Jumat, 30 Oktober 2015

Berkas Lingkaran

         Blog Koma - Kali ini kita akan mempelajari materi berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dulu materi yang terkait yaitu "persamaan lingkaran", dan "garis kuasa".

Berkas Lingkaran
       Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah :

         $ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $

Keterangan :
$ k \, $ adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
$ \lambda \, $ adalah konstanta tertentu.
Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 - L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa.

Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
Contoh :
1). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \end{align} $
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 - 2.1 - 11) + \lambda (1^2 + 1^2 - 6.1 - 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 - 2 - 11) + \lambda (1 + 1 - 6 - 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = - \frac{7}{4} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44) + (-7) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44 - 7x^2 - 7y^2 + 42x + 28y - 28 & = 0 \\ - 3x^2 - 3y^2 + 58x + 20y - 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 = 0 $

2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta memiliki titik pusat $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
$ -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $
*). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + 1 . (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 = 0 $

3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
*). Pusat lingkaran terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik pusat ke garis ini,
$ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 - 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = - \frac{3}{8} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran,
$ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y - 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+100) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 = 0 . $

Kamis, 29 Oktober 2015

Keliling dan Luas Irisan Dua Lingkaran

         Blog Koma - "Irisan dua lingkaran" akan membentuk suatu daerah irisan. Daerah irisan akan terbentuk jika kedua lingkaran berpotongan di dua titik yang berbeda, silahkan baca materinya di "kedudukan dua lingkaran". Materi dasar yang harus dikuasai untuk mempermudah mempelajari keliling dan luas irisan lingkaran adalah "panjang busur dan luas juring" serta "aturan kosinus" untuk menentukan besar sudutnya, dan jarak antara dua titik, yang semua materi dasar ini bisa langsung kita pelajari di "irisan dua lingkaran".

Keliling irisan dua lingkaran
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau. Keliling daerah irisan yang dimaksud adalah jumlah busur lingkaran warna biru (busur 1) dan busur lingkaran berwarna orange (busur 2). Berikut busur masing-masing,

$\spadesuit $ Menentukan keliling irisan dua lingkaran
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r + \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r $

$ \clubsuit $ Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur pertama, besar sudutnya :
$ \cos \angle CAD = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2.AD.AC} = \frac{r^2 + r^2 - CD^2}{2.r.r} $
$ \cos \angle CAD = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} $

$\clubsuit $ Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C($x_1,y_1$) dan D($x_2,y_2$) , jarak atau panjang CD adalah
$ CD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan keliling irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua busur lingkaran,
iv). Menentukan panjang busur kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua panjang busurnya

contoh :
1). Tentukan keliling lingkaran dari dua irisan lingkaran berikut
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \, $ dan $ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 $ ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
$ L_1 : \, (x+2)^2 + (y-1)^2 = 49 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 $
$ L_2 : \, (x-6)^2 + (y-1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 $
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 4x - 2y - 44 = 0 & \\ x^2 + y^2 - 12x - 2y + 28 = 0 & - \\ \hline 16x - 72 = 0 & \\ x = 4,5 & \end{array} $
substitusi nilai $ x = 4,5 \, $ ke persamaan lingkaran 2.
$\begin{align} x = 4,5 \rightarrow (x-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ (4,5-6)^2 + (y-1)^2 & = 9 \\ 2,25 + (y-1)^2 & = 9 \\ (y-1)^2 & = 6,75 \\ y - 1 & = \pm \sqrt{6,75} \\ y & = 1 \pm \sqrt{6,75} \\ y_1 = 1 - \sqrt{6,75} \vee y_2 & = 1 + \sqrt{6,75} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C($4,5 ; 1 - \sqrt{6,75}$ ) dan D($4,5 ; 1 + \sqrt{6,75}$)
*). Panjang CD
CD = $ \sqrt{(4,5 - 4,5 )^2 + [(1 + \sqrt{6,75}) - (1 - \sqrt{6,75}) ]^2 } = 2\sqrt{6,75} $

*). Menentukan sudut kedua busur :
busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
$\begin{align} \cos \angle CAD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{2.7^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.7^2} \\ \cos \angle CAD & = \frac{98 - 27}{98} \\ \cos \angle CAD & = \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = arc \, \cos \frac{71}{98} \\ \angle CAD & = 43,57^\circ = 44^\circ \end{align} $
busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
$\begin{align} \cos \angle CBD & = \frac{2r^2 - CD^2}{2r^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{2.3^2 - (2\sqrt{6,75})^2}{2.3^2} \\ \cos \angle CBD & = \frac{18 - 27}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-9}{18} \\ \cos \angle CBD & = \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = arc \, \cos \frac{-1}{2} \\ \angle CBD & = 120^\circ \end{align} $
*). Menentukan panjang busur masing-masing :
Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{44^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 7 = 5,38 $
Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . 2 \pi . r = \frac{120^\circ}{360^\circ} . 2 \frac{22}{7} . 3 = 6,29 $
*). Keliling irisan lingkarannya :
Keliling = busur 1 + busur 2 = 5,38 + 6,29 = 11,67
Jadi, keliling irisan kedua lingakaran adalah 11,67.

Luas irisan dua lingkaran
       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau dan warna biru. Ternyata daerah arsirannya adalah perpaduan dari dua tembereng yaitu tembereng 1 (dari lingkaran pertama) dan tembereng 2 (dari lingkaran kedua).

$\spadesuit $ Menentukan luas irisan dua lingkaran
Untuk menentukan luas irisannya, kita harus menentukan luas kedua temberengnya. Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}. r_1^2 . \sin \angle CAD $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}. r_2^2 . \sin \angle CBD $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD.
*). Sehingga luas irisannya :
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2.
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan luas irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua juring lingkaran,
iv). Menentukan luas juring, luas segitiga dan tembereng kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua luas tembereng

Contoh :
2). Tentukan luas irisan dua lingkaran yang ada pada soal nomor satu di atas!
Penyelesaian :
*). Dari pembahasan sola nomor satu di atas, diperoleh :
$ \angle CAD = 44^\circ , \, \angle CBD = 120^\circ $
*). Menentukan luas juring, segitiga dan tembereng
Tembereng pertama (L1) :
luas juring 1 = $ \frac{\angle CAD}{360^\circ} . \pi . r_1^2 = \frac{44^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 7^2 = 21,39 $
Luas segitiga CAD = $ \frac{1}{2}. AC . AD. \sin \angle CAD = \frac{1}{2}.7^2 . \sin 44^\circ = 17,02 $
Tembereng 1 = luas juring 1 $ - $ lusa segitiga CAD = 21,39 - 17,02 = 4,37.
Tembereng kedua (L2) :
luas juring 2 = $ \frac{\angle CBD}{360^\circ} . \pi . r_2^2 = \frac{120^\circ }{360^\circ} . \frac{22}{7} . 3^2 = 9,43 $
Luas segitiga CBD = $ \frac{1}{2}. BC . BD. \sin \angle CBD = \frac{1}{2}.3^2 . \sin 120^\circ = 3,89 $
Tembereng 2 = luas juring 2 $ - $ lusa segitiga CBD = 9,43 - 3,89 = 5,54.
*). Menentukan luas irisan lingkaran
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2 = 4,37 + 5,54 = 9,91
Jadi, luas daerah irisannya adalah 9,91.

    Silahkan juga baca materi yang terkait dengan irisan lingkaran yaitu Luas irisan dua lingkaran bentuk 2.

Rabu, 28 Oktober 2015

Kuasa Lingkaran , Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran

         Blog Koma - Kali ini kita akan mempelajari materi Kuasa Lingkaran , Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran . Untuk memudahkan dalam mempelajari materi ini, sebaiknya kita baca dulu materi "persamaan lingkaran". Materi Kuasa Lingkaran , Titik Kuasa, dan Garis Kuasa Lingkaran kita bagi menjadi beberapa bagian yaitu kuasa suatu titik terhadap lingkaran; garis kuasa dan titik kuasa pada dua lingkaran ; dan garis kuasa dan titik kuasa pada tiga lingkaran.

Kuasa Suatu Titik terhadap Lingkaran
       Misalkan ada titik T($x_1,y_1$) diluar lingkaran, dan ada lingkaran L yang berpusat di titik P dan jari-jari $ r $ seperti gambar berikut.
Kuasa titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran L didefinisikan sebagai nilai $ TP^2 - r^2 \, $ .

$ \spadesuit $ Menentukan nilai kuasa suatu titik yang dilambangkan K :
       Misalkan ada persamaan lingkaran
L : $ x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ dengan pusat $ P\left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $ dan kuadrat jari-jarinya $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $ .
Kuasa (K) titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran L, adalah
$ K = TP^2 - r^2 = \left( x_1 + \frac{1}{2}A \right)^2 + \left( y_1 + \frac{1}{2}B \right)^2 - r^2 \, $ atau
$ K = x_1^2 + y_1^2 +Ax_1 + By_1 + C $
       Perhatikan bahwa kuasa titik T($x_1,y_1$) terhadap lingkaran $ L \, : \, x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0 \, $ dapat diperoleh dengan cara menggantikan $ x $ dan $ y $ pada persamaan lingkaran itu dengan $ x_1 $ dan $ y_1 $ .

$\clubsuit $ Kegunaan nilai kuasa suatu titik pada lingkaran
Setelah diperoleh kuasa suatu titik terhadap lingkaran, maka nilai kuasanya bisa digunakan untuk menentukan letak titik tersebut terhadap lingkaran, yaitu :
i). Jika $ K > 0, \, $ maka titik ada di luar lingkaran.
ii). Jika $ K = 0, \, $ maka titik terletak pada lingkaran.
iii). Jika $ K < 0, \, $ maka titik terletak di dalam lingkaran.
Contoh :
Tentukan kuasa titik T(1,2) terhadap lingkaran-lingkaran :
a). $ x^2 + y^2 +2x - 4y + 6 = 0 $
b). $ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 $
Penyelesaian :
*). Substitusi titik T(1,2) ke persamaan lingkaran
a). K = $ 1^2 + 2^2 +2.1 - 4.2 + 6 = 5 $
b). Nol kan ruas kanan persamaan lingkaran.
$ (x-2)^2 + (y + 1)^2 = 4 \rightarrow (x-2)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0 $
$ K = (1-2)^2 + (2 + 1)^2 - 4 = 6 $
Karena nilai kuasa titik terhadap kedua lingkaran di atas positif ($K > 0 $), maka titik T(1,2) terletak di luar kedua lingkaran.

Titik Kuasa dan Garis Kuasa Dua Lingkaran
$ \clubsuit $ Garis Kuasa
       Misalkan ada dua buah lingkaran, dan terdapat titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran tersebut. Himpunan semua titik kuasa (memiliki kuasa yang sama terhadap dua lingkaran) akan membentuk suatu garis yang dinamakan sebagai garis kuasa. Garis kuasa tegak lurus dengan garis yang menghubungkan dua pusat lingkaran.

Cara menentukan garis kuasa :
Misalkan ada dua lingkaran yaitu
$ L_1 : x^2 + y^2 + A_1x + B_1y + C_1 = 0 \, $ dan
$ L_2 : x^2 + y^2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0 $ .
Garis kuasanya adalah :
$ L_1 - L_2 = 0 \, $ atau $ \, (A_1 - A_2)x + (B_1 - B_2)y + (C_1 - C_2) = 0 $

$ \clubsuit $ Titik Kuasa
       Titik Kuasa adalah titik yang terletak pada garis kuasa dan mempunyai kuasa yang sama terhadap kedua lingkaran.

Cara Menentukan titik kuasa :
Substitusi sebarang nilai salah satu variabelnya (misalkan pilih salah satu nilai $ x_1 $ ) ke persamaan garis kuasa, akan diperoleh nilai $ y_1 $ . Titik ($x_1,y_1$) ini lah disebut sebagai salah satu titik kuasa kedua lingkaran.
Contoh :
Diketahui dua persamaan lingkaran :
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \, $ dan $ \, L_2 : x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 $
a). Tentukan persamaan garis kuasanya;
b). Tentukan titik kuasanya pada sumbu X dan kuasanya pada kedua lingkaran.
c). Tentukan titik kuasanya pada sumbu Y dan kuasanya pada kedua lingkaran.
Penyelesaian :
a). Menentukan garis kuasa : $ L_1 - L_2 = 0 $
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 & \\ x^2 + y^2 -12x -4y + 36 = 0 & - \\ \hline 14x + 2y - 42 = 0 & \\ 7x + y = 21 & \end{array} $
garis kuasanya adalah $ 7x + y = 21 $

b). Titik kuasa pada sumbu X, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu X, caranya adalah substitusi $ y = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ y = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7x + 0 = 21 \rightarrow x = 3 $
artinya titik kuasa pada sumbu X adalah titik (3,0).
*). Kuasa titik (3,0) terhadap lingkaran :
Substitusi titik (3,0) ke salah satu lingkaran saja (karena kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \rightarrow K = 3^2 + 0^2 + 2.3 -2.0 - 6 = 9 $
kuasa titik (3,0) adalah 9.

c). Titik kuasa pada sumbu Y, artinya kita mencari titik pada garis kuasa yang memotong sumbu Y, caranya adalah substitusi $ x = 0 \, $ ke garis kuasa, diperoleh :
$ x = 0 \rightarrow 7x + y = 21 \rightarrow 7.0 + y = 21 \rightarrow = 21 $
artinya titik kuasa pada sumbu Y adalah titik (0,21).
*). Kuasa titik (0,21) terhadap lingkaran :
Substitusi titik (0,21) ke salah satu lingkaran saja (karena kuasanya sama) ,
$ L_1 : x^2 + y^2 + 2x -2y - 6 = 0 \rightarrow K = 0^2 + 21^2 + 2.0 -2.21 - 6 = 393 $
kuasa titik (0,21) adalah 393.
Berikut gambar lingkaran dan garis kuasanya :

Titik Kuasa dan Garis Kuasa Tiga Lingkaran
$\spadesuit $ Garis Kuasa
       Misalkan ada tiga lingkaran : $ L_1, \, L_2, \, $ dan $ L_3 . \, $ Garis kuasa yang terbentuk ada tiga yaitu
$ g_1 : \, L_1 - L_2 = 0 ; \, g_2 : \, L_1 - L_3 = 0 ; \, g_3 : \, L_2 - L_3 = 0 $

$\spadesuit $ Titik Kuasa
       Sementara titik kuasa tiga lingkaran hanya ada satu titik kuasa saja, yaitu perpotongan ketiga garis kuasa yang terbentuk. Untuk menentukan titik kuasanya, cukup ambil dua garis kuasa saja kemudian cari perpotongan kedua garis tersebut dengan cara eliminasi dan substitusi.
Contoh :
Tentukan garis kuasa dan titik kuasa dari ketiga lingkran berikut dan kuasa titik tersebut terhadap ketiga lingkaran.
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y - 14 = 0 $
$ L_2 : \, x^2 + y^2 = 13 $
$ L_3 : \, x^2 + y^2 +3x - 2y - 26 = 0 $
Penyelesaian :
*). Menentukan garis kuasanya :
garis kuasa pertama : $ L_1 - L_2 =0 \rightarrow x + y = 1 $
garis kuasa kedua : $ L_1 - L_3 =0 \rightarrow -2x + 3y = -12 $
garis kuasa ketiga : $ L_2 - L_3 =0 \rightarrow -3x + 2y = -13 $
*). Menentukan titik kuasa dengan eliminasi garis kuasa I dan II
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 1 & \text{ kali 2 } & 2x + 2y = 2 & \\ -2x + 3y = -12 & \text{ kali 1 } & -2x + 3y = -12 & + \\ \hline & & 5y = -10 & \\ & & y = -2 & \end{array} $
Pers(i) : $ x + y = 1 \rightarrow x + (-2) = 1 \rightarrow x = 3 $
Jadi, titik kuasa ketiga lingkaran adalah (3,-2)
*).Kuasa titik (3,-2) terhadap lingkaran, di sini kita gunakan lingkran pertama
$ L_1 : \, x^2 + y^2 +x + y - 14 = 0 \rightarrow K = 3^2 + (-2)^2 +3 + (-2) - 14 = 0 $
Kuasa titik (3,-2) terhadap ketiga lingkaran adalah 0.
Karena nilai kuasanya nol ($ K = 0 $), maka titik (3,-2) ada pada ketiga lingkaran.

Garis Singgung Persekutuan Lingkaran

         Blog Koma - Garis singgung persekutuan lingkaran maksudnya ada suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran baik satu lingkaran, dua lingkaran, atau pun lebih. Kosep dasar yang digunakan pada materi garis singgung persekutuan lingkaran adalah teorema pythagoras. Adapun hal-hal yang akan dibahas dalam materi garis singgung ini yatiu garis singgung pada satu lingkaran, garis singgung pada dua lingkaran, dan panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan lingkaran. Tapi sebelumnya akan dibahas dulu sedikit tentang teorema pythagoras.

Teorema Pythagoras
       Mislakan ada segitiga siku-siku seperti berikut,
Maka berlaku teorema Pythagoras untuk panjang sisi-sisinya, yaitu :
              $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
Contoh :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan panjang AB = 3 dan BC = 4, tentukan panjang AC?
Penyelesaian :
*). Karena segitiga siku-siku, maka berlaku pythagoras :
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ AC^2 & = 3^2 + 4^2 \\ AC^2 & = 9 + 16 \\ AC^2 & = 25 \\ AC & = \sqrt{25} = 5 \end{align} $
Jadi, panjang AC = 5.

Garis Singgung pada Satu Lingkaran
$\clubsuit $ Defisi garis singgung lingkaran
       Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya.
Pada gambar di atas tampak bahwa garis $ k $ tegak lurus dengan jari-jari OA. Garis $ k $ adalah garis singgung lingkaran di titik A, sedangkan A disebut titik singgung lingkaran.

$\clubsuit $ Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Satu Titik di Luar Lingkaran
Pada gambar di atas, lingkaran berpusat di titik O dengan jari-jari OB dan OB $ \bot $ garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. Perhatikan segitiga siku-siku ABO.
Dengan teorema Pythagoras berlaku :
$ \begin{align} OB^2 + AB^2 & = OA^2 \\ AB^2 & = OA^2 - OB^2 \\ AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \end{align} $
Artinya, panjang garis singgung AB adalah $ AB = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } $
Contoh :
Diketahui lingkaran berpusat di titik O dengan jarijari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak OA = 13 cm maka
a. gambarlah sketsanya;
b. tentukan panjang garis singgung AB.
Penyelesaian :
a). Sketsanya
b). panjang garis singgung AB
$ \begin{align} AB & = \sqrt{ OA^2 - OB^2 } \\ AB & = \sqrt{ 13^2 - 5^2 } \\ AB & = \sqrt{ 169 - 25 } \\ AB & = \sqrt{ 144 } = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

Garis singgung pada dua lingkaran (Garis singgung persekutuan)
       Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Dari beberapa "kedudukan dua lingkaran", diperoleh berbagai garis singgung yaitu :

gambar 1 : kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan.
gambar 2 : kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan.
gambar 3 : kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan.
gambar 4 : kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan.
gambar 5 : kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan.
Namun yang akan dibahas lebih lanjut adalah garis singgung pada gambar 5, yang bisa dibagi menjadi dua yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar lingkaran.
Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran
       Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan dalam lingkaran.
Garis singgung persekutuan dalamnya adalah garis AB

Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :
Perhatikan gambar di atas. Perpanjang garis PA di titik S sehingga garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA + AS = R + r , serta panjang PQ = p (jarak kedua pusat lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung).
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R+r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \end{align} $
Contoh :
Diketahui dua buah lingkaran dengan jarak kedua pusat lingkaran 15 cm, jari-jari lingkaran besar 5 cm, dan jari-jari lingkaran kecil 4 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalamnya?
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 15, R = 5, r = 4 $
*). Panjang garis singgung persekutuan dalamnya :
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R+r)^2} \\ d & = \sqrt{15^2 - (5+4)^2} \\ d & = \sqrt{225 - 81} \\ d & = \sqrt{144} = 12 \end{align} $
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah 12 cm

Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran
       Berikut adalah gambar garis singgung persekutuan luar lingkaran.
Garis singgung persekutuan luarnya adalah garis AB

Rumus cara menghitung panjang garis singgungya :
Perhatikan gambar di atas. Dibuat garis SQ sejajar dengan garis singgung AB. Panjang AS = BQ = r, dan PS = PA - SA = R - r , serta panjang PQ = p (jarak kedua pusat lingkaran), dan SQ = AB = d (garis singgung).
Perhatikan segitiga PQS siku-siku di S, sehingga berlaku pythagoras.
$ \begin{align} PQ^2 & = SQ^2 + PS^2 \\ SQ^2 & = PQ^2 - PS^2 \\ d^2 & = p^2 - (R-r)^2 \\ d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $
Rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran ($d$) dengan jarak kedua titik pusat $p$, jari-jari lingkaran besar $R$, dan jari-jari lingkaran kecil $r$ adalah $ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \end{align} $
Contoh :
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3$\frac{1}{2} \, $ cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.
Penyelesaian :
*). Diketahui : $ p = 13, \, d = 12, r = 3,5 $
*). Panjang garis singgung persekutuan luar
$ \begin{align} d & = \sqrt{p^2 - (R-r)^2} \\ R - r & = \sqrt{p^2 - d^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{13^2 - 12^2 } \\ R - 3,5 & = \sqrt{25 } \\ R - 3,5 & = 5 \\ R & = 5 + 3,5 = 8,5 \end{align} $
Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 8,5 cm.

Panjang Sabuk Lilitan Minimal yang Menghubungkan Lingkaran
       Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan mengangkat. Mungkin juga beberapa tong minyak kosong dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kita akan mempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkan pekerjaan.
       Konsep yang digunakan adalah panjang busur lingkaran, silahkan baca juga materinya di "Irisan Dua Lingkaran".
Contoh :
Perhatikan gambar berikut!
Gambar di atas menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masingmasing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut.!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar
*). Menentukan panjang masing-masing.
dari gambar ilustrasi di atas,
panjang DE = FG = HI = AB = BC = CA = $ 2\times r = 2 \times 7 = 14 $
Segitiga ABC sama sisi, sehingga :
$ \angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^\circ $
$ \angle CBF = \angle ABE = 90^\circ $
$ \angle FBE = \angle GCH = \angle DAI = 360^\circ - (60^\circ + 90^\circ + 90^\circ ) = 120^\circ $
Busur FE, busur GH, busur DI masing-masing sudutnya 120$^\circ $, sehingga kalau dijumlahkan menjadi 360$^\circ $ .
Artinya total busur FE, GH, dan DI membentuk keliling satu lingkaran, sehingga :
$ \begin{align} \text{busur FE + busur GH + busur DI } & = \text{ keliling lingkaran } \\ & = 2 \pi r \\ & = 2 . \frac{22}{7} . 7 \\ & = 44 \end{align} $
*). Panjang total sabuk lilitan
$ \begin{align} \text{panjang sabuk lilitan } & = DE + FG + HI + \text{busur FE + busur GH + busur DI } \\ & = 14 + 14 + 14 + 44 \\ & = 86 \end{align} $
Jadi, panjang sabuk lilitan minimalnya adalah 86 cm.

Catatan : Jumlah semua busur pada sabuk lilitan minimal kebanyakan membentuk keliling satu lingkaran.

Sebagai latihan, coba tentukan panjang sabuk lilitan minimal gambar-bambar berikut:
Anggap jari-jari masing-masing lingkaran adalah 7 cm.

HINT ANSWER:
gambar (i) : panjang lilitan = $ 8r + \, $ keliling lingkaran
gambar (ii) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran
gambar (iii) : panjang lilitan = $ 10r + \frac{5}{6} \times \text{ keliling lingkaran } $
gambar (iv) : panjang lilitan = $ 12r + \, $ keliling lingkaran.

Senin, 26 Oktober 2015

Kedudukan Dua Lingkaran

         Blog Koma - Kedudukan Dua Lingkaran maksudnya posisi kedua lingkaran yang dibagi menjadi beberapa jenis. Untuk memudahkan mempelajari materi kedudukan dua lingkaran, sebaiknya kita menguasai dulu materi "persamaan lingkaran" dan "jarak dua titik" yang bisa dipelajari pada materi "irisan kedua lingkaran".

Penjabaran Kedudukan Dua Lingkaran
       Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran $L_1 $ berpusat di $ P $ dengan jari-jari $ R $ dan lingkaran $ L_2 $ berpusat di $ Q $ dengan jari-jari $ r $ di mana $ R > r $ maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut.

i). $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dengan $P$ dan $Q$ berimpit, Syarat : $PQ = 0$. Dalam hal ini dikatakan $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dan konsentris (sepusat).
ii). $L_2 $ terletak di dalam $L_1$ , syarat : $ PQ < r < R $ atau $ PQ < R - r $. Dalam hal ini dikatakan $L_2 $ terletak di dalam $ L_1 $ yang disebut juaga tidak konsentris.
iii). $L_1$ dan $L_2 $ bersinggungan di dalam, syaratnya : $ PQ = R - r $
iv). $L_1 $ berpotongan dengan $L_2 $ , syaratnya : $ R - r < PQ < R + r. $

v). $L_1$ dan $L_2 $ bersinggungan di luar, syaratnya : $ PQ = R + r $
vi). $L_1$ terletak di luar $L_2$ , syaratnya : $ PQ > R + r $, sehingga $L_1 $ dan $L_2$ saling terpisah.
vii). $L_1$ ortogonal (tegak lurus) $L_2$ , syaratnya : $ PQ^2 = R^2 + r^2 $ .

viii). $L_1$ berpotongan $L_2$ tepat pada diameter salah satu lingkaran (membagi dua bagian sama besar yaitu diameter garis warna merah), syaratnya : $ PQ^2 = R^2 - r^2 $ .

Keterangan : $ PQ = \, $ jarak titik $ P \, $ dan $ Q $.

Catatan : Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran, kita hitung dulu jari-jari dan titik pusat masing-masing lingkaran, kemudian kita hitung jarak kedua titik pusat, lalu cek apakah jarak pusat dan jari-jari masing-masing memenuhi jenis kedudukan yang mana seperti syarat di atas yang ada 8 syarat.

Contoh :
1). Tentukan kedudukan lingkaran $ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \, $ dan linkaran $ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 $.
Penyelesaian :
*). Menentukan jari-jari dan pusat masing-masing lingkaran.
$ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 $
Jari-jari : $ r^2 = 25 \rightarrow r = 5 \, $ sebagai $ R = 5 $
Pusat lingkaran : $ A (a,b) = A(1,-3) $

$ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 $
Jari-jari : $ r^2 = 9 \rightarrow r = 3 $
Pusat lingkaran : $ B (a,b) = B(-2,1) $
*). Jarak titik pusat kedua lingkaran : $ AB $
jarak titik A(1,-3) dan B(-2,1)
$ AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $
*). Cek kedudukan kedua lingkaran, $ AB = 5, \, R = 5, \, r = 3 $
$ AB = 0 \, $ (tidak memenuhi)
$ AB < r < R \, $ (tidak memenuhi)
$ AB = R - r \, $ (tidak memenuhi)
$ R - r < AB < R + r \, $ (memenuhi)
$ AB = R + r \, $ (tidak memenuhi)
$ AB > R + r \, $ (tidak memenuhi)
$ AB^2 = R^2 + r^2 \, $ (tidak memenuhi)
$ AB^2 = R^2 - r^2 \, $ (tidak memenuhi)
Karena yang memenuhi $ R - r < AB < R + r \, $ , maka kedua lingkaran berpotongan.!
Untuk lebih jelasanya, berikut gambar kedua lingkarannya :

Untuk lebih memantapkan pemahaman tentang kedudukan dua lingkaran, sebaiknya teman-teman juga membaca artikel "variasi soal kedudukan dua lingkaran".

Menentukan titik potong atau titik singgung dua lingkaran
       Langkah-langkah menentukan titik potong atau titik singgung kedua lingkaran, yaitu :
*). Eliminasi kedua persamaan lingkaran sehingga terbentuk persamaan garis.
*). Substitusi persamaan garis yang ada ke salah satu lingkaran, lalu tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $ .
Contoh :
2). Tentukan titik potong kedua lingkaran pada soal nomor 1 di atas.
Penyelesaian :
*). Menjabarkan kedua persamaan lingkaran.
$ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15 $
$ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 $
*). Eliminasi kedua persamaan lingkaran ,
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15 & \\ x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 & - \\ \hline -6y + 8y = 11 & \end{array} $
*). Substitusi garis ke lingkaran kedua
$ -6x + 8y = 11 \rightarrow y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $
$\begin{align} x^2 + y^2 + 4x + -2y & = 4 \\ x^2 + [\frac{1}{8}(11 + 6x)]^2 + 4x + -2[\frac{1}{8}(11 + 6x)] & = 4 \\ x^2 + \frac{1}{64}(36x^2 + 132x + 121) + 4x -\frac{2}{8}(11 + 6x) & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -16(11 + 6x) & = 256 \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -171 - 96x & = 256 \\ 100x^2 + 292x - 306 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \end{align} $
Gunakan rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \, $ pada persamaan kuadrat.
$\begin{align} 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{146^2 - 4.50.(-153)}}{2.50} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{51916}}{100} \\ x & = \frac{-146 \pm 227,8}{100} \\ x & = \frac{81,8}{100} \\ x_1 & = 0,818 = 0,8 \\ x & = \frac{-146 - 227,8}{100} \\ x & = \frac{-373,8}{100} \\ x_2 & = -3,738 = -3,7 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x $ ke persamaan garis $ y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $
$ x_1 = 0,8 \rightarrow y_1 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(0,8)) = 1,98 $
$ x_2 = -3,7 \rightarrow y_2 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(-3,7)) = -1,4 $
Jadi, titik potong kedua lingkaran adalah (0.8 , 1.98) dan (-3.7 , -1.4).

Irisan Dua Lingkaran

         Blog Koma - Irisan Dua Lingkaran merupakan materi matematika peminatan. Materi yang akan dipelajari pada irisan dua lingkaran yaitu "kedudukan dua lingkaran", "garis singgung persekutuan lingkaran", "luas dan keliling irisan dua lingkaran",  "kuasa pada lingkaran", dan "berkas lingkaran". Untuk memudahkan dalam mempelajari irisan dua lingkaran, kita harus menguasai materi "jarak dua titik", "panjang busur dan luas juring", dan "aturan cosinus pada segitiga". Berikut akan dijelaskan sedikit materi dasar yang dibutuhkan dalam mempelajari irisan dua lingkaran.

Jarak Dua titik
       Misalkan ada titik A($x_1,y_1$) dan titik B($x_2,y_2$), jarak kedua titik A dan B adalah :

Jarak = $ |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
Konsep jarak dua titik ini akan digunakan pada materi "kedudukan dua lingkaran" dan menghitung luas serta keliling irisan lingkaran.

Contoh :
Tentukan jarak titik A(1,2) dan titik B(-2, 6) !
Penyelesaian :
*). Jarak titik A dan B kita simbolkan $ |AB| $ :
$ \begin{align} |AB| & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(-2-1)^2 + (6-2)^2 } \\ & = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 } \\ & = \sqrt{9 + 16 } \\ & = \sqrt{25 } \\ & = 5 \end{align} $
Jadi, jarak A dan B adalah 5 satuan.

Panjang busur, Luas juring, dan Luas Tembereng
       Berikut gambar busur, juring, dan tembereng pada lingkaran
Rumus dasarnya :
$\begin{align} \text{Panjang Busur AB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \\ \text{Luas Juring AOB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ \text{Luas Tembereng AB } & = \text{Luas Juring AOB } - \text{Luas Segitiga AOB } \end{align} $

dimana $ r = \, $ jari-jari lingkaran dan $ \pi = \frac{22}{7} = 3,14 $
Konsep panjang busur, luas juring, dan luas tembereng digunakan untuk materi "luas dan keliling irisan lingkaran".

Contoh :
Perhatikan Gambar di bawah ini. Diketahui panjang jari-jari OA = 10 cm. Jika besar $ \angle AOB = 60^\circ $ , hitunglah :
a). panjang AB ;
b). luas juring OAB;
c). luas tembereng AB.
Penyelesaian :
a). Panjang busur AB ,
$ \begin{align} \text{panjang busur AB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2 \pi r \\ & = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times 3,14 \times 10 \\ & = \frac{1}{6} \times 62,8 \\ & = 10, 47 \end{align} $
b). luas juring OAB ,
$ \begin{align} \text{Luas Juring AOB } & = \frac{\alpha}{360^\circ} \times \pi r^2 \\ & = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 3,14 \times 10^2 \\ & = \frac{1}{6} \times 314 \\ & = 52,33 \end{align} $

*). Menentukan luas segitiga AOB :
Karena $ \angle AOB = 60^\circ $ , maka segitiga AOB sama sisi. Luas segitiga sama sisi adalah $ \text{Luas } = \frac{1}{4} a^2 \sqrt{3} $ dengan $ a \, $ adalah sisi segitiga atau di sini nilai $ a \, $ sama dengan jari-jari.
$\begin{align} \text{Luas Segitiga AOB } & = \frac{1}{4} a^2 \sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} 10^2 \sqrt{3} \\ & = 25\sqrt{3} = 43,30 \end{align} $
c). luas tembereng AB
$\begin{align} \text{Luas Tembereng AB } & = \text{Luas Juring AOB } - \text{Luas Segitiga AOB } \\ & = 52,33 - 43,30 \\ & = 9,03 \end{align} $
Jadi, panjang busur AB = 10,47 cm, luas juring AOB = 52,33 cm$^2$ , dan luas tembereng AB = 9,03 cm$^2$.

Aturan Cosinus pada segitiga
       Aturan Cosinus digunakan untuk menentukan besarnya sudut suatu segitiga. Misalkan ada segitiga sperti dibawah ini :
Rumus aturan cosinusnya adalah :
$ BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2. AC. AB . \cos A \, $ atau $ \cos A = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2.AC.AB} $
Contoh :
Diketahui segitiga seperti gambar berikut.
Tentukan besarnya sudut BAC?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai cosinus sudut BAC :
$ \begin{align} \cos A & = \frac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2.AC.AB} \\ & = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2.4.6} \\ & = \frac{16 + 36 - 25}{48} \\ \cos A & = \frac{27}{48} \\ \cos A & = \frac{9}{16} \end{align} $
*). Menentukan besar sudut BAC :
$ \begin{align} \cos \angle BAC & = \frac{9}{16} \\ \angle BAC & = arc \cos \frac{9}{16} \\ \angle BAC & = 55,77^\circ \end{align} $
Jadi, besar sudut BAC adalah $ 55,77^\circ $ .

Cara Menentukan besarnya sudut yang diketahui nilai cosinusnya menggunakan kalkulator
       Untuk bisa menghitung besarnya sudut yang diketahui nilai cosinusnya, kita harus menggunakan kalkulator scientific.
Lankah-langkahnya :
Tekan tombol SHIFT --->>> tekan tombol COS
--->>> tekan ANGKAnya --->>> tekan =
Contoh :
Tentukan besarnya sudut BAC jika diketahui $ \cos \angle BAC = \frac{9}{16} $ !
Penyelesaian :
Tekan tombol SHIFT --->>> tekan tombol COS --->>> tekan $ \frac{9}{16} \, $ --->>> tekan = ,
maka hasilnya $ 55,77 $ . Ini artinya besar sudut BAC adalah $ 55,77^\circ $ .

Jumat, 23 Oktober 2015

Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

         Blog Koma - Pembuktian Rumus Pesamaan Garis Singgung Lingkaran merupakan penjelasan mengenai asal-usul rumus persamaan garis singgung. Namun sebelumnya, coba baca dulu materi "persamaan lingkaran" dan "Pesamaan Garis Singgung Lingkaran". Sementara untuk menyusun persamaan garis, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus" dan "Hubungan Dua Garis Lurus".

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ x^2 + y^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1}{y_1} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y - y_1 ) & = - x_1 ( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 & = - x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 \, $ , diperoleh : $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(0, 0) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ adalah $ x_1 x + y_1y = r^2 $ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align} $
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yaitu, $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. $ Asumsikan $ x_1 \neq 0 $ dan $ y_1 \neq 0 $ .
Gradien garis PA adalah $ m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \, $ . Karena garis $ g \, $ tegak lurus garis PA, maka
$ m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
*).Persamaan garis $ g \, $ melalui titik $ (x_1,y_1) \, $ dengan $ m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b} $ .
$ \begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y - y_1 ) & = - (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 - by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 - ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ , diperoleh :
$ \begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + y_1^2 - 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \, $ ke pers(i)
$ \begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $ adalah $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align} $
Pembuktian :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 \, $ dan substitusikan bentuk $ a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \, $ dan $ C = a^2 + b^2 - r^2 $
*). Penjabaran bentuk $ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 $
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y - a(x_1 + x) - b(y_1+y) + a^2 + b^2 - r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y - (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) - (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $ P(a,b) $ dan berjari-jari $ r $ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ adalah $ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 $ .

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + (mx+n)^2 & = r^2 \\ x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 & = r^2 \\ (m^2+1)x^2 + 2mnx + n^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2mn , \, c & = n^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2mn)^2 - 4.(m^2 + 1) . (n^2 - r^2 ) & = 0 \\ 4m^2n^2 - 4(n^2 + m^2n^2 - r^2 - m^2r^2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2n^2 - n^2 - m^2n^2 + r^2 + m^2r^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ n^2 & = r^2 + m^2r^2 \\ n^2 & = r^2 (1 + m^2) \\ n & = \pm \sqrt{ r^2 (1 + m^2) } \\ n & = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} $

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \, $ atau $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-a)^2 + (mx + n -b)^2 = r^2 \\ x^2 -2ax + a^2 + m^2x^2 + 2m(n-b)x + (n-b)^2 - r^2 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + [2m(n-b) - 2a ]x + (n-b)^2 + a^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = [2m(n-b) - 2a ] , \, c & = (n-b)^2 + a^2 - r^2 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [2m(n-b) - 2a ]^2 - 4.(m^2 + 1) . ((n-b)^2 + a^2 - r^2 ) & = 0 \\ (b-am-n)^2 & = r^2(1+m^2) \\ b - am - n & = \pm \sqrt{r^2(1+m^2)} \\ b - am - n & = \pm r \sqrt{1+m^2} \\ n & = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ n = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \, $ ke garis :
$ \begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $ y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} $

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

         Blog Koma - Persamaan garis singgung lingkaran merupakan suatu garis yang menyinggung suatu lingkaran. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan garis singgung lingkaran, sebaiknya baca dulu materi "persamaan lingkaran". Ada tiga jenis yang diketahui dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu : Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran, Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran, dan garis singgung lingkaran yang diketahui gradien garisnya.

Persamaan Garis Singgung (PGS) yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
       Persamaan Garis Singgung yang Melalui Suatu Titik pada Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis ada pada ingkaran. Berikut penjabarannya masing-masing
i). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $

ii). Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) = r^2 \end{align} $

iii). Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q($x_1, y_1$) pada
Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
Persamaan garis singgungnya :
$ x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $

Catatan : Cara ini dinamakan cara BAGI ADIL.

Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca materi "Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran".
Contoh :
1). Tunjukkan bahwa titik (6, -8) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$, kemudian tentukan pula garis singgungnya.
Penyelesaian :
*). Menunjukkan bahwa titik (6, -8) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 100 $ , substitusi titik tersebut ke persamaan lingkaran. Jika hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik tersebut dikatakan terletak pada lingkaran.
$\begin{align} (x,y) = (6,-8) \rightarrow x^2 + y^2 & = 100 \\ 6^2 + (-8)^2 & = 100 \\ 36 + 64 & = 100 \\ 100 & = 100 \end{align} $
Karena hasil ruas kiri sama dengan ruas kanan, maka titik (6,-8) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 100 $ .
*). Menentukan persamaan garis singgung lingkaran
$\begin{align} (x_1,y_1) = (6,-8) \rightarrow x_1.x + y_1.y & = 100 \\ 6x +(-8)y & = 100 \\ 6x - 8y & = 100 \, \, \, \, \text{(bagi 2) } \\ 3x - 4y & = 50 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x - 4y = 50 $

2). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 58 $ pada titik A(1, -4).
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,-4) $
$\begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) & = r^2 \\ (x_1+2)(x+2) + (y_1 - 3)(y-3) & = 58 \\ (1+2)(x+2) + (-4 - 3)(y-3) & = 58 \\ 3(x+2) + (-7)(y-3) & = 58 \\ 3x + 6 - 7y + 21 & = 58 \\ 3x - 7y & = 31 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x - 7y = 31 $

3). Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 4y - 11 = 0 $ pada titik A(1, 2).
Penyelesaian :
*). Menentukan persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,2) $
$\begin{align} x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C & = 0 \\ x_1.x + y_1.y -2.\frac{(x_1+x)}{2} + 4.\frac{(y_1+y)}{2} - 11 & = 0 \\ 1.x + 2.y -2.\frac{(1+x)}{2} + 4.\frac{(2+y)}{2} - 11 & = 0 \\ x + 2y -(1+x) + 2(2+y) - 11 & = 0 \\ x + 2y -1 -x + 4 + 2y - 11 & = 0 \\ 4y - 8 & = 0 \\ 4y & = 8 \\ y & = 2 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 2 $

Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
       Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran maksudnya titik yang dilalui oleh garis singgung ada di luar lingkaran. Misalkan titik yang dilalui adalah titik A($x_1,y_1$). Dari titik yang dilalui tersebut bisa ditarik dua garis singgung melalui titik pada lingkaran misalnya B($x_2,y_2$) dan titik C($x_3,y_3$).
Ada dua cara menentukan persamaan garis singgungnya, yaitu :
$\clubsuit \, $ 1). Persamaan garis singgung melalui titik A($x_1,y_1$) diluar lingkaran,
Langkah-langkah penyelesaian :
i). Misalkan garis singggungnya $ y = mx + n $ ,
ii). Substitusi titik A($x_1,y_1$) ke garis $ y = mx + n $ , dan tentukan nilai $ n \, $ dalam bentuk $ m $ kemudian substitusi nilai $ n \, $ ke garis $ y = mx + n $ .
iii). Substitusi garis yang baru ke persamaan lingkaran, lalu tentukan nilai diskriminannya ($D$).
iv). Tentukan nilai $ m \, $ dengan syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $ .
v). Substitusi nilai $ m $ yang diperoleh ke garis baru yang terbentuk.

$\clubsuit \, $ 2). Menggunakan garis kutub (polar).
Jika melalui titik A($x_1, y_1$) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B($x_2, y_2$) dan C($x_3, y_3$), maka persamaan garis BC adalah $x_1.x + y_1.y = r^2$ disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A($x_1, y_1$) disebut titik kutub.
Langkah-langkah penyelesaian :
i). Membuat persamaan garis kutub dari titik A($x_1, y_1$) terhadap lingkaran.
ii). Substitusi garis kutub yang terbentuk ke persamaan lingkaran, lalu selesaikan untuk menentukan nilai $ x \, $ .
iii). Substitusi nilai $ x \, $ atau $ y \, $ yang diperoleh ke persamaan garis kutub untuk menentukan titik B dan C.
iv). Titik B dan C adalah titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung, selanjutnya gunakan cara BAGI ADIL.
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ !
Penyelesaian :

Cara I :
*). Titik (7, 1) berada di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh $ 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 $ .
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + n $
*). Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sehingga bisa disubstitusi ke garis singgung :
$ \begin{align} (x,y)=(7,1) \rightarrow y & = mx + n \\ 1 & = m . 7 + n \\ n & = 1 - 7m \end{align} $
*). Substitusi bentuk $ n = 1 - 7m \, $ ke garis $ y = mx + n $
diperoleh garis singgung baru : $ y = mx + (1-7m) $
*). Substitusi garis singgung baru ke lingkaran :
$ \begin{align} y = mx + (1-7m) \rightarrow x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (mx + 1 - 7m)^2 & = 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m & = 25 \\ (m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2m - 14m^2 , \, c & = -49m^2-14m-24 \end{align} $
*). Menentukan nilai Diskriminan ($D$) :
$ \begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2m-14m^2)^2 - 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24) \\ & = 4m^2 - 56m^3 + 196m^4 - 4(49m^2 - 14m - 24 + 49m^4 - 14m^3 - 24m^2) \\ & = -96m^2 + 56m + 96 \end{align} $
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ -96m^2 + 56m + 96 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)} \\ 12m^2 - 7m - 12 & = 0 \\ (4m + 3)(3m - 4) & = 0 \\ m = - \frac{3}{4} \vee m & = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ m \, $ ke garis singgung baru :
$ \begin{align} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1-7.(- \frac{3}{4})) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1 + \frac{21}{4}) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + \frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = -3x + 25 \\ 3x + 4y & = 25 \\ m = \frac{4}{3} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1-7.(\frac{4}{3})) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1 - \frac{28}{3}) \\ y & = \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y & = 4x - 25 \\ 4x - 3y & = 25 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $ .

Cara II : Menggunakan garis kutub (polar)
*). Menentukan persamaan garis kutub di titik (7,1) :
$ \begin{align} x_1x + y_1y & = r^2 \\ 7.x + 1.y & = 25 \\ y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7x \end{align} $
*). Substitusi $ y = 25 - 7x \, $ ke $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (25 - 7x)^2 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 - 350x + 625 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 - 350x + 600 & = 0 \\ 50x^2 - 350x + 600 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 50)} \\ x^2 - 7x + 12 & = 0 \\ (x - 3 )(x - 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 4 \end{align} $
*). Menentukan titik singgungnya :
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7.3 \\ y & = 4 \\ x = 4 \rightarrow y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7.4 \\ y & = -3 \end{align} $
Titik singgungnya : (3,4) dan 4,-3) .
*). Menentukan PGS dengan cara Bagi ADIL
titik $ (x_1,y_1) = (3,4) $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 3x + 4y & = 25 \end{align} $
titik $ (x_1,y_1) = (4,-3) $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 4x -3y & = 25 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $ .

Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $
       Persamaan Garis Singgung (PGS) Lingkaran dengan gradien $ m $ kita bagi menjadi tiga berdasarkan jenis persamaan lingkarannya, yaitu :
i). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

ii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

iii). Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $
Untuk menentukan pusat dan jari-jarinya, silahkan baca materi "Persamaan Lingkaran"

Karena ada kaitannya dengan gradien, maka biasanya juga melibatkan hubungan antara dua garis. Silahkan baca materi "Hubungan Dua Garis".
*). Dua garis sejajar, maka gradiennya sama : $ m_1 = m_2 $
*). Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $

Untuk pembuktian rumus di atas, silahkan baca materi "Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran".
Contoh :
1). Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $ \sqrt{8} \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 = 16, \, $ jari-jari : $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = \sqrt{8} $
$\begin{align} y & = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + 8} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 . 3 \\ y & = \sqrt{8}x \pm 12 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = \sqrt{8}x + 12 \, $ dan $ y = \sqrt{8}x - 12 $

2). Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $ y = 2x - 3 \, $ pada lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1, \, $ jari-jari : $ r^2 = 1 \rightarrow r = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = (2, -1) $
*). Menentukan gradien garis singgungnya
Garis $ y = 2x - 3 \rightarrow m_1 = 2 $
Karena sejajar, maka gradiennya sama, sehingga $ m = 2 $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = 2 $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - (-1) & = 2(x - 2) \pm 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 & = 2x - 4 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 4 - 1 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 5 \pm \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y = 2x - 5 + \sqrt{5} \, $ dan $ y = 2x - 5 - \sqrt{5} $

3). Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $ -3x + 4y - 1 = 0, \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0, \rightarrow A = 4, B = -2, C = 1 $
Pusatnya : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2} , - \frac{-2}{2} \right) = (-2,1) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2 $
*). Menentukan gradien garis singgungnya
Garis $ -3x + 4y - 1 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $
Karena tegak lurus, maka $ m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = - \frac{4}{3} $
*). Menentukan PGS dengan gradien $ m = - \frac{4}{3} $
$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x - (-2)) \pm 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x + 2) \pm 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 . \frac{5}{3} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm \frac{10}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - 3 & = - 4x - 8 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 8 + 3 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 5 \pm 10 \\ \text{(PGS I) } : 3y & = - 4x - 5 + 10 \\ 3y & = -4x + 5 \\ 4x + 3y & = 5 \\ \text{(PGS II) } : 3y & = - 4x - 5 - 10 \\ 3y & = -4x - 15 \\ 4x + 3y & = -15 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ 4x + 3y = 5 \, $ dan $ 4x + 3y = -15 $

Kamis, 22 Oktober 2015

Kedudukan Titik dan Garis terhadap Lingkaran

         Blog Koma - Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran di sini maksudnya posisi (letak) titik dan garis pada lingkaran yaitu untuk titik posisinya diluar lingkaran, pada lingkaran, atau di dalam lingkaran , sedangkan untuk garis posisinya berbotongan dengan lingkaran, bersinggungan, atau tidak berpotongan.

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Contoh :
Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
1). A(3,1)
2). B(-3,4)
3). C(5,-6)
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 25.
*). Menentukan nilai $ K $ setiap titik :
$ \begin{align} A(3,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 3^2 + 1^2 \\ K & = 9 + 1 = 10 \end{align} $
Nilai $ K = 10 < 25 , \, $ artinya titik A(3,1) terletak di dalam lingkaran $x^2 + y^2 = 25$

$ \begin{align} B(-3,4) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = (-3)^2 + 4^2 \\ K & = 9 + 16 = 25 \end{align} $
Nilai $ K = 25 , \, $ artinya titik B(-3,4) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 25$

$ \begin{align} C(5,-6) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 5^2 + (-6)^2 \\ K & = 25 + 36 = 61 \end{align} $
Nilai $ K = 61 > 25 , \, $ artinya titik C(5,-6) terletak di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25$

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = (x-a)^2 + (y-b)^2 $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ r^2 $, yaitu :
*). Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Contoh :
Tentukan kedudukan titik A(1,3) terhadap lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = (x-2)^2 + (y+1)^2 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 16.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(1,3) \rightarrow K & = (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ K & = (1-2)^2 + (3+1)^2 \\ K & = 1 + 16 = 17 \end{align} $
Nilai $ K = 17 > 16 , \, $ artinya titik A(1,3) terletak di luar lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $

Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
       Kita misalkan ruas kiri persamaan lingkarannya sebagai $ K = x^2 + y^2 + Ax + By + C $
Nilai $ K \, $ bisa kita peroleh dengan mensubstitusi titik A($x_1,y_1$), yaitu $ K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C $ . Dari nilai $ K $ inilah kita bisa tentukan kedudukan titik A terhadap lingkaran dengan membandingkannya terhadap nilai $ 0 $, yaitu :
*). Jika $ K < 0 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
*). Jika $ K = 0 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
*). Jika $ K > 0 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.
Contoh :
1). Tentukan kedudukan titik A(-1,2) terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(-1,2) \rightarrow K & = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 \\ K & = (-1)^2 + 2^2 -2(-1) + 3.2 - 13 \\ K & = 1 + 4 + 2 + 6 - 13 = 0 \end{align} $
Nilai $ K = 0 , \, $ artinya titik A(-1,2) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $

2). Agar titik B(-2,1) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 3x + py - 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ p $ !
Penyelesaian :
*). Kita misalkan : $ K = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 $ , kita akan bandingkan hasilnya dengan 0.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} B(-2,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 \\ K & = (-2)^2 + 1^2 - 3(-2) + p.1 - 3 \\ K & = 4 + 1 + 6 + p - 3 \\ K & = 8 + p \end{align} $
*). Agar titik B terletak pada lingkaran, syaratnya : Nilai $ K = 0 $
$ \begin{align} K = 0 \rightarrow 8 + p = 0 \rightarrow p = -8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 $ .

Kedudukan garis terhadap suatu lingkaran
       Untuk menentukan kedudukan garis terhadap suatu lingkaran, kita substitusikan garis ke persamaan lingkaran kemudian kita tentukan nilai Diskriminannya ($ D = b^2 - 4ac $). Ada tiga kemungkinan nilai D, yaitu :
i). Jika $ D < 0 $ , maka persamaan garis terletak di luar lingkaran , dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran ($k > r$).

ii). Jika $ D = 0 $, maka persamaan garis terletak pada lingkaran dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran ($k = r$), atau bisa disebut juga garis bersinggungan dengan lingkaran.

iii). Jika $D > 0 $, maka persamaan garis terletak di dalam lingkaran , dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran ($k < r$).

dimana $ k \, $ menyatakan jarak pusat lingkaran ke garis. Silahkan baca materi "jarak titik ke garis".

Contoh :
1). Tentukan posisi garis $ x - y + 1 = 0 $ terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. !
Penyelesaian :
*). Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran
$ x - y + 1 = 0 \rightarrow y = x + 1 $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (x+1)^2 & = 25 \\ x^2 + (x^2 + 2x + 1) & = 25 \\ 2x^2 + 2x + - 24 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x + - 12 & = 0 \\ a = 1, \, b = 1, \, c & = -12 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 1^2 - 4.1.(-12) \\ & = 1 + 48 \\ & = 49 \end{align} $
Diperoleh $ D = 49 > 0 \, $ , artinya kedudukan garis $ y = x + 1 \, $ memotong lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di dua titik yang berbeda.
*). Menentukan titik potong garis dan lingkaran.
$ \begin{align} x^2 + x + - 12 & = 0 \\ (x - 3)(x + 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \\ x = 3 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = 3 + 1 = 4 \\ x = -4 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = -4 + 1 = -3 \end{align} $
Sehingga titik potong garis terhadap lingkaran adalah (3,4) dan (-4,-3).

2). Diketahui garis lurus $ g $ dengan persamaan $ y = mx + 2 $ dan lingkaran L dengan persamaan $x^2 + y^2 = 4$. Agar garis $ g $ memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai $m $ yang memenuhi.!
Penyelesaian :
*). Substitusi garis ke persamaan lingkaran.
$ \begin{align} y = mx + 2 \rightarrow x^2 + y^2 & = 4 \\ x^2 + (mx+2)^2 & = 4 \\ x^2 + (m^2x^2 + 4mx + 4) & = 4 \\ (m^2+1)x^2 + 4mx & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 4m, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (4m)^2 - 4.(m^2+1).0 \\ & = 16m^2 - 0 \\ & = 16m^2 \end{align} $
*). Syarat garis memotong lingkaran di dua titik : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ 16m^2 & > 0 \\ m^2 & > 0 \end{align} $
Karena nilai $ m^2 \, $ selalu positif, maka $ m^2 > 0 \, $ terpenuhi untuk semua nilai $ m \, $ kecuali $ m = 0 . \, $
Jadi, solusinya : $ \{ m \in R , \, m \neq 0 \} \, $ atau bisa ditulis $ \{ m < 0 \vee m > 0 \} $ .