Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
Adapun bentuk umum sistem persamaan kuadrat dan kuadrat dengan variabel $ x \, $ dan $ y $
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p,q \in R $
*). Konstantanya $ r,c \in R $
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
Keterangan :
*). Variabelnya $ x \, $ dan $ y $
*). Koefisiennya $ a,b,p,q \in R $
*). Konstantanya $ r,c \in R $
Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)
Langkah-langkah menyelesaikan SPKK :
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
$\clubsuit \, $ Substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
$\clubsuit \, $ Tentukan akar-akar persamaan kuadrat (misal $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ) , kemudian substitusikan $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ ke persamaan garis untuk memperoleh $ y_1 \, $ dan $ y_2 $ .
$\clubsuit \, $ Himpunan penyelesaian adalah $\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\}$ .
Jenis-jenis penyelesaian SPKK
SPKK ini dapat dituliskan dalam bentuk (setelah disubstitusikan) :
$ (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-q)^2 - 4.(a-p).(c-r) $
SPKK memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian berdasarkan:
$\spadesuit $ Jika dilihat dari nilai $D$, SPKK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPKK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik.
ii). Jika $D = 0$, maka SPKK memiliki satu penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di satu titik.
iii). Jika $D < 0$, maka SPKK tidak memiliki penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva tidak berpotongan.
$ \spadesuit $ Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
i). Jika $ a = p \, $ dan $ b \neq q , \, $ maka SPKK memiliki dua penyelesaian.
ii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c \neq r , \, $ maka SPKK tidak mempunyai penyelesaian karena kedua kurva sejajar dan tidak berimpit.
iii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c = r , \, $ maka SPKK mempunyai banyak penyelesaian (ada tak hingga penyelesaian) karena kedua kurva berimpit.
$ (a-p)x^2 + (b-q)x + (c-r) = 0 $
dengan nilai diskriminan : $ D = b^2 - 4ac = (b-q)^2 - 4.(a-p).(c-r) $
SPKK memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian berdasarkan:
$\spadesuit $ Jika dilihat dari nilai $D$, SPKK memiliki beberapa jenis penyelesaian:
i). Jika $ D > 0$ , maka SPKK memiliki dua penyelesaian. Secara geometris, kedua kurva berpotongan di dua titik.
$ \spadesuit $ Jika dilihat dari koefisien dari setiap persamaan
SPKK : $ \left\{ \begin{array}{c} y = px^2 + qx + r \\ y = ax^2 + bx + c \end{array} \right. $
i). Jika $ a = p \, $ dan $ b \neq q , \, $ maka SPKK memiliki dua penyelesaian.
ii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c \neq r , \, $ maka SPKK tidak mempunyai penyelesaian karena kedua kurva sejajar dan tidak berimpit.
iii). Jika $ a = p , b = q, \, $ dan $ c = r , \, $ maka SPKK mempunyai banyak penyelesaian (ada tak hingga penyelesaian) karena kedua kurva berimpit.
Contoh
1). Tentukan Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = 2x^2 - 4x + 3 \\ y = x^2 - 3x + 5 \end{array} \right. $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} y = 2x^2 - 4x + 3 \, \, \underbrace{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow}_{\text{substitusi}} \, \, y & = x^2 - 3x + 5 \\ 2x^2 - 4x + 3 & = x^2 - 3x + 5 \\ x^2 - x - 2 & = 0 \\ (x+1)(x-2) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 2 \end{align} $
artinya $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 $
$\spadesuit $ Substitusi nilai $ x_1 = -1 \, $ dan $ x_2 = 2 \, $ ke pers(ii)
$ x_1 = -1 \rightarrow y_1 = x^2 - 3x + 5 = (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 9 $
$ x_2 = 2 \rightarrow y_2 = x^2 - 3x + 5 = 2^2 - 3.2 + 5 = 3 $
Jadi, HP nya adalah $ \left\{ (-1,9), \, (2,3) \right\} $
2). Nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} x^2 + y^2 = 25 \\ y = 4 \end{array} \right. $
adalah .... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Substitusi $ y = 4 \, $ ke pers(i)
$ 4x-y-6 = 0 \rightarrow y = 4x - 6 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + 4^2 & = 25 \\ x^2 + 16 & = 25 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} \\ x & = \pm 3 \\ x_1 = -3 \vee x_2 & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ x = -3 \, $ atau $ x = 3 $
3). SPKK berikut memiliki satu penyelesaian,
$ \left\{ \begin{array}{c} 2ax^2 + x + 3 - y = 0 \\ y = ax^2 - 2x + a \end{array} \right. $
tentukan nilai $ 4a^2 + 2a - 1 ? $
Penyelesaian :
$\spadesuit $ Substitusikan pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2ax^2 + x + 3 - y & = 0 \\ 2ax^2 + x + 3 - (ax^2 - 2x + a) & = 0 \\ ax^2 + 3x + (3-a) & = 0 \end{align} $
$\spadesuit $ Syarat mempunyai satu penyelesaian : $ D = 0 $
Dari bentuk : $ ax^2 + 3x + (3-a) = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ 3^2 - 4.a.(3-a) & = 0 \\ 9 - 12a + 4a^2 & = 0 \\ (2a-3)^2 & = 0 \\ 2a - 3 & = 0 \\ a & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 4 \left( \frac{3}{2} \right)^2 + 2. \frac{3}{2} - 1 = 4 . \frac{9}{4} + 3 - 1 = 11 $
Jadi, nilai $ 4a^2 + 2a - 1 = 11 $
4). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} y = (a-1)x^2 + \left( \frac{b}{2} - 3 \right)x - 1 \\ y = 2x^2 - 2x + (3-2c) \end{array} \right. $
mempunyai banyak penyelesaian (tak hingga). Tentukan nilai $ a^2 + b^2 - c^2 $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit $ Syarat mempunyai banyak penyelesaian adalah besarnya koefisien setiap suku sama ($ a= p, \, b = q, \, c = r $)
Koefisien $ x^2 \, $ : $ \, a - 1 = 2 \rightarrow a = 3 $
Koefisien $ x \, $ : $ \, \frac{b}{2} - 3 = -2 \rightarrow b = 2 $
Konstanta : $ \, -1 = 3-2c \rightarrow c = 2 $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 - c^2 = 3^2 + 2^2 - 2^2 = 9 $
