Sisa Pinjaman pada Anuitas

         Blog Koma - Setelah kita melakukan pembayaran anuitas secara terus-menerus maka besarnya pinjaman yang akan kita kembalikan pasti juga akan berkurang sampai pada akhir periode menjadi lunas. Pada artikel ini kita akan membahas materi Sisa Pinjaman pada Anuitas. Jika S$_1$, S$_2$, S$_3$ .... S$_m \, $ berturut-turut merupakan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga .... ke-$m$, maka ada beberapa cara untuk menentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$. Ada empat cara yang akan kita bahas dalam menentukan besarnya sisa pinjaman setelah membayarkan anuitas pada periode tertentu.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi sisa pinjaman, sebaiknya teman-teman mempelajari dulu materi sebelumnya yaitu anuitas dan angsuran. Penghitungan sisa pinjaman sangat berkaitan dengan rumus-rumus pada anuitas dan angsuran.

Cara I : Sisa pinjaman berdasarkan besar Bunga
       Sisa pinjaman dapat dihitung sebagai berikut:
$ b_1 = i . M $
$ b_2 = i . S_1 $
$ b_3 = i . S_2 $
$ b_4 = i . S_3 $
........ ....
$ b_{m+1} = i . S_m $
Sehingga : $ \begin{align} S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \end{align} $

Keterangan :
$ s_m = \, $ sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$
$ b_{m+1} = \, $ besarnya bunga ke-$(m+1)$
$ i = \, $ suku bunga anuitas
Untuk bisa menggunakan cara I ini, kita akan melibatkan beberapa rumus yaitu :
Anuitas : $ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ \, A = a_n + b_n $
Angsuran : $ a_n = a_1(1 + i)^{n-1} $
bunga pertama : $ b_1 = i . M $

Contoh soal sisa pinjaman :
1). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan:
a. Besarnya anuitas!
b. Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 3\% = 0,003 \, $/bulan dan $ n = \, $ 2,5 tahun = 30 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,03}{1 - (1+0,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - (1,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - 0,411986759} \\ & = 510.192,59 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas yaitu Rp510.192,59 yang dibayarkan setiap bulannya.

b). Menentukan Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan ($S_{10}$) :
*). berdasarkan rumus $ S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \, $ maka $ s_{10} = \frac{b_{11}}{i} $, artinya kita harus menentukan besarnya $b_{11} $ (bunga periode ke-11).
*). untuk menentukan $ b_{11} \, $ kita butuh nilai $ a_{11} $ (angsuran ke-11) dengan rumus $ b_{11} = A - a_{11} $
*). Untuk menentukan besarnya $ a_{11} $ , kita butuh nilai $ a_1 $ dengan rumus $ a_{11} = a_{1} (1 + i)^{10}$.
*). Untuk menentukan $a_1 $ kita butuh nilai $ b_1 $ dengan rumus $ a_1 = A - b_1 $ dan $ b_1 = i.M $.

Kita hitung satu persatu semuanya :
Nilai $ b_1 $ :
$ b_1 = i . M = 0,03 \times 10.000.000 = 300.000 $ .
Nilai $ a_1 $ :
$ a_1 = A - b_1 = 510.192,59 - 300.000 = 210.192,59 $
Nilai $ a_{11} $ :
$ a_{11} = a_1(1+i)^{10} = 210.192,59 \times (1 + 0,03)^{10} = 282.481,26 $
Nilai $ b_{11} $
$ b_{11} = A - a_{11} = 510.192,59 - 282.481,26 = 227.711,33 $
Menentukan sisa pinjaman ($S_{10}$) :
$ S_{10} = \frac{b_{11}}{i} = \frac{227.711,33}{0,03} = 7.590.377,67 $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67.

Cara II : Menentukan sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = pokok pinjaman dikurangi jumlah $m$ angsuran yang sudah dibayar.
$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_m) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ...+ a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$.
Sebenarnya bentuk $ (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \, $ bisa dihitung dengan jumlah pada deret geometri.

Contoh soal :
2). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara II :
$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 10.000.000 - (210.192,59 + 210.192,59 \times 10,463879311 ) \\ & = 7.590.377,52 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67 (hampir sama dengan cara I).

Cara III Menghitung sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar yaitu dari $ a_{m+1} \, $ sampai angsuran $ a_n $ .
$ \begin{align} S_m & = (a_{m+1} + a_{m+2} + a_{m+3} + ...+ a_n) \\ & = (a_1+a_2 + ...+a_n) - (a_1 + a_2 + ... + a_m) \\ & = (a_1+a_1(1+i) + ...+a_1(1+i)^{n-1}) \\ & \, \, \, \, - (a_1 + a_1(1+i) + ... + a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] ) - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ & = a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \\ & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$ dan dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-1)$.


Contoh soal :
3). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = a_1(\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = 210.192,59 (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 210.192,59 \times (46,575415706 - 10,463879311) \\ & = 210.192,59 \times 36,111536395 \\ & = 7.590.377,36 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,36 (hampir sama dengan cara I).

Cara IV Menghitung sisa pinjaman
Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = nilai dari semua anuitas yang belum dibayar dihitung pada akhir tahun ke-$m$:
$ \begin{align} S_m & = \frac{A}{(1+i)} + \frac{A}{(1+i)^2} + \frac{A}{(1+i)^3} + ... + \frac{A}{(1+i)^{m-n}} \\ & = A[(1+i)^{-1} +(1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{n-m} ] \\ & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $
Sehingga besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-m)$ .

Contoh soal :
4). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $ n = 30 $
$ \begin{align} S_m & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-m)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30 - 10)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(20)} \\ & = 510.192,59 \times 14,877474860 \\ & = 7.590.377,43 \end{align} $
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,43 (hampir sama dengan cara I).

         Demikian pembahasan materi Sisa Pinjaman pada Anuitas beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan anuitas dan angsuran yaitu tabel pelunasan anuitas dan anuitas yang dibulatkan.

Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan

         Blog Koma - Misalkan kita akan membeli sesuatu dengan cara mencicil (mengangsur) melalui suatu lembaga keuangan seperti bank, berapakah besarnya cicilan yang harus kita bayarkan setiap bulannya? Setelah mencicil $ n $ kali, berapakah sisa pinjaman kita? Semua ini akan kita dibahas dalam materi Anuitas. Pada artikel ini kita akan membahas materi Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan.

         Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. Sehingga dapat kita tuliskan :
         Anuitas = angsuran + bunga atau $ A = a_n + b_n $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

         Dari rumus anuitas ini, artinya setiap kali pembayaran (sebesar A), kita membayarkan angsuran dan bunganya. Semakin lama pembayaran maka nilai angsuran semakin besar dan nilai bunganya semakin kecil. Ketika waktu pembayaran sudah selesai, maka kita juga sudah menutup semua hutang sebesar jumlah semua angsuran dan semua bunganya. Dari bentuk $ A = a_n + b_n \, $ , artinya $ A = a_1 + b_a = a_2 + b_2 = a_3 + b_3 = .... $

Menentukan Rumus Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
       Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku:
$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n - b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n - b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $
Sehingga dari rumus : $ a_{n+1} = a_n( 1 + i) \, $
$ \begin{align} a_2 & = a_1(1+i) \\ a_3 & = a_2(1+i) = a_1(1+i)(1+i) = a_1(1+i)^2 \\ a_4 & = a_3(1+i) = a_1(1+i)^2(1+i) = a_1(1+i)^3 \\ ... & \text{dan seterusnya} \\ a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \end{align} $
Kita peroleh rumus penghitungan besarnya angsuran yaitu :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $.

Catatan : Untuk mencari besarnya bunga pertama bisa menggunakan rumus :
$ b_1 = M . i $.

Rumus Menghitung Angsuran ke-$n$ ($a_n$)
Rumus angsuran ke-$n$ dapat dihitung dengan rumus :
$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Keterangan :
$a_n = \, $ angsuran ke-$n$
$a_k = \, $ angsuran ke-$k$
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga setiap periodenya

Contoh soal Anuitas dan Angsuran :
1). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya Anuitas Rp400.000.00, tentukan:
a). Besarnya angsuran pertama jika bunga pertama = Rp250.000,00!
b). Besarnya bunga ke-5 jika angsuran ke-5 adalah Rp315.000,00!

Penyelesaian :
*). Diketahui : anuitas (A) = 400.000
*). Rumus umum anuitas : $ A = a_n + b_n $
a). Menentukan $a_1 $ dengan $ b_1 = 250.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_1 + b_1 \\ a_1 & = A - b_1 \\ & = 400.000 - 250.000 \\ & = 150.000 \end{align} $
a). Menentukan $b_5 $ dengan $ a_5 = 315.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_5 + b_5 \\ b_5 & = A - a_5 \\ & = 400.000 - 315.000 \\ & = 85.000 \end{align} $

2). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Tentukan besarnya anuitas jika besarnya angsuran ke-6 dan bunga ke-6 masing-masing adalah Rp415.000,00 dan Rp85.000,00!

Penyelesaian :
*). Menentukan Anuitas dengan $a_6 = 415.000 \, $ dan $ b_6 = 85.000 $
$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_6 + b_6 \\ & = 415.000 + 85.000 \\ & = 500.000 \end{align} $

3). Suatu pinjaman Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan Rp500.000,00. Jika suku bunga 3%/ bulan, tentukan:
a. Besarnya bunga pertama dan angsuran pertama
b. Besarnya angsuran ke-9 dan bunga ke-9

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, A = 500.000, dan $ i = 3\% = 0,03 $ .
a). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,03 \\ & = 300.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 500.000 - 300.000 \\ & = 200.000 \end{align} $
b). Menentukan $ a_9 \, $ dan $ b_9 $
Angsuran ke-9 ($a_9$)
$ \begin{align} a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \\ a_9 & = a_1(1 + 0,03)^{9-1} \\ & = 200.000 \times (1,03)^{8} \\ & = 200.000 \times 1,266770081 \\ & = 253.354,02 \end{align} $
Bunga ke-9 ($b_9$)
$ \begin{align} b_9 & = A - a_9 \\ & = 500.000 - 253.354,02 \\ & = 246.645,98 \end{align} $


Menentukan Rumus Anuitas (A)
       Penjabaran rumus anuitas menggunakan konsep barisn dan deret geomteri. Misalkan seseorang meminjam uang sebesar M yang akan dilunasi dengan mencicil sebesar A setiap periodenya. Besarnya suku bunga $ i \% \, $ per periode, maka besarnya Anuitas (A) dengan mencicil $ n \, $ kali dapat dihitung dengan penjabaran rumus berikut ini :


Hubungan Anuitas dan angsuran pertama :
$ \begin{align} \frac{A}{a_1} & = \frac{M.i.(a+i)^n}{(1+i)^n - 1 } : \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} \\ \frac{A}{a_1} & = (1+i)^n \\ A & = a_1 (1+i)^n \end{align} $

Rumus Penghitungan Anuitas
       Pada Anuitas (A), dari penjabaran di atas kita peroleh :
$ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ a_1 = \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} $.

Menggunakan daftar anuitas :
$ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} = M . \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} = M \times \text{ daftar anuitas} $
dengan $ \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} = \, $ daftar anuitas kolom $i\%$ dan baris ke-$n$.

Hubungan Anuitas (A) dan angsuran pertama ($a_1$) :
$ A = a_1 \times (1+i)^n $

Contoh soal anuitas dan angsuran :
4). Tentukan nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $ dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,02}{1 - (1+0,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{1 - (1,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{0,378278512} \\ & = 264.355,49 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas yaitu Rp264.355,49. Artinya besar cicilan setiap bulannya adalah Rp264.355,49.

5). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan. Tentukan:
a. Anuitasnya
b. Bunga dan angsuran pertama

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $ i = 2,5\% = 0,025 \, $/bulan dan $ n = $ 3 tahun = 36 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,025}{1 - (1+0,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - (1,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - 0,411093723} \\ & = 424.515,77 \end{align} $

b). Menentukan $ b_1 \, $ dan $ a_1 $
Bunga pertama ($b_1$)
$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,025 \\ & = 250.000 \end{align} $
Angsuran pertama ($a_1$)
$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 424.515,77 - 250.000 \\ & = 174.515,77 \end{align} $

6). Wati bersama suaminya berencana mengambil rumah di VILLA INDAH dengan harga Rp250.000.000,00. Wati hanya memiliki uang muka Rp 100.000.000,00. Sisanya akan dicicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan:
a. Nilai anuitasnya
b. Cicilan setiap bulan

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000,
$ i = 18\% = 0,18 \, $/tahun dan $ n = $ 10 tahun.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{150.000.000 \times 0,18}{1 - (1+0,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{1 - (1,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{0,808935533} \\ & = 33.377.196,20 \end{align} $
Jadi, besarnya anuitas/ciclan setiap tahunnya adalah Rp33.377.196,20.

b). Menentukan besarnya cicilan per bulan :
Cicilan perbulan $ = \frac{ 33.377.196,20}{12} = 2.781.433,02 $
Jadi, cicilan setiap bulan adalah Rp2.781.433,02.

         Demikian pembahasan materi Anuitas dan Angsuran Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan matematika keuangan yaitu  penerapan anuitas pada obligasi, anuitas yang dibulatkantabel pelunasan anuitas dan sisa pinjaman anuitas.

Soal-soal Latihan tentang Rente

         Blog Koma - Setelah kita mempelajari materi "rente dalam matematika keuangan" dengan beberapa jenis rente dan rumusnya masing-masing, sudah saatnya untuk kita berlatih mengerjakan Soal-soal Latihan tentang Rente. Hal ini bertujuan agar kita semakin mengerti tentang konsep rente dan penggunaan rumus yang ada. Tentu soal-soal yang ada bervariasi tingkat kesulitannya. Semoga bisa menjadi bahan latihan baik untuk pemantapan materi atau untuk ulangan. Langsung saja, berikut soal-soal latihan tentang rente.

1). Tentukanlah nilai akhir dari rente pra numerando dengan angsuran Rp125.000,00 tiap semester selama 10 tahun dengan suku bunga 4,75%/semester!

2). Tentukanlah nilai akhir dari rente post numerando dengan angsuran Rp4.000.000,00 tiap tahun selama 15 tahun dengan suku bunga 11%/tahun!

3). Tentukanlah nilai akhir dari rente post numerando dengan angsuran Rp600.000,00 tiap semester selama 8 tahun dengan suku bunga 4,6%/semester!

4). Tentukan nilai tunai post numerando dari modal Rp150.000,00 tiap bulan selama 2,5 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan!

5). Nilai tunai dari rente kekal pra numerando adalah Rp20.350.000,00. Jika suku bunganya 1,75%/bulan, tentukanlah angsuran tiap bulannya!

6). Tutik mendapatkan tunjangan dari orang tua asuh dengan besarnya tetap tiap awal bulan sampai meninggal dunia. Namun, tunjangan akan diberikan sekaligus sebesar Rp20.450.000,00 dengan suku bunga 2,25%. Berapakah besar tunjangan setiap bulannya?

7). Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Damai mendapatkan sumbangan dari Badan Perdamaian Dunia sebesar Rp5.500.000,00 selama 4,5 tahun. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

8). Tentukanlah nilai akhir dari rente pra numerando dengan angsuran Rp300.000,00 tiap bulan selama 4 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

9). Tentukan nilai tunai post numerando dari modal Rp150.000.00 selama 1,5 tahun dengan suku bunga 3,5%/bulan!

10). Tentukanlah nilai tunai rente kekal pra numerando dari suatu modal Rp125.000,00 tiap bulan dengan suku bunga 1,25%/bulan!

11). Nilai tunai rente kekal post numerando adalah Rp10.000.000,00. Jika angsurannya tiap bulan Rp200.000,00, tentukanlah suku bunganya!

12). Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulan dari Yayasan Super Semar sebesar Rp350.000,00 selama 3 tahun 7 bulan. Jika beasiswa akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 3,25%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

13). Setiap awal tahun Azzam menyimpan uang di Bank BRI sebesar Rp1.500.000,00. Jika bank memberikan bunga 8,5%/tahun, tentukan jumlah simpanan Azzam setelah menabung 20 tahun!

14). Setiap akhir tahun Yayasan ABC akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia sebesar Rp3.250.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 10%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yang diterima yayasan ABC tersebut!

15). Setiap akhir bulan Susan menyimpan uangnya di bank Rp225.000,00 selam 5 tahun. Jika Bank memberikan suku bunga 0,75%/bulan, tentukan simpanan total Susan di Bank tersebut!


16). Nilai tunai rente kekal post numerando adalah Rp5.000.000,00. Jika angsurannya tiap bulan Rp300.000,00, tentukanlah suku bunganya.

17). Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap akhir bulan dari Yayasan Super Semar sebesar Rp50.000,00 selam 2 tahun 3 bulan. Jika beasiswa akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 1,25%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

18). Setiap awal bulan Sisca menyimpan uangnya di bank Rp 75.000,00 selama 4,5 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 0,75%/bulan, tentukan simpanan total Sisca di bank tersebut!

19). Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp650.000,00 bank memberikan bunga 1.8 %/ bulan selama 2 tahun. Tentukan simpanan total karyawan tersebut!

20). Nilai akhir rente pra numerando dari suatu modal yang diberikan setiap bulan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5% adalah Rp21.144.221,26. Tentukan besarnya modal yang diberikan tiap bulannya!

21). Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp650.000,00 bank memberikan bunga 1,8%/bulan selama 2 tahun. Tentukan simpanan total karyawan tersebut!

22). Setiap awal tahun Yayasan Khartika akan mendapatkan sumbangan dari luar negeri sebesar Rp2.250.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yang diterima yayasan tersebut!

23). Tiap awal bulan Yayasan Keadilan Sejahtera mendapatkan sumbangan dari negara Saudi Arabia sebesar Rp7.500.000,00 selama 5 tahun. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 1,75%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

24). Tutik mendapatkan tunjangan dari orang tua asuh dengan besarnya tetap tiap awal bulan sampai meninggal dunia. Namun, tunjangan akan diberikan sekaligus sebesar Rp18.450.000,00 dengan suku bunga 2,5%/bulan. Berapakah besar tunjangan setiap bulannya?

25). Setiap awal tahun Nissa menyimpan uang di Bank BRI sebesar Rp 475.000,00 Jika bank memberikan bunga 7,5%/tahun, tentukan jumlah simpanan Nissa setelah menabung 25 tahun!

Sumber : buku Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

         Demikian kumpulan Soal-soal Latihan tentang Rente. Selamat mengerjakan. Semoga soal-soal latihan ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Rente Dalam Matematika Keuangan

         Blog Koma - Andaikan kita menyimpan sejumlah uang setiap awal bulan di bank dengan jumlah yang sama, dan bank memberikan bunga terhadap simpanan kita. Setelah sekian bulan kita akan menghitung jumlah tabungan yang telah tersimpan. Semisal juga bank tidak membebani biaya administrasi, dapatkah kita menghitung jumlah keseluruhan simpanan uang anda? Untuk menghitung jumlah tabungan dari ilustrasi di atas. dibutuhkan ilmu tentang Rente. Pada artikel ini kita akan membahas Rente Dalam Matematika Keuangan.

         Pengertian Rente: Rente adalah sederetan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya.
Ada beberapa macam rente yaitu :
a). Rente berdasarkan saat pembayaran angsuran terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Pra Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di awal periode.
$\clubsuit \, $ Rente Post Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di akhir periode.
b). Rente berdasarkan banyaknya angsuran terdiri dari:
$\spadesuit \, $ Rente Terbatas adalah rente yang jumlah angsurannya terbatas.
$\spadesuit \, $ Rente Kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas.
c). Rente berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama terdiri dari:
$\clubsuit \, $ Rente Langsung adalah rente yang pembayaran pertamanya langsung sesuai perjanjian.
$\clubsuit \, $ Rente yang ditangguhkan adalah rente yang pembayaran pertamanya ditangguhkan beberapa periode.

         Pada materi Rente Dalam Matematika Keuangan ini, kita akan menghitung besarnya nilai akhir (NA) dan nilai tunai (NT). Sehingga penting bagi teman-teman untuk menguasai terlebih dahulu materi "nilai tunai dan nilai akhir". Dan satu lagi yang perlu kita pahami yaitu penghitungan rente menggunakan konsep "bunga majemuk".

Nilai Akhir Rente Pra numerando
       Rente Pra Numerando adalah Rente yang dibayarkan di awal periode, sehingga angsuran terakhir sudah mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai akhir (NA) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NA = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M . \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.

Contoh soal Nilai Akhir Rente Pra numerando :
1). Setiap awal bulan Wildan menyimpan uang di Bank Makmur sebesar Rp100.000,00. Jika bank memberikan bunga 6%/bulan, tentukan uang Wildan setelah menabung 20 bulan (Seluruh uangnya diambil di akhir bulan ke-20)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 100.000, $ i = 6\% = 0,06 \, $/bulan, dan $ n = 20 $.
*). Menentukan nilai akhir (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{100.000 \times (1+0,06)[(1+0,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{100.000 \times (1 ,06)[(1 ,06)^{20}-1]}{0,06} \\ & = \frac{106.000 \times [2,207135472]}{0,06} \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $
Jadi, total uang Wildan ketika diambil diakhir bulan ke-20 adalah Rp3.899.272,67.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M \times \displaystyle \sum_{k=1}^n (1+i)^k \\ & = M \times \text{ kolom 6% dan baris 20} \\ & = 100.000 \times 38,99272668 \\ & = 3.899.272,67 \end{align} $

Nilai Akhir Rente Post numerando
       Rente Pra Numerando adalah Rente yang dibayarkan di akhir periode, sehingga angsuran terakhir tidak mengalami pembungaan satu periode. Misalkan kita menabung setiap akhir periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai akhir (NA) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NA = \frac{M[(1+i)^n-1]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NA = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.


Contoh soal Nilai Akhir Rente Post numerando :
2). Setiap akhir bulan Wulan menyimpan uang di bank Rp500.000,00 selam 2 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 1.5%/bulan, tentukan simpanan total Wulan di bank tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 500.000, $ i = 1,5\% = 0,015 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan.
*). Menentukan nilai akhir (NA) :
$ \begin{align} NA & = \frac{M(1+i)[(1+i)^n-1]}{i} \\ & = \frac{500.000 \times [(1+0,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times [(1 ,015)^{24}-1]}{0,015} \\ & = \frac{500.000 \times 0,429502811}{0,015} \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $
Jadi, total uang Wulan ketika diambil diakhir bulan ke-24 adalah Rp14.316.760,40.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M \times \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^k \\ & = M+ M \times \text{ kolom 1,5% dan baris (24-1) = 23} \\ & = 500.000 + 500.000 \times 27,63352080 \\ & = 14.316.760,40 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Pra numerando
       Nilai tunai rente Pra numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah nilai angsuran itu sendiri, yaitu M. Misalkan kita menabung setiap awal periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$(n-1)$.

Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
3). Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulan dari PT SUKSES ABADI sebesar Rp250.000,00 selama 3 tahun. Jika pemberian itu akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 2%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 250.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M(1+i)[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{250.000 \times (1+0,02)[1 - (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{250.000 \times (1 ,02)[1 - (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times [1 - 0,49022315]}{0,02} \\ & = \frac{255.000 \times 0,50977685 }{0,02} \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $
Jadi, siswa tersebut menerima seluruh beasiswanya diawal sebesar Rp6.499.654,83.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M + M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+i)^{-k} \\ & = M + M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 - 1 = 35} \\ & = 250.000 + 250.000 \times 24,99861933 \\ & = 250.000 + 6249654,83 \\ & = 6.499.654,83 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Post numerando
       Nilai tunai rente Post numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Misalkan kita menabung setiap akhir periode dengan besar yang sama yaitu M dengan suku bunga $ i $ setiap periode, maka nilai tunai (NT) besarnya tabungan sampai diakhir periode ke-$n$ adalah :
              $ \begin{align} NT = \frac{M[1 - (1+i)^{-n}]}{i} \end{align} $

Atau menggunakan daftar nilai rente dengan rumus :
$ \begin{align} NT = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \end{align} $
dimana nilai $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \, $ dapat diperoleh dari daftar nilai rente yaitu nilai pada tabel kolom ke-$i $ dan baris ke-$n$.


Contoh soal Nilai Tunai Rente Pra numerando :
4). Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Sejahtera mendapatkan sumbangan dari Badan Kemakmuran Dunia sebesar Rp5.000.000,00 selama 3 tahun berturut-turut. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus di awal dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $/bulan, dan $ n = \, $ 3 tahun = 36 bulan.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M [1 - (1+i)^{-n}]}{i} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - (1+0,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - (1 ,02)^{-36}]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times [1 - 0,552070889]}{0,02} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,447929111}{0,02} \\ & = 111.982.277,80 \end{align} $
Jadi, yayasan akan menerima total uang sejumlah Rp111.982.277,80 di awal sehingga tidak perlu menunggu tiga tahun lagi.

*). Jika menggunakan daftar tabel rente, maka :
$ \begin{align} NA & = M . \displaystyle \sum_{k=1}^{n } (1+i)^{-k} \\ & = M \times \text{ kolom 2% dan baris 36 } \\ & = 5.000.000 \times 2296455551 \\ & = 111.982.277,80 \end{align} $

Nilai Tunai Rente Kekal
       Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas. Nilai akhir rente merupakan deret geometri naik. Oleh karena itu rente kekal tidak ada nilai akhirnya. Nilai tunai rente merupakan deret geometri turun, sehingga nilai tunai rente kekal memiliki nilai (konvergen).

a). Nilai Tunai Rente Kekal Pra Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M(1+i)}{i} \end{align} \, $ atau $ \, \begin{align} NT = \frac{M }{i} + M \end{align} $

a). Nilai Tunai Rente Kekal Post Numerando
       $ \begin{align} NT = \frac{M}{i} \end{align} $

Contoh soal rente kekal :
5). Setiap awal bulan, Budi akan mendapatkan beasiswa dari PT ABC sebesar Rp175.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. PT. ABC tak mau repot. Oleh karena itu, beasiswa akan diberikan sekaligus namun harus dikenai bunga sebesar 1%/ bulan. Tentukan beasiswa total yg diterima Budi!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 175.000, $ i = 1\% = 0,01 \, $/bulan, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente kekal pra numerando karena penerimaannya di awal.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} + M \\ & = \frac{175.000 }{0,01} + 175.000 \\ & = 17.500.000 + 175.000 \\ & = 17.675.000 \end{align} $
Jadi, total beasiswa yang diterima oleh budi di awal adalah Rp17.675.000,00.

6). Setiap akhir tahun yayasan A akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia Sebesar Rp3.500.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 17,5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yg diterima yayasan A tersebut!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.500.000, $ i = 17,5\% = 0,175 \, $/tahun, dan $ n = \, $ tak terbatas.
*). Karena waktunya tak terbatas, maka termasuk rente kekal. Dan termasuk rente kekal post numerando karena penerimaannya di akhir setiap periode.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{M }{i} \\ & = \frac{3.500.000 }{0,175} \\ & = 20.000.000 \end{align} $
Jadi, yayasan A akan menerima total sumbangan sebesar Rp20.000.000,00.

Catatan :
Untuk rumus-rumus yang ada di atas, tentu kurang lengkap rasanya kalau kita tidak mengetahui asal-usul rumus tersebut. Sehingga pada artikel berikutnya akan kami share pembuktian rumus rente. Silahkan baca artikelnya dengan judul "Pembuktian Rumus Rente dalam Matematika Keuangan".

         Demikian pembahasan materi Rente Dalam Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Untuk materi berikutnya, silahkan pelajari yang masih terkait dengan matematika keuangan yaitu anuitas.

Materi Matematika Keuangan

         Blog Koma - Materi Matematika keuangan adalah salah satu materi pelajaran peminatan di tingkat SMA kurikulum 2013 yang dipelajari kelas 12. Sebenarnya materi matematika keuangan telah dipelajari oleh siswa/siswi tingkat SMK. Dengan mempelajari matematika keuangan diharapkan kita mampu memahami masalah kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan keuangan, misalkan masalah bunga pinjaman dan simpanan di Bank (bunga majemuk atau bunga tunggal), rente, cicilan kredit rumah (konsep anuitas), obligasi, dan masalah keuangan lainnya.

         Untuk memudahkan dalam mempelajari materi matematika keuangan, sebaiknya teman-teman pelajari terlebih dahulu materi "barisan dan deret aritmatika", "barisan dan deret geometri", "bunga majemuk", serta "nilai tunai dan nilai akhir".

         Pada materi matematika keuangan yang akan kita bahas yaitu bunga tunggal, bunga majemuk, rente, anuitas, angsuran, penerapan anuitas pada obligasi, dan penyusutan. Untuk materi bunga tunggal dan bunga majemuk sudah kita pelajari sebelumnya pada artikel "bunga, pertumbuhan, dan peluruhan" yang merupakan matematika wajib, sehingga tidak kita bahas lagi di sini. Untuk mempelajari materi matematika keuangan yang akan kita bahas, silahkan langsung ikuti link-nya di bawah ini.


Cakupan Materi Matematika Keuangan
       Berikut submateri yang akan kita pelajari dalam matematika keuangan yaitu :
1). Rente
2). Anuitas dan angsuran
3). Penerapan Anuitas pada Obligasi
4). Penyusutan.

         Demikian materi matematika keuangan secara umum yang akan kita bahas. Penyusunan kelima submateri di atas akan kita lengkapi secara berkala, jadi mohon untuk bersabar. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Peluruhan dalam Matematika

         Blog Koma - Apa sih yang dimaksud dengan peluruhan khususnya dalam matematika? Sebenarnya peluruhan dalam matematika konsepnya mirip dengan "pertumbuhan dalam matematika" yang telah kita bahas sebelumnya, bedanya adalah untuk pertumbuhan semakin meningkat setipa periode berikutnya, sedangkan peluruhan akan selalu menurun setiap periode berikutnya. Dapat kita simpulkan, Peluruhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin menurun jumlahnya (semakin sedikit) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Penurunan pada peluruhan dalam matematika biasanya mengikuti pola tertentu yaitu "barisan dan deret aritmatika" atau "barisan dan deret geometri".

       Bagaimana dengan peluruhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk peluruhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan peluruhan suatu objek suatu tempat setiap tahunnya menurun sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %) dari periode sebelumnya, dan banyak objek di awal sebanyak $ A_0 \, $ serta banyak objek setelah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
setelah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 - i \times A_0 = A_0(1 - i) $
setelah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 - i \times A_1 = A_1(1 - i) = A_0(1 - i)(1-i) = A_0(1-i)^2 $
setelah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 - i \times A_2 = A_2(1 - i) = A_0(1 - i)^2(1-i) = A_0(1-i)^3 $
dan seterusnya sampai
setelah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} - i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 - i) = A_0(1 - i)^{n-1}(1-i) = A_0(1-i)^n $

Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 - i)^n \, $ sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 - i $. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus peluruhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan peluruhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1-i)^1 = A_0(1-i) $.

Rumus Peluruhan dalam Matematika
       Adapaun rumus peluruhan setelah tahun ke-$n$ yaitu :
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1-i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ 0 < r < 1 $

Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah objek diawal
$A_n = \, $ jumlah objek setelah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase penurunan/peluruhan
$r = \, $ kelipatan penurunan/peluruhan (rasio)


Contoh soal pertumbuhan :
1). Sebuah industri rumah tangga yang baru beroperasi tahun 2012 membeli mesin produksi seharga Rp100.000.000. Dengan berjalannya proses produksi, maka harga mesin menurun 1% setiap tahun. Tentukan
a. Harga mesin pada tahun ke-2014.
b. Harga mesin pada tahun ke-2020.

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
a). Menentukan harga mesin pada tahun 2014 :
Tahun 2014 artinya dua tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 2 $
atau $ n = 2014 - 2012 = 2 $
harga mesin tahun 2014 = $ A_2 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_2 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^2 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^2 \\ & = 100.000.000 \times ( 0,9801) \\ & = 98.010.000 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2014 adalah Rp98.010.000,00.
b). Menentukan harga mesin pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 8 tahun setelah tahun 2012, sehingga $ n = 8 $
atau $ n = 2020 - 2012 = 8 $
harga mesin tahun 2020 = $ A_8 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_8 & = 100.000.000 \times (1-0,01)^8 \\ & = 100.000.000 \times (0,99)^8 \\ & = 100.000.000 \times ( 0, 922744694) \\ & = 92.274.469,40 \end{align} $
Jadi, harga mesin tahun 2020 adalah Rp92.274.469,40.

2). Ketika sedang memeriksa seorang bayi yang menderita infeksi telinga, dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 4 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 12 jam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000.000 \, $ dan $ i = 5\% = 0,05 $
peluruhan terjadi setiap 4 jam, sehingga selama 12 jam terjadi 3 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{12}{4} = 3 $.
*). Menentukan banyak bakteri setelah 12 jam ($A_{3}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_3 & = 1.000.000 \times (1-0,05)^3 \\ & = 1.000.000 \times (0,95)^3 \\ & = 1 .000.000 \times ( 0, 857375) \\ & = 857.375 \end{align} $
Jadi, banyak bakteri setelah 12 jam adalah 857.375 bakteri.

3). Suatu bahan radioaktif yang semula berukuran 100 gram mengalami rekasi kimia sehingga ukurannya menyusut 10% dari ukuran sebelumnya setiap 12 jam. Tentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100 \, $ dan $ i = 10\% = 0,1 $
peluruhan terjadi setiap 12 jam, sehingga selama 2 hari = 48 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{48}{12} = 4 $.
*). Menentukan ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(1-i)^n \\ A_4 & = 100 \times (1-0,1)^4 \\ & = 100 \times (0,9 )^4 \\ & = 100 \times (0,6561) \\ & = 65,61 \end{align} $
Jadi, ukuran bahan radioaktif tersebut setelah 2 hari adalah 65,61 gram.

4). Seekor sapi terinveksi suatu virus yang mematikan. Setelah dilakukan pemeriksaan oleh dokter hewan, ternyata terdapat 1000 virus didalam tubuh sapi tersebut. Agar bisa menyelamatkan sapi tersebut, dokter menyuntikkan obat yang mampu membunuh sepertiga dari virus yang ada setiap 2 jam. Tentukan sisa virus setelah 8 jam?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1000 \, $ dan $ r = \frac{1}{3} $
peluruhan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 8 jam terjadi 4 kali peluruhan.
atau $ n = \frac{8}{2} = 4 $.
*). Menentukan sisa virus setelah 8 jam ($A_{4}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_4 & = 1000 \times (\frac{1}{3})^4 \\ & = 1000 \times \frac{1}{81} \\ & = 12,345679012 \\ & = 13 \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, sisa virus setelah 8 jam adalah 13 virus.

         Demikian pembahasan materi Peluruhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga pembahasan soal-soal bunga, pertumbuhan dan peluruhan yang ada di buku kurikulum 2013.

Pertumbuhan dalam Matematika

         Blog Koma - Apa sih yang dimaksud dengan pertumbuhan khususnya dalam matematika? Baik, secara garis besar, Pertumbuhan dalam Matematika adalah perubahan secara kuantitas (jumlah) suatu objek (baik benda mati maupun benda hidup) yang semakin lama semakin meningkat (semakin banyak) dari periode pertama, periode kedua, dan seterusnya dalam rentang waktu tertentu. Pertumbuhan yang akan dibahas lebih banyak pada pertumbuhan mahluk hidup seperti pertumbuhan pada manusia, bakteri, dan lainnya. Peningkatan yang terjadi pada Pertumbuhan dalam Matematika mengikuti pola atau aturan tertentu yang biasanya sesuai dengan barisan atau deret aritmatika dan barisan atau deret geometri. Untuk memudahkan mempelajari materi pertumbuhan ini, sebaiknya teman-teman kuasai dulu materi "barisan dan deret aritmatika" dan "barisan dan deret geometri".

         Adapun Ilustrasi pertumbuhan misalnya terjadi pada model multilevel marketing dimana setiap anggota harus merekrut dua anggota. Misalkan seseorang berhasil merekrut dua anggota, maka kedua anggota tersebut berada pada tingkat 1. Selanjutnya jika kedua anggota pada tingkat 1 masing-masing berhasil merekrut dua anggota, maka keempat anggota dari tingkat 1 berada pada tingkat 2 dan anggota yang Anda memiliki sebanyak 6 orang. Selanjutnya, jika keempat anggota pada level 2 masing-masing merekrut 2 anggota, maka anggota pada tingkat 3 sebanyak 8 orang dan anggota Anda mencapai 14 orang. Tentunya Anda bisa menghitung banyak anggota yang Anda miliki jika tingkat Anda semakin tinggi.

         Adapun Ilustrasi lain pertumbuhan misalkan terjadi pada pembelahan bakteri, dimana satu bakteri dapat membelah menjadi dua bakteri dan untuk membelah diri dibutuhkan waktu 1 jam. Dengan kata lain dari satu bakteri setelah 1 jam akan diperoleh dua bakteri. Selanjutnya, jika setiap bakteri dapat membelah diri menjadi dua bakteri baru, maka setelah 2 jam akan diperoleh empat bakteri, dan seterusnya.

Rumus pada Barisan dan deret aritmatika serta geometri
       Untuk mengingatkan kembali, kami akan mereview sedikit rumus suku ke-$n$ dan jumlah $ n $ suku pertama ($s_n$) barisan dan deret artimatika serta geometri :
*). Barisan dan deret aritmatika,
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
*). Barisan dan deret geometri,
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ \, s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $

Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama.
$ b = \, $ beda = $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = ...= u_n - u_{n-1}$ .
$ r = \, $ rasio = $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}} $ .

Contoh soal pertumbuhan dalam matematika :
1). Sebuah penitipan kucing peliharaan mengalami peningkatan penitipan ketika mendekati hari raya besar yang terjadi biasanya 10 hari sebelum hari H. Jika peningkatan setiap harinya selalu tetap, diketahui pada hari kedua ada 4 kucing yang dititipkan oleh pelanggan dan pada hari keenam ada 16 kucing yang dititipkan, maka tentukan :
a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh.
b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari.

Penyelesaian :
*). Karena peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan pada kasus ini mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika.
*). Diketahui : $ u_2 = 4 \, $ dan $ u_6 = 16 $.
*). Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b \, $
$ u_2 = 4 \rightarrow a + b = 4 \, $ ....pers(i)
$ u_6 = 16 \rightarrow a + 5b = 16 \, $ ....pers(ii)
Eleiminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 5b = 16 & \\ a + b = 4 & - \\ \hline 4b = 12 & \\ b = 3 & \end{array} $
pers(i) : $ a + b = 4 \rightarrow a + 3 = 4 \rightarrow a = 1 $.
*). Menyelesaikan soal :
a). banyak kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh ($u_{10}$).
$ u_{10} = a + 9b = 1 + 9 \times 3 = 1 + 27 = 28 \, $ ekor kucing.

b). banyak kucing perhari yang dititipkan setiap harinya.
hari pertama = 1 ,
hari kedua = 1 + 3 = 4 ekor kucing,
hari ke-3 = 4 + 3 = 7 ekor kucing,
hari ke-4 = 7 + 3 = 10 ekor kucing,
hari ke-5 = 10 + 3 = 13 ekor kucing,
hari ke-6 = 13 + 3 = 16 ekor kucing,
hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing,
hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing,
hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing,
hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing.

c). jumlah total kucing yang dititipkan selama 10 hari ($s_{10}$).
$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{10} & = \frac{10}{2}(2a + (10-1)b) \\ & = 5(2a + (9)b) \\ & = 5(2 \times 1 + 9 \times 3) \\ & = 5(2 + 27) \\ & = 5 \times (29) \\ & = 145 \end{align} $
Artinya selama 10 hari pertama ada 145 ekor kucing yang dititipkan pelanggan ke penitipan kucing tersebut.


       Bagaimana dengan pertumbuhan yang melibatkan persentase atau kelipatan tertentu dari periode sebelumnya? bentuk pertumbuhan ini biasanya menggunakan pola atau barisan geometri. Misalkan pertumbuhan penduduk suatu tempat setiap tahunnya meningkat sebesar $ i \, $ (dimana $i$ dalam %), dan banyak penduduk di awal sebanyak $ A_0 \, $ serta banyak penduduk setelah $ n \, $ tahun kita misalkan $ A_n $ , maka dapat kita susun model perhitungan setiap periodenya sebagai berikut ini:
setelah tahun pertama ($A_1$):
$ A_1 = A_0 + i \times A_0 = A_0(1 + i) $
setelah tahun kedua ($A_2$):
$ A_2 = A_1 + i \times A_1 = A_1(1 + i) = A_0(1 + i)(1+i) = A_0(1+i)^2 $
setelah tahun ke-3 ($A_3$):
$ A_3 = A_2 + i \times A_2 = A_2(1 + i) = A_0(1 + i)^2(1+i) = A_0(1+i)^3 $
dan seterusnya sampai
setelah tahun ke-$n$ ($A_n$):
$ A_n = A_{n-1} + i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 + i) = A_0(1 + i)^{n-1}(1+i) = A_0(1+i)^n $

Dari bentuk $ A_n = A_0 (1 + i)^n \, $ sebenarnya mirip dengan barisan geometri yaitu $ u_n = ar^{n-1} \, $ dengan $ r = 1 + i $. Nah untuk pangkatnya kenapa berbeda? hal ini terjadi karena pada kasus pertumbuhan kita langsung menghitung dari suku kedua (setelah tahun pertama), yang sebenarnya sama saja yaitu :
suku kedua pada barisan geometri = $ ar^{2-1} = ar^1 = ar \, $ dan pertumbuhan setelah tahun pertama (sama dengan suku kedua atau tahun kedua) = $ A_0(1+i)^1 = A_0(1+i) $.

Rumus Pertumbuhan dalam Matematika
       Adapaun rumus pertumbuhan setelah tahun ke-$n$ yaitu :
*). Jika diketahui persentase ($i$) :
$ A_n = A_0(1+i)^n $
*). Jika diketahui kelipatannya langsung (rasio) :
$A_n = A_0(r)^n $.
dengan $ r > 1 $

Keterangan :
$A_0 = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya diawal
$A_n = \, $ jumlah penduduk/objek lainnya setelah tahun ke-$n$ atau periode ke-$n$
$i = \, $ persentase kenaikannya/pertumbuhannya
$r = \, $ kelipatan kenaikannya/pertumbuhannya (rasio)

Contoh soal pertumbuhan :
2). Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020?

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 100.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $
*). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2010 :
Tahun 2010 artinya satu tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 1 $
atau $ n = 2010 - 2009 = 1 $
banyak penduduk tahun 2010 = $ A_1 $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_1 & = 100.000 \times (1+0,01)^1 \\ & = 100.000 \times (1 ,01) \\ & = 101.000 \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2010 adalah 101.000 jiwa.
*). Menentukan banyak penduduk pada tahun 2020 :
Tahun 2020 artinya 11 tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 11 $
atau $ n = 2020 - 2009 = 11 $
banyak penduduk tahun 2020 = $ A_{11} $
$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_{11} & = 100.000 \times (1+0,01)^{11} \\ & = 100.000 \times (1 ,01)^{11} \\ & = 100.000 \times 1,115668347 \\ & = 111.566,8347 \\ & = 111.567 \, \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $
Jadi, jumlah penduduk tahun 2020 adalah 111.567 jiwa.

3). Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menujukkan bahwa satu bakteri dapat membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui bahwa pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukan banyak bakteri setelah 20 jam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $A_0 = 1.000 \, $ dan $ r = 2 $
Pembelahan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 20 jam terjadi 10 kali pembelahan.
atau $ n = \frac{20}{2} = 10 $.
*). Menentukan banyak bakteri setelah 20 jam ($A_{10}$) :
$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_{10} & = 1 .000 \times (2)^{10} \\ & = 1 .000 \times 1.024 \\ & = 1.024.000 \end{align} $
Jadi, ada 1.024.000 bakteri setelah 20 jam.

         Demikian pembahasan materi Pertumbuhan dalam Matematika beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan Peluruhan dalam Matematika. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih.

Diskonto dalam Matematika Keuangan

         Blog Koma - Setelah mempelajari materi bunga tunggal, kita lanjutkan pembahasan berikutnya yaitu Diskonto dalam Matematika Keuangan. Diskonto adalah bunga yang dibayarkan oleh peminjam pada saat menerima pinjaman. Proses perhitungan diskonto menggunakan sistem bunga tunggal, sehingga untuk menghitung besarnya diskonto hampir sama dengan perhitungan besarnya bunga tunggal jika besarnya pinjaman dan % diskonto diketahui. Besarnya nilai pinjaman pada sistem diskonto nilainya sama dengan jumlah modal yang harus dibayar saat jatuh tempo.

         Perhatikan ilustrasi berikut ini: Misalkan seorang meminjam Rp100.000,00 dengan diskonto 2% tiap bulan, maka diskontonya = 2% $\times$ Rp100.000,00 tiap bulan = Rp2.000,00. Jika pinjaman akan dikembalikan 1 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 - Rp2.000,00 = Rp98.000,00 dan 1 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00. Nilai Rp100.000 kita sebut sebagai nilai akhir (NA) dan nilai yang diterima di awal yaitu Rp98.000 kita sebut sebagai nilai tunai (NT). Jika pinjaman akan dikembalikan 3 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 - 3 $\times$ Rp2.000,00 = Rp94.000,00 (NT) dan 3 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00 (NA).

Rumus menentukan Diskonto dari NA dan NT
       Misalkan seseorang meminjam uang sebesar NA (yang akan dikembalikan diakhir periode peminjaman), suku bunga $ i $ per periode selama $ n $ periode, dan akan menerima sebesar NT, maka besarnya diskonto (D) dapat ditentukan dengan rumus :
$ \begin{align} D = NA - NT \end{align} \, $ sehingga $ \, \begin{align} NT = NA - D \end{align} $

*). Menentukan besarnya D jika diketahui NA :
$ D = n \times i \times NA $

*). Menentukan besarnya D jika diketahui NT :
$ D = \frac{p}{100-p} \times NT $,
dengan suku bunga total periode $ \, = p\% $.

Keterangan :
NA = nilai akhir (besar yang harus dikembalikan)
NT = nilai tunai (besar yang diterima di awal)
D = diskonto (bunga yang dibayarkan di awal)
$ i = \, $ suku bunga tunggal
$ n = \, $ lama waktu peminjaman.

Catatan :
*). Satuan $ i $ dan $ n \, $ harus sama.
*). Perhitungan nilai diskonto sama dengan menghitung besarnya bunga pada bunga tunggal.

Contoh soal Diskonto :
1). Pinjaman sebesar Rp2.000.000,00 dengan sistem diskonto 3%/bulan dan akan dikembalikan setelah 5 bulan. Tentukan:
a. Nilai diskonto
b. Modal yang diterima peminjam (NT)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 2.000.000, $ i = 3\% = \frac{3}{100} \, $ /bulan, dan $ n = 5 \, $ bulan.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = n \times i \times NA = 5 \times \frac{3}{100} \times 2.000.000 = 300.000 $.

b). Menentukan modal yang diterima peminjam/nilai tunai.
$ NT = NA - D = 2.000.000 - 300.000 = 1.700.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp300.000,00 dan besarnya nilai tunai adalah Rp1.700.000,00. Dimana setelah 5 bulan sipeminjam akan mengembalikan uang pinjamannya sebesar Rp2.000.000,00.

2). Pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 dengan sistem diskonto 18%/tahun dan akan dikembalikan setelah 9 bulan. Tentukan:
a. Nilai diskonto
b. Modal yang diterima peminjam!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 5.000.000, $ i = 18\% = \frac{18}{100} \, $ /tahun,
dan $ n = 9 \, $ bulan = $ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \, $ tahun.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = n \times i \times NA = \frac{3}{4} \times \frac{18}{100} \times 5.000.000 = 675.000 $.

b). Menentukan modal yang diterima peminjam/nilai tunai.
$ NT = NA - D = 5.000.000 - 675.000 = 4.325.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp675.000,00 dan besarnya nilai tunai adalah Rp4.325.000,00.

3). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 14%/tahun dan akan dikembalikan dalam waktu 1.5 tahun. Jika modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.135.000,00. Tentukan:
a. Nilai diskonto
b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo (NA)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NT = 5.135.000 dan $ n = 1,5 \, $ tahun.
total suku bunga, $ 14\% \times 1,5 = 21\% \, $ artinya $ p\% = 21\% $ , sehingga $ p = 21 $.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = \frac{p}{100-p} \times NT = \frac{21}{100-21} \times 5.135.000 = \frac{21}{79} \times 5.135.000 = 1.365.000 $.

b). Menentukan pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo/nilai akhir.
$ NA = NT + D = 5.135.000 + 1.365.000 = 6.500.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp1.365.000,00 dan besarnya nilai akhir adalah Rp6.500.000,00.

4). Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 6%/cawu dan akan dikembalikan dalam waktu 10 bulan. Jika Modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.312.500,00. Tentukan:
a. Nilai diskonto?
b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo!

Penyelesaian :
*). Diketahui : NT = 5.312.500 dan $ n = 10 \, $ bulan.
1 cawu = 4 bulan, sehingga
suku bunga, $ i = 6\% \, $/cawu = $ \frac{6}{4}\% = 1,5\% \, $ /bulan.
total suku bunga, $ 1,5\% \times 10 = 15\% \, $ artinya $ p\% = 15\% $ , sehingga $ p = 15 $.
a). Menentukan besarnya diskonto (D) :
$ D = \frac{p}{100-p} \times NT = \frac{15}{100-15} \times 5.312.500 = \frac{15}{85} \times 5.312.500 = 937.500 $.

b). Menentukan pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo/nilai akhir.
$ NA = NT + D = 5.312.500 + 937.500 = 6.250.000 $.

Jadi, kita peroleh besarnya diskonto adalah Rp937.500,00 dan besarnya nilai akhir adalah Rp6.250.000,00.

         Demikian pembahasan materi Diskonto dalam Matematika Keuangan beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan bunga, pertumbuhan, dan peluruhan.

Nilai Tunai dan Nilai Akhir

         Blog Koma - Padaa artikel ini kita akan mempelajari materi Nilai Tunai dan Nilai Akhir. Apakah Nilai Tunai dan Nilai Akhir itu? Untuk memahami keduanya, perhatikan ilustrasi berikut ini. Ilustrasi , misalkan seseorang akan menerima uang dari sebuah lembaga (entah bank, koperasi, atau lainnya) sebesar Rp25.000.000,00 pada 2 tahun yang akan datang (mungkin dia mendapat bantuan dana). Jika orang tersebut meminta uang tersebut sekarang, maka uang yang diterima pasti nilainya akan lebih kecil dari Rp25.000.000 yang seharusnya dia terima 2 tahun yang akan datang. Uang yang diterima sekarang inilah yang disebut Nilai Tunai atau harga tunai.

         Nilai tunai juga biasanya ada kaitannya dengan suatu pinjaman (berhutang). Misalkan seseorang meminjam uang di bank sebesar Rp1.000.000 yang akan dikembalikan setelah 6 bulan. Artinya setelah 6 bulan dia akan mengembalikan Rp1.000.000. Dengan sistem bunga tertentu (bunga tunggal atau bunga majemuk), sekarang dia menerima uang sebesar Rp950.000. Uang sekarang (Rp950.000) ini disebut nilai tunai dan uang yang akan dibayarkan sebesar Rp1.000.000 setelah 6 bulan yang akan datang disebut nilai akhir atau harga akhir.

         Berdasarkan bunga tunggal dan bunga majemuk, kita telah mengenal istilah modal awal (M) dan modal akhir($M_n$). Sebenarnya modal awal ini sama saja dengan nilai tunai (NT) dan modal akhir sama saja dengan nilai akhir (NA). Artinya untuk menentukan Nilai Tunai dan Nilai Akhir kita akan menggunakan rumus bunga tunggal dan bunga majemuk.

Rumus Menentukan nilai tunai dan nilai akhir
       Berikut adalah rumus menentukan nilai tunai (NT) dan nilai akhir (NA) :
*). Bunga tunggal :
$ \begin{align} M_n = M(1 + ni) \rightarrow M = \frac{M_n}{1 + ni} \end{align} $
atau
$ \begin{align} NA = NT \times (1 + ni) \rightarrow NT = \frac{NA}{1 + ni} \end{align} $

*). Bunga majemuk :
$ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n \rightarrow M = \frac{M_n}{(1 + i)^n} \end{align} $
atau
$ \begin{align} NA = NT \times (1 + i)^n \rightarrow NT = \frac{NA}{(1 + i)^n} \end{align} $

Keterangan :
NA = nilai akhir, NT = nilai tunai,
NA = $ M_n \, $ dan NT = M.
$ n = \, $ lama periode (waktu),
$ i = \, $ suku bunga (tunggal atau majemuk)

Contoh soal nilai tunai dan nilai akhir:
1). Tentukan nilai tunai dari pinjaman sebesar Rp1.000.000 dengan pengembalian 9 bulan dengan suku bunga tunggal 6% per tahun ?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = Rp1.000.000, $ i = 6\% = 0,06 $ , dan
$ n = \, $ 9 bulan = $ \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \, $ tahun.
*). Menentukan nilai tunai (NT)
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{1 + ni} \\ & = \frac{1.000.000}{1 + \frac{3}{4} \times 0,06} \\ & = \frac{1.000.000}{1 + 0,045} \\ & = \frac{1.000.000}{1 ,045} \\ & = 956.937,79 \end{align} $
Jadi, besarnya nilai tunai adalah Rp956.937,79.


2). Ratih menabung di bank yang memberikan suku bunga majemuk 1,5% sebulan. Ternyata setelah 7 bulan tabungan Ratih menjadi Rp1.109.844,91. Berapakah besar uang yang ditabung oleh Ratih di awal?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 1.109.844,91, $ i = 1,5\% = 0,015 , \, $ dan $ n = 7 $.
*). Ditanya modal awal/nilai tunai :
*). Menentukan modal awal/nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{(1 + i)^n} \\ & = \frac{1.109.844,91}{(1 + 0,015)^7 } \\ & = \frac{1.109.844,91}{(1 ,015)^7 } \\ & = \frac{1.109.844,91}{ 1,10984491 } \\ & = 1.000.000 \end{align} $
Jadi, Ratih di awal menabung sebesar Rp1.000.000,00.

3). Tentukan modal mula-mula (Nilai Tunai dari suatu modal) jika nilai akhir modal sebesar Rp17.262.804,24 setelah dibungakan 4 tahun 9 bulan dengan suku bunga 8%/kwartal?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 17.262.804,24, $ i = 8\% = 0,08 \, $ /kwartal.
1 tahun = 4 kwartal , sehigga 1 kwartal = 3 bulan.
4 tahun 9 bulan = 48 + 9 = 57 bulan, sehingga :
$ n = \frac{57}{3} = 19 \, $ kwartal.
*). Menentukan modal awal/nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{(1 + i)^n} \\ & = \frac{17.262.804,24}{(1 + 0,08)^{19} } \\ & = \frac{17.262.804,24}{(1 ,08)^{19} } \\ & = \frac{17.262.804,24}{4,315701059 } \\ & = 4.000.000 \end{align} $
Jadi, nilai tunainya adalah Rp4.000.000,00.

Nilai Tunai Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan
       Berikut adalah rumus menentukan nilai tunai (NT) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan :
*). Bunga majemuk :
$ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i) \rightarrow M = \frac{M_n}{(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i)} \end{align} $
atau
$ \begin{align} NA = NT(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i) \rightarrow NT = \frac{NA}{(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i)} \end{align} $

Keterangan :
NA = nilai akhir, NT = nilai tunai,
NA = $ M_n \, $ dan NT = M.
$ n = \, $ lama periode (waktu),
$ i = \, $ suku bunga (tunggal atau majemuk)
$ p = \, $ bagian waktu pecahan.

Contoh soal :
4). Tentukan nilai tunai setelah berbunga selama 6,5 bulan. Modal menjadi Rp3.500.000,00 jika dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan?

Penyelesaian :
*). Diketahui : NA = 3.500.000, $ i = 3\% = 0,03 \, $ /bulan.
waktu 6,5 bulan artinya $ n = 6 \, $ dan $ p = 0,5 $.
*). Menentukan nilai tunai (NT) :
$ \begin{align} NT & = \frac{NA}{(1 + i)^n \times ( 1 + p\times i)} \\ & = \frac{3.500.000}{(1 + 0,03)^6 \times ( 1 + 0,5\times 0,03)} \\ & = \frac{3.500.000}{(1 ,03)^6 \times ( 1 ,015)} \\ & = \frac{3.500.000}{ 1,194052297 \times ( 1 ,015)} \\ & = \frac{3.500.000}{ 1,211963081} \\ & = 2.887.876,75 \end{align} $
Jadi, besarnya nilai tunai adalah Rp2.887.876,75.

         Demikian pembahasan materi Nilai Tunai dan Nilai Akhir beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan diskonto.

Bunga Majemuk dan Contohnya

         Blog Koma - Jika seseorang menyimpan uang di bank kemudian setiap akhir periode, bunga yang diperoleh tersebut tidak diambil, maka bunga itu akan bersama-sama modal menjadi modal baru yang akan berbunga pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh nilainya menjadi lebih besar dari bunga pada periode sebelumnya. Proses bunga berbunga pada ilustrasi ini dinamakan Bunga Majemuk. Pada artikel ini kita akan membahas materi Bunga Majemuk dan Contohnya.

Perhatikan ilustrasi berikut ini :
       Sinta meminjam uang di koperasi untuk membeli mobil sebesar Rp75.000.000,00 dengan bunga majemuk 3% selama 3 tahun. Sinta mendapatkan rincian pinjamannya yang harus dibayarkan di akhir tahun ketiga sebagai berikut.

Dari tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga terus berubah setiap periodenya yang diperoleh dari mengalikan suku bunga ($i = 3\%$) dengan besarnya modal pada periode sebelumnya. Perhitungannya :
Modal sebelumnya = 75.000.000
bunga periode I = $ 3\% \times 75.000.000 = 2.250.000 \, $
Modal periode I = 75.000.000 + 2.250.000 = 77.250.000
bunga periode II = $ 3\% \times 77.250.000 = 2.317.500 \, $ ,
begitu seterusnya.

Contoh soal :
1). Dani menyimpan uang di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank memberikan bunga 10%/tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan dianggap tidak ada biaya administrasi bank. Tentukan besarnya bunga pada akhir tahun pertama, akhir tahun kedua, dan akhir tahun ketiga ?

Penyelesaian :
*). Diketahui :
Suku bunga majemuk : $ i = 10\% = \frac{10}{100}= 0,1 $
Modal awal : M = 1.000.000
*). Bunga akhir tahun pertama/periode pertama ($B_1$) :
$ B_1 = i \times M = 0,1 \times 1.000.000 = 100.000 $.
*). Besar modal akhir tahun pertama ($M_1$) :
$ M_1 = M + B_1 = 1.000.000 + 100.000 = 1.100.000 $.
*). Bunga akhir tahun kedua/periode kedua ($B_2$) :
$ B_2 = i \times M_1 = 0,1 \times 1.100.000 = 110.000 $.
*). Besar modal akhir tahun kedua ($M_2$) :
$ M_2 = M_1 + B_2 = 1.100.000 + 110.000 = 1.210.000 $.
*). Bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ($B_3$) :
$ B_3 = i \times M_2 = 0,1 \times 1.210.000 = 121.000 $.
*). Besar modal akhir tahun ketiga ($M_3$) :
$ M_3 = M_2 + B_3 = 1.210.000 + 121.000 = 1.331.000 $.
Jadi, besarnya bunga dari periode pertama sampai ketiga berturut-turut Rp100.000, Rp110.000, dan Rp121.000.

Rumus besarnya bunga pada akhir periode ke-$n$ ($B_n$)
       Besarnya bunga setiap periode tertentu langsung bisa kita hitung dengan rumus berikut ini :
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $

Keterangan :
$ B_n = \, $ bunga periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
$ i = \, $ suku bunga per periode
$ M = \, $ modal awal yang ditabung atau yang dipinjam


Contoh :
2). Kita akan coba menghitung kembali besarnya bunga pada contoh soal nomor (1) di atas dengan rumus bunga.
Pada soal nomor (1) diketahui $ i = 10\% = 0,1 \, $ dan modal awal M = 1.000.000.
*). Menentukan besarnya bunga periode pertama, kedua dan ketiga dengan rumus
$ \begin{align} B_n = i \times (1+i)^{n-1} \times M \end{align} $
Besar bunga akhir tahun pertama/periode pertama ($n=1$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_1 & = i \times (1+i)^{1-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{0} \times M \\ & = i \times 1 \times M \\ & = i \times M \\ & = 0,1 \times 1.000.000 \\ & = 100.000 \end{align} $
Besar bunga akhir tahun kedua/periode kedua ($n=2$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_2 & = i \times (1+i)^{2-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{1} \times M \\ & = i \times (1 + i) \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1) \times 1.000.000 \\ & = 110.000 \end{align} $
Besar bunga akhir tahun ketiga/periode ketiga ($n=3$) :
$ \begin{align} B_n & = i \times (1+i)^{n-1} \times M \\ B_3 & = i \times (1+i)^{3-1} \times M \\ & = i \times (1+i)^{2} \times M \\ & = 0,1 \times (1 + 0,1)^2 \times 1.000.000 \\ & = 121.000 \end{align} $
Kita peroleh hasil yang sama dengan perhitungan pada contoh soal nomor (1) di atas.

Rumus Modal akhir pada periode ke-$n$ ($M_n$)
       Besarnya modal akhir periode ke-$n$ dapat langsung kita hitung dengan rumus berikut ini :
$ \begin{align} M_n = M(1+i)^n \end{align} $

Keterangan :
$ M_n = \, $ modal akhir stelah periode ke-$n$ (akhir periode ke-$n$)
Catatan :
*). $i \, $ dan $ n \, $ harus dalam satuan/periode yang sama.
*). Jika satuan $ i \, $ dan $ n \, $ tidak sama, maka satuan $ n \, $ yang diubah menjadi bentuk satuan $i $ .

Contoh soal :
3). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ , dan $ n = 6 $
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 5.000.000 \times (1+0,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times (1 ,1)^6 \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \\ & = 8.857.805 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 6 tahun adalah Rp8.857.805,00.
*). Menentukan jumlah semua bunga yang diperoleh selama 6 tahun :
Total bunga = 8.857.805 - 5.000.000 = 3.857.805
Jadi, jumlah semua bunga selama 6 tahun adalah Rp3.857.805,00.

4). Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama 5 tahun. Tentukan modal akhir!

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 2.000.000 , $ i = 5\% = 0,05 \, $/semester (6 bulan).
Satuan $i \, $ dan $ n \, $ harus sama dengan tanpa merubah satuan dari $ i \, $ , sehingga kita ubah $ n \, $ menjadi satu periode = 1 semester = 6 bulan. Sementara 1 tahun = 2 semester, sehingga kita peroleh :
$ n = \, $ 5 tahun = 5 $ \times \, $ 2 semester = 10 semester.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 2.000.000 \times (1+0,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times (1 ,05)^{10} \\ & = 2.000.000 \times 1,628894627 \\ & = 3.257.789,25 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan selama 5 tahun adalah Rp3.257.789,25.

5). Radit menyimpang uangnya di bank sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan. Tentukan besar tabungan akhirnya setelah tabungannya berjalan selama 3 tahun 9 bulan.?

Penyelesaian :
*). Diketahui :
M = 1.500.000 dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /triwulan (3 bulan).
Kita samakan satuan $ i $ dan $ n $ yaitu sama-sama dalam triwulan.
1 triwulan = 3 bulan,
dan 3 tahun 9 bulan = $ 3 \times 12 + 9 = 45 \, $ bulan.
Sehingga $ n = \frac{45}{3} = 15 \, $ triwulan.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 1.500.000 \times (1+0,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times (1 ,04)^{15} \\ & = 1.500.000 \times 1,800943506 \\ & = 2.701.415,26 \end{align} $
Jadi, besar tabungan akhir Radit setelah dibungakan selama 3 tahun 9 bulan adalah Rp2.701.415,26.

6). Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4%/semester, setelah berapa tahun modal akhir menjadi = Rp4.440.732,87?

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 3.000.000, $ M_n = 4.440.732,87 \, $ dan $ i = 4\% = 0,04 \, $ /semester.
*). Sifat logaritma yang digunakan : $ \log a^n = n \times \log a $.
*). Menentukan lama menabung ($n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.440.732,87 & = 3.000.000(1+0,04)^n \\ (1+0,04)^n & = \frac{4.440.732,87}{3.000.000} \\ (1,04)^n & = 1.48024429 \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ \log (1,04)^n & = \log (1.48024429) \\ n \times \log (1,04) & = \log (1.48024429) \\ n & = \frac{\log (1.48024429)}{\log (1,04)} \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ n & = 10 \end{align} $
Karena $ i $ dan $ n $ satuannya sama, maka $ n = \, $ 10 semester = 5 tahun.
Jadi, modal tersebut dibungakan selama 5 tahun.

7). Rita meminjam uang di koperasi sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk tiap bulan. Setelah 2 tahun modal menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 2.500.000, $ M_n = 4.021.093,12 \, $ dan
$ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan ( satuan $i $ dan $ n $ sama-sama dalam bulan).
*). Sifat eksponen yang digunakan : $ a^n = b \rightarrow a = \sqrt[n]{b} $
*). Menentukan suku bunga ($i$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ 4.021.093,12 & = 2.500.000 \times (1+i)^{24} \\ (1+i)^{24} & = \frac{4.021.093,12}{2.500.000} \\ (1+i)^{24} & = 1,608437249 \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat eksponen)} \\ (1+i) & = \sqrt[24]{1,608437249 } \, \, \, \, \, \, \text{(gunakan kalkulator)} \\ (1+i) & = 1.02 \\ i & = 1.02 - 1 \\ i & = 0,02 \\ i & = 0,02 \times 100\% \\ i & = 2 \% \end{align} $
Jadi, suku bunganya adalah sebesar 2%/bulan.

Modal Akhir ($M_n$) Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan ($n$)
       Jangka waktu ($n$) proses berbunganya suatu modal tidak hanya merupakan bilangan bulat. Jika jangka waktu bukan merupakan bilangan bulat, maka cara menentukan nilai $ (1 + i)^n \, $ dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:
i). Dengan menghitung langsung bentuk $ (1 + i)^n \, $ menggunakan kalkulator,
ii). Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga yang bulat. Jika disederhanakan dalam rumus adalah sebagai berikut:
              $ \begin{align} M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) \end{align} $
Dengan $ p \, $ masa bunga pecahan

Catatan :
Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas.

Cotoh soal :
8). Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 5,75 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 4.500.000, $ i = 3\% = 0,03 \, $ /bulan, dan $ n = 5,75 \, $ bulan.

Cara I, langsung menggunakan rumus : $ M_n = M(1+i)^n $
$ \begin{align} M_n & = M(1+i)^n \\ & = 4.500.000 \times (1+0,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times (1 ,03)^{5,75} \\ & = 4.500.000 \times 1,18526113 \\ & = 5.333.675,08 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.333.675,08.

Cara II, menggunakan rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $ :
lama menabung 5,75 bulan, artinya $ n = 5 \, $ (bagian bulat) dan $ p = 0,75 \, $ (bagian pecahan).
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 4.500.000 (1 + 0,03)^5 (1 + 0,75 \times 0,03) \\ & = 4.500.000 (1 ,03)^5 \times (1 + 0,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,159274074 \times (1,0225) \\ & = 4.500.000 \times 1,185357741 \\ & = 5.334.109,84 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 5,75 bulan adalah Rp5.334.109,84.

Catatan :
Terjadi perbedaan hasil antara cara I dan cara II yaitu sebesar Rp434,76 dimana perbedaannya hanya kecil saja. Artinya kita boleh menggunakan salah satu dari cara yang ada, dan disarankan menggunakan cara kedua yaitu menggunakan rumus $ M_n = M(1 + i)^n (1 + p.i) $.

9). Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 10%/tahun. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 6 tahun 3 bulan.

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 5.000.000, $ i = 10\% = 0,1 \, $ /tahun.
Karena satuan $ i $ dalam tahun, maka 6 tahun 3 bulan kita ubah menjadi dalam tahun.
6 tahun 3 bulan = $ 6 + \frac{3}{12} = 6 + 0,25 = 6,25 \, $ tahun.
artinya $ n = 6 \, $ dan $ p = 0,25 $.
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ \begin{align} M_n & = M(1 + i)^n (1 + p.i) \\ & = 5.000.000 (1 + 0,1)^6 (1 + 0,25 \times 0,1) \\ & = 5.000.000 (1 ,1)^6 \times (1 + 0,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,771561 \times (1,025) \\ & = 5.000.000 \times 1,815850025 \\ & = 9.079.250,125 \end{align} $
Jadi, besar modal akhir setelah dibungakan 6,25 tahun adalah Rp9.079.250,125.

         Demikian pembahasan materi Bunga Majemuk dan Contohnya . Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan bunga, pertumbuhan dan peluruhan yaitu nilai tunai.

Bunga Tunggal dan Contohnya

         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan membahas materi bunga tunggal dengan judul Bunga Tunggal dan Contohnya. Bunga tunggal merupakan salah satu jenis perhitungan bunga dalam matematika keuangan dimana bunga dibagi menjadi dua yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Sebelumnya juga telah dibahas pengenai "pengertian bunga dan contohnya", silahkan dibaca untuk pemahaman awal dalam mempelajari bunga tunggal.

         Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap.

Perhatikan ilustrasi kasus berikut ini!
         Iwan mendapatkan dana pinjaman dari yayasan pendidikan "Indonesia Pintar Berkarya" untuk melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi dengan pinjaman Rp20.000.000,00 dengan bunga tunggal 5% per tahun selama 4 tahun. Adi membayar lunas pinjamannya setelah 4 tahun sebesar Rp24.000.000,00 dengan rincian pinjaman sebagai berikut:

Keterangan :
Pada tabel di atas, terlihat bahwa besarnya bunga selalu sama setiap tahun yaitu sebesar Rp1.000.000 dengan perhitungan 5% dikalikan besarnya modal awal (Rp20.000.000) yaitu : $ 5\% \times 20.000.000 = 1.000.000 $. Besarnya bunga yang tetap setiap periode inilah disebut bunga tunggal.

Rumus Menghitung Bunga Tunggal
       Misalkan kita menabung atau meminjam uang dengan modal awal $ M $ dengan suku $i$ per periode selama $ n $ periode, besarnya bunga tunggal ($B$) dapat dihitung dengan rumus :
Bunga = banyaknya periode $ \times $ suku bunga tiap periode $ \times $ modal awal.
$ B = n \times i \times M $.


Contoh Soal :
1). Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 2%/bulan. Tentukan bunga setelah 1 bulan, 2 bulan, dan 5 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ M = 1.000.000 \, $ dan $ i = 2\% = \frac{2}{100} $
*). Menentukan bunga setelah 1 bulan ($ n = 1 $)
$ B = n \times i \times M = 1 \times \frac{2}{100} \times 1.000.000 = 20.000 $
*). Menentukan bunga setelah 2 bulan ($ n = 2 $)
$ B = n \times i \times M = 2 \times \frac{2}{100} \times 1.000.000 = 40.000 $
*). Menentukan bunga setelah 5 bulan ($ n = 5 $)
$ B = n \times i \times M = 5 \times \frac{2}{100} \times 1.000.000 = 100.000 $

Catatan Penting :
*). Dari rumus $ B = n \times i \times M \, $ , syarat utamanya adalah periodenya harus sama (satuan waktunya sama).
*). Yang diubah boleh satuan $i \, $ nya atau satuan $ n \, $ sehingga sama.
*). Misalkan beberapa kasus di bawah ini :
i). Diketahui suku bunga ($i$) per tahun dan $ t $ dalam tahun,
maka $ B = t \times i \times M $
ii). Diketahui suku bunga ($i$) per tahun dan $ t $ dalam bulan,
maka $ n = \frac{t}{12} \, $ tahun,
sehingga $ B = \frac{t}{12} \times i \times M $
iii). Diketahui suku bunga ($i$) per tahun dan $ t $ dalam hari,
maka $ n = \frac{t}{360} \, $ tahun (anggap 1 tahun = 360 hari),
sehingga $ B = \frac{t}{360} \times i \times M $
iv). Diketahui suku bunga ($i$) per bulan dan $ t $ dalam tahun,
maka $ n = 12 \times t \, $ bulan,
sehingga $ B = 12 \times t \times i \times M $
v). Diketahui suku bunga ($i$) per bulan dan $ t $ dalam bulan,
maka $ n = t \, $ bulan,
sehingga $ B = t \times i \times M $
vi). Diketahui suku bunga ($i$) per bulan dan $ t $ dalam hari,
maka $ n = \frac{t}{30} \, $ bulan (anggap 1 bulan = 30 hari),
sehingga $ B = \frac{t}{30} \times i \times M $

Contoh soal :
2). Budi menabung di bank sebesar Rp1.000.000 dengan suku bunga tunggal 6% per tahun. Tentukan besarnya bunga setelah menabung sebesar 3 tahun, 3 bulan, dan 36 hari (anggap 1 tahun = 360 hari)!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ M = 1.000.000 \, $ dan $ i = 6\% = \frac{6}{100} \, $ per tahun.
*). Bunga setelah 3 tahun :
$ n = 3 \, $ tahun dan satuan sudah sama dengan $ i $ yaitu suku bunga pertahun.
$ B = n \times i \times M = 3 \times \frac{6}{100} \times 1.000.000 = 180.000 $
*). Bunga setelah 3 bulan :
$ n = $ 3 bulan $ = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \, $ tahun .
$ B = n \times i \times M = \frac{1}{4} \times \frac{6}{100} \times 1.000.000 = 15.000 $
*). Bunga setelah 36 hari :
$ n = $ 36 hari $ = \frac{36}{360} = \frac{1}{10} \, $ tahun .
$ B = n \times i \times M = \frac{1}{10} \times \frac{6}{100} \times 1.000.000 = 6.000 $

Rumus Menghitung Modal Akhir Bunga Tunggal
       Setelah kita bisa mencari besarnya bunga dalam bunga tunggal, berikutnya kita akan menghitung modal akhir ($M_n$) dari modal awal ($M$) setelah dibungankan selama $ n $ periode dengan suku bunga $ i \, $ setiap periodenya yaitu :
Modal akhir = modal awal + bunga
$ M_n = M + B \, $ dengan $ B = n \times i \times M $
sehingga :
$ \begin{align} M_n & = M + B \\ & = M + n \times i \times M \\ & = M(1 + n \times i) \end{align} $
Jadi, rumus modal akhir adalah $ M_n = M(1 + n i) $ .

Contoh soal :
3). Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 3 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan bunga yang diperoleh dan modal akhir setelah dibungakan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 1.000.000, $ n = 3 \, $ , dan $ i = 18\% = \frac{18}{100} $
*). Menentukan besarnya bungan (B) :
$ B = n \times i \times M = 3 \times \frac{18}{100} \times 1.000.000 = 540.000 $
*). Menentukan modal akhir ($M_n$) :
$ M_n = M + B = 1.000.000 + 540.000 = 1.540.000 $
Jadi, besarnya bungan Rp540.000 dan modal akhirnya Rp1.540.000.

*). Untuk menghitung besarnya modal akhir pada contoh soal nomor 3 ini bisa langsung dengan rumus $M_n = M(1 + ni) $.
$ \begin{align} M_n & = M(1 + ni) \\ & = 1.000.000 \times (1 + 3 \times \frac{18}{100}) \\ & = 1.000.000 \times (1 + \frac{54}{100}) \\ & = 1.000.000 \times ( \frac{100}{100}+ \frac{54}{100}) \\ & = 1.000.000 \times ( \frac{154}{100} ) \\ & = 1.540.000 \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil yang untuk besarnya modal akhir yaitu Rp1.540.000.

4). Budi menabung di bank A sebesar Rp2.500.000 dengan suku bunga 3%/cawu. Jika ia menabung selama 1 tahun 7 bulan, maka berapa besar bunga dan tabungan akhir yang diperoleh Budi?

Penyelesaian :
*). Karena satuan $ i $ dan $ n \, $ belum sama, maka kita samakan terlebih dahulu menjadi bulan semua.
1 cawu = 4 bulan, sehingga :
$ i = 3\% $ tiap cawu $ = \frac{3\%}{4} = \frac{3}{4}\% = \frac{3}{400} \, $ tiap bulan.
$ n = $ 1 tahun 7 bulan = 12 + 7 = 19 bulan.
*). Menentukan besarnya bunga (B) :
$ B = n \times i \times M = 19 \times \frac{3}{400} \times 2.500.000 = 356.250 $ .
*). Menentukan tabungan akhir/modal akhir ($M_n$) :
$ M_n = M + B = 2.500.000 + 356.250 = 2.856.250 $
Jadi, besarnya bungan Rp356.250 dan tabungan akhirnya Rp2.856.250.

5). Suatu pinjaman sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 2 tahun 3 bulan. Ternyata bunga yang diperoleh Rp450.000,00. Tentukan suku bunganya tiap tahun dan tiap triwulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 2.500.000, B = 450.000, dan $ n = 27 \, $ bln.
*). Menentukan suku bunga ($i$) tiap bulan :
$ \begin{align} B & = n \times i \times M \\ 450.000 & = 27 \times i \times 2.500.000 \\ i & = \frac{450.000}{27 \times i \times 2.500.000} \\ & = \frac{450.000}{27 \times 2.500.000} \\ & = \frac{45 }{27 \times 250 } \\ & = \frac{45 }{27 \times 250 } \\ & = \frac{1 }{150 } \\ & = \frac{1 }{150 } \times 100\% \\ & = \frac{2}{3 } \% \\ \end{align} $
artinya suku bunga setiap bulannya adalah $ \frac{2}{3} \% $.
*). Suku bunga setiap tahun dan tiap triwulan :
Suku bunga tiap tahun = $ 12 \times \frac{2}{3} \% = 8 \% $ .
Suku bunga tiap triwulan = $ 3 \times \frac{2}{3} \% = 2 \% $ .
Jadi, kita peroleh suku bunga 8%/tahun dan 2%/triwulan.

6). Suatu pinjaman sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 7.5%/semester. Ternyata modal tersebut menjadi Rp1.800.000,00. Setelah berapa bulan bunga tersebut dibungakan?

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 1.500.000 dan $ M_n = 1.800.000 $.
*). suku bunga kita ubah dulu menjadi tiap bulan,
1 semester = 6 bulan, sehingga
suku bunga tiap bulan = $ \frac{7,5\%}{6} = \frac{15}{200} \times {1}{6} = \frac{1}{80} $
artinya $ i = \frac{1}{80} \, $ tiap bulan.
*). Menentukan besarnya bunga (B) :
$ M_n = B + M \rightarrow B = M_n - M = 1.800.000 - 1.500.000 = 300.000 $.
*). Menentukan lama dibungakan ($n$) :
$ \begin{align} B & = n \times i \times M \\ 300.000 & = n \times \frac{1}{80} \times 1.500.000 \, \, \, \, \, \text{(bagi 300.000)} \\ 1 & = n \times \frac{1}{80} \times 5 \\ 1 & = n \times \frac{1}{16} \\ n & = 16 \end{align} $
Jadi, lamanya dibungakan selama 16 bulan.

7). Suatu modal setelah dibungakan dengan bunga tunggal 15%/tahun selama 2 tahun modal tersebut menjadi Rp6.110.000,00. Tentukan Modal mula-mula!

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ i = 15\% = \frac{15}{100} = \frac{3}{20} \, $ , $ M_n = 6.110.000\, $ dan $ n = 2 $.
*). Menentukan modal awal/mula-mula (M) :
$ \begin{align} M_n & = M(1 + ni) \\ M & = \frac{M_n}{1 + ni} \\ & = \frac{6.110.000}{1 + 2 \times \frac{3}{20} } \\ & = \frac{6.110.000}{1 + \frac{3}{10} } \\ & = \frac{6.110.000}{ \frac{13}{10} } \\ & = 6.110.000 \times \frac{10}{13} \\ & = 4.700.000 \end{align} $
Jadi, modal awalnya adalah Rp4.700.000,00.

         Demikian pembahasan materi Bunga Tunggal dan Contohnya . Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan bunga majemuk dan contohnya.