Limit Tak Hingga Fungsi Khusus

         Blog Koma - Sebelumnya telah kita bahas materi "Penyelesaian Limit Tak Hingga", kali ini kita akan belajar materi yang lebih menantang yaitu Limit Tak Hingga Fungsi Khusus. Limit Tak Hingga Fungsi Khusus merupakan limit di tak hingga ( $ x \rightarrow \infty $) dengan fungsi yang lebih menarik atau menantang lagi. Konsep limit yang akan kita libatkan adalah "Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan"

Penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus
       Berikut penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus yang sering dipakai dan bentuknya paling sederhana :
1). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 2). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^x = e^{-1} \end{align} $
3). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 4). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + x \right)^\frac{1}{x} = e \end{align} $
5). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - x \right)^\frac{1}{x} = e^{-1} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 6). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
7). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - nx \right)^\frac{1}{x} = e^{-n} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ 8). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{n}{x} \right)^x = e^{-n} \end{align} $

dengan $ e = 2,7182818..... \, $ ($ e = \, $ bilangan euler)
Contoh :
1). Tentukan hasil limit tak hingga berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + 3x \right)^\frac{1}{x} \end{align} $
c). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{x} \right)^x \end{align} \, \, \, \, \, \, $ d). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 4x \right)^\frac{1}{x} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan bentuk dasar limit fungsi khusus di atas,
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^x = e^2 \end{align} \, \, $ (rumus 3).
b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + 3x \right)^\frac{1}{x} = e^3 \end{align} \, \, $ (rumus 6).
c). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{x} \right)^x = e^{-5} \end{align} \, \, $ (rumus 8).
d). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 4x \right)^\frac{1}{x} = e^{-4} \end{align} \, \, $ (rumus 7).

2). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^\frac{7}{x} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita modifikasi bentuk limitnya dan gunakan sifat dasar,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dengan permisalan $ 3x = y \, $ dan gunakan rumus 3.
$ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x $ menuju tak hingga.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{5x. \frac{3}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x. \frac{5}{3}} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{3x \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{3x} \right)^{3x} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 + \frac{2}{y} \right)^{y} \right]^\frac{5}{3} \\ & = \left( e^2 \right)^\frac{5}{3} \\ & = e^\frac{10}{3} \end{align} $

b). Modifikasi dan gunakan rumus 7.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^\frac{7}{x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^{\frac{1}{x} . 7} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 - 3x \right)^{\frac{1}{x} } \right]^7 \\ & = \left[ e^{-3} \right]^7 \\ & = e^{-21} \end{align} $


3). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{x-2} \end{align} \, \, \, \, \, \, $ b). $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 + 2x - 2 \right)^\frac{5}{x^2 + 2x - 3} \end{align} $
Penyelesaian :
*). Modifikasi limitnya dan gunakan rumus dasar limit tak hingga di atas,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 8 .
Misalkan $ 3x-6 = y \, $ . untuk $ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x-6 $ menuju tak hingga.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{x-2} & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(x-2).\frac{3}{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6).\frac{1}{3}} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6)} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{3x-6 \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{3x-6} \right)^{(3x-6)} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 - \frac{5}{y} \right)^{y} \right]^\frac{1}{3} \\ & = \left[ e^{-5} \right]^\frac{1}{3} \\ & = e^\frac{-5}{3} \end{align} $

b). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 4.
misalkan $ x^2 + 2x - 3 = y \, $ . untuk $ x $ menuju 1, maka $ x^2 + 2x - 3 \, $ menuju nol.
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 - 2x - 2 \right)^\frac{5}{x^2 + 2x - 3} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( x^2 + 2x - 3 + 1 \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} . 5} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} . 5} \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} } \right]^5 \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{(x^2 + 2x - 3) \to 0 } \left( 1 + (x^2 + 2x - 3) \right)^{\frac{1}{x^2 + 2x - 3} } \right]^5 \\ & = \left[ \displaystyle \lim_{y \to 0 } \left( 1 + y \right)^\frac{1}{y} \right]^5 \\ & = \left[ e \right]^5 \\ & = e^5 \end{align} $

Pembuktian Rumus Dasar Limit Tak Hingga Fungsi Khusus
*). Untuk membuktikan rumus dasar limit tak hingga fungsi khusus, ada beberapa konsep dasar yang kita gunakan.
*). Bentuk $ Ln \, $ . $ Ln \, $ sama dengan logaritma hanya saja basisnya $ e $.
Bentuk $ {}^e \log b \, $ sama saja dengan $ \ln b $ . Artinya bentuk $ \ln \, $ memiliki sifat yang sama dengan logaritma.
Sifat yang digunakan adalah $ \ln b^n = n . \ln b $
*). Turunan bentuk $ \ln f(x) $ :
misalkan : $ y = \ln f(x) \rightarrow y^\prime = \frac{1}{f(x)} . f^\prime (x) $ .
*). Penggunakan turunan pada limit bentuk tak tentu (Dalil L'Hospital).
*). Persamaan logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
sehingga : $ \ln b = c \rightarrow b = e^c $

$ \spadesuit $ Pembuktian rumus dasar : $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} $
*). Misalkan nilai $ t = \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \end{align} $
*). Turunan fungsi :
$ y = \frac{1}{x} \rightarrow y^\prime = -x^{-2} $
$ y = \ln (1 + \frac{n}{x} ) \rightarrow y^\prime = \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) $
*). Pembuktiannya :
$ \begin{align} t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \ln \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } x . \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right) \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \ln \left( 1 + \frac{n}{x} \right) }{\frac{1}{x} } \, \, \, \, \, \text{(L'Hospital)} \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) }{ -x^{-2} } \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{ \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } . (n) }{ 1 } \\ \ln t & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } n . \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } \\ \ln t & = n . \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{1}{1 + \frac{n}{x} } \\ \ln t & = n . \frac{1}{1 + \frac{n}{ \infty } } \\ \ln t & = n . \frac{1}{1 + 0 } \\ \ln t & = n . 1 \\ \ln t & = n \\ t & = e^n \\ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x & = e^{n} \end{align} $

Catatan : Untuk rumus 1, 2, dan 8, gunakan rumus dasar $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{x} \right)^x = e^{n} \end{align} $

$ \clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $
*). Pembuktiannya bisa langsung menggunakan rumus dasar 3.
Misalkan $ x = \frac{1}{y} \, $ maka $ y = \frac{1}{x} $
untuk $ x $ menuju nol, maka $ y $ menuju tak hingga.
*). Pembuktiannya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} & = \displaystyle \lim_{\frac{1}{x} \to \infty } \left( 1 + n. \frac{1}{y} \right)^y \\ & = \displaystyle \lim_{y \to \infty } \left( 1 + \frac{n}{y} \right)^y \, \, \, \, \, \text{(rumus dasar 3)} \\ \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} & = e^n \end{align} $

Catatan : untuk rumus dasar 4, 5, dan 7 , gunakan rumus dasar $ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \left( 1 + nx \right)^\frac{1}{x} = e^{n} \end{align} $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar