10?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ A_0 = 100 \, $ amoeba.
dari pukul 09.00 ke pukul 09.10, nilai $ t = 10 \, $ menit.
*). Menentukan banyak amoeba pada $ t = 10 $
$ \begin{align} A_t & = A_0 \times (2)^t \\ A_{10} & = 100 \times (2)^{10} \\ & = 100 \times 1024 \\ & = 102.400 \end{align} $
Jadi, akan ada 102.400 amoeba pada pengamatan pukul 09:10 $. \, \heartsuit $.

         Demikian pembahasan materi Fungsi Eksponen dan Penerapannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan grafik fungsi eksponen dan logaritma.

Rabu, 26 Oktober 2016

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat

         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari materi "sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat" yang melibatkan bentuk fungsi linear dan fungsi kuadrat, pada artikel ini akan kita lanjutkan pembahasan Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat yang melibatkan beberapa bentuk fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, sebaiknya teman-teman pelajari dulu cara menggambar grafik atau kurva fungsi kuadrat baik secara sketsa maupun dengan teknik menggeser.

         Sebenarnya materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat tidak jauh berbeda dengan materi sistem pertidaksamaan sebelumnya. Kita akan menekankan pada solusi sistem atau himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan yang kita sajikan dalam bentuk daerah arsiran yang biasa disebut DHP (daerah himpunan penyelesaian). Teknik untuk menentukan daerah arsirannya juga menggunakan uji sebarang titik pada bidang kartesius. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak penjelasannya berikut ini.

Menentukan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat
*). Penyelesaian Sistem Pertidaksamaannya
       Misalkan ada sistem pertidaksamaan kuadrt dan kuadrat :
$ \left\{ \begin{array}{c} a_1x^2 + b_1x + c_1y \leq d_1 \\ a_2x^2 + b_2x + c_2y \leq d_2 \end{array} \right. $
Yang namanya penyelesaian adalah semua himpunan $(x,y) \, $ yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jika nilai $ x \, $ dan $ y \, $ yang diminta adalah bilangan real, maka akan ada tak hingga solusinya yang bisa diwakili oleh suatu daerah arsiran yang memenuhi sistem pertidaksamaannya.

Langkah-langkah Menentukan daerah arsiran :
i). Gambar dulu grafik masing-masing fungsi.
ii). Tentukan daerah arsiran setiap pertidaksamaan yang sesuai dengan perminataan soal dengan cara uji sembarang titik.
iii). Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan adalah daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dengan cara mengiriskan setiap daerah arsiran setiap pertidaksamaan atau carilah daerah yang memuat arsiran terbanyak.

Contoh Soal :
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \geq x^2 + x - 6 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = x^2 + x - 6 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = x^2 + x - 6 \rightarrow (x-2)(x+3) = 0 \, $ $ \rightarrow x = 2 \vee x = -3 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = 0^2 + 0 - 6 \rightarrow y = -6 $.
Nilai $ a = 1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = x^2 + x - 6 \, $ maka grafik hadap ke atas (senyum).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \geq x^2 + x - 6 \\ 0 & \geq 0^2 + 0 - 6 \\ 0 & \geq -6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :

2). Tentukan Himpunan penyelesaian dari $ y \leq -x^2 + 1 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Kita gambar dulu grafik $ y = -x^2 + 1 $ :
menentukan titik potong sumbu-sumbu :
Sumbu X substitusi $ y = 0 \rightarrow 0 = -x^2 + 1 \rightarrow x^2 = 1 \rightarrow x = \pm \sqrt{1} \, $ $ \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $.
Sumbu Y substitusi $ x = 0 \rightarrow y = -0^2 + 1 \rightarrow y = 1 $.
Nilai $ a = -1 \, $ dari fungsi kuadrat $ y = -x^2 + 1 \, $ maka grafik hadap ke bawah (cemberut).
Substitusi titik uji yaitu $(0,0) \, $ :
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow y & \leq -x^2 + 1 \\ 0 & \leq -0^2 + 1 \\ 0 & \leq 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya daerah yang memuat titik (0,0) benar (solusi yang diminta), sehingga solusinya adalah daerah di dalam kurva parabola
*). Berikut himpunan penyelesaiannya :

3). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Karena ada dua pertidaksamaannya, maka kita harus menentukan daerah arsiran yang memenuhi keduanya yang nantinya akan menjadi himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan pada soal nomor 3 ini.
*). Berdasarkan jawaban soal nomor 1 dan nomor 2 di atas, maka daerah arisan yang diminta yang memenuhi keduanya yaitu :

Pada contoh soal berikutnya, kita akan coba modifikasi tanda ketaksamaannya $( \leq , \, \geq )$ untuk contoh soal nomor 3 di atas.

4). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \leq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.

5). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \geq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.


6). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq x^2 + x - 6 \\ y \geq -x^2 + 1 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari kedua pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan.

7). Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
              $ \left\{ \begin{array}{c} y \leq -x^2 + 4 \\ y \leq -x^2 + 2x + 3 \\ y \geq x^2 -x- 6 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan soal sistem pertidaksamaan nomor 7 ini, pertama teman-teman harus menggambar dulu masing-masing kurva parabolanya dan menentukan daerah arsirannya, kemudia terakhir kita iriskan ketiga daerah masing-masing yang terbentuk sehingga daerah hasil irisan inilah yang menjadi himpunan penyelesaiannya.
Untuk menggambar masing-masing kurva, kami silahkan untuk pembaca mencobanya sendiri, dan kami juga telah menyertakan gambar ketiga kurva beserta daerah arsirannya seperti gambar berikut ini.
Daerah penyelesaiannya adalah daerah irisan dari ketiga pertidaksamaan seperti gambar yang paling kanan bawah.

       Demikian pembahasan materi Sistem Pertidaksamaan Kuadrat dan Kuadrat dan contoh-contohnya. Silahkan juga baca materi lain yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan atau sistem persamaan.

Selasa, 18 Oktober 2016

Pembahasan Soal Trigonometri 1

         Blog Koma - Pada artikel kali ini kita akan membahas Pembahasan Soal Trigonometri 1. Soal Trigonometri ada banyak sekali, dan tentu tidak bagi kita untuk menyelesaikan soal-soalnya karena begitu banyaknya rumus yang dilibatkan. Salah satu soal trigonometri yang akan kita bahas berikut ini. Tentu untuk memudahkan dalam mempelajarinya, teman-teman harus menguasai materi trigonometri diantaranya "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" yang didalamnya juga ada identitas trigonometri, dan "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda ".

Soal Trigonometri 1
Diketahui nilai trigonometri $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $. Tentukan nilai dari $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} \, $ adalah ....

       Untuk menyelesaikan soal trigonometri 1 ini, kita akan menggunakan beberapa konsep trigonometri berikut ini.

Konsep Trigonometri yang digunakan
*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin A = \frac{de}{mi} \, $ dan $ \, \cos A = \frac{sa}{mi} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ atau $ \, \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A $
*). Sudut Rangkap :
$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $

Pembahasannya :
*). Pertama kita tentukan nilai $ \frac{\sin 2x}{\sin 2y} $ :
Kalikan bentuk $ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \, $ dan $ \, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2} $
Dan gunakan : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x \, $ dan $ \, \sin 2y = 2\sin y \cos y $
$\begin{align} \frac{\sin x}{\sin y} \times \frac{\cos x}{\cos y} & = 3 \times \frac{1}{2} \\ \frac{\sin x \cos x}{\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{\sin 2 x }{\sin 2y } & = \frac{3}{2} \end{align} $

*). Menentukan bentuk $ \sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x $ :
$ \frac{\sin x}{\sin y} = 3 \rightarrow \sin x = 3\sin y \, $ atau
$ \sin x = \frac{3\sin y}{1} = \frac{de}{mi} $
Sehingga panjang sampingnya $(sa) $ :
$ sa = \sqrt{(mi)^2 - (de)^2} = \sqrt{1^2 - (3\sin y)^2} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
gambar segitiganya :
Sehingga nilai $ \cos x $ :
$ \cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1 - 9\sin ^2 y }}{1} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } $
Kita peroleh :
$ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos x = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } \rightarrow \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $

*). Menentukan nilai $ \sin ^2 y \, $ dan $ \sin ^2 x $ :
$ \begin{align} \frac{\cos x}{\cos y} & =\frac{1}{2} \\ \cos y & = 2 \cos x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 y & = 4 \cos ^2 x \\ \cos ^2 y & = 4 (1 - 9\sin ^2 y) \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 y & = 4 - 36\sin ^2 y \\ 35 \sin ^2 y & = 3 \\ \sin ^2 y & = \frac{3}{35} \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin ^2 x $
$ \sin ^2 x = 9\sin ^2 y = 9 \times \frac{3}{35} = \frac{27}{35} $

*). Menentukan nilai $ \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} \, $ dengan sudut rangkap :
$ \begin{align} \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} & = \frac{1 - 2\sin ^2 x}{1 - 2\sin ^2 y} \\ & = \frac{1 - 2 \times \frac{27}{35} }{1 - 2 \times \frac{3}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \times \frac{35}{35} \\ & = \frac{35 - 54 }{ 35 - 6 } \\ & = \frac{-9}{ 29} \end{align} $

*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} & = \frac{3}{2} + \frac{-9}{ 29} \\ & = \frac{3 \times 29}{2 \times 29} + \frac{-9 \times 2}{ 29 \times 2 } \\ & = \frac{87}{58} + \frac{-18}{ 58 } \\ & = \frac{87 - 18}{58} \\ & = \frac{69}{58} \end{align} $

Jadi, nilai $ \begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} = \frac{69}{58} \end{align} $ .

Catatan :
Sebenarnya untuk menentukan bentuk $\sin ^2 x \, $ dan $ \cos ^2 x \, $ bisa juga tanpa menggunakan perbandingan segitiga siku-siku seperti di atas, yaitu cukup menggunakan identitas trigonometri saja.
Diketahui : $ \sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y $
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y $
Bentuk $ \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y \, $ sama dengan hasil cara di atas sebelumnya, namun cara ini lebih sederhana.

         Demikian Pembahasan Soal Trigonometri 1. Jika teman-teman memiliki pertanyaan tentang trigonometri, silahkan share di blog koma ini, kita akan bahas bersama-sama. Terima kasih, semoga pembahasan soal trigonometri ini bermanfaat.