Rabu, 04 Mei 2016

Nilai sin cos 33 dan 66 derajat secara eksak


         Blog Koma - Untuk sudut-sudut bukan istimewa (0, 30, 45, 60, dan 90 derajat), memang akan sulit bagi kita untuk menghitung nilai eksaknya, dan akan lebih mudah menghitung menggunakan kalkulator. Salah satu yang akan kita bahas adalah sudut 33 derajat dan sudut 66 derajat. Materi yang kita bahas pada artikel ini adalah menghitung Nilai sin cos 33 dan 66 derajat secara eksak. Langkah-langkah yang akan kita lakukan yaitu : pertama kita tentukan nilai sin dan cos sudut 66 derajat dengan bantuan rumus trigonometri sudut komplemen, kedua baru kita tentukan nilai sin dan cos sudut 33 derajat dengan bantuan rumus sudut ganda pada trigonmetri. Untuk menghitung nilai trigonmetri sudut 66 derajat, kita mebutuhkan nilai trigonometri sudut 24 derajat.
Rumus Dasar Trigonometri
$\spadesuit \, $ Sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai sin dan cos sudut 36 derajat
$ \cos 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } $
$ \sin 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } $
Nilai sin 33 derajat dan sin 66 derajat
$ \sin 33^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ ( 8 - 2\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } $
$ \sin 66^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } $

Cara mengerjakan sin dan cos 66 derajat

*). Nilai sin 66 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \sin A & = \cos (90^\circ - A) \\ \sin 66^\circ & = \cos (90^\circ - 66^\circ ) \\ & = \cos 24^\circ \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 66^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } $

*). Nilai cos 66 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \cos A & = \sin (90^\circ - A) \\ \cos 66^\circ & = \sin (90^\circ - 66^\circ ) \\ & = \sin 24^\circ \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 66^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } $

Cara mengerjakan sin dan cos 33 derajat
*). Nilai sin 33 derajat menggunakan sudut ganda:
$\begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 33^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 33^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 66^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{4}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 - \sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 - \sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 - \sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 - 2\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ ( 8 - 2\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 33^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ ( 8 - 2\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } $

*). Nilai cos 33 derajat menggunakan sudut ganda:
$\begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \\ \cos 33^\circ & = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2 \times 33^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1 + \cos 66^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1 + \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{4}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 + \sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 + \sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 + \sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 + 2\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ ( 8 + 2\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 33^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ ( 8 + 2\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } ) } $

       Wah, hasil dari sin 33 derajat dan cos 33 derajat ternyata bentuknya sangat rumit sekali, ada bentuk akar sampai berlipat tiga. Tapi itulah hasil eksak dari Nilai sin cos 33 dan 66 derajat. Semoga hasil perhitungan dari sudut non istimewa ini bisa menambah pengetahuannya tentang nilai trigonometri.

Cara mengerjakan sin cos 27 dan 54 derajat


         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Cara mengerjakan sin cos 27 dan 54 derajat dimana sudut 27 derajat dan 54 derajat merupakan sudut buka istimewa. Kita akan menghitung nilai eksaknya (nilai sebenarnya, bukan pendekatan atau tidak menggunakan kalkulator). Dalam mengerjakan perhitungan sin dan cos sudut 54 derajat, kita membutuhkan nilai dari sin 36 derajat dan cos 36 derajat. Silahkan baca artikel "Bagaimana Mencari Nilai cos dan sin 36 derajat?", di sana sudah dihitung nilai sin dan cos 36 derajatnya.

         Untuk mempermudah Cara mengerjakan sin cos 27 dan 54 derajat ini, kita membutuhkan beberapa rumus dasar trigonmetri seperti sudut komplemen dan sudut ganda. Pertama kita akan tentukan terlebih dahulu nilai sin dan cos 54 derajat dengan sudut komplemen, kemudian kita hitung nilai sin dan cos 27 derajat dengan sudut ganda.
Rumus- Rumus Dasar Trigonometri yang dibutuhkan
$\spadesuit \, $ Sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai sin dan cos sudut 36 derajat
$ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 36^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $
Nilai sin 27 derajat dan sin 54 derajat
$ \sin 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $
$ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $

Cara mengerjakan sin dan cos 54 derajat
*). Nilai sin 54 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \sin A & = \cos (90^\circ - A) \\ \sin 54^\circ & = \cos (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \cos 36^\circ \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 54^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $

*). Nilai cos 54 derajat menggunakan sudut komplemen :
$\begin{align} \cos A & = \sin (90^\circ - A) \\ \cos 54^\circ & = \sin (90^\circ - 54^\circ ) \\ & = \sin 36^\circ \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 54^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $

Cara mengerjakan sin dan cos 27 derajat
*). Nilai sin 27 derajat menggunakan sudut ganda :
$\begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4}- \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 - \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 - 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $

*). Nilai cos 27 derajat menggunakan sudut ganda :
$\begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1 + \cos 2A}{2}} \\ \cos 27^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 27^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 54^\circ }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{4}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{4} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{8} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{2}{16} ( 4 + \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 27^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 8 + 2\sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } } $

Menentukan nilai sin cos 21 dan 24 derajat


         Blog Koma - Setelah membahas cara menghitung nilai trigonometri sudut 18 derajat, kita lanjutkan lagi Menentukan nilai sin cos 21 dan 24 derajat pada pembahasan kali ini. Nilai trigonometri sudut 21 derajat dan 24 derajat akan kita hitung dari sudut 42 dan 48 derajat menggunakan rumus dasar sudut ganda. Nilai trigonmetri yang kita butuhkan adalah nilai cos 42 derajat dan cos 48 derajat. Mungkin yang sulit adalah perhitungan nilainya karena akan melibatkan bentuk akar. Langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini.

Rumus Dasar Trigonometri
$\spadesuit \, $ Rumus Sudut Ganda
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
*). Nilai Cos 42 derajat dan cos 48 derajat
$ \cos 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $
$ \cos 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $
Nilai sin 21 derajat dan sin 24 derajat
$ \sin 21^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} } $
$ \sin 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } $

Menentukan nilai sin dan cos 21 derajat
*). Nilai sin 21 derajat :
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 21^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 21^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 42^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}- \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 21^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} - \sqrt{15} } $

*). Nilai cos 21 derajat :
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 21^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 21^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 42^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}+ \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 21^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 8 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} } $

Menentukan nilai sin dan cos 24 derajat
*). Nilai sin 24 derajat :
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 24^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 24^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 48^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1- \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}- \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - 1 + \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 7 - \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + \sqrt{5} } $

*). Nilai cos 24 derajat :
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 24^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 24^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 48^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{\frac{8}{8}+ \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 8 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{8} ( 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} ) }{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16} ( 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} ) } \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 24^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{ 9 + \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } - \sqrt{5} } $

       Menentukan nilai sin cos 21 dan 24 derajat sebenarnya tidaklah terlalu sulit dengan catatan kita sudah mengetahui silai eksak trigonometri untuk cos 42 derajat dan cos 48 derajat. Hanya saja hasilnya tidak simpel karena melibatkan bentuk akar dimana didalam akar ada akar lagi. Tapi paling tidak, kita sudah mengetahui nilai eksak dari sin 21 derajat, cos 21 derajat dan sin 24 derajat, cos 24 derajat

Nilai Sin Cos 42 dan 48 derajat


         Blog Koma - Kita lanjutkan lagi mencari nilai eksak trigonometri sudut bukan istimewa yaitu sudut 42 derajat dan 48 derajat. Pada artikel ini kita khusus membahas Nilai Sin Cos 42 dan 48 derajat. Karena sudut 42 derajat dan 48 derajat adalah berkomplemen (jumlahnya 90 derajat), maka kita cukup mencari nilai sin dan cos dari sudut 48 derajat, setelah itu kita terapkan rumus trigonometri sudut komplemen untuk mencari nilai sin dan cos 42 derajat. Sebenarnya kita bisa langsung mencari nilai trigonometri untuk sudut 42 derajat, akan tetapi hasilnya akan sangat rumit. Sebaiknya kita akan menggunakan nilai trigonmetri sudut 48 derajat saja.

         Dalam menghitung Nilai Sin Cos 42 dan 48 derajat, kita membutuhkan rumus trigonmetri penjumlahan sudut yang melibatkan nilai sin dan cos sudut 30 derajat dan 18 derajat untuk menghitung terlebih dahulu nilai sudut 48 derajat. Setelah itu baru kita menghitung nilai trigonmetri sudut 42 derajat dengan sudut komplemen.
Rumus Dasar Trigonmetri
$ \clubsuit \, $ Rumus Jumlah sudut trigonometri
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$\spadesuit \, $ Sudut komplemen :
$ \sin A = \cos (90^\circ - A) \, $ atau $ \cos A = \sin (90^\circ - A) $
*). Nilai trigonmetri sudut 30 dan 18 derajat :
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \, \, \, $ dan $ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \, \, \, $ dan $ \cos 18^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} $
Nilai Sin 42 dan 48 derajat
$ \sin 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $
$ \sin 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $

Menentukan nilai sin dan cos 48 derajat :
*). Nilai sin 48 derajat
$ \begin{align} \sin (A + B) & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin 48^\circ & = \sin (30^\circ + 18^\circ) = \sin 30^\circ \cos 18^\circ + \cos 30^\circ \sin 18^\circ \\ & = \frac{1}{2}. \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} + \frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \\ & = \frac{1}{8} [ \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } + \sqrt{3} (-1 + \sqrt{5}) ] \\ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $

*). Nilai cos 48 derajat
$ \begin{align} \cos (A + B) & = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 48^\circ & = \cos (30^\circ + 18^\circ) = \cos 30^\circ \cos 18^\circ - \sin 30^\circ \sin 18^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3}. \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5} }}{4} - \frac{1}{2} . \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \\ & = \frac{1}{8} [ \sqrt{3} \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - (-1 + \sqrt{5}) ] \\ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 48^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $

Menentukan nilai sin dan cos 42 derajat :
Kita gunakan konsep sudut komplemen, yaitu :
*). Nilai sin 42 derajat
$ \begin{align} \sin A & = \cos (90^\circ - A ) \\ \sin 42^\circ & = \cos (90^\circ - 42^\circ) \\ \sin 42^\circ & = \cos 48^\circ \\ \sin 42^\circ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) $

*). Nilai cos 42 derajat
$ \begin{align} \cos A & = \sin (90^\circ - A ) \\ \cos 42^\circ & = \sin (90^\circ - 42^\circ) \\ \cos 42^\circ & = \sin 48^\circ \\ \cos 42^\circ & = \frac{1}{8} ( \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 1 - \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 42^\circ = \frac{1}{8} ( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} } - \sqrt{3} + \sqrt{15} ) $

       Bagaimana dengan pembahasan Nilai Sin Cos 42 dan 48 derajat ? Semoga materi ini bisa bermanfaat untuk kita semua. Nilai trigonometri sudut 42 derajat dan 48 derajat selanjutnya akan kita gunakan untuk menghitung nilai trigonometri sudut 21 derajat dan 24 derajat.

Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat


         Blog Koma - Rumus dasar sudut ganda trigonometri salah satunya bisa kita gunakan untuk Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat yang akan kita bahas pada artikel ini. Selain menggunakan sudut ganda, juga akan menggunakan rumus dasar pengurangan sudut pada trigonometri. Sudut 15 derajat merupakan salah satu sudut bukan istimewa yang tentu tidak kita hafalkan nilainya, akan tetapi bisa kita hitung nilai sin dan cos nya dengan bantuan rumus trigonometri. Harapannya akan menambah wawasan tetang nilai trigonometri sudut-sudut tidak istimewa salah satunya sudut 15 derajat.

         Ada dua cara yang akan kita terapkan dalam Menghitung Nilai sin dan cos 15 derajat yaitu menggunakan rumus sudut ganda dan rumus pengurangan sudut pada trigonometri. Untuk sudut ganda, kita akan membutuhkan nilai cos 30 derajat . Sementara untuk rumus pengurangan sudut, kita membutuhkan nilai sin dan cos sudut 30 dan 45 derajat. Untuk lebih jelasnya, langsung saja kita simak pembahasannya berikut ini.
Rumus Dasar Trigonometri
$\clubsuit \, $ Rumus Susdut ganda :
$ \sin A = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \, \, $ dan $ \cos A = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} $
$ \spadesuit \, $ Rumus pengurangan sudut :
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
*). Nilai trigonmetri sudut 30 dan 45 derajat :
$ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \, \, \, $ dan $ \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
$ \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} \, \, \, $ dan $ \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $

Nilai Sin dan Cos 15 derajat
$ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) $
$ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $
Cara I : Menggunakan sudut ganda
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin A & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2A}{2}} \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2- \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } $

*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos A & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2A}{2}} \\ \cos 15^\circ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 2 \times 15^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\cos 30^\circ}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{1+\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} \\ & = \sqrt{ \frac{2+ \sqrt{3}}{4}} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{ 2+ \sqrt{3} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } $

Cara II : Menggunakan Rumus pengurangan sudut
*). Nilai sin 15 derajat,
$ \begin{align} \sin (A - B) & = \sin A \cos B - \cos A \sin B \\ \sin 15^\circ & = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} - \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) $

*). Nilai cos 15 derajat,
$ \begin{align} \cos (A - B) & = \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ \cos 15^\circ & = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 15^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $

Kenapa hasil cara I dan cara II kelihatannya berbeda? Sebenarnya nilainya sama saja yaitu $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \, $ dan $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) $ . Untuk membuktikannya, silahkan kuadratkan saja, pasti diperoleh nilai yang sama seperti berikut ini.
$ [\frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} }]^2 = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
$ [\frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} )]^2 = \frac{1}{16}( 6 + 2 - 2\sqrt{12} ) = \frac{1}{16}( 8 - 4\sqrt{3} ) = \frac{1}{4}(2- \sqrt{3}) $
Setelah dikuadratkan kedua bentuk $ \frac{1}{2}\sqrt{ 2- \sqrt{3} } \, $ dan $ \, \frac{1}{4}(\sqrt{6} - \sqrt{2} ) \, $ memberikan hasil yang sama, ini artinya meskipun mereka berbeda penyajian tetapi nilainya sama. Untuk membuktikan nilai keduanya sama, bisa juga teman-teman gunakan konsep dasar akar dalam akar yang bisa dibaca pada artikel "Bentuk Akar pada Eksponen".

Senin, 02 Mei 2016

Bagaimana Mencari Nilai cos dan sin 36 derajat?


         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas Bagaimana Mencari Nilai cos dan sin 36 derajat? yang kita bagi menjadi dua bagian yaitu menentukan nilai cos 36 derajat dan setelah itu baru menentukan nilai sin 36 derajat. Mencari nilai cos 36 derajat berkaitan erat dengan nilai sin 18 derajat yang sudah dibahas pada artikel "Cara Menghitung Nilai Sin 18 Derajat". Setelah kita mencari nilai cos 36 derajat, dengan bantuan rumus dasar trigonometri maka kita bisa menentukan nilai sin 36 derajat.

         Rumus dasar trigonometri yang digunakan untuk Mencari Nilai cos dan sin 36 derajat? yaitu rumus trigonometri sudut ganda dan identitas trigonometri. Rumus sudut ganda kita gunakan untuk menentukan nilai cos 36 derajat dari nilai sin 18 derajat, kemudian kita menentukan nilai sin 36 derajat dengan identitas trigonometri dari nilai cos 36 derajat.

Rumus Dasar Trigonmetri yang dibutuhkan
$ \spadesuit \, $ Rumus trigonometri sudut ganda
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $

$ \clubsuit \, $ Identitas trigonmetri
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2 A} $
Kita membutuhkan nilai sin 18 derajat :
$ \sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} $

Nilai cos 36 derajat dan sin 36 derajat
$ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $
$ \sin 36^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $


Mencari nilai cos 36 derajat dan sin 36 derajat
*). Menentukan nilai cos 36 erajat
$ \begin{align} \cos 2A & = 1 - 2\sin ^2 A \\ \cos 36^\circ & = 1 - 2\sin ^2 18^\circ \\ & = 1 - 2 (\frac{-1 + \sqrt{5}}{4})^2 \\ & = 1 - 2 \times \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{16} \\ & = 1 - 2 \times 2. \frac{3 - \sqrt{5}}{16} \\ & = 1 - \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ & = \frac{4}{4} - \frac{3 - \sqrt{5}}{4} \\ & = \frac{4 - (3 - \sqrt{5}) }{4} \\ & = \frac{1 + \sqrt{5} }{4} \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) $

*). Menentukan nilai sin 36 derajat :
$ \begin{align} \cos 36^\circ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 36^\circ & = [ \frac{1}{4}(1 + \sqrt{5} ) ]^2 \\ & = \frac{1}{16}(6 + 2\sqrt{5} ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A} \\ \sin 36^\circ & = \sqrt{1 - \cos ^2 36^\circ } \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{16}(6 + 2\sqrt{5} ) } \\ & = \sqrt{\frac{16}{16} - \frac{1}{16}(6 + 2\sqrt{5} ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16}(16- (6 + 2\sqrt{5} ) ) } \\ & = \sqrt{ \frac{1}{16}(10 - 2\sqrt{5} )} \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 36^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} } $

       Apakah teman-teman sudah tau Bagaimana Mencari Nilai cos dan sin 36 derajat?. Mudah-mudahan dengan pembahasan pada artikel ini bisa membantu teman-teman yang ingin menghitung nilai sin 36 derajat dan cos 36 derajat sebagai salah satu alternatif penyelesaiannya dengan nilai secara eksak (tepat). Mungkin selama ini kita biasanya langsung menggunakan kalkulator untuk menghitungnya, nah dengan adanya pembahasannya di sini, ternyata tanpa kalkulatorpun bisa kita cari nilainya dengan tepat.

Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat


         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan melanjutkan membahas nilai trigonometri untuk sudut-sudut bukan istimewa yaitu khusus sudut 6 derajat dan 12 derajat . Nilai trigonometri yang akan kita bahas adalah Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, kita membutuhkan materi rumus dasar trigonometri dan nilai dari sin 3 derajat dan cos 3 derajat. Kemudian untuk menghitung nilai sin 12 derajat, kita akan membutuhkan nilai dari sin 6 derajat dan cos 6 derajat, artinya selain menghitung nilai sin 6 derajat juga harus menghitung nilai cos 6 derajat.

         Rumus dasar trigonometri yang digunakan untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat yaitu rumus trigonometri sudut ganda dan identitas trigonometri. Untuk menghitung nilai sin 6 derajat , kita butuh pengetahun tentang perkalian bentuk akar, karena kita menghitung nilai sin 6 derajat berdasarkan nilai sin 3 derajat dan cos 3 derajat. Untuk lebih lengkapnya, mari kita lihat pembahasannya berikut ini.

Rumus Dasar Trigonmetri yang dibutuhkan
$ \spadesuit \, $ Rumus trigonometri sudut ganda
$ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $

$ \clubsuit \, $ Identitas trigonmetri
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin ^2 A} $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2 A} $
Sebelumnya kita telah menemukan nilai sin dan cos 3 derajat pada materi "Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat" yaitu :
$ \sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $
$ \cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) $

Nilai sin 6 derajat dan sin 12 derajat
$ \sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] $
$ \sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } $


Menentukan Nilai Eksak sin 6 dan 12 derajat :
*). Menentukan nilai sin 6 derajat,
$ \begin{align} & \sin 6^\circ = \sin 2 \times 3^\circ \\ & = 2 \sin 3^\circ \cos 3^\circ \\ & = 2 \times \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{32}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] $
*). Menentukan nilai cos 6 derajat,
$ \begin{align} \sin 6^\circ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \sin ^2 6^\circ & = [\frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] ]^2 \\ & = \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \cos 6^\circ & = \sqrt{1 - \sin ^2 6^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 6^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } $

*). Menentukan nilai cos 12 derajat,
$ \begin{align} & \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 \\ & \cos 12^\circ = \cos 2 \times 6^\circ = 2\cos ^2 6^\circ - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 12^\circ = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) $
*). Menentukan nilai sin 12 derajat,
$ \begin{align} \cos 12^\circ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 12^\circ & = [ \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) ]^2 \\ & = \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A} \\ \sin 12^\circ & = \sqrt{1 - \cos ^2 12^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } $

       Sebenarnya untuk mengaplikasikan rumus dasar trigonometri tidaklah sulit untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat. Hanya saja menurut saya, perhitungan bentuk akarnya yang menyulitkan dan tentu menjenuhkan untuk kita selesaikan. Karena melibatkan banyak bentuk akar, mohon koreksi dari teman-teman yang lagi membaca artikel ini, mungkin saja ada kesalahan dalam penghitungannya. Semoga materi ini bermanfaat .