Pertidaksamaan Bentuk Akar

         Blog Koma - Pertidaksamaan Bentuk Akar merupakan pertidaksamaan yang melibatkan bentuk akar atau fungsi dalam akar. Fungsi yang ada dalam akar bentuknya berbagai macam, bisa fungsi linear, fungsi kuadrat, bentuk pecahan, atau fungsi lainnya. Untuk memudahkan memahami pertidaksamaan bentuk akar ini, sebaiknya kita mempelajari dahulu materi "Pertidaksamaan secara Umum", "Sifat-sifat Pertidaksamaan", "Pertidaksamaan Linear", "Pertidaksamaan Kuadrat", dan "Pertidaksamaan Pecahan".
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar
       Pertidaksamaan bentuk akar merupakan pertidaksamaan yang fungsinya memuat akar.

$\spadesuit $ Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar
$ \sqrt{ax+b} > 0, \, \sqrt{ax^2+bx+c} \geq 0, \, \sqrt{f(x)} \geq 0 $

$\spadesuit $ Penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum". Untuk memperoleh akar-akarnya, kuadratkan kedua ruas.

$ \spadesuit $ Syarat bentuk akar adalah fungsi dalam akar harus positif.
$ y = \sqrt{f(x)} \Rightarrow \, \text{syaratnya } \, f(x) \geq 0 $

$ \spadesuit $ Berikut beberapa bentuk pertidaksamaan bentuk akar dan syarat-syaratnya :
i). $ \sqrt{f(x)} \geq \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) \geq 0 $
ii). $ \sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)} \, $ , syaratnya : $ f(x) > 0 , \, g(x) \geq 0 $
iii). $ \sqrt{f(x)} > g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 $
iv). $ \sqrt{f(x)} < g(x) \, $ , syaratnya : $ f(x) \geq 0 , \, g(x) > 0 $

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan bentuk akar $ \sqrt{4-2x} < \sqrt{x+3} $ !
Penyelesaian :
$ \clubsuit $ Solusi umum :
Menentukan akar-akar dengan kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{4-2x} & < \sqrt{x+3} \\ (\sqrt{4-2x})^2 & < (\sqrt{x+3})^2 \\ 4-2x & < x+3 \\ -2x - x & < 3 - 4 \\ - 3 x & < -1 \, \, \, \, \text{(bagi -3, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{-1}{-3} \\ x & > \frac{1}{3} \end{align} $
Artinya HP1 = $ \{ x > \frac{1}{3} \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). $ \sqrt{4-2x} \geq 0 \rightarrow -2x \geq -4 \rightarrow x \leq 2 \, $ ....(HP2)
*). $ \sqrt{x + 3} > 0 \rightarrow x > -3 \, $ ....(HP3)
Sehingga solusinya adalah irisan dari semuanya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ \{ \frac{1}{3} < x \leq 2 \} $

2). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar :
a). $ \sqrt{x^2 - x - 2 } < 2 $
b). $ \sqrt{x^2 - 4} > x - 3 $
c). $ \sqrt{x^2 - 4 } < x-3 $
Penyelesaian :
a). $ \spadesuit $ Solusi umum :
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - x - 2 } & < 2 \\ (\sqrt{x^2 - x - 2 })^2 & < 2^2 \\ x^2 - x - 2 & < 4 \\ x^2 - x - 6 & < 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align} $
*).Garis bilangannya :
HP1 = $ \{ -2 < x < 3 \} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat (syarat bentuk akar)
$ \sqrt{x^2 - x - 2 } \rightarrow \, $ syaratnya : $ x^2 - x - 2 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - x - 2 & \geq 0 \\ (x+1)(x-2) & \geq 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
garis bilangannya :
HP2 = $ \{ x \leq -1 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ -2 < x \leq -1 \vee 2 \leq x < 3 \} $

b). $ \clubsuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & > x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & > (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & > x^2 - 6x + 9 \\ 6x & > 9 + 4 \\ x & > \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat bentuk akar
$ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x > \frac{13}{6} \} $

c). $ \spadesuit $ Solusi umum
*). Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} \sqrt{x^2 - 4} & < x - 3 \\ (\sqrt{x^2 - 4})^2 & < (x - 3)^2 \\ x^2 - 4 & < x^2 - 6x + 9 \\ 6x & < 9 + 4 \\ x & < \frac{13}{6} \, \, \, \, \text{....(HP1)} \end{align} $
$ \spadesuit $ Solusi syarat bentuk akar
*). Bentuk $ \sqrt{x^2 - 4} \, $ , syaratnya : $ x^2 - 4 \geq 0 $
$ \begin{align} x^2 - 4 & \geq 0 \\ (x+2)(x-2) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
HP2 = $ \{ x \leq -2 \vee x \geq 2 \} $
*).Karena $ \sqrt{x^2 - 4} \geq 0, \, $ maka bentuknya $ 0 \leq \sqrt{x^2 - 4} < (x-3), \, $ artinya
harus berlaku : $ x - 3 > 0 \rightarrow x > 3 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \, \} \, $ (Himpunan kosong).
artinya tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \sqrt{x^2 - 4} < x - 3 $

3). Himpunan penyelesaian (HP) dari pertidaksamaan bentuk akar $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \, $ adalah ...!
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Solusi umum
*).Kuadratkan kedua ruas
$ \begin{align} x+1 & > \sqrt{5-x^2 } \\ (x+1)^2 & > (\sqrt{5-x^2 })^2 \\ x^2 + 2x + 1 & > 5-x^2 \\ 2x^2 + 2x - 4 & > 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x - 2 & > 0 \\ (x+2)(x-1) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 1 \end{align} $
HP1 = $ \{ x < -2 \vee x > 1 \} $
$ \clubsuit $ Solusi syarat (syarat dalam akar)
*). Bentuk $ \sqrt{5-x^2 } \, $ , syaratnya : $ 5 - x^2 \geq 0 $
$ \begin{align} 5 - x^2 & \geq 0 \\ 5 - x^2 & = 0 \\ x^2 & = 5 \\ x & = \pm \sqrt{5} \\ x = - \sqrt{5} \vee x & = \sqrt{5} \end{align} $
HP2 = $ \{ -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \} $
*). Karena $ x+1 > \sqrt{5-x^2 } \geq 0 , \, $ , artinya
Haruslah berlaku $ x + 1 > 0 \rightarrow x > -1 \, $ ....(HP3)
Jadi, solusinya HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ 1 < x \leq \sqrt{5} \} $

4). Agar $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ bernilai real (fungsi $ y \, $ terdefinisi), tentukan syarat nilai $ x \, $ !
Penyelesaian :
$ \spadesuit $ Suatu fungsi bentuk akar $ y = \sqrt{f(x)} \, $ bernilai real, maksudnya bentuk $ \sqrt{f(x)} \, $ bisa dihitung dan nilainya real, yang tercapai untuk dalam akarnya bernilai positif ($f(x) \geq 0 $).
$ \spadesuit $ Bentuk $ y =\sqrt{\frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2}} \, $ akan bernilai real jika $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \spadesuit $ Menyelesaikan pertidaksamaan pecahan : $ \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} \geq 0 $
$ \begin{align} \frac{x^2 + x - 2 }{x^2 - x - 2} & \geq 0 \\ \frac{(x-1)(x+2) }{(x+1)(x-2)} & \geq 0 \end{align} $
Akar pembilang : $ (x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Akar penyebut : $ (x+1)(x-2) = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 \, $
(akar-akar penyebut tidak boleh ikut).
*).Garis bilangannya
Jadi, syarat nilai $ x \, $ agar fungsi $ y \, $ bernilai real adalah
HP = $ \{ x \leq -2 \vee -1 < x \leq 1 \vee x > 2 \} $ .

4 komentar:

  1. Itu yg 2c kalau x nya 3 memenuhi kok HPnya himpunan kosong ya?

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow @gua,

      Terimakasih untuk koment-nya.

      jika coba kita substitusi $ x = 3 $ ke $ \sqrt{x^2-4} < x-3 $ , maka hasilnya
      $ \begin{align}
      \sqrt{x^2-4} & < x-3 \\
      \sqrt{3^2-4} & < 3-3 \\
      \sqrt{5} & < 0 \, \, \, \text{(Salah)}
      \end{align} $.

      Artinya untuk $ x = 3 $ tidak memenuhi pertidaksamaan $ \sqrt{x^2-4} < x-3 $.

      Nah, sesuai jawaban pada pembahasan di atas adalah himpunan kosong, artinya tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi.

      Silahkan coba di pahami lagi ya soal dan pembahasannya.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Selamat belajar.

      Hapus
  2. Yg no 4 gan.. maksudnya dari (akar2 penyebut tidak boleh ikut)?

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow @Kasim,

      Terimakasih untuk pertanyaannya.

      Pada soal nomor 4, tanda ketaksamaanya adalah $ \geq 0 $, artinya semua akar-akar jadi solusi (perhatikan garis bilangannya, bulatan pada akar-akar penuh/diarsir gelap). Namun untuk bentuk pecahan, akar-akar penyebutnya selalu tidak boleh ikut karena penyebut pecahan tidak boleh bernilai nol. Coba substitusikan akar-akar penyebutnya, pasti nilai penyebutnya nol. Sehingga setiap bentuk pecahan pasti akar-akar penyebut selalu tidak ikut jadi solusi agar tidak terbentuk per nol.

      Seperti itu penjelasannya.

      Coba silahkan baca artikel "pertidaksamaan pecahan" pada ablog koma ini ya.

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog koma ini.

      Hapus