Rabu, 29 Juli 2015

Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X

         Blog Koma - Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.1 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu tentang sifat-sifat eksponen dengan baik dan benar. Setelah itu baru kita akan dapat dengan lebih mudah dalam mengerjakannya. Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 ini kami sajikan dengan harapan bisa membantu teman-teman untuk menjawab soal-soal yang ada pada buku wajib matematika kurikulum 2013 kelas X.

         Untuk Soal-soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X yang akan kita bahas, memang terdiri dari soal-soal yang menurut kami sangat menantang untuk kita kerjakan. Bahkan menurut kami, beberapa soal yang ada adalah soal-soal setingkat olimpiade, sehingga tidak mudah bagi kita untuk mengerjakannya. Semoga pembahasan yang ada pada artikel ini bisa membantu kita semua, dan bisa menambah wawasan dalam mempelajari dan memperdalam materi eksponen.

         Untuk memudahkan mempelajari Pembahasan Soal Eksponen UK 1.1 (sifat eksponen) Kurikulum 2013 Kelas X ini, sebaiknya teman-teman mempelajari dulu baik-baik materi eksponen, seperti : bentuk umum eksponen, sifat-sifat eksponen, persamaan eksponen, pertidaksamaan eksponen dan lainnya yang terkait dengan eksponen (perpangkatan).

         Berikut soal dan pembahasan soal eksponen UK 1.1 kurikulum 2013 kelas X.
Soal no. 1
Sederhanakan hasil operasi bilangan berpangkat berikut :
a. $ 2^5 \times 2^9 \times 2^{12} = 2^{5+9+12} = 2^{26} $
$\begin{align} \text{b. } 2^5 \times 3^6 \times 4^6 & = 2^5 \times 3^6 \times (2^2)^6 \\ & = 2^5 \times 3^6 \times 2^{12} \\ & = 2^{5+12} \times 3^6 = 2^{17} \times 3^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{12^2} & = \frac{2^5 \times 3^5 \times 4^2 }{(3\times 4)^2} \\ & = \frac{2^5 \times 3^5 \times \not{4}^2 }{ 3^2 \times \not{4}^2} \\ & = 2^5 \times 3^{5-2} = 2^5 \times 3^3 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } \frac{(-5)^6 \times 25^2}{125} & = \frac{(-1 \times 5)^6 \times (5^2)^2}{5^3} \\ & = \frac{(-1)^6 \times (5)^6 \times 5^4}{5^3} \\ & = 1 \times 5^{6+4-3} = 5^7 \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(42)^3} & = \frac{3^7 \times 7^3 \times 2}{(3 \times 7 \times 2)^3} \\ & = \frac{3^7 \times \not{7}^3 \times 2}{3^3 \times \not{7}^3 \times 2^3} \\ & = 3^{7-3} \times 2^{1-3} = 3^4 \times 2^{-2} = \frac{3^4}{2^2} \end{align} $
Soal no. 2
Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut.
$\begin{align} \text{a. } 2x^3 \times 7x^4 \times (3x)^2 & = 2x^3 \times 7x^4 \times 3^2 \times x^2 \\ & = (2 \times 7 \times 9) \times x^{3+4+2} = 126x^9 \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } \left( \frac{-2p}{q} \right)^3 \times (-q)^4 \times \frac{2}{5}p^2 & = \frac{(-2p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{(-2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^3 \times (p)^3}{q^3} \times q^4 \times \frac{2}{5}p^2 \\ & = \frac{-(2)^{3+1}}{5} \times q^{4-3} \times p^{3+2} \\ & = - \frac{2^4}{5} \times q \times p^5 = - \frac{2^4}{5} q p^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } y^5 \times (x\times y)^3 \left( \frac{1}{x^2 \times y} \right) & = y^5 \times x^3 \times y^3 \times \frac{1}{x^2 \times y} \\ & = y^{5+3-1} \times x^{3-2} = y^7x \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & (a\times b \times c)^4 \times \frac{3}{(b \times c)^3} \times \frac{b^3}{27a^5} \\ & = a^4 \times b^4 \times c^4 \times \frac{3}{b^3 \times c^3} \times \frac{b^3}{3^3 \times a^5} \\ & = 3^{1-3} \times a^{4-5} \times b^{4-3+3} \times c^{4-3} \\ & = 3^{-2} \times a^{-1} \times b^4 \times c^1 = \frac{b^4c}{9a} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } \frac{-4a^3\times 2b^5}{\left( \frac{8a}{b} \right)} & = -\not{4}a^3\times \not{2}b^5 \times \frac{b}{\not{8}a} \\ & = -a^3\times b^5 \times \frac{b}{a} \\ & = - a^{3-1} \times b^{5+1} = -a^2b^6 \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (4y)^2 & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times 4^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2x}{3y^2}\times \frac{5}{3x} \times (2^2)^2 y^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2\not{x}}{3\not{y}^2}\times \frac{5}{3\not{x}} \times 2^4 \not{y}^2 \\ & = \frac{1}{x^2y}\times \frac{2}{3}\times \frac{5}{3} \times 2^4 \\ & = \frac{2^5\times 5}{3^2x^2y} \end{align} $
$\begin{align} \text{g. } & (-a \times b)^3 \times \left( \frac{-b}{2a} \right)^4 \times \left( \frac{3a}{b} \right)^5 \\ & = (-a)^3 \times (b)^3 \times \frac{(-b)^4}{(2a)^4} \times \frac{(3a)^5}{(b)^5} \\ & = -(a)^3 \times b^3 \times \frac{b^4}{2^4a^4} \times \frac{3^5a^5}{b^5} \\ & = - \frac{3^5}{2^4} \times a^{3-4+5} \times b^{3 + 4 - 5} \\ & = - \frac{3^5}{2^4} a^4 \times b^2 \end{align} $
$\begin{align} \text{h. } & \left( \frac{24a^3\times b^8}{6a^5 \times b} \right) \times \left( \frac{4b^3 \times a}{2a^3} \right)^2 \\ & = \left( 4 \times a^{3-5} \times b^{8-1} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{1-3} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2 \times b^3 \times a^{-2} \right)^2 \\ & = \left( 2^2 \times a^{-2} \times b^{7} \right) \times \left( 2^2 \times b^6 \times a^{-4} \right) \\ & = 2^{2+2} \times a^{-2 + (-4)} \times b^{7 + 6} \\ & = 2^4 \times a^{-6} \times b^{13} = \frac{2^4 b^{13}}{a^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{i. } & \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) : \left( \frac{12x(3y)^2}{9x^2y} \right)^2 \\ & = \left( \frac{36(x\times 2y)^2}{3x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x(3y)^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{12x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ 9x^2y}{12x\times 3^2y^2} \right)^2 \\ & = \left( \frac{3 \times 2^2 \times x^2 \times 2^2y^2}{x\times y^2} \right) \times \left( \frac{ x^2y}{3\times 2^2 \times x\times y^2} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x}{3\times 2^2 \times y} \right)^2 \\ & = \left( 3 \times 2^4 \times x \right) \times \left( \frac{ x^2}{3^2\times 2^4 \times y^2} \right) \\ & = \frac{x^3}{3y^2} \end{align} $
$\begin{align} \text{j. } & \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) : \left( \frac{2pqr^3}{-12(qr)^2} \right) \\ & = \left( \frac{(-p)^3\times (-q)^2 \times r^3}{-3(p^2q)^3} \right) \times \left( \frac{-12(qr)^2}{2pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{-(p)^3\times q^2 \times r^3}{-3p^6q^3} \right) \times \left( \frac{-6q^2r^2}{pqr^3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{3-6} \times q^{2-3} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^{2-1} \times r^{2-3} \right) \\ & = \left( \frac{p^{-3} \times q^{-1} \times r^3}{3} \right) \times \left( -6 \times p^{-1} \times q^1 \times r^{-1} \right) \\ & = -2 \times p^{-3 + (-1)} \times q^{-1+1} \times r^{3 + (-1)} \\ & = -2 \times p^{-4} \times r^2 = -\frac{2r^2}{p^4} \end{align} $
Soal no. 3
Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut.
$\begin{align} \text{a. } \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \times \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} \right)^2 & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{2}{6} \right)^2 \\ & = \frac{2^4}{3^4} \times \left(\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{2^4}{3^4} \times \frac{1}{3^2} \\ & = \frac{2^4}{3^{4+2}} = \frac{2^4}{3^6} \end{align} $
$\begin{align} \text{b. } & (-5)^3 \times \left( \frac{1}{15} \right)^2 \times \left( \frac{10}{3} \right)^4 \times \left( \frac{9}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \left( \frac{1}{3\times 5} \right)^2 \times \left( \frac{2 \times 5}{3} \right)^4 \times \left( \frac{3^2}{5} \right)^5 \\ & = -(5)^3 \times \frac{1}{3^2 \times 5^2} \times \frac{2^4 \times 5^4}{3^4} \times \frac{3^{10}}{5^5} \\ & = -5^{3+4-2-5} \times 3^{10-2-4} \times 2^4 = - 5^0 \times 3^4 \times 2^4 = - 3^4 \times 2^4 \end{align} $
$\begin{align} \text{c. } & \frac{3x^2 \times y^3}{24x} \times (2y)^2 \, ; \, \, \text{untuk } x = 2 \, \text{ dan } y = 3 \\ & = \frac{x \times y^3}{8} \times 2^2y^2 = \frac{1}{2} \times x\times y^5 \\ & = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^5 = 3^5 \end{align} $
$\begin{align} \text{d. } & \frac{\left( \frac{2}{3} x\right)^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) (-y)^3}{xy^2} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{3} \\ & = \frac{ \frac{2^2}{3^2} x^2 \times \left( \frac{3}{4} \right) -(y)^3}{xy^2} \\ & = - \frac{1}{3}xy = - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = - \frac{1}{18} \end{align} $
$\begin{align} \text{e. } & \frac{3p^2 \times (-3)^4}{(-2p)^2 \times (-3q)^2} \times 4\left( \frac{q}{p} \right)^2 \, ; \, \text{untuk } p = 4 \, \text{ dan } q = 6 \\ & = \frac{3p^2 \times 3^4}{2^2p^2 \times 3^2q^2} \times 4\left( \frac{q^2}{p^2} \right) \\ & = \frac{3^2}{p^2} = \frac{9}{4^2} = \frac{9}{16} \end{align} $
$\begin{align} \text{f. } & \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} - y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \, ; \, \, \text{untuk } x = \frac{1}{2} \, \text{ dan } y = \frac{1}{2} \\ & \text{ Menggunakan sifat : } (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 \\ & = \frac{\left( x^\frac{3}{2} + y^{-\frac{3}{2}} \right) \left( x^\frac{3}{2} - y^{-\frac{3}{2}} \right) x^{-1}y}{\left( x^2 + y^{-1} + y^{-2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( x^\frac{3}{2} \right)^2 - \left( y^{-\frac{3}{2}} \right)^2 \right) \frac{1}{x} \times y}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 - y^{-3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( x^3 - \frac{1}{y^3} \right) \frac{y}{x}}{\left( x^2 + \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 - \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^3} \right) \frac{\left( \frac{1}{2} \right)}{\left( \frac{1}{2} \right)}}{\left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)} + \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 2 + 4 \right)} = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{8} - 8 \right) }{\left( \frac{1}{4} + 6 \right)} \times \frac{8}{8} = \frac{1-64}{2 + 48} = - \frac{63}{50} \end{align} $
Soal no. 4
Hitunglah : $ \begin{align} \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...} \end{align}$
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memodifikasi penyebutnya.
$ \begin{align} & \frac{1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...}{1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...)+(2^{-4} - 2^{-4} + 4^{-4} - 4^{-4} + 6^{-4}-6^{-4} + ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+3^{-4}+5^{-4}+7^{-4}+...)+(2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4}+ ...) - (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} + 8^{-4} +...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+5^{-4}+6^{-4}+ 7^{-4}+...)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)- (2^{-4} + 4^{-4} + 6^{-4} +8^{-4}+ ...)} \\ & = \frac{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)}{(1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...)- 2^{-4}(1^{-4} + 2^{-4} + 3^{-4} +4^{-4}+ ...)} \\ & \text{pembilang dan penyebut dibagi dengan } \, (1^{-4}+2^{-4}+3^{-4}+4^{-4}+...) \\ & = \frac{1}{1- 2^{-4}\times 1} \\ & = \frac{1}{1- \frac{1}{2^4}} = \frac{1}{1-\frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{15}{16}} = \frac{16}{15} \end{align} $
Soal no. 5
Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b} \end{align}$
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan sifat pemfaktoran :
$ p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) $
Artinya kalau pangkatnya satu, maka menjadi :
$ p - q = (p^\frac{1}{2} + q^\frac{1}{2} )(p^\frac{1}{2} - q^\frac{1}{2} ) $
Sehingga bentuk : $ a - b = (a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2} ) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} & \frac{a^\frac{5}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b^\frac{3}{2}}{a^\frac{7}{6}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}b} \\ & = \frac{(a\times a^\frac{2}{3}b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}(b\times b^\frac{1}{2})}{(a^\frac{1}{2} \times a^\frac{2}{3})b^\frac{1}{2} - a^\frac{2}{3}(b^\frac{1}{2} \times b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2} (a-b)}{a^\frac{2}{3} \times b^\frac{1}{2}(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a-b)}{(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = \frac{(a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} )(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2} )}{(a^\frac{1}{2} - b^\frac{1}{2})} \\ & = a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ a^\frac{1}{2} + b^\frac{1}{2} . \heartsuit $
Soal no. 6
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan berikut
a). $ 2^x = 8 $
     $ 2^x = 8 \rightarrow 2^x = 2^3 \rightarrow x = 3 $

b). $ 4^x = 0,125 $
     $ 4^x = 0,125 \rightarrow (2^2)^x = \frac{1}{8} \rightarrow 2^{2x} = 2^{-3} $
     $ 2x = -3 \rightarrow x = -\frac{3}{2} $

c). $ \left( \frac{2}{5} \right)^x = 1 $
     $ \left( \frac{2}{5} \right)^x = 1 \rightarrow \left( \frac{2}{5} \right)^x = \left( \frac{2}{5} \right)^0 \rightarrow x = 0 $
Soal no. 7
Sederhanakanlah : $ \begin{align} \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \end{align}$
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan sifat-sifat eksponen :
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m . a^n = a^{m+n} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \frac{(2^{n+2})^2-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n+2}} \\ & = \frac{(2^{2n+4})-2^2 \times 2^{2n}}{2^n \times 2^{n} \times 2^2 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 2^4)-4 \times 2^{2n}}{2^{n+n} \times 4 } \\ & = \frac{(2^{2n} \times 16)-4 \times 2^{2n}}{2^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{\not{2}^{2n} (16-4)}{\not{2}^{2n} \times 4 } \\ & = \frac{(16-4)}{ 4 } = \frac{12}{4} = 3 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah 3. $ \heartsuit $
Soal no. 8
      Misalkan kamu diminta menghitung $ 7^{64}. \, $ Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang diantara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tulisnkan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}. \, $ Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Bentuk $ 7^{64} \, $ dengan $ n = 64 $
Untuk menentukan banyaknya cara perkalian minimum (sesedikit mungkin), pangkatnya kita jabarkan.
$ n = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 6 $
$ 7^{64} = (((((7^2)^2)^2)^2)^2)^2 $
Banyaknya cara perkalian sesedikit mungkin :
ada $(2+2+2+2+2+2)-6 = 6 \, $ perkalian.
$\spadesuit \, $ Prosedurnya :
Hasilnya kita misalkan dalam bentuk aljabar karena sangat besar.
$7^2 = 7 \times 7 = a \, $ ada 1 perkalian
$ [7^2]^2 = a \times a = b \, $ ada 1 perkalian
$ [(7^2)^2]^2 = b \times b = c \, $ ada 1 perkalian
$ [((7^2)^2)^2]^2 = c \times c = d \, $ ada 1 perkalian
$ [(((7^2)^2)^2)^2]^2 = d \times d = e \, $ ada 1 perkalian
$ [((((7^2)^2)^2)^2)^2]^2 = e \times e = f \, $ ada 1 perkalian
Artinya banyak perkalian sebanyak $ 1 + 1+1+1+1+1 = 6 \, $ kali untuk memperoleh hasilnya (hasil akhirnya adalah $ f \, $) .
Jadi, bentuk $ 7^{64}, \, $ banyaknya perkalian (sesedikit mungkin) ada 6 perkalian.
Prosedur ini berlaku untuk pangkat bulat positif berapapun.

Untuk penjelasan lengkap tentang melakukan perkalian sesedikit mungkin, langsung saja klik "Cara Melakukan Banyak Perkalian Sesedikit Mungkin" .
Soal no. 9
Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ tanpa menghitung tuntas!
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Perhatikan sifat perpangkatan angka 7 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^1 & 7 \\ 7^2 & 9 \\ 7^3 & 3 \\ 7^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 7^5 & 7 \\ 7^6 & 9 \\ 7^7 & 3 \\ 7^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 7 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Misalkan, satuan dari $ 7^{21} = ....?$
$ 7^{21} = 7^{4\times 5 + 1} = 7^{4 \times 5} \times 7^1 = (7^4)^5 \times 7^1 $
Satuan $ 7^{21} = (\text{satuan } 7^4)^5 \times \text{satuan } 7^1 = (1)^5 \times 7 = 7 $
artinya satuan $ 7^{21} \, $ adalah 7.
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soalnya
Satuan dari : $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} $
*). $ 7^{1234} = 7^{4\times 308 + 2 } = 7^{4 \times 308} \times 7^2 = (7^4)^{308} \times 7^2 $
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{308} \times \text{satuan } 7^2 = (1)^{308} \times 9 = 9 $
*). $ 7^{2341} = 7^{4\times 585 + 1 } = 7^{4 \times 585} \times 7^1 = (7^4)^{585} \times 7^1 $
Satuan $ 7^{2341} = (\text{satuan } 7^4)^{585} \times \text{satuan } 7^1 = (1)^{585} \times 7 = 7 $
*). $ 7^{3412} = 7^{4\times 853} = 7^{4 \times 853} = (7^4)^{853}$
Satuan $ 7^{1234} = (\text{satuan } 7^4)^{853} = (1)^{853} = 1 $
*). $ 7^{4123} = 7^{4\times 1030 + 3 } = 7^{4 \times 1030} \times 7^3 = (7^4)^{1030} \times 7^3 $
Satuan $ 7^{4123} = (\text{satuan } 7^4)^{1030} \times \text{satuan } 7^3 = (1)^{1030} \times 3 = 3 $
Sehingga diperoleh :
$\begin{align} & \text{satuan } 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \\ & = \text{satuan } 7^{1234} + \text{satuan } 7^{2341} + \text{satuan } 7^{3412} + \text{satuan } 7^{4123} \\ & = \text{satuan } (9 + 7 + 1 + 3) \\ & = \text{satuan } (20) \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, satuan dari $ 7^{1234} + 7^{2341} + 7^{3412} + 7^{4123} \, $ adalah 0. $ \heartsuit$
Soal no. 10
Tentukan angka satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung tuntas. Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan 2, 3, 4, 5, 8, 9.
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 6 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 6^1 & 6 \\ 6^2 & 6 \\ 6^3 & 6 \\ 6^4 & 6 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 6 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 6.
Sehingga diperoleh :
Satuan dari $ \left((6)^{26} \right)^{62} \, $ adalah 6.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 2 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^1 & 2 \\ 2^2 & 4 \\ 2^3 & 8 \\ 2^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 2^5 & 2 \\ 2^6 & 4 \\ 2^7 & 8 \\ 2^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 2 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((2)^{26} \right)^{62} = 2^{26 \times 62} = 2^{1612} = 2^{4\times 403} = (2^4)^{403} $
Satuan $ \left((2)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 2^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 \, $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 3 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^1 & 3 \\ 3^2 & 9 \\ 3^3 & 7 \\ 3^4 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 3^5 & 3 \\ 3^6 & 9 \\ 3^7 & 7 \\ 3^8 & 1 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 3 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((3)^{26} \right)^{62} = 3^{26 \times 62} = 3^{1612} = 3^{4\times 403} = (3^4)^{403} $
Satuan $ \left((3)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 3^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 4 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^1 & 4 \\ 4^2 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 4^3 & 4 \\ 4^4 & 6 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 4 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode kedua.
Sehingga diperoleh :
$ \left((4)^{26} \right)^{62} = 4^{26 \times 62} = 4^{1612} = 4^{4\times 403} = (4^4)^{403} $
Satuan $ \left((4)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 4^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 5 :
$ \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 5^1 & 5 \\ 5^2 & 5 \\ 5^3 & 5 \\ 5^4 & 5 \end{array} $
Artinya perpangkatan bilangan 5 menghasilkan angka satuan yang sama untuk pangkat berapapun yaitu satuannya tetap 5.
Sehingga diperoleh :
Satuan dari $ \left((5)^{26} \right)^{62} \, $ adalah 5.
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 8 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^1 & 8 \\ 8^2 & 4 \\ 8^3 & 2 \\ 8^4 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 8^5 & 8 \\ 8^6 & 4 \\ 8^7 & 2 \\ 8^8 & 6 \end{array} \right\} \, 4 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 8 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode keempat.
Sehingga diperoleh :
$ \left((8)^{26} \right)^{62} = 8^{26 \times 62} = 8^{1612} = 8^{4\times 403} = (8^4)^{403} $
Satuan $ \left((8)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 8^4 )^{403} = \text{satuan } (6)^{403} = 6 $
(menggunakan sifat bilangan 6)
$\spadesuit \, $ sifat perpangkatan bilangan 9 :
$\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^1 & 9 \\ 9^2 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $ $\left. \begin{array}{cc} \text{Bilangan} & \text{satuan} \\ 9^3 & 9 \\ 9^4 & 1 \end{array} \right\} \, 2 \, \text{ pengulangan} $
Artinya perpangkatan bilangan 9 menghasilkan angka satuan yang berulang (periodik) pada saat periode kedua.
Sehingga diperoleh :
$ \left((9)^{26} \right)^{62} = 9^{26 \times 62} = 9^{1612} = 9^{4\times 403} = (9^4)^{403} $
Satuan $ \left((9)^{26} \right)^{62} = (\text{satuan } 9^4 )^{403} = \text{satuan } (1)^{403} = 1 $
Soal no. 11
Tunjukkan bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \, $ adalah kelipatan 13.
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Untuk menunjukkan kelipatan 13, maka harus terbentuk
$ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} = 13\times k \, $ ....pers(i)
dengan $ k \, $ adalah bilangan bulat positif.
$\clubsuit \,$ Pemfaktoran yang digunakan :
$ a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b+a^{n-3}b^2 - ... - b^{n-1}) $
dengan $ n \, $ adalah bilangan ganjil.
Bilangan 2002 dan 1001 adalah kelipatan 13 :
$ 2002 = 13 \times 154 = 13 \times p \, $ dan $ 1001 = 13 \times 77 = 13 \times q $
$\clubsuit \,$ Memodifikasi soal menjadi kelipatan 13
$ \begin{align} & 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \\ & = (1^{2001}+2001^{2001}) + (2^{2001}+2000^{2001}) + ...\\ & +(1000^{2001} + 1002^{2001}) + 1001^{2001} \\ & = (1+2001)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + ...-2001^{2000})+ \\ & + (2+2000)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + ...-2000^{2000})+... +1001^{2001} \\ & = (2002)(1^{2000}-1^{1999}.2001 + ...-2001^{2000})+ \\ & + (2002)(2^{2000}-2^{1999}.2000 + ...-2000^{2000})+...+1001^{2001} \\ & = (2002)(k_1)+ (2002)(k_2)+...+(13 \times q)^{2001} \\ & = (13\times p)(k_1)+ (13\times p)(k_2)+...+(13)(13^{2000}) \times (q)^{2001} \\ & = (13)(pk_1)+ (13)(pk_2)+...+(13 )(n) \\ & = 13 (pk_1 + pk_2 + ...+n) \\ & = 13 \times k \end{align} $
Berdasarkan pers(i), terbukti bahwa $ 1^{2001} + 2^{2001} + 3^{2001} + ... + 2001^{2001} \, $ adalah kelipatan 13.
Disini, kita memisalkan semua aljabar yang ada seperti $ p,q, k_1,k_2,...,n,k \, $ adalah suatu bilangan bulat positif tertentu.
Jadi, terbukti yang diinginkan. $ \heartsuit $
Soal no. 12
Bagaimana cara termudah untuk mencari $ \begin{align} \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \end{align} $
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen
$ (ab)^n = a^n \times b^n ; \, \, \, $ dan $ a^{m+n} = a^m \times a^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$ \begin{align} & \frac{3^{2008}(10^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(6^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}((5\times 2)^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}((3\times 2)^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008}(5^{2013}\times 2^{2013} + 5^{2012} \times 2^{2011} )}{5^{2012}(3^{2010} \times 2^{2010} + 3^{2009} \times 2^{2008}) } \\ & = \frac{3^{2008} \times 5^{2012} \times 2^{2011}(5^{1}\times 2^{2} + 1 )}{5^{2012} \times 3^{2009} \times 2^{2008}(3^{1} \times 2^{2} + 1) } \\ & = \frac{2^{3}(5\times 4 + 1 )}{ 3^{1} (3 \times 4 + 1) } \\ & = \frac{8\times (21 )}{ 3 \times (13) } \\ & = \frac{8\times (7 )}{ 13 } = \frac{56}{13} \end{align} $
Jadi, nilainya adalah $ \frac{56}{13} . \heartsuit $

Senin, 27 Juli 2015

Cara Melakukan Banyak Perkalian Sesedikit Mungkin

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan membahas tentang cara melakukan banyak perkalian sesedikit mungkin. Pasti sobat pada bingung ya, perkalian sesedikit mungkin ini maksudnya apa? Melakukan perkalian yang daibahas kali ini berkaitan langsung dengan bentuk eksponen (perpangkatan) dan sifat-sifatnya. Langsung saja kita perhatikan pernyataan berikut ini. 
      Ada berapa banyak perkalian yang dilakukan untuk menentukan hasil $ 7^6 \, $ ? Untuk menyelesaikannya, kita bisa jabarkan $ 7^6 = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \, $ dengan $ 6 - 1 = 5 \, $ melakukan perkalian. Artinya $ 7^6 \, $ hasilnya diperoleh dengan melakukan perkalian sebanyak 5 kali.
      Nah ternyata, bentuk $ 7^6 \, $ hasilnya dapat dilakukan perkalian dibawah 5 kali, kok bisa? Caranya dengan memodifikasi pangkatnya yaitu $ 7^6 = (7^2)^3. \, $ Bentuk $ 7^2 = 7 \times 7 \, $ ada 1 perkalian, $ (7^2)^3 = 49 \times 49 \times 49 \, $ ada 2 perkalian, sehingga total $ (7^2)^3 \, $ ada $ 1 + 2 = 3 \, $ perkalian. Artinya bentuk $ 7^6 \, $ hasilnya diperoleh dengan melakukan perkalian sebanyak 3 kali saja.
      Bandingkan dengan perhitungan sebelumnya melakukan 5 perkalian, tentu dengan 3 perkalian saja lebih sedikit cara melakukan perkaliannya. Kesimpulannya, cara paling sedikit melakukan perkalian bentuk $ 7^6 \, $ adalah sebanyak 3 kali saja. Kirat-kira seperti itu yang dimaksud pada artikel ini untuk melakukan perkalian sesedikit mungkin.

Rumus Umum Banyaknya Perkalian
         Berikut cara menentukan banyaknya perkalian suatu bilangan dalam bentuk pangkat, baik banyak perkalian maksimum maupun banyak perkalian minimum (sesedikit mungkin).
Misalkan ada bentuk $ a^n \, $ dengan $ n \, $ bilangan bulat positif, banyaknya perkalian yang dilakukan yaitu :
Perkalian Maksimum :
         ada $ n - 1 \, $ perkalian

Perkalian Minimum (sesedikit mungkin) :
Pangkatnya $(n) \, $ dijabarkan dalam perkalian $(n=a_1.a_2.a_3....a_k) \, $
         ada $(a_1+a_2+a_3+...+a_k) \, $ perkalian
dengan $ a_i, \, k \, $ bilangan bulat dan $ a_1, a_2, a_3, ...a_k \, $ sekecil mungkin, serta $ k \, $ adalah banyaknya pangkat.
Catatan: Cara ini berlaku untuk semua $ n \, $ pangkat bulat positif.
Contoh
Tentukan banyak perkalian yang dilakukan dari bentuk pangkat berikut :
a). $ 5^{12} \, \, \, \, $ b). $ 3^{21} \, \, \, \, $ c). $ 7^8 \, \, \, \, $ d). $ 7^{16} $
Penyelesaian :
a). $ 5^{12} \, $ dengan $ n = 12 $
   *). perkalian maksimum : ada $ 12 - 1 = 11 \, $ perkalian
   *). perkalian minimum : $ n = 12 = 3 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 3 $
         $ 5^{12} = ((5^2)^3)^2 $
         ada $ (2+3+2) - 3 = 4 \, $ perkalian
b). $ 3^{21} \, $ dengan $ n = 21 $
   *). perkalian maksimum : ada $ 21 - 1 = 20 \, $ perkalian
   *). perkalian minimum : $ n = 21 = 7 \times 3 \, $ dan $ k = 2 $
         $ 3^{21} = (3^7)^3 $
         ada $ (7+3) - 2 = 8 \, $ perkalian
c). $ 7^8 \, $ dengan $ n = 8 $
   *). perkalian maksimum : ada $ 8 - 1 = 7 \, $ perkalian
   *). perkalian minimum : $ n = 8 = 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 3 $
         $ 7^8 = ((7^2)^2)^2 $
         ada $ (2+2+2) - 3 = 3 \, $ perkalian
d). $ 7^{16} \, $ dengan $ n = 16 $
   *). perkalian maksimum : ada $ 16 - 1 = 15 \, $ perkalian
   *). perkalian minimum : $ n = 16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 4 $
         $ 7^{16} = (((7^2)^2)^2)^2 $
         ada $ (2+2+2+2) - 4 = 4 \, $ perkalian
Pembahasan UK 1.1 Eksponen nomor 8 Kurikulum 2013 kelas X
      Misalkan kamu diminta menghitung $ 7^{64}. \, $ Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang diantara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tulisnkan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung $ 7^{64}. \, $ Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?
Penyelesaian :
Bentuk $ 7^{64} \, $ dengan $ n = 64 $
Untuk menentukan banyaknya cara perkalian minimum (sesedikit mungkin), pangkatnya kita jabarkan.
$ n = 64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \, $ dan $ k = 6 $
$ 7^{64} = (((((7^2)^2)^2)^2)^2)^2 $
Banyaknya cara perkalian sesedikit mungkin :
ada $(2+2+2+2+2+2)-6 = 6 \, $ perkalian.
Prosedurnya :
Hasilnya kita misalkan dalam bentuk aljabar karena sangat besar.
$7^2 = 7 \times 7 = a \, $ ada 1 perkalian
$ [7^2]^2 = a \times a = b \, $ ada 1 perkalian
$ [(7^2)^2]^2 = b \times b = c \, $ ada 1 perkalian
$ [((7^2)^2)^2]^2 = c \times c = d \, $ ada 1 perkalian
$ [(((7^2)^2)^2)^2]^2 = d \times d = e \, $ ada 1 perkalian
$ [((((7^2)^2)^2)^2)^2]^2 = e \times e = f \, $ ada 1 perkalian
Artinya banyak perkalian sebanyak $ 1 + 1+1+1+1+1 = 6 \, $ kali untuk memperoleh hasilnya (hasil akhirnya adalah $ f \, $) .
Jadi, bentuk $ 7^{64}, \, $ banyaknya perkalian (sesedikit mungkin) ada 6 perkalian.
Prosedur ini berlaku untuk pangkat bulat positif berapapun.

Minggu, 19 Juli 2015

Pertidaksamaan Logaritma

         Blog Koma - Pertidaksamaan logaritma merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma yang berkaitan langsung dengan tanda ketaksamaan yaitu $ >, \, \geq , \, < , \, $ dan $ \leq \, $ . Pada artikel ini kita akan bahas tentang pertidaksamaan logaritma sederhana, dan untuk pertidaksamaan logaritma yang lebih sulit bisa sobat langsung lihat pada kumpulan soal-soal logaritma beserta dengan pembahasannya. Pertidaksamaan logaritma sederhana (misal bentuknya $ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) $ ) , penyelesaiannya bergantung pada nilai basisnya $(a) \, $ dan untuk menyelesaikannya sobat harus menguasai sifat-sifat logaritma dengan baik terlebih dahulu. Berikut konsep dasar dari pertidaksamaan logaritmanya.
         Penyelesaian Pertidaksamaan Logaritma mengikuti penyelesaian pertidaksamaan secara umum dengan tahap-tahap yaitu menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, serta mengarsir daerah yang diminta berdasarkan tanda ketaksamaannya. Untuk menentukan akar-akar pertidaksamaan logaritma, kita ubah menjadi bentuk persamaan logaritma.

Konsep Pertidaksamaan Logaritma
       Untuk $ a \in R, \, a > 0 , \, a \neq 1, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ bentuk pertidaksamaan logaritma dapat diselesaikan bergantug dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
*). Solusi Umum :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ {}^a \log f(x) \geq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ {}^a \log f(x) < {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ {}^a \log f(x) \leq {}^a \log g(x) \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $

*). Solusi Syarat Logaritma :
Solusi syaratnya : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $

       Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.
Hint : Ruas kiri dan kanan tanda ketaksamaan harus memuat bentuk logaritma dengan nilai basis (bilangan pokok) yang sama.
         Berikut beberapa contoh dari pertidaksamaan logaritma.
Contoh 1.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^2 \log (x+1) > 3 \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya $(a =2)$ lebih dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaan tetap
$\clubsuit \,$ Solusi Umum
Memodifikasi soal agar kedua ruas memuat bentuk logaritma
$\begin{align} {}^2 \log (x+1) & > 3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 2^3 \\ {}^2 \log (x+1) & > {}^2 \log 8 \\ \text{(basisnya } a & = 2 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ (x+1) & > 8 \\ x & > 7 \end{align} $
HP1 = $ \{ x > 7 \} $
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma : (numerusnya)
$\begin{align} (x + 1 ) & > 0 \\ x & > - 1 \end{align} $
HP2 = $ \{ x > -1 \} $
Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > 7 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x > 7 \} $
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya $(a=\frac{1}{3})$ kurang dari 1, sehingga solusinya tanda ketaksamaannya dibalik.
$\spadesuit \, $ Solusi umum :
$\begin{align} {}^\frac{1}{3} \log (2x-3) \geq {}^\frac{1}{3} \log (x+1) \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{3} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ (2x-3) & \leq (x+1) \\ x & \leq 4 \end{align} $
HP1 = $ \{ x \leq 4 \} $
$\spadesuit \, $ Solusi syaratnya : (numerusnya)
*). $ (2x-3) > 0 \rightarrow 2x > 3 \rightarrow x > \frac{3}{2} \, $ ....(HP2)
*). $ (x+1) > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusi totalnya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{3}{2} < x \leq 4 \} $

         Pertidaksamaan Logaritma sebenarnya tidaklah sulit, hanya saja kita harus ingat dengan masing-masing syarat yang ada pada logaritma. Semua syarat tersebut harus kita selesaikan juga yang akan menjadi solusi bersama sekaligus syarat tersebut yang menjadi ruang sampel untuk penyelesaian pertidaksamaan logaritmanya. Jadi, teman-teman jangan sampai lupa untuk menyelesaikan syarat logaritmanya juga.

Persamaan Logaritma

         Blog Koma - Persamaan Logaritma merupakan persamaan yang melibatkan sifat-sifat logaritma yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Untuk artikel kali ini akan dibahas tentang persamaan logaritma dari bentuk yang paling sederhana sampai yang lebih sulit.
         Persamaan Logaritma memiliki berbagai bentuk dari yang paling sederhana dan yang paling kompleks. Untuk memudahkan dalam mempelajari persamaan logaritma, sebaiknya kita kuasai dulu sifat-sifat logaritma, karena pasti akan melibatkan sifat-sifat logaritma setiap kali menyelesaikan bentuk persamaan logaritmanya.

         Persamaan Logaritma akan sering kita jumpai pada soal-soal ujian nasional maupun seleksi masuk perguruan tinggi. Tentu soal-soalnya akan bervariasi dari tipe yang sederhana sampai yang paling sulit. Tapi tenang saja teman-teman, salah satu cara terbaik untuk mengatasinya adalah dengan latihan dan banyak mengerjakan soal-soal yang setingkat, maka kita pasti akan bisa mengerjakannya. Dan satu hal penting yang harus selalu diingat adalah semua akar-akar dari penyelesaian persamaan logaritma harus memenuhi semua syarat logaritma yang ada, ini artinya belum tentu semua akar-akar yang kita peroleh adalah sebagai solusi dari persamaannya.

Konsep Persamaan Logaritma
Untuk $ a, \, b \in R , \, a > 0 , \, b > 0 , \, $ dan $ a \neq 1 , \, $ berlaku sifat-sifat persamaan logaritma berikut :
(i). $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0 \, $ dan $ g(x) > 0 $
(ii). $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ f(x) > 0, \, g(x) > 0 , \, h(x) > 0, \, $ dan $ h(x) \neq 1 $
(iii). $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b , \, $ solusinya $ f(x) = g(x) $
       dengan syarat : $ b > 0 , f(x) > 0 , f(x) \neq 1, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
(iv). $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) , \, $ solusinya semua yang memenuhi
    1). $ f(x) = g(x) $
    2). $ h(x) = 1 $
    dengan syarat : $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
Hint :
Ruas kiri dan kanan harus memuat bentuk logaritma.
Nilai $ x \, $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada.

         Untuk lebih mudah dalam memahami sifat-sifat persamaan logaritma, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut :
Contoh 1.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ {}^5 \log (3x-1) = {}^5 \log 2 $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 3x-1 \, $ dan $ g(x) = 2 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2 \\ 3x & = 3 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 1 $
$ x = 1 \rightarrow f(x) = 3x-1 \rightarrow f(1) = 3.1 -1 = 2 > 0 $
Karena untuk $ x = 1 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, $ maka $ x = 1 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 1 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 2.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ {}^2 \log (2x-2) = 3 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Modifikasi soal agar kedua ruas memuat logaritma
$ {}^2 \log (2x-2) = 3 \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 2^3 $
$ \rightarrow {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 8 $
Sehingga soalnya menjadi : $ {}^2 \log (2x-2) = {}^2 \log 8 $
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 2x-2 \, $ dan $ g(x) = 8 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x-2 & = 8 \\ 2x & = 10 \\ x & = 5 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Cek syarat untuk $ x = 5 $
$ x = 5 \rightarrow f(x) = 2x-2 \rightarrow f(5) = 2.5-2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 5 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, $ maka $ x = 5 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 5 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 3.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^4 \log (3x-1) = {}^4 \log (2x+2) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (i) : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) $
$ f(x) = 3x-1 \, $ dan $ g(x) = 2x+2 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 , \, g(x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2x+2 \\ 3x - 2x & = 2 + 1 \\ x & = 3 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 3 $
$ x = 3 \rightarrow f(x) = 3x-1 \rightarrow f(3) = 3.3 -1 = 8 > 0 $
$ x = 3 \rightarrow g(x) = 2x+2 \rightarrow g(3) = 2.3+2 = 8 > 0 $
Karena untuk $ x = 3 , \, $ terpenuhi syarat $ f(x) > 0 , \, g(x) > 0 , \, $ maka $ x = 3 \, $ adalah solusi yang memenuhi persamaan tersebut.
Jadi, nilai $ x = 3 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 4.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{3x-5} \log (2x+1) = {}^{3x-5} \log (x+3) $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (ii) : $ {}^{h(x)} \log f(x) = {}^{h(x)} \log g(x) $
$h(x) = 3x-5, \, f(x) = 2x+1 \, $ dan $ g(x) = x+3 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0, \, g(x) > 0, \, h(x) > 0, \, h(x) \neq 1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x+1 & = x+3 \\ 2x - x & = 3-2 \\ x & = 1 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Cek syarat untuk $ x = 2 $
$ x = 2 \rightarrow h(x) = 3x-5 \rightarrow h(2) = 3.2 - 5 = 1 > 0 $
Karena untuk $ x = 2 , \, $ diperoleh nilai $ h(x) = 1 , \, $ sementara syaratnya haruslah $ h(x) \neq 1 , \, $ ini artinya $ x = 2 \, $ tidak memenuhi syarat. Sehingga tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan logaritma tersebut (tidak ada solusi atau jawabannya himpunan kosong).
Catatan : Nilai $ x \, $ yang diperoleh harus memenuhi semua syarat yang ada, jika salah satu saja ada syarat yang tidak terpenuhi, maka bisa dikatan nilai $ x \, $ tersebut gagal menjadi solusi persamaan logaritmanya.
Jadi, tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 5.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{x^2 + 6x} \log (\frac{1}{3}) = {}^{2x+5} \log (\frac{1}{3}) $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan sifat persamaan (iii) : $ {}^{f(x)} \log b = {}^{g(x)} \log b $
$ f(x) = x^2 + 6x \, $ dan $ g(x) = 2x+5 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0, \, f(x) \neq 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ x^2 + 6x & = 2x+5 \\ x^2 + 4x - 5 & = 0 \\ (x-1)(x+5) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -5 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek syarat untuk $ x = 1 \, $ dan $ x = -5 $
*). Untuk $ x = 1 $
$ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(1) = 1^2 + 6.1 = 7 > 0 $
$ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.1+5 = 7 > 0 $
nilai $ x = 1 \, $ memenuhi syarat.
*). Untuk $ x = -5 $
$ f(x) = x^2 + 6x \rightarrow f(-5) = (-5)^2 + 6.(-5) = -5 < 0 $
$ g(x) = 2x+5 \rightarrow g(1) = 2.(-5)+5 = -5 < 0 $
nilai $ x = -5 \, $ tidak memenuhi syarat.
Sehingga yang memenuhi syarat adalah $ x = 1 $ .
Jadi, nilai $ x = 1 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 6.
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan
$ {}^{2x^2-3x+1} \log (2x-1) = {}^{x^2+2x-5} \log (2x-1) $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan sifat persamaan (iv) : $ {}^{f(x)} \log h(x) = {}^{g(x)} \log h(x) $
$h(x) = 2x-1, \, f(x) = 2x^2-3x+1 \, $ dan $ g(x) = x^2+2x-5 \, $ dengan solusi $ f(x) = g(x) \, $ dan $ h(x) = 1 , \, $ dengan syarat $ h(x) > 0 , \, f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, g(x) > 0 , \, $ dan $ g(x) \neq 1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
*). Solusi pertama :
$\begin{align} f(x) & = g(x) \\ 2x^2-3x+1 & = x^2+2x-5 \\ x^2 - 5x + 6 & = 0 \\ (x-2)(x-3) & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 3 \end{align}$
Cek untuk nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 $
untuk $ x = 2 $
$ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(2) = 2.2 - 1 = 3 \, $ (memenuhi)
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(2) = 2.2^2-3.2+1 = 3 \, $ (memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 2^2+2.2-5 = 3 \, $ (memenuhi)
untuk $ x = 3 $
$ h(x) = 2x-1 \rightarrow h(3) = 2.3 - 1 = 5 \, $ (memenuhi)
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(3) = 2.3^2-3.3+1 = 10 \, $ (memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(2) = 3^2+2.3-5 = 10 \, $ (memenuhi)
Artinya untuk nilai $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 \, $ memenuhi syarat sebagai solusi dari persamaannya.
*). Solusi kedua : $ h(x) = 1 $
$\begin{align} h(x) & = 1 \\ 2x-1 & = 1 \\ 2x & = 2 \\ x & = 1 \end{align}$
Cek untuk nilai $ x = 1 $
untuk $ x = 2 $
$ f(x) = 2x^2-3x+1 \rightarrow f(1) = 2.1^2-3.1+1 = 1 \, $ (tidak memenuhi)
$ g(x) = x^2+2x-5 \rightarrow g(1) = 1^2+2.1-5 = -2 \, $ (tidak memenuhi)
Artinya nilai $ x = 1 \, $ tidak memenuhi syarat atau nilai $ x = 1 \, $ tidak sebagai solusi dari persamaan.
Jadi, penyelesaiannya adalah $ x = 2 \, $ dan $ x = 3 . \heartsuit $
         Sebenarnya masih ada lagi tipe atau bentuk lain dari persamaan logaritma seperti bentuk persamaan logaritma yang melibatkan bentuk polinomial (suku banyak). Untuk tipe lainnya, sobat bisa lihat pada kumpulan soal-soal logaritma. Semoga Bermanfaat. Terima kasih.

Fungsi Logaritma

         Blog Koma - Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang memuat bentuk logaritma. Selain bisa menentukan nilai fungsi logaritmanya, juga bisa menggambar grafik fungsi logaritmanya. Terkadang juga ada soal yang melibatkan nilai maksimum atau nilai minimum suatu bentuk fungsi logaritma.

         Fungsi Logaritma bentuk $ f(x) = {}^a \, \log g(x) \, $ memiliki karakteristik salah satunya berdasarkan nilai basisnya $ (a) $, yaitu naik atau turunnya bentuk grafik fungsi kuadratnya. Fungsi logaritma yang dipelajari pada artikel ini adalah fungsi kuadrat yang bentuknya sederhana saja khususnya yang akan digambar grafiknya. Namun fungsi kuadrat yang ada kaitannya dengan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat tersebut, fungsi yang kita bahas lebih kompleks lagi. Bentuk numerus pada fungsi logarimta juga bisa dikaitkan dengan bentuk fungsi kuadrat, sehingga kita harus mengingat kembali nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat.

Adapun bentuk umum fungsi logaritma sederhana :
                                    $ f(x) = {}^a \log x $
dengan $ a > 0 , \, a \neq 1, \, $ dan $ x > 0 \, $ serta $ x \, $ adalah variabel bebasnya.

Grafik fungsi logaritma
         Bentuk grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log x \, $ bergantung dari nilai basisnya (bilangan pokok). Jika $ a > 1 , \, $ maka grafiknya naik , dan jika $ 0 < a < 1 , \, $ maka grafiknya turun. Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafiknya berikut.
Contoh 1.
Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^2 \log x $ ?
Penyelesaian : nilai $ a = 2 , \, $ sehingga grafiknya naik
Contoh 2.
Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log x $ ?
Penyelesaian : nilai $ a = \frac{1}{3} , \, $ sehingga grafiknya turun

Nilai Maksimum atau Minimum fungsi logaritma
         Nilai Maksimum atau minimum fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log g(x) \, $ dengan $ g(x) > 0 , \, $ dapat ditentukan berdasarkan nilai basisnya $(a)$ :
*). Untuk $ a > 1 $
         Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum
         Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum
*). Untuk $ 0 < a < 1 $
         Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum
         Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum
         Untuk lebih jelasnya, yuk kita perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 3.
Tentukan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya ($ a = 2 $) lebih dari 1, sehingga $ f(x) \, $ minimum ketika nilai $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ juga minimum. Karena bentuk $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ diperoleh ketika $ x = \frac{-b}{2a} , \, $ yaitu :
$ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 $
artinya bentuk $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ minimum pada saat $ x = 1 \, $ yang mengakibatkan nilai fungsi $ f(x) \, $ juga minimum.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai minimum fungsi logaritmanya
Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke $ f(x) \, $ :
$\begin{align} f(x) & = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \\ f_\text{minimum} & = f(1) = {}^2 \log (1^2 - 2.1 + 9 ) \\ & = {}^2 \log (8) \\ & = {}^2 \log (2^3) \\ f_\text{minimum} & = 3.{}^2 \log 2 = 3.1 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \, $ adalah 3 . $ \heartsuit $
Contoh 4.
Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Nilai basisnya ($ a = \frac{1}{3} $) kurang dari 1, sehingga $ f(x) \, $ maksimum ketika nilai $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ minimum. Nilai minimum dari $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ diperoleh ketika $ x = -3 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai maksimum fungsi logaritmanya
Substitusi nilai $ x = -3 \, $ ke $ f(x) \, $ :
$\begin{align} f(x) & = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \\ f_\text{maksimum} & = f(-3) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (-3+3)^2 + 1 \right) \\ & = {}^\frac{1}{3} \log 1 \\ f_\text{maksimum} & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ adalah 0 . $ \heartsuit $

         Bagaimana dengan artikel fungsi kuadrat pada artikel ini? Mudah-mudahan bisa membantu dalam mempelajari fungsi logaritma. Untuk tipe soal ujian nasional, soal yang sering keluar yang berkaitan dengan fungsi logaritma adalah bentuk grafiknya baik grafik fungsi aslinya atau grafik inversnya. Dengan latihan soal-soal yang banyak, pasti teman-teman akan bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat atau grafiknya.

Sifat - sifat Logaritma

         Blog Koma - Untuk dapat mengerjakan soal-soal logaritma, hal yang paling penting dikuasai adalah sifat-sifat logaritmanya. Kebanyakan soal-soal logaritma yang keluar seperti pada Ujian Nasional atau pun Seleksi Masuk Perguruan Tinggi Negeri pasti penyelesaiannya menggunakan sifat-sifat logaritma. Untuk lebih jelasnya, mari kita lihat sifat-sifatnya berikut.

         Sifat-sifat Logaritma merupakan materi dasar yang harus benar-benar kita kuasai dengan baik dan kita harus mengetahui cara penggunaannya. Sifat-sifat logaritma ini bisa kita ibaratkan sebagai alat-alat untuk menghitung dan menentukan hasil dari suatu bentuk logaritma. Tanpa mengerti sifat-sifat logaritma, akan sulit bagi kita untuk mengerjakan soal-soal yang berkaitan langsung dengan logaritma.

         Untuk memudahkan dalam mengingat Sifat-sifat Logaritma , kita perlu banyak mengerjakan soal-soal logaritma dengan berbagai variasi tipe soal, bila perlu kita kerjakan soal-soal untuk tes seleksi masuk perguruan tinggi, karena soal-soal tersebut biasanya akan sangat menantang untuk kita kerjakan. Dengan biasa mengerjakan soal-soal logaritma, maka secara tidak langsung kita juga akan mengingatnya (sifat-sifatnya) dengan sendirinya.

Adapun sifat-sifat logaritma :
Untuk $ a > 0 , \, a\neq 1, \, b > 0 , \, c > 0 , \, $ berlaku sifat-sifat logaritma berikut :
i). $ {}^a \log 1 = 0 $
ii). $ {}^a \log a = 1 $
iii). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
iv). $ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
v). $ a^{{}^a \log b } = b $
vi). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b \, $ akibatnya :
      1). $ {{}^a}^m \log b = \frac{1}{m} . {}^a \log b $
      2). $ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
      3). $ {{}^a}^m \log b^n = {}^a \log b^\frac{n}{m} $
      4). $ {{}^a}^m \log b^n = {{}^a}^\frac{m}{n} \log b $
vii). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} , \, $ dengan syarat $ p > 0, \, p \neq 1 \, $ , akibatnya :
      1). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
      2). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
         Berikut beberapa contoh untuk sifat-sifat logaritma yang telah disebutkan di atas.
Contoh 1.
Tentukan nilai dari : $ {}^5 \log 1 \, $ dan $ {}^7 \log 7 $ ?
Penyelesaian :
*). $ {}^5 \log 1 = 0 , \, $ karena $ 5^0 = 1 $
*). $ {}^7 \log 7 = 1 , \, $ karena $ 7^1 = 7 $
Contoh 2.
Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ dan $ \log 3 = 0,477 \, $ , nilai $ \log 6 = .... $
Penyelesaian : berdasarkan sifat (iii) ,
$ \log 6 = \log (2.3) = \log 2 + \log 3 = 0,310 + 0,477 = 0,778 $
Jadi, nilai $ \log 6 = 0,778 $
Contoh 3.
Jika $ \log 2 = 0,301 \, $ , nilai $ \log 5 = .... $
Penyelesaian : berdasarkan sifat (iv) ,
$ \log 5 = \log \frac{10}{2} = \log 10 - \log 2 = 1 - 0,301 = 0,699 $
Jadi, nilai $ \log 5 = 0,699 $
Contoh 4.
Tentukan nilai dari $ 3^{{}^3 \log 7} $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (v) ,
$ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $
Jadi, nilai $ 3^{{}^3 \log 7} = 7 $
Contoh 5.
Tentukan nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (vi) ,
$ {}^\sqrt{2} \log 8 = {{}^2}^\frac{1}{2} \log 2^3 = \frac{3}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 2 = 6. 1 = 6 $
Jadi, nilai $ {}^\sqrt{2} \log 8 = 6 $
Contoh 6.
Tentukan nilai $ {}^5 \log 625 $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (vi) ,
$ {}^5 \log 625 = {}^5 \log 5^4 = 4. {}^5 \log 5 = 4. 1 = 4 $
Jadi, nilai $ {}^5 \log 625 = 4 $
Contoh 7.
Tentukan nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 $ ?
Penyelesaian : berdasarkan sifat (vii) ,
$\begin{align} {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 & = {}^2 \log 3 . \, {{}^3}^\frac{1}{2} \log 2^4 \\ & = {}^2 \log 3 . \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{\frac{1}{2}} . {}^2 \log 3 . {}^3 \log 2 \\ & = 8 . {}^2 \log 2 \\ & = 8 . 1 = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^2 \log 3 . \, {}^\sqrt{3} \log 16 = 8 $
Contoh 8.
Jika $ {}^2 \log 3 = p \, $ dan $ {}^2 \log 5 = q , \, $ maka nyatakan logaritma berikut hasilnya dalam bentuk $ p \, $ dan $ q $ ?
a). $ {}^2 \log 15 $
b). $ {}^{12} \log 20 $
Penyelesaian :
a). Berdasarkan sifat (iii) :
$ {}^2 \log 15 = {}^2 \log (3.5) = {}^2 \log 3 + {}^2 \log 5 = p + q $
Jadi, nilai $ {}^2 \log 15 = p + q $
b). Berdasarkan sifat (vii) dan (iii) :
$\begin{align} {}^{12} \log 20 & = \frac{{}^2 \log 20}{{}^2 \log 12} \\ & = \frac{{}^2 \log (4.5)}{{}^2 \log (4.3)} \\ & = \frac{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 5}{{}^2 \log 4 + {}^2 \log 3} \\ & = \frac{2 + q }{2 + p } \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^{12} \log 20 = \frac{2 + q }{2 + p } $
         Sebenarnya untuk menyelesaikan soal logaritma, sifat-sifat yang digunakan bebas dari sifat (i) sampai sifat (vii). Jika sifat-sifat logaritma yang digunakan tepat, maka penyelesaiannya akan lebih singkat. Akan tetapi jika sifat yang digunakan tidak tepat, maka penyelesaiannya akan lebih lama, tapi yakinlah pasti jawabannya akan ditemukan.

Bentuk Umum Logaritma dan Definisinya

         Blog Koma - Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen (perpangkatan). Ini artinya logaritma masih berhubungan erat dengan eksponen terutama ketika kita membahas materi invers suatu fungsi. Secara umum bentuk logaritma terdiri dari tiga bagian yaitu basis (bilangan pokok) , numerus dan hasil logaritma. Logaritma sangat penting selain pada pelajaran matematika, misalnya pada pelajaran kimia yang berkaitan dengan biloks dan bidang lain tentang fungsi pertumbuhan.

         Bentuk Umum Logaritma dan Definisinya adalah materi dasar yang harus kita kuasai terutama dalam tahap perkenalan dengan logaritma. Dengan mengetahui bentuk umum dan definisi dari logaritma, akan mempermudah kita untuk mempelajari materi selanjutnya yang berkaitan dengan logaritma. Bahkan sebenarnya ada juga salah satu soal mandiri seleksi masuk UI, soal yang dikeluarkan pengerjaannya hanya menggunakan definisi logaritma saja, namun pengerjaannya tidak semudah yang kita bayangkan karena butuh analisa lebih lanjut untuk pengerjaannya.

Adapun bentuk umum Logaritma dan Definisinya :
$ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
                               atau
$ {}^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b $
dengan $ a , \, b, \, c $ bilangan real ($ R $) dan $ a > 0, \, a \neq 1, \, b > 0 $
Keterangan :
$ a \, $ disebut bilangan pokok atau basis
$ b \, $ disebut numerus
$ c \, $ disebut hasil logaritma
        Berikut contoh logaritma agar bisa lebih memahami materinya.
Contoh
Tentukan Hasil bentuk logaritma berikut :
(i). $ {}^2 \log 4 $
(ii). $ {}^3 \log 81 $
(iii). $ {}^5 \log 125 $
(iv). $ \log 1000 $
Penyelesaian :
Berdasarkan bentuk umum logaritma dan definisinya :
(i). $ {}^2 \log 4 = 2 , \, $ karena $ 2^2 = 4 $
(ii). $ {}^3 \log 81 = 4 , \, $ karena $ 3^3 = 81 $
(iii). $ {}^5 \log 125 = 3, \, $ karena $ 5^3 = 125 $
(iv). $ \log 1000 = {}^{10} \log 1000 = 3, \, $ karena $ 10^3 = 1000 $
Catatan :
        Untuk bentuk logaritma dengan basis 10, angka 10 tidak perlu ditulis. Misalkan, $ {}^{10} \log a \, $ dapat ditulis sebagai $ \log a \, $ saja yang nilainya tetap sama. $ \log a \, $ artinya memiliki basis 10.
        Untuk mampu mengerjakan soal-soal logaritma lainnya, tidak cukup hanya dengan definisinya saja, artinya kita juga harus menguasai sifat-sifat logaritma dengan baik, karena biasanya setiap soal logaritma pasti menggunakan sifat-sifat logaritmanya. Selain menggunakan sifat-sifat logaritma, menentukan nilai logaritma juga dapat mengunakan kalkulator dan tabel matematika.
        Adapun materi yang akan kita bahas dalam bentuk logaritma yaitu sifat-sifat logaritma, fungsi logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan logaritma.

Senin, 13 Juli 2015

Persamaan Eksponen

         Blog Koma - Persamaan Eksponen merupakan persamaan yang melibatkan bentuk eksponen seperti sifat-sifat eksponen dan bentuk akar yang dihubungkan dengan tanda sama dengan. Pada artikel kali ini, persamaan eksponen dibagi menjadi beberapa yaitu persamaan eksponen sederhana dan persamaan eksponen lanjut.
         Persamaan eksponen adalah salah satu materi wajib yang harus kita kuasai. Materi ini sebenarnya sudah kita pelajari di tingkat SMP, dan kita lanjutkan lagi di tingkat SMA. Bedanya, untuk tingkat SMA ada pengembangan lagi bentuk persamaannya yaitu persamaan eksponen tingkat lanjut yang tentunya memiliki bentuk yang lebih rumit dan lebih kompleks lagi.

         Persamaan eksponen biasanya sering keluar soal-soalnya untuk Ujian Nasional dan seleksi masuk perguruan tinggi. Jadi, penting bagi kita untuk menguasainya juga dengan baik dan benar, serta latihan soal-soalnya dengan lebih sering lagi.
Persamaan Eksponen Sederhana
         Persamaan eksponen sederhana maksudnya persamaan yang hanya menyamakan nilai basisnya dan langsung bisa menentukan penyelesaiannya, serta basisnya berbentuk bilangan (bukan fungsi) yang bisa dengan mudah disamakan bentuknya. Berikut teorinya .
       Untuk $ a \in R \, $ ( $ R \, $ menyatakan bilangan real), $ a \neq 0 , \, $ dan $ a \neq 1 \, $ , maka persamaan eksponen :
             $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian untuk $ f(x) = g(x) $ .
Hint : Samakan nilai basis ($a$) ruas kiri dan kanan terlebih dahulu, kemudian coret basisnya sehingga tersisa pangkatnya saja.
Contoh 1.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 4^{2x-1} = \sqrt{8^{3x+1}} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Samakan basis kedua ruas, menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align} 4^{2x-1} & = \sqrt{8^{3x+1}} \\ (2^2)^{2x-1} & = 8^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = (2^3)^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{4x-2} & = 2^\frac{9x+3}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{2}^{4x-2} & = \not{2}^\frac{9x+3}{2} \\ 4x-2 & = \frac{9x+3}{2} \\ 8x - 4 & = 9x + 3 \\ 8x - 9x & = 3 + 4 \\ -x & = 7 \\ x & = -7 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -7 \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 2.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \left( \frac{1}{9} \right)^{x+1} = \sqrt{27^{2x-3}} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Samakan basis kedua ruas, menggunakan sifat-sifat eksponen
$\begin{align} \left( \frac{1}{9} \right)^{x+1} & = \sqrt{27^{2x-3}} \\ (3^{-2})^{x+1} & = 27^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = (3^3)^\frac{2x-3}{2} \\ 3^{-2x-2} & = 3^\frac{6x-9}{2} \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ \not{3}^{-2x-2} & = \not{3}^\frac{6x-9}{2} \\ -2x-2 & = \frac{6x-9}{2} \\ -4x - 4 & = 6x - 9 \\ 10x & = 5 \\ x & = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{1}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Persamaan Eksponen Lanjut
         Persamaan eksponen lanjut maksudnya persamaan eksponen yang bentuk basis dan pangkatnya beragam yaitu dapat berupa fungsi atau bentuk basis ruas kiri dan ruas kanan tidak bisa disamakan. Berikut beberapa bentuk persamaan eksponen lanjut dan solusinya .
(i). $ p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0 $
(ii). $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
(iii). $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
       a). $ f(x) = h(x) $
       b). $ g(x) = 1 $
       c). $ g(x) = -1 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
           sama-sama genap atau sama-sama ganjil
       d). $ g(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ dan $ g(x) $
           sama-sama positif atau sama-sama negatif
(iv). $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} \Rightarrow \, $ Solusinya adalah semua :
       a). $ f(x) = g(x) $
       b). $ h(x) = 0 , \, $ syarat : $ f(x) \, $ atau $ g(x) $
           tidak bernilai nol.
Contoh 3.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 3^{2x-3} = 49^{x-\frac{3}{2}} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Proses bentuk basisnya
$\begin{align} 3^{2x-3} & = 49^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = (7^2)^{x-\frac{3}{2}} \\ 3^{2x-3} & = 7^{2x-3} \\ (\text{berdasarkan } & \, p^{f(x)} = q^{f(x)} \Rightarrow f(x) = 0) \\ p=3, \, q & = 7 , \, f(x) = 2x-3 \\ f(x) & = 0 \\ 2x-3 & = 0 \\ 2x & = 3 \\ x & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{3}{2} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 4.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ 2^{3x-1} = 3^{x+1} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan $ p^{f(x)} = q^{g(x)} \Rightarrow f(x) . \log p = g(x) . \log q $
$\begin{align} 2^{3x-1} & = 3^{x+1} \\ p=2, \, f(x) & = 3x-1 , \, q = 3, \, g(x) = x+1 \\ f(x) . \log p & = g(x) . \log q \\ (3x-1) . \log 2 & = (x+1) . \log 3 \\ 3x \log 2 - \log 2 & = x\log 3 + \log 3 \\ 3x \log 2 - x \log 3 & = \log 3 + \log 2 \, \, \, \, \text{(gunakan sifat logaritma)} \\ x(3 \log 2 - \log 3) & = \log (3.2) \\ x( \log 2^3 - \log 3) & = \log 6 \\ x( \log 8 - \log 3) & = \log 6 \\ x( \log \frac{8}{3} ) & = \log 6 \\ x & = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\log 6}{\log \frac{8}{3}} \, $ yang memenuhi persamaan. $ \heartsuit $
Contoh 5.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ (3x-4)^{-x+3} = (3x-4)^{5x-2} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Berdasarkan bentuk : $ g(x)^{f(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-4)^{-x+3} = (3x-4)^{5x-2} \, $
artinya : $ g(x) = 3x-4, \, f(x) = -x+3, \, h(x) = 5x-2 $
Solusinya adalah semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). \, \, f(x) & = h(x) \\ -x+3 & = 5x-2 \rightarrow 6x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{6} \\ b). \, \, \, g(x) & = 1 \\ 3x-4 & = 1 \rightarrow 3x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{3} \\ c). \, \, \, g(x) & = -1 \\ 3x-4 & = -1 \rightarrow 3x = 3 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = -x+3 = -1 + 3 = 2 \, \text{(genap)} \\ x & = 1 \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.1 - 2 = 3 \, \text{(ganjil)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { tidak sama-sama genap atau ganjil} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ tidak memenuhi persamaan tersebut.} \\ d). \, \, g(x) & = 0 \\ 3x-4 & = 0 \rightarrow 3x = 4 \rightarrow x = \frac{4}{3} \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = \frac{4}{3} \text{ ke pangkatnya : } \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow f(x) = -x+3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3} \, \text{(positif)} \\ x & = \frac{4}{3} \rightarrow h(x) = 5x-2 = 5.\frac{4}{3} - 2 = \frac{14}{3} \, \text{(positif)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, h(x) \, \text { sama-sama positif} , \\ \text{maka } & x = \frac{4}{3} \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x =\frac{5}{6}, \, x = \frac{5}{3} , \, x = \frac{4}{3} . \heartsuit $
Contoh 6.
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ (3x-1)^{x-1} = (2x+1)^{x-1} \, $ adalah ....?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ Berdasarkan $ f(x)^{h(x)} = g(x)^{h(x)} $
Soal : $ (3x-1)^{x-1} = (2x+1)^{x-1} \, $
artinya : $ f(x) = 3x-1, \, g(x) = 2x+1 , \, h(x) = x-1 $
Solusinya adalah semua bentuk berikut :
$\begin{align} a). f(x) & = g(x) \\ 3x-1 & = 2x+1 \rightarrow x = 2 \\ b). h(x) & = 0 \\ x-1 & = 0 \rightarrow x = 1 \\ \text{cek } & \text{ nilai } x = 1 \text{ ke basisnya : } \\ x & = 1 \rightarrow f(x) = 3x-1 = 3.1-1=2 \, \text{(tidak nol)} \\ x & = 1 \rightarrow g(x) = 2x+1 = 2.1 + 1 = 3 \, \text{(tidak nol)} \\ \text{karena } & \text{nilai } f(x) \, \text{ dan } \, g(x) \, \text { tidak ada yang nol} , \\ \text{maka } & x = 1 \, \text{ memenuhi persamaan tersebut.} \end{align}$
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ x = 2, \, x = 1 . \heartsuit $
         Bagaimana dengan materi persamaan eksponen dan contohnya?, setelah di pahamai secara seksama, tidaklah sulit. Selamat belajar dengan semangat teman-teman, pasti bisa. !!!^_^!!!

Sabtu, 11 Juli 2015

Pertidaksamaan Eksponen

         Blog Koma - Sebelumnya kita telah membahas tentang persamaan eksponen secara mendalam, nah untuk kali ini kita mempelajari kelanjutannya yaitu pertidaksamaan eksponen. Yang namanya pertidaksamaan pasti memuat tanda ketaksamaan seperti $ < , \, \leq , \, > , \, \geq $ . Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen, kita harus benar-benar menguasai sifat-sifat eksponen terlebih dahulu.
         Pertidaksamaan eksponen untuk tipe sederhana sangatlah mudah, namun pertidaksamaan eksponen lanjut akan lebih sulit dan akan sering dikeluarkan soalnya pada ujian nasional dan soal seleksi masuk perguruan tinggi. Tenang saja, pada artikel ini akan kita pelajari untuk tipe pertidaksamaan eksponen sederhana dan lanjut.

         Pertidaksamaan eksponen akan mudah kita pelajari jika kita sudah menguasai sifat-sifat dan persamaan eksponen. Dan perlu diingat juga, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya langkah-langkahnya sama yaitu : menentukan akar-akarnya, menentukan garis bilangan dan tandanya, arsir daerah yang diminta, dan buatlah himpunan penyelesaiannya. Cara umum penyelesaian pertidaksamaan ini juga berlaku untuk "pertidaksamaan eksponen".
Pertidaksamaan Eksponen Sederhana
       Untuk $ a \in R, \, $ serta fungsi $ f(x) \, $ dan $ g(x) \, $ , dapat dibentuk pertidaksamaan :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ atau $ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} $
Bentuk pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan bergantung dari nilai $ a \, $ (basisnya) :
(i). Untuk $ a > 1 \, $ , tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $

(ii). Untuk $ 0 < a < 1 \, $ , tanda ketaksamaannya berubah (dibalik) :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) < g(x) $
$ a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \leq g(x) $
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) > g(x) $
$ a^{f(x)} \leq a^{g(x)} \, $ solusinya $ f(x) \geq g(x) $
         Pertidaksamaan eksponen sederhana maksudnya pertidaksamaan yang ruas kiri dan ruas kanan tanda ketaksamaannya sudah berbentuk pangkat (masing-masing ruas kiri dan kanan terdapat satu suku berbentuk perpangkatan).
Contoh 1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 9^{x-1} < 3^{-x+2} \, $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 9^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ (3^2)^{x-1} & < 3^{-x+2} \\ 3^{2x-2} & < 3^{-x+2} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ dicoret tanpa dibalik)} \\ 2x-2 & < -x + 2 \\ 3x & < 4 \\ x & < \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x < \frac{4}{3} \} $
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{8} \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right)^{1-x} \\ \left( \frac{1}{2} \right)^{x-2} & \geq \left( \frac{1}{2} \right)^{3-3x} \\ \text{(basisnya } a & = \frac{1}{2} < 1 , \text{ ketaksamaan dibalik)} \\ x-2 & \leq 3-3x \\ 4x & \leq 5 \\ x & \leq \frac{5}{4} \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ x \leq \frac{5}{4} \} $
Contoh 3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 3^{x^2-x+1} \leq 9^{x+\frac{5}{2}} $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 3^{x^2-x+1} & \leq 9^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq (3^2)^{x+\frac{5}{2}} \\ 3^{x^2-x+1} & \leq 3^{2x+5} \\ \text{(basisnya } a & = 3 > 1 , \text{ ketaksamaan tetap)} \\ x^2-x+1 & \leq 2x+5 \\ x^2 - 3x - 4 & \leq 0 \\ (x+1)(x-4) & \leq 0 \\ x = -1 \vee x & = 4 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ -1 \leq x \leq 4 \} $
Pertidaksamaan Eksponen Lanjut
         Pertidaksamaan eksponen lanjut maksudnya pertidaksamaan eksponen yang bentuknya selain bentuk sederhana di atas, misal bentuknya $ \left( a^{f(x)} \right)^m + a^{f(x)} + c \geq 0 \, $ . Untuk menyelesaikan bentuk ini, biasanya kita misalkan dan akan mengarah ke suatu bentuk persamaan polinomial seperti persamaan kuadrat. Agar lebih jelas, mari kita simak contoh berikut.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 > 0 $ ?
Penyelesaian :
$\begin{align} 2^{2x+1} - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2^2x.2^1 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.2^2x - 17.2^x + 8 & > 0 \\ 2.(2^x)^2 - 17.2^x + 8 & > 0 \\ \text{(misalkan } p = 2^x & , \text{ substitusikan)} \\ 2.(p)^2 - 17.p + 8 & > 0 \\ 2p^2 - 17p + 8 & > 0 \\ (2p-1)(p-8) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 8 \\ p=\frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \\ 2^x & = 2^{-1} \\ x & = -1 \\ p=8 \rightarrow 2^x & = 8 \\ 2^x & = 2^3 \\ x & = 3 \end{align} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ -1 < x < 3 \} $
         Untuk pendalaman soal-soal pertidaksamaan eksponen, sobat bisa lihat pada artikel kumpulan soal-soal Eksponen. Dengan latihan mengerjakan soal-soal lebih banyak lagi, maka pasti kita akan lebih mudah dalam menghadapi atau menyelesaikan soal-soal yang akan kita kerjakan nantinya. Semoga bermanfaat materi ini.

Bentuk Akar pada Eksponen

         Blog Koma - Pada materi sebelumnya telah dibahas tentang sifat-sifat eksponen yang diantaranya dengan pangkat pecahan. Bentuk akar ada hubungannya dengan pangkat pecahan. Berikut bentuk pangkat pecahan yang digunakan :
Jika $ \sqrt[n]{a} = b , \, $ maka $ a = b^n $
Catatan :
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ hasilnya $ b \, $ yang memenuhi $ b^n = a $
*). $ \sqrt[n]{a} \, $ dibaca akar pangkat $ n \, $ dari $ a $
*). Khusu untuk $ n = 2, \, \sqrt[2]{a} \, $ cukup ditulis $ \sqrt{a} \, $ dan dibaca akar dari $ a \, $ atau akar kuadrat dari $ a \, $ atau akar $ a $ .
         Materi Bentuk Akar pada Eksponen merupakan bagian dari materi Eksponen itu sendiri yang melibatkan pangkat pecahan. Pada Bentuk Akar pada Eksponen akan lebih menekankan pada operasi dan merasionalkan bentuk akar yang biasanya selalu keluar pada ujian nasional tingkat SMA atau sederajatnya. Kita akan mengalami kesulitan mempelajari Bentuk akar untuk soal-soal dengan bilangan yang cukup besar.
Contoh
a. $ \sqrt[3]{27} = ... \, $ , b. $ \sqrt[4]{16} = .... \, $ c. $ \sqrt{81} = .... $
Penyelesaian :
a. $ \sqrt[3]{27} = 3 \, $ karena $ 3^3 = 27 $
b. $ \sqrt[4]{16} = 2 \, $ karena $ 2^4 = 16 $
c. $ \sqrt{81} = 9 \, $ karena $ 9^2 = 81 $
Pengertian Bentuk Akar
       Bentuk akar adalah akar dari sebuah bilangan real positif yang hasilnya bukan bilangan rasional yang memenuhi sifat :
              Jika $ \sqrt{a} = b, \, $ maka $ b^2 = a \, $ dengan $ a \geq 0 $
Catatan :
*). $ b \, $ adalah hasil dari $ \sqrt{a} $
*). $ \sqrt{a} \, $ disebut bentuk akar jika hasilnya ($b$) adalah bilangan irrasional.
Contoh
1). $ \sqrt{4} \, $ bukan bentuk akar karena hasilanya $ \sqrt{4} = 2 \, $ adalah bilangan rasional.
2). $ \sqrt{2} \, $ adalah bentuk akar karena hasilnya $ \sqrt{2} = 1,41421.... \, $ adalah bilangan irrasional.
Menyederhanakan Bentuk Akar
         Untuk menyederhanakan bentuk akar, kita gunakan sifat $ \sqrt{a^2} = a , \, $ dengan $ a^2 \, $ disebut sebagai bilangan kuadrat sempurna, serta gunakan sifat $ \sqrt{a^2.b} = a\sqrt{b} $ , dengan $ a \geq 0 , \, b \geq 0 $ .
Contoh
1). $ \sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2 $
2). $ \sqrt{32} = \sqrt{16.2}=\sqrt{4^2.2} = 4\sqrt{2} $
3). $ \sqrt{c^3} = \sqrt{c^2.c} = c\sqrt{c} $
4). $ \sqrt{12k} = \sqrt{4.3k} = \sqrt{2^2.3k} = 2\sqrt{3k} $
5). $ \sqrt{18k^3} = \sqrt{9k^2.2k} = \sqrt{(3k)^2.2k} = 3k\sqrt{2k} $
Operasi Aljabar Bentuk Akar
         Sifat-sifat Operasi bentuk aljabar sebagai berikut :
1). $ a\sqrt{p} + b\sqrt{p} = (a+b)\sqrt{p} $
2). $ a\sqrt{p} - b\sqrt{p} = (a-b)\sqrt{p} $
3). $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{a.b} $
4). $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $
5). $ (a\sqrt{p}).(b\sqrt{q}) = (a.b)\sqrt{p.q} $
6). $ \sqrt{a} . \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a $
7). $ \frac{a\sqrt{p}}{b\sqrt{q}} = \left( \frac{a}{b} \right) \sqrt{\frac{p}{q}} $
Contoh
1). $ 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (2+4)\sqrt{3} = 6 \sqrt{3} $
2). $ 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (6-2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5} $
3). $ \sqrt{2}.\sqrt{3} = \sqrt{2.3} = \sqrt{6}$
4). $ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2} $
5). $ (3\sqrt{5}).(2\sqrt{2}) = (3.2)\sqrt{5.2} = 6\sqrt{10} $
6). $ \sqrt{7} . \sqrt{7} = \sqrt{7^2} = \sqrt{49} = 7 $
7). $ \frac{8\sqrt{15}}{2\sqrt{3}} = \left( \frac{8}{2} \right) \sqrt{\frac{15}{3}} = 4 \sqrt{5} $
Merasionalkan Bentuk Akar
         Merasionalkan bentuk akar adalah mengubah bentuk akar (iirasional) menjadi bilangan rasional (menghilangkan akarnya) dengan mengalikan bentuk sekawannya.
Untuk $ a, \, b, \, c, \, $ dan $ d \, $ bilangan rasional positif, maka :
*). $ \sqrt{a} \, $ sekawannya $ \sqrt{a} $
*). $ (a + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (a + p\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (a - p\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (\sqrt{a} + \sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (\sqrt{a} - \sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
*). $ (p\sqrt{a} + q\sqrt{b} ) \, $ sekawannya $ (p\sqrt{a} - q\sqrt{b} ) \, $ [berlaku sebaliknya]
Catatan :
*). Sekawannya positif (+) adalah negatif (-) , dan sebaliknya sekawannya negatif (-) adalah positif (+) .
*). Untuk perkaliannya, gunakan $ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 $
Contoh
Rasionalkan bentuk pecahan-pecahan berikut :
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} \, \, \, \, \, $ b). $ \frac{5}{4 - \sqrt{6}} \, \, \, \, \, $ c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} $
d). $ \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} \, \, \, \, $ e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} $
Penyelesaian :
       Untuk merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar, dapat dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawan dari penyebutnya.
a). $ \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{3} $
b). $ \frac{5}{4 - \sqrt{6}} = \frac{5}{4 - \sqrt{6}} . \frac{4 + \sqrt{6}}{4 + \sqrt{6}} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{16 - 6} = \frac{5(4 + \sqrt{6})}{10} = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} $
c). $ \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} . \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{14(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \frac{14(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{2} = 7(\sqrt{5} - \sqrt{3}) $
d). $ \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} = \frac{2}{5 - 2\sqrt{3}} . \frac{5 + 2\sqrt{3}}{5 + 2\sqrt{3}} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{25 - 12} = \frac{2(5 + 2\sqrt{3})}{13} $
e). $ \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}} . \frac{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+3\sqrt{2}} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{20 - 18} = \frac{3(2\sqrt{5}+3\sqrt{2})}{2} $
Bentuk Akar dalam Akar
         Untuk $ a \, $ dan $ b \, $ bilangan raasional positif, berlaku sifat :
*). $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (a+b) + 2\sqrt{ab} \, $ atau
$ \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $

*). $(\sqrt{a} +- \sqrt{b})^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab} \, $ atau
$ \sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ \sqrt{a} \geq \sqrt{b} $
Contoh
a). $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = .... \, $ b). $ \sqrt{6-2\sqrt{8}} = .... $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = .... \, $ d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = .... $
Penyelesaian :
a). $ \sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{(1+3)+2\sqrt{1.3}} = \sqrt{1} + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} $
b). $ \sqrt{6-2\sqrt{8}} = \sqrt{(4+2)-2\sqrt{4.2}} = \sqrt{4} - \sqrt{2} = 2 - \sqrt{2} $
c). $ \sqrt{7+\sqrt{24}} = \sqrt{7+\sqrt{4.6}} $
$ \sqrt{7+2\sqrt{6}} = \sqrt{(1+6)+2\sqrt{1.6}} = \sqrt{1} + \sqrt{6} = 1 + \sqrt{6} $
d). $ \sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2. \frac{1}{2} \sqrt{15}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{\frac{15}{4}} } $
$ = \sqrt{ \left( \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \right) + 2\sqrt{\frac{5}{2} . \frac{3}{2}} } = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $
$ = \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right). \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} ( \sqrt{5} + \sqrt{3} )}{2} = \frac{ \sqrt{10} + \sqrt{6} }{2} $
         Pada materi Bentuk Akar pada Eksponen , ada juga bagian yang namanya "akar dalam akar", bentuk ini menarik untuk kita kuasai karena ada dobel akar pada soalnya. Untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi malah tipe akar dalam akar ini yang bisa menjadi momok bagi perserta yang mengikuti tes, karena melihat bentuknya saja terkadang kita sudah mulai lemah dan langsung merasa tidak bisa. Pahamilah baik-baik bagian ini, pasti akan membantu suatu saat.

         Bentuk Akar pada Eksponen pada artikel ini secara urut menjelaskan tentang pengertian bentuk akar, menyederhanakan bentuk akar, operasi-operasi hitung bentuk akar, merasionalkan bentuk akar, dan bentuk akar dalam akar. Dengan menguasai secara keseluruhan materi bentuk akar secara baik, tentu akan membantu kita lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal yang langsung terkait dengan bentuk akar. Jangan lupa terus berlatih untuk penguasaan yang lebih baik lagi.