Senin, 23 November 2015

Penerapan Limit pada Laju Perubahan

         Blog Koma - Pada artikel ini kita akan pelajari Penerapan Limit pada Laju Perubahan. Fungsi yang digunakan biasanya fungsi aljabar, sehingga untuk memudahkan silahkan baca materi "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar".

Penjelasan Penerapan Limit pada Laju Perubahan
       Misalkan $ y $ adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain $ x $ . Sehingga, $ y $ adalah fungsi dari $ x $ dan dapat kita tuliskan $ y = f(x) . \, $ Jika $ x $ berubah dari $ x = c $ sampai $ x = c + h , \, $ maka perubahan $ x $ adalah
$ \Delta x = (c+h) - c = h \, \, $ ($ \Delta x \, $ dibaca "delta $ x $ " )
dan perubahan $ y $ adalah $ \Delta y = f(c+h) - f(c) $ .

       Hasil bagi perubahannya : $ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \, $ disebut rerata laju perubahan $ y $ terhadap $ x $ sepanjang interval $[c, c+h] $ , dan ditafsirkan sebagai kemiringan tali busur PQ pada gambar berikut,

       Kita tinjau laju perubahan rerata pada interval yang semakin kecil $[c, c+h] $ , sehingga $ h \, $ mendekati 0. Limit laju perubahan rerata ini disebut laju perubahan sesaat $ y $ terhadap $ x $ saat $ x = c , \, $ yang ditafsirkan sebagai kemiringan garis singgung pada kurva $ y = f(x) $ di $ P(c,f(c)) $ :
Laju perubahan sesaat $ = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $
Contoh :
Suhu sebuah tungku pembuatan kristal dipergunakan dalam penelitian untuk menentukan bagaimana cara terbaik untuk membuat kristal yang dipergunakan dalam komponen elektronik untuk pesawat ulang-alik. Untuk pembuatan kristal yang baik, suhu harus dikendalikan secara akurat dengan menyesuaikan daya masukan. Hubungan suhu dan daya masukan mengikuti fungsi $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 \, $ dengan $ T $ adalah suhu dalam $ ^\circ $C, dan $ w $ adalah daya masukan dalam watt.
a). Berapakah laju perubahan suhu terhadap daya masukan $ w $ ? Apa satuannya?
b). Jika daya yang tersedia adalah 1000 watt, kapan laju perubahan terbesar dan kapan laju perubahan terkecil?
Penyelesaian :
*). Diketahui fungsi : $ T(w) = 0,1w^2 + 2,155w + 20 $
*). Menentukan $ T(w+h) $
$ \begin{align} T(w+h) & = 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 \\ & = 0,1(w^2 + 2wh+h^2) + 2,155w + 2,155h + 20 \\ & = 0,1w^2 + 0,2wh + 0,1h^2 + 2,155w + 2,155h + 20 \end{align} $
*). Menentukan $ \frac{T(w+h) - T(w)}{h} $
$ \begin{align} \frac{T(w+h) - T(w)}{h} & = \frac{( 0,1(w+h)^2 + 2,155(w+h) + 20 ) - (0,1w^2 + 2,155w + 20)}{h} \\ & = \frac{ 0,2wh + 2,155h + 0,1h^2 }{h} \\ & = 0,2w + 2,155 + 0,1h \end{align} $
*). Menentukan laju perubahan : $ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} $
$ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(c+h) - f(c)}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0 } 0,2w + 2,155 + 0,1h = 0,2w + 2,155 $
Jadi, laju perubahannya adalah $ 0,2w + 2,155 \, $ dengan satuan $ ^\circ $C/watt.

b). Daya yang tersedia 1000 watt. Dari fungsi laju perubahan ( Laju $ = 0,2w + 2,155$), maka laju perubahan terbesar terjadi ketika $ w = 1000 \, $ dan terkecil pada saat $ w = 0 . \, $
Laju perubahan terbesar $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(1000) + 2,155 = 202,155 \, ^\circ $C/watt.
Laju perubahan terkecil $ = 0,2w + 2,155 = 0,2.(0) + 2,155 = 2,155 \, ^\circ $C/watt.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar