Kumpulan Rumus Cepat Persamaan Kuadrat

         Blog Koma - Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Mudah-mudahan baik-baik saja.
         Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) sudah kita bahas pada artikel sebelumnya yaitu : bentuk umum PK, Menentukan akar-akar, jenis-jenis akar, operasi akar-akar, sifat-sifat akar, dan menyusun pk. Namun adakalanya pada waktu tertentu, misalkan kita mengikuti Ujian Naional, tes masuk peruruan tinggi negeri (SBMPTN dan seleksi mandirinya) kita butuh kecepatan dalam menyelesaikan soal-soal yang diberikan karena waktu yang disediakan terbatas. Nah untuk membantu, kami sediakan beberapa rumus cepat khusus yang berkaitan dengan persamaan kuadrat.
         Rumus Cepat persamaan kuadrat ini sifatnya terbatas, maksudnya rumus-rumus tersebut hanya berlaku pada kasus-kasus tertentu pada soal tertentu juga. Artinya tidak semua soal bisa menggunakan rumus cepat, dan kelemahannya juga dengan adanya rumus cepat maka semakin banyak rumus yang harus kita hafalkan.

         Saran dari kami, sebaiknya sobat lebih mendalami konsep dasarnya karena yang namanya konsep dasar pasti akan berlaku umum dan pasti bisa menyelesaikan sebua tipe dan bentuk soal. Rumus cepat ini hanya sebagai tambahan saja, agar lebih mantap dan siapa tau ketika ujian keluar soal yang bisa dikerjakan dengan rumus cepat sehingga jadi keberuntungan. Dan satu lagi, ingat dan pahami rumus cepat yang singkat saja, agar otaknya tidak pusing karena harus menghafalkan banyak rumus.
Rumus Cepat Pertama
         Persamaan Kuadrat $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ .
(i). Jika diketahui salah satu akar adalah $ n \, $ kali dari akar yang lainnya $( x_1= n. x_2 \, \text{ atau } \, x_2 = n.x_1) $ , maka berlaku :
$ n.b^2 = (n+1)^2.a.c $
(ii). Jika perbandingan akar-akarnya $ m : n \, $ (maksudnya $ x_1:x_2 = m:n \, \text{ atau } \, x_2:x_1 = m:n $) , maka berlaku :
$ (m.n)b^2 = (m+n)^2.a.c $
Contoh 1.
Persamaan kuadrat $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1 = 3x_2 \, $ , maka nilai $ m \, $ adalah ....
Penyelesaian : Dengan Konsep Dasar
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \rightarrow a = 2, b = 4, c = m-1 $
Diketahui $ x_1 = 3x_2 \, $ .....pers(i)
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-4}{2} = -2 \, $ ....pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} x_1 + x_2 & = -2 \\ 3x_2 + x_2 & = -2 \\ 4x_2 & = -2 \\ x_2 & = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ x_2 \, $ ke PK
$\begin{align} 2x^2 + 4x + (m-1) & = 0 \\ 2(-\frac{1}{2})^2 + 4.(-\frac{1}{2}) + (m-1) & = 0 \\ \frac{1}{2} - 2 + m - 1 & = 0 \\ m = \frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ m = \frac{5}{2} . \heartsuit $
Penyelesaian : Dengan rumus cepat
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 + 4x + (m-1) = 0 \rightarrow a = 2, b = 4, c = m-1 $
Diketahui $ x_1 = 3x_2 \rightarrow x_1 = n.x_2 \, $ , artinya $ n = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m $
$\begin{align} n.b^2 & = (n+1)^2.a.c \\ 3.4^2 & = (3+1)^2.2.(m-1) \\ 3.4^2 & = 4^2.2.(m-1) \\ m-1 & = \frac{3}{2} \\ m & = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ m = \frac{5}{2} . \heartsuit $
Contoh 2.
Persamaan kuadrat $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \, $ memiliki akar-akar positif $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika perbandingan akar-akarnya adalah 3 : 2 , maka nilai $ m \, $ adalah ....
Penyelesaian : Dengan Konsep Dasar
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \rightarrow a = 1, b = -(m+2), c = 6 $
Diketahui $ x_1 : x_2 = 3:2 \, $ .....pers(i)
Operasi perkalian : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \,$ Kalikan kedua persamaan
$\begin{align} (\frac{x_1}{x_2}).(x_1 . x_2) & = (\frac{3}{2}).6 \\ x_1^2 & = 9 \rightarrow x_1 = \pm 3 \\ x_1 & = 3 \, \, \, \, \text{(positif)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Substitusi nilai $ x_1 \, $ ke PK
$\begin{align} x^2 -(m+2)x + 6 & = 0 \\ 3^2 -(m+2).3 + 6 & = 0 \\ 9 -3m - 6 + 6 & = 0 \\ 3m & = 9 \rightarrow m = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ m = 3 . \heartsuit $
Penyelesaian : Dengan rumus cepat
$\clubsuit \,$ PK $ x^2 -(m+2)x + 6 = 0 \rightarrow a = 1, b = -(m+2), c = 6 $
Diketahui $ x_1 : x_2 = 3:2 \rightarrow x_1:x_2 = m:n \, $ artinya $ m = 3 \, $ dan $ n = 2 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ m $
$\begin{align} (m.n).b^2 & = (m+n)^2.a.c \\ (3.2).[-(m+2)]^2 & = (3+2)^2.1.6 \\ 6(m+2)^2 & = (5)^2.6 \, \, \, \, \text{(bagi 6)} \\ (m+2)^2 & = (5)^2 \\ m+2 & = 5 \rightarrow m = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ m = 3 . \heartsuit $
Rumus Cepat Kedua (Menyusun Persamaan Kuadrat Baru)
         Untuk Menyusun persamaan kuadrat baru secara umum bisa menggunakan rumus $ x^2 - (HJ)x+(HK) \, $ dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali. Namun kali ini kita akan bahas cara cepatnya.
         Persamaan Kuadrat $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB) yang :
(i). Akar-akarnya $ n \, $ kali dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ nx_1 \, \text{ dan } \, nx_2 $
PKB nya : $ ax^2 + n.bx + n^2.c = 0 $
(ii). Akar-akarnya $ n \, $ lebihnya dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1 + n \, \text{ dan } \, x_2 + n $
PKB nya : $ a(x-n)^2 + b(x-n) + n^2.c = 0 $
(iii). Akar-akarnya $ n \, $ kurangnya dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1 - n \, \text{ dan } \, x_2 - n $
PKB nya : $ a(x+n)^2 + b(x+n) + n^2.c = 0 $
(iv). Akar-akarnya kebalikan dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ \frac{1}{x_1} \, \text{ dan } \, \frac{1}{x_2} $
PKB nya : $ cx^2 + bx + a = 0 $
         ( $ a \, $ dan $ c \, $ ditukar letaknya)
(v). Akar-akarnya berlawanan dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ -x_1 \, \text{ dan } \, -x_2 $
PKB nya : $ ax^2 - bx + c = 0 $
         ( tinggal dikasih negatif pada nilai $ b $ )
(vi). Akar-akarnya kuadrat dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1^2 \, \text{ dan } \, x_2^2 $
PKB nya : $ a^2x^2 - (b^2-2ac)x + c^2 = 0 $
(vii). Akar-akarnya pangkat tiga dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ , maksudnya $ x_1^3 \, \text{ dan } \, x_2^3 $
PKB nya : $ a^3x^2 + (b^3-3abc)x + c^3 = 0 $
(viii). Akar-akarnya $(x_1+x_2) \, $ dan $ (x_1.x_2) \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $
PKB nya : $ a^2x^2 + a(b-c)x -bc = 0 $
(ix). Akar-akarnya $ \frac{x_1}{x_2} \, $ dan $ \frac{x_2}{x_1} \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $
PKB nya : $ acx^2 - (b^2 - 2ac)x + ac = 0 $
(x). Akar-akarnya $ \frac{1}{x_1^2} \, $ dan $ \frac{1}{x_2^2} \, $ dari akar-akar PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $
PKB nya : $ c^2x^2 - (b^2 - 2ac)x + a^2 = 0 $
         Untuk lebih memahami maksud dari rumus cepat di atas, mari kita lihat beberapa contoh soal berikut.
Contoh 3.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali lipat dari akar-akar persamaan $ x^2 -2x+3 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ x^2 -2x+3 = 0 \rightarrow a = 1, b = -2, c = 3 $
3 kali lipat , artinya $ n = 3 \, $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB nya
$\begin{align} ax^2 + n.bx + n^2.c & = 0 \\ 1.x^2 + 3.(-2)x + 3^2.3 & = 0 \\ x^2 -6x + 27 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ x^2 -6x + 27 = 0 . \heartsuit $

Contoh 4.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 lebihnya dari akar-akar persamaan $ 3x^2 +x - 1 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ 3x^2 +x - 1 = 0 \rightarrow a = 2, b = 1, c = -1 $
2 lebihnya , artinya $ n = 2 \, $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB nya
$\begin{align} a(x-n)^2 + b(x-n) + c & = 0 \\ 3(x-2)^2 + 1.(x-2) + (-1) & = 0 \\ 3(x^2 - 4x + 4) x-2-1 & = 0 \\ 3x^2 - 11x + 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ 3x^2 - 11x + 9 = 0 . \heartsuit $

Contoh 5.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dari akar-akar persamaan $ 5x^2 +2x +7 = 0 \, $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ 5x^2 +2x +7 = 0 \rightarrow a = 5, b = 2, c = 7 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB dengan akar-akar berkebalikan
$\begin{align} cx^2 + bx + a & = 0 \\ 7x^2 + 2x + 5 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ 7x^2 + 2x + 5 = 0 . \heartsuit $

Contoh 6.
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ x_1^2 \, $ dan $ x_2^2 \, $ dari akar-akar persamaan $ -x^2 +2x +3 = 0 \, $ yang memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ?
$\spadesuit \, $ PK $ -x^2 +2x +3 = 0 \rightarrow a = -1, b = 2, c = 3 $
$\spadesuit \, $ Menyusun PKB dengan akar-akar $ x_1^2 \, $ dan $ x_2^2 \, $
$\begin{align} a^2x^2 - (b^2-2ac)x + c^2 & = 0 \\ (-1)^2x^2 - (2^2-2.(-1).3)x + 3^2 & = 0 \\ 1.x^2 - (4 + 6)x + 9 & = 0 \\ x^2 - 10x + 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, PKB nya adalah $ x^2 - 10x + 9 = 0 . \heartsuit $
         Perlu teman-teman ketahui, kumpulan rumus cepat menyusun persamaan kuadrat ini sebenarnya berasal dari konsep dasar cara menyusun persamaan kuadrat. Artinya rumus-rumus cepat yang ada di atas diperoleh dari penjabaran konsep dasarnya. Jadi, teman-teman jangan bingun dan pusing seandainya belum atau sulit untuk menghafal rumus-rumus cepat yang ada, karena konsep dasarnya saja sebenarnya sudah cukup.