Pengertian Suku Banyak
Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variabel berpangkat yang terdiri dari suku-suku. Suku banyak
dalam $ x $ berderajat $ n $ dinyatakan dengan:
$ \begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1x + a_0. \end{align} $
Keterangan :
*). $ n = \, $ derajat suku banyak dengan $ n \, $ adalah bilangan cacah ,
*). $ a_n, a_{n-1},...,a_1 \, $ adalah koefisien suku banyak dengan $ \, a_n \neq 0 $ ,
*). $ a_nx^n \, $ adalah suku pertama ,
*). $ a_{n-1}x^{n-1} \, $ adalah suku kedua ,
dan seterusnya.
*). $ a_0 \, $ adalah suku tetap
$ \begin{align} a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+ a_{n-2}x^{n-2} + ... + a_1x + a_0. \end{align} $
Keterangan :
*). $ n = \, $ derajat suku banyak dengan $ n \, $ adalah bilangan cacah ,
*). $ a_n, a_{n-1},...,a_1 \, $ adalah koefisien suku banyak dengan $ \, a_n \neq 0 $ ,
*). $ a_nx^n \, $ adalah suku pertama ,
*). $ a_{n-1}x^{n-1} \, $ adalah suku kedua ,
dan seterusnya.
*). $ a_0 \, $ adalah suku tetap
Contoh soal suku banyak :
1). Dari bentuk suku banyak berikut ini, tentukan derajatnya, suku dan koefisiennya, dan suku tetapnya.
a). $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 $
b). $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 $
Penyelesaian :
a). $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 $
Bentuk $ 2x^3 - 5x^2 + x - 7 \, $ berderajat 3 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : $ 2x^3 \, $ , koefisien dari $ x^3 \, $ adalah 2.
Suku kedua : $ - 5x^2 \, $ , koefisien dari $ x^2 \, $ adalah $ -5 $.
Suku ketiga : $ x \, $ , koefisien dari $ x \, $ adalah $ 1 $.
Suku keempat : $ - 7 \, $ , dengan -7 adalah suku tetapnya.
b). $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 $
Bentuk $ 7x^9 + 2x^3 - 3x + 2 \, $ berderajat 9 (pangkat tertingginya).
Suku-suku dan koefisiennya :
Suku pertama : $ 7x^9 \, $ , koefisien dari $ x^9 \, $ adalah 7.
Suku kedua : $ 2x^3 \, $ , koefisien dari $ x^3 \, $ adalah $ 2 $.
Suku ketiga : $ - 3x \, $ , koefisien dari $ x \, $ adalah $ -3 $.
Suku keempat : $ 2 \, $ , dengan 2 adalah suku tetapnya.
Operasi-operasi pada Suku Banyak
Operasi-operasi pada suku banyak yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Hanya saja yang akan dibahas
pada artikel ini adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
Misalkan ada suku banyak $ f(x) \, $ berderajat $ m \, $ dan $ \, g(x) \, $ berderajat $ n $ :
*). Operasi penjumlahan :
Operasi penjumlahan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. $ f(x) + g(x) \, $ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m \, $ atau $ n $.
*). Operasi pengurangan :
Operasi pengurangan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. $ f(x) - g(x) = f(x) + (-g(x)) \, $ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m \, $ atau $ n $.
*). Operasi penjumlahan :
Operasi perkalian dilakukan pada semua suku-suku yang ada. $f(x) \times g(x) \, $ adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan ($m + n$).
Misalkan ada suku banyak $ f(x) \, $ berderajat $ m \, $ dan $ \, g(x) \, $ berderajat $ n $ :
*). Operasi penjumlahan :
Operasi penjumlahan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. $ f(x) + g(x) \, $ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m \, $ atau $ n $.
*). Operasi pengurangan :
Operasi pengurangan dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. $ f(x) - g(x) = f(x) + (-g(x)) \, $ adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum $ m \, $ atau $ n $.
*). Operasi penjumlahan :
Operasi perkalian dilakukan pada semua suku-suku yang ada. $f(x) \times g(x) \, $ adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan ($m + n$).
Contoh soal operasi-operasi pada suku banyak :
2). Diketahui suku banyak $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 5 \, $ dan $ \, g(x) = x^2 + 5x - 3 $.
Tentukanlah hasil dari :
a). $ f(x) + g(x) $,
b). $ f(x) - g(x) $,
c). $ f(x) \times g(x) $ .
Penyelesaian :
a). $ f(x) + g(x) $,
$ \begin{align} f(x) + g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) + (x^2 + 5x - 3) \\ & = x^3 + (-2x^2 + x^2) + 5x + (5 - 3) \\ & = x^3 + (-x^2) + 5x + 2 \\ & = x^3 -x^2 + 5x + 2 \end{align} $
b). $ f(x) - g(x) $,
$ \begin{align} f(x) - g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) - (x^2 + 5x - 3) \\ & = (x^3 - 2x^2 + 5) - x^2 - 5x + 3 \\ & = x^3 + (-2x^2 - x^2) - 5x + (5 + 3) \\ & = x^3 + (-3x^2) - 5x + 8 \\ & = x^3 -3x^2 - 5x + 8 \end{align} $
c). $ f(x) \times g(x) $ .
Ingat sifat eksponen : $ a^m . a^n = a^{m+n} $
$ \begin{align} f(x) \times g(x) & = (x^3 - 2x^2 + 5) \times (x^2 + 5x - 3) \\ & = x^3(x^2 + 5x - 3) - 2x^2(x^2 + 5x - 3) + 5(x^2 + 5x - 3) \\ & = x^3.x^2 + x^3.5x - x^3.3 - 2x^2.x^2 - 2x^2.5x + 2x^2.3 + 5.x^2 + 5.5x - 5.3 \\ & = x^5 + 5x^4 - 3x^3 - 2x^4 - 10x^3 + 6x^2 + 5x^2 + 25x - 15 \\ & = x^5 + (5x^4 - 2x^4) +( - 3x^3 - 10x^3 ) + (6x^2 + 5x^2) + 25x - 15 \\ & = x^5 + 3x^4 +( - 13x^3 ) + 11x^2 + 25x - 15 \\ & = x^5 + 3x^4 - 13x^3 + 11x^2 + 25x - 15 \end{align} $
3). Diketahui suku banyak $ f(x) = (2x + a)(x+b) \, $ dan $ \, g(x) = cx^2 + 3x - 2 \, $, dengan $ a, b, c \, $ adalah bilangan bulat. Jika $ f(x) = g(x) \, $ , maka tentukan nilai $ a + b + c $.
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan dari $ f(x) = g(x) $.
$ \begin{align} f(x) & = g(x) \\ (2x + a)(x+b) & = cx^2 + 3x - 2 \\ 2x^2 + 2bx + ax + ab & = cx^2 + 3x - 2 \\ 2x^2 + (2b+a)x + ab & = cx^2 + 3x - 2 \end{align} $
kita samakan berdasarkan suku-suku yang sejenis, kita peroleh :
$ 2x^2 = cx^2 \rightarrow c = 2 $.
$ (2b+a)x = 3x \rightarrow 2b + a = 3 \rightarrow a = 3 - 2b \, $ ....pers(i)
$ ab = -2 \, $ ....pers(ii) .
Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$ \begin{align} ab & = -2 \\ (3 - 2b)b & = -2 \\ 3b - 2b^2 & = -2 \\ 2b^2 - 3b - 2 & = 0 \\ (2b + 1)(b - 2) & = 0 \\ b = -\frac{1}{2} \vee b & = 2 \end{align} $
yang memenuhi adalah $ b = 2 $.
pers(i) : $ a = 3 - 2b = 3 - 2.2 = 3 - 4 = -1 $.
Sehingga nilai $ a + b + c = -1 + 2 + 2 = 3 $.
Jadi, nilai $ a + b + c = 3 $.
