Jumat, 06 November 2015

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi

         Blog Koma - Materi berikut yang akan kita pelajari adalah Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi. Maksudnya sudut-sudut berelasi disini adalah hubungan nilai perbandingan trigonometri dengan besar sudut ada pada kuadran II, kuadran III, kuadran IV, dan sudut yang besarnya di atas $ 360^\circ $. Materi Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi ini sangat penting karena tidak semua sudut yang ada pada kuadran-kuadran nilai trigonometrinya kita hafalkan, akan tetapi kita cukup mengingat nilai trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran I. Baca juga materi yang berkaitan yaitu "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", dan "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran".

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut istimewa pada kuadran I
       Sudut-sudut istimewa yang ada pada kuadran I yang dimaksud adalah $ 0^\circ , \, 30^\circ, \, 45^\circ, \, 60^\circ, \, $ dan $ 90^\circ $.
Berikut tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sin, cos, dan tan,
Penjelasan tabel di atas :
Nilai-nilai perbandingan trigonometrinya adalah ,
$ \sin 0^\circ = 0 , \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \sin 90^\circ = 1 $
$ \cos 0^\circ = 1 , \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \cos 90^\circ = 0 $
$ \tan 0^\circ = 0 , \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} , \tan 45^\circ = 1 , \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \tan 90^\circ = \infty $
Contoh :
1). Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut,
a). $ \sin 30^\circ . \cos 45^\circ $
b). $ \frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ} $
Penyelesaian :
a). $ \begin{align} \sin 30^\circ . \cos 45^\circ = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{4} \sqrt{2} \end{align} $
b). Nilainya,
$ \begin{align} \frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ} & = \frac{1.\frac{1}{2} - \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} - 3 }{2.3} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} }{6} - \frac{ 3 }{6} \\ & = \frac{ \sqrt{3} }{3} - \frac{ 1 }{2} \\ & = \frac{ 1 }{3}\sqrt{3} - \frac{ 1 }{2} \end{align} $

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi
       Sebelumnya sudah ditampilkan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut pada kuadran I. Berikut kita pelajari hubungan sudut-sudut berelasi berbagai kuadran.
Perhatikan rumus hubungan setiap kuadran jika diketahui sudut $ \alpha \, $ pada kuadran I berikut.
Dari gambar di atas, kita peroleh hubungan kuadrannya :
Kuadran I :
$ \sin (90^\circ - \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ - \alpha ) = \sin \alpha $
$ \tan (90^\circ - \alpha ) = \cot \alpha $

Kuadran II :
$ \sin (90^\circ + \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha $
$ \tan (90^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha $
$ \sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (180^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha $
$ \tan (180^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha $

Kuadran III :
$ \sin (180^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (180^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha $
$ \tan (180^\circ + \alpha ) = \tan \alpha $
$ \sin (270^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha $
$ \tan (270^\circ - \alpha ) = \cot \alpha $

Kuadran IV :
$ \sin (270^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ + \alpha ) = \sin \alpha $
$ \tan (270^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha $
$ \sin (360^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (360^\circ - \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (360^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha $

Sudut lebih besar $ 360^\circ $ :
$ \sin (360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha $

$ \sin (n.360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (n.360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (n.360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha $
dengan $ n \, $ bilangan asli.

Catatan :
Dari hubungan semua relasi diatas, dapat disimpulkan :
*). Jika menggunakan ($ 90^\circ \pm \alpha $) atau ($ 270^\circ \pm \alpha $) , maka trigonometrinya berubah yaitu sin jadi cos, cos jadi sin, tan jadi cot, sec jadi csc, dan csc jadi sec. (menggunakan $ 90^\circ \, $ dan $ 270^\circ$).
*). Jika menggunakan ($ 180^\circ \pm \alpha $) atau ($ 360^\circ \pm \alpha $) , maka trigonometrinya tetap (tidak berubah). (menggunakan $ 180^\circ \, $ dan $ 360^\circ$).
Contoh :
2). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari :
a). $ \sin 120^\circ $
b). $ \cos 150^\circ $
c). $ \tan 135^\circ $
d). $ \tan 210^\circ $
e). $ \cos 210^\circ $
f). $ \sin 300^\circ $
g). $ \cos 330^\circ $
Penyelesaian :
a). Kuadran II : $ \sin 120^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \sin 120^\circ = \sin (90^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $

b). Kuadran II : $ \cos 150^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \cos 150^\circ = \cos (90^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $

c). Kuadran II : $ \tan 135^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \tan 135^\circ = \tan (90^\circ + 45^\circ) = -\cot 45^\circ = - \frac{1}{\tan 45^\circ } = -\frac{1}{1} = -1 $
Cara II : $ \tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1 $

d). Kuadran III : $ \tan 210^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \tan 210^\circ = \tan (180^\circ + 30^\circ) = \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
Cara II : $ \tan 210^\circ = \tan (270^\circ - 60^\circ) = \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ } = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3} $

e). Kuadran III : $ \tan 210^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $

f). Kuadran IV : $ \tan 210^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \sin 300^\circ = \sin (270^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \sin 300^\circ = \sin (360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $

g). Kuadran IV : $ \cos 330^\circ \, $ ada dua cara :
Cara I : $ \cos 330^\circ = \cos (270^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Cara II : $ \cos 330^\circ = \cos (360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $

3). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari
a). $ \sin 360^\circ $
b). $ \cos 420^\circ $
c). $ \tan 510^\circ $
d). $ \sin 1290^\circ $
Penyelesaian :
a). $ \sin 360^\circ = \sin (360^\circ + 0^\circ ) = \sin 0^\circ = 0 $
b). $ \cos 420^\circ = \cos (360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $
c). $ \tan 510^\circ = \tan (360^\circ + 150^\circ) = \tan 150^\circ = \tan (180^\circ - 30^\circ) = - \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} $
d). $ \sin 1290^\circ = \sin (3\times 360^\circ + 210^\circ) = \sin 210^\circ = \sin (180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} $

Catatan :
Untuk nilai negatif atau psositif, bergantung dari sudut awal pada soal, terletak pada kuadran berapa. Misalkan, nilai $ \cos 210^\circ \, $, sudut $ 210^\circ \, $ ada pada kuadran III sehingga nilai cos nya negatif, sehingga bentuk sederhananya ditambahkan negatif. perhatikan perhitungan berikut,
Cara I : $ \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ \, $ , bentuk sederhananya $ \cos 210^\circ = \cos 30^\circ \, $ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$ \cos 210^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $ .

Cara II : $ \cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ \, $ , bentuk sederhananya $ \cos 210^\circ = \sin 60^\circ \, $ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$ \cos 210^\circ = - \sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $ .

Sudut Komplemen pada Kuadran I
       Sudut komplemen maksudnya sudut yang jumlahnya $ 90^\circ \, $ pada kuadran I. Berikut bentuk-bentuk perbandingan trigonometri sudut-sudut komplemen :
$ \sin \theta = \cos (90^\circ - \theta) $
$ \cos \theta = \sin (90^\circ - \theta) $
$ \tan \theta = \cot (90^\circ - \theta) $
$ \cot \theta = \tan (90^\circ - \theta) $
$ \sec \theta = \csc (90^\circ - \theta) $
$ \csc \theta = \sec (90^\circ - \theta) $

Pada sudut komplemen, terjadi perubahan trigonometri yaitu :
sin berubah menjadi cos (dan sebalikny)
tan berubah menjadi cot (dan sebalikny)
sec berubah menjadi csc (dan sebalikny)
Contoh :
4). Tentukan perbandingan trigonometri sudut komplemen dari bentuk berikut :
a). $ \sin 30^\circ $
b). $ \cot 60^\circ $
c). $ \cos 35^\circ $
Penyelesaian :
a). $ \sin 30^\circ = \cos ( 90^\circ - 30^\circ ) = \cos 60^\circ $
artinya nilai $ \sin 30^\circ \, $ sama dengan $ \cos 60^\circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ $
b). $ \cot 60^\circ = \tan ( 90^\circ - 60^\circ ) = \tan 30^\circ $
artinya nilai $ \cot 60^\circ \, $ sama dengan $ \tan 30^\circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ $
c). $ \cos 35^\circ = \sin ( 90^\circ - 35^\circ ) = \sin 55^\circ $
artinya nilai $ \cos 35^\circ \, $ sama dengan $ \sin 55^\circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ $

5). Tentukan nilai $ \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ $ ?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas trigonometri : $ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
*). Gunakan sudut komplemen :
$ \sin 25^\circ = \cos ( 90^\circ - 25^\circ ) = \cos 65^\circ $
Sehingga : $ \sin ^2 25^\circ = \cos ^2 65^\circ $
$ \sin 40^\circ = \cos ( 90^\circ - 40^\circ ) = \cos 50^\circ $
Sehingga : $ \sin ^2 40^\circ = \cos ^2 50^\circ $
*). Menentukan hasilnya :
$ \begin{align} & \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = \cos ^2 65^\circ + \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = ( \cos ^2 65^\circ + \sin ^2 65^\circ) + ( \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ ) \\ & = ( 1 ) + ( 1 ) \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ = 2 $ .

Nilai fungsi trigonometri untuk seudut negatif
       Berikut nilai fungsi trigonometri untuk sudut negatif :
$ \sin (- \alpha ) = - \sin \alpha $
$ \cos (- \alpha ) = \cos \alpha $
$ \tan (- \alpha ) = - \tan \alpha $
$ \sec (- \alpha ) = \sec \alpha $
$ \csc (- \alpha ) = - \csc \alpha $
$ \cot (- \alpha ) = - \cot \alpha $
Contoh :
Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut :
a). $ \sin (- 30^\circ ) $
b). $ \cos (- 60^\circ ) $
c). $ \sin (- 210^\circ ) $
d). $ \cos (- 210^\circ ) $
Penyelesaian :
a). $ \sin (- 30^\circ ) = - \sin 30^\circ = - \frac{1}{2} $
b). $ \cos (- 60^\circ ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $
c). $ \sin (- 210^\circ ) = - \sin 210^\circ = - \sin (180^\circ + 30^\circ) = -[-\sin 30^\circ] = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $
d). $ \cos (- 210^\circ ) = \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $

1 komentar: