Jumat, 29 Januari 2016

Soal Cerita Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

         Blog Koma - Matematika SMP : Setelah kita mempelajari "persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel", kita akan lanjutkan lagi pada pembahasan yang terkait dengan soal cerita yang tentunya akan lebih menantang lagi untuk kita pelajari.

         Pada artikel ini kita akan khusus membahas materi Soal Cerita Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel. Agar mudah mempelajari materi ini, sebaiknya pelajari dulu materi "penyelesaian persamaan linear satu variabel" dan "pertidaksamaan linear satu variabel".

Penyelesaian Soal Cerita Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Untuk menyelesaikan soal cerita, buatlah terlebih dahulu model matematika berdasarkan soal cerita tersebut. Kemudian, kita selesaikan berdasarkan persamaan atau pertidaksamaan.

       Model matematika adalah kalimat terbuka yang memuat variabel yang memiliki hubungan persamaan atau pertidaksamaan. Silahkan baca pengertian kalimat terbuka pada artikel "Pengertian Peryataan, Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup".

Contoh soal cerita persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel :
1). Budi membeli 20 permen di warung yang ada di dekat rumahnya. Ketika sudah di rumah, adik-adiknya (Iwan, Wayan, dan Wati) meminta permen tersebut sehingga permen Budi tersisa 11 biji. Berapa banyak permen yang diminta oleh ketiga adiknya Budi?
Penyelesaian :
*). Membuat model matematikanya,
Misalkan banyaknya permen yang diminta oleh adiknya budi sebanyak $ x \, $ permen. Maka model matematikanya yaitu : $ 20 - x = 11 $
Bentuk persamaan linear satu variabel $ 20 - x = 11 \, $ artinya dari 20 permen diberikan $ x \, $ permen ke adik-adinya dan sisanya 11 permen.
*). Menentukan nilai $ x \, $
$ \begin{align} 20 - x & = 11 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 20)} \\ 20 - x - 20 & = 11 - 20 \\ -x & = -9 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikalikan } -1) \\ (-1) \times (-x) & = (-1) \times (-9) \\ x & = 9 \end{align} $
Jadi, ada 9 permen yang diberikan Budi kepada adik-adiknya.

2). Setiap hari Fitri menyisihkan uang jajannya untuk ditabung di rumah. Setelah 11 hari uang Fitri menjadi Rp 154.000,00. Berapa rupiahkah Fitri menyisihkan uangnya setiap hari?
Penyelesaian :
*). Membuat model matematika,
Misalkan setiap hari Fitri menyisihkan uangnya sebesar $ y \, $ rupiah.
Model matematikanya : $ 11 \times y = 154.000 \, $ yang artinya setiap hari menyisihkan uang sebesar $ y \, $ selama 11 hari dengan total tabungannya Rp 154.000,000.
sehingga terbentuk persamaan linear satu variabel : $ 11 \times y = 154.000 $ .
*). Menentukan nilai $ y $
$ \begin{align} 11 \times y & = 154.000 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 11)} \\ \frac{11 \times y}{11} & = \frac{154.000}{11} \\ y & = 14.000 \end{align} $
Jadi, Fitri menyisihkan uangnya setiap hari sebesar Rp 14.000,00 .

3). Jumlah tiga bilangan genap yang berurutan adalah 108. Tentukan bilangan-bilangan itu.
Penyelesaian :
*). Model matematikanya,
Bilangan genap berurutan pasti memiliki selisih 2 antara dua bilangan yang berdekatan, misalnya 2,4,6,8,10, dan seterusnya.
Misalkan bilangan pertamanya adalah $ a \, $.
Ketiga bilangan genapnya yaitu :
bilangan pertama : $ a $ ,
bilangan kedua : $ a + 2 $ ,
bilangan ketiga : $ (a + 2) + 2 = a + 4 $ ,
Jumlah ketiga bilangannya adalah 108, sehingga model matematikanya :
$ a + (a+2) + (a + 4) = 108 \rightarrow 3a + 6 = 108 $.
sehingga terbentuk persamaan linear satu variabel : $ 3a + 6 = 108 $.
*). Menentukan nilai $ a $
$ \begin{align} 3a + 6 & = 108 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 6)} \\ 3a + 6 - 6 & = 108 - 6 \\ 3a & = 102 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3a}{3} & = \frac{102}{3} \\ a & = 34 \end{align} $
Sehingga bilangannya :
bilangan pertama : $ a = 34$ ,
bilangan kedua : $ a + 2 = 34 + 2 = 36 $ ,
bilangan ketiga : $ a + 4 = 34 + 4 = 38 $ ,
Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 34, 36, 38.

4). Sebuah persegi panjang mempunyai ukuran panjang ($3x - 4$) cm dan lebar ($x + 1$) cm.
a. Tulislah rumus kelilingnya dan nyatakan dalam bentuk yang paling sederhana.
b. Jika kelilingnya 34 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.
Penyelesaian :
*). Untuk rumus keliling dan luas persegi panjang, silahkan baca pada artikel "Sifat, Keliling, dan Luas Persegi Panjang".
a). Keliling persegi panjang, dengan $ p = 3x - 4 \, $ dan $ l = x + 1 $
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 2p + 2l \\ & = 2(3x - 4) + 2(x+ 1) \\ & = 6x - 8 + 2x + 2 \\ & = 8x - 6 \end{align} $
Sehingga keliling persegi panjangnya adalah ($8x - 6$).
b). Menentukan nilai $ x \, $ dengan kelilingnya 34.
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 34 \\ 8x - 6 & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 6)} \\ 8x - 6 + 6 & = 34 + 6 \\ 8x & = 40 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 8)} \\ \frac{8x}{8} & = \frac{40}{8} \\ x & = 5 \end{align} $
*). Menentukan panjang dan lebarnya dengan nilai $ x = 5 $,
$ p = 3x - 4 = 3 \times 5 - 4 = 15 - 4 = 11 $
$ l = x + 1 = 5 + 1 = 6 $
*). Menentukan luas persegi panjanga :
Luas $ = p \times l = 11 \times 6 = 66 $.
Jadi, luas persegi panjangnya adalah 66 cm$^2$.

5). Seorang petani mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Lebar tanah tersebut 6 m lebih pendek daripada panjangnya. Jika keliling tanah 60 m, tentukan luas tanah petani tersebut.
Penyelesaian :
*). model matematika,
Misalkan panjang tanah = $ x $ maka lebar tanah = $ x - 6$.
Keliling $ = 2p + 2l = 2x + 2(x-6) = 2x + 2x - 12 = 4x - 12 $.
*). Menentukan nilai $ x \, $ dengan kelilingnya 60,
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 4x - 12 & = 60 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 12)} \\ 4x - 12 + 12 & = 60 + 12 \\ 4x & = 72 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 4)} \\ \frac{4x}{4} & = \frac{72}{4} \\ x & = 18 \end{align} $
Sehingga : $ p = x = 18 \, $ dan $ l = x - 6 = 18 - 6 = 12 $.
*). Menentukan luas persegi panjanga :
Luas $ = p \times l = 18 \times 12 = 216 $.
Jadi, luas tanahnya adalah 216 m$^2$.

Penyelesaian Soal Cerita Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
       Untuk soal cerita yang berkaitan dengan pertidaksamaan, poin penting yang harus kita pahami adalah penggunaan tanda ketaksamaannya ($>, \, \geq , \, \leq , \, < $).

Berikut kata-kata yang biasa dipakai pada soal cerita dan tanda ketaksamaan yang sesuai :
*). Tanda $ < \, $ dipakai jika ada kata-kata : kurang dari, lebih kecil, tidak lebih dari atau sama dengan, tidak lebih besar atau sama dengan.

*). Tanda $ \leq \, $ dipakai jika ada kata-kata : kurang dari atau sama dengan , lebih kecil atau sama dengan, sebesar-besarnya, maksimum, maksimal, tidak lebih dari.

*). Tanda $ > \, $ dipakai jika ada kata-kata : lebih dari, lebih besar, tidak lebih kecil atau sama dengan, tidak kurang dari atau sama dengan.

*). Tanda $ \geq \, $ dipakai jika ada kata-kata : lebih dari atau sama dengan, lebih besar atau sama dengan, tidak kurang dari, sekecil-kecilnya, minimum, minimal.

Contoh soal cerita pertidaksamaan linear satu variabel :
6). Umur Budi dan Iwan masing-masing ($5x - 2$) dan ($ 2x + 4$). Jika umur Budi lebih dari umur Iwan, maka tentukan nilai $ x $.
Penyelesaian :
*). Menyusun model matematikanya,
Kata yang digunakan "lebih dari", sehingga menggunakan tanda "$>$".
Umur Budi lebih dari umur Iwan,
Pertidaksamaan linear satu variabelnya : $ 5x - 2 > 2x + 4 $.
*). Menentukan nilai $ x \, $
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 5x - 2 & > 2x + 4 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 2)} \\ 5x - 2 + 2 & > 2x + 4 + 2 \\ 5x & > 2x + 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan } 2x) \\ 5x - 2x & > 2x + 6 -2x \\ 3x & > 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 3)} \\ \frac{3x}{3} & > \frac{6}{3} \\ x & > 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah $ x > 2 $.

7). Rumah ibu Suci dibangun di atas sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan panjang 20 m dan lebar ($6y-1$) m. Jika luas tanah ibu Suci tidak kurang dari 100 m$^2$.
a). Berapa lebar minimal tanah ibu Suci?
b). Jika biaya untuk membangun rumah seluas 1 m$^2$ adalah Rp 2.000.000,00. Berapakah biaya minimal yang harus disediakan ibu suci jika seluruh tanahnya dibangun rumah?
*). Model matematika,
Luas $ = p \times l = 20 \times (6y - 1) = 120y - 20 $.
Kata yang digunakan luas "tidak kurang dari", sehingga tandanya "$\geq$".
Model matematikanya : Luas $ \geq 100 \rightarrow 120y - 20 \geq 100 $.
Sehingga pertidaksamaannya : $ 120y - 20 \geq 100 $.
a). Menentukan nilai $ y $,
$ \begin{align} \text{Keliling} & = 60 \\ 120y - 20 & \geq 100 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas ditambahkan 20)} \\ 120y - 20 + 20 & \geq 100 + 20 \\ 120y & \geq 120 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 120)} \\ \frac{120y}{120} & \geq \frac{120}{120} \\ y & \geq 1 \end{align} $
kita peroleh nilai minimal $ y \, $ adalah $ y = 1 \, $ karena $ y \geq 1 $ .
Sehingga lebar minimalnya : $ l = 6y - 1 = 6 \times 1 -1 = 6 - 1 = 5 \, $ m.
Jadi, lebar tanah minimal ibu Suci adalah 5 m.

b). Biaya akan minimal jika luas tanah minimal, sehingga panjangnya 20 m dan lebarnya 5 m.
Luas minimal $ = p \times l = 20 \times 5 = 100 \, $ m$^2$.
Biaya minimal $ = 100 \times 2.000.000 = 200.000.000 $.
Jadi, biaya minimal yang harus disiapkan oleh ibu Suci untuk membangun rumah di atas seluruh tanahnya adalah Rp 200.000.000,00.

8). Pak Fredy memiliki sebuah mobil box pengangkut barang dengan daya angkut tidak lebih dari 500 kg. Berat pak Fredy adalah 60 kg dan dia akan mengangkut kotak barang yang setiap kotak beratnya 20 kg.
a). Tentukan banyak kotak paling banyak yang dapat diangkut oleh pak Fredy dalam sekali pengangkutan?
b). Jika pak Fredy akan mengangkut 115 kotak, paling sedikit berapa kali pengangkutan kotak itu akan terangkut semua?
Penyelesaian :
*). Model matematika,
Misalkan $ x \, $ menyatakan banyaknya kotak yang diangkut oleh mobil untuk sekali jalan.
Setiap kotak beratnya 20 kg, sehingga $ x \, $ kotak beratnya $ 20x $.
Total berat sekali jalan adalah berat kotak ditambah berat pak Fredy yaitu $ 20x + 60 $.
Daya angkut mobil tidak lebih dari, sehingga tandanya "$\leq$".
Daya angkut tidak lebih dari 500 kg ditulis $ 20x + 60 \leq 500 $.
a). Menentukan nilai $ x $,
$ \begin{align} 20x + 60 & \leq 500 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 60)} \\ 20x + 60 - 60 & \leq 500 - 60 \\ 20x & \leq 440 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 20)} \\ \frac{20x}{20} & \leq \frac{440}{20} \\ x & \leq 22 \end{align} $
Dari $ x \leq 22 \, $ kita peroleh nilai maksimum dari $ x \, $ adalah 22, artinya setiap kali jalan mobil box mampu mengangkut paling banyak 22 kotak.

b). Agar pengangkutan dilakukan sesedikit mungkin, maka setiap kali jalan harus bisa membawa kotak paling banyak yaitu 22 kotak.
Misalkan $ y \, $ menyatakan banyaknya keberangkatan (perjalanan),
Setiap kali jalan mengangkut 22 kotak, sehingga untuk $ y \, $ perjalanan akan terangkut $ 22y \, $ kotak.
Akan diangkut 115 kotak, artinya untuk semua perjalanan minimal harus 115 kotak harus terangkut. Sehingga model matematikanya : $ 22y \geq 115 $,
*). Menentukan nilai $ y \, $
$ \begin{align} 22y & \geq 115 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 22)} \\ \frac{22y}{22} & \geq \frac{115}{22} \\ y & \geq 5,227 \end{align} $
Dari $ y \geq 5,227 \, $ dan $ y \, $ bilangan bulat positif(banyaknya perjalanan), maka nilai terkecil dari $ y \, $ adalah 6.
Jadi, paling sedikit 6 kali perjalanan untuk mengankut 115 kotak.

9). Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang ($x + 5$) cm, lebar ($x - 2$) cm, dan tinggi $ x $ cm.
a). Tentukan model matematika dari persamaan panjang kawat yang diperlukan dalam $ x $.
b). Jika panjang kawat yang digunakan seluruhnya tidak lebih dari 132 cm, tentukan ukuran maksimum balok tersebut.
Penyelsaian :
*). Gambar baloknya.
a). Misalkan $ K \, $ menyatakan total panjang kawat yang dibutihkan untuk membuat kerangka balok. Total panjang kawat yang dibutuhkan adalah jumlah dari semua rusuknya, sehingga panjang $ K \, $ yaitu :
$ \begin{align} K & = 4p + 4l + 4t \\ & = 4(x+5) + 4(x-2) + 4x \\ & = 4x + 20 + 4x - 8 + 4x \\ & = 12x + 12 \end{align} $
Jadi, panjang kawatnya adalah $ K = 12x + 12 $.

b). Panjang kawat tidak lebih dari 132 cm dapat ditulis $ K = 12x + 12 \leq 132 \, $ cm,
sehingga diperoleh :
$ \begin{align} 12x + 12 & \leq 132 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dikurangkan 12)} \\ 12x + 12 - 12 & \leq 132 - 12 \\ 12x & \leq 120 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kedua ruas dibagi 12)} \\ \frac{12x}{12} & \leq \frac{120}{12} \\ x & \leq 10 \end{align} $
Dari bentuk $ x \leq 10 \, $ , maka nilai maksimum dari $ x \, $ adalah 10.
*). Menentukan ukuran balok :
Panjang $ = x + 5 = 10 + 5 = 15 \, $ cm ,
Lebar $ = x - 2 = 10 - 2 = 8 \, $ cm ,
Tinggi $ = x = 10 \, $ cm.
Jadi, ukuran maksimum balok adalah ($15 \times 8 \times 10$) cm.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar