Jumat, 30 Oktober 2015

Berkas Lingkaran


         Blog Koma - Kali ini kita akan mempelajari materi berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dulu materi yang terkait yaitu "persamaan lingkaran", dan "garis kuasa".

Berkas Lingkaran
       Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah :

         $ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $

Keterangan :
$ k \, $ adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
$ \lambda \, $ adalah konstanta tertentu.
Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 - L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa.

Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
Contoh :
1). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \end{align} $
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 - 2.1 - 11) + \lambda (1^2 + 1^2 - 6.1 - 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 - 2 - 11) + \lambda (1 + 1 - 6 - 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = - \frac{7}{4} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44) + (-7) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44 - 7x^2 - 7y^2 + 42x + 28y - 28 & = 0 \\ - 3x^2 - 3y^2 + 58x + 20y - 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 = 0 $

2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta memiliki titik pusat $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
$ -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $
*). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + 1 . (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 = 0 $

3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
*). Pusat lingkaran terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik pusat ke garis ini,
$ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 - 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = - \frac{3}{8} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran,
$ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y - 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+100) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 & = 0 \end{align} $

Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 = 0 . $

1 komentar: