Senin, 29 Februari 2016

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri


         Blog Koma - Setelah mempelajari "Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar", kita akan lanjutkan lagi materi integral yang berkaitan dengan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Sifat-sifat integral tak tentu juga berlaku pada integral fungsi trigonometri. Untuk memudahkan, silahkan baca materi "Turunan Fungsi Trigonometri" terlebih dahulu karena integral adalah kebalikan dari turunan.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar)
       Berdasarkan pengertian integral, $ \int f^\prime (x) dx = f(x) + c $, dimana $ f^\prime (x) \, $ adalah turuan dari fungsi $ f(x) $ :
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $
artinya $ \int \cos x dx = \sin x + c $
2). $ f(x) = \cos x \rightarrow f^\prime (x) = -\sin x $
artinya $ \int - \sin x dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $
3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 x $
artinya $ \int \sec ^2 x dx = \tan x + c $
4). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $
artinya $ \int - \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot x + c $
5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $
artinya $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + c $
6). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc x \cot x $
artinya $ \int -\csc x \cot x dx = \csc x + c \, $
atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c $
Contoh soal integral fungsi trigonometri :
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). $ \int 2\sin x dx $
b). $ \int \sin x - \cos x dx $
c). $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx $
d). $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx $

Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x }, \, \csc x = \frac{1}{\sin x}, \, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $.
*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.
a). $ \int 2\sin x dx = 2 \int \sin x dx = 2(-\cos x ) + c = -2\cos x + c $

b). $ \int \sin x - \cos x dx = -\cos x - \sin x + c $

c). Kita sederhanakan soalnya :
$ \begin{align} \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx & = \int \frac{\sin x + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos x} } dx \\ & = \int (\sin x + \csc x) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin x} ) dx \\ & = \int ( \cos x + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x - \csc x + c \end{align} $
Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx = \sin x - \csc x + c $.

d). Kita sederhanakan soalnya : $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$ \begin{align} \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} }{2 \sin x \cos x } dx \\ & = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x} }{2 \sin x \cos x } + \frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{2 \sin x \cos x } dx \\ & = \int \frac{\sin x}{\cos x . 2 \sin x \cos x} + \frac{\cos x}{\sin x . 2 \sin x \cos x} dx \\ & = \int \frac{1}{\cos x . 2 \cos x} + \frac{1}{\sin x . 2 \sin x } dx \\ & = \int \frac{1}{2} ( \frac{1}{\cos ^2 x } + \frac{1}{\sin ^2 x } ) dx \\ & = \frac{1}{2} \int \sec ^2 x + \csc ^2 x dx \\ & = \frac{1}{2} (\tan x - \cot x ) + c \end{align} $
Sehingga, hasil dari $ \int \frac{\tan x + \cot x}{\sin 2 x } dx = \frac{1}{2} (\tan x - \cot x ) + c $.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar II)
       Untuk berikut ini, kita akan pelajari rumus integral trigonometri dengan sudut yang lebih kompleks.
Rumus integral Trigonometri :
1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $
artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $
atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + c $
2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $
artinya $ \int - a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $
3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $
artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $
atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $
4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $
artinya $ \int - a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $
atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $
5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $
artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $
atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $
6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $
artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $
atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = - \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $
Contoh soal integral fungsi trigonometri :
2). Tentukan hasil integral dari :
a). $ \int \sin (2x + 3) dx $
b). $ \int 6\sin (1-3x) dx $
c). $ \int \sec ^2 (4x) dx $
d). $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx $
e). $ \int \sec (x - 1) \tan (x-1) dx $
f). $ \int \csc (5x - 3) \cot (5x - 3) dx $

Penyelesaian :
a). $ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + c $
b). $ \int 6\cos (1-3x) dx = \frac{6}{-3} \sin (1-3x) + c = -2\sin (1-3x) + c $
c). $ \int \sec ^2 (4x) dx = \frac{1}{4} \tan (4x) + c $
d). $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $
$ = \frac{1}{2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $
e). $ \int \sec (x - 1) \tan (x-1) dx = \sec (x-1) + c $
f). $ \int \csc (5x - 3) \cot (5x - 3) dx = -\frac{1}{5} \csc (5x-3) + c $

Rumus Perkalian Fungsi yang sering digunakan
       Berikut merupakan rumus perkalian fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam integral trigonometri :
*). $ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $
*). $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $
atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $
*). $ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) - \cos (A-B) \, $
atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) - \cos (A-B)] $

Dari dua rumus terakshir di atas jika $ A + B = f(x) \, $ maka kita peroleh :
*). $ \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $
*). $ \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $

Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : "Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri".
Contoh Soal :
3). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :
a). $ \int \sin 5x \cos 2x dx $
b). $ \int 4\cos 7x \sin 4x dx $
c). $ \int 3cos (3x - 1) \cos (2x + 2) dx $
d). $ \int \cos ^2 3x dx $
e). $ \int \sin ^4 5x dx $

Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $
$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{1}{2} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) - \frac{1}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{1}{14}\cos (7x) - \frac{1}{6} \cos (3x) + c \end{align} $

b). Gunakan rumus : $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $
$ \begin{align} \int 4\cos 7x \sin 4x dx & = \int 4 . \frac{1}{2} [ \sin (7x + 4x ) - \sin (7x - 4x)] dx \\ & = \int 2 [ \sin (11x ) - \sin (3x)] dx \\ & = 2 [ - \frac{1}{11} \cos (11x ) - (-\frac{1}{3}\cos (3x)) + c \\ & = 2 [ - \frac{1}{11} \cos (11x ) + \frac{1}{3}\cos (3x) + c \\ & = - \frac{2}{11} \cos (11x ) + \frac{2}{3}\cos (3x) + c \end{align} $

c). Gunakan rumus : $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $
$ \begin{align} & \int 3cos (3x - 1) \cos (2x + 2) dx \\ & = \int 3 . \frac{1}{2} [ \cos ((3x - 1) + (2x + 2)) + \cos ((3x - 1) - (2x + 2))] dx \\ & = \int \frac{3}{2} [ \cos (5x + 1) + \cos (x - 3)] dx \\ & = \frac{3}{2} [ \frac{1}{5} \sin (5x + 1) + \sin (x - 3)] + c \\ & = \frac{3}{10} \sin (5x + 1) + \frac{3}{2} \sin (x - 3) + c \end{align} $

d). Gunakan rumus : $ \, \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $
$ \int \cos ^2 3x dx $
$ \begin{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 3x ] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{1}{2} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + c \end{align} $

e). Gunakan rumus : $ \, \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $
$ \begin{align} \int \sin ^4 5x dx & = \int \sin ^2 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^2 dx \\ & = \int (\frac{1}{2} [ 1 - \cos 2 . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{1}{4} [ 1 - \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \cos ^2 10 x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 10x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{1}{4} [ x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} . \frac{1}{20} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{4} [ \frac{3}{2}x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{40} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{2}{40} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{1}{20} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \end{align} $

Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral


         Blog Koma - Dari pengertian integral, kita peroleh hubungan turunan dan integral. Pada artikel ini kita akan membahas materi Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral dimana kita akan mementukan persamaan kurva dari turunan persamaan kurva tersebut. Materi prasyarat yang harus dikuasai terlebih dahulu adalah "Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar", karena di sini kita akan membahasa bentuk fungsi aljabar saja. Sebenarnya Semua jenis fungsi bisa kita cari persamaannya jika diketahui turunannya.

Konsep Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral
       Pada pengertian integral kita peroleh $ \int f(x) dx = F(x) + c \, $ dengan turunan dari $(F(x) + c) \, $ adalah $ f(x) $, atau dapat kita tulis $ F^\prime (x) = f(x) $. Jika kita ganti $ f(x) = F^\prime (x) \, $ maka kita peroleh
$ \int f(x) dx = F(x) + c \leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c $.

       Dari bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ , artinya untuk menghilangkan turunannya cukup kita integralkan saja. Penulisan bentuk $ \int F^\prime (x) dx = F(x) + c \, $ yaitu $ F(x) = \int F^\prime (x) dx - c \, $ atau $ \, F(x) = \int F^\prime (x) dx \, $ karena integral tak tentu pasti hasilnya $ \, + c $ . Sehingga bentuk lainnya yaitu : $ f(x) = \int f^\prime (x) dx , \, $ atau $ \, y = \int y^\prime dx , \, $ atau $ \, S(t) = \int S^\prime (t) dt , \, $ dan lainnya.

Catatan :
*). Untuk menghilangkan turunan , cukup diintegralkan fungsi turunannya.
*). Jika diketahui turunan kedua, maka kita integralkan dua kali untuk memperoleh fungsi kurva aslinya. Begitu seterusnya, kita integralkan sebanyak turunan yang diketahui.
*). Hasil integral dari turunannya disebut sebagai keluarga kurva karena masih dalam bentuk $ + c \, $ hasilnya, artinya nilai $ c \, $ bisa diganti dengan berbagai bilangan sehingga akan membentuk banyak persamaan kurva.
*). Untuk menentukan salah satu nilai $ c \, $ , maka kita substitusikan salah satu titik yang dilalui oleh kurvanya.
Contoh soal menentukan persamaan kurva :
1). Suatu kurva melalui titik (2, 1). Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhi hubungan $ \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $ , tentukan persamaan kurva tersebut.

Penyelesaian :
*). Diketahui turunannya : $ y^\prime = \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $.
*). Integralkan bentuk turunannya :
$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ & = \int 2\left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2\int \left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{-1}x^{-1} \right) + c \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} \right) + c \\ y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \end{align} $
*). Substitusikan titik (2,1) untuk menentukan nilai $ c $ :
$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \\ 1 & = 2^2 + \frac{2}{2} + c \\ 1 & = 4 + 1 + c \\ c & = -4 \end{align} $
Sehingga persamaan kurvanya adalah $ y = x^2 + \frac{2}{x} - 4 $.

2). Jika kurva $ F(x) \, $ melalui titik (1,3) dengan $ F^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 1 \, $. Tentukan nilai $ F(-1) $.

Penyelesaian :
*). Untuk menentukan nilai $ F(-1) \, $ , kita harus menentukan persamaan kurva $ F(x) \, $ terlebih dahulu.
*). Mengintegralkan :
$ \begin{align} F(x) & = \int F^\prime (x) dx \\ F(x) & = \int (3x^2 + 4x - 1) dx \\ F(x) & = x^3 + 2x - x + c \end{align} $
*). Substitusikan titik (1,3) untuk menentukan nilai $ c $ :
$ \begin{align} (x,y) = (1,3) \rightarrow F(x) & = x^3 + 2x - x + c \\ 3 & = 1^3 + 2.1 - 1 + c \\ 3 & = 1 + 2 - 1 + c \\ 3 & = 2 + c \\ c & = 1 \end{align} $
Sehingga persamaan kurvanya : $ F(x) = x^3 + 2x - x + 1 $.
*). Menentukan nilai $ F(-1) $ :
$ F(x) = x^3 + 2x - x + 1 \rightarrow F(-1) = (-1)^3 + 2(-1) - (-1) + 1 = -1 $.
Jadi, nilai $ F(-1) = -1 $.

3). Diketahui biaya marginal (MC) dalam memproduksi suatu barang (Q) setiap bulan adalah merupakan fungsi biaya terhadap banyak produksi barang dengan $ MC = \frac{dC}{dQ} = 2Q + 3 \, $. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per bulan.?
Keterangan :
Q = banyak produksi (Quantity),
C = Biaya produksi total (Total Cost),
dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ MC = \frac{dC}{dQ} = C^\prime (Q) = 2Q + 3 $
*). Menentukan biaya total $ C(Q) $ :
$ \begin{align} C(Q) & = \int C^\prime (Q) dQ \\ C(Q) & = \int (2Q + 3) dQ \\ C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \end{align} $
*). Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, artinya $ C(1) = 3 $.
$ \begin{align} C(1) = 3 \rightarrow C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \\ C(1) & = 1^2 + 3.1 + k \\ 3 & = 1 + 3 + k \\ k & = 1 \end{align} $
Jadi, fungsi biaya total per bulannya adalah $ C(Q) = Q^2 + 3Q + 1 $

4). Tentukan fungsi $ y = f(x) \, $ dari persamaan diferensial $ \frac{x^2dy}{dx} = y^2\sqrt{x} \, $ dengan $ y = 1 \, $ di $ x = 1 $.

Penyelesaian :
*). Integralkan persamaan diferensialnya :
$ \begin{align} \frac{x^2dy}{dx} & = y^2\sqrt{x} \\ \frac{ dy}{y^2} & = \frac{\sqrt{x}}{x^2} dx \\ y^{-2}dy & = x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \int y^{-2}dy & = \int x^{-\frac{3}{2}} dx \\ \frac{1}{-2+1}y^{-2+1} & = \frac{1}{-\frac{3}{2} + 1} x^{-\frac{3}{2} + 1} + c \\ -y^{-1} & = \frac{1}{-\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2} } + c \\ -y^{-1} & = (-2) \frac{1}{x^{\frac{1}{2} }} + c \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \end{align} $
*). Substitusi nilai $ y = 1 \, $ di $ x = 1 $.
$ \begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} + c \\ \frac{1}{1} & = \frac{2}{\sqrt{1}} + c \\ 1 & = 2 + c \\ c & = -1 \end{align} $
Sehingga : $ \frac{1}{y} = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 $.
*). Menentukan bentuk $ y = f(x) $
$ \begin{align} \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 \\ \frac{1}{y} & = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ \frac{1}{y} & = \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \\ y & = \frac{\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} \end{align} $
Jadi, fungsi $ y = f(x) \, $ adalah $ y = \frac{\sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} $ .

5). Suatu kurva $ y = f(x) \, $ melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya adalah -5 di titik tersebut. Jika $ f^{\prime \prime } (x) = 6x + 4 \, $ , tentukan persamaan kurvanya?

Penyelesaian :
*). Menentukan bentuk $ f^\prime (x) \, $ dengan mengintegralkan $ f^{\prime \prime } (x) $
$ \begin{align} f^\prime (x) & = \int f^{\prime \prime } (x) dx \\ f^\prime (x) & = \int ( 6x + 4 ) (x) dx \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \end{align} $
*). Gradiennya adalah $ - 5 \, $ di saat $ x = 1 $, artinya $ f^\prime (1) = -5 $
Karena gradien $ m = f^\prime (x) $.
Silahkan baca : "Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan".
*). Menentukan nilai $ c_1 \, $ dengan $ f^\prime (1) = -5 $
$ \begin{align} f^\prime (1) = - 5 \rightarrow f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \\ f^\prime (1) & = 3.1^2 + 4.1 + c_1 \\ -5 & = 3 + 4 + c_1 \\ c_1 & = -12 \end{align} $
Sehingga : $ f^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 12 $.
*). Menentukan bentuk $ f(x) \, $ dari $ f^\prime (x) $ :
$ \begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x - 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \end{align} $
*). Kurva melalui titik (1,2), artinya $ f(1) = 2 $ :
$ \begin{align} f(1) = 2 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 12.1 + c_2 \\ 2 & = 1 + 2 - 12 + c_2 \\ c_2 & = 11 \end{align} $
sehingga $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11 $ .
Jadi, persamaan kurvanya adalah $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11 $ .

Penerapan Integral di Bidang Fisika
       Pada bidang fisika ada yang namanya fungsi lintasan $ (s(t)) \, $ fungsi kecepatan $ (v(t)) \, $ dan fungsi percepatan $ (a(t)) $. Dari materi "Kecepatan dan Percepatan Menggunakan Turunan", kita peroleh :
*). Kecepatan adalah laju perubahan dari lintasan terhadap perubahan waktu
$ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} = s^\prime (t) \, $ sehingga :
$ s(t) = \int s^\prime (t) dt = \int v(t) dt $.
*). Percepatan adalah laju perubahan kecepatan terhadap perubahan waktu
$ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = v^\prime (t) = s^{\prime \prime } (t) \, $ sehingga :
$ v(t) = \int v^\prime (t) dt = \int a(t) dt $.
Contoh soal :
6). Sebuah partikel diamati pada interval waktu tertentu dan diperoleh data bahwa fungsi percepatan memenuhi pola dengan fungsi $ a(t) = -2t^2 + 3t +1 $ . Tentukan fungsi lintasan partikel tersebut jika deketahui $ v_0 = 2 \, $ dan $ s_0 = 1 $.

Penyelesaian :
*). Diketahui : $ a(t) = -3t^2 + 4t +1 $
*). Menentukan kecepatan $(v(t)) $ :
$ \begin{align} v(t) & = \int a(t) dt \\ v(t) & = \int ( -3t^2 + 4t +1 ) dt \\ v(t) & = \frac{-3}{2+1}t^3 + \frac{4}{1+1}t^2 + t + c_1 \\ v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \end{align} $
*). Bentuk $ v_0 = 2 \, $ artinya kecepatan awalnya adalah 2 saat $ t = 0 \, $ atau dapat ditulis $ v(0) = 2 $.
*). substitusi $ v(0) = 2 $ :
$ \begin{align} v(0) = 2 \rightarrow v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \\ v(0) & = -0^3 + 2.0^2 + 0 + c_1 \\ 2 & = -0 + 0 + 0 + c_1 \\ c_1 & = 2 \end{align} $
sehingga $ v(t) = -t^3 + 2t^2 + t + 2 $
*). Menentukan fungsi lintasan $(s(t)) $ :
$ \begin{align} s(t) & = \int v(t) dt \\ s(t) & = \int -t^3 + 2t^2 + t + 2 dt \\ s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \end{align} $
*). Bentuk $ s_0 = 1 \, $ artinya lintasan awalnya adalah 1 saat $ t = 0 \, $ atau dapat ditulis $ s(0) = 1 $.
*). substitusi $ s(0) = 1 $ :
$ \begin{align} s(0) = 1 \rightarrow s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \\ s(0) & = -\frac{1}{4}.0^4 + \frac{2}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 + 2.0 + c_2 \\ 1 & = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2 \\ c_2 & = 1 \end{align} $
sehingga $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $
Jadi, fungsi panjang lintasannya adalah $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $.

Sabtu, 27 Februari 2016

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar


         Blog Koma - Sebelumnya kita telah bahas pengertian integral yaitu antiturunan atau invers dari turunan suatu fungsi. Sementara integral tak tentu juga ada pada pembahasan "apa bedanya integral tertentu dan tak tentu". Pada artikel ini kita akan membahas lebih mendalam materi Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar. Pada pengertian integral, misalkan fungsi $ f(x) \, $ adalah turunan dari fungsi $ F(x) + c \, $ , maka dapat kita tulis bentuk integralnya : $ \int f(x) dx = F(x) + c $ . Pada artikel ini juga akan dibahas sifat-sifat integral tak tentu.

Rumus Integral Fungsi Aljabar
       Untuk $ n $ bilangan rasional dengan $ n \neq - 1$, dan $ a, c $ adalah bilangan real maka berlaku aturan:
i). $ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
ii). $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $

       Khusus untuk pankatnya $ - 1 \, $ maka berlaku aturan :
i). $ \int x^{-1} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + c $
ii). $ \int ax^{-1} dx = \int \frac{a}{x} dx = a \ln x + c $
dengan fungsi $ \ln x \, $ dibaca "len $ x $" yang sama dengan fungsi logaritma dengan basis $ e = 2,718... $
Contoh soal integral fungsi aljabar :
1). Tentukan hasil integral dari bentuk berikut :
a). $ \int x^3 dx $
b). $ \int 6x^3 dx $
c). $ \int \frac{3}{x} dx $
d). $ \int \sqrt{x} dx $
e). $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx $
f). $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx $

Penyelesaian :
*). Kita langsung gunakan rumus integral fungsi aljabar di atas.
*). Kita membutuhkan sifat eksponen :
$ \begin{align} a^{m+n} = a^m.a^n, \, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \end{align} \, $ dan $ \begin{align} \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \end{align} $
a). $ \int x^3 dx , \, $ artinya $ n = 3 $
$ \int x^3 dx = \frac{1}{3+1}x^{3+1} + c = \frac{1}{4}x^4 + c $.

b). $ \int 6x^3 dx , \, $ artinya $ a = 6, n = 3 $
$ \int 6x^3 dx = \frac{6}{3+1}x^{3+1} + c = \frac{6}{4}x^4 + c = \frac{3}{2}x^4 + c $.

c). $ \int \frac{3}{x} dx , \, $ artinya $ n = -1 $
$ \int \frac{3}{x} dx = \int 3x^{-1} dx = 3 \ln x + c $

d). $ \int \sqrt{x} dx = \int x^\frac{1}{2} dx , \, $ artinya $ n = \frac{1}{2} $
$ \begin{align} \int \sqrt{x} dx & = \int x^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1 } x^{\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2}} x^\frac{3}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x^{1 + \frac{1}{2} } + c = \frac{2}{3}x^1.x^\frac{1}{2} + c \\ & = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int \sqrt{x} dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + c = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + c $

e). $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = \int 5 x^\frac{2}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{2}{3} $
$ \begin{align} \int 5\sqrt[3]{x^2} dx & = \int 5 x^\frac{2}{3} dx \\ & = \frac{5}{\frac{2}{3} + 1} x^{\frac{2}{3} + 1} + c \\ & = \frac{5}{\frac{5}{3} } x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 5 . \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{1 + \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x^1.x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = 3 x^{\frac{5}{3} } + c = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c $

f). $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx = \int x^2.x^\frac{2}{3} dx = \int x^{2 + \frac{2}{3}} dx = \int x^\frac{8}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{8}{3} $
$ \begin{align} \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx & = \int x^\frac{8}{3} dx \\ & = \frac{1}{\frac{8}{3} + 1} x^{\frac{8}{3} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{11}{3} } x^{\frac{11}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^{3 + \frac{2}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^3 . x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = \frac{3}{11} x^3 \sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Jadi, hasil $ \int x^2.\sqrt[3]{x^2} dx = \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3} } + c = \frac{3}{11} x^3 \sqrt[3]{x^2} + c $

Sifat-sifat Integral Tak Tentu
       Untuk memudahkan dalam mengerjakan integral, sebaiknya kita harus menguasai juga sifat-sifat integral tak tentu sebagai berikut :
1). $ \int k dx = kx + c \, $ dimana $ k \, $ adalah suatu konstanta
2). $ \int k f(x) dx = k \int f(x) dx $
(konstanta bisa dikeluarkan terlebih dahulu).
3). $ \int [f(x) + g(x) ] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $
4). $ \int [f(x) - g(x) ] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx $

Catatan :
*). Untuk sifat (3) dan (4), jika ada beberapa suku suatu fungsi, maka masing-masing suku bisa diintegralkan langsung.
*). Jika ada bentuk perkalian fungsi atau pembagian fungsi, maka tidak bisa diintegralkan langsung, tetapi harus dijabarkan terlebih dahulu sehingga terbentuk fungsi $\, ( ax^n + bx^m + cx^k + .... ) $ , setelah itu baru masing-masing suku kita integralkan.
Contoh soal :
2). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). $ \int 3 dx $
b). $ \int 3x^5 dx $
c). $ \int (x^2 + x) dx $
d). $ \int (x^2 - x) dx $
e). $ \int (x^3 - 2x + 5) dx $
f). $ \int (x^2+2)(2x-3) dx $
g). $ \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx $
h). $ \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx $
i). $ \int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx $

Penyelesaian :
a). $ \int 3 dx = 3x + c \, $ (sifat 1)

b). berdasarkan difat (2) :
$ \int 3x^5 dx = 3 \int x^5 dx = 3 . \frac{1}{5+1}x^{5+1} + c = 3 . \frac{1}{6}x^6 + c = \frac{1}{2}x^6 + c $

c). berdasarkan sifat (3) :
$ \int (x^2 + x) dx = \int x^2 dx + \int x dx = \frac{1}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{1+1}x^{1+1} + c = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + c $

d). berdasarkan sifat (4) :
$ \int (x^2 - x) dx = \int x^2 dx - \int x dx = \frac{1}{2+1}x^{2+1} - \frac{1}{1+1}x^{1+1} + c = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + c $

e). masing-masing suku langsung diintegralkan :
$ \begin{align} \int (x^3 - 2x + 5) dx & = \int x^3 dx - \int 2x dx + \int 5 dx \\ & = \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{2}{1+1}x^{1+1} + 5x + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + 5 + c \end{align} $

f). Jabarkan dulu bentuk perkaliannya, kemudian integralkan masing-masing suku :
$ \begin{align} \int (x^2+2)(2x-3) dx & = \int ( 2x^3 - 3x^2 + 4x - 6 ) dx \\ & = \frac{2}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 - 6x + c \\ & = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + 2x^2 - 6x + c \end{align} $

g). Sederhanakan terlebih dahulu, kemudian integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ .
$ \begin{align} \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx & = \int \frac{x^3}{3x^2}+\frac{2x^2}{3x^2}-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{x}{3 }+\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{1}{3}x +\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3 } x^{-2} dx \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{1+1}x^{1+1} +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} + c \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{2}x^2 +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{- 1} x^{- 1} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 } . \frac{1}{x} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 x} + c \end{align} $

h). Sederhanakan terlebih dahulu, kemudian integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , \, \sqrt{a} = x^\frac{1}{2} $ .
$ \begin{align} \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx & = \int \frac{x+4}{\sqrt{x}} dx \\ & = \int \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{4}{\sqrt{x}} dx \\ & = \int \frac{x}{x^\frac{1}{2}} + \frac{4}{x^\frac{1}{2}} dx \\ & = \int x^{1-\frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}} dx \\ & = \int x^\frac{1}{2} + 4x^{-\frac{1}{2}} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} + \frac{4}{-\frac{1}{2} + 1}x^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } x^{\frac{3}{2} } + \frac{4}{\frac{1}{2} }x^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } + 4 . \frac{2}{1} \sqrt{x } + c \\ & = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } + 8 \sqrt{x } + c \\ & = \frac{2}{3} x \sqrt{x } + 8 \sqrt{x } + c \end{align} $

i). Sederhanakan terlebih dahulu, kemudian integralkan masing-masing suku :
Sifat eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} , \, \sqrt{a} = x^\frac{1}{2} $ .
$ \begin{align} \int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx & = \int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx \\ & = \int (\sqrt{x})^2 - 2. \sqrt{x}. \frac{1}{\sqrt{x}} + \left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^2 dx \\ & = \int x - 2 + \frac{1}{x} dx \\ & = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \ln x + c \end{align} $

Pembuktian Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
*). kita ingat kembali rumus turunan dasar fungsi aljabar yaitu :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} \, \, $ dan $ \, \, y = \ln x \rightarrow y^\prime = \frac{1}{x} $.
untuk materi lengkap turunannya, silahkan baca pada artikel :
"Turunan Fungsi Aljabar " dan "Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen".

*). Sesuai dengan pengertian integral, maka bentuk $ \int f(x) dx = F(x) + c \, $ benar jika berlaku turunan fungsi $ ( F(x) + c ) $ adalah $ f(x) $, artinya kita tinggal membuktikan $ \frac{d}{dx}(F(x) + c) = f(x) \, $ dimana bentuk $ \frac{d}{dx}(F(x) + c) \, $ adalah turunan dari $ ( F(x) + c ) $.
*). Pembuktian rumus pertama : $ \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{1}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = x^n \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \right) = x^2 $ .

*). Pembuktian rumus kedua : $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{a}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = ax^n \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) = ax^2 $ .

*). Pembuktian rumus ketiga : $ \int \frac{1}{x} dx = \ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) & = \frac{1}{x} \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{1}{x} $ .

*). Pembuktian rumus keempat : $ \int \frac{a}{x} dx = a\ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( a\ln x + c \right) & = a . \frac{1}{x} = \frac{a}{x} \end{align} $
Jadi terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{a}{x} $ .

Jumat, 26 Februari 2016

Apa Bedanya Integral Tertentu dan Tak Tentu


         Blog Koma - Setelah kita mengerti tentang pengertian integral, dan sebelum kita melangkah lebih jauh tentang integral, ada baiknya kita mengetahui dulu Apa Bedanya Integral Tertentu dan Tak Tentu?. Sebenarnya perbedaan mendasar integral tertentu dan integral tak tentu ada pada batas integralnya. Pada artikel ini, kita akan membahas sekilar saja perbedaaan keduanya dan akan kita bahas lebih mendalam pada artikel lainnya.

Perbedaan Integral Tertentu dan Integral Tak tentu
       Perbedaan dari kedua integral tersebut yaitu :
i). integral tertentu memiliki batas bawah dan batas atas, sedangkan integral tak tentu tidak memiliki batas integralnya.
ii). Integral tertentu hasilnya biasanya berupa bilangan (tergantung batasnya), sedangkan integral tak tentu hasilnya adalah fungsi.
iii). Penulisan integralnya :
*). integral tertentu : $ \int \limits_a^b f(x) dx \, $
dengan $ a \, $ sebagai batas bawah dan $ b \, $ sebagai batas atas.
*). integral tak tentu : $ \int f(x) dx $.
iv). Integral tertentu hasilnya tidak perlu $ + c , \, $ sedangkan integral tak tentu hasilnya ada $ + c $.
$ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \, $ dan $ \, \int f(x) dx = F(x) + c $.

Catatan :
Baik integral Tertentu maupun integral tak tentu, kita harus mencari hasil integral fungsinya terlebih dahulu, sehingga yang harus kita kuasai dulu adalah integral tak tentunya, setelah itu akan mudah untuk mengerjakan integral tertentu dengan langsung memasukkan batasnya.
Contoh soal :
1). Tentukan hasil dari integral :
a). $ \int 2x dx $
b). $ \int \limits_2^7 2x dx $

Penyelesaian :
*). Sebelumnya kita telah mempelajari pengertian integral yaitu antiturunan atau kebalikan dari turunan.
a). $ \int 2x dx = x^2 + c $
Karena turunan dari $ x^2 + c \, $ adalah $ 2x $
Jadi, hasil dari $ \int 2x dx = x^2 + c $

b). $ \int \limits_2^7 2x dx $
Sebelumnya kita cari dulu hasil $ \int 2x dx \, $ , kemudian masukkan batas atas dan batas bawahnya. Berdasarkan bagian (a) diatas, kita peroleh :
$ \begin{align} \int \limits_2^7 2x dx & = [x^2 ]_2^7 \\ & = F(7) - F(2) \\ & = 7^2 - 2^2 \\ & = 49 - 4 \\ & = 45 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_2^7 2x dx = 45 $.

Pengertian Integral Secara Umum


         Blog Koma - Hallow teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada kesempatan ini kita akan membahas yang namanya integral. Apa sih integral itu? dan bagaimana cara menghitungnya?. Kita akan mempelajarinya secara bertahap, yang kita awali dengan mempelajari Pengertian Integral Secara Umum dulu baru materi berikutnya lebih mendalam lagi. Tapi ada baiknya teman-teman harus menguasai materi turunan fungsi terlebih dahulu karena integral berkaitan erat dengan turunan.

         Misalkan $ f $ adalah fungsi turunan dari fungsi $ F $ yang kontinu pada suatu domain. Untuk setiap $ x $ terletak pada domain tersebut, berlaku $ \begin{align} F^\prime (x) = \frac{dF(x)}{dx} = f(x) \end{align} , \, $ artinya turunan fungsi $ F(x) \, $ adalah $ f(x) $.
Perhatikan bentuk fungsi $ F(x) \, $ dan turunannya yaitu $ f(x) $ berikut :
$ F(x) = x^2 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + 3 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 - 5 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + \sqrt{3} \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $
$ F(x) = x^2 + c \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x \, $($c \, $ adalah suatu konstanta).

         Dari kenyataan tersebut, timbul pertanyaan bagaimanakah menentukan fungsi $ F $ sedemikian rupa sehingga untuk setiap $ x $ anggota domain $ F $, berlaku $ F^\prime (x) = f(x)? \, $ Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi $ F $ merupakan invers dari operasi derivatif (diferensial). Invers dari operasi derivatif disebut integral. Integral disebut juga antiderivatif (antidiferensial) atau antiturunan. Pada contoh di atas, jika $ F(x) $ adalah integral dari $ f(x) = 2x$, maka $ F(x) = x^2 + c$, dengan $c $ suatu konstanta real.

Pengertian Integral
       Jika $ F(x) $ adalah fungsi umum yang bersifat $ F^\prime (x) = f(x)$, maka $ F(x) $ merupakan antiturunan atau integral dari $ f(x) $.

Pengintegralan fungsi $ f(x) $ terhadap $ x $ dinotasikan sebagai berikut.
              $ \int f(x) dx = F(x) + c $

Keterangan :
$ \int = \, $ notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
$ f(x) = \, $ fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunannya/integralnya)
$ F(x) = \, $ fungsi integral umum yang bersifat $ F^\prime (x) = f(x)$
$ c = \, $ konstanta.
Contoh soal integral :
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a) $ \int 2x dx $
b) $ \int (x + 3) dx $

Penyelesaian :
a) $ \int 2x dx = x^2 + c $
karena turunan dari $ x^2 + c \, $ adalah $ 2x $.

b) $ \int (x + 3) dx = \frac{1}{2}x^2 + 3x + c $
karena turunan dari $ \frac{1}{2}x^2 + 3x + c \, $ adalah $ x + 3 $.

Catatan :
Untuk menentukan integral selanjutnya kita akan menggunakan rumus yang ada, artinya kita tidak perlu menurunkannya lagi seperti contoh di atas.

Sub Materi pada Integral
       Sub materi yang akan kita pelajari pada Integral yaitu :
i). Pengertia integral
ii). Apa bedanya integral Tertentu dan Tak Tentu
iii). Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar
       *). Menentukan Persamaan Kurva dengan Integral
iv). Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri
v). Teknik Integral :
       a). Integral Substitusi Aljabar
       b). Integral Parsial
       c). Integral Substitusi Trigonometri
       d). Integral Membagi Pecahan
vi). Integral Tertentu :
       a). Jumlah Riemann
       b). Teorema Fundamental Kalkulus
       c). Sifat-sifat Integral Tertentu
vii). Penggunaan Integral :
       a). Menentukan Luas Kurva
       b). Menentukan Panjang Lintasan Kurva
       c). Menentukan Volume Benda Putar.

Rabu, 24 Februari 2016

Program Linear : Nilai Optimum dengan Metode Gradien


         Blog Koma - Setelah kita mempelajari dua metode yaitu "metode uji titik pojok" dan "metode garis selidik" untuk menyelesaikan masalah program linear, ada satu metode lagi yang jarang dibahas di sekolah yaitu metode gradien. Pada artikel ini kita akan khusus membahas Program Linear : Nilai Optimum dengan Metode Gradien. Agar lebih mudah memahaminya, silahkan baca materi yang berkaitan dengan "gradien suatu persamaan garis lurus".

Nilai Optimum dengan Metode Gradien
       Metode gradien adalah suatu metode yang secara langsung menggunakan gradien. Dengan metode gradien, akan langsung dapat kita tentukan titik pojok yang menyebabkan suatu fungsi tujuan memeiliki nilai optimum (maksimum atau minimum).

Misalkan ada fungsi tujuan $ z = f(x,y) = ax + by \, $ dengan gradien $ m_f$,
dan terdapat dua kendala yaitu kendala I dengan gradien $ m_1 \, $ dan kendala II dengan gradien $ m_2, \, $ maka ada tiga kemungkinan yang terjadi, yaitu :
i). $ m_f \leq m_1 \leq m_2 \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada titik pojok garis pertama.
ii). $ m_1 \leq m_f \leq m_2 \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada perpotongan kedua garis.
iii). $ m_1 \leq m_2 \leq m_f \, $ artinya nilai optimum diperoleh pada titik pojok garis kedua.

Syarat yang harus dipenuhi :
*). Semua gradien fungsi tujuan dan kendalanya harus negatif.
*). Tanda ketaksamaannya harus sama semua ($\leq \, $ semua atau $ \, \geq \, $ semua).
*). Banyaknya kendala bisa lebih dari 2.
Catatan :
Metode gradien biasanya bisa diaplikasikan pada soal cerita.

Gradien persamaan Garis
       Untuk mengingatkan kembali, berikut cara menentukan gradien ($m$) suatu persamaan garis :
Garis $ \begin{align} ax + by = c \rightarrow m = \frac{- \text{koefisien } x}{\text{koefisien } y} = \frac{-a}{b} \end{align} $
Contoh soal metode gradien :
1). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = 4x + 6y \, $ dengan
kendala : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 4x + 6y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} = - 0,67 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_2 \leq m_z \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik perpotongan kedua garis karena gradien fungsi tujuannya ada diantara gradien kedua kendalanya.
*). Menentukan perpotongan kedua garis kendala :
$ \begin{array}{c|c|cc} 5x + 10y = 20 & \times 1 & 5x + 10y = 20 & \\ 3x + y = 5 & \times 10 & 30x + 10y = 50 & - \\ \hline & & -25x = -30 & \\ & & x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Substitusi $ x = \frac{6}{5} \, $ ke persamaan $ 3x + y = 5 $
$ 3x + y = 5 \rightarrow 3x \times \frac{6}{5} + y = 5 \rightarrow y = \frac{7}{5} $.
Sehingga titik perpotongannya adalah ($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik ($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$)
$ z = 4x + 6y = 4 \times \frac{6}{5} + 6 \times \frac{7}{5} = 13,2 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = 4x + 6y \, $ adalah 13,2.

2). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = x + 5y \, $ dengan
kendala : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = x + 5y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-1}{5} = - 0,2 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_2 \leq m_1 \leq m_z $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik pojok garis pertama karena gradiennya lebih dekat dengan gradien garis pertama.
*). Menentukan titik pojok garis I :
$ 5x + 10y = 20 \rightarrow (0,2), (4,0) $.
Kita cek titik (0,2) dan (4,0) ke kendala yang lainya :
$ (0,2) \rightarrow 3x + y \geq 5 \rightarrow 3.0 + 2 \geq 5 \rightarrow 2 \geq 5 \, $ (salah).
titik (0,2) bukan titik pojok.
$ (4,0) \rightarrow 3x + y \geq 5 \rightarrow 3.4 + 0 \geq 5 \rightarrow 12 \geq 5 \, $ (benar).
titik (4,0) adalah titik pojok.
Sehingga fungsi tujuan $ z = x + 5y \, $ minimum di titik pojok (4,0).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik (4,0)
$ z = x + 5y = 4 + 5 \times 0 = 4 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = x + 5y \, $ adalah 4.

3). Tentukan nilai minimum fungsi tujuan $ z = 20x + 5y \, $ dengan
kendala : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 20x + 5y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-20}{5} = - 4 $
Kendala I : $ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{10} = -0,5 $
Kendala II : $ 3x + y \geq 5 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{1} = -3 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_z \leq m_2 \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan minimum pada titik pojok garis kedua karena gradiennya lebih dekat dengan gradien garis kedua.
*). Menentukan titik pojok garis II :
$ 3x + y = 5 \rightarrow (0,5), (\frac{5}{3},0) $.
Kita cek titik (0,5) dan ($\frac{5}{3}$,0) ke kendala yang lainya :
$ (0,5) \rightarrow 5x + 10y \geq 20 \rightarrow 5.0 + 10.5 \geq 20 \rightarrow 50 \geq 20 \, $ (benar).
titik (0,5) adalah titik pojok.
$ (\frac{5}{3},0) \rightarrow 5x + 10y \geq 20 \rightarrow 5.\frac{5}{3} + 10.0 \geq 20 \rightarrow \frac{25}{3} \geq 20 \, $ (salah).
titik ($\frac{5}{3}$,0) bukan titik pojok.
Sehingga fungsi tujuan $ z = 20x + 5y \, $ minimum di titik pojok (0,5).
*). Menentukan nilai minimumnya di titik (0,5)
$ z = 20x + 5y = 20. \times 0 + 5 \times 5 = 25 $.
Jadi, nilai minimum fungsi $ z = 20x + 5y \, $ adalah 25.

Catatan :
*). Sebenarnya soal nomor 1 sampai nomor 3 memiliki kendala yang sama hanya fungsi tujuannya yang dibedakan agar kita bisa menyelesaikan soal dengan berbagai variasi yang ada terutama cara menentukan titik pojoknya dengan tanpa harus menggambar dulu grafik dan DHPnya.

4). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ z = 20x + 10y \, $ dengan
kendala : $ x + 2y \leq 4 , \, 5x + 3y \leq 15, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = 20x + 10y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-20}{10} = - 2 $
Kendala I : $ x + 2y \leq 4 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{2} = -0,5 $
Kendala II : $ 5x + 3y \leq 15 \rightarrow m_2 = \frac{-5}{3} = -1,67 $
Karenan gradien kendala dan fungsi tujuannya semuanya negatif, maka metode gradien bisa kita gunakan.
Kita peroleh letak $ m_z \, $ adalah : $ m_z \leq m_2 \leq m_1 $.
Artinya fungsi tutujan maksimum pada titik pojok garis kedua karena gradiennya lebih dekat dengan gradien garis kedua.
*). Menentukan titik pojok garis II :
$ 5x + 3y \leq 15 \rightarrow (0,5), (3,0) $.
Kita cek titik (0,5) dan (3,0) ke kendala yang lainya :
$ (0,5) \rightarrow x + 2y \leq 4 \rightarrow 0 + 2.5 \leq 4 \rightarrow 10 \leq 4 \, $ (salah).
titik (0,5) bukan titik pojok.
$ (3,0) \rightarrow x + 2y \leq 4 \rightarrow 3 + 2.0 \leq 4 \rightarrow 3 \leq 4 \, $ (benar).
titik (3,0) adalah titik pojok.
Sehingga fungsi tujuan $ z = 20x + 10y \, $ maksimum di titik pojok (3,0).
*). Menentukan nilai maksimumnya di titik (3,0)
$ z = 20x + 10y = 20 \times 3 + 10 \times 0 = 60 $.
Jadi, nilai maksimum fungsi $ z = 20x + 10y \, $ adalah 60.

5). Agar fungsi tujuan $ z = ax + 4y \, $ minimum pada perpotongan kedua
kendala : $ 5x + 2y \geq 10 , \, 3x + 4y \geq 12 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $,
Tentukan rentang nilai $ a $?

Penyelesaian :
*). Menentukan gradien masing-masing :
fungsi tujuan : $ z = ax + 4y \rightarrow m_z = \frac{-x}{y} = \frac{-a}{4} $
Kendala I : $ 5x + 2y \geq 10 \rightarrow m_1 = \frac{-5}{2} $
Kendala II : $ 3x + 4y \geq 12 \rightarrow m_2 = \frac{-3}{4} $
*). Agar penyelesaiannya ada di perpotongan kedua kendala, haruslah gradien fungsi tujuannya ada di antara gradien fungsi kendalanya.
$ \begin{align} m_1 \leq & m_z \leq m_2 \\ \frac{-5}{2} \leq & \frac{-a}{4} \leq \frac{-3}{4} \, \, \, \, \text{(kali -4, tanda dibalik)} \\ \frac{-5}{2} \times (-4) \geq & \frac{-a}{4} \times (-4) \geq \frac{-3}{4} \times (-4) \\ 10 \geq & a \geq 3 \end{align} $
Jadi, rentang nilai $ a \, $ adalah $ \, 10 \geq a \geq 3 \, $ atau $ 3 \leq a \leq 10 $ .

Catatan :
Untuk soal nomor (5), jika ada kata solusinya "hanya" di perpotongan kedua kendala, maka yang dipakai adalah $ m_1 < m_z < m_2 $.

Jumat, 19 Februari 2016

Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik


         Blog Koma - Selain metode "uji titik pojok", terdapat metode lain yang digunakan sebagai alternatif untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsi tujuan. Metode alternatif tersebut dikenal sebagai metode garis selidik. Pada artikel ini kita akan membahas Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik. Untuk memudahkan mempelajari materi Program Linear : Nilai Optimum dengan Garis Selidik ini, sebaiknya kita harus menguasai dulu materi "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan", dan "Menyusun Model Matematika".

Nilai Optimum dengan Garis Selidik
       Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan $ \, ax + by = k , $ dengan $ \, k \in R \, $ dimana $ k \, $ sembarang bilangan yang kita pilih. Garis selidik $ ax + by = k (k \in R) $ merupakan himpunan garis-garis yang sejajar. Dua buah garis dikatakan sejajar jika memiliki gradien yang sama.

       Pada dasarnya, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggeser garis selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah sampai garis tersebut memotong titik-titik pojok daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk fungsi tujuan maksimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian dari kendala-kendala sistem pertidaksamaan linear dua variabel berada di bawah atau sebelah kiri garis selidik. Adapun untuk fungsi tujuan minimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penyelesaian berada di atas atau sebelah kanan garis selidik dengan syarat koefisien $ y \, $ harus positif ($ b > 0 $). Jika koefisien $ y \, $ negatif ($b < 0$), maka berlaku sebaliknya.
Langkah-langkah metode Garis Selidik
Langkah-langkah Menentukan nilai Optimum dengan Garis Selidik :
i). Buat model matematikanya yang teridiri dari kendala dan fungsi tujuan;
ii). Tentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP);
iii). Tentukan persamaan garis selidik dari fungsi tujuannya;
Untuk mendapatkan nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kanan atau atas sampai memotong titik paling jauh dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling jauh tersebut merupakan titik yang memaksimumkan fungsi tujuan.
iv). Untuk mendapatkan nilai minimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kiri atau bawah sampai memotong titik paling dekat dari daerah himpunan penyelesaian. Titik yang paling dekat tersebut merupakan titik yang meminimumkan fungsi tujuan.

Perhatikan gambar ilustrasi garis selidik berikut ini :
Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik yang meminimum kan fungsi tujuan (objektif ) dan titik D merupakan titik yang me maksimum kan tujuan.
Contoh soal nilai optimum dengan garis selidik :
1). Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan $ z = f(x, y) = 3x + 4y \, $ dan fungsi kendalanya adalah
$ x + 2y \leq 10 , \, 4x + 3y \leq 24, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $

Penyelesaian :
*). Menentukan grafik dan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) :
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", dan "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan".
*). Fungsi tujuannya : $ z = f(x, y) = 3x + 4y $, bentuk umum garis selidiknya adalah $ 3x + 4y = k $ . Untuk memudahkan menggambar, kita pilih nilai $ k = 12 \, $ sehingga persamaan garis selidiknya adalah $ 3x + 4y = 12 $.
gambar garis selidiknya :
Berdasarkan gambar garis selidik di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diketahui, yaitu titik B. Koordinat titik B setelah dicari adalah $(\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$.
Artinya fungsi tujuannya maksimum pada titik pojok B.
*). Menentukan nilai maksimumnya dengan substitusi titik B ke fungsi tujuannya :
$ f(x,y) = f(\frac{18}{5}, \frac{16}{5}) = 3 \times \frac{18}{5} + 4 \times \frac{16}{5} = 23,6 $.
Jadi, nilai maksimum dari fungsi tujuannya adalah 23,6.

*). Bagaimana dengan nilai minimumnya?
Perhatikan gambar garis selidiknya, garis selidik harus digeser ke kiri atau ke bawah seperti gambar berikut.
Berdasarkan gambar tersebut, titik O(0, 0) merupakan titik paling dekat dari himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuan yang diberikan dicapai pada titik O(0, 0), yaitu
$ z = f(x, y) = 3x + 4y = 3(0) + 4(0) = 0 $ .
Sehingga nilai minimum fungsi tujuannya adalah 0.

2). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ f(x,y) = 80x + 125y \, $ yang memenuhi kendala $ x + y \leq 350, \, 600x + 1.000y \leq 300.000 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Gambar grafik dan DHP nya :
*). Fungsi tujuan dari masalah program linear tersebut adalah $ 80x + 125y $. Bentuk umum garis selidiknya $ ax + by = k \, $ , kita pilih $ k = 10.000 , \, $ sehingga garis selidiknya menjadi $ 80x + 125y = 10.000 \, $ atau $ \, 16x + 25y = 2.000 $ .
catatan : nilai $ k \, $ bebas kita pilih, tapi kita pilih yang mudah dalam menggambar.
*). Oleh karena yang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan atau atas seperti pada gambar berikut.
gambar garis selidik dan pergeserannya :
*). Berdasarkan gambar di atas, garis selidik yang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel di titik B (125, 225).
Dengan demikian, nilai fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ maksimum dicapai di titik B (125, 225).
*). Menentukan nilai maksimum dengan substitusi titik B ke fungsi tujuan :
$ f(x,y) = 80x + 125y \rightarrow f(125,225) = 80 \times 125 + 125 \times 225 = 38.125 $.
Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan $ z = 80x + 125y \, $ adalah 38.125.

Catatan :
Dari dua contoh soal di atas, dapat disimpulkan bahwa metode garis selidik digunakan hanya untuk menentukan titik pojok mana yang menyebabkan fungsi tujuannya memiliki nilai optimum. Hanya saja metode garis selidik memerlukan ketelitian dalam menggambar dan menggeser garis selidiknya, jangan sampai salah.

Kamis, 18 Februari 2016

Program Linear : Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok


         Blog Koma - Setelah kita mempelajari beberapa materi prasayarat untuk program linear seperti : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan", dan "Menyusun Model Matematika", maka tiba saatnya kita akan membahas masalah program linear yang langsung berkaitan dengan nilai optimum yaitu nilai maksimum atau nilai minimum pada artikel Program Linear : Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok.

         Untuk menentukan nilai optimum suatu soal cerita yang berkaitan dengan progrma linear, ada tiga metode yang bisa kita gunakan yaitu metode uji titik pojok, metode garis selidik, dan metode gradien. Namun diatara ketiga metode tersebut, yang paling mudah dan yang paling sering diajarkan adalah metode yang pertama yaitu metode uji titik pojok.

Nilai Optimum dengan Uji Titik Pojok
       Metode Uji titik pojok adalah suatu metode dengan mensubstitusikan titik-titik pojok pada suatu daerah himpunan penyelesaian (DHP) ke fungsi tujuannya (fungsi sasaran/fungsi objektif). Nilai maksimum berarti nilai yang paling besar yang kita ambil, begitu juga sebaliknya untuk nilai minimum kita ambil yang paling kecil.
Dari gambar DHP di atas, titik pojoknya adalah titik A, titik B, dan titik C.

Langkah-langkah menentukan nilai Optimum dengan uji titik pojok :
i). Buat model matematikanya (terdiri dari fungsi kendala dan fungsi tujuan).
ii). Tentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) dan titik pojoknya.
iii). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, dan tentukan yang diminta apakah nilai maksimum atau nilai minimum.
Contoh soal nilai optimum dengan uji titik pojok :
1). Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y \, $ berdasarkan DHP berikut ini.
Penyelesaian :
*). Titik pojoknya adalah titik A, B, C, dan O. Titik C belum ada koordinatnya, sehingga harus kita cari dulu dengan eliminasi kedua persamaan garis.
*). Menentukan titik C :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 60 & \times 2.000 & 2.000x + 2.000y = 120.000 & \\ 2.500x + 2.000y = 140.000 & \times 1 & 2.500x + 2.000y = 140.000 & - \\ \hline & & -500x = -20.000 & \\ & & x = 40 & \end{array} $
Substitusi $ x = 40 \, $ ke persamaan $ x + y = 60 $
$ x + y = 60 \rightarrow 40 + y = 60 \rightarrow y = 20 $.
Sehingga titik C adalah C(40,20).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y $.
$ A(0,60) \rightarrow f = 1.500 \times 0 + 1.250 \times 60 = 75.000 $
$ B(56,0) \rightarrow f = 1.500 \times 56 + 1.250 \times 0 = 84.000 $
$ C(40,20) \rightarrow f = 1.500 \times 40 + 1.250 \times 20 = 85.000 $
$ O(0,0) \rightarrow f = 1.500 \times 0 + 1.250 \times 0 = 0 $
Jadi, fungsi $ f(x,y) = 1.500x + 1.250y \, $ di titik C(40,20) dengan nilai maksimumnya adalah $ f = 85.000 $.

2). Tentukan nilai maksimum $ f(x, y) = 3x + 4y \, $ pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.
$ x + 2y \leq 10, \, 4x + 3y \leq 24, \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.

Penyelesaian :
*). Pada soal ini model matematikanya sudah ada, sehingga kita lanjutkan dengan menentukan DHP dengan menggambar grafiknya dan menentukan titik pojoknya.
*). Menggambar grafik dan DHP.
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear", dan "Menentukan DHP sistem Pertidaksamaan".
$ x + 2y = 10 \rightarrow (0,5), (10,0) $
$ 4x + 3y = 24 \rightarrow (0,8), (6,0) $
grafik dan DHP nya :
*). Titik pojoknya adalah titik O, A, B, dan C.
Titik B belum ada koordinatnya, sehingga kita cari dulu dengan eliminasi kedua persamaannya :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 10 & \times 4 & 4x + 8y = 40 & \\ 4x + 3y = 24 & \times 1 & 4x + 3y = 24 & - \\ \hline & & 5y = 16 & \\ & & y = \frac{16}{5} & \end{array} $
Substitusi $ y = \frac{16}{5} \, $ ke persamaan $ x + 2y = 10 $
$ x + 2y = 10 \rightarrow x + 2\times \left( \frac{16}{5} \right) = 10 \rightarrow x = \frac{18}{5} $.
Sehingga titik B adalah B($\frac{18}{5},\frac{16}{5}$).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 3x + 4y \, $ dan hasilnya seperti tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :
Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x,y) = 3x + 4y \, $ adalah 23,6.

3). Seorang anak penderita kekurangan gizi diharuskan makan dua jenis tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp400,00/biji dan tablet kedua Rp600,00/biji, tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harinya.

Penyelesaian :
*). Pertama kita buat model matematikanya dulu :
Silahkan baca : "Menyusun Model Matematika".
Misalkan, banyaknya tablet 1 sebanyak $ x $ biji dan tablet 2 sebanyak $ y $ biji.
Tabel untuk membuat model matematika,
Kebutuhan vitamin yang optimal adalah tidak boleh kurang dari, sehingga tanda ketaksamaan yang digunakan adalah "$\geq$".
Model matematikanya :
Kendalanya : $ 5x + 10y \geq 20 , \, 3x + y \geq 5 , \, x \geq 0, \, y \geq 0 $.
Fungsi Tujuannya : $ z = f(x,y) = 400x + 600y $.
*). Menentukan Grafik dan DHP nya :
$ 5x + 10y \geq 20 \rightarrow (0,2),(4,0) $
$ 3x + y \geq 5 \rightarrow (0,5),(\frac{5}{3},0) $
grafik dan DHP nya :
*). Titik Pojoknya adalah titik A, B, dan C.
Kita tentukan koordinat titik B dengan eliminasi kedua persamaan :
$ \begin{array}{c|c|cc} 5x + 10y = 20 & \times 1 & 5x + 10y = 20 & \\ 3x + y = 5 & \times 10 & 30x + 10y = 50 & - \\ \hline & & -25x = -30 & \\ & & x = \frac{6}{5} & \end{array} $
Substitusi $ x = \frac{6}{5} \, $ ke persamaan $ 3x + y = 5 $
$ 3x + y = 5 \rightarrow 3x \times \frac{6}{5} + y = 5 \rightarrow y = \frac{7}{5} $.
Sehingga titik B adalah B($\frac{6}{5},\frac{7}{5}$).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ z = f(x,y) = 400x + 600y \, $ dan hasilnya seperti tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :
Jadi, nilai minimum untuk fungsi tujuan tersebut adalah 1.320. Artinya, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harinya Rp1.320,00.

4). Sebuah perusahaan memproduksi sepeda dan skuter dengan menggunakan dua mesin. Untuk memproduksi sepeda dibutuhkan waktu 5 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 2 jam dengan menggunakan mesin kedua. Untuk memproduksi skuter dibutuhkan waktu 3 jam dengan menggunakan mesin pertama dan 6 jam dengan menggunakan mesin kedua. Kapasitas maksimum mesin pertama 150 jam, sedangkan kapasitas maksimum mesin kedua 180 jam. Keuntungan bersih yang diperoleh dari tiap satu unit sepeda adalah Rp480.000,00 dan satu unit skuter adalah Rp560.000,00. Tentukan jumlah sepeda dan skuter yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum!

Penyelesaian :
*). Langkah pertama adalah membuat model matematika dari masalah di atas. Misalkan banyaknya sepeda dinyatakan dengan $ x $ dan banyaknya skuter dinyatakan dengan $ y $.
Tabel model matematikanya :
Model matematikanya :
Kendala : $ 5x + 3y \leq 150, \, 2x + 6y \leq 180, \, x \geq 0 , \, y \geq 0 $ .
Fungsi tujuan : $ z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y $ .
*). Menentukan Grafik dan DHP nya :
$ 5x + 3y = 150 \rightarrow (0,50),(30,0) $
$ 2x + 6y = 180 \rightarrow (0,30),(90,0) $
grafik dan DHP nya :
*). Titik Pojoknya adalah titik A, B, dan C.
Kita tentukan koordinat titik B dengan eliminasi kedua persamaan :
Sehingga titik B adalah B(15,25).
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ z = f(x,y) = 480.000x + 560.000y \, $ dan hasilnya seperti tabel berikut ini,
Tabel nilai fungsi tujuannya :
Jadi, nilai maksimum dari $ f(x,y) = 480.000x + 560.000y \, $ adalah 21.200.000.

Rabu, 17 Februari 2016

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda


         Blog Koma - Setelah sebelumnya kita mempelajari materi "Menentukan Daerah Penyelesaian (Arsiran) sistem Pertidaksamaan" dengan cara uji sembarang titik, kita akan lanjutkan dengan Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda. Metode uji tanda ini akan sangat berguna terutama ketika ada banyak pertidaksamaan.

Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dengan Uji Tanda
       Dari namanya yaitu "uji tanda", maka disini kita akan menggunakan tanda yang ada. Tanda yang dimaksud adalah nilainya positif atau negatif.

Langkah-langkah Menentukan DHP dengan Uji Tanda :
Bentuk umum pertidaksamaannya : $ ax+by \leq c \, $ atau $ \, ax + by \geq c $.
a). Tanda ketaksamaannya ada dua kemungkinan yaitu $ \leq \, $ atau $ \, \geq $.
Tanda ketaksamaannya ini kita beri nilai $ T_1 , \, $
Untuk tanda $ \leq , \, $ maka nilai $ T_1 < 0 \, $ (negatif).
Untuk tanda $ \geq , \, $ maka nilai $ T_1 > 0 \, $ (positif).

b). Tanda selanjutnya adalah tanda pada koefisien $ x \, $ kita tulis ($T_x$) atau tanda pada koefisien $ y \, $ kita tulis ($T_y$) yang masing-masing bisa bernilai positif atau negatif.
c). Kita kalikan kedua tanda dari bagian (a) dan (b) sebelumnya.
Menggunakan tanda $ x \, $ :
$ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif), maka yang benar sebelah kanan garis.
$ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif), maka yang benar sebelah kiri garis.
Menggunakan tanda $ y \, $ :
$ T_1 \times T_y > 0 \, $ (positif), maka yang benar daerah bagian atas garis.
$ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif), maka yang benar daerah bagian bawah garis.

Ringkasan dari teori di atas yaitu :
Menggunakan Tanda $ x $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kanan)} \\ T_1 \times T_x > 0 \, \text{(benar daerah kiri)} \end{array} \right. $

Menggunakan Tanda $ y $ ,
$ ax + by \, \, T_1 \, \, c \left\{ \begin{array}{cc} T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah atas)} \\ T_1 \times T_y > 0 \, \text{(benar daerah bawah)} \end{array} \right. $

Catatan :
*). Kita cukup menggunakan salah satu tanda saja baik tanda $ x \, $ atau tanda $ y \, $ karena hasilnya pasti sama saja.
*). Untuk daerah yang benar dari hasil perkaliannya,
i). menggunakan tanda $ x \, $ berarti harus diingat sumbu X yaitu positif sebelah kanan dan negatif sbelah kiri.
ii). Begitu juga kalau menggunakan tanda $ y $ , ingat sumbu Y yaitu positif bagian atas dan negatif bagian bawah.
Contoh soal menentukan DHP dengan uji tanda :
1). Tentukan DHP dari pertidaksamaan
a). $ 2x + 3y \leq 6 $
b). $ 2x + 3y \leq -6 $
c). $ -2x + 3y \geq 6 $
d). $ 2x - 3y \geq 6 $
e). $ -2x - 3y \leq 6 $
f). $ x \geq 3 $
g). $ y \leq 2 $

Penyelesaian :
*). Untuk menyelesaikan dan menentukan DHP nya, kita harus menggambarnya dulu.
Silahkan baca : "Persamaan dan Grafik Bentuk Linear".
a). $ 2x + 3y \leq 6 \rightarrow (0,2), (3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

Catatan : Selanjutnya kita hanya menggunakan salah satu tanda saja.

b). $ 2x + 3y \leq -6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ 2x + 3y \leq -6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

c). $ -2x + 3y \geq 6 \rightarrow (0,2), (-3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x < 0 \, $ (positif kali negatif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kiri garis yang merupakan DHP dari $ -2x + 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

d). $ 2x - 3y \geq 6 \rightarrow (0,-2),(3,0) $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ 2x - 3y \geq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

e). $ -2x - 3y \leq 6 \rightarrow (0,-2), (-3,0) $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ negatif, sehingga $ T_x < 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (negatif kali negatif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ -2x - 3y \leq 6 $.
*). Grafik dan DHP nya :

f). $ x \geq 3 $
tadan dari $ \geq \, $ adalah positif, sehingga $ T_1 > 0 $.
*). Menggunakan tanda $ x $ :
Tanda $ x \, $ positif, sehingga $ T_x > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_x > 0 \, $ (positif kali positif = positif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah kanan garis yang merupakan DHP dari $ x \geq 3 $.
*). Grafik dan DHP nya :

g). $ y \leq 2 $
tadan dari $ \leq \, $ adalah negatif, sehingga $ T_1 < 0 $.
*). Menggunakan tanda $ y $ :
Tanda $ y \, $ positif, sehingga $ T_y > 0 $.
nilai $ T_1 \times T_y < 0 \, $ (negatif kali positif = negatif).
artinya yang benar adalah daerah sebelah bawah garis yang merupakan DHP dari $ y \leq 2 $.
*). Grafik dan DHP nya :

Selasa, 16 Februari 2016

Menyusun Model Matematika untuk Program Linear


         Blog Koma - Satu lagi materi dasar yang harus dikuasai untuk memudahkan dalam memecahkan masalah program linear yaitu Menyusun Model Matematika untuk Program Linear. Untuk memudahkan dalam membuat model matematika, kita harus membaca soal ceritanya secara cermat dan memahami soal secara mendalam. Berikut adalah alur dari permasalahan nyata (dalam bentuk soal cerita) yang diubah dalam bentuk model matematika (agar bisa diselesaikan) dan selanjutnya diselesaikan dengan program linear.

Pengertian Model Matematika
       Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi. Model matematika dari setiap permasalahan program linear secara umum terdiri atas 2 komponen, yaitu:
1. Fungsi tujuan $ z = f(x, y) = ax + by \, $ dan
2. Fungsi kendala (berupa sistem pertidaksamaan linear).

Langkah-langkah membuat model matematikanya :
i). Baca soal secara cermat, dan misalkan (biasanya yang dimisalkan adalah produknya).
ii). Susun pertidaksamaannya berdasarkan kendala yang ada.
iii). Susun fungsi tujuannya.

Ciri-ciri tanda ketaksamaan yang digunakan :
*). tanda $ \geq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak kurang dari, minimal, sekecil-kecilnya, sekurang-kurangnya, minimum, paling sedikit.
*). tanda $ \leq \, $ digunakan untuk kata-kata : tiak lebih dari, maksimal, sebesar-besarnya, maksimum, paling banyak.
Contoh soal menyusun Model Matematika untuk Program Linear :
1). Kakak akan membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan roti B. Roti A membutuhkan 1 kg tepung terigu dan 0,5 kg telur. Sedangkan roti B membutuhkan 1,5 kg tepung terigu dan 1 kg telur. Kakak hanya mempunyai 15 kg tepung terigu dan 40 kg telur. Jika banyaknya roti A yang akan dibuat adalah x dan banyaknya roti B yang akan dibuat adalah y, maka tentukan model matematikanya!

Penyelesaian :
*). Agar lebih mudah dalam membuat model matematikanya, persoalan tersebut disajikan dalam tabel terlebih dahulu.
*). Menentukan bentuk pertidaksamaannya (fungsi kendala) berdasarkan kendalanya :
Kendala pertama tepung terigu :
Banyaknya tepung terigu yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($x + 1,5y$) kg. Karena persediaan tepung terigu adalah 15 kg, maka diperoleh hubungan:
$ x + 1,5 y \leq 15 \, $ atau kalikan 2 : $ 2x + 3y \leq 30 $ .
Kendala kedua telur :
Banyaknya telur yang dibutuhkan untuk membuat kedua roti adalah ($0,5x + y$) kg. Karena persediaan telur adalah 10 kg, maka diperoleh hubungan:
$ 0,5x + y \leq 10 \, $ atau kalikan 2 : $ x + 2y \leq 20 $
Bagian ketiga :
$ x $ dan $ y $ adalah banyaknya roti A dan roti B sehingga $ x $ dan $ y $ tidak mungkin negatif. Oleh karena itu, $ x $ dan $ y $ harus memenuhi hubungan:
$ x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0$, dengan $ x, y \in C $.
Jadi, model matematikanya adalah $ 2x + 3y \leq 30, \, x + 2y \leq 20, x \geq 0 \, $ dan $ y \geq 0, $ dengan $ x, y \in C $. C adalah bilangan cacah yang beranggotakan {0,1,2,3,4,5,...}.

2). Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian, yaitu pakaian anak- anak dan pakaian dewasa. Satu pakaian anak-anak memerlukan waktu 1 jam untuk tahap pemotongan, 0,5 jam untuk tahap pengobrasan, dan 1,5 jam untuk tahap penjahitan. Sedangkan satu pakaian dewasa memerlukan waktu 1,5 jam untuk tahap pemotongan, 1 jam untuk pengobrasan, dan 2,5 jam untuk tahap penjahitan. Penjahit tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 20 jam untuk tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap pengobrasan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan. Keuntungan bersih pakaian anak-anak dan pakaian dewasa adalah Rp15.000,00 dan Rp30.000,00. Buatlah model matematika dari masalah program linear tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar- besarnya!

Penyelesaian :
*). Produknya adalah pakaian anak-anak dan pakaian dewasa serta kendalanya adalah waktu pengerjaan yang dibagi menjadi tiga yaitu pemotongan, pengobrasan, dan penjahitan.
Misalkan banyaknya pakaian anak-anak = $ x $ dan banyaknya pakaian dewasa = $ y $. Agar lebih mudah, persoalan di atas disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut!
*). Menyusun fungsi kendalanya :
waktu pemotongan : $ x + 1,5y \leq 20 \, $ atau $ 2x + 3y \leq 40 $.
waktu pengobrasan : $ 0,5x + y \leq 15 \, $ atau $ x + 2y \leq 30 $.
waktu penjahitan : $ 1,5x + 2,5y \leq 40 \, $ atau $ 3x + 5y \leq 80 $.
Banyak barang positif : $ x \geq 0, \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya atau fungsi objektif atau fungsi sasaran :
$ z = 15.000x + 30.000y , \, $ atau ditulis $ f(x,y) = 15.000x + 30.000y $.
Dimana fungsi tujuannya adalah fungsi keuntungan yang akan ditentukan nilai maksimumnya.

Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \leq 40, x + 2y \leq 30, 3x + 5y \leq 80, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 15.000x + 30.000y $ .

3). Seorang praktikan membutuhkan dua jenis larutan, yaitu larutan A dan larutan B untuk eksperimennya. Larutan A mengandung 10 ml bahan I dan 20 ml bahan II. Sedangkan larutan B mengandung 15 ml bahan I dan 30 ml bahan II. Larutan A dan larutan B tersebut akan digunakan untuk membuat larutan C yang mengandung bahan I sedikitnya 40 ml dan bahan II sedikitnya 75 ml. Harga tiap ml larutan A adalah Rp5.000,00 dan tiap ml larutan B adalah Rp8.000,00. Buatlah model matematikanya agar biaya untuk membuat larutan C dapat ditekan sekecil-kecilnya!

Penyelesaian :
*). Produknya adalah larutan A dan larutan B dan kendalanya adalah bahan I dan II.
Misalkan banyaknya larutan A adalah $ x $ dan banyaknya larutan B adalah $ y $. Agar lebih mudah, persoalan program linear tersebut disajikan dalam tabel seperti berikut ini.
*). Menyusun fungsi kendala berdasarkan kendalanya :
di soal ini menggukanan kata sedikitnya, artinya tanda ketaksamaannya "$\geq$".
Bahan I : $ 10x + 15y \geq 40 \, $ atau $ 2x + 3y \geq 8 $.
Bahan II : $ 20x + 30y \geq 75 \, $ atau $ 4x + 6y \geq 15 $.
Banyak larutan positif : $ x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya (sebagai fungsi biaya):
$ z = 5.000x + 8.000y $.

Jadi, model matematikanya adalah :
Kendala : $ 2x + 3y \geq 8, 4x + 6y \geq 15, x \geq 0 , \, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 5.000x + 8.000y $.

4). Seorang pedagang menjual 2 jenis buah, yaitu semangka dan melon. Tempatnya hanya mampu menampung buah sebanyak 60 kg. Pedagang itu mempunyai modal Rp140.000,00. Harga beli semangka Rp2.500,00/kg dan harga beli melon Rp2.000/kg. Keuntungan yang diperoleh dari penjual semangka Rp 1.500,00/kg dan melon Rp1.250,00/kg. Tentukan model matematika dari permasalahan ini.

Penyelesaian :
*). Produknya adalah semangka dan melon serta kendalanya adalah kapasitas keranjang dan harga.
Misalkan semangka sebanyak $ x \, $ dan melon sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*). Menyusun fungsi kendala sesuai batasannya :
Kapasitas : $ x + y \leq 60 $
Harga : $ 2.500x + 2.000y \leq 140.000 \, $ atau $ \, 5x + 4y \leq 280 $ .
banyak buah positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.

Jadi, model matematikanya adalah :
Kendalanya : $ x + y \leq 60, 5x + 4y \leq 280 , x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuan : $ z = 1.500x + 1.250y $.

5). Suatu lahan parkir memiliki luas 800 m$^2$ dan hanya mampu menampung 64 bus dan mobil. Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m$^2$ dan bus 24 m$^2$. Biaya parkir Rp1.500,00/mobil dan Rp2.500,00/bus. Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan yang maksimum. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut.

Penyelesaian :
*). Produknya adalah mobil dan bus serta kendalanya kapasitas (daya tampung) dan luas lahan.
Misalkan mobil sebanyak $ x $ dan bus sebanyak $ y $.
Tabel model matematikanya :
*). Menyusun fungsi kendalanya :
daya tampung : $ x + y \leq 64 $
Luas lahan : $ 6x + 24y \leq 800 $ .
Banyak kendaraan positif : $ x \geq 0, y \geq 0 $.
*). Menyusun fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.

Jadi, model matematikanya yaitu :
Kendala : $ x + y \leq 64, 6x + 24y \leq 800, x \geq 0, y \geq 0 $.
Fungsi tujuannya : $ z = 1.500x + 2.500y $.